UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA SISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
PROBLEMARIO PARA LA
XXI OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS
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Directorio Dr. Marco Antonio Cortés Guardado Rector General de la Universidad de Guadalajara Dr. Miguel Ángel Navarro Navarro Vicerrector Ejecutivo de la Universidad de Guadalajara Lic. José Alfredo Peña Ramos Secretario General de la Universidad de Guadalajara Dra. Ruth Padilla Muñoz Directora General del Sistema de Educación Media Superior Mtro. Albert Héctor Medel Ruíz Secretario Académico del Sistema de Educación Media Superior Lic. José Jesús Ramírez Flores Coordinador de Apoyos Académicos Lic. José Eduardo Castañeda Mendoza Director de La Escuela Preparatoria No. 2 Mtra. María Del Pilar Morfín Heras Coordinadora del Comité Organizador de la XXI Olimpiada Universitaria de Matemáticas Matemáticas Mtro. Arturo Fernando Rico Coordinador Académico de la Escuela Preparatoria No. 2
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LA UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA EL SISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR CONVOCA A los alumnos del Sistema de Educación Media Superior a participar en la XXI OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS BASES 1. Podrán participar los alumnos de escuelas preparatorias, politécnicas, módulos e incorporadas a la Universidad de Guadalajara. 2. Para su realización, la Olimpiada será dividida en dos niveles Nivel I: Alumnos de primer, segundo o tercer semestre. Nivel II: Alumnos de cuarto, quinto o sexto semestre. 3. Cada plantel puede inscribir inscribir un máximo máximo de cuatro alumnos en el nivel I y dos alumnos en el nivel II. INSCRIPCIONES Se podrán realizar a través del correo electrónico: proporcionando los siguientes datos:
[email protected],
Nombres completos de los alumnos de su selección Plantel a que pertenecen Semestre que cursa Nivel en el que participarán, y Nombre completo del profesor que los acompañará Nombre completo del profesor asesor Las inscripciones se cerrarán cerrarán el miércoles 27 de octubre de 2010. 2010.
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ORGANIZACIÓN Y APOYOS Se propone que el coordinador de la Olimpiada de Matemáticas de cada plantel organice un concurso interno para seleccionar a los estudiantes que representarán a su escuela. Los alumnos deberán ser acompañados el día del concurso por un profesor, el cual deberá participar en el buen desarrollo de la Olimpiada, el cual tendrá la oportunidad de incorporarse a un taller dirigido a docentes, donde además se resolverá el examen aplicado a los alumnos participantes. CONCURSO 1. La Olimpiada se llevará a cabo el día 30 de Octubre de 2010 a las 9:00 horas, en las instalaciones de la Escuela Preparatoria 2, ubicada en la calle Emilio Rabaza y Alvarez del Castillo No. 760 S.L., C.P. 44370. 2. El examen del concurso consta de cinco problemas problemas sobre matemáticas que que se deberán resolver en un tiempo máximo de 4 horas y media. 3. La participación es individual. 4. Los participantes deberán presentarse con lápices, colores y estuche de geometría. 5. No se permitirá el uso de calculadoras ni tablas matemáticas PREMIACIÓN Se premiarán alrededor de 10 estudiantes con primer lugar, 15 con segundo lugar y 20 con tercer lugar en el nivel I, y en el nivel II alrededor de 5 estudiantes estudiantes con primer lugar, 10 con con segundo y 15 con tercer lugar. Los resultados se publicarán el miércoles 3 de Noviembre a través de la Coordinación de Apoyos Académicos del Sistema de Educación Media Superior. La ceremonia de premiación se dará a conocer junto con los resultados del certamen. INFORMES Área de Olimpiadas Coordinación de Apoyos Académicos Sistema de Educación Media Superior Tel. 39 42 41 00 Ext. 4140
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Correo electrónico: e lectrónico:
[email protected] Coordinación Académica Escuela Preparatoria 2 Teléfono: 36.49. 21.85, 36.43. 73.58 Correo(s) electrónicos:
[email protected] ,
[email protected]
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RESULTADOS XX OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS OCTUBRE DE 2009 PRIMEROS LUGARES NIVEL I Lemus Machuca, José de Jesús Esc. Preparatoria Reg. de la Barca Carbajal Gutiérrez, José Julio Escuela Preparatoria 11 Valdéz Cruz, José Alfonso Escuela Preparatoria 2 Huerta Guzmán, Andrea Georgina Escuela Vocacional Macías Partida, Carlos Escuela Preparatoria 3 Arias Andrade, Erick Gustavo Esc. Preparatoria Reg. de Arandas Pimienta Hernández, Edgar Reynaldo Esc. Preparatoria Reg. de El Grullo Nieves Peredo, Blanca Estela Escuela Preparatoria 10 Orozco Rolón Kerim Josué Escuela Preparatoria 13 Peña Romero, Carlos Alberto Esc. Preparatoria Reg. de Ameca Meixueiro Valdivia, Laura Margarita Escuela Preparatoria 5 Navarro Martínez, Laura Alicia Escuela Preparatoria 5 SEGUNDOS LUGARES NIVEL I González Quezada Marlene Escuela Preparatoria 13 Zepeda Zúñiga, Nancy Esc. Preparatoria Reg. de Zacoalco Rodríguez Bustos, Christian Ramón Esc. Preparatoria