Problema resuelto de linealización Linealización Nuestro objetivo es mostrar cómo resolvemos un problema de linealización alrededor de un punto de operación operación cualquiera. cualquiera. Para ello utilizaremos utilizaremos un ejemplo de tanques tanques interconectados interconectados como se muestra en la Figura 1
Planteamos las ecuaciones de conservación de conservación de masa. Suponiendo que el a´rea A de los tanques es constante, y la misma en ambos tanques, tenemos que
d h1 ( t ) dt
= 1 ( q i− q ) A
12
y
d h 2( t ) 1 = ( q 12−q o) dt A
Donde qi es el caudal de entrada al primer tanque, q12 el caudal entre tanques, y qo el caudal de salida del seundo tanque. !as alturas de nivel de l´"quido en los tanques son h1 y h2. #l $lujo q 12 entre los dos tac%os puede ser apro&imado por la velocidad del caudal en ca'da libre de la di$erencia de altura entre los tanques por el a´rea de sección´n. sección´n. (s´",
q12= A s √ 2 g ( h1 ( t ) −h2 ( t ) ) =k √ h1 ( t )− h2 ( t )
Donde)
y
q o=k √ h2 ( t )
k = A s √ 2 g
Por lo que si reemplazamos *2+ en *1+, obtenemos las siuientes ecuaciones de estados
1
( q − k √ h1 ( t )−h 2 ( t )) A i k √ h 1 ( t )−h2 ( t ) −k √ h2
[
]
¿= F ( h ,q ) = F ( h , q ) A F ( h ,q ) ¿ h =¿ 1
1
1
2
1
1
[] 1
h2
ijando el caudal de entrada en el valor constante q i Q y resolviendo las ecuaciones alebraicas que suren de *-+ con h˙ 0, obtenemos el punto de =
=
equilibrio h ¯
h´ 1=2 h´ 2
[
y
−k ∂ F 2 A √ h −h = A = ´ h= h ∂h
|
|
q1=Q
[] 1
=Q
2
2
k
k 2 A √ h1−h 2 1 2 −k k k − 2 A √ h1−h2 2 A √ h 1−h2 2 A √ h2
∂ F A = = A ∂ h hq= ´h 1
( )
Q h´ =
0
#ntonces el sistema linealizado resulta
⇒
( )
´h =2 Q 2
2
k
]| [ ] 2
−k
2
k 2 AQ = 2 AQ 2 2 k −k h= ´ h 2 AQ AQ q = 1
Q
[ ][ ] [ ] 2
−k
2
k ´h1 δ 2 AQ 2 AQ h´ 1 δ 1 = 2 + A q iδ 2 ´h2 δ ´ k − k h2 δ 0 2 AQ AQ
[ ]
donde las variables h1δ , h2δ y q i δ representan valores incrementales alrededor de los valores de equilibrio h ¯ 1,h ¯ 2 yQ imulación #l sistema linealizado que obtuvimos en *+ es un modelo apro&imado que describe la din/mica del sistema oriinal en un entorno del punto de operación *0+. Para comparar la apro&imaciónn dada por el modelo lineal izado con el modelo no lineal, simulamos juntos ambos sistemas en el esquema que se muestra en el diarama de bloques de la iura 2. Para simular el sistema linealizado *+ en S 2 3imu lacion usamos el diarama de la iura - tomando A 15, 1, g 6.7 y Q 2. !a dina´mica de los estados h18 y h28 la podemos ver en As 4
4
4
4
la iura cuando la entrada es un valor constante de perturbacio´ n, qi 8
4
5..
Podemos, tambi9n representar en S 2 3 : ! 2 N ; el sistema no lineal, iura 0, donde cn es la ecuacio´n matem/ tica e&presada en la ecuacio n *-+ como F 1 *h, qi + y cn1 como F 2 *h, qi +. !a dina´mica de los estados que resulta de dic%a simulacio´n la observamos en la iura <. !a comparacio´n entre la apro&imacio´n y los estados reales, la observamos en la iura =. Podemos observar una pequen> a desviacio´n de los estados que apro&imamos con respecto a los reales, esto se debe a que el sistema lineal es una buena
apro&imacio´ n en un entorno del punto de operacio´ n. Si tomamos valores de qi 8 menores, la apro&imacio´n es mejor. Siempre que utilicemos modelos linealizados debemos tener en cuenta que no podemos alejarnos del punto de operacio´ n ya que si as´" $uera, el sistema linealizado no estar´"a describiendo nuestro sistema oriinal
Linealizacio!n
!rica con
nume
"# $L"%&
?a vimos los ca´lculos que tenemos que %acer cuando tenemos un sistema no lineal para linealizarlo alrededor del punto de operacio´n. S 2 3 : ! 2 N ; cuenta con una %erramienta que permite obtener modelos lineales en $orma nume´rica. Para ello tenemos que implementar el diarama de la iura 0, indicando como condiciones iniciales de los bloques interadores el punto de operacio´ n previamente calculado. !ueo seuir los siuientes pasos) 1 Del menu´ tools de la ventana de S 2 3 : ! 2 N ; con el modelo, seleccionar el submenu´ !inear (nal ysis@ se despleara´n dos nuevas ventanas) !A2BieCer y 3odel 2nputs and utputs. 2 De la ventana 3odel 2nputs and Dutputs tomar con el mouse la $lec%a nput Point y arras trarlo %asta la entrada del sistema no lineal. Eacer lo mismo con utput Point, pero arrastrarlo %asta la salida. - De la ventana !A2BieCer, seleccionar el menu´ SimulinF y el submenu´ Get !inearized 3od el. !ueo de unos seundos aparecera´ en esta ventana la respuesta al escalo´ n del sistema *ya linealiza do+. 0 De la misma ventana, seleccionar el menu´ ile y el submenu´ #&port. De la ventana que se despliea eleir la opcio´ n #&port to HorFspace para visualizar el valor de las matrices que resultaron de la linealizacio´ n. De la ventana HorFspace tipear el nombre con el que e&portaron el modelo lineal *en eneral toma el nombre del arc%ivo de S 2 3 : ! 2 N ; y le area I 1I+. Si por alu´ n motivo no se sabe el nombre de dic%a variable, tipear ”who” para conocer todas las variables que se encuentran de$inidas. De esta $orma obtenemos las matrices A, B, C y D del sistema linealizado alrededor del punto de operacio´ n de$inido por las condiciones iniciales del sistema no lineal.
