Principios de Análisis Matemático (Enrique Linés Escardó) EDITORIAL REVERTÉ 1991 699pg

Prólogo

,t""u".,,,d"fI. I.DITORIAL REVERTÉ. S. A, Lurltlo. 13 15. local B 08029 Barcelona 1l1l'''''VU'¡O" lodos los derechos, la reproducción total o parcial de esta obra. por cualqUier 11111(1111 ti

IHocndlmlento, comprendidos la reprograffa y el tratamiento informático y la distri-

llllO:lOí" do "ltlmplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente 1" .. llIhl
I dlC:u\n

1111

Ilspanol

(D EDITORIAL 11111'1 liSO

REVERTÉ, S, A .• 1991

on Espana - Printed in Spain

Copyright

©

Enrique Linés Escardó

ISIIN - X4 - 291 - 5072- 2 I ¡"I """1,, legal. B-31 015 -1991 1" 'P' "SO por GERSA, Industria Gráfica '1II111)()[ del Bruc. 6 I Jll!I/O Sant Joan Despí (Barcelona)

Lafinalidad de este libro sobre «principios«, destinado a los estudiantes que ;11;(';(/1/ el estudio del Análisis Matemático, es presentar las teorías básicas y los método,\' ¡!rO/JI'" de esta rama de la Matemática, que han de servir defundamento y referencia (f los 1///1' \/' dediquen al cultivo de esta ciencia, o a aquellos que usen de ella en las apliCilclulI".\ No esfácil precisar el contenido y los límites de una obra de esta natum/I':'.il )'II/I/d,,, menos acertar en el estilo de su redacción, que ha de ser vivo y estimulan/I', IISII/mlldo 1/ que su lectura sea más encuentro personal con una ciencia que información SII/m'/II/tI \'1' liosa herencia cultural. Por otra parte, estos textos de iniciación tienen características comul/cs tJI//' ,'(1111',,'/1,· tener presente y respetar, En primer lugar han de servir para ordenar /0.1' COI/()(';/1/ /t'I/I" I )' vivencias científicas que el lector haya adquirido y experimentado con Cln/ai(}/'idlill, I que es probable le inclinaran a seguir una vía de dedicación, Ha de ser tambh;1/ IIIII/i," d,' cuidadoso examen la selección de los temas de estudio, en la que primara el mlw'/a básico sobre otras consideraciones de brillantez o gusto personal, Fina1mcnlc, C/JIII/J '" método es lo que transforma en ciencia un conjunto de resultados y noticias de U//II d¡'{('/ minada área del conocimiento y además le imprime un carácter abierto, es incllld¡¡'¡" una presentación matemática, es decir, lógico-deductiva, de la teoría, El razonalllim/II I e[fino ejercicio de la deducción lógica habrán de aparecer como una regla y un ud/,'\'I/I' miento en el juego del descubrimiento matemático, En esta ciencia, como en I/ill):/II/I/ otra, el estudiante no puede ser espectador, y sólo podrá asegurar que ha llegado l/I
v

VI

Prólogo

A (.fIlial de cada uno de los capitulas se han dispuesto colecciones de ejercicios relala maleria tratada, cuya resolución es complemento indispensable del estudio

111'11,\ 11

tf'OI'/Ó¡,

)

A (t,'rminar estas líneas introductorias esjusto que dedique las últimas a agradecer a hli/o/'ill! Rl'l'l'rté, S. A., su interés, buena acogida y cuidados que han puesto en la /'/1"'/"1/("11)// de esta obra. Agradecimiento que hago extensivo a amigos, colegas y alum11(/,\ 11 !Ol' '/111' tanto debo y de los que tanto he aprendido. E. LINÉS ESCARDÓ

índice analítico 1. Elementos de la teoría de conjuntos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Conjuntos 2 Producto de dos conjuntos. Relaciones Relaciones de orden 6 Aplicaciones 11 Sucesiones 15 Cardinalidad de conjuntos 16 Ejercicios 20

1

4

2. Sucesiones convergentes y fundamentales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

23

Límite de una sucesión 25 Límites infinitos 29 Propiedades aritméticas de los límites 31 Transformaciones lineales que conservan la convergencia en las sucesiones Sucesiones fundamentales 38 Cuerpos completos 40 Ejercicios 41

3. Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado 1. 2. 3. 4. 5.

46 Sucesiones nulas, positivas y negativas 48 Equivalencia de sucesiones fundamentales. Cuerpo cociente Ordenación del cuerpo cociente 57 Teorema de completitud 60

45

El anillo de las sucesiones fundamentales

4. El cuerpo de los números reales 1. 2. 3. 4. 5. 6.

34

Cuerpos arquimedianos 64 Definición de cuerpo de números reales Teorema de unicidad 66 Teorema del extremo 70 Axiomas de los números reales 73 Ejercicios 75

51

63

66

VII

VIII

índice analítico

5. La recta real

4. 5. 6. 7.

¡\ X i( lIll¿¡~

• ().

I

I

·1 (,

I

87

8. El cuerpo de los números complejos

115

124

1. 2. 3. 4. 5, 6. 7. 8.

191

Funciones 192 Límite de una función en un punto 194 Definición general del límite 202 Límites laterales 206 Propiedades generales de los límites 209 Propiedades aritméticas de los límites 211 Límites de las funciones polinómicas y racionales Ejercicios 218

12. Continuidad 123

1h-lilliciún del .:uerpo de los números complejos 135 ] 1{lIlees cuadradas de los números complejos 138 ,1, Números complejos conjugados 139 ·1 VnI"nr.: ión del cuerpo de los números complejos 140 :'1 1:,1 ¡¡.rupo de los complejos de módulo uno 141 (1 ¡\ n)1.ulos y argumentos 143 7 Su.:esiones convergentes y fundamentales 145 K, 1':jl~r¡;jcios 148

Definición de serie 152 } Convergencia de series 154

1. Convergencia absoluta 174 Reordenación de series 176 Convergencia de la suma de series 179 Convergencia del producto de series 180 La serie exponencial 185 Ejercicios 188

2. 3. 4. 5. 6.

11. Límites de funciones

1''''''II<'las de hase el núme'To e 116 • 1« 'gilrrl 11l0S neperianos /2 ! I 1'lIlt'lI,ias de hase de un número positivo 123 ·1 1,llIlIll's de sucesiones de potencias y logaritmos I ,1 111 11I's dc al)!.ullas sucesiones notables 128 It 1" Il'I,'il'ios /29

151

97

173

108

Ulnit..,s de potencias y logaritmos

9. Series numéricas

165

10. Convergencia absoluta y producto de series

l ,os teoremas d e I a topología de la recta real I lo', 1""rClllas de eltistencia 98 N" 1l11111n:lhilidad d~ la recta real 100 1{"\I"'III:! de recuhrimiento 101 «', "II,,,,I,,,~ l'OIupactos 103 111 II','la I<'al ampliada 105 S,,,,' .. ,, III,'S, Valores adherentes y límites 1'1'"11'1<'11" I/l

IX

3. Series de términos positivos 158 Criterios del cociente y de la raíz 162 Series de términos positivos decrecientes Series alternadas 168 Ejercicios 170

79

de la recta real 80 ,1 Illlnvalo:-" ~ntornos y conjuntos abiertos 82 I l'strIlL'lllra de los conjuntos abiertos en la recta real ·1 1'111I1",~ dc acumulación y adherentes 89 ('IIl1llll1los cerrados 91 /1 A\II'llI:llica dc los abiertos 93 l'I"I"leios ()4

fndice analítico

215

221

l. Continuidad de una funcion en un punto 222 2. Definición general de continuidad local 224 3, Continuidad por la derecha y por la izquierda en un punto 4, Operaciones aritméticas con funciones continuas 227 5. Funciones continua~ en un conjunto 228 6. Ejercicios 232

13. Los teoremas de la continuidad

235

l. Teorema de conservación de la compacidad 236 2. Teorema de conservación de la conexión 238 3. Teorema de la continuidad uniforme 241

226

x

índice élniJlítico

4. Aplicación al «teorema fundamental del Álgebra») 244 5. Ejercicios 247

XI

fndice analftico

18. Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial 1. Los teoremas de Rolle y del incremento finito

14. Funciones monótonas

2. 3. 4. 5. 6.

251

1. Monotonía global y local 252 2. Límites de las funciones monótonas 257 J. Extensión por continuidad de una función monótona 4. Ejercicios 263

337 La función derivada 339 Fórmula del valor medio de Cauchy 341 Regla de I'H6pital 343 Derivadas sucesivas y teoremas de valor medio generalizados Ejercicios 352

.?35

259

19. Fórmula de Taylor y aplicaciones 15. Funciones elementales

349

357

265 1. Los símbolos «o» y «O». Aproximaciones locales

l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Funciones elementales 267 Funciones lineales 267 La función cuadrática y su inversa 269 Otras potencias de exponente fraccionario Funciones exponenciales 275 Funciones logaritmicas 279 Funciones potenciales 281 284 Ejercicios

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

271

359 Aproximación polinómica y fórmula de Taylor 364 Resto de la fórmula de Taylor 365 Desarrollos de las funciones elementales y de las trigonométricas Convexidad y concavidad 371 Convexidad y concavidad locales. Inflexión 376 Análisis local por la fórmula de Taylor 379 Ejercicios 381

20. La integral de Rieman 16. Funciones circulares 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

La serie exponencial 289 La serie exponencial imaginaria 292 Las funciones coseno y seno 293 Periodicidad de la exponencial imaginaria 296 Medida de ángulos 300 Funciones circulares directas e inversas 302 Ejercicios 307

1 7. La derivada l. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

287

El problema de la tangente 313 La derivada 314 Reglas de cálculo de derivadas 320 Monotonía, máximos y mínimos locales 322 Derivada de la función inversa 325 Derivadas de las funciones elementales y circulares Ejercicios 330

385

El problema del área 387 Definición de integral 390 Condición de integrabilidad de una función 394 Clases de funciones R-integrables 399 Propiedad aditiva de la integral respecto de los intervalos 401 Propiedad lineal y de monotonía de la integral respecto de las funciones Primer teorema del valor medio 407 Ejercicios 408

21. Funciones integrables Riemann

311

.327

l. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

3{¡()

411

Conjuntos de contenido nulo en R 413 Funciones continuas salvo en conjuntos de contenido nulo 414 Conjuntos de medida nula en R 417 Oscilación de una función en un intervalo yen un punto 419 Caracterización de las funciones integrables Riemann 422 Funciones regladas 424 Ejercicios 426

·10.1

XII

índicl1 analítico

22. Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

427

Integral indefinida 429 Primer teorema fundamental del Cálculo 431 Función primitiva 431 Segundo teorema fundamental del Cálculo 433 .~ ¡;¡'lrmulas clásicas del Cálculo 435 (, hlllcioncs con integral y primitiva distintas 436 7 1-:1 segundo teorema del valor medio 440 H I:jcrcicios 443 l. 2. 3. 4.

26. Series funcionales

Definición de serie de funciones 546 Convergencias puntual y uniforme 548 Criterios de convergencia uniforme 550 Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de las series uniformemente gentes 555 5. Ejercicios 556

445

l. 2. 3. 4. 5.

N"tllciún de Lcibnitz. Integrales inmediatas 447 .' Ml'lot!os elementales de integración 449 I "OllllIlIIlS recurrentes 452 ·1 Inl¡·V.IIICiclll de funciones racionales 457 Inlql.rllci'lIl de algunos tipos de funciones irracionales 471 (1 11l1(·I'.lIIl'ioll de algunos tipos de funciones trigonométricas 477 Inl¡·II.IIICi,'lIl de algunos tipos de funciones transcendentes 484 ti

I'Wn'il'ios

l. 2. 3. 4. 5. 6.

491

Inll·V.I'ltl'iÚIl sonrc intervalos no compactos 492 ('rileríos de convergencia 500 .1 ¡\ I)\tlnos lipos de integrales impropias 505 -1 {'IIIl1JllIl'llción de integrales impropias con series 509 ,~ ¡·:.It'I'l'Íl'ios 514

26. Sucesiones de funciones

l. 2. 3. 4. 5. 6.

1. {'ollv-crgcncia puntual 518 2. ('ollvergencia uniforme 524 J. Propiedad de acotación 527 'i. ('ontinuidad de la función límite (1. Dcrivación de la función límite 7. Integración de la función límite 1-1 Ejercicios 541

531 532 535

Rn

567

587

El espacio vectorial R" 588 Topología euclídea en R" 591 Principio de encaje 596 Dos teoremas de existencia 597 Conjuntos compactos 599 Ejercicios 601

29. Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos 603

517

4. AIl-\cnra de las sucesiones uniformemente convergentes de funciones

COII "t' I

559

Convergencia de las series de potencias 560 PJ;opiedades de las funciones definidas por series de potencias Desarrollo de una función en serie de potencias 572 Algunos desarrollos usuales 576 Ejercicios 582

28. El espacio euclídeo

487

24. Integrales impropias

545

1. 2. 3. 4.

27. Series de potencias 23. Cálculo de primitivas

XIII

índice analítico

528

Funciones entre espacios euclídeos 605 Umite de una función en un punto 607 Umites sucesivos 611 Continuidad de una función en un punto 617 Función continua en un conjunto 618 Ejercicios 619

30. Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos l. Derivada de una función vectorial 2. La diferencial 629

625

6.'.1

XIV

índice analítico

3. Propiedades de la diferencial 633 4. Existencia y determinación de la diferencial 636 5. Matriz jacobiana 640 6. Derivada según un vector 643 7. Interpretación geométrica de la diferencial de una función real 645 H. Derivadas parciales de orden superior 647 9. Fórmula de Taylor. Análisis local de las funciones reales 652 10. Ejercicios 658

31. Integrales múltiples l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

661

La integral doble 663 Clases de funciones R-integrables en un intervalo 667 Propiedades de la integral 671 Integraciones sucesivas 673 Integración sobre conjuntos acotados 677 La integral múltiple 682 Fórmulas integrales para algunas constantes mecánicas 687 Ejercicios 689

índice alfabético

693

Principio~

de Análisis Matemático

1. Elementos de la teoría de conjuntos 1. Conjuntos. 2. 3.

Producto de dos conjuntos. Relaciones. Relaciones de orden.

4.

Aplicaciones.

5.

Sucesiones.

6. 7.

Cardinalidad de conjuntos. Ejercicios.

Este primer capítulo es introductorio, y en él se recopilan los princlplOs de la teoría elemental de conjuntos, que se supone conocida. El objeto es exponer en forma concisa las principales definiciones y propiedades de esta teoría, así como las notaciones más frecuentemente usadas. Por otra parte se supone que todas las propiedades referentes a los sistemas de números naturales, enteros y racionales son igualmente conocidas. No así la teoría del núm$fo real que será objeto de estudio detallado en los próximos capítulos. A partir ~e las nociones de conjunto y elemento. se definen las operaciones de unión, intersección, difaencia y paso al complemento, así corno sus propiedades (1.2, 1.4). Con la noción de par ordenado, se construye el producto de dos conjuntos, ya partir de éste se define el concepto básico de relación (2.3). La relación de equivalencia (2.4) que es la más natural que se puede definir en un conjunto, origina en éste una partición asociada. Otra relación fundamental es la de orden (3), que interviene en todas las definiciones de convergencia en los principios del Análisis. Entre todos los tipos de ordenación, la total es la más simple (3.3), y de ella se dan algunos ejemplos notables. Anejas a la ordenación están las nociones de cotas y extremos (3.5, 3.6), de tal importancia, que sin eUas no se podría ni enunciar el principio del extremo, caracteristico del cuerpo de los números reales. El concepto de aplicación (4), que es un caso particular del de relación, se destaca con tal fuerza, pues es el objeto del estudio del Análisis, que en parte obscurece a los demás. Tanto la nomenclatura (5.2, 4.3), como la clasificación (4.4) se exponen con detalle, y se consideran igualmente las restricciones y extensiones (4.8) de una aplicación, y la composición de aplicaciones (4.7). Una clase de aplicaciones, sin duda las primeras que se presentaron al análisis del matemático, son las sucesiones: aplicaciones de N en un conjunto (5). Aparte del interés intrínseco de las sucesiones, tienen un carácter instrumental eri el estudio de otras aplicaciones más complicadas. En los casos elementales, la cardinalidad de un conjunto (6) está definida por el número de sus elementos. En los casos más generales, Cantor define la igualdad del número cardinal de dos conjuntos, por la posibilidad de establecer una coordinación, es decir, una biyección (6.1), entre ambos. Entre los conjuntos no finitos (6.3), el más simple es N, y todos los conjuntos coordinables con él son los numerables (6.4). El conjunto Q de los números racionales es numerable (6.7).

1

2

Elementos de la teoría de conjuntos

].

CONJUNTOS

también se expresa por

Se supondrán conocidos los princIpIos de la teoría elemental de conjlllllos. En este apartado y en los siguientes se expondrán en forma resumida. l.IS principales definiciones y proposiciones de esta teoría, así como las nota("iolles más frecuentemente usadas. Los cOI/juntos suelen designarse por letras mayúsculas: A, B, .. <; X, Y, ... , .v I().~ ('{c/I1cntas por letras minúsculas: a, b, ... , x, y, .... 1.1.

'l/x € X,

X E

A.

A

c

B

o

esta relación también se expresa por 'dx € X, €

que A es un subconjunto de B; es decir, que cada elemento elemento de B. / )os conjuntos A y B son iguales (A = B) si tienen los mismos elementos. Si 11 e n y A 7'c B, es A un subconjunto estricto de B. 1.;1 n'/ación e entre conjuntos es una relación de orden; es decir, si A, B .Y (' SOII conjuntos, se tiene: 1'01101

I'XpI"I'S;¡r

/\ es IIn

El conjunto vacío

cp, está definido por

AcA.

h)

Si 11 c B y B c A es A = B. Si A c B y B c e es A ce.

1')

1.2. Dado un conjunto X y una propiedad P que poseen algunos (o todos, ninguno) de los elementos de X, entonces queda determinado un subconjlll/IO A de X, cuyos elementos san los que tienen la propiedad P. Se escribe

11

= {x E X

: P(x)}

o

{x

€

X I P(x) }.

Si no hay ambigüedad, se puede prescindir del símbolo X, escribiendo simplemente {x : P(x)}. Dadas dos propiedades P y Q que se refieren a elementos del mismo conjunto X, la igualdad {x E

*'

x},

Xl' ... , X ••

1.2.

La unión de los dos conjuntos A y B, que se designa por 1\

= {x : x

E

A

o

X

E

IJI!, ,",

B},

en donde la conjunción "o" no es excluyente.

Si 11 c /l, se dice que A está contenido en B, o que B contiene a A. La IIt'~m'¡ólI de A e B se escribe A q: B.

A

{x : x

que es un subconjunto de cualquier conjunto. El conjunto vacío no 1¡l"11!' elementos. Se ha de distinguir entre el objeto x y el conjunto cuyo único l'kllH'llltl es x, que se designa por {x}, y que a veces se denomina sing~le/('. ":0;1;1 Ill>tación se generaliza de manera natural; así, el conjunto cuyos un KOS (·1.-1111"11 tos son x e y es el par {x, y} y {Xl' ... , Xn} es el conjunto cuyos L'il'IllI'III'h ',1111

AUB

a)

P(x) -=? Q(x)

X (o en X) la propiedad P implica a la Q".

cp = B::> A,

Q(x):

{x € X: P(x)}c {x € X: Q(x)}.

x ¡f A. SI A .Y Il son dos conjuntos, se escribe

<=>

Si es

"para todo x

1.<1 Ill'g;lción "x no es un elemento de AH, se escribe

P(x)

"para todo x de X (o en X) la propiedad P es equivalente a la O".

Para asegurar que" x es un elemento de A", se escribe

.1" I

3

Elementos de la teoría de con;untos

X: P(x)} = {x

€

X: Q(x)}

La intersección de los dos conjuntos A y B, que se designa por 11 () n, es A n B = {x : x

E

A

Y

x € B}

=

Los conjuntos A y B son disjuntos si A n B c¡.; es decir, no tienen dl'mentas comunes. Estas definiciones se generalizan cuando se pasa de dos conjuntos a IIna colección g:- (finita o no) de conjuntos. Al escribir A E g:-, se indica qUt' A es un conjunto de la colección S". La unión de g:- es

UA

= {x : x

E

A para algún A

€

€

A para cada A

E S"}.

g:-}.

La intersección de S" es

nA = AE.T

{.x : x

4 Elementos de la teoría de con¡untos

el conjunto diferenda A - B es Y x 4: B J,

A - B = {x : x €O A i¡ veces se lee "A menos Bn Cuando A es un subconj~nto d ~(. lh'(Jomina frecuentement " . el un X, e: conjunto diferencia A' = X - A,. e comp ementano de A respecto de X". 1,1. Los resultados siguient . ('J\))]('S: es son sImples consecuencias de las defíni;,)

/\U8=BuA,

h)

AnB=BnA. AUWUC)= (AUB)uC, An(BnC)=(AnB)nC

e)

/\

U tnn C) = (A U B)n (AvC),

An(Buc) = (A nB) U(A n C),

!;¡s propiedades conmutativas aso' . '.. l" n v'ilidas cual' ,Clatlvas y dzstnbuttvas de las OperaS, A l'S • ' . esqulcra que sean los conjuntos A, B C , . un conJunto cualquiera, son evidentes los reSUltado!: . dI A = A U A, A = A n A.

<¡tI\" ',"11

\J

i'fllll<'''

.(>IJA =1\, nA=

(,)


Las proril'dades distributivas e) se generalizan cuando se trata de una l't) I('lTi,m !r de cOnjuntos: I

lI11r t'n l'l caso particular de contener X t d . 1'16n :~. utilizando la notación de los a o os los conJuntos de la colec-

,

complementarios, se escriben:

,

¡.:)

(BeUB) T

2.

= U B'. B€ "

PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS. RELACIONES

2.1. Un par ordenado (x, y), consta de do b' . s~'a x = y) y se distingue uno de ellos coro .s o Jetos x e y (SIn excluir que Ion l'l par ordenado (x ). l ' O pnmf!rO del otro que es el segundo ~. , y, e pnmer elemento x se d . .

l'omponcnte, proyección o coord n d 1 enomma también primera l'ornponcnte.' proyección o coord:n:d~. y e segundo elemento y es la segunda La relaclón de igualdad (x ) _ ( .1' = x' e y = y. ' y - x, y') entre pares ordenados, equivale a I

5

Elementos de la teoria de conjuntos

Si A Y B son dos conjuntos cualesqul'era,

Si A Y .B son conjuntos, A X B es el conjunto de todos los par¡rs (a, b), donde a € A Y b € .B. El conjunto A X B se denomina producto cartesiano de A por B, o simplemente producto de A por B. Los siguientes resultados son consecuencia de la definición:

e

=

a)

(AuB) XC:;;::: (A X C)U(B X C), X (AnB) (C X A)n(C X B). (A n B) X C = (A X C) n (B x C), C X (A u B) = x A) u (C X B)

b)

(AnB) >< (CnD)=::(A XC) n(BxD}.

ce

2.2. Es conveniente considerar como· iguales los co.njuntos A >< (.8 X C) y (A X B) X e, identificando el elemento (a, (b, e)) de A X (13 X C) con el elementO' ((a, b), c) de CA X B) x C. Hecha esta identificación, al definir el

prO'ducto' cartesiano de un númerO finito. de conjuntos, se puede prescindir de los paréntesis. Si Al, A 2, ... , An son conjuntos, los elementos del producto Al X Al X ' .. X An son las n-tuplas ordenadas (al' a2, Oo., a n), donde a; E A para cada i = l, 2, . 00' n.

23. Definición: Una relación 9l entre los cQnjuntos X e Y, está definida por tres elementos: el conjunto X, el conjunto Y, y un subconjuntO' cualquiera GcX X Y; es decir, m. = {X, Y, G}. El conjunto G e X >< Y se denomina grafo de la relación m.. La primera proyección del grafo es el conjunto G l e X cuyos elementos son los primeros .x de los pares (x, y) te; y análogamente la segunda proyección del grafo es el conjunto e 2 e Y clIyos elementos son los segundos y de lo~ pares (x, y) € e. Sí (x, y) € G, se dice que el par (x, y) pertenece a la relación (]l, y también se escribe x Ot y, Una relación (Ji entre el conjunto· X y el mismo X. se dice que es una relación defa'nida en X. En este caso r;]{ == {X, G}, donde GcX x X, o Gc)[2.

2.4. Definición: Una relación de equivalencia ~ definida en X, es una relación e {X, G} que tiene las siguientes propiedades. a) Si x E X es (x, x) € G, (reflexiva,). b) Si (x, y) € G es (y, x) E G, (simétrica). c) Si (x, y) € G e (y, z) €O G es (x, z) € G, (transitiva).

=

Definición: Una partición de un conjunta X, es una colección W de subconjuntos B e X tal que: a) Dos coniuntO's cualesquiera de ff son disjuntos. b) La unión dé los coniuntos de W es X;

UB=X B€.T

Elementos de /a teoría de conjuntos

Entre la" relaciones de equivalencia definidas en un conjunto X, y las parti('iones de X hay una correspondencia biunívoca, que se establece por medio dI' las clases de equivalencia. J~n la relación de equivalencia .(1; = {X, G} la cIase de equivalencia que ('0111 ¡ene el elemento a € X, es

Xa = {.x

€

X: (a, x)

€

G}.

I'm!loslclón: Una relación de equivalencia definida en un conjunto X, partición de X, cuyas partes son las clases de equivalencia. Re('(1','",.",1/1'1111'. toda partición de X da lugar a una relación de equivalencia, en /" '1"" (" ('onjunto de las clases de equivalencia coincide con la partición. ¡f,'I"I'IIJiI/!I U11a

SI ¡,; es la relación de equivalencia, el conjunto· de las cIases de equivalenSI' dl'fmmina conjunto cociente de X respecto de la relación i5 y se de·11~',II.1 por

1"101.

X (1;

.H-:I.AClONES DE ORDEN

.1.

\.1. (l,d('11

(11 "-

":111 rt' las relaciones que se pueden definir en un conjunto X las de son

de especial interés.

I)l'flnlchln: Una relación de orden en un conjunto X es una relación ¡ X. (;) I/ue tiene las siguientes propiedades.

Si x e X es (x, x) E G. Si (x. y) te' G e (y, x) € G es x = y. (') Si (x. y) € G e (y, z) € Ges (x, z) € G. 11)

h)

Ordinariamente se emplea el símbolo :s;;; para la relación de orden, y se .l" : y en vez de (x, y) € G. Con esta notación las propiedades anterior'l's tienen la siguiente forma. a) Si x € X es x:S;;; x (reflexiva). h) Si x<::: y e y ~ x es y = x (antisimétrica). e) Si x <;: y e y ~ z es x ~ z (transitiva).

eSl:ribe

A veces se escribe y ~ x en vez de x ~ y. Las dos formas de escritura se consideran equivalentes.

Un conjunto en el que se ha definido una relación de orden es un con¡un/o ordenado. 3.2. Al prescindir de la condición b) de antisimetria en la relación de orden se obtiene la de preorden.

Elementos de /a teoría de conjuntos

7

Una relación de preorden en un conjunto X, es una relación reflexiva y transitiva. Conservando la notación ~, en una relación de preorden en X, pueden y existir elementos distintos x, y E X, para los que simultáneamente sea x e y ~ x. Desde el punto de vista de la relación ~, estos elem~nt~s son equ~­ valentes, y se puede definir en X una equivalencia o por la SIgUIente condl-. ción: Dos elementos x, y € X son equivalentes en (1; cuando simultáneamente es x ~ y e y ~ .x.

Proposición: Toda relación de preorden orden .en

X --o 6

Para dos clases Xa, X b

€

1m

X ---;;;--, te:>

X, determina una relación de

es Xa


~

b

si, y s610 si, a.:::::, b.

3,3. Una relación de orden, que verifica además de las a), b) y c) la propiedad: d) Para cada dos x, y € X es x < y, o x = y, o y < x (tricotomia), es una relación de orden total. En contraposición, el orden antes definido, se denomina a veces orden parcial. En este caso, dos elementos x, y € X, pueden ser comparables, cuan. do, al menos se verifica una de las condiciones x .~. y e y ~ x; ° no ser com parables, cuando no se verifica ninguna de ellas . El orden total, también se denomina orden lineal.

3.4. Sea' X un conjunto ordenado. Un elemento m € E es el mínimo de X si es m ~ x, para todo x E X. Un elemento M E X es el máximo de X si es x ~ M, para todo x E X. El mínimo y el máximo son elementos de X, cuando existen. De ordinario no existen en X mínimo ni máximo.

3.5. Definición: Sea X un conjunto ordenado y A un subconjunto de X. Un elemento k E X es una cota inferior de A si es k ~ x, para todo x € A. Un elemento K E X es una cota superior de A si es x ~ K, para todo x € A. Se dice que A está acotado interiormente en X, si existe, al ~en~s, una cota inferior de A; Y que A está acotado superiormente en X, SI eXIste, al menos, una cota superior de A. Si existen las dos cotas, se dice simplemente que el conjunto A está acotado en X. La propiedad de estar acotado un conjunto A, no depende sólo de A, sino del conjunto X en el que está contenido.

3.6. Definición: Sea X un conjunto ordenado y A un subconjunto de X. Un elemento w € X es el extremo superior, o supremo, de A en X, si "" es el mínimo de las cotas superiores de A en X. Se escribe, w

= ext. supx A,

w

= supx A,

o

ro

= supA

Elementos de la teoría de conjuntos

cuando se sobreentiende cuál es el conjunto X que contiene a A.

Tampoco puede darse el segundo caso, pues tomando un racional r tal

Definición: Un demento a E X es el extremo inferior o ínfinw de A en X, si " es el máximo de las cotas inferiores de A en X. Se escribe, a

= ext.

infx A,

a

= infxA,

o

a

AI1;'¡log¡¡mcnte, un", condiciones:

E

€

;¡)

A tal que es x'< a'.

X es suprema de A en X si, y sólo si, se cumplen

/'ClrCl todo x E A es x ~ (ll. I'Clra fodo ",' E X, que sea m',< m, existe algún x'

€

, se tendría

= ro2 -

2

rro

+ r'- >

ro2 -

2 rw

>

2

ro -

(02

+2=

A tal que es (J)'< x'.,

/'o;"/II/do 1.- Era ya conocido por los matemáticos griegos, que no exisIlÚIIH'I"OS racionales cuyo cuadrado es igual a 2. Este caso es una muestra 11.' 1;1 i11suficiencia de los racionales, que se manifiesta en el hecho- de que

It'n

"KiSI¡'1l conjuntos acotados de números racionales para los que no existe /0:"111 l'al'io!l;!I que sea supremo del conjunto ni ninguno que sea ínfimo. El conjunto X = {x € Q Ix;;;:' O, X2 < 2} no posee supremo en Q, y el IlIlIto y {x e Q I x> O, x 2 > 2} no posee Ínfimo en Q. I(vidl'nll'mente x = 2 es una cota superior de X, y x = 1 es una lufr.lilll' dl' Y. Pon flrimer lugar, no existe un racional : tal que ( : ) 2 = 2 o

ninconcota

El ejemplo siguiente se refiere a la determinaci~~ de un ~upremo y un ínfimo en la ordenación por inclusión de una colecCLOn de conjuntos. Ejemplo 2. - Dado el cuadrado 1 = [0,1] X [0,11 del plano. ordinario R2, sea X el conjunto de las partes (o subconjuntos) de l. Se considera en X la ordenación parcial por la inclusión c. Con A se designa el conjunto de todos los círculos abiertos (sin borde) de radio _1_. contenidos en 1. 4 Cotas triviales superior e inferior de A son el cuadrado 1, y el vacío 1>. Otras cotas más interesantes son la unión y la intersección de la colección de círculos y E A, pues precisamente son el supremo y el ínfimo de la colección A: sup A = U y, inf A = y.

n

El sup A es la figura plana abierta (sin borde) obtenida al sustituir en 1 1 los cuadrados en los vértices de lado 4 por cuadrantes circulares. El inf A es el conjunto vano. Manifiestamente, ni sup A m inf A pertenecen a A, que nO posee ni máximo ni mínimo.

bien

,,1...

2 tll; ya que en la descomposición en factores primos de los dos miem"ros d¡, la igualdad, el factor 2 aparece un número par de veces en el primer

Id

/

por lo qUl'

w

+ (2 ro + 1) r <

no sería el supremo de X.

w2

+ 2-

1))2

"

I

1

I

IL ___

___ .1

-...

/-

"\

I

I

."

\

/

/

//

---, \ \

= 2,

"' "

1 1 1

supo A

1 1

I

/ /

/"

~

O

O 4

\ \

I

....

\

\

""\

: inf, A )

3 8 \

r---

"- ....

\

I /-

4 w2

...,

~

y un número impar en el segundo. Si ¡'xistiera un m> O racional que fuera ro = sUPQ X, como wz:;;t: 2, sería ",l. 2, [J hien (,¡2> 2. El primer caso no puede darse, pues tomando un r < 1 racional, tal que 2 -~ w 2 () • - r < 2 l ' se tendría Il1Ít'Il1hl'O

+ ('" + r)2 = {Ji + 2 ror + r <

2,

por lo que w - r sería también una cota superior de X y w no sería el supremo de X. El mismo razonamiento prueba que no existe en Q un infinito de Y.

J.I~; dlls

Il)

2w

(w - 1")2

1.7. Cuando el conjunto X está totalmente ordenado, las definiciones de 1111 i1110 .Y su premo de un subconjunto A e X se simplifican. Un a E X es ínfimo el,' i\ ,'/1 X si, y sólo si, se cumplen las dos condiciones:

!'ara todo x E A es a -s;; x. I'arll todo a' E X, que sea a< a' existe algún x'

a}-2

tal que 0< 1" <

= infA

cllando se sobreentiende cuál es el concepto X que contiene a A. 1k ord inario no existen en X ínfino ni supremo de A eX.

,1) h¡

9

Elementos de la teoría de conjuntos

,....

"-

'- ""

/

supo A

' ....

/

I /

/

3

8

."

/

I

10

Elementos de la teoría de conjuntos

Estos extremos no pertenecen a A que no posee ni mínimo ni máximo. Si el círculo fuera cerrado A (con borde), se tendría

Si en este ejemplo se hubieran considerado los círculos abiertos y de radio 3 contem'dos en 1, el sup A sería una figura abierta análoga a la anterior,. -Xobtenida al sustituir en 1 los cuadrados en los vértices de lado

+

d,' un;! figura plana sin borde, limitada por cuatro arcos de circunferencia. En ,'sil' caso, tampoco el sup A y el inf A son máximo ni mínimo.

En los ejemplos anteriores los supremos e ínfimos aparecen de una maIll'ra ".~pontánea e intuitiva. No siempre es así. A continuación se exponen. ,'11 UI1;! ordenación total, situaciones sorprendentes de dichos extremos.

I:'j¡-mplo ./. - . En el conjunto de puntos (x, y) del cuadrado l = [0,1] X (0,1] '.,' ddilll' Ii! ordenación lexicográfica. Para cada par de puntos (XI> y,), (x:¡, Y2) E [ ('~: (.\'r, !Ir) < (Xl, yz) si X, < X2 cualesquiera que sean y, e Y2' y si Xl = X2 ('¡I.lnrl, 1 Ifr": 1/l. Se complementa esta definición poniendo (x" y,)::::;:; (X:¡, Y2), si (,1'r, I/r)' (xJo y)} o si (Xl> y,) = (X2'Y2)'

iof. A

I --_ I // ... "

r

\

A

\

\

}

\

1 1

"

---

~/ I

I

1 supo A 2

o

1

1

1 4 Este conjunto está acotado, pues aparte de las cotas triviales (O, O) infe-

rior y (1, 1) superior, cualquier punto (x, y) E 1 con O::::;:; x::::;:;

+

es una cota

+::::;:; x::::;:; 1 es una cota superior de A. I~I fnfimo de Aes precisamente (+, 1), y el supremo (+, O)

inferior de A, y cualquier (x, y) con

,

que como pertenecientes a A, serían el mínimo y el máximo.

4.

APLICACIONES 4.1.

Definición: Dados dos conjuntos X e Y, un grafo F de una relaci')1I

!ll = {X, Y, F} es funcional si cumple las condiciones siguientes: a) Los primeros elementos de todos los pares (x, y) € F, forman un

('(1/1-

junto que coincide con X. b) No existen en F pares que tengan el mismo primer elemento; es dl'cir, si (x, y) E F Y (x, y) E F es y = y. Una aplicación de X en Y, es una relación entre X e Y, en la que el gr'l fo es funcional. Como el conceptO' de aplicación tiene gran importancia, conviene d;¡r 1111.1 definición directa del mismO'.

dominio f = X

2

Sl'¡¡ A el conjunto de puntos del CÍrculo abierto de centrO' el de l y ra-

dio

1)

-4-' -2-

El 'conjuntO' X que cQincide CQn la primera proyección del grafO' F mina dominio de la aplicación f o conjunto ck partida. La segunda proyección de F se denomina recorrido, codo minio o de llegada de la aplicación f. De acuerdo con la definición es

1

o

_= (3

Y supA

Definición: Una aplicación f de X en Y, es una terna {X. Y. F} {'/I 1" .(/1/' F es una parte del producto cartesiano X X Y, que cumple las ('(}/II/;ool//'\ a) Para todo x E X, existe al menos un par (x, y) E F. b) No existen pares distintos en F que tengan el mismo primer e/"II/.'lItO.

1

I 1/

(14 ' 1) 2

"f-

mA=---~

por cua-

dr.lII1l's circula,res. Sin embargo el inf A es totalmente distinto, pues se trata

11

Elementos de la teoría de coniuntos

Para designar una aplicación ciones

con;ll11/o

recorrido fe Y.

Y

f de X en

f:X-¡.Y

St' d('1I0-

O'

Y, son de uso' frecuente las notaX

f

4

Y,

que se leen Uf aplica X en Y". Si en la aplicación f = {X, Y, F} es (x, y) E F, se dice que al elemento x E X le corresponde en f el y € Y, Y este elemento se suele denotar por {(x), que se lee Uf de x", Para indicar que al elemento x le corresponde el y = {(x), también se escribe X

f-+

Y

= f(x)

o

X

f-+

f(x).

12

Elementos de la teoría de conjuntos

Este simbolismo puede emplearse para designar una aplicación, cuando se suponen conocidos el dominio X de la misma, y el conjunto Y que contiene a I recorrido. En vez del nombre de aplicación se usa frecuentemente el clásico de fUl/cirÍn, y se dice que f define una función en X, a valores de Y. El conjunto X se denomina también, dominio de la función O' campo de d"(illil"ián de la función. Los nombres de aplicación y función se consideran comO' sinónimos y en J\n;ílisis, en particular, es muy frecuente el uso del segundo término·. 4.2.

'1.J,

En una aplicación f: X 0-)0 Y, a cada x

€

X le corresponde un solo

11 e Y. que es la imagen de x en la aplicación f. Si ecx, el subconjunto de y formado por todas las imágenes de los elementos x € e, es la imagen de e ,'/1 /1/ aplicación t, que se representa por f(C)· EII particular, el recorrido de la aplicación t: X·-jo Y es t(X). f

--------.........

y

.... ....

,

,., ,., .....

------

Aplicación I de X en Y. Imagen de

e

,-

I

1, la aplicación de X en de equivalencia Xa

~, o

X €~,

' lap'lcactuTt 'L_ 1 se denomma natura,

En esta aplicación la antiimagen de una clase de equivalencia es ella misma. 4.4. Atendiendo a propiedades simples del recorrido y del grafo de cada IIplicación, se obtiene una clasificación general de las aplicaciones. 11 na aplicación f : x·~ Y, en la que el recorrido f(X) coincide con el con¡UI/to Y, es exhaustiva. La aplicación f "aplica X sobre Y", por 10 que a veces Sl' dice que f es una aplicación "sobre" o sobreyectiva. En las aplicaciones exhaustivas todo y € Y es imagen de un x € X por lo /llenos. Una aplicación f : X·-* Y, (m la que para todo par x', x" € X de elementos d¡sfintos, también I(x') -:j::- f(x"), es inyectiva. También se dice que f es una j 111 fe' ('cí ón. . Una aplicación f: X·-* Y, en la que todo elemento y € Y es imagen de 111/0 y un solo elemento x € X, es biyectiva. También se dice que f es una "i{lección . En consecuencia la aplicación es biyectiva, si es exhaustiva e inyectiva . Fjemplo. En la figura siguiente se presentan esquemas de los distintos

1

I

y

y

,.'/

por ,.

En una aplicación f : X -+ L, la antiimagen de un y € Y es el conjunto de lodos los x E X tales que t(x) = y. Se designa po.r /- 1 (y), y en consecuencia

f- I (y) = {x

€

X : f(x)

€

X: f(x)

x

= y}.

Aunque según esta definición, la antiimagen de un y € Y es un conjunto, cuando éste conste de un sO'lo elementO', se identificará con tal elemento y se escribirá x = /- 1 (y). La definición de antiimagen de un elementO' y, se generaliza al casO' de un conjunto: En una aplicación f : X -4 Y, la antiimagen de un D e Y, es el subconjunto dl' X, unión de todas las antiimágenes de los elementos y € D:

f- I (D) = {x

€

en la que a cada a € X le corresponde la clase'

r

\

¡(X)

13

E/llmentos de la teoría de conjuntos

D}.

Es frecuente denominar a la antiimagen, imagen inversa. H;emplo. Si en el conjunto X está definida una relación de equivalencia

Aplicación f : X -lo Y

X Aplicación f: X-lo y exhaustiva

y

y

I I

I

X

Aplicación f : X -+ Y inyectiva

i" ¡~ Aplicación f : X -* Y biyectiva

14

Elementos de la teoría de coniuntos

l/"montos de la teoría de conjuntos

15

tipos de aplicaciones {= {X, Y, F}. 4.5. De acuerdo con las definiciones anteriores, el que en la aplicación { : X-+ y cada una de las antiimágenes de los elementos y E {(X) tenga un solo elemento x E X, equivale a que la aplicación f es inyectiva; y el que cada uno de los elementos y € Y tenga una antiimagen no vacía, equivale a que la aplicación f es exhaustiva. Para las aplicaciones biyectivas, y sólo para éstas, tiene sentido el concepto de aplicación inversa.

r:

Definición: Sea X ,---+ Y una aplicación biyectiva. El conjunto de todos los !I({res (y, x) obtenidos invirtiendo los (x, y) de la aplicación {, define una 'I!J!iCllf"Íón de Y sobre X que se denomina inversa de la t. Además, la aplicación inversa f- 1 : y ---+ X es también biyectiva. Consecuenci:1 dl' ser biyectivas tanto f como f- I son las siguientes igualdades: x

= f- (((x)) para todo x

Y

= f(f-I (y»

1

para todo

€

X

y € Y.

'1.'). En el caso de tratarse de aplicaciones cualesquiera, son útiles y de uso freClll'llte las siguientes fórmulas. ,..,'C({ f: X -> Y una aplicación. Para todo e e X es e e f- I (((e); y para !or/" /) e Y es f(f-l (D» e D. LI primera inclusión resulta del hecho de que si x E e, f(x) € Y, por 10 quc x pertenece a la antiimagen de f(x), o sea x E f- I (f(x». Como este resuljado es cierto para todo x € e, se tiene e e t- 1 (((e». La segunda inclusión resulta análogamente. Si y € D es f- I (y) € X, Y po.r la definición de antiimagen f(f-I(y» = y, o bien tef-I(y» = q, cuando YU(X). En todo 'caso es {(f-I (y» e {y} para todo y € D, en donde f(f-l (D» e D. De este mismo razonamiento resulta: Para todo D e Y es f(f-l(D» = D n f(X). Por otra parte, si f : X -+ Y es biyectiva, para todo e e X es e = f- I «((e», y para todo D e Y es f(f-I(D) D.

=

4.7. Definición: Sean las aplicaciones f : X-+ Y y g : Y -+ Z, en las que el recorrido de f está contenida en el dominio de g, es decir f(X) e Y. La aplicación compuesta de f y g, que se escribe g o es una aplicación g o f : X -+ Z~ en la que a cada x € X le corresponde z = g(f(x») € Z.

r,

También se puede decir, que si F y G son los grafos de f y g respectivamente, el grafo de la aplicación g o f es

G o F = {(x, z)

E

X

X

Z : (x, y)

€

F, (y, z)

€

G}.

En general no tiene sentido la composición en orden inverso f o g. y 11111' dIO menos la propiedad conmutativa. Sin embargo, la ley asociativa f¡ () t¡:" /) ,..' (h o g) o f es válida, siempre que cada uno de los miembros de la iguald,1l1 ftonga sentido. 'I.R. Finalmente, conviene precisar lo que se entiende po,r res!ri('c¡(¡1I d(' 1111:1 aplicación.

Definición: Sea f : X ,---+ Y una aplicación y X o e X. Se denomina I',,\! ri," ,'iáll de faX o, la aplicación fa : X¡j---+ Y, en la que es fo(x) = f(x) por" ¡""" ,r ( XI), A veces, para la restricción de faXo se escribe f I X o ó fX o' La restricción de f se obtiene al reducir X a X o, el proceso con1.r:ll'l" 1I,'v.l 11 la extensión de una aplicación. Una aplicación f: X ---+ Y es extensión de la fo : X o ---+ Yo si X" e X. 11 ,'\ f(x) = fo(x) para todo x € X o•

.5.

SUCESIONES

5.1. Se supondrá conocido el conjunto de los números naturales o enfcros positivos, que se designa po.r N, así como su ordenación usual. La orden:ll'i(lIl de N no sólo es total, sino que N es un conjunto bien ordenado, es decir, todo subconjunto e e N tiene un mínimo o primer elemento. También se supondrá conocido el método de demostración por indu('ci,"ll.

5.2. En algunos casos el reco,rrido de una aplicación se considera l11;í~; interesante que la aplicación misma, y a través de las aplicaciones se c!dilU'll conjuntos que son sus recorridos. En estos casos se cambia la notación y la terminología. Las sucesiones finitas e infinitas son los ejemplos más típicos.

Definición: Una sucesión finita de elementos del conjunta X, de n !{~r­ //linos, es una aplicación del conjunto {l, 2, , .. , n} de los números na/l/raIn IlIl'IWreS o iguales que n, en X.

IINis-2

]6

Elementos de la rlOvi,-: de con;untos

Si se designa por f esta aplicación. su dominio es la sección inicial Sen) = {1, e N de extremo n, y su recorrido (f(l). 1(2)• ... , {(x n )}. En vez de f(h) se suele escribir Xh que es el término h-ésimo de la sucesión, su recor,rido será {XI> X2, " ' 1 x n }. 2, ...• n}

Definicióq: Una sucesión infinita, o simplemente una sucf!sión, de elementos del con;unto X, es como aplicación del conjunto N de los números naturales en X. Con la misma notación que en el caso anterior, el recorrido, de la sucesión es {XI' X 2• •..• X n, ... } o en forma breve {x n }, sobreentendiéndose que n "recorre" los números naturales. Por brevedad es común utilizar la notación {x n } para indicar la sucesión indefinida cuyo término n-ésimo es X n • 5.3. Sea k una aplicación cuyo dominio es N y cuyo recorrido es un subconjunto de N; es decir. k: N ,-->' N. Además se supone que k es creciente con n: SI m < n es k(m) < k(n). Estas aplicaciones permiten definir sllbsllcesiones de una suceSlOn dada. Dada una sucesión {x n }, que escrita con notación general es: f: N ~ X. la aplicación compuesta {o k : N - X, hace corresponder a cada n E N, el elemento Xk(n¡ E X. La sucesión {Xk(n)} es una subsucesión o sucesión parcial de la {x n }. Otra notación para la subsucesión .{Xk(n)} es {Xk n }'

Ejemplo.

Dada la sucesión (-;.-) y la aplicación k definida por k(n) = 2",

por composición se obtiene la subsucesión (

".,,,,,,,Ios de la teoría de conjuntos

17

son las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de la coordinaci"'fl. Si los dos conjuntos X e Y son coordinables, se dice que tienen el misllIo ",¡",,'ro cardinal, la misma cardinalidad, o la misma potencia. St' t'scribe card (X) card (Y). '11It'

=

t,.2. Proposición: Si m:F- n, las secciones iniciales S(m) y ""II/'dil/rlhfes, S,, probará la proposición aparentemente más general:

1111,'/,"

Nill!:1I1/1/

1/,/

\""

.\1"'" ,,,

coordinable con un subconjunto propio. S,, l'onsidera el conjunto CeN de aquellos números n tules qu!' ,,1 IIII'IIC", t'KI~h' IIna aplicación de S(n) sobre un subconjunto propio. Sea 1;' d 1111111111(1 ,tI' (,'. por lo que existe una aplicación inyectiva f de {l, 2, .. " ,,' I .... 111 C' 1111 ~lIh('()njunto propio. Sí];¡ imagen de {l, 2..... n'} por {no contiene n', f aplica {I, 2" (1/' J) I ~Ilhl'l' 1111 subconjunto propio, lo que contradice la propiedad de mínilllo el,' ,,' SI' ~lIpone, pues, que la imagen de {l. 2 ..... n'} por f contiene fI'. Si f( //') !I'. PI'I'Sl,'llIdíendo de n', resulta que { aplica {l, 2•. oo, (n' -·l)} sobre 1111 ~;lIll1'llIl 111II11l propio, en contra de la hipótesis de mínimo de n'. Si fin') ¡,. ,,' .. ". l'III1Sid!'l'
Esta propiedad de invariancia del número n, permite definir d di",d de un conjunto finito.

~,,).

5)(11)

IlIíllll'/'''

"I{/'~

Definición: Un conjunto X es finito, si es coordinable con fina Sf,(·(·iti/l '"it'ia{ Sen) = {1, 2, .... n}, y entonces se dice que n es el nÚII1l'/'o (/" ¡o{,', 6.

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

cardinal de X:

",,,!/fOS. ()

En los casos elementales, la cardinalidad de un conjunto está definida por el número de sus elementos. En los más generales, cuando los conjuntos no son finitos, no se define el número de elementos tras un "conteo" de los mismos, sino que se establece la igualdad de los cardinales de dos conjuntos, cuando es posible definir una biyección entre ambos.

card (X) = n

6.1.

Definición: Un conjunto X es coordinable con otro Y, y se escribe X si existt? una biyección { de X sobre Y. De las propiedades de las biyecciones resulta: a) Para todo X, es X "-' X. b) Si X "-' Y es Y '" X. e) Si X ......, Y e Y rv Z es X /'ooJ Z,

~

Y,

(d.

Definición: Un conjunto no finito, se denomina infinito,

Proposición: El conjunto N de 1m números naturales es infi/lito. La ilplicilción s : N c4 N. en la que a cada númerO n E N le ('OITI·SPOlld .. (·1 + 1 E N es inyectiva. y evidentemente es una aplicill'ión dI' N ,'.0 hl'l' N {I). por lo que N no puede ser finito. Fsl;, propiec!;ld de los conjuntos infinitos dc Sl:", eoonlin;¡hlL-s (011 ~;lIh,'11I1 Jllnlos propios. es clrilc1erístic;1 dI' la infinitud. ,\i~/Ii"/II(' 11

(¡A.

N .1,. ¡",\

1,,,,flllklúl1: l/IÍIIIC·!'''.\'

(1/1

('''/l;III/{'' .'( ,',\

II,'{/ir,,',',\

X

N

1/1/1II/'/'uNc', si

i'S """"''/111/,1>1..

,''''1 ,"

20

Elementos de la teoría de conjuntos

6.7, Ejemplos notables de conjuntos numerables son los que se citan en las siguientes proposiciones.

1/

Proposición: El conjunto Z de los números enteros, es numerable. El conjunto Z es unión de los elementos de las sucesiones {n}, {~n}, con (' N. con el con junto finito {O}.

11.

JlI.

de g. Probar que 9l es una relación de equivalencia, y que existe una biyección entre F/91 y P(X) - {1>}, donde P(X) es el conjunto de las partes de X. Sea S un conjunto finito. Probar que peS) es finito y contar el número de sus dementas. Sea (?JI una relación de orden en X, y O2 una relación de orden en Y. se define una relación 0 en X x Y por (Xl

I','oposición: El conjunto Q de los números racionales, es numerable. Ib~t;1 probar que el conjunto Q+ de los racionales positivos es numerable. (·.Ida número racional positivo está representado por una fracción irreducihk dc términos positivos, por lo que bastará probar que el conjunto de lodas estas fracciones es numerable. Se designa por X n el conjunto de las rran'ioncs ~ con m € N. El conjunto de todas las fracciones de términos n 1'0001IIv,)s es U X n • que es numerable. El conjunto de las fracciones irreducihlt·~. dI' ({-rminos positivos es un subconjunto del anterior.

11. 1lo

1 l. 1.1

1. .'

1".

EJEIU':ICIOS I'rohar que X X Y = X x Z implica Y = Z, si X#.p. Ila .. 1111 ejemplo de conjuntos para los que es X U (Y X Z) # (X U Y)

x

(X U Z).

=

S"a tilia aplicación h: X -+ X, para la que h o f = h o g implica f g, cualesqllÍl'!'a 'lile sean las aplicaciones { : X ·-+X y g: )(o---;.X. P .... har que h es inyectiva. ~. Sru tina aplicación h: X -+ X, para la que {o h g o h implica f g, cualesqlliNa que sean las aplicaciones f: X-+X y g: X.-+X. Pl'Ohil r que h es sobreyectiva. "l. Sra una aplicación h : X --+X, y n un número natural tal que es hn = identidad ~II X (se define h k +1 = h o h k ). Prohar que h es una biyección. 11. - Sea la aplicación f : S --+ T Y A, BeS. Probar

=

7.

= feA) U f(B)

n

B) <;; feA)

=

n

t(B).

Generalizar estas fórmulas a los casos de uniones e intersecciones arbitrarias. Sea la aplicación f: S -4 T Y D, E e T. Probar

f .I(D U E) = {-I(D) U f-I(E); f-I(T -

11.

Y feA

{-I(D

D) = S -

n

E)

si existe un

= f-I(D) n f-I(E);

f-I(D).

Generalizar estas fórmulas a los casos de uniones e intersecciones arbitrarias. Sea X o¡i:. 1> y F la colección de todas las aplicaciones f : X --+ X. Se define una relación 9l en F por la condición f 9l q para f, g € F, si recorrido de f = recorrido

17.

si

(XI X2) €

61

e

(YI Y2) € 02'

h

€

e

tal que es

g

=h •f

Probar que R no es reflexiva, pero sí antisimétrica y transitiva. Probar que un conjunto de círculos externos dos a dos, situados en el plano es .~iempre numerable, Sea S la colección de todas las sucesiones ilimitadas cuyos términos son O y 1. Probar que S no es numerable. Probar que el conjunto Q(x) de todos los polinomios en x con coeficientes racionales, es numerable. Sea una función f: R -+ R, tal que para cada conjunto finito Xl, x2, ... , X r de puntos es

! !(x l )

1.

feA U B)

YI) lB (X2 Y~

Probar que 0 es una relación de orden. Si en el ejercicio anterior 01 y 02 son relaciones de equivalencia, probar que (fJ es de equivalencia. Sca Q el cuerpo de los números racionales, y Q(x) el conjunto de los polinomios en X con coeficientes racionales. En e = Q(x) - Q se define una relación (}[ por: (f, g) € 9l

I 'l.

7.

21

t/flllllmtos de la teoría de conjuntos

+ ¡(x2) + ... + ((x I < M, T)

donde M es fijo. Probar que el conjunto e e R en los que es !(x) 7'c 0, es numerable. Sea un conjunto X o¡i:. "'. Probar que el conjunto P(X) de las partes de X, no es coordinable con X.

2. Sucesiones convergentes y fundamentales l. Umite de una sucesión. 2. J.ímites infinitos. l. Propiedades aritméticas de los límites. 4. Transformaciones lineales que conservan la convergencia en las sucesiones. t Sucesiones fundamentales. ti. Cuerpos completos. 7. Ejercicios. En un cuerpo ordenado K se introduce el concepto de convergencia y de límite que son de naturaleza algébrica. La forma más simple de la convergencia es la de las suIlI!Nlones. En las sucesiones convergentes de elementos de K, los términos se aproximan • 1111 elemento de K, que es un límite (1.1). Para precisar esta noción se formaliza con l. formulación "€, v", que juega un papel protagonista, a lo largo del Análisis, en muchas de las cuestiones referentes a la convergencia. En la formulación "€, v" el objeto que se define depende de la existencia de una ,."Iución establecida entre el conjunto de los elementos de K, y el de los números naturales N. Una serie de propiedades relaciona el límite de una sucesión convergente con las cota,l' de la sucesión (1.3), y que en cierta forma muestran aspectos intuitivos del cone.pto de aproximación. Entre las sucesiones de elementos de K que no están acotadas, se encuentran algunas euyos términos, en valor absoluto, superan progresivamente a cualquier cota. Para estas lucesiones se introduce una nomenclatura especial: se dice que tienen límite infinito (2.1), que puede ser positivo o negativo. Esta noción también se formaliza con una formulación "R, v". Con las sucesiones convergentes se puede operar aritméticamente, obteniéndose como, ,,¡¡la general la conservación de los límites en las operaciones racionales (3). Se exceptllan algunos casos que tradicionalmente se han llamado casos de indeterminación (3.3), 110

O

:xl

Y que se representan por los símbolos OC>-'X, O . Xl, ~- e ~-, que no tienen ninlIún significado operacional. O 00 Aparte de las operaciones aritméticas, en las que se conserva el límite, se pueden definir transformaciones lineales que igualmente conservan la convergencia, El teorema 11(1 Toplitz (4.2) es central, y no sólo por su interés teórico, sino por sus muchas aplicnciones, entre las cuales se encuentra el llamado criterio de Stolz (4.3). En las sucesiones convt'rgentes de elementos de K, estos se aproximan a un elemento de K, Y en las fundamentales (o de Cauchy) los términos se "aproximan entre sí" tanto l'nmo se quiera. Su definición rigurosa se consigue con una formulación "e, v" (5,1).

23

Sucesiones convergentes y fundamentales 1':,1;1.\ sucesiones, que como su nombre indica juegan un papel importante, pueden tener

límite en K

o no tenerlo. Un concepto importante es el de cuerpo completo (6.1), ";)I';jclerizado por toda sucesión fundamental tiene límite en él. El cuerpo Q de los 1I11I1Il"roS racionales no es completo (6.2).

25

'UVlJs/ones convergentes y fundamentales

l.

UMITE DE UNA SUCESIÓN 1.1. Sean {K,

+, .} un cuerpo ordenado, y

{a n } una suceSlon de elementos es límite de la sucesión, cuando para n suficiente~ mrnte grande, los términos a" se aproximan a a tanto como se quiera. Esta imprecisa noción de límite, ligada a la de proximidad, ha de forma-

c1t K. Un elemento a

€ K

1I1.llrsc.

La proximidad entre Qn y a se precisa poa medio del valor absoluto de su dlfl'rencia. Así, ,cuando se dice que an se aproxima a a en menos de e se afirma 'IUl' es lan - al< I!; y cuando se dice que esta desigualdad se verifica para 11 .wficientemente avanzado, se afirma que se verifica para todos los a.., a v +1o el, 1)' ... , donde a.. es un término de la sucesión. Ahora bien, para poder definir a como límite de la sucesión {a.} es nece~lIrio precisar la relación entre la proximidad en menos de e, y el lugar 'V a Imrtir del cual los términos de la sucesión difieren de a en menos de e. Esto fiI(' consigue cOn la formulación "e, v", que en el caso del límite de sucesiones
la. - al< E, para todo n ~

eH

v,

con n

N.

€

En virtud de las propiedades del valor absoluto, la desigualdad equivalente a -

e<

an -

a< •

a - • < an < a

o

+

lan - al < •

e.

a i

a.

a-E I I i a, a.

a,

a+E i

as

a.

K

Esquema de una sucesión. convergente

1 1 E¡'emplo 1. -La sucesión 1, --2-' -3-'

1

del cuerpo Q de

- 4 ' ...

los núme.ros racionales tiene por limite O. 1 Para cada ,,> O, basta tomar un número natural v> --, y se tiene

•

la.. -

01 =

1a,,1 = ~ < n

e,

para todo n> v.

26

Sucesiones convergentes y fundamentales

d faCCIones r' d ' eCImales -3- -33- -333 -d"l cuerpo 2. - La SUCesl'ó n ,e 10' 100' 1000' "', "'" Q de los números racionales tiene por límite

+.

cias sucesivas entre los términos de la sucesión y 1

3

3 '-10 =

lue~o

para cada

1

1

TTO' 3'-

33 1 100 = 3·100'

Obsérvese que las düeren-

+

1 333 1 3-1000 = 3 ·1000'

e> O racional, basta tomar un v>

I

a ..

-+ I

son:

+,

.... ,.

para que sea

<

s,

para n):: v.

, ()hseruación. En la formulación "e, v" con la que consigue una definición concepto de límite, el objeto definido depende de la existencia de IIn:1 r¡'faClón ~I; 2.3), que ha de cumplir condiciones determinadas. Esta relación está definida en el conjunto de los pares (s, v) € K+ X N. {1n par ('. y) pertenece a la relación si se verifica e,

27

y fundamentales

1.1. Definiciones: Una sucesión {a.} de términos pertenecientes a un l/tirI'o ()rdenado K, está acotada superiormente en K, si existe un elemento ro 1<, tal que es an ~ s para todo término de la sucesión. El elemento s es mil ('(1 ( a superior de {a n }. I,e/ sucesión está acotada inferiorrn.ente en K, si existe un elem~nto r € K 'rlI III/(' es an ):: r para todo término de la sucesión. El elemento r es una cota I"fr'ríor de {an }. Si la sucesión está acotada superior e interiormente en K, se dice que está ,'I'o/lIda en K. I k esta deficición resulta inmediatamente

I'roposición: La sucesión {a.} está acotada en K si, y sólo si, existe un k E K tal que es la.1 < k para todo término de la sucesión.

,,1"//II'nlo

.rigurosa ~el

la" -al <

IIllflll/onas convergentes

n)::

para todo

v

con

n

€

N.

La condición que ha de cumplir esta relación, es que para cada e € K+" nis/a. al menos un par (e. v) que pertenezca a la relación. Es evidente, que si el par (e, y) pertenece a la relación, también pertenecen todos los pares (s. v') con v' > Y, Y todos los pares (e', v) con E' > 1'.

1.2. También se puede expresar que la sucesión {an } tiene por límite a, 111' la manera siguiente: Deflni~ión:

Si l~ ~ucesíón {a,,} cuyos términos pertenecen al cuerpo ordenado K tlene por lzmUe un elemento de K, se dice que la sucesión {a,,} es cilllIJergente en K. En particular, si a € K es el límite de la sucesión se dice que {an } converge hacia a. ' El elemento a se denomina límite de la sucesión {. an } y se escribe lima,.=a O' lima,.=a o

a,.-a,

n~m

que se leen "límite an igual a a" o "a" tiende hacia a". Entre. las ~ucesiO'nes convergentes, las más simples son las que tienen todos sus térmmos Iguales, es decir, las sucesiones constantes. Es evidente la siguiente

Proposición: Para cada elemento a Iwrgc hacia a.

E

K, la sucesión constante {a }. con-

H;l'mplos 1. - La sucesión {n 2 } de los cuadrados de los números naturales, "\lllsidcrados como elementos de Q, está acotada inferiormente, pero no lo !,,,tú i->uperiormente, pues para todo n € N es O
2... - La sucesión

~ ~2 ~

y

n< n2

de los inversos de los cuadrados de los números

nlllurales, considerados como elementos de Q está acotada inferior y superlllrmente, pues para todo n € N es

1

O<~2-~1.

n

Cualquier número racional mayor o igual que 1 es una cota superior y cualquier número menor o igual que O es una cota inferior.

1.4. Proposición: Toda sucesión {a,,} convergente en K, está acotada cm K. Demostración: Sea a el límite de la suceSlOn {an }. La condición de converj4cncia expresa que para cada a-

f

<

fE

an < a

K+ existe un

v €

+'-, para todo

N, tal que es n)::

Y.

El número s = máx {al, az, ... , Ilv .. 1, a + E} es una cota superior de la succsit'm, y el número r = mín {al' a2' ... , Ilv-h a --- f} es una cota inferior. De la misma demostración resulta

Proposición: Sea una sucesión {a n } convergenl~ en K hacia a. Si e < a, (',\'is/(' un VI E N tal que es Un

> c, para todo n):: VI

28

Sucesiones convergentes y fundamentales

Si d> a, existe un

v2 €

N tal que es el,.

Basta hacer

e

= a - c en el primer caso, y

'1

~ Vz •

< d, para todo n

e

a"

~

l'

2.

Casos particulares de estas dos últimas proposiciones son los si-

En la primera de las proposIciones se hace c =

a

para n

~Vl;

para

~

N tal que es

c - • < bn < c Si

E,

+ e,

n

V2.

= máx {VI' v2}, en virtud de la hipótesis hecha para la sucesión {e,,} es

+ E,

para n

~ v.

{cn } es convergente en K hacia c.

Vz'

Proposición: Si una sucesión {a,,} convergente en K tiene límite positivo (negativo), todos los términos de la sucesión, a partir de uno d~ ellos, son positivos (negativos).

tIvo y

Vz €

+

c-,,:::;;; c,.
Ambas conclusiones contradicen la hipótesis.

.

y t'xiste un

I.Ul"~O

an < r, para todo n

guientes

c-e
> s, para todo n ~ VI'

Si fuera r> a, análogamente se tendría

1.5.

Demostración: La condición de convergencia aplicada a las sucesiones {a" 1 € K+ existe un VI € N tal que es

(h,,} expresa que para cada "

= d - a en el segundo.

Proposi~ión: Sea una ~uce~ón {a,,} convergente en K hacia a. Si r y s son respectzvamente cotas mfenor y superior de la sucesión, es r ~ a ~ s. Si fuera s < a, en virtud de la proposición anterior se tendría

29

'UO/JIIlones convergentes y fundamentales

+

> O en el caso posi-

rl = -2- < O en el negativo.

UMITES INFINITOS

2.1. Entre las sucesiones de elementos de K que no son convergentes 111 .coladas, hay un tipo de sucesiones cuyos términos llegan a exceder ;1 clI;d~ Iluh'r elemento li de K a partir de un término de la sucesión. Esta propi(·(l.ld lit' ('xpresa diciendo que la sucesión tiene límite infinito. Para precisa.r este concepto se emplea también una formulaci(lIl "", ,," ,'limo en el caso de los límites ordinarios. Definición: Sea K un cuerpo ordenado,

y

{an } una sucesión di' 1'1,'/11,'"''''

d" K. Se dice que la sucesión tiene por límite "infinito", si pura

c({(11I ""'1111'111.,

}I de K, existe un número natural v tal que es

Proposición: Si una sucesión {an } convergentf!' en K, tiene sus términos positivos, su límite es positivo o nulo; si los términos son negativos su límite es negativo o nulo. En la segunda proposición, se considera r = O en el caso positivo, y s = O en el negativo. Observación. Si todos los términos de la sucesión {a n } son positivos, el límite puede ser O. La sucesión

(+) en Q tiene todos sus términos positivos

y su límite es O.

1.6. Una proposición útil, en algunos casos, en la determinación de límites de sucesiones es la siguiente

Proposición: Sean dos sucesiones {el,.} y {b n } convergentes en K hacia el mismo límite c, y sea {c n } otra sucesión en K tal que para cada n es an ~

Cn

~ bn

o

an ~

Cn

~ b".

Entonces la sucesión {c n } converge en K hacia c.

janl > H,

para todo n

Se escribe lim a n

~

v, con n

E

N.

= oo.

2.2. En la definición anterior se pueden considerar dos casos particulares: .ucesiones con límite + 'Xl, Y con límite -oo.

Definiciones: La sucesión {a n } tiene por límite "más infinito", Celda elemento H de K, existe un número natural v. tal que es

a. >

H,

para todo

n

para todo

n

SI

~ v.

Se escribe respectivamente lim a" =

+ 'Xl

Y

¡/fl/'a

~ v.

1,(/ sucesión {a n } tiene por límite "menos infinito", 11 ele K, existe un número natural v, tal que es an < H,

SI

lim an

=-

oo.

para cada

de1ll1'llfo

30

Sucesiones convergentes y fundamentales

Evidentemente, si una sucesión tiene por límite + oc, o - ' X l , tiene límite infinito; sin embargo no se puede asegurar la proposición inversa.

Se supone lim an = O.

H:F- O tomando

Para cada

Ejemplos 1. - La sucesión {(- 1Y n2 } del cuerpo Q tiene límite infinito, púo no + oc, ni - x . Manifiestamente es

la.1

1a,,1

= n ~ n, 2

y para cualquier H € Q, basta tomar un número natural

!a n ! > 2, -

La sucesión

(n

H,

para todo

+ oc.

Como

n2 + 1 1 ---=n+-->n n n'

para cualquier H

€

P. n

3. - La sucesión (

n2~~

para todo

n

~ v.

del cuerpo Q tiene límite - 'x. Como

=

1 JHl' existe

un

v €

N tal que es

> H, para todo n

o

~

11,

tiene límite '-

+ -:X,

o

-'Xl,

si la sucesión {a.} tiene límite 0, y sus 101'-

minos son todos positivos o negativos ,respectivamente.

3.

Q, basta tomar un número natural v> H para que sea

a n > H,

J

a" ,

1

1 ) del cuerpo, Q tiene límite

:

1
e

Observación. En la proposición anterior se puede precisar que la Slll'(,~;I{'11

v> H, para que sea

n ~ v.

2

11

Sucesiones convergentes y fundamentales

PROPIEDADES ARITMÉTICAS DE LOS LíMITES

3.1, A partir de dos sucesiones convergentes se obtienen otras tamhu;1I convergentes, sumando, restando, multiplicando y en algunos casos dividit'lId" término a término las sucesiones dadas. . es que consideran l)('r/¡'/It'd'/1 Se supone que los e1ementos d e las suceswn el un cuerpo ord~nado K. sucesiones convergentes el/ Jo:. 11'1'·1,1 ¡J Proposición: S ean {} an y { b n 1f d('s ' Y b respectivamente:

para cualquier H € Q, basta tomar un número natural v> H sea a,. :c:;:: 1 -

n

,s;: 1 -

v

< H, para todo n

~ v,

2.3. En general, cuando no converge una sucesión, se dice que es divergente, pero si su límite es infinito se dice que diverge hacia infinito, Será divergente hacia + 'X', O' hacia -oCXJ, cuando éstos sean sus límites. 2.4, Una propiedad que relaciona las sucesiones de límite infinito con las de límite O, es la siguiente

Proposición: Si una sucesión {an }, sin elementos nulos, tiene límite infi· nito, la sucesión de los inversos tiene límite O; y si una suc(!síón, sin elementos nulos, tiene límite 0, la sucesión de los inversos tiene límite infinito. Demostración: Se supone lím a, Para cada

8

€

=

'Xl.

I K+, tomando H = ~~, existe con

>H

o

¡-¡;-! <

~

= "

y

Um bu = b,

se tiene: a) La sucesión {a n + b n } converge y es lim (a,. ± b n) = a ± b. b) La suceSlOn {a n ' b n } converge y es liril. (a n • b n) = a . b.

~ ~n~ ~

Si bn:;i:. O para toda u, y b:;i:. O, la sucesión

c)

,I

converge y

N tal que es

para todo

n

~ v.

('S

1

l1m-~=-~.

bn

b

Demostración: a) Para cada e € K' la condición de convergencia expresa que existen dos números naturales Vl y Vz tales que es la n-- al <

T'

para todo

n ~ Vl.

6

Y lbn~bl <-2-'

para todo

n

Si v = máx {v¡, vz}, se tiene: v €

E

anl

lim a. = a

1 para que'

I(an

± bn)-(a ± b)! = I(an-a) ± (bn-b)!,s;: lan-a! + Ibn-bl <',

para todo n

~ v.

'v:.

32

Sucesiones convergentes y fundamentales

a,.

d b) I Por ser convergentes {un} y {b n } están acotadas, por lo que existen os e ementos h¡ y h2 de K, tales que es

lanl <

Ib,,1 <

Y

h¡

para todo

h 2,

Si

v

=

para todo

n

>-

Y jb

VI>

bl < 2 eh¡' para todo n

n -

a)

bn +

(b n -

b) al

para todo

e,

n

l

tural

Po. ser v

r1m b,,= b -r-.tO, dado el

e

lb!= -2

€

>- v.

K+, existe un número na-

tal que es

lb - bnl <

Ohservación. Los resultados referentes a las sumas y productos de dos sucesiones convergentes, se generalizan de manera natural al caso de varias sucesiones. Sin embargo no es lícito aplicar la proposición a sumas (o productos) en las que el número de sumandos (o factores) sea "variable" y no esté anotado.

jbl

-2- para todo

Ibl

o -2- <

Si se designa por r = mÍn {Ib¡j, r> 0, y se tiene: r~ v

Ib.l,

Ib.l

n

para todo

2

n)

(n sumandos), es an

= 1 para

3.2. Para las sucesiones con límites infinitos también se pueden dar algunas proposiciones referentes a la suma o producto, pero de alcance más limitado.

n ~ v.

lb,,' <

h,

n

pa.ra todo

E

K tal que es

E

N.

Para cada H de K, al ser {a,,} divergente hacia x, existe un v

lanl > H + h,

es manifiestamente

n

e E

lan + bn

E, N.

K+, existe un número natural

para todo

n;;'

€

N, tal que es

v.

para todo

n ~ v,

l ,

;;,

lanl-lb.1 >

H,

para todo

n > v.

Observación. La conclusión de la proposición se mantiene cuando {a n } tiene límite infinito con signo determinado, conservándose el signo.

Proposición: Sean {a,,} una sucesión divergente hacia 00 en K y {b n } una sucesión tal que Ib n > k > O para todo n > "o. Entonces la sucesión {a n b"} es divergente hacia 'oo. !

Ib,,-bl

Ibllb,,1 <

jb,,-bl rz < e,

para todo

n ~ v.

un

Demostración: Para cada H de K, al ser {a n } divergente hacia l' E N (que se supone mayor que vo) tal que es

Proposició.n: Si {a,.} y {b.} son dos sucesiones convergentes en K hacia a y b respecttvamente, y además b" =¡i= O para todo n, y b =¡i= O; entonces la

~ ~ ? converge,

+ ... + -1n-

Demostración: Por ser {b,,} acotada existe un h

de donde resulta

(

n

Consecuencia de estas desigualdades es

para todo

lb" - bl < e. rz,

sucesión

1

n

Proposición: Sean {a,,} una sucesión divergente hacia ex en K y {b n } una sucesión acotada en K. Entonces la sucesión {a" + bu} es divergente hacia oo.

>- v,

Ib 1, ... , Ib.-II, j2bl },

Por la convergencia de {b.}, para cada tal que es

_1_ _ _1_1 = 1b b,.

1

todo n, por 10 que el límite 'es 1. Sin embargo cada sumando tiende a O. Pasar al límite en cada sumando para obtener el de an no tiene sentido.

de donde

Ibl Ibl-jb.l < -2-

a"

V2'

~ jan - allbnl + lb" - bllal <

e

e

bn

Por ejemplo, si an = - - + - -

< 2 h2 h¡ + 2 h h l =

e)

~

máx {VI, Y2}, se tiene:

la" bn - abl = ICa,. -

Como - - =

1 . -b-' basta aplicar los apartados b) y e) de la proposin

ción anterior.

n E N.

Para cada é E K+, la condición de convergencia expresa que existen dos números naturales V¡ y V2 tales que es 0_ la" - al < _2h/

33

Sucesiones convergentes y fundamentales

y es lim

~= b.

_a_. b

H la,,1 > -k-'

para todo

n;;'

v.

En consecuencia,

la" . bnl

=

la,,1 • Ib,,1 > lanl k> H,

para todo

n;;'

Y.

00,

existe

34

Sucesiones convergentes y fundamentales

Observación. La conclusión de la proposición se mantiene cuando {a n } tiene límite infinito con signo determinado, y bn > k > O para todo n > vo, conservándose el signo. Si b n < k < O para todo n > vo, cambia el signo del límite infinito. 3.3. Examinados todos los casos de operaciones aritméticas con las sucesiones {a n } y {b n } convergentes hacia límites finitos o infinitos, las proposiciones demostradas prueban que, en la mayoría de los casos, la sucesión que resulta tiene un límite determinado, que depende exclusivamente de los límites de las sucesiones. Sin embargo hay algunos casos en los que las proposiciones anteriores no deciden, y son los que se presentan en la siguiente tabla: Suma y diferencia tn~ an ~ Producto Cociente

n

a

--+

~an

IX

b n --+ +'x: b n --+ x

O

b --+

+x ,

n

Xl

caso caso

'Xl -

tu t 21 t 22 t 31 t 32

t33

que cumple las siguientes condiciones: a)

Designando por

00, Tn

r.

= t nl

la sumarde los elementos de la fila n-ésima:

+ t n2 + ... + t nn ,

existe lim

X>,

Tn

para n = 1, 2, ... ,

=

T

n~ro

--+

O

an --+

00

bn

~

b n .--+

O 00

O caso -0-'

± b n },

{a n • b n }

y

b)

Existe un elemento k

00

It n1 i

caso -,x-, c)

En estos casos, los límites de las sucesiones

{an

4.2. Proposición: Dado un cuerpo ordenado K, se considera un esquema triangular ilimitado con elementos del mismo:

00-00,

caso O·

35

Sucesiones convergentes y fundamentales

~ ~: ~ ,

no dependen exclusivamente de los límites de las sucesiones con las que se opera, sino que también dependen de la manera que las sucesiones tienden a sus límites, y no se puede asegura.r "a priori" si existe el límite, y cuando existe, cuál es su valor. Tradicionalmente se denominan éstos: casos de indeterminación y se simbolizan como se ha hecho en la última columna de la tabla.

4. TRANSFORMACIONES LINEALES QUE CONSERVAN LA CONVERGENCIA EN LAS SUCESIONES 4.1. Algunas proposiciones permiten deducir de una sucesión convergente en K dada, otras sucesiones igualmente convergentes en el mismo cuerpo. Operandoconvenientcmente con los términos de la primera sucesión, se obtienen los de las otras. En el método de Toplitz, que se expone a continuación, las operaciones son de naturaleza lineal. A parte de un evidente interés práctico, estos métodos permiten la generalización del concepto de límite, que conducen a importantes resultados en la teoría de series.

K + tal que es

€

+ It n2\ + ... + Itnnl <

k,

para todo

n.

Cada columna tiene por límite O; es decir, para cada i es

=O

lim t ni

Entonces, Sl. { an } es una sucesl'on' convergente en K hacia a, la sucesión { b n } en la que nI para n = 1, 2, ", , b "= t ni a1 + t n2 a2 + • • • + t nn .." es convergente ~n K, y además lim bn =

¡;.

a.

Demostración: Se considera primeramente el caso en el que es a = O. Para cada E € K+, exist~ un número natural fl tal que es

la.. I <

:k'

para n

~ p.;

y por ser convergente la sucesión {a,,}, existe un A € K+ tal que es

Ia,,¡ < A,

para todo

n.

Por otra parte, como las columnas tienden a 0, existen números naturales n¡, n2' ... , nI'

tales que es

36

Sucesiones convergentes y fundamentales

37

Sucesiones convergentes y fundamentales

para

Demostración: Se considera la sucesión {a,.} en la que

~ (!t"ll . lad + It n21

la 1+ 2

Y an-- B

BI

Designando por

2 ,~lA (/a11+

An- A n_l

Al al = - -

respectivamente. v

= máx {nI, n2, ... , nw i'} Y suponiendo n?-

. /a2[ + ... +

... +

I~I) +

v

se tiene;

Itn~1 • I~I) + (!t", ~+II . 1~+11 + ... + It"nl . lan/) <

:k

(It n, ~+11 + ... + It..nl)< 2 :A !-lA +

4~

k< e,

t nl

= --,

t n2

Bn

=

B

t n2

+ ••• + t

nn

+ '" + t nn ) • a + T"

a

+ (tnl

dI

+

(tnl

dI + t nz d 2 + '" +

t n2 dz +

t n.. d") =

Bn

tan -

= 1r para todo n

+ tn2 a2 + ... +

lim (t n1 al

Bn

Observación. Si los elementos del esquema triangular son positivos o nulos, la condición b) es superflua. En este caso Itnll + ... + Itnnl = "n, y como la sucesión {T n} es convergente está acotada. Lo mismo se puede decir en el caso de elementos negativos o nulos.

+ ...

Bn

E

N.

a,.) =

tn.,.

+An.-An_l) = Bu

lim An n-->ll>

B'I

/.

Ejemplo. - Se tiene, para p entero y positivo

'" + t n" do).

El primer término, según la hipótesis a) tiene par límite" . a, y el segundo sumando es del tipo considerado en primer lugar, que tiene por límite O.

4.3.

, ... ,

n~(X)

lim (~+ A 2 - A l t n2

n

Aplicando esta proposición se tiene

nCO-+

+

n= 2, 3,

n-l

cuyos términos son todos positivos. Manifiestamente se verifican ciones de (4.2) y además r

En el caso general, si lim an = a, poniendo a" - a= d n , la sucesión {do} converge hacia O. Sustituyendo a" = a + dn en la expresión que define b • se n tiene:

(t nl

B

que por hipótesis tiene límite 1, y el esquema triangular en el que 1<1 fdo! n-ésima es _ BI B2 -B I B,,-B n _ l

t nI + lo que prueba que la sucesión {b"} converge hacia O.

n-

P+2P+ ... +n·

lim ---n-:P:-:-+~l

1 =~-.

p

n-+Cú

Para aplicar el criterio de Stolz se escribe Bn

=

y

nP+I

An = IV

+ 2" + ... +

nP,

y se tiene

Una aplicación muy útil del método de Ti::iplitz es el llamado "criterio

de Stolz":

luego

Proposición: Sean en Un cuerpo ordenado K una sucesión creciente y divergente {B n }, y una sucesión cualquiera {A,,}. Si existe el límite finito · A,,-An_l l 1m Bn - Bn-1

1I...¡.OC

también existe, y coincide con él, el límite , An 1lm~=l. n'HU Bn

= l,

An-An_l

lim

~"OO

Bn - Bn_l

1

=--. p

4.4. Otra aplicación del ...."rl'terl'o de Stolz es la conservación del límite en la sucesión de los promedios sucesivos:

., {b"1\ de elclIwlI. Ión' Sea en un cuerpo ordenado K una suceslOn P ropOSlC . ' . } d 1 umas sucesivas Bn h = bl + tos positivos tal que la sucestOn {B n e as s ' /}1 .-\... + b n sea 'divergente. Entonces sz. 1a sucesián {a,.} converge aCta a, e.\ lim

+ C2z b2 + ... + a,. b" = b1 + b z + ." + b n

al b 1

a

38

Sucesiones convergentes y fundamentales

Se escribe An

= al b

l

5.2.

+ az b z + ... + an b n, Y se tiene

39

Sucesiones convergentes y fundamentafes

Proposición: Toda sucesión {a n } fundamental en K está acotada en K.

Demostración: En la definición anterior, la desigualdad

An - An_l a" b = - - - = a" Bn-Bn_l b. A

la" - aqj < p equivale a

cuyo límite es a.

que se verifica pata todo p ;:;"

En particular, haciendo b l = b 2 = ... = h. = oo. Si lim an = a, es . al l ¡m

+ a2 +

oo,

n

U-IoCO

= 1,

resulta:

tiene av -

e

v

a. -

y todo q ;:;"

< a. < av +

< ap< aq + E,

t

En particular, si se fija q

v.

p > v.

para todo

E,

= v se

Entonces, el elemento s = máx {a¡, aZ, oo., av_h a v + E} es una cota superior de la sucesión, y r = mín {al' al> ... , av_l, av - E} una cota inferior.

+ a" =a.

(

Los ejemplos más sencillos de sucesiones fundamentales son las convergentes. 5.3.

5.

SUCESIONES FUNDAMENTALES

Proposición: Toda sucesión {a n } convergente en K, es fundamental (!n K.

5.1. Aparte de las sucesiones de elementos de K, que convergen hacia un elemento de K, cuyos términos se apraximan al límite tanto cuanto se desee, se pueden definir sucesiones de elementos de K, que tienen la propiedad de que sus elementos se aproximan entre sí cuanto se quiera. Estas sucesiones que se denominan fundamentales o de Cauchy, pueden tender hacia un elemento de K o puede ocurrir que no exista en K un elemento que sea límite de la sucesión. Se plantean, pues, dos cuestiones. Una referente a la definición precisa de las sucesiones fundamentales. en la que sólo han de intervenir los términos de la sucesión y que se consigue que de manera satisfactoria con una formulación tipo "e, v". La otra cuestión se refiere al estudio de los cuerpos ordenados con suficientes elementos, para que se pueda asegurar la existencia en ellos de elemento límite para cada sucesión fundamental. Este asunto se tratará en el capítulo siguiente.

Definición: Sea K un cuerpo ordenado y { án} una sucesión de elementos de K. Se dice que la sucesión es fundamental (a de Cauchy) en K, si para cada elemento pasitivo , € K+, existe un número natural v, tal que es

lav ~ aql < e,

para todo

p~v

y todo

q ~ v,

con

p, q

E

N

Demostración: Si lim a. lan Luego si p

~ v y q ~ v

= a,

para cada E

al < -2~'

E

E

K+, existe un

n~

para todo

v E

N tal que es

v.

se tiene

·lan-a.1 = !(ap -a) - (aa' - al'l ~ la. ~ al

+ la. -al <

"-

Esta propiedad también se puede enunciar de la siguiente forma: Candición suficiente para que una sucesión sea fundamental en K es que sea convergente en K. Sin embargo, si K es un cuerpo ordenado cualquiera, la condición no es necesaria; es decir, existen sucesiones fundamentales en K que na son convergentes en K. Tal sucede en el cuerpo Q de los números ,racionales, como se comprueba en el ejemplo siguiente. 5.4.

En el cuerpo Q de los números racionales, la sucesión

al = 1,

1 a2 = 1 + 1 +

1

al = 1

3 -2-'

+ -2~ =

1

7

+ a2

5

a3=1+~=--

1

Y en general

an = 1

+

1

+ an_l'

es fundamental y na convergente en Q.

I----~

Como I

a,

I

a.

Bv

i

¡

8q

8.

Esquema de una sucesión fundamental

I

a,

1

K

1

I=

+ a"_21

la" (1

+

1-

a n _2!

la"-l - an _2\

+

4

an-l) (1

a"_2) <

.

40

Sucesiones convergentes y fundamentales

41

luceslones convergentes y fundamenta/es

resulta

6.2.

El ejemplo expuesto en el apartado anterior prueba la siguiente

Proposición: El cuerpo Q de los números racionales no es completo. luego, escribiendo p = q

+ k,

+( 4q~~-2 + 4q: k-3 + ... +

se tiene

4.~¡

)< 2. :q_l(1 + + +

~

+ ...

)= 3 . !.-¡

Evidentemente, la suceswn {a n } es fundamental, pues para cada basta determinar un número natural v, tal que 2

3.4v -

1

<

e,

o

e €

Q+

~

7.

EJERCICIOS

1.- A partir de la definición de límite, indicar ct¡áles de las sucesiones siguientes son convergentes, y en caso afirmativo determinar su límite:

3 4v - I > -1__ 2

La finalidad del capítulo siguiente es exponer un procedimiento sistemá,iro para completar cuerpos no completos, como el Q, adjuntándoles nuevoS rl¡'mcntos. El cuerpo ampliado conserva las propiedades estructurales del primitivo, pero además sus sucesiones fundamentales son convergentes.

,

~1+(_!2:'.1

y entonces es

(

la" - a.1 <

E,

para todo

p ~v

y todo

q ~ v.

b) 1_1_

1

+ an- 1

y si el límite de {a n } fuera un número racional, también 10 sería el de las

p

p

1

, + a..) = ~q

1

+ 1)2

(n

el

~

e)

1_11_ + _"_ + ... + _"_1 . (n7 + 1 n2 + 2 n2 + n )

en 3. -

-n1+ 3

1

(n

+

1}3

+ ... +

1

+ ... + (n +1 11)3 ~ ;

d)

q

x¡

~ - -+ + - -+ + ... + -+1

1

n2

1

n2

2

n2

1

n

~

.