Reg. de Arandas García Baldovinos, Luís Armando Esc. Preparatoria Reg. de Zapotiltic Oropeza González, Andrea Edith Escuela Preparatoria 11 Hernández Grajeda, Juan Francisco Esc. Prep. Reg. de San Martín Hidalgo Alatorre Calderón, Gabriel Esc. Preparatoria Reg. de Tala Flores Aguilar, María Teresa Escuela Preparatoria 10 Cervantes Contreras, Jaime Israel EREMSO Valdivia Loza, Rubén Esc. Prep. Reg. de San Juan de Los Lagos Figueroa Mesa, Luis Fernando Esc. Preparatoria Reg. de Autlán Mendoza Rojas, Andrés Esc. Preparatoria Reg. de Ciudad Guzmán García Castro, Angélica Lizeth Esc. Preparatoria Reg. de Tala Delgado Parra, Jessica Jaqueline Escuela Preparatoria 2 Quiñonez Mejía, Edgar Omar Esc. Preparatoria Reg. de Zacoalco Sánchez Cobián, Refugio Esc. Preparatoria Reg. de Ahualulco Gallardo Becerra Luigui Michel Escuela Preparatoria de Jalisco Olmedo Ortiz, Daniela Escuela Preparatoria 11 Delgadillo Alcaráz, Virginia Escuela Preparatoria de Tonalá Rivera Jiménez Gerardo Escuela Preparatoria 13 García Santibañez Diana Karen Escuela Preparatoria 7
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TERCEROS LUGARES NIVEL I Espinosa Sánchez, Alfonso Esc. Preparatoria Reg. de La Barca Sánchez Carlos, Josias Abisai Esc. Preparatoria Reg. de La Barca Chitala Márquez, Miguel Esc. Preparatoria Reg. de Tlajomulco Archila López, Carlos Noel Escuela Preparatoria 3 Hernández Paz, Laura María Eremso López López Noé Alejandro Escuela Preparatoria 7 Rodríguez Orozco, Miriam Esc. Preparatoria Reg. de Ahualulco Lua Hobbs, Juan José Esc. Preparatoria Reg. de Chapala Ramírez Aguayo, José Carlos Esc. Preparatoria Reg. de Tala Álvarez Corona, Silvia Araceli Escuela Preparatoria de Jalisco Flores Ríos, Oscar Escuela Preparatoria 2 López Correa, Ángel Emanuel Escuela Preparatoria 8 Zepeda Mora, Alejandro Escuela Preparatoria 8 Aranda, Adrián Rodrigo Escuela Preparatoria 16 González Huerta, Leslie Escuela Vocacional Romo López Carolina Escuela Preparatoria 7 Urrutia Islas Angélica Gisel Centro Educacional Tlaquepaque III Rico Aldana, Manuel Alejandro Esc. Preparatoria Reg. de Atotonilco Castro Ramírez, Gabriel Esc. Preparatoria Reg. de Ameca Arias Quiñones, Gustavo Ervet Esc. Preparatoria Reg. de La Barca Esparza Alba, Saraí Evangelina Esc. Preparatoria Reg. de Tlajomulco Díaz Pérez, Ana Lilia Escuela Preparatoria 12 Vidrio Sahagún, Cuauhtemoc Tonatiuh Escuela Preparatoria 12 Cuevas Gómez, Guadalupe Adriana Esc. Prep. Reg. de San Juan de Los Lagos Huerta Torres, Jaime Osvaldo Esc. Preparatoria Reg. de Arandas Pelayo Ambríz, Lorena Jael Esc. Preparatoria Reg. de Autlán Huerta Ruíz, Josué Marco Antonio Esc. Preparatoria Reg. de Tequila Rivera Venegas, César Alberto Escuela Preparatoria 10 Íñiguez Ochoa, Andrea del Rocío EREMSO Barrera Anduaga Sthepania Escuela Preparatoria 7
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PRIMEROS LUGARES NIVEL II Rangel Villanueva, Sabás Antonio Pérez Lomelí, Eduardo Torres Torres, Víctor Soto Rubio, Diego Tonatiuh Valdivia Contreras, Antonio de Jesús
Escuela Preparatoria 10 Eremso Escuela Preparatoria 2 Esc. Preparatoria Reg. de Autlán Escuela Preparatoria de Tonalá
SEGUNDOS LUGARES NIVEL II Torres Chavarín, Juan Daniel González Quintero, Francisco Juárez Flores, Erick David Camarena Díaz, Mónica Alejandra Torres Rodríguez, Admin Enrique Bravo García, Rodolfo Zepeda García Víctor Hugo Aguirre Basulto, César Alonso
Escuela Preparatoria 5 Escuela Preparatoria 8 Escuela Preparatoria 11 Escuela Preparatoria 11 Escuela Vocacional Esc. Preparatoria Reg. de Atotonilco Esc. Preparatoria Reg. de Ameca Escuela Preparatoria de Tonalá
TERCEROS LUGARES NIVEL II Cobián Medina, Eduardo Chavarría Navarrete, Jesús Ortíz Zepeda, Jorge Aguilar Cortina, Abraham Barajas Ochoa, Jorge Aldo Alcalá Vargas, Nayeli Mata Guerrero, Miguel Alejandro Martín del Campo Godínez, Reynaldo Orozco García, Abraham de Jesús Márquez Muñoz, Antonio de Jesús Villaseñor Ochoa, Gabriel Alejandro Vázquez Pelayo, Hugo César Castillo Orozco, Alejandra Larissa Vázquez González, Omar Montes López, Manuel Alfonso Sánchez Agredano, Guillermo Ramiro Delgadillo Grajeda, Arnoldo
Esc. Preparatoria Reg. de El Grullo Esc. Preparatoria Reg. de La Barca Escuela Preparatoria 2 Esc. Preparatoria Reg. de Ameca Esc. Preparatoria Reg. de La Barca Esc. Preparatoria Reg. de Tala Escuela Preparatoria 3 Escuela Preparatoria 8 Eremso Esc. Prep. Reg. de San Juan de Los Lagos Esc. Preparatoria Reg. de Ciudad Guzmán Esc. Preparatoria Reg. de El Grullo Esc. Preparatoria Reg. de San Martin Hidalgo Esc. Preparatoria Reg. de Arandas Esc. Preparatoria Reg. de Chapala Esc. Preparatoria Reg. de Chapala Esc. Preparatoria Reg. de Sayula
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PROBLEMAS EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS NIVEL I Problema 1 ¿Cuántos enteros mayores que 53 000 tienen las siguientes propiedades: i) todos sus dígitos son diferentes, y ii) los dígitos 0 y 8 no aparecen en el entero
Problema 2 Si N es un número de cinco dígitos que cuando le ponemos un 1 al final resulta que es tres veces más grande que el número que obtenemos cuando le ponemos un 1 al principio; encuentra N.
