PRINCIPIOS DE RADAR Conceptos Elementales
• Radar es el nombre de un Sistema electrónico usado para la detección y localización de objetos. • En el lengu lenguaje aje de de radar radar los los objetos objetos son son llamad llamados os blanc blancos os “targe “targets” ts”.. • La palab palabra ra radar radar es es un acrón acrónimo: imo: “rad “radio io deten detentio tion n and rang ranging ing”. ”. • Una función del radar está íntima imamente rel relacionad nado a las las propied iedades y características de ondas electromagnéticas como interface con los objetos físicos (los blancos- the targets). • A All principio todos los radares usaron ondas de radio, pero hoy día algunas radar modernos están basados en ondas ópticas y en el uso del láser. • Así, las las raíces raíces del del radar radar pueden pueden estar estar asociad asociadas as con con el trabajo trabajo teórico teórico de Maxwell Maxwell que predice la propagación de ondas electromagnéticas y el trabajo experimental de Hertz que confirmó la teoría de Maxwell. • El trabaj trabajo o experime experimenta ntall demostr demostró ó que las ondas ondas de radio radio podría podrían n ser refleja reflejada dass por objetos físicos. • Este hecho hecho fundament fundamental al forma forma la base base para para que que el radar radar ejecute ejecute una una de sus funcio funciones nes principales: Sensar la presencia de una onda reflejada, el radar puede determinar la existencia de un blanco (el proceso de detección). Elementos El ementos Fundamentales del Radar
• En la figur figura a 1 se mues muestr tra a el diagra diagrama ma de bloqu bloques es de un rada radarr con los elem elemen ento toss y estructura más elemental. • El aparato aparato consi consiste ste de un transm transmiso isorr (TX) conec conectad tado o a una antena antena transm transmiso isora ra para para propagar una onda electromagnética fuera del transmisor y un receptor (RX) conectado a una antena receptora para recepción de cualquier onda reflejada de un blanco. • En gener general al el blanco blanco es part parte e del medio medio de propa propagac gación ión (tamb (también ién llama llamado do el canal) canal) entre el transmisor y receptor. •
• En el esquema básico básico del radar de la fig, S(t) S(t) es una forma de de onda que representa la señal producida en el terminal de salida del transmisor. • La anten antena a convier convierte te la señal señal a una radiac radiación ión de onda onda electr electroma omagné gnétic tica a que tiene tiene la misma forma como S(t). • Las Las ondas ondas se irra irradia dian n al exte exterior rior a la velo velocid cidad ad de de la luz. luz.
• A una dista distanc ncia ia R1 se encue encuent ntra ra el blanc blanco, o, el cual cual reflej refleja a (espar (esparce ce)) un poco poco de la ener energía gía de onda onda (una (una nuev nueva a onda onda)) de regr regres eso o haci hacia a la ante antena na rece recepto ptora ra,, el cual cual convierte la onda a una forma de onda recepcionada Sr(t) en su Terminal de salida. • El radar puede detectar la presencia de un blanco observando la presencia de una señal Sr (t). • En genera general,l, las estac estaciones iones del transmi transmisor sor y receptor receptor de de la figura figura 1 pueden pueden existir existir en en el mismo lugar (este tipo, donde la distancia Rb entre estaciones es cero, es llamado un “radar monoestático”) o pueden tener tener lugares separados separados (donde Rb 0, llamado un radar biestático. En el último caso R1 no puede ser lo mismo como R2) • En el siste sistema ma mono monoes está tátitico co,, el cual cual es más típic típico o R1 y R2 son son igual iguales es y una sola sola antena a menudo realiza ambas operaciones de transmisión y recepción. • Inc Inclu luso so un sist sistem ema a de rada radarr más más gene genera rall invo involu lucr cra a uno uno o más más esta estaci cion ones es transmisoras y más que una estación receptoras, todo en una red, este sistema llamado “Radar multiestático”es la forma menos común. • Los radare radaress pueden pueden ser ser también también tipificad tipificados os de acuerdo acuerdo a su forma forma de onda S (t): - Un tipo de “onda continua” (CW) es uno que continuamente transmite (generalmente con una amplitud constante), en el caso usual puede contener modulación de frecuencia (FM) o puede ser de frecuencia constante. - Cuando la forma de onda transmitida es pulsado (con o sin FM), tenemos un tipo de “radar pulsado”. • En una mane manera ra análog análoga, a, radare radaress “activo “activos” s” y “pasivo “pasivos” s” son tipos tipos con con y sin transmi transmiso sor r respectivamente. • Lo Loss componentes del radar de la figura 1.1 pueden estar localizados en tierra o agua (ejm: en un barco) en la atmósfera terrestre (en un avión, misil, momba, cañon, etc.), en el espa espaci cio o libr libre e (en (en un saté satélit lite e o vehí vehícu culo lo espa espaci cial al)) o incl inclus uso o en otro otross plan planet etas as.. Clar Claram amen ente te no hay hay limi limita taci cion ones es en dond donde e un rada radarr pued puede e esta estarr loca localiliza zado do.. Su localización tiene un efecto en su operación, debido al medio, o canal, en el cual las ondas del radar deben propagarse. • El medio medio del del rada radarr más eleme elementa ntall y simple simple es es el espa espacio cio libr libre. e. • Las ondas se transmiten propagándose fuera del radar en todas direcciones y si no has señal de retorno entonces no hay blancos. • El medio medio llega llega a ser más más interes interesant ante e si algún algún blanco blanco de de interés interés exist existe e en el espac espacio io libre (quizás un vehículo espacial o satélite); este es el medio más simple. • Un medio medio compl complej ejo o invo involu lucr cra a la adicc adicció ión n de blanc blancos os no dese desead ados os,, tale taless como como los retornos de la superficie de un planeta cercano cuando el radar está my de cerca a la superficie. • En este caso el medio contribuye con señales de blancos no deseados que pueden interferir con la señal del blanco deseado. • Otro quizá quizá conte contenga nga una una atmósfe atmósfera ra con todos todos sus efectos efectos de clima (lluvia, (lluvia, nieve, nieve, etc.); etc.); este caso quizá corresponda a un radar basado en una superficie que debe competir con interferencia de innumerables señales de blancos no deseado, tal como tierra, bosques, edificios, efectos del clima y otros efectos de propagación asociado con la atmósfera. Este último caso es el más complicado y probablemente la forma de medio más común. • De nuestra discusión, comprendemos que una función del radar es probar el medio en el cual opera, para separar los retornos de los blancos deseados de los retornos de los no deseados debido al resto del medio y hacer medidas apropiadas en las señales deseadas tal como producir información útil de blancos del radar y es discutido en detalle en varios puntos de este curso. •
Funciones realizadas
Las funciones más importantes que un radar puede realizar son:
