Prirucnik za rad u Simulinku Matlab

SIMULINK MATLAB Softver za modeliranje, simulaciju i analizu inamičkih sistema

Uopšteno o SIMULINK-u SIMULINK-u •

•

•

•

upotrebljava se za simulaciju dinamike sistema (u grafičkom grafičkom okruženju) okruženju) mogu se analizirati linearni, nelinearni, vremenski kontinualni ili diskretni multivarijabilni sistemi sa koncentrisanim koncentrisanim parametrima radi kao proširenje MATLAB-a proširenje MATLAB-a  –

dodaje osobine karakteristične inamičkim inamičkim sistemima  sistemima

 –

zaržava MATLAB-ovu zaržava  MATLAB-ovu funkcionalnost

koristi se blok dijagram prozor kao glavni grafički grafički alat  –

•

model se formira kao blok dijagram upotrebom miša

simulacija se ostvaruje upotrebom SIMULINK funkcija za numeričko rešavanje običnih diferencijalnih diferencijalnih jenačina  jenačina prvog  prvog reda

Upotreba SIMULINK-a •

upotrebljava se u dve faze  –

formiranje formir anje simulacionog modela (Model-Based Design)

 –

analiza modela - simulacije U praksi se primenjuju oba koraka koraka iterativno dok se ne dostignu željena  ponašanja. Preporučuje se formiranje novog modela na osnovu postojedeg ,  početka” a”.. tj. ne treba raditi “ sve sve iz početk

Simulink proširenja •

Brojni harver i softver se oslanjaju/proširuju Simulink

•

Stateflow uvodi rad sa dijagramima stanja.

•

•

•

•

Real-Time Workshop Workshop generiše C kod za real-time implementacije sistema u proizvodnji, dizajn embedded system-a. xPC Target zajedno sa x86-zasnovanim real-time sistemima sistemima pruža okruženje za simulacije i testiranje Simulink i Stateflow modela u relanom vremenu na PC računarima. računarima. Poržane Poržane su i ruge brojne platforme (Infineon C166, Motorola 68HC12, Motorola MPC 555, TI C2000, TI C6000).

automatsko generisanje VHDL i Verilog-a. Simulink HDL Coder omogudava automatsko SimEvents oaje biblioteku grafičkih blokova za moelovanje reova čekanja. Pore vremenski zasnovanih (time-based ) simulacija dodaje i vremenski iskretne simulacije zasnovane na ogađajima (event-based ). ).

Formiranje Formiranje simulacionog modela •

upotrebljavaju se blokovi – blokovi – tipi  tipična čna upotreba

•

formiranje formiranje modela poseda na poseda na crtanje blok-dijagrama

•

postoje biblioteke blokova

•

•

 –

Standardna,, proširiva SIMULINK Standardna proširiva SIMULINK biblioteka

 –

korisnikova biblioteka

blokovi se kopiraju iz biblioteke i povezuju vizuelno  –

Ko složenih složenih moela blokov blokovii se mogu grupisati u hijerarhije

 –

blokovi poseduju parametre parametre koji se postavl postavljaju jaju na željene željene vrednosti  vrednosti

 –

parametri blokova blokova se mogu menjati i u toku simulacije

programski interfejs (API) omogudava povezivanje sa proširenjima (simulacionim programima) i pisanje MATLAB koda.

Primer modela

Simulink okruženje

Primer jednostavnog modela

Mux Generator signala

2 Pojacanje

Multiplekser

Graf pera u MAT LAB

Blokovi •

Veliki broj predefinisanih blokova organizovanih u grupe blokova  –

•

•

Continuous and discrete dynamics blocks, sarže Integration, Unit Delay, ...

 –

Algorithmic blocks, sarže Sum, Product, Lookup Table, ...

 –

Structural blocks, sarže Mux, Switch, Bus Selector, ...

Blokovi se mogu prilagoiti (kastomizovati) ličnim potrebama i grupisati u vlastite biblioteke blokova Doatne grupe blokova onose MATLAB proširenja  –

 –

Za aerospace, communications, radio frequency, signal processing, video and image processing, ... Proširenja za moelovanje fizičkih sistema (mehaničkih, električnih, hirauličnih komponenti): Simscape™, SimDriveline™, SimHydraulics®, SimMechanics™, SimPowerSystems™.

