Solución problema 5 manual y con software Se estudia el efecto de 5 ingredientes diferentes (A, B, C, D, E) sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material nuevo solo alcanza para permitir la realización de 5 corridas. Además cada corrida requiere aproximadamente 1 ½ horas, por lo que pueden realizarse solo 5 corridas en un día. El experimentador decide realizar el experimento como un cuadrado latino para que los efectos del día y el lote puedan controlarse sistemáticamente. Obtiene los datos que se muestran enseguida. Analizar los
datos de este experimento (utilizar α 0.05) y sacar conclusiones Día Lote 1 2 3 4 5 1A=8B=7D=1C=7E=3 2 C = 11 E = 2 A = 7 D = 3 B = 8 3 B = 4 A = 9 C = 10 E = 1 D = 5 4 D = 6 C = 8 E = 6 B = 6 A = 10 5E=4D=2B=3A=8C=8 Realizar el modelo lineal aditivo Yijk = µ + τі + ρj +λk +λk + εijk
Yijk = La velocidad obtenida (tiempo de la reacción de un proceso químico) con el i-esimo lote, en el j- esimo día (fila), con el k- esimo ingrediente debe ser igual a µ. µ= Es una constante común a todos los niveles, la media general de los ingredientes utilizados en la reacción de un proceso químico τі: Efecto del i -esimo lote ρj: Efecto del j - esimo día λk: Efecto del k - esimo ingrediente εij: si las variaciones no se explican con las variables anteriores, se le atribuye a un error. Discutimos que tipo de modelo es y justifi justificamos camos la respuesta Se está hablando de un modelo tipo III o mixto ya que existen 5 ingredientes únicos los cuales se podría decir contienen un efecto fijo (el utilizar otro ingrediente alteraría los posibles resultados), resultados) , por otro lado estos experimentos se realizan en días distintos por tanto esta variable es aleatoria ya que se podría realizar cualquier día de la semana y no afectar los resultados, por último los lotes también es aleatorio porque se puede extrapolar los lotes con estos mismos ingredientes y no alterar el resultado. Supuestos e hipótesis que corresponden con el modelo son SUPUESTOS Normalidad Se cumple el supuesto de normalidad, se observa un comportamiento similar a una recta de 45 grados, y un W cercano a 1, con p mayor a 0,05, por lo cual se afirma que la
Solución problema 5 manual y con software variable tiene un comportamiento normal. Independencia de los errores Los calculamos por medio del software Runs Test for T Mean 5.8800 Values Above the Mean 15 Values below the Mean 10 Values Tied with the Mean 0 Runs Above the Mean 9 Runs Below the Mean 8 Total Number of Runs 17 Expected Number of Runs 13.0 P-Value, Two-Tailed Test 0.1342 Probability of getting 17 or fewer runs 0.9754 Probability of getting 17 or more runs 0.0671 Cases Included 25 Missing Cases 0 Tenemos un p mayor a 0,05 por lo tanto se estima existe independencia de los errores. Homogeneidad de las varianzas Completely Randomized AOV for T Source DF SS MS F P LOTE 4 15.440 3.86000 0.40 0.8037 Error 20 191.200 9.56000 Total 24 206.640 Grand Mean 5.8800 CV 52.58 Chi-Sq DF P Bartlett's Test of Equal Variances 2.15 4 0.7081 Cochran's Q 0.2866 Largest Var / Smallest Var 4.2813 Component of variance for between groups -1.14000 Effective cell size 5.0 LOTE Mean 1 5.2000
Solución problema 5 manual y con software 2 6.2000 3 5.8000 4 7.2000 5 5.0000 Observations per Mean 5 Standard Error of a Mean 1.3828 Std Error (Diff of 2 Means) 1.9555 Se obtiene un valor de p mayor a 0,05, por lo tanto hay igualdad de varianzas. HIPOTESIS DEL MODELO Tratamientos Efecto Fijo (Modelo tipo I)
Filas Efectos aleatorio (Modelo tipo II)
Columnas Efecto aleatorio (Modelo tipo II)
ANAVAR (con el programa) Analysis of Variance Table for T Source DF SS MS F P DIA 4 12.240 3.0600 0.98 0.4550 INGREDIEN 4 141.440 35.3600 11.31 0.0005 LOTE 4 15.440 3.8600 1.23 0.3476 Error 12 37.520 3.1267 Total 24 206.640 Grand Mean 5.8800 CV 30.07
Solución problema 5 manual y con software ANAVAR (manualmente) Día Lote 1 2 3 4 5 Total 1 A = 8 B = 7 D = 1 C = 7 E = 3 y.1.= 26 2 C = 11 E = 2 A = 7 D = 3 B = 8 y.2. = 24 3 B = 4 A = 9 C = 10 E = 1 D = 5 y.3. = 29 4 D = 6 C = 8 E = 6 B = 6 A = 10 y.4. = 36 5 E = 4 D = 2 B = 3 A = 8 C = 8 y.5. = 27
Total y.. 1 = 26 y.. 2 = 28 y.. 3 = 27 y.. 4 = 25 y.. 5 = 36 y… 142 Ho = µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 Ha = algunas medias son diferentes. Suma de cuadrados totales SC totales = ∑_i ∑_j ∑_k▒ 〖Yijk- 〖y…〗^2/N〗 SC totales = 1002 – 〖(142)〗^2/25 SC totales = 195,44 Suma de cuadrados de los lotes (filas) SS lotes = 1/p ∑_(i=1)^p▒ 〖 y〗 _(..j)^2 - 〖y…〗^2/N SS Lotes = 17,04 Suma de cuadrados de los días (columnas) SC días = 1/p ∑_(i=1)^p▒ 〖 y..〗 _k^2 - 〖y…〗^2/N SC días = 15.44 Suma de cuadrados entre los ingredientes Letra latina Total por ingrediente A y.1. = 42 B y.2. = 28 C y.3. = 44 D y.4. = 17 E y.5. = 16
SC ingredientes = 1/p ∑_(i=1)^p▒ 〖 y.〗 _j^2 - 〖y…〗^2/N SC ingredientes = 199,24 ANAVAR Fuentes de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Fc Ingredientes 199,24 4 49,81 3.59 Lotes 17.04 4 4,26 Días 15.44 4 3,86 Error 166.76 12 13,89 Total 195.44 24 8.143