• A una dista distanc ncia ia R1 se encue encuent ntra ra el blanc blanco, o, el cual cual reflej refleja a (espar (esparce ce)) un poco poco de la ener energía gía de onda onda (una (una nuev nueva a onda onda)) de regr regres eso o haci hacia a la ante antena na rece recepto ptora ra,, el cual cual convierte la onda a una forma de onda recepcionada Sr(t) en su Terminal de salida. • El radar puede detectar la presencia de un blanco observando la presencia de una señal Sr (t). • En genera general,l, las estac estaciones iones del transmi transmisor sor y receptor receptor de de la figura figura 1 pueden pueden existir existir en en el mismo lugar (este tipo, donde la distancia Rb entre estaciones es cero, es llamado un “radar monoestático”) o pueden tener tener lugares separados separados (donde Rb 0, llamado un radar biestático. En el último caso R1 no puede ser lo mismo como R2) • En el siste sistema ma mono monoes está tátitico co,, el cual cual es más típic típico o R1 y R2 son son igual iguales es y una sola sola antena a menudo realiza ambas operaciones de transmisión y recepción. • Inc Inclu luso so un sist sistem ema a de rada radarr más más gene genera rall invo involu lucr cra a uno uno o más más esta estaci cion ones es transmisoras y más que una estación receptoras, todo en una red, este sistema llamado “Radar multiestático”es la forma menos común. • Los radare radaress pueden pueden ser ser también también tipificad tipificados os de acuerdo acuerdo a su forma forma de onda S (t): - Un tipo de “onda continua” (CW) es uno que continuamente transmite (generalmente con una amplitud constante), en el caso usual puede contener modulación de frecuencia (FM) o puede ser de frecuencia constante. - Cuando la forma de onda transmitida es pulsado (con o sin FM), tenemos un tipo de “radar pulsado”. • En una mane manera ra análog análoga, a, radare radaress “activo “activos” s” y “pasivo “pasivos” s” son tipos tipos con con y sin transmi transmiso sor r respectivamente. • Lo Loss componentes del radar de la figura 1.1 pueden estar localizados en tierra o agua (ejm: en un barco) en la atmósfera terrestre (en un avión, misil, momba, cañon, etc.), en el espa espaci cio o libr libre e (en (en un saté satélit lite e o vehí vehícu culo lo espa espaci cial al)) o incl inclus uso o en otro otross plan planet etas as.. Clar Claram amen ente te no hay hay limi limita taci cion ones es en dond donde e un rada radarr pued puede e esta estarr loca localiliza zado do.. Su localización tiene un efecto en su operación, debido al medio, o canal, en el cual las ondas del radar deben propagarse. • El medio medio del del rada radarr más eleme elementa ntall y simple simple es es el espa espacio cio libr libre. e. • Las ondas se transmiten propagándose fuera del radar en todas direcciones y si no has señal de retorno entonces no hay blancos. • El medio medio llega llega a ser más más interes interesant ante e si algún algún blanco blanco de de interés interés exist existe e en el espac espacio io libre (quizás un vehículo espacial o satélite); este es el medio más simple. • Un medio medio compl complej ejo o invo involu lucr cra a la adicc adicció ión n de blanc blancos os no dese desead ados os,, tale taless como como los retornos de la superficie de un planeta cercano cuando el radar está my de cerca a la superficie. • En este caso el medio contribuye con señales de blancos no deseados que pueden interferir con la señal del blanco deseado. • Otro quizá quizá conte contenga nga una una atmósfe atmósfera ra con todos todos sus efectos efectos de clima (lluvia, (lluvia, nieve, nieve, etc.); etc.); este caso quizá corresponda a un radar basado en una superficie que debe competir con interferencia de innumerables señales de blancos no deseado, tal como tierra, bosques, edificios, efectos del clima y otros efectos de propagación asociado con la atmósfera. Este último caso es el más complicado y probablemente la forma de medio más común. • De nuestra discusión, comprendemos que una función del radar es probar el medio en el cual opera, para separar los retornos de los blancos deseados de los retornos de los no deseados debido al resto del medio y hacer medidas apropiadas en las señales deseadas tal como producir información útil de blancos del radar y es discutido en detalle en varios puntos de este curso. •
Funciones realizadas
Las funciones más importantes que un radar puede realizar son:
Resolución: capacidad para separar (resolver) una señal de un blanco deseado de otro y separar señales de blancos deseados de los no deseados (ruido y clutter). Hay un límite para tal separación que depende de los parámetros de diseño de la señal (ancho de banda grande da mejor resolución en en la distancia mientras que pulsos pulsos de transmisión distantes da mejor resolución en frecuencia) y las características de la antena (ancho de haz pequeño da mejor resolución de posición). a.
Detección:: capacidad para censar la presencia en el receptor de una señal reflejada Detección de algún blanco deseado. Esto suena como una simple tarea, pero en realidad es compli complicad cado o por la presen presencia cia de señal señales es reflejad reflejadas as no desea deseadas das y por el ruido ruido del receptor. El ruido puede generalmente ser reducido por un mejor diseño del receptor y por señales transmitidas con gran energía por pulso. Las señales reflejadas no deseadas (generalmente llamado “clutter”) pueden a menudo ser reducido por un diseño adecuado de la señal y por métodos apropiados del procesamiento de la señal.
b.
Medida de distancia: Medida distancia : está implícito en el nombre del radar. Sin embargo, radares modern modernos os comúnm comúnmen ente te mide mucho mucho más que la distan distancia cia radial radial;; pueden pueden medir medir la posición del blanco en 3 dimensiones, su vector velocidad (velocidad en 3 coordenadas espaciales), dirección angular y el vector de velocidad angular (relación angular en dos coordenadas angulares). c.
• Todas esas medidas pueden ser simultáneamente hechas sobre múltiples blancos
deseados, con la presencia de clutter y ruido. Algunos radares más avanzados pueden incluso medir el tamaño del blanco, forma y clasificación (camión, tanque, persona, avión, etc.). Consideraciones Co nsideraciones Generales del Sistema • Cua Cuando ndo los los dise iseñad ñadores res son lla llamado madoss a desa desarr rro olla llar un nue nuevo rad radar, muc muchas consid considera eracio ciones nes caen caen en 3 amplia ampliass clase clases, s, eso está está relaci relaciona onado do a la elecci elección ón del sistema, a la transmisión final del sistema y a lo concerniente a la recepción final. Algunas de las consideraciones más importantes para elaborar decisiones son: Sistema: Si stema: - Activo, pasivo - Monoestático, bioestático, multiestático. -Arquitectura - Medio. b. Transmisor: - Potencia……………...3.9……4 M Wattios - Frecuencia …………..busqueda S: 3 a 4 GHz. GHz. X: 15 GHz - Antena ……………….bocina/planar a.
c.
Forma de Onda (Continua (Continua y de Amplitud)/ Amplitud)/ Modulació Modulación n en Amplitud./ Amplitud./ FREC. FREC. AM/FM. AM/FM. Receptor: - Sensibilidad del Ruido - Antena - Métodos de procesamiento de señal • Los tópicos activo y pasivo del Sistemas se refiere si el sistema tiene uno o más transmisores (activo) o es solo del tipo de recibir (pasivo).