Kontinualni i Diskontinualni blokovi

Blokovi Ulaza (izvora) i Izlaza (ponora)

Matematičke operacije

Rutiranje signala, Korisnikove f- je, Logičke i bit op.

Izgradnja modela •

•

•

Zasniva se na ovlačenju (rag & rop) blokova iz bibliotreke u grafički editor i njihovom povezivanju linijama koje uspostavljaju matematičke relacije. Moel se može ureiti upotrebom operacija poput: copy, paste, undo, align, distribute, resize. Moel se može organizovati u nekoliko nivoa upotrebom hijerarhija podsistema i model referenci.  –

 –

•

Podsistem enkapsulira grupu blokova i signala u jedan blok Posistemu se može kreirati izgle tako a se prikazuje kao atomski (nedeljiv) blok sa svojom slikom (ikonom) i okvirom dijaloga za unos parametara bloka (maskom).

Pojeinačne komponente moela se mogu nezavisno simulirati, verifikovati, snimati u biblioteke  –

 –

komponente/podsistemi se mogu referencirati u modelima gde su upotrebljene Biblioteke su kompatibilne sa configuration management sistemima, poput CVS, ClearCase, ...

Uslovno izvršavanje posistema •

Tokom testiranja se mogu omoguditi/onemogučiti izvršavanja elova dizajniranog modela  –

 –

 –

To se postiže upravljanjem logičkim signalima Logički signali pokredu izvršavanje posistema u preefinisanim trenucima ili zasnovano na ogađajima u sistemu Složena logika takvih signala se može realizovati upotrebom ijagrama stanja u alatu Stateflow®

Signali i parametri modela •

•

•

•

Mogu se efinisati atributi signala i parametri priruženi moelu Signali su vremenski promenljive vrednosti predstavljene linijama koje povezuju blokove Parametri su koeficijenti koji pomažu u efinsanju inamike i ponašanja sistema Atributi signala i parametara se mogu direktno postaviti na dijagramu modela ili u posebnom data dictionary   –

•

Model Explorer omogudava uređenje data dictionary -ja

Atributi signala i parametara:  –

Tip podatka — single, double, signed or unsigned 8-, 16- or 32-bit integers; Boolean; fixed-point

 –

Dimenzionlanost — scalar, vector, matrix, or N-D arrays

 –

Realna ili kompleksna vrednost

 –

Min i max opseg, početna vrenost, inženjerske jeinice

Pokretanje simulacije •

•

•

Poržani su  –

fixed-step and variable-step solveri,

 –

grafički debugger,

 –

model profiler.

Simulacije se mogu pokretati  –

interaktivno upotrebom Simulink GUI ili

 –

iz MATLAB komandne linije (m-datoteka)

Modovi simulacija su:  –

 –

 –

•

Normalan (podrazumevan) – model se interpretira Accelerator – ubrzava simulaciju kompajliranjem koda i dozvoljavanjem izmena parametara modela (blokova) Rapid Accelerator – brži o Accelerator moda, ali sa manje interaktivnosti ge se izvršavanje ovija ovojeno o Simulink-a

Postoje MATLAB komane za učitavanje i procesiranje poataka moela, parametara i vizuelizaciju rezultata.

Solveri •

•

•

•

Solveri su numerički integracioni algoritmi koji računaju vremenske promene promenljivih stanja modela Poržane su simulacije brojnih tipova modela, poput:  –

vremenski kontinualnih (analog),

 –

vremenski diskretnih (digital),

 –

hibridnih (mixed-signal), i

 –

multirate sistema (sa više perioa oabiranja).

Solveri mogu simulirati stiff sisteme i sisteme sa diskretnim promenama stanja (diskontinuiteti, trenutne promene dinamike). Parametri simulacionog algoritma se mogu poešavati. Uključuju:  –

Tip i osobine solvera

 –

Početno i krajnje vreme simulacije

 –

Da li se učitavaju ili snimaju simulacioni poaci?