=O

X,,_I

= 1 + -2-

xn

y

para

n ~ 2.

Probar que es convergente y calcular su límite.

q De esta última igualdad se deduce p2 + q2 - 2 pq = O o (p - q)Z = O, lo que q, y por tanto, lim an O, lo que es absurdo, pues an > 1 para implica p todo n E N.

=

4. - Indicar cuáles de las siguientes sucesiones son convergentes, Y en caso afirmativo determinar su límite: a)

~l + _2_ + _3_1 : ( 11 n2 5

b

)

1n 2 +53nn -

2

l. ) •

2

S4n2 -2" I 6.

( ;

+ 11)2 S

(n

Sea la sucesión {x n } definida por

--=2+-- o sea - + - = 2 . q p q P

=

+

(n2

1+an =2+-:c- - sucesiones {l '+ el,.} y {l + an_I}' Entonces, poniendo lim (1 virtud de las propiedades (3.1), se tendría

I

2 - Calcular el límite de las s\jcesiones siguientes:

Sin embargo, no existe límite de la sucesión {a n } en el cuerpo Q. Efectivamente, de la definición de la sucesión se deduce 1

11

d) ( n _

CUERPOS COMPLETOS

6.1. Los cuerpos K que tienen la propiedad de que sus sucesiones fundamentales convergen, tienen especial interés en Análisis.

Definición: Se dice que un cuerpo ordenado K es completo, si toda sucesión fundamental de elementos de K, converge hacia un elemento de K.

5. -

32n \ •

Probar que si lim a~ = a' y lim a: = a 1

11....,.00

,,,

a¡ al

a)

I

N ,

es:

n....¡.CX)

fI

I

"

+ az a2 + ... + a. a"

lim - - - - - - - - - - = a' . a"; n

e)

~

n(n

3 + 2) - - n ~ -

n+l

n2 +1

42

Sucesiones convergentes y fundamentales

12. b)

6. -

lim

= a' • a

n

n

43

Sucesiones convergentes y fundamentales

•

Sea {E"} una sucesión cuyos términos valen {xn} definida por Xn

= -2-

1. Probar que la sucesión

o -

en

E2

f1

Probar que si ¡im an = a, es:

+1

+ 2z + ... + Z;;-'

n~CO

( n ) al +

(

~ )a2 + ... + ( : ) a"

lim - - - - . - - - - - : : - - - - - - - - - - = a. 2n

n-->CD

7. -

es fundamental. l3.-Probar que la sucesión {x,,} definida por

Probar que si lim n .... CO que es

la~fl

a: = O Y lim a:' =

1

x"

+ la;'1 + ... + la:'1 <

es fundamental. para todo

K,

n,

14. -

a;' + a; a;' + ... + a: a:') = O

8. - Sea {x,,} una sucesión de elementos de K no nulos, tales que es lim

X,,_l!

15. -

xn

1 n (n --1)

• para todo

n;::: k >

1,

Probar que si la sucesión {xn} cumple la condición 1

--< 1;

<

es fundamental.

Ix. - xn _ 1

xn+l

n~co

Probar que la sucesión {xn} para la que se verifica

Ix" -

entonces se tiene ¡im (a~

1

O, y además existe una constante K, tal

n-+OO

n~OO

1

= 1 + 11 + 2! + ... + -;:;-¡-,

~.Ie

IX

n_

1-

x"_21.

para todo

n;::: k

> 2,

siendo O:s;;..Ie < 1, es fundamental.

16. - Probar que si a> O, la sucesión {x n } definida por

probar que lim x. = O. ,,~oo

x n +1 Dar un ejemplo en el que sea lim - n---+oo xn

9 -

Xl

= 1,

Y lim x. = O. ~

Sea {x,,} la sucesión definida por

probar que la sucesión {X 2n _ l } es creciente y acotada superiormente, mientras que la sucesión {x 2,,} es decreciente y acotada inferiormente. Determinar el límite de la sucesión. 10. -

Sea la sucesión {x n } definida por la recurrencia lineal 8

X"_l -

x" = y donde xl'

5 xn _ 2

4

+ X"_3 '

para

n ~ 4,

x 2' x 3 son dados. Hallar el límite de la sucesión.

11. - Sea {tn} una sucesión tal que es O ~ t n ~ 1 para todo n; y {x,,} e {Y n } otras dos sucesiones que convergen hacia el mismo número a. Probar lim [tn X n

n~CO

+ (1- tn) Yn]

= a.

= c>O

y

x"+1

= _1_ (X n + _a_) 2 x n

es fundamental, y no converge hacia ningún número racional.

3. Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado' l.

El anillo de las sucesiones fundamentales.

2. \.

Sucesiones nulas, positivas y negativas. Equivalencia de sucesiones fundamentales. Cuerpo cociente.

'l.

Ordenación del cuerpo cociente. Teorema de completitud.

"j.

Un cuerpo ordenado K. en general no es completo; es decir, existen sucesiones de de K, cuyos términos se aproximan entre sí tanto como se quiera para las ('uales no existen en K elementos que sean sus límites respectivos. Este hecho repre""lIta un grave inconveniente en todas las cuestiones de convergencia, pues "al pasar al limite" no se tiene seguridad de encontrar en K un elemento que sea el límite. Se impone, pues, la necesidad de crear nuevos objetos que adjuntados al cuerpo K, lo conviertan en otro K* en el que toda sucesión fundamental sea convergente en K*. Dado el cuerpo K, se trata de hallar otro cuerpo K* que verifique las tres condiciolIeS siguientes: al K e K', o bien K es isomorfo a una parte de K'; b> K* esti ordenado, .1' la ordenación inducida en K coincide con la primitiva de K; el K* es completo. Distintos métodos se pueden seguir para construir el cuerpo ampliado K*. Y el que s, expone es el de las sucesiones fundamentales de Cantor: En el conjunto S de todas las sucesiones fundamentales formadas con los elementos de K, se considera la suma y producto de sucesiones, obteniéndose en S una estructura de anillo conmutativo con elemento unidad (l.4). Las sucesiones se clasifican en nulas, /",siti¡las y negativas (2). En el anillo S, hay sucesiones no nulas que no poseen inver.,as, y para obviar esta dificultad, se establece una relación de equivalencia entre las Mlcesiones de S, considerando como equivalentes dos sucesiones fundamentales cuando Sil diferencia es una slIcesión nula (3.2). Como el conjunto l de todas las sucesiones n u las es un ideal máximal en el anillo S de las sucesiones fundamentales, el anillo eo~Iementos

.

S

("/ente - ¡ - es un cuerpo que se designa por R (3.5). Esta decisiva propiedad de ser un

cuerpo el anillo cociente de S respecto de la relación de equivalencia, que es consecuencia inmediata de la propiedad maximal de l. también se puede probar por una demostración equivalente, como se hace en el texto. Este cuerpo R, que es ordenable (1\), es precisamente el cuerpo K* buscado. Finalmente se demuestra el resultado de que R es completo (5), y que cuando se p;Irte del cuerpo K = Q, es el teorema fundamental de la teoría del número real.

. . Este capítulo, de naturaleza más all?,ébrica que analítica, ~e hd desglosado del que sigue, referente nI cuerpo R de los números reales. Su interés es principalmente teónco, y se puede omitir su estudio. El cuerpo de- Jos números reales ruede introducirse directamente a través de una axiomática, como flC expone al final del capitulo siguiente.

45

46

1.

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

EL ANILLO DE LAS SUCESIONES FUNDAMENTALES

1.1., Dado un cuerpO' ordenado K, en general no completo, existen distintos metodos para completarlo. Se trata de construir un cuerpo K* ordenado y completo que contenga a K como subcuerpo; o dicho con otras palabras ~e trata de ~djuntar al conjunto K nuevos elementos, de forma que con el con~ ¡unto obtemdo K*:::> K ~e puedan definir una estructura de cuerpo ordenado, que conserve las operaCIOnes y la ordenación de K, en el que toda sucesión fundamental sea convergente. Existen distinto,s métodos para completar un cuerpo ordenado K, el que se expone es el metodo de Cantor de las sucesiones fundamentales. 1.2. Se designa por S el concepto de todas las sucesiones fundamentales for~adas ca.n . elementos de K. En el conjunto S la suma y el producto de sucesIOnes, ~r~gman ~na estructura de anillo {S, +, '}, como se comprueba en las proposIcIones SIguientes.

P~~posición: Si {an } y {b n } son dos sucesiones fundamentales en K, la suceslon suma {an + b n } también lo es.

Demostración: Para cada e € K+, la condición de convergencia expresa que existen dos VI, Vz € N tales que es la" -

aal < T'

para todo p'

>

-T'

para todo p

~ V2

VI

Y todo q

>

VI

Y todo

>

'Y2'

y

lb" ~ bal < En consecuencia, si I(a"

+ b,,) -

(a.

v

q

= máx {VI> V2}, se tiene:

+ bq)1 <

E,

para todo

p~

V

Y todo

q> v.

Proposición: Si {On} Y {b n } son dos sucesiones fundamentales en K la su' cesión producto {a n • b n } también lo es. Demostración: Por ser fundamentales, las dos sucesiones están acotadas, luego existen dos elementos hll hz E K tales que es

IOnI < Además para cada

la" - a.1 < y

e €

hl

Y

Ibnl <

K +, existen dos

2 Eh ' z

para todo

h2

Vio V2

para todo p

€

~ VI

n.

N tales que es Y todo

q

>

VI>

47

M¡§todo de Cantor para completar un cuerpo ordenado

En consecuencia, si la p

b" -

aq

b.1 =

I(a p

,,;:::8 2 h h2

~

2

VI

= máx {vI' vz}, se tiene:

+ (b" - b a.1 "s;: la. - a.llb. + lb. - bal la.1 s

-

aq ) b"

+

2e h h 1; para todo

q)

l,

........ v y t odo p,::/

........ q,::/

'Y.

l

1.3. La operación de suma de sucesiones es asociativa y conmutativa, por la adición de los elementos de K. El elemento neutro es la sucesión {O} rn la que todos los términos son O. La opuesta de {a n } es la sucesión {- a" }. Evidentemente estas sucesiones son fundamentales en K. La operación de producto de sucesiones es también asociativa y conmutativa y se cumple la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, por verificarse entre los elementos de K. El elemento neutro del producto es la sucesión {l} en la que todos los términos son 1. Los postulados que definen un anillo conmutativo con elemento unidad se verifican, luego: ~crl0

Proposición: La adición y el producto de sucesion~s orzgman una estructura de anillo conmutativo con elemento unidad {S, +, .}, en el conjunto S de las sucesiones fundamentales formadas con elementos del cuerpo ordenado K. Se abreviará la notación designando este anillo con la misma letra S con que se designaba el conjunto de las sucesiones fundamentales. lA. Una sucesión fundamental con uno o más elementos nulos, no tiene inversa respecto de la operación de producto de sucesiones, por lo que se puede asegurar que S no tiene estructura de cuerpo. 1.5. Es evidente que la suma y el producto de las sucesiones constantes, son sucesiones constantes, y se tiene {a} + {b} = {a + b} Y {a}' { b} = = { a . b}. luego

Proposición: El conjunto S' de las sucesiones constantes es un subanillo del anillo S de las sucesiones fundamentales en K. Como a los elementos a, b, ..., € K se les puede hacer corresponder las sucesiones constantes {a}, {b}, ... e inversamente, y como a la suma a + b Y al producto a· b de elementos de K, les corresponde las sucesiones constantes suma y producto de las correspondientes a los elementos a y b, se puede enunciar la siguiente

Proposición: Sea K un cuerpo ordenado, S el anillo de las sucesiones fundamentales cuyos términO's pertenecen a K, y S' el subanillo de las sucesiones UNÉS-3

48

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

constantes. Entonces la aplicación en la que a cada a G K, le corresponde {a} € S', es un isomorfismo entre el cuerpo K y el anillo S' (que también es cuerpo).

s

K

a . _ - - - - - - - - __ {a}

1 1 1 4. - La sucesión 1, 0, -2-' 0, -4-' ... , O, To' para cada

--- {b}

--{a+b}

a . b ------

49

s>

0, basta tomar

v

...

es nula en Q, pues

1

> --, para que sea a.. <

para n ~

€

e

V.

2.2. Proposición: Una sucesión {a,.} fundamental en K, tal que para cada É € K+, existen infinitos términos de la sucesión que verifican Ia.. I < e, es una sucesión nula.

S'

b._---- - Isomorfismo a+b..._----

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

v €

Demostración: Por ser {an } fundamental en K, para cada N tal que es

--{a' b}

para todo p ~

la" - aol < -2-' 8

y todo

v

K+ existe un

€

E

q;;:' v. E

Como por hipótesis, infinitos términos de la sucesi6n verifican

K cuerpo conmutativo

existe un aq tal que S anillo de sucesiones fundamentales

2.

la.1

2.1. En el anillo S de las sucesiones fundamentales, cuyos términos pertenecen al cuerpo K ordenado, se pueden considerar las sucesiones nulas, las positivas y la~ negativas, comprobándose posteriormente las propiedades de estabilidad respecto de la suma y producto.

Definición: Una sucesión nula en el cuerpo K, es una suceszon {a,.} de· elementos de K, que converge hacia O; es decir, para cada e E K+ existe un número natural v tal que es n;;:' ;

n

€

1

~ v

~+ t es

<', para que sea

1 < n

~-

3. - También la sucesión

para todo n ;;:,

~ (-1)" +~

,N.

la misma forma que en el caso anterior.

+ la.! <

para todo

F

p

~ v.

Equivalente a la proposición (2.2) es la siguiente

Proposición: Si una sucesión {a n }, fundamental en K, no es nula, existe '1 € K+ Y un v € N tales que es: '1

para todo

n;;:'

v.

2.3. Proposición: Una sucesión {a.} fundamental en K, que tien~ infinitos términos positivos e infinitos negativos, es una sucesión nula en K. v €

Demostración: Por ser {a,,} fundamental, para cada N tal que es la. ~ aql <

v.

es nula en Q, y se determina

aql

Demostración: Si para cada '1 > O existieran infinitos términos de la sucesi6n tales que la,,1 < '1, según (2.2) la sucesión sería nula.

nula en Q, pues para cada e> O basta tomar t

+ aol ::::;: la. -

lanl >

Ejemplos. 1. - La sucesión O, O, ... , O, ... es evidentemente nula. 2. - La sucesión

con q;;:' v; por 10 que se tiene

Proposición: Una sucesión fundamental en K, que tiene infinitos términos iguales a O, es nula.

un

para todo

= !(a" ~ aq )

+

En particular,

SUCESIONES NULAS, POSITIVAS Y NEGATIVAS

la,,1 < e,

lela! <

1a.1 < -2-'

v

de

t,

para todo

p~

v

y todo

E

q;;:'

€

K+, existe un

v.

Como existen infinitos términos negativos, sea a oo = - a;,o un término negativo con qo;;:' v, y sea a" un término positivo cualquiera con p ~ 11. De

a"

.,

+á <

e,

50

Mé'odo de Cantor para completar un cuerpo ordenado

resulta

Demostraci6n: Si {an } E S +, existen un

O
an >

para infinitos términos, por lo que, según (2,2), la sucesión es nula. 2.4.

Y análogamente, si {b,,}

De las dos proposiciones anteriores, resulta;

n>

para todo

'1

all < -

'1

a.

Demastración: Por ser {a,,} fundamental en K y no nula, existe un T} E K+, Y un v E N tales que es la,,1 > 1} para todo n 1'0' Pero por ser no nula, o no tiene infinitos términos negativos. o no tiene infinitos positivos. Si no tiene infinitos negativos, existe un VI € N tal que es an > O para todo n > VI; Y si v = máx {VD' VI}, es an > '} para todo n v.

>

>

Análogo es el caso en el que existen infinitos términos positivos.

2.5. Definiciones: Una suce~ión {a"} fundamental en K, es postiva, si existen un '} > O en K, y un númerO' natural V, tales que e's an >

r¡,

para todo

n;?:

v,

n

E N.

Una sucesión {a.} fundamental en K, es negativa, si existen un en K, y un número natural v, tales que es a" < -

T},

para todo

n;?:

v,

v

+ bn >

t}1>

para todo

existen un T/2

T}I

T}2

E

K +, y un

n;?: E K+

para todo

VI

€

N tales que es

VI;

Y un

v2 €

,N tales que es

n;?: Vz·

= máx {Vio V2}, se tiene T/I

+ T/z

Y an • b n >

T}I •

T}2

para todo

n;?: v.

2.7. En el caso de sucesiones constantes las definiciones dadas concuerdan con las correspondientes de los elementos de K.

n > v.

para tado

Designando por

v,

o es

E S+,

bn >

Proposición: Si una sucesión {a,,} fundamental en K, no es nula, existen un 1} E K+, Y un v E N tales que es a" >

51

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

T}

>O

n € N.

Proposición: La sucesión constante {a} es positiva, nula o negativa, si el elementO" a es respectivamente positivo, nulo o negativo, y recíprO'camente. Demostración: Si a> 0, es {a} positiva, pues todos sus términos son mayores que T}, donde O< 1} < a. Si a < O, es {a} negativa, pues todos sus términos son menores que - 1/, donde a < - T/ < O. El recíproco es evidente. 2.8. Se han definido en el anillo S las sucesiones fundamentales nulas, positivas y negativas, y en virtud de las proposiciones (2.5) Y (2.6) se verifican las propiedades de tricotomía y de estabilidad; sin embargo no se puede defInir una estructura de orden en S, pues no se verifica la propiedad antlslmétrica. En realidad lo que se presenta de manera natural es una relación de preorden. La ordenación se consigue estableciendo en S una relación de equivalencia, y considerando el conjunto de las clases. A una misma clase pertenecen las sucesiones fundamentales, que difieren en sucesiones nulas.

Estas definiciones permiten déf a la proposición (2.4) la forma siguiente:

Proposición: Una sucesión {a n } fundamental en K, o es positiva, o es nula, 0" es negativa, excluyéndose estas tres posibilidades. En consecuencia, designando por S+ el conjunto de las sucesiones fundamentales positivas, por S- el conjunto de las negativas, y por 1 el conjunto de las nulas, resulta la siguiente partición del con;unto S de las sucesiones fundamentales: S

2.6.

= S+ uluS-.

Proposición: Si {an}ES+ y {bn}ES+ es {a n }

y {a n }· {bn} = {a n ' b,,} E S+.

3.

EQUIVALENCIA DE SUCESIONES FUNDAMENTALES. CUERPO COCIENTE

3.l. En el anillo S de sucesiones fundamentales en K, se considera el subconjunto 1 de las sucesiones nulas, que tiene las propiedades siguientes: Proposición: La diferencia de dos sucesiones nulas en K, es una sucesi6n nula en K. Demostración: Si las sucesiones {a.} Y {bn} tienen por límite O, su diferencia también tiene límite O.

+ {bn}

= {a n

+ bn }

€

S+,

Proposición: El producto de una sucesión nula en K,' por otra fundamental en K, es una sucesión nula en K.

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

52

Demostración: Si {e,,} es fundamental, está acotada, luego existe un s tal que es

le,,1 < Supuesta nula {a n}, para cada

s, para todo n

7'

la" I <

"V

€

n~

para todo

K

€ N.

K+, existe un

€

f

E

N tal que es "V;

n~

v.

Estas dos proposiciones prueban la siguiente

Proposición: El eoñjunto 1 de las sucesiones nulas, es un ideal del anillo S.

3.2. En el anillo S de las sucesl'ones f un d amenta1es en K se establece la siguiente relación de equivalencia:

Defi?ición: Dos sucesiones {a'U} y {a' n}, fundamentales en K, son equivalentes Sl su diferencia es una sucesión nula; es decir: si

{a,,}-{a',,}

=

{a,,-a'n}

€

1.

Efectivamente se trata de una relacl'ón d e equlva ' 1encía, lo que es consecuencia de ser 1 un ideal:

Proposición: Si {an} ?S un elemento, o representante, de la das/' d(· Ilalencia a, un elemento cualquiera de a es de la forma {a n } + {c,,} =- {¡f" donde {c n } es una sucesión nula, y recíprocamente.

3.3. En el conjunto R de las clases de equivalencia, se ddilH"ll ciones de suma y producto de clases, de la manera siguiente:

Definición: Si de y otra: o:

1 es

a •

{ el" -

a;, } - { d" - d,.'} =

€

1 Y {a n

-

y fI son dos clases de R y {a n } y {h,,}

"

1,1', "1"'1,1

rqm',\('/II'II/¡".

es la clase de R, que tiene por representante a {a"

{', 1,

fI es la cZas? de R, que tiene por representante a {,r"

¡,,, :

11

Estas definiciones están justificadas, en primer lugar, porqll" \,1 '," ,j,'III'" tró (1.1) que la suma y cI producto de sucesiones fundament;¡\l'~ ,,(111 ',11' ,",1111'" fundamentales, por lo cual existen en R clases cuyos rCI'I't",'·ill.ll¡I,'" ',1'11 {a + b,,} Y {a n • b,,}; y en segundo lugar, porque 1as clases" I " " .. ' l' 1111 n dependen de las sucesiones representantes {a n } y {bOl} que se 11;111 "1"1',1.1" jI,lI" su definición, como se prueba en las dos proposiciones siguien !ce" {b,,} ~ {b'n}

Proposición: Si {a,,} '" {a',,} y

es{a"

+

h,,}

~.'

{J"

1 1,'"

I

qemostración: De las dos primeras equivalencias se decluCL'

es { a:} '" {a,.}

{dn-a,,}

Propiedad transitiva: si {a,,} '" {e(} pues si {a,. - d,.}

.',¡I/I 1 '"''

+

c"

y

b'" = b"

+ d"

con

{c,,}, {d,,} e J,

Sumando estas igualdades, resulta

Propiedad simétrica: si {a,,} "'-' {a:} €

+ 11

a

d., = a"

= {O} El.

pues si {a,,-d,.}

H, ,",

decir, R = -1-'

Propiedad reflexiva: {G n }""'" {a,,}, pues {a" -an }

l'OIl

S

Efectivamente un ideal está caracterizado por que la diferencia de dos elemento: de 1, pertenece al; Y el producto de un elemento de 1 por uno de S , tamblen pertenece a l.

{a,,} '" {el n }

y el conjunto de todas estas cIases se designará

a, (I, )', ""

I

para todo

f

letras

Demostración; Si {d n} ~ {a n } es {a n - an } € 1, Y poniendo ¡{" " es {en}€l, luego {dn}={an}+{c n}. Inversamente, partiendo de 1'~1.1 Idlllll,l igualdad se obtiene la equivalencia primera.

Y multiplicando las dos sucesiones, se tiene:

la" . enl <

" t

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

{a:. a':}

€

€

(d"

luego

l.

y {a:} '" {a';},

+ b'n) = (a" + b,,) + {a"

es {a,.},...., {d:}

á;} € 1 es l.

Esta re,ladón .de equivalencia se designará con la misma letra 1. Como relación de eqUIvalencIa, ongma una partición de S en clases, que se indicarán con las

+ d,,)

(en

+ b" } ......,

Proposición: Si {a,,} '" {d,,}

Y

{a'"

con

{en

+ d,,}

E

l.

+ b' n }.

{b,,} "-' {b'"}

es

{a,,· h,,} .~, 1./" ,1,'" I

Demostración: Como en la proposición anterior se tiene (f'" =. <1" I 1" \ 11 b'n = b" + d", Y multiplicando d n b'" = a. b. + a" d" + b" c" + c" el", In'. 1 (1 duetos de sucesiones fundamentales por sucesiones nulas, son no \;1<', 1111'1'" {a n d n + b" en + C n d n } es una sucesión nula.

S4

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

3.4. Las propiedades de la suma y el producto de sucesiones fundamentales en el conjunto S, se conservan en el conjunto de las clases de equivalencia, en virtud de la definición establecida, luego

Proposición: En el conjunto R de las clases de equivalencia, la suma es asociativa y conmutativa, y el elemento neutro de la suma es la clase ¡ de las sucesiones nulas, uno de cuyos representantes es la sucesión cero {O}. El producto es asociativo y conmutativo y se cumple la prO'piedad distributiva del productO' respecto de la suma. El elemento neutro del productO' es la clase que tiene por representant? la sucesión unidad {l}. Según esta proposición, los postulados que definen un anillo conmutativo con elemento unidad se verifican, y en consecuencia

Proposición: La adición y producto originan una estructura de anillo conmutativo con elemento unidad: {R, +, .}, en el conjunto R de las clases de equivalencia definida en el anillo S de las sucesiones fundamentales, cuando se torna corno condición de equivalencia entre dos sucesiones fundamentales, el qUf! su diferencia sea una sucesión nula. Esta última afirmación equivale a decir que R es el anillo de las clases de restos del anillo S respecto del ideal 1; es decir,

Sea, pues, {a.} una sucesión fundamental perteneciente a la' clase que es

la.1 >

Teorema: El anillo R =

+-

la. - a.1 <

'1 2

para todo

E,

Demostración: Sea a E R ya=/::- O. En primer lugar se probará que existe una sucesión {a,,} perteneciente a la clase a, tal que todos sus términos cumplen la,,1 > '1 donde '1 E K+. Se parte de una sucesiqn cualquiera {a n } E a. Como a =/::- O, la sucesión {an} no es nula, luego existe un '1 € K+ positivo y un v € N tales que es '1,

para todo n:>

p ~

v.

La sucesión obtenida sustituyendo los v -" 1 primeros términos de la {a n } por '1, no tiene ningún término nulo, y además es equivalente a la {CE,.}, pues la diferencia entre ambos es una sucesión con todos los términos nulos a partir del lI-ésimo, y por tanto nula.

E

'

v

IX,

tal

N; , es f un d amen t a. 1 En tam b'len

y todo

B

N existe un

E

q ~ v.

En consecuencia

para todo p:>

v

y todo q:¿

v.

Finalmente, para la clase de equivalencia a la que pertenece

~

.

!. ~,

que se

designa por a- l, es a' a- 1 = 1; donde se designa por 1, el elemento unidad del anillo R. Basta observar que es

_1_1

( a. \

de las clases de equivalencia respecto de

n

virtud de la definición, por ser {a.} fundamental, para cada v E N tal que fs

{a..} • \

1, es un cuerpo; es decir, todo elemento no nulo de R posee un inverso.

la.1 >

para todo

'1,

' , (a;:-\ \ l? se trata de cOl11pro b ar que 1a suceSlOn

S R=-¡-.

3.5. La propiedad más notable del anillo R, que justifica su construcción es la de cuerpo. Aunque el anillo S de las sucesiones fundamentales no es un cuerpo, lo es el R de las clases de equivalencia:

5S

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

= {l }.

3.6. La corstrucción del anillo R de las clases de equivalencia (4.3) Y la demostración posterior (3.5) de que es un cuerpo, pueden simplificarse teniendo presente la propiedad: El anillO' de las clases de restos de un anilla S respecto de un ideal maximal 1 es un cuerpo. En la situación presente bastaría probar la siguiente I

Proposición: En el anillO' S de las sucesiones fundamentales en K, el ideal 1 de las sucesiones nulas es maximal. Demostración: Si existiera en S algún ideal l':::> 1 estrictamente, pertenecería a l' alguna sucesión fundamental {a.} no nula. Siguiendo el proceso de demostración del teorema, se puede considerar que en {a n } es 1a..1 > '1 > 0', por

lo que

~_l_t ES. ( an

\

En consecuencia {a n }·

\-~ ( (

a tt

= {l}

E

l', Y entonces toda sucesión fun-

)

damental {b n } E S, pertenecería a 1', pues {b.}· {l} = {b.}, por lo que sería l' = S. Lo que prueba que 1 es maximal en S.

56

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

Observación. Es interesante el hecho de que las demostraciones de que R es un cuerpo y de que l es maximal, coinciden en esencia. 3.7. Sea R' el subconjunto del cuerpo R formado por las clases de equivalencia que tienen por representantes sucesiones constantes {a}, {b}, ... Si dos clases de equivalencia de R' tienen por representantes las sucesiones constantes {a} y {b}, la suma y producto de las cIases tendrán por representantes {a + b} Y {a· b}, que como son sucesiones constantes sus respectivas clases pertenecen a R'. Como a cada elemento a E K le corresponde la sucesión constante {a} E S', Y cada una de estas sucesiones es representante de una clase de equivalencia de R'. queda definida una aplicación de K en R' que es biyectiva, pues evidentemente si a -:¡!: b las cIases de equivalencia en R' que tienen por representantes {a} y {b} son distintas, ya que {a} y {b} no son equivalentes. Como resumen de estos resultados se tiene:

Proposición: Existe un isomorfismo entre el cuerpo inicial K y R' que es un subcuerpo de R. Como el comportamiento formal del cuerpo K y el del cuerpo R' son idénticos, se identifican, y entonces es lícito afirmar que K es un subcuerpo de R. Establecido este convenio, se designará con la misma letra que en K, el elemento correspondiente en R; es decir, si a se considera perteneciente a K, es efectivamente un elemento del cuerpo K, pero si se considera perteneciente al cuerpo R, representa la clase de equivalencia que tiene por representante la sucesión constante {a}.

4.

ORDENACION DEL CUERPO COCIENTE

57

Mrftodo de Cantor para completar un cuerpo ordenado

Si

v

= máx {VI' V2} se tiene a'" = a,.

+ cn >

+.

para todo n ~ v.

lo que prueba que la sucesión {a' n} es positiva. Definición: El conjunto de todos los elementos positivos de R, se denomina parte positiva, y se designa por R+. 4.2. La definición de cuerpo ordenado se basa en la consideración de su parte positiva. Los elementos negativos se caracteri~a? por que sus opuestos !lon positivos, es decir, pertenecientes a la parte pOSItiva.

Definición: Se dice que un elemento

r1.

E

R es negativo, si -

r1.

es positivo.

Proposición: Un elemento a E R es .~egativo .si, y sólo si, uno cualquiera de sus representantes {a n } es una suceswn negatwa.

a,,!

Demostración: Si a es negativo y {a n } uno de sus repres:ntantes, {será un representante del positivo - a, por lo que la suceSión {- a n } sera positiva. Como existe un "1 E K + Y un veN tales que es

-an >

"1,

para todo

n~

v,

es a. < - "1, para n ~ v; luego la sucesión {a"} representante de Il será negativa. Recorriendo el razonamiento anterior en sentido inverso, se prueba que si {a n } es una sucesión negativa .representante de un e R, este elemento es negativo. Definición: El conjunto de todos los elementos negativos de R, se denomina parte negativa, y se designa por R-. (1

4.1. Las definiciones establecidas de sucesiones fundamentales positivas y negativas conducen de manera natural a la ordenación del cuerpo R formado por las clases de equivalencia de sucesiones fundamentales.

4.3. Propoldción: En el cuerpo R, la parte positiva R+, la parte negativa R- y la formada por el elemento nulo {O}, constituyen una partición

Definición: Se dice que un elemento a E R es positivo, si uno cualquiera de sus representantes {a"} es una sucesión positiva. Esta definición queda justificada si se prueba que toda sucesión {a',,} equivalente a la sucesión positiva {a n } es también positiva. De la equivalencia {a',,} ~ {a n } resulta a' n = a n + Cn> donde {c n } es una sucesión nula. Por ser {a n } positiva existe un "1 E K+ Y un VI E N tales que es

R=R+U{O}UR-

a" >,/,

Por ser {c n } nula, existe un

para todo 1'2

E

n ~

n~

Demostración: Un elemento cualquiera a E R, pertenece a una y s6~0 a una de las partes anteriores, pues si {a"} es un representa~te de a, en VIrtud de la partición (2.5) establecida para el anillo de las suceSlones f~ndamentales, o {a,,} es positiva, o negativa, o nula, y respectivamente lo sera el elemento a. 4.4. Pa.ra que la ordenación definida en el conjunto R: dé origen a una estructura de cuerpo ordenado, se ha de cumplir la estab¡]ldad de la ordenación respecto de las operaciones de suma Y producto.

v

N, tal que es

en> ---- -;-, para todo

de R:

V2'

58

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

Proposición: Para todo par a,

{J E R+

es a

+ fJ

que con más precisión se enuncia de la siguiente forma:

E R+ ya· {J E R+.

Demostración: En virtud de la propiedad (2.6) para las sucesiones, si {a n } y {bn} son representantes de a y {J, que serán sucesiones positivas, también lo

serán {a.,.

+ b.}

Y {a.· bn}.

4.5. La proposición (4.3) afirma, por una parte, que el elemento {O} de R no es positivo, y por otra, que se verifica la propiedad de tricotomía en la ordenación de R. La proposición (4.4) afirma la estabilidad de la ordenación. En consecuencia, los axiomas requeridos para la ordenación de un cuerpo se verifican, y se puede enunciar:

. Teorema: El cuerpo R de las clases de restos respecto del ideal 1, es un cuerpo ordenado. Definida la parte positiva de R, a es estrictamente menor que fi, y se escribe a
Si

a

< fJ

O a

=

{J,

se escribe

a

Teorema: Si fJ < c< a.

y f1 > a, así como a:S:; fJ Y f1

Demostración: f3 - a tiene por representante {bn - a.} cuyos términos son todos no negativos para n ~ 'V, por lo que la sucesión {b. -a.} no será negativa, y en consecuencia, es {J - a ~ 0, O fJ .> a.

Cuando una de las sucesiones anteriores es constante se tiene: a;

si an ~ k

b. - an > '/ para todo

E

n~

a

<

C

<

¡J,

VI'

Por otra parte, por ser {a.} fundamental, existirá un

aal <

la." -

+

para todo par p, q ~

y análogamente, por ser {b n } fundamental, existirá un '7

V2

€ N

tal que es

V2;

v3

bol < -4- para todo par p, q ~

p -

Sea v = máx {v¡,

E N

tal que es

v3'

V2,

V3}' y se trata de probar que la sucesión constante {c}

en la que es

c= determina el elemento c en R que verifica

a

< c<

{J.

Para probar que es c < ¡J, o sea que 11 - CE R+, basta eompr~bar que la sucesión {b n } - { c} = {b" - e} es positiva. Efectivamente, se tIene a., t bv a., + bv bv - a., b _~=bn-bv+bv--=b.-bv+-2-' n

Cuando las dos sucesiones son constantes, la relación de orden en el cuerpo K se conserva en el cuerpo ampliado R.

Proposición: Sean a, b a
~ ¡J, e.xiste un c € K tal que es

~ a.

4.6. Proposición: Sean 11., {J E R, Y {a n} y {b n } representantes de tales elementos; si an ~ ba para n.> v, es 11.::;;;; f3.

Proposición: Sean a E R, k E K Y {a n } un representante de para n ~ v, es a ~ k , Y si k ~ a. para n ~ v, es k ~ a.

a

Demostración: Se supondrá a < {J, lo que equivale a ¡J - a € R+. Si {a.} y {b n } son dos represen tan tes de a y p respectivamente, {b n - a.} será un representante de p - a, y por tanto una sucesión positiva. Existirán, por consiguiente, un '7 € K+ Y un V¡ € N tales que es

Ib {J

R Y

a, {J €

O

< {J.

Se consideran como equivalentes: a <

59

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

2

2

de donde para todo n

~ v,

es

a., + by by - a., r¡ r¡ _ '1 b" - - 2 - ~ - 2 - - lbn - bv ! > -2- - -4- ..,.. -4-'

K tales que a < b en K, entonces también es

Demostración: En R, a y b son dos clases de equivalencia que tienen por representantes las sucesiones constantes {a} y {b} respectivamente. Si a < b en K es b - a > O, Y la sucesión constante {b - a} será positiva, y por tanto representante de un elemento positivo de R, luego a < b en R.

Análogamente se prueba que eS a < c, para lo cual basta comprobar que la sucesión {e} - { a"} = {c - an } es positiva:

4.7. La ordenación definida en R tiene la notable propiedad de que "entre" dos elementos distintos de R, existen siempre elementos intermedios de K, lo

Demostración: Basta aplicar la proposición anterior al par de elementos 0,

Proposición: Si

"€

R.

a E

R Y es

a

> O, existe un c

€

K tal que es O < c <

'1..

60

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

61

Método de Cantor pua completar un cuerpo ordenado

Proposición: Si

a E

R, existe un d

E

K tal que es

rt

< d.

Demostración: Si a S;; O la proposición es evidente. Si a> O es l/a> 0, y existe un e E K tal que es O < e < l!~, de donde
5.

5.3. Proposición: Una sucesión {a n } fundamental en K es convergente ,n R, y su límite es el elemento a € R, que tiene por representante la suce-

TEOREMA DE COMPLETITUD 5.1.

de los pliado realiza tal de

La finalidad de la extensión del cuerpo K (en particular del cuerpo números racionales Q) al R, ha sido la de conseguir que el cuerpo amsea completo, cuando el cuerpo original K no lo es. Tal objetivo se en el cuerpo cociente R, como se demuestra en el teorema fundamencompletitud.

9.1'.

En el cuerpo ordenado R tiene validez la definición general de valor absoluto:

~

jaj

a

si

= (_ ~ ::

F,

a.j <

E,

e R+, existe un

v €

N,

v.

Tomando un c' E K+ que sea 0< F' < E, como la sucesión {an } es fundamental en K, existe un V¡ € N tal que es

El número natural

para todo

para todo

F

F',

v

=

para todo V¡

n;?:

VI

Y todo

m ~

VI'

ya cumple la condición primeramente indicada. VIl el elemento a n a de R tiene por

Rn efecto, sea n un número fijo, n;?: rl'presentante la sucesión:

n ~

v.

La sucesión {a n } es fundamental en R, si para cada elemento positit'o " de R, eXiste un v € N, tal que es

la. -

Demostración.· Se ha de probar que para cada tul que es la n - al < F, para todo n;?:

n

de sucesiones convergentes y fundamentales dadas para son igualmente válidas en R: converge hacia " en R, si para cada elemento positivo f N, tal que es

lan- al <

si6n {a n }.

la -ami <

a>O a=O a
y se verifican las ,reglas operativas ordinarias.

Las definiciones un cuerpo ordenado La sucesión {"n} de R, existe un v E

liempre un ,'€ K', tal que O < " < '. por 10 cual basta que sea jan - aj < " para n ;?: v, para que sea lan - aj < f para n ;?: v. Igualmente se comprueba la conservación de las sucesiones fundamentales en el cuerpo ampliado.

p ~

v y todo q ~

v.

Se ha de observar que en estas definiciones el elemento positivo tenece a R:

E

per-

Proposición: Las sucesiones {a n } que son convergentes o fundamentales en el cuerpo K, también lo son en el cuerpo ampliado R. Demostración: Los elementos an y a tienen distinto significado según se consideren de K o R, pero después de su identificación tienen el mismo comportamiento formal. Sin embargo las convergencias en K y en R difieren en que el elemento positivo '. una vez pertenece a K+ y la otra a R+. Ahora bien, en virtud de las propiedades del orden en R (4.7). para cada ' € R+, existe

cuyos términos para m lan -

amj <

E'

~

o

V¡,

son en valor absoluto menores que ,':

- / < an -

a m < F',

para todo

m;?:

VI'

Como el elemento a n - " E R, tiene como representante la sucesión {a n - tl!m} cuyos términos están comprendidos entre - " y + e', en virtud de (4.6) es

5.4. Teorema de completitud: El cuerpo R es completo, o sea, toda sucesión fundamental en R tiene límite en R. Demostración.' Sea {a n } una sucesión fundamental en R. Se supondrá que cada par de elementos consecutivos de la sucesión son distintos: ". =1= av+! para todo p € N. En caso contrario, o todos los términos a partir de un oc. Ion iguales: a" = ". para n ~ p, y evidentemente 1im a n = (l., o se puede elegir una sucesión parcial en la que cada término (ln sea distinto del anterior an_l' Si aIJ y ap-t-l son dos términos consecutivos, por ser distintos, en ~ virtud de , (4.7) existirá un elemento intermedio perteneciente a K, que se deSIgnara por d P), y será:

62

Método de Cantor para completar un cuerpo ordenado

La sucesi6n { a(n) } d l e e ementos de K es fundamental en K En ef t d a do un , € K+ po {}, ' ec o, ' r ser "n una SucesIón fundamental en R existe un v € N t al que es '

(el elemento positivo de R).

e €

para todo p ~ v, y todo q~v, K+, se 'd 'f' I entl lca con el elemento co.rrespondiente

En virtud de las desigualdades que definen la sucesión {a(n)}, es

la(·) - a(q)1 < la es q o q + 1,

a.'I,

p' -

donde p' es p o p

la rp) -

+ 1 Y q' a(·JI < E,

para to do p

5, 6.

q ~ v.

y todo

Finalmente se prueba que la sucesi6n {a(n)} fundament 1 K tant d 1 a en es represen~ e un e emento a € R que es el límite de la sucesión {a } En efecto se lene para todo n € N " ' ,

t

lan-al
e l<_2 ,

Y por ser {"n} fundamental, existe un

la,. -

d"JI <

€

R+

' ,exIste un

para t odo· n Vz €

la. - n+11 < T' G

E

1. Cuerpos arquimedianos,

2. 3. 4.

luego: ~ v,

4. El cuerpo de los números reales

>

v)

VI.

N, tal que es para todo

n

>

V2.

E

N tal que e

Definición de cuerpo de números reales. Teorema de unicidad. Teorema del extremo. Axiomas de los números reales. Ejercicios.

Para que un cuerpo ordenado y completo se pueda considerar adecuado para la medida de magnitudes lineales y se pueda definir como un cuerpo de números reales (2), es necesario que la ordenación sea arquimediana (1). La propiedad (1.4) que asegura que es arquimediano el cuerpo R de las clases de sucesiones fundamentales equivalentes, cuando lo es el cuerpo K, al que pertenecen los términos de las. mismas, confirma que ,1 camino seguido en el capítulo anterior, ha sido el propio para llegar a un cuerpo de números reales. No está excluida la existencia de distintos cuerpos de números reales, sin embargo un teorema de unicidad (3), prueba el isomorfismo entre dos cualesquiera de ellos, Esta unicidad permite dar una caracterización axiomática del cuerpo R de los números rea· les (5), en la cual las propiedades de ser un cuerpo ordenado arquimedianamente y ser completo, se pueden reunir en el principia del extremo que asegura su existencia, en los conjuntos acotados (4). Se puede decir que el principio o teorema del extremo, que es una de las formas de enunciar el postulado de continuidad, es el teorema más importante del Análisis real.

resulta finalmente

la. - al < donde

v

= máx. {"If

e,

para todo.

....... v,

n;::::"

V2}'

63

65 El cuerpo de Jos números reales

64

El cuerpo de los números reales

en el caso anterior. se tiene Demostración: Razonando como

l. CUERPOS ARQUlMEDIANOS 1.1. Un cuerpo ordenado K es siempre de característica 0, y contiene el subcuerpo Q de los elementos racionales que es isomorfo al de los números racionales, con los que se identifican. EL subcue.rpo Q está ordenado arquimedianamente, es decir, dado un elemento a € Q, existe un elemento entero n tal que a < n. Sin embargo" no se puede asegurar que la ordenación de K sea arquimediana. A continuación se dan dos proposiciones que son condiciones necesarias y suficientes para que la ordenación de K tenga el carácter arquimediano. 1.2.

sólo si, la sucesión de elementos racionales

Demostración: Sea por ser nula

n

:> v.

+t

Proposición: La ordenación de un cuerpo K es arquimediano

~

+

~

~

+

~

~

SI:

existe un entero positivo v tal que

+

> O; Y

+ +. <:

para

1 1 En particular es ------ < --, o sea o <: v, luego K es arquimediano. v

o

Sea K arquimediano. Dado un e € K Y e> O. es -

1 €

> O; Y por ser K

1

1

e

v

+

<:" para todo n

~ v.

y la sucesión

~+ ~

<

o sea

Un -

es nula en K.

1 < (J. <

Proposición: Sí la ordenación de K es arquimediana. toda sucesí6n {a,,} de racionales, convergente en Q hacia a € Q. es también convergente en K hacia a. Demostración: Dado un e € K Y E> 0, por ser K arquimediano existe un 1 entero positivo no tal que - - < E. Si lima. = a en Q, existe un v € N tal no

E

para

n

1

Proposición: Sí la ordenación de K es arquimediana, toda sucesión {a,..} de racionales, fundamental en Q, es también fundamental (m K.

2

v.

mi

.

y existirán dos, de numeradmes suceS1VOS

m

m y m

m

¿

+ 1'

tales que:

+1

--~(J.<--n-·

n

d determinado el ell'lm'nlll De esta forma, para cada entero positivo n que a m 1 {1l 1" 1ll;1 m de K. El conJ'unto de estos elementos raciona es a,.. = ~;1 racional --n cada f E K \, existe un l'l1ln o la sucesión {Un} cuyo límite es (J., pues para ' es -vl <

E,

en virtud de (1.2), y entonces

1 la-an \ <-v-<

> v,

lo que prueba la convergencia {a,.} hacia a en K,

para n ~

0<--<--<"'<-n n n

positivo v tal que

que es

+1

Un

" + 1 es racional y mayor que Ll, 10 que prueba qm.' l' l'e. El elemento a. arquimediano. ~ O Considerado c'\ cky un a e K que se supone (J.,y' ' ' Sea K arquimed lano, '1 d' la ordenación, existe u n en I l'I'll 1'''mento - - € K, por ser arquime lana n , 1 . a estará complTllllidn ",,111' > ct', Y en consecuenCIa, sitivo m¡ ta1 que mI' -nlos elementos extremos de la sucesión finita

Consecuencias de la proposición anterior son las siguientes

1 Ia,.-al <~-< no

no

q

lo que prueba que {u,,} es fundamental en K. . ' .' d . , d un cuerpo K es arqUlmedwnu SI, 11 1.3. Proposición: La or enacwn re, K de una sucesión d<:' ('/('/111'/1sólo si. cualquier elemento (J. € K, es ¡mzle en tos racionales, una sucesión de elemen/ os Demostración: Sea un ct € K, Y {an } , N lal que Dado el elemento 1 eXlste un v € ' tal que l1m an - ".

arquimediano existe un entero positivo v tal que - - <: v, o sea - - <: 6, Luego

_al<_l_
p

y

es nula en el cuerpo K.

nula en K. Si o ~ K ya> O. es

la

B,

para

n~

v.

cnll{a n } de elementos racionales f uera' a < O, se considera la sucesión h au;¡ o. , '{ 1 será convergente .' y entonces la sucesJOn ~ an f vergentes h aua - n,

s1,

67 66

El cuerpo de los números reales

lA. Proposición: El cuerpo R de las 1 d . . c ases. e eqUlvalencza de sucesiones fundamentales, definidas en un cuer mente, es también arquimediano. po conmutatzvo K ordenado arquimediana-

El cuerpo de Jos números reales

z Se trata de demostrar la existencia de una aplicación biyectiva f : R, -+ R , 1 tal que para todo par a', a" € RI! sus imágenes ¡(a'} f(a") é R , verifiquen las

condiciones:

Demostración; El cuerpo R contiene un sub ' . cual a su vez contiene el sub cuerpo R Isomorfo al K, el Para todo ,> O R . cuerpo Q de los elementos racionales de K , ' € , en vIrtud de (In; 4.7), existe un " e K tal

qu;

0< " <

E,

existe un

Y por ser K arquimediano la suceSlOn ., v €

i-n1- ¡) es nula en K, 1uego

N tal que es 1

-<"<6 par a n ...... n ~ v,

fea' f( a'

+

si

a'

•

d'} = fea'} + f(a") ; a'') = f( a') . f( a") ; < a" es fea') < f(a").

Demostración: a) Definición de una aplicación

f : RI--+' Rz.

Los cuerpos ordenados RI Y R z contienen cotro subcuerpos, los de los elementos racionales 01 e RI y Oz e R¡. En primer lu~ar se define la aplicación f de 01 en 01' haciendo corresponder a cada elemento racional de Ql el elemento racional de 02 representado por el mismo símbolo; es decir, a un elemento de 01 representado por la fracción

lo que prueba que R es arquimediano.

L, q

se le hace corresponder el

elemento de Q2 representado por la misma fraccióll

2. DEFINICIÓN DE CUERPO DE NÚMEROS REALES 2.1. Definición- Un cuerpo de ' pleto ordenado' arquimedianamen~~.meros reales es un cuerpo comLos elementos del cue rpo se den ominan números reales.

Teorema: El cuerpo de las clases d . 1 . ,e equtva encza de sucesiones fundamentales en el cuerpo Q -1 l , ' ",e os numeras racionales ' es un cuerpo de numeras reales. V n número real es una clase de equivalencia.

n

= lim a"

a

3.1. isomorfos' Teorema: Dosdcuerpos cuales uiera R ' 2 ' '. q 1 Y R de numeros reales ,es eczr, existe una aplicación biyectiva entre R y R' q~~ cons~a las operaciones de suma y producto, y además l I d 2 ClOno El lsomorfismo entre R 1 y R 2 es umco. ,. . a or enaSrYfl

R¡.

n

(3

= lim a.

Por d!!finición, el elemento {J

TEOREMA DE UNICIDAD

en

La sucesión {a n } es convergente en Rlo luego es fundamental en RI' En particular, la sucesión {Un} que es de elementos de QI es fundamental en QI' y en consecuencia también fundamental en Q1' Por ser R 2 arquimediano (1.2) la sucesión {a } de elementos de Q2 es fundamentd en R 2· Como R 2 es comn pleto {a } es convergente en R z, luego existe un P € R2 tal que:

Este cuerpo de números reales se d esigna por R.

3.

lo que se expresa

diciendo que en la aplicacz'ón f los elementos racionales son invariantes. Es evidente que esta aplicación de 01 en Qz es un isomorfismo que conserva el orden, y por tanto, si una sucesión {an } es convergente en Q¡ hacia a E Qh también es convergente en Qz hacia a € O;, y si es fundamental en Oh también lo es en Q2, y recíprocamente. Sea un elemento cualquiera a € RI' Por ser R, arquimediano, existe una sucesión {a } de elementos racionales que converge hacia a en R 1 (1.3):

~.2.

Consecuencia de esta definición es eqUl:alen~ia de sucesiones fundamentales deriued el cuerpo R de las clases de . nI as en un cuerpo K ordenado arqUlmedlanamente es un cuerpo d , e numeros reales, y en particular,

...1!-, q

aplicación f:

en

R 2•

R z eS el correspondiente al

€

(J

a €

R, en la

= f(a).

Para que esta definición sea consistente, el e1ement,) {J ha de ser independiente de la sucesión elegida {a,,} convergente hacia a. Sea {a' n} otra sucesión de racionales convergente hacia a en RI> por lo que se tendrá lim a = n

a,

bm d n =

a

y liro (a n ~dn) = O en

RI'

69

68

El cuerpo de Jos números reales

La sucesión {a" - a',,} de elementos racionales converge hacia O en R¡, y por tanto en 01 y en 02' y por ser R z arquimediano (1.2) también converge hacia O en este cuerpo. Como en R 2 existen lim a. y tim á., se tendrá en consecuencia lim an

= lim

a'.

R 2,

en

lo que prueba la unicidad de ¡J. En particular, cuando la construcción anterior de la aplicación f se emplea para hallar el correspondiente a un elemento racional a E R¡, se obtiene el elemento racional de R 2 representado por el mismo símbolo, pues el elemento a se puede considerar como límite de la sucesión constante {a} que converge hacia a en Qz, y por tanto en Q2 y en R 2• De la misma definición resulta: Si {a n } es una sucesión de elementos racionales de R¡, que converge en R¡, es lim f( an) = f(lim an),

I1

cuerpo de los números reales

d)

La aplicación

e)

f

f

es inyectiva. , " . S·' --/- n es a <. a 'a inmediata de la antenor. 1 a rO. Esta propiedad es consec~encl, ( ") fea') > f(a") respectivamente. En O a' > u", y en consecuencIa f(a) <. f a O todo caso f( a') -=1= f( a"l· es una aplicación de R¡ sobre Rz·

vez, de la hipótePara demostrar esta propiedad se hace uso, por pnmera 1 o R es completo. lis de que e cuerp \ . R P ser R, arquimediano existe una Sea fi un elemento cualqUiera de 2' or h·' ~ en R Esta sucesión lucesión de racionales {b,,} de R 2 que con~e.rge OacJa I O y2' también en RI t 1 R Y en consecuencia en 2 Y en 1, {b,,} es fundamen a en ! l ' 'n {b } será convergente en por ser arquimediano. Por ser RI comple~~ a suceslO . n;' D h . € R Luego para la suceSlOn {b,,} se tle . ni aCIa un a \. fJ = lim b n en Rb Y = lim b n en R 1, . , d e 1a ap j'!CaClo . 'n f permite escribir . t d de la definiclOn , \O que en Vlr u (J.

/I=f(o.);

donde el límite del primer miembro es {?n R 2 y el del segundo en RI' b)

La aplicación

f conserva la suma

imagen de un elemento de RI' t~ decir, todo elemento de R 2 es ,

y el producto.

{a::}

Si {a'.} y son dos sucesiones de racionales convergentes en RI hacia a' y a" respectivamente, en virtud de la definición de f y de las propiedades de los límites, se tiene:

fea' +

a") = f(lim d n + tim lim (f«) + f«»

=

= fea') + f(a").

<) = f(lim (d + ll

a~»

= lim

= lim f(d,) + lim f(á,,') =

t«

f(1im

+

a~)

=

a:.J + fOim d:) =

fea' . a") La aplicación

3.2.

El isomorfismo entre RI Y R 2 es único. R . f' t e los cuerpos de números reales R¡ Y 2

Sea g : R¡ -+ Rl un ¡somor Ismo en r que conserve la ordenación. a)

Los elementos racionales son invariantes en g.

En efecto de g(~) == g(o: + O) = g(~) + g(O) , res~lta ~~)"':=lO. Si g(o.) de g(o.) == g(o. • 1) = g(a) . g(1). resu ta ~ n - . todo n e N; _ (1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 - , para Como g(n) - g ... + 1)=. ' resulta que los enteros positivos son mvanantes.

*' O.

Igualmente resulta:

c)

.

= fea') . f(a"}.

I conserva el orden.

Como g(l)

Basta comprobar que si a> 0, a E R¡, es fea) > O. En virtud de (1.3), dado a, se puede elegir una sucesión {a.} de racionales convergentes en R¡ hacia a. Como a> 0, la sucesión {a n } es positiva, y existe un racional e tal que an > e> O para todo n)': v (4.5). Prescindiendo de los términos de la sucesión anteriores al a" se obtiene una sucesión de racionales, cuyos términos son todos mayores que c, y que converge hacia a en R\. Como la aplicación f conserva el orden de los elementos racionales, se tiene: fea) = f(1ím a n )

= lim fCa.))': I(e) >

feO)

= o.

1) = = g (n' -n-

1== n . ( 1 ) om. sea (~) = g (m .--~) == g(m) . g (-n )= - n ' n n . . , 1. ) . l

gen) • g \ -;-

,

se tiene

g -1 n

e

1 ) ___ 1 . o , y com g , -- - ( n n . .' t resulta que los elementos racLonales positivos son mvanan es. Finalmente, de O

.

= gen) =

g(a -

(m ) __

y en partIcular g - -n- -

a) = g(a)

+ g(- a),

sea g(- Cl) = - g(a), (~) = _~; resulta, pues, que los g n n O

.Icmentos racionales negativos también son invariantes. d' () - f(o.) para todo b) El isomorfismo g coincide con el f ; es eClr, g a .

a E

Rt·

71

El cuerpo de los núm~ros reales

70

Si fuera fea) < g(a) para algún elemento a E R, se tomaría un tal que fea) < e < g(a). Por la invariancia de los racionales es fea) < f(e), y como la aplicación f conserva la ordenación es hipótesis g conserva también la ordenación, luego de g(o) > e o > e, lo que contradice la desigualdad anterior. Contradicción análoga resulta si se supone fea) > g(o).

(J

4.

racional e € R 2 e = f(e), ltiego < c. Pero por = g(c), resulta

TEOREMA DEL EXTREMO

El cuerpo de los números nales

Teorema del extremo superior: Sea R un cuerpo de números reales, y e un subconjunto no vacío de R, acotado superiormente. Entonces existe un elemento € R que es extremo superior de e.

-¡-

n'

"

sucesión {a n }, se tiene: m' m +1 Y -,-<---, n n m m' sen cotas superiores de e y -n- y T m'+ 1 n'

n

--<~ 1

ues m + 1 Y ~ P n n' Si

4.1. Entre las propiedades no algebraicas de un cuerpo de números reales R, la más importante es la llamada "principio del extremo", que asegura la existencia en R de extremo superior (1; 3.7) para los conjuntos, no vacíos, acotados superiormente.

m' son dos términos cualesquiera de la y a' = __

n

En efecto, si a,. =

m' n'

m n

~~--

nO lo son.

es m n

ni + 1

m' n'

m' _ n'

1 n'

---~<---------,

m

n'

m'

y si - - ~ - - análotamente es n n' m' m 1 n' n n luego en todo caso y cUllquiera que sea k se tiene

----<--;

O)

Demostración: Si s es una cota superior de e, por ser R arquimediano, existe un elemento entero q € R, tal que s < q, por lo que q será una cota superior de e. Sea XI un elemento de e y p un elemento entero p € R tal que p < XI' Se puede tomar p = O si Xl> O, Y si Xl < O al ser R arquimediano existe un entero q' > - X¡, y se puede tomar p = - q'. En consecuencia entre p y q hay elementos de e, y no hay ningún elemento de e muyor que q. Entre los elementos racionales de R de denominador n, y comprendidos entre p = -pn - y q = -qn- hay uno mIlllmo que es cota superIor deS e . ea ta1 l'

elemento

n m+1

---, n

.

n

1

Ia..+k -

a..1 <---n"

lo que prueba que es fmdamental la sucesión {a,,}.

~ :

Esta sucesión {a,,} = emite un elemento

O)

€ ,{,

~

es, por tanto,

€

e tal que x>

se podría determinar ur entero positivo 1

a)

Para todo x

b)

· ' algun Exlste

€

_m + 1

e,

es

X ~ -~-.

--
X' €

e

tal que -m- < n

o

VI

(¡)

w

o

X

----'(¡)

1

w
se podría determinar un

1

a,,
m

tiene' una sucesión de elementos racionales - , determinados por las condin ciones indicadas. Escribiendo a" =

~, se obtiene la sucesión n

V2;

VI

Al recorrer el denominador n la sucesión de los enteros positivos, se ob-

{a,.} que eS fundamental.

a.. = y po.r tanto

VI

y

"2

se tendría

mIl n n

~
m+ 1 ---
1

> O, como tim -n- = 0,

fuera X'.

VOl

tal que fuera

VI

Por otra parte, por ser Lim el" =

n

en R Y tiene

que es el extremo supenor de C.

En efecto, si existiera un x

que quedará determinado por las dos condiciones:

co~vergente

Vz €

N tal que

72

El cuerpo de los números reales

m +1 lo que es imposible pues - - - es una cota superior de C. n Finalmente, para todo "" < w, por ser ¡im a" = w, existen términos el" > w', y por lo tanto elementos x E e tales que x> a" > w'. Lo que termina la demostración de que w = sup e.

El cuerpo de los núneros reales

4.2. En parte recíproca de la anterior es la propiedad siguiente, que establece la equivalencia entre el principio del extremo y la doble propiedad de la ordenación, de ser completa y arquimediana.

5.

Proposición: Si en un cuerpo ordenado R, se cumple el principio del extremo superior, es R un cuerpo de números reales. Demostración: La ordenación de R es arquimediana. Sea E el conjunto de los elementos enteros de R. Si E no está acotado superiormente dado un x> O cualquiera de R, existirá un n E E tal que x < n, que es la condición de ordenación arquimediana. Si E estuviera acotado, existiría en R un w = sup E; Y en virtud de la definición de extremo superior existiría un n E E tal que w -1 < n o w < n + 1, en contra de la hipótesis de extremo. El cuerpo R es completo. Sea {a n } una sucesión fundamental en R. Si sólo existe Un número finito de elementos distintos en la sucesión, todos serán iguales a partir de uno de ellos, y el límite será el elemento que se repite infinitas veces.

Suponiendo que existe una infinidad de elementos distintos en la sucesión { a,,}, sea e el conjunto de elementos de R que están superados por infinitos términos de la sucesión, es decir, x E e si es infinito el conjunto de términos a n tales que x < «n. El conjunto e no es vacío, pues al ser { a,,} fundamental el conjunto de sus términos está acotado. Como el conjunto e está acotado supcrio.rmente, existe un w € R que es w = sup e, y se demuestra que es w = lim a n• En efecto, para cada

t

€

R positivo, existen infinitos a n tales que

Ja,.-wJ <-"2

Existen infinitos a n mayores que

úl -

ser w

+

O)

+ -2-

T' pues

úl -

-1--- <

O)

sucesión fundamental, existe un

+ -[v E

pertenecería a

para todo

p

> v,

que ven'f'¡que la desl'gualdad primera, se tiene n -

mi <

e,

para todo

p

> v.

5.2. En el conjunto R de los números reales están. definidos los tres lip,<;s de estructuras que son fundamentales en la Matemática. La estruct~L~. ,ti L'.brica es la de cuerpo, la estructura de orde~ e~ !a de orden total, y~ ],1, cS:,:li~,­ tura topológica está representada por el prznczplO del extremo. Adcm,ls .. ' tres estructuras TI) son independientes. Las dos primeras hacen de R un C/lal ",' conmutativo ordenado, y el principio del extremo permite asegurar <¡1Jt' '''.1.1 arquimedianamenle ordenado y es completo. 5.3. Axiomas algébricos: Se designa por R un conj~~:o de m,ís ti" un ."1 •. mento en el que están definidas dos operaciones, la adlClon (en la cual .1 ',ld.1 Par (x, y) E R X F., le corresponde e1 e1emen t o suma x + Y E R) , Y\ \;1 //1/111/ Plicación (en la :ual a cada par (x,. y).€ R X R Ie. correspande e e\l'I1H't110 producto x· y € 1), que tienen las slgU1e~tes prople da des (qu e son los ;Ixiomas de la estruc1ura de cuerpo conmutatwo):

Axioma 1. Propiedades conmutativas: Para todo par x, y de elementos d? R, es:

úl

x+y=y+x, = sup C; y por

Como {a,.} es una

N tal que es

B

lao- aal < -2-'

e.

(1n

5 1 El teorema de unicidad prueba que, salvo un isomorfismo, qued,1 . . . d'a.des d'c .. ser, condeterminado el cuerpo de los números .reales por las prople ) . mutativo ordenad) arquimedianamente y completo, y por con.slgUlente .\( 1"'den tom~'r tales p'opiedades para una caracterización axiomátlca. Cada IIn,l (' •. las realizaciones re esta axiomática, como el cuerpo R de las clases de eqlllv.1 lencia de sucesiones fundamentales en Q, es un modelo de cuerpo de nlll11,'("I'·. reales.

x· y = y. x.

Axioma 2. Propiedades asociativas: Para toda terna x, y, z de elem(mtns

> m, nO' existen infinitos términos de sucesión mayores que

T' pues si existieran,

=

AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES

W---
B

(lQ

iav -,,1 ~ la, - «nI + la

e

E

o

Elegido un

73

de R, es: (x

+ y) + z = x + (y + z),

(x • y) . z = x . (y. z).

Axioma 3. Pwpiedad distributiva: Para toda terna x, y, z de elementos

y todo

q

> v.

de R, es;

x . (y

+ z) = x • y + x . z.

75

74

Ef cuerpo de fas números reafes

Axioma 4.

Existencia de elementos neutros: Existen en R dos elementos distintos, que se indican con O y 1, tales que para cada elemento x E R, es:

o+ X Axioma 5.

=

X

+ O=

l·

X

= x·1 = x.

Existencia de opuestos: Para cada x de R, existe un y de R, tal que es:

+y=

x

Axioma 6.

x,

y

+X =

O.

Existencia de inversos: Para cada x de R, que sea x ~ O, existe un y de R tal que es; x·y=y·x=1.

Axiomas de orden: En R está definido un subconjunto R + e R, que parte positiva de R, y sus elementos los positivos de R, con las sIgUIentes propiedades (que son los axiomas de orden en el cuerpo R). 5.4.

s~ ~enomina

Propiedad de tricotomía: Para todo x y una sola, de las tres posibilidades: X E

R+,

-x

x= 0,

€

Admitido uno de ellos, el otro es consecuencia, pues basta cambi~r e~ e cada elemento por su opuesto, y entonces el extremo superior pasa a ser mfenor, e inversamente. 5.6. Cualquier propiedad referente al cuerpo de l~s número~ ,reales, se deduce exclusivamente de los axiomas enunciados, pudIendo servIr para una fundamentación rigurosa de la teoría. La construcción del cuerpo R ~e las clases de sucesiones fundamentales de Q, prueba que el sistema de aXIomas es consistente en el marco lógico donde trabaja el Análisis. 5.7. En el cuerpo R de números reales, está contenido el anillo de los números enteros, que se identifica con Z, y que se origina a partir del elemento neutro de la multiplicación: el 1, por las operaciones de adición y sustraCCión. Z es el mínimo anillo que contiene el número 1 Y está ~ontenído e.n R. También en R está contenido el subcuerpo de los numeros racIonales, que se identifica con Q, y que es el mínimo cuerpo que contiene a Z, y está contenido en R. Los elementos de Q aparecen como cOcientes:

€

R se verifica una,

'

R+.

una fracción irreducible. . Existen infinidad de cuerpos que contienen a Q y están conte.mdo~ en R. Los números de R que no pertenecen a Q con los númf!T'os ¡rraaonales; es decir, un número real no racional se denomina irraciona1. Cuando un número real a es raíz de una ecuación

Axioma 9. Estabilidad de las operaciones. Para todo par x, y de elementos de R+, es:

x+y

E

R+,

x·

ao

+ al x + a2 x2 + .. , +

an x"

= O.

donde oQ, ah .,., a" son números enteros y n un número natural cualquiera: y

E

R+.

5.5. Axioma de continuidad: Los dos grupos de axiomas referentes aR que precisan su estructura algébrica y de orden, también tienen efectividad en el cuerpo Q de los números racionales. Precisamente la diferencial sustancial entre estos dos cuerpos ordenados, radica en la propiedad de continuidad de R. Una de las formas de enunciarla es el llamado principio del extremo. Axioma 10.

de dos elemen-

tos de Z con q =1= O. Cada uno de los elementos de Q queda determinado por

Axioma 7. El cero no es positivo, o sea O i R+. Axioma 8.

El cuerpo de los números reales

Existencia del extremo: Para todo subconjunto e de R no vacío y acotada superiormente, existe un elemento ~ en R, que es el extrema superior de C.

También se puede enunciar la existencia del extremo inferior como axioma:

Para todo subconjunto e de R, no vado y acotado interiormente, existe un elemento a en R, que es el extremo inferior de C.

es decir, se verifica Clo

+ al o. + a2 a 2 + .. , + a. un = O

se dice que a es un número algébrico. Los números reales no algébricos se denominan números trascendentes.

6. EJERCICIOS 1. _ Sea a cp O racional

y x irracional. Probar que ax y a + x son irracional~s. Dar un ejemplo de dos números irracionales x' Y x" tales que su suma x' + x' Y su producto x' . x" sean racionales. 2, _ Sean a, b, e y d racionales. Probar que a + b ,¡'[ = e + d ,¡'[ si, y sólo si, es a ~ ( y b = d. M ' 3. _ Probar que el conjunto K de los números de la forma a + b v 2, con a y b faCH)nales es un cuerpo, considerando la adición y multiplicación usuales. 4. _ Probar que no existe un número racional cuyo cuadrado sea 20.

5. 6 -

El cuerpo de los números reales

Sean a y b racionales positivos. Probar que Va + vD es racional si, y solamente y vD son los dos racionales. si, Se designa por {(x) el polinomio de coeficientes enteros ao + a,,, + a, r + ...

ro

... +an "n.

Probar que si el número racional

raíz de la ecuación: f (-;-) 7. -

8. -

9. 10. 11. -

= O,

~ q

entonces p divide a a, y q divide a ano

Probar que si el polinomio de coeficientes enteros 1, probar que los números racionales de la forma m - - , con m € Z y n € N es un conjunto denso en R (entre dos reales cualesquiera

hay puntos del conjunto). 12. - Probar que si a y b son dos números positivos ya> b se cumple la doble desigualdad 24 ~._. 26 ~ - - 'Va' + Ji' < 0.96 a + 0,4 b < 'Va' + b' 25 25

n.

13. - Ordenar de menor a mayor los radicales IS, v'3 y 14.-0rdenar los términos de la sucesión V'2, ~ .v4, .... Vn, .. ' 15. - Probar que si a y b son positivos, es I\YO- {;Ibl ~ -orla 16. - Probar que en un cuerpo ordenado K, las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) La ordenación de K es arquimediana. b) El conjunto de los elementos enteros Z de K, no está acotado ni superior. ni inferiormente. c) El conjunto de los elementos racionales Q de K, no está acotado ni superior, ni inferiormente. 17. - Probar que si el cuerpo K está ordenado arquimedianamente, y es a € K ya> 1, la sucesión {a n } no está acotada superiormente. lB. - Sea un conjunto A de números reales, no vacío y acotado, y e un número real positivo, probar:

bl.

sup(c· A) = csupA

e

21. - Si

d.

es una raíz de la ecuación f(x)

inf (e • A) = e • inf A.

donde c· A designa el conjunto de los números reales, que son producto de e, por cada uno de los elementos de A. Sean A y B dos conjuntos de números reales no vacíos y acotados. Se designa por A + B el conjunto:

A+B={zeRlz=x+y, xeA, YEB} • . Probar: sup (A + B) = sup A + sup B e inf(A + B) = inf A + inf B. 20. - Sean A y B dos conjuntos de números reales, no vacíos, tales que es x ~ y para todo x e A y todo y € B. Probar que sup A = inf B si, y sólo si, para cada • > O, existe un :JC' € A y un y' E B tales que es y' -:JC' < €.

= r + 6x + 1 = O,

r y

s

es una fracciÓn

irreducible cualquiera, probar que es

/s' . 7 )).

I",_~I(

(con p y q primos entre sí) es

p"

19. -

77

El cuerpo de los números reales

76

Se supone s> O. (Calcular f(x) -

f (

22. - Si '" es una raíz de la ecuación f(x) = ao

+ a, x + ... + an x" =

O, con cocficielJ "",

enteros, y _r_ es una fracción irreducible cualquiera, que no sea ral". .1(' 1.1 s

r

'

ecuación, probar que existe un número k fijo ( independiente de --'; ... ) tal '1" 1' o _ _r_ [ s

1>_1. ksn

1".

5. La recta real l. 2. 3. 4. 5. 6.

7,

Axiomas de la recta real. Intervalos, entornos y conjuntos abiertos. Estructura de los conjuntos abiertos en la recta real. Puntos de acumulación y adherentes. Conjuntos cerrados. Axiomática de los abiertos. Ejercicios.

En esta sección se introducen numerosos conceptos de uso constante en la Matemática: entorno." conjuntos abiertos, cerrados, etc. Aunque las definiciones y el estudio de sus propiedades se refieren a conjuntos situados en la recta real, la teoría es aplicable a situaciones muy generales, ya que se trata de los elementos básicos de las estructuras topológicas. El concepto de recta real se introduce axiomáticamente según el siguiente esquema: De las propiedades del cuerpo R de los números reales se seleccionan las que se refieren a la ordenación total, la no acotación, la densidad y la existencia de extremo superior. Tomadas como axiomas, todo conjunto R, en el que se pueda definir una ordenación que los verifique, se dirá que posee una estructura de recta real (1.2). (Se usa este nombre para acentuar el aspecto geométrico del concepto). Evidentemente que el cuerpo R de los números reales verifica los axiomas, y es el modelo más usual de recta real, pero como tiene además propiedades específicas, cuando se haga referencia a R se le denominará recta numérica, Existen otros modelos de recta real esencialmente diferentes de R, de la que en (I.4) se cita uno "bidimensional". Los cuatro axiomas de la recta real son suficientes para introducir los intervalos (2.1) y por medio de ellos los entornos lineales y sus propiedades esenciales (2.4). En la recta numérica R se puede introducir la noción de distancia (2.5) a partir del valor absoluto. Entre los subconjuntos de la recta R, está la clase de los abiertos, que tienen la propiedad de que la intersección finita y la unión infinita de conjuntos de esta clast' pertenece a la misma (2.6, 2.7). El sistema de abiertos define la topológica del orden en la recta real (2.8). Por otra parte la estructura de los abiertos en R es muy simple, pues todo abierto es unión de intervalos abiertos (en sentido amplio) disjuntos (3). E! concepto de punto de aC11mulación de un conjunto; comó punto que en todo entorno de él existen otros puntos del conjunto (4.1) y de punto adherente (4.4). conducen a la noción de conjunto cerrado (5) y de adherencia de un conjunto (4.5). Los conjuntos cerrados también quedan caracterizados por ser los complementarios de los abiertos (5.3). El apartado (6) es una introducción a la axiomática de los conceptos fundamentales de la Topología, a partir de una generalización de las propiedades estudiadas en el caso de la recta real R.

79 LlNÉS-4

80

1.

La recta real

AXIOMAS DE LA RECTA REAL

1.1. Al prescindir de las propiedades algébricas en el conjunto R de los números reales, subsisten los inherentes a la ordenación y al principio del extremo. Así aparece la noción de continuo lineal, o recta real, de la que un modelo es el conjunto R, al que se denominará recta numérica real, o simplemente recla numérica. Estas denominaciones de origen geométrico, tienen por objeto presentar en forma intuitiva las propiedades topológicas de los conjuntos de números reales, y además iniciar en el estudio de propiedades análogas en situaciones más generales.

1.2. Definición: Una recta real R es un conjunto no vacío en el que está definida una relación de orden, que tiene las siguientes propiedades: Axioma 1. La ordenación de R es total. Axioma 2. Para todo x € R, existen al menos un y tales que y < x < z.

€

R Y un z

€

R

Axioma 3. Para todo par de elementos distintos x, y E R, existe al menos un z € R tal que si x < y es x < z < y. Axioma 4. Si e es un conjunto de elementos de R, no vacío y acotado superiormente, existe un ro € R que es extremo superior de e. 1.3. El axioma 2 expresa que R no posee ni max¡mo ni mínimo respecto de la ordenación. Según el axioma 3, R es denso respecto de la ordenación; El axioma 4, que es el principio del extremo, puede sustituirse por la propiedad de existencia del extremo inferior, de acuerdo con la siguiente

Proposición: En un conjunto R está definida una relación de orden que verifica los axiomas 1, 2 Y 3, Y la propiedad de que para todo conjunto De R, no tmGÍo y acotado interiormente, existe en R el ínfimo de D; entonces se ueritica el axioma 4. Demostración: Sea e e R no vacío y acotado superiormente. Se designa con De R, el conjunto de los elementos x' € R mayores que todos los elementos de e. El conjunto D no es vacío, pues todo elemento de R mayor que una cota superior de e pertenece a D; Y además D está acotado interiormente por cualquier elemento de e, por lo que existe un a' € R que es a'

= inf D.

81

L/I recta real

Se trata de probar que a' es p.recisamente el supremo ro de e. Si x € e, es x menor que todos los elementos de D, luego x ~ inf D ; o sea x ~ e/ para todo x € e. Si ro' < a', ro' no será mayor que todos los elementos de C, pues si lo fuera pertenecería a D. Existe, pues, algún x E e tal que es ro' ~ X < a', Además se puede asegurar que existe algún x € e tal que es (,,' < x < a', pues si sólo existiera un x € C que fuera x m', todos los elementos x' > m' pertenccerÍan a D. Como para todo x € e es x ~ a', y para todo 0;' < a' existen elementos x (ó e tales que w' < x < a' resulta

=

a'

= supC =

w.

Análogamente se prueba que el p.rincipio de existencia del extremo inferior, es consecuencia de los cuatro axiomas que definen la recta real R.

Observación. En el estudio de los conjuntos de elementos de una recta I'cal R, es frecuente usar términos y expresiones de origen geométrico. Los elementos de R se denominan puntos. Si x, y lO R Y es x < y se dice que x "precede" a y, o bien que y "sigue" a x. Cuando un s € R es cota superior de un conjUnto, se dice que s "supera" a todos los elementos del conjunto, y una cota inferior r "es superada" por todos los elementos del conjunto. "

1.4. La ordenación usual del cuerpo R de los números reales, cumple Jos cuatro axiomas que definen la recta real, por lo cual R tiene estructuras de recta real, cosa que además prueba la compatibilidad de dicho sistema de axiomas. Aunque la recta numérica R es el conjunto más importante en el que está definida una ordenación que verifica los cuatro axiomas de la .recta real, se pueden considerar otros conjuntos que los verifican y son estructuralmente diferentes de R.

Ejemplo. En (1; 3.6), ya se expuso la ordenación lexicográfica en el conjunto de puntos (x, y) del cuadrado 1 = [0,1] X [0,1]. Si se prescinde en 1 de los puntos (0, O) Y (1,1), se obtiene un modelo de recta real. Se definía: ~ si

X¡

< y si


= xz,

cuando

YI < Yl'

La ordenación es evidentemente total. Al excluir los puntos (0, O) Y (1, 1) no existe en 1 ni mlmmo ni máximo. La ordenación es densa, pues si (x¡, y¡) < (Xz, Y2) y es Xl < Xz se considera

82

La recta real

un par X3

=

Xl

(Xl' y,) con Xl < Xl < X2; Y si Xl = X2 se considera un par (X3, Y3) con e Yl < Y3 < Y2' En todo caso es

< (Xl' Y3) <

(Xl' Yl)

(X2, Y2)'

La ordenación verifica el principio del extremo. Sea e e 1 un conjunto acotado superiormente; es decir, para todo (x, y) E e es (X, y) < (h, k) E l. Como el conjunto de las primeras componentes X de los elementos de e está acotado,' sea " su supremo. Si no existe en e par alguno de la forma (a, y) es (a, O) sup e. Si existe en e algún par de la forma (a, y) se pueden dar los dos casos siguientes: Si ,,= 1, el conjunto {y ¡(1, y) E e} está acotado por k < 1, Y tendrá un supremo fI < l. Entonces es (a, fI) = sup e. Si a < 1, el conjunto {y I (0:, y) E e} está acotado por 1, y tendrá un supremo l' 1. Entonces es (a, ji) sup c.

=

<

=

1.5. Definición: Se dice que un sistema de conjuntos está acotado superiormente en R, sí existe un elemento tijo s E R que es cota superior de ('oda uno de los conjuntos del sistema. Se dice que un sistema de conjuntos está acotado interiormente en R, si existe un elemento tija rE R que es cota inferior de cada uno de los conjuntos del sistema. En el caso de existir las dos cotas, se dice que el sistema está acotado. 2.

INTERVALOS, ENTORNOS Y CONJUNTOS ABIERTOS

2.1. Definiciones: Si a < b, los intervalos de origen a y extremo b en la recta real R, son los conjuntos siguientes: (a,b) = {x xER, a
< b}

E

R, a ~ x

E

R, a < x ~ b }

intervalos semiabiertos o semicerrados.

Definiciones: Las semirrectas de origen a en R, son los conjunto's siguientes: (a,

[a,

+ (0) = + x) =

(-'00, (-;- 00,

I

{x x

E

{x I x

E

a) = {X I X a] = {x I x

E E

R, R, R, R,

a

<

x}

< x} x
abierta, cerrada, abierta, cerrada,

ilimitada por la derecha. ilimitada por la derecha. ilimitada por la izquierda. ilimitada por la izquierda.

Por extensión, todas las semirrectas se denominan también intervalos, así como la misma recta R. Los símbolos + 00 y -'00, que se leen mas infinito y menos infinito respectivamente, se usan aquí por conveniencia de notación y no deben considerarse como puntos.

83

La recta real

2.2. En la recta real R, cualquier tipo de intervalo así como las semirrectas y la recta quedan caracterizados por la siguiente propiedad.

Proposición: Sea un conjunto e e R, que tiene por lo menos dos puntos. Si cualquiera que sea el par de puntos x', x" € e, con x' < x", ?S [x', x"] e e, entonces e es un intervalo, una semirrecta o la recta real, y recíprocamente. Demostración: Si e no está acotado ni superior ni inferiormente es e = R, pues para todo y € R, po.r la no acotación de e existen un x' y un x" de e tales que x' < y < x", y en virtud de la hipótesis y € [x', x"] e e. Si e está acotado superior y no inferiormente, y es w = sup e, se tiene e X', w) o e 'x', '"] según que úJ no pertenezca o pertenezca a C. En efecto, para todo y € (_.x, w) por la no acotación inferior de e, existe un x' E e, tal que es x' < y; y por ser w extremo superior e y < w, existe un x" E e tal que y < x"; y en virtud de la hipótesis y E [x', x"] e C. Conclusión análoga resulta si e está acotado inferior y no superiormente. Si e está acotado superior e interiormente y w = sup e y a = inf e, se tiene que e es uno de los intervalos de extremos a y ()). En efecto, para todo y E (a, w), por ser extremo inferior e y> ", existe un x' E e tal que es x' < y; y por ser m extremo superior e y < m, existe un x" E e tal que es '1 < x"; y en virtud de la hipótesis y E [x', x'1 e C. Si solo (lO", pertenece a C, será e un intervalo semiabierto y si pertenecen los dos, será cerrado.

= (-

= (-

(I

Observación. Si no se admite el axioma 4, la proposición anterior no es cierta en general. Ejemplo.

En el cuerpo Q de los números racionales, el conjunto

e=

{x : x

E

Q, x 3 < 2 }

no es un intervalo, ni una semirrecta, ni una recta, y sin embargo si x', x" con x' < x" es [x', x"] e C.

€

e,

2.3. De la definición de intervalo abierto, y de las propiedades de las desigualdades resultan fácilmente las siguientes propiedades:

Proposición: La intersección y la unión. de dos intervalos abiertos, no disjuntos, es un intervalo abierto. Proposición: La intersección. y la unión de un número finito de intervalos abiertos, cuya intersección no es vacía, es un intervalo abierto. 2.4. Definición: Entorno lineal de un punto x valo abierto que contenga dicho punto.

€

R, es cualquier inter-

84

La recta real

Si x € (a, b) es (a, b) un entorno lineal del punto x. Un entorno del punto x se designa por U(x), cuando no se desee hacer referencia a los extremos del mismo: Propiedades esenciales de los entornos son las que recoge la siguiente

Proposición: Para todo par x, x' E R, es Ix - x'l ;:? O = O es x = x', y recíprocamente. 3) Para todo par x, x' E R, es Ix - x'l = Ix' - xi, (propiedad simétrica). 4) Para toda terna x. x', x" E R, es Ix - x"l ~ Ix - x'l + Ix' - x"l. (propiedad triangularJ. 1)

2)

Proposición: 1)

Todo punto x € R, posee al menos un entorno U(x), y x pertenece a cada uno de sus entornos.

La intersección de los entornos U'(x) y U"(x) de un mismo punto x E R, contiene un entorno de este punto. 3) Si un punto x' € R, pertenece a un entorno U(x) de otro punto x € R. existe un entorno U(x'), tal que U(x' ) e U(x).

2)

Demostración: 1) Como en la ordenación de R no existe ni máximo ni mínimo, para todo x € R, existen puntos a y b tales que a < x < b, o sea x € (a, b). La segunda parte x € U(x), es evidente. 2) Los intervalos abiertos U'(x) y U"(x) tienen como intersección un intervalo abierto, pues no son disjuntos, que contienen a x, luego es un entorno de x. 3) Esta propiedad es evidente, pues U(x) es ya un entorno de 'x'. Estas tres propiedades suelen denominarse axiomas de los sistemas de entornos. La siguiente propiedad de separación, completa las propiedades que caracterizan los sistemas de entornos en R.

Proposición: 4)

Dos puntos cualesquiera x, x' disjuntos: U(x) n U(x ' ) = <1>.

€

R, poseen entornos U(x) y U(x')

Demostración: Sean x, x' € R con x < x'. Como es densa la ordenación de R, existe un punto c intermedio entre x y x', es decir, x' < c < x"; y si a es un punto anterior a x y b uno posterior a x', se tiene (a, e) = U(x), (e, b) = U(x') y U(x)n U(x') = <1>. x

€

2.5. En la recta numérica R, se pueden definir entornos de un punto R a partir de la noción de distancia entre dos puntos.

Definición: La distancia entre el punto x y el x' de la recta numérica R, es el número real Ix - x'l. Se observa que la distancia verifica las siguientes propiedades, consecueJflo cia inmediata de las correspondientes del valor absoluto.

85

LB recta real

Si Ix --x'I

Definición: El entorno de centro a y radio r, es el conjunto de los puntos de R, cuya distancia a a es menor que r: {x€R:

Ix-al
Cuando interese precisar el radio r de un entorno del punto a, se escribirá U(a, r).

2.6. Definición: En un conjunto e e R, se dice que un punto x € e es interior a C, si existe un entorno U(x) formado exclusivamente por puntos de e, es decir, U(x) e C. Definición: Se dice que un conjunto A e R es abierto, si todos sus puntos son interiores, es decir, si para cada x E A existe un U(x) e A. Abreviando la nomenclatura, un conjunto abierto se designa frecuentemente como un abierto. Los intervalos abiertos son conjuntos abiertos, pues todo intervalo abierto es en torno de cada uno de sus puntos. Los intervalos semicerrado~, los cerrados y las semirrectas cerradas no son conjuntos abiertos. Si a es el origen (o el extremo) perteneciente a un intervalo, no existe ningún entorno V(a) contenido en el mtervalo, pues si U(o.) = (a, b), como a < a < b, todos los puntos de (a, a) no pertenecen al intervalo. Ejemplos: 1. El conjunto unión de un número finito de intervalos abiertos disjuntos es un abierto, pues todo punto pertenece a un intervalo abierto que es entorno del punto. 2.

El conjunto de puntos A = {x

E

R, ax2

+ bx + c >

O}

es un abierto. Escribiendo para abreviar t(x) = ar + bx + c; si f(xQ) > 0, o sea Xo E A ;e trata de determinar un entorno de ::ro tal que en todos sus puntos sea '(x) > O.

86

La recta real

Se tiene

87

LB recta real

luego

+ b{x-XO) = (a(X + XO) + b)(x-xo'. suponiendo Ixl < 2 Ixo!, esta diferencia se acota: It(x) - t(xe) I < (3 lallxol + Ibl) Ix - xol,

f(x)-f(xo) = a(X2~X~)

Si

Xo

=F 0,

y para que sea f(x) > 0, basta que (3

]allxol + Ibl) IX -

xol

Xo

= 0, suponiendo

Ixl <

If(x) -

<

Observación. La intersección de una infinidad de conjuntos abiertos en R, en general no ~s un conjunto abierto. Ejemplo.

Xo.

k, se tiene

f(x c)/

lo que prueba que Al n A 2 es abierto.

< If(xo)I/2,

lo que permite determinar el entorno buscado de Si

U(x) e U¡(x) n Uz(x) e Al n A 2•

An

El sistema de intervalos abiertos

= )X E R,

-

+

If(xe)/2,

lo que permite determinar el entorno buscado de Xo. Propiedades esenciales de los abiertos SOn las que recoge la siguiente

Proposición: 1)

2)

con n

=

1, 2, ... ,

00

n An =

y para que sea f{x) > 0, basta que

2.7.

+ ~,

tiene como intersección

(la! k + Ib/) Ix - xol,

(la! k + Ibl) Ix - xoi <


R Y cp son conjuntos abiertos. La unión de los conjuntos de un sistema finito o infinito de abiertos, es un conjunto abierto.