• Otra decisión es si el sistema es monoestático, biestático o multiestático. • La arquitectura se refiere a la manera de cómo debe funcionar el radar con otros sistemas. Por ejemplo sería parte de un sistema de guiado de misiles; en este caso decisiones acerca de la estructura del radar puede depender de las funciones impuestas por el sistema de guiado (¿está el radar en la parte delantera de un misil para el autoguiado terminal, o está con base en tierra solo para proveer medidas?) • El medio se refiere a los tipos de blancos no deseados para ser experimentados (intensidad de lluvia, reflexiones de tierra, etc.) también como de los blancos deseados para ser asumidos (¿blancos solos o múltiples?) • En este curso discutiremos principalmente un radar monoestático activo que tiene una arquitectura “solo caseta”. Esto es, uno que opera independientemente de cualquier sistema más grande. Su propósito es por lo tanto proveer resolución, detección y medidas independientes sobre blancos en su vecindad. • Las consideraciones principales en el transmisor involucran el nivel de potencia elegido (pico y promedio), frecuencia de la portadora, tipo de antena y la forma de onda transmitida. Todas esas elecciones afectan funciones y no son necesariamente independiente de cualquiera de las consideraciones del sistema o receptor. • Las consideraciones más importantes del receptor involucran sensibilidad al ruido, elección de la antena de recepción y el tipo de procesamiento de la señal (detección lógica, procesamiento coherente o no coherente, uso de integración múltiple de pulso, etc.) estas elecciones no son necesariamente independiente de cualquiera de las decisiones del sistema o transmisor. Tipos de blancos de radar
• Los blancos de radar varia grandemente y requiere algunas definiciones. • El más simple es llamado blanco punto, el cual es uno que tiene una dimensión física más grande que es pequeño en relación con el alcance abarcado del pulso transmitido (alcance abarcado= CT/2 para radar monoestático) si no está presente FM o es pequeño en relación con c/(2B) para formas de onda con FM, donde B es el ancho de banda 3-dB (Hz) de S(t) y T es su duración. • Un blanco punto es lo bastante pequeño físicamente que no importa manchado o expandido en tiempo ocurra en pulsos recibidos. • Muchos aviones, satélites, barcos pequeños, personas, animales y vehículos terrestres pueden a menudo ser considerados como blancos puntos. • Blancos aislados que son también grande para ser blancos puntos son a menudo llamados blancos extensivo. Blancos extensivo pueden causar expansión en pulsos recibidos y una pérdida concurrente en las funciones. Edificios grandes, buques y algunos aviones pueden comportarse como blancos extensivo, dependiendo del ancho de banda del radar. • Todavía blancos más grande son llamados blancos distribuidos. Una clase de ejemplos incluye superficies de tierra tales como bosques, granjas, océanos y montañas. Esos son también llamado de área. Otra clase de blancos distribuidos, también llamado blanco de volumen, incluye lluvia, nieve, nevisca, granizo, nubes, niebla, humo y chaff. • -
Blancos móviles son aquellos que tienen movimiento en relación con el radar.
Si el radar está estacionado sobre la tierra, blancos naturales tales como bosques o campo de grass (vegetación en general) tienden a tener movimientos de velocidad relativamente bajo, que tienden a expandir solo levemente el espectro de las señales recibidas. - Lluvia y otras formas de precipitación crean un efecto similar.
Sin embargo el efecto puede ser mucho más pronunciado para señales que se reflejan de huracanes, tornados y otros climas violentos donde la severidad de los efectos depende de la frecuencia del radar. - Blancos en movimiento tales como misiles, aviones jet, satélites y proyectiles de cañón son a menudo lo bastante rápido para desplazar el espectro de la señal recibida por una cantidad en frecuencia significante (Doppler) relativa a la señal transmitida. (con doppler se detecta los movimientos y se usa en radares de onda continua). • Cuando el radar no está estacionario, tal como cuando está sobre un avión, todos los blancos en el campo del radar son afectados por el movimiento del radar como si ellos estuvieran moviéndose y el radar estuviera estacionario (recuerde el movimiento es una cantidad relativa al radar). • Finalmente nosotros notamos que algunos blancos son llamados activos si ellos irradian su propia energía. Todos los otros blancos son llamados pasivos. Un radar de sitio que transmite sería un blanco activo para otro radar. En otro ejemplo un cuerpo humano es un blanco activo para un receptor de radar que opera en las longitudes de onda del infrarrojo (IR), debido a su irradiación del calor del cuerpo. -
FORMA DE ONDA, POTENCIA Y ENERGIA DEL RADAR FORMA DE Onda: •
Denotemos la forma de onda transmitida del radar por S(t) y lo definimos como la señal en los terminales de salida del transmisor (Ver Figura 1). En radares modernos S(t) puede contener ambas modulaciones de Amplitud y • de frecuencia con el tiempo. • La forma general de S(t) puede ser escrita como:
S (t ) = a(t ) cos(ω 0 Τ + θ (t ) + φ 0 (t ) ).......... ............(1)
donde :
a (t ) es debido a la modulación de amplitud θ (t ) es un término de fase debido a cualquier modulación de frecuencia φ 0 (t ) es un angulo de fase arbitrario: cte.
•
En algunos analisis de radar es conveniente tratar φ 0 como un ángulo de fase aleatorio; en muchos casos, sin embargo es exactamente una constante. Teóricamente S(t) de (1) está definido para todo el tiempo, esto es, para - ∞ < t< ∞ . • Como un tema practico, sin embargo, algunas veces sería conveniente definir S(t) • solo sobre un intervalo de tiempo finito.
•
Por ejemplo en un radar de pulsos que irradia un pulso cada Tr segundos (llamado el intervalo de repetición de pulso o PRI) podríamos estar interesados solo en la respuesta del radar para un intervalo de pulso. • Aquí S(t) estaría definido como la transmisión de la forma de onda que existe sobre un intervalo de tiempo de duración Tr. En este caso la respuesta del sistema para varios intervalos estaría desarrollado • como la suma de respuestas para otros intervalos teniendo formas de onda transmitidas que son versiones de S(t) desplazada apropiadamente. • Aun en otros casos puede ser mas conveniente definir solo S(t) sobre varios intervalos de tiempo (ejemplo como ráfagas de pulsos) y desarrollar características solo para la forma de onda. •
Ejemplo 1: Definamos S(t) para un radar de pulsos usando un solo pulso con envolvente rectangular de duración T, θ (t ) =0 (sin modulación de frecuencia), φ = −π / 2 y amplitud pico del pulso A. de la M(1). S (t ) = A cos( w0 .t − π / 2) = Asen( w0 t ),0 < A < T
Esta forma de onda estaba bosquejada en la figura 2ª
• El ejemplo de arriba de una forma de onda de pulso rectangular es tan comun que
introduciremos una función especial para describir su envolvente A(t). • Definamos la función rectangular rect (.) por: ½
0,
en otro sitio
• Con esta definición la señal del ejemplo 1 es escrita como
[ t − T / 2]
S (t ) = A.rect T
# cilos =
w0 =
T 0
2π
T
0
=
T
sen( w0 .t )
W 0T 2π
Entonces
T 0 =
2π W 0
• La función rectangular es útil en describir ráfagas de pulsos como notaremos en el
próximo ejemplo. • Ejemplo 2. usaremos la función rectangular para redefinir S(t) del ejemplo anterior incluyendo N Pulsos en vez de exactamente uno. Aquí: S (t ) = A(t ) cos(ω 0 Τ + θ (t ) + φ 0 (t ) ). = A(t ) cos(ω 0 Τ − π / 2 .. N
∑
S (t ) = { A
n =1
t − (n − 1)Tr − (T / 2) sen(W 0T ) } T
rec
• La figura 2b bosqueja S(t). • Note que cada pulso en el tren de N pulsos tienen la misma envolvente de pulso, pero
no la misma fase de partida de la portadora • El ángulo φ 0 = - π / 2 se aplica a todos los pulsos, pero solo el primer pulso comienza con un ángulo de fase de cero (ya que t=0 en sen ( W 0T )). • actualmente los n pulsos comienzan con un ángulo de fase de W 0 (n − 1)Tr . • Por conveniencia en el bosquejo de la forma de onda de la fig. 2 tuvo que asumirse que W 0 (n − 1)Tr . sea un múltiplo de 2π . para todo n, tal que todos los pulsos son mostrados con ángulos de fase inicial de cero.