 –

Optimizacione i ijagnostičke informacije

 –

Poešenja se mogu snimiti sa moelom

Primer formiranja moela inamičkog sistema

Primer

Pojedini podsistemi primera

Pregled rezultata simulacije primera

Osnovne grupe blokova (v4) •

ulazi - Sources

•

izlazi - Sinks

•

diskretni sistemi - Discrete

•

linearni sistemi - Linear

•

nelinearni sistemi - Nonlinear

•

veze između blokova - Connections

•

dodatni blokovi - Extras

Sources

Sinks

Discrete

Linear

Nonlinear Connections Extras

SIMULINK Block Library (Version 1.3c)

Signal Source Library

Blokovi ulaza (v4)

12:34 Clock •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Digital Clock

Repeating

generator vremena - Clock Sequence 1 Constant generator diskretnog vremena - Digital clock Signal Generator generisanje vremenske funkcije tabelom koja Pulse Generator se perioično ponavlja - Repeating Sequence Si ne Wave Step Inpu t generator konstantne vrednosti - Constant [T,U] untitled.mat From generator signala: sinusni, četvrtke, trougaoni From Fil e Workspace Chirp Si gnal ili beli šum - Signal Generator generator impulsa - Pulse Generator Random Band-Limited generator sinusnog oblika - Sine Wave Number White Noise generator jeinične funkcije - Step Input generator funkcije definisane podacima iz MAT datoteke - From File generator funkcije definisane podacima iz radnog prostora - From Workspace generator sinusnog oblika sa linearno rastudom frekvencijom - Chirp Signal generator serije slučajnih brojeva - Random Number generator ograničenog belog šuma - Band-Limited White Noise

Blokovi izlaza (v4) •

•

•

•

•

•

grafički prozor za prikaz vremenske promene veličina - Scope, Graph, Auto-Scale Graph grafički prozor za prikaz promene jene veličine u zavisnosti o ruge - XY Graph smeštanje rezultata u MATLAB promenljivu - To Workspace

Signal Sinks Library

Scope

yout To Workspace untitled.mat

Graph

To File

STOP Auto-ScaleStop Sim ulation Graph

smeštanje rezultata u MAT atoteku - To File zaustavljanje simulacije (kada je ulaz u blok <>0) - Stop Simulation

XY Gra ph Hit Crossing

promena koraka integracije (obično pri pojavi iskontinuiteta) - Hit Crossing

Blokovi vremenski diskretnih sistema (v4) •

•

•

kašnjenje jene perioe oabiranja Unit Delay zadavanje linearnog model diskretnog sistema:  –

 –

•

1/z Unit Dela y 1 1+2z-1 Filter

digitalni filter - Filter  –

•

Discrete-T im e Li brary

u prostoru stanja - Discrete State-Space preko polinoma funkcije prenosa Discrete Transfer Fcn preko nula i polova - Discrete Zero-Pole

prouživači signala  –

nultog reda - Zero-Order Hold

 –

prvog reda - First-Order Hold

(z-1) z(z-0.5) Discrete Zero-Pole 1 z+0.5 Discrete Transfer Fcn

x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) y(n)=Cx(n)+Du(n) Discrete State-Space

Zero-Order Hold

First-Order Hold

1 z-1 Discrete-T im e Discrete-Time Integrator Lim ited Integrato

diskretni integrator - Discrete-Time Integrator i integrator sa ograničavačem Discrete-Time Limited Integrator

Blokovi linearnih sistema (v4) •

•

•

množač (unutrašnji proizvo vektora) Inner Product Integrator

diferencijator - Derivative

•

pojačavač - Gain

•

matrični pojačavač - Matrix Gain

•

klizač kao pojačavač - Slider Gain zadavanje linearnog kontinualnog modela sistema:  –

 –

 –

u prostoru stanja - State-Space preko polinoma funkcije prenosa Transfer Fcn preko nula i polova - Zero-Pole

.

+ + Sum

sabirač - Sum

•

•

Line ar Library

Inner Product du/dt

1/s Integrator 1 Gain

Derivative K

1.04

Matrix Gain

Slider Gain

1 s+1 Transfer Fcn

(s-1) s(s+1) Zero-Pole

x' = Ax+Bu  y = Cx+Du State-Space

Nelinearne komp. (v4) •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Nonl ine ar Library