3) La intersección de los conjuntos de un sistema finito de abiertos, es un conjunto abierta. Demostración: Las propiedades 1 son consecuencia de que en R todos sus puntos son interiores, y lo mismo ocurre en cp que no tiene puntos. Para probar 2 se considera un sistema cualquiera. S de abiertos, cuya unión es: M=UA. AES

Si x E M, x pertenecerá por lo menos a un A E S, Y como A es abierto existirá un U(x) e A, luego U(x) e M. Lo que prueba que M es un abierto. ~~ 3. el sistema de abiertos es finito, por lo cual basta deIJlostrar la propOSICIón en el caso de dos abiertos Al y Az. Si Al n Al = cp, la proposición es evidente. En caso contrario sea un x E A¡nA 2• Por ser x E A¡, existirá un U¡(x)cA¡, y análogamente un Uz(x)cA 2: Según la propiedad 2 de los entornos, U¡(x) n U 2(x) contendrá un U(x),

[0,1],

que es un intervalo cerrado. 2.8. La consideración de los sistemas de conjuntos abiertos es fundamental en el estudio de las cuestiones topológicas; es decir, las referentes a la continuidad de las aplicaciones. Esto justifica la siguiente denominación:

Definición: El sistema de todos los confuntos abiertas en R, es una topología definida en R. Como esta topología se ha obtenido a partir de la ordenación de la recta real, es la topología del orden. 2.9. A partir de los conjuntos abiertos es posible generalizar el concepto de entomo.

Definiciones: Un entorno abierto de un punto x € R, es cualquier abierto A e R, que contenga a x. Un entorno de un punto x ER, es cualquier conjunto CcR que corltenga un entorno abierto de x. Un entorno de x se designa también por U(x) , y siempre contiene un entorno lineal de x.

3.

ESTRUCTURA DE LOS CONJUNTOS ABIERTOS EN LA RECTA REAL

3.1. En la recta real R se puede da.r una condición que caracteriza a los conjuntos abiertos. Es de señalar que el teorema que se prueba no es generalizable para conjuntos en el plano o en situaciones más generales.

88

La recta real

Teorema: Todo conjunto ahierto A en R, no vacío, es unión de un sistema (finito o infinitO') de intervalos abiertos disjuntos, o unión de un sistema de esta clase con una O' dos semirrectas abiertas y disjurztas con los intervalos, o es la recta real R. En forma breve se puede decir que todo conjunto abierto en R es unión de un sistema de intervalos abiertos (en sentido amplio) y disjuntos.

Demostración: Sea x un punto cualquiera de A. Por ser A abierto, existe al menos un entorno lineal V(x) e A, y se designa por '!J1 la colección de todos los entornos lineales del punto x contenidos en A. Sea [(x) el conjunto unión de todos Jos entornos pertenecientes a '!J1: [(x)

= U U(x)

que es abierto, por serlo cada V(x). Por la misma definición I(x) e A. El conjunto ¡(x) es un intervalo abierto en sentido amplio.

Efectivamente, I(x) cumple la propiedad (2.2) característica de los intervalos: si x', x" E [(x) es [x', X'] e [(x). Si x' E [(x) existe un entamo lineal VI(x) E '!J1 tal que x' E V,(x), y análogamente existe otro U,(x) E '!J1 tal que x" E V,(x). Como VI(X) y V 2(x) son dos intervalos abiertos no disjuntos su unión es un intervalo abierto al que pertenecen x' y x", luego: [x', x"] e Ul(x) U U¡{x) e [(x).

El intervalo I(x), que es un conjunto abierto, no contiene sus extremos (2.6), por lo que es un intervalo abierto. b) Si X E [(x) es [(x') = [(x). Según la definición de ¡(x), si x' E I(x) existe un entorno lineal de x que contiene x', es decir, existe un intervalo abierto [1 e A que contiene a x y a x'. La unión de un entorno V(x) con 1, es un intervalo abierto que contiene a x', y es un entorno V(x'); luego si '!J1 y GJ.l' son las colecciones, de todos los entor" nos de x y x' contenidos en A respectivamente, se tiene: ¡(x') =

U V(x):> U (U(x) U 11) UE 1/

UFI/

=

CU U(x)

U 11 :> [(x).

VEI/

Por un razonamiento análogo resulta [(x') e [(x), lo que prueba la igualdad.

Para todo par x, x' E A, o [ex) n [(x') = cp o [(x) = [(x'Y. Basta considerar el caso en que [(x) n I(x') ~ cp. Sea un XI E [(x) n [(x'). Como Xl € ¡(x) es ¡(XI) = ¡(x) según b), y como Xl E I(x') es ¡(XI) = [(x'), y est~s dos igualdades prueban que es ¡(x) = I(x'). c)

d) Finalmente, considerado el conjunto de todos los intervalos lex) para todos los x E A, de las propiedades anteriores resulta:

A =

U [(x). xEA

En efecto, como cada [(x) e A, el conjunto unión de los [(x) está contenida en A; Y por otra parte, como cada x E A pertenece al ¡ex} correspondiente, el conjunto A está contenido en el conjunto unión. El teorema queda demostrado. 3.2. En el caso de tratarse de un conjunto abierto en la recta R, se puede completar la proposición anterior de la siguiente forma:

Teorema: Todo conjunto abierto (!n R, es unión de un sistema finito o infinito numerabl(!' de intervalos abiertos (en sentido amplio) y disjuntos.

UEl'/

a)

89

LB recta real

Demostración: Todo intervalO' abierto en R contiene números racionales, por lo cual a todo intervalo del sistema indicado en el teorema anterior (3.1), se le puede hacer corresponder un número racional contenido en él. Evidentemente si dos intervalos son disjuntos, los números racionales correspondientes !Ion distintos, y por tanto existe una aplicación biyectiva entre el sistema de intervalos y un subconjunto del de los números racionales Q. Como Q es numerable, cualquiera de sus subconjuntos es numerable o finito, lo que demuestra la proposición.

4. PUNTOS DE ACUMULACI()N y ADHERENTES 4.1. Definición: Dado un conjunto e eR, y W'l punto a € R, no necesariamente perteneciente a e, se dice que a es punto de acumulaciónde e, si en todo entorno Vea) hay, por lo menos, un punta de e distinto de a (si a pertenece a e).

Ejemplos: 1. Todo extremo de un intervalo es un punto de acumulación del conjuntO' de puntos que forma el intervalO'. Si el intervalo es abierto, el punto de acumulación no pertenece al conjunto. Sí pertenece, cuando el intervalo es cerrado. 2. En la recta numérica R, una sucesión de puntO's distintos que sea convergente, determina un conjunto cuyo único puntO' de acumulación es el límite. 3. En la recta numérica R, cualquier punto es de acumulación del conjunto Q de los puntos racionales. 4.2. La condición necesaria y suficiente para que un punto sea de acumulación de un conjunto, que se da a cO'ntinuación, puede también tO'marse para

91

90

La recta real

definir el punto de acumulación. de

Proposición: Sea un conjunto e e R. Un punto a € R es de acumulación e si, y sólo si, en todo entorno U(a) existen infinitos puntos de C.

Demostración: Se supone que a es un punto de acumulación de C. Si en un entorno lineal UCa) s6lo existiera un número finito de puntos XI' Xz, ... , X r de e distintos de a, en virtud de la propiedad de separaci6n (2.4) existirían r entornos lineales de a: UI(a) Uia), ... , UrCa),

a los que respectivamente no pertenecerían el punto Xl, el X2, ... , el X r • Según la propiedad 2 de los sistemas de ento.rnos, la intersección de los entornos anteriores contendría un entorno de a, al que no pertenecería ningún punto de e distinto de a (si a pertenece a C). 4.3. de

Definición: Un punto a de un conjunto

e e R,

es un punto aislado

e, si existe un entorno U(a) que no contiene ningún otro punto de C.

Ejemplos: 1. Todo conjunto de un número finito de puntos, s610 posee puntos aislados. 2. En la recta numérica R, una sucesión de puntos distintos que sea convergente, origina un conjunto en el que todos los puntos son aislados, excepto el punto límite, si pertenece a la sucesión.

4.4. Definición: Un punto a de la recta real R, es adhf!1'ente de un cone e R, si en todo entorno UCa) hay, por lo menos, un punto de C.

junto

Comparando esta definición con las dos anteriores resulta, que si en todo entorno U(a) existen puntos de e distintos de a, el punto adherente será de acumulación; y si por el contrario, existe un entorno en el que el único punto de e es el a, entonces el punto adherente será aislado.

Proposición: Un punto adherente de e, es de acumulación aislado de C. De la definición de punto adherente resulta: Proposición: En un conjunto ferior son puntos adherentes. w'

ee R

O'

es punto

Le recta real

Ejemplos: 1. La adherencia del intervalo abierto (a, b) es el intervalo cerrado [a, b]. 2. En la recta numérica R, la adherencia de conjunto Q de puntos racionales es la recta R.

5. CONJUNTOS CERRADOS

' . .' . Se dice que un conjunto 1 De f InIClon, 5., tiene a todos sus puntos de acumulación.

€

e tales que ~

4.5. Definición: El conjunto formado por todos los puntos adherentes .de un conjunto e, se denomina adherencia de e, y se designa por C. Evidentemente es e::> c.

R es cerrado, si con-

Una definición equivalente es: . Un conjunto e e R es cerrado, si contienf! a todos ~us pun:?s adherentes, o también, e e R es cerrado, si contiene a su adherencia: e :::>~. Abreviando la nomenclatura, un conjunto cerrado se desIgna frecuentemente como un cerrado.

5.2. Conjuntos cerrados notables son los siguientes: a) Los intervalos cerrados son conjuntos cerrados. En efecto, todos los runtos adherentes de [a, b] son los puntos de este i~t,erval~. Un punto x ~ [a, b~ no es adherente de [a, b] pues no es de acumulaclOn: SI x ~ a, tomando u < d ,'" / a el entorno (e d) de x es dISjunto con [a, h]. e < x y un d que sea X " " b) El conjunto formado por un solo punto es cerrado. La demostraclUn es la misma que en el caso del intervalo cerrado. Ejemplos: 1. El conjunto unión de un número finito de intervalos cerrados disjuntos es cerrado, pues todo punto del conjunto pertenece a uno de los intervalos y es adherente, y si un punto x no pertene:e al conjunto, como en el caso a), existe un entorno de x disjunto con el conjunto. 2. Dada una sucesión convergente hacia x. El conjunto .formado por todos lo~ términos de la sucesión junto con el límite es un conjunto cerrado pues el único punto de acumulación es x. 3. El conjunto e de los puntos de la recta numérica R, definido por

e=

acotado, los extremos superior e in-

Demostración: Si w = sup e y w' < w, existen puntos X < X ~ "', luego en todo ento.rno de w existen puntos de C.

ee

{x

lO

R, ax2

+ bx +

c;( O},

€ e pues en caso canes cerrado. Si Xo es de acumu1aCl'6 n de e , h a de ser xo .' . trario se tendría ax~ + bxo + c> 0, y pertenecería al abierto (2.6)

A

= {x €

R ,ax2 +. bx

+ e>

O} , Y existiría un

' A es abierto y 5.3. Proposición: Sz abierto.

e

U(xo)cA.

cerrado, el conjunto A -

e

es

92

La recta real

Demostración: Si x € A - C, es x € A Y existe un entorno Ul(x) e A. Además x no es punto de acumulación de e, por lo que existe un entorno Uix) que no contiene puntos de e. En vi.rtud de la propiedad 2 de los sistemas de entornos existe un entorno U(x) tal que luego A -

e

U(x) e Ul(x) n Ulx) e A -

e,

es abierto.

Proposición: Si A es abierto y

e

cerrado, el conjunto A -

e

es cerrado.

Demostración: Si x es punto de acumulación de e - A, en todo entorno de x existen puntos de e, luego x es punto de acumulación de e y x € e por ser cerrado. Pero x
.. recta real

11. decir, e es el conjunto de los números comprendidos entre O y 1 que escritos en el sisterru de numeración de base 3, admiten al menos un desarrollo,

finito o no, en e que no entre la cif.ra 1. Así, los números con desarrollo finito

In los que la últma cifra sea un 1, y las otras distintas de 1, pertenecen al conlunto e, pues b¡sta sustituir esta última cifra por O y escribir a continuación Infinitas cifras i~ales a 2; por ejemplo 0,1 = 0,0222 ... El conjunto '; es cerrado como complementario de un abierto, que es el de los intervalo! abiertos disjuntos que se han suprimido del intervalo cerrado [O, lJ. 5.4. De la }ropiedad anterior y de las leyes de Margan (1; 1.3) se puede deducir de cada proposición relativa a conjuntos abiertos una dual para los conjuntos cerra
Proposición 1) 2)

Proposición: . El complementario de un conjunto cerrado !!,s abierto, y el complementario de un conjunto abierto es cerrado.

3)

Es evidente que la recta real R contiene a todos sus puntas adherentes, luego es un conjunto cerrada. Esta última proposición permite reducir el estudio de los conjuntos cerrados al de los complementarios abiertos e inversamente.

Ejemplo. Un conjunto cerrado notable es el conjunto diádico de Cantor. Se divide en el intervalo [O, lJ de la recta numérica R en tres partes iguales y se suprime el intervalo abierto central

(_13___ 2_) . ' 3

En cada uno de los intervalos cerrados restantes se hace análoga división y se suprime el intervalo central. El proceso se repite indefinidamente.

o f----------tl

o I-------t - - -

O

El conjunto

- - - - - - - - - - If-----------!I

1/3 1/9

t-------t - - - - - - - -

2/9

e

1/3

1

2/3

---t-------t - - --t--------i

2/3

7/9

8/9

1

obtenido, está formado por los puntos de la forma: a b e -3- + + T + ... , con a, b, e, ... = 0, 2;

T

93

S.S.


cerraws, es un conjunto cerrado. La wión de los conjuntos de un sistema finito de cerrados es un conjwto cerrado. Entre hs conjuntos cerrados son de particular interés las adherencias

Ir conjuntos cwlesquiera, que tienen además la notable propiedad siguiente: Proposición: Si Be R es un conjunto cualquiera, su adherencia B es un con-

funto cerrado, til que B::J B. Además si un cerrado e::J B es e::J B. Demostració¡: Sea x un punto de acumulación de B. En todo entorno U(x) existirán infinitos puntos de B. Entre estos puntos, unos pertenecen a B y otros son de acumulación de B (no excluyéndose estas dos posibilidades). Si "" U(x) es un punto de acumulación de B, en virtud de la propiedad 3 de dos sistemas de entornos, existe un U(y) e UCx) en el que hay infinitos puntos de B. En consemencia, en todo entorno U(x) existen infinitos puntos de E, de donde resulta q~e x es de acumulación de B, luego x E B. Un conjunto cerrado e::J B, ha de contener todos los puntos de acumulación de B, por 'o que será e::J B. La segunda parte de esta proposición, indica que entre todos los cerrados que contienen < B, el mínimo en el sentido de la inclusión es el B. Igualml'nte resulta qle B es la intersección de todos los cerrados que contienen a B. 6.

AxIOMÁTICA DE LOS ABIERTOS 6.1.

Las pnpiedades (2.6, 2.7) de los abiertos, demostradas a partir de

IlIs definiciones de conjuntos abiertos y de entornos, tienen un interés especial,

La recta real

94

porque permiten establecer una axiomática de los abiertos, independientemente de otras consideraciones previas. A partir de un conjunto arbitrario E, se considera un sistema de subconjuntos de E que verifique las tres condiciones (2.7); tal sistema define un sistema de abiertos en E. A partir del sistema de abiertos se pueden definir lo~ entornos de los puntos de E. Este camino abstracto es, pues, el inverso de: seguido en R. Definición: Sea E un conjunto no vacío y "G un sistema de partes de E; se dice que c¡:; es un sistema de abiertos, o una topología, en E, si verifica la.\ siguientes condiciones: Al sistema '0 pertenecen el vacío c/> y E.

2) 3)

La intersección de dos conjuntos cualesquiera de '0, pertenece a "G. La unión de los conjuntos de un sistema finito o infinito de conjuntos de '0, pertenece a '0.

Los conjuntos del sistema "G, se denominan conjuntO's abiertos, o simplemente abiertos, en la topología '0. El par formado por el conjunto E, y la topología '0, se denomina espacio topológico. 6.2. Definición: Un entornO' abierto U(x) de un punto x € E, es cualquier abierto A de la topología '0, que cont!mga a x. Esta definición se generaliza como en (2.9). Un entorno X de un punto x E E, es cualquier cO'njunto X e E, que contenga un entorno abierto de x; es decir, x E U(x) e X. 6.3. Definición: Un conjunto e e E, es un cO'njunto cerrado, o simplemente un cerrada en la topO'logía '0, si su cO'mplementario E - e es un abierto de 'b. Las propiedades de los cerrados se deducen, por las leyes de Margan (1; 1.3), de las de los abiertos que definen la topología, obteniéndose la proposición (5.4). 6.4. A partir de las definiciones anteriores, se introducen los puntos de acumulación y adherentes de un conjunto. con las mismas definiciones dadas para la recta real. Sus propiedades son análogas.

1. -

95 recta real

O'l ; \2x + 11 ~ 1 }, O'l ; x - 51 < Ix + li}, {:tE O'l ; (h + 'rJÓ (x- 2) O}.

{x {x

EJERCICIOS

"

{x € f7¡' {x e f7¡'

!x + 31 + Ix - 31 < Ix2_21~1},

8},

E

B

>

=

{x e R ; x = Xo

+ y;

y € A},

probar que el conjunto B es abierto. . 5. _ Si A Y B son dos conjuntos abiertos de R. Y se deSIgna por

e

= {z € R ; z = x

probar que el conjunto

e

+

X

y;

E

A,

Y

E

es abierto.

.

6. _ Sea la sucesión {a.} tal que lim an = a. Probar que

SI

e

= A

+ B,

el con-

B};

_

U - {a .. a" ... , an ...

} es

n-CO

x

= U U {a} un conjunto cerrado. . . I e U D es un intervalo '1 _ Sean e y D dos conjuntos cerrados diSjuntos, ta es. que , . 1 s de los conjuntos e y D es vaCJQ. cerrado. Probar qu: uno, por o meno, R ( tooo intervalo de R existen pun11. - Probar que un conjunto X es de.nso en en

tos de X) si, y sólo si, su intenor es vado. I 1:::J I:.J :::J 1" :::J ... , es un 9. _ Probar que una sucesión dec.reciente ~e mterva os 1 2 ." intervalo. un punto o el conjunto vaclO. l 'ón de él d . nto abierto es de acumu aCl . 10. - Probar que todo pun.to e un c~nJu P;obar que x es punto aislado de 11. - Si e R es un conjunto cerra o, Y x € • si y solamente si e - {x} eS cerrado. , 12. _ Detenninar los puntos de acumulación del conjunto e e R :

e

e

+ 5n + 7n' conjunto e e 1 3

13. - Probar que todo punto del

C = }x E R ; x =

14. -

1: : 3

e

n

= O,

1, 2, ... ~ .

R:

5~,

m, n

E

~

N ,

es de acumulación de C. Determinar todos los puntos de acumulación del conjunto

- ~¡x e R .. x =

C-

1m

3m

~~; 7n

+

e e R; + 5n k = 3m¡' + 5n k ;

m, n

€

NI. }

m, n

€

N

e

e

R

:

15. - Probar que todo punto del conjunto C

Expresar como unión de intervalos en la forma más sencilla, cada uno de los conjuntos siguientes;

€

· . 1 nte si, para toda sucesión .. _ Probar que un conjunto A e R es a b lerto SI, Y so ame ". {a.} de puntos de R convergente hacia un punto a E A • existe un índice v tal que para todo n?: v es a. € A. . t finito de n 3 - Probar que si A e R es un abierto, y {ah a" ... , am} un conjun o pu . tos de R. es A - {al, a" ... , am} un abierto.. decír4. _ Si A e R es un abierto, y se designa por B el conjunto Xu + A, es .

junto

1)

7.

~

=

lx

t

lm k

€

R :x

~'

donde k es un entero positivo fijo, es de acumulación de C. . .

16. _ Sea {Xn} una sucesión acotada de números reales. Probar que SI~: an .. , a. pertenece a la adherencia d e {x" x" . rencia de este conjunto.

Xn, . . },

= a,

d

de on

también a pertenece a la adhe-

6. Los teoremas de la topología de la recta real 1.

2. 3. 4. S. 6. 7.

Dos teoremas de e:xistencia. No numerabilidad de la recta real. Teorema de recubrimiento. Conjuntos compactos. La recta real ampliada. Sucesiones. Valores adherentes y límites. Ejercicios.

El principio del extremo, como cuarto axioma de la recta real, da a la recta un carácter topológico peculiar. Se trata de un axioma de existencia que define el carácter continuo de la recta, también llamada continuo líneal. De este principio derivan los grandes teoremas de la topología de la recta real R. El teorema del punto de acumulación (1.3) atribuido a los matemáticos Bolzano y Weierstrass, y el teorema o principio de encaje (1.3) atribuido a Cantor, son dos teoremas de existencia, pues aseguran la de puntos en la recta en determinadas condiciones. Con frecuencia son de aplicación más cómoda que el principio del extremo; y además, al considerar situaciones más generales (por ejemplo, para conjuntos en el plano o en el espacio), los dos teoremas son fácilmente generalizables, mientras que el principio del extremo no lo es. Con ayuda del principio de encaje se demuestra otro de los grandes teoremas: la no numerabilidad de la recta real (2), proposición de Cantor que tuvo gran repercusión en el desarrollo de la Teoría de conjuntos. Del conjunto de puntos de la recta numérica R, se dice que tiene la potencia del continuo. El último gran teorema que se estudia es el teorema de recubrimiento (3.2) atribuido a distintos matemáticos. La forma como se presenta es la de Heine y Borel. Este teorema e, el primero de una serie de proposiciones de este tipo que son indispensables en muchos capítulos de la Matemática. En todos se fijan condiciones suficientes para que de una infinidad de conjuntos que realizan una determinada función (cubrir a otro conjunto), se pueda extraer un número finito que realicen la misma funci6n. Relacionados con el teorema de recubrimiento están los conjuntos compactos (4) para los que todo recubrimiento abierto admite un sub-recubrimiento finito. En la recta R, quedan caracterizados por ser cerrados y acotados. A continuación se define la recta real ampliada ¡¡ (5), obtenida agregando a R dos nuevos elementos. La recta ampliadaR. es un conjunto compacto. Finalmente, se consideran las sucesiones de elementos de la recta real R, definiendo los valores adherentes (6.1), de los cuales los más importantes son el menor y el mayor, llamados límite inferior y límite superior respectivamente (6.3). Cuando coinciden se obtienen las sucesiones convergentes, entre las que se encuentran las monótonas (6.5).

97

98

1.

Los teoremas de la topología de la recta real

1.l. . ~educidos del principio del extremo (axioma 4 de la recta real), ponen de mamfIesto algunos aspectos de la continuidad de la recta real R. Se trata de teoremas clásicos que aseguran la existencia, en condiciones muy generales de puntos en R. En un caso, de puntos de acumulación en un conjunto; y en ~tro:, de puntos que pertenecen a todos los conjuntos de una sucesión "enea.Tada de conjuntos.

!.2. Teorema .del ~unto de acumulación: Si un conjunto ecR, acotado supenor e znferiormente, y contiene infinitos puntos, existe por lo menos un punto a € R, que es de acumulación de e (BolzanoWeierstrass). ~ta

Demostración: Sea D c R el conjunto de puntos x definido por la s'IguIen . te d' ., con lClOn: x E D si existen infinitos puntos de e mayores que x. Evidentemente tod~ cota inferior de e es un punto de D, y toda cota superior de e es cota superIor de D. Como D es no vacío y acotado superiormente, existe en R el extremo superior a = sup D. Se trata. de ver que a es punto de acumulación de e. En efecto,. un entorno lineal de a es el intervalo (e, d) con c < a< d. Por ser c < a, eXIsten puntos x € D tales que c < x, y por tanto existen infinitos ~u~tos de e mayo.res que c. Por ser d> a es di D, Y sólo existe un número ~m~t~ de puntos (o ninguno) de e mayores que d. En consecuencia, existen mflmtos puntos de e en el entorno (e, d) del punto a. 1.3 .. El segundo teorema trata de una propiedad referente a un "encaje" de conJuntos.- Se suele llamar encaje de conjuntos a una sucesión de conjuntos { en}, decreCIente en el sentido de la inclusión.

Teorema de encaje: Sea {en} una sucesión de conjuntos cerrados en R, no vacíos, tales que

siendo

99

teoremas de la topología de /a recta real

como intersección de cerrados. El que e sea no vacío, equivale a la existencia de puntos pertenecientes a todos los conjuntos en del encaje.

DOS TEOREMAS DE EXISTENCIA

e"cen _ H con n =

.08

2, 3, ... ,

Demostración: Sea {x n } una sucesión de puntos de R, en la que cada X n pertenece a en' Si existe un número finito de puntos distintos en la j;ucesión, uno de ellos, tal como x, se repetirá infinitas veces, y al pertenecer a infinitos conjuntos en pertenecerá a todos ellos, pues si x € C., pertenece a todos los conjuntos anteriores de la sucesión. Si existen infinitos puntos distintos en la sucesión {x n }, forman un conJunto de infinitos puntos contenido en el por lo que está acotado, y en virtud del teorema anterior posee por lo menos un punto de acumulación x. En un entorno cualquiera U(x) de x, existen infinitos puntos de la sucesión, y como los términos de {x n }, a partir del Xk' están todos contenidos en C., existirán infinitos puntos de e. en U(x), luego x será punto de acumulación de e k , y al ser cerrado este conjunto, se tendrá x € e•. Si x E en para n = 1,

2, ... , es

00

x€

n e" =

C.

n-,-J

Observación.

La condición de acotación exigida en el teorema anterior

es esencial. En la recta numérica R, los conjuntos cerrados Cn={x:xER,n~x}

forman un encaje, pero ninguno de ellos está acotado. La intersección de los conjuntos de la sucesión es el conjunto vacío rp. 1.4. Un caso particular del teorema o principio de encaje, cuando los conjuntos cerrados son intervalos, es: Proposición: Sea {In} una sucesión de interoalos cerrados en R, no vacíos,

tales que es

siendo

[1

acotado. Entonces, la intersf!ccián C<)

el acotado. Entonces, la intersección

1

= nI.,., n=l

11=1

es un cerrado, no vacío. Antes de pasar a la demostración, se ha de observar que la conclusión fundamental del t eo remé! es que e es no vacIO, . ya que evidentemente es cerrado

es un interoalo cerrado no vacío, o un punto. En este enunciado se puede omitir el calificativo de nO vacío, aplicado a los intervalos cerrados, c()nforme a ]a definición de intervalo cerrado

('5; 2.1).

HO

Los teoremas de la topología de la recta real

Adviértase que considerando la recta real ampliada R, en el primer caso es un punto adherente, y en el segundo lo es - 00,

+ CC,

6.5. Otra caracterización de los límites finitos superior e inferior, es la siguiente:

Proposición: Sea {x n } una suceswn de elementos de R. Un a € R es límite inferior de la sucesión, si en cada intervalo (a, b), con a < a < b, existen \ infinitos términos de la sucesión, y sólo existe un número finito menores que a. Un (i € R, es límite superior de la sucesión, si en cada intervalo (e, d), con c < {f < d, existen infinitos términos de la sucesión, y sólo existe un número finito mayores que d. finitos

infinitos

Xn

I)

infinitos

Xn

( a

) b

X,

c(

x,

x,i

finitos x.

Xn

d

x,

R

f3

111

Los teoremas de la topología de la recta real

cien te. La sucesión es convergente si, y sólo si, está acotada interiormente, y límite es mayor o igual que cualquiera de las cotas inferiores.

$U

Demostración.' Evidentemente el elemento XI es una cota superior de la sucesión, que al estar acotada tendrá un límite inferior u que será mayor () i~ual que cualquiera de las cotas inferiores. Si (a, b) es un intervalo que contiene a a, y es x, < b, por la supuesta monotonía, para todo n;?: v se tiene X n ~x" < b. Como el número de términos de la sucesión menores que a es finito, !,
Proposición: Sea {x,,} una sucesión de elementos de R mo~ótona ciente. La sucesión es convergente si, y sólo si, está acotada superWrmClI/i'; su límite es menor o igual que cualquiera de las cotas superiores.

(T{'-

o

y f3 límites inferior y superior de {Xn}

Demostración: Como en todo entorno de a existen infinitos términos de la sucesión x.}, es un valor adherente de la misma. Si al < ", tomado el extremo a del intervalo (a, b) entre al Y a, es decir, al < a < ", existirá un número finito de términos de la sucesión menores que a, por lo que "1 no será valor adherente de {x,,}. Análogamente se razona para p.

t

6.6. Definición: Sea {x.} una sucesión de elementos de R. Un a € R es el límite de [a sucesión, si a cada entorno de " pertenecen todos los términos de la sucesión salvo un número finito; es d!!cir, para cada U(a) existe un nlÍmero natural v tal que es

x.

€

U(a)

para todo

n ;?:

6.7. Cuando se consideran sucesiones {x n } de elementos de la rer!,] 11 ti mérica R, es decir, sucesiones de números reales, son evidentemente ;[1'11(',1 bIes todas las definiciones y resultados anteriores. En estas sucesiones, la condición de Cauchy, que es la expresión d" 'i \1,' R es un cuerpo completo, tiene especial significado como "criterio de COIIvergencia". Desde este punto de vista se puede enunciar de la sigUlenlt" forma: Teorema: Una sucesión {x"} de números reales es convergente si, y súr" si, para cada número real F > 0, existe un número natural v, tal que es

]X p -

v.

Se escribe

I(

xq ] <

e,

para todo par p' q;?:

v.

"Criterio de convergencia de Cauchy". lim

Xn

= a,

O

lim

Xn

= a,

O

X n -+ a.

Cuando el límite n es finito, se dice que la sucesión {x.} De la definición resulta inmediatamente:

De este criterio de Cauchy se deduce fácilmente la propiedad de las cesiones adyacentes": conve~ge

hacia a.

Proposición: La sucesión {x,,} tiene límite si, y sólo si, tirne límites in· ferior y superior y coinciden. Entre las sucesiones convergentes son notables las monótonas acotadas. Proposición: Sea {x,,} una sucesión de elementos de R monótona decre-

"S/I-

Proposición: En la sucesión {x n } de números reales, los términos impares forman una sucesión creciente, los pares forman una sucesión decreciente, 11 cualquier término impar no supera a cualquier término par. La sucesión {x,,} converge si, y solo si, para cada número real E > O, existe un número natural v, tal que es ]xv - Xv+I] < F. La forma conjuntista de esta propiedad es el "principio de encaje" 0.5) ell la última versión expuesta en el apartado (1). lINÉS-5

112

7.

Los teoremas de la topología de la recta real

14. -

EJERCICIOS

1. - Demostrar que todo conjunto cerrado e e R es la intersección de una colección numerable de conjuntos abiertos. 2. - Dar un ejemplo de una colección de conjuntos cerrados I,::J 1, ::J ... ::J In ::J .. decrecien te, cuya intersección sea vacía. Dar un ejemplo de una colección de intervalos no cerrados I,::J /, ::J ... ::J In ::J . decreciente, con ¡lo acotado, cuya intersección sea vacía. 3. - Dado un conjunto S e R, tal que para todo x E S, existe un entorno U(x) con la propiedad de que U(x) n S es numerable. Probar que S es numerable. 4. - Probar que toda colección de conjuntos abiertos disjuntos en R, es numerable. Dar un ejemplo de una colección de conjuntos cerrados disjuntos en R, no numerable. 5. - Sea e e (1{ un conjunto cerrado numerable. Probar que e posee una infinidad de puntos aislados. 6. - La colección de intervalos In, de la forma In

= (+,

+)

=

I

X E

N :

-7- <

X

<

+- ¡,

n

= 1,

donde e > O, es cualquiera

(rn __2" ' r. + _e_) 2" B_

1

< -2-' Probar que el conjunto S

=

ro

[O, 1] -

U In n:::;l

a) Es un conjunto cerrado no vacío. b) No es numerable. c) Su interior es vacío. ll. - Probar que el conjunto de Cantor (5; 5.3) es no numerable, y su interior es vacío. 12. -Sea {en} una sucesión cualquiera de compactos. Probar que su intersección e~ un conjunto compacto. Sean e" e,. . .. , e m compactos. Probar que su unión es un conjunto compacto. Sea e un compacto, y A un abierto.. Probar que e - A es compacto. Sea e un compacto. y B un cerrado. Probar que e n B es compacto. 13. - Sean e, y e, dos conjuntos compactos de la recta real, disjuntos, es decir. e, n e, =
e,CA,

Determinar el menor conjunto compacto (en el sentido de la inclusión) que tienen a los conjuntos.

~x : x = 3 +

(1.3),

15. -

+,

n

E

N

~, ~ x : x =

n n

00

tervalo la, bl, tal que

U en

no sea compacto.

n=1

16.-Sean {x,} e {Yn} dos sucesiones acotadas de números reales. Se escrihe

=

a lim inf probar que es a) lim b) lim c) Em

Xn,

A

= lim

sup Xn,

b

=

("011

~ ,n € N ~

Dar un ejemplO de una sucesión de compactos {en}. todos contenidos en

lim inf Yn

y

B

= lim

~\IP '1,,;

sup (Xn + Yn) ~ A + B, lim inf (Xn + y.) :;:;;., a + b. sup (-Xn)=-a, lim ¡nf (-xn)=-A, sup (Xn • Yn) ~ A • B. lim inf (Xn • Yn) :;:;;., a . b,

suponiendo en estas últimas desigualdades x, 2, ... ,

es un recubrimiento del intervalo (O, 1). Probar que no existe ningún subrecubrimiento finito de (0, 1), formado con dichos intervalos. 7. - Sean A y B conjuntos de R. Demostrar: al Si A es compacto y B cerrado, entonces A+B={zER:z=x+y; xeA, yeB} es cerrado. b) Si A Y B son compactos, entonces A + B es compacto. e) Si A Y B son compactos, entonces A· B = {z e R : z = x • y; x E A, Y E B} es compacto. d) Si A es cerrado y B compacto, entonces A • B puede no ser cerrado. 8. - Dar un ejemplo de un recubrimiento abierto de Q e R que no admita subrecubrimientos finitos. La misma cuestión para Q n (O, 1) Y para Q n [0, 1]. 9. - Sea e e R un conjunto arbitrario. Probar que para todo recubrimiento abierto de e, existe un subrecubrimiento numerable. 10. - Sea {,.,.} una sucesión a la que pertenezcan todos los racionales del intervalo [O,IJ; Y sea la sucesi6n {1ft} de intervalos abiertos: 1.. =

II

Los teoremas de la topología de la recta real

>O e

y. :;:;;., O para "

JlII

¡"

~

7. Límites de potencias y logaritmos Potencias de base el número e. 2. Logaritmos neperianos. 3. Potencias de base un número positivo. 4. Límites de sucesiones de potencias y logaritmos. 5. Límites de algunas sucesiones notables. 6. Ejercicios. 1.

No se puede retrasar el estudio del número e, por el papel central que juega en el Análisis real, y a este nivel, más que las propiedades intrínsecas de este número singular (1.2), interesa su valor instrumental para introducir las potencias. Distintos son los caminos que se pueden seguir para llegar a las potencias y loga. ritmos, y aunque más adelante se estudiarán con mayor profundi
115

116

Límites de potencias y logaritmo',

POTENCIAS DE BASE EL NÚMERO e

1.

1.1. Una sucesión de números reales de extraordinario interés es la se estudia en las proposiciones siguientes:

qlll'

Proposición: La sucesión de números reales {x,,} definida por

"'tes de potencias

117

y logaritmos

Como este segundo miembro no depende de n, es una cota superior de la lllllltacesión. 1.2. En particular, cuando es a = 1 se puede tomar m = O Y la acotación Wllterior se transforma en

xn < 1

Demostración: Desá.rrollando por la fórmula de la potencia del binomio. se tiene

n JLa3nJ

+ (' 3

n

dl n-l a3 (n-1)(n-2) a =l+a+--_+_ + ... +_ 2 2! n 3! n n!

2

3.

Iln este caso el límite de la sucesión no excede a 3, y se designa con la letra e.

con a real y positivo, es monótona creciente y acotada.

a + (n) a )n= 1 + (n1 )-n(1 + -n2 7 ci

1

+ -l!- -2--1 -- =

n)

an + '" + ( n ~-:-

(n-l)(n-2) ... 2.l

Definición: El número e es el límite lim

n

Su valor está comprendido entre 2 y 3. Aproximadamente es e

_

nn-l

(1 + _1_) .

.-->ro

= 2,7182818 ...

Para cualquier a> 0, el límite de la sucesión inicial {x n } se designa por rf'.

Definición: Se denomina potencia de base e y exponente a, el límite lim

1)( 2) (l -n-n- -1)

n

n-+CO

+ n!a ( 1--; 1--;;- ...

Al crecer n, crece también x., pues aumenta el número de términos de que consta el desarrollo, y además aumenta el valor de cada uno de los sumandos, ya que las diferencias 1 -

_1~, n

1-

_2~, n

<1+a+.

,y.

2!

+ ... + -(/"- +

ci

a3

2.

.

m!

a

(m

m 1

+

+ 1)!

Proposición: Para todo a> O, Y cada m tal que m ID

aTO

+ 1 ~ [al

(parte

n_m _ 1

(m

~ < 1, resulta finalmente m + dl am Q"'+l m + 2 xl1
m m+2-a'

ct',+1

1 )

m

'=0

)

para cada n> m, suponiendo m

a

T

am +1

•

m +2 m+2-a'

+ 1 ~ [a].

Al hacer n -lo 'x, resulta

+ 2) ... n

ro

a rl

T

m

~ --~eas;z

y como la suma del paréntesis es menor que la de una progresi6n geométrica

de raz6n

a'

[a] se verifica:

Demostración; En el desarrollo y acotación de x., se han obtenido las desigualdades 1

(1 +a a __ _ _, + ... + -:--~--:-:+2

m

+1~ +2

i~(1---) ... (1-~
n.

m

a

r

,~7~eaS;E1'7+(m+l)!

+ a +,- +-3 + ... +_,_, 1

En segundo lugar, si m es un número natural tal que m entera de a), y suponiendo n> m, se tiene Xn

De la misma definición de r!' se deduce 1a siguiente acotación;

... van siendo cada vez mayores.

Para probar la acotación de x n, se supondrá en primer lugar que todos los . fact ores 1 - -1- , 1 - -2- , ... se sustltuyen po:r 1, obteniéndose n n

xn<1

1.3.

(1 + _a_) "= e'" n

T=O

r~Q

a' ¡f'+1 m +2 --+ 1 2 r! (m+l). m+ - a

Observación. Esta acotación se puede mejorar sustituyendo los signos de < estrictamente, pues basta escribir la desigualdad anterior para

~ por los

ll8

Límites de potencias y logaritmo,',

m + 1 en vez de m, y se tiene: '" a' ~--+ ,=0

r!

rf"+J

m

(m + 1)!

ct r!

a"'+1

'

(m + 1)!

0"'+2 +-__

m

+3

m

Los límites de los miembros extremos de esta desigualdad son: a' r!

~ - - < e"<

pues es

(1 + -+-)"< (1 + n a a)"::::;: (1 + n ~ [a] f

Cm + 2)! m + 3-a

de donde resulta

,=0

119

Ites de potencias y logaritmos

donde

::::;:e"::::;:~--+ '=0

. t

m

o'

Z -- +

'=0

rl

a"'+l m +2 -~- ~-~(m+1)! m+2-a'

lim 11-->00

1111"

a"'.,.l am +2 m+3 a"'+1 (m+l)! +(m+2)! m+3-a«m+l)!

+2 m+2~a' m

~(l ~_

n-

a

[a]

)"= lim (1 + n-->OO

n-

m+3

m+2

m+3~a

m+2~a

)n-:"\¡m n-+oo

(1 +

n-

a

[a]

)[a~ e".

1=e".

limx. = e". Otra forma de enunciar este resultado es la siguiente Proposición: La sucesión de números reales {x.} definida por

En el caso particular de ser O::::;: a::::;: 1, de la acotación anterior ,resulta.

x. =

Proposición: Para todo a que sea O< a::::;: 1 se tiene

Denwstración: Como para m = O es m rior da

a +-l!

+ 1> [a],

2

---~l

2-a

+2a.

En consecuencia, la definición (I.2) de potencia de base e y exponente a, sentido para todo a real.

~ene

1.5. La siguiente proposición es un lema que permite probar la propiedad Iditiva de los exponentes en la multiplicación de potencias. Proposición: Para todo a real y positivo es

Proposición: La sucesión de números reales {x.} definida por

a

)_n

;~(l+

con a real y positivo, es convergente y su límite es e". Si a es entero se considera la sucesión a partir de n = a + 1.

D~mostración: Se tiene

X,,= (_n )"= n-a

n

y la acotación ante-

l.~. La d:finición de e" se completa con la siguiente proposición, que permIte estudiar el caso de los exponentes negativos.

= { l - -n-

-a) (1 +-n )

,con a> O, es convergente y su límite es e-a, escribiendo como es usual

1
X"

[a]

n-+CD

,

que evidentemente es cierta.

1
a

En consecuencia, para el miembrO' intermedio es

ya que esta desigualdad es equivalente a la -~--~<

+

(1 + -an- )"= ea,

(1 +n-a _ a )~

:2)"=1.

Demostración: Los términos de la sucesión son potencias enteras y positivas 1, luego si existe el límite habrá de ser mayor o Igual a 1. Dado un e, que sea O< E < 1, se puede determinar un v natural, tal que el $ < --, para n ~ v, y por tanto

de números mayores que

n

2

1+

_a_< 1 + ~

eJ2 n

Y (1 +

_a_) "< (1 + ~) ~ n ~

120

Límites de potencias y logaritmo!.

"'tes de potencias

Demostración: Si es a> 0, en virtud de la propiedad de acotación se tiene

En virtud de la acotación (1.3), es

(1

';2 )n e + -n< 1 + -2- = 1 +

para todo n

~ v,

121

y logaritmos

y por tanto

E,

(1 +

~2) n< 1+

m

(f

~ -<(j'o

1<

I

r!

r=O

Si es a = 0, tomando un a' > 0, de la propiedad aditiva de los exponentes alta

lo que prueba la proposición.

La propiedad más notable de las potencias de base e es la siguiente

..

Proposición: Si a' y a" son dos números reales cualesquiera, se verifica

como

(j":;é

° es

eO

= 1.

Si es a < 0, como - a> 0, se tiene

Demostración: Se suponen en primer lugar d y d' positivos. Se ha de pro bar que es

!~

l (1 + -n-) . (1 + -n-) d

n

d'

n

J= !~~ (1 + a' +nd'

1

l
)".

!le donde resulta O<

e" < 1.

Proposición: Para todo par d, a"

Como

d

+ d' n

dd'

Demostración: Como a" - a'

n

+ --n-z-) '

1 < e""-a' =

es

~, < ( 1 + d + a" ) n

n

(

1

a' d' ) '. n2

+-~

ti"

,,, +u

-

-

el;,

1 - = -1- . -1- = e-G¡J'• e" , OO = t!' . e- (Oo' +°0"¡ = - e"ó +a:,' e"ó e"ó'

-«', fr

= a> ° se

(j''' • ~-.'

(j"

< ea".

tiene:

ea"

= -.-., e

luego

LOGARITMOS NEPERIANOS

2.l.-Entre las propiedades de las potencias de base e, hay una de gran según la cual todo número positivo se puede expresar como potencia ~ base e. Antes de demostrar esta propiedad se da la siguiente proposición auxiliar:

Proposición: Para todo d> 1, existe una

ao> O tal que

Demostración: Suponiendo inicialmente O< basta tomar

ao <

1 < tl"0 < d.

1, es e"0 < 1

+ 2 ao,

por 10

ilUe •

Análogamente se prueba la propiedad aditiva de los exponentes en otros casos.

lo~

1.6. De esta propiedad y de la de acotación de ea, que son las propiedades fundamentales de las potencias de base e, se deducen todas las demás, y en particula.r las de monotonía.

Proposición: Si a>O es ea>l, s1 a=O, es él= 1 Y si a O.

R, si a' < d' es

~tilidad,

Siendo los límites de los extremos iguales a e"'+a", la sucesión intermedia tiene el mismo límite. ~ y d' = ~ con ~ > f Si son negativos los dos exponentes: d Y ~' > O, se tiene:

=-

E

ftS

tI"< l.

O¡¡

. ~

< mm (1,

d-l( -2--\ .

Teorema: Para todo número b> O, sólo, tal que es b = e".

exist~

un número a E R, Y uno

Demostración: Se supondrá b> 1. A este caso se reduce el de b < 1, conliderando b- 1•

122

Límites de potencias y fogarit",,,

Sea A el conjunto definido por e"~b}

A={x:x€R,

Este conjunto no es vacío pues O € A. Además si x € A también x' € . cuando x' < x en virtud de la propiedad de monotonía (1.6). El conjunto A está acotado superiormente, y el mismo número b es lIlI. cota superior de A.. pues según la propiedad de acotación, para m = 1, es ',)

b<1

Sea

+ b
b

•

!""'"

123

de potencIas y logaritmos

2.2. De la definiciSn de logaritmo neperiano, y de las propiedades de las Itencias del número e, se deducen las siguientes propiedades de los logaritque en realidad son las de las potencias expresadas con otro lenguaje.

r

. Proposición: Si b' Y b" son dos números reales positivos cualesquiera, se ~fica

In (b' . b") = In b' Si es b> 1 es In b > 0, si b

Para tO'do par b', 1/'

€

+ In b".

= 1 es In 1 = 0, y si b <

1 Y positivO', e!t In b < O.

R+, si b' < b" es In b' < In b".

a=supA, y se ha de comprobar que es b = e". •• POTENCIAS DE BASE DE UN NÚMERO POSITIVO

Si fuera e" < b, se tendría b

-->1 e"

'

Y según la proposición anterior, existiría un e'"

<

b

7'

de donde

~>

O tal que

e"+a, < b,

Y no sería a supremo de A.

Proposición: Si d Y a" son dos números reales cualesquiera y b > 0, se perifica

if

b>1 y según la misma proposición, existiría un Clo > O tal que e"

b'

de donde

Definición: Se denomina logaritmo neperiano, o natural, de b, el exponente a tal que e" = b. Para inoicar que a es el logaritmo neperiano de b se escribe de donde

= In b

o

Efectivamente es

b < e"-"',

por lo que a - Clo < a no pertenecería a A en contra de la propiedad de monotonía aludida al principio. Finalmente, en virtud de esta misma propiedad, si es b = e", para otro á =;6= a es e'" =;6= ea, y por tanto e'" =;6= b,

a

Definición: Se define como potencia de base b> 0, y exponente a cualquiera, el número Con esta definición se mantienen las propiedades comúnmente atribuidas • las potencias de acuerdo con las siguientes proposiciones.

Si fuera b < e", se tendría

e"O <

3.1. La posibilidad de representar los nÚOlel'os PO' .tivos como potencias "del número e, permite definir las potencias de un número positivo cualquiera.

a = 1 b,

Proposición: Si a es un número real cualquiera, y b¡ > O Y b. > 0, se ..erifica Efectivamente es b~' b~

=

e'lnb¡.

e" lnb 2 =

e"(lnbl+lDb,)

=

~1.. (bl-b2)

= (b 1 " b z)'''.

Proposición: Si a y c son núm!"ros reales cualesquiera, y b >

(J,

(b"f = b(c.al

De acuerdo con la definición de potencia aplicada dos veces. es

se verifica

124

Límites de potencias y logaritmos

En particular, cuando el exponente es entero, el valor de la potencia, de acuerdo con la definición, coincide con el usual. ~

3.2. Cuando los exponentes son los inversos de los números enteros sitivos se obtienen las raíces. 1

Proposición: Si b es un número real positivo, para su potencia b" se .... verifica

125 'mltes de potencias y logaritmos

de números reales que converge haProposición: Sea {a,,} una sucesión lcI un número real a. Entonces de lim a.. = a resulta lim e"" = e". 'rtud de la propiedad de acotación de las potencias Demostración: En vl 4e base e, para cada s < 1 positivo, se tiene

1< e 2 < 1 + e

1

1

e

-lnb

b" =eft

a--Z-
a la potencia n-ésima, en virtud de la propiedad multiplicativa de los exponentes se tiene =e"

=

~b

1

1

f.

n~v,

para todo

~ según las desigualdades anteriores

1- e <

ea- < 1 + e,

1

= ea In-b = --o Ji'

UMlTES DE SUCESIONES DE POTENCIAS Y LOGARITMOS

4.1. Las siguientes proposiciones son de gran utilidad en el cálculo de límites.

n ~ v,

para todo

ea

luego el término intermedio tiene por límite 1.

Proposición: Sea {b n } una sucesión de números r?ales positivos, que converge hacia un número real b > O. Entonces de lim In b" = In b.

resulta

lim b" = b,

lim ~ = 1, existe un número natural ..-+00

b

e-' < ~ < e', b

v

e-'< 1 Y e<> 1, y comO

tal que es

n ~ v,

para todo

o sea

bn b

-8
Il

+ -2-'

iene DemGstración: Para cada . > O, se t

Esta propiedad es cierta para las potencias de base e (1.4), y a este caso se reduce el de potencias cualesquiera: 4l11b

1

T+e> 1 -

• • -+z
e

= b.

b- a = b a-•

= e-

>

4--

Esta propiedad asegura la existencia y unicidad de las raíces n·ésimas positiv(J$ de los números reales positivos. Naturalmente que si n es par, la raíz positiva cambiada de signo da una raíz n-ésima negativa. Cuando n es impar existen las raíces n·ésímas de los números reales negativos, que son las raíces reales de sus valores absolutos cambiadas de signo. Finalmente se ha de observar que al cambiar el signo del exponente, la potencia se transforma en su inversa;

b-a

2

!e donde resulta

1

.. (-111&)

-~

. a, existe un número natural v Por otra parte, como {a,.} converge h aCla tal que

Demostración: Elevando los dos miembros de la igualdad -

1> e

y

o

_

e

< In b" -In b <

e

para todo

n ~ v.

Proposición: Sea {bu} una sucesión de números. ~eales ~sitivos, que converge hacia un número real b> 0, y {a,,} una suceSlOn de numeras reales que converge hacia un número real a. Entonces de a limb n = b Y lima.. = a, resulta lim b:" = b • .-->CO

126

Límites de potencias y logaritm,,'.

Demostración: Según la definición de potencias es

~mltes de potencias y logaritmos

127

Proposición: Sea {b,,} una sucesión de números reales positivos que hacia O. Entonces de

~nverge

Para la sucesión {a" . In b n } se tiene

-

limb"

lim a. . lnb" = lim a. . lim In b" = a . In b

n---+c()

en virtud de la proposición anterior, y aplicando la proposición primera result .. l1---+(~n

= nlim e".

In b.

= e" In b

= b.

Proposición: Sea {a,,} una sucesión de números reales que diverge Jtac¡.1 Entonces de resulta limif'- =

+ oo.

.Demostración: Como {a n } tiende hacia + Xl, todos los términos de la SL ceSIón a partir de uno de ellos son positivos. La propiedad de acotación dd Y el primer miembro tiende a

+ an <

e"".

n->CQ

resulta lim ea" = O.

Demostración: Poniendo á n = - a.. la sucesión {a:} tiende hacia Y es n-+O:l

+

IX,

eP-"

Proposición: Sea {b n } una sucesión de números reales positivos que diverge hacia + oo. Entonces de lim bn =

+ '00,

resulta lim In b n =

+ 00

n-+(X)

Demostración: Como {bn } tiende hacia existe un número natural v tal que es

luego

b n > eH,

In b n > H,

+ 00,

para todo para todo

para cada número H real

n ~ v,

n~

v.

n

~ v.

La siguiente tabla en la que se ha escrito a = lim a,. y b n400

= lim b m

incluso

"---'>O:"":'

en los casos en que los límites no son finitos, presenta esquemáticamente los distintos casos que pueden darse para el límite de a,,' In b n •

b = + oc, b> 1,

.b= 1,

1 1lme"" = 11m - - = O. n -HO

para todo

b < 1, b= O,

lnb= +00 lnb >0 lnb = O Inb
a=

a>O

a=O

a
+00

+00

-co

a -In b O el 'In b

-,00

-co

a 'ln b O a'lnb

-00

-00

X O O O X

-00

+00

+00

+\00

a =+100

Proposición: Sea {a,,} una sucesión de números reales Entonces de que diverge hacicl ~ 00,

~ v.

4.3. Las dos proposiciones anteriores permiten analizar el límite de b':,"> cuando alguna de las sucesiones {b n } o {a n }, o las dos, tiene por límite infi,¡to; para lo cual se escribe

+ .ex;.

'X'.

lim a,. =

n

se estudia el límite del producto an • In b n en los distintos casos.

,,-+co

1

para todo

In bn < H,

+ oo.

-

b. < eH,

->00

+ 00,

n-->OO

~uego

4.2. Estas reglas referentes a los límites de potencias, se pueden gener;¡ lizar en algunos casos cuando los límites son infinitos.

lim an =

Iim In bn = - oo.

resulta

Demostraci6n: Como {b n } tiende hacia O, para cada número H real existe ,un número natural v tal que es

n-HD

lim b~;

= O,

n-KO

X

_.-:xJ

X +100

Tabla del límite del producto a,. 'In b.

Los únicos casos no decididos son los marcados con una X en la tabla y en '4!llos el límite del producto a,. . ln bn se presenta en la forma llamada "indeterminada" del tipo O· 00 o oo' O. En estos casos el límite del producto no depende exclusivamente de los límites de las sucesiones. El límite del producto puede existir o no existir, y cuando existe depende de la forma cúmo las sucesiones factores tienden a sus límites respectivos. 4.4. Estos casos de límites de potencias b':;, en los que el límite, si existe, no queda determinado por los límites de b.. y a,.. se denominan también casos de "indeterminación". y en forma no muy cor.recta, pero expresiva se representan por los símbolos 1+

00

,

1-00,

00

o y

00,

128

Límites de potencias y logaritmos

que se agregan a los casos racionales de indeterminación representados pOI los símbolos:

(+ (0)-(+ 00),

o

(). 00,

O

e

129

nltes de potencias y logaritmos

l¡car la proposición anterior, se tiene lim ,,-+co

~-.

00

~1 . -1 - · -2- · .. · ·n -- 1= 2

n

3

l'1m .nr.;n -- - 1. v n = l'l m 1 n-KlO 12-

1I-+m

Una generalización inmediata es la siguiente

5.

Proposición: Si {a,.} es una sucesión de números positivos, tal que

UMITES DE "-LGUNAS SUCESIONES NOTABLES

lim ~ =

5.1. Como consecuencia del criterio de Stolz (2; 4.3) resultaba la con servación del límite en la sucesión de promedios de una sucesión convergentl'Esta proposición se generaliza, al caso de considerar medias geométricas en vez de medias aritméticas.

Proposición: Sea {b n } una suceSlOn de números positivos, convergenl(' hacia un número b> O. Entonces de lim bn = b,

resulta

lim f/b¡, b2J ... , bn = b.

n~

es también lim ~ =

a.

n~

5.3. Otros límites que conviene conocer son los siguientes: In n . lIm - - = O

lim ~=O.

y

n

11-->00

n-KD

en

El primero resulta tomando logaritmos de vn; y tanto el primero como el segundo' se deducen directamente del criterio de Stolz:

Demostración: La sucesión {In bn } tiende hacia In b, y aplicando a esta

lim

sucesión la propiedad de conservación de límite en la sucesión de promedios. se tiene In b¡ + In b 2 + ." + In b n ~ =In~ n o sea . n -=---=--=. In (b lJ b 20 ... , bA) hm = n~ lim In \:fb¡, b20 ••• , b A = In b. n-+OO n

0-+00

In n-In (n - 1 ) . n = 11m In - n-

(n -

1)

n--KO

12

-1

= In 1 = 0,

lim n-(n-l) = lim 1 = 0, en - e n- 1 .-+00 en (1 e 1)

6.

EJERCICIOS

~ (1 +

+)

In n luego lim - - = O, n

n->CD

luego lim

"+1

~

_12_

n---KO

.-lo{;O

1. _ Probar que la sucesión

Aplicando la proposiciÓn (4.1) sobre el límite de potencias, es

a,

an_l

efi

es monótona decreciente y tiene por

límite e.

que coincide con la propiedad enunciada.

2. - Probar que el número ea no es racional, cuando a es entero. 3. - Hallar los límites de las siguientes sucesiones: n' - n 1 (~-~)~ el ~<

5.2. Se aplica esta proposición al cálculo de algunos límites interesantes. Uno de ellos es

4. - Hallar el límite de la potencia

lim f!r''¡ b¡ b2'"

b.

= f!r' b.

n->ro

b)

~

( cos -n-

tiro ( ,,-->(Xl

que tiene el aspecto de un límite de indeterminación de la forma odl. Considerando la sucesión 1,

~ 1 '

_3_ n cuyo límite es 1, al 2 , ...• n-l''''

= O.

an' a'n'

)'0/

2";

(3

,

2 n'

+

+ 4)

n-

L

.3+2

¡

--~,

.,-1 \

+ bn + e )" + b'~ + rf '

discutiendo el resultado para los distintos valores de los coeficientes del numerador y denominador. l. - ¿ Cuál es la condición para que el límite liro ( a, n k bo n k

n-->(X)

sea finito? Discusión.

+ al nk-l + ... + a" + b, n k - 1 + ... + bk

) n'

130 6.

Límites de potencias y logaritlll""

H

4 (n

a)

s. -

+ .vñ)

4n

+

x,:::: 3

) ( 7. -

2n

+ 3"+1 + 3n

)

-..14. -

Calcular los límites de las sucesiones

Hl-+)(I--+)

b)

í~.

c

) (2 3

Ir]¡; (1-+H;

oo'

+

x, :::: x,

=1

para

n ;;;, 2,

es monótona creciente. Hallar su límite. Sea {Xn} la sucesión definida por a)

x, = 2

Y

x"

= 2 - -1- ,

X..+,

XI

= x, = 1

y

= --1---1-' --+--

Xn

Xn- 2

para

n#l,

para

n> 1,

+ ¡s

1

2

Xn

15.-Sea (Xn} la sucesión definida por

x,>O

Xn+,=

y

n>

~

«m-l)X,,+

X;-I)'

nu'mero natural y a real positivo. Probar que para 2, donde 2 es un d ¡ 'edad de que la me
~

11>

ra. m>

+ 2'

: ..... + n

Xll-1

b)

para

= x" + X"+I.

Iim - - =

n;;;' 2,

para

X,,+2

y

n.-KO

+

+ x~_I'

Xn = a

y

+ x.. ) + x ..

probar que es convergente, y calcular su límite. Sea { Xn} la sucesión definida por

Demostrar que si O ~ a ::s; 0,25, la sucesión {x,,} definida por x, = a

3

Calcular el límite

nn

33-1 ..... ~(. 33 1 n3 1>

+1

3(1

x..+, =

y

) (

a)~+[(a++)\ (a++)2+".+ (a+

9. -

Sea {x.. } la sucesión definida por

3 c ~ ( 2"+1

8. -

131

mltes de potencias y logaritmos

Calcular los límites de las sucesiones:

b)

n ;;;, 3, c) ~ - ; -

Xn_1

~

P _

P :

1

~

con

+( (a + )\ . .

.;t(n +

+

l>en

+

p € N;

(a +

+ rH

con

+ 2) ... en + n)( ;

probar que son convergentes, y calcular sus límites. 17. -

10. - Sea {Xn} la sucesión definida por

Probar que si para la sucesión de términos positivos {x,,) es Xn+t

x,

= 1,

x,

=4

X'n-l

y

Xn

= k --,

para

Xn-2

ll. -

n ;;;, 3,

siendo k real y positivo. Determinar el límite de la sucesión. (Tómense logaritmos.) Sea {Xn} la sucesión definida por

x, =.,fi

y

lim - - = x" n-+
3

Xn

=

.v2 + x,,-,=;-,

para

n ;;;, 2,

probar- que es convergente, y que es Xn < 2 para todo n. Hallar su límite. 12. - Sea {Xn} la sucesión de números positivos definida por 2

Xn+, -

2

X"

= 8 n + 5,

para

n> 1.

Calcular x" en función de n, y hallar el límite de la sucesión (Snx" )~ •

18. -

le,

Iim ~=~.

entonces

.... 00

Sea la sucesión definida por Xn+,

= x,"'"

con

XI>O,

probar que {x,,} converge si, y sólo si, es e-e

~Xl ~e'

•

a

t

R.

8. El cuerpo de los números complejos 1. Definición del cuerpo de los números complejos.

2. 3. 4.

5.

6. 7. 8.

Raíces cuadradas de los números complejos. Números complejos conjugados. Valoración del cuerpo de los números complejos. El grupo de los complejos de módulo uno. Angulas y argumentos. Sucesiones cOnl)ergentes y fundamentales. Ejercicios.

El proceso de las generalizaciones sucesivas del concepto de número ha tenido como motor la resolución de cuestiones planteadas en un dominio numérico, sin solución en el mismo. Una cuestión sin solución, o respuesta. en un dominio, puede tenerla en uno más amplio. Al extender el anillo Z de los números enteros al cu~rpo Q de los racionales, se consigue que todas las ecuaciones lineales tengan solución. Al extender Q al cuerpo de los reales R. se consigue que todas las sucesiones fundamenta. les tengan límite. Estas extensiones no son suficientes cuando se trata de resolver las ecuaciones algébricas. Algunas, tan simples como la x< + l = O. no pueden tener so· lución en un cuerpo ordenado por lo que en una generalización del concepto de número que posibilite su resolución se ha de prescindir de la ordenación en el cuerpo construido. De maneras distintas se puede ampliar el cuerpo R de los reales al e de los complejos. El método que se sigue consiste en partir del espacio vectorial de los pares de números ¡'eale" (1), y definir adecuadamente una multiplicación (1.3). Así se obtiene un álgebra, y precisamente pOI la manera de haber definido la multiplicaci6n, resulta posible la operación inversa (salvo la división por cero), obteniéndose el cuerpo e de los números complejos (l.5). Una de las propiedades fundamentales de e es que existen rafees cuadradas de cualquier número (2), y en particular de -1. Aunque e no admite una ordenación compatible con la estructura de cuerpo, se ,puede definir una vaforación por medio del módulo (4), que es arquimecliana. En e juegan un papel muy impcJrtánte los complejos de módulo 1, pues forman el 11úcleo del homomorfismo, definido por la valoración, entre el grupo multiplicativo de los complejos, y el multiplicativo de los reales positivos (5). El núcleo U tiene es· tructura de grupo abeliano y con su auxilio se pueden definir los ángulos y los argumentos (6) de los números complejos. Se obtiene así, formalmente, la expresión trigonométrica de los complejos (6.4). La utilidad y el sentido profundo de esta representación, no se percibe hasta que no se conocen las propiedades funcionares del seno y coseno. La tercera propiedad de la valoración, es decir, la triangular del módulo, permite usar el módulo de ]a diferencia de dos númer[)S complejos, para determinar la distan·

lB

134

El cuerpo de los números complej(J"

cía de sus" afijos. Con .esta distan cm . se pue d e me d'Ir la aproximación . de los términos d,' u~a sucesión a su límite (7.2), o de los términos entre sí (7.3) obteniéndose las suc(' tlones conver~entes y las fundamentales. Sus propiedades se deducen fácilmente dI' as .cor~espondlente~ a las s~esiones formadas con las partes reales y las partes imagi ;:::;~ e sus términOS. En particular, el cuerpo e de los números complejos es con!

11 ' ••

135

cuerpo de los números complejos

DEFINICIÓN DEL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1.1. Proposición: En el conjunta' R2, de todos 1m pares orden.ados de "úmeros reales, la suma de pares y el producto de un número real por un. par, definidos por:

(a, b)

+ (e, d) =

(a

+ e, b + d),

h· (a, b)= (ha, hb),

con

con (a, b}, (e, d)

(a, b)

€

R2

Y h

€

€

RZ,

R,

determinan en R2 una estructura de espacio vectorial sobre R. Evidentemente respectO' de la suma es R2 un grupo abeliano. El elementO' neutro es el (O, O), Y el opuesto del (a, b) es el (- a, - b). El productO' de un número real por un par, cump-le las prüpiedades asociativas y distributivas, y 1 es el elemento neutrO' de este prüducto. 1.2. Los pares de la forma (a, O) se identifican con Jos números reales a, y se escribe: (a, O) = a,

y en particular

o, O) =

1.

Una base del espacio vectorial definido está formada por lüs vectores (1, O) Y (0,1). Como se ha indicado, el vector (1, O) se designa por 1, y se denomina unidad real. El vector (0,1) que se designa po·r l, se denomina unidad imaginaria. Un vecto.r (a, b) expresado por esta base es (a,b) = a(l,O)

+ b(O, 1) =

a-1

+ hi = a +

hi.

Las componentes a y b del vector (a, b) se denüminan componentes real e imaginaria respectivamente. 1.3. En este espaciO' vectorial, se puede definir una multiplicación, con lo que se le da una estructura de álgebra. Proposición: El producto de un vector (a, b) por otro vector (e, á) defi'nido por (a, b)· (e, rl) = (ae - hd, ad + be). dota al espacio vectorial, de una estructura de álgebra conmutativa con elemento unicidad. La operación de multiplicación definida es asociativa:

«a, b) • (e, d) . Ce, f) = (ae - ba, ad + be) . Ce. f) = = (aee - bde - adf - he', acf - bdf + ade + bce) = = (a Cce - df)- b (de + cf}, a (cf + de) + b (ee-~ df)) = = (a, b) . (ce - df, de + cf) = (a, b) -{(e, el) • (e, f)).

136

El cuerpo de los números complejo:

La comprobación de las propiedades conmutativa y distributiva es inmediata, así como que el elemento neutro de la multiplicación es el (1, O) = 1.

,

.,1

cuerpo de los números complejOS

Escritos los vectores en la forma a + bi Y e + di, se obtiene el cociente, multiplicando los dos términos po.r a - bi, como se indica a continuación:

Por otra parte también se verifica

e (h . (a, b» . (e, el) = (a, b) (h . (e, el) = h . «a, b) . (e, d). pues los tres miembros son iguales a

(hae - hbd, had

+ hbc).

.1.4. En particular, la multiplicación aplicada a las unidades real e imaginana, da los siguien tes resultados: l·i=i·l=i;

i . i = (0, 1) . (0, 1) = (- 1, O)

o sea i2 = -

1

o

Escritos los vectores en la forma a se obtiene:

(a

+ bi) . (e + di) =

ae

j2

+1=

+ bi

Ye

+ bdi2 + (be + ael) i =

O.

+ di,

al formar el producto

ae - bd

+ (be + ad) i.

1.5. La multiplicación, tal como se ha definido, tiene la notable propiedad de que todo elemento (a, b) distinto de (0, O) tiene inverso respecto de la misma, es decir, existe un par (x, y), y uno solo, tal que (a, b) . (x, y) = (1, O).

El sistema ax ---by = 1,

ay

a

+ di + bi

(e = (a

+ di)(a~bi) + bi) (a - bi)

oc

+ bd + i (ad-be) el- + b1

+ bx = O,

Teorema: El conjunto R2 de todos los pares ordenados (x, y) d.' números reales, junto con las operaciones de adición y multiplictJcú¡" definidas en (1.1) y (1.3), es un cuerpo. Cada uno de los pares Lr, lO es un mlmero complejo, y el conjunto de todos ellos es el cuerlXJ ti<' los números complejos, que se designa por C. El conjunto de los pares (x, O) es isomorfo al de los números reales .r. respecto de las operaciones de suma y producto. La identificación, y,1 IIWIldonada anteriormente, es la expresión de tal isomorfismo. 1.6. Sea el plano euclídeo, cuyas propiedades se suponen con(Killas. ~(' considera una referencia ortogonal. A cada número complejo (x, y) = x , "1. le corresponde el vector de componentes x, y, una de cuyas imág(·nt·s ,", (" segmento orientado a partir del origen hasta el punto de coordenadas (r.,r) Este punto se denomina afijo del número complejo y el plano, cmno IIIF.:II' de las imágenes de los números complejos, se denomina plano comrit'jl l. Como la adición de los números complejos a + bi Y c + di, es un,l suma vectorial, el vector suma (a + e) + (b + d) i se obtiene gráficamente ptH" medio de una traslación. y

+ bi) + [e + di) = + e) + (b + d) i

y

[a (a

determina x e y, a

(a

+ bf) + (e T df} + (Eld + bc]1

(ac-bd)

\\

S

x=~--­

a2+b

=

El hecho de que la multiplicación sea conmutativa, y sea posible la división, salvo por (0,0), indica que en el conjunto R2 de los pares ordenados de números reales, queda determinada una estructura de cuerpo.

Las propiedades de la multiplicación son las requeridas para definir un álgebra conmutativa, con elemento unidad.

1 ·1 = 1;

137

2 '

\

e

c+

di

y la solución existe si, y sólo si, (a, b) #- (0, O). En consecuencia, si (a, b) =F- 0, es siempre posible la división única, y se tiene

ad-be) a2+lJ2

x

o

x

o Suma de a

+

bi mas c

+ di

Producto ele a

+ bi

por e

+ di

138

El cuerpo de los números complt'I'"

139

~,cuerpo de los números complejos

.\lego los números reales e y d han de cumplir las dos condiciones: La construcción geométrica del producto de dos números complejos ',,' consigue por medio de un giro y una homotecia. Si U es el afijo ~ la unidad real, y A, B Y P los afijos de los complelll" a + bi, e + di Y del producto (a + bi) (e + di), se comprueba fácilmente 1.1 semejanza de los triángulos OUA y OCP, es decir, la proporcionalidad 10UI

¡UAI

IAOI

¡Oc¡ = ICPI

= IPO! '

c2 -dl = a

le

las que resultan b2

10C¡

y

ICPI = IUAI .

bdY + (ad + beY. =

y

az + Ji!- =

(2 c2 - a)2.

, d k + ";a2 + donde esta raíz se considera positiva, se DeSIgnan o po.r - a , . t dos valores 'lene 2 c2 = k, o sea c = ± "fkf2. En correspon,dencla con es os tiene d = ± b/.JIT. y las dos raíces de a + bl son

',e

.!k 1. --..;r-k b z¡=+V-2+

10C/.

La primera igualdad (elevada al cuadrado) equivale a la numérica (ae -

a)

b2

que equivale a las igualdades ¡OPI = 10AI .

= 4 el (c2 -

2 cd = b,

y

(az + lr).. (el + ([1),

de comprobación inmediata. En la segunda igualdad, CP tiene por componentes ae - bd - e y ad + bc-d, y por tanto

I

ICPI2 = (ac-bd- c)2 + (ad + bc- á'f = «a-l)c- báf + + «a-l) d + bc"f = (a- 1)2 c2 + b2dl + (a-l)zd2 + b2¿Z = = «a-l)2 + lr) . (el + cfl) = jUA/2. 10C¡Z

°

Luego la distancia al origen del afijo P del producto, es igual al producto de las distancias al origen de los afijos A y C de los factores. Además el ángulo que forma OP con la dirección positiva de x, es igual a la suma de los ángulos que forman con la misma dirección OA y Oc.

z --

y

2-

V -i~ k

2

\/211.

donde los radicales se consideran positivos, p ue 1 Obsé;vese que es Z2 = - z" es decir, las raíces son ~puestas" ara qb _ ~s , ' k - O b = O lo que Imphcana a + 1 - . raíces fueran Iguales, debena ser Y • 2.2. Proposición: Toda ecuación de segundo grado con coeficientes complejos tiene siempre raíces en el cuerpo C. . d 1 Se resuelve la ecuación, po.r el método usual, Y todas las operaclOnes e a fórmula resultante tienen sentido en el cuerpo C.

~.

NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS

. . d df!'l (a b) = a + bi, es el Definición: El número comp l el0 con¡uga o , - 1 número (a, -b) = a - b i . . cualquiera, se suele indicar por z e Designando por Z un número compJeJo conjugado.

3.1.

1.

2.

RAICES CUADRADAS DE LOS NúMEROS COMPLEJOS

Una propiedad fundamental del cuerpo e de los números complejos, que no la tiene el R de los números reales, es la existencia de raíces cuadradas de todos los números complejos. 2.1.

Teorema: Para todo número complejo z = a + bi € e, con z # 0, existen dos números complejos ZI = al + b 1 i Y Z2 = az + b z i distintos, tales que z~ = z y z~ = z. Si Z = 0, existe un solo número ZI = 0, tal que es z~ = z. Demostracián: Si e ficar

+ di

ha de ser raíz cuadrada de a (e

+ di)2 = a + bi;

+ bi,

se ha de veri-

1 hace

Proposición: La aplicación en la que a ca~a número comp f!JO ~':: l~.s nú. corresponder el conjugado Z, es un automorflsmo en e1 cuerpo meros complejos. Basta tener en cuenta que poniendo z

+ z' =

(a

Z

. ,_ + di + bl Y z - e , (a + c)~~(b + d) i =

= a

+ e) + (h + el) i = ={a-bi)+(c-di)=z+z'

resulta:

._ z. z' = (ac-bd) + (ad + be) i = (ac~bd)-(~d + be).1 = (ac- (_ b)(-d) + (a (- d) + b (~c}}i = (a-M (c- dI) - z·

=- _ -, :e,'

En este automo rfismo, cada número .real se corresponde consigo mIsmo. 3.2. Designando por Ol(z) la compone~te re~l, y por 'Y(z) la componente imaginaria del número complejo z = a + bl, se tiene:

z+z a = - = 9i(z) 2

y

b

z~z

=-

2i

='11 (z).

140

El cuerpo de los números comple,,,,,

a) Izl > O para todo z E 'e, y z"# o. b) Iz, z'l = Izl . Iz'l para todo par z, z' E e. e) 12 + Z'I ~ Izl + Iz'l para todo par z, Z' E C. d) Existen en e pares z, z' tales que es Iz + z'l >

y I

Z

= a

+ bi

I

I I

Demostración: Las propiedades La propiedad b) resulta de

I I

I

x

r

!z • z'12

r

I Z= B-bi

= (z

+ z'I2 = =

VALORACIÓN DEL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 4.~.

Aunque ya se ha introducido la longitud del vectOr (x, y) = x + yi, al estudla~ la representación geométrica de la suma y del producto de número~, complejos (1.6) conviene estudiar esta magnitud desde el punto de vista d(' una valoración de un cuerpo.

vdl

Izl ;> a =

Oi(z)

Izl > b =

y

+ bi, el mí-

W(z),

y también

Izl = I-zl = Izl Por medio del conjugado pues se tiene: 2 •

Z = (a

z se

=

l-zl.

puede expresar fácilmente el módulo de z

+ bi) (a -

bi)

{121, !z'l J.

y a) son consecuencia de la definición.

. z') (z • z') = (z . z') (z . 2') = (z • 2) • (z' . z')

Iz

Definición: Se denomina módulo del número complejo z = a mero real no negativo + l:J2. Se designa el m6dulo de z pürr' Izl. De la definici6n anterior resulta

ao

máx.

= Izlz, z'I2,

La propiedad e) se prueba directamente como sigue:

-z = -a-bl

4.

141

luetpo de los números comple;os

= dl + l:J2 = Izj2.

Observación: Cuando b = O, es decir, cuando se trata de un número real el módulo coincide Con el valor absoluto de dicho número real, pues '

+ z') (z + 2') = z . 2 + [z12 + Iz'I2 + 2 01 (z . z"

(z

z' • z'

+

z • z'

+

Z • z' =

pues z· z' y z . z' son conjugados, y su suma es doble de la parte real. La igualdad anterior se transforma,

jz + z'12 = CJzl + Iz'IY ya que

2 [z

. z'l + 2 (J( (z . z') < Clzl + \z'I)2,

Iz . z'l ;> (J( (z • z').

La propiedad d) es consecuencia de la igualdad

[h • zl =

Ihl . [z[,

para todo

hE

R Y todo

Z E

C.

Tomando en d), z' = h • z con h > 0, resulta

[z + z'[

= lz + hzl = (1

+

h) [zl > máx.

{lzl, Iz'I}.

Observación. La propiedad e) se denomina propiedad triangular, ya que en la representaci6n geométrica expresa que la longitud de un lado de un triángulo no excede a la suma de las longitudes de los otros dos.

4.3. Las propiedades ~), a), b), c} y d) son las que definen una valoración arquimediana en un cuerpo, en consecuencia: Proposición: La aplicación del cuerpo e de los números complejos en el conjunto de los números reales no negativos, en la que a cada :;c; € e se le hace ~orresponder su módulo Izl. es una valoraci6n arquimediana del cuerpo C.

la + O il = .¡¡¡ = lal. 4.2. Proposición: Las propiedades fundamentales del módulo son las siguientes:

ao) 101 = o.

S. EL GRUPO DE LOS COMPLEJOS DE M()DULO UNO 5.1. De las cinco propiedades de] m6dulo, tienen especial significado las b) y e).

143 ,.rpo de los números complejos

142

El cuerpo de los números compl, 1""

Izl La b) es de naturaleza esencialmente algébrica, mientras que la c) posibilil.l la definición de una distancia entre los números complejos. La propiedad b) indica que la valoración definida en e por el módulo, ," una aplicación de e en R+ U {O}, en la que al producto de números compl, i'" corresponde el producto de los números reales que son sus módulos. En e - {O} la multiplicación determina una estructura de grupo abeli;¡ "". e igualmente en R+ la multiplicación define una estructura de grupo abcIi;III" La propiedad b),

IZ . z'I = Izl . Iz'! es la expresión de un homomorfismo entre estos dos grupos. El núcleo del homomorfismo, es la antiimagen del elemento 1 € R + : {z :

Z €

e, Izl

= 1 },

Proposición: La valoración definida por el módulo en el cuerpo e, e.\ ./11 homomorfismo del grupo multiplicativo en e-{O} sobre el grupo mulli,,;, cativo R+. El núcleo del homomorfismo es el conjunto de los complejos ,', módulo l. Efec;tivamente la valoración aplica e - {O} sobre R +. Basta observar lj'lI' todo x € R+ es imagen de x + Oi.

5.2. ta propiedad general del núcleo de los homomorfísmos entre grul" ". da lugar a la siguiente proposición, que por otra parte tiene una demostraci¡ \\1 directa inmediata.

Proposición: El núcleo del homomorfismo definido por la valoración tiel/I' estructura de grupo abeliano. Se designará por U tanto el conjunto de complejos de módulo· 1, como d grupo abeliano multiplicativo definido en él. Para indicar que un cIernen! .. E

Ita representación es única. ÁNGULOS y ARGUMENTOS

61

La imagen cartesiana del conjunto U, de los complejos de módulo l, 1 Y centro en el origen. Cons~derando un pun~~ en la circunferencia, por ejemplo, en el que corta al eJ~ ~, a cada p~n la circunferencia le corresponde un ángulo, que tiene su vertlce en el OrIgen, 1 t . {"¡'o y por el otro punto .us lados son las semirrectas que pasan por e pun o J . d 1 Anála circunferencia. Aunque la idea es clara, desde el punto de VIsta e la se presenta la dificultad, de dar una definición de ángulo que sea cohe-

u~~ circunferencia de radio

te con la usual en Geometría.

es decir, el conjunto de los complejos de módulo 1.

pertenecen al grupo se escribirá u

r 10 que el número Z será de la forma pertenece a 1a clase, po z = Izl . u, con u € U,

Dos puntos u, v € U, unidos con el centro, determinan un á~gul0, ~ro es dente que otros dos puntos u', v' € U pueden determi~ar. un angulo 19ua~~~ at' Esta posibilidad de determinar un ángulo por dlstmtos pare~ de p. DI e~~orU, lleva a definir un ángulo por medio de una relación de eqUivalencIa:

Definición: Dos pares ordenados lt4ivalentes, si u

[v, u] y [v', u']

u'

-v-=V"

. t' sentido, y evidentemente se eomo Ivl = 1, los cocientes anterlores lenen ata de una relación de equivalencm. l [o, u] es la dase de- equiDefinición: El ángulo a determinad.o por e par

llencia a la que pertenece este par. El conjunto de todos los ángulos se designará por A. y

U.

v'

5.3. De la consideración del núcleo U del homomorfismo, resulta una presentación de los números complejos.

v

1"

Proposición: Todo número complejo z -:¡f:; O se expresa, de forma única. como producto de Izl por un número de U.

Demostración: De la definición de núcleo de un homomorfismo, resulta <¡\l'todos los complejos que tienen el mismo módulo que uno dado z -:¡f:; 0, forman J., clase a la que pertenece z en el grupo cociente de {O} respecto de U. Cad., uno de los números de la clase se obtiene de forma única como producto d. uno fijo de la clase, por cada uno de los números de U. En particular el núrnt""

e-

de elementos de U son

x

o v" V 11 '1

.......- -

144

El cuerpo de los números comple;o,;

6.2. Proposición: Existe una aplicación biyectiva entre los ángulos a Y los números u € V.

€

A.

Demostración: A la clase de equivalencia a la que pertenece el par [v, u ¡. pertenece también el par [1, -;-

J, pues ~

€

V. En consecuencia. se puede

tomar como representante de cada clase de equivalencia un par en el que el primer elemento sea un 1, y el segundo un elemento cualquiera de V, es deci.r. de la forma [1, ul. Evidentemente dos pares [1, u] y [1, u'J, con u #- u' pertenecen a distinta clase. Dado un u € V, la clase de equivalencia a la que pertenece el par [1, u] e~ el ángulo a que corresponde a u, que se designa por a(U). Recíprocamente, dada la cIase que define un ángulo a € A, el par de la forma [1, u] perteneciente a 1;1 clase, determina el elemento u E V correspondiente a a que se designa por u(a)_ 6.3. En el conjunto A de los ángulos se puede definir una operación de adición.

Definición: Sean al Y az dos ángulos y [VI> u¡] y [vz, u21 dos representantes de las clases correspondientes. Se define como ángulo suma al + az, la clase que tiene por representante [VI • VZ, UI • U2).' La suma al + az es independiente de los representantes de las clases elegidos para definirla. Si [VI' u¡l y [v;, u;J son equivalentes, y [vo uzJ y [v;, u;] lo son igualmente, se tiene UI

u;

--=-V¡

de donde

v;

y

u; --=-Vz v; U2

u; u; ---=---. v; v; VI Vz

11 cuerpo

145 de los número, complejos

Se abrevia la escritura por CI)S a

y sen a, y así se tiene

COS a

= 9l(u(a})

o bien

U

Ca)

Y

=

COS a

sen

a

=

?I/(u(a)),

+ i sen a

. , del número complejo. Esta definición permite dar una nueva expresIOn Si el argumento de z es a se tiene

z = \z\.

ufa}

z = Izl (cos a + isen a).

o

d 1

Las propiedades de los elementos e grupo Uvas a los senos y cosenos de los ángulos: 6.5.

V se traducen en las n·l.l-

2

a) De lu(a)! = 1, resulta cos2 a + sen a = 1. l' . . a el ángulo correspGnt Il 111< b) Si a es el ángulo co.rrespondlente a u, es a Ü, pues a(U • ü) = 0.(1) = a(u) + a(Ü). Al ser u y

Ü

conjugados se tiene cos (_ a)

c)

= COS a

y

sen (- a) =

De u(a¡ + a~ == u(al) • u(uz), resulta cos (a) + (2) + i sen (al + az) = (eos al

de donde COS

(a)

sen

(al

+

az) =

COS al COS

+ (2) = sen

+i

-

sen al)

a2 - sen

al

+ COS

al

al COS az

sen a.

(COS 0.2

sen sen

+

. 1 sen tI,).

"2'
U¡ Uz

De la definición resulta inmediatamente,

Proposición: La operación de suma de ángulos, determina en el conjunto A de todos los ángulos, una estructura de grupo abeliano isomorfo a V. 6.4.

Definición: Se denomina argumento de un número complejo

z '1'= 0, el ángulo correspondiente al elemento u = ~ E V. Para el argumento de z =F- 0, se escribe

a

= Arg . z.

Definición: Dado un a € A, Y u(a) el número de V correspondiente, se denominan coseno de a y seno de a, las componentes real e imaginaria de u(a}, respectivamente.

7. SUCESIONES CONVERGENTES Y FUNDAMENTALES 7 1 Aunque no es posible definir en C una ordenación compatible con la es~;uctura de cuerpo, se pueden considerar sucesio~es converg.~:~~ó~ ~;(:;~~ mentales de númerOs complejos, empleando para medir I~ a.r;roxl l módulo d;' términos de la sucesi~n al límite, o entr,e unos Y otro~ ~er~t:;~b:oluto en las la diferencia; es deCIr, se emplea el modulo en vez e v definiciones de límite y de sucesión ~~damentall' d I l o abs
146 El cuerpo de los números comple"

L'.

Definición: Se d' . lee .~ue una ;uc!?'sión {zn} de números complejos está ac" tada, si lo está 1 a suceSlon de numeras reales {Iznl}. Por tanto {z } está t d . . z n 1 <' H "d aco a a, SI eXIste un número real positivo H tal que -> ,para to o n. l

I

7.2. Definición: Se dice que una s ., { , converge hacia el complejo Z .~cesl~n z.} de numeras compleji mero natural v tal que eS' ,Sl para ca a numero real E> 0, existe un nll

IZn - zI <

e,

para todo

::? v, n _-

con

n

€O

lal~

Iz:,

y IZI ~ Ibl~lzl por lo que, escribiendo b Zn = Un + n i para todo n

+

bl,

lal + Ibl, €

N, la condición

Iz.-zl<,., y

Proposición: Toda sucesión de números complejos convergrmtf!'s, es

Relacionada con la acotación de sucesiones está la definición del limite Infinito. Para las sucesiones de números complejos no tiene sentido la diver.encia hacia + oc o hacia -oc, sin embargo es útil considerar la divergencia hucia oc simplemente.

Ib n - bl < E;

para todo

e inversamente la simultaneidad de estas dos implica

IZn -zI < 2 E,

luego

con Proposici~n: Una sucesión {Zn} de números complejos Z - a" + b i vergente SI, y sólo si, lo son las sucesiones {a } y {b }. n -. n e." n n,yaemas d lim Zn = Z = a + !Ji SI'' Y S o'lo SI,. l'1m a" = a y lim b = b. '4m n---+co

n-7(O

n

7.3. Definición: Se dice que una sucesión { } d ' fundamental (o de Cauch) . • Zn e numeras complejos es natural v, tal que es y, SI para cada numero real é> 0, existe un número e

para todo p;;?

v

y todo

q;;?

v,

con

p, q

€

N.

En virtud de las desigualdades antes citadas, se tiene:

Proposición: Una sucesión {z } de números . . d c~mplelos Zn = a" + b n i es fundamental si, y sólo si lo son la" P , s suceSIOnes e numeras reale { n} {b or otra parte, como las sucesiones funda . s a y n}.

converge.ntes, resulta:

mentales de numeros reales son

Proposición: Toda sucesión convergente en e; o con otras { zn} de números complejos fundamental es palabras, el cuerpo e de los números complejos es completo.

n;:';:;:

v,

con

n

E

N.

7.5. Aparte de las propiedades que relacionan la convergencia de la sucesión {Zn} con la de las sucesiones {a n }, {b n }, a veces es útil la siguien te, que relaciona la convergencia de {Zn} COn la de {IZnl}.

Proposición: Si la sucesión de números complejos {Zn} converge hacia z, la de sus módulos {lz.I} converge hacia Iz!; y si {zn} diverge hada '::'<0, la de sus módulos diverge hacia + 00, Si lim (a"

+ b n i) = a + bi, lim n..;
IZp - zol <

tun-

~amental.

Definición: Se dice que una suceSlOn {Zn} de números complejos diverge hacia oc, si para cada número real H > 0, existe un número naturaT ", tal que es

implica

la" - al < ,.

• 7.4. Algunas propiedades de las sucesiones convergentes y de las fundaJentales, resultan inmediatamente de las propiedades análogas de las suceIones reales, aunque las demostraciones directas son también muy simples; Iltre ellas se citan:

Proposición: Toda sucesión convergente (o fundamental) de número.s complejos, está acotada.

N.

De la misma definición de módulo (4 se tiene .1), resulta que para todo z = a

147

,\ouerpo de los números complejos

es lim Un = a y lim bn = b, de donde

v'ci,. + ~ = ..!a'l + b2 = Izl.

La segunda parte de la proposición, es evidente.

