2.8 Distribución Marginal conjunta Probabilidad Marginal En el ca caso so de un una a di dist stri ribu buci ción ón bi biva vari riab able le (U (Una na di dist stri ribu buc ció ión n co con n do dos s características), muchas de las veces solo se tiene interés en la distribución de probabilidades de variables individuales consideradas separadamente. No obstante, la distribución de probabilidades univariables de cada una de las vari va riab able les s in indi divi vidu dual ales es pu pued ede e se serr ob obte teni nida da me medi dian ante te la su suma ma de la las s probab pro babilid ilidade ades s con conjun juntas tas a tra travé vés s de fil filas as o col column umnas as de una tabla que represente las variables. Marginal: omportamiento de una variable sin considerar otra. !ara la variable aleatoria "# Px ( x ) ≡ P[ X = x ] = ∑∀y p xy ( x, y i ) •
i
•
Fx ( x ) ≡ P[ X ≤ x ] = ∑x ≤x p x ( x i ) = Fxy ( x , ∞) lo cual es i$ual a
•
∑x x ∑ y p xy ( x i , y i )
i
i≤
∀
i
%imilarmente se hace para la variable aleatoria & Probabilidad Conjunta En un espacio muestra bivariable o multivariable cada resultado posible hace refe re fere renc ncia ia a do dos s o m' m's s ca cara ract cter erís ísti tica cas. s. En Ento tonc nces es la pr prob obab abil ilida idad d de un resultado resu ltado conjun conjunto to es denotado denotado de la si$uie si$uiente nte forma# forma# ! (ᴖ*) ( + * son variables del conjunto). Conjunta: uando Conjunta: uando dos o m's variables tienen comportamientos conjuntos •
Pxy ( x , y)
•
Fxy ( x , y) ≡ ∑x
≡
P[( X
=
i ≤x
x ) (Y
∑y
=
y)]
p xy ( x i , y i ) lo
i ≤y
cual
es
i$ual
a
P[(X ≤ x ) (Y ≤ y)]
Probabilidad Condicional Usualmente, es deseado conocer la probabilidad de que un evento ocurra, dado da do qu que e un se se$u $und ndo o ev even ento to oc ocur urra ra a su ve ve. . Es Esto to si si$n $nif ific ica a qu que e la probabilidad de que un evento se dé, esta condicional a un se$undo evento que permita el desarrollo del mismo. Condicional: %i Condicional: %i se conoce el valor de una de las variables aleatorias "-+, las probabilidades relativas de los diferentes valores de la otra variable est'n dados por p xy ( x , y 0 ) , se tiene una fmp condicional de & dado ".
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2.8 Distribución Marginal conjunta
•
Px / y ( x, y) = P[X = x / Y = y] =
•
Px / y ( x , y) =
p xy ( x , y) p y ( y)]
=
P[(X = x) (Y = y)] P[Y = y]
p xy ( x , y)
∑ x p xy ( x i , y) ∀
, lo cual equivale a
.
i
%e cumple adem's lo se/alado anteriormente
•
0 ≤ ox / y ≤ 1 y
∑
p (x i , y) = 1 .
∀ xi x / y
!ara " dado &. Conjunta a partir de las probabilidades Marginales y Condicionales •
Pxy ( x , y)
p x / y ( x , y) p y ( y)
=
p y / x ( y, x ) p x ( x )
=
0unción de distribución de probabilidad# •
P[ x1 ≤ X ≤ x 2] =
x2
y2
∫ ∫ x1
y1
f xy ( x, y)dydx
1a función de distribución de probabilidad satisface# f xy ( x , y) ≥ 0 "
∫∫ f
xy
( x , y )dxdy =1 para todo el intervalo
" la cumulada, F xy ( x, y ) = P [( X = x ) ∧ (Y = y )] = P [( − ∞ ≤ X ≤ x ) ∧ ( − ∞ ≤ Y ≤ y ) ] = x
y
∫ ∫ f −∞ −∞
xy
( x 0 , y 0 )dy 0 dx 0 ∂ FXY ( x , y) ∂ x∂ y
f xy ( x, y) =
2e donde,
Función de distribución de probabilidad marginal y Condicional. 2ensidad conjunta se inte$ra sobre valores de " + se tiene función de distribución de probabilidad mar$inal de &# ∞
∫ f
f X ( x ) =
FX ( x ) =
− ∞ XY
x
∫ f
−∞ X
( x , y )dy
( x 0 ) dx 0 = FXY ( x , ∞)
" para la ondicional#
!or lo cual, f X / Y ( x, y) =
∂ F ( x , ∞) ∂x XY
f XY ( x , y 0 )dx
−∞
f XY ( x , y) f Y ( y)
FX / Y ( x , y) = P[ X ≤ x / Y = y] =
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∞
∫
f Y ( y 0 ) =
3 sea, f X ( x ) =
x
∫
−∞
f X / Y (u, y)du
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2.8 Distribución Marginal conjunta
Ejemplo# a partir del ejemplo que vimos en la lección anterior (serie con los pesos + medidas de los alumnos de una clase) vamos a estudiar sus distribuciones mar$inales.
Estatura / Peso !%2! !%22 !%2 !%2# !%2$ !%2& !%2' !%28 !%2( !%)
! "g
2 "g
4 5
4
cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm
"g
# "g 4 4 4
$ "g
1as variables mar$inales se comportan como variables unidimensionales, por lo que pueden ser representadas en tablas de frecuencias. a* Distribución marginal de la +ariable , -estatura* 3btenemos la si$uiente tabla de frecuencia#
ariable -Estatura* 66 ,4 ,44 ,45 ,49 ,4; ,48 ,4< ,4= ,4: ,5
Frecuencias absolutas Frecuencias relati+as imple 0cumulada imple 0cumulada 66 66 66 66 5 5 ,7 ,7 5 8 ,7 4,7 8 ,7 4,7 5 : ,7 5,7 5 4 ,7 9,7 4 ,7 9,7 8 = 4,7 8,7 5 4 ,7 <,7 8 4< 4,7 :,7 5 5 ,7 ,7
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2.8 Distribución Marginal conjunta
b* Distribución marginal de la +ariable 1 -peso* 3btenemos la si$uiente tabla de frecuencia# ariable -Peso* 66 5 54 55 59 5;
Frecuencias absolutas Frecuencias relati+as imple 0cumulada imple 0cumulada 66 66 66 66 8 8 4,7 4,7 8 4 4,7 9,7 8 = 4,7 8,7 < 4; 45,57 =5,57 ; 5 8,87 ,7
Fuentes consultadas:
http#>>???.aulafacil.com>ursoEstadistica>1ecc@@est.htm
???.itescam.edu.m6>principal>s+labus>fpdb>recursos>r<<8;.23
es.?iAipedia.or$>?iAi>2istribuciónBmar$inal
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