Problema 3
Determina el valor de x
Problema 4 En una fábrica de juguetes se van a pintar tetraedros regulares todos del mismo tamaño (un tetraedro regular es una figura figura sólida formada con cuatro triángulos equiláteros). equiláteros). Si se pinta cada cara con alguno de los cuatro colores que se tienen tienen en la fábrica. ¿De cuántas maneras distintas se pueden pintar, si en cada cara pueden usar cualquiera de los colores y estos pueden repetirse? (Decimos que dos coloraciones son iguales si los tetraedros pueden girarse a alguna posición de modo que todas las caras correspondientes tengan colores iguales).
Problema 5 Si ABCD tiene área igual a un centímetro cuadrado y M y N son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. ¿Qué área tiene la región sombreada?
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EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS NIVEL I Problema 6 Mi bisabuela Rosa Elena dice que cumplió n años en el año n 2 . Si a n le sumo el número de mes en que nació, tengo como resultado el cuadrado del número del día en que nació. ¿Cuál es la fecha de nacimiento de mi bisabuela Rosa Elena?
Problema 7 Juan está escribiendo números de tres dígitos en tarjetas, pero al escribir el 161 se dio cuenta que le sirve para el 191 cuando pone la la tarjeta de cabeza. Encuentra el mínimo número de tarjetas que necesita Juan para escribir todos los números de tres dígitos, tomando en cuenta que los dígitos 0, 1 y 8 quedan igual al poner la tarjeta de cabeza y que con el 6 se convierte en 9 y viceversa.
Problema 8 Si el paralelogramo ABCD tiene área 1m 2 y los puntos M y N son los puntos medios de los lados AB y CD respectivamente. ¿Qué área tiene la región sombreada?
Problema 9 Encuentra el número entero más pequeño formado solamente con los dígitos 3 y 7, de tal manera que tanto el entero como la suma de sus dígitos sea divisible entre 3 y 7.
Problema 10 Dado el paralelogramo ABCD y M la intersección de sus diagonales, encuentra una línea que pase por M y divida el paralelogramo en dos piezas con las que se pueda armar un rombo
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EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS NIVEL II Problema 11 c d Encuentra los enteros c y d con los cuales 2 2 es igual al número de cuatro dígitos 2c9d, es c d decir, 2 2
2c9d ¿Es única la solución? (Justifica tu respuesta).
Problema 12 ¿Cuántos elementos hay entre 1000 y 9999, con la propiedad de que la suma de sus dígitos sea exactamente 9?
Problema 13 Si el rectángulo ABCD tiene área 1 figura sombreada?
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cm
y M es el punto medio medio del lado AB. AB. ¿Qué área tiene tiene la
Problema 14 Sea N un número entero tal que
N
3 1997 ! 1997!
encuentra la mayor potencia de 3 que divida a
N. NOTA: Recuerda que n!=(1)(2)(3)...(n-1)(n)
Problema 15 Dado un círculo C y dos puntos P y Q en su interior; Construye un triángulo rectángulo inscrito en C; de tal manera que uno de sus catetos pase por P y el otro por Q, ¿para qué posición de los puntos P y Q es imposible hacer la construcción?
EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS NIVEL II Problema 16 Considere un conjunto C formado por veinte puntos del espacio espacio tridimensional. Encuentra el número de planos distintos que contengan al menos tres puntos de C, si sabemos que C contiene un subconjunto S con ocho puntos pertenecientes a un mismo plano y que si cuatro puntos de C están en un mismo plano, entonces esos cuatro cuatro puntos están en S.
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Problema 17 Dos triángulos isósceles se unen como se muestra en la siguiente figura
Pruebe que los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD que se formó, son los vértices de un cuadrado.
Problema 18 Corresponde al problema 9
Problema 19 Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene una cantidad impar de dígitos 1. El 6 no es travieso porque su desarrollo binario, 110, tiene tiene una cantidad par de dígitos 1. Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales a 1999.
Problema 20 Demuestre que el área del paralelogramo ABCE es la misma que el área de la figura curvilínea encerrada por la semicircunferencia semicircunferencia AB y los arcos AD y DB. Observe que los centros de los
arcos AD y DB son los puntos E y C respectivamente y D es el punto medio del lado CD.
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EXAMEN DE LA XIV OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS NIVEL I Problema 21 Encuentra el valor entero positivo de n, para que se cumpla la siguiente igualdad 10
1/11
2/11
10
3/11
10
n/11
. . . 10
= 100 000
Problema 22 En el cuadrilátero ABCD el ángulo en A mide 42o. Se traza la diagonal BD y resulta que el ángulo ABD es el doble del ángulo exterior a B y el ángulo BDA es el doble del ángulo exterior a D. ¿Cuánto mide el ángulo en C ?