Observación: Se ha de advertir que la proposición recíproca de la primera parte no es cierta; puede ser convergente la sucesión de módulos, y no serio la original. Un ejemplo simple es la sucesión ZI = 1, Z2 = -1, Z3 = 1, Z4 = -1, alternativamente. 7.6. Como las operaciones racionales con números complejos se expresan por operaciones racionales con las componentes ,reales e imaginarias, resulta que cualquier operación racional con sucesiones de númerOs complejos convergentes, excepto la división por sucesiones de límite cero, originan suce-

148 El cuerpo de los números complejo.':

~ione~ ~onvergentes.

Se. puede asegurar que las propiedades aritméticas dl' os lImItes (~.; contmúan válidas en el campo complejo. Asimismo, el teorema de Top]¡tz (.2; 4! es aplicable en el caso complejo. Los casos de límites zndeterminados racionales son

?)

00-00;

o

O· -00;

e

O

como en el caso real.

I

110. ,

11. -

z, + z, + z, = O. Probar que los puntos correspondientes son vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen. inscrito en la circunferencia unitaria. ¿Cuál es la condición para que los cuatro puntos correspondientes a les números complejos z" z" z, y z" estén en una circunferencia? Si a y e son números reales y k un número complejo, probar que la ecuación

00

azz + kz + kz + e = O

~,

l. -

1

,Ji 2. -

Si z" z"

"'.

Zn

+ i sen ,)0

[u(,)]n = (cos , Z

~

O y

z = x

+ yi),

+ yl.

= x

= cos (m)

cos,

+

+ i sen (n.).

11. - De la fórmula anterior deducir las conocidas fórmulas (para n =

se verifica:

=

la fórmula de la potencia n-ésima:

EJERCICIOS Probar que para todo número compleJ'o

Ca

representa una circunferencia en el plano complejo. 12. - De las propiedades de los elementos del grupo U, deducir para u (,)

+ i sen., 8.

149

Wcuerpo de los números complejos

»

sen 3 a = 3 cos' , sen. - sen' • cos 3 a = cos] • - 3 cos • sen' z.

C¡xl + IYI)~ Izl ~ Ixl + 'yl. 14. - Demostrar la fórmula:

son números complejos, es:

Iz, + z, + ,.. + z,,1 ~ Iz,1 + Iz,l + .. , + Iznj.

1

- - + ces , + cos 2 • + ...

3.-Si z, y z, son números complejos, es:

+ cos n

2

a

= -------

•

2sen--

2

15. -

Resolver las ecuaciones:

4 - Sea z un número compleJ'o t a I que es Iz,I = 1, calcular 111

5. -

+ zl' + Il-zl'

Determinar un valor para ,\ que haga nulo el determinante 3i 4 ,\

6 -

-2i 5 + 2i 1 +i

l6-. i 3

+ \i

16. -

I

geométri~a~ente

as SlgUlentes con dI Clones:

z'

c)

z'

los conjuntos de números compleJ'os z

+ iz + 1 = O; + 2iz-l = O;

b) z'+z'+l=O; d)

z'-z'-z-2

= O.

Sea la sucesión de números complejos {z"J que converge hacia z, y sea {k.} otra sucesión de números complejos que cumple las condiciones: lim qq

+

Ik,¡ + ... + ik"l) = x,

y

Ik, + k, + ... + k.l .-:.--------'-' < k

0>-->00

Los tres números com l ' 3 4'. . l' Al h . P eJos + 1, 1, 1, determman un triángulo en el plano comp eJO. acer glrar el triángulo 30° alrededor del origen, ¿cuáles serán los números complejos correspondientes a los nuevos vértices?

7. -IDesc:ibi;

a)

ik '¡ +

k,

+ ,., + Ik,,1

'

para todo n,

donde k es constante. Probar que es

k,z, + k,z, + ... + k"z"

lim

k,

n-+ro

que cumplen

+ k, + ... + k n

= z.

17.-Dada la sucesión {Za} de números c(lmplejos, definida por a) e) j)

8. -

Izl~2;

9i'(z')

z

= ,;

+ z = iz¡';

Izi >2;

b) f)

c)

'2J(z') = [3;

!Z-ll z+

k) -

1


9i'(z)

1 >-_. ~ 2 '

Iz'-zj ~ 1;

g)

1)

!Z-z,/ z-z'l

d)

O ~ 9l(iz) h)

z-

< ".;

z, = k

z = i;

- - =1.

Condición para que los tres puntos correspondientes a los números complejos z,. Z, y Z.l. estén en una recta. 9.-Dados tres números complejos z" z¡ y z, tales que es Iz" = jZ21 = IZll = 1 Y

18. -

y

aZn-,

+b

e Zn-J

+

, para todo d estudiar la convergencia de la sucesión, y determinar su límite cuando sea convergente. Estudiar las siguientes sucesiones de números complejos:

a)

b)

Zo

z,

=k =k

Y

y

Zn.=

Zn

Zn

=

==

Zn-t

3 ~ 2z n -

1

+ Zn-I

l-zn-,

,

para todo

n

~

l.

para to.do

12 ;;:;:

l.

L

150

El cuerpo de los números compleJ"', c)

19. -

z. = k

y

3 Zn-¡ - 2 Zn

2 Zn_,

--

1

Si , es un número real, tal que sucesión de números complejos Zn

para todo

n3l.

no es entero par, se trata de probar que l.,

"

= cos (n ,)

+ i sen (n .)

no ti.e,ne ~ímite. (Se probará que si la sucesión de las partes reales tiene lími(, tamblen tIene la sucesión de las partes imaginarias. Esta existencia lleva a Ul<, contradicción. )

~I Series numéricas l. Definición de serie. 2. Convergencia de series. 1. Series de términos positivos. Criterios del cociente y de la raíz. Series de términos positivos decrecientes. 6. Series alternadas. 7. Ejercicios. El concepto de serie aparece en la Matemática al pretender dar sentido a la suma de los términos de una sucesión indefinida de números. Pero como en el estudio de lus sucesiones convergentes, en las series. aparte de la suma, interesa la serie en sí misma y la manera de converger a la suma. Sin embargo el principal interés de las series reside en el problema inverso. Se trata de expresar un número, una función, y en general, un elemento de un dOr:linio en el que esté definida la adición y el paso al límite, como suma de una serie. El concepto de serie como un par de sucesiones (1.2) es de tipo algébrico, pero está subordinado al problema central de la convergencia, que se presenta de manera natural en las series de términos numéricos (2.1), Como son completos los cuerpos real y complejo, se pueden establecer condiciones necesarias y suficientes para la convergencia en la forma de Cauchy (2.4), aunque por su generalidad son de relativa eficacia. Es, pues, conveniente estudiar clases de series en las que se pueda particularizar la teoría y obtener propiedades concretas. Entre las series de términos reales, las más simples son las de términos pOSltlVos (4), pues las correspondientes sucesiones de sumas parciales son monótonas crecientes, y entonces la convergencia es cansecuenCÍa de la acotación. Para las series de términos positivos, los criterios de convergencia o divergencia derivan de principios generales de comparación (3.4) con atras mayorantes o' minOrante5, y en particular por comparación con las series geométricas resultan los criterios del cociente y de la raíz (4.1 y 4.2). Para las series de términos positivos decrecientes se pueden dar criterios más precisos deducidos del principio de condensación (5.1), por medio del cual se consiguen obtener series rápidamente convergentes (o divergentes) a partir de otras de convergencia (o divergencia) más lenta. Finalmente se estudia la clase de las series alternadas, para las que existen condiciones elementales de convergencia (6.3), y reglas para la acotación del error en el cálculo aproximado de su suma.

151

Series numérica:;

152

1.

2. - En la serie

DEFINICIÓN DE SERIE

1

1.1. Aunque la definición de serie tiene sentido cuando sus términos pertenecen a un espacio vectorial, en esta parte se considerará solamente el caS(l de las series numéricas. Dada una sucesión {a n } cuyos términos pertenecen a R o a e, la sucesión {An} de las sumas parciales está definida por: Al = al'

Al = al

+ a;., ... ,

153

".rles numéricas

An

= al + a;. + ... + a,., ...

1

n (n

1

1

1

+ 1) =-n-~

n

+ l'

1 A.= l-n+}'

1

En forma breve, también se escribe

+ r + r2 + ... + r" + ... ,

donde r es un número cualquiera, real o complejo, el término n-ésinw

1.2. Definición: Una serie es un par de sucesiones ({ an }, {A n }), en el que la segunda sucesión es la de las sumas parciales de la primera, o la primera sucesión es la de las diferencias de la segunda. En virtud de esta definición, en una serie basta dar la primera suceSlOn { an }, o la segunda {An}, pues por el proceso de sumas o diferencias se deduce la otra. Se suele dar la primera sucesión, introduciéndose la notación siguiente: La serie ({ a n }. {An}) se den ata por

l-r" A=--

l-r

n

suponiendo r-:j::. 1. Si es r

= 1,

evidentemente An = n.

4, - En la serie

1+ 2x

+ 3 X2 + ... + = n

X"-I.

A" =

el término n-ésimo es a. = n, y la sucesión de las sumas parciales es

=n (n

+ 1) , ...

2

+ ... ,

+

l)xn

La suma parcial n-ésima es: 1-(n

+ 2 + ... + n + ... ,

n xn-l

en la que x es un número cualquiera, el término n-ésimo es el"

Ejemplos 1. - En la serie

('S

La suma parcial n-ésima es la de una progresión geométrica,

a

Los elementos al' a2,"" a,., ... de la primera sucesión se llaman términos de la serie, y en particular a,. es el término n-ésimo.

A I =1,A2 =3, ... , A n

.

+ 1)

resulta que la suma parcial n-ésima es

3. - En la serie

1

+ .,.,

Como

n(n

+ al + ... + a n +

1

a,. =

Dada una suceSlOn {An} cuyos términos pertenecen a R o C, la sucesión { an } de las diferencias primeras está definida por:

al

1)

.1 término n-ésimo es

En forma breve se escribe n

1

-1·2 + 2·3 ~ + ... + ( n n+

+ nxn+1

(l-x)2

Observación, A veces, por conveniencias de notación, se principian las sucesiones que definen una serie ({ a,.}. {An} por Clo y A~. Entonces la s('ri(> se denotará igualmente por a"

+ al + .. , + el" +...

o

L;a.-

155 154

2.

Series numér/l

trIes numéricas

,j',

CONVERGENCIA DE SERIES

Esta condición, por ser necesaria, permite decidir los casos de divergencia, los de convergencia. Por otra parte es fácil presentar series, cuyo térlalno general tiende a O sin ser convergentes.

,aro no

2.1. Definición: Se dice que la serie ¡;,. .... a. es convergente, si existe el límite finito.

I

lim An = A.

2.3. Una serie geométrica es aquella cuyos términos forman una progre-

~6n

El número A se llama suma de la serie, y se escribe ft

00

geométrica. Proposición: Sea la serie geométrica ~ rn, en la que r es un número real complejo. Si es Irl < 1, la serie converge Y es

=

~ r"

r=1

Definición: Se dice que la serie ¡;,. .... an d¡'ver'''e h aCla . infinito, si es b lim

IAnl

+ oo.

=

n--KD

En particular, si los términos de la serie son números reales y

+ 00

lim A. =

la serie diverge hacia -

00 ,

Demostración: En el caso

pues lim

+ oo.

u

Irln =

,

1, se tiene

=-00

y como lim

Ir1 n

I_l__

=

00,

o--

resulta

.->00

lim A. 1

.. , Se dIce . que la serie . De f'mIClOn: nito, o no existe el límite de An. 2,2.

~

a.

d' si ¡verge, diverge hacia infi-

De la definición de convergencia resulta:

Proposición: Si una serie

~

an converge, es lim a" = O.

._00

Demostración: Como an = A n - A n-l, Y es hm . lim an = lim An -lim A n--t(..Q n-l

11-"1""'()

Tl--+;O

1 =--. 1-r

11'1> 1, se tiene lA "1=' 1 _ r ~\ >-1\~II_ \~\ 1- r 1 - r, \ 1 - rl'

Y se escribe

n

oo.

O.

En el caso

x

Irl <

+

0-+00

Análogamente, si

la serie diverf!e hacia -

1-

<-

n=1

lim An

1

, A n=~---~ 1 1 l'1m rn 1m 1 "...co 1- r ] - r ,,~oo

en

=

------or

Si es \rl> 1, la serie diverge hacia oo. Si es r real y r ~ 1, la serie diverge hacia Si es r 1 la serie diverge.

y se escribe ~ el"

=

= ':.\""

A~

= A, se tiene

= oo.

Los otros dos casos son evidentes. 2.4. Como tanto el cuerpo de los número-s reales R comO el de los complejos e, son completos, el que una serie ~ a n sea convergente equivale a que

la sucesión {An} sea fundamental, luego Proposición: Una serie L a, es convergente si, y sólO' si, para cada número real E> 0, existe un número- natural v, tal que es

A- O

--

Esta proposición también se puede enunciar de la forma siguiente: Proposición: Condición necesaria par 1 que su término n-ésimo tienda hacia O. a a convergencia de una serie, e"

para todo n ?; v, y todo k > O. Demostración: La sucesión {An} es fundamental si para cada E> (), existe

156

157

Series numérici/:;

un

v

natural tal que es

IA

A.I <

p -

e,

p, q

para todo par

Suponiendo q > p y escribiendo p == n y q = n

Cuando una de las dos series .Igualdades

~

> v,

+ k,

b Cl,o,

y

L am + n

diverge hacia infinito, de las

IAm+.I- ¡Ami Y IAm+,,1 ;:;:, IRm.nl-IAml Um lA.! == 00 es también lim IR",."I = 00, y si lim IR... ,.I == 00

IRmnl ;:;:,

se tiene

IIlult'a, que si , 11 igualmente lim Aa = oo.

IA'+k - Ao/ = /a'+ l + an +2 + ... + a.+ k/. Una aplicación inmediata de esta condición es

n

n-+(D

->O:)

n-)
Para las series de términos reales resulta análogamente que

Proposición: La serie

lim A. = ±

1 + + + + + ... + + + ...

00,

S-l

es

lim R m ,,. = ± 00

también es

~rrespondiéndose los signos,

es divergente.

y recíprocamente. Todos los casos anteriores se resumen en la siguiente

Para todo n se tiene

a. + a.+l + ... + az. =

~1_ + n

2- + n+l

...

+

1 > 2;"

1

1

n'~=-2-

y la condición anterior de convergencia no se verifica. ' . Esta serie se denomina serie armo'nz'ca, pues ca d

a termino es medio armómco d e los dos contiguos. La serie armónica es un ejemplo d . d' tiende a O. e sene Ivergente cuyo término general

,2,.5. Definici~n: Dada la serie m-eSlmo de la mIsma, la seri(!

al

Proposición: Una serie al + al + ... + a. + ... , y la serie rf!sto a,~-'-l + + ... + am + n + ... (para cada m), tiene el mismo carácter; 11 en el tQso de convergencia, la suma Rm del resto es igual a la suma A de la serie Original, disminuida en la suma Am de los términos suprimidos.

+

U m +2

Una proposición de utilidad en algunos casos es la siguiente

Proposición: Si converge la serie os restos converge hacia O.

L a.,

la sucesión {Rm} de las sumas de

DemostraGÍón: De Rm = A - A." resulta

+ az + ... + an + ... , se denomina resto

limR m = A -limA", = A-A = O. m-+CO

+ am + 2 + '" + am + n + ... , obtenida al supnmlr los m primeros términos de la serie original. llm+l

Las sumas parciales correspondientes al resto m-ésimo, que se designan p?r Rm.l! Rm.b ... , Rm,n, ... están ligadas con las sumas parciales correspondIentes a la serie dada, por las relaciones

Rm.n

= Am+1t -A m,

con

n

= 1, 2, ...

Escribiendo

de

I

2.6. Dada la serie L an de términos complejos, expresando a,. por medio sus componentes an = x. + i yn, se pueden formar las dos series LX. y y. de términos reales, y se tiene

Proposición: La serie ~ (x" + i y,,) converge si, y sólo si, convm-gen las 'los series L x" y :E y,,; además, en casos de convergencia, designando por =

A

= L a.,

X

== ~xn e

se tiene A

=X + i Y

00

A

=L a.

DemostraGÍón; Como

ü:::::1

cuando las series correspondientes convergen, por las propiedades de los límites, se tiene:

IA n +" ~ A"I

< IX +

de la convergencia de las series de L (x" + i Yo)' Análogamente, como

IX'I.-X.I

n

LXn

< !A.+k~A.1

X.i

k -

e

y

+ yn

L Y.. ¡Y n +

k -

f k -

Y.I·

en virtud de (2,4) resulta la

Y.l

~ IA,.+k~Anl,

159 J58

Series numéric,/:,

de la convergencia de la serie ¿ (x" + i Yn), resulta la de las series L;xn y En caso de convergencia, dado un E> 0, existe un número natural que es e

/Xn-X!
I!

y

/Y,,- YI <-2-'

para

¿: 11" 'V

t,'¡

n ~ v,

luego

/An-(X para n

~ v,

+ i y)! =

/(Xn-X)

+ i (Y n - ni ~ IX.-XI + IY,,- YI <

e

lo que prueba la segunda parte de la proposición.

Demostración: Basta tener presentes las desigualdades e

SERIES DE T:ÉRMINOS POSITIVOS

~

la

siguiente

Si

~ Lo

a es una serie convergente de términos n

a/na sucesión de números positivos {"n}, con

"

•

-+ -:"X;

"

Plositiv~s, .:~istae

tal quf!' a serie-

t también converge.

Observación. Para simplificar el lenguaje, se admite que las series de términos positivos (o negativos), pueden tener términos nulos, salvo en aquellas cuestiones que aparezcan como divisores. Como cambiando el signo a todos los términos de una serie de términos negativos, resulta una de términos positivos, y sus propiedades son conse· cuencia inmediata de las de la serie obtenida, se limita el estudio al de las st'ries de términos positivos. O'

divergen

DemO'stración Si L a" es de términos positivos, la sucesión {An} de las sumas parciales es monótona creciente, por lo que, o está acotada y entonces tiene límite finito, o no está acotada y su límite es + =. 3.3. Existen series de términos positivos que son convergentes. Ejemplo son las geométricas de razón positiva menOr que 1. Existen: series de términos positivos que son divergentes. Ejemplo son aquellas cuyo término n-ésimo no tiende a O. Sin embargo también existen series de términos positivos cuyo término general tiende a O que son divergentes, como la armónica.

L.;

AM

"

. d" gente de términos positivos, existe , t ' ~ a es una sent!' zver . ," Analogamen e, Sl L.; n • • } ) .-+ O tal que la sene L.; A" a. una sucesión de números posttlVos {ln , con -n , también diverge. del resto n-ésimo de la serie convergente Demostración: Sea Rn la suma L ano Según (2.5) es lim R" = O. 0-->00

3.1. Definición: Se dice que la serie de términos reales L a" es de tér minos positivos si an ~ O para todo n, y se dice que es de términos negativo" SI o" O, para todo n.

3.2. Proposición: Las series de términos positivos cO'nvergen hacia + 'ex;.

" . ara clasificar las series de términos Al pretender establecer un cnteno P t el hecho notable de que SitiVOS en convergentes y. ~ive:~entes, se ,,~:e~~~z:' con que tienden a O los O es factible basar la clasIÍ1caclOn en la p . e nnsibl p hal1ar . d 'e convergente, es slempr y ~ rminos de la sene. Da a .una ,ser,l'l t ente" que la primera; Y dada una tra convergente que converJa mas en am d'¡VerJ'a más "lentamente" . asible ha1l ar otra que , "erie divergente, es SIempre p "a o divergencia se preósa en que la primera. Esta lentitud de la convergenCl

Proposición:

Proposición: La serie ¿: (X n + i Yn) diverge hacia infinito, si una al men, de las series ¿; X n , LYn diverge hacia infinito.

3.

III"es numéricas

Escribiendo

la serie

es convergente, pues su suma es

~ ('¡R n - I - ..JRn) = -!Ro = VA. n:;;!

Tomando

1

An

= ,JR._ 1 + ,.¡¡¡:;, ,

se tiene la primera parte de la proposición. Si L an diverge hacia +00, la serie

--==-a.._ = 1: (-lA.. ~ >/"A,,-l)' con Ao=O. ..rAn + v'An-l ambién 'diverge, pues

~ (-v'A,;11::=1

vA.-u = lim.fA. =

+ oo.

161 160

Series numéri'd"

'1ft8

numéricas

lente que aún siendo una proposición de tipo general se aplica con gran

Tomando

caeía en casos concretos. Proposición: Dadas las dos sf!ries

se tiene la segunda parte de la proposición.

~"'.

~

34 Defini" a <'b' CIOn: D adas dos series de términos pOSitwoS ~ n n n para todo n v con r' d' .... a y ¿: b", \1 de la Lb o q 1 ~ . ' " v lJO, se ¡ce que la s(!ne ¿ an es minoran 1, n, ue a serie Lo b" es mayorante de la b ano Proposición: Una serie"bL an de términos posltzvos .. existe una mayorante es convergente, si • • ' Lo n convergente. Una seri "b d ' . SI' eX1S . t e una minora . posztlVos es diveroente • b , t . '\'e n,L,d' n e termmos teno de comparación.) n e Lo a zvergente. (eri-

,pone que existe

¿: an

Lb.

y

de términos positivos, se

. a" l lm~b =í.. n

r.-H:x.)

Si í. ot= O, las dos series convergen o diverg en simultáneamente. Si J. = O Y ¿ b n converge, también converge :¿ Un. Si ), = + (lO Y ¿ b" diverge, también diverge ~ ano

Demostración: En el primer caso:

A

ot= O,

existen dos números H Y K

"'les que Demostración: Si an ~- b n para n

~ v,

An -Av ~ Bn -Bv, Si

0< H < an/bn < K,

es para todo

n

~

v.

L b" es convergente hacia B, de An~B.-Bv+A v ~B-B -......:::: '11

+AVJ

1'0 sea

o<

y por tanto la serie Si

¿a

n

¿ an

diverge hacia

+ A v,

o sea

para todo

Luego la serie de

Bn~A n - A v

+Bv,

LK

. b n es mayorante de la

Bunda parte. En el tercer caso: A =

+ 00

o

sea

n->ro

y por 10 tanto

¿

Luego la serie

b n diverge.

Ejemplos: 1. La serie ¿l/n! es cn o vergente, pues como n! > 2n pal n ~ 4, la serie ¿ 1/2" es una mayorante, y como geométrica de razón 1/2, convergente. 2. La serie n ~ 1, la serie

l/na donde L¿ 11n es

¡eométrica

1 . para ."" , es dIvergente, pues como na ~ n una mmorante, y como a.rmónica diverge.

¿ b" =

an > H . bn

para

v.

lo que demuestra la se-

n

> v,

n ;;? "-

L an es mayorante de'la ¿;'H bn, lo que demuestra la ter-

:z _1_ 2 n

L~

a

La serie }.; a,. =

L

4 + 2n

converge. pues comparada con la

convergente, se tiene

lim - ' n-KD bn

2.

v,

existe un número H> O tal que para todo

:era parte. Ejemplos: 1. La serie 2.: an =

a ~

3.5. Del .criterio general de comparación resultan otros particulares, pero con frecuenCl3 de aplicación m'as slmp . 1e, En primer lugar se expone el si-

+ .Xl,

n~

L' a,,,

anfbn > H,

resulta que {Bn} no está acotada, luego lim Bn =

n~

para todo y

> v, n > v.

Luego la serie ¿: a n es mayorante de la ~ H b., Y la serie ~ K bn es ma)'orante de la ¿: an> lo que demuestra la primera parte. En el segundo caso: ), = O, existe un número K> O tal que

converge.

+ 00,

para todo

H • b n < a n < K • bn ,

resulta que {An} está acotada, luego A. = A ~ B - B lim n-+CO

n

para todo

1:

vii

= lim

.->'"

3·2"

--4

+ 2'

= 3.

diverge, pues comparada con la armónica

162

~ b. = ¿;

+

Series numl'", 1ft

divergente, se tiene , a" 11m -b"

= lim _

n->(X)

1

n-+eú

n

+ Vn

-_

+ 00

163

.....,.. numéricas

1'51 a> 1, tomando un b tal que 1 < b < a, en virtud de la definición de 1"Ite inferior, existe un índice v tal que .

:::.:: b ~ -a'+l ::?::?

1

para to d o

a"

4.

CRITERIOS DEL COCIENTE Y DE LA RAIZ

4:1. Para aplica.r un criterio de com araci' , prevIo de algunas series convergent Pd' on, se precIsa el conocimi('lll 1 SI es a < 1 < A l ' " la serie diverge. , e enteno no decide.

=

ciónDemo:tr~ción:

Si, A < 1, tomando un B tal ue de hmlte superIor, existe un índice v tal qU~ A < B < 1, por la defi '"

~.~o

todos los términos de la serie a partir del a, serán mayores o iguales avo y por lo tanto no es nulo el límite de a", o no existe, luego la serie flverge. Consecuencia del criterio anterior es: ~e

Criterio del cociente: Si existe el límite .

para todo n:;'

a"

v,

de donde resulta

an+l

hm --=)., an

n-'JoCl}

para ). < 1 la serie converge, para criterio no decide.

A> 1

Ejemplos: 1. La serie ~ (1.n/n. donde verge si a < 1 Y diverge si a> 1, pues añ+1

oft+I/{n

--= an

Cln+l ----~B

'-- v, n::?

CI.

la serie diverge, y si ). = 1 el

es un número real y positivo, con-

+ 1)

a"ln

n =a·---~a

n

+1

En el caso de ser o = 1, el criterio no es aplicable; pero directamente resulta la serie armónica, que es divergente. 2.

El criterio del cociente falla igualmente en el caso de la serie

y en general cz"+>n ~

La serie y

¿; bn

Bm av

para todo

m.

en la que b,=a;

para

O~i~v,

para todo m?-o, es convergente, pues el resto obtenido al es la serie geométrica suprimir los v-primeros términos.

¿; Bm • CZ" de razón B < l. Además la serie convergente.

¿; bn

es mayorante de la ~ I LJ a.. uego ésta es

pues 2 an+1 l'1m - -n- - = 1. , ~-= 11m ll->CD an 0->00 (n + 1)2

Sin embargo, en este caso la serie es convergente, pues es minorante de la serie

1

1

1

1+-+-+",+-(--+", 1·2 2·3 n n + 1) que también se puede escribir (1.2; Ej. 2) en la forma

1+ ~ (_1 __ 1_), n n+ 1 que manifiestamente converge y tiene suma 2.

164

1'-' numéricas

Series numér;,,,,

2.4.

~a • sup \la:.

Criterio de la raíz: Dada la serie A = lim

165

¡ de térm;no , s

't' pOSt lVas,

'rSi

sea

a

2,

= 1, el criterio no decide, pero la serie es manifiestamente divergente.

El criterio de la raíz falla igualmente para la serie 2:,1/n2 ya que

Si A < 1 la serie

lim \!1/n2

converge, y si A > 1 la serie diverge. Si es A = 1, (!l criterio no decide.

va:
para todo

a.
para todo

n

la serie

para

¿ lln (n -1)

1) > ljn1

converge.

v,

SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS DECRECIENTES

~v.

O :::;;;i
para m;;?: O, es convergente, pues el resto obtenido al ' es la serie geométrica Supnmir los v-primeros término>" ~Bm

de razón B < 1. Además la serie convergente.

l/n (n -

,f¡-

,

bi = ai

y

n ;:?

(l!vnY = 1,

n-+CC

embargo la serie es convergente pues como en el apartado anterior es

Demostración: Si A < 1, tomando un B ta la definición de límite superior ' t ' d' 1 que A < B < 1, en virtud , eXlS e un 1ll lce v para el que se verifica o

= lim

n----,io-CXJ

~ b n es mayorante de la L G,,, luego ésta

l",

. ,S~ A > 1, en virtud de la misma Infmltos términos a" para los que es definición de límite superior, existl'rl

Los criterios del cociente y de la raíz, aunque muy útiles, son de restringida. En el caso de las series de términos decr::cientcs, el 'ncipio de condensación de Cauchy, permite deducir de series dadas conrgentes o divergentes otras de convergencia o divergencia más rápida y del ¡smo carácter:

~r

5.1.

icación

Proposición: La serie ~ do de términos positivos y decrecientes converge •• y sólo si, la serie "condensada" ~ 2" a2n converge. Como las dos series consideradas son de términos positivos, y por Jo tant[) ¡onvergentes o divergentes, la proposición anterior es equivalente a la sí~uiente:

La serie

L an

diverge si, y sólo si, la serie "condensada"

¿,2 n a~n diverge.

Demostración: Por ser decrecientes los términos de la serie dada se tiene: y por lo tanto el término 1d . genera e la serie no tiende a O y la sen'e d' Consecuencia d I ' . 'lVerg(. e entena anterior es:

al:::;;; al a2 + a3 :::;;; al

lim n->co

--va;; =

A,

para A < 1 la serie converge p ;. > 1 1 no decide. ,ara a serie diverge, y si ;. = 1 el criteriu

, en general

Ejemplos: ~ serie ~ na" donde a es un número real todo a < 1, Y dlverge para todo a> 1, pues positivo, converge

¡dre donde

lim \Y(i;; = lim y'r¡- ü!' = n--}{X)

1I---+CO

+

al = 2 al ~+~+~+~~~+~+~+~=p~

Pr,:)posiéión: Si existe el límite ordinario

a •

lim

n-+ro

y;n=

ro

2R+l_1"

¿:

ak ~ ~ 2~

{lzt

~ ~ 2 k azk

a.

luego si la serie "condensada" converge, también converge la serie dada.

166

Análogamente

Series numérica"

, por ser decrecientes los términos de la a3

as

+ a4;;;:' 2 a~ + ~ + a¡ + as ;;;:, 4 a g =

serie dada se tiene:

22 a 3 1 ........... ,

.. -...... .

¡ 67

.rles numéricas

Análogamente se prueba el siguiente criterio. de divergencia:

Proposición: Dada la serie de términos positivos L ano Si existe un n/lmero real

a ~

1, tal que

y en general

1im inf

la de donde ro

¿

2k+l ak;;;:'

k=l

Z

ah ;;;:,

k=1

i:

_1_ 2

¿ ~;- = ¿2

n (!-a,'

=

na = A (finito y no nulo),

Ejemplos: 1. Si en una serie L a n de términos positivos es a" = {(n¡ldlll, donde ten) y gen) son dos polinomios en n de grados p y q respectivaml"IlI('; como

2k+1 a 2k+l,

luego si la serl'e d d k=O a a converge t b" , am len converge la se' " PropoSicl·o'n". L a ser/e ' ne condensada", 'i.' l/na , L.. Converge Sl a> 1 d' Demostración: Si < 1 l ' , ,y !Verge si a ~ 1. yore 1 a . Os termmos de la ' , s que os de la armónica ue es d: sene son respectivamente masIderar el Caso de ser a> 1. q Ivergente; por consiguiente basta conAplIcando el principio de d ', COn ensaCIOn se tiene la serie '

2n

el,¡

serie diverge.

¿(

2:-

) 1

~

=A

lim n a- p a,.

(finito y no nulo),

n->O:l

li q - P > 1, la serie converge y si q - P ~ 1 la serie diverge_ 2. Generalizando el ejercicio anterior se puede considerar la sr-ril" de términos positivos en la que a. = If(n)I"I!g(n)I~,

donde f(n) y gen) son dos polinomio.s de grados p y q respectivamCI11L' y " y 1I números reales cualesquiera. Como lim

nq~-p"

a.

=

A (finito y no nulo),

Como fl - 1 > O es 2"-1 geométrica de razo'n' > 1, luego 1/2a-¡ < 1, l ' menor que 1. y a ultima serie es una

si q/3 - po > 1 la serie converge y si q/j - pa

5.2. De la propiedad anterio.r se deduce el . d genclae Pringsheim,' siguiente criterio de converProposición' Dada la ' mero real a > 1 ' l l ser/e de términos positivos '" n , a que es "-' a , Si existe un nú-

5.3. Del criterio anterior resulta, que si en la serie ¿ a,. de Lérnúr/IJ.\ 1'''sitivos ~s 1im inf n el,¡ = A F 0, la serie diverge, y en consecuencia, si J(/ .I('n., ~ a. converge ha de ser lim ínf n el" = O. En particular, cuando existe lim n a,. se tiene la siguiente

la serie converge,

pa,ra todo

n:>

1 la serie divergc_

11-+00

Proposición: Sea L an una serie de términos positivos, ..1 existe

lim sup an n" = A (finito)

. Demostración: Tomado un K> A ' por la definición de límite Superior, eXIste un índice v tal que es luego

~

v,

an < Kjn" pa.ra todo n:> 11, y cama la serie 1: K/n" es ca término. de índice \', ., nvergente y mayorante de l d d a a a, a partir del tambJen lo será la dad a.

lim n a" 1I->ro

= AF

O,

la serie es divergente. Ejemplos: 1. La serie L,

1 l (n

- n Cln 11m

+ 1)

= 1"1m - -n- - = + 00,

"->ro

2.

diverge, pues

Igualmente diverge la serie

+ 1)

n-->
l (7'1

L

k+ •1

7'1

168

.8 numéricas

Series numériciI,'

La proposición anterior se puede e

'd " nunclar e la sIgUIente forma;

• casos que se pueden presentar son los siguientes:

Candición necesaria l pasitivas es que sea l' para a canvergencia de una serie ~ d ' , 1m na = O S' e.st [ ' . . L.., a. e termin¡I.1 , n-+CD n ,. e ¡mUe eXlste. Sin embargo, puede ocurrir que gente, na exista lim n an y la ",,'"en'e sea canvel' EjemplO'.

h < k : A 2k -

=

Qn

=

I

para

n=

2~,

1

~z '

para n::;6= 2 k ,

= a2"+1 - a2h+Z + a2', +2) + .. , + (a2".-1 -

oo.

+ a2"_I- a2~ = Q2J')

> 0,

h < k : A2k+l - A l "+! = - a21,+2 + a2h+3 - ,.' - a¡¡, + a2k+l = (a21<+2 - aZh3) + ." - (a2" - aZ<+l) ~ (),

=-

k = 1, 2, ...

'1 que todos los términos son negativos o nulos. h < k: A2k+l- A Zh =

k= 1,2,.,.

es manifiestamente convergente, pues las sumas parciales esta'n

= (a2"+1 acotadas pOr

'fa

a1"+1 -

aZ"H)

+

oo.

a2h+2 + ... + Q2k-l al/, + a Zk +1 = + (aZk-l ~ a21<) + a2k+1 ;?> 0,

que todos los términos son positivos o nulos.

Proposición: Las sumas parciales pares tienen un limite finito A', y las ,urnas parciales impares tienen un límite finito A ", Y es A' ~ A".

queNson l~s sumas de dos series convergentes o e1xlste lim n Cl,¡. pues para n = 2k e~ na.

nan=~.

A 2"

(al"+l -

que todos los sumandos son positivos o nulos.

La serie ~ a. en la que es

7'

169

= 1, Y para n:;t= 2

k

es

Demostración: La sucesión de las sumas pares es creciente y acotada por ;cualquiera de las impares, por lo que es

n

lim A2n = A' ,,::;;; A Zn + 1, ,.-KX)

6.

~

SERIES ALTERNADAS

, 6..1. Proposición: Una serie

lim AZn+1

~ a.

de números termmas san alternativament . . . reales es alternada, si sus Lo 1, e posltwas y negatlVoS. s nu Os en caso de existir d . los negativos indistintamente. ,pue en ConSIderarse con los positlyos o COn Se puede tomar como f • . Orma hplca de una serie alternada la siguiente: al~a2+a3- ... + (-l)n-lCl,¡ + ... , con a. O. En caso de ser negativo el ' los de la serie. prImer término, se cambiaría de signo a todos

>

. 6,2. Proposici6n: Si la serie L an es alte d •. . Clentes en valor absoluto 1 '• rna a, y los termmos ,~on deere• . , a sueeszon {A } de las sum .1 t ermmos ordenados de la farma slguzente; '. n as parCIa es tiene sus A

z

~ A4 ~ ", ~ A Zn ~

, ..

~AZn+l ~."

por ser A' una cota inferior de las sumas impares es análogamente

:;:;;A3~AI' Demostración: Para probar estas entre un término y otro anterior en desigualdades, basta hallar la diferencia la sucesión {An} y comprobar su signo.

n-+CP

= A" ;?> A'.

6.3. Proposición: Una serie alterada de términos decrecientes en valor absoluto es convergente si, y sólo si, el término general tiende a cero. Demostración: Basta tener en cuenta, que en virtud de la proposición anterior es

De las desigualdades anteriores, resulta:

luego en el caso de la convergencia se tiene la siguiente

Proposición: La difer(mcia entre la suma de una serie alternada convergente, y una de las sumas parciales, es menor que el valor absoluto del primer térmíno de la serie, que sigue a la suma parcial con si derooa.

170

Series numéricas

4. -

Ejemplos: 1. La serie alternada

1 1 - -2

1

1

~

2.

+\

¿; an

es decreciente y tiende a O.

1 + (-I)n+l-1--A I <~. 6. -

Análogamente es convergente la serie

1

1

1

en donde

Si se designa por

a21l-¡

=---(2 n -

y

a2n=---'

2n

1)'

e

el conjunto de todos los números positivos enteros, que no 1 contienen la cifra O en su expresión decimal. Probar que la serie ¿; --, donde e c. son los elementos de e escritos en orden creciente, es convergente; y que su suma es menor que 90. Dada la serie de ténninos positivos ¿; an, probar que n- P converge si 1 ll

n

1 - --,- + -1-'-- ... 1. .

2n

y

Si A es la suma de la serie, se tiene:

I

2n-3

2 n-l

5. -

1-+1- - " , 1-2 3

Estudiar el carácter de las series 1 ¿;(-l)n_--

1

+ -3--4 + ... + (-I}"+i-n- + ... ,

es convergente, pues la sucesión {a n } =

17]

Series numéricas

L.;a"

P>-2-'

1

+ (-l)n_,_ + .... n.

Dada la serie de ténninos positivos ¿; an convergente, probar que también converge la serie ~.; a. an+¡. 8. - Probar que si converge la serie an , y la sucesión {b.} es monótona y acotada, la serie ¿an bn también converge. an, también diverge ¿; n ano 9. - Probar que si diverge la serie 10. - Dada la serie divergente de términos positivos ¿; Q", probar que también divergen las series; 7. -

¿

7.

Z

EJERCICIOS

1. - Probar que son convergentes las series:

~

1

1

1

(2n

+

~-r; nvn

1)1

~ l· 3 ..... (2n

L

+

2:

3 • 6 •...• (3n)

+ 00,

2. - Probar que son divergentes hacia

1

1

1) ;

.vn (1

b - - -a"- - -

Qn

¿;--;

[In (n+ 1)]':

.11. -

+ n')

+ an

1

+ al + a, + .. " + a.

Dada la serie convergente de ténninos positivos vergen las series:

¿; an,

probar que también con-

las series; y

1

b 3. -

(n

+ ~)ln(n +

L

1) ;

1 2n-l

'l.'

1

'-' Vn"'

¿2. - Probar que convergen las series

Estudiar el carácter de las series

~.vñ+T

1 'ln(n

1

~(l

+1);

n + 2n)'

2: n (n + 1) ;

1

L

n(n

+ 2)(n + 4)

~

n'-3 n n(n

+

2)(n

+

+7 3)(n

+ 4)

.

y calcular sus sumas.

1

~ p"

~(ln n}l'(n;;;;: 2);

~

n (p > O); P

1 - - - - - (O < q

nP-n"

<

p

1

¿; (v'I+11' -

n);

;:;o-

n

,3, - Suponiendo 0< b < a -1, probar la convergencia,

n;

+ 1 (b + 1+--+ b

n;;;;: 2);

y

~--(n¿2)'

""(In n)ln n

L

-1--

•

a+l

1

L n In n (ln In n)P (n;;;;:

3);

l)(b

+ 2)

(a+1)(a+2)

+ ... +

(b

y hallar la suma de la serie

+ l)(b + 2) ... (b + n)

(a+l)(a+2) ... (a+n)

~,- Probar que si lal < 1, converge la serie 2: nan - I . Hallar la suma. es convergente la serie de términos complejos

i'. - Probar "lue

l( cos -n"2- + ¡sen -mT) 2:-- • n 2 pero que la serie de los módulos es divergente.

+ ...

172 16. -

Series numéri, ,'"

Probar la existencia del límite lim

(i-1__ f_1_'

n-->OO

"=1

k

k=l

17. -- Probar que para cada n se verifica:

k

+a)

con

a >0.

40. Convergencia absoluta y producto de series

1 ~-<--1 k=" k' 00

n--2

1. 1, ,.

4. 5. 6.

Convergencia absoluta. Reordenación de series. Convergencia de la suma de series. Convergencia del producto de series. La serie exponencial. Ejercicios. En este capítulo, continuación de la teoría de las series numencas (IX), se trata

de aquellas que tienen infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, así Domo la de las de términos complejos, Los problemas de convergencia ofrecen mayores y sólo restringiendo adecuadamente la cIase de las series en ('studio, se pueden conseguir resultados de eficacia práctica y suficientemente generales, En particular interesa que se pueda operar con las series conservando la convergencia. La . close de series que se presentan de manera natural, es la de las series absolutamente C'onvergentes (1.1), que entre otras propiedades notables tienen la de conservar la convergencia y la suma al reordenar sus términos (2.2). La convergencia de la serie suma de otras dos convergentes no ofrece dificultad (3.1 y 3.2) Y es consecuencia de la misma definición, pero la convergencia del producto problema más complejo, pues depende del tipo de producto que se consider<:, Para 11 producto de convolución (4.1) el teorema de Mertens (4.2) da una condición suficiente para la convergencia, y en él la suma de la serie producto es el producto de las sumas de las series factores. Para conseguir proposiciones más generales lo adecuado es imponer a las series l. convergencia absoluta. llegándose a un resulado de máxima generalidad (4.6), pues Cu~lquiera que sea la definición de producto, la serie resultante es también absolutamente convergente, y converge hacia el producto de las sumas de las series que se multiplican. No sólo como aplicación de las técnicas expuestas, sino también por su interés in'r{nseco se estudia la serIe exponencial (5), que en el caso complejo da lugar 'l las aeries seno y coseno. I dificultades,

'1

173

175

174

1.

Convergencia absoluta y producto de

S('III',

"vergencia absoluta y producto de series

es la serie de los valores absolutos tiene por minorante la serie armónica.

CONVERGENCIA ABSOLUTA

La serie dada converge Y su suma es: 00 1 00 1

. 1.1. El, es~udio general de la convergencia de las series nldad de termmos positivos e infinidad de n ' , que tienen ild, de términos complejos presenta dificultades eg;~lVOS, aSl como el de las sen,,,. estas series de propiedades s'U . In embargo, hay una clase ¡,. vergenteS. enCl as; se trata de las series absolutamente r, ,"

Definición'. Una serie L. '\, an d e termznos ' . reales o compleJ'os es ah so u amente convergente . ' 1 t tivos ¿ , Sl es convergente la serie de términos si-dada. la.l, formada con los valores absolutos de los términos : : la

1

00

n~¡(-l)n-n-+ :E¡(-lY(2n)2+ in~(-1)"(2n + W

Proposición: Toda serie absolutamente convergente es convergente. Demostración: Dada la serie L an, designando por {A ~} la sucesión de sumas parciales de la serie ¿ lanl, se tiene

lu

IAn+k -- Anl = lan+1 + Gn+2 + ... + a.. +,,1 ~ < la.+11 + la.+21 + + 1a.+,,1 = A:+1-A: 0.0

Ejemplos: l. La serie

l-~+~ 2 22 - . . . +(-

Ir 2n 1 + ... ,

converge absolutamente, pues es convergente la serl'e d e sus valores ab, lutos 1+_1_+_1_ 2 22 +

cualesquiera que sean n y k. Dado un e> O basta hallar un índice Ido n

>v

v

tal que sea

A:~~ - A: < 8;

para

y k cualquiera, para que sea

!An+k - Anl < e,

para todo

n

>v

y

k cualquiera,

í: ano Definición: Dada una serie L an y una aplicación k: N'- N estrictamente creóente, se define como serie parcial correspondiente a esta aplicación, la serie ¿, dn en la que da = a"r,,)·

1 ... + 2n + ...,

.0

que asegura (2.2) la convergencia de 1.2.

que es una geométrica de razón -2-' 1 2.

La serie 1 1 - -2

+

1 -3--'"

+

1 (_1)"-1__+

n

Ejemplo. _ La serie parcial de la armónica

... ,

es una alternada convergente, que sin embargo pues la de los valores absolutos es la armónica. no converge absolutamenll', 3.

La serie

L(+++r LI+ ++r=L ()2 r

converge absolutamente, pues

es una geométrica de razón menor que 1. 4. - No converge absolutamente la serie

I

aplicación definida por k(n):;: n2 es la serie

L _1_, correspondiente a la 1 n

-2 n -'

Obsérvese que mientras la serie armónica es divergente, la serie

L _1_ n2

es convergente. Proposición: Si una serie converge absolutamente, cualquier parcial tam-

bién converge absolutamente. Demostración: Sea L a,. una serie absolutamente convergente y

í: a~

una

sucesión parcial cualquiera, se tiene JI.

00

lt(n)

L la;1 ~ L !a,1 ~ ~ Ia;I,

i=l

y como las sumas parciales de L

1=1

1=1

la:, I están

acotadas, la serie converge.

1.3. En las series de números reales con infinitos términos p
LtNÉS-7

176

Convergencia absoluta y producto de sel ¡", Jnvergencia absoluta y producto de series

positivos

O

Proposición: Una serie L a de números reales es absolutamente con!,,'1 gente si, y sólo si, son convergentes la serie L u" de los términos positivos .' nulos, y la serie L V n de los términos negativos.

. L.. ~ a. Y una perm u tación- k del conjunto Definición· Dada una serie núm~ros naturales. La serie reordenada de la dada~ correspon. '" . k , es 1a sene diente a la permutaCl6n L.. a'n en la que es d n - akr.,·

ll

>

Demostración: A cada término G n O de la serie L a se le hace corr.. " ponder un número natural n' igual al de términos positivos o nulos de l., suma An = al + a2 + '" + ano Así queda establecida una aplicación biyecti\., entre el conjunto P de los índices de los términos positivos o nulos de L iI Y el N de los números naturales. La aplicación inversa, que se denota por /' Y en la que es p(n') = n, define la serie parcial de términos positivos L 11 con Un' = a... ,

ll

Análogamente, a cada término a" < O, se le hace corresponder el númel<' natural n" igual al de términos negativos de la suma An = al + al + ... + (/ Así queda establecida una aplicación biyectiva entre el conjunto Q de !". Índices de los términos negativos de L a.. y el N de los números naturale., La aplicación inversa, que se denota por q, y en la que es q(n") = n, defin,' la serie parcial de términos negativos L v,,", con v"" = ano Evidentemente las dos funciones p y q son crecientes estrictamente. Si en una suma parcial Am de la serie L a. hay m' términos positivos (' nulos, y m" negativos, se tiene

Am = U m, + V m" donde U

m

••

I u", L V n

177

nulos, y de los términos negativos, y se tiene la siguiente

V m" y A;;

y ~

la,,!.

y

A! = U m. - V m".

son las sumas parciales correspondientes a las

N de los

Si a partir de la serie ¿ a. y de la permutación k, se obtiene la r~óord~'nil~\¡¡ . d ' ~ n Jnvn= aklnJ. a partir e aI sene ¿" cf~Y de la permutaCl _ sa k- J, se obtiene la reordenada L a.., pues d k-1rn) - ak(k-1rnJ) - a...

~ dn , en la que

a:.

2.2. Para las series absolutamente convergentes.', se verifica la importall'" proposición de invariancia respecto a la reordenaclon: a" Si una serie La", de términos reales o complejos, COl) T . >" a n tam b'¡en • converge al>vergeeorem absolutamente, cualquier reordenad~ 'solutamente, y las dos series tienen la mzsma suma.

. . . Si L d es la reordenada de La" cor-'!spondientl: a 1.1 pnDemostraClon. n • . I '1 _ la I y por_ tanto .• k del conjunto N' es decir, SI á n = a'in), es a,,, - I '(n! mu aClOn , d' te a la misma permutacloll. '" ¡ 'n1 1 eordenada de L 1a..1 correspon len L.. a .• converge L.. ~ Idn 1' pues para cualqull'!' ,',11111,1 SI' es '" laa Ir converge, tamblen . I n , * S1 . se d ' a por m d Ill;¡yor «' parcial .t,.,n-ésima de esta serie, tal corno Aa' eSlgn los números k(J), k(2), k(n), se tiene t

serie~

Si la serie L a" converge absolutamente, han de ser convergentes las serie' de términos positivos ~ U ll y ~ - v., en virtud de la última igualdad. La recíproca es evidente. La primera igualdad prueba además que es A = U + V.

--"" A*m &A* A '* n ~ ~ , donde A':n y A * son la suma m-ésima y la de la serie :E Ictnl· Al se!' ¿ 1(1 una serie de términos positiVOS, . con las sumas parciales acotadas, es COIlVI'l"gente. Sean A =

r

a.. y

A' =

n=l

~ n=l

a:.. Por la convergencia absoluta

serie, para cada E> O, existe un índice

2.

REORDENACIÓN DE SERIES

Ia..+l! + lan +2l + ... + Ia..+pl < 14 E

2.1. Cambiar el orden de los términos de una serie, es el concepto que corresponde a la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Para camOÍ
v

de la primera

tal que

para t odo

n

~ Y"

v

y todo

p:--' 0,

y análogamente para la segunda serie se tiene p> Como resulta al hacer p ~ 00

lA. . - Al::::;; E/4

para todo

n? v.

n.

178

Convergencia absoluta y producto de seri, ",

17'l

Convergencia absoluta y producto de series

Después, se agregan a la suma anterior los términos negativos sucesivo~ de la serie L V n suficientes para que se obtenga una suma menor o l~lI,11

y análogamente IA~ -

A/I

~

44

para todo

n

~ v,

que H: UI

De la relación

+ U2 + ... +

Uk¡

+ VI + V2 + ,.. +

V,,¡

~H,

Se repite el proceso agregando a la suma anterior los términos posit 1vO', sucesivos de la serie L u" suficientes para obtener una suma mayor () 11',11,11 resulta que si existe un Índice n

~ v

para el cual es

IAn - A 'nI <

se tendrá en consecuencia, lA - A'I < E, Y pudiendo ser F > O cualquiera, rl' sultará A = A', Si mi es el mayor de los Índices con que figuran los términos a;, a;, . ... , c(, de la serie reordenada en la serie dada (mI = máximo k(l), ...• k(v» en An con n ~ mi figurarán dichos términos; y si mz es el mayor de Jo' índices con que figuran los términos al, az, ...• a, de la serie dada en la reol denada (m z = máximo k- I (1), ...• k- 1 (v», en A: con n ~ mz, figurarán dicho~, términos, Tomando f1 > v que sea mayor que los dos mi Y mb se tendrá qu\' en AJl y en A ~ figurarán los v primeros términos de la serie .Ia;, y los v primero~ términos de la serie ~ an ,respectivamente y en consecuencia: IAJl - A:I~ Ia,+d

+ ." +

ia~'

que K:

_/2,

+ la'v,J + .. , + Iq, 1< e/2

U¡

+ Uz + .. , + Uk, + VI + Vz + ... + Vh, + Uk,+1 + Uk,+2 + ... +

U., .

K.

Así sucesivamente, se van agregando alternativamente grupos de 1"'111111'"'' positivos y negativos para que ,respectivamente las sumas parciales ~l';1I1 11',1l,t1, .. , o mayores que K, e iguales o menores quc H, La serie reordenada obtenida de esta forma cumple las condicioll''', ,,', 1'''' ridas, 2.4. Definición: Se dice que una serie es incondicionalmenre (',JI/I'''''':''''/'', si cualquier reordenada de la misma es convergente. Esta definición permite enunciar en forma breve las propiedades :111 t,'11'" ,", para las series de términos reales: ,1. 1utamen t e conver,aentr' si, ,I} :,,'íl,· \/, ,', Una serie ,de términos real es es auso .., incondicionalmente convergente.

10 que demuestra el teorema. 2.3. La proposición anterior admite una recíproca, en las series de términos reales, lo que da lugar a una caracterización de las series absolutamente' convergentes,

Proposición: Si en una serie, cuyos términos son números reales, cualquier reordenada converge, la serie es absolutamente convergente.

Demostración; Basta probar la proposición con traria: Si la serie ¿ a" no converge absolutamente, existen r~rdenadas de la misma no convergentes. Si la serie dada no es convergente, es una reordenada de sí misma y no es convergente, Se supondrá, pues, que la serie dada es convergente. Como ¿ an converge, si L Ianl diverge, las dos series ¿, Un y ¿ V n de los términos positivos y negativos, son divergentes (1.3). Elegidos arbitrariamente dos números reales II y K, (H < K), se puede construir una serie reordenada en la que infinitas sumas parciales sean inferiores a H e 'infinitas superiores a K. En primer lugar se consideran términos positivos sucesivos de la serie L u" suficientes para obtener una suma mayor o igual que K:

u,

+ U2 + .. , + Uk, ~ K.

3.

CONVERGENCIA DE LA SUMA DE SERIES

3.1. Definiciones: Pro ducto d e un número c "fior una serie rie L c . an ,

Suma de la serie

La

n

con la serie

Lb",

e.s la serie

¿ ""'

es ItI

2: (a, + b,,).

Evidentemente, la suma de series, y el producto por números, rldilH',11 el conjunto de las scries una estructura de espacio vectorial sobre R (o (),

Proposición: Si la serie

L Un converge hacia A,

11"

la serie

L

ca"

,'11

CO/1I'l'I'I:(' h,l

cia cA. Pues las sumas parciales de

¿ can son cAn cuyo límites es cA. Proposición: Si las series ¿ an y L b n ~onvergen respectivamente A y B la serie suma L (a n + b n ) converge hacza A + B. Pues las sumas parciales de ¿ Ca. + b n ) son An + Bn, cuyo límite es A 3.2. Dos proposiciones análogas a las anteriores se obtienen para la vergencia absoluta.

I /l,

180

Convergencia absoluta y producto de series

Proposición: Si la serie í: a" converge absolutamente, la serie bién converge absolutamente.

Demostración: Si

í: lan!

2.

¿ can tam-

por sí misma es El pro d ucto d e convolucl'o'n de la serie "a" '-'

1 + 2a + 3a + .,. + n a.

n

2

converge hacia A *, como n

I ~I

Convergencia absoluta y producto de series

3.

i=l

1

+ ...

El producto de convolución de las series (in

11

¿ lea;l

11~

-

= lel ¿ lad < lel A *,

í: -1-' n>1) n.

y

i=l

la serie ¿ ca. converge absolutamente, pues las sumas parciales de acotadas.

¿ lean I están

es

Proposición: Si las dos series ¿ an y ¿ b. son absolutamente convergentes, también la serie ¿ (a n + b n ) converge absolutamente.

Demostración: Si

¿ lanl

.

converge hacia A * Y ¿

¿ la; + b¡1

l=1

.

Ib.1

converge hacia B*, como

¿ _(a + {i)n.

< ¿ (fa; I + 1b,1) ~ A * + B*,

n;?\l

"¡~1

la serie ¿ (a" + b n ) converge absolutamente, pues las sumas parciales de ¿ la n + bnl están acotadas.

4.

que evidentemente se puede escribir en la forma

CONVERGENCIA DEL PRODUCTO DE SERIES

n!

4.2. La simplicidad de la convergencia de la serie suma dL \ >(,x, do convergentes, o absolutamente convergentes, no tiene paral~l(J con b:-- .111'1 ,,1 tades de la convergencia de la serie producto de otras senes. En .,:111",'\ 11' se puede asegurar la convergencia de la serie producto de COllvol Ul"Il1l1 , .1111' que sean convergentes las series factores.

Ejemplo: El producto de convolución de la serie

4.1. Se pueden dar distintas definiciones del producto de dos series. Una definición análoga a la de la suma no es posible. El criterio que se sigue para dar una definición adecuada de producto, es que la suma de la serie producto, sea igual al producto de las sumas de las series factores. Sin embargo no hay definición totalmente satisfactoria, pues la convergencia de la serie producto, no suele' se,r consecuencia obligada de la de las series factores. Una definición de producto muy útil, en muchos casos, es la del producto de convolución.

Definición: El producto de convolución de las dos sen'es es la serie ¿ pn, en la que es

¿ a.

y

E b.

1-

conve.r~('n\t'

.Jr + -Jr -.. + (-O"-¡'/n' + ... ,

por sí misma, es la serie 1- (

1

1) + (1.vr + •./"F 11 1) .[2' + ,rr - .. +

.¡z +

,.,12'

+(-lr-I(~+ Vn

1 Vn--l

~-+-~ .\'f"+"'+'-~'l·) J2 ..¡n~-2.y3 v J

l.

Esta serie no converge, pues su término general no tiende a O:

P. = al b"

+ a z b n _¡ + ... + a n b¡.

Ejemplos: 1. El producto de convolución de las series

¿

an

n:::.il

1 + (a + ¡J) +

(a Z

y

¿

~+ ¡in,

es

1 vn-l

1_+ .,12

1 _ 1_ ';n-2';3

n>O

+ a {i + (J2) + ... + (a" + a"-I (J + ... + a {J"-I + ¡3") + ... ,

que también se puede escribir en la forma;

Vn

1 :::;;, n+l

... + .¡:n-:?"

V·n"· ",in-

+ ....

=~>l. n

Para poder asegurar la convergencia del producto, se ha de imponer algll ll :' condicíón suplementaria a la convergencia de una o de las dos serIes. ",1

182

Convergencia absoluta y producto de sen, ..

siguiente teorema de IHertens d cia de la serie producto. ' a una condición suficiente para la convergell

183

,Ionvergencía absoluta y producto de seríes

Como la serie 'Lb" converge, es lim Bn = B, Y al aplicar (2; 4.2) se tiene 1\->0:)

Teorema: El producto de com'olución de una serie )' mente cont'er"cnte . . . , ' \' ~ Un absoluta'"' '.. por una sene L, b convervente es ¡ Además si 1 . ",,"' convergente . . a przmera sene converge hacia A 11 la segunda h . _B l' sene producto converge hacía A . B. ' aela , el

I

~::==~~~~~-----------____J Demostración; Es una aplicación del 't d "

Según la definición

¿ a• . Lb"

me o

de Tbplitz (2; 4.2).

O

Y la suma parcial P" de esta se.rie es P" =

B., -+- a28" __ 1

al

4.3. Para las serÍes absolutamente convergentes, se obtiene fácilmente la liguiente

Proposición: El producto de convolución de una serie E el,. absolutamente convergente, por otra L b n absolutamente convergente, es absolutamente convergente.

¿ (al b" + az bn _ 1 + '., + el" b 1),

=

)' es

Demostración: Consideradas las series L ¡a", y L Ib~', cuyas sumas se denotan por A * Y B*, la serie producto de convolución de estas dos es ¿ p!, donde

+ ' .. + an BI'

Se considera el esquema t nangu . 1JI sIguIente: '.

p;'

=

al!

b.1 + ;a21 ;b.

+ ." + 'a.llbll,

1'

y la suma n-ésima de la serie es

........ " l'S

Acotando resulta

............... .

P;'~; (all

decir, el definido por

p:

=

Ijm t ij = ¡im a]+,._; = O

e

\'

omo L.. ~n converge absolutamente, converge la serie" n I ('s su suma se tleTIe .::.. la ¡, y

e) Como luego

¿

Un

In, ,+ 'Oo +',al.¡ <'''A* ~'" .....-1.

converge, es al + al + ... +

CI.¡

lim r, >Ce

= i~,,' ¡im

(t·<.1

+ t-'.2 +

...

para

i = 1, 2,

= A. Y lím Al

+ t) J' l.; = 1m ·->co

A'"

luego la serie 13 proposición.

A, = A.

= A,

10 que demuestra

De la demostración de la proposición anterior resulta fácilmente

Proposición: Si las dos series E a, y bién converge absolutamente la serie

i·ce i

SI'

4.4.

i=l, 2, ""

luego

¡tul + ¡tu! +Oo' +ti,i = lal• + ,1

n:

oo'

i-¡.X'

para

= ¡al b. + a2 b. 1 + ... + ao bll < -s: ¡a,llb. + faz! ¡b._ I ' + + la Ib]1 = p., convergente 1: p~ es mayorante de la 1: Ipnl, Pnl

,;4(0

b)

unl) B" ';;A" . B*.

Como las sumas P~ están acotadas por A" . B* la serie de términos positivos E converge. Por otra parte, se tiene

Las condiciones exigidas en el método de T{')'l,l¡·tz. se verifican; a) Como ¿ Cln converge, es ¡im a. O. de donde 1--}.CO

+ la2 + ... +

a¡ b¡

+

al b2

+

al b l

¿; b

+ ... + a, b. +

n

convergen absolutamente.

a2 h'_l -+- , ..

+

an b l

/i!1II-

+ ,.. ,

obtenida suprimiendo los paréntesis que encierran los términos del producto de crmuolución de las dos series, Su suma es igual al producto de las sumas de las dos s(~ries que se multiplican.

184

t

L a"

Demostración; Se ha probado que si vergentes, la serie

y

¿

b. son absolutamente

((11/

¡

In el que a¡X1.recen los productos de cada término de la serie :¿ a" por cada tfrmino de la serie ¿ b". Después se forma la serk escribiendc los térm:ncs del esquema siguiendo ángulos rectos, como indican las flechés. obteniéndose In serie producto:

converge; y en consecuencia también converge la serie obtenida al suprínlll los paréntesis:

a, Ib!1

+

¡al!

Ib z + 'al!

+ ... + ¡ad

Ib¡l

+ la2' !b n _ 21+ ... + ,anl . lb, + .. ,

Ibnl

185

Convergencia absoluta y producto de series

Convergencia absoluta y producto de serie:,

alb,

+ azb, + a,b 2 + a,b¡ + ...

..1-

anb,

+ u"b, +.,.-

Ka es difícil comprobar que la aplicación "t'rie producto es:

ya que es una serie de términos positivos, cuyas sumas parciales están ac<' tadas por P*.

k(r.s)=

(r-l)z+s (s ~ 1)-2 + 2 s - r

La convergencia de esta serie asegura la convergencia absoluta de la sen, ('onsiderada en la proposición. Además dicha serie (así como todas sus reol

anb,

biye~tiva

+ .. ,+

a,b"

+ .. ,'

k que cO:1struye esta

si si

r=s=1

si

re-:: s,

pues el producto d,'

La anterior defínición de producto permite enunciar la proposiclón (4.4) de la forma siguiente:

convolución de estas series converge hada A· B en virtud del teorema (k M l'rtens, y la sucesión de las sumas parciales del producto de convolución " l/na sucesión parcial. de la de SUmas parciales de la serie

ta serie producto, correspondiente a una aplicación k, es absolutamente con-

00

00

=¿

denudas) converge hacia A . B, si A

a" Y B =

11=:

t/..Lt

a b, j

+ al

b2

+

az b ,

+ '" +

L bn •

+ a2 b"-l +

al b n

oo'

+ Un b 1 + ...

4.5. Este último resultado permite introducir una nueva defi~ición el
Definición: Dadas dos series I a" y ~ b", Y una aplicación biyectÍ!'i1 k : N x N ,->' N. la serie producto correspondiente a la aplicación k, es ltl serie I: Pn en la que es P. = pk(r,.) = flr • b,.

Proposición: Dadas dos series L Qn Y

a b2

al

al+b3

t

az b l

-¡.

a~

aj !J,

4

a3 b¡

o ••

r •••••

b2

4+'

-)o

O ••

b3

..

al

4.6. Observación. Como la convergencia y la suma de la serie producto es independiente de la aplicac;ón k que define e: producto, es frecuente no mencionar la aplicación k. cuando se habla del producto de dos "críes absolutamente convergentes, lo que da lugar a la sigu:ente

Definición: Producto de dos series absolutamente convergentes

+ + a3 b "

+

o ••

O"

o ••

~.

. .. . ...

... ...

'"

"

Y

orden en que se consideran estos productos para formar ¿; en es arbltrario. De acuerdo con esta definición, se puede dClr la siguiente formulación para la propiedad del producto de series
Teorema: El producto de series absolutamente convergentes lo es asimismo, y su suma es igual al producto de las sumas de las sp.ries.

'"

5.

LA SERIE EXPONENCIAL

5.1. Para la potencia de base e y exporiente real a> 0, se ha obtenido (7; 1.3) la acotación ]Ti

. ..

1: u."

L b~. es una serie ¿; en cuyos términos son todos y los únicos productos que se obtienen multiplicando un término de ¿ a n, por un tér-mino de I b n • El

bn

al b.

aJb J

b. absolutamente cOnt'erg(mtes,

vergente, y su suma es el producto de las sumas de las series dadas.

Un ejemplo de una aplicación k. y del producto correspondiente, es el qUI' se construye a continuación, por medio del siguiente esquema cuadrangular: al b l

¿

. ...

ar

¿; - - <

,-o

r~

a' a +1 < '\' - - + - - - n1

ni

(f

c--:;o r!

(n;

+

m

+2

----~

I)! m"¡- 2 -

a'

186

Convergencia absoluta y producto de serie"

de la cual, al hacer m

->~,

o::>

e"

= '\' ¿" r~O

válida para toda

5.4.

resulta la igualdad

J 87

Convergencia absoluta y producto de series

De esta relación báslca y de la propiedad evidente eO = 1, se deducen

: las siguientes propiedades:

a'

Proposición: Para todo exponente real a' < O, la suma de la serie

r."

a? O.

(d)"

OC>

5',2, Esta igualdad es la base para la definición de la serie exponencial cualquiera que sea el número a real complejo, y que sin duda es la seri,' mús importante del Análisis:

°

Definición: La serie exponencial de la base e y exponente z = x es la serie:

+

iy,

¿;-, ' "~O n. coincide con e"', definida (VII: 1.4) como potencia de base e y f!xpcmente ne¡¡atitw.

Demostración: Escribiendo a' = - a, con a> O, es 'Xl

(a't

I: -

n~O n!

OC>

ti'

.2: - - == .~O n!

iY')

~

(a'

+ a)" n!

"=0

= 1,

y como la segunda serie del producto es ea. resulta:

~ (ajO = _1_

Esta definic:ón no tendría sentido, si la serie del segundo miembro no convergente. lo que es consecuencia de la siguiente

,=0

fuera

Proposición: La serie exponencial es absolutamente convergente para tod" : ( C.

I a" L 1 - - =L - = e " I z"

00

In! I

neO

00

no·O

n!

lO

e

Z t

e

se verifica: e"

= e=

Demostración: El polinomio conjugado del

.

es

es

m.

2"

",-G

1l.

2: -,-,

y como las series 00

y

Demostración: Como la serie e< es absolutamente convergente, se puede efectuar el producto de convolución de las series e" y e''', obteniéndose (4.\; Ej. 3). ,y)

(z't. 00 (z"Y

'" ( (z')"

(Z')"-1

Z"

¿; -,~' ¿ -,- = '=D ~ ~- + ~-- - - + n. n=O n. \ n! (n~l)! 1!

,=0

(Z'y-l (n-2)!

(z")1

(z")"

2! + .. ' + -;;¡- )

(z')" (z"Y = (z' + z")" ¿;--, 'L-,-=~---CX>

"l.=o

00

rz ~

n ... O

n~

11=0

n!

I:

»=0

zn I'l!

,tiene sus sumas parciales conjugadas término a término, en los límites subsiste la conjugación. 5.5. Cuando z es imaginario puro z =iy, los valores de la serie expo:18n\pal pertenecen al conjunto U (8; 5.3) de los complejos de módulo 1:

Proposición: Para todo z

de donde

ea'.

z" es

5.3. La propiedad más importante de la serie exponencial es la referente a la adición de exponentes:

Proposición: Para todo par z', z"

= e-4 =

e"

Consecuencia de tener la serie exponencial reales los coeficientes de

Proposición: Para todo

Pues escr:bíendo 'z, = a, se tiene

n!

=

iy imaginario puro es lel"1

= 1

Demostración: El conjugado de e;JJ es e ''', y se verifLca

188

Convergencia absoluta y producto de serú"

5.6. Separando en la serie exponencial de u = e'" las partes real e ¡mi ginaría se obtiene la siguiente descomposición: u =é" =

I

(iyt

n~O

=

n!

(1_1 + 1_ ... ) + 2! 4! if"

ca

00

= ¿; (- 1)" - - + i ¿; n~O

(2n)!

d

3!

f)

5!

ifn+1

4. -

(-1)" -~~ (2n + 1)!

1

1) ;

¿

lnn ( --/1-

lnn) + in -n--

E(_1)1I~

n~1l

(2n)!

¿ ndJ

probar que para s

=

1

n

S

00

1

n=l

n

L (- 1)"-1 - - = (1 -

5. -

Si ; (s)

= --;;;-' 1 = ~1

21-<) ~ (s).

S

con s> 1, probar que es

t2 (s)

Para establecer la identidad de los valores de eos y y sen y con los de ('os" y sen !l. en donde es el argumento del complejo u, se requieren recur sos de continuidad.

>

> 1 se verifica

(-I)r-"":"'-(2n+l)!

+ ¡sen y.

Inn) + ¡n-n-

L-'

'11=0

() lo que es equivalente

u = el" = cos y

n2'

donde "log" indica el logaritmo en una base mayor que 1 . Dada la serie L( n + a)'-. con O < a ~ 1, Y s> 1; probar que converge absolutamente. Designando por ~ (s) la suma t(s)=

ifn+l

00

seny=

y

+ _i_) .

lnn ( (-1)"-n-

L

g)

;

siendo estas dos series absolutamente convergentes, cualquiera que sea y re,JI Para una y ]a otra se escribe cosy=

,,( ( - 1)" LJ ,.¡ n

e)

n

d) L (-2-+-2- i

(y_I +.L_ ... )

i

189

tonvergencia absoluta y producto de series

-

co

den)

n=l

n,s

= ¿ --,

(1

donde den} es el número de divisores de n (incluyendo el 1 y el n). 6. _ Probar que la serie

6.

EJERCICIOS

7. _

pez)

1. - Sea - - una fracción racional con coeficientes reales o complejos. Se considera

¿

_1_ (x

n!

+ yi)n,

(a partir de n

vergente, cualesquiera que sean x e y reales. Probar que si converge la serie de potencias de >, 1131 < 1"1, la serie ¿ an f3" converge absolutamente.

= O),

¿ an ",n,

es absolutamente

COil-

para todo f3 que sea 1

8. _ Probar que el producto de convolución de la serie

¿ (- 1)"+1;;-::¡:--¡,

pC)r sí

q(z)

la serie

misma es la serie

¿

an =

¿

prescindiendo de los posibles términos en los que se anule el denommador. a) Probar que ¿ an converge absolutamente si, y sólo si, grado (q);;::;:: grado (p) + 2. b) Probar que E (- 1)" a n converge sí, y sólo si, grado (q);;::;:: grado (p) + 1. 2. - Probar que si converge absolutamente la serie E an , también convergen absolutamente las series b)

¿;

2

(1

n~1

9. -

¿Es convergente? ¿Es convergente absolutamente? Probar que si para ¡ol < 1, converge absolutamente la serie de potencias

(1 -

2

a.

an ...L Can r -1, para todo n}; 1 + a.

c)

L 1+;;2'

E

(1

+ i)" n!

b)

¿

1 + 2i" -z;,-;

in

e)

Q•

•

~,

\lO. - Sea z

= x + ¡y,

00

00

n=O

n=O

.)-1

¿; an.n = ¿

(a,

+ a, + ... + an) ano

se designa por e' la suma de la serie

n

Determinar cuáles son las series de términos complejos que convergen, y cuáles son las que convergen absolutamente, entre las siguientes: a)

l:

se tiene:

00

3. -

1)

¿ -(~1)"+1 - - 1+-+ ... + n +1 2 n

p(n) , q(n)

.

¿ --' n

eZ

=

1

L --

n=O

zn.

nI

Teniendo en cuenta que el módulo de un número complejo w es )lwl probar que se tiene:

= (IW • W)t,

190 Convergencia absoluta y producto de Se,,,. 11. -

A partir de la desig.ualdad, válida para

todo n (8; Ejerc. 1):

1 1) "
"+1

11. Límites de funciones

probar que la serie alternada

1 - 1 -2 -

3 + __ 1 _ + - 1__ [ __

1 12. _:_ ~

2

2

3

1 n + 1 1 +----1--+-_ n n n +1

pC:~t~:rgdenlte

halctaia undnúmero y, llamado constante de Euler: y = 0,57721 ' resu d o el e)-ercicio anten'or, o b tener la igualdad: 1 1 1 +--+ + -n- = In n + yn con lim ,. = O. 2

e

13. -- Probar que la suma de 1a sene . alternada

1 __1_+_1_ _ _ 1_

2

3

4

+ ... +

1 (-1)'-1 _ _ n

+

es 2; YdPrObar que reordenándola de manera que tres términos POS¡'t¡'vos all,' n enIncon os negativos, es decir:

+_1___ 1_ 1 I 1 3 + 5 -------+ 2 4 -7- + se obtiene una serie c onvergente cuya suma es 3 1 2 -2- n .

1. 2. 3. 4. ). 5. 7. 8.

Funciones. Límite de una función en un punto. Definición general de límite. Límites laterales. Propiedades generales de los límites. Propiedades aritméticas de los límites. Límites de las funciones polinómicas y racionales. Ejercicios.

El objetivo principal del Análisis es el estudio de las funciones. En este texto las funciones que se consideran son principalmente las reales de variable real, y dE' las funciones reales de varias variables reales se estudian las propiedades más notRbles. Ocasionalmente se trata de las funciones complejas. En todo caso el estudio se limita a funciones que cumplan algunas condiciones de regularidad, por lo menos localmente. La noción de límite de una función f en un punto a, informa sobre el comportallliento de t en la proximidad de a; y cuando el límite existe asegura que 105 valores f(xl' tienden a ser iguales entre si, y a un valor l, que se denomina límite de la función. la formalización de este concepto en los casos de funciones numéricas se consigue con la formulación "e_ 1)" (2.2), presente en la mayoría de la, cuestiones de convergencia. El análisis profundo de la noción de límite conduce a una definición 0.1), que no sólo es aplicable a todos los casos estudiados de límites infinitos (2.3, 2.4, 2.5), sino que es aplicable a las situaciones más generales. Esta definición, permite establecer con facilidad el límite de una función relativo a un subconjunto (3.3) del dominio de definición, de la función. Un tipo de límites de gran interés es el relativo a sucesiones convergentes hat"ia el punto a, en el que se calcula el límite de la función f. La relación (3.51 entre el límite de f en a, y el límite "por sucesiones", permite aplicar los resultados de la 1eorí2 de los límites de sucesiones a los límites de funciones. Otro tipo de límites relativos, son los límites laterales (4) para las funciones cuyo dominio esté en la recta numérica R, y que tiene gran aplicación en el estudio de las funciones monótonas. La propiedad general de unicidad (5.1), las propiedades del "techo" y Jel "suelo" locales (5.2) para funciones reales, y la propiedad del "sandwich" (5.3) para funciones de esta misma clase, presentan aspectos diferentes de la propiedad de tender a igualarse ~ los valores de la función en la proximidad del punto en el que tiene límite. Para las operaciones aritméticas con funciones se repiten las propiedades (6) de los límites obtenidos para sucesiones, tanto para los finitos como para los infinitos, presentándose los mismos "casos de indeterminación". Consecuencia de las reglas referentes a los límites de las operaciones aritméticas, son el cálculo de límites de las funciones polin6micas y racionales (7).

191

]93

192

Límites de

-",/tBS de funciones fUIlClII/I<

y

l.

FUNCIONES

1.1. En una aplicación {: X ->- Y, los conjuntos pueden ser cualqul(·II. pero ordinariamente son partes de otros E y F: XcE,

o

YcF,

x

x

que tienen determinadas estructuras. Como ya se indicó (1; 4.2), en Análisis es frecuente el uso de la nomencl., tura funcional, en especial cuando los conjuntos X e Y son numéricos, o 1" E y F espacios vectoriales de dimensión finita. Usando, pues, el nombre .1, función en vez de aplicación, se dice: { es una función real, si Y es un conjunto de la recta numérica R (cuand" sea Y c R, se indicará explícitamente). ( es una (unción compleja, si Y es un conjunto del plano complejo C. En estos casos también se dice que { es Ha valores reales" o "a valon" complejos" respectivamente. Si el dominio X de la función f es un conjunto de la recta numérica H. se suele decir que ( es una función de variable real; y si X es un conjunto del plano complejo C, es f una función de variable compleja (cuando Xc/{. se indicará explícitamente). El nom.bre de "variable" es un término tradicional, con el que en ciert.1 forma, se designa un elemento cualquiera del conjunto X. Su uso no es necl' sario, pero a veces cómodo, pues no en vano ha sido empleado durante siglo~ en la literatura matemática. Sin embargo a esta nomenclatura no se ha de dar otro sentido que el precisado en la definición de aplicación.

1.2. Entre las funciones de variable real o compleja las más sencillas son las siguientes: a) La función constante: !(x) = c para todo x € R o C, y en la que c es un número real o complejo. b) La (unción identidad: ((x) = x para todo x € Roe. c) La (unción polinómica: f(x) ao + al x + ... + an x", en la que para cada x e R O se obtiene f(x) realizando las operaciones algébricas indicadas. Los coeficientes ao, al, 'Oo' a" pueden ser reales o complejos. Si an ~ 0, es n el grado. ' Si para un a € R O C es fea} = 0, eS.a un cero del polinomio. El número de ceros distintos es menOr o igual que el grado. d) . La (unción racional

=

e

F(x)

=

(x) g(x)

=

~ + al x b o + bl X

+ + d' X n + ... + b m xm oo,

Grcí(ica cartesiana de la función f(x) = c.

Gráficas cartesianas de las fun?o.nes (x) = a" + al x + a, x' p~r~ dzstmtos va/ores de los coefzczentes.

en la que para cada x

E

R o C, se

Gráficas cartesianas de la tuncivn ji.. I

Gráficas cartesianas de la.' [m,ei,""·' + a, x' + a, x' pura .1/11/111," valores de los coeflCwlll.· •.

f(x)=ao -\- al x

obtiene F(x) realizando las

O!)L'I.IClOIW·,

indicadas. .' b b .... , b m pueden ser reales o Clll1l p!l'J0~' Los coefICientes aQ, ah ... , a" YO'" I .,' n. mada también f
nal entera. . . d x E R o C que no ¡ml/[.> 1I La función racional está deflnId~ para, tO °r (m a lo sumo) son los rl,d"" g(x). Los puntos en que se anula el enomma d o de la función. l'd ble de este texto está dedicada ;11 estudio 1.3. Aunque una parte .cons er~ a los conceptos fundamentales de 1;1'.. de funciones .reales de vanable rea, y 1 'onalmente . se tratan ;;l~lIlI:l~ . 1 d rías variables fea es ocaSl . funcJOnes rea es e va . bl ' le'a Las funciones compl('ja~ d,' . d d d 1 s funciones de vana e comp J • . 1 pro pie a es e a ., t si ana ni en el plano nt t'n t' . bl . l' o admiten representaclon car e , vana e comp eJa n f' l s de variable compleja ddi11l. d d' siones Las unCIOnes rea e . . t cio Entre estas funcione~, U1l;! espacIo e tres Imen ten una represeñtación cartesIana en es e ~sp~ a' por Iz! y está definid¡¡ rar;1 muy notable es la función módulo, que se eSlgn , todo z = x + iy E C por Izl = ";X2 + if. e

195 194

Límites de funciolll"

.,mltes de funciones

I

a+o x

a

f(xl

a

x z= x

+ iy

Evidentemente, si z es real la función módulo coincide con la función val,·' ,,"so[ulo, que está definida para todo x E R por

)

x,

Ixl = (-x,

si si

x;;> x

~

°o.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Sea una función f : X -+ R, en la que se supone que X es un ínte!· valo abierto de R. Dado un a E X, la noción de límite de f cuando x tiende hacia a inform.1 sobre el comportamiento de f en la proximidad de a. Cuando al considerar lo. puntos x próximos al a, pero distintos de a, lqs correspondientes f(x) están próximos a un 1 E R, este número real 1 es el límite de f cuando x tiend" hacia a. Esta imprecisa noción de límite, ligada a la de proximidad, ha de forma· lizarse. La proximidad entre dos números reales se precisa por medio del valor absoluto de su diferencia. Así se dice que f(x) se aproxima a [ en menos ék un número positivo F, si es If(x) -11 < ,; y análogamente, x se aproxima ({ a en menos de un número positivo o, si es Ix - al <
x

x

y

2.

J-6

a-o

, .. d f() 1 do x se aproxima a a. Esquema de la aproxlmaclOn e x a • cuan

• . e para cada f > O existe Esta fo.rmulación, en el caso del hmlte: asegura qu . de.s (con x ~ a), ' a1 menos un ,¡' > O, tal que si x se aproxIma a a en menos t(x) se aproxima a 1 en menoS de F, . . 'd f( ) - X2 para todo x E R. El · los'. 1. Sea la funcíon "deftnI a por x[- a.2 E¡emp límite de esta función cuando x hen~e haCIa : ~sO ~l ~ue si O < Ix - al < b Para cada E > O se ha de determmar un ,

es '¡X2 - a.2! <

f.

Como para todo x es

poniendo

b<

Si ha de ser

1, se

Ixl -

Ixl-azl = lx-al' Ix + a), tendrá Ix -al < 1, luego Ixl < lal + 1, Ix2 - a.21 < Ix - a\ (2 la) + 1). a2 1 <

f,

bastará tomar

Ix - al <

ó

1

= min 1, 2 )a\s + 1 n

~

2. Igualmente, el límite de la función x , con n E cia a es l = ano Suponiendo (j < 1, de Ix n _ an! = )x - al Ix n - I + a xn-2 + ... se deduce

y por tanto

N cuando x tiende ha,

n 1

+ a-

\

196 Límites de tUllel,''''''

anl <

y por tanto, si ha de ser Ix' -

E,

basta tomar

ó=min~l ( , n (Ial

+ 1r- 1 )

1 O

para x> O h(x) = para x = O ) -1 para x O, si O O en los que h(x) = I \ X < O en los que h(x) = - l' tomando un _ 1 ' , f' -2- no puede existir ningllll o

+

4.

La función

t:R

-4

'

si

//

4/

8 /"

2

f I

/

I /

/

/~

/f

/

I I

I

1

-

I

8

I I I

T

/,

84

e

1

T'

f(x) = O

para x =

f(x) = 1

para x = 1 para x

=

x = 00

si

x 7"'= O

simétrica respecto del

es

con k = ± 1, ± 2, ..

2

+4k -1

' con k = 0,

2

+ 4 k'

ori¡2,t:I1, l'1l l.,

o

± 1, ±

2, ...

con k = 0, ± 1, + 2,

-

T

B

,I

I

I

,

I

1

-

, 8

,I

3153

7

8284

B

I

o

x

Ix -

JI

01 < ,\ /

It(x)/ < !x/ en todo caso, basta tomar

ó

=

".

f.

oo'

4 1

> O se ha d e determmar un ó > O tal que, si O< es It0x) - 01 "': 8; o bien, si O < Ixl < IJ es Itex)! < :. Como segun la definición de t es I Para cada

~

sen-x

si

C()III,

I

I I I I I I I I I

I

I

f(x) = )

f(x) =-1

1

I

I

'0 8

/

~ discuten otros conceptos más sutiles (conjllUtos conexos, funciones Ituus sin derivada, funciones de variación acotada, etc.). Sea la función f : R -+ R definida por

x -- -q- Irre . d uClble . y p>O. p

Esta función tiene límite O cuando x tiende a O.

/'

La función que se considera en este ejemplo, así como la del siguil'Ill<',

x irracional

si

/

5.

ton de particular interés, que no s610 radica en el estudio de sus limi1L's <'11 11 punto x = 0, sino que sirven como contraejemplo, cuando se introduCt'l1

Como la función es impar. su gráfica representación cartesiana. Se tiene:

R definida por

-

...nde a es un número cualquiera irracional o racional.

para O< Ixl < ó.

2

t=O

lim

3. La función "signo de x", definida por h(x) = ~ para todo x y h(Q) = O; es decir: Ixl

número 1 tal que Ih(x) -11 <

]97

de funciones

No es tan fácil probar, pero es igualmente cierto que

I

e

.,t1l8

Gráfica de sen -"'x

Gr'áfica de x sen--

x

199 198

Límites de

(11111 " ,,,,,.

La función presenta infinidad de oscilaciones en cualquier entorno del ,,' I gen, entre los valores + 1 Y -1. Evidentemente no existe límite de t ell,II,.I .. x tiende a O. 6.

La función

t ; R --+ R,

definida por

x sen - O x

=

1

si

x~O

si

x

para todo x

€

X que cumpla O <

Ix -

€

O'

en el punto a, si

f:,

X, que cumpla

Se escribe

=O

limf=l 1,

Observación. La formulación "F, ó", con la que se consigue preci~;11 1, noción de límite, es un modelo de définición en el que se hace depemk I ,1 nhjcto definido de la existencia de una relación, que ha de cumplir deln "" nadas condiciones. En el caso del límite de una función t, para x tendiendo hacia a, se t! ,1 , de una relación, en sentido matemático, a la que pertenecen todos los p.ll' , (,, 1\) e R+ X R+ para los que se verifica: P,

If(x) -11 <

hacia a,

O
Se trata de una función par y además I{(x) I < Ixl para todo x E [7t. El límite de { es 0, cuando x tiende a O, ya que en la prueba "F, <1", ", tomar ¡, = F.

:f(x)-l) <

función f tiene el límite T, cuando x tiende para cada e > O existe un ,) > O tal que es

para todo x ;¡¡;

{(x)

tes de funciones

o

lim {(x)

= l.

.' f( ) do f está definida o en los que el límite l comclde con a, cuan f H ay cas s . 4 6' e~o hay otros casoS en los que no In a como en los ejemplos 1, 2, y ,p" 1 'empl0 4 para a ra,Itá 'definida en a, o 1 no coincide con f(a) corno en e el

nal

I'to En.

., . d 1 rafa de la función f: X -+ R, si una representaclOn cartesiana e g d 1 gráfica de f cuyas 'Um f = l, la formulación "" {/' asegura q~e los plun,tos :,':: o exclUido' x = a, ". 1 de X situadas en el mterva o x , .bscls as son as r 't d por las rectas y = 1 - F e y = 1 + E. están en el interior de la zona lml a a · de la zona Si f está definida en a, el punto (a, f(a)) puede estar fuera .

a' < J.

Para poder definir l corno límite de { cuando x tiende hacia a; se ni', en esta relación, para cada FE R+ exista, al menos, un par (e, J) pal. /1I'cz'enfe a la misma. Por otra parte, la aparente complejidad de este concepto, queda mitig¡¡.I", po,r el hecho de que para asegurar que 1 es el límite, no es necesario el man,'I" de todos los pares (F, o) que pertenecen a la relación, sino que basta una parte d.' ellos, en la que hay un par (p, ~) para cada P, y F puede ser tan pequeño COII" , se quiera. que

2.2. En la noción de límite no entra en consideración el valor de la fUI! ción t en el punto x = a, por 10 que no supone restricción el que f no csl<' definida en a. Incluso se puede considerar una situación más general en l., que tiene sentido hablar de límite de f cuando x tiende hacia a. Se trata lkl caso en que t no está definida en todos los puntos de un entorno d~ a, \ que este punto sea solamente de acumulación del cO'njunto X en donde e~I., definida t. Resumiendo estas y las anteriores consideraciones, se puede dar la siguienle definición del límite en un punto, de una función real de variable real: Definición: Sea f : X,.,.. R una función real definida en un conjunto X e R, y sea a un punto de acumulación d~ X. Se dice que la

1+· I f(x')

1-<

o

a-8

x' 8

· bl a los llamados límide límite es aplIca e 2.3. El esquema de la definición , .' ponden a los casos en que tes infinitos Y límites en el mfznlto, que corres

loa son infinitos. sos particulares de conSiderar corno ca . d Aunque las definiciones se pueden el mterés de estos limites aconseja euna general que se dará m~s adelante, finirlos de forma independiente.