Relay Backlash Saturation Sign znak broja (1,0,-1) - Sign apsolutna vrednost - Abs Quantizer Dead Zone Coulombic Rate Li miter proizvod - Product Friction funkcija - Fcn * Abs Product Abs Look-Up 2-D Look-Up histerezis - Backlash Table Table zona neosetljivosti - Dead Zone >= AND ograničavač graijenta Relational Logical Combinatorial Switch Operator Operator Logic Rate Limiter MATLAB zavisnost izlaza od ulaza data f(u) system 1/s Function tablicom - Look-Up Table Fcn S-Function MAT LAB Fcn Reset Integrator zavisnost izlaza od dva ulaza data tablicom - 2-D Look-Up Table 1/s relej - Relay Memory Transport Limited Variable Delay Transport Del ayIntegrator prekiač, izlaz se prebacuje kaa srenji ulaz pređe preko zaate vrenosti (parametra) - Switch transportno kašnjenje - Transport Delay ...

Nelinearne komponente - nastavak •

promenljivo transportno kašnjenje - Variable Transport Delay

•

funkcija MATLAB-a - MATLAB Fcn

•

S-Function

•

diskretizovanje ulaza - Quantizer

•

statičko trenje - Coulombic Friction

•

relacioni operator - Relational Operator

•

logički operator - Logical Operator

•

kombinatorno logičko kolo - Combinatiorial Logic

•

memorija (uvoi kašnjenje o jenog koraka integracije) - Memory

•

integrator sa ograničavačem - Limited Integrator

Blokovi za veze (v4) •

multiplekser - Mux (upotrebljava se za grupisanje signala)

•

demultiplekser - Demux

•

ulaz u posmatrani model - Inport

•

izlaz iz posmatranog modela - Outport

Connections Library 1 Inport 1 Outport Mux Mux Demux Demux

Dodatni blokovi DEMOS Posebni blokovi (v4) •

•

•

•

•

SIMULINK Demos

primeri Flip-Flop-ovi: Latch, SR, D, JK

Most comm only used blocks

Additi onal blo cks using the m ask utili ty (docume nted in release notes):

kontroleri i PID kontroleri

Conversion

niskopropusni, visokopropusni i pojasni filtri analiza signala: auto i kros korelacija, spektar, spektar snage

Block Library

Flip-Flops PID ControllersAnalyzers

Blocks and demos which require toolboxes:

Controllers

Filters

System ID

Robust Control Demos

MuTools Demos

Neural Networks

•

prevođenje koorinata između polarnog i Dekartovog koorinatnog sistema

•

blokovi drugih Toolbox -ova  –

identifikaciju sistema

 –

veštačke neuronske mreže

 –

analizu robustnosti sistema, ...

Analiza modela •

ugrađeni su brojni alati za analizu moela  –

različiti simulacioni algoritmi

 –

formiranje linearnog modela sistema (linearizacija modela)

 –

nalaženje stacionarnih stanja

•

tok simulacije se može pratiti tokom njenog raa

•

krajnji rezultati se mogu preneti u MATLAB-ovo okruženje

Analiza modela – načini upotrebe 1. potpuno interaktivan rad komande se zadaju iz menija rezultati se posmatraju u grafičkim prozorima Simulink-a 2. pokretanje simulacije iz MATLAB-a moel se može formirati interaktivno pokretanje simulacije i preuzimanje rezultata se radi u MATLAB-u Postupak je fleksibilniji od predhodnog jer se dobijeni rezultati mogu dodatno obraditi upotrebom MATLAB-a 3. upotreba S-funkcija model dela sistema se opi še programski – S-funkcijom postoji blok S-Function  –

 –

 –

 –

 –

 –

Ne postoji jasna granica izmeđe upotrebe ova tri načina, tj. načini se međusobno preklapaju. Način analize moela obično zavisi o faze razvoja moela.

Analiza modela - Simulacija •

simulacija uključuje numeričku integraciju skupa diferencijalnih jenačina

•

postoji nekoliko algoritama za integraciju:  –

sa promenljivim korakom integracije

 –

sa fiksnim korakom integracije

 Zbog razlika u inamičkom ponašanju različitih  sistema, ni jedan algoritam ne garantuje da de za svaki model davati tačne i efikasne (brze) rezulatate.  Za dobijanje tačnih rezultata treba požljivo izabrati metodu integracije i postaviti njene parametre.