Problema 23 Encuentra todos los números de 3 cifras , abc, con a, b y c diferentes a cero, que cumplan la siguiente propiedad abc = a! + b! + c! Aclaración: Si n es un entero n! = 1·2· . . .·n. Por ejemplo, 5! = 1·2·3·4·
Problema 24 En el triángulo isósceles ABC, AB = BC = 12. P es el punto del lado AB, tal que PB = 8 y Q es el punto del lado BC , tal que BQ =8. Los segmentos AQ y CP se cortan en el punto X . Si el área del cuadrilátero PBQX es 8, encuentra el área del triángulo ABC
Problema 25 ¿Cuántos enteros entre 1 y 1 000 000 no son cuadrados perfectos, ni cubos perfectos? Aclaración:
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perfecto si n = k para algún entero k n es cuadrado perfecto 3 m es cubo perfecto si m = p para algún entero p
EXAMEN DE DE LA XIV OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS NIVEL II Problema 26 Encuentra todos los pares de enteros (x,y) tales que 2 2x – 3 2y = 55 Problema 27 En el triángulo isósceles ABC, AB = BC = 12. P es un punto del lado AB, tal que PB = (2/3)AB y
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Q es un punto del lado BC , tal que BQ = (2/3)AB. Los segmentos AQ y CP se cortan en el punto X . Si el área del cuadrilátero PBQX es 8, encuentra el área del triángulo ABC
Problema 28 Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la fila sea siempre múltiplo de 5. ¿Cuál es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la fila? Aclaración: los dígitos son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Problema 29 Sea A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 un octágono regular y sea P el punto de intersección de las rectas A1 A2 y A6 A8.
Sabiendo que la diagonal A1 A5 mide 6 , calcular la medida del segmento PA8
Problema 30 Los números enteros comprendidos entre 100 000 y 999 999 fueron clasificados de la siguiente manera: “ dos números pertenecen a la misma clase si están formados por los mismos dígitos y sólo difieren en el orden”. Por ejemplo: los enteros 552 221 y 125 252 pertenecen a la misma clase. ¿Cuántas clases se formaron?
PROBLEMAS VARIOS Problema 31 Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, a. ¿en cuántas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?, b. ¿en cuántas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener tene r todas las respuestas incorrectas?
Problema 32 Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al policía que el número de matrícula del automóvil tenía las letras DUH seguidas por tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Sí el testigo no puede recordar los otros dos dígitos, pero está seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía.
Problema 33 a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobús?, b) Si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuántas formas es esto posible? c) Si dos personas se rehúsan a seguirse una un a a la otra?
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Problema 34 a) ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6, si cada uno solo puede usarse solo una vez?, b) ¿cuántos de estos números son nones?, c) ¿cuántos son mayores que 330? ¿En cuántas formas pueden sentarse en una línea 4 niños y 5 niñas, si deben colocarse alternadamente?
Problema 35 Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse a. sin restricciones?, b. ¿si se sientan por parejas?, c. ¿si todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres?. ¿En cuántas formas pueden llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas?
Problema 36 ¿Cuántos caminos distintos se pueden seguir para llegar del punto A al punto B en la figura de la “torre petrolera” si solo está permitido moverse hacia abajo y hacia los lados, pero no hacia arriba?
Problema 37 Dados seis puntos en un plano, ¿cuál es mayor número de cuadriláteros que se pueden formar con cuatro de ellos?
Problema 38 En la figura, B es el punto medio de AC, y ED || AC. Demuéstrese que ΔABE = ΔBCD.
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Problema 39 En la siguiente figura los lados grandes y chicos son todos iguales entre sí. Los lados chicos miden la mitad de los grandes. Todos los ángulos son rectos y el área es 200 cm2. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
Problema 40 En la siguiente figura ABCD es un cuadrado. AB = 12. S A’, B’, C’ y D’ son puntos medios de AO, BO, CO y DO respectivamente, encontrar el área de la región sombreada.
Problema 41 En la figura los puntos P, Q, R y S dividen cada lado del rectángulo en razón 1:2. ¿Cuál es el cociente entre el área del paralelogramo PQRS y el área de ABCD?
Problema 42 Hallar el área de un triángulo equilátero de lado 2, y también el área de un triángulo equilátero de lado k.
Problema 43 Un cubo se encuentra inscrito en una esfera cuyo radio mide 1 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del cubo?
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Problema 44 En un triángulo equilátero de papel se doblan las tres esquinas hacia adentro de tal manera que los tres vértices queden justo en el centro del triángulo. Describir el contorno de la figura obtenida.
Problema 45 Cinco triángulos equiláteros, cada uno de lado 2, son arreglados de tal manera que todos ellos están del mismo lado de una línea que contiene un lado de cada uno. Sobre la línea, el punto medio de la base de un triángulo es un vértice del siguiente. ¿Cuál es el área de la región del plano que es cubierta por la unión de los triángulos?
Problema 46 Un cuadrado y un rectángulo tienen áreas iguales. Si el rectángulo mide 25 cm, por 16 cm. ¿Cuál es la longitud de un lado del cuadrado?
Problema 47 La altura de un triángulo equilátero es 12. Determinar la longitud de un lado y el área del triángulo.
Problema 48 Un trapecio tiene lados paralelos de 13 cm y 21 cm de longitud. El lado más largo de los lados no paralelos mide 17 cm y el más corto es perpendicular a los lados paralelos. Calcúlese el área del trapecio
Problema 49 Sea ABCD un cuadrilátero cíclico, una circunferencia C1 que pasa por A y D corta a la recta AB en E, y otra circunferencia C2 que pasa por C y D corta a la recta BC en F. Sea G el segundo punto de intersección de C1 y C2. Muestre que E, F y G son colineales.
