Sistemas interactuan interactuantes tes
Para ilustrar un sistema interactuante, derivaremos la función de transferencia para el sistema mostrado en la Fig. 8.14b 8.14b. el análisis comienza escribiendo los balances de masa para los tanques como en el caso de no interactuantes. Los balances en los tanques 1 y 2 son los mismos y están dados por las Ecs. ( 8.21 8.21)) y (8.22 8.22). ). Un balance en el tanque 1 da
Un balance en el tanque 2 da
Sin embargo la relación de flujo a nivel para el tanque 1 es ahora
La relación de flujo a nivel para R para R2 es la misma del caso anterior y esta expresada por la Ec. Ec . (8.24). Una vía simple para combinar las Ecs. (8.21 ( 8.21), ), (8.22 8.22), ), (8.24 8.24), ), y (8.33) es expresándolas primero en términos de las variables de desviación, transformar las ecuaciones resultantes, y luego combinar las ecuaciones transformadas para eliminar las variables no deseadas. Las relaciones entre el flujo y el nivel dadas por las resistencias lineales son
Al estado estacionario, las Ecs. (8.21 (8.21)) y (8.22 (8.22)) pueden escribirse
q s – q1s = 0 q1s – q2s = 0
(8.34) (8.35)
Restando la Ec. (8.34) de la Ec. (8.21) y la Ec. (8.35) de la Ec. ( 8.22) e introduciendo las variables de desviación da
Expresando las Ecs. (8.33) y (8.24) en términos de las variables de desviación da
Transformando las Ecs. (8.36) a la (8.39) de Q(s) – Q1(s) = A1 sH 1(s) Q1(s) – Q2(s) = A2 sH 2(s) R1Q1(s) = H 1(s) – H 2(s) R2Q2(s) = H 2(s)
(8.40) (8.41) (8.42) (8.43)
El análisis ha producido cuatro ecuaciones algebraicas conteniendo cinco incógnitas: (Q, Q1 , Q2 , H 1, y H 2). Estas ecuaciones se pueden combinar para eliminar Q1 , Q2, y H 1 y llegar a la función de transferencia deseada:
Notar que el producto de las funciones de transferencia para los tanques operando separadamente, Ecs. (8.25) y (8.26), no produce el resultado correcto para el sistema interactuante. La diferencia entre la función de transferencia para el sistema no interactuante, Ec. (8.27), y el sistema interactuante, Ec. (8.44), es la presencia del término A1 R2 en el coeficiente de s. El termino interactuante es a menudo referido como una carga. El segundo tanque de la Fig, 8.14b se dice carga al primer tanque.
Reemplazando valores en la Ec. (8.44) se tiene
Y la respuesta para un escalón unitario es
Para este ejemplo, vemos que el efecto de la interacción ha sido el cambio efectivo de las constantes de tiempo del sistema interactuante. Graficando para el sistema no interactuante, Ec. (8.31) y el sistema con interacción, Ec. (8.46) se tiene » num1=[0 0 1]; » den1=[1 2 1]; » num2=[0 0 1]; » den2=[1 3 1]; » [y1,x1,t]=step(num1,den1,t); » [y2,x2,t]=step(num2,den2,t); » plot(t,y1,'-',t,y2,'-') » grid » xlabel('Tiempo: t') » ylabel('Salida: H2(t)')
Fig. 8.16 Efecto de la interacción para dos tanques Otra forma:
>> G1=tf(1,[0.5 1])
<----- Primer tanque
Transfer function: 1 --------0.5 s + 1
<----- Segundo tanque tanque
>> G2=tf(1,[1 1]) Transfer function: 1 ----s + 1
<----- Dos tanques en serie
>> G=G1*G2 Transfer function: 1
------------------0.5 s^2 + 1.5 s + 1 >> step(G2)
<----- Para el segundo tanque solamente
>> hold on >> step(G)
<----- Para la función de transferencia total