Pokretanje simulacije •

iz menija

•

iz komandne linije - MATLAB-a

•

pokretanje simulacije iz MATLAB-a u odnosu na pokretanje simulacije iz menija ima vedu fleksibilnost, mogu se: •

zadati početna stanja

•

formirati “spoljašnji” ulazi preko dodatne promenljive ut

•

pokretati simulacije iz MATLAB skript datoteke, gde se parametri mogu programski menjati

Pokretanje simulacije iz menija Parametri algoritma se posebno postavljaju u dijalogu (v4):  –

izbor algoritma integracije

 –

vremena početka i kraja simulacije: tstart i tfinal

 –

tolerancija, min. i maks. korak integracije: tol, minstep, maxstep

 –

imena promenljivih sa rezultatima simulacije: txy (vreme, prom. stanja, izlazi sistema kao [t,x,y])

Mogudnost izbora integracionog algoritma fiksnog i promenljivog koraka v7

Pokretanje simulacije iz komandne linije (v7) *t,x,y+ = sim(‘model’,,,UT, p1, p2, …) •

se zadaje na jedan od načina:  –

TFinal,

 –

[TStart TFinal], ili

 –

[TStart OutputTimes TFinal].

•

se postavlja upotrebom simset

•

UT = [T, U1, ... Un]

Primeri: sim(‘moel',tfinal) *t,x,y+=sim(‘moel',tfinal) sim(‘model',[tstart tfinal],simset('initialstate',x0)) sim(‘model',[tstart tfinal],simset('initialstate',1,'solver','ode23'))

Pokretanje simulacije iz komandne linije (v4) Parametri algoritma se zadaju kao argumenti *t,x,y+ = linsim( ‘model’, *tstart,tfinal+, x0, *tol,minstep,maxstep+, UT, p1, p2, … ); ili krade, ge pojeini parametri imaju porazumevane vrenosti *t,x,y+ = linsim( ‘model’, tfinal );

Izlazi modela - prikaz rezultata 1.

Označavanje izlaza blokom za izlaz moela -

prenos vrednosti kao izlaza modela u MATLAB

-

Prenos vrednosti kao ulaz u druge Simulink blokove

2.

Grafički prikaz trajektorije pomodu Graph blokova

3.

Prenos vrednosti u MATLAB pomodu “To Workspace” bloka

4.

Zapis u datoteku “To File” blok

1 Step Input

s+1 Transfer Fcn 1

Step Input1

s+1 Transfer Fcn1 1

Graph 1 Outport

yout s+1 To Workspace Step Input2 Transfer Fcn2

Početna stanja •

primenjuju se u trenutku tstart

•

nalaze se u samim blokovima

•

mogu se postaviti (promeniti) iz komandne linije

•

[t,x,y] = sim(‘model',tfinal,simset('initialstate',x0))

%v7

[t,x,y] = linsim( ‘model’, tfinal, x0 )

%v4

početna stanja postojedeg moela se mogu očitati pomodu [sizes,x0] = model sizes su podaci u modelu: broj ulaza, izlaza, ...

Algebarske petlje 1 Constant

•

•

•

•

+ Sum

1 Gain

x To Workspace

algebarske ili implicitne petlje se javljaju kada dva ili vi še blokova imaju direktan prenos svojih ulaza i formiraju povratnu spregu rešavaju se iterativno (u najviše 200 iteracija Newton-Raphson  tehnikom) znatno umanjuju brzinu simulacije i treba ih izbegavati  javljaju se kod:  –

blokova sa pojačanjima

 –

vedine nelinearnih blokova

 –

 –

funkcija prenosa sa jednakim stepenima brojioca i imenioca ili jednakim brojem nula i polova modela u prostoru stanja sa nenultom matricom D

Interpolacija podataka •

potrebna je zbog promenljivog koraka integracije

•

obijaju se neekviistantne tačke koje se teško upoređuju

•

•

MATLAB-ove funkcije za interpolaciju podataka procenjuju vrednosti u vremenskim trenucima različitim o poznatih metode:  –

 –

 –

linearna interpolacija yint = table1( [ t, y ], tint ) interpolacija polinomom (1-D biharmonična interpolacija) yint = interp2( t, y, tint ) interpolacija kubnim splajnom yint = spline( t, y, tint ) Ove funkcije imaju i dodatne parametre.