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Problema 50 Si AB y CD son dos diámetros de una circunferencia, entonces AC = BD y AC || BD.
Problema 51 Demostrar que las tangentes a una circunferencia en e n los extremos de un diámetro son paralelas.
Problema 52 En la figura, cada una de las circunferencias con centros A, B y C es tangente a las otras dos. Si AB = 10, AC = 14 y BC = 18, determínese el radio de cada circunferencia.
Problema 53 AB es un diámetro de una circunferencia y C y D son puntos de la misma a lados opuestos de AB tales que BC = BD. Demuéstrese que ΔABC ≅ΔABD.
Problema 54 Si dos tangentes a una circunferencia se intersecan, forman un triángulo isósceles con la cuerda que une los puntos de tangencia.
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Problema 55 En la figura de la derecha, si RP = 8, MP = 6 y PQ = 3, calcular KQ
Problema 56 Se da la circunferencia con centro P y, además, CB || PQ. Si BCP = 55°, determínense los ángulos BPQ y APD.
Problema 57 En dos caras no opuestas de un cubo se trazan diagonales a partir de uno de los vértices. Encuentra la medida del á ngulo formado entre ellas. Nota: Un cubo es una figura solida formada por seis caras cuadradas, se puede pensar en un dado.
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Problema 58 El lado del cuadrado grande mide 10 metros. Si se unen los puntos medios de los lados con los vértices, ¿Cuál es el área del cuadro cuad ro central?
Problema 59 Encuentre el mayor número cuyas cifras suman 31.
Problema 60 ¿Cuántos números enteros entre 2 y 2002 son divisibles por 3?
Problema 61 Hallar los números de la forma 1b1cbc divisibles por 63.
Problema 62 Hallar la menor fracción que, dividida por po r ¾, 7/8 y 11/12 dé cocientes enteros.
Problema 63 Encuentra la suma de todos los números impares menores a 1000000.
Problema 64 El primer examen selectivo para la olimpiada de matemáticas en Jalisco tiene 20 preguntas. Cada pregunta tiene un valor de 3 puntos si es contestada correctamente, 0 puntos si es contestada equivocadamente y 1 punto si se deja sin contestar. La calificación de los participantes es la suma de los puntos obtenidos en los 20 problemas. ¿Cuántas calificaciones distintas se pueden obtener en el examen? Si el examen es de opción múltiple y cada problema tiene 4 opciones ¿Qué conviene más? Adivinar las respuestas o dejar el examen sin contestar. con testar.
Problema 65 Supongamos que desea resolverse el problema 1 (la suma de todos los impares menores a 1000000) haciendo toda la operación: “1+3+5+7+9+11+........+999997+999999= ” en una calculadora. Si tardamos 1 minuto en presionar 100 teclas de la calculadora, .cuanto tiempo tardaremos en obtener el resultado de la suma?
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Problema 66 El precio de los dulces en una tienda es menor a $2.00, pero mayor a $1.03. En la tienda se vendieron todos los dulces a un total de $31.45. Si todos los dulces valen lo mismo .cuantos dulces se vendieron?
Problema 67 Encuentra todos los valores de x que sean solución de la ecuación: 8x+2=4x+2x+1.
Problema 68 Los números de dos cifras 96 y 46 tienen la curiosa propiedad de que al multiplicarlos el resultado es igual al obtenido si cambiamos la posición de las cifras de cada uno. Es decir 96x46=69x64. Determina si que existe otro numero de dos cifras; distinto a 46, que tiene la misma propiedad al multiplicarlo por 96 ¿Cuántos números diferentes hay con esa p ropiedad?
Problema 69 Un lógico (L) y un matemático (M) son amigos y cumplen años el mismo día. En una de sus fiestas de cumpleaños platican platican sobre sus respectivas edades. Aquí dialogo: L: Estoy pensando en tres números enteros que multiplicados dan 2450 y sumados dan tu edad. M: Después de pensarlo mucho, no puedo saber con seguridad en cuales números estás pensando. L: Cada uno de los números es menor a mi edad. M: Ahora ya sé cuáles son los números n úmeros en los que estás pensando. Encuentra las edades de ambos amigos.
Problema 70 Un grupo de pintores deben pintar 279 puertas. 186 puertas deben ser pintadas de blanco y el resto deben ser pintadas de negro. Durante la primera mitad del dí a todos los pintores se dedican a pintar puertas blancas. En la segunda mitad del dí a, a, la mitad de los pintores pintan puertas blancas y la otra mitad pintan puertas negras. Las puertas blancas q uedan terminadas justo al terminar el primer dí a, a, pero no todas las negras. El siguiente dí a es dedicado por un solo pintor para terminar de pintar el resto de las puertas negras. .Cuantos pintores habí a? a?
Problema 71 En un baile habí a
28 personas, N de ellas eran mujeres. La mujer 1 bailo con 5 hombres, la mujer 2 bailo con 6 hombres, la mujer 3 bailo con 7 hombres y así sucesivamente hasta la mujer N que bailo con todos los hombres. .Cuantos hombres y cuantas cu antas mujeres habí a en el baile?
Problema 72 Cuando se divide el número 1999 2000 por 5, el residuo es
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Problema 73 Andrés,
Benito, Carlos y Daniel tienen sus oficinas en el mismo edificio. Uno de ellos es abogado, otro es banquero, otro es contador y otro es dentista. Si tenemos la siguiente información: - Daniel es cliente del abogado. - El contador es amigo de Benito, pero p ero ninguno es cliente del otro. o tro. - El dentista tiene como cliente a Daniel. - Ni Andrés ni el dentista conocen a Carlos. ¿Cómo se llama el abogado?