• Esta limitación requiere que W 0 sea un múltiplo entero de 2π / Tr . • La limitación no es necesaria en un sistema real, pero lo que se consigue con esto es
bosquejar la señal mas fácilmente. • Nuestra discusión de la M(1) tiene que ser experimentado para mostrar que hay gran flexibilidad en definir S(t) para un radar dado por eleccion de definiciones para A(t), θ (t ) , φ 0 . • Potencias de transmisión pico y promedio : La salida del transmisor puede ser modelado como un circuito equivalente de Thevenin, compuesta de una fuente de voltaje S(t) en serie con una impedancia de salida, denotado por: Rt + jXt. Nota. • En general Rt y Xt pueden variar con la frecuencia. Asumimos que el traqnsmisor y su carga son de banda ancha suficiente en relación al ancho de banda de S(t) tal que Rt y Xt pueden aproximarse como constantes para todas las frecuencias importantes en S(t). Si esto no fuera mas ó menos verdadero, en la práctica, el transmisor y su carga de
salida distorsionarían S(t). • Para un acoplamiento de impedancia se coloca una carga de Rt - jXt. a través de los terminales de salida. • La máxima potencia instantánea real que puede ser disipada en la carga (llamada la potencia instantánea disponible) es: 2
(T ) Potencia instantánea disponible = 2π / Tr S 4 Rt
2
= A
(t )
8 Rt
[1 + cos{2ω (t ) + 2θ (t ) + 2φ }] 0
0
• Ahora el término coseno en la m anterior se comporta siempre como un coseno puro
con un argumento de (2 ω 0 t + fase constante)para cualquier periodo único de la frecuencia de la portadora
W 0
2π
, ya que ambas A(t) y θ (t ) típicamente no cambian apreciadamente.
• Este hecho significa que el término coseno, cuando lo promediamos sobre cualquier
periodo de la portadora es aproximadamente cero. • Así la portadora instantánea promediadora sobre un periodo de la portadora 2 alrededor de cualquier valor de t es aproximadamente A (t ) / 8 Rt ). • Podemos ahora definir la potencia transmitida pico promedio, denotado por Pt, como la potencia instantánea disponible en los terminales de salida del transmisor cuando promediamos sobre un ciclo de la portadora y cuando S(t) tiene su máxima amplitud. • Pt está dado por: 2 (t ) P (t ) = 1 − ciclo − promediadode S (t ) max = A max 4 Rt 8 Rt 1
[
2
]
Donde [ ] max representa el valor máximo de la cantidad dentro de los corchetes. NOTA. Frecuentemente en literatura del radar, la expresiones de potencia y energía están normalizadas, tal que los factores de impedancia no aparecen. En forma normalizada la M anterior se escribiría como. A2 (t ) P (t ) = 1 − ciclo − promediadode S (t ) max = max/ 2 4 Rt 1
[
2
]
Simultáneamente las versiones normalizadas de potencia promedio Pav (lo que sigue) no contendrá el factor
1
. En muchos trabajos usaremos las versiones normalizadas de potencia y 4 Rt las versiones normalizadas de energía como desviación de la potencia normalizada. En muchos casos, donde la relación de potencia de la señal a las potencias del ruido son de más interés, los factores de impedancia no pueden ser preocupante y pueden cancelarse.
• Donde la situación no serviría para mantener claro la potencia y energía
sería
prudente incluir la aplicación de los factores de impedancia. • Para un radar de pulso Pt está evaluado en el máximo de la envolvente del pulso • Para onda continua (CW) de amplitud constante, Pt tendría el mismo valor para todo el tiempo. • La potencia promedio disponible transmitida, denotado por PAV, está definido como la potencia promediada instantánea disponible sobre un intervalo de tiempo dado. Para un intervalo de tiempo Tr, tenemos: PAV
=
1
Tr
S (t ) 4 RtTr ∫ 2
0
Una expresión alternativa a menudo más útil para señales de pulso es: Tr 1 2 2 PAV = −Tr S (t )dt 4 RtTr 2
∫
Para versiones normalizadas de Pav las expresiones anteriores no contienen
1 4 Rt
En un radar de pulso Tr es el periodo interpulso y la potencia promedio sobre un periodo es el mismo como la potencia promedio sobre cualquier número entero de periodos si los pulsos transmitidos son los mismos en cada intervalo de pulso. Para radar de onda continua (CW), A(t) y θ (t ) pueden ambos ser funciones periódicas, típicamente con el mismo periodo y Tr pueden ser tomado para ser el periodo fundamental de las dos funciones. Desarrollaremos un ejemplo de potencia de transmisión pico promedio y promedio disponible para un transmisor que tiene pulsos rectangulares. Ejemplo 3.- Hallar Pt y Pav para una señal transmitida preparado de transmisiones de pulsos periódicos de la forma mostrada en la figura.
Frec. Angular de la portadora =W0 Número de ciclos en el tiempo T es
W 0T
, 2π (típicamente mucho mas que 2 como se muestra
[ A P (t ) =
Aquí:
PAV
=
1
Tr
Tr
∫
2
A PAV =
Tr
0
2
(t ) ]
2
máx =
A
2
a continuación tenemos
2
2
S (t )dt =
1 Tr
Tr
∫ 0
2 t − (t / 2) A rect T sen (W 0 t ) dt 2
2
2
∫ 0 sen 2(ω 0t ) dt = A 2 Tr
Tr
Tr
∫ [1 − cos( 2ω t )]dt 0
0
2 2 sen( 2 ω T ) T T T 0 A A PAV = = Pt 1 − = 2Tr 2ω 0 T 2Tr Tr
• La aproximación en la última línea de arriba emplea el hecho que
ω t >>1 para casi 0
todos los radares de pulsos. • El ejemplo precedido por transmisión de pulsos rectangulares mostro que la Pav y P testan relacionados por: Pav =
T
Pt = Dt . Pt pulsos rectangulares. Tr
Donde: Dt = T/Tr, Pulsos rectangulares • •
Es llamado factor de trabajo (duty factor de la forma de onda transmitida. El Factor de trabajo puede ser generalizada para aplicar a otras formas de onda, de esas con envolvente rectangular. Energía: La energía total (normalizada), denotado por Es transmitida en un intervalo de tiempo dado Tr es: Tr
Es
1
Tr
= ∫ S (t )dt = ∫ A (t )dt 0 2 0 2
2
• Como se notó anteriormente, Tr generalmente representa el tiempo entre pulsos en
un radar, o el periodo fundamental de las funciones modulada A(t) y θ (t ) es un radar de CW. • En esta sección describiremos brevemente varios principios fundamentales para el radar. posteriormente discutiremos totalmente con mayor extensión estos principios. • Medida del alcance elemental: la medida de la distancia radial entre un radar monoestático y un blanco es básico para casi todos los radares. • Aunque muchos radares de CW pueden medir alcance, nosotros describiremos el radar de pulso ya que los conceptos son fáciles de visualizar y porque muchos radares usan forma de onda de pulso. La idea básica se ilustra en la fig. 3. Fig: a) un pulso transmitido y b) El pulso recibido en un radr de pulso
• Un pulso es transmitido como se muestra en la parte a). El pulso de energía
electromagnética se irradia hacia fuera hasta golpear un blanco. • El blanco a continuación refleja de regreso alguna energía al receptor del radar, el cual desarrollara una señal recibida Sr(t), como se muestra en la parte b) llegando a un tiempo (retardo) tr después de la señal transmitida y alterado en amplitud por algún factor constante d. Para un alcance al blanco r la distancia total es 2R, entonces: R= ctr/2 Una medida elemental del alcance r puede ser hecha formando el producto de C/2 (una constante conocida) y una medida de tr. Efectos asociados a la propagación Ondas cerca de la tierra • Cuando un radar transmite a través de un antena cerca de la tierra, la presencia de la tierra; además de la atmósfera, afectan la propagación de ondas.
• La figura 2.2-1 ilustra la geometría involucrada. • La ionósfera se extienden desde aproximadamente 50 Km. a aproximadamente 600 km en altitud y consiste de aire extremadamente escaso. • La tropósfera, el cual contiene la fuente de aire de la tierra y en el cual en mayor grado ocurren los efectos climáticos se extienden hasta en altitud de aproximadamente 20 km.