Osobine simulacionih algoritama (v4) •

linsim upotrebljava se za linearne sisteme sa: funk. prenosa, modelima u prostoru stanja, moelima preko nula i polova, sabiračima i pojač. može se upotrebiti i za sisteme koji sarže nelinearne elemente, ali ako su sastavljeni pretežno o linearnih elem. dobar je za stiff  sisteme - sisteme sa jednovremeno prisutnom i brzom i sporom dinamikom  –

 –

 –

•

rk23, rk45 najbolji za izrazito nelinearne i diskontinualne sisteme obar za “mešane” kontinualne i iskretne sisteme loš za stiff sisteme  –

 –

 –

...

Osobine simulacionih algoritama - nastavak ... •

gear  –

obar za nelinearne i “glatke” sisteme

 –

dizajniran za stiff  sisteme, a manje je efikasan za ostale

 –

•

adams  –

 –

•

loš za sisteme sa singularitetima i brzim poremedajima i promenema na ulazima

obar za nelinearne i “glatke” sisteme loš za sisteme sa vremenskim konstantama koje se menjaju u širokim granicama

euler  –

dobar samo za proveru rezultata

 –

generalno: izbegavati ga!

Primer (v4) opt = [1e-3, 1e-5, 10];

% tolerancija, min i max korak

Tf = 20; x0 = [1; 1]; [tr23, xr23] = rk23( 'vdp', Tf, x0, opt ); plot( tr23, xr23 )

Van der Pol j ednacina: X'' + ( X*X - 1 ) X' + X = 0

1

ili

(1-x2*x2)

*

X2' = X1

X2

1-u*u

X1' = X1( 1 - X2*X2 ) - X2

+

X1'

1

1

s

s Scope

X1

Poređenje metoda integracije (v4) Metod

tol =0.001

Br. računanja izvoda

Tačaka na izlazu

Vremena računanja

(po tački)

144

136

1,37

0,0051

316

89

1,50

0,0023

rk45

204

35

1

0,0041

adams

270

55

1,51

0,0019

336

65

1,91

0,0048

365

366

3,03

0,2881

linsim rk23

gear 

 

 

euler 

referenca je rk45 sa tolerancijom od 1e-6

računato na PC486/33

Greška

Poređenje metoda integracije (v4) Metod

tol =0.1

Br. računanja izvoda

Tačaka na izlazu

Vremena računanja

(po tački)

linsim

77

74

2.38

0.0326

rk23

86

23

1.29

0.3730

140

21

1.46

0.8811

116

34

2.69

0.1005

181

48

4.17

0.2319

33

34

1

1.5835

rk45

 

adams gear  euler 

 

referenca je rk45 sa tolerancijom od 1e-6

računato na PC486/33

Greška

Vremenski diskretni modeli u Simulink-u •

sarže iskretne blokove  –

svaki blok ima “ugrađene”: •

oabirač na ulazu i

•

prouživač signala 0-tog reda na izlazu

 –

ulazi se osvežavaju (računaju) samo u trenucima oabiranja

 –

izlati imaju stalnu vrenost između va trenutka oabiranja

 –

vreme odabiranja i ofset (opcija) su parametri bloka t = n·T + ofset

•

moel može saržati iskretne blokove sa različitim perioama oabirača

•

moeli mogu biti sačinjeni isključivo o iskretnih blokova

•

modeli mogu biti hibridni, sa pomešanim iskretnim i kontinualnim blokovima

Linearizacija modela •

funkcija linmod formira linearan vremenski kontinualan model na osnovu Simulink 'model'-a rez = linmod(’model’,x,u) gde su:  –

 –

 –

ulazi i izlazi moela označeni “ulaznim” i “izlaznim” blokovima (iz biblioteke veza među blokovima) x i u nominalne vrednosti promenljivih stanja i ulaza - rana tačka oko koje se vrši linearizacija (mogu se izostaviti ako je rana tačka u 0) rez je

dobijeni linearan model u nekoliko oblika:

*A,B,C,D+ = linmod(’model‘,x,u) [P, Q + = linmod(’model‘,x,u) struktura = linmod(’model‘,x,u)

•

kod vremenski diskretnih ili hibridnih modela upotrebljava se funkcija dlinmod, sa dodatnim parametrom - vremenom odabiranja Ts rez = dlinmod(’model’,Ts,x,u)