Problema 74 Alberto, Bernardo, Carlos y Diego fueron a cenar c enar en compañía de sus esposas. En el restaurante se sentaron alrededor de una mesa redonda de forma que: I. Ningún marido se sentó al lado de su esposa. II. Al frente de Alberto se sentó Carlos. III. A la derecha de la esposa esp osa de Alberto se sentó Bernardo. IV. No había dos nombres juntos. Entonces la persona que se sentó entre Alberto y Diego, es la esposa de
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SOLUCIONES EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS, NIVEL I Problema 1 Tenemos que 53000 ocupa cinco lugares, y disponemos solo de ocho dígitos; 1,2,3,4,5,6,7 y 9. Para encontrar los de cinco cifras del 53000 al 60000, debemos de cuidar que cumplan con la primer condición (mayores que 53000): 5 C 36 P3 100 3! 600 7 Para los de 60000 al 89999 serán: 3 C 4 P4 8
Para los de seis cifras serán:
C 6
Para los de siete cifras serán:
P6 8
C 7
105 10 5 4!
28 6!
20160
8 7!
40320
P7
2520
Para los de ocho cifras serán: C 88 P8 1 8! 40320 Y son todos. Así la cantidad total es: 600+2520+20160+40320+40320=103920
Problema 2 Tenemos que si N lo escribimos con todas sus cifras de la manera abcde , donde cada letra representa un dígito, así: 3(1abcde=(abcde1) Para que un número multiplicado por 3 resulta con 1 en las unidades, tal número debe tener un 7 en la cifra de las unidades. Entonces c=7. Siguiendo con la multiplicación (3)(d)+2debe tener un 7 en la cifra de las unidades, entonces (3)(d) tiene un 5 en las unidades y entonces d=5 Ahora (3)(a) tiene un 2 en las unidades, u nidades, por lo que a=4 Así, N=42857, es decir, (142857)(3)=428571
Problema 3 Dado el gráfico, los triángulos RSU y WTU son semejantes. De ahí que los segmentos WT=x y RS=450 están en la misma razón que TU y SU. Análogamente para los triángulos triángulos VUS y WTS por los lados WT y VU están en la misma razón que ST y SU. x
TU
450
SU
x
x
TU
ST
ST TU
SU
450 45 0 1
270 27 0 1
SU
SU
SU
SU
x
450
;
270
720
1
121500
x
;
x
ST
270
SU
1;
1
1
1
450
270
x
121500 720
x
1
168.75
23
Problema 4 Si nosotros pintamos los tetraedros usando solo un color en cada uno de ellos, sólo hay una manera por cada uno de los colores que podemos escoger; con 1 color hay 4 formas. Si usamos solo dos colores en cada uno de ellos, hay dos casos: -Si pintamos tres caras de un color y una de otro color, hay dos maneras de hacer esto para cada par de colores que tomemos; -Si pintamos dos caras de cada color, hay una forma para cada par; Entonces hay tres formas de pintar un tetraedro por cada par de colores que escogemos, de entre los cuatro hay para escoger: 4 3 6 18 formas Con 2 colores hay 3 C 2 Si usamos tres colores de los cuatro colores para cada tetraedro tendremos que pintar a fuerzas dos caras del mismo color, y las otras dos de los dos colores que quedan. Entonces, por cada color que escogemos para la pareja de lados iguales, tendremos que escoger un par de colores de entre los otros tres que quedan: 3 4 3 12 formas Con 3 colores hay 4 C 2 Si usamos los cuatro colores a la vez en cada tetraedro, hay dos formas de hacerlo Con 4 colores hay 2 formas Por lo que en total hay: 4+18+12+2=36 formas
Problema 5 En la figura original original trazamos P y Q, puntos medios de los lados lados CD y Da respectivamente. Se trazan las líneas CQ y PB y denotamos como H, I, J y K a las intersecciones de AN y DM; AN y PB; CQ y PB; y DM y CQ respectivamente. Sean S y T las intersecciones intersecciones de la diagonal BD con las líneas CA y AN , respectivamente. De una manera sencilla se puede observar que HIJK
1 5
ABCD
Además, ST es una línea que pasa por el centro de ese cuadrado, y que lo divide por la mitas, por lo que:
KHTS
1
ABCD
10
24
Tomando en cuenta el paralelismo de las líneas CQ y AN, y que Q sea punto medio de DA, entonces, por el Teorema de Tales: DK KH ; 2 KS HT Entonces, haciendo los cálculos precisos, se determina que: DKS
1 3
KHTS
Teniendo en cuenta la simetría de la figura sombreada con respecto a la diagonal BD se tiene que:
Área sombreada =2(DHT)=((DKS)+(KHTS)) =2(DHT)=((DKS)+(KHTS)) 2
4 3
KHTS
2
4
1
3 10
ABCD
por lo tanto, el área sombreada es
4 15
cm 2
EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS, NIVEL I Problema 6 Hay que encontrar un número cuadrado perfecto en este siglo, es decir, que n cumpla la desigualdad 1900 n 2 2000 , lo cual podemos estimarlo porque 402 1600 y 502 2500 entonces 40
44 5 49 7 2 44 20 64 8 , pero no hay mes 20, así que sirve el primero, es decir, nació el mes 5,
en el día 7 de 1936-44 Nació el 7 de mayo de 1892
Problema 7 Hay 900 números de tres tres dígitos del 100 al 999. Al enlistar los los números en orden creciente creciente tenemos 106 606 806 966 108 608 816 109 616 866 116 618 868 118 666 886 119 668 896 161 669 166 686 168 688 169 696 186 698 188 189
25
196 198 199 Si al reflejar al número resulta uno menor o igual lo elimino, porque ya está su tarjeta, entonces hay que hacer 866 tarjetas.
