1. Un bloque descansa sobre una placa plana que ejecuta un movimiento armónico simple vertical con con un periodo periodo de 1,2 s
¿Cuál es la amplitud máxima máxima del
movimiento en el cual el bloque no se separa de la plancha?
RESOLUCIÓN: El bloque ejecuta un M.A.S. como si fuera un péndulo Entonces:
2 = ω = 2 2 → 2 == = 9,81. , = 0,3636
Luego:
2. Una partícula de masa “m” se desliza al interior de un tazón hemisférico de radio “R”. Demuestre que, para pequeños desplazamientos a partir de la posición de
equilibrio, la partícula efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia frecuencia angular igual a la de un péndulo simple de longitud “R”. Es decir
RESOLUCIÓN:
∑ = . θ̈ θ=mL2. θ̈ θ̈ + . θ = 0 =
.
R
θ θ
R
R
Para desplazamientos pequeños senθ = θ
= √ ⁄
N.R. P.E.
(M.A.S.)
∴ =
mg
....
3. Un tablón horizontal de masa “m” y longitud “L” está articulado en un extremo, y en el otro está unido a un resorte de constante de fuerza “k “ (Fig. P13.50). El momento de inercia del tablón
alrededor del pivote es 1/3m
. Cuando el tablón se desplaza un ángulo pequeño θ a partir de la
horizontal y se suelta, pruebe que se mueve con un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular es
= √ 3⁄
.
unto θ
L K
Figura P13.50
RESOLUCIÓN: Por demostrar:
=
θ
/= .
=θ=kLθ
Por hipótesis: Realiza un M.A.S. entonces el que realiza movimiento armónico es la fuerza restauradora, por lo tanto el peso de la barra no se considera, luego:
θ= . θ ̈ =
Luego:
= . θ̈ θ̈ + θ=0 ∴ =
....
4. Considere un oscilador amortiguado como el de la figura 13.16. Suponga que la masa es de 375 g, la constante del resorte igual a 100 N/m y b = 0,100 kg/s.
a) ¿Cuánto tarda la amplitud en reducirse a la mitad de su valor inicial? b) ¿Cuánto tiempo transcurre para que la energia mecánica se reduzca a la mitad
de su valor inicial? c) Demuestre que, en general, la tasa a la cual se reduce la amplitud en un oscilador armónico amortiguado es la mitad de la tasa a la cual disminuye la energía mecánica.
RESOLUCIÓN:
b = 0,1 kg/s K
k = 100 N/m m = 375 g
Parte (a) Ecuación diferencial para un movimiento oscilatorio amortiguado:
∴ ̈ + ⁄̇ + ⁄=0 = 1 = =− cos+ .−⁄ = ⁄2 = − .0,5 = −,, 0,75=5,625
̇ =. ̈
Donde: Luego:
Por dato: Inicialmente la amplitud es A.
Reemplazando: Parte (b)
= .− = (̇) = .−.[cos++ sin+] = =0 +=0 ∴ á = 12 + 12 . cos + sin = 100⁄0,375=266,66 Sabemos que:
Sabemos primeramente que:
= 0,1⁄40,375 =0,01777 = = =266,6 ∴ =0 .− + .−. [cos+ + sin+ ] = [+cos+ sin] cos+ +sin+ +2 sin+ 2(.c−os)[+ +] =+ cos + sin +2 sincos sin]+2. [sin+.cos + 2(−).[sin+ sin.cos]=12(−) = = ≈0 1=2(−)[1+ sin+ sin] ∴ 0,5⁄ =− → 0,707= 2 . → 20,0,1375 0,707 = ∴ =2,60 =.. → = . = (.−) + (̇) → = .̇ = (−)cos+ + sin+ ..− = (−)cos+ + sin+ → 2=.(−)cos++ sin+ → 1 =.−cos+ + sin+ = → =0 ∴ =0 Por condición y dato:
Entonces como
Parte (c)
Sabemos que: Así también:
Entonces:
Para que esto se cumpla
Una masa “m” oscila libremente en un resorte vertical (Fig. P13.56). Cuando m = 0,810 kg,
el periodo es 0,910 s. Una masa desconocida en el mismo resorte tiene un periodo de 1,16 s. Determine a) la constante del resorte “k”, y b) la masa desconocida.
RESOLUCIÓN:
=0,810 ; =0,910 = ? ; =1,16
Datos:
Parte (a)
-kx m Y m Figura P13.56
0 X mg
=̈ → ̈ + = = + cos+ → = +=0 =cos++ ó Luego:
Luego:
Sabemos que: si m = 0,810 kg ; T = 0,910 s.
→ 0, 910=2 0,810 Parte (b) Por dato:
= ?= 1,16
∴ =38,6 /
1,16=2 , → , .38,6 = ∴ =1,32 ∴ =0,32 Entonces:
