ALUMNO: PROFESOR: Lic. Freddy Bacilio Diestra
ASIGNATURA: Aritmética
PROCESO UNIVERSITARIO R.D.Nº 0844
SESIÓN N°03:
PROBLEMAS CON CONJUNTOS
PROBLEMAS CON 2 CONJUNTOS Para resolver problemas con dos conjuntos, se debe identificar en su diagrama de Venn, las diferentes zonas que se presentan; para eso veamos con un ejemplo, sobre una encuesta a un grupo de personas sobre la preferencia por las revistas "A" o "B". Prefieren la revista "A". A
4. En una reunión de deportistas: 8 practican fútbol y natación; 6 no practican estos deportes; 32 practican solamente natación y 23 practican fútbol. ¿Cuántos deportistas había en la reunión? 5. En una encuesta realizada a un grupo de personas: 40 leen
Prefieren l a revista "B". B
3. En un aula de 75 alumnos a 5 no les gusta ni álgebra ni geometría, y a 45 les gusta sólo geometría, ¿a cuántos les gusta sólo álgebra si a 15 alumnos les gusta ambos cursos?
A
B
solamente la revista “Avancemos”, 60 leen solamente la revista “Bondades”, 12 no leen ninguna de estas revistas y
13 leen ambas revistas. Halla el total de personas encuestadas. Prefieren sólo sólo "A"; "A"; solamente solamente "A", "A", "A" "A" pero pero no "B". "B". A
B
Pr efier en "A" y "B". A
N o pr efier en "A".
B
A
B
B
A
B
Pr efier en solament e una r evist a. B
A
6. De 81 alumnos encuestados: 61 practican fútbol, 29 practican natación y 4 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican fútbol y también ta mbién natación? 4 7. Entre 160 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 72 consumen mayonesa, 96 consumen ketchup y 16 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no ketchup? 8. En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos de Aritmética y Biología, se obtuvieron los siguientes resultados: 60 prefieren Aritmética; 50 prefieren Biología, 20 no prefieren ninguno de estos cursos. ¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos?
N o pr efier en "B".
Pr efier en "A" o "B". A
A
N o pr efier en ni "A" ni "B". B
A
Prefieren sólo sólo "B", "B", solamente solamente "B", "B", "B" "B" pero no "A". "A".
B
Para resolver un problema con dos conjuntos, es necesario construir un gráfico de VEN EULER, luego colocar ahí los datos del problema, formar una ecuación y finalmente responder a la pregunta pedida. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. De un grupo de 100 jóvenes, 65 6 5 estudian, 45 trabajan y 25 estudian y trabajan. ¿Cuántos no estudian ni trabajan? 2. De un grupo de 120 deportistas, 70 practican fútbol, 50 practican básquet y 40 practican ambos deportes. ¿Cuántas personas practican otros deportes ?
9. 7De un grupo de 40 personas se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades? 6 10. En una encuesta realizada a 100 personas sobre el consumo de pescado y pollo, se obtuvieron los siguientes resultados: 20 no consumen ninguno de estos productos, 50 no consumen pollo y 60 no consumen pescado. ¿Cuántos consumen pescado y pollo? 11. Se encuestó a 120 alumnas sobre sus preferencias por el voleibol o la natación, se obtuvo los siguientes resultados: - A la cuarta parte no le gusta el voleibol ni la natación - A la mitad les gusta la natación. - A los 5/12 les gusta el voleibol. Responder a las siguientes preguntas: i) ¿A cuántas alumnas les gusta el voleibol y la natación? ii) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente el voleibol? iii) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente la natación?