• Entre la tropósfera y la ionósfera desde aproximadamente de 20 km a aproximadamente 50 Km., hay una región que se comporta aproximadamente como el espacio libre para la propagación de onda de radio. Tropósfera:
• En la tropósfera la densidad de aire, la temperatura y la humedad todas disminuyen con incremento de la altitud. • Como un resultado el índice de refracción del aire disminuye con la altitud el cual causa que la velocidad en el cual se propaga la onda aumente. • El efecto neto es curvar la trayectoria de propagación (rayo) de la onda hacia abajo o de regreso hacia la tierra. • La cantidad de curvatura (llamado refracción) depende del ángulo de la trayectoria del rayo, ondas propagándose verticalmente que pasa a través de cantidades mínimas de atmósfera sufren refracción mínima. • Las ondas dirigidas cerca del horizonte pasan a través de cantidades más grandes de atmósfera y sufren cantidades más grandes de curvatura. • A causa de la refracción de ondas que llegan a un radar tienen diferentes longitudes de trayectorias de rayo y ángulos de elevación ya que se compara a la trayectoria de línea recta- directo (verdadero) entre el blanco y el radar.
• La diferencia entre lo medido y la cantidad de línea recta es un error que debe ser corregido en los radares de precisión. • Esos errores son discutidos más tarde en la sección 2.3 Ionósfera
• La luz del sol (principalmente ultravioleta) que pasa a través de la ionósfera ioniza el aire enrarecido y afecta fuertemente la propagación de onda. • Los principales efectos son la atenuación y reflexión siendo ambos efectos muy dependientes de la frecuencia de la onda. • El proceso de ionización crea electrones libres. • Una grafica de la densidad de electrones libres con la altitud muestra varios máximos, lo cual conduce a la definición de varias capas o regiones alrededor de los máximos que afectan ondas diferentes. • Esas capas están mostradas en la figura 2.2-1 como regiones D,E, F1 y F2. • Las ondas incidentes en el lado de la tierra de la ionósfera en frecuencias más bajas tienden a ser reflejadas por las regiones más bajas. • Cuando aumentados la frecuencia las ondas pueden pasar a través de regiones más bajas, sufriendo principalmente atenuación y luego seria reflejado de regreso a la tierra por regiones más altas. • En el caso de severa actividad ionósfera, la frecuencia de penetración puede aproximarse a 70 MHz (David and Voge 1969). • A causa de la naturaleza reflectante de la ionósfera, una frecuencia práctica más baja de aproximadamente 30 a 70 MHz existe para los radares basado en tierra que deben operar con blancos fuera de la ionósfera. • Similar comentario se mantiene para los sistemas de comunicaciones entre la tierra y una nave espacial. • En la otra mano, el radar sobre el horizonte (OTH) está diseñado para reflejar ondas desde la ionósfera para alcanzar puntos de distancia más allá del límite horizontal de la tierra debido a la curvatura (Fenster, 1977). • Debajo de aproximadamente 300 KHz, las ondas se reflejan desde la región D, el cual existe desde aproximadamente 50 a 90 Km en altitud. • Las ondas por encima de 300 KHz están pasando con atenuación. • Esta atenuación es especialmente fuerte durante las horas del día para ondas en frecuencias 300 KHz
• La región lejana debajo del horizonte geométrico del radar es llamado la zona de sombra o difracción como se muestra en la figura 2.2-1. • Es difícil para las ondas de radar penetrar en la zona de sombra excepto a través del mecanismo de reflexión desde la ionosfera.
• Las ondas reflejadas son a menudo llamado ondas de cielo y tenemos ya darnos cuenta que esas ondas de cielo son más utilizadas solo en frecuencias debajo de aproximadamente 30 MHz. • Para las frecuencias normales del radar un segundo mecanismo puede darnos cobertura limitada en la zona de sombra. • Es llamado difracción, la cual es una onda curvada causado por la presencia de un objeto físico, la tierra es nuestro caso. • La intensidad de campo de las ondas que penetran la zona de sombra por difracción disminuye cuando aumenta la frecuencia de la onda. • Para las frecuencias de radar más comunes (encima de 300 MHz) la cobertura ganada es mínima. • Sin embargo cuando disminuye una frecuencia de onda, el efecto refractario de la tierra aumenta y la onda tiende a “agarrarse con fuerza a” la superficie de la tierra para distancias más grandes. • El resultado es a menudo llamado una onda de superficie. • Las ondas de superficie son más importantes en frecuencias debajo de aproximadamente 1 MHz donde ellos son usados en el sistema de radiodifusión de modulación de amplitud (AM) estándar y en los sistemas de comunicaciones generalmente mundial. • Como se muestra en la fig. 2.2-1 un blanco (punto T) está en la zona de interferencia siempre que este encima del horizonte geométrico del radar. • En esta zona la onda que llega al blanco es llamada una onda de espacio y está preparado de dos componentes. • Los dos componentes son mostradas como rayo 1 (el rayo directo) y 2 (el rayo indirecto o reflejado) en la figura 2.2-1 • Ya que los rayos 1 y 2 añadidos juntos producen el campo total en el blanco la suma puede tener cualquier valor entre algunos valores máximos y mínimos que son funciones de las magnitudes y fases de los dos rayos. • Este funcionamiento de “interferencia” da origen al nombre de la zona. • Nuestra observación asumir frecuencias encima de aproximadamente 30 MHz donde las ondas penetran completamente la ionosfera. • En frecuencias más bajas el campo total en algún punto en la zona de interferencia puede también incluir una onda de cielo reflejada desde la ionosfera en adición a las ondas directa y reflejada. Radar de seguimiento • La misión primordial de un radar de seguimiento es medir continuamente las coordenadas de un blanco (rango, azimuth y elevación) y predecir su posición futura, esto es, el radar puede seguir en rango en ángulo, en frecuencia Doppler o con cualquier combinación. • El empleo principal de los radares de seguimiento continuo es el control de armas militares tales como la artillería antiaérea y misiles guiado, estos radares también se emplean en el guiado de los lanzamientos de satélites y vehículos espaciales. • Es necesario distinguir de un radar de seguimiento continuo y un radar Track While Scan (TWS), el primero suministra datos sobre un blanco particular, mientras el TWS suministra datos muestreados pero de varios blancos. • La manifestación más simple de un radar TWS puede ser hecha cuando el operador de la pantalla PPI marca (con lápiz de cera) y une los distintos puntos en los cuales aparece dicho blanco sobre la pantalla en sucesivos rastreos. • Estos datos son de tipo no continuo pero son suficientes en muchos casos para el cálculo de la futura trayectoria del blanco, cuando el sistema de detección es muy amplio y se hacen presente muchos blancos a la vez, la tarea de cálculo de las trayectorias y procesamiento de datos lo efectúan los computadores digitales.