200

Límites de fUi" '''"~

Definición: Sea f : X ~ R, con X e R, y a un punto de acumulaC/,'n .¡_ X. Se dice que f tiene límite + ,00 (o - ::le), en el punto a, si para c,,'/,{ ,,,j_ mero real H existe un (j > O tal que es {(x) > H

para todo x

(o ((x)

.,tes de funciones

201

< H)

X que cumpla

€

1+

0< Ix-al<¡¡. Se escribe

1-. ¡im {=

+ 00,

(o ¡im (= -OC)

;r--+a

X--+a

o Si en la condición anterior se cambia f por su valor absoluto; es

I!(x)I> para todo x

€

a-S a

a + 8 )(

H

0< lx-al <

J,

It(x)

"'-->a

Xlra todo .x

signo determinado.

= _1_ para Ixl límite + 'lX> en

Ejemplos: 1. La función definida por {(x)

Ixl

luego basta tomar

2.

(j

=

:t

Ixl"

jxl <

E,

(o x
Se escribe

= O.

lim

t= "

(o lim

f = 1).

. Si se modifica la condición antenor, con SI'der ando valores de x que en 'Valor absoluto sean mayores que H. es decir, si es

Ixl <¡T'

_-o

1 -->H si

x>H

I{(x) -11 < -,

1 H

La función definida por {(x)

Ixl" < Ixl

el punto

-11 <

X, que cumpla

;1;·-++00

para todo x

=~, Ixl"

con n

E

que para x = O toma un valor cualquiera, tiene límite Para cualquier H> O es

y como

€

todo x:¡é. O, Y

1

si

x

Definición: Sea f: X -> R, con X e R no acotado. superiormente (o in.rlormente). Se dice que f tiene el límite l cuando x tlende a + ClO (o - OC), II para cada e > O, existe un número real H, tal que es

lim {= oc

1 -->H

H

2.4. Los límites en el infinito se definen de manera semejante;

X que cumpla

para x = O toma un valor cualquiera, tiene Para cualquier H> O es

o

dCClI, .'1

se tiene

SIll

€

+ '::le

H

(j

= min ~ 1,

en el punto x =- o

~ ~

X que cumpla

Ixl>H,

y

le

tiene. lim f = l. 2.5.

Ix l,,<_l_,

si

1, basta tomar

N, . para todo x ~ O,

E

También existen los límites infinitos en el infinito.

. i' Sea f . X....;. R con X e R no acotado superiormente. Se dice De fi nIe on: ., . d' real H, que f tiene límite + oc, cuando x tiende a + oc, SI para ca a numero existe un número real K tal que es f(x) > H.

202

Límites de {U/'CjU'"

para todo x

€

X, que cumpla

. uiera de a, el punto a:

x>K. Se escribe lim

00

y

lim f =

x---t--co

+ 00,

lim f = X-+_XJ

= U(a)-{a}.

Definición general de límite: Sea una función X --+ Y, ~ a .~n punto de acumulación de X. Se dice que 1 € Y ~s el hm¡te de la {unelon f en el punto a, si para cada entorno UC!) eXIste un entama UCa) tar que es:

Definiciones análogas se pueden dar para los siguientes límites: lim f = -

U*(a)

! :.

f = + 'oo.

x-.;.+w

X4-00

t

203

mltes de funciones

00,

lim f = oo. x---KO

fCx}

€

UC!),

para todo

x

€

U'Ca)n X,

a bien

3.

DEFINIeION GENERAL DEL UMITE

3.1. La definición dada para el límite de una función en un punto, se ,', neraliza de manera natural después de un análisis del papel que juegan , ' y ' en la definición.

Como una desigualdad referente a un valor absoluto, equivale a una do''' .. desigualdad entre números reales, la definición de límite (2.2) puede darse e" la siguiente forma:

La función f : X ---+ R, con X e R, tiene el límite l cuando x tiende ha, a, si para cada (' > O' existe un ~ > 0', tal que para todo x € X que cumpla a~ J< x < a

+ (j

con

x o;t: a,

Id

es 1~ F < f(x) < 1 + E.

Ahora bien, el conjunto {x: a- (j < x < a + (j} es un entorno del pun!1I a, y el conjunto {y : 1~ f < Y < 1 + E} es un entorno del punto l. Designandll ambos entornos por U(a) y U(1) de la manera acostumbrada, la condición e~ I gida en la definición de límites, quedará en la forma: se verifica

para todo x

€

X que cumpla

f(x) X €

€

n X) e U(l).

f(U*(a)

U(O

U(a)-{a}.

3.2. Al aplicar esta definición a funciones cuyo dominio pertenece a la recta numérica ampliada, y en particular cuando se trata de límites infinitos O en el infinito, las distintas definiciones propuestas (2.3, 2.4) quedan unificadas. Como ejemplo se considera

t = + oo.

lim

Según la definición de recta ampliada, una semirrecta abierta: {xER:x>H}

es un entorno de + oc, y por otra parte, todo entorno U(a) contiene un intervalo abierto Ix - al < 15. Al aplicar la definición general a este caso se obtiene la dada en (2.3).

3.3. La definición general del límite permite introducir sin ~ificultad el concepto de límite de una función f : X ---+ Y, relativo a un subconjunto S e X, en un punto de acumulación de S. Definición: Sea una función f: X ---.. Y, un subconjunto ScX, y un punto a de acumulación de S. Se dice que 1 € Y es el límite de t relativo a S (o sobre S), en el punto a, y se escribe

Esta formulación presenta la ventaja de que no sólo es válida para funci() nes reales de variable real, sino también para funciones más generales en ld~. que tanto el dominio X como el recorrido Y pertenezcan a espacios en los qUl' estén definidos los sistemas de entornos. En particular la definición, es apl i~ cable a funciones cuyos dominio y recorrido pertenezcan a la recta real R, a la ampliada R y al plano complejo C. Para simplificar la notación, que expresa la condición x € U(a) ~ {a}, s(' introduce la noción auxiliar de entorno reducido.

si 1 es el límite de la restricción a S (1; 4.8) de la función f. es decir:

Definición: Un entorno reducido (o perforado) de un punto a, que se de signa por U*(a), es el conjunto que resulta de separar de un entorno cual

• " Dada la {unMón P roposlclon: "'. f : X ---.. Y., y S e X, si a es de acumulación de S, y existe lim t = 1,

lim

lim xES.

Z-:M

t,

t = lim fls x-ta

Una consecuencia inmediata de esta definición es la siguiente

204

Límites de funcí,,/U"

también existe el límite de

f relativo a S y es f

lim xES, x--+a

= l.

Demostración: Evidentemente si a es de acumulación de S lo es de '\ Además en virtud de la definición, si lim f = 1, para cada U(l) existe un l/l.!) lal que f(U·(a) n X) e U(l).

((U*(a) n S) e f(U*(a) n X) e U(!),

y siendo f(U'(a) n S) = fs(U·(a) n X), queda demostrada la proposlClon. La recíproca no es cierta en general. Pueden existir límites relativos a d. Il'rminados subconjuntos S de X, y no existir el límite de la función dada.

Ejemplos: 1. En la función [x], "parte entera de x", que es el máxilll" entero <::..: x, no existe límite en ningún punto entero x = n, pues a la izquierd., de n es [x] = n -1, Y a la derecha es [x] = n, para los valores de x próxim. ,. ;¡ n. Sin embargo el límite de [x] relativo a la semirrecta [n, + '(X.) existe y .o, igual a n, y el relativo a la semirrecta (-:x, n] existe y es igual a n-l. , ' "

.

El lImite de sen - - en el punto x = O, relativo al conjunto x x

en x

= 0,

relativo al conjunto x

= 1+4k

para k = 0, ± 1, ± 2, oo. es 1.

Naturalmente (2.1; Ej. 5), el límite de la función en x = O no existe. 3.4.

Un caso particular de límite relativo, es el límite por sucesiones.

Proposición: Dada la función 1: X -+ Y, Y a un punto de acumulaciúlI de X en el que la función tiene límite: lim

convergente hacia a. . , El límite de f en el punto a, coincide con el de las suceswnes ¡ f(x,)} que lodos son iguales. Demostración: Si existe el límite de f en el punto a, la proposición (3.4} IIsegura la existencia del límite a lo largo de las sucesiones. Se supone. pues, que existe el límite de (f(x n )} cualquiera que .sea X n -+ a, con x"- ~ a.. Sean {x n } y {x:} dos sucesiones cualesquIera que convergen hac~a ~ con términos distintos de a. La sucesión Xl>x'" X2, x~, .oO' X., x 'n oo., obtentda Illtercalando ambas será del mismo tipo, por lo que la sucesión

= _hI

para k = ± 1, ± 2, oo. es manifiestamente O. El límite de la misma funci"1l

2

ejemplo 2 de (3.3) es un caso en que esto ocur~~. , . Sin embargo, la pérdida de valores de la funClOn que se da en el limIte a lo largo de una sucesión (yen general en cualquier límite relatlvo), se ~uede compensar exigiendo la existencia de límite a lo largo de todas las sucesIones que se aproximan al punto a. . . . . En algunos casos, entre los que están las funCIOnes deftmdas en conjunt.os X de R, se puede probar la equivalencia entre el límite ordinario, y el límIte por sucesiones, entendido como se indica en la siguiente

Proposición: Sea f : X -+ Y, con X e R, 1! a u~ pu~to de acumulación .de X. I,a función f tiene límite en el punto a st, y solo Sl, converg~ ~a sucesrón (f(x n }}, cualquiera que sea la sucesión {x.} de puntos de X, ,Jlstmtos de a,

Pero como S e X es U'(a) n S e U*(a) n X, y por tanto

2.

205

.Imltes de funciones

1 = l.

Si {x n } es una suceSlOn de elementos de X, distintos· de a y cOflllergentl' hacia a, la sucesión {t(x n )} es convergente hacia l. Demostración: El punto a es de acumulación del conjunto de los término~ de la sucesión {x n }, y basta aplicar la proposición anterior al límite relativo ;1 este conjunto.

3.~. La proposición recíproca de la anterior no es cierta en general. Puede no existir el límite ordinario, y sí existir a lo largo de algunas sucesiones. El

f(xI), {(x;), ... , I(x.),

f(X:), ...

será convergente hacia un límite l. Las sucesiones {((x,,)} y {f(x:)} son parciales de la anterior por lo que convergerán hacia el mismo límite l. . Ahora se trata de probar que t tiene límite cuando x·-+ a, y que es precIsamente l. Es evidente que si f tiene límite, ha de ser t, pues ha de coincidir con el Ifmite a lo largo de las sucesiones. La demostración de que 1 tiene límite es por reducción al absurdo. Si no existiera 1im f, para un cierto U(l), cualquiera que fuera U(a) se tendría I(U*(a) n X)
Se considera la sucesión {UnCa)} de entornos de a, definidos por U1\(a)

= í(x

€

R:

1 I lx-al <-n-~

y en cada U:(a) existirá al menos un x"

€

X tal que

206

Límites de funciCllw

La sucesión {x n } tenderá hacia a, con X l1 =1= a, y todos los términos de l., sucesión {f(x,,)} no pertenecerán a U(l), por Jo que su límite no puede ser l. en contra de la hipótesis.

LíMITES LATERALES

4.

4.1. ~s . funciones que se consideran están definidas en conjuntos X dl' i recta numen~a. ~, pero sus recorridos pueden ser más generales. En partil'" cular las defInICIOneS son válidas para las funciones a valores reales o COIII

plejos.

Definición: Sea un conjunto X e R, y un punto a € R. El conjunto .J, puntos de X a la izquierda de a es Xi (-00, a)nX; y el conjunto de PWI los de X a la derecha de a es Xa = (a, +:x) n X.

=

207

Limites de funciones

Si a es punto de acumulación de X á , se dice que ld es el límite de f en el punto a por la derecha, si para cada ,c > O existe un rl> 0, tal que es I{(x) -ld! <

para todo

t,

Definición: Sea una función f: X-+ Y, con X e R, y un punto Si a es de acumulación de X" y existe el límite li de f relativo a Xi en el punto a, se denomina límite por la izquierda en a. Se escribe

o

~

= f(a-)

Análogamente, si a es de acumulación de X d , y existe el límite /1 de f relativo a Xa en el punto a, se denomina límite por la derecha en a. Se escribe

Id = lim f

o

x--)a+

Id

= f(a + ),

Para las funciones a valores reales o complejos, se puede dar una ,fo.rmulación "e, /j" para estas definiciones de límites laterales:

Definición: Si a es punto de acumulación de Xi! se dice que l. es el límite de f en el punto a por la izquierda, si para cada F > O existe un /j> O, tal que es

if(x) -lil <

F,

para todo

x

€

X que cumpla O< a - x <

< J.

h(O

y

+) = + 1.

2. Las funciones obtenidas como producto de una polinómica por la fundón h, tienen un comportamiento análogo al de ésta en el entorno del punto O. Para las funciones definidas por

tea +) =

+ x) h(x)

1,

y

f(O-}= -1

g(x)

= (a + bX2) h(x),

g(O +) = a,

y

g(O-)= -a'.

En gene,ral, si f(x) = p(x) h(x), donde p es un polinomio en x, se tiene

reo Si p(O) =

x-+a

a

que son

!(x) = (l

e R.

-

Ejemplos: ]. La función h(x) = "signo de x" ya considerada en el ejemplo 3 de (2.1), no tiene límite ordinario en x = O, que es de acumulación de ¡us semirrectas negativa y positiva. Evidentemente existen los límites laterales h(O-) = --1

x

ti = lim f

X que cumpla 0< x

€

Si el punto a no es de acumulación de X" la definición de limite de f en " por la izquierda no tiene sentido, y lo análogo ocurre para el Jímlte por la dl.'fccha. En los casos en los que a no es finito, o cuando los límites late.rales no '01/ finitos, las definiciones anteriores se generalizan, considerando los correspondientes entornos. Si a no es finito, las definiciones de los límites laterales ~'ninciden con las dadas (2.4) como límites para x ..-+ +'--' Y x -> - Á ' .

x

el

x

o los

y

+) = p(O)

feO .~) = -

peO).

dos límites laterales coinciden.

3. La función "parte entera de x", definida para todo x denota pür [x], es: n € Z. [x] = n SI n ~ x < n + 1, con

€

R, Y que se

Evidentemente esta función no tiene límite ordinario en ningún punto eno, pero sí tiene límites laterales, y es [x-]

= n-l

y

[x

+ 1=

n,

para

x .... n.

4. - La función definida por g(x) = e-l/X para todo .x #. O, tiene límites terales distintos en el punto x O:

=

g(O - )

/J.

= lim e- 1/ = + 3l

X-.}O-

lINÉS-9

'x

y

g(O +) = Uro e-l/X r-+O+

= O.

208

Límites de fune/O/U'·

~"'ltes ,

11. r---

Una de las propiedades fundamentales de los límites es la unicilhd. la función cuyo límil,· le considera. Si el recorrido Y de la función pertenece a la recta real () ;11 r1uno complejo, ]a propiedad de unicidad se cumple:

Se trata en realidad de una propiedad del recorrido de

r---'I

1 1

1 1

I

I

I

1

1-110 1

1

1

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LíMITES 5.1.

1 1 1

r----1

209

de funciones

1

Proposición: Sea la función f : X..--¡. Y, con Y perteneciente a

1

x

2

o

x

'----..J

Gráfica de la función g.

"

(',

Según la definición de límite, existe un U(a) tal que es:

Consecuencia inmediata de las definiciones anteriores es:

Proposición: Sea una función t: X ..--¡. Y, con X e R, y un punto a ( H que. es .de acumulación de los dos conjuntos Xi y X
= fCa +).

X-+a

Si a es de acumulación de uno solo de los conjuntos Xi O' X d , y existe el límite lateral correspondiente, éste es el límite ordinario de f en el punto (l. 4.2. Para las funciones reales que tienen límites laterales en un punto se introduce la siguiente D~finición: Sea una función f: X..--¡. R, con X e R, y un punto a E R. Si eXIsten los dos límites laterales fea -) y fea +), y ambos son finitos, se denomina "salto de la {unción" { en el punto a, a la diferencia

fea +)-f(a-). Eiemplos: 1. El salto de la función {= p . h del ejemplo 2 de (4.1), en el punto x = O es t(O +) - feO -) = 2 p(O).

f(x)

E

U([,)

y

El salto de la función [x] en cada uno de los puntos enteros es

[n +]-[n-]

= n-(n~l) = 1.

Consecuencia inmediata de la definición es:

La función { : X --+ R tiene límite ordinaria en el punto a, que es de acumulación de Xi y X d si, y sólo si, es nulo el salto de la {unción en a.

(X)

E

U([z)

si

x e U*(a)

n X,

luego lo que es absurdo.

Observación. Para esta demostración es esencial que existan entornnc; 1111,) Y U(l2) disjuntos, es decir, la posibilidad de separación de 11 y l2 por ['llt"IIIO· •. La propiedad de unicidad será cierta, cuando el recorrido Y de 1;, f '1111101" pertenezca a un espacio, en el que se verifique dicha prO'piedad de .'i'''/)\I/'(/(I'''' Consecuencia inmediata de la unicidad del límite es la siguiente Proposición: Si las dos funciones " : X -4 Y Y tz : X'4 Y, ("mi Y JJI'r/," neciente a R o a e, tienen limite en el mismo punta a de acunw{¡wi,'/1 ,1" X, Y en todo entorno U*(a) existen puntos x en los que es {,(x) = !)(x) •.\1' tiene:

Pues las dos funciones tienen ]a misma restricción f en el conjunto en donde son iguales, que también tiene a como punto de acumulaci6n, y es

lim X-hl

2.

(1

Demostración: Si se supone que existen dos límites distintos l, y r, dI' I en el punto x = a, se pueden considerar dos entornos U([,) y U(2) rIi.';/lIII'"

Gráfica de la función [x]

lim f =

n

11 a un punto de acumulación de X. Si en este punto a tiene límite {, ('.> IÍlli",

t = lim tI

= Em f2'

X-}l

5.2. Para las funciones cuyo recorrido pertenece a la recta numérica R (o a la recta real) sirven las siguientes útiles proposiciones.

..

Proposición: Si la función f : X 40 R, tiene límite finito en el punto ([ ril' acumulación de X: liro ;r-~lI

f = l,

210

Limites de fUl7ciu",

y es k

~Ites

211

de funciones

< 1, existe un entorno Vea) tal que es:

para todo x

E

k < f(x), V*(a) {l X. (Propiedad del "suelo").

Demostración: Tomado un ,> O que sea límite, existe un Vea) tal que es

+

k < 1- , < f(x) < l J\ n:í logamente

F

si

f,

< 1- k, según la definición x

E

,1.

V'(a) n X.

se prueba la siguiente

o

PI'oposición: Si la función f: X

->

x

a

x

R, tiene límite finito en el punto

di' anmmlación de X:

¡im 1I C'S

1)¡1I'(/

y

f=

1

6.

1 < k, existe un entorno V(a) tal que es:

lodo x

E

V*(a)

n X.

6.1.

Ohservación. Estas proposiciones son también ciertas cuando limf "respectivamente. «->.

Proposición: Si lim (

es +"

'd. Proposición: Sean tres funciones f: X -> R. g : X'-;"R, h: X -) I{ "tles que para cualquier x E X es g(x) f(x) :< h(x) o p(x):;? f(x) :;? h(x), y _/ i1t 1111 l n/o de acumulación de X. Si existen, y son iguales los límites

<-

Y

r,

Se consideran funciones

g, ... definidas en el mismo dominio X,

en el que a es punto de acumulación. Los recorridos de las funciones pertenecen a la recta numérica o al plano complejo.

((x) < k, (Propiedad del "techo").

lim g = l

PROPIEDADES ARITMÉTICAS DE LOS LÍMITES

= 11

=

lb Y son finitos, es:

¡im (f ± g) = lim f ± ¡im g = 11 ± [2. X-M

x~a

Demostración: En virtud de la definición de límite, para cada ,> 0, cxisten los ento.rnos VI(a) y U 2(a) tales que es

lim h = 1,

I{(x) --1 1

J'--}-(f

Iillllhién existe y es:

Y Jim g

X-M

1

<

lJ

-2~'

si

x

E

Vt(a) n X

y ¡im (= l. Considerando un entorno Vea) e VI(a) n U2ea), es

(Propiedad del "sandwich"). Demostración: Para cada ,> O, existe un Vea) tal que es

E-E < g(x) < 1 +

e

y

1- E < h(x) < l

+

B

para todo x E V*(a) n X. (Evidentemente se puede tomar un mismo VCa) par.l las dos funciones.)

Dc estas desigualdades y de las hipótesis de la proposición, resulta: l-- é < f(x) < l p;lr¡¡ todo x

€

U*(a) n X.

+e

[(f(x)

±

g(x» -

(1 1

± 12)[ < "

si

x

E

U*(a) n X.

Si alguno de los límites TI o l2 es infinito, la proposición conserva su llidez:

Proposición: Si lim f =

+ ,Xl

Y lim g

Jim (f ± g)

= lz

finito, es:

= + =.

Demostración: Según (5.2) tomando un h> [/2: existe un Vla) tal que es Ig(x) I < h,

si

x

E

U;(a) n X.

213 Límites de funcian, ",

212

Como [ tiene límite tal que es

+ 00,

f(x)

considerando el número H

+ h,

existe un UJ(iI)

±

g(x)

Proposición: Si lim {= J.

+ o.:

y lim g = lz::j::.

O, es:

tri

lim ({ . g) = (+ 00) . l z•

> H + h,

si

x

U:Ca) n x.

€

Demostración: Se supone lz > O. Según (5.2) tomado un k que sea O< k < lz. uiste un U2(a) tal que es g(x) > k, si x E U; (a) f1 X.

Considerando un entorno U(a) e Ul(a) n Uia), es {(x)

"mites de funciones

> [(x) -lg(x)1 > H + h -

h = H,

si

x

€

U*{a) n X.

En general se puede enunciar:

Proposición: Si lim ( = 1, Y Iim g

= lb

Como f tiene límite siendo

y 12 cualesquiera, salvo el

/1

caso de ser infinitos de signo contrario, se tiene lim (f 3>4.

+ g) =

11 + 12 ; o bien.

salvo el caso de ser infinitos del mismo signo, se tiene lim (f - g) = 11 -

1),

x-+.

[1

Y lim g = 12 Y son finitos, es:

x-+a

x-ta

lim (f • g) = ¡im ( . lim g = I 1

•

[z,

x~a

Demostración: Dado un

E

,,=

> O se considera

B

f(x)

•

1 + )Id + /l2/ Según la definición de límite, existen dos entornos U 1(a) y Ula) tales que es

considerado el número Hjk, existe un Ul(a} tal

> Hlk,

x

SI

E

U~(a) n X.

Para un entorno U(a) e UJ(a) f1 Uz(a), es ((x) . g(x)

Observación, Cuando se trata del límite de una diferencia f ---< g (o suma), y ambas funciones tienen límite infinito con el mismo signo (o signo contrario), 110 hay proposición para el límite de la diferencia, que no depende solamente de los límites de los términos. Siguiendo una nomenclatura usual, aunque imrropia, se dice que es un "caso de indeterminación", que se designa con la notación 00 -.

6.2. Proposición: Si lim [ =

Que es

+ ''-,

> (H/k) . k

= H,

Análogo es el caso en el que l2 < O. En general, se puede enunciar: •• , S' l' f - 1 Y l¡'m g ProposlclOn: ¡ 1m - 1

si

x

€

U*(a} n X.

=l

siendo 11 Y 12 cualesquiera, salvo t el casO en el que uno es cero y el otro infinito, se tiene ~~?: f . g = ll' ¡x----).a

2,

;r411

Observación, Cuando se trata del límite de un producto f· ~,_? una de . f' -t ha propos1clon para el y las funciones tiene límite cero y la otra m mi o, no ite del producto que no depende solamente de los límites de los factores, Ifm , - ,d' ue es un "caso Siguiendo una nomenclatura usu~l, aunque lmpro~l,a, se. ~ce q . de indeterminación", que se deSIgna con la notaclOn O 1 1 6.3. Proposición: Si liml = l::j::. O Y finito. es lim - f"= -¡-o ¡x-...

x~"

a

+ • ¡ti

!f(x) -id < E',

si

x

€

ut(a) n X,

Demostración: Dado un ,> O, se considera c' = 1

Ig(x) -121 < B',

si

x

€

U;(a) f1 X.

Según la definición de límite existe un U(a) tal que es

y

Para todo x

€

X es

¡((x) . g(x) -/1 . '2i ~ If(x)

I{(x) -/1

-lJi .

Ig(x)

-[21 + I{(x) -Id . li2! +

Ig(x) ~ lzl

.

lid,

y considerando un entorno Uea) e UJea) n Uz(a), es If(x) • g(x) - l l . [2i

Si alguno de Jos límites conserva su validez.

<

,<2

'1

o

+

[2

F'

1/21

+

E'

Il11

<

t,

si

x

€

U *(a) n X.

es infinito, y el otro no nulo, la proposición

y en consecuencia se tiene: /1 1f(x)1> 1 - .

I

<"

si

x

€

U*(a) f1 X,

ll_I_, si

__

= 1+

E

III

x

€

U*(a)

n X,

_1_ está definida en U*(a) n X. y además lo que por una parte prueb a que f

214

Límites de funcío/ll"

.,. LIMITES DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

se tiene

1 1

1

I

1[- f(x)1

(ex) - - l - = I{(x)!

7.1.

s'

If(x) I . ITI

<

X E

SI

1',

O,

Y t(x) > O (o < O) en un entorno de a,

~s

:Z~a

= O,

'ITI <

~1_ =

Proposición: Si lim f Si lim f

21')

1I'"'tes de funciones

= +
(o - x ) es lim

f

x--+a

V"(a) n X.

,1 = = O, en to do caso es lIm~

x ....a

X-M

Demostración: Si lim f =

Itl

~Ulllquier

,1 1Im--=

+ ,"

f

o

('u.1I

'n

.X),

x-t-CO

:1'---)0+00

y, para x

si

x

E

V*(a)

nx.

E

e,

limx = oo.

, l'" f(x) = n~ La funcion po lnOmlCa "'IJ o e, tiene límite para cualquier a, y es

7.2.

Análogamente se demuestran los otros casos.

lim t = /lo

Proposición: Si lim f = 11 Y lim g = 12,> no siendo 11 y 12 simultáneament, 111/

, f tI lIm - - = - - . g 12

Demostración: Basta tener presente la proporción (6.2) relativa al producto. pues es

lim x" =

fea).

lim x" = (- CX-)".

y

+-Jv

Para x

E

e,

es

fl>-+-ro

bm x" = ov;

y al segundo factor se aplica la proposición (6.3).

lO-tOO

Observación: Cuando se trata del límite de un cociente

_t_, g

y ambas fun-

ciones tienen simultáneamente límite O o 00, no hay proposición para el límite del cociente, que no depende solamente de los límites de los términos, Siguiendo una nomenclatura usual, aunque impropia, se dice que son "casos de indeter·

O

+ .. , + a. an ,

7.3. La función potencial f(x) = x", de exponente n entero y pu.súivlJ, lh:l1nida para todo x E R. tiene los siguientes límites: ...... +00

g(x)

para to(lo .\' It

pues basta aplicar (6.1) y (6.2) r,ei:eradamente. Este resultado se puede escribir:

= f(x}. _1_,

O ~

al a

lim f =

}a

. '6" . . mmacl n que se 'd eSlgnan con 1as notacJOnes

+

+ al x + ", + an x n ,

x"'a

x-)a

cero, o infinito (si l2 es nulo, se supone que g(x) tiene signo constante en entorno reducido de a), es:

f(x?_ g(x)

p¡¡¡¡¡

f

1 1 --<--=f f(x) H '

T

R o e, tiene límite

limf = a,

dado un t> O se considera H = --, ,\

por la definición de límite infinito, existe un Vea) tal que es f(x}>H

quier a, y es

E

pues, en la definición de límite, basta tomar ,¡ =: F. También se tiene. para x € R, tim x = + 00 y lim x = -

+ ce.

Roe. tiene límite- pa 1',1

E

Bmf = c.

T

1

+ 00,

a, y es

La función identidad t(x) = r, para todo x

x--->a

(o -(0). Sz. lím f

La función constante t(x) = e, para todo x

00 e - respectivamente.

00

pues basta aplicar reiteradamente (6.2). 7.4. ,La función f(x) = nida para x

€

1

(x -aY

, con el exponente r entero y positivo. ddl-

R - {a}, tiene los límites siguientes: l'

1

!~ (x-aY

=

+.(')V

,

si r es par,

216

Límites de funcion,."

y

En el caso complejo es

1

lim

ay

(x -

:lHa+

217

Limites de funciones

=

+

si r es impar,

.(Xl,

lim (ao

+

a¡x

+ ... +

a,.x n ) = oc.

x--+CO

. 1 bm - - = -oc , si r es impar. ;v-¡..(x - ay

Efectivamente la función polinómica se puede escribir como producto:

ao +

al x

+ ... +

an xn =

_1_ + '" + 1) .a" x", x·

(~ a"

y según el resultado anterior (7.3), el límite del primer factor es lo

7.6.

La función racional ¡(x)

ao + a¡x + ... + a" x" + ... + b m xm

--=-g(.x) bo + b¡ x

o

a¡ I I

x

x

está definida para todo x € R - A o e - A, donde A es el conjunto finito de puntos en que se anula el denominador. Si a f A es lim f . f x-->a fCa) bm - - = - - - = - Ha g lim g g(a) ,

I

I I

1

(;rrJfica de - _1-._ con r par.

Gráfica de - - - con r impar. (x-a)'

('Y-ay

I'dr.1

XI

e

---{a}, es

ya que basta aplicar (6.3) y (7.2). Si a es un cero de g, este polinomio se puede descomponer: g(x) = (x -

lim --,-_1__ x--ra

=00.

(x-ay

Y O< q <

m:

él

P,II';J

'.

unclOn

f(

x)

== 7

1

f(x) = (x -

1

l 1m - - = 0 X4±CO

l'lI

a)P 'I(X)

con

f¡(a);;i= 0,

'{J ~ n. Si p ~ q, la fracción se reduce al caso primeramente estudiado. Se supondrá q - p = r> 0, y entonces la función en R,

Xl

.

1 l1m - - = O

y

X-+CD

X'

f(x)

f¡(x)

g(x)

(x-ay g¡(x)

definida para todo, x

7.5. Para la función polinómica real es

lim Ha

lim (ao

+

lim (ao X---+-{X)

+ a¡ x + '" +

a¡ x

+ '" +

,(con f¡(a);;i= O Y g¡(a) # O),

,

virtud de (6.3).

x-++co

g¡(a) ;;i= O,

y ~~

= x-' con el exponente r entero y positivo, definida

~., R-{O} o C-{O} tiene los límites:

.

con

U na descomposición análoga se puede dar para f:

B,lsta aplicar (6.2) y (6.3). L f

a)q gl(x)

an X") = ( + ex.) . el" al1 X") = (- .:xc)" a

n

€

R-

(A -

f¡(x)

(X -

ay g¡(x)

{a }), tiene los siguientes límites: fl(a)

= (+oc) . - - , si r es par, g¡(a)

y . l 1m

..,....,,+

f¡(x)

ex -

ay g¡(x)

=

()

f¡(a).

+'0.: .. --, g¡(a)

SI

,

r es lmpar,

219

218

Límites de func;o/li

lim x->a-

f¡(x) {x-a}' g¡(x)

ex'" -

f¡(a)

~-,

= ( - oc) .

Límites de funciones

g¡(a)

lim

si r es impar.

1) (x

1) ...

m-l -

(x' -1) (x"

x >1

(X"'-k

1)

,1 -

-1) ... (x -

con m> k> 0, enteros.

J)

La misma función en e, tiene el siguiente límite lim Ha

f¡(x)

Para probar estos resultados, basta tener en cuenta (7.3). La función racional considerada tiene los siguientes límites en el infinilll En R, si n> m:

f

lim - - = ( + "'-++00

SI

11

a"

,x),~

g

~f_ = (~oc)n-m .~,

lim

y

b ll

x-+-co

bn

g

x--+±<:o

~

(~-6);

3

x-+OO

y comprobar los siguientes

lim (./x(x x-+en

lim

+

_~_",,_

,

lim (J(x

al-x) = -2-;

x-l " / -+1

x

. = -2-'

lim x-++co

+" a) (x

a

+ {3)-x)

.¡rTX'-.¡x

JT+ x"- .[X3

=

1 .--=1; x

5

n

3. - Calcular los límites:

lim

+ ¡3

-2-;

rx-+T-i/x

Iim

a. - g - - - b' /

n
si

lim x x-+ffi

x-+{)

= m:

lim

(Ji+ -';x./x- >,x):

= oc,

aY g¡(x)

(X -

lim

lím (<
_f_=O.

a,) (x -

a,} .•.

ex - .,,) -

x)

x-++co

g

x-+=
lim (\y(x -

¡3) (x- y) -x);

4. _ Determinar a, ¡3 y y con la condición

2x'+7x-::¡::-1-(ax' +

C'/x'

lim

En los dos primeros casos basta escribir la función racional en la form,

,Bx

+ y»

= O.

~->OO

f(x) an __ = __ g(x) bn

xn-m

5. _ Conocido el límite de la sucesión {Vn} que es

+ .. , + /¡(x) __

bm

gl(X)

obtenida al efectuar la división entera del polinomio / por el g. En . l 1m , .•
/ g

e, para la misma función, se obtienen los límites siguientes:

--

=

.

n

00, SI

>

m;

. 11m

/ g

--

.r-+U:J

an

= --, bu

•

SI

n = m" '

, 11m

x-.""

-

t g

= O' ,SI n
1. -

'oncs de potencias Y logaritmos, calcular los 6. - Conocidos los límites d e l as sucesl siguientes funcionales:

+ sen x) '"

7. _ Para todo x

€

------"

lim (sen x}tQ x;

;

n->CO

lim .... ¡

x"'-l x-l

+ ~iselu'"

[0,1] démostrar que existe lim (lim c0s2n (mI 1i'x).

.fX)

1 --+--' 1 + x' , \'

con m>

1im x¡+Zlnx;

lim (1

T-+1"..!2

m---+O:'

Determinar los siguientes límites:

(

1

I

¡

EJERCICIOS

lím

1,

calcular el funcional

1im (1

8.

Vn=

X

°

entero;

xsenx lim - - - r->CXJ x' + 1

¡im

x-senx x

+

sen x

x"'-1 lim - - - - con m> 0, n o-+¡

xn-l

> 0, enteros;

y que su valor es 0,

Ó

8. - Estudiar la existencia Y siguientes casos:

Ixl

a) lim -z--; x-->O x +x

n---+OO

1 , seg ún que x sea irracional o racional. alores de los límites laterales, cuando exis1an, en los V

x b) lim x->l

.¡x=x + 6= T x-l

220 9. -

Límites de fum:;1II1'

Probar que los límites laterales en el punto x = 0, de la función definida 1'''' 0, f(x) =

si

x =

1 ) --+-e-¡"-'

° si

1

12. Continuidad

x~O,

son

l.

lim {= 1.

y

Dibujar la gráfica cartesiana de la función. ID.

1ndicando por [x] la parte entera de x; probar que si a y b son positivos. "" tonces es

lim x----*o+

+[+J

b

y

a

b

lim

X

x--+o+

[~]

=0.

Probar que en el primer caso, el límite a la izquierda es el mismo, mientras el segundo caso es + OO.

<-jUt'

l'!l

11.

Sea la función f: (O,

+

""C) -4 R, definida por

{(x) =

irreducible. Probar que tiene límite en todo 12.

lIallar los límites lim (x

+

(1

>

10 sen x)

O.

y

x-t+OO

lim (x

+ 10 sen x).

x--t~co

¿ Existe

(x + -x2- sen x) ?

lim , X-i>OO

11 ..

Se supone que la función f : [0, tado. Probar que si lim (f(x

+

1) -

+

'x)

f(x») = 1

-4

R, está acotada en todo intervalo aco¡(x) lim - - = l.

es

X---++Cú

14

x-t+OO

X

Se supone que An es un conjunto finito de puntos de [0,1], para cada n, y que An n Am = 1> si m ~ n. Sea la función f : [0,1] -} R definida por f(x) =

\+,

si

x

€

An

2. 3. 4. 5. 6.

Continuidad de una función en un punto. , Definición general de continuidad local. Continuidad por la derecha y por la izquierda en un punto. Operaciones aritméticas con funciones continuas. Funciones continuas en un conjunto. Ejercicios.

Realmente es más importante la nOClOn de continuidad que la de límite. En la exposición de estos conceptos fundamentales de la Matemática, se puede partir indistintamente de una o de otra, y aunque por su importancia sería natural principiar por la continuidad, es preferible hablar primero del límite cuando se trata de definir la contínuidad puntual. La continuidad de una función f : X ,-->- Y en un punto a € X de acumulación, implica la existencia del límite de la función, y su coincidencia con el valor de la función en el punto 0.1). Después se completa esta definición, cuando (1 es un punto aislado de X. Esta introducción del concepto de continuidad local, permite trasladar las propiedades establecidas para los límites al marco de la teoría de la continuidad. Paralelamente a lo expuesto en la teoría de los límites, se da una formulación "e, 1)" para la continuidad en un punto (1.2), y una definición general de la continuidad local (2.1), aplicable en todo caso. Los casos en los que el dominio de las funciones pertenecen a la recta real, ofrecen particularidades interesantes, como son la continuidad por la derecha y por la izquierda de un punto (3.1). Cuando el recorrido de las funciones pertenece a la recta numérica R, o al plano complejo C. se puede operar aritméticamente con ellas, estableciéndose la permanencia de la continuidad en tales operaciones (4.1), de forma análoga a lo que sucedía en las operaciones con los límites. De la continuidad de una función f en un punto, se pasa a su continuidad en un conjunto X, cuando f es continua en cada uno de los puntos de X. De las propiedades de los Ifmites relativos es consecuencia la conservación de la continuidad al pasar de una funci6n a su restricción (5.4). Sin embargo el proceso inverso tiene mayor sentido y mucha mayor importancia. Se trata del problema de extender una función continua. Entre los distintos teoremas de extensión, se estudia el referente a una función continua definida en un conjunto denso en otro, al que se extiende. La nueva funci6n continua queda unívocamente determinada (5.7).

( O, si x no pertenece a ningún An. Probar que es lim

f

= O, para todo a € [O, 1].

X -hi

221

222

Continuid, I

Continuidad

4.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

1.

Dada una función f : X-jo Y, la noción de continuidad de la función f ('1 un punto a 10 X, de forma análoga a la noción de límite (11; 1.1), inforllll sobre el comportamiento de f en la proximidad de a: cuando se consider". puntos x E X próximos al a, los correspondientes f(x) 10 Y están próximos fea). En este planteo semejante al del límite, se observan algunas diferenci.' notables, En p.rimer lugar, el punto CI ha de pertenecer a X; Y en segun d, los valores ((x) se han de aproximar a fea). Resumiendo estas consideraciones, se obtiene la siguiente definición rer. rente a funciones cuyos dominio X y recorrido feX) pertenecen a la recta 111i mérica R o al plano complejo C.

I

La función (11; lA), en la que ((x) = O si es x irracional, Y f(x)

. dUC!'ble con P' > O, es continua si x = (} y si x = ¡rraciona 1. si x = -q- ¡rre p . ingún punto entero, pues ell es 1(1'. 5. La función [x ] no es con t mua en n puntos no existe el límite. 6.

La función _1_ no está definida para x = O, o si se define

0..:,

t.

A

!~

= fea).

I

I

t

I

En esta definición están implícitas las tres condiciones siguientes: Existe el límite de f en x = a y es finito.

b)

La función está definida en

e)

Los dos valores anteriores coinciden.

a.

es decir, existe

I

t

o

fea).

v;llpl

luego no es continua. . 7. La función del ejemplo 4 no es continua en ningún x raClOn;¡J, . ',"l' 8. No son contmuas en e1 pun t o x -- a las funciones cuyas L'I';III[".I', .' las de las figuras:

es

X-->a

a)

Sil

X

Definición: Sea la función f : X'-+ Y, Y a un punto de X que sea de acumulación. Se dice que f es continua en a, si existe lim es finito y coincide con f(a); es decir, liml

= - 1)

él

X

-1----'----'x a o

No existe lim f

o

No está definida f(a)

Es

lim f -/ ((a)

Definición: Sea la función f : X ,-jo Y, Y a un punto de X que sea aislado, entonces f e'S continua en a.

.• L f' ara las que se ha definido tI Cllllllllllul.ltl Observaczon. as uncIOnes p e . . . .' punfual tienen el recorrido en R o e, luego si una funczon tlenC' f//l/llr' ,nll/lI/" en un punto; no es continua en tal punto.

En este caso la definición de lim f no tiene sentido, y no se impone nin·

la 1.2. Independiente de la defini~i~~ dde. límt ¡te, a l continuidad, se puede dar una defimclOn trec a con a

guna otra condición a la función f. Evidentemente {(a) es finito.

Ejemplos: 1. Como una función polinómica f(x) definida para todo x de R o C y es 11; 6.3): lim

= ao +

al

+ .. , +

a. xn está

2. 3.

La función, parte entera de x, [x] es continua para todo x no entero. 1 La función es continua para todo x:¡;z!::. O. x

dI'

'

Definición: Sea una función f : X ,-+ Y, en la que X e Y. pe'rtcllc("'!I (/ /11 recta real R, o al plano complejo e, y un punto a 10 X. Se dICe que r es ,','" tinua en a, si para cada f> O existe un l> > O, tal que es:

f = fea),

es continua cualquiera que sea a de R o C.

fqo~:u~:Cí~~~It~~:l: .~:~.

[f(x) - f(a)[ < para todo x e X que cumpla

e,

[x-al < a.

En la definición de límite se exigía que fuera x =F- a, en la de continuid:ld se omite esta condición, pues manifiestamente es [f() x - f( a)[ < E para x = (/

224

Continuid;1I1

fea)

U{I[all {

+

;ontinuidad

E

fea) fea)

-e

-----------

f(X)

x

1

I I I

I 1

I al

a_ol

a+o

~

x

Vea)

Representación cartesiana de la continuidad de f en a.

2.

DEFINICIÓN GENERAL DE CONTINUIDAD LOCAL

2.1. Se puede dar una definición general de la continuidad de una función en un punto, que no sólo es válida para las funciones numéricas reales o complejas, sino para funciones en las que tanto en el dominio X como en el recorrido Y estén definidos conjuntos abiertos y sistemas de entornos.

Definición general de continuidad en un punto: Sea una {unción { : X 0-+ Y, Y a € X. Se dice que ( es continua en a, si para cada entorno U({(a) existe un entorno Vea) tal que es: ((x)

E

U({(a),

para todo

x

€

U(a} n X,

o bien ((U(a) n X) e U(f(a». Adviértase que esta definición es también válida cuando el punto a es aislado. 2.2. Esta definición de continuidad se ilustra con la representación gráfica de la continuidad local en el caso de una función compleja de variable compleja, es decir, f : X -+ e, con X e C. En este caso la función { aplica su dominio X que es una parte del plano e, en su recorrido ((X), que igualmente pertenece al plano C. Para U(a) y uet(a» se pueden tomar dos CÍrculos abiettos de, centros a y {(a), y radios (j y s respectivamente. 3. De la propiedad de la conservación del límite, al considerar la restricClOn de una función a un subconjunto del dominio en que está definida (11; 2.3), se deduce la siguiente para la continuidad.

Continuidad local de f en el punto a.

• ., . Si la {unción { : X ._)0 Y es continua en un p¡mlo ti PropoSIClon. S X e' '1 restricción f/5 de la función f, a un subproducto e ,que con (I/h' también continua en a.

X. 1"

<

1" r

,'" •

Demostración: Si a es de acumulación de S, se tiene lim {IS = lim :r

f=

(a).

)-a

Si a es un punto aislado de S, la proposición es trivial. Evidentemente la recíproca no es cierta.

Ejemplo La restricción de la función [x] al conjunto de los núm~'J()~; (''¡Iteras es c~ntinua en todos sus puntos, que son aislados; y sm Cllll
Demostración: Por ser g continua en b, para cada entorno U(g(b)),

l"xisk

un entornO' U(b) tal que es g(U(b) n Y) e U(g(b));

Y por la continuidad de torno U(a) tal que es

f en

a, dado el entorno V(b)

f(UCa) n X) e U(b).

= VCt(a»)

existe

\lll

1'11-

227 ¡Continuidad

226 Como las imágenes en {de 1os elementos de X pertenecen a Y, se PU\.!' escribir: ((U(a)

n X) e U(b) n

Análogament? f es continua por la derecha en el punto a, si para cada , > O existe un o> O tal que es:

Y,

'f(x) - f(a)1 <

de donde

para todo

x

lo que prueba la continuidad de g o { en el punto

a.

3.1. Las funciones recta numérica R ,que se consl'd e.ran están definidas en conjuntos X d, ' pero sus recorndos Y pueden s e r ' 1 l' mas gene.ra es, pUl' I),¡sta que en ellos estén d ef"d mIos os abIertos y los . t d p;lra que las definiciones t . . ' SIS emas e entorn(l Y;1Iidas, cuando los recorrid:n~an 1 SenftIdo.' En partIcular las definiciones so L' s e as uncIOnes pertenecen a R o a C o esencIal para definir la continuidad 1 1 . quierda es que el d .. d I o . ca por la derecha y por la i/ omInIO e a función pe r t enezca a 1a recta numérica 1< (o a R), . , qu~ :s un conJunto totalmente ordenado. Para defmlr esta continuidad se designarán por X" y Xa los conjuntos 1.1

aJnX

y

Xd

= [a.

+oc)nX.

. Definición: Sea una {unción {: X ~ Y con X e R dIce que { es continua en 1 unto ' , y a E X. Se de { al conjunto X .e a E X por la izquierda, si la restricción • .¡ es crmtmua en el punto a' y se dz", { tmua en el p t X , c e que es conX es contl' un o alE por la derecha, si la restricción de { al conjunto nua en e punto a.

r

¡f

De esta definición resulta qu ( . .. aislado de X. y cuando a E X ~ es contm~a por la Izqulerda, si a es punto " . es e acumulaczon de X· si t(a - ) - fe ), A '1 mente, { es contznua po'r la derech . X'. - a a. na ogaes de acumulación de X,lo si {(a ~) s~a{~). es punto aislado de X , y cuando {/ 3.2. Para funciones con valores reale . definición HE ~"análo 1 d 1 ~ ~ compleJOS, se puede dar una " ga a a e a continUIdad ordinaria.

Sea t una función {.. X ......., Y con X e R e Y e R (o en C), y a € DefiniCión: X Se d' > O. . lce que es continua por la izquierda en el punto a si para caxia , eXiste un i5 > tal que es: '

°

'{(x) - {(a) I <

f

para todo

'"

x

E

pertenece

aR

(o a C) es f(a) finito.

Ejemplos: 1. La función [xJ es continua por la derecha en cada uno- de los puntos x = n enteros. 2. La función h(x) "signo de x" ya considerada, no es continua ni por la derecha ni por la izquierda en x = 0, pues no está definida en este punto. Si se hace h(O) -1, la función h será continua por la izquierda pero si se

=

hace h(O)

= (-iX1,

f

=

~~~~~NUlDAD POR LA DERECHA Y POR LA IZQUIERDA EN 1 ~ '\;

Xi

que cumpla 0< x - a < o.

X

E

Adviértase que como el recorrido de gC{(UCa) n x)c g(U(b) n Y) e U(g(b» e U(g(f(a))),

3.

f

X que cumpla O~ - x < o.

= 1,

lo será por la derecha.

3. Si P es una función polinómica, no nula para x = 0, la función producto p' h no es continua ni por la derecha ni por la izquierda en x = o. Cuando P(O) =0, la función producto es continua en este punto

4.

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON FUNCIONES CONTINUAS

4.1. De las operaciones con los límites de funciones (11; 5.1) se deducen las correspondientes para las funciones continuas. Las funciones que se consideran tienen el mismo dominio X que puede tener gran generalidad, pues basta que en él estén definidos abiertos Y sistemas de contornos. En particular X puede pertenecer a R, a C. Los valores que tomarán las funciones serán reales o complejos y siemp·re finitos. De esta forma las operaciones de suma y producto y las inversas, salvo ]a división por cero, estarán siempre definidas para las funciones.

Proposición: Sean f y g dos {unciones, reales o' complejas, definidas Y continuas en un punto a E X. Entonces las funciones: (+g,

f-g,

f·g,

y f!J-a) 01= 0,

si

son continuas en a. Demostración: De las propiedades de los límites .resulta: 1im (f ± g} = lim

t ± lim

lim (f. g) = lim

f . lim

g

= fCa)

±

g(a}

= Ct ± g} (a),

g = fCa) . g(a) = (j . g) (a),

~

X

228

lim T-+a

lim f _f~ = ~ __ fea) _ ( f ) g

lim g -

g(a) -

5.3. Como en la suma y producto de funciones se conserva la continuidad, resulta que en los conjuntos de funciones continuas definidas en el mismo dominio, se pueden definir estructuras algébricas.

l'

-g- (a),

pues

g(a) ~ O.

X4a

. 4.2. Proposición: La función (mua en todo a. _ Demos.tración: Como ,\-, Y SI Ix-al<ó es

Ixl

definida para todo x

Ilxl-lal ¡ ~ Ix Ilxl-lall<>.

a:.

€

R (o C) es

para cada F> O, b

asta

(¡IJI

t01Jl.1I

Proposición: Si la función { es continua

en a, también lo es Ifl. Demostración: Basta aplicar la propiedad de la continuidad de la func!, compuesta.

'11

4.3. De las propiedades (11' 63) (11 6 siguientes propiedad d . "d' Y ; .7) de los límites resultan l.! es e contlDllI ad para las funciones polinómicas y rae!" nales.

l'n

Prop.osición: Toda función polinómica, con cae("lnentes reales o comple¡, '\ contmua en todo punto a de R o de C.

Proposición: Toda función definida como cociente de dos polinómic!I\. es decir, rqcional, es continua en todo punto a de R o de C, excepto en ["'o ¡11m los que anulen el divisor.

5.

FUNCIONES CONTINUAS EN UN CONJUNTO

Definición: Una función f : X en cada uno de los puntos x € X.

--+

Y es continua en X cuando es continua '

5.2. De las propiedades de continuidad d 1 cionales resulta e as funciones polinómicas y

fa-

Proposición: Las funciones polinómicas p(x) = ao + a x+ + el,¡ x n, UJ/l . '. R o e f' . 1 '" , , .Y con cae IClentes reales o complejos, Son continuas en todo R o e, respectIVamente. . Las funciones racionales X €

p(x) ao + al x q(x) = b o + b l X

229

~tínuidad

Cantilll//fl.,.¡

+ ... + Un xn + ... + b xm m

cIen t es reales o complejos, son continuas en R ocon x € R ' o. e ' .11 con coeti' e, respectIVamente, salvo en el conjunto de m puntos, a lo más en el qu; se anula el denommador. '

Proposición: El conjunto 'e(X) de todas las funciones reales (o complejas) : continuas en el mismo conjunto X, tiene estructura de álgebra conmutativa con elemento unidad. • Evidentemente la función unidad es la ((x) = 1 para todo x ro X. En particular, si se consideran solamente los polinomios entre las funciolles continuas se tiene:

Proposición: El conjunto P(X) de todos los polinomios, donde X ('.\ Id recta numérica R, o el plano complejo e, tiene estructura de álgebra cOn/nllla tiva con elemento unidad y sin divisiones de cero. En P(X) no existen divisores de cero, pues el producto de dos pclin()llli!)~ tiene un grado que es igual a la suma de los grados de los factores y un poI inomio de grado no nulo, no se anula para todo x.

5.4. Como la continuidad puntual se conserva en la restricción
{el

{/In

5.5. Aunque en general no se conserva la continuidad al extt:nder 1111;1 función continua, en condiciones restringidas, se puede dar un teorema di' extensión de gran utilidad, para funciones fa : S '--+o Y, continuas en un conjulllo S de.nso en otro X. Definición: Un conjunto S perteneciente a R (o a C), es denso o/ el conjunto X igualmente de R (o C), si S e X, y todo punto de X e5 adherente de S por tanto, todo punto x € X, o es de S, o de acumulación de S. o amha." cosas. Ejemplos: 1. numérica R.

El conjunto Q de los puntos racionales es denso en la

fl"l'I;¡

2. El conjunto de los puntos obtenidos por biparticiones sucesivas dl'i intervalo [O, 1} es decir, el conjunto de los puntos X

=

2

81

+T

Cl.

es denso en [O, l}.

62

en

+ ... + 7 '

(con

ti

= O, 1 Y n = 1,2, ... ),

231

230

Continuidad

5.6. Antes de dar el teorema de extensión se expondrá el siguiente dl' unicidad:

Proposición: Si dos func1Dnes fl : X -+ Y Y f2 : X --+ Y, en las que X e Y pertenecen a R (a a C), son ,:ontinuas en X. y taman los mismos valores CII S, que es denso en X, entonces las dos funciones coinciden ¡m X. Demostración: Si a E X, que se supone de acumulación, la continuidad dI las funciones expresa lim t¡ == t¡(a)

y

lim f2 = Ma).

Continuidad

'b b - fea) La función Sea un a E X, Y se esen e - . cada U(b) existe un U(a) tal que es

f es continua en

a, si pi! r¡1

f(U(a) In X}c U(b).

l' siempre se puede tomar un Entornll n'Como dado un U(b) eua qUiera, suponer inicialmente que el (J(J¡\ rrado de h contenido en U(b), se puede e

dado es cerrado. . 1 unto a, cuya exsistenL'i;, ",' Siendo fea) el límite relativo a S de fo en e p . un U(a) ti]l qlll' ,". , ase~ura en la hipótesis del teorema, se puede determmar

x .... a

En todo entorno U*(a) existen puntos x € S en los que es fl(x) luego los límites de ti y f2 rehtivos a S verifican: lim f¡ =

11 (a)

y

lim t2 = f2 (a);

»-+a

fl

y f2 son iguales en S, resulta fl (a)

5.7. El teorema de extensión se prueba solamente para funciones numéricas, aunque es cierto en condiciones mucho más generales.

antes escrita. todo x En efecto. se prueba que para Si x € U(a) n S evidentemente es t(x)

Teorema de extensión por continuidad: Sea una función continua fo : S --+ Y, en la que Unto el dominio S coma el recorrida Y pernecen a R (o a C), Se supme que S es denso en un conjunto X, y ade-

más que existe lim fo <>Ma

:rES

para cada a € X. Entonces existe una función continua f, definida en X, y solamente una, que es ex¡ensión de fo a X. Demostración: Si existe una función f que verifica las condiciones del teo,rema, su unicidad resulta de la proposición anterior. Se define una función f: X ~ Y por fCa) = lin fo.

para cada

a E X,

;t---',tL

xES

y se prueba que

f es la extensón buscada.

La función f coincide con h en S, pues por la hipótesis de continuidad de fo en S, si a € S, se tiene Um fo il>-.a

:rES

= lo (a)

n X) e U(b),

f(U(a)

= fl (a).

n S) e U(b).

1 condición de continuidad ,1<. t e para este entorno se verifica a PreClsamen en a,

xE5;

xES

pelO como

fD(U*(a)

= f¡(x).

€

= fo (x) E

U(a) n X es f(x)

€

U(

1

'J,

U(b).

do entorno de x I'XI',I"II en to S e omo x E U(a) y x lO X, l ' es runto de :1('11111111. .. JI ,11 Sea x ~ U(a) In. S ntenidos en U(a) uego ,x 1" I infinitos puntos d e co , ' c e s i ó n {x } de IHlnl!)', , " de U(a) n S, y por tanto ~e puede determmar una s u · " U(a) n S convergente hacia x. La sucesión {x n } tiene las siguiente propiedades:

=

a)

10 (x n )

b)

lim fo (x.) = Um (x') = f(x), .-->00

€

para

U(b),

n

1, 2,

x'-+Z

x'ES

., uc converge hacia x. t ata del límite a lo largo de una suceSlOn q , pues se r ., f ()} en todo contorno de (x) e:ostL'll Al ser f(x) límite de la suceSlOn { o x. dh . d U(b) que es ccrr;lt!o: puntos de U(b), luego fex) pertenece a la a ereneJa e E U(b). f n 'ón I puede no ser continua, y cxislir Observación. Adviértase que la ~ Cl 0 la función 1~ definida ('n d la función f, por paso al límite. Ta ocurre co~ . t S de todos los puntos racionales del mtervalo (O. 1) por conJun o ¡: =~. si ~ irreducible,

f(x)

10

(L) q

q

q

233 232

-:;ontinuidad

que tiene límite nulo en todos los puntos de

(O.

1) racionales o irracion;ilc',

La funcÍón fo es discontinua en todo punto racional de (O. D, Y evidl'1l1o" mente no admite extensión por continuidad en dicho intervalo. Sin emb;1I 1'" l'I conjunto S es denso en (O. 1) Y por paso al límite se obtiene la funul'" continua 1, que 7/0 es extensión de fo'

6. 1.

!..

·1

10. -- Sea una función t ; La, b] -+ R, continua f{x') ; f(x")

x

="';" es

continua en todos

demás, Dar otro ejemplo en el que

105

",1

'1

di\contir:ua en los puntos de la sucesión y en el O. y sea continua en todos

In',

[a. b).

f.

un punto de discontinuidad evitable de

- O - es punto de discontinuidad evitable de a) El pun t o x - , ¿ 1

(x) = sen

1 --1. x

¿es punto de discontinuidad evitable de f(x) = x sen -x-?

=

.

€

°

Suponiendo que la función f definida en un entorno de x == 0, cumple la eOIlt!, ció;} ~f(,.(), ,,;:; .T, para todo x; probar que f es continua en x O. Dar un ejemplo de una función f no continua en ningún punto. pero tal qUe' ¡. fUllción ¡ti sea con:inua en todos los puntos. Il;tr ,m ejemplo de una función t que sea continua en el punto x = a, y '1" 1.. "',, en los demás punto~. lb l' un ejemplo de una función f que sea discontinua en los puntos de la '.11(<"

(_1_)' , y

( x' ~ x" ). para todo par de puntos x', x"

. t( ) - f(b) se tiene ¡(x) == O para todo x € [a,bj. Probar que SI es a -, ' , d' ,d f() o f no está defJmda en 4, se Ice que 11.- Si lim f existe, pero es distInto e a,

EJERCICIOS

,i(ln

=f

en [a, bl que verifica la condición

b)

Sea la función f: [O. 1] -+ R, definida por x es irracional f(.t)

0q¡

=

S,i

si x

\

=~ q

irreducible.

x racional es punto de discontinuidad evitable. P ro b ar que todo . • X e R y se considerar. 12. - Sean f y g dos funciones real~s definidas e,n un COll]UnlO • las dos funciones F Y G definidas en el mIsmo conjunto X por

dt"1l1:Í,s.

=

una función f: R ---+ R que verifica la condición f(:r' + x") f(x') + ((1-' \ todo par x' x" € R. Probar que si f es continua en x = 0, lo es en tod"" I.. ~ dl'ln<Ís puntos. I'd 1'., cada x 10 [O, 1] se define:

".'>'0;'

1',11';(

/',

f(x) =

si x eS racional

x,

1

14. -

comprendidos entre O y 1: Sl';I la funci:'Ín f definida en todo .•

f(x) = min ¡x-ni,

1

== -2-'

1. si

La función f toma todos los valores

para

f(x)

=

G(x)

X""

==

min (f(x), g(x)}.

O

"',SI

sen - - ,

x:l= O.

X

\

R, por

€

y

Se define la función f: R -+ R por

si x es irmcional,

l--x,

probar que f es sólo continua en x 7.

F(x) = max (f(x), g(x)}

. 1 dos funciones f y g son continuas en un a € X, lo misJr.o ocurre Pro bar que SI as con las F Y G, 13. _ Definir una biyección f: R ---+ R que sea discontinua en todos los pun1os.

'scontinuidad de la función 15. - Determinar los puntos d e dl

n=O, ±l. ±2, .. _

Determinar los puntos de continuidac de la función, y dibujar

51...

gráfica caro

t~·siana.

11.

Se definen las funciones f y g por las operaciones indicadas:

JT+2X- VI + 55;( + JT+8i' x

+ ...rx+T

Determinar los conjuntos X ciones.

e

y

rx-n + 2 v'X-Fl'+

16. _ Dada la función definida para cada valor de ~

x-5~

R en las que son continuas cada una de las fun-

11. - Sean f y g dos funciones continuas en R. Probar que son continuas las funciones F y G definidas por gel + x) F(x)=---' 1 + f(x)2 ,

.:::.

G(x)

=

+ g(x») + cos U(x»

x f(l

2

eI\")+oI~).

f(x)

;x

por

= ...... Jiro (cos" x)1". «.

'scontinuidad Y dibujar su representaci6n cartesiana. Hallar sus puntos de dl 'ones definidas por las fó~mulas siguientes: 17. _. Se consideran las funcl a)

f(x}

= [2 xl;

b)

f(x)

= [x~l;

f(x)

= ";x

c)

f(x) =

[JiJ;

Lx" d) f(x) = 1tXJ; . X ~ R en los que tienen sentido las fórDeterminar en ;adla caso ,l~~~O~~u~~~s pun'ros de discontinuidad respectivos. mulas, y despucs os conJU e)

'3. Los teoremas de la continuidad 1. Teorema de conservación de la compacidad. 2. 'J' eorema de conservación de la conexión. 3 Teorema de la continuídad uniforme. 4. 5.

Aplicación al "teorema fundamental del Álgebra". Ejercicios.

Establecido el concepto global de continuidad, se plantea el problema de determinar propiedades de los conjuntos que permanecen im'ariantes en las aplicaciones con tinl'as; es decir, dada la función f continua en X, se trata de conocer propiedades del conjunto X que se conservan en el conjunto f(X). De esto se ocupan los teoremas fundamentales de la continuidad, que en forma restringida eran conocidos desde los orígenes del Análisis. El teorema de conservación de la compacidad (1.1) en las aplicaciones continuas, referido a las funciones reales, da lugar a los teoremas clásicos de Weierstrass (1.2). l.as propiedades de acotación y clausura de los compactos en R se traducen en la aco!Jción y existencia de extremos accesibles de las fUHciones continuas en compactos. El teorema de conservación de la conexión (2.2) en las aplicaciones continuas, refe· ride a las funciones reales, se enunciaba como la propiedad de las funciones con tinuas en un intervalo "de pasar de un valor a otro tomando todos los valores intermedios" (2.3). Esta propiedad, mal interpretada por algunos, se conoce como teorema del valor intermedio, del que UD caso particular es el teorema de Bolzano (2.4), de importancia c~ecisiva en la resolución de ecuaciones (2.5). Otro de los grandes teoremas de la continuidad, es el clásico de Cauchy de la contim:idad uniforme (3.3), en el que se pene de manifiesto, por primera vez, la importancia de los conjuntos compactos en el Análisis. Como aplicación del teorema de Weierstrass se da la demostración del llamado teorema fundamental del AIgebra (4.4), en el que "e asegura que todo polinomio no constarte tiene, por lo menos, una raíz en el cuerpo e de los números complejos. ¡liS

235

236

1.

Los teoremas de la contil1lfld",

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA COMPACIDAD

1.1. Este es uno de los grandes teoremas de la continuidad global, y '" presa que la imagen de un conjunto compacto por una aplicación continu;1 ," un conjunto compacto. Aunque tanto la propiedad como su demostración ',,111 generales, se expondrán en el caso más simple de las funciones continuas ,'11 las que tanto el dominio como el recorrido pertenecen a la recta numérica () ,ti plano complejo.

Teorema de conservación de la compacidad: Sea una función f : X -+ Y, con Y = f(X), en la que tanto X como Y pertenecen a R (o a C), que es, continua en X. Entonces, si X es compacto, también y = f(X) es compacto.

Demostración: Sea cA un recubrimiento abierto de Y. Los abiertos que 1" forman se designan por A, A', .... Para cada x € X. es y = f(x) € Y, por lo que y estará contenido en un abierto A de cA. Como A es un entorno de y, por la continuidad de f en x, existirá un entorno abierto U(x) tal que f(U(x) n X) e A. Por este proceso. a cada x € X se ha hecho corresponder un U(x). y el conjunto de todos entornos U(x) es un recubnmiento abierto S de X. Como X es compacto. existe un número finito de entornos U(x) del recubrimiento S que cubren X. Sean x¡, Xl. • .•• Xk el número- finito de punto~ de X, tajes que los entornos correspondientes, U(x¡). U(X2), ... , U(x.). verifican

Esta última inclusión también se puede probar por un simple cálculo: Como k

X =

f(X) = f

Teorema de Weierstrass: Toda función f definida 11 ccmlirmll ('/1 un conjunto compacto X de la recta numérica R, o del plana cmnIJ/,'io e, con valores reales, posee un máximo y un mínimo en X; 1'.\ dí'o/, existen dos elementos xo, x, en X tales que '(xo) ~ ((x) ~ ((XI) rara I"d" x E X. Demostración: Si X es compacto. lo es asimismo Y = fCX), y todo ('tllI junto compacto en la recta real es cerrado y acotado, Los extremos inferior a, y supe.rior ()) de Y. son puntos adhcrenk:, d,' r, que por ser cerrado pertenecen a él. Existen, por consiguiente. dos elementos XO" x, E X tales que ,,~ {(.r,,) y ro = f(x,). que cumplen las condiciones del enunciado. 1.3.

En particular:

. en el intervalo cerrado 1", ¡d, Proposición: Si f : [a, b ] -4' R es contmua posee un máximo y un mínimo en dicho intervalO'.

U(x;)::>X. máx.

con i donde

A(lJ

es

= 1.

2..... k,

uno de los abiertos del recubrimiento cA.

Cada x E X pertenece a uno de los U(Xi) por lo menos. por lo que cada f(x) pertenece a uno de los A(i), con i = 1, 2 ..... k, luego k

Y = f(X) e

U A(I), i~'

lo que prueba el teorern:¡;¡.

(~ (U(x¡)nX) ) = ~ f(U(x,)nX) e ~ Ni),

1.2. De la propiedad de la conservación de la compacidad en las ;1"1",, clones continuas se deduce el importante teorema siguiente:

i=J

Además. por construcción, es

k

(~¡ U(x¡) ) nX = i~ (U(x,) n X).

le tiene

le

U

237

~. teoremas de fa continuidad

Los teoremas de la

'.r

COIl!IIII/I,;

Observación. El teorema de Weierstrass es igualmente válido para fUlll nC's continuas en un compacto X, sin precisar el espacio a que peftenen', rccorrido de la función puede también pertenecer a la recta real R.

,o, teoremas de

I I

1

1/

'

ncfinición: Un conjunta X e R es no conexo, cuando existe un p/ll/ X {'Il R. que separe a X en dos subconjuntos no vacíos, es decir: X c-X,uX 2, donde X,={x:xeX, x
X e R es canexa~ cuando no sea na conexo. definición de conjunto X e R conexo equivale a la condición en 111 , la siguiente

1111 ('''/Ijullto 1'~sLI

('I,ld" l'n

P"oposición: Un conjunto X e R es cone'to si, y sólo si, para tado par d, l'/I/If"s X" X2 E X, es [xv x 2] eX.

(kll/os/ración: Si a 4: X separa a X en los do~ subconjuntos Xl y X 2, tomall do lIn .1"' e XI> y un x" E X 2, será [x' x"] q: X. Si existen x', x" E X, tales que [x', x"] q: X, un punto a E [', x"] no perk 1lI'('['r{¡ a X. Considerando la partición de X en los conjuntos Xl y Xz, como ('11 la ddinición anterior, ni XI ni X 2 serán vacíos, por lo que a separará a X, qUI' 110 sed conexo. Teniendo presente la caracterización de los intervalos de la recta real (5; 2.2) resulta: Proposición: Un conjunto es conexo en la recta numérica R si, sólo si, e.\ 1m llt/nto. un intervalo, una semirrecta o la recta.

En forma breve se puede decir, que un confunto conexo en R, o es plinto o un intervalO' en sentido amplio. 2.2. Teorema de conservación de la coneXlOn: Si la (unción ( : X ~ R es continua en el conjunto X e R conexo, la imagen f(X) es también un canjunto conexo.

y"

f(l)

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CONEXIÓN

2.1. El teorema de conservación de la conexión se estudiará sólo 1'11' ,1t¡1Il'ILis funciones en las que tanto el dominio como el recorrido pertenc;l 1', ,1 LI rcd;1 numérica R. La formulación del teorema requiere un estudio pn'\ d(' la noción de conexión, que en el caso de conjunto en R se simplifica " f r,lol'din;lriamente. 11

239

continuidad

1"

{(Xl

2.

/a

Ufl

o

x'

x"

Xo

x

X

Demastracián: Basta probar que si y' e y" son dos puntos CUalesquiera de < 11', es [y' y"] e f(X). . ' Sean x', x" E X tales que ¡j = (x') e ¡j' = t(x"), y se conSidera el mterval o 1 de extremos x', x"; suponiendo x' < x" es 1 = [x', :e"] e X, pues por hipótesis es X conexo. Si Yo es un punto cualquiera entre 11 e y", sea el conjunto

lCX), suponiendo y'

C={xlxEI, Evidentemente x'

E

e y

x" It

e,

f(x)~yo}'

luego existe un Xo

r;

[x', x"] que es

xo= supC, Se tiene x' < xo, pues si fuera x' = X o, como t(x') < Yo, por la continuida,d de f en x', existiría un entorno U(x') tal que para tod~ x E X n, uex') sen~ (x) < Yo. En particular para puntos de V(x') mayores que x = Xa, sena tex) < Yo, luego Xo no sería el supremo de e. De modo análogo se prueba que es Xo < x". Finalmente se tiene t(xo) = Yo- Si fue,ra {(xo) < Yo, existiría un entorno V(xo)cl, tal que t(x) < Yo para todo x € V(xo), y en p~r~icular para todos los puntos de Uexo) mayores que xo, en contra de la condiCión de extremo de Xo· Cosa análoga ocurrirá si fuera f(xo) > Yo-

Observación. En la demostración ante,rior, se ha prescindido de los casos triviales en los que el dominio o recorrido de la función se reducen a un punto. 2.3. El teorema anterior es válido en condiciones mucho más generales y en particular la demostración anterior es aplicable al caso en el que tanto e dominio como el recorrido de la función continua f, pertenezcan a ]a recta

i

real R. Una consecuencia inmediata es la siguiente LlN~S-9

240

Los teoremas de la contil1/1f.t,.'/

Proposición: Sea la función f: 1--+ R continua en el intervalo 1 e R,

11

sean x' X" dos punto~ cualesquiera de 1 e y' = f(x') e y" = f(x"). Si Yo es JIII punto cualquie'ra entre y' e y", existe al menos un Xv entre ,x' II x", tal <1'" ('.\" !lo = f(xo)'

Basta tener presente que la imagen del intervalo de extremos X' y x", " otro intervalo que contiene a y' e y". De' forma imprecisa. se enuncia esta propiedad a veces, diciendo que "11'1.' fllllciún continua en un intervalo, pasa de un valor a otro tomando todos 1,,', v;lIol'l's intermedios". Ohsf'nJaóón. Esta propiedad no caracteriza las funciones contmuas en 11" IIIll'rvalo; es decir, existen funciones no continuas que la poseen. La función real de variable real definida por f(x) = sen l/x para x ~ 0, \ {(O) n, es manifiestamente discontinua en x = O. Sin embargo, la imagen dc I'II.dquíer intervalo que no contenga x'= O, es un intervalo por trotarse de UII' ""It'j,',lt continua en tal intervalo, y la imagen de cualquier intervalo que COII 1I·lIf',.1 .1'=0 es el intervalo cerrado [-1, + 1].

Una situación particular, en la que se aplica el teorema de conserv:'de la conexión para las funciones numéricas, da lugar al conocido

2/1.

e Je'JlI

¡os

241 teoremas de la continuidad

" t cero de f o resultan Reiterando el proceso, o se obtIene duectamen e u~ d' . t la . {a } y {b} monótona creciente la pnmera Y ecreclen e os suceSIOnes n " , d

legunda, con an < b. Y b n En el límite común

= [a, b]

en los extremos a y b, tiene f signos contrarios, /'xix/e al menos un ~ E [a, b] en el que es f(1;) = o. Zj

Ih'sulta de aplicar la proposición anterior, teniendo presente que el intervlllo de extremos fea) y f(b) contiene el punto O.

2. 5. El teorema de Bolzano es de utilidad en la determinación de los ceros dr una función f numérica rr-al continua; es decir, de aquellos valores x = i.; pllra los que es f(¿) = O. El método que se puede seguir es el siguiente: Se determinan dos valores x = a y X = b, para los que f tiene signos contrarios, y entre ellos existirá al menos un cero de la función. Se considera una progresión aritmética entre a y b de m + 1 términos, incluidos a y b.

a, a + h, a + 2h, ... , a Entonces, o f secutivos, que se A partir de x par de valores a2

+ mh = b, con

h

b--a = ---o m

se anula en uno de los términos, o existen dos términos condesignan por al Y b¡, en los que f tiene signos contrarios. = al Y X = b¡, i>e repite el proceso anterior, obteniéndose otro y b 2, en los que f tiene signos contrarios.

b-a

---;¡;-.

de estas dos sucesiones:

lim a n = ~

y

Um b. = ~

do entorno de ~ tiene la función f se anula, pues en to trario siendo continua en 1',

r valores

de signo con-

3. TEOREMA DE LA CONTINUIDAD UNIFORME " ' (nuas en un conjunto com•, 3 1 Este teorema se refIere a funcIOnes con 1 . . '¡'do tanto C"J ~l dominio como el recorrido de la funclOn pertepacto y es va 1 b' , T d en nece~ a la recta numérica R, o al plano complejo e, Tam len es va 1 J

°

'-

condiciones más generales. ., definirá primeramente la continuidad uniforme de una ,tunc1.On en un Ss '" t e el conjunto sea comc(Jnjunto para establecer de5pués que es su ftcten e qu 'f pacto, p~ra que la continuidad tenga la propiedad de ser Ulll orme"

Teorema de Bolzano: Si la función f : 1--+ R es continua en el in/I,,.pr¡[o 1

E

an =

32 cen

~ 'la

Sea una función f : X Y, en la que se supone que X e Y pertene~ recta numérica R. Si f es continua en un punto al € X, para cada f> -)o

> 0, tal que: ara todo x € X que cumpla ix -a,l < 61 es ¡fex ) -,f(al)\ < l. P -X e considera el mlsmo s > O existirá Si f es continua en un punto a2 E ,y s un J 2 > 0, tal que: 1< ' para todo x € X que cumpla IIX - all < <1 2 es f(x) - f(a?~, '. 'd t ue el /) de esta segunda condición correspondIente a~ puntal Es eVI enle q, d" / to del ~ de la primera condición correspondIente a a2' en genera sera lS ¡n 1

existe un

,)1

punto al' , _> O fro al aplicar la defidado Supuesta f continúa en el conjunto X'x pUu~~e aseg~r~¡' la existencia de nición de continuidad a cada punto a € , se un J > O tal que: , I< para todo x € X que cumpla Ix - al < ¡j es ¡f(x) - fea) " pero en general " dependerá del punta a. d En el caso notable en el que para ca a para todo x € X q2e cumpla Ix -

.

> O ·'xista un ~ > 0, tal que. F

,~

al < ~

es ¡t(x) - f(a)1 < "

242 Los teoremas de la continuifh, I

cualquiera que sea el punto a E X, no dependiendo el

Lo.

o del punto a, la funciúlI

E

X que cumpla Ix' - x"j < ,5, es If(x') - f(x")f <

continuidad uniforme de f en X implica la continuidad puntual de f ,odo punto x E X, pues basta hacer x' = a en la definición ante,rior. 1,;1

f'1I

proposición recíproca no es cierta como muestran los siguientes

= , __x1_.

que es Continua en todo a

€

x"l < ~

es

Determinado un entero n > O tal que ( 1 1 1 nn+)

=1~ n + 1

__l_li

.xl

XO

<~,

y haciendo

n

=

1

n(n

+ 1)

X'

= __1_n+ 1

~<.1

= (n

+ 1)-n = 1,

lo que contradice la existencia de

{(x)

=

es

E.

h2

~

=

Y si x', x"

F,

1 I

E

(1,

+.~

)

'1

y x -

x

",

<) es

',

Ix'-x"l < Ix' - x"l <8. x' x" 1

Sea la función definida en el intervalo cerrado [h, lJ, can 0< h < 1, por 1 -..\ --o x Esta función es continua uniformemente €.Jl [h, 1}.

E

U(a, .1) con x

€

r en


1'.11,1

•

X, es If(x) - f(a) I < -2-'

' d e cen t ro .a y semiamplitud o, rad iD ti. donde UCa 8) designa el entorno ab ¡erto ' ' Evidentemente para un ~ dado, al vanar e1 pu nto a € X , tambIén cambiará il. ,j) ara el que Fijo un e> O, a cada a € X le corresponde un entorno U(a,. p se cumple la condición anterior. '. d to a ( X Entonces se construye un recubrimiento de X asocIando a ca a pun "

tl)

el entorno U ( a, -2- de semiamplitud (O' radio) mitad. Por ser X compacto, basta un número finito de tales entornO's para cubrir X. Sea,n estos

Sin embargo, fa misma función definida en otros intervalos da lugar a los siguientes casos de continuidad unifOJ'me.

2.

~,

" f : X .,. Y , t- -d d uniforme: Sea una f unClOn d 1 Teorema e a con mUl a R ( a C) que es continua nr en la que tanto X {:omo Y pertenecen a o , " X el conjunto compacto X, Entonces f es uniformemente contmua (n ,

para todo x

y es

1_1 1 ~ __ o.

x"l < Ix' - x"l <

°

y x" ::':: - - , se tiene:

jx'-x"l

x"i <

-

Demostración: Sea un a E X, en vl'rtud de la continuidad de cada , > existe un o> 0, tal que:

(!, - :" ) < 1.

n

[h , 1] ~ Y IX' I

(0, 1], pues se trata de una función

La función no es continua uniformemente en (0, 1J. Sea E = 1, Y se supone existe un ,j > O fijo, tal que para todo x', x" E (0, lJ que cumpla ·Ix' -

€

.. , su f"lc~en t e para, que . una 'El fundamental es una condlclOn . fllllJ.). . teorema, niformemente cont111.ua en el. Est .• tondlci6n contmua en un conjunto, sea u . l la función está definí.LI, ción se refiere a la naturaleza del conJuntO',en e que o en el l'WIllt Adviértase s111. embargo, que com y se exige que sea compac o. . . t ue ni son e('. plO' 1, existen funciones continuas uniformemente en conJun os q . r.rados ni acotados.

r;Jl'iona] yana anula el de!lominador. qlle

> 0, se toma

7 - 7 -1

h'il'lI1plos: 1. Sea la función definida en el intervalo semíabierto (0,11 por{(.I')

f

E.

/.a

X I I X"

, =f llx; 3 Sea la función definida en la semIrrecta ab'le rta (1 , + (0) por fex) ' . . lo es unlorOll' ePi flld] comprobar que esta funcl'ó n con t'mua en (l , +~) '

1

todo par x', x"

!,ara

•

XiX"

mente. Dudo un

°

Y SI

1 1 1_ Ix' 17 - 7 -

será que

Definición: Una función f: X--+ Y, en la que tanto X como Y pertenecen a R o a C, se dice que es uniformemente continua en X, si para cada f' > existe un ,) > 0, tal que:

= h 2 E,

Dado un e> 0, se toma ~

f no sólo será continua en cada punto a E X, sino que además la continuidad uniforme en X. Entonces, si dos puntos cualesquiera de X, distan meno'. ~, los puntos correspondientes en y distarán menos que f. Esta idea de uniformidad se preci~a en la siguiente

243

teoremas de la continuidad

U( y

0= min

Si x', x"

ah

1+' €

~l),

~2

.... ,

U ( íl1,

~2), ... ,

U ( al"

~k),

~k ~

X, Y es Ix' - x "1 < 'como x' pertenece a uno de los anteriores (J,

244

Los teoremas de la continuidad

'u'( a" -2J,) , se tiene: ,

en t ornos, tI a Como x II x " -

--- 1" a, I ~ x -

x '1

+

I

x, -

.

a, I <

. + -Ji- ~ ___ -Ji- + __ /JI =

<1

2

'2

2

J,

"

En consecuencia x' y x" pertenecen al mismo V(a¡, ó¡), y en virtud de la ddinieión de estos entornos, es: I{(x') -

((a;)¡ <

+

y

If(x") -

{(a;)

¡<

y.

!f(x'} -- ((x") <

Demostración: Basta probar la primera parte. pues un 1'1 = 1.1, dOntk ) está determinado po.r la proposición anterior, verifica la condición d,' i;1 Sl" I(unda parte. , " " Si p es impar de la forma p = 4 k + 1, l' = i, ~~mpJe la condlCllln, SI l'S dI' la forma p = 4 k + 3, l' = - i cumple la condlcJOn, Si p es par, p = 2r, suponiendo cierta la proposición para todo cnll'l\l 1'''' sitivo menor que p, lo será para r, y existirá un 1"0 E e tal que jl~ = ¡, Sea un

d,' donde

4.

Los teoremas de la continuidad

E

l' E

e

tal que

El teorema de Weierstrass relativo a la existencia del mínimo de una continua definida en un compacto, se aplica a la demostración del HaIIIo1d" "Il'nrema fundamental del Álgebra": Para todo polinomio con coefiII"/I/I'S dI' e, existe por lo menos un número complejo que lo anula, lo que !.llIlhil'JI se expresa diciendo que e es un cuerpo algebraicamente cerrado. -1.1 -

11111"11111

Este teorema cuya demostración requiere recursos de Análiconsiderado como teorema básico en Álgebra, Sin embargo no es ne("'S;ll'io para el desar.rollo de esta parte de la Matemática, pues con métodos ('X('llIsiv;lmcnte algébricos se consiguen la extensión de un cuerpo a otro algelira iC;II11l'nte cerrado.

4.4.

'1,2.

Proposición: Para todo p entero y positivo, existe un

1.

f)emostración: Si p es Impar,

le

A€

e

fez) =

sea

1'" =

es l.

f1

i.

19ur/{II/I'/ill·.

C1{I

+ a¡ z + .. , + a,

1-'

zn

de grado n ? 1, con coeficientes reales O' complejos, tiene por un cero; es decir, existe un z = Zo para el que es f(zo) = o, Demostración: Se supone a" -::j::. O. Como lim f ::_00 H> jaol, existe un R tal que es If(z)l> R,

='"

(11: 75)

(o

/I/{'/IO\

t(1111.111I1"

\lit

Izl> R.

para todo

=

W¡ = .IA¡~=

], el módulo de

,¡

=_

lO

e

es 1.

4,3. Para todo p' entero y positivo, existe un /1 • AProposición: 'l l, na ogamente, existe un ft¡ tal que I'~ i.

fez) = rezo + u) =

=

= - 1 cumple la condición.

Como todo número complejo tiene al menos una raíz cuadrada, sea ), 1;11 que Al = Ao, de donde (J2)' ~ 1, o sea ,t' = - l .

Ohservación. Como

Se considera el círculo cerrado B de centro el origen y racho R L.J 11111'1"11 B, luego eXlsk \~I\ ;q' ~,I en el que la función tiene un mínimo absoluto m = 1((zo)l. Este TIllllllIHl ( , menor que R, pues en el origen O '" B es ¡fCO)! = IC1{l! < H; Y en consenWlll'l,1 m es el mínimo absoluto de ¡f(z) I en el plano complejO C. Se trata de probar que es m = O, con lo que quedará demostrado el tl'llt'l'ma. Haciendo el cambio z !:::: zo + u, se tiene:

If(z)! es continua en e, y por tanto en el compacto

tal que

, ,Si p es par, p = 2r, suponiendo cierta la proposición para todo entero po_ SI t IVO menar que p, 10 será para r, y existirá Un Ao lO
l'

= i, o

flll'

Aparte del teorema del mínimo, en la demostración se hará uso de la pro"i('dad esencial, de que todo número complejo tiene raíz cuadrada, con la cual ~l' prueban las dos proposiciones auxiliares siguientes:

/' =

Y se tendrá (/12Y

Teorema fundamental del Álgebra: Todo polinomio

(J¡',H'rl'(/l'Íón,

A" =

= 1'0.

Observación. Como Ifl P¡ = !fll" = 1, el módulo de módulo de I'¡ es 1.

1',

¡\PLTC-,\,CIÚN AL «TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA»

SIS,

,,2

E

e

tal que

Co

+

C¡

u

+ ... +

Cn

un,

=

donde Icol !f(zo)I m. Si Co # 0, y entre los coeficientes posterio,res es no nulo, se puede escribir:

¡f(zo + u)1

=

(1 ~ p :(: n) el priml'l'o

Cp

Icol \1 + ~uP + ... +...s:.... Co Co

u

n

\

~

246

Los teoremas de la continuidad

donde se ha puesto h(u)

Cp+l == -

I

n

+ ... + -C-

u

Ca

u n-

p

Razonando como en el caso anterior se llega a una contradicción con la propiedad de mínimo de m.

I

,

Tercer caso: a = O. po,r lo que será b y!= O.

Ca

que tiende a O cuando u -+ O.

Como h(u) tiende a 0, existe un

Escribiendo a + bi == 2, se distinguen los casos siguientes:

es h(u)

Ca

Primer caso: a < 0, y se escribe al = - a >0. Como h(u) tiende a O, existe un

/»

Para u real y positivo y u <

se tiene:

es h(u) < ad2.

I

11

O, que se supone <1, tal que si lul <,j

/J,

/ u' + luDI h(u} <

11 + (-al + bt) u'" +

al u'~2-

Se considera un u de la forma u = b < 0, y t real positivo. (J,

(1

Il

<

a¡+b2

1 2 '

Tomando t < t

¡f(zo

+ u)! <

jcol

~

=

II-Ibl [PI + It"12~'

y además que sea tI' <

1

--, para lo cual basta

1

C.) + lu"l h(u) < 1 -

1 + 7o-uP

I

jbl

If(zo

lb!

2

t P< 1.

+ UY < !Cnl =

m,

lo que contradice la propiedad de mínimo de m. En consecuencia, la hipótesis en 7~ O conduce a contradicción, por Ca = 0, de donde m = Ico' = o.

= m;

lld(l'l

Luego pa ra tales valores de u es

== 1.

Luego para tales valores de u es

/.,[

Ibl

2

;1

= i, si b> O, Y 1'" =

< - - resulta:

+ lu"l h(u) < (l-a] U")1/2 + u'~<

~1 UD) + u"

,u"

bl

, resulta:

< (1-

con

==

~ 2 al u' + (ti + OZ) U 2D)112 + u" ~

1+2 u./ / ~

lIt,

[1 + ~: u,.) + lu"! h(u) < 11 + (bt) u"1 + u"l I~I

Tomando u < o y además que sea u" < al al b2 ' para lo cual basta tomar 1+ al

0, que se supone < 1, tal que si 171 1' ,~

es !ul < /) y se tiene:

=

==

lJ>


Si 0< t <

+~ c.

247

Los teoremas de la continuidad

10 41H' •• ~

lo que contradice la propiedad de mínimo de m. Segundo caso; a> O.

5.

Como en el caso anterior existe un /» O, que se supone < 1, tal que si ~ es h(u) < af2. Se considera un u de la forma u = Al, con J.P = ~ 1, Y t real positivo. Si O < t <" e~ lul < lJ, Y se tiene:

lul <

/1 + ~:

p

u

/

+ Tu"l h(u) < 11 + (a + bt) u"l + luPI

= (1 - 2 at P + (ti

+ ])2) t2P)112 + t P

+.

+=

1. -

2, -

EJERCICIOS Probar que toda función real continua en un intervalo que sólo tome valorc~ 1.1 cionales ha de ser constante. Probar que si f es una función continua en un intervalo J, y XI, X" __ ., x", ~on 111 puntos cualesquiera del intervalo, existe un punto e comprendido entre el merlo' y el mayor de los puntos tal que es !(e) =

¡(x,)

+ ¡(x,) + ... + f(xm)<

-:...:-=-~.:.....:.._----

m

248

Los teoremas de la continuidad

3, -

Sea una función f : la, b]-4 [a, b] continua, probar que existe en (a, bJ al menos un punto t, para el cual es f(O == ~. Para cada una de las funciones polinómicas definidas por a) !(x) = x' - x + 5; b) ¡(x) = x' + 4x' - 2x + 2; e) !(x) = 4x' -- 5x + 1.

4, -

5, -

encontrar un número m tal que en el intervalo [m, m + 1] existe algún x para el que es f(x) = O. Probar que existe algún valor de x para el que se anula la expresión x"

6, -

Sean al> 0, a,

>

°

y al>

°

x'-llx

+

x'

+

+

3

1

y A, < A, < A,; probar que la ecuación

a, a, aJ --+--+--=0 X-Al X-A2 x-A" 7. -

tiene una raíz comprendida entre A, y Si o < S, probar que la ecuación

,1.2. Y

x'+1 x'+l --+--=0

x ---- :):

8. -

9. -

x - ,8

'

tiene por 10 menos una raíz comprendida entre , y (J.
f(x) = x,

b)

{(x) = x'

e)

f(x)

f)

((x) =

1+'

g)

{(x) =

¡0,

con x e (- 1, 1); con x E (-1, 1); el f(x) = x' con x € R; d) f(x) = x'rn con x € [0, + 'XC];

=

Ix',

para

la + 2,

para

\

+

x€(-a-l,a+l);

l

para x irracional

0,

X,

con

para x =

pa ra x racional

I

para x irracional)

irreducible) con

X

€

con

x

€

[0, 1];

(0, 1].

f(x) = sen' (cos x + v'T+7), con x € (O, al). Sea t: R -4 Runa 'lunción polinómica de grado par, con el coeficiente del término de grado máximo positivo, Probar que tiene un mínimo finito, 11, - Sea f; R --+ R una función polinómica cualquiera, Probar que existe por lo menos un X o en el que tft tiene el valor mínimo,

h)

10.

Demostrar que no existe ninguna función continua f: R ....... R que tome cx;¡cl., mente dos veces cada valor. 13, - Dar un ejemplo de una función t: R -+ R que siendo continua tome """l., mente tres veces cada valor. 14. - ¿ Cuántas funciones continuas existen que verifican (f(X»)' = x' para lod.. x! 15,-Probar que una función polinómica f: R--+R es unifonnemente conlln"., ,'11 R si, y sólo si, el grado de ! es ~ 1. 16,-Probar que la función f: R--+R definida por ((x) = senx es unifo"""'''"'IlI,' continua en R; pero la función g(x) = sen (x') no es uniformcrncnk "'11'"'".' en R, 17, - Probar que toda función continua monótona f: 1--+ R acotada, ddllllll" ,-/1 ,1 intervalo 1, es unifonnemente continua en este intervalo. 12, -

]

18, - Para cada una de las funciones definidas por f(x) con x e [1, 2], dado un

otra raíz entre A, y A"

2,1')

Los teoremas de la continuidad

€

> 0, determinar un

!)

= --o x

f(x)

=-

> 0, tal que sea

l x'

y /\.)

..

14. Funciones monótonas l. 2. 3. 4.

Monotonía global y local. Límites de las funciones monótonas. Extensión por continuidad de una función monótona. Ejercicios.

Una clase importante de funciones reales definidas en conjuntos de la recta real son las monótonas, bien sean crecientes o decrecientes. Aunque la propiedad de monotonía es esencialmente global (1.1), también se define la monotonía en un punto 0.3), comparando el valor de la función en este punto con los que toma en los puntos anteriores y posteriores de un entorno. Naturalmente que la monotonía global implica la local, pero para que se pueda pasar de la m(]notonía en cada uno de los puntos a la global del dominio, éste ha de ser conexo (1.4). Las propiedades más notables de las funciones monótonas, son las que se derivan de la existencia de límites laterales (2.1) en cada punto de acumulación del dominio, que también se comportan con monotonía respecto a los valores de la función. La caracterización de los puntos de discontinuidad de las funciones monótonas por "lagunas" en su recorrido, permite establecer (2.2) propiedades que relacionan la monotonia, la continuidad y la existencia de la función inversa. En el caso de la igualdad de los límites laterales de una función monótona. en un punto de acumulación del dominio, se puede completar la definición de la función en el punto asignándole como valor el del límite. Este principio aplicado a funciones monótonas definidas en un con;unto denso en un intervalo (3.2), permite establecer el teorema de extensión por continuidad para las funciones monótonas (3.4), de gran utilidad en la definición de funciones.

251

252 1.

Funciones monótonas

MONOTON1A GLOBAL y LOCAL La monotonía de una función se puede considerar en sentido "global"

1.1.

y en sentido "local". La monotonía global se refiere al crecimiento o decreci-

miento de la función en un conjunto dado. que generalmente es el dominio ('n ("1 que está definida. La monotonía local, o monotonía en un punto, se refiere ;11 crecimiento o decrecimiento de la función en un entorno de este punto, sin q lIe se pueda precisar a priori cuál es este entorno. Estos conceptos se precisa 11 en las siguientes definiciones. SI

Definición: Una función t : X -+ R, con X e R, es creciente en X, fiara todo par de puntos x', x" € X, tales que x' < Xlf, es {(x'):( f(x").

f.o función f es decreciente en X, si para todo par de puntos x', x" E X, t"l('s (/ue x' < x", es f(x') :;;. f(x"). S"e dice que la función f es estrictamente creciente (o decreciente) en X. si I'ara todo par de puntos x', x" E X, tales que x' < x", es f(x ' ) < t(x") (¡) f( x') > (x"».

función f creciente a decreciente (estrictamente) en X, se denO'II/onótona (estrictamente) en X.

{fila 1llÍII
253

Funciones monótonas

3. La función "parte entera de x"; [x] es monótona creciente, pero en ningún intervalo lo es en sentido estricto. 4. A partir de una función continua f : [a, b)·-)< R, se define otra funciún F: [a,b]·-;.R, "perfil de cascada de f", por la condición: F(x) = máximo de

f en el intervalo [a, x].

La función F es creciente en [a, b] y es fácil comprobar que es estríe!;l:nente creciente si, y sólo si, lo es f· 5. Un ejemplo, algo más complicado, de función monótona t en un COIIjunto X e [O, 11 es el siguiente; El conjunto X es el de los puntos de [0,1] cuyas abscisas son núnll'r[)~ J racionales representados por,

m x = - - con 2"

n = 0, 1, 2, ... , y

m

= 0,

1, 2, ... , 2";

es decir, el conjunto X es el de todas las fracciones entre O y 1 cuyo nado.r es una potencia de 2. La función f : X -+ R se define de la siguiente forma:

+ me, si O ~ m ~ 2" I + md (2" - m) a + 2n-1 e , si 2"-I.:(m< (2"_ m)a + 2"-1 e

Jel101l11

2'-1 a

2"-lb

)

donde a, b, e y d son números reales positivos tales que

b

a

2".

< d

e

Esta definición es la expresión analítica de una simple construcción: Los valores de la función en los puntos O y 1, son f(O) =

a

bY f(l)

y supuf?stos conocidos los valores de la función en dos puntos

o

a

x

o

a

b

Gráfica cartesiana de la función f estrictamente creciente en [a, b]

E;emplos: 1. Las funciones f(x) = x, Xl, ___ , x', __ ., para x:;;' O, son estrictamente crecientes en el semiej~ real positivo.

2. La función f(x) = Gv + a[ x + ... creciente en el semieje real positivo.

+ an x",

con ai:;;' O, i

= O,

y

X¡

(1

dI' X:

x se define

Gráfica cartesiana de la función f creciente en [a, bJ

XI

t:

= -

1, ... , n.. es

f(

Xl

+ Xz 2

)

= al b¡

+ 'h . + b¡

La función obtenida es estrictamente creciente en virtud de la propie(l;¡d conocida de que si se suman términ'o a término dos fracciones ("mediaci(lO" de fracciones) de términos positivos, la que se obtiene está comprendida entre ambas.

254

Funciones monótonas

4

T13 I 5

14 9 5 , - f -T 18 l H - 211 13 1 6 _ 18 1 1 7T- T191 I 1 T- 1 11 1 1 1 I 1 14 1 1 1 I 1 1 1 1 1 I 1 1 -1

3

x

(1

(;,-tJ{in.l

I ,,'.

1

1

1

I

1

1

1

1

I

1

1

1

1

1

I

1

1

1

1

1

2

3

4

6

7

1

1

1

1

1

1

I

O 1 0=- 2' 2'

1

1

1

5

1

I 1

I 1

1

x

-=1

Proposición: Una {unción f: X -+ R, con X e R, monótona es in-

nl'/I/O.I!

E

X, ,resulta (x')

t es

:< (x"). Pero por ser inyectiva

Cuando se excluyan los signos de igualdad, la función

Definición: Una función t : X -l> R, con X e R, es creciente en un !,lInto a € X de acumulación de X, cuando existe un entorno U(a) tal (IIIC para todo x € U(a) n X es: si

a < x.

La función f es decrecienf?! en el punto a, cuando existe un entorno Uea) tal que para todo x E Vea) n X es: {(x) ;:? ((a)

si

x

< a,

y

f(a)? f(x)

f es estrictamente

Ejemplos: 1. Todas las funciones crecientes o decrecientes globalmente en

2. La función definida en R por f(x) =

.

si

a < x.

2

1

x sen -x-

1

O

SI

si

x = 0,

es creciente en el origen pero no lo es estrictamente, pues se anula IIlfillld.ld /

I

Vi'

: : /i 1

V

I

1

I

I : I

I I I

1

I I

I 1

B

4

I

tinll;u:i¡'m.

fea} ~ f(x)

+ ~) n X.

X, lo son localmente en cada uno de los puntos de X de acumulación. La inversa no es cierta como se reconoce fácilmente en el caso en que X esté

Las definiciones correspondientes a la monotonía local se dan a con-

y

[a, a

f(x'):;;I::- f(x"),

< f(x"). se razona si f es monótona decreciente. Proposición: Si f : X -)o Y, con X, Yc R e Y = f(X), es una función cre('¡"IIII' estrictamente, existe la función inversa (-1 : Y -lo X que es creciente esI rlt'l 111111'nte. Lo mismo se puede afirmar para las funciones decrecientes estrictamente. I >e 111 os I ración: Según la propiedad anterior t : X ----). Y es biyeetiva, lo que implica la existencia de (-1, Además si f(x') < ((x"), no puede ser x' ;:? x" por St'!' f estrictamente creciente, luego ha de ser x' < x".

si x < a,

X' E

creciente o decreciente en a.

1)',lIdIIllcntc

f(x) ~f(a)

Ca -~, a] n X, y fea) ~ ((x) si

decreciente en el punto a, cuando existe un o> O tal que:

IlIq',ll (er')

1.3.

E

formado por dos segmentos disjuntos.

ración: Sea f monótona e inyectiva. Si ( es monótona creciente, de

.r" con x', x"

x

((x);:?f(a) si xE(a-.l,a]nX, y f(a);:?f(x) si xE[a,a+~)nX.

1

8

fea) si

La {unción

1

'¡", 111'11 si, y sólo si, es estrictamente monótona. .1'.

Como cada entorno U(a) contiene un intervalo abierto (a - IJ, a + D) las definiciones dadas son equivalentes a las siguientes: Una función {: X -)o R, con X e R, es creciente en un punto a €O X de acumulación de X, cuando existe un (¡ > O, tal que:

1

2' 2' 2' 2' 2' 2' 2' Puntos de la gráfica de la función f obtenida por "mediaciones" sucesivas

de la función F "perfil d" cascada" de t

Cuando se excluyen los signos de igualdad la función f es estrictamente creciente o decreciente en a.

f(x) ~

1 I 1

255

Funciones monótonas

I

¡I ----..---.r.,..,.c=..t"'''''-'LI-~--

- ..

x

O

2

Gráfica de la función f definida en ~ 1 1 1 I X = (0, 1)- (-8-' -4-' -2-\ creciente estrictamente- en cada punto.

Grafica en el entorno de O de la función 1 (x) = :x sen' - - o x creciente en el punto O.

256

Funciones monótonas

de veces en cualquier entorno del mismo. Además, en cualquier intervalo que contenga el origen la función no es creciente ni decreciente. En todo ento.rno del origen la función presenta infinidad de "ondas".

1.4. Cuando la función f está definida en un intervalo, la siguiente proposición establece una relación entre la monotonía global en el intervalo y la monotonía local en los puntos del mismo. Proposición: Si la función f : 1 -+ R es creciente en cada uno de los puntos del intervalo 1, la función es creciente en el intervalo. Demostración: Si x' < x" son dos puntos cualesquiera de 1, se prueba que es f(x') ~ f(x) para todo x € [x', x"], de donde resulta en particular f(x')~ f(x"). Sea A el conjunto de los puntos Xl € [x', x"] tales que, pa.ra todos los puntos x del intervalo [x', x¡J es f(x') ~ f(x}; es decir,

A =

Como x'

E

A

{Xl :

f(x) ~ f(x), x

€

[x',

Xl]}.

es A;;t:
= sup A,

es

x'~a~x".

Se prueba que a € A. Si x' = a es evidente, por lo que se supondrá x' < a. Al ser f localmente creciente en a. en virtud de la definición, existe un .1 > O tal que, para todo x € (a -s, a] es f(x) fea). Como x' < a se puede suponer (a - 0, a] e [x', xUJ. En (a -.1, a] existe algún X¡ € A, luego f(x') ~ f(x l ) fCa). Por otra parte, si x es un punto cualquiera del intervalo [x', a], existe algún x¡ E A tal que x ~ XI:::;:; a, por lo que es f(x') ~ ((x) según la definición de A.

<

<

Finalmente se demuestra que es a = x". Si fuera a < x", en virtud de la definición, existi.ría un J> O tal que, para todo x E [a, a + b) sería fea) ~ f(x). Como a < x" se supone [a, a + ~) e [x', x"]' Pero por ser a = sup A, existiría en [a, a + el) algún X2 f: A, por lo que para algún x 10 [a, X2J sería f(x) < f(a); lo que contradice a la anterior desigualdad. A partir de la proposición anterior se obtiene otra equivalente para las funciones decrecientes. También es cierta la proposición para funciones crecientes (o decrecientes) en sentido estricto. En este caso se enuncia de la siguiente forma:

Funciones monótonas

2.

UMITES DE LAS FUNCIONES MONÓTONAS

ER como en (11; 4.1 l, 2.1. Dados un conjunto X e R y un pun t o a , designa por X, y X,¡ los subconjuntos de X: Xi = (_
formados por los puntos de X situados a la izqUler a

a. respectivamente.

Si 1. no fuera creciente estrictamente, para dos puntos x', x" € l, sería f(x') = f(x"), por lo cual 1(x) = {(x') para todo x € [x', x"], es decir, f sería constante en [x', x"]; y en cualquier punto de este intervalo la función f no sería creciente en sentido estricto.

.

1'"1\1<1

'

.l\. e R, un función 'creaenfe err Xn P . 'ó . Sea f: X -+ R , c o ropOSlCl n. ., . 1 l'mite de f por la i:C{lw'nJ.1 d,- ,l.

Si a es de acumulacwn de Xi' eXlSte e

l

y es:

ara todo XIEX¡ Y X2€X d u{a} (si Xdu{a};;t:cp), P . 1 'te de Si a es de acumulación de X d , extst(! e zml

r

f

por la derccJ/ll eJ.'

,1,

y es:

para todo x¡€X,u{a} y X¡€Xd (si X¡u{a}#4». y si Si a es de acumulación de X. y X,¡, es fea -) fCa +);

<

<

¡¡dl'lI/!i-, 11'

X,

es fea -) fea) ~ fea +). análogos cambiando (.( ~>('lIt¡d" Cuando f es decreciente, los resultados son de las desigualdades.

fra

~:

+lt----------------r\

fea]

l(a-1

_______________ ""1I

I

II I

I

I

I

: I

1 1

I I

I

I

I

I

I

I

:

X a

: I I I I I

-------------7: 1 I

I I I

I

I

o

I I

I

~

Si la función f : l -+ R es creciente estrictamenete en cada uno de los puntos del intervalo 1, la (unción es creciente estrictamente en el intervalo.

Y a la derecha del

St'

I I

I I I

I ...J

J

Xa

... x

d Demostración: Si a es de acumulación de X. y X U { a} =F 4>, X E Xi Y cada X2 € X d U {a} es ~ !(Xl), para todo l. = sup {f(x) : x E X¡} ~f(X2);

como

{(.I)

258 Funciones monótonas

y la IIprimera parte de la proposición quedará demostrada comprobando la igualdad = fCa -).

Por la definición de Supremo, para cada t: > O existe algún fex') con x' E Xi tal que II - " < f(;x:') [1' Designando por b = a _ x', por ser f creciente, para todo x E Xi que cumpla O < a-x < J es II _ e < f(x) ~ 1 , luego 1 1 es el límite por la izquierda de f el punto a. 1

~

Análogamente se demuestra la segunda parte de la proposición, comprobando la igualdad 12 ,= inf {f(x) : x E X d } = fCa +).

2')')

Funciones monótonas

R una función monótona en el intervalo l. hn~ Proposición: Sea f.: 1 . - , . 'do t(l) de la función es [al11/11<'1I tonces, f es continua sz, y solo SI, el recorn

un intervalo. Demostración: Si

. d d de conservación dt' 1.1 en 1, la prople a ., f(l) es un mtervalo. coneXlOn asegura que ." " e n conSl'C\ll'lI ' Reclprocamente, SI. t(l) es un intervalod no ¡ tIene lagunas, y , . :ia f no es dlscontmua en nl'ngu'n punto e .

La tercera parte de la Proposición es simple consecuencia de las dos anteriores.

f es

contin~a

. - estrictamente crecú'/II¡' '6 S a f . 1 -+ Runa f unC20n .. lo Proposicl e .en el lnterva . l l Entonces existe la [UIIC/illI 1/1 . ) n:ontz'nua o . ( ( ., decreCIente y e '. t . tamente creciente ,,( ('0< versa - I .• t(l) -> R que es zgualmente es TIC

De la proposición anterior, en el caso de igualdad de los límites laterales, resulta:

f

ciente) y continua.

Proposición: Sea f: X -+ R, una función creciente (o decreciente) en Xc: R, y a E X de acumulación de Xi y de X". La función es continua en a si, y sólo si, es nulo el salta de la función en a; es decir, tCa + } _ fea _) = O. Demostración: Como a

> f(a + }), y si el salto de con el ordinario y Con fCa).

E X, es fCa -) ~ fea) ~ tea +) (o f(a-) ~ fea) ~ f en a es nulo, los dos límites laterales coinciden

En el caso de desigualdad de los límites, será fea -) < fea +) (o fea _) > y un número cualquiera b comprendido entre ellos, o coincide COn f(a) , o no existe ningún x E X para el que sea f(x) = b. Este resultado se puede expresar como propiedad del recorrido de la función f:

> fea

+»

Proposición: Sea f : X ~ k, una función monótona en Xc: R. El recorrido y f(X) de la función preS(!nta una "laguna" en cada punto a E X de discontinuidad el.e la función:

=

Si el punto a es de acumulación de Xi y de X a, y en él f es discontinua, el intervalo abierto de extremos fea -) y fCa +) no contiene ningún valor de la función f, salvo el fCa} a lo Sumo.

Una consecuencia importante de la propiedad anterior es la siguiente

Proposición: Sea f: X ---+ R, una función monótona en Xc: R. El conjunto de sus puntos de discontinuidad es numerable. Demostración: A cada pUnto de discontinuidad le corresponde una laguna en R, y dos de estas lagunas no tienen puntos interiores comunes. Como todo sistema de intervalos si\.puntos interiores comunes en R es numerable, también lo será el de los correspondientes puntos de discontinuidad, 2.2. En el caso de funciones monótonas definidas en un intervalo 1 e R, pueden precisarse los resultados anteriores.

' (12) . es t(l) un intervalo, S egun . l'xl',I,' 1.1 . t Aplicando la prnp"',H1tlll Demostración: Por ser f con~mua t ctamente creclen e. fU) yo recorrido es 1, resulta b ('llllll función inversa f-! que es ~s, n anterior a la función f-I, defImda en ,cu nuidad de f-1,

3.

EXTENSIÓN POR CONTINUIDAD DE UNA F UNCIÓN MONOTON¡\ .

3 dad a:'en

L(;~,

. - extensión y funci(íll definiciones generales de funclOn 48) se resumen en la siguiente:

,..·.\/1"/(1" ,,,

,

. e f'X-+ y yg.. X 2 ,-+ Y, tales ll/le X, r XJ Definición: Dadas dos funClon s . ! e dice que la (liIrc;,íll ~: ,', ' - () ara todo x € Xl; entonces s y ademas ((x) - g x P stricción de la g a XI' extensión de la faX2 y que f es re , d d 1 números natura!l's .ó {2} de los cuadra os e os ., ¡ Ejemplos: 1. La suceSl n .n. _ N es la restricción de la funCIOI1 .1' función cuyo domlmo es XI , que es un~ . X _ R al conjunto N. ., ! ! cuyo dommlo es 2 , 'o {n} la restriccJOn (l' .1 . , geometnca a es 2. Análogamente, la progreslOn función d" al conjunto N. . , f'. R -jo R definida por 3. La restricción de la f unClOn -.

f(x) =

~~

al conjunto R +, es la función g: R+ x>O.

si si ~

x~O

x~O

R definida por g(x) = O para ("d,

Funciones monótonas

260

En este apartado se consideran exclusivamente funciones .reales definidas en conjuntos de R, pues los problemas de extensión que se estudian se refieren a funciones monótonas. El fijar las restricciones de una función a subconjuntos de su dominio, tiene un interés relativo. Mucho más interesante es determinar las extensiones de la función al ampliar su dominio, cuando se exige que las extensiones tengan propiedades determinadas. Un caso importante es el de extensión de funciones monótonas, cuando el dominio de la función que se extiende es denso en un intervalo, y se exige la conservación de la monotonía. Según (12; 5.5), un conjunto X contenido en un intervalo 1 e R, es denso en 1, si todo punto de 1 es de acumulación de X.

Ejemplos: 1. En un intervalo 1 = (a, b) el conjunto de los puntos racionales del mismo es denso en l. El conjunto Q de todos los números racionales es denso en R. 2. En el intervalo 1 = [a, b], el conjunto de todos los puntos obtenidos por bipartición sucesiva; es decir, el conjunto de todos los racionales que se pueden representar por fracciones cuyo denominador es una potencia de 2, es denso en l.,

3. El conjunto de todos los racionales que se pueden representar por f.racciones cuyo denominador es una potencia de un número natural k es denso en R. Tales números admiten una representación finita entera o "decimal", en eI sistema de numeración de base k. 3.2. La proposición siguiente determina condiciones en las que extender una función monótona definida en un conjunto denso en un Este principio elemental de extensión por continuidad es muy útil en ción de las funciones elementales: lineal, exponencial, logarítmica y

se puede intervalo. la definipotencial.

Teorema: Sea una función monótona f : X ~ R, en la que X es un conjunto denso en un intervalo l. Si en todo punto interior de' 1 coinciden los límites laterales de f, existe una función g : 1 ,-¡. R, monótona en 1 y continua en el interior de 1, que es extensión de f a l. Esta extensión, es la única que cumple dichas condiciones de monotonía y continuidad.

Demostración: Se define la función g : 1 -+ R, de la siguiente' fo.rma:

"

g(a) = lim f, para todo a interior de l.

Se completa esta definición de g cuando a es un extremo de 1 que pertenece a X, poniendo g(a) = fea).

2(>1

Funciones monótonas

Como en virtud de la igualdad de los límites laterales, existe el límite oH.Iinario para todo a interior de 1, la función, g está bien definida en l. Aden~;¡s, por las propiedades de las funciones monotonas para a € X, no extremo d( /, es fea _) = fea) = fea +), luego g(a) = fea) para todo a €O X. Para probar la monotonía de g en 1, se supondrá que f es creciente CI1 X (el razonamiento es análogo si f es decreciente). Sean x' < x" son dos plll1t"·. cualesquiera de 1, como X es denso en 1 se pueden tomar d < a" deX Ld,". que x' < a' < d' < x". Si x' y x" no son extremos de 1, por las propll'd.ldc; dI' los límites de las funciones crecientes, es: g(x')

= lim f(x) < f(eI) :( ¡(el') ~ Ii~ f(x)

Si x' es extremo de 1, es x'

= ((x").

x---+.r

x---+x'

€

X, Y evidentemente g(x')

= !(x'}·

(d'). ('''' .. 1

análoga ocurre si x" es extremo de l. Como g es una función monótona, la continuidad de g en un r U111 () ,/ 111 terior de 1, equivale a la igualdad g(a~) = g(a +). Por la monotonía de g existe el límite en a por la izquierda, luego !;111t!,I<'1I existirá el límite en a por la izquierda de la restricción de g a X. Es!;) 1'1".1111 ción coincide con f, luego g(a~) = fea ~). Igualmente se prueb~ g(a ,) /('1 I 1. Y como por hipótesis es f (a~) = f (a +), resulta g(a .~) = glal l. La unicidad de g es consecuencia de la proposición (12: 5.6).

Observación: Si en la hipótesis del teorema, se supone f, esrrichlll/"II(" "/,' nótona en X, la extensión g también es estrictmnente monotona. En la demostración, al ser f(d) < [(el'), resulta g{x') < g(x"). oporclOn anterior se puede sustituir la condici(Jll de i.gualdad 3 E n 1a pr 3.. 1 d I t I I de los' límites laterales de f en cada punto a interior de 1, por a en Sil al ((. recorrido de la función. Proposición: Sea f : X -;.> R una función monótona, cuy~ dominio X el es denso en el intervalo 1 e R, y cuyo recorrido (H) e H es ¡gualmenfedl'lLIO en el intervalo H e R. Entonces f admite una extensión g : 1·->0 H ~~e es 1111 ,nótona y continua en ,. Además g es la única que cumple estas condlClOne:).

Demostración: Si a es un punto interior de 1 y fuera tCa -) ~ [Ca + l, f( X) presentaría una laguna. Lo mismo ocurriría si en un extremo de 1 rlln.1 f(a) T tCa +), o bien fea -) # fCa). Evidentemente {(X) no es denso t?n ,¡ SI presenta lagunas. E;emplo. Se define una función f : X'-+ R creciente en el. conjunto X e lO . '1, complementario del de Cantor (5; 5.3), mediante la sigUIente construtTIOII

262

Funciones monótonas

2(,1

Funciones monótonas

En los extremos del intervalo [0,1} es (eO) = O Y ((l) = 1. Se divide el intervalo [O, 1] en tres partes iguales, y para x e [1/3, 2/31 se hace ((x) = 1/2. que es la semisuma de los valores de f en los extremos del intervalo total. En los intervalos [O, 1/3] Y [2/3, lJ se repite la construcción anterior, y resulta f(x) = 1/4 para x € [1/3 2, 2f32] Y (x) = 3/4 para x € [7/3 2, 8/3 2]. Este métodO' constructivo se repite sucesivamente.

donde las cifras de la sucesión son O ó 2, el valor de g en este punto es

Se puede dar explícitamente el valor de ( en cada uno de los puntos de X, a partir de su representación "decimal" en el sistema de base l. Los puntos de X son aquellos que admiten al menos una representación finita o infinita en la que aparece la cifra l. Si el 1 aparece por primera vez en el lugar n-ésimo:

La restricción de g al conjunto de Cantor [0, 1] - X, es c~tTid;¡IlWIlIt' creciente, y su recorrido es el complementario de {(X) en [O, 1], quc' ('S d,'II'." en [O. lJ. La función inversa de esta restricción existe, y su recorrido 111'11" infinidad de lagunas que forman un conjunto denso en [O, 11,

el valor de

f

en este punto es:

2'

2"-1

2

--------------~

I I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I I ] I I I I I I I

1

2

7

8

3

3

3'

3'

, -~

I

! I I

I

I I I

2

O 3'

3'

-

• 1

I I I I I I I I I I I I I

+-

b2 23

b"_l 2n

+ ... + -

+ ...

EJERCICIOS

l.-Probar que toda función polinómica ((x) = a, + alx + a2x' + ... + (/" ..-".11" 11111.., tal que todas sus raíces tienen su parte real negativa, es monótona L'.'. 1.1 ",'1111 rrecta positiva. 2. - Probar que la suma de funciones monótonas en el mismo sentido. e~ 111\111,,1,,11.1 Probar que la condición necesaria y suficiente para que sea creciente ti dd'·«·II' ,.. de dos funciones f y g monótonas crecientes en el mismo X e R. es qUl""·,1

r------------------l

2

22

b n _ 1 ) +_. 1 ... +_ n

bl 22

La función g no es estrictamente creciente en ningún intervalo pan'j;d dt' [O, 1], por lo que no tiene función inversa en ningún subintervalü de [O, 11·

4.

t ( x ) =1 - (b¡ - + -b2+ 2 2 22

1 3

g(x) = -

(x') -

f(x")

g(x') -

g(x")