A una peña criollaPRÁCTICA asistieron N° 15007personas de las cuales: 80 cantan, 60 bailan, 30 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan? TEMA: PROBLEMAS CON 2 CONJUNTOS:
1) De un un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren lenguaje; lenguaje; 40 refieren matemática y 5 prefieren otros cursos. ¿Cuántos prefieren matemática y lenguaje? A) 8 B) 10 C) 5 D) 15 E) 12 2)
De 50 estudiantes encuestados: 20 practican sólo fútbol; 12 practican fútbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación? A) 32 y 20
3)
4)
B) 12 y 8
C) 8 y 4
D) 20 y 8
E) 30 y 12
En un salón de 100 alumnos: 65 aprobaron Raz. Matemático; 25 aprobaron Raz. Matemático y Raz. Verbal y 15 aprobaron solamente Raz. Verbal. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista “Gente”; 60 leen solamente la revista “Caretas” y
12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos leen ambas revistas? A) 8 B) 68 C) 48 D) 20 E) 38 5) Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 57 consumen mayonesa; 45 consumen ketchup y 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no ketchup? A) 15 B) 30 C) 42 D) 52 E) 40 6) De 300 alumnas que salen al recreo: 90 bebieron Inca Kola; 60 bebieron Coca Cola y 10 bebieron ambas bebidas. ¿Cuántas alumnas bebieron sólo una de estas bebidas? A) 130 B) 160 C) 210 D) 170 E) 150 7) En una reunión de profesores de ciencias: 47 eran de matemática; 40 eran sólo de física y 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? A) 83 B) 70 C) 100 D) 91 E) 87 8) En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet; 35 practican básquet y ajedrez; 90 practican sólo ajedrez y 105 no practican practican básquet. básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó? A) 220 B) 230 C) 210 D) 200 E) 190 9) Al estudiar la calidad de un producto se consideran dos tipos de defectos: A y B. Se analizaron 350 artículos con los resultados siguientes: 50 no tienen ninguno de estos defectos; 150 no tienen el defecto A y 230 no tienen el defecto B. ¿Cuántos artículos tienen exactamente un defecto? A) 250
B) 260
C) 270
D) 240
E) 280
11) En un salón de 100 alumnos que practican álgebra y/o geometría: 80 practican geometría, 60 practican álgebra ¿Cuántos practican solamente un curso? A) 60 B) 40 C) 20 D) 50 E) 30 12) En una fiesta donde había había 100 personas, se observó que se bailaba la salsa o el rock. Si: 65 personas bailaban la salsa; 60 personas bailaban el rock; ¿cuántas personas no bailaban el rock, sabiendo que todos bailaban por lo menos uno de estos tipos de baile? A) 40 B) 25 C) 35 D) 15 E) 30 13) De 200 lectores: 80 leen las revistas A y B; 110 son lectores de la revista B. ¿Cuántos leen sólo la revista A? A) 30 B) 90 C) 60 D) 50 E) 70 14) En una asamblea de 70 integrantes de un club: 45 son estudiantes; 48 trabajan; 8 no trabajan ni estudian. ¿Cuántos trabajan, pero no estudian? A) 31 B) 14 C) 1 7 D) 39 E) 25 15) En una peña criolla trabajan 32 artistas, de estos: 16 bailan; 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan son: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 16) De un grupo de 40 personas se sabe que 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades? A) 20 B) 18 C) 25 D) 22 E) 30 17) Durante el mes de diciembre, Rafael va a misa o al teatro. Si 18 días va a misa y 20 días va al teatro, ¿cuántos días va solamente a misa? A) 7 B) 12 C) 10 D) 11 E) 9 18) De un grupo de 200 consumidores de “pollo a la brasa”, a 120 no les gusta la mostaza; a 130 no les gusta el ketchup; a 80 no les gusta ni la mostaza mostaza ni el ketchup. ¿A cuántas personas les gusta ambas salsas? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 19) De 75 alumnos de un aula. los 3/5 usa reloj; 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 20) En una ciudad de 120 personas: a 1/4 de la población no les gusta la carne ni el pescado; a 1/2 de la población les gusta la carne y a los 5/12 les gusta el pescado. ¿A cuántas personas no les gusta el pescado? A) 40
A) 20
B) 14
C) 18
D) 12
E) 16
C) 50 D) 70
E) N.A.
21) De los 50 alumnos de un aula: 6 conocen Arequipa y Puno; 2 no conocen ninguna de estas ciudades y 16 no conocen Puno. ¿Cuántos no conocen Arequipa? A) 12
10) A 60 alumnos de un salón les preguntaron por el deporte que practican y respondieron: 40 juegan fútbol; 36 juegan voleibol. ¿Cuántos alumnos practican los dos deportes?
B)60
B)14
C) 16 D) 18
E) N.A.
PROBLEMAS CON 3 CONJUNTOS 2.
La gráfica muestra la preferencia por los cursos de Aritmética (A), Álgebra (X) y Geometría (G). En el primer año de secundaria. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
V A
X
9
3
7
4 5
6
Desarrolla en tu cuaderno, cada una de los siguientes problemas:
1.
De un grupo de 134 alumnos: 46 estudian física, 61 estudian álgebra y 58 estudian geometría; 11 estudian física y álgebra; 12 estudian álgebra y geometría; 13 estudian geometría y física. Si 5 estudian estudian los 3 cursos. cursos. ¿Cuántos alumnos estudian física pero no álgebra?
2.
En una encuesta se comprobó que: 50 personas gustan de Coca Cola 40 personas gustan de Inka 60 personas gustan de Pepsi Cola 6 personas gustan de las 3 gaseosas gas eosas 18 Coca Cola y Pepsi Cola 16 Coca Cola e Inka Cola 21 Inka Cola y Pepsi Cola 5 gustan de otras gaseosas ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
8 G 10
-
Según lo observado responde lo siguiente: ¿Cuántos prefieren sólo aritmética?
-
¿Cuántos prefieren sólo álgebra?
-
¿Cuántos prefieren sólo geometría?
-
¿Cuántos prefieren aritmética?
-
¿Cuántos prefieren álgebra?