• El haz de antena en el radar de seguimiento continuo está posesionado en ángulo por un servomecanismo activado por una señal de error. Hay tres métodos principales de generación de señales de error apropiadas. • Exploración con lóbulos secuenciales. • Exploración con rastreo cónico. • Exploración con lóbulos simultáneos o monopulsos. Un elemento de vital importancia en los radares de seguimiento es el computador al que llega la información y este determina las características del blanco y calcula su probable curso futuro. Exploración con haces alternados • En los radares de seguimiento la exploración se efectúa con el haz tipo lápiz simétrico donde el ancho del haz tanto para la elevación y azimut son iguales. • Se emplea esta exploración para obtener una alta ganancia para la potencia de radiación concentrada en la dirección del blanco, para reducir los ecos no deseados de otros blancos y de la tierra y por último las coordenadas angulares del blanco pueden ser obtenidas con una buena precisión más que con un haz tipo abanico. • Sin embargo, un haz de antena tipo lápiz no es aconsejable para radares de seguimiento a menos que el método que se emplea para determinar la magnitud y dirección de la posición angular del blanco sea con respecto a una dirección de referencia que es generalmente el eje de la antena. • La diferencia entre la posición del blanco y la dirección de referencia es el error angular, el radar de seguimiento procura que la posición de la antena haga el error angular cero, cuando el error angular es cero el blanco está localizado a lo largo de la dirección de referencia. • Uno de los métodos más simples y usados en los primeros radares de seguimiento para obtener la magnitud y dirección del error angular, consiste en la recepción de los ecos con una antena cuyo haz ocupa dos posiciones alternadas alrededor del blanco. • La diferencia de la amplitudes de los ecos determinan la magnitud del error angular que es una medida de desplazamiento angular del blanco con respecto al eje de conmutación. • El signo de la diferencia determina la dirección en que la antena debe ser movida con el fin de alienar el eje de conmutación con la dirección del blanco. • Cuando los ecos en las dos posiciones con mutadas son iguales, el blanco está sobre el eje y su posición puede ser determinada del eje de dirección. • Una de las limitaciones de este método es que la precision angular para determinar la posición del blanco no puede ser superior al ancho del haz sino se da al mismo ciertos movimientos de exploración. • Los lóbulos secuenciales o lóbulos alternados fue una de las primeras técnicas empleadas en radar de seguimiento, las primeras aplicaciones fueron las interceptaciones de abordo por radar donde la información direccional suministrada se empleaba para el seguimiento sobre un blanco y en tierra era la base del fuego antiaéreo (radares de control de tiro). • Ahora en aplicaciones modernas de radar de seguimiento no se emplea. Exploración Cónica • En este sistema, el haz gira en forma continua alrededor del eje de giro siendo desviado del mismo en un ángulo constante y cumpliendo así un cono en el espacio. • El ángulo entre el eje de giro (el cual es usualmente pero no siempre el eje de la antena reflectora) y el eje del haz de antena es llamado el ángulo SQUINT. • Considerando un blanco en la posición A como muestra la fig.1.2, la señal de eco será modulada a una frecuencia igual a la frecuencia de giro del haz (un giro típico de rastreo cónico puede ser de 30 RPM).
• La amplitud de modulación de la señal eco dependerá de la forma de patrón de antena, el ángulo SQUINT y el ángulo entre las líneas de visión del blanco y el eje de giro del haz. • La fase de la modulación depende de la dirección del ángulo entre el blanco y el eje de giro de haz. • La modulación del rastreo cónico es extraída de la señal eco y aplicado a un sistema de servocontrol el cual continuamente posiciona la antena sobre el blanco. • La antena está montada en tal forma que es posible desplazarla en elevación y azimuth por servomotores hidráulicos o eléctricos a afectos de ubicación de su eje sobre el blanco. • El haz de antena está balanceado pro la inclinación del alimentador o reflector, uno con respecto al otro, una antena simple de rastreo cónico puede ser una parábola con un alimentador trasero balanceado girado cerca del eje del reflector. • Ahora si el alimentador mantiene fijo el plazo de polarización y este gira entonces la polarización, este tipo de alimentador requiere una unión rotatoria. • Si la antena es pequeña más fácil sería girar el plato el cual está mejor balanceado que el alimentador, entonces se evita el problema de una unión de RF rotativa o flexible en el alimentador. • Cuando el blanco se encuentra en la posición B la línea de visión al blanco y el eje de giro del haz coincide y la modulación del rastreo cónico es nula. • En caso contrario la amplitud de la modulación indica el error de posición de la antena. Esta señal es recibida por el receptor tipo superheterodino equipado con el control automático de ganancia (CAG). • La función principal de este control es la prevención de la saturación por señales fuertes (pues la saturación eliminaría la modulación y con ella la misma señal de error). • El detector determina la magnitud de modulación del eco o sea extrae la información sobre el error angular de la antena. • El filtro que sigue elimina armónicos de la frecuencia de exploración. Finalmente los detectores (sensibles a fase) determinan los componentes del error angular en elevación y azimuth. • Las señales de elevación y azimuth son amplificadas y aplicada a los servomotores correspondientes que corrigen la posición de la antena, asegurando en esta forma la coincidencia de su eje con la línea de mira.
• Como la antena mira siempre hacia el blanco su posición en elevación y azimuth a través de la aplicación de simples instrumentos (potenciómetros o sincros) nos da las señales de las coordenadas angulares del blanco. Exploración con haces simultáneos o sistema monopulso • La determinación del error angular en los sistemas anteriormente descritos requieren un mínimo de 3 pulso, un número de 4 en la exploración con haces alternados y más de 4 pulsos en el rastreo cónico. • Si en el intervalo de tiempo correspondiente a esta pequeña serie de pulsos varía la superficie aparente de reflejo del blanco, aparecerán los errores en la medición de los desplazamientos angulares debido a la fluctuación de amplitud de l os ecos. • La precisión de seguimiento disminuye, especialmente cuando las componentes de frecuencia de las fluctuaciones es o están cerca a la frecuencia de rastreo cónico o de la velocidad de conmutación de los lóbulos secuenciales. • A la determinación de las coordenadas angulares del blanco usando un solo pulso o sea aplicando haces simultáneos quedan eliminados los errores que limitan severamente la precisión de los sistemas anteriormente tratados. • •
SISTEMA MONOPULSO DE COMPARACIÓN DE AMPLITUD MONOPULSO COMPARACIÓN DE FASE
1. SISTEMA MONOPULSO DE COMPARACIÓN DE AMPLITUD 2. Este sistema usa dos patrones de antena parcialmente sobrepuestos para obtener el error angular, al recibir los ecos simultáneos por los haces en las uniones “híbridas” (T mágica) especiales obtenemos la suma y diferencia de ellas.
Suma de ecos
Diferencia de ecos
• La suma es empleado para la transmisión se usa el patrón suma el patrón diferencia en la recepción. • La señal recepcionada de diferencia se usa para determinar la magnitud del error angular y la señal suma se usa para determinar la distancia del blanco. • Además esta señal suma es también empleada como una referencia que permite determinar el signo del error angular en el detector sensible a fase. • Normalmente has dos pares de haces, uno para elevación y otro para azimuth. • Un conjunto de cuatro “cornetas” (fig.1.5) genera 4 haces y todos forman el haz suma. • El patrón diferencia en un plano es constituida tomando la suma de 2 alimentadores adyacentes y restándolos de la suma de los otros alimentadores adyacentes, el patrón diferencia en el plano ortogonal es obtenida tomando la diferencia de los pares adyacentes ortogonales. •
• Un total de 4 acoplamientos híbrido genera el canal suma, el canal diferencia azimuth y el canal diferencia elevación. • Tres mezcladores separados y un amplificador de FI son mostrado en la Fig. 1.5, uno por cada canal. • Los tres mezcladores operan desde un oscilador local simple a fin de mantener la relación de fase extraen información del error angular uno para azimuth y el otro para elevación. • La información de la distancia del blanco es extraída de la salida del canal suma después de la detección de la amplitud, un duplexer es incluido en el canal suma para proteger al receptor. • En el detector sensible a fase se realiza una comparación de fase entre la salida del canal suma de cada canal de diferencia, produciéndose en la salida de cada detector sensible a fase una señal de error cuya magnitud es proporcional al error angular y su signo es proporcional a la dirección. • Es importante que el desplazamiento de fase introducido por cada uno de los canales sea casi idéntico. • La salida de cada detector sensible a fase (información de azimuth y elevación) y del canal suma (información de la distancia) pueden mostrarse en una pantalla que nos da una indicación de la distancia del blanco deflectando el haz hacia arriba generando un PIP y la salida de cada detector sensible. • a fase nos modifica el barrido de la pantalla para deflectar el PIP del blanco a la derecha o a la izquierda dependiendo del signo del error angular. • La información del radar monopulso puede también ser usada para realizar el seguimiento automático. • La señal de error angular puede activar un sistema de servocontrol para posicionar la antena y la información de distancia del canal suma puede ser aplicado a una unidad de seguimiento automático de distancia. • El signo de la señal de diferencia (dirección de cada error angular) es determinado por comparación de fase de cada señal de diferencia con la fase de la señal suma. • Si la señal suma de la sección de FI del receptor fuese igual a • AscosWFIt, la señal diferencia podría ser AdcosWFIt ó –AdcosWFIt (As>0, Ad>0) dependiendo en que lado del centro está blanco.