Problema 8 Es suficiente analizar la parte AMND
O es el punto medio de MN ON
1 2
a ONP a DPA a DPA
AD 1 4 1 3
a DPA a NMAD
a ONP ONP
5
a DPA
4
Por lo tanto el área sombreada es
5 1
5
a NMAD
4 3
1
a ABCD
12 2
5 12
Problema 9 Como la suma de los dígitos del entero debe ser divisible entre 7 y entre 3, el dígito 3 debe aparecer un múltiplo de 7, veces y el dígito 7 un múltiplo de 3, veces. Entonces el número buscado al menos deberá tener 10 dígitos, 3 son sietes y 7 son 3’s. La suma de esos dígitos es 3(7)+7(3)=42, que es divisible entre 7 y 3, además el entero es divisible entre 3. Solo falta encontrar alguna manera de acomodar los tres y sietes, para que sea divisible entre 7.
26
9
8
0
Vamos a analizar el número 3 333 333 333 y a través de los residuos de 3 10 ,3 10 ...3 10 para luego acomodar los 3 7’s 7 ’s para que su suma sea divisible entre 7. Número residuo 0 3 3 10 1 2 3 10 2 6 3 10 3 4 3 10 4 5 3 10 5 1 3 10 6 3 3 10 7 2 3 10 8 6 3 10 9 4 3 10 La suma de los residuos es 36, que al dividirlo entre 7 deja residuo 1, así que los tres “7” los debemos poner en lugares suya suma de residuos sea 1, 8, 15 etc. Para que al quitarlos quede un múltiplo de 7, (36-1=35, 36-8=28, 36-15=21, 36-22=14, etc.) Exponentes residuos suma 0,1,6 3,2,3 8 0,2,8 3,6,6 15 0,3,5 3,4,1 8 1,3,7 2,4,2 8 1,4,5 2,5,1 8 2,3,4 6,4,5 15 la más chica es 4 En la columna “exponentes" el tercer dígito, indica la máxima potencia, así que la en 2,3,4 eso quiere decir que 3 333 377 733 es el menor de esos números que lo divide el 7.
Problema 10
Por el punto M, donde se intersecan las diagonales, lo usamos como centro y con radio igual a 1 2
AB , localizamos a P y Q en DC y BA, los cuales son los extremos de un diámetro. diámetro.
Ahora si recortamos por PQ, y armamos las piezas AQPD y QBCP, uniéndolas por los lados AD y BC, así queda un rombo de lados igual a AB.
27
EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS, NIVEL II Problema 11 c d 2c9d entonces el 9 y el 2 dividen a 2c9d, por lo cual el número d Como tenemos que: 2 9 debe ser par de un dígito, o sea 2, 4, 6 u 8. 5 2 32 81 2592 , con lo cual ya encontramos los Probemos con d=2, entonces c=5 y: 2 9 números buscados. Además, es la única solución, porque para d=4, tenemos que: 9 4 6561 2c94
Problema 12 Como la suma de los cuatro dígitos debe ser 9, voy a considerar casos donde use (1,2,3,4,5,,,6,7,8,9). Caso 1: Usando un dígito (4 formas) -con el 3 hay tres posibilidades 3330, 3203, 3033, -con el 9 solo hay una posibilidad 9000 Caso 2: Usando dos dígitos diferentes (59 formas) -si no repetimos dígitos: sólo las parejas (8,1), (7,2), (6,3) y (5,4) suman 9, así que basta con contar cuantos números de cuatro dígitos generan una de las parejas, lo cual es equivalente a los lugares donde podemos poner los ceros, que son 3; en total son (3)(2)(4)=24 -Si repetimos uno de los dígitos usando solo un cero; esto se puede con las parejas (1,4), (1,7) y (2,5); por ejemplo, con la pareja (1,4) hay h ay 9 formas diferentes. Entonces son (9)(3)=27 posibilidades. -Si repetimos uno de los dígitos y no usamos el cero: esto solo se puede hacer con las parejas (1,6) o (2,3), por ejemplo 1161, de manera que son cuatro formas, según donde se encuentre el 6, y de manera análoga para 2223 , así que de este sub-caso hay 8 posibilidades. Caso 3: Usando 3 dígitos diferentes (102 formas) -Usando 3 dígitos diferentes, sin repetir ninguno tenemos las ternas: (1,2,6), (1,3,5) y (2,3,4) y para cada uno hay 18 posibilidades, que corresponden a (3)(3!), el 3 por los lugares donde ponemos el cero y el 3! A las permutaciones de los 3 dígitos diferentes. diferentes. En total son 54 posibilidades, -Usando 3 dígitos diferentes, pero repitiendo uno de ellos, esto se logra con las ternas (1,2,3), (1,2,4), (1,3,4) y (1,2,5). Por ejemplo 1233 usando la primera terna son (4!)/2=12 posibilidades. posibilidades. Considerando las cuatro ternas serán (12)(4)=48 posibilidades. En total serán 4+(24+27+8)+(54+48)=165
Problema 13
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Dada la figura original (sólo invertida) llamemos E el punto de intersección de la diagonal AC con el segmento MD. Observemos que el triángulo EMA es semejante con el EDC y además la razón de semejanza es 1:2 Entonces, la altura de EMA es la mitad de la altura de EDC y las dos juntas forman la altura del rectángulo ABCD. Con lo cual, tenemos que: (EDC)=4(EMA) Haciendo el cálculo correcto, tenemos que: 2
4 EMA
EDC
EDC
EMA 1
Además BCM
4
1
ABCD
6 1
1
3
12
ABCD
3
ABCD
ABCD
Entonces, el área de la figura sombreada será: CEM
ABC
1
CEM CEM
BCM
1
ABCD
2
EMA
1
ABCD
4
ABCD
12
1
1
1
1
2
4
12
6
Problema 14 3 1997 !