-
¿Cuántos prefieren geometría?
-
¿Cuántos prefieren aritmética y álgebra pero no geometría?
-
¿Cuántos prefieren álgebra y geometría pero no aritmética?.
-
¿Cuántos prefieren aritmética y geometría pero no álgebra?.
-
¿Cuántos prefieren los tres cursos?
-
¿Cuántos no prefieren ninguno de los cursos?
Ahora practiquemos:
3. De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol; 26 practican básquet y 25 practican voleibol; 13 practican fútbol y básquet; 10 practican básquet y voleibol; 9 practican fútbol y voleibol. voleibol. Si 6 practican los tres deportes, ¿cuántos no practican ninguno de estos deportes?
NOTA 1: En algunos casos, cuando se desconoce la intersección de los tres conjuntos, conviene aplicar la siguiente propiedad: () () () ( ) ( ) ( ) ( ) )
4. En una batalla donde intervinieron 100 hombres 42 fueron heridos en la cabeza, 43 en el brazo, 32 en la pierna, 5 en la cabeza y brazo, 8 en el brazo y la pierna, 6 en la pierna y en la cabeza. ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza, pierna y brazo a la vez?
NOTA 2: “PROBLEMAS ESPECIAL”, en ciertos problemas, es necesario utilizar un diagrama de nominado “DIAGRAMA DE CARROL”, sugerido para conjuntos disjuntos.
5. En una fiesta hay 80 personas de las cuales 30 son varones. Si 25 mujeres fuman y 38 personas no fuman, ¿Cuántos varones no fuman?
PRÁCTICA N° 08 TEMA: PROBLEMAS CON 3 CONJUNTOS:
1. De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican básquet y 25 practican voleibol; 13 practican fútbol y básquet; 10 practican básquet y voleibol, 9 practican fútbol y voleibol. Si 6 practican los tres deportes, ¿cuántos no practican ninguno de estos deportes? A) 11
B) 12
C) 13
D) 10
E) 15
2. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado: 28 estudian español; 30 estudian alemán; 42 estudian francés; 8 estudian español y alemán; 10 estudian español y francés; 5 estudian alemán y francés; 3 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes toman el francés como único idioma de estudio? A) 20 B) 30 C) 13 D) 32 E) 28 3. De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican, i ndican, se sabe que: 70 estudian inglés; 40 estudian química; 40 estudian matemática; 15 estudian matemática y química; 20 estudian matemática e inglés; 25 estudian inglés y química; 5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos ¿Cuántos son los alumnos en total? A) 100 B) 80
C) 85
D) 90
E) 95
4. Una encuesta realizada entre 82 madres de familia arrojó el siguiente resultado: 43 saben costura; 47 saben repostería; 58 saben tejido; 19 saben costura y repostería; 28 saben costura y tejido; 30 saben repostería y tejido; 11 saben las tres ocupaciones. ¿Cuántas amas de casa saben sólo una de las tres especialidades? A) 25 B) 27 C) 29 D) 30 E) 31 5. En un campeonato de atletismo interescolar participaron 285 personas entre público y atletas. Todos los atletas recibieron medallas distribuidas de la siguiente manera: 95 reciben medalla de oro; 60 reciben medalla de plata; 130 reciben medalla de bronce; 40 reciben medalla de oro y plata; 25 reciben medalla de plata y bronce; 65 reciben medalla de oro y bronce; 20 reciben las tres medallas. ¿Qué cantidad de personas estuvieron como espectadores?
A) 100
B) 115 C) 110 D) 105 E) 120
6. De 38 estudiantes que desfilaron en un batallón: 18 usaban anteojos; 19 llevaban saco; 20 usaban corbata; 9 usaban anteojos y saco; 7 usaban saco y corbata; 7 usaban anteojos y corbata. ¿Cuántos estudiantes usaban anteojos, saco y corbata? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican, se sabe que:70 estudian inglés; 40 estudian química; 40 estudian matemática; 15 estudian matemática y química; 20 estudian matemática e inglés; 25 estudian inglés y química; 5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total? 8. En una academia de idiomas “COLUMBUS”, 30 alumnos hablan ingles; 24 hablan italiano; 24 hablan castellano; 6 hablan castellano e italiano; 10 hablan inglés y castellano; 8 hablan inglés e italiano y 3 hablan los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos tiene la academia?
9. De un grupo de 120 animales, 70 son perros, 90 comen carne, 15 perros no comen carne, ¿cuántos gatos no comen carne? (sugerencia: utiliza el “DIAGRAMA DE CARROL”)
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
10. De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres, 73 estudian ciencias, 12 mujeres no estudian ciencias. ¿Cuántos hombres no estudian ciencias? (sugerencia: utiliza el “DIAGRAMA DE CARROL”)
A) 13
B) 12
C) 15
D) 10
E) 25
Entrena a tu cerebro para los grandes retos…