• Desde que AdcosWFIt es igual a AdcosWFIt (t+π) el signo de la señal de diferencia puede ser medida determinando si la señal de diferencia está en fase ó 180° fuera de fase con la señal suma. • Sin embargo una comparación de fase es una parte del radar monopulso por comparación de amplitud. • El error angular es esencialmente hallado comparando las amplitudes del eco de haces simultáneos balanceados. • El propósito del detector sensible a fase es suministrar convenientemente el signo de la señal de error. •
(t) =
1,
.]
e
± jk π
1, k par π ) = cos( k = − 1, k impa
La onda periódica más simple: una onda armónica. En este ejemplo, A=1, Ω=1 y θ=0. Las ondas periódicas son aquellas ondas que muestran periodicidad respecto del tiempo, esto es, describen ciclos repetitivos. En una onda periódica se cumple:
donde el periodo propio fundamental número entero.
,
es la frecuencia de la componente fundamental de la onda periódica y
un
Toda onda periódica es, por definición, una onda determinista, por cuanto puede ser descrita matemáticamente (mediante un modelo matemático). La forma más simple de onda periódica es la onda armónica (sinusoidal), que se describe matemáticamente:
Esta onda está completamente caracterizada por tres parámetros: segundo (rad/s), y .
es la fase en radianes. En lugar de
es la amplitud de la sinusoide,
, a menudo se utiliza la frecuencia
es la frecuencia en radianes por
ciclos por segundo o hercios (Hz), donde
Ejemplo de onda periódica más compleja. La línea horizontal azul indica el nivel del valor eficaz. Sin embargo, el modelo descrito para las ondas armónicas no sirve para describir estructuras periódicas más complicadas: las ondas anarmónicas. Joseph Fourier demostró que las ondas periódicas con formas complicadas pueden considerarse como suma de ondas armónicas (cuyas frecuencias son siempre múltiplos enteros de la frecuencia fundamental). Así, supongamos que desplazamiento periódico de una onda en una cierta posición. Si puede representarse mediante una suma del tipo:
representa el
y su derivada son continuas, puede demostrarse que dicha función
El proceso de determinación matemática de los coeficientes y las constantes de fase , para una forma de onda dada se llama análisis de Fourier . Al igual que una forma de onda periódica puede analizarse como una serie de Fourier mediante las contribuciones relativas de la frecuencia fundamental y los armónicos superiores presentes en la forma de onda, también es posible construir nuevas formas de onda periódicas, sumando a la frecuencia fundamental distintas contribuciones de sus armónicos superiores. Este proceso se denomina síntesis de Fourier . Es importante notar que para las señales de ancho de banda limitado (en la práctica, todas las de interés en Telecomunicaciones), la suma de armónicos es también finita:
siendo
el número total de armónicos de los que se compone la onda periódica. El armónico de frecuencia más baja se denomina primer
armónico o armónico de frecuencia fundamental (
, por tanto de amplitud
, frecuencia
y fase
). De hecho, el caso más
simple, el de una onda armónica, es un caso particular para un único armónico ( ). Otros casos requieren un número infinito de armónicos que sólo pueden existir en sus formas perfectas como abstracciones matemáticas debido a que en la naturaleza no se pueden crear o transmitir señales de ancho de banda infinito. Sin embargo, incluso sus aproximaciones (descritos como la suma de un número limitado de armónicos) son de gran interés en la práctica, especialmente en Telecomunicaciones. Entre estos casos de señales periódicas compuestos por infinitos armónicos se encuentran las ondas cuadradas (onda compuesta exclusivamente por armónicos impares cuya amplitud en inversamente proporcional al número de armónico, es decir,
) o las triangulares.
Ejemplo de síntesis de una onda cuadrada a partir de la adición de sus componentes armónicos. La onda final resultante sólo es una aproximación debido al uso de un número finito de componentes armónicos: en total, 25. El último gráfico de la secuencia (harmonics: 25)
puede ser descrito como: Esta propiedad demostrada por Fourier sobre las ondas periódicas es importante en el estudio de la Teoría de la Información y, muy especialmente, en la demostración del Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon. Este teorema demuestra que toda onda periódica limitada en banda (limitada a componentes armónicos por debajo de una frecuencia máxima conocida) puede ser descrita en su totalidad y sin ambigüedad por una serie de muestras no cuantificadas si se cumple que la frecuencia de muestreo es superior (nunca igual) al doble de la frecuencia del último armónico que puede contener la onda. Valores característicos de las ondas periódicas El valor medio de una onda desde cualquier instante
se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completo .
Es muy frecuente que el valor medio de una onda periódica sea cero. En electrotecnia y electrónica un valor medio no nulo mide la magnitud de un componente de continua en una señal. Valor eficaz
El valor eficaz (raíz cuadrática media o RMS ) de una onda periódica un periodo propio fundamental completo
desde cualquier instante
se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a .