1 2 3
3 1
3;
3 2
3 1997 !
Luego,
3 1997 ! 1997!
5991 de estos 5991 números, los que son múltiplos de 3 son: 6;
3 1997
3 1 3 2 3 3
5991 , entonces
3 1997 K donde K es primo relativo con 3.
(3)(1)(3)(2)(3)....(3)(1997)(K ) (1)(2)(3)...(1997)
Problema 15
29
1997
3
Dados P y Q dos puntos en el plano, el lugar geométrico de los puntos R que son vértices de ángulo recto, cuyos lados pasen por los puntos P y ¡, es la circunferencia de la cual el segmento PQ es diámetro. Entonces, nuestro problema tendrá solución en los casos en que la circunferencia de al cual PQ es diámetro, toque a la circunferencia circunferencia del problema original. Por lo tanto tendremos los siguientes casos: Caso 1:
La circunferencia de PQ corta a la circunferencia original en dos puntos. Entonces tomamos cualquiera de los puntos de intersección y trazamos las líneas que pasan por ese punto y por P y Q respectivamente. Así tendremos los catetos del triángulo buscado. Caso 2:
30
Cuando la circunferencia de PQ es tangente interiormente a la circunferencia original. Entonces, solo hay una solución, la cual es tomar el punto de tangencia y trazar desde él, líneas que pasen por los puntos P y Q. Así tendremos los catetos del triángulo buscado. Caso 3
Dado que, en este caso la circunferencia de PQ no toca a la circunferencia original, entonces no hay solución, ya que como mencionábamos anteriormente, el único lugar donde puede haber un ángulo recto en el cual P y Q estén sobre sus lados es el círculo del cual PQ es un diámetro.
EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS, NIVEL II Problema 16 Como 3 puntos determinan un plano, de los 12 puntos que no están en S, cada 3 puntos definen un plano, en total son serán 12
12 11
8 7 2!
2!
8
12 11 10 3!
528 52 8 planos,
220 22 0 planos. Si seleccionamos 2 puntos de los 12 y uno de S,
si seleccionamos 1 punto de los 12 y los otros de S, serán serán
336 . El número total de planos diferentes es: 220+528+336=1084, más el plano que
contiene a S. 1085 planos diferentes.
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Problema 17
AC y DB son las diagonales del cuadrilátero. KN y ML son líneas medias en los triángulos ABD ABD y BCD, así que son paralelas a BD y tienen la mitad mitad de la longitud que BD. De manera análoga KL y NM son paralelas a AC y sus longitudes son iguales a la mitad de la de AC. Una rotación de 90º alrededor del punto O lleva A en D y C en B, es decir lleva AC en DB. Esto significa que las diagonales son iguales y perpendiculares, de lo cual se deduce que NK y NM son iguales y perpendiculares. Por lo tanto KLMN es un cuadrado.
Problema 19 Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene una cantidad impar de dígitos 1. El 6 no es travieso travieso porque su desarrollo binario, binario, 110, tiene una cantidad par de dígitos 1. Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales a 1999. 1999=1+2+3+4+8+64+128+256+512+1024 =11111001111 ES TRAVIESO 1 es travieso, 2 2 10 es travieso ... C 20
100 y 111 son
C 22
2
2
1
1000, 1011, 1101, 1110
C 3
0
C 3
4
10000, 10011, ..., 11111
C 40
C 42
C 44
100000, ... ,111110 ... ... 1000000000, -.., 1111111110
C 5
0
C 5
2
C 5
0
C 9
2
C 9
son 1 1 2 2 2 1111100_ _ _ _
4
C 9
... ...
6
C 9
2
8
8
C 9
0
C 8
2
1
C 8
2
1 6 1
4
2
C 8
2
1 10
8
... C 8
9 10 2 menores que 2 y C 40 C 42 C 44 2 3
11110_ _ _ _ _ _
C 6
1
C 6
3
1110_ _ _ _ _ _ _
C 7
0
C 7
2
5
C 6
4
C 7
32
2
5 6
C 7
2
5
8 5
2
8
2 16
3
2
4
110_ _ _ _ __ _ _ _ _
C 8
0
C 8
3
... C 8
7
2
7
10 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
C 9
0
C 9
2
... C 9
8
2
8
de 2
9
esta 2
8
2
7
parte 2
6
2
5
2
3
23
25
26
27
28
512 256 128 64 32 8
en
total
hay
100
números traviesos
Problema 20 El sector CBD tiene la misma misma área que el sector EAF. LA región FADE tiene la misma área que la región sombreada menos GBD y el sector sector sobre FE corresponde al de AG. La región GBD la comparten. -+
LA SOLUCIÓN DE LOS DEMÁS PROBLEMAS SE DEJAN AL LECTOR.
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BIBLIOGRAFIA http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/ Flores. Solución de problemas y temas iniciales para la olimpiada de matemáticas. M. L. Pérez. Combinatoria (Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas). Instituto de Matemáticas de la UNAM 2008. M. L. Pérez. Teoría de Números (Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas). Instituto de Matemáticas de la UNAM 2008.
CREDITOS: MARÍA DEL PILAR MORFÍN HERAS IRMA OLIVIA ESTRADA SÁNCHEZ ARTURO FERNANDO RICO JOSÉ JAVIER GUTIERREZ PINEDA ÁNGEL ERNESTO JIMÉNEZ BERNARDINO
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