~~~~~>l

I I I I I I I I I I I I I I

para todo par x', x" € X que no anule al denominador. Probar que una función continua, monótona y acotada f : 1-+ R. en la qll\" I '''. un intervalo, una semirrecta o la recta R, es uniformemente continua. 4. - Probar que si 1 es un intervalo, y la función monótona continu~ I > H 11(1 1'.'. uniformemente continua en l, no está acotada en 1; pero no es cien .. 1« 1\'.-1 proca. 5. - Probar que si la función f ; [a, b]-+ R es continua, y carece de máximo., .y 1111 nimos locales en (a, b), es monótona en [a, b]. 6. - Sea la función creciente (; la, b]-+ R, Y n puntos cualesquiera del Inll'IV;do [a, b] tales como a < Xl < X2 < ... < Xn < b. Probar que es 3. -

r:

n

x

¿:

[f(xi

+) -

(Xi -)]

:s;; f(b -

1-

fea

+ l.

7.-Sea {an} una sucesión de puntos situados en el intervalo (a,b). y sea:::: '"

Como el conjunto X es denso en el intervalo [0, l}, Y el f(X) es igualmente denso en el mismo intervalo, existe una función g: [0,1] -+ [O, 1J extensión conti~ua de la dada. " Se puede dar explícitamente el valor de g en cada uno de los puntos del conjunto de Cantor. Si x admite una representación "decimal" de la forma:·

IlI,.!

serie convergente de términos positivos. Se designa por L(x} el conjunto d .. ," meros naturales siguiente: L(x) = {n e N : y se define la función

Xn

<

x},

f : (a, b) -4- R, por la siguiente condición f(x)

= ¿: r.EL(x)

ano

264

Funciones monótonas

Probar que f es monótona, y determinar sus puntos de discontinuidad. Probar que el intervalo abierto (a, bl' es homeomorfo a R; que el intervalo el' rrado [a, b] es homeomorfo a R, y finalmente, que R no es homeomorfo a R. - Dar un ejemplo de función f: [O, 1]--+ R que sea estrictamente monótona en [0,1] Y tal que f-I no sea continua en f([O,I]). (Aplicar ejercicio 7,) -- Dar un ejemplo de función f: S -+ R con S e [O, IJ, que sea estrictamente creciente y continua en S. tal que f-I no sea continua en f~S). Sean las funciones continuas crecientes f: [a, bl-+ R Y g: [e, dl --+ R, Con [r. dl = {([a, bJ). Probar que la función compuesta g o f es creciente en [a, bJ y lo es estrictamente si, y sólo si, lo son las dos funciones t y g. Sea la función creciente f : [a, bl--+ R, continua en el intervalo [a, b] salvo en un punto Xo interior. Construir una función continua y creciente g : [c. d] -+ R. con r = f(al' y d = f(b), tal que la compuesta g o f sea continua en [a, bl. Sea un abierto A e [a, b], construir una función continua creciente y acotada f : [a, b] -)- R, que sea constante en cada uno de los intervalos abiertos que componen A.

8. 9. 10. I l.

12.

Il.

15. Funciones elementales 1.

Funciones elementales.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Funciones lineales. La función cuadrática y su inversa. Otras potencias de exponente fraccionario. Funciones exponenciales. Funciones logarítmicas. Funciones potenciales. Ejercicios.

Las funciones reales de variable real, llamadas funciones elementales, cst;í n "S. n' chamente vinculadas a las propiedades básicas del conjunto R de los número,; n'" h",. Estas funciones son las lineales, exponenciales, logarítmicas y potenciales, y se P/'(''''1I1.1I1 de manera natural al estudiar los isomorfismos continuos en los grupos aditivo .v '"111 tiplicativo de R. El conjunto R de los números reales tiene estructura de gru]lo conmul,ltivo 111, l ' respecto de la adición; y el conjunto R+ de los números reales positivos tí .. n.. '''.1,," tura de grupo conmutativo {R+, .} respecto de la multiplicación. Las (U11C""'.", /",,,,",,, son los automorfismos continuos definidos en {R, +}; las exponencial,,", .\"(/11 /,,' ' " ' rnorfisrnos continuos entre {R, +} y {R+, '}, y las logarítmicas sus im'asa.,; y hll.,1 mente las funciones potenciales son los automorfismos continuos en {R, ,} (1 ¡. Este capítulo se ocupa de la existencia de estas funciones y de su unicidad ""a vez fijado un par de valores correspondientes, así como del estudio de sus propil'dad,'" fundamentales. La dificultad de este tema se encuentra en la introducción de la función exponl'ncial o de su inversa la logarítmica, siendo distintas las vías que pueden seguirse. Es "tI,·cuado y relativamente rápido' el uso de las series de potencias para el estudio de ];os funciones exponenciales, y el de integrales para el de las funciones logarítmicas. Sin embargo estos métodos dejan en parte oculto el aspecto algébrico del problema. Esta e;, la razón por lo que se ha preferido un método directo, aunque ;Jlgo ]abori()~,). ,'n la construcción de estas funciones (5). Por otra parte el esquema del método es muy simple. En el caso de una funciÓn exponencial, es decir, de un isomorfismo entre {R, +} y {R+, .} al fijar un par ((J. f¡) de valores correspondientes, queda detenninada la infinidad de pares de valores co rrespondientes (ma, b m ) (*) para todo m E Z. Pero, para continuar la construcción dl' la función, se ha de arbitrar un procedimiento que permita halIar otros ]lares de v:,

(*) La correspondencia entre una progresión aritmética y una geométrica de los autores clásicos.

265

266

Funciones elementares

lores que se correspondan en el mismo isomorfismo. El par más sencillo es que también se escribe

(+,

b

~) ;

(T' .¡ti)

y es notable que la existencia y unicidad de la

raíz cuadrada en R+, permite, por reiteración, obtener todos los pares de valores co-

rrespondientes de la forma ( :

a,

bT,;- )

para todos los m

E

Z y n

E

N, en el mismo

isomorfismo. Como el conjunto de puntos de la forma

m 2" a, para todos los m

E

Z y n

€

N es

denso en R, el principio de extensión por continuidad que en este caso es también extensión por monotonía, permite completar la definición del isomorfismo a todo R. En el esquema anterior para la construcción de la función exponencial, interviene, de manera decisiva, la existencia de la función cuadrática y de su inversa (3), así como la de las raíces cuadradas reiteradas, que dan lugar a potencias de exponente fraccionario (4) de denominador 2 n• El estudio de estas cuestiones tiene carácter instrumental.

267

Funciones elementales 1.

FUNCIONES ELEMENTALES

El conjunto R de los números reales tiene estructura de gmpo mllllIJl!" tivo respecto de la adición, y el conjunto R t de los números reales PO"I f IV!!', tiene estructura de grupo conmutativo respecto de la m ultiplicacir)n , 1,(1.\ 11111 funciones elementales son todos los posibles isomorfismos continuos cllln' t/lll bos grupos, Designando por {R, +} el grupo conmutativo respecto de la ¡ldl{IPIl, por {R+, .} el grupo conmutativo respecto de la multiplicación, Sl' f Il'llt' "11 particular:

Definición: Una función lineal es un isomorfismo con tin /lO mIl,' el grupo aditivo {,R, +}, y el mismo grupo; es decir, un (flll ()/llor(I\lII" continuo en {R, +}. Una función exponencial es un isomorfismo continuo enll'(' ('{ ,,:r11I'" aditivo {R, +}, y el multiplicativo {R Una función logarítmica, es un isomorfismo continuo ('n/re e{ .I:ml'" multiplicativo {R +, .} y el aditivo {R, +}. Una función potencial es un isomorfismo continuo en/re el !'rtfl'" multiplicativo {R+, .} yel mismo grupo: es decir, un 1fIIJp///(I/"/IIIII,' continuo en {R+, .} (*).

Es evidente que para la introducción de las funciones lineales (2) no son nececesarios los métodos de extensión por continuidad, pero se han empleado por servir de modelo para el estudio de las otras funciones. El estudio de las funciones potenciales, o automorfismos en {R~, '}, se reduce a la composición de funciones logarítmicas con exponenciales. Todo automorfismo en {R ~, .} se puede expresar como producto de un isomorfismo de {R', .} sobre fR, +}, que es una función logarítmica, por un isomorfismo de {R. +} sobre (R +, ' } , que' es una función exponencial (7).

T • • }.

La existencia y determinación de estos isomorfismos es objdo dl' "", guientes apartados.

2.

',1

FUNCIONES LINEALES

2.1. Escribiendo los isomorfismos entre el grupo {R, +} y el con notación funcional, se tiene:

Definición: Una función lineal es una función continua y f: R--+ R, tal que es: f(x'

+x

H )

= f(x')

+ f(x")

para todo par

x', x"

€

1l11~11I(l.

no nll{"

R.

Evidentemente la función constante f(x) = 0, para todo x € R, c~ cun (1nua y verifica la ecuación funcional anterior, pero queda excluida en l:t d"'lnición. (*) Obsérvese, que de acuerdo con esta definición, las funciones elemenlul,,\ continuas.

""1

Funciones elementales

268

t es

Proposición: Si

una función lineal. verifica las propiedades siguientes:

269

Funciones elementales

Existencia. Para asegurar la existencia de una función lineal la función auxiliar fo: X ,-'>- R, poniendo:

o.

a)

feO) =

b)

el

f(- x) = - {(x), para todo x € R. f(mx) = m ((x), para todo m e N y todo x

ti)

f ( ; )=

+

{(x), para todo x

E

€

m ) =~b f o ( 7
R.

que para los valores del conjunto X verifica la ecuación funcional fundamental, pues para cada par x', x' € X:

R.

!)"!llOstración: Todas estas propiedades son consecuencia de la ecuación {(x' + x") = t(x') + f(x"), en la que haciendo x' = O se obtiene /W) 0, y en consecuenCIa

m'

x'=--a

1lllIciol1;¡1

O = {(x-x)

= t(x) + fe-x),

o sea !(--x)

f(X)=2 f

= x" =

(+),

m"

-= - - a

x"

2""

se tiene

x'

+ x"=

m' 2n " + m" 2'" a, 2n '+R"

de donde

+ x + ." + x) =

Jlinalmente haciendo x'

y

2"'

= -f(x).

l)c Lt misma ecuación resulta

(Cmx) = {(x

t, se define

f(x)

+ {(x) + ." + t(x) =

mf(x).

~ , se obtiene 01

sea

+ x") =

m' 2""

+ " 2'"

2"' +n'r:z

b

= f(x') + t(x").

En particular resulta la monotonía de fo' Como el conjunto

(+) =+f(X).

f

fo (x'

y Teorema: Existe una función lineal f, y una sola, en la que a //11 (/ / O le corresponde un b -::/= (J) con a, b € R. b Esta función, estrictamente monótona, es de la forma t(x) = - - x, a I'"ra lado x € R.

= ~ y Iy = ~

b, m

E

Z, n

€

N

~

2.2.

{}¡tlllostración: Unicidad. Si existe 'Una función lineal IIplicando reiteradamente la propiedaui d), ha de ser

1 b = 7' ( a) = 7
f 7<

t, en la que

para todo

nE

es fea) = b,

N,

es denso en R, aplicando la propiedad de extensión por continuidad (14; 3.3) a la función monótona fo, resulta la existencia de una función f: R >-+ R estrictamente monótona y continua, cuya restricción a X es fo. Por otra parte, si x', x" E R, como X es denso en R, considerando dos sucesiones {x:} y {x~} de elementos de X, distintos de x y x" respectivamente, que tiendan a x' y a x", se tiene

y pasando al límite para n -+ oc, resulta [(x'

.Y I'n virtud de las propiedades b) y c),

t ( ;,

a) = ;n

b,

pa.ra todo

n

€

N y todo

m Z.

Manifiestamente es denso en R el conjunto \'

X=

Como la función f(x) =

€

+ x") =

_b~x, a

f(x')

+ f(x") .

verifica la ecuación funcional fundamental

y manifiestamente es continua, para todo x la única función lineal que verifica b = fea}.

E

R, en virtud de la unicidad, es

ix I x = ~" a, m € Z, n € N ~

Si existieran dos funciones lineales que cumplieran la condición fea) = b, lomarían los mismos valores en los ]puntos del conjunto X, y como son conI í nuas coincidirían (12; 5.6). Queda, pues, probada la unicidad.

3.

LA FUNCIÓN CUADRATICA y SU INVERSA 3.1.

Para probar la existencia de la función exponencial y para su cons-

27Q.

Funciones elementales

trucción se hace uso de las propiedades de la función cuadrática h: R I definida por h(x) = x . x = X2 para todo x E R+.

->

R

x

€

~

I

(xt)" = x

;:r ·~o-j

para x> 1, es lim x2 =

+ oo.

En virtud de (14; 2.2) el recorrido de la fun-

l'i,'lO h es R+. Consecuencia de la continuidad de h y de su crecimiento estricto es la l'xistencia de la función inversa (l4; 2.2).

Proposición: Existe la función inversa de la cuadrática h. Esta función úll'ersa h- I tiene por dominio R+ y su recorrido es igualmente R+. La func¡,in inversa de la cuadrática que se denomina "raíz cuadrada", es continua !I l'strictamente creciente.

y

(x2)1 = x.

Esta segunda igualdad equivale a la propiedad de uso frecuente:

("Y)

Demostración: h es continua como producto de funciones continuas, y est rictamente creciente en virtud de la propiedad de estabilidad del producto de números reales positivos. De esta misma propiedad resulta que O < x < I implica 0< X2 <1, y x> 1 implica x 2 > l. Finalmente como X2 < x, para O< x < 1, es lim X2 = O; Y como X2 > x,

De la existencia de la función cuadrática y de su inversa para todo R + U {O}, resulta,

Proposición: Para todo x ;?: O, es

Proposición: La función cuadrática h es continua y estrictamente crecienle en R+; si O < X < 1 es 0< h(x) < 1, Y si x> 1 es h(x) > 1. Además. Iim h = + oc, y el recorrido de h coincide con R+. l'

27\

Funciones elementales

Proposición: Sean x;::

°

e y::::;' O, si X2 = y2 es x = y.

3.2. Una propiedad simple. consecuencia de la monotonía de las funciones cuadráticas y su inversa es la siguiente

Proposición: Si A es un conjunto de números reales positivos. cuyo 1iItimo es a, y B es el conjunto de los números reales .x! con x E A, Y 11 Sli ínfimo, se tiene Ji = 117.

Demostración: Como para todo x € A es /1";;;: x! o sea (1 2 ~ x, se tiene 82 ,,;;;: a O sea fJ";;;: ato Si fuera ,8 < al, existiría un Xl € A tal que ji";;;: < a1, de donde XI < (l; lo que es imposible.

xt

3.3. La función raíz cuadrada definida para todo x;:: 0, determina en particular para cada nlÁmero b::::;, su raíz cuadrada VIi o potencia b l :

°

Proposición: Para cada número real positivo b, existe un únil() real positivo, que se designa por b~, tal que

h

Además, si O < b < 1 es

°<

lIIíll/t'lI

I

bt < 1, Y si b > 1 es bt > 1.

x'1 4.

OTRAS POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO 4.1.

o

x,

x

Xo

Gráfica de la función cuadrática h (x) = x, para x> o.

x

Gráfica de la función inversa h-l(x) = x'!' = con x> O

rx

La raíz cuadrada de x> O, se denomina también potencia de exponente 1

~2~

~

de x, y se escribe xi en vez de

tJX que

es la notación clásica de la raíz

Las potencias de exponentes de la forma

se definen reiterando las de exponente

1

Tn'

con n entero

-~.

.. POSItiVO,

Después se obtienen fácilmente 2 m las potencias de exponente - - , con m y n enteros positivos. 2" 1 Definicióp.: Para todo b? 0, las potencias de exponentes ~' ... , 2'" ... , se definen a partir de bt por recurrencia:

cuadrada. Aunque tanto la función cuadrática como su inversa se han definido para los reales positivos x -> O, de manera evidente Sf!c extienden sus definiciones a x O, poniendo 02 = O Y 01 = O.

1

I

I

I

I

I

b2'= (bZ )2, ... , b¡;;"=(bz,;::t)"T,

=

lINÉS-IO

272

Func;ones elementales

Proposición: Para todo b;>

a.

273

Funciones elementales

es

Definición: Para todo b> Q, P'f'1; ckfin"ción 'f .,.

1

'iJ

(Ir")lo

== b.

con m entero cualquiera ti n entero positivo.

I

¡\J('Huís, si O
es Ol

es b-r.;->l.

También se puede dar romo ·4.fin~ei6tl d~ la potencia de exponente la siguiente propiedad.

!kmostración: Por inducción se tiene

"

;!í )+ =(~)+~ b.

Demostración: ElevanaO a: l{l

prtieban las de~ualdade5.

T.llllbi':n por inducciót! se SI () <:. 1, < 1, sup\lesta

I

",'

¡,z._. (p~)"

v

== ( [( bl)2" 'J

m

2""

Proposición: Para t~ b~$. ff . '1 :

(b1: )10:. ([ (b--rw-)+ ]):._. == (b~ )"-1 = b (b")';:'

1

b--. ~ (""')~

PI

:gJ:

(~

~a

)-¡;

...

2"

p~ = (I,}

y

r

se obtiene respectivamente 1

()
la propiedad de desigualdad pata el txponente

0< (b

l1~'

)+
+,

resulta

I

O

O<

,;';;- < 1.

I\n,ílogamente res1Jltlií. "tra deiigu:al\!jd.

-12.

Proposlclón: SlTtm b ~ O y' d ~ O, si ~o

J)(,//lrJst ración:

El método

es

*" (/1"

es b

= d.

el de inducción. Como

luego PI

= 1'2

4.4. ma de

La definición de potencia es consistente, pue~ no d~pcnde de la forel exponent,.

en virtud de (.tU).

e~cribir

Proposición: Para todo b > O. y m y r enteros cualesquiera, 6$:

.

m

$1 ~:q; ...

f>2" "" cP'

équivale

á

h"i' =

ftr'"')í .. (cP".I)1,

~l' I1lH'de aplicar la propiedad para las rafces cua~t.adas. y en consecuencia es

por lo que b

=

b -' := "

.

7 ,.

..

con n y s enteros POsttwos

.

¡'>.

DemostraciÓ7'/.: Al elevar los dos miembros a 2", suponiendo n > s, se tiene:

rP--',

d en virtud de la hipótesis de Inducción. (:onsccuencia de e~ta propoSi~ióti es la siguiel1te de un'icidad: 1

Proposición: Para todo b;?: 0, p gllfil'o tal que pZ" = b. 4.3.

Para exponentes de ]a forma

km positivo. supuesta fa base b

== b -¡.;-"es ei

~ , ~n m

p¡jstt{V(f;

y

único número real no ne-

tntero cualquiera y n enSI .eftabJéce la siguiente

pues en virtud de la igualdad de los eHlOnentes es m . 2' = r • 2" o m = r . 2 Y la coincidencia de los re$ultadOs implica la igualdad que se deseaba probar. T

•

274

Funciones elementales

4.5. En el producto de estas potencias de b se verifica la propiedad adi. tiva de los exponentes.

Funciones elementales

Demostración: Como en la proposición anterior, basta probar la primera desigualdad.

Proposición: Para tO'do b > O, si n y s son enteros positivos y m y r enteros cualesquiera, es: m

m

f'

b-2" ,b-2'

Se supone n r-

r

b-2"+2'-

=

27')

m

= s,

y siendo

O
5, Proposición:

Si

Si

O
l
es

7

r

- r

m

r-m = --2.-'

con

2"

<1,

,

da la desigualdad propuesta.

FUNCIONES EXPONENCIALES

5.1. Escribiendo los isomorfismos entre el grupo {R, +} y el {R '. notación funcional, se tiene:

njjl

para

m

E

Z+,

n

E

N

(

para

m

E

Z-,

n

E

N

l
para

m

E

Z+,

n

E

N

Evidentemente la función constante f(x) = 1, para todo x E R, l'~ ("(mi "I'!.I y verifica la ecuación funcional anterior, pero queda excluida en Id d"/1111e 1<>"

O
para

m

E

Z-,

n

E

N

Proposición: Si f es una función exponencial, verifica las "rolJ/(''!tIC!,,\ \/ gllientes:

1< b

¡

2" m

1

b'

Definición: Una función exponencial es una función continurl di\tinta de la unidad, f: R --+ R +, tal que es

feO) = 1.

b)

f(-x) =

e)

f(mx) = (f(x»m, para todo m

2" ,

o<

m

b < 1,

< h,

es

r

b 2" > b 2'

es

m

1

Z y n, s

€

1\

b

2"

r

< b],

;

€

N, Y

1 (x) para todo

para todo par

x', x"

E

R

XER. E

N Y todo x

E R.

1

d)

2"

f(x') 'fex")

a)

Si 0< b < 1 Y m positivo es 0< b < 1, Y en virtud de (4.1)

m r Proposición: Si --- < ~~ con m, r

+ x") =

f(x'

m

y si

resulta

\ O
Demostración: De las cuatro basta probar la primera desigualdad, pues SI 1 O< b < 1 es ~b~ > 1 ; Y por otra parte, cuando m es negativo se pasa de la

base b a la

r

2n'

m

que multip1icada por b 2"

Las siguientes proposiciones son propiedades de monotonía,

<

> O. Entonces en virtud de dicha proposición es

Demostración: En virtud de la proposición anterior, se puede suponer n = s y entonces es

4.6,

ym

f

(+) = (f(x»2 para todO' x

E

R.

Demostración: Todas estas propiedades son consecuencia de la CCII:IClt 111 funcional fex' + x") = f(x') ,f(x"), en la que haciendo x' = O se oh111'III' f(~") = feO) 'f(x/J), y como todos los valores de f son positivos, n'sI111.1 teO) = l. Consecuencia de esta primera igualdad es 1 1 =f(x~x)=f(x)'f(-x), o sea fe-x) = ((x)'

De la misma ecuación resulta f(mx)

= t(x

+ x + ... + xl

= f(x) . f(x) ... {(x) = (f(x)}m.

276

+, (+) r

Finalmente haciendo x' = x" =

= (f

f(x)

Funciones elementales

Este resultado permite probar que Y es denso en R +, para lo cual 11;1\1.1 ver que si y' e y" son dos números cualesquiera de R+, siempre l'Xisl(', ,11 menos, un y € Y entre ambos.

se obtiene

t

o sea

(+)

=

Funciones elementales

(f(x»)

m

2

Teorema: Existe una (unción exponencial t, y una sola, en la que a un a o¡!::. O le corresponde un bF 1, con a € R Y b € R+.

Demostración: Unicidad. Si existe una función exponencial f en la que

Como b 2n > 1, para m y n enteros positivos cualesquiera, el in f. Y, 1111 es accesible, y si se consideran dos y' < y" en R+ existirá un y¡ e Y I 1.11 '1"1' y" 1
Como y, > 1, es lim

f(a) = b, aplicando reiteradamente la propiedad d), ha de ser

((

,

~, a)

= f(a):

=

b: ,

para todo n

€

n

€

+

,(Xl

y

lim y¡n

=

O,

n .... 00

N,

y~

N Y todo m

€

Z.

Manifiestamente es denso en R el conjunto

X=(xlx=~a 2n '

=

por lo que existirán dos números enteros p y q tales que

~n) = (f(a)~ = b~, para todo

Y en virtud de las propiedades b) y c)

f(

y~

n---+OO

1

<

y' < y"
Al considerar las potencias sucesivas de Y¡, desde la de exponcllh' l' 11",1., la de exponente q, al menos una de ellas y; estará comprendida 1'1Itl"l' 1/ l' Ir En caso contrario, dos potencias sucesivas de y, tales como y; e 11," V"llt, carÍan y~ ~ y' < y" < y't', de donde

m€Z, n€N)

Si existieran dos funciones exponenciales que cumplieran la condición b, tomarían los mismos valores en los puntos del conjunto X, y como son continuas coincidirían (12; 5.6). Queda, pues, probada la unicidad. Existencia. Para poder aplicar la propiedad de extensión por continuidad para funciones monótonas (14; 3.2), se ha de probar que el conjunto de números positivos:

fea) =

en contra de lo supuesto. En resumen, entre y' < y" de R+ existe una potencia

y; de

un

y,'

Y"

mr

m

Si y¡ = b 2- es y = !I; = b2n e Y, y se ha probado que es y'
m

y = {y I y

=

b¡;;-, m

€

Z, n

E

N}

es denso en la semirrecta R + , (Para abreviar la escritura en el razonamiento se supondrá b> 1. El caso 0< b < 1 es análogo.) Se considera el subconjunto Y, de Y, formado por los y € Y que son mayores que 1. En virtud de (4.6) es

,

a

2

Si y

€

Y¡, también yTe Y¡;

= inf. Y" y en consecuencia

luego según (3.2) si ¡

a

=

a z,

luego

¡nf. Y, = 1.

a

m

= bTn' fO ( ~a) 2n '

que es estrictcpnente monótona en X (4.6), Además verifica la ecuacú).¡r fllll-

Y¡={yly=b];, meZ+, n€N}. 1

lo que confirma la densidad de Y en R+. El resto de la demostración es sencillo y sigue los pasos de la dada para probar la existencia de las funciones lineales (2,2). Se define una función auxiliar fo: X -+ Y poniendo:

= inf.

Yj es también

cional fundamental para t:ada par do como en (4.5) q = s, se tiene fo(x¡

+ Xz) = fo ( ~. + ;.)

XI

=

~~ ,Xz = ~. J)+,"

=

fo

de X; pues suponien"

,.

(p;. r ) = b -z.- = bZ. . bZ, = Mx,)

'/.,(1)

278

Funciones elementales

En virtud del teorema de extensión (14; 3.2) existe una función f: R -+ R+ estrictamente monótona y continua cuya restricción a X es fo. Por otra parte, si x' y x" son cualesquiera de R, como X es denso en R, considerando dos sucesiones {x:} y {x~} de elementos de A que converjan !1;lcia x' y x" respectivamente, como

Funciones elementales

Demostración: La proposición es evidente si b¡ b z = 1. Se supone, pll\'S, b¡ . b2 r"= lo La función (b¡· bzr es una exponencial en la que a x = 1, le co,rresj""IIli
p¡¡,¡¡neJo al límite resulta f(x'

+ x") =

f(x') , f(x").

N()tación, La función exponencial, en la que el número a = 1, le ('olTt'sponde el número positivo b r"= 1, ~e designa por b X • Esta notación se ,'~Iil'nd(' al caso b = 1, conviniendo en que P es la función constante 'i,2.

I)',I¡;J!

;1

propiedades fundamentales de la función exponencial expresadas con noLición, son:

=

hO = l' b l = b' b""+"''' = li"'. bOJ". b-" _1_ con b> O. " ' bx ' X ,'i; () < h < 1, la función b decrece de +x a O; Y si 1 < b, la función x ,'1'1'/'/' di' O a + ex. Si b = 1, la función b es la constante l.

• b~H.

b~'. b~"

=

(b~'

• ~') • (b~" , b~")

para todo par x', x" E R. Además a x = 1 le corresponde b, ' b i . Las dos funciones coinciden.

Proposición: Si b es positivo y e real cualquier, se tiene: (be)'" = b Cx •

1.

I.;IS

''',1 d

b~

Demostración: La función (bey es una exponencial en h que ;1 x Ircorresponde be. También la función b CX es una exponencial pUl'S Vl'ldl,',1 1.1 ecuación funcional, ya que se tiene:

para todo par x', X" € R. Además a x Las dos funciones coinciden.

6.

= 1 le

corresponde

be,

FUNCIONES LOGARtTMICAS

6.1. Escribiendo los isomorfismos entre el grupo {R', .} y d i I{, con notación funcional, se tiene

Definición: Una función logarítmica es una función contilll/¡I nula g: R+ -+ R, tal que es g(x' . x") = g(x')

+ g(x"),

para todo par x', x"

é

R '.

I I

""1

x Gráficas de las funciones exponenciales:

1~ls

3 )", (_6 2:, (-2 5 )'., Y ,

'5.3. De la propiedad de unicidad de la función exponencial se deducen siguientes proposiciones:

Proposición: Si b l Y b z son positivos cualesquiera, se tiene,' (b¡ b 2Y' =

b~

. b~,

Es evidente que la función constante g(x) = O, para todo x E R '. l'~ (', >11tinua y verifica la ecuación funcional anterior, pero queda excluida en la ll
+ x") =

f(x') . f(x"),

Funciones elementales

280

2XI

Funciones elementales

inversas, es

resulta X'

+ x" = f- 1 (f(X')

log" (b

• ((x'')),

X

)

bllo"b xl

que escribiendo y' = (x') e y" = (x"), toma la fo,rma (-1

(y' • y'') = f- 1 (y')

para todo par y', y" € R+; siendo esta ecuación funcional, cuando se corresponde un. a:F O, con b € R + Resumiendo estos resultados se

+ f-t (y")

f- I la única función continua que verifica impone la condición de que a un b:F 1 le Y a € R. tiene:

Proposición: Una función logarítmica es inversa de una función exponencial, y por tanto estrictamente monótona. Teorema: Existe una función logarítmica g: R + --+ R, y una sola, en la que a un b:F 1 le corresponde un a:F O, con b € R+ y a € R.

10gb 1 = O; 10g b b

= 1;

10gb (x' . x") = 10gb

que el número b:F 1 posipor 10gb x. En el caso parla notación escribiendo In x logarítmica expresadas con

+ 10g

x"; 10gb _1_ = -10gb X, x que resultan inmediatamente de las correspondientes de la función exponencial; y la expresión de que las funciones exponenciales y logarítmicas son X'

para todo para todo

x x

E

E

R R +,

Las propiedades de monotonía referentes a las funciones lo~arílmic;l, ',<111 análogas a las de las funciones exponenciales: Si 0< b < 1, la función lag" x decrece de + 'x a - 'x; !I ," 1, /, /,1 función crece de - x a + 'x. 6.3.

Como todo número e> O se puede e,cribir en la forma

se tiene de donde log" c'" = x . log/ c. Escribiendo CE

6.2. Notación. La función logarítmica en la tivo le co.rresponde el número a = 1, se designa ticular de ser b igual ,al número e, se simplifica o más brevemente Ix. Las propiedades fundamentales de la función esta notación, son:

= x, = x,

=

X'

10g1, X'

o x

=

log( x', la igualdad anterior se tr(lnsfonlJ.1 ,'11

= lag" e . lag, x'

para todo

x'

E

R+ ;

que expresa la relación lineal entre dos funciones logarítmicas, 6.4. En la función logarítmica 10g b x, al número b se sUl'k base de los logaritmos. Entonces, la igualdad anterior establece b cambiar de base.

d"III1T11111.11 11),1111'1.1

,1.-

b

Proposición: Dados las logaritmos respecto de una base e, [(/s '(/~:(//'III1I,' \ respecto de una nueva base b, se obtienen multiplicando [os fogarilll/O,\ /,,'! pecto de la base primitiva por 10g1, e, a dividiéndolos por log, b, La última parte de la proposición es consecuencia de la igualdad 1 10gb, e = -¡--b-' ogr

que resulta de la c = H0"' e

tomando logaritmos en base e, pues se obtiene: 1

_

2

1 = log, e = 10g b e . 10g, b.

2;>

~, 7. Gráficas de las funciones logarítmicas log

1 X,

'2

log 3

2

X,

logz x.

FUNCIONES POTENCIALES 7.1.

Escribiendo los isomorfismos entre el grupo {R+, .} yel mismo.

(""1

282

Funciones elementales

notación funcional, se tiene:

Definición: Una función potencial es una función continua distinta de la unidad h:R+-+R+, tal que es h(x' . x") = h(x') . h(x"), para lodo par x',

X" €

R+.

Evidentemente la función constante h(x) = 1 para todo x € R+,es continua y verifica la. ecuación funcional anterior, pero queda excluida de la definición 7,2. Teorema: Existe una función potencial h: R + -+ R -+, y una sola, en la que a un a -:j= 1 le corresponde un b:j:= 1, con a € R + Y b € R +.

Funciones efementafes

Esta notación se extiende al caso r = 0, conviniendo que XO es la fUIl\'I<>l1 constante igual a 1 pa.ra x> O. El número r que puede ser real cualquiera, se denomina exponenlL' di' l., función potencial x', que está definida para todo x € R+. Las propiedades fundamentales de la función potencial exprcsad;¡~. ,ti" esta notación son: l' = 1 Y (x'· x"Y = (x')" • (x")'. 7.4. Algunas notables propiedades se obtienen al comparar fUIll'itlll(·. 1,ti tenciales con distintos exponentes que son consecuencÍa de his C011 ''''1 '"'' dientes de la función exponencial.

Proposición: Si r y s son números reales cualesquiera, se x' • r

Demostración: Si una función h verifica la ecuación funcional y las condiciones indicadas, considerando la función compuesta con la logarítmica 10g", para la función lag" o h se tendrá:

lag" [h(x' .

X

U )]

= 10gb [h(x'}]

+ 10gb [h(x")]

para todo par x', x"

€

R+;

Y además, para x = a es 10g b [h(a)] = log!) b = 1. En consecuencia, la función 10gb o h ha de ser la logarítmica que para x = a es igual al, es decir: de donde

log [h(x}] = loga x, " h(x) =

h(x' • x") =

blo.~(x"

",N)

=

x

para x

b(l~R."'· +Iog,,«")

€

x

x

pa.ra todo

b¡~ga x,

Por otra parte, la función b log, ción funcional, pues se tien~:

para todo €

€

R+,

R +.

R+ es continua y verifica la ecua-

= ¡j0g..,· •. b

loi",,"

= x'+';

(x')' = x"; (X')I!' =

X

con r:j:= O; x-'

= ~"

tielre

para

lorl"

.1'

1('

Demostración: La primera y segunda igualdades resultan d¡> las 1""I'I('d.1 dades (5.3) de la función exponencial. La tercera es caso particuLrr ,It' l., "

r<'~.I1II..

gunda igualdad para s = _1_. La última, que equivale a x'· x ,- 1, r de la aditividad de los exponentes en la función exponenciaL

Proposición: Si r> O, la función x' crece entre O y función x' decrece entre + 00 y O.

+ ''-,

Demostraci6n: Se supone a> 1 fijo, y entonces es r = lo¡>,,, h Como logax crece con X € R+ de -00 a +x, la función x' = con x entre O y + '00. Análogamente se razona cuando r < O.

I1

\1

".C)

r

() /"

sí "

J¡''''', ' n'·'"!'I.'

= h(x') • h(x"),

y también es h(a) = bloia' = b.

7.3. Notación. La expresión bIORaX, con x E R+, obtenida para la función potencial en la que a un a:j:= 1 le corresponde un b:j:= 1 puede transformarse, teniendo presente la igualdad (6.3) log., x

= log. b . 10g

b

x, para todo x

€

R +,

obteniéndose En consecuencia, la función potencial h: R le corresponde un b:j:= 1 se designa por x',

donde

T

~

r = log, b.

R +, en la que a un a:j:= 1

o Gráficas de las funciones potenciales xl, xl.

o Gráficas de las funciones potencia"'" x- l , x-l.

Funciones elementales

284

7.5. .Aunque .~. ~. ~: etiUit. dtSl1idas p;¡ra x> O, se pUt'd~ amplIar de mIfitíl',~L It .' ' " dt ~nt~ón de fúnciones potencIales en algunos tlSOt • 'qdt eJ,~ eS ~. Supuesta

esctit~ I~~~' en

uM

:tq,:t'

Si P impar,

í

( - x)

q

.1.

se

,

p

lo._

(~.t')

q

1

O,

y

q

::;:: ..... x

.... ro

;Jt

;

(lOg ,()"

COIl

a;>

1 Y b

> 1: lun

.~a;¡

IX"

•• 00

b'

k

x>o, y O ,¡ = O.

_.!....

para

Ir'

Um~,

5. -- Demostrn que log" Z es ir~Ol1al. 6. _, Sean '" Oh .... a:k, k númUOIi re.1.tc; distintos y PI, 1'" ... , pk polinOtlll0', Demostrar que si

p

q

ar , para O
para :t> o. para

,¡¡-:¡:x,:

cosh (sen¡'-J x) =

y

...
07 ""0 .

;

_L. (-x)

•

It

.= -:c.

(-x)~

impar

::le

;t:>

.J~=-r

senh (cosh-I.r) "" 4. -Hallar lim

p

:a::.r • . par~

+ !f) ~ senh ¡: C()sh y + cosh r seoh y + y) = co.sh r cosh y + 5enh + senil. y .

l. _ Probar que existen las funCÍ1'mes jnver~as de senh :y tsh. Se denomir." n seno Y argumento tang,¡mt" hi~rltólicos. Probar.

Q

q

impar

q

cosh (;¡,

_L..

x

C06

senh (x

,...1....... ~~. irred~ible '1 dé t4rnunos enteros positivos, ~

Si p par, q

Probar las siguientes identidades: C06h' r ~ ¡¡enh';r =;o 1 1 tgh' x + --h-'~ "" 1

de' 1~ 16f'~

.Jo.

en donde la fracción define:

Funciones elementl:l/es

para todo .. lO R, los

X>O.

¿ p.(¡:) e"-'" ,.. O '=1 polinomios pi(i = 1, 2, ....

k) son idéntícamcl1ll' 111111'"..

7.-Demostrar que para a> 1 Y b> 1, las gráficas cartesianas de a' y /J'

',011

11 ..

motéticas.

Si p impar, q pát la hliltión no se, extiende.a r < O. La justificaciÓn de ~stal ettensíóneS l!s que efi él primer caso se considera •

1

X ~;- ""

8.-Supuestos p>O y q>Q, se construye lJ sucesión r~currente ll,I(.\})

t, (.r) =

P

(x P ) q que tieAe sefltido para ~::::-; 0, y en el segundo x q = (x

q

)P, y

x' comO func~ón inversa dé :é está defírtida para x :;::;; O.

(x . 7)~ , t, .t

=

t

(x) ,.

% •

f, (x) )

~

r 1

x .

(;r .,. (z) ) ~

detenninar

l.int f. (z).

8. EJERCICIoS

--00

l. -- Trazar las gr.:lt1cas

cart~ianas

de l;¡s funciones siguientes:

41"'-1 2 . "" 1 - - - - e';: + 1 e',. + l '

9. - Calcular los límites sigui4tDte!; In: Um - - - - ,-, COft tI;;6 O; x~oo In (r + a) suponiendo que f (x) está acotada CUVldo :r -+

=

l-:yP

1-x

l!"'--~-'"

..... '

2 se denomilMln. te~¡'td¡vamente serro Ifiperbdlico. cose-no hiperbólico t ¡,¡ "e rbÓIi,'a. 11 angcnte

lI;.

IO.-Probar que si·O0,

.::.

2. -- J_as funciones senhx

(x . (

ll. -

está comprendido entre ] y p. Sea x> y > O. Si e~ l' > 1, SIl

tiene

p!l_J <

fi-YO < X"-'

11

~-I;

r¡

f. I

.

(xl

{·.·.l'ldnt·ndl\

286

Funciones elementales y si es O <

/' < 1, se tiene pxp- I

< xP - yP <

pyp_l.

x-y 12. -- Determinar una función real f definida en R, y continua en O tal que sea f(x) para todo par x, Y'E R.

+

f(y) = 2 f ( x ;

y_ )

16. Funciones circulares l. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

La serie exponencial. La serie exponencial imaginaria. Las funciones coseno y seno. Periodicidad de la exponencial imaginaria. Medida de ángulos. Funciones circulares directas e inversas. Ejercicios.

Las funciones circulares, como su nombre indica, tienen un origen ,t;\'\III\\'111 . . . 111,111 dahle. El coseno y el seno miden la abscisa y la ordenada de un pllllt .. d" 1" "" ,,,,j. rencia unitaria. referida a unos ejes ortogonales que pasen por su ce"t '" ,., 1" 11 1" 11 ciones de la longitud del arco de la circunferencia, cuando ésta s,_· ",itl" " 1'," 1" .l. punto fijo de la misma. Sin embargo. el precisar todos los COllcc'ptm. "1,"1111",, ." l., e),plicación anterior, no es fácil; y por otra parte es muy intcl'e","l<' .-1 ',",'11,1" ,d" analítico que tienen estas funciones periódicas muy lejano de ,I,'S ""1,, ," '''''' ,,,, " nométricas. Diversos son los métodos que se siguen para definir estas funcio'll"", "',,t, .. 1", '1'" se puede citar uno de extensión por continuidad, análogo al emplc:Illll ',11 ,1 "(,,01,,, de las funciones elementales (15). No obstante, en este capítlllo '" Ir •• " 1",1" ,01" metodos más operativos, pues aparte de ser más sencillos, inician en l." tn '", ,,', ,j. 1 cálculo numérico por medio de series. cuyo interés es evidente. A partir de la definición de las potencias de e como límite dI' "/{',\I,'II.', ',1' 1',"", a la serie exponencial de variable real y positiva (1.3), que asegura l., l'O"V"i¡',I'1I1 ,,' ,.1. soluta de la serie exponencial para valores cualesquiera, reales o UJllIplt-III', I1 Id l., la definición de la exponencial de base e se deducen unas aco/al'iollf'.I' IItli,", p.II,' ,,1 cálculo de límites, y para la expresión en forma de serie, de la que reslllt" l., 1""'1"",1",1 fundamental (1.5) de adición de exponentes válida en todo caso. real () UlIlIplqll, Al estudio de las funciones circulares se llega por el de la serie ".\'1'0""/1. ¡,,/ '11'1/," naria (2), que separada en sus componentes, origina la serie coseno y la ",ri .. ',('"'' 1 11, ambas alternadas y absolutamente convergentes en R. 11

Después de un análisis cuidadoso se introduce el número

2

(4.2),

('oml> "1'/111"/11

raíz positiva de la ecuación cos x = O. El descubrimiento del número ce. ¡!lid" '"" l., propiedad fundamental de la exponencial son la base del estudio de 1" 11<""",/" ,.1 .. " de la exponencial imaginaria (4), y la de las series suhsidiarias Jel coseno !I .Id ",'/1,' El estudio detallado de estas funciones es objeto del apartado (6), donde "d"II',", consideran las funciones tangente y cotangente. Un análisis de intervalos en 1,1' '1"" monótonas las funciones coseno y seno (6.2), permite definir las distinta, i " v,',' ,,', ,j" estas funciones (6.4). Las fllnórmps inversas de la tangente y contangen/(' ,,'" "<1'" "" tualmente más simples, por ser la tangente siempre creciente en cualquier illlv,\,'¡" ". su dominio de definición, y decreciente la cotangente (6.5).

288

Funciones circulares

,'. ~enci?n ~specia) ~erece el, estud~o algébrico-analítico que se hace de la exponenImagmana, cuya ,l~portancIa radIca en que esta fúnción define un homomorfismo d,· R. como grupo adl,tlVo, sobre U que es el grupo multiplicativo de los complejos uníII/odulares (4.4). El nucleo de este homomorfismo es el subgrupo 2" Z de los múltiplos ('1\ teros de 2".. el,')

El teo~ema de homomorfia, asegura la existencia de un isomorfismo entre U y el ror¡ente R/2" Z, que es el fundamento de la medida de los ángulos (5) y aclara <'1 rr()hle~a del argumento de un número complejo. Evidentemente la solución total de .. sla . cuestión ~ólo se alcanza a través de la superficie de Riemann de la función expoI\I'IH'I;¡) compleJa, corno se estudia en tratados sobre funciones de variable compleja.

FuncIones circulares

21\'1

1. LA SERIE EXPONENCIAL 1.1. Definida la exponencial como una función continua, distintü de 1.. unidad, f: R .~ R -!- tal que

grupo

f(x'

+ x") =

para todo par x', x"

(Cx') . ((x"),

E

R,

Y demostrada la existencia de una función exponencial, y una 501<1, en la ,\\1\' es b=f(a) para un a#O y un b#l dados, con aER y bER'. se pblllc.1 la cuestión de dar métodos de cálculo. Estos se apoyan en la definición numé.rica de las potencias y log;trillll"'. (7), y en particular en las propiedades de las potencias del número /'.

Proposición: La función f: R--+ R -!- definida por f(x) = eX,

para todo

x

E

R,

es la exponencial en la que a x = 1 le corresponde f(x) = e. Demostración: La potencia eX está definida para todo .x E R según (7; I 1) Y (7; lA). Además la proposición (7; 1.5) prueba que es e'" • eX" =

eX'-!-x",

para todo par x', x"

E

R.

Falta ver que e" es continua en todo punto a E R. Considerando d 1f1ll114' a lo largo· de sucesiones, se tiene que si {x n } es una sucesión cUlll'{lIirTtI 'I1Il' tienda hacia a es (7; 4.1) luego lim e"

= e"

10 que prueba la continuidad. En virtud de la propiedad de unicidad, e'" es la única exponcnci;d verifica la condición f(l) = e. 1.2.

A partir de la definición de e'", se tiene

Proposición: La función exponencial f que cumple la condici6n r(I)' está definida por f(x)

= lim

n~OJ

1.3.

qll\'

(1 + ~)n, n

para todo

x

E

R.

Si es x> 0, se verifica la desigualdad '"

xr

T_O

r!

¿ -

< e" <

m

x'

T~O

r!

¿; -

xm+!

m

+2

+ - - - ~------, (m + 1)! m + 2-x

/'.

290

Funciones circulares

suponiendo m

+ 1 ~ [x]

2(11

Funciones circulares

(7; 1.3).

Luego se tiene en general

Para cada x fijo, al hacer m -;. + 'X>, el primer miembro es la suma de una serie de términos positivos, cuyas sumas parciales están acotadas por e", luego converge, y es

e"'-l lim - - - = 1.

x

1.5.

. asegurar h La primera pa rte de la proposición (1.3) ..... f er:mite

Cjll/-

vergencia absoluta de la serie

z·

~-

Por otra parte el último sumando del segundo miembro de la desigualdad tiende a O cuando m .......

+ 00,

pues

m

xm+l

y (m

+ 1)! tiende a O, pues es el término converge, en consecuencia

m

+2

tiende manifiestamente a 1,

+ 2-x Cm + l)-ésimo

de la serie anterior que

,~o r!

cualquiera que sea z, real o complejo. En consecuencia será aplicable la regla del producto de convolm'."11 d, series obteniéndose: caz' ) (~

(

r~o --;¡-

00

=

,~o 7

1 ( L ' r· ' k=O

Zk

00 (-xy

Proposición: Si es x ~ O, converge la serie de términos positivos

L -r!- ) . ( r;O

x'

~-" r.

z' (ll-k~ )

k!(r-k)!'

En el caso particular de ser z = x> O Y z'

De estas dos desigualdades se deduce la igualdad.

=-

= __ (zl'_ =:¿ ,=0

x, el producto

1.4.

anlL'11< 11 11.,

(00L -)=1, x" ,=0

rl ,

1.6. Definición: Se denomina serie exponencial, la serzc mente convergente:

m= 2:

.")'

r!

y como el primer factor es ee, el segundo será e-X.

,~o

además su suma es

Z,r )

:::0 r!

O/'",'{III ,/

De la desigualdad considerada en el apartado anterior, resulta para

x ~ x ~ ~ 4 - - +--O. l! 2! l! 2! 3! 4-x' Dividiendo por :r, y haciendo tender x a O por la derecha, resulta

x

Este límite se conserva cuando x tiende a O po.r la izquierda. Para x> O se tiene e-'" - 1

1 - e'"

e'" -

1

1

1 = ';'--+O! lim ~-- lim X .:-)n~eX e'"

7

E

<"

R, la suma de la serie exponenrial

('S

,.'

= x' L -,-=e".

7=0

Notación.

r.

Es frecuente designar la suma de la serie exponencial por "

= z' L --,-=e'.

r=O

y como eX es una función continua, queda

e-"'-l lim 1'--+0 1-x

Como la suma de la serie exponencial para z = x > O es er , y para es e-x, se obtiene el resultado conjunto.

Proposición: Para cualquier x

. e"'-l hm - - - = lo

,.~o+

cualquiera que sea z real o complejo.

= 1.

r~

Esta notación tiene un sentido de igualdad de dos funciones cuand" es real. Si z es complejo se trata de una simple notación.

292 Funciones circulares

2.

293

Funciones circulares

LA SERIE EXPONENCIAL IMAGINARIA 2.3.

2.1.. Dando a z un valor complejo cualquiera z = x ponencIal, en virtud de la p.ropiedad fundamental, es

+ iy

en la serie ex-

De estas dos igualdades se deduce la importante propiedad:

Proposición: Para todo y

€

R es

!ei"! =

1.

Demostración: En virtud de la definición de módulo de un número complejo, y de la propiedad fundamental de la exponencial, es '1 so o resta estudiar e

y como eX es la función exponencial conocida,

por definición es

e

iY

CO

j ",

2.4. Según esta proposición las imágenes de los puntos de la rcct;j n'al en la aplicación é!l, son puntos de la circunferencia unitaria del plano- complejo, en la que está definida una estructura de grupo abeliano respecto lle 1.1 multiplicación. Como además, para esta aplicación se verifica la propil'd,1l1 fundamental

(iy)'

= '" -r. ,~O L..,

"

Se denomina serie exponencial imaginaria la ~ (iy)'

r! ' converge absolutamente para cualquier y ';;'0

'//U'

2.2. 1

resulta la

R.

€

Proposición: La aplicación del conjunto R de los números rr>Clles. conjunto U de los complejos de módulo 1, definida por

Operando con los términos de la serie, se tiene

+i

_L _ I!

ill + i

21

3!

+ 4!

!I

iy 5

!é"!2 = el" • ei 1! = i''' . e- 1y = eO = 1.

que

'!/'

iy7

5l-6j-!71 + 81- ....

y como la serie es absolutamente convergente, lo son la serie de los t' . reales y la serie d 1 t ' · . erIDIDoS

1'1/

ICy) = el", es un homomorfismo del grupo aditivo de los números reales, en el 1r1/l11ír,It cativo de los complejos de módulo 1 (7; 5).

e os ermmos Imaginarios, es decir: • J.,

'"

.2'+1 ( - 1 ) y' _ Y ~ (-l)'-Y __ ';;>0 (2r) 1 ';;>0 (21 + 1)! '

3.

L..,

('ot/~er~en absolutamente para todo y

€ R. Segun la definición de suma de una serie, es

el" = lim

~+1 L..,

m-+w

'=0

(iyY _ l' I

-

r.

1m m->co

(; ( L..,

-

'=0

y2'. +I (2r) !

1)' - -

m

¿ (

1)'

• .2'+1 y

(2r

+ I)!

)

'

Y como las partes real e imaginaria tienen límite para m '
00

¿

'=0

y además

-iy ~ 00

(_Iy_tl_ (2r)! ifr

co

+i ¿

T=Ü

00

,.2'+1 ti •

(-1)'

(2r

-

YZ'

00

cosy=¿

(~IY~

(2r)!

r=O

y2r+1

00

y seny=¿

(~1Y----

(2r

r=O

+ 1)!

Las series que las definen son absolutamente convergentes para todo.y € R.

+ 1)!'

.. .2r+l

( - I Y - - i ¿ (_l)'_tl_ _ '=0 (2r)! T=O (2r + 1)!' por 10 que el valor complejo conjugado del de la serie i por _ i. el" se obtiene cambiando en

e

¿

,,2,

LAS FUNCIONES COSENO Y SENO

3.1. Definición: Se denominan funciones coseno y seno (con escritura abreviada cos y sen), las funciones reales definidas en R como sumas de las series siguientes: 1'=0 -

'"

Esta definición es equivalente a cos y

= (Jl (é

V

)

y

sen y = ;) (el"), para todo y

de donde .resulta la "identidad de Euler":

&"

= cos y + i sen y,

para todo y

E

R.

E

R,

294

Funciones circulares

Por otra parte de la misma definición resulta que el coseno es una función par y el seno es impar: cos (- y) = cos y

y

sen (~y) = .- sen y, para todo y

t

cien tes en valor absoluto. Suponiendo [yj < J, este decrecimiento tiene lugar d p¡¡rtir del primer término. por lo que aplicando las propiedades de estas senes (9; 6.3) se obtiene para la función seno:

ir

< sen y < y si y> 0, e y < sen y < y -

it

De la desigualdad referente a la función seno jy-sen yl

si y < O,

. hm

si


cos2 y

jyl
Y ¡sen y! ~ 1,

y

para todo

E

R,

+ senz y =

sen y < y

de donde

+

y < sen y < y

si

Y [1- cos yl

~(

r)

si

i'(ilIY')

para todo

y

=

se deducen fácilmente

t!iI.

i'Y',

E

R. LIS

+ y) = cos y cos y - sen y sen y, eos (y -y) = eos y eos y + sen y sen y', sen (y + y) = eos 1j sen y' + sen y cos y', sen (y- y) = - cos y sen y' + sen y cas y;

cos (y

O< y < l.

!I 1-2T
1,

conocidas fórmulas de adición:

Para la función coseno, se obtiene análogamente

~1

sen y y

~--=l.

y~O

De la propiedad fundamental

jcos yl

jyj < 1,

Y la fórmula que liga estas dos funciones

Iyl y jy-senyj~( ~)

~) <

si

y en consecuencia

leos yl

De la primera de las desigualdades anteriores, resulta también

11 ( 1 -

~).

«

3.3. De la propiedad unimodular de elY resulta

v en consecuencia ¡scny[

3.2.

se deduce

R.

Tanto si y es positivo como negativo, las series que definen el coseno y el seno son alternadas (9; 6), Y a partir de un lugar los términos son decre-

y-

Funciones circulares

y sus consecuencias y¡-Y2 y¡ + Y2 sen cos y¡ - cos Y2 = - '2 sen 2 2 y¡-yz Y¡ + Y2 sen - - - sen y¡ - sen Y2 2 cos 2 2 válidas para cualesquiera y¡, Y2 E R.

Iyj < 1.

=

y

3.4. Proposición: Las funciones cos: R 1, 11 Y sen: R -r [- 1, 11 son continuas en todo punto a t R Demostración: En virtud de las fórmulas anteriores para las diferenci¡l:\ .Y las de acotación (3.1), es y y a- \ ~2 \sen aIcosa-cosyl =2 sen a + sen-Z Z\
-1

o

y

\

-zY\\

y

y

---z-

a- \ ~ 2 \sen a- \ < la a + Y11l sen ~ = 2 cos -2-\ \ y evidentemente, cuando y-+ a, las diferencias tienden a O ¡sen a ~ sen

y¡

yl ;

296

Funciones circulares

297

Funciones circulares

es el menor número positivo en el que se anula la función, será:

4.

PERIODICIDAD DE LA EXPONENCIAL IMAGINARIA 4.1.

cos y > 0,

Se ha indicado que la exponencial imaginaria, definida por fey)

= é" =

cos y

Sean YJ, Yz

+ i sen y,

es un homomorfismo t del grupo aditivo R de los números reales en el multiplicativo U de los complejos de módulo 1, y se ha probado además que f es continua, ya que lo son sus componentes coseno y seno. El núcleo de este homomorfismo f: R -+ U (o ker (f», es un sub grupo dl' R formado por los elementos de la antiimagen de 1; es decir, {y

jy

E

R, e"¡ = l}.

L'OS!lo

=

Proposición: Existe un mlmmo número posztwo Yo para el cual es O. Se escribe 2 Yo = IT. El número " está comprendido entr(! O y 4.

I k/lllJstración: En los extremos del intervalo [0, 2] la función cos y toma lus v¡dores

22 24 1 cos 2 < 1 - - - + - - = - - 2! 4! 3 . 1~1l consecuencia, la función real continua cos Y se anula entre O y 2. Se desiy,na por Yo el menor número positivo para el cual es cos Yo = O. Evidentemente, en virtud del teorema de Bolzano existe al menos un !I ([0, 2] en el que se anula la función coseno. El conjunto de puntos de ¡O, 2] en los que es cos Y = O, tiene un Ínfimo Yo que pertenece al conjunto, por ser el coseno función continua.

Proposición: La función seno es estrictamente creciente en el in ter-

l0, ~.~J'

la función coseno es estrictamente decreciente en f!l intervalo

1°,+1 Demostración: Como es continua la función coseno, cos O = 1, Y

0,

+]

Y2 + y¡ sen Y2 - sen Yl = 2 cos --2-- sen Yz

como

+ Y¡ 2

E

[o, ~2

], y es sen Y2 -2 y¡ > O' en virtud de las desigu.d-

dades obtenidas en (3.1), si O < Yz - y¡ < 1, resulta

Obsérvese que la restricción Y2 - Y¡ < 1, no es fundamentill, pues

Y27 y¡

€

[

O,

+ J,

2

:,¡

siempre se puede tomar un punto intermedio 1/ (al '11It'

Y2 - y' < 1 e y' - y¡ < 1, Y se tendría sen y¡ > sen y' > sen y¡. De la igualdad casI y + sen 2 y = 1, resulta el decrecimiento estricto dt' 1.1

4.4.

Esté valor de cos 2 está dado por una serie alternada cuyos términos, a pdl'ti.r dd segundo, son decrecientes en valor absoluto por lo que es

l'ldo

E [

[o, +], con Y¡ < Yz, se tiene:

E

función coseno en el intervalo cos 0= 1

4.3.

y

sen Y2 - sen y¡ > O.

La estructura de este núcleo queda determinada por las propiedades que se dan a continuación.

'1.2.

para todo

[O,

+ ].

Proposición: El núcleo del homomorfismo f: R-+- U, d(,[/llId, ' /".,.

f(y) = é", es el conjunto de los números 2krr, donde k es un entero

=1

6 ~ 1, pero como el

~- ] es precisamente sen

-y

= 1, Y en consecuencia

Demostración: Si cos -2es creciente en [O.

.

e

1-

2

= O es

CI/,¡I'jlll""'¡,

sen -2-

11"

11"

11' • 11' = cos ~+ z sen - - = 2 2

,¡'!lO

•

l,

por 10 que elevando a la cuarta potencia queda y en general

e2h1 = 1, para cualquier entero k. Resulta, pues, que todos los números 2b:, para k r;!ntero, son elemclllo" del núcleo del homomorfismo. Además los números 2k" son los únicos pertenecientes al núcleo. Si e'¡

=

1, con O < Y <

pues 0 < + <

T'

y é"

'11.

2IT,

+ is, será 0< c 6 c2 S2 + S4 + 4 i es (c2 -

escribiendo eT' = c

= (e + is)4 = c4 -

y 0..-: s. S2).

298

Funciones circulares

Para que el segundo miembro sea real se ha de tener el = 52, Y como por 1 otra parte el + sZ = 1, queda el = s2 = -2-' Estos valores llevados a la igualdad anterior, dan

Funciones circulares

el + S'2 = 1 resulta S2 = S'2, y siendo s y s' no negativos, se tiene s = .,i l:tI resumen h aplica inyectivamente [O, 1] sobre U]; es decir, e,> un~ hilf('r'( '1, ;/1, y f como compuesta de dos biyecciones, es una aplicaciém biYL'cIIV,1 ,j,.