El valor eficaz de una onda periódica es de especial interés en física cuando se aplica a presiones (mecánica), tensiones o intensidades (electrotecnia ó electrónica) para cálculos relacionados con la energía o la potencia. Con relación al valor máximo (o valor de cresta o pico) en una ónda de valor medio nulo, el cálculo del valor eficaz de las siguientes formas de onda se pueden simplificar:
Onda armónica simple (sinusoidal):
Onda cuadrada :
Onda triangular:
La relación entre la amplitud máxima y el valor eficaz de una onda periódica depende, por tanto, de la forma de onda. Factor de pico o cresta
Se define como la relación entre el valor de pico y el valor eficaz. Ejemplos de factores de pico:
Onda armónica simple (sinusoidal):
Onda cuadrada:
Onda triangular:
V smax
S = vrms i rms =
2 T
2
I dmax2 t c
Fr = x 100% = x 100%
Vc = E + ( Vo - E) x e-T/ t Icarga = C
v ∆ t ∆
t
i rms =
I 0
=
1 i s(t) 2dt T o
∫
V 0
[1]
Z
Dado que la impedancia depende de la frecuencia, la corriente también varia con la frecuencia de acuerdo a: Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 ∞
donde X L = ω L es la reactancia inductiva, X C =
[2] 1 ω C
es la reactancia capacitiva y ω = 2π f la
frecuencia angular. Cuando X L = X C el circuito se encuentra en resonancia siendo máxima la corriente que circula por él. Así, la frecuencia de resonancia viene dada por la expresión: ω res =
1 LC
v(t+T/2)= -v(t) Vpp, Vmáx y Veficaz
Para iS
n impar 4I a n Sen n 2 Sen nwt n
1, 3
[3]
a p Cn=––– Cos n m-Cos n( m+ m ) n π m=1
RI 2t = RI 2t + RI 2t + ..... + RI n2t 1 2
Eq.2.2
donde
I 2t = I 2t + I 2t + ..... + I n2t 1 2
Eq. 2.3
despejando la corriente, y si se considera que la resistencia como una constante
I =
n=∞ 2 ∑ I n n=1
Eq. 2.4
n =∞ 2 ∑ Y n THD = D = n=2 Y 1 rms U 2 Z CCL = C S CC ia = I ∗ sen ( ω t ) ib = I ∗ sen ( ω t − 120º ) ic = I ∗ sen ( ω t + 120º ) in = ia + ib + ic = 0 IA = I ∠0º
= I ∠ − 120º IC = I ∠ + 120º IN = IA + IB + IC = 0 IB
I 0 =
IA + IB + IC 3
ia = I ∗ sen ( ω t ) IA = I ∠0º
= 0 I + =
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
ib = I ∗ sen( ω t − 120º + fb )
IB = I ∠( − 120º + fb )
= I
I − =
IA + a 2 ∗ IB + a ∗ IC 3
ic = I ∗ sen( ω t + 120º + fc )
IC = I ∠( + 120º + fc )
=0
in = ia + ib + ic ≠ 0
IN = IA + IB + IC ≠ 0
ia = [ I ∗ sen ( ω t ) ] + [ In ∗ sen ( nω t ) ] ib = [ I ∗ sen ( ω t − 120º ) ] + [ In ∗ sen ( n( ω t − 120º ) ) ] ic = [ I ∗ sen ( ω t + 120º ) ] + [ In ∗ sen ( n( ω t + 120º ) ) ] Sí en el caso de n = 3,6,9,12,15, etc. entonces n( ω t-120º) = nω t, n(ω t + 120º) = n ω t
ia = [ I ∗ sen ( ω t ) ] + [ In ∗ sen ( nω t ) ] ib = [ I ∗ sen ( ω t − 120º ) ] + [ In ∗ sen ( nω t ) ] ic = [ I ∗ sen ( ω t + 120º ) ] + [ In ∗ sen ( nω t ) ] in = ia + ib + ic = 3 ∗ In ∗ sen( nω t ) en el caso donde n = 2,5,8,11,14,17, etc. entonces n( ω t-120º) = (nω t+120º), n(ω t + 120º) = (n ω t-120º)
= [ I ∗ sen ( ω t ) ] + [ In ∗ sen ( nω t ) ] ib = [ I ∗ sen( ω t − 120º ) ] + [ In ∗ sen( nω t + 120º ) ] ic = [ I ∗ sen( ω t + 120º ) ] + [ In ∗ sen( nω t − 120º ) ] in = ia + ib + ic = 0 ia
en el caso donde n=4,7,10,13,16,etc entonces n( ω t-120º) = (nω t-120º), n(ω t + 120º) = (n ω t+120º)
ia = [ I ∗ sen ( ω t ) ] + [ In ∗ sen ( nω t ) ] ib = [ I ∗ sen ( ω t − 120º ) ] + [ In ∗ sen ( nω t − 120º ) ] ic = [ I ∗ sen ( ω t + 120º ) ] + [ In ∗ sen ( nω t + 120º ) ] in = ia + ib + ic = 0
IA
= I ∠0º
IB
= I ∠ − 120º
IC = I ∠ + 120º
IN
= IA + IB + IC = 0
Para la armónica de orden n;
IA = In∠0º
IB = In∠ − n ∗ 120º
IC = In∠ + n ∗ 120º
si n = 3,6.9 etc.
IN = IA + IB + IC = 3 ∗ In donde In es la corriente de la armonica n
si n = 2,5,8 etc.
IN = 0
si n = 4,7,10 etc. IN = 0 Componentes simétricas; A la frecuencia fundamental;
I 0 =
IA + IB + IC 3
= 0 I + =
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
= I I − =
IA + a 2 ∗ IB + a ∗ IC 3
=0
Para la armónica de orden n; si n=3,6,9, etc.
I 0 = I 0 =
IA + IB + IC 3 IA + IB + IC 3
si n=4,7,10, etc.
= In =0
I + = I + =
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
=0
=0
I − = I − =
IA + a 2 ∗ IB + a ∗ IC
3 2 IA + a ∗ IB + a ∗ IC 3
=0
= In
I 0 =
IA + IB + IC 3
=0
I + =
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
= In
I − =
IA + a 2 ∗ IB + a ∗ IC 3
=0
2.2.2.d.- Análisis de la corriente trifásica no sinusoidal desbalanceada.
ia = [ Ia ∗ sen ( ω t ) ] + [ Ina ∗ sen ( nω t + fan ) ] ib = [ Ib ∗ sen ( ω t − 120º + fb ) ] + [ Inb ∗ sen ( n( ω t − 120º ) + fbn ) ] ic = [ Ic ∗ sen ( ω t + 120º + fc ) ] + [ Inc ∗ sen ( n( ω t + 120º ) + fcn ) ] si en el caso de n = 3,6,9,12,15, etc. entonces n( ω t-120º) = nω t, n(ω t + 120º) = n ω t
ia = [ Ia ∗ sen ( ω t ) ] + [ Ina ∗ sen ( nω t + fan ) ] ib = [ Ib ∗ sen ( ω t − 120º + fb ) ] + [ Inb ∗ sen ( nω t + fbn ) ] ic = [ Ic ∗ sen ( ω t + 120º + fc ) ] + [ Inc ∗ sen ( nω t + fcn ) ] en el caso donde n = 2,5,8,11,14,17, etc. entonces n( ω t-120º) = (nω t+120º), n(ω t + 120º) = (n ω t-120º)
ia = [ Ia ∗ sen ( ω t ) ] + [ Ina ∗ sen ( nω t + fan ) ] ib = [ Ib ∗ sen ( ω t − 120º + fb ) ] + [ Inb ∗ sen ( nω t + 120º + fbn ) ] ic = [ Ic ∗ sen ( ω t + 120º + fc ) ] + [ Inc ∗ sen ( nω t − 120º + fcn ) ] ia = [ Ia ∗ sen ( ω t ) ] + [ Ina ∗ sen ( nω t + fan ) ] ib = [ Ib ∗ sen ( ω t − 120º + fb ) ] + [ Inb ∗ sen ( nω t − 120º + fbn ) ] ic = [ Ic ∗ sen ( ω t + 120º + fc ) ] + [ Inc ∗ sen ( nω t + 120º + fcn ) ] Equivalentes fasoriales: A la frecuencia fundamental:
IA = Ia∠0º
IB = Ib∠ − 120º + fb
IC = I ∠ + 120º + fc
A la frecuencia de la armónica n;
IA = Ina∠ fan
IB = Inb∠( −n ∗120º + fbn)
IC = Inc∠( n ∗120º + fcn)
Componentes simétricas; A la frecuencia fundamental;
I 0 =
IA + IB + IC 3
≠ 0 I + =
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
≠ I I − =
IA + a 2 ∗ IB + a ∗ IC 3
≠0
Para la armónica de orden n;
Sí n=3,6,9, etc.
I 0 =
IA + IB + IC 3
≠ In
I + =
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
≠0
I − =
IA + a 2 ∗ IB + a ∗ IC 3
≠0
Sí n=2,5,8 etc.
I 0 =
IA + IB + IC 3
Sí n=4,7,10, etc.
≠0
I + =
IA + a ∗ IB + a 2 ∗ IC 3
≠0
I − =
IA + a 2 ∗ IB + a ∗ IC 3
≠ In