Linearlizacija modela - primer  » [a, b, c, d] = linmo(‘model2bloka') a = -2 -1 1 1 0 0 0 1 -1 b =1 0 0

2 Outport1

1 Inport

c=0 1 0 0 0 1 d =0 1

+ + Sum

1 s2+2s+1

Transfer Fcn1 1 s+1 Transfer Fcn2

1 Outport

Linearlizacija modela – primer 2 1 s+2.5 G6 1 In1

.5

10

2

1.7

s2 +s+2

s+2 G1

G2

G3

G4 s+1 s2 +2s+7 G5

-KG7

» [a,b,c,d]=linmod('zad7blok'); » tf(ss(a,b,c,d))

Transfer function: 17 s^3 + 76.5 s^2 + 204 s + 297.5 --------------------------------------------------------------------------------------s^6 + 7.5 s^5 + 46.5 s^4 + 124.5 s^3 + 293.2 s^2 + 289.7 s + 315.8

1 Out1

Određivanje stacionarnih tačaka (trim) •

•

Za zadate vrednosti ulaza (i promenljivih stanja) mogu se odrediti vrednosti izlaza u ustaljenom stanju, i obrnuto Za zadate vrednosti izlaza mogu se odrediti vrednosti ulaza, ili kombinacija ...

Primer Odrediti vrednosti ulaza i promenljivih stanja koje na izlazu modela daju y=[1;1]

» x = [0 0 0]'; u = 0; % početno pogađanje promenljivih stanja i ulaza » y = [1;1]; % željene vrednosti izlaza » ix = []; iu = []; % dozvoljene su promene vrednosti prom. stanja i ulaza » iy = [1;2]; % izlazi modela koji su fiksirani: 1. i 2. » [x, u, y, dx] = trim('model2bloka', x, u, y, ix, iu, iy) x = 0.0000 1.0000 1.0000

y = 1.0000 1.0000 dx = 1.0e-015 *

u = 3.5135e-016

0 0.0800 0.2220

Primer - Amortizer •

Nelinearan model:

 x1 (t )   x2 (t )

(t )  c x (t )  F k  ( x(t ))   f  (t ) m x m  10,c  5, F k  ( x)  80 x 3

 x2 (t ) 

 f  (t ) m



c m

 x2 (t ) 

80 m

 x13 (t )

» *t,x,y+=sim(‘AmortizerNelin',20,*+,*0 10; 10 10+); » plot(t,y)

Odziv x(t) na pobudu 10h(t) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Primer Amortizer – stacionarno stanje Stacionarno stanje:

(t )  c x (t )  80 x 3 (t )   f  (t ) m x 80 x 3



 f  

» Upoc = 10; Xpoc = [1;1]; Ypoc = [1]; » [Xnom, Unom, Ynom] = trim(‘AmortizerNelin', Xpoc, Upoc, Ypoc, [], 1, []) Xnom = 0.5000 0.0000 Unom = 10 Ynom = 0.5000

Primer Amortizer - linearizacija » *a,b,c,+ = linmo(‘AmortizerNelin‘, Xnom, Unom) a=0

1.0000

-6.0000

-0.5000

b =0 0.1000 c=1

0

d =0 » w = tf(ss(a,b,c,d))

Transfer function:

Linearizacija modela (t )  c x (t )  80 x 3  3  80 x 2 x(t )   f    f  (t ) m x ˆ

0.1 -----------------s^2 + 0.5 s + 6

ˆ

80 x 3

ˆ



 f  ,

ˆ

 f    10   x



0.5

(t )  c x (t )  240 x 2 x(t )   f  (t ) m x ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(t )  5 x (t )  60 x(t )   f  (t ) 10 x ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Primer Amortizer - poređenje Poređenje odziva linearnog i nelinearnog modela: » [y, t, x] = step(w, 25);

% odziv na jediničnu pobuu

» UT = [0 Unom+1; 25 Unom+1];

% pobuda je ustaljeno stanje + 1 (jed.pobuda)

» [tn, xn, yn+ = sim(‘AmortizerNelin‘, 25, simset('InitialState',Xnom), UT); » plot(t, y+Ynom, tn, yn) 0.535

0.53

0.525

0.52

0.515

0.51

0.505

0.5

0

5

10

15

20

25

30