+]

r

sobre U I •

0,

Proposición: La aplicación e"¡ aplica biyectivamente, ~l in fe/Tí/fu

en contra de lo supuesto que y pertenecía al núcleo. 4.5.

Proposición: La aplicación e

[O, +] sobre el

iY

aplica biyectalmente el intervalo

U z ={c+isjel+s2 =1,

+ is c2 + s2 =

__

Demostración: La aplicación

= e"',

con y

g:

O,

-+], se puede considerar compuesta por

[0, -+-]

-+ [O,

con cos O = 1, Y cos 2

ción de

11'

c2, con c

1í

E

[

0,

-+], y se

escribe

•

°

Como eiY' = e' + is' con e' ~ y s' ~ 0, es ieiu ' = - s' + icJ qll\' nece al segundo cuadrante; es deci,r ei!l e U z. Recíprocamente dado un - s ' + ic', con s' ~ O Y e';::> O. C'i d"cll neciente al segundo cuadrante, procediendo a la inversa se tierll'

y'

donde

y

E

[0, ;],

= -2- + Y 11'

(1

l'"

Y

-,s' €

2

•

en

+ c'i

= i (e'

virtud

de

(In'"

1Jt'.I,·

+ is') = e'-¡'e"" la

proposición anterior.

queda

-s'

+ c'i =

ei!l,

con

[O, 1] Y la raíz se considera con Consideraciones análogas se pueden hacer para Jos intervalos

-+]

en [O, 1], pero es estrictamente decreciente,

= 0, y continua; en consecuencia g es una myec-

[o, + ] sobre [O,

~

1]

definida por la función coseno, g(y) = cos y con y cosy = u. La aplicación h es h: [0, 1] ---)o V definida por h(c) = c + i v'1 el valor positivo o nulo.

,

~y ~-2-'

€ [

dos aplicaciones f = h o g. La aplicación g es

El coseno aplica [0,

s~O},

Demostración: Si -}-- ~ y ~ rr, designando por y' = y - -

de la circunferencia unitaria.

definida por f(y)

cC:O,

de la circunferencia unitaria.

1, e:;? O, s:;? O},

j

,¡

sobre el segundo cuadrante

primer cuadrante U I = {e

l

1].

Por la definición de h(c) = c + ¡s, es c E [O, 1] Y s ~ 0, luego h aplica [O, 1] en U I • Además, si e + is e U I es e € [O, 1J Y s = v'1 c2 > 0, luego todo punto de VI es imagen de uno de [0, 1] por h. La aplicación h es inyectiva, pues si e' -+- is y c' + is' tienen la misma componente real, de c 2 + S2 = 1 Y

2 rrr, ~]

y

[-y,

2rrJ.

4.6. Resumen de estas proposiciones, enunciado en forma compll'!.1 ,", el importante

Teorema: La exponencial imaginaria e'" es una aplicación di' le sobre V = {c + is j c2 + S2 = l}, continua y periódica de período 2~, La restricción a [0, 2rr) de la exponencial e'", es una aplicación "¡Y/'/" t¡va del intervalo [O. 2rr) sobre la circunfe'rencia unitaria V,

300

Funciones circulares - 2;r

o

R

_

,

yo

2;¡-

Yo J

I

\

......--- \\

./

/

+ 2"

4,,-

Yo

+ 4"

I~

--

./

~~::.-----ei!fO = e i (.110 + 27t) =

10)

Funciones circulares

que a cada

morfismo

Á

E A le corresponde un u = .I..(a) € U Y recíprocamente, es un 1.\/1 entre los grupos {A; +} Y {U: .}. En,t a la suma de dos :íll)',1I

a

los le corresponde el producto de dos números. c) ei

~Yo -1 2 k'l'd

o

El homomorfismo entre el grupo {R; +} Y el {U;·} (4.4).

La exponencial imaginaria ei Y define un homomo.rfismo f: R -). U, l'UYO 1111 cleo es el subgrupo de R formado por todos los múltiplos enteros de .?,' '1 11 .' se designa por 2" Z. Este núcleo es el subgrupo {2rr Z; +} anefúmo, \ 1.1 operación entre sus elementos es la suma de los coeficientes de 2-;;:.

El isomorfismo entre el grupo cociente R/2", Z, y el f,;rUr)() {r J; . 1 Como 271' Z es el núcleo del homomorfismo f, esta aplicación illdu('e isomorfismo 'f del grupo cociente R/2IT Z sobre el grupo U. Los elementos de R/2rr Z son las clases de restos de R módllln . ' , d)

5.

MEDIDA DE ANGULOS

5.1. Para analizar este problema se hará un resumen de las definiciones y propiedades referentes a los ángulos, ya estudiados en (8; 6), Y de las propiedades de la exponencial imaginaria, que es el instrumento adecuado para la medida de ángulos.

5.2.

a)

El grupo aditivo del conjunto A de los ángulos (8; 6.3).

En la circunferencia unitaria

u=

{u = c

+ is 1 ¿. + S2 =

[u', v'] '" [u", v"]

si, y sólo si,

v' v" = -,-,. u u

----¡-'

Una clase de equivalencia ~ se denomina ángulo (orientado). El conjunto de todos los ángulos a se designa por A. En A se define una adición; si 11¡ y "'2 tienen como representantes [u¡, VI] y [u2,v21 respectivamente, "1 + a2 tiene como representante [UI Ub VI, V2]' El conjunto A con esta adición es un gmpo abeliana: {A; +}. b)

El isomarfismo entre el grupa {A; +} y el {U; .} (8; 6.3).

Si para cada ángulo a. se considera el ,representante formado por el par [1, u1, queda definida una biyección entre el conjunto de los ángulos A y el de los puntos de la circunferencia unitaria U. Esta aplicación Á: A >-+ U en la

,",

decir, los conjuntos de números y + 2 kIT, donde k es un ente.ro Clldlqllll'l.1 " y E R un representante de la cIase. Este grupo {R/2IT Z; +} es abeliano, y la operación entre sus eh'l1Ii·III,,'. es la adición, que se obtiene sumando un representante de una c!aSl' ('011 "ti,' clase, y agregando a la suma obtenida todos los múltiplos enteros ¡!L- .'". El isomorfismo inverso y-I asocia a cada u € U una clase de númCIW, rl".d,". que se obtiene sumando a uno y todos los múltiplos enteros de 2". Como ya se indicó, para cada u € U, el elemento y + 2 krr e H/2n ,/" '111" le corresponde en 9'-1 está determinado po.r la condición

ei (Y+2 k~1 =

l}

está definido con grupo abelia]lo respecto de la multiplicación de los números complejos: {U;·} (8; S). Se consideran los pares ordenados [u, v], con u, v E U, Y se define una relación de equivalencia en el conjunto de estos pares:

1111

5.3.

U.

Esta cadena de isomorfismos {A;

Á

+ }--+{U;

origina por composición: p.

= ~-l o

Á,

p. : A

~-1

.} -+{R/2rrZ;

~

+ },

que es un isomorfismo R/2IT Z.

En la aplicación biyectiva p. de A sobre R/2rr Z, a la adición de dos :'111gulos de A, le corresponde la adición de dos clases (mód. 2rr) correspllnilit'll. tes. Esta propiedad permite dar la siguiente

Definición: Se denomina medida de un ángulo a E A, la clase de lenda y +2 kIT (k E Z), que corresponde a a en el isomorfismo ". 5.4.

Daao un punto u

E

U, según la definición (8; 6.4):

arg u = "',

si

.1..(",) = 11;

Y por tanto, identificando los ángulos can sus medidas, es arg u

= y + 2 kIT,

con

k

E

Z,

¡'({/lí/'I/-

302

Funciones circulares

10l

FuncIones circulares

si

Las funciones cos x y sen x verifican la relación de Euler: e,r = cos x + i sen x.

f)

En pa.rticular, según las definiciones de coseno y sena del ángulo ",

coSx

=

9i'(u)

y

sen

(J

=

3(u)

y cama

u

=

el!!

=

cos y

+ i sen y,

donde en el segunda miembro cos y y sen y san las sumas de las series consideradas en (3.1), se tiene cos

'1.

= cos y

y

sen

x

= sen y;

la que prueba la coincidencia entre las definiciones dadas de cos a y sen las valares suma de las series correspondientes.

~

-1

con

Demostración: La definición a) y las propiedades b), c) y f) son

FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS E INVERSAS

6.

El coseno y el seno son las dos funciones circulares directas básicas. Se califican como circulares, parque se pueden considerar cómo los valores que toman la abscisa y la ordenada de cada punta de la circunferencia unita.ria para' las distintas valores de la medida del arco de circunferencia. De estas das funciones se obtienen par cociente la tangente y la cotangente. 6.1.

así cama la propiedad de decrecimiento del coseno en [ 0,

X E

oc

X2T

00

y sen x =

x2r+l

¿: (-1)' (2 r + 1)., ,~D

que son series absolutamente convergentes para todo x

E

e)

Las funciones cos x y sen x son continuas en R.

d)

Las funciones eos x y sen x son periódicas de período 2IT. La función cos x es decreciente en [O, ITJ Y creciente en [IT, 2,,]. La fun-

e)

. sen x es creezente en

r-

l

I'!' -2I'!'] Y decreczente . 71: -23IT ] . -2-' -2-'

[31' ' -!-

2 '

2~]

.r'

€

,

y teniendo presente que es 3n

e

R.

b) El dominio de las funciones cos x y sen x es R, y el recorrido [-1, 1] extremos incluidos.

., Clon

(o, ;]. será x + ---T-

3~ Y x+--€ '2

Las funciones coseno y seno están definidas por

= ¿:"~O(-1)' - (r)'2 .

CI"l'l'IIIIIt'11

estas mismas funciones en el primer "cuadrante" es decir, para (). Suponi.endo, pues,

Proposición:

cos X

y

to simultáneo del sena en el mismo intervalo. Las otras propiedadl'" "OH ¡-\l1I secuencia de la relación de Euler y de la propiedad fundarncn la I tI<- I.II'X ponencia!. El comportamiento de las funciones coseno y seno se puede n'f"11! ,ti .1,'

6.2. Las definiciones y propiedades del coseno y senO' ya estudiadas, junto con otras que son consecuencia, se reúnen en la siguiente

a)

TI,

COlloCI
j-

2

/2=-i

= i,

y

resulta:

.

(

/ """2)= iéx é

e é

IXH

)

= -é"

I(~) 1x + z.)

LlN~S-11

de donde

cos (x

de donde

cos (x

.' = -le" de donde

= él)

de donde

+ ;) = + IT) =

- cos x

cos ( x

+ ;71:) =

cos (x

+ 2IT) =

y

sen x

sen x cosx

y

sen (x sen (x

sen ( x

y y

+

+ IT) =

371:) + 2-

sen (x

~) ce

+ 2¡¡) =

['[", .r

SCU .\'

.... l'

sell

~

.1'

.1

304

Funciones circulares

"

2

lo

lO"

Funciones drcufares

3".

2

2

o

1,

"

x

Denotando por lo, /21 /1 e /3 los intervalos: lo

= [-

Il' Il' ] 3rr ] , I¡ -2-' -2-' 12 = [Il' -2-' -2-

= [O,

e 14 = [rr, 2rr]

Il']

como se indica en la figura, y teniendo presente que cos x es decreciente en

+],

[O,

La La El valos,

y sen x creciente en el mismo intervalo, resulta:

función cos x, decrece en I¡ y crece en l¡. función sen x, crece en lo Y decrece en 12, comportamiento de las funciones cos x y sen x fuera de estos interes consecuencia de su periodicidad: cos (x

+ 2,,) =

cos x

y

sen (x

+ 211") =

sen x,

Demostración: Resulta directamente de las definiciones y propied.ldl'·, las funciones cos x y sen x. Ir

En particular como el límite de tgx en -2- por la izquierda;:s

Il' en -'-2- por .

contmua en 6.3.

Proposición: Las funciones tangente y cotangente están definida$

Il'

a)

sen x tg x = - - - , para lodo X::F -2- + rrn y cosx cosx cotg x = - - - , para todo X::F 'lrn y x sen x Las funciones tg x y cotg x son impares: tg (- x)=- tg (x)

XE €

R.

1.111 f',!.111

Las funciones tg x y cotg x son continuas en sus domihios de definición. Los recorridos de las funciones tg x y cotg x son R. d) Las funciones tg x y cotg x son periódicas de período '!r.

T' +),

y cotg

toma todos los valores intermedios, y ,'"

(,"II~,I'

sen (x cos (x

+ rr) = + ;r)

-senx - cos x

=q~

y se procede igual para cotg x. Otra particularidad notable de estas funciones es que tgx crece en Cllillquier intervalo contenido en su dominio, y cotg x decrece. Se compllll'l);¡ 111

c)

te en (O, Il').

l'

cuencia el recorrido de tg x es R. Lo mÍsmo ocurre con cotg x. Se comprueba fácilmente que el período de estas funciones es ,,: ( ) qX+rr=

y cotg (-x) = - cotg x.

La f¡mción tg x es creciente en ( -

(Il' 11") - -2-' -2-

R,

b)

e)

, ",

des como se quiera, y negativos tan pequeños como se quiera. Sll'llIl" 1~'.. 1

que es la misma de la exponencial imaginaria

por

la derecha. es -oc, la función tiene valo.res posilivos

.1,.

x es decrecien-

mediatamente estudiando el crecimiento de tgx para x

E

[o, ; -1 y

en cuenta que es una función impar. La cotg x decrece pues es de tgx.

1<'111('11.10

1'l'dl'li l(',J

6.4. Como el coseno y el seno son funciones continuas y no mon,''''''J.I·,. no existen las funciones inversas; pero si se consideran las Tf"striecioll('" :1 111

Funciones circulares

306

tervalos en los que las funciones coseno y seno sean monótonas, ya es posible definir las funciones inversas que se denominan arco coseno, y arco seno respectivamente, Sin embargo es necesario precisar los intervalos en los que se consideran las restricciones del coseno y seno. Los intervalos adecuados son los que se han definido en (6.2): los 11 e 13 para el coseno, y los lo e Iz para el seno. Aunque no es frecuente, se usará una notación en la que de alguna forma se hace alusión al intervalo al que se refiere la función inversa. Definiciones: La función arcI cos x es la inversa de la funci6n restricción de cos x al intervalo 11 = [O, ¡¡J. La función arC3 cos x es la inversa de la función restricción de cos x al intervalo 13 = [IT, 2"]. La función arco sen x es la inversa de la función restricción de sen x al

intervalo lo

= [-

-T' +]. La función arc! sen x es la inversa de la fun-

. , restncClon " ' de sen x al znterva . la 12 = Clon

['Ji' 2'

371' ] . -2-

107 Funciones cIrculares

tg x al intervalo lo

=[

Proposición: Las funciones inversas de tg x y cotg x son continuas 11 1'.\ trictamente monótonas en R, que es su dominio de definición; are t~.r ,"f,',,'

(mtre -

2 71'

y

2

Ir

y are eotg x decrece entre

EJERCICIOS

]. _ Probar las siguientes fórmulas de Moivre:

L (- 1)1' (2 k)

[0/21

sen nx

COSn- 2h X

=(In-II/Z1 L (- 1)' ( 2 k + 1 )

cos·- z .-1 x sen2k + 1 x.

n

.

2. - Calcular las sumas: C(x)

3rr arC2 sen x decrece, y es arc zsen (- 1) = - - y arez sen 1 =

--o

~

2

La comprobación de estas propiedades es inmediata. Proposición: Las funciones 2k:n: + arcI cos x, 2k" + arC3 cos x, 2kn: + areo sen x y 2k:n: + arCl sen x, donde k es un entero fijo, son las inversas de las restricciones de cos x y sen x a los intervalos 11 + 2k", 13 + 2kn, lo + 2kn e h + 2kn, respectivamente. 6.5. Formalmente las definiciones para las inversas de tg x y cotg x, que se denominan arco tangente y arco cotangente, son más simples, pues la función tg x es siempre creciente en cada uno de los intervalos en donde está definida, y siempre es decreciente la función cotg x en los intervalos análogos. Los intervalos adecuados para considerar las restricciones de tg x y cotg x, son lo e 11 respectivamente. Sin embargo, para las funciones inversas, no es necesario el uso de los subíndices en la notación del arco.

sen2h x;

n

>=0

11"

~2~'

2

='

k=Q

areo sen x crece, y es areo sen (-1) = - -2- Y areo sen 1 =

y O.

Proposición: Las funciones k7l' + are tg x y kIT + are cotg x, dO/Hit' A 1'1 un entero fijo, son las inversas de las restricciones de tgx y cotgx rr lo., 111/1" valas lo + k'ff e 11 + kIT, respectivamente .

Proposición: Las funciones inversas de cos x y sen x son continuas y estrictamente monótonas en [-1, 1] que es su dominio de definición:

'ff

Ir

De la periodicidad de tg x y cotg x, con período ", resulta:

cos nx

arcI cos x decrece~ y es arCI cos (-1) = 'ff Y arCI cos 1 = O, arc] cos x crece, y es arel COS (-1) = 71' Y arc3 cos 1 = 2'ff,

La función arc cotg x es la inver,la lit'

la restricción de cotg x al intervalo I I = (0, 71').

7.

Cuando no haya lugar a duda se pueden omitir los subíndices escritos en la notación del arco.

-+, + J.

Definiciones: La función arc tg x es la inversa de la función restricción d,'

" k cos kx, =L

S(x) = ~.k sen kx. 1,=1

k=1

3. - Resolver las ecuaciones: arCo sen 2x ./1 x'. 2 are. sen x arco sen 2x - arco sen x .f3 = are. sen x.

=

4. - Estudiar las funciones definidas por f(x)

+

-= arc, cos [sen ( 2.. -

-T) ].

f(x)

= arc, cos (4..' -

3x).

5. - Resolver las ecuaciones: arc tg (

tg

1 arc tg - -

x

2X) + arc tg (cotg' x) = " + are tg .

1

a'-x+l

arc tg (cotg aJo

1 = arc tg - - , a-l

con

6. - En la ecuación cúbica x' -

px

+ q = O,

con

p > O Y q' < (

hacer la sustitución x = a sen~, y resolverla.

con a

-+-

€

p)

a € (O,"');

R - {1 }.

~

30'1 Funciones circulares Funciones circulares

308 7. - Si es

Ixl -<

Probar que lim

T'

v2 + 2

"1

Si

" v'2 = 2 sen 'o,

"1' ... ,

En, ... ,

1.

",,";2 +

-¡- ",

,J2 +

./2 +", v2 + ...

El

€

"1 ", X ) --2-

al,

;

v' 2 = 2 sen

-¡-( + T) : 1

(

¿n

1f

+"n v'2 = 2 sen - 4

k=O

"o •.. -2-k-

ek)

a" al, a" de manera que se verifique la identidad

sen' x = ao + a, cos x + a, cos 2x + al cos 3x + a, cos 4x. '1,

D"terminar los límites

lirn

"

~

tg (x

+

()

lirn

h) -

tg x

h

sen' (x

+ h) -

sen (x + h) sen x lim - - - - - -

;

100 n lim sen---;

sen' x. ,

Determinar ,,1

i.I~~

r¡ (

1-

VI -

sen

lim

n'-l

h I (l.

con

h

+-); lim n-,CO

ti

lim n ( 1 n-+CO

~

O, ± k'tC;

VI + tg x -

vl- tg x

senx

+ tg

1

x

+);

n( 1 - V31 l-sen -n1) ; x 2

lim 2n sen - -no fl

11.

••

'0

Probar que son continuas para todo x [(x)

1

= sen x cos - - y x

€

R, las funciones definidas por

{(x)

1

= sen' x cos - - , x

siendo {(O) = O en los dos casos. 12. ,- Probar que para n = 1, 2•... , si x = cos sen n~ sen a.

= 2n-1

xn-l

+ ... ;

Cf..

se tiena

cos n~ =

2n-1

xn

+

en donde los segundos miembros son polinomios con coeficientes enteros. J l. -- Se supone O < x ~ 1, Y se forma la sucesión recurrente

Xo == sen x,

Xl

= senxo, ... ,

Xn-fl

= senx n ,

= O.

. o dl'vergencia de las series siguientes: Estudiar la convergencIa 2 n sen 2-",' ~ n' sen x n, con < 1; ¿senx", con x < 1 ; ~ ~ ~

Ixl

II

1, + 1, probar

•

Determinar ao,

14. -

sólo pueden tomar los valores O, -1, + 1 probar

..._ X.

2 sen ( -4- +

sólo puede tomar uno de los valores O, -

e

Si

e, sen x =

., 1f

Xn

11-00:)

O. - 1, + 1, probar

y ., y ", sólo pueden tomar los valores

¿e-n(cosnx+isennx);

L (1-cos7)'

L n-'I> (n COS n1f + 1),con

""-l' n :;::::::,

con n>l;

~(I-cosn-312),

i:.r

¿

1 n sen -3-' con n n

con n> L

1;

17. La derivada 1. El problema de la tangente.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

La derivada. Reglas de cálculo de derivadas. Monotonía, máximos y mínimos locales. Derivada de la función inversa. Derivadas de las funciones elementales y circulares. Ejercicios.

La derivación permite el estudio local de las funciones, mientras que la Inlt'K"" lO',,, se aplica a los problemas globales. Aunque en sus orígenes la derivación y la inlt'K' ""'"'' se presentaron como procesos inversos, análisis rigurosos tanto de sus propicd;"ll", ,,,''"' de los problemas que originaron su descubrimiento, han conducido a estudio" "111"'"" I mos de cada uno de ellos. ' Siguiendo el orden asual se tratará primeramente de la derivación, qil" """'0 ".' 1". indicado es el instrumento para estudiar la variación local de una funci6n, y qllf' ,lo .. leel punto de vista geométrico equivale al problema de la tangente (1). Si f es una función real de variable real, la diferencia ((x) - f (a) mi.!.· J., '1'''' "" variado ]a función a lo largo del intervalo [a, xJ. Sin embargo este valor no C~ ""IY I"dl cativo, pues depende esencialmente de la longitud del intervalo, por 10 cLlal "o"vlrl'" considerar el valor promedio, es decir, f(x)- fCa)

x-a Esta variación media puede dar una información defectuosa sobre el comportllrtlirllt" de f en [a, xJ, que sólo será precisa para aquellas funciones en las que el valor I'rtlllIr,lio sea independiente de la longitud del intervalo. Cuando esto ocurre es (x)-f(a)

..:....:..c'--.-'-'--'-

x-a

= l,

o

f(x) -

f (a)

= l (x -

a},

por 10 que la función f ha de ser afín, y su gráfica cartesiana una recta, cosa Ifllr malmente no sucede. En todo caso, la variación media de f en la proximidad del punto a será talll .. fidedigna, cuanto menor sea el intervalo [a,xl, lo que lleva al estudio del If"dlr .

11m

f(x)-

fea)

x-a

IIlIt.

,

que cuando existe se denomina derivada de la función f en el punto x Si se designa por ('(a), se puede considerar la función afín (x)

1,.,'

= fea) + f'(a) (x -

=a

(2),

a)

111

312

La derivada

como aproximación de f en el entorno de x = a. Su gráfica cartesiana es la recta tangente a la gráfica de la función (2.2). Algunas propiedades de f son las mismas que las de su aproximación tangente. Así ocurre que si la pendiente fea) de la tangente es positiva, la función f será creciente en x = a, y si es negativa, decreciente (4.2); mientras que si la función es estacionaria en x = a, será {'(a) = O. Al introducir el instrumento de la derivación en el Análisis' se presentan inmediatamente dos cuestiones: la existencia de la derivada y su cálculo. No todas las funciones tienen derivada, e incluso la mayoría de las funciones continuas no tienen derivada. Este hecho fue muy controvertido durante el período crítico de finales del siglo pasado. Al principio se pensó que los puntos de continuidad sin derivada eran excepcionales. Esto ocurre con las funciones monótonas; sin embargo Weierstrass probó que existen funciones continuas sin derivada en ningún punto (2.5). El cálculo de las derivadas, que tiene menor importancia conceptual, responde a una técnica, que se basa en el cálculo directo de las derivadas de algunas funciones, entre las que se encuentran las elementales (6), y un conjunto de reglas, para obtener las derivadas de funciones a partir de otras de derivadas conocidas. Estas reglas son bien de tipo algébrico (3), o de naturaleza funcional, como son la derivación de las funciones compuestas (3.2) y la derivación de las inversas (5).

11 \

La derivada

1.

EL PROBLEMA DE LA TANGENTE 1.1.

Este problema está presente en los orígenes del Cálculo difl'fellá!l,

y se puede enunciar de la forma siguiente: "Dada una curva r Y un punto /' de la misma, determinar la recta que pasa por P y es tangente a 1a CurV,1 roo.

Se puede decir que salvo en el caso de la circunferencia, las secci()Il!"; ", nicas y algunas curvas especiales, antes del descubrimiento de Cálculo
1.2. Un modelo analítico de la formulación cinemático-g(,()llll:ll'It''¡ dd concepto de tangente a una curva, puede esquematizarse en los pllllt()~; '.1. guientes:

r

es la tangente a

'Y

en P

--1-....L-------'------..-

o

a

x

X

a) Sea una función f: 1 -'jo R, continua en el intervalo 1, y a (' I un pUIII. interior de l.

314

La derivada

Sea y el grafo de la función f; es decir, y = {(x, y) I y = «x), x € I}, cuya representación cartesiana se denominará curva; y sean pea, b), con b = fea), un punto fijo de esta curva y, y M(x, y) con y = f(x), otro punto de y. b) Designando por (X, Y) un punto del plano cartesiano, la ecuación de la secante a y que pasa por P y M es

Y-b= y-b (X-a) x-a e)

Escribiendo x - a = h, la definición de la derivada es fCa)

x-a

,x-+a.

se define como tangente a la curva

y

f(x) -fea)

f(x)

en el punto P la recta cuya ecuaci6n es

f(x) =

1.3. Se observa que el problema de la tangente equivale a la determinación de límites indeterminados de la forma lim f(x) - fCa) • x-a

f

enx

1-.+

y = f(x), también se emplean la notaci6n y'(a), y la clásica

para designar en a, partido reserva hasta dos términos

(x -

a)

+ ,,(x) (x -

con

a),

f es derivable

lim ,,(x)

pl1l"dl'

=

('~.(I

11111

0,

en a, y aJl'm;'I~

f'(a) = l.

f es derivable en

a, escribiendo

+ na) (x -

a),

t,

l'01111

. (x) -. g(x} l 1m =0, I-+!1

x-a

y en el denominador aparece x -

a elevado a la primera potencia, se die que g es una aproximación de primer orden de f en un entorno de a: (l (' términos geométricos, que las gráficas de f y g son tangentes.

f'(a) se lee

decir, x

fea) + l·

= O,

lo que indica que g es una aproximación a f en un entorno de a. Pero se verifica la condición más fuerte

Df(a).

"f prima de a", y Df(a} se lee "derivada de t en a". Cuando se designa por y el valor que corresponde a x ,en la función

con lim ",(x)

a),

se tiene que la función g es afín, y su gráfica cartesiana una rect ¡¡. Evidentemente es lim (f(x) - g(x» = 0,

x-a

f en a y se denota por "(a) o

+ «(x) , (x -

g(x) = fea)

= a,

2.1. Definición: Sea la función f:X-+R, con XcR abierto y a € X, se dice que f es derivable en el punto x = a, si existe el límite finitO': , '(x) - fea) 11m . Este límite se denomina derivada de

a)

siendo 1 E R un número fijo, la función

Si

LA DERIVADA

X-+a.

= fCa) + f'Ca) (x -

= ,,(x),

Inversamente, si la función f definida en un entorno de a, se en la forma

y - fCa) = m(X - a).

2.

('(a)

x-a

= m,

Si existe este límite, se denomina derivada de la función

h

Según la definición anterior, poniendo

Si cuando x <4< a (intuitivamente M tiende a P) existe fea)

+ h) - fea)

que es una forma muy usada.

x-a

, f(x) 11m

= lim fCa h~O

2.2.

y _ fea) = f(x) - fea) (X - a).

o

11',

La derivada

es

¡;a),

dicha derivada. Esta última notación se lee "diferencial de y por diferencial de x"; sin embargo esta forma de fracción se que en el estudio de las diferenciales adquieren un sentido los de la fracción.

Proposición: Si la función f: X -+ R tiene derivada en el punto (J, interior de X, existe una recta, y sólo una, tangente a la gráfica car(l'siana de f en dicho punto, que tiene por ecuación y = fea)

+ na) (x -

a)

316

La derivada

117

LB derivada

las derivadas laterales se calculan directamente: f(x)- feO) ..:...:..-' ----'---'--'- = arc tg -1x- , x-o

de donde 1r

f(O-)=-2

o

'Ir

f'(O+)= + -

y

2

x

a

La. tangente a la gráfica cartesiana de f en (a, tiene por ecuación y ::: fea) + ('(a) (x - a).

fea)~

2.3. La definición de derivada se generaliza considerando límites laterales. Definición: Sea la función f: X --+ R Y un a E X, tal que existe un (j> O para el que es (a - , j , aJ c X. La función f es derivable en el punto x = a por la izquierda, si existe el límite finito fCa) x-a

f(x) . 11m

,

y

= fea) + {'(a - ) (x -

a)

para x

~a

y

= fea) + {' Ca +) (x -

a)

para x

~ a,

e respectivamente. Si {'(a -):¡i= {'(a +) la gráfica de f tiene un punto anguloso en a.

~

2.4. La definición de derivada también se generaliza considerando infinitos.

, f(x) - f(a) 11m

x-a

=

, si

x=o,

,'/1

+ 00,

Análogamente se define f'Ca) = -<00, Adviértase que en las definiciones de derivadas infinitas en un punto, exige la continuidad de la función en el punto.

<;"

J

xarctg+. si

~O

Ilnll ... ·.

Definición: Sea la función f:X--+R, con Xc R abierto y aeX. Se dice que la derivada de f es +·x en el punto x = a, si f es COlllil/lI11 a, y existe el límite infinito

Ejemplos: 1. - La función ¡(x) = x3' tiene derivada la función es manifiestamente continua en x = O, Y es

En la función definida por f(x) =

La gráfica de f tiene un punto anguloso en x::: O.

Las derivadas son distintas, y el origen es un punto anguloso.

Este límite ~e denomina derivada de f en a por la izquierda, y se denota por f(a-) o Dt(a-). Análogamente se define fCa +) o Df(a +) que son las derivadas de f en el punto a por la derecha. De. la misma forma que se presenta la tangente a la gráfica ca.rtesiana de f en el punto a, se define las semitangentes por la izquierda y por la derecha, que son las semirrectas de ecuaciones:

Ejemplo,

o

liro "'..o

f(x)-f(O) x~O

.

= hm .....o

X 3

-~ X

=

+ 00

+

00

en x = O, pUt'~

318

L8 derivada

JllJ

La derivada

2

Demostración: De la igualdad (1.2)

2. La función f(x) = x3 no tiene derivada infinita en x = O, pues aunque es continua en este punto, se tiene t(x) -feO)

x-O y cuando x ---+ O el límite es

+ 'x

=

('~

= fea)

al hacer tender x

1 =-X-=-l-'

-+

+ f'(a) ex -,' a) + a(x) (x lim f(x) = fea)

o - 'x, según que sea x> O o x < O.

1 si O si -} si

El mismo razonamiento es válido en el caso de las derivadas la1cra \t'~;.

l

· f(x) - feO) lxl~ x-O

Proposición: Si la función f tiene derivada finita por la izquierda (d{'n'dlll) en el punto x = a, es continua por la izquierda (derecha) en est? pUl/fu. Las proposiciones recíprocas no son ciertas. Una función puede ser COII tinua en un punto y no tener derivada en el mismo.

x> O x

con lim !l(x) = O,

a),

a los dos últimos términos tienden a 0, luego

x3

3. -- Para la función definida por

f(x)

f(x)

=O

x< O,

Ejemplos: 1. - La función definida por l'

=}!

1

Tx!= +00.

fex) =

~

xsen+. si x;i:O si

( O,

Sin embargo la derivada de f no existe, pues no es continua en x = O.

es continua en el punto x = 0, pues If(x) I < f(x) -

feO)

x-O

Ix!,

x= O

sin embargo

'11'

= sen-x

no tiene límite cuando x -+ O.

o

o

l.a función (x) = X '/J tiene derivada + cx' en x = O.

La

función f(x) = x'I' no tiene derivada en x = o.

La función f(x)

= _x_ Ixl

no tiene derivada en x

= o.

Considerando los límites laterales se pueden definir las derivadas laterales infinitas. 2.5. Con lenguaje geométrico, la existencia de derivada implica la de tangente a la gráfica de la función, y la de tangente implica la continuidad de dicha gráfica. Esta propiedad es consecuencia inmediata de la definición de de.rivada:

Proposición: Si la función f tiene derivada finita ('(mlinua en este "{YUnto.

?n

un punto x = a, es

2. - La función continua y creciente estudiada en (14; 3.5) tiene df'ril'tIIlII nula en todos los puntos interiores de los intervalos en los que es wnslanlt-. En los extremos de estos intervalos la función no tiene derivada. Si a es el extremo inferio~ de uno de estos intervalos, tiene una representación de la forma a = 0, b" bo ... , b"'_ l 1, en el sistema de base 3, don de las cifras b 1, ... , b n _ 1 son O O' 2. Al sustituir la cifra 1 un por O y agregan sucesivamente cifras iguales a 2, se obtiene la sucesión {a.",} con

donde las cifras b n+1' ••. , bm son iguales a 2. De acuerdo con la definición de f es:

bl

f(a)=7+'"

b"_1

1

+-F+Y

y fCa.",) =

b1

22 +

... +

b.._t

Tn +

2 2"'+2

2

+ ...... + ~'

121 320

La derivada

La derivada

Se aplica la derivada del producto.

y evidentemente o: - "m

1 = 0,00 ... 01 = -3'"

f(rJ.,,)-f(o:) =

(1

1

1 )

2m - 1 =~

1 3m

1

cuyo límite es + 'oc cuando n -+ 'x. Como la derivada por la derecha f(':1. +) es nula, resulta en consecuencia que no existe derivada de f en x = rx. Igualmente se comprueba que no existe derivada en cada uno de los extremos superiores de los intervalos en los que f es constante. Observación. La relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función fue objeto de controversia a finales del siglo pasado. ~ceptada la existencia de puntos de continuidad sin derivada, podría presumIrse que estos puntos serían excepcionales. Weierstrass zanjó la cuestión dando un ejemplo de función sin derivada en ningún punto. En el último ejemplo expuesto, los puntos sin derivada tienen todavía un carácter excepcional, por tratarse de una función monótona. Para estas funciones monótonas continuas, el conjunto de los puntos sin derivada tiene siempre medida nula.

y también lo es - '~ si g(a) =;6 O. g

I

vada es:

)

(g o f)' (a) = g'(fCa» • fea).

Demostración: Como f y g son derivables en a y b respectiv~1I1H·IIIl·.

tiene f(x) = fea)

g(y) = g(b)

con

= o.

IJ---71¡

Sustituyendo en la segunda de las igualdades anteriores y X €

pOI'

/(1' l,

= g(f(a» + g'(b) (t(x) g(f(x»

+ g'(b) ~(x) (x (g'(b) . ",(x)

(f ± g)'(a) = ('(a)

con

g(a)::¡!:.

O.

fea))

+ ¡¡(t(x)

. (f(x) -

Proposición: Si f(x) = xn es f(x) = nxn - I , para todo x

a)

fea)),

= g(f(a» + g'(b) ('(a) (x - a) + + ¡J(f(x)) «('(a) (x - a) + ,,«x) (x -

€

R.

+ ¡I{f{x»

('(a)

+ (l(t(X»

a).

,(x» (x - a) = )(x)(x - a),

donde se ha designado por ¡,(x) el primer paréntesis, Como ¡¡m a(X) = O Y lim ¡¡({ex»~ = Iim fi(y) X---4/1

resulta

Basta aplicar la definición de derivada.

,1111

X, se tiene

Estos tres últimos sumandos se pueden escribi.r en la forma

+ g'Ca) fea) ¡(a) + f'(a) g(a)

',C'

+ ('(a) (x - al + 7.(X) (x - a) + g'(b)(y-b) + ¡i(y)(y-b),

lim CL(X) = O Y ¡im ~(y)

Además se tiene:

,(a) = g(a) fea) - f(a) p;(a) (_f_) g g(aY

R.

€

Proposición: Se supone que la función f: X -+ R; ,con X e R (/J¡i.'r/¡I. ~ 1""" derivada finita en el punto a € X; Y que la funcwn Ji : y -. R, COII ) ( H abierto que contiene a f(X), tiene derivada finita en el punto h = I I ti) Entonces la función compuesta g o f: X -+ R es derivable en a, !f .\/1 di '/1

3.1. Proposición: Si las {unciones {: X ~ R Y g: X -+ R, con X e R abierto, tienen derivada finita en el punto a € X, entonces las funciones f + g, f - g,

(f· g)'(a) =

para todo x

.~1

y volviendo a sustituir ((x) - tea) por su valor dado en la primera de la:; dades citadas, resulta

REGLAS DE CÁLCULO DE DERIVADAS

f . g son derivables en a,

= ¿ kak x1<-',

3.2. Una de las propiedades ca.racterísticas es la referente a la ,k,iv.ld.1 de la función compuesta, también llamada "regla de la cadena".

g(f(x))

3.

es f(x)

Consecuencia de la derivada de la suma y del resultado anterior.

l f t - ~+ ... +p

rJ.,,-o:

= ¿ akx" t~O

Para el cadente de diferencias, se tiene

1

~

n

Proposición: Si f(x)

para m;> n.

I411

lim r(x) = O.

tj-I,

= O,

\l',II,II·

322

La derivada

En consecuencia

121 LI1 derlvsdl1

resulta, que para un

g(f(x» = g(f(a»

+ g{b) f'(a) (x -

a)

+ y(x) (x -

a).

f(x) - fCa) x-a

lo que, en virtud de (1.2), prueba que es

I'(a) existe un entorno U(a) e X, tal que es < -2-'

> f'(a) _

f

>

f'(a)

> 0, para todo

x

U *(a),

€

2

lo que prueba que f es estrictamente crec. iente en a.. Si es f'(a) =, + ce, dado un k > 0, eXIste un en t omo U(a) e X. tal quc ,"

(g o f)'(a) = t(f(a» . f'(a).

4.

E

f(x) ~ fCa)

MONOTONIA, MÁXIMOS y MINIMOS LOCALES

> k> 0,

para todo

x

€

U*(a),

x-a

4.1. Las definiciones referentes al crecimiento y decrecimiento locales (14; 1.3), se pueden presentar en forma más adecuada al cálculo en el caso de funciones derivables.

a

€

lo que prueba que f es estrictamente creciente en a. . Análogamente se razona cuando la derivada es negatIva o ---,.

Definiciones: La función f: X ~R, con X e R, es creciente en el punto X, cuando existe un entorno U(a) e X, tal que es f(x)- f(a}

...:..:.~--.:..~ ~

x-a

0,

para todo

f

x E U*(a)

La {unción { es decreciente en a, cuando existe un entorno U(a) e X, tal que es (x) - fea) --'-'-'---":"';"':'" ~ O, para todo x € U*(a). x-a

I

U(a)

o

implica

f(x) ~ fea),

y x> a implica

f(x)

~

a

f'(a)

('(a) > o, f es en a estrictamente creciente.

Con U·(a) se ha designado el entorno reducido. Al suprimir el signo igual en las condiciones anteriores, se define el crecimiento y decrecimiento estrictos. Es evidente que, en el primer caso, x< a

o

11

= + ,ex;.

".,

,'f(

a estrictamente creciente

fea),

para x E Vea), que son las condiciones de crecimiento local. Lo mismo se puede decir en el caso de decrecimiento. 4.2. La proposición siguiente establece un criterio que permite asegurar el crecimiento o decrecimiento locales de una función derivable.

Proposición: Sea en el punto a € X. Si mente creciente en a. mente decrecient(J en

la función f: X ~ R, con X e R abierto, d(:!rivable es ('Ca) > O o f'(a) = + '~, la función es estrictaSi es f'(a) < O o f'(a) = -
Demostración: Si es finita la derivada f'(a) > 0, de liro f(x) - fea) = f'(a),

x-a

o

o

a

a

= - oo •.f es en a estrictamente decreciente.

{'(a) < o. f es en Q estrictamente decreciente

{'Ca)

4.3. Definición: La función f: X ~ R, con X e R, tiene en el punto ti' " el máximo local f(a) , si f!Xiste un entorno Vea) e X, tal que es f(x) ~ fea),

para todo

x

E

Vea).

'1", ,~

324

La derivede

función f tiene " locaI Uta)Lae X, tal que es en el punto a e1 m¡mmo f(x) ;;? f(a),

para todo

x

E

fCa), si existe un entorno

Uea).

Los máximos y mmlmos ,. locales también se denominan máximos y ml'nz'mas relativos. má!Im': supri~: el signo. igual en las desigualdades anteriores, se obtienen los s y mlmmos estrictos locales. Si la función f: ' X -+ R con X e R, t'lene un maxtmo , . , . molProposición: ah l t I (mlm" so u .en e punto a, y a es un punto interior de X, la función tiene un maxlmo (m¡mmo) local en a.

?

Ej~m.Plo. La función f(x) = X2 definida en el intervalo [-1 + 1] 1" un maxlmo absoluto en los puntos _ l I S ' ' " lene no tiene má' l I . Y + . In embargo en estos puntos En el puntox~m~a ~ca '. ~ue~ ninguno ?~ los dos es punto interior al intervalo. . t . . ' unClon tIene un mlnImO absoluto, y como el O es un punto menor del mtervalo, también tendrá en él un mínimo local.

mie!'~ oL~ pro~s!ción (4.2) que es una condición suficiente para el creci. . ., ec.reclmlento en un punto de una función derivable en él 1 a las hlpotesls contrarias se transforma en una cond'c" .' a pasar existencia de un máximo mínimo locales. 1 IOn necesana para la

°

Proposición: Sea la función f'. X, .-+ R ,con X e R abIerto, . en un punto a E X Si f t' derivable {'(a) = O. . lene un maxlmo o un mínimo locales en a, es Si, fuera. {'(a) > 0, f sería estrictamente creciente en f serIa estrIctamente decreciente en a.

a; y si

fuera f'Ca) < 0,

'.11

derivede

La condición f'{a) = O es necesaria para la existencia del máximo o mínImo locales en a, supuesta la existencia de la derivada, pero no es suficit'III""

l~n

Ejemplos: 1. ~ La función f(x) = x 3 es estrictamente monótona creci"II'" todo punto x, y la derivada f'(x) = 3xz se anula para x = O.

2. _ La función f(x) = Ixl tiene un mínimo relativo en x = O Y t'vidcIII,· mente la derivada no' se "anula en este punto, pues no existe.

5.

DERIVADA DE LA FUNCIÚN INVERSA

5.1. En la derivación de la inversa de una función dada f intervicll!"1I 11 ,"', cuestiones: la existencia de la función inversa t-\ que se habrá de ~1I1'''I\I"1 . la existencia de su derivada, que en parte es consecuencia de la l.kriv.lhl1rd"d de f; y finalmente, la fórmula que da la derivada de la función inVL'l"s:1 ("11.111<1 .. se cumplen las condiciones anteriores. Antes de exponer la proposición que recoge los apartados an ... rillr .. ·.. ,.,' dará un lema que completa las propiedades de las funciones mon{ll(}Il.I~ ,",111 diadas anteriormente (14; 2.2). Proposición: Si una función f; 1 -+ R, es continua en el interl'u/" I ( It, posee función inversa, es (!'strictamente monótona en l. Demostración: La existencia de función inversa implica que

r es

1I

InVl"c1IV.1,

es decir, si x' #- x" es f(x') #- f(x"). Para cada par x', x" E 1, como t es continua, tiene un máximo Y 1111 1111 nimo en [x', x"], y se puede asegurar que los alcanza en los extremos "(' ,·~.k intervalo. Si fuera f(x() el máximO de f y lo alcanzara en el punto XII i"t .. nor 11 del intervalo [x', x"], se tendría f(x l ) < f(xo) y f(x") < f(xo), y para cada '1 '1 1" fuera

{(x')

<

'1

< ((xo) y f(x") <

'1

< {(xc),

existirían dos antiimágenes ~'€ [x', xo] y ~"€ [xc, x"], en virtud del tcor('IlIi1 del "valor intermedio" (13; 2.3), en contra de la hipótesis de cxis1t-nCloI de la función inversa. De la misma forma se razonaría para el mínimo. Suponiendo 1 = [a, bl (10 que no restringe la generalidad), si es f(a)' fU,)! entonces f es estrictamente creciente; o sea, para cada par x, x" ( /. ('(111 x' f{b) la función f sería estrictamente decreciente.

o

a, a,

e,

o

e,

°

= o.

real) = 0, {'(a,) = 0, ['(a,) = y f'(an) fea,) y f(a,) son dos máximos locales. fea,) y f(a.) son mínimos locales.

('(a) = O.

fea) no es ni mdximo

ni mínimo locales.

5.2. Como en el problema de la derivada de la función inversa se Ir,11.1 una cuestión local, se supondrá que la función f está definida en un illln"

127 La derivada

326

La derivada

valo J, Y que en un punto a interior se supone la existencia de la derivada. Proposición: Dada la función f: J-+- R, continua en el intervalo J en el q~e posee función inversa, y sea a un punto intmor de J, en el que. { tlene derivada finita o infinita. Entonces la función inversa f- I es denvable en el punto b = {(a), y su derit,ada es: 1 {'(a)

O

+ <:x: -x

si

f(a)#=- O

si ('(a) = + ,oc o f(a) = -oc. sí fea) = O Y es f creciente si f(a) = O Y es { decreciente.

I?emostración: Para abreviar, la función inversa {-I, que es continua se desIgna ~r g. La funci~n f es estrictamente monótona en el intervalo J, y la g es estrIctamente monotona en el intervalo Y = f(I), (14; 2.2). Para todo y E Y - {b} es g{y):;i::- a; pues g es inyectiva (l; 4.5), Y además lím g(y) = g{b) = a. Por otra parte, para todo yeY-{b} se tiene

g(y)-g(b} g(y}-a = (f(g(y»-f(a) y- b = -f-(g--"'(y~))'-----f(-a)g(y) - a

)-1 .

Si es {'(a):;i::- O, finita o infin;ta, segu'n la regla del 1'· • ImIte de 1a aplicación compuesta, es lim ~(g(y» - fea) = na), y~b g{y)-a de donde resulta, en este caso g'(b)

Si es f(a)

= O,

= lim

Las pendientes de las (ml:,'I/(,", en los puntos simétrico,1 (d. 1("J1

Las gráficas de las funciones inversas y ¡-I, son simétricas respecto de la bispctric del primer cuadrante.

y

(f(a),

a) = (b.

¡-'eh)).

6.

6.1. Las derivadas de las funciones elementales, se pueden obtenn .1 1'.11 tir de la derivada de la exponencial, por medio de las reglas rdcfnll r' .. 1 1, derivación de las funciones compuestas y de las funciones invers;¡s, 11,,111',1 la derivación de las exponenciales de base cualquiera se reduce a 1<1 dl' l. exponencial de base e.

Proposición: La derivada de la función e' es '(e")'

para todo x

E

= tr,

R.

Demostración: Según la definición de la derivada en x = a es

(tr)

= Iim X=(l

x~a

e"

-

X -

ff1.

a

e"-a - 1 = e" lim --~ x- a

pero, escribiendo x - a = h, según (14; 1.4) es lim 1I~b

g(y) - g(b) y--·b

=

e"-l lim -h--= 1, h-+O

,:xy.

El signo se puede prec.isar, ya que (3.1) el cociente es positivo o negativo, según que g sea creCIente o decreciente en b, 10 que ocurre cuando lo es f en a.

/,', I

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EI.EMENTALES y CIRCULARES

g(y) - g(b) 1 =-y-b f(a)

se tiene

,Ion

proca~.

y así resulta Para un a cualquiera resulta la fórmula de la p.roposición.

328

La derfvada

6,2, Para la derivada de la función logarítmica, se estudia en primer lugar la neperiana, que es la inversa de e",

Proposición: Las derivadas de las funciones coseno y seno son (cos x)' = - sen x,

Proposición: La derivada de la función In x es I 1 (lnx) = - , x para todo x € R+.

Demostración: Sea a = In b con b> O, o bien b

12'1

La derfvada

para todo x

€

R,

Demostración: A partir de las fórmulas que dan las diferencias de nos y senos (16; 3,2):

= lfl,

cos x

La regla de la deri-

~

(lnx)

1

"'=b

=-=-, lfl b

= e".lna y lag. x = log. e ,In x

lnx o log,. x = -1-'

na

I

(ces x t __

n= lim :e...

sen x - sen a __ ll'm cos ~ ll'm (sen x)~=a = lim ---X --..:.

r _1 X

= x' . r • -1- = r ' x x

T

1 -

•

6.4, Las derivadas de las funciones circulares directas se calculan según la definición, teniendo presente que es

sen h lim -h--= 1, 1< .. 0

como ya se probó (16; 1.4).

x-a sen--2

= cosa,

x-a

2:J>4.a

2 pues tanto el seno como el coseno son funciones continuas, y los mites son iguales a 1 (16; 3.2).

{IiIIIllCl',

Proposición: Las derivadas de las funciones tangente y cotangent('

=~, cos x

con 1

-~,

sen x

x'#=~2 + k1r con x'#= k1r

Y x y

x

€

€

1I

.\01/

R,

R.

Basta aplicar la regla de la derivada de un cociente,

y aplicando la .regla de la derivación de la función compuesta, es In., •

Z'~a

a

(cotg x)' =

Demostración: Se puede escribir

sell ,1

a

X -

"'->a

2

para todo x

R+.

sen-- 2 lim - - - - - -

z~a

(tgx1

r

x-a

sen~,

= -lim sen::'-+2 a

*--

6,3. Proposición: La derivada de la función potencial x r, con r real cualquiera, es

=e

+a

x-a

COS COSxX_-a a

~~a

Proposición: Las derivadas de las funciones de y 10go x, con a> O y a -# 1, son respectivamente: 1 1 (a"') = a"' In a, (lag. x) = - - , log., e = . -1. x x In a

(x r ) I

x

x-a

se tiene

y se aplica la regla de derivación de la función compuesta:

E

+a

sen x - sen a = 2 cos --2-

1

Para un b > O cualquiera resulta la fórmula de la proposición, Cuando las funciones exponenciales y logarítmicas se refieren a una base cualquiera a> O Y a # 1. se parte de las igualdades (15; 5 Y 6): cf'

x

C()~('­

cos a = - 2 sen --2- sen -2--

vación de la función inversa (5), da

,

(sen x)' = cos x,

6,5. Las derivadas de las funciones circulares inversas, resultan tll' 1.1 aplicación de la regla de la derivación de la función inversa. Sin embargo, en los casos del coseno y seno se han de precisar los 11I1,'tvalos en los que se consideran las restricciones de estas funciones, a ,,11'1'10', de que existan las funciones inversas (16; 6.4), pues los valores de sus ti,,! I vadas difieren en el signo. En los casos de la tangente y cotangente no se P)"[" senta este problema (16; 6.5).

Proposición: Las derivadas de las funciones arco seno son (arco sen X) =

+

vi-=xl'

1

(arc l sen x)' = _ fJl _ X2' con x

E(-

1, 1).

330

L8 derivada

111

La derivada

1 2.-Sea f definida por f(x)=x 2 sen--, si x¡éO y [(0)=0; y sean h y k dos

Las derivadas de las funciones arco coseno son

f\Jll~

X

(arc¡cosx)•

1 = -Vl-X· or---.'

.

(arc3cosx) =

+

1 2' con x €(-1, 1). Vl-x

Demostración: Sea b = arco sen a, o bien a = sen b con -

€

(-

< b<

;

; .

Hallar: feO) si es (x)

La regla de derivación de la función inversa da ,1 1 (arco sen x) = ~-- = _-=~==;:-:::r~" cos b + .vI - sen2 b Para un x

ciones para las que es h'(x) = sen' (sen (x + 1», k'(x) = f(x + 1) h (O) = 3, k (O) = O. Hallar; (/ o hY(O); (k o fY(O) y rl'(x') donde ,(x) = h(x').

1

3. -

" sen f(x) = x sen--

x

de la propo-

sición. Las otras derivadas se obtienen análogamente.

f(x)

Proposición: Las derivadas de las funciones arco. tangente y arco cotan-

= arc tg a,

con x

T

o· bien a = tg b con -

€

x~a

= cos

2

b=

1

1 ,

+ tg> b

< b<

T'

+ aZ •

Para un x E R cualquiera, resulta la fórmula de la proposición. La otra derivada se obtiene análogamente.

7. 1. -

r,

f(x)

=

g y h de la siguiente forma:

1 sen - - , x

1 g(x) = x sen - x

y

feO) = g(O)

y

x¡éO

1 a) f(x)=---cos--. si x¡éOj {'(O) no existe. x' x

e)

h'(x)

= 2x sen -x1- -

si x¡éOj g'(O) no existe.

1 cos - - , si x ¡é O; h'{O)

x

n

I \.

9.

a f(x) e f(x)

+b.

a (xl)

+d '

a) t'(x) = 0, b) f'(x) = O, O, e) f'(x) d) {'(x) = 0, Determinar a,

para para para para

n - 1 números x precisamente. ningún x, si n es par. un x exactamente si n es par. k números x exactamente, si n - k es impar.

b, • Y (3 eon la condici6n de que sea:

=

1

1 1 1 = sen--~--cos--, x x x

1 --o

r(ax + b) sen x + (.x + (3) cos x]' x cosx; igualmente, determinar a, b, e, "', (3 y '1 con la condición de que sea:

Probar:

g'(x)

si x = O. y para Ixl =

f(x,) = a" "(x,) = a" f(x,) = b, Y ('(x,) = b" siendo x, ¡é x" y ah a,. b, y b, números reales dados. Demostrar que existe un polinomio f de grado n tal que es:

=

1 h(x) = x' sen - - , si x

= h(O) = O.

b)

= O,

+ b f(x) + e • f(x') + ,8 f(x) + y 5. - Probar que si f es derivable en x = a, entonces It1 es también derivahlr 1'1' x = a, si fea) ¡é O. Dar un contraejemplo si es fea) = O. 6. - Probar que si f y g son derivables en x = a, entonces las funciones m:\x. Ir, 11: y mín. {I, g} son derivables en x = a, siempre Que sea fea) # g(a). 7. - Encontrar un polinomio f de grado mínimo tal que se verifique 8. -

EJERCICIOS Se definen

n

" sen-x

4.-Si f es una función derivable, hallar las derivadas de las funciones f(¡¡:¡:X;); JtC.;x)'; f(J(x-~)(x-f3»; t(X"');

= __ 1_ 1

1 Ixl ¡ é - ,

, si x¡éO y

n

R.

La regla de la derivación de la función inversa da (are tg x)'

O.

... ± - ....

= __ 1_, Y (are cotg Xl = - __ 1_, 1+x2 1+x2

Demostración: Sea b

1

es continua en todo R, y no admite derivada en los puntos x = O, I

gente son (arc tg Xl

O, Y además g(O) = g'(O)

Probar que la función f definida por

+ v'l-cr'

T' ; ) cualquiera, resulta la fórmula

= g(x) sen _1_ para x ¡é O y t(O) = x

=O

y lim k'(x) no existe.

"'.. o

[(ax' + bx + e) sen x + (ox' + f3x + y) cosx]' = x' sen x. 10. - A partir de la f6rmula de la suma de los términos de una progresión geométrkll hallar expresiones reducidas para las sumas: 1 + 2x + 3xl + ... + nx"-', y I'x + 2'x' + 3'x' + ... + n':t".

l l . - Expresar en forma reducida las sumas siguientes sen x + 2 sen 2x + ... + n sen nx, y sen x + 3 sen 3x

+ ... + (2n ~- 1) sen (2n -

\ ) .\

332 12. -

Sea f una función definida en un intervalo abierto 1, continua en x supone que existe lim fÍJJn} - (Xn) = L,

La derivada

La derivada

= a E l.

24. -

Se

Yn-Xn

para todo par de sucesiones {Xn} e {Yn}, con Xn, Yn y lím Yn = a.

l, Xn < a < yn, y lim Xn

€

Probar que existe {'(a) y es igual a L. (La condición de continuidad de x = a es indispensable.) I 1. - Sea f definida en un intervalo (- a, a), y continua en x y que existe . (x) - f(kx)

11m

=a

71-+00

= O.

en

Se supone k E (O, 1),

=L.

x

Probar que { es derivable en x = O, y calcular ['(O). 14

l',.

Sea f una función definida en [O, a), con 0, determinar

Sea

lim

2:

n----»::;O

p:::::l

fCO) =

(-7) .

f una función definida en [0, a), con feO)

O, determinar

2:" f

lim

O, y derivable a la derecha de

= O,

Y derivable a la derecha de

1)

(--.

110.

n +p Dada f definida y con derivada f' en el intervalo (O, IJ, Y tal que !f'(x)J < 1.

17.

-- Demostrar que las tangentes a la elipse e hipérbola sólo tienen un punto común

111.

-- Hallar los puntos de la curva de ecuación y = paralelas a la recta y >X.

n.....ro

Definir a n =

t ( +),

p=1

para n = 1, 2, ... , Y demostrar que existe

!!.~ ano

con estas curvas.

1'1.

=

en los que las tangentes son

En cada uno de los casos siguientes, determinar los intervalos en los que f es creciente o decreciente, y encontrar los máximos y mínimos (si existen) en el conjunto en el que cada f está definida: {(x) = x' + ax + b; b) {(x) = In (x' - 9); e) ((x) = x'l' (x-I)';

x € R

a)

d)

20. -

x',

~nx

f(x)

= -x-

JxJ O

> 3


= O;

si x:;60, feO)

n

O
Hallar los máximos y mínimos de las funciones

,..-;----:----,- (x -- 3)'1' (x - 6)'/'; ,¡ ax x'; .Jx/a + a/x ; sena-x; tg'x-2tgx; sen 3x cosX. 21. - Si x" + yn = a, determinar los valores x e y para los que es máximo el producto xy.

es

+y

= a, determinar los valores x e y, para los que es mínimo xn

22. -

Si es x

23. -

Hallar el mínimo de

. p,(x-ai)'

¿

l=1

donde los Pi son números positivos.

+ yn.

333

Inscribir un cilindro en un cono circular recto de manera que: a) tenga volumen máximo; b) su área lateral sea máxima; e) su área total sea máxima. 25. - Dada una esfera, inscribir en ella: a) un cilindro recto de volumen máximo; b) un cilindro recto de área total máxima; e) un cono recto de volumen m:'ximo. 26. - Una recta que pase por el punto (a, b) intercepta sobre los ejes coordenados rectangulares los segmentos OP y 00; determinar: a) el triángulo OPO de ;íre" mínima; b) la recta para la cual es mínimo OP + OQ; e) la recta para J:¡ (,11,11 es mínimo Op· OQ; d) el segmento PO de longitud mínima. Hallar un punto en un triángulo tal que la suma de los cuadrados de 1"., ti is tancias del punto a los vértices sea mínima. 28. - Hallar el área máxima de los rectángulos inscritos en una elipse de "·lIli,·),,,. > Y 4. 29. - Hallar el área máxima de los triángulos isósceles inscritos en la elipse
18. Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial 1.

2. 3. 4. 5. 6.

Los teoremas de Rolle y del incremento finito. La funclón derivada. Fórmula del valor medio de Cauchy. Regla de [,Rópital. Derivadas suceszvas y teoremas de valor medio generalizados. Ejercicios.

El conocimiento de la derivada de una función en un punto, informa '01",· ',11 variación en un entorno del punto, y también el teorema cláslc~ del incremento /11/1(., 0.2) se refiere a la variación de la función en un intervalo. Sin embargo hay 1111;\ d,j¡' rencia esencial; en el primer caso la "magnitud" del entorno es desconocl.Lt. """,,11.,', que en el segundo el intervalo está fijado "a priori", es decir, se trata de 111\ ¡,'"""",, global. Este teorema, así como sus generalizaciones (3) y (5), se basan en '" "'",.,'''''' ,1,' Rolle (1.1), que a su vez traduce a las funciones derivables la propiedad .1<- 1"" 1,", ciones continuas, en la que se asegura la existencia de máximo y mínimo clI""d" ,",1.1" definidas en un intervalo compacto. Es tan frecuente el uso del teorema del illl'''''''''IlI" finito a 10 largo del Cálculo diferencial que puede calificarse como uno de lo~ 1111111.. mentales. Entre las primeras aplicaciones, se presenta el estudio de la función e/crin,,/a I.'J. de uní! función dada f. Para una función cualquiera, definida en un intervalll. "" ,", fácil indicar condiciones que la caractericen como derivada de otra, Una (IIIlI'¡'-'" derivada t' puede no ser continua, sin embargo tiene la propiedad del ¡¡arOr ¡/l/I'/'IIII'.!'" (2,2), que es una propiedad muy específica de las funciones continuas en un intl'lval .. , Desde el punto de vista geométrico, tanto en el teorema de Rolle como ('n ,,1 d.·, incremento finito, se asegura la existencia de una tangente paralela a la cllerd .. 'IIlI' une los extremos de un arco de curva plana, En el caso considerado por Calle/III (1.1) la curva está definida por sus ecuaciones paramétricas. La fórmula de Cauchy permite demostrar la regla de l'Hópital, una de la, IIl.h populares del Cálculo diferencial. Aunque el campo de aplicación de esta re~1;¡ ." limitado tiene gran atractivo, por presentarse corno método sistemático para el dle"l" de los llamados límites indetenninados, y por la sencillez de su formulación (4,1), Por otra parte, la regla en su versión más sencilla tiene un claro sentido genll',' trico. Si dos curvas pasan por el mismo punto x = a, del eje de abscisas, para h"I"'1' el límite de la razón de ordenadas, se sustituyen las curvas para sus tangentes CII \,1 punto, y el límite es el cociente de las pendientes. Otros casos de indeterminación, (4.3) y (4.4), por una manipulación adecuarla '" pueden reducir al caso del cociente, típico en la regla de ['Rápita!.

31') UNÉS-12

336

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

Una generalización de la fórmula del valor medio de Cauchy (5), requiere la introducción de las derivadas sucesivas (5.1). El aspecto formal del resultado es análogo al de la fórmula ordinaria, sustituyendo las derivadas primeras por las de orden superior (5.6). Las derivadas de los órdenes sucesivos constituyen el instrumento idóneo para pa~ar de las aproximaciones afines de una función, en el entorno de un punto, a otras de orden superior.

317

Los teoremas del velor medio del Cálculo diferencial

1.

LOS TEOREMAS DE ROLLE Y DEL INCREMENTO FINITO

1.1. Tanto la definición de derivada, como las propiedades exrul'sLI~ hasta aquí son de carácter local, pues se refieren a un entorno de un pu 111 (\ que no puede fijarse previamente. Más importantes son las propiedades gil" bales, que se refieren a un conjunto inicialmente fijado. Entre éstas, I;IS 111:1'; notables referentes a la derivación son el teorem2 de Rolle y sus l'OIl',(' cuencias.

Teorema de Rolle: Sea la función f: [a, b] -+ R, donde [a, h] n 1111 intervalo cerrado y acotado de R. Se supone f continua en [a, h1. ,", '11 derivada finita o infinita en cada LIno de los puntos .18l intervalo <1/1;('1"1,' (a, b), y además que es fea) = f(b). Entonces existe al menos /111 ¡nllI',) e € (a, b) en el que es = o.

ni;)

Demostración: Como f es continua en el mínimo m, y un máximo M en el intervalo, y o es m = M, o m
intervalo cerrado [a, "1, tll'lll" 1111 se presenta uno de los dos C;¡~,"', todo x

€

(a, b), y por ser

los dos m y M es

r (""11',

dí~tlllt()

,1,'

= f(b).

Si m =F- fea), la función f adquiere el valor mínimo en un punto!. del 111"" valo distinto de los extremos, es deci.r, en un punto interior. Luego r 1¡('lit' ,'11 ~ un mínimo local, y por consiguiente es = O. Igualmente se razona si es M =F- fea).

rm

o

x

En los puntos

E.

~', ~"

y

f", la derivada de f es nula.

338

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

Se ha de observar que pueden existir varios puntos'; € (a b) en los qu(' En ellos, las tangentes a la gráfica son paralelas al ~je x.

ni;) = O.

339

.. 'eoremas del valor medio del Cálculo diferencial

•• coincide con

rm,

que es la pendiente de la tangente a la gráfica en

1.2. El sentido geométrico del teorema de Rolle es evidente. Si en und curva, definida como gráfica cartesiana de una función derivable, la cuerd;¡ que une los extremos del arco es paralela al eje de abscisas, existe un punto interior del arco, en el que la tangente es paralela a la cuerda. Esta interpretación geométrica muestra que la propiedad, nO' debe depcll~ der de que la cuerda sea paralela o no, al eje de abscisas, sino que la existen~ na de una tangente paralela a la cuerda ha de ser cierta en todo caso. Este es el sentido del siguiente

(b. ((b))

Teorema del incremento finito: Si la función f: [a, b] -+ R, es continua en [a, b], y tiene derivada finita o infinita en cada punto de (a, b), existe al menos un punto'; € (a, b), para el que es

o

f(b) - fea) = 1'(.;) (b - a).

+ h) -

fea) = f'(a

q lIC sc obtiene poniendo b l;

a

=a

+ eh) • h,

con O< e < 1,

= h, Y entonces ¿ será

+ Oh,

con

= f(x)-(f(a) +

f(b)-f(a) b-a

l. LA FUNCIÓN DERIVADA

O< O< 1.

Demostración: Se considera la función auxiliar g: [a, b] g(x)

~

R, definida por

(x-a»)

es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Como g(a) = g(b) = O, se puede aplicar el teorema de Rolle, por 10 que existe un ~ € (a, b), para el que es g'(n = O, o bien tlUC

rm Observaci6n. a f(x) es

f(b) - fea) b-a

= O.

La expresión encerrada en el paréntesis que se ha restado y

=

fea)

x

b

a

En el punto (~, f(~), la tangente es paralela a la cuerda que une (a, f(a» con (b. f(b»).

Otra forma de .escribir la igualdad anterior. es fCa

UIl

Mlnto intermedio.

+

(b) - f(a) (x - a), b-a

que es la ecuaclOn de la recta que pasa por los extremos (a, del arco de curva. Su pendiente es f(b)- f(a)

----¡;-=-a-

fea)~

y (b, f(b»

2.1. Definición: Si t: X 0.4' R es una función que tiene derivada lill;( Infinita en cada punto x € X o e X, la función derivada X o -+ R, es (/(1"1'11,, ,n la que a cada x E X Q le corresponde f'(x). Ordinariamente, no existe derivada de f en todos los puntos de X. Y la función derivada f sólo está definida en el conjunto Xc, formado po.r los PUIItos de X en los que existe la derivada de f· .. Si el conjunto X es un intervalo [a, b], la función f no está defmllla a la Izquierda de a, y sólo se podrá hablar de la derivada lateral na +). Cuanl,'o existe esta derivada, es frecuente considerarla como el valor de la funcnl11

r:

derivada en a. 2.2. En general, la función derivada no es continua, sin embargo 1il'lll' · " . da d rouy específica dl' la "propiedad del valor intermed 10 , que es una prople las funciones continuas en un intervalo.

r

Teorema: Sea f: [a, b] ~ R, que tiene derivada finita o infinita en cada punto de Ca, b), y derivadas laterales finitas y f'eb -) e~ los exlrl'lI/o.\ Si f'(a +) # r(b -), y 7/ es un número cualqUiera comprendtdo entre 1'.\//1\ dos valores, existe al menos un punto ~ € (a, b) en el que es f'(~) = 'j.

na ¿-)

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencia!

342

misma que la del teorema de Rolle y la del teorema del incremento finito. Siempre se asegura la existencia de una tangente paralela a la cuerda que u,ne ,Io~ extremos de, un . a~co de curva plana. En el caso considerado por LIUCh}, la curva esta definIda por sus ecuaciones para métricas.

1.2. P~oposic~ó.n: Sea:z t.ra, b]-+R y g:[a, b]-+R, continuas en [a, b], !I nm denvadas fmuas o mfznztas en cada punto x € (a, b). Entonces existe al /l/CI/OS

un punto !;

€

(a, b) en el que es

rm [g(b) -

g(a)] =

tm [f(b) -

F(x) = f(x) [g(b) -

g(a)] -

que en los extremos del intervalo [a,

g(x) [f(b) -

{(a)],

F(a) = fea) g(b) ~ g(a) f(b) = F(b).

en algún. punto ~ E (a, b), f'(x) [g(b) - g(a)] y g(x) [f(b) - fea)] son silIIulLmeam,ente Iguales a + '::x:" o a -oc, en tal punto ~ se verifica la igualdad qm' se qUIere probar. , ~i en ni~gún punto x E (a, b) se verifica la condición anterior, la función /. {Il'ne derivada finita o infinita en todos los puntos de (a, b), y como es ('
~roposi~i?n: Sean f: [a, b]'~ R Y g: [a, b] ->- R, continuas en [a, b] y con d('nvadas fmltas en cada punto x € {a, b). Además se supone g(x) -:¡i::. O para todo x 10 (a, b). Entonces existe
a< ~

no [g(b) -

g(a)] = g'.(i:) [(b) -

f(a)] ,

t(n implicaría la de f'(~), ya que

g(b) -

g(a)

7'- 0, conl1.1

lo supuesto. Dividiendo la igualdad por g'(I:) [g(b) - g(a)] se obtiene la fórmula h!l~cada.

4. REGLA DE L'HOPIT AL 4.1. La fórmula del valor medio de Cauchy permite demostrar la n·p,LI ll de I'Hopital, de aplicación frecuente en el cálculo de límites que se presellll' en forma indeterminada.

Proposición: Sean f:(a, b)-+R y g:(a, b)--+R, dos funciones con deriMdas finitas en cada (J. € (a, b), donde - ~ :;;;;; a < b:::;;; + oC"':, y además g'(x) / () para todo x

E

(a, b). Entonces si es

lim

t=O

Y lim g

.

f'

:J'-'+fl

.f5

= O,

también existe

Demostración: Como es g(x) -:¡i::. O Y finita para todo x del Incremento finito (1.2) asegura que es g(b) - g(a) -:¡i::. O.

€

(a, b), el teorema

Dividiendo los dos miembros de la igualdad

por el producto

a< g < b.

11m -,-·=A,

(Fórmula del valor medio de Cauchy.)

t'W [g(b)- g(a)]

en la igualdad

y existe

< b.

con

Demostración: En las condiciones de la hipótesis, no puede ser nub !:'(

pues la anulación de

s~

con

Proposición: Sean f: [a, b] -+, R Y g: [a, b] --+ R, continuas en [a, b] Y /'011 derivadas finitas en cada punto x E (a, b). Además se supone g(a):j g(h) !I /I"C f'(x) y g'(x) no se anulan simultáneamente en ningún punto de (a, {¡), /;/1' 10l/ces existe al menos un punto!; E (a, b) en el que es feb) ~f(a) = f'Cn , g(b) - g(a) g'(I:)

bJ toma el mismo valor

f(b) - fea) {'(n g(b) _ g(a) = g'(;)

3.4. Hay otras hipótesis que también conducen a la fórmula de Cauchy, y que tienen su origen en el estudio geométrico de las curvas planas definid;l~ ror sus ecuaciones paramétricas.

fea}].

Demostración: Se considera la función F: [a, b] -+ R, definida por

311

Lo. teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

= gen [((b) ~ f(a)]

g
se obtiene la fórmula buscada.

. }1m x_a

-f ,

g

y es

l'1m -f- = A , X-+il g

donde A puede ser finito o infinito, (Regla de I'Hópital.) Demostración: Se supone en primer lugar que es -


Sea K un número mayor que A, y r tal que A < r < K.

A

<

+ 0.:.

344

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

Como el límite del cociente de derivadas es A, existe un el tal que es f'(x}

",-- < r, para todo x .5

(x)

E

LOI teoremas de! valor medio del Cálculo diferencial

Proposición: Sean f: (a, b)-->- R Y g: (o, b) ---+ R, dos funciones eon d{'ria < b ~ + oc', y además g'(x) ./ O ,'ndas finitas en eada x E (a, b), donde - oc petra todo x E (a, b).

<

(a, el)'

Entonces si es

+ oc

lim g =

( a

y

)

•

el

x

b

11 existe

lim X~a

Para todo par de puntos distintos x, y de Cauchy, y se tiene

E

(a, el) se puede aplicar la fórmula

tamhién existe

f , 11m - - , "' .. a g

_f~(x~)--,-f(y:.....) = _f'(_~) < r g(x) -

g(y)

g'(~)

< K, para todo

x

_f_ =

E

(a, e¡)

f{x) g'(x)

-oo.

Se supone ahora que es - (Xl < A ~ + oc. Sea k un número menor que A, y se razona como el caso anterior, obteniéndose un Cz tal que es k < f(x)

para todo

g(x) ,

Si es A =

+ oc,

' -f = +00. ]1m Finalmente, si es A finito, llamando e

= min {c¡,

k < f(x) g(x) < K ,para t o do ]0

cd se tiene

xe ( a, ) e,

lim Ll regla de l'I1úpital

x

('S

~f~=A g

lamhién aplicable al caso en el que los dos

términos de' la fracci('in ti"lhlall ;1 infinito.

para todo

c,

x E (a, el)'

y

b

C,

-

que se tomará en (a, y), tal que se verifiquen g(x) >

O Y g(x) > g(y),

para todo x e (a, C2),

por lo que será g(x)~

g(y)

--~-~ >

g(x)

que prueba que es

4.2.

r,

Sea un y fijo situado en el intervalo (a, CI), por lo que f(y) y g(y> tamhll~'1l serán fijos en el razonamiento. Como lim g = + 00 se puede dctcrminotr lJll el'

g

<

)

( a

x e (a, e2).

esta desigualdad ya prueba que es

x .... a

A,

g

Demostración: Se han de considerar los mismos casos que en la IlIOP"'.! dón anterior, en relación con el valor de A. En primer lugar se supone - x ~ A < + ,x, Sea K un número "'.lV'1f que A, y un r tal que A < r < K. Como el límite del cociente de derivadas es A, existe un el tal '1"(, ,'"

g

~~a

_f_=

X-+-tt

d(/nde A puede ser finito o infinita.

Si es A = - oc, esta desigualdad ya prueba que, es lim

lim

y es

,

y haciendo tender y hacia a, resulta f(x) g(x) ~ r

L=A , , g

0,

para todo x

E

(a. e2)'

En virtud de la fórmula de Cauchy aplicada a estos valores de x, s(' f(x) - f(y) _

-~~

.

.l!(x)j~( 1/)

-

f'(~)

~-~
g'(O)

,

1]('111'

346

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

prescindiendo del término intermedio, y multiplicando por g(x) - g(y) resulta g(x) f(x) g(x)

un

<

T _

T

g(y) g(x)

+

f(y) g(x) ,

para todo x

E

,

(a, cl).

Haciendo tender x -4 a, los dos últimos términos tienden a O, luego existe C3 tal que es

Lot teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

nada puede asegurarse respecto a la existencia de f · l Im--,

Existe

Ejemplo.

1

x2 sen--

f{x)

g(x) < K,

para todo

x

E

(a, e3)'

A partir de este punto, la demostración se continúa como en la proposición anterior.

Ejemplos: l. - Para calcular

· f l'l mx"-(f' l lm~= ---2~4 g "~. x~ - a~ ,

con

a> O,

tI

lim - g'

.

= ..,hm .. a

axo:- l --¡JX~-I

a

= -a"-~ f3 •

' f a l1m - - = - - (f'-p. g

x =1im(--X-)(xsen-I-} =0. ,-0 sen x r-O sen x x , Jllll'~ cl primer factor tiende al, Y el segundo a O. Sin embargo no existe el límite del cociente de derivadas 1 1 2x sen - - - cos - x x cosx

1 pues carece de límite cos - - , para x 4 O. Los límites que aparecen en las formas indeterminaJa~ O· ".'" - ':l\.., pueden reducirse fácilmente a uno de los casos anterio['l:~. Se supone que las funciones f:(a, b)--+R y g:(a, b)...."R tienen th-lIv"d.1 finitas en cada x € (a, b), donde -
En consecuencia ,Ha

lim

x

basta aplicar la regla de l'Hapital, y se tiene ..,...

¡J

Si g(x) =¡!::. O Y g'(x) =¡!::. O, para todo x

2. ~ Es frecuente aplicar reiteradamente la regla de l'Hapital. Se trata de calcular .

hm ,,-o

e

e" -

x -

2x

x-sen x

y

eX -

e- X_ 2x

x - sen x

Observación.

y en esta forma es aplicable la regla de l'H6pital. Resultado análogo se obtiene cuando f(x) =¡!::. O Y f'(x) =¡!::. O, para toJo x'

f' lim-,-, '~a g

(rl, /1)

En tonces se escribe g

f·g=-l-'

cos x

f y en esta forma es aplicable la regla de I'Bapital.

=2.

Caso Si

Si no existe

(a, b) se escribe

g

El límite de esta última para x -4' O es 2, luego

lim - - -

E

f·g=+,

.

Derivando numerador y denominador reiteradamente se obtienen las fracciones:

sen x

g

X-+fl

y puede ocurrir que este límite exista.


f(x)~.1

"x:

lim t = 00 y lim g = oc (infinitos del

0, g(x)

T O Y (t· g)'

(x) 7'= 0, para todo x

1

1

-----~--

t --- g = -g~-I-~-' (r .~)

E

mi~lll\t

~"V,II" l,

(a, liJ, se ,':,1' d"

348

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

y en esta forma es aplicable la regla de I'Hopital.

Observación.

Cuando lim

f = x o lim

2. ~ Tomando logaritmos de (1

g =x, las hipótesis r(x)::;I= O. o

g(x)::;I= O, se pueden suprimir, pues reduciendo el intervalo (a, b) a otro (a, ba, con b¡ suficientemente próximo a a se consigue que sea f(x)::;I= O Y g(x)::;I= O, para todo x € (a, b¡).

lim cotg x • In (l

+

<1(' donde

X

x-'>O

+ sen xyot; re = e.

x-.O

(1 + _a_ + --;- + --;-) x X

g

:r .... c

lim (1

lim x· In

+ sen x)cotg x,

se obtiene para x -+ O: cosx In (l + sen x) . 1 + sen x sen x) = lim - - t - - - - = hm cos -2 x = 1,

Ejemplos: 1. ~ El límite ,,~+oo

li9

Lo. teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

X

corresponde al caso oo. O. Escrito en forma de fracci6n, y poniendo _1_ = t, se tiene x

a be) x· In ( l +---+-2-+-3T~vn X X X tim

.

=}¡m

In (1 +at

+ bt2 + ct3.) t

t~O

La aplicación de la regla de l'Bapital, da como límite a. 2. ~ Transformando la diferencia

1 ---cotgx x

en fracción, se tiene

. ( ---cotgx 1 )=. hm 11m senx-xcosx . X~O x ,,~O x sen x La aplicación de la regla de I'Hópital da como límite O. 4.4. Los límites que aparecen en las formas indeterminadas 00, oco, o 100, se reducen a límites de productos de las formas O. 'x o 'x . O, después de tomar logaritmos. Naturalmente que habrá de ser f(x} > O para todo x € (a, b), para que la función fa tenga sentido. Entonces se tiene

y si lim g - In f =

Á

es

tu =

eOolllJ ,

¡im

f" = é.

DERIVADAS SUCESIVAS Y TEOREMAS DE VALOR MEDIO GENERALIZADOS

5.1. En la definición de las derivadas sucesivas de un función, P;Jr
Definición: Dada la función f: X -+ R, con X e R abie:to, si f I i(,I!" ""J~I vada en cada punto x E X queda definida la "derivada prImera" f': X ) H esta función f' es finita y tiene derivada en cada punto x € X, se ohl/"II" 1" función t' = R. que es la "derivada segunda" de

Por recurrencia se define la derivada n-ésíma de

Ejemplos: l. - Tomando logaritmos de xx, con x> 0, se obtiene cuando

1 · l1m

de donde

1

X' Ii x

= }'1m .x .. Q.+

lnx

---

1

= l'1m x40..¡...

x

-;- = O

---

1

'

fln l

= (fln-¡Iy: X o

o-4o

R,

pero se ha de advertir, que no se requiere que sea, finita la ~erivada de (I '. ", Y además que si Xa es un intervalo, tal como [a, b); se consldera como lknvada n-ésima de f en a la lateral (f
limr=eo=l.

f.

r

x--)oO+:

:l'-..o+

f.

Definición: Dada la función f: X -+ R, con X e R abierto, si existe Ií 1',\ finita f'n- ll : X -+ R, Y esta función tiene derivada finita o infinita en ("lid" punto x € X o e X; la función derivada n-ésima n ): X o -+ R, es aquel/ti {'JI //1 que a cada x € X o le corresponde (f l n-II)' (x). En forma breve se escribe

z ... a

Z ... a

!Ií.

Po.r fáciles cálculos directos se obtienen las sigui,entes derivadas: f(x) (x-a)''", con a € R Y x> a,

= (lnl(x) = n!

( ~ ) (x -

af-n

si

x

> a.

350

Los teoremas del varor medio del Cálculo diferencial

Si a. = m entero y positivo:

)(x~a.)m-n

si

m> n

n!

si

m

O

si

m< n

n! ( : rnJ(x) =

i

Si a. = -

= e~;

b)

f(x)

c)

f{x} = sen (x

t(x)

d)

5.4. A partir de las definiciones anteriores, se generalizan fácilmente lo" teoremas de valor medio.

=O

Proposición: Sean f: (aQ, b]o.--+' R y g: (aD, b] --+ R, Y un a € (ao, b). SI' .\11 110nen las funciones f y g continuas en [a, b], n -1 veces den'vables en (r/". /,) U con derivadas n-ésimas en [a, b). Además se suprmen las n - 1 ¡g/luMa"." siguientes:

R.

X €

m entero negativo

n! (-n m) (x ~ a)-m-n,

rnJ(x) = fln)(x}

= ~,

+ a);

X

rnyx)

= cos (x + a);

X €

R.

€

=

sen

fin)(x) = cos

(x + (

x

a

Lo. teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

R, con

+)¡ +

fikJ(a) [g(b) x#a.

Entonces existe al menos un punto

+ b);

+a +n

X €

{(x)

¡:f'x;

=b

X

fln)(x}

= eí" ID

e) Kx) = In (ax

+ b).

con ax

+ b> 0,

=

(ln bY' bX.

'(")(x)

= (-1)"-1 (12 -1)!

.

Caso de do~ factores. Sea F = f· g, con n veces en X e R. Se tiene

n

a • ~+W

f, g: X 04< R, que son derivables

" (n) k fi"I(X) gln-k) (x),

prn!(x) = ¡,~n

= f(x)

si

x

E

X,

glQ)(X) = g(x).

y

Caso de tres factores. Sea F = f . g . h, con f, g, h: X --+ R, que son derivables n veces en X e R. Se tiene F(n!(x) =

¿

nI

.

~I

b

Demostración: Se considera la función

5.3. Una formula de utilidad es la de la derivada n-ésima de un producto de funciones, atribuida a Leibnitz.

escribiendo f(O)(x)

x

F(x) = t(x) [g(b) -

con b> O; rrnl(x)

que es

(

= an e=.

+ b),

b) en el

a

fln)(x) = a n fln)(ax

b

~ € (a,

R.

)

Aplicación: f(x) =

fea)], con k = 1, 2, ... , n - l .

+n

Se comprueban por inducción Supuesta f derivable: rex) = f(ax

g{a)] = glk)(a) [{(b) -

[
.-t-~-y=n al fi 1 I'! con a. 3 O fi 3 O Y l' 3 O enteros. Se demuestran por inducción como las correspondientes fórmulas algébricas de las potencias n-ésimas del binomio y del trinomio.

g(a)] -

g(x) [f(b) -

fea)], para x

€

[a, 111,

para x € [a, b], que es continua en [a, b], tiene derivada primcrd 111111.1 "1 (a, b), Y toma los mismos valores en los extremos del intervalo [11. "1· 1:', .11'11 cable el teorema de Rolle, y existe un ~l € (a, b) en el que es f'{;l) [g¡(b) -

g(a}] -

g'(~l) [f(b) -

fea)]

= O.

Ahora se considera la función F'(x)

= f(x) [g(b) -

g(a)] -

g'(x) [f(b) -

f(a)],

para x

E

[a, ~ ,1,

que es continua en [a, ;1]' tiene derivada primera finita en (a, b), y SI' ;111111. en los extremos del intervalo [a, el] en virtud del resultado anterior y dl' \; hipótesis. Es aplicable el teorema de Rolle, y existe un ;2 E Ca, ';1) en d <¡lIl' i' f'{c2) [g(b) -

g(a)] -

g"(cz) [f(b) -

fea)] =

o.

Así se continúa hasta llegar a la igualdad ¡
g(a)] -

gln-II(Cn_l) [f(b) -

fea)] = O.

Entonces se consideran las dos funciones {(n-ll y g(,,-ll que son COI1II1lII.' en [a, Cn-¡] y tienen derivadas finitas o infinitas en cada punto x € (a, !;" ,). 1. fórmula del valor medio de Cauchy es aplicable, y existe un ; E (a, ~" I ) r (.1. I en el que es ¡
g("a)]

=

glnl(~) [f(b) -

de acuerdo, con lo afirmado en la proposición.

fea)]

352

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

5.5. De la proposición anterior se deduce la fórmula generalizada del incremento finito, haciendo g(x) (x - aY.

4. -

Probar la desigualdad

=

Proposición: Sea la función f: (ao, b] ~ R, Y un a E (ao, b). Se supone que 1 es continua en [a, b], n - I veces derivable en (ao, b) y con derivada n-ésima en [a, b). Además se suponen las n - 1 condiciones siguientes:

(y- x) cos y
para 5. -

t(x

6. -

¡lnJ(l;)

f(b) -

fea) = - - ,n.

(b -

Aplicar la fónnula

a)n.

Proposición: Sean f:(ao, b]-+y g:(ao, b]"""*'R, y un a€(C1(¡, b). Se supolas funciones f y g continuas en [a, b], n - 1 veces derivables en (ao, b), ,'011 derivadas n-ésimas finitas en [a, b) y gln'(x) cp O para todo x € (a, b), Ade/l/tlS se suponen las n 1 igualdades siguientes:

+ h)- fCa -

fea

FllIenzces existe al menos un

f(a)] , con k = 1, 2, ... , n -

pUnlO E €

7. -

l.

¡C"!(;) -g(~~)

+

por el producto gl"'(I:) [g(b) -

6,

g(a)]

cp O,

Si f'(a) existe, demostrar

se obtiene la fórmula buscada,

9. -

1)3.

fea +

eh),

+ Oh) _ 2

h) -

U.

La ""'.111,'

/¡ l.

d'·''''''.I" ..

1._0

f'(a _. Oh),

fea) + fea -

11, a

+

O < e < 1;

con

('(x)

g'(x)

f(x)

g(x)

a)

--+--=0;

b)

f"(x} 't(x) f ( ; ) - 2 f(x) -

e)

f"'(x) f(x) g"(x) f"(x) g'"(X) ---3 -3-----=0; ('(x)

g"(x) g'(x)

con

O < 1) '_ l.

h)

= O;

f(x) g'(x)

3_(

(x)

g'(x}

3_(

)2

g(x)

+

finalmente hallar lim

y

3

+ px + q

x).

8. - Demostrar que f y g tienen la misma schwarziana si

l. -- Si la derivada f' de un polinomio f se anula en los puntos '. y '1, Y no se anula en ningún punto intermedio, entonces f se anula a lo sumo en un punto comprendido entre " y "2' Demostrar esta propiedad, y proponer ejemplos de polinomios para los que f' se anule en " y '1, Y que no se anulen en este intervalo.

p(x) = (x -1)' (x

e,

Dadas dos funciones f y g definidas y que poseen derivadas terceras f;'lIla, 1'''1.11 y gll/(x) en todo x € R. Si f(x)· g(x) = 1, para cualquier x, demostral '111l' .',.111 ciertas las relaciones siguientes, en todos los puntos en los que no ~t" .,,,,,1.111 los denominadores:

EJERCICIOS

b)

+ Oh)

= r(x

f"'(x} _ _ f"(x) = g"'(x) _ _ g'/(;t}_) ~ {'(x) 2 {'(xl g'(x) 2 g'(x) , (El primer miembro de esta igualdad se denomina schwarziana de f en

fea)]

2. -- Probar que es condición necesaria para que la ecuación x las tres raíe,es reales, que sea p < O. 3. - Separar las raíces de las derivadas de los polinomios: a) p(x) = (x-l)(x--2)(x-3)(x-4);

h) = f'(a

e)

h) -

2 tea) h

+ t(a -

tCa

d)

Dividiendo los dos miembros de la igualdad g(a)] = gI'''(n [f(b) -

t(x)

= f'Ca + eh) + f'(a -

b)

.

f)emostración: Como glnl(x) o;F O para todo x E (a, b) en virtud de la fórmili" generalizada del incremento finito es g(b) - g(a) cp O.

{'"J(E) [g(b) -

h) -

f'(a) = lim - ' - ' - - ' - - -2- ' - - - - - - . h

(a, b) en el que' es

¡Cb) - fCa) _ g(¡;-j --=-- g(a) -- -

h)

h

/1<1/}('/1

g(a)] = glkJ(a) [/(b) -

x) cos x,

Si es h > O, y f'(x) existe y es finita para todo x en (a que se verifica: a)

5.6. También se obtiene una generalización de la fórmula del valor medio d,' Cauchy.

I";)(a) [S(b) -

+

h a la función Xl, calculando el valor de cuestión para las funciones eX y In x.

(a, b) en el que es

€

sen x:S:; (y -

" 0
na) = na) = ... = f'''-lI(a) = O.

Enlonces existe al menos un punto ;

3')1

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

=

+b . +d

a f(x)

c f(x)

con

ad-bc::j=O.

Determinar una función f derivable y definida en R, que verifique la condí('i(~1I f(y) -

((x)

= (y - xl f'

( x : y ),

para todo par x, y de números reales. Se demostrará en primer lugar derivable infinitas veces.

= O tenga 10. -

Calcular los límites siguientes; a)

';a+2x-~ lim - - - - - - X~O

x

lim x_

J

.; a

+

.¡ a +

bx ex _ .

./ a

+b

.;a::¡::-c .,

q!ll'

I ,'.\

354

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

17. -

5

¡¡m x2(Jx

+ 1 + Jx-1-2 Ji).

OH(:()

b)

lim J:-~O

x x

x

lim

+ sen x

X

.0]

J

el lim (cotg x are sen xl;

d)

.r

lim (x-x1ln(1 J'

(1- eosx)'

:r-}ú

tgx -1

lim

.r -).0

x' sen x

Iim

+ sen x

~ nI' a re sen tg ( X

++.-));

lim

.

hm

¡

-

:

(4' 1

x-senx x sen (sen x) - sen' x x'

lim (x 3

-

(x' -

queda invariable.

. 19. -

e'" = ( - l ) t;X"+I t-.

1)3 )

20. -

f)

lim (1

+

. (t

cotg-

x;

e-X)

gx ) x 2

lim (1 -

hm - x .... o X

' a ) '" lim ( cas -x+ k sen -x- ;

lim (catg x)"An

2")scnx ¡

", .. o

... 0

;~:

[+(

(l

+ xl ~ -

e )]

2

.::r--+co

= tg x

verifica la ecuación y" = (y')'.

10.

Probar que la función y

11.

Probar que la función y = sen (n arc sen xl verifica la ecuación (l-x') 1/' -xy' + n' y = O.

12.

Demostrar la relación (x' f(x»),") = x ¡(") (x)

\.1.

Hallar la fórmula que da la derivada segunda de un determinante de orden 3, cuyos elementos son funciones que tienen derivadas primeras y segundas.

14.

Hallar las derivadas sucesivas en el punto x = O de las funciones ¡(x) = e

y

x'

f(x)

=

X-k

e

+ n ¡r"

x',

II

(x).

siendo

teO) =

O.

con

y

Demostrar por inducción las fórmulas siguientes (are tg x)fn' = (- 1)" (n (are tg x)!n)

= {- 1).-1

1)! cos" y • sen n ( y (n-1)1

(1

+ x')"!'

;

),

sen (n are catg x).

16. -~ Demostrar las fórmulas siguientes (e"'" cos bxyn) = r" e"'" cas (bx (e aX sen bxJlnJ = r n ea", sen (bx donde

r'=ci+b'

y

~

+ n9» +

n9')

b = are tg--.

a

=

are tg x,

Calcular las derivadas n·ésimas de las funciones: 1+~

x

; lim(3+b~).X

1"l.

Demostrar la fórmula

,.(1

1

e)

I

18. - Probar que si en la schwarziana de t (Ejercicio 7, d», se sustituye f por - f •

""'0

)

x'+ x);

Probar que si f y g son dos polinomios de grado n, la expresión fg(tt) - f'g(n-l) + ... + (- l)n f'n) g. es independiente de x.

tgx-x

lim

35'>

Los teoremas del valor medio del Cálculo diferencial

1- x ;

1 xl -

1;

xl -

1 x-

l'

(x .- l)(x -

1 2)-(-x--3)-(x--4)

19. Fórmula de Taylor y aplicaciones l. 2. 1. 4.

Los símbolos "o" y "O". Aproximaciones locales. Aproximación polinómica y fórmula de Taylor. Resto de la fórmula de Taylor. Desarrollos de las funciones elementales y de las trigonomélrim,\,

5. 6. 7. 8.

Convexidad y concavidad. Convexidad y concavidad locales. Inflexión. Análisis local por la fórmula de Taylor. Ejercicios.

Uno de los temas fundamentales en el Análisis matemático, es el de la al'''''''''''' ,,," de funciones. La idea simple de sustituir una función por una aproxÍm3cÍlÍII 111,", '."'HoIl." para de las propiedades de ésta inferir las de la función original, subyal'l' ,'11 l., '"., yoría de los métodos del Análisis. En toda teoría de la aproximación se reconocen dos elementos Índi'I"'I1"d'¡,", l.", funciones que aproximan, y el criterio adoptado para medir la aproximacir'lll, 1,,', 1" .. ciones se seleccionan entre las sencillas y de propiedades conocidas, y 1';11'" ..... .1" 1" aproximación de una función g a otra f, se compara la diferencia t - ~ C()II 1,1.', dI' 1111" escala "decreciente". En este capítulo se estudian aproximaciones locales de funciones. Se Irala .1,' (1/11 ciones polinómicas (2) que en el entorno de un punto x a, aproximan a 1l1I;' "tlH 1,'," dada f. La escala de funciones para medir la aproximación está formada por 1"" e, .,1", para los valores n = 1, 2, .... Son cómodas las notaciones "o minúscula" y "O mayúscula" (l.2), p"r" "'1''''',,11 que el orden de magnitud de una función es menor, o no excede, al de otra, l'" .. 1 l'" torno de un punto, A partir de estos conceptos se define fácilmente la igualdad asintótica di' 1111 ,!}',I"/1 r > O de dos funciones (1.5), que en lenguaje geométrico equivale al con/acto .JI' ,m/,'II r entre dos curvas. Si son derivables las funciones que se consideran, la aplicación de la fórmula ~""" realizada del valor medio da lugar a una condición para que una función g sea "IH""nu. ción local de otra f hasta un cierto orden (1.7); y en el caso particular que L, "1""" mación g Sea polinómica resulta la fórmula de Taylor (2.2). El sentido de la fórmula de Taylor es, pues, el de una aproximación polinóllli,'" d,' tipo local, y al pretender aplicarla a intervalos previamente dados se desvírt li,¡ """,,, tido, pasando a ser una fórmula de valor medio cuando se considera el término ,,",11 plementario, o resto (3.2, 3.4). El estudio local de una función se puede sistematizar por medio de la f¡)'Ii"'I., .1.Taylor. Aparte de la continuidad. las características locales más notables son la 111""11 tonía, la convexidad o concavidad (5) y en su caso la inflexión (6). La convexidad y concavidad son cualidades globales de las funciones de gran illll"" tancia en capítulos fundamentales del Análisis, pero a partir de una de sus pro!' .... I.,

=

~

I

.•

\ 0,

358

Fórmula de Taylor y aplicaciones

eles se p,ue?e dar una definición local (6.1). La inflexión en un punto (6.4) se presenta como transIto entre la concavidad y convexidad. .' Para I~s. funciones con d~rivad~s sucesivas resultan condiciones necesarias y condif~~lne~ suf¡clentes para. la eXistencia de convexidad o concavidad locales, así como de eXlón (:.1). ~n partIcular, en los puntos estacionarios se transforman en condiciones para la eXistencIa de máximos y mínimos locales (7.2).

359

Fórmula de Taylor y aplicaciones

1.

LOS SíMBOLOS «o» Y «O», APROXIMACIONES LOCALES 1.1.

Sea la sucesión de funciones potenciales '¡(x) = x -

a, fz(x) = (x -aY, ... , f,,(x)

= (x -

at,

Evidentemente cada una de las funciones es continua para todo valor de r. y todas se anulan para x = a, y en particular lim

fn

= 0,

para todo n

N.

€

Las gráficas cartesianas de estas funciones son curvas que pasan por l"I punto (a, O), y que a partir de n = 2, son tangentes al eje de las abscisas ,'11 dicho punto, pues f~ (a) = O para n ;::: 2. Se observa en la representación gráfica que, al crecer n, las curvas ~". aproximan cada vez más al eje en el entorno de x = a. Esta observaci"1I1 ,. 1 rresponde al hecho de ser lim

~ = lim

(x_a)m-n

= O,

fn x-ta por tanto·. para cada r> O, existe un entorno

r:.i

m> n,

x-+a

y

Ifm(x)! < "1{n(X)I,

para todo

VCa) tal que es

x

€

V*(a).

En forma imprecisa, pero expresiva, se dice que fm tiende a O mas ní/,/d'l mente que cuando x -+ a.

'n,

1.2. Para formalizar estas ideas se introducen los símbolos "o" mil/I/.\n¡/¡f y "O" mayúscula, atribuidos a Landau, que tienen gran aplicación en la ft·od.l de las aproximaciones locales.

)(

Funciones potenciales f'lo ", ,. ¡,(x)

= (x -

aY, !,ex} = (x ,,(x) = (x - a)'.

a}',

o

a

x

En el punto x = a es f = o Ü).

Fórmula de TayJor y aplicaciones

360

1(,1

Fórmula de Taylor y aplicaciones

Definición: Sean f: X -)- R Y g: X->- R, dos funciones definidas en el mismo conjunto X e R, y a un punto de acumulación de X. Se dice que f es una "o minuscula" de g cuando x -)- a, y se escribe f = o (g). si para cada " > existe un entorno U(a) tal que es

°

[!(x)[ <

f

!g(x)!,

para todo

x

1.4.

Definición: Sean f: X -)- R Y g: X->- R, dos funciones definidas en el mismo conjunto X e R, y a un punto de acumulación de X. Se dice que r es una "O mayúscula" de g cuandO' x -)- a, y se escribe f = O(g), si e.xiste un entorno U(a), y 1ln número A > O tal que (!s para todo

x

E

.L---'?o

_f_ = O. g

Um

In x

x-:'+('(~

X

= 0,

= O (x).

Cuando se compara una función f con otra g de la form:1 .!:Lrí con r;?: O, son de uso frecuente las siguientes

Ix -, al',

Definiciones: Sea f:X-R una función definida en un conjunto ¡¡{llar" X eR, y a E X. Se dice que f es una "o minúscula" de orden r', O. "11 ,,: punto x = a, si f = o([x-a[');

y se dice que

r

es una "O mayúscula" de orden r;?: O, en el punto.r

01

\1

Aunque en estas definiciones, r puede ser un número real no 11I'1'.,IIIV II cualquiera, ordinariamente se considera entero, y entonces se puede .\1/1'1'111111 el valor absoluto en las definiciones anteriores. Una forma frecuente de expresar que f es una "o minúscula" de tlld"1I r ;;:;: O en el punto x = a, es decir: {es nula de orden r ;> O en el ¡II/III.'.r d Consecuencias de las definiciones anteriores son: Si en x :;:= a es { una "o minúscula" de orden r 0, es t una "U /111111 1" cula" 'de orden r. Si en x a es f una "O mayúscula de orden r;> O, es f una "o lJ/i/w.\clIJ.¡" de orden s ;;:;: 0, para todo s < r. Basta tener presente que es

>

=

para todo m > n, cuando x -)- a. 1.3. Aunque las definiciones de los símbolos "o" y "O" han sido motivadas por la comparación de las funciones fm y t,,, que tienden a 0, cuando x-)-' a, al dar la definición general no se requiere que las funciones tiendan a O; en particular es frecuente el caso en el que ambas funciones tienden a:x.. Por otra parte el valor a hacia el que tiende x, puede ser finito infinita. Finalmente, como ya se ha indicado, cuando es {= o(g) se lee f es una "o minúscula" de g, pero se ha de informar de cuál es el' valor a hacia el que tiende x. Se puede usar la notación corriente x -)- a, pero también es frecuente decir f es una "o minúscula" de g en x = a.

°

Ejemplos: l.-Si f(x)=x" y g(x)=a x , con 12>0 y a>1, como es

+ IX'.

como es

f = O(lx-a]').

EjemplO'. ~ La propiedad del apartado anterior referente a las funciones potenciales f"(x) = (x ~ a)", con la notación "o" se expresa

se escribe xn = o (a''') en x =

=

= x,

U*(a) n X.

En el caso de ser no nula la función g en un entorno reducido U*(a), la condición f = o (g) equivale a lim

se escribe In x

U*(a) n X.

E

Esta definición se complementa con la del símbolo "O" mayúscula:

If(x)i < A !g(x)l,

2. ~ Si f(x) = In x y g(x)

f(x)

:x-aj"

= _~ [x~a[t

Ix -

al'-',

y según la definición, existe un UCa) tal que

[f(x) I

[x-aI

de es es es

S

:::;: A . [x -

a¡r-s,

para todo

x

E

U*(a) n

x.

En particular: Si en x = a es f una "o minúscula" de orden r ;;:;: 0, es f una "o mimíscllfa" orden s> 0, para toda s S;;; r; y si t es una "O mayúscula" de orden r . O. t una "O mayúscula" de orden s ;?: 0, para toda s S;;; r., Si en x a, es t una "O mayúscula" de orden r> O, es lim f = O; Y .\1 continua en x = a, ¡?S f(a) = O. Si en x = a, es f una "a minúscula" de orden r ~ O, es lim f = O; Y si continua en x = a, es {(a) = O.

=

362

Fórmula de Taylor y aplicaciones

Observacián. De acuerdo con estas propiedades, si la función f es una "o minúscula" de orden r> en el punto x = a, puede ocurrir que f sea una "o minúscula" de un orden s> r, Por el contrario, si f es una "O mayúscula" de orden r en el punto x = a, no puede ser f una "O mayúscula" de un orden s> r.

°

>°

1,5. De la definición de función "o minúscula'; resulta la de funciones asintóticamente iguales en un punto x = a,

Definición: Sean f: X -+ R Y g: X -> R dos funciones definidas en un conjunto abierto X cR, y a E X, Se dice que las dos funciones son asintóticamente iguales de orden r? O, si f - g es una "o minúscula" de orden r en x = a:

t-

Otras formas de expresar esta igualdad asintótica son las siguientes: I.as funciones f y g son iguales de orden r, en x = a, La función g es una aproximación local de la f, de orden r, en x = a. Naturalmente que f es una aproximación local de g, en las mismas condiciones. U na forma geométrica usual de expresar la misma propiedad da lugar a la siRuiente

Definición: Las gráficas cartesianas de las funciones f: X -+ R Y g: X '-4 R, tienen un contactO' de orden r? O en el punto de abscisa x = a € X, si

f-

g=

O

(Ix -

al

= JI;

f(x) ~ [f(a)

f y

J"

inclusive, en un entorno de a, y derivada n-ésima en a, Entonces de orden n en a si, y sólo si, es ffa) = f'(a) = = fl"l(a) = O,

f{a)x-:!~a) (x - a) =

!~~

1111111

oo.

flkJ(a)[g(x)-g(a)] = glk!(a)[f(x)-f(a)]

para

k = O, 1,

.oo,

1/

1,

se tiene r(x) ~ f(a) = 1~~1) (;L, cOn; entre a y x, y g(x) - g(a} g{n-J) (~)

fex)

(x -

°

a),

son tangentes en el punto de abscisa a, se tiene:

f(x) -

r 1','

Demostración: Se puede suponer que el entorno de a en el qUl' I 11"111' derivadas finitas hasta el orden n ~ 1, es un intervalo 1 centrado en (/. En primer lugar se considera la hipótesis f(a) = r(a) = = ['''1(1) O Se aplica la fórmula generalizada de Cauchy hasta las derivadas dt' (llrl.'1I n - 1, cuando se toma en la fórmula como función g la (x - a)", (:011\(1 ,'VI dente mente

( tex;

a}n

X €

1,

=

= 0,

n!(~- a)

a)

'm __ f,-Cx-,-)_ O =, {x - a)"

osea

t =o

En el recíproco se considera la hipótesis gún (lA) es

f=

o «x - ay), o sea lim

por ser

f

continua en a.

.

t
..-loa

lim _ f(a))

-

11

Para r = O, es:

~(a)

n!(~

Como por hipótesis existe

x->a

=

f"',-I) (n - ¡
'1 -°(0 11

-,--.:...:....:~

=

~i~

a),

Proposición: Sea f: X -+ R, una función definida en un con/lllllu "/'11'/1" X e R, y a E X. Se supone que f tiene derivadas finitas hasta el ordel/ 1I I

también es

Si en x a, f y g son iguales de orden r :;;:;:, O, Y f es nula de orden s:;;:;:' con s < r, también g f,'S nula de orden s. Cuando dos funciones son iguales de orden 1, en x = a, se dice que son tangentes: Si en x = a, las dos funciones f y g son iguales de .orden 1, se dice que sus gráficas cartesianas son tangentes en el punto de abscisa a, Así, la gráfica de una función f derivable en x = a, y la recta

= fea) + f'(a) (x -

= 10 (x -

Sustituyendo g y sus derivadas por sus valores, queda

g son continuas en a, es fea) = g(a).

y

a)]

1.6. Las aproximaciones locales más usadas son las de orden ('nklll. Para las funciones con derivadas sucesivas, la proposición siguiente f1l'1ll1i1., establecer criterios para la existencia de aproximaciones locales •k (11 d"11 entero,

x-loa

Y si

+ f'(a}(x -

),

Consecuencias de estas definiciones son: Si en x = a, t y g son iguales de orden r:;;:;:' O, Y es lim f =

Iim g

o sea

oo,

g = o (Ix-d'),

r

Fórmula de TayJor y aplicaciones

f(x)

(x -

t=

ay

f=

«x -

o

a)").

«x - an,

Entonces, se-

= O, para O,:;;; r':;;; n, y rentero,

O, luego

fea) = O

364

Fórmula de Taylor y aplicaciones

n inclusice en x = a, se puede asegurar la existencia de un polinomi() ti" grado n que es aproximación local de f de orden n en x = a,

Para r = 1, es: f{x) ]' , 11m - - - = 1m X-).o X a .c--+a

,ex)x-a - fea)

= O,

luego ('(a) = O.

f = o«(x-a)") o bien lim -~= O. x-+" (x -

aJn

aplicando la fórmula generalizada de Cauchy hasta las derivadas de orden n - 1, se tiene !(x) (x·- a)'

f ln - II en - fI'-11 (a) n !(¿ -

a)

con

~

entre a y x, y

X €

l.

Cuando x ---+ a, el primer miembro tiende a O por hipótesis. Por otra parte, también se ha supuesto la existencia de la derivada n-ésima de f en a, es decir, •

hm x-'u

fin-U

(x) -

fi

x-a

n -1)

(a)

,

1.7. De esta proposición se deduce una condición para que una función g sea aproximación loca! de f de orden n en x = a: Proposición: Sean f: X,---+< R Y g: X -+ R, dos funciones definidas en el conjunto abierto X e R, y a €O X. Se supone que f y g tienen derivadas finitas hasta el orden n - 1 inclusive en un entorno de a, y derivadas finitas n-ésimas en a. La función g es una aproximación local de orden n de la función ! en x = a si, y sólo si, ... , fln l (a)

= g'n

a)

Para una función f las aproximaciones locales más sencillas, son las funciones g definidas por polinomios. Dada f, no siempre existen aproximaciones de esta clase, pero si f posee derivadas sucesivas hasta el orden

f"(a)

+ - 2! - - (x -

1

a)

«ni (a)

+ ... + - -n,1-

(x·

es una aproximación de orden n de t en el punto a, y además es la ximación polinómica de orden n de f, cuyo grado es n,

<

a)", IÍllil'll

Demostración; Como tanto f como Pn tienen derivadas finitas orden n -1 inclusive en un entOrnO de a, y derivada n-ésima flnll;l puede aplicar la proposición (1.7). Derivando sucesivamente el polinomiO' pn se tiene: pn(a) = fea),

p: (a) = f'(a),

.,.,

p~nJ(a)

"1'''''

11,1',1.1 ,'11

,,1

,/ ','

= ¡
luego se verifican las condiciones de (1.7). Otro polinomio qn que fuera aproximación de orden n de f Vil ,,1 1,"111" a, debería verificar = ql:l(a) = flkJ(a),

para

k = O, 1, ... , n,

luego Jos dos polinomios pn y qn coincidirían. 2.2. De la definición de aproximación de orden n en el punto al caso polinómico, resulta:

<1,

.11'11<'.1.1,1

Proposición: Sea f:X-+R una función definida en .un C{):lj.III1/(! ,1"/1'/,1" X e R, y a € X. Se supone que f tiene derivadas suceswas {mI/m }¡w(a ,,1 orden n -1 inclusive, en un entorna de a, y derivada n-ésima (il/i/u ,'1/ 11 Entonces es: f(x) = f(a)

('Ca)

+ -]-! (x -

... + --, n.

(a).

APROXIMACIÓN POLINÓMICA Y FÓRMULA DE TAYLOR 2.1.

na)

(x) = fea) + - - { x Pn i!

(lhl(a)

l

Demostración; Basta aplicar (1.6) a la función f - g.

2.

e R, y a €

p~k)(a)

y comO' para los valores x = 13 de la fórmula anterior, este límite tiende a 0, resulta fin) (a) = O.

fea) = g(a) , f'(a) == g'{a),

Proposición: Sea f:X---+'R una función definida en ~n coni.11ll/o
X

por ser f' continua en a. Análogamente. se procede para r = 2, ",' n - 1, Y se supone probado que es fea) == ('(a) = 1"(a) = , .. = fl"-ll (a) = O. Entonces, de la hipótesis

--,---- =

Fórmula de Taylor y aplicaciones

a)

t"(a)

+ -~ ex -aY + ...

(x- (1)"

+ o «x-a)").

(Fórmula de Taylor.)

3.

RESTO DE LA FÓRMULA DE TAYLOR

3.1. La fórmula de TayJor es una fórmula de aproximación IOCI] tI
366

Fórmula de Taylor y aplicaciones

En realidad sólo se puede asegurar que la diferencia den n: lim x->a

t-Pn

(x -

a)n

=

Fórmula de Taytor y aplicaciones

f - pn es nula de or-

o. T(x,)

Si se considera un intervalo fijo, el estudio de la diferencia {(x) - Pa(x) para valores de este intervalo, ya no es un problema de aproximación local, sino de tipo global. El valor de la diferencia t(x) - Pa(x) resulta de la aplicación de los teoremas de valor medio.

Definición: Sea f: X-+' R una función definida en un canjunta abierta X e R, y a € X. Se supone que f tiene derivadas sucesivas finitas hasta el arden n -1 inclusive, en un entarno de a, y derivada n-ésima finita en a. Se denamina resto, a términO' camplementaria, de la fórmula de Taylar, la diferencia f - pn, que está definida para tada x E X. Si se designa por T, es 1'(a) !(nj(a)) T(x) = t(x) - p,,(x) = f(x) - ( fea) + -,- (x - a) + ... + --,- (x -- a)n l. n. para x E X. 3.2. La consideración de la función resta T, está motivada por el estudio de las aproximaciones locales polinómicas, sin embargo su definición es independiente de esta teoría. Se puede precisar la forma del resto T correspondiente al polinomio p", imponiendo nuevas condiciones a f.

Proposición: Sea t: X ' 4 R una función definida en un canjunta abierto X e R. y a E X. Se supane que f tiene derivadas hasta el arden n + 1 inclusilJe en un intervalo [a, x] e X, Entances es T(x) =

«>+0(1;)

(n+l)!

(x -

at

ll

'

dande ; es un punta intermedio entre a y x. (Resto de Lagrange.) Demostración: Basta aplicar la fórmula generalizada del .valor medio (18; 5,5) a la función T f - p., teniendo en cuenta que es:

=

T(n+!J(x) = fI"+I'(X),

y

TOn(a)

=

O para

k

=

0, 1, , .. n.

3.3. Fijado n el término complementario T es una función definida sin ambigüedad, sin embargo se pueden dar distintas expresiones para T, diferentes del resto de Lagrange. En este hecho no hay contradicción, pues en todas las expresiones del resto, que se obtienen aplicando un teorema de valor medio, hay un valor intermedio ~, que cambia de unas a otras.

o

x

a

x,

Proposición: Sea f:X4'R una función definida en un conj/illlt> ,,¡",'11, X e R, y a E X, Se supone que f tiene derivadas hasta el arden 11 I I ,'1/ " intervalO' [a, x] eX. Sí g: X ~ R es una función cantinua en [a, x] e X y der¡'¡'a/J/" ,'/1 (d, \ 1 con derivada nO' nula en este intervalO' y tal que g(x}o;i: g(a), en(u/I(','\ ,., 1"\(, T = f - pn tiene la farma T(x)

= g(x) -

g(a)

g'(n dande

!;

es un punto intermedia entre a y x.

DemO'stración: Si se considera x fijo, el resto T es una función dl' nida por f'(a) rnJ(a) , ." T(a) = f(x)-f(a}--(x-a)- ." ~--,-(x-a). l! n. Derivando respecto de a se tiene (ln+lI(a) T'(a) = - - - (x - a)n.

<1

del.

n!

Aplicando a T y g la fórmula del valor medio de Cauchy, es T(x) -

T(a)

~~~---

g(x) -

g(a)

T(I:)

= -----g'(i;)

donde t es un punto intermedio entre a y x, De esta fórmula resulta la Ii<' resto, tal como se da en el enunciado de la proposición, LlNÉS-13

368

Fórmula de Taylor y aplicaciones

I ('rmula de Taylor y aplicaciones

En este caso se vuelve a obtener el resto de Lagrange. 3.6. Cuando x = O es un punto de X, y f cumple las condiciones ti l' tlC11 vabilidad requeridas en las proposiciones anteriores, la fórmula de T.lvi
1'")(0) = feO) + -f'(0) x + ... + - - - x· + o (x") l! n!

desarrollo de Mac-Laurin. En este caso, las expresiones de los restos de Lagrange y Cauchy pcctivamente; f(n + 1) «()x) T(x) xn+1 con 0< () < 1, (n+1)! '

que se suele denominar pn(X -

al

~,Oll

11"',

=

o

x

8

x

y T(x) =

(C"+l!«()x) I

n.

(1- O)" X~+I,

con

°< () <

1.

3.4. Eligiendo funciones de la forma g(x) = (x -- aY, con p? 1 entero, se obtienen expresiones más sencillas para el resto.

Proposición: Sea f; X -+ R una función definida en un conjunto abierto X e R, y a E X. Se supone que f tiene derivadas hasta el orden n + 1 inclusive en el intervalo [a, xl eX. Entonces es {(n+l)(n T(x) = ~,- (x -- a)" (x -

. nn."l-p,

p' n!

donde

~

con p? 1 entero,

es un punto intermedio entre a y x. (Resto de Schlomilch.)

Demostración.' La función g(x) = (x'- aY, es continua en [a, xl, y derivable en (a, x) con derivada no nula en este intervalo. Además, para a = x, es g nula, y por otra parte g(x):j::. g(a} para a:j::. x. Aplicando la proposición anterior se obtiene la fórmula buscada. Casos particulares de la forma de Schlomilch pa,ra el resto, son: Para p = 1, se obtiene: 3.5.

t n+l)(n

T(x) =--~l~- (x -- a) (x -

n°,

n. donde ~ es un punto intermedio entre a y x. (Resto de Cauchy.) Para p = n + 1, se obtiene: T(x)

donde

1.'

=

[
+ 1)!

(x -

es un punto intermedio entre a y x.

a)~+1

'

4.

DESARROLLOS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Y ., .... I.AS TRIGONOMÉ.TRICAS La aplicación directa de la fórmula de Taylor a las funciones

l'!(·IIII'III.!I,'"

y a las trigonométricas da lugar a los siguientes desarrollos. 4.1. Como las derivadas sucesivas de f(x) = ¡r, son todas igual('s .1 "'. para todo x E R, el desarrollo de Mac-Laurin de esta función, con l'1 n'sto de Lagrange es: x X2 xn e9!1! el< = 1 + + 2! + ... + + (n + l)! X"+I, con 0< I! <. 1.

1T

7

que es válido para todo x

€

R.

= In x para x> 0, son: 1 {
4.2.

Las derivadas sucesivas de [(x)

In x = (x -- 1) -

... + (-- 1)n-1

(x -- 1)"

n

(x-l)2 2

I)!

+ ...

1 + (- 1)" n+ 1

(x -

1}"+1

-~----"--', /,'"+1

con t comprendido entre 1 y x. Este desarrollo es válido para todo x ( R

I .

370 Fórmula de ray/or y aplicaciones

Cambiando x - 1 por x en el desarrollo anterior, se tiene X2 n 1 In (1 + x) = x - - - + '" {-lt-I ~ + (-1)"__ 2

que es válido para x 4.3.

€ (-

1,

n

+ X).

Las derivadas sucesivas de f(x) = rnJ(x)

= n!

(

~ ) x,,-n;

y para x

n

+1

5.

= 1,

rnJ(l)

= n!

(

(1

~

+ (}x)n~'

).

El desarrollo de Taylor según las potencias de x ~ 1 con el resto de Cauchy, es: ' OC

X

= 1

+ ( ; ) (x -1) + ( ;

+ ... + ( ~ ) (x -1)" + T,

)(x -1)2

donde

T = (n que es válido para x

+ 1) (n

: 1) ~,,-n-I (x -

1) (x -

1+

( ~ ) x + ( ; ) X2 + '" + ( : ) xn + T,

(n: d(1 + BX)I1-1 ( ll-;~

1

que es válido para x

10

IIproximaciones polinómicas. Aparte de la continuidad, las característil'd~ 1.. l'ules más notables son: la monotonía, la convexidad o concavidad y ,'n ',\1 CIISO la inflexión. La convexidad, así como la monotonía, es de naturaleza global, pt'l'o .\ partir de ella se pasa a la convexidad en un punto. La inflexión es un (,.,n cepto local.

Definición: Sea f: 1 ~ R una función en la que 1 es un intl'n'II!" Se dice que f es convexa en el intervalo 1, si para cada tres ¡llIlIlo, a, x, b € 1, con a < x < b, se tiene

< f(b) - fCa)

R+.

€

+ x)" =

n!

5.1. El comportamiento de una función en el entorno de un punl0, ,", decir, el estudio local de la función, se puede sistematizar por medio dt' 1.,.,

x-a b-a L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _ _ _._ _ _....

donde T =

CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD

f(x) - f(a)

n°,

Cambiando x - 1 por x, en el desarrollo anterior, se tiene (1

17/

xn+l

para x> O, son:

X OC

'''rmula de ray/or y aplicaciones

(-1,

fX"+l,

Esta definici6n tiene un claro sentido geométrico: La función f es convexa en 1, si para cada tres a, x, b € 1, el punto I.\", /(\ 11' de la gráfica cartesiana de la funci6n, está situada debajo de la s('cal/'" ,/111' une 10's puntos (a, fea)) y (b, f(b)) de la misma gráfica. Efectivamente, la ecuación de la secante que pasa por los puntos (a, ((
y = f(b) - f(a) (x - a)

+ 00).

b-a

+ fea),

4.4. Los desarrollos de Mac-Laurl'n con ,res.o t de Lagrange, d e las funciones trigonométricas seno y coseno, son: sen x =

'" + (- 1)"-1

x3 3!

x-~-

X2n-l

(2n -I)!

y

cosx =

5! ( 1) + ,n

X2 l-~-

2!

z5 _ + __ 2n

x4 + __ ~

4!

xl"

... + (-1)" ----+----- + (-1)"-1 (2n)!

x

(2n)! sen (}x,

con O
,x2n+l

(2n 10

R.

+

~ cos 8x

1)!

'

o

8

x

b

Función convexa.

Si a < x < b, el punto X está debaio de la secante AB.

372

Fórmula de Taylor y aplicaciones

y si el punto (x, f(x)) ha de estar situado debajo de esta recta, se deberá tener f(x)

< ¡Cb) -

Na) (x -- a)

b-a

+ fea),

I círmu/a de Tay/or y aplicaciones

.\'(' ohtiene la definición de función cóncava. En este caso, el punto (x. (tI)) d, 1;1 gráfica cartesiana está situado encima de la secante que une los 1"1111,," (a. {(a» y (h, f(b».

o sea f(x) - fea) f(h) - tea) --'------'---'- < .

x

h-a

a

Observación. En la definición se ha elegido como condición de convexidad el que el coeficiente angular de la secante AB sea mayor que el de la AX. , ~unque aparentemente, en 13 definición de convexidad, el punto a juega dIstinto papel que el h, la misma construcción geométrica muestra que dichos puntos intervienen en forma análoga, 10 que se comprueba en la sigUlente

o

Proposición: La función f es convexa en 1, si para cada tres puntos a, x, h E l. con (j < x < b, se tiene

(((x) - f(al) (h -~ a) - (f(h) f(aJ) (x - a) < 0, y poniendo x - a = (b - a) - - (h -- x), queda (f(x)- f(b)) (b-- a) + (f(h) - f(a» (h - x) < 0, que cquivale a la segunda desigualdad. En la definición de convexidad no se ha supuesto la continuidad de la función, que es consecuencia de ella. Proposición: Una {unción f: 1 --->- R convexa en 1, es continua en este mintervalo.

(J

fea)

a

€

Proposición: Si la función f es convexa en el intervalo J. 1'11 1,.tI,. 1'/1111,. 1, existen las derivadas laterales; y si es a, b € 1, con a < h. SI' 11t'/I,' f'(a +) < f(h) ~ fea) < f'(h b-a

_J.

f(a)

x~a

a

f en x = a.

5.2. Si en la definición de función convexa, se cambia el signo de la desigualdad, es decir, se supone quc para cada tres puntos a, x, b E J, con a < x < b, se L'erifica

x-u

1

\'

5.4.- Las funciones convexas en un intervalo 1 son deriv~,hk~ ,',1, ,1',1 I"¡J,,, los puntos de l. Sin embargo para el estudio de la variación
,ex) -

~f(a)

como para x> a. implica la continuidad de

j(x) -

Si f es una función convexa en 1, ~ f es una función C(')j](',IY,I, " 1111',', mente. Bastará, pues, estudiar las propiedades de las funci()I1t'~ \"\111\','\,", que las cóncavas, se deducen de forma inmediata.

Demostración: Según la definición de convexidad, la función

Demostración; La acotación del cociente

tanto para x <

b

Sí a < x < b. el punto X está encima de la secan/(' Al!.

Demostración: Bastará deducir la últim3 desigualdad de la primera. De la' primera resulta

x-~

x

Función cóncava.

x -,--)~f(a~) < _f(~b~_-_f(a_) < (b) - {(x) -,-f-,--e X---Q b--a b x'

f(x)

a

f(b)-f(a)

->-----

b-a

es estrictamente creciente con x € 1, por lo que existe el límite por 1;, d"l ,'1 11.1 en x = a. Igualmente existe el límite por la izquierda en x = b. La desigualdad del enunciado es consecuencia inmediata de la esLlhl"IHI.I en la proposición anterior. Si se supone la derivabilidad de f en x = a. el resultado anterior SI' 111 11"<11 completar.

374

F6rmula de Taylor y aplicaciones

17';

F6rm~/a de TayJor y apJfcaciones

Proposición: Sea f: 1·-+, R convexa en el intervalo 1, y a un punto interior del intervalo en que existe f'(a}; entonces, para todo par x', x" € 1, con x' < a < x", se tiene

zaría en un Xo E (a, b), en el que sería f(.xo} > fea) y f'(xo) = O. Aplicando (,1 teorema del incremento finito al intervalo [a, xoJ se tendría

f(x') - f(a) < f'(a) < (x") - f(a). x'-a x"-a

f(xo) - fea) = f'(XI), con a < XI < Xo, x~- a por lo que sería f'(x l ) > O, mientras que es {'(xo) O; lo que est{¡ ('n cOllll.! dicción con el crecimiento estricto de {'. Si para ningún xE(a, b) fuera f(x) > f(a), pero para algún x" se l1IVII'I,1 f(xo) fea), en este punto x Xo la función tendría un máximo loc;!l, 1"' 1 1.. que {'(xo) O. Como t no es constante en el intervalo [a, xoJ (si 10 r111' 1,1, r "" sería estrictamente creciente) existiría un XI en el que f(xI) < 0, y .'1,111,111.1" el teorema del incremento finito al intervalo [Xl' xoJ se tendría

=

Demostración: Basta observar que aplicada la proposición anterior al par x', a y al a, x" se tiene f(x' +) < f(x') - fea) < f'(a) x'-a

y

fea) < f(x") - fCa) < f'(x" _ ). x"-a

Un enunciado geométrico de esta propiedad es: Si f es convexa en 1, y su gráfica cartesiana tiene tangente en un punto (a, f(a)) , la gráfica queda encima de la tangente, para todo x E 1, salvo para

x = a. Si se supone la derivabilidad de la función en 1, se tiene

Proposición: Sea f: L-'>' R derivable y convexa en el intervalo abierto 1, entonces f' es una función estrictamente creciente en l. Demostración: Para cada par a, b 10 1, si a < b, es fea) < t(b) - fea) < ('(b). b--a

5.4, La propiedad referente al creCimiento estricto de (' en las funciones convexas, admite un recíproco de gran interés en la práctica.

Proposición: Si la fUnción f: 1-+' R es derivable, y su derivada f' estrictamente creciente en el intervalo 1, entonces la función f es convexa en l. Demostración: Sean a, x, b E 1, con a < x < b; se trata de ver que de acuerdo con la definición de' convexidad es ' r(a) < f(b) - f(a). x-a b--a

!(x) -

Se supone en prime,r lugar f(b) = fea), por lo que se habrá de probar que para todo x E (a, b) es ¡(x) - fea) x--a

Si para algún x

€

< O, o sea f(x) < f(a).

(a, b) fuera f(x) > f(a), el máximo de

f en [a, b] se alean-

=

=

=

f(xo) -

f{XI) XO-XI

=

('(X2),

con

Xl

<

X2

<

Xo,

por lo que sería ('(Xz) > 0, mientras que f'(xo) = O; lo que está en conl J";l\li<'I'I,'1I con el crecimiento estricto de ('. Se supone ahora f(b) c;I= fea), y se considera la función auxiliar (x-a), g(x) = f(x)- reb)-f(a) b-a

en la que g' es también creciente en el intervalo l. Se .comprueba inmediatamente que es g(a) = g(b) = ((a), y el la primera parte aplicado a, la función g, da g(x) < g(a), con a < x < b, o sea f(x) - f(b) - fCa) (x - a) < fCa), b-a

n",III1.ld .. ""

que es la condición de convexidad. La propiedad análoga para la concavidad es la siguiente

Proposición: Si la función f: 1 -'>' R es derivable, y su derivada f' ('srr;dumente decreciente en el intervalo 1, entonces la función { es cóncava ('1/ ¡, 5.5. El crecimiento o decrecimiento de la derivada de una funci{1I1, ~.,. puede poner de manifiesto por la derivada segunda. En consecuencia n·slI!I .• el siguiente criterio de convexidad y de concavidad.

Proposición: Si la función f: 1 -'>' R es derivable. ~os veces en el irl!('n',d,' 1, Y su derivada segunda ftl es constantemente poSitIVa en. 1, la fllnclOl1 r ,', convexa en este intervalo; y si {ti es constantemente negatIVa en 1, la (/11111' '11 f es cóncatla en este intervalo.

376

Fórmula de Taylor y aplicaciones

Ejemplo.

~

17~'

F6rmula de Taylor y aplicaciones

Proposición: Sea f: X R, con X e R existe la derivada (' en un entorno VCa). La función f es convexa en x = a, si f' La función f es cóncava en x = a, si Demostración: Se supone que Vea) es x' E Vea), con x' < a, aplicando el teorema ._)0

La función definida en todo R por f(x) = e-x',

tiene una gráfica cartesiana que se denomina curva de campana, Sus derivadas sucesivas son f'(x) = - 2xr x', y f"(x) = (4x 2 -

2) e

lo que la función es convexa para " Ix > -v'2, - , y concava para 11 x < 2

x';

por

VI

~-.

abierto y a

€

X; Y se

SUPO/U'

'1/11'

es creciente estrictamente ('11 e/. decreciente estrictamel1le ,'/1 " un entorno lineal de a. P;lr,1 t"do del incremento finito se Ill'II!'

r es

2

l(x')- fCa) = {'(Xl)' x'-a y como en virtud de la monotonía de

con

f' es

X' < Xl < a,

['(XI) < ('(a), queda

fea) < f'(a) x'-a

'(x') -

Análogamente resulta

fea) < ¡(x"!, ~ fea)

I J2 I -2- 1

o

X

,

-a

X = a, El caso de la concavidad se' razona de la misma forma.

y estas dos desigualdades prueban la convexidad en

J2

Curva de campana: convexa para Ix! > - - y cóncava para Ix1 2

<

..!2 --o

2

6.3.

La existencia de la derivada segunda, no nula, permit\' dlTldll '.111""

el crecimiento o decrecimiento de f' en un entorno de x

6.

= (/:

CONVEXlDAD y CONCAVIDAD LOCALES. INFLEXiÓN

6.1. Entre las definiciones que se pueden dar de la convexidad y concavidad locales, las que resultan de las propiedades (5.3), establecidas para las funciones convexas en un intervalo, tienen la generalidad suficiente para el estudio local de una función.

Definición: Sea f: X ~'R, con X e R abierto y a € X; Y en este punto se supone que existe f'(a). Se dice que f es convexa en a, si existe un entorno lineal V(a) e X tal que, para todo par de puntos x', x" € Vea), con x' < a < x", se tiene fCa) < x'-a

r(x') -

fea) <

¡(x") ~ tCa). x"-a

Se dice qu~ f es cóncava en a, si existe un entorno lineal Vea) e X tal que, para toda par de puntos x', X" € Vea), con x' < a < x", se tiene ((x') - fea) > f'(a) > (x") - /(a). X' --' a ' X" -----' a 6.2. De estas definiciones resulta el siguiente criterio de convexidad (o concavidad) local, para las funciones f derivables en un entorno de x = a.

Proposición: Sea f: X ' 4 R, con X e R abierto y a que ?xiste 1"(a) que no es nula. Si t"(a) > 0, la función f es convexa en X = a. Si 1"(a) < 0, la función f es cóncava en x = a.

f'

X; 1/ \(' '1'/"'11.'

Demostración: Si es {"(a) > 0, existe f'(x) en un entorno de a, y ciente en x = a. Según la proposición anterior f es convexa en a. Análogamente se razona si {"(a) < O. 6.4. Para definir la inflexión de una función en un punto x = a. quiere la existencia de la derivada en dicho punto.

l·.~

~l'

Definición: Sea f: X - R una función en la que X e R es un ahierl, I Y a € X; Y se supone que existe !'Ca). Se dice que f tiene inflexión en el punto a, si existe un entorna lineal Vea) e X tal que, para todo x I ({ del entorno, es f(x) ~ f(a) > rea); x-a

l'Il'·

11'

378

Fórmula de Taylor y aplicaciones

o bien, para todo x ~ a del entorno, es

~

(x) - fCa) ('C) ~-'----'---'--"- < a. ________________~x_.-~a________________________~1

La :o.ndición d.e inflexión en x = a, indica que la pendiente de la tangente la graflca ~arteStana de f en el punto A = (a, f(a» , es el mínimo (o máximo) ,h- las pendIentes de las secantes AX', AX", que unen los puntos A y X' = (x', f(x'», X" = (x", (x"». óI

Fórmula de Taylor y aplicaciones

6.5. Para las funciones derivables en un entorno del punto x = el se puede dar un criterio para la existencia de inflexión de la función paril este V;¡)')I de x.

Proposición: Sea t:X -> R, con XcR abierto y a E X; Y se SUpO/U' '1//1' existe la derivada en un entorno VCa). Entonce8 la función f tienl.' iuff{'.rIlíl/ en x = a, si f' tiene un mínimo (o máximo) estricta para este valor de .r.

r

Demostración: Se razona como en el caso de la convexidad local (6 ..'). También el criterio de la derivada segunda se puede aplicar a LI ,I!-It-IIIII nación de los puntos de inflexión.

Proposición: Sea f: X .-, R, con X e R abierto y a E X; Y Sr' Sil}" "". que existe f"Ca). Entonces, si f tiene inflexión en x = a es ("(tI) ()

X"

Demostración: Si fuera f"Ca) F O, en virtud de (6.4), la funcil)ll vexa o cóncava en x = a, y no tendría inflexión.

x'

a

x'

X"

o

x"

o

-;,'11,1

j

1(1)

Observación. Como se indica claramente en el enunciado, b l"lllldHI"1I f"(a) O es necesaria pero no suficiente para la existencia de illfln;i"lI "11 las condiciones dichas. Por ejemplo, la función f(x) = r es COI1Vl'X.t '·Il.r 11 y sin embargo rCO) = o.

=

El punto A es de inflexión de la gráfica cartesiana de f.

7. L~ definición anterior tiene un claro sentido geométrico.

:'>1 fa función f tiene inflexión en x = a, la gráfica cartesiana de la función, ,I'slla SItuada por encima de la tangente a la curva, en el punto (a, f(a» , a un l/e o de este punto, y por debaio al otro lado. Efectivamente, según ,la definición, para todo x E Vea), es

fCx)-f(a) -x

=a-> fCa);

.Y esta desigualdad se transforma en el conjunto de las dos:

+ f'(a) (x -

a),

para

x> a,

con

x

E

Vea),

< fea) + {'(a) (x -

a),

para

x

<

con

x

E

VCa).

(Cx) > fea) .Y f(x)

a,

. ~a primera desigualdad expresa que para x > a la gráfica de f está por cncn~a de la .tangente. a¡ la curva, Y. para x < a la gráfica de f está por debajo, SI se ?ublera partIdo de la deSIgualdad en el otro sentido, los resultados serían analogos.

ANALISis LOCAL POR LA FÓRMULA DE TAYLOR

7.1. La fórmula de Taylor es especialmente apta para el estudio del \"0111 portamiento de una función en el entorno de un punto, ya que dicha f')llIlItI" no sólo determina las aproximaciones polinómicas de los distintos "lI·dl'l\(,~,. sino que permite acotar la diferencia entre las mismas y la función. Las propiedades expuestas sobre la convexidad, concavidad e infkxI\'Il, utilizan en su formulación hasta la derivada segunda, dejando el estudio ahll'rto, cuando esta derivada es nula. La consideración de las derivadas SUeL'sivas, permite dar condiciones suficientes de gran interés tanto teóriCO t"OIIl
Proposición: Sea la función f: X ,-~ R, con X e R abierto y a E X; Y ('/1 1111 entorno lineal 1 de este punto se supone que f tiene derivadas finitas ha.\¡\I d orden n - 1 inclusive, y derivada n-ésima en a (n ~ 2). Si es f"(a} = 0, {"'(a) = 0, ... , (1" "(a)

=

O Y flnl(a) 7'= O.

Si n es par, y t(nJ(a) > O, es f convexa en x = a. Si n es par, y [lnJ(a) < O, es f cóncava en x = a. Si n es impar, f tiene un punto de inflexión en x

=

a.

180

Fórmula de Taylor y aplicaciones

Demostración: Se considera la gráfica cartesiana de f, y la tangente a esta ~ráfica en el punto (a, fea)}. Para cada valor de x sean X y T lO's puntos de la curva g.ráfica y de la recta tangente que tienen x como abscisa. Sus O'rdenadas correspondientes se designan por Yc e y" y se tiene X_--,_-

381

Fórmula de Taylor y aplicaciones

7.2. En la proposición anterior no se ha hecho ninguna hipótesis sobre el valor de la derivada primera f'(a). Las conclusiones subsisten cuando na) = que es condición necesaria para la existencia de] .~áximo ? míni~o: locales: En este caso, si hay convexidad en x = a, la funClOn te~dra, ~n ml~lm~ ~ SI hay concavidad, la función tendrá un máximo. No habra maxlmo III ml111mo cuando la función tenga inflexión:

°

Proposición: Sea la función f: X 4 R, con ~ e R .abierto, y a € ~, que tiene derivadas finitas hasta el orden n - 1 zncluswe en X, y denvada n-ésima en a. Se supone f'(a) = 0, f"(a) = 0, ... , f"-lI(a) = O y

o

x

Ejemplo.

Ye - y,

= t(x) -

(f(a})

+ {'(a) (x -

a),

\' ¡f('s;lrrollando f por la fórmula de Taylor, queda (ln)(a)

Yc-Y, = - - ,- (x-a)n

n.

I

n sea ¡¡<"J(a)1 -

- - (x -

n!2

a)"

<

f"(x)

n!2 '

l1(x) <

para

x

€

Vea),

Como n

¡rnl(a)!

- (x - a)" para n!2'

x

€

.(ri(a) para x

si¡.:no.

E

2

(' rnJ(a)

n.

,

Vea), po'r lo que en Vea), ¡rnJ{a) (x -

+ 1t<"I(a)l) (x - a)" 2

a)n e Yc -

es par y fV(O) > O, la función

f tiene un mínimo en

x = O.

Vea).

8.

~ a)" < Yr __ Yt <

=4

+ e-X - 2 cos x y f'''(x) = eX - e-x + 2 sen x, x = O. Finalmente la derivada cuarta es fV(x) = ex + e-X + 2 cos x y f[V(O) = 4.

= ex

ambas nulas para I¡
Esta acotación de T(x) permite escribir J _1¡
Se trata de hallar los máximos y mínimos locales de la función f(x) = eX + e-X + 2 cos x.

f'{x) = ex - e-X -- 2 sen x es nula para x = O. Las derivadas segunda y tercera son

+ T(x),

Como ¡rnJ(a):F- O, existe un entorno U(a) e 1, tal que es

I<

=F O.

La primera derivada

donde T(x) = o (Ix - a!)n.

T(x) (x- a)n

f,"I(a)

Si n es par y f<")(a) > O, f tiene un mínimo en x = a. Si n es par y ('")(a) < 0, f tiene un máximo en x = a. Si n es impar, f no tiene máximo ni mínimo (iln x = a.

n! y, tienen el mismo

Si n es par, el signo de Yc - Yt es el de ¡rnJ(a) en Vea), luego hay convexidad si jlnJ.(a) > 0, y concavidad si ¡ a, luego en x = a, la función tiene inflexión.

EJERCICIOS

El polinomio pn de grado :s;:;; n es un desarrollo limitado de f, en el entorno de x = a, de orden n, si es f(x) = pn(X} + o (x - a)n. Probar que si una función tiene un desarrollo limitado de orden 11 en x = a, éste es único. 2. - Si las funciones f y g admiten los desarrollos limitados pn y q" de orden n, e~ el entorno de x = a, lo mismo ocurre con las funciones. f ;±: g, f· g y f(g SI g(a) =¡'ce O. Los desarrollos respectivos son pn + qn; pn' q,_ l1IDltad.o a los termInas de orden :(; n; y pn/qn limitado a los términos de orden ~ n. 1. -

382 3. -

Fórmula de Taylor y aplicaciones

'''rmllla de Taylor y aplicaciones

Escribir la fórmula de Mac-Laurin para las funciones

Probar que si

p> 1,

f(x) = O (XV), con

Y g(x) =

2: ak Xk +

1

O (x nTI ).

k~O

se tiene g [f(x)]

I~.

= 2.: ak (f(x»k + O (xVln+II). k~l

4. -

Probar que si f es derivable en un entorno de x = a, y se tiene "(x)

= 2.: a k (x -

1'1.

+

o «x -

ln(l

(x-a)"+!

n

+ 2.:a,,---- + o «x-a)"+I). hO k + l

f(x) = fea)

11>. 11.

Determinar los desarrollos limitados siguientes: a} De orden 4, para f(x) = In' (1 + x), en el entorno de x = O. b} De orden 3, para f(x) = eSe" x, en el entorno de x = O. el De orden 6, para {(x) = In (cos xl, en el entorno de x = O. d) De orden 4, para f(x) = (l + x)"', en el entorno de x = O. e) De orden 8, para f(x) = tg x, en el entorno de x O. Probar que en el entorno de x = O, para todo n entero positivo, es 1

{(x)

== (2 px +

"',

=0

qx') 2;

y

(x")

1 sen - - e

f(x)

=

(~-)~; 2a-- x

+ 2 sen 2x +

8. -

Determinar a y b de manera que las gráficas cartesianas de las funciones

9. -

1 x; (x) = a(ebX-l) 1 x tengan un contacto de orden máximo en el origen. ¿ Cuál es orden del contacto que en el punto (O, 1) poseen la catenaria de ecuación y =

ele

+ e-" 2

= x

V+

y la circunferencia

x2

+ (y -

2)2 -

1

para

x

hasta lo,

\"'"1"111',

Determinar los coeficientes a, b y e con la condición de que la gráfica cartesiana de la función y = a sen x + b sen 2x + e sen 3x.

=

tenga un contacto de orden máximo con la gráfica de y f(x), suponiendo feO) O. Aplicación a la recta y = mx. 12. - Determinar a, {o y y de manera que el desarrollo de Mac-Laurin de la diferencia

+ px) 1 + yx

x (a

empiece con la potencia de x de exponente lo más alto posible.

x =¡é O,

= -- -2'

Y t(O)

1

= ---; 2

b) hallar f" y f''' en x = O. Deducir de la fórmula de Taylor las siguientes fórmulas x'(x)

= feO) + x ('(x) - -2- {"(x) + xn

+ (_ l)n+1 _ _ fin)

(x)

ni

f ( ~x_)

xn+1

l

, (ln+ ) (lJx).

(n+l).

x'-_ ('(x) + l+x x'n+' 1 fl"+'1 1)n+1 - - - -1 (1 + x)"' (n + 1)!

= f(x) _ _

l+x

x'-n (Iul(x) 1) ( +-n(l+xr~n-!-

+ (- l)n+1

+ (-

19.-Si se escribe, para O~X~7r, x (60 -7x'-) sen x 60 + 3x'-

=

+ px

3x

+

,

es

lim

p

x~o

+

px',

es

= 12-5x' + p:x", 12 + x'-

¡ /1,,"

1 I

.1"

= 50 400 ;

lim

=

p

X~O

si se escribe, cosx

(_~

11

7

si se escribe para O ~x ~ 1, ~----;::==,=", ~l x'

11. -

+ x)-

-l

arc sen x = 2

Dada la ecuación cos x - i' = O, sustituir la función cos x por una aproximación polinómica de cuarto grado, y resolver la ecuación resultante.

In (l

+ x)'" 1

1 - --

probar que es Um f

= O?

JO. -

=

ex

3 sen h;

en un entorno de dicho punto.

(x)

1

~~

r,

¡

sen x

2

x->(]

I K, -

=

1 7 Ix! ~ -2-' es siempre Ivl ~ 12

con

- Dada la función

a}

x' =

(x)

3

Escribir el desarrollo de Mae-Laurin de la función (1

f(x) =

o (x"). x 7. - Determinar las aproximaciones polinómicas de grado menor o igual que 4 que aproximen 'en x = O a la~ funciones definidas por e

x'

+ x) = x - -- + vx

de tercer orden.

=

6. -

,i<"

Probar que en la relación

a)"),

k~O

f admite el desarrollo

5. -

a)"

l de Mac-Laurin, hasta los térnlill'" ' Escribir los desarrollos según la f ormu a cuarto orden de las funciones sen (a + x); sen'x; ln(l-x + x'); xcosx-senx;(x-tgx}cosx; t¡;x.

1 180 ;

-7 es

lim p =

1440'

X~O

20. _ Determinar las concavidades. convexidades en inflexión de las curvas

métricas

= senx;

= cosx;

=

=

triJ.'.ollu

Y tgx; y cotgx. ' 'd 1 intervalo (- a, a), con deriv;"I,," f d 21. - Probar que una función impar f e mI a en e f" y , m en x O, tiene en este punto una inflexión. . 22. _ Determinar los máximos, mínimos e inflexiones de las curvas cuyas ecu;1l '"

r,

nes son:

y

=

Y

384

Fórmula de Taylor y aplicaciones

x' 1 y=--+--'

a b 1 y=------; Y ,,-1 x x 1 1 y=------x' (x-l)" Discutir las gráficas de las funciones siguientes: x

21. -

1

{(x) =

+x

20. La integral de Riemann

sen' x f(x) = - : - - - 2 + sen x Hallar los máximos y mínimos de las funciones

+ sen'x;

f(x)

= e- kx'; 1

..... 1 • •

x;

f(x) = axm

Estudiar las funciones {(x) =

sen' x sen x + cos x'

x'

+a

con

'"

f(x) = xn e

+ - -b o

2. \. 4. ). h.

xn

= tg (2x - 2,) , para cada tg x x+a

'

l.

7.

{( x)

~

{(x) = - - - e '"

x

o

x+l'

x'

f(x) = x )r

x-l

In~; !(x) = -2- -In x; f(x) = sen x'; !(x) = x - sen Xj

{(x) = cos'x

2·1.

1 = -- + - -1 - + ___

2 '

a

€

R;

!(x)

= x-x--,

"€

[

- -'I r_ "_ ]

4'

H.

El problema del área. Definición de integral. Condición de integrabilidad de una función. Clases de funciones R-integrables. Propiedad aditiva de la integral respecto de los intervalos. Propiedad li'neal y de monotonía de la integral respecto de /a.\ Primer teorema del valor medio. Ejercicios.

(/l/U¡,

'11",

4

El concepto integral, cuya raíz geométrica está en el concepto de área (1 l, h" ido evolucionando progresivamente, a partir del descubrimiento del Cálculo infillilt·silll .• 1. Su desarrollo es, en algún aspecto, paralelo al concepto de función. Cuanto m,,, eo",pll<., das eran las funciones en estudio, más penetrante debía ser el instrumento "d'·"II ... I .. para calcular sus integrales. Este principio se realiza en el desarrollo hist (lIjco ,I!- l., teoría de la integral, en cuyo período clásico, los conceptos según Callchy, I! 11'111.11111 Y Lebesque son de especial significado. Estas generalizaciones sucesiva~ se "1'111 .111 .1 clases de funciones cada vez más extensas. En este ,capítulo se estudia la integral según Riemann (2) que cubre la IIIi1Y'" l.' d,' las necesidades de la Matemática aplicada, y también un extenso campo en l., p.II 1,· teórica. Se consideran las integrales definidas en intervalos, que se someten a "
3HS

386 La integral de Riemann

Hay algunas propiedades que s 'd de integral, por lo que incluso p~e~~:SIse:ra;o~~~~lO características en to~a, ~efinición constructivas En el caso de la int l d R' as como base para defInICIOnes no nición y de 'las condiciones de inte:;;~ir de d ~m~nn resultan directamente de la defide los intervalos (5) de la propz'ndad ll,l al' e rata de la propzedad aditiva respecto , ' e nea respecto de las f . (6 2 . de la propIedad de monotonía respecto d 1 f " uncwnes . l, aSI como E .' , e as unczones, sta ultIma propiedad es la base del primer teorem d " portancia se manifiesta en la demostración d 1 t a el valor medIo (7). Su imf gral, en el que se relacionan los procesos d: . etorem~. undame,ntal, del Cálculo inteIn egracIOn y denvaclón,

LB Integral de Riemann

1.

EL PROBLEMA DEL ÁREA

1.1. Junto con el de la tangente, el problema del área es uno de lo~ '11,,' dan origen al Cálculo infinitesimal. Hasta el descubrimiento de esk CíI"ld" sólo se conocían fórmulas para las áreas de figuras poligonales, par,l LI dd círculo y para algunas figuras limitadas por arcos de pa.rábolas, Sin l'llIh, 1\ ¡'," , en la Matemática griega, ya está presente el concepto de área, y se ""11'" "11 las propiedades axiomáticas que corresponde a esta noción, La im'ar¡al/i/" .Id área en los desplazamientos, la propiedad aditiva del área y el 1)/'11/'//'/" ,J,' exhaución son las propiedades que posteriormente han dado lugar a 1111.1 ,1\1" mática del concepto de área. Frente al problema del área, los descubridores del Cálculo infil\l"'~III1,iI, '," ocuparon ante todo de hallar métodos para calcular las áreas de 1.1', 11\',111,", planas, dejando en segundo término las cuestiones referentes a \;, ,1.-1111111"11 de área y a la existencia. Un análisis posterior puso en claro que no todas las figuras pLtn,I" 1"'111'11 área, ya que el principio de exhaución no permite determinar un núnll'l'o 11111111, que esté comprendido entre las áreas de las figuras contenidas en L1 tI,lI!.I, \' las áreas de las figuras que la contienen. Se presenta, pues, la 1l('l'l'~ld,l" d,' una selección entre los conjuntos del plano, distinguiendo aquéllu~, P,II.I 1"" cuales se puede definir una área, llamados medibles, del resto de Jo" (,1111111111(1', para los que no se puede definir el área, Al pretender desarrollar este esquema aparecen dificultades, No ~,I' I"II''''' dar "a priori" la clase de los conjuntos medibles, ya que la condicioll lk 11\1" dible de un conjunto, depende de la definición de área que se ;¡t!0l'il', 1I método que se seguirá, corresponde a una solución de compromiso. En 1'111111'1' lugar sólo se considerará un tipo de conjuntos en el plano, llamados ('un, lInlll," de ordenadas y posteriormente a estos conjuntos se les aplicará el prim'ipio de exhaución para decidir cuáles son medibles, y si lo son, cuál es su {¡ 1'(';1. En Análisis se cambia la terminología, y para tratar el p.roblema ,\Lo I ,'111',1 se introduce la noción de integral. Aunque ésta puede desarrollarse illlh'p''II< dientemente de toda intuición geométrica, conviene tener presentes las pro, piedades fundamentales del área que subyacen en la construcción de 1.\ inll" gral según Riemann.

1.2. Cuando se asigna una área a una figura plana A, se hace corrcsplllld"1 un número leal al conjunto de puntos A e R2. Por lo tanto, desde el punlo d~ vista analítico, lo que se hace es definir una aplicación a, en la que ;¡ C;\llj conjunto A, perteneciente a la colección de los medibles, le correspondl' ur número real no negativo. Es evidente que entre los conjuntos medibles, han de estar los in/I'I'I',J!,J: cerrados, y todos los conjuntos que se pueden formar por la reunión .j" 11/

3RIJ La integral de Rlemann

388

número finito de intervalos con interiores disjuntos. En particular, serán medibles las regiones escalonadas, que son las reuniones de colecciones finitas de rectángulos adyacentes con sus bases sobre el eje x.

Le integral de Riemann

definir la integral en Análisis se apl,ica el princIpIo de exhaucilíll 1.3. Al 1 1 en estudio, son Ins en condiciones restringidas. Las figuras no po ¡gona es, . d' . el inlerllamados "conjuntos de ordenadas". · [ b] -+ R una función real no negatzva, cuyo ommw es S f . a, ,ea 'd 1 rafa de f y el eje de ¡as valo [a, b]. La parte del plano ca mprendl, afentre e g x, se denomina conjunto de ordenadas de : {(x, y)ER2; a
Ejemplos.

Los conjuntos de ordenadas de las funciones definidas ('or' 1 X E [ 1 1] Y x j--+ x - [x] para x E [0,3] Xj--+X para -"

son los representados en las figuras adjuntas.

x Región escalonada.

Por otra parte la definición de área aplicada a las figuras geométricas eleha de coincidir con la medida usual; yen particular, si 1 es un in ter1·,tI" ,'errado (o rectángulo) cuyos lados tienen longitudes h y k, ha de ser 1lIl'lItales

a (1) = h . k;

y en consecuencia, en el caso de una región escalonada R

a(R) =

¿"

= U 1"

su área será

h. k"

donde h¡ Y k i son las longitudes de los lados del intervalo l;, en virtud de la (Impiedad aditiva. Finalmente el principio de exhaución es el puente que permite pasar de \lna teoría elemental de¡ las áreas para figuras poligonales, a una teoría general ar1icable a figuras no limitadas por segmentos, sino por arcos u otros conjuntos más complicados. El enunciado de este principio en forma general es:

Principio de exhaución: Si C es un conjunto que puede encerrarse entre dos medibles S y T; es decir, ScCc T; !I existe uno y sólo un número c que verifique las desigualdades a (S) ~ c ~ a (T), para todos los posibles pares S, T medibles que encierrf!'n a C; entonces el conjunto C es medible, y a (C) = c.

~~

_ 1

O

1

..x

Conjunto de ordenadas de la fUf/cí';" Conjunto de ordenadas de la función (x) = x - [xl. f(x) = r. l' del conl'unto de ordenadas de una fUlll'¡"11 I .11"11 " 1.4. Para·d e f 10lr e area , , . . , ,1 l' , ' 1 [ b] que como se ha indicado se denomlll.l 1II1,! ,1" "

TIlda en un mterva o a,

,

'1

,1,'

., f en el intervalo [a b], se construyen reglOnes esca ondl dS

l"

'--

IIIIll ,la funezon, d recisan los casos en los qu!' sw. y exteriores al conjunto de ordena as, Y se P '.' 1" áreas pueden diferir tan poco como se quiera, lo que permite aplicar l' PIIII111 ,

cipio de exhauciÓn.

Región escalonada interior al conjunto de ordenadas de f.

Región escalonada exterior al conjunto de ordenadas de f,

391 La integral de Riemann

390

La construcción de las regiones escalonadas se sistematiza considerando particiones, del intervalo [a, b] en un número finito' de segmentos y construyendo los rectángulos que tienen como base estos segmentos, con alturas máximas y mínimas correspondientes, para las escalonadas interiores y exteriores respectivamente.

Le Integral de Riemann

. d . ide con un intervalo En consecuencia, un intervalo cualqUlera e I'!.., o co~n.c I'!..' o es unión de intervalos de /!' con interiores dIsJuntos .. de E~ general dadas dos particiones cualesquiera del mismo .mtervalo /1:: . de la~ dos es más fina que la otra; sin embargo, eXls~en partlc"olll s nmgu~a Si /':,' t{' son dos particiones cualesqUlera del tnh'lmás fmas que ambas. Y . 'n finita y ordenada de 111'11 [ b] la partición I'!.. formada por una suceslO , va o a, I ' d /':,' Y /':," es más fina que estas, meros, a. la que pertenezcan los numeras e . . . ". t. [a b] 4 R una función real acotada en [a, "1, .\" 2,2, DefIDlclOn. Sea , , 1 'f' d f en el intervalo l'I'J'J'tlt!l' . E e el supremo Y e ¡n zmo e b] L superior e inferior de r n '/In deszgnan por ¡ y . i , , [Xi_l, x;] de una parttClO'n IJ. de [a, ' as sumas n pondientes a la partición t., son las sumas:

Y:'

S (t.)

= ~ E¡ (Xi ~ X;_l),

Y s (t.) = i~ e¡ (X¡ ~ Xi-I),

i::..:l

Xn

b

a

x

Si la diferencia entre las áreas correspondientes a estas regiones escaloliadas exteriores e 'interiores puede hacerse menor que cualquier número dado

. n, el conjunto de ordenadas de

r será

integrable, y la integral es el único

Illímero comprendido entre las áreas por exceso y las' áreas por defecto,

En la construcción abstracta de la integral según Riemann, se sigue este Illllde!o, aunque se prescinde de toda referencia al concepto geométrico de :I/'ea. y de la hipótesis de ser f(x) ~ O para todo x E [a, b], que ya no es necesaria. 2.

<1

(/

DEFINICIÓN DE INTEGRAL 2.1, Definición: Una partición tl de Un intervalo cerrado [a, b] e R, con < b, es una sucesión finita y ordenada de números, en la que el primera es y el último es b; es decir: a

= Xo < XI < .,. < X"._I < X" = b.

La partición tl divide al intervalo [a, bJ en n subintervalos cerrados [Xi_l. x¡), Dos subintervalos consecutivos tienen un extremo común, pero ningún punto interior. Los sub intervalos [X i _ h Xi] se dice que son los intervalos de la par¡ición. Definición: Una partición N del intervalo [a, bJ e R es más tina que otra partición'" del mismo intervalo [a, b), si tada punto Xi de esta partición pertenece a i'!..'.

respectivamente, . de E,., e,' en el in I ('rv,d" De la acotación de f se deduce la existencIa [Xi-l, Xi]. i"'" 1. 2, ... , n. • ". f' (a b] -+ R una función real acatada en [If, "1 ' / 2.3. Proposlclon. S:a ' , ' '. [b] Las sumas superiores l' m{"/'It' E y e sus extremO' supertor e .znferwr en a, . res tienen las siguientes propzedades: a) Para toda partición t. es e (b _ a) ~ s (t.) ~ S (i'!..) ,:;:;; E (b - a), b) Si i'!..' e'S más fina que i'!.., es

s (i'!..)':;:;;s (t1') c)

y S (A')':;:;; S (t.).

Si K Y i'!.." son dos particiones cualesquiera, es s (!'!..') ,:;:;; S (t.").

Demostración.

a):

De e <, e¡ ~ E¡,s;;; E, se deduce

~ e{xt -x· ) ~~ e (Xj~X';-l) ~ i ~

1-1

que es

~

;-1

~ ~ . ,

.

i-1

e(b -

1-1

E,

(X¡-Xl-l)

~.~E{Xi-X¡-l)' 1-1

a):ss (tl) ~ S (I'!..),s;;; E(b --a).

'f' ue se obt¡'ene A' introduciendo en I'!.. un pUllto '-', b) .' Si /l.' es mas ma q E ncia bastará demostrar l'.IS. tras otro un número finito de veces. i'!..~ conl~:c~: ~ ~uando se intr~duce l'n desigualdades de b) en el caso en que resu , un intervalo (Xi_h x;] de t., un único punto x'. x'] E' Y ("/ Sean E'¡ y ~ los extremos superior e in,ferior de f en [X¡_I1 , Y ¡ los extremos de f en [x', x¡), entonces se tIene: S (IJ.) - S (IJ.') = El (Xi - X¡-l) - (E'; (x' ~ XI-l) + E',' (Xi .~ x')), A

392

La integral de Riemann

y como E;

~ E¡

S (L\.) - S (L\.') ~ El (x, Análogamente es:

Xi

s (t.') - s (t.) = < e: ~ e¡ y e;' ~ ej, resulta (Xl -

Y como

La integral de Riemann

Y E;' ~ E j , resulta -1) -- (E, (x' -

X;-I)

Xi_')

+ e;' (Xi -

+ E, (Xi -

x') -

e¡ (Xi -

x'» =

o.

X;-I),

s (t.') - s (t.) ~ ei (x' - X'_I) + e, (Xi - x') -- ei (x, - X'_I) = o. c) Sea L\. una partición más fina que N y 1'1", en virtud de las dos propiedades anteriores, se tiene:

La acotación de f en [a, b] asegura la existencia de las integrales super/or e inferiar, pues en virtud de la propiedad a), el conjunto de las sumilS superiores está acotado interiormente por cualquier suma inferior. y el con¡l1lltll de las sumas inferiores está acotado superiormente por cualquier sum;1 ~II­ perior, De estas acotaciones resulta la siguiente

Proposición: Las integrales superiar e inferior de f verifican la n'lon, í"

f:r~

s (L\.') ~ s(L\.) ~ S (L\.) ~S W'). 2.4.

A partir de las sumas superiores e inferiores, pasando a los ínfimo

y supremo, respectivamente, se obtienen las integrales superior e infen·or:

Definición: Sea f: [a, b] -+ R una función real acotada en [a, b]. Se denomina integral superior de f en el intervalo [a, b], el extremo inferior del conjunto de las sumas superiores S(L\.} correspondientes a todas las particiones finitas 1'1 de [a, bJ. Se designa por:

.f: (

= inl {S (L\.) I L\. partición de [a, bl}.

Se denomina integral inferior de f en el intervalo [a, b], el extremo superior del conjunto de las sumas inferiores seA) correspondientes a todas las particianes finitas 1'1 de [a, b]. Se designa por: I:r=sUP{S(L\.)Ii\. partición de [a, b]}.

f>·

Demostración: Para cada partición N fija es s (L\.) sea 6., luego

J: t

= sup { s (6.)}

S (N), cualqllín.1 '111"

z~ S (A').

Como el primer miembro es un número fijo, será una cota infl'rím d,'1 conjunto de las sumas superiores, por lo que será menor o igual qlle ';11 ,'l(. tremo inferior . 2.5. El caso más interesante es aquél en el que las integr;Ill's ínferior coinciden, dando lugar a la siguiente definición.

SIII""'''' "

Definición: Una función f: [a, b] --). R, acotada en [a, "1, /'.\ 11/1" grable en este intervalO' [a, b], si las integrales superior e i"{('ri",. .\"JI iguales, Este número único se designa por

A veces se escribe también

J

J

f, :a. bJ f e _ [a. bJ para designar dichas integrales superior e inferior.

SUp{s(6)}

=

J:f -

J~ f a

=

y se denomina "integral de

Como existen distintas definiciones de integral, que son aplicahles a dis. illtas clases de funciones, la integral que se ha definido, se denomina intq"raJ (//' Riemann de la función f en el intervalo [a, hJ. Las funciones para las qUl' t'xisltesta integral, son las funcianes integrables según Riemann, o R-integrabfes. Aparte de la notación simplificada anterior son también frecuentes I.I~, notaciones

inf {S( L\.!}

'

~ s(6")

s(.6.")

s(6)

S(6)

f sabre [a, b]".

S(.6.')

S(.6.")

/

[a,

bJ

f'

'

f

(a. b]

f(x) dx.

La notación central se lee "integral entre a y h de f de x, diferencial de x" En las otras dos notaciones se dice análogamente "integral sobre [a, "l de {" o "de f de x, diferencial de x",

394

3.

La integral de Riemann

CONDICION DE INTEGRABILIDAD DE UNA FUNCIÓN

3.1. Equivalente a la definición es la siguiente condición necesaria y suficiente para que una función f sea R-integrable.

395

La Integral de Riemann

Demostración: Basta tener presente que si E y e son los supremo e ínfimo de f en un intervalo 1, y E' Y e' los análogos para la función Ifl, en el mismo intervalo 1, es E - e> E - e'. Para una partición cualquiera 6. de fa, b], es por tanto n

Proposición: Una función f: [a, b] ->- R, acotada en [a, b], es intep,rable Riemann en [a, b] si, y sólo si, para cada F> O existe una partición ~ de [a, b] tal que S(~)- s (~) < e. Demostración: Si se supone que para cada ,> O existe una .tl tal que ,'l' le".) --- s (~} < r, como

s(6)~ J>~ J>~S(6), la diferencia entre los dos números

J.b f e i~ t es

meno'r que

f.

Pero como

L (E; - e;) (Xi i~"

J: = J~, ~

-b

por la definición de extremos superior e inferior,

1>-S(6')<+

y SW')-

J>
Ejemplos: 1. - Sea la función definida por x r , donde r es un entero positivo. Se trata de comprobar que es R-integrable en el intervalo (O, l]. Bastará considerar una partición /), del intervalo en n partes iguales:

O, _1_, n

E, =

[i

+r

I[i_l_]'_ [(i~I}_1_1r)= '::1 ~(ir_(i-l)'). n n n .~I

<=1 \

S(Il) - s (Il) = -

.. nr =

nr+l

lr+l -~

n

.

que puede hacerse menor que un Queda pues probado que

Xr

8>

0, previamente dado,

SI

1,+1

es n > ~8-"

es R-integrable en [O, 1].

Este resultado se puede completar calculando efectivamente --

el) (XI -

Xi_l)

<

e.

1=1

De esta proposición se deduce fácilmente una propiedad de frecuente uso:

Proposición: Si la función acotada f: [a, b] R, es R-integrable, también lo [a, b].

y

1'+1

e.

n

é

+r

Esta última suma se simplifica inmediatamente, Y resulta:

.

es la función valor absoluto

(i_l)_l_, i_l_, oo., n--. n n n

OO"

n

e, = [ (i - 1)

n

Proposición: Una función f: [a, b] -+ R, acotada en [a, b] es R-integrable en [a, b] si, y sólo si, para cada F >0 existe una partición 6 de [a, b] tal que es

x

2~-,

Como la función es creciente se tiene

S(Il)_S(6)=_1_~

Se puede dar otra forma a la condición de R-integrabilidad:

}: (E j

Itl: [a,

para

3.3. Antes de dar proposiciones generales sobre clases de funciones integrables Riemann, se presentan ejemplos de funciones, en los que para decidir la integrabilidad se hace uso de la condición anterior.

&, será

S (6") - s (~') < ". Considerando una partición ~ más fina que 6' y 6", se tiene

3.2.

I

y en consecuencia, la diferencia de las sumas correspondientes a la partición

de donde

s (6') < s (6) < S (6) < S (~"), luego· S (6) - s (6) <

Xi_I),

f es R-integrable, el segundo miembro puede ser menor que una partición tJ. adecuada.

l'.xi~ten dos sumas s (6') y S (6"), en general cor.respondientes a partí ciones de [a, b], tales que:

dl,~tIntas

ei) (Xi -

i= 1

y como

~(' ruede tomar un f> O cualquiera, los dos -;;'úmeros han de coincidir. Si se supone

X'_I)·~ L (E; -

1

b]·-'> R, definida por If(x) I para cada

lo cual basta observar que es:

J:'

lr+l

lim s (6) = lim S (6) = - - 1. n-+OO

n->OO

r

+

Escritas las sumas en forma desarrollada es: Jr 1 Ir + 2' + oo. + (n -1)" + n' S ( Il) = t + = n'+1

S

(A) u

+ -['+1 -', n

dx, para

396

La integral de Riemann

L. Integral de Riemann

Sea el conjunto T de puntos del intervalo [0, 1]:

y además

lim Ir

+ 2 + ... + T

n

n-->=

T

Ir + n

(n -

+I

1

T

T =

= -;+1'

luego

y se define la función

['+1

'l

f: [0,

1]

---+-

+ J xTdx=---. r

o

+. +, . . ~ .

~ 1, T'

oo"

R de la siguiente forma;

\ 1 si

1

f(x) =

2. En el caso anterior la función x T es monótona y la comprobación de su R-integrabilidad ha sido relativamente fácil. Más dificultosa es para la función discontinua siguiente: Sea la función f: [O, 1] -+ R, que en los puntos t h t 1, ••• , t m del intervalo [0, 1] tiene el valor 1, Y que en el resto es nula; es decir, si T = {ti' t2> ... "', tm} es si x E T f(x) = si x ~ T.

X €

T

(O si xfT,

y se trata de probar que es R-integrable.

-r---r---------

g

°

<

Se supondrá ~ tI < t 2 < ... < t m 1, Y para cada f> O, se trata de determinar una partición A para la cual sea S (A) - s (6) < f. XI

x,

Xn-l

Xn-3

X1I-t

O 1 '1

n

--- r----------,

----~r---------

I

I

I

de T situados en el intervalo

I

I

x~

o

x.

x,

t,

r

t,

I I I

X,m

2

3

[o,+) en el que

l'~1.111 '011 '"

nidos todos los puntos de T salvo un número finito. Se supone que

I

x,

5 4

Dado un 8> 0, se considera el intervalo

1

[-~.

1]

son los t¡, tz, ... , t m ;

Yse

trados en los puntos

t b t 3 - - t2, ti (í =

••• ,

tm -

.

sean menores que

tm

t", -I}, entonces los intervalos cen-

1, ... , m), de semiamplitud

<1

< min ~+, 2~ ~

son disjuntos. Si XI' X2, ... , X2m son sus extremos, para la partición 6 compuesta por estos puntos se tiene

S (~) = (xz -

XI)

+ (x 4 -- XJ) + ... + (X2m -

XZm __ I)

= 2ÍJm <

cOII.~llIly(·1I

intervalos centrados en cada uno de estos puntos, disjuntos, cuyas '1IlII'hllldl". é

<1

= 2m' Entonces, si ~: {xo,

XI! X2 • ... ,

x.} es ulla

ción a la que pertenecen los extremos de los intervalos anteriores, Sea h = min {t2 -

I,,~. 1'11111 " .

F,

es

Xo

= 0,

Xl

• Y = -2-

Xn

/;1 '1111"

= 1, se tiene:

S (t~)

... +

ell

p.ll'tl-

=

(x¡ --xo)

(X. -Xn_l)

e

+ (X3-XZ) + ... ~

= -2-' + (m-l)8 + -2< e,

Y evidentemente es s(6)=0. Se tiene, pues, S(6)-s(6)
y evidentemente es s (A) = O. Se tiene pues, S (11) - s (A) < ,-. Como para toda partición es s (A) = O, el valor de la integral es O.

3. La función anterior sólo tiene un número finito de puntos de discontinuidad, pero es fácil definir funciones que aunque tienen una infinidad de discontinuidades también SOn R-integrables.

4. No todas las funciones acotadas son integrables Riemann. El l'1\'111I,I" más conocido es la función de Dirichlet, que es discontinua en todos los 1'1111 tos del intervalo [0, 1],

La integral de Riemann

398

s\'ntido contrario; lo que demuestra

Se define la función de la siguiente forma:

f(x) [Xi

_ ~ 1 si O SI.

1" Integral de Riemann

J>o= J:r.

x racional . . 1 IrraClOna.

-

X

Para cualquier partición ti en [0, 1], es E, = 1 Y e, = O en cada intervalo Ir x;J de la partición, y en consecuencia S(ti) = 1 Y s CA) = O. La función no es R-integrable y se tiene

Análogamente se obtiene la igualdad para las integrales inferiofL's. FII ,,\ C;ISO de la R-integrabilidad de f, resulta la R·integrabilidad de fo, y b l)'.u;t1d.1l1 d\' las integrales,

4. 3.4. Los ejemplos 2 y 3 muestran que el poder encerrar en un número finito de intervalos, de longitud total tan pequeña cOmo se quiera, los puntos de discontinuidad, el comportamiento de la función en los mismos no influye el1 el valor de la integral. Esta observación se puede aplicar en muchos casos, ,Isí, la modificación de los valores de una función en un conjunto finito de plintos es intrascendente desde el punto de vista de la integración,

Proposición: Sea f: [a, b] --+ R una función R-integrable y fo: [a, b]·-+ R fa {unción que eoincige con la f en todo [a, b] salvo en un punto e e [a, b] en

fo

(" (Iue to (e) # f (e). Entonces la función

J:

f(x)dx =


J:

fo (x) dx.

ti se introducen estos

IS (A') - SO W)I ~ (x~ -

f,

de donde

x~)

2H <

f: ~ J: fa

2: f(x,) (x; -- Xi_l)

Y s (t'J.) =

2: f(X¡-l) (Xi _. X,.

I'!I

"Id

1

1)

i=l

n

S (t'J.)-s(~)

= ¿ (f(Xi)- f(xi._I»)(Xi~Xi-1)' i=l

e

Si ~ es una partición en la que X{~X,_I < -------, resulta f(b)- fea) e "

S (~) - s (ti) < feb) _ fea) ;~l (f(Xi) -- f(xi-I)) =

10 que prueba la R-integrabilidad de

f,

¡.

[a,-bj~'es

-·R.in.]

tegrable. E,

pues f y f~ coinciden en el exterior del intervalo [x~, x~J. De estas dos desigualdades resulta, que para cada S (~) Y cada una SO (N) tal que

~ S (~) +

n

S (A) =

Proposición: Una función f:[a, b] .......,R, continua en

(,\),

y por otra parte

So (ti')

Demostración: Se supondrá t monótona creciente. Evidentemente fea) Y f(b) son cotas inferior y superior de f. y [Xi_lo Xi] es e, = f(Xi-l) y E, = [(Xi)' Para cualquier partición t'J. se tiene:

de donde

puntos obteniéndose una partición ti' más fina que ti, y es ~S

Proposición: Una función f: [a, b]-+ R monúlona, es R·illlegnt{¡/,·.

h-l

En la partición

S (N)

4.1. Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto cómo se U<;;l LI "111,1, l'ión de integrabilidad para decidir si una función es R-integrahle. l., ':, 1111'.111'" métodos sirven para situaciones más generales.

es R-integrable y se tiene

Demostración: Sea H una cota superior de ¡(ex)¡ y de lfo(x)¡ para x € [a, b]. Se designan por S ("') y SO (A) las sumas superiores correspondientes a las funciones f y fa y a la partición ¡\: {a = Xo, Xl' ... , x" = b}. El punto c pertenece a uno de los intervalos de t'J., sea c € [Xk> xk+¡J. Dado un Il> O, se pueden determinar dos puntos distintos x~, x~ e [Xk. Xk+¡]' tales 8

CLASES DE FUNCIONES R-INTEGRABLES

f

> 0, existe

f·

Con el mismo razonamiento, partíendo de fo, se obtiene la desigualdad en

Demostración: Como f es continua en el intervalo compacto [o, "1 (':-o 1. í acotada en él, y además es continua uniformemente. Luego para cada,' 0, existe un <5>0, tal que si x', x"e[a, b] y IX'_X"\<~ es IKx')_-f(x")\Para demostrar ]a R -integrabilidad de f, para cada e> se ha de h;tlLlI una partición ~ tal que sea S (~)- s (~) < '. , Cualquiera que sea ti, por la continuidad de t en (Xi_l' x,l, E, y e, ser;lll el máximo y el mínimo de f en [Xi __ b x;J, por lo que existirán dos pU!l!()~' x; x;' € [X/_h Xi], en los que es Ei = f(x:) y e¡ = f(x:').

°

LlNÉS-14

La integral de Riemann

400

Si al aplicar la condición de continuidad uniforme se toma Xi_ 1 < ij

y se considera una partición t1 en la que sea Xi -

401

Ln Integral de Riemann

e

s'

= b ~ a'

Como también

s(t1)~

(i = 1, ... , n) se

tiene n

¿ (Ei -

S (11) - s (t1) =

rl'sulta

n

ei )

(Xi -

= ¿ (f(x:) -

X¡_¡)

i,,:d

f(x;) (Xi - x¡_¡),

I '~l f{';¡) b n a

i=l

de donde "

prueba la R-ínteg.rabilidad de

4.2.

!i! i~¡" f(';,) -b-a n- = Nota.

Cuando se toma .;,

Proposición: Sea f:[a, b]-+R una función continua en [a, b]. Se tiene

('/1

II

+f(';,,) =

_l_Jb b-a

n

,H(X)

donde

o ••

I ~ S (3) - s (1l), b-a si -n-- < o, o sea

t(x) dx

s eL',) < E. Como la integral es un número fijo, es

De esta última proposición se deduce una valoración de la integral

+ f(';2) +

(3),

es un punto cualquiera del intervalo parles iguales. . 1;,

lim n ___ OC>

f(x)dx,

Ejemplo.

a

Xi], obtenido al dividir [a, b]

[Xi-h

= x"

Jb

a t(x) dx.

se tiene

=_l_Jb

~l_ ~f (a+~(b-a») n

n

'=1

b-a

lim -1n

¿n cos (a") ~l n

i=-l

= -1(.(

suponiendo [a, b] = [O, a]. Como a

sen -2- cos

" ¿

6 X,

a (n + 1) a sen ~2 cos 2n

1 I 1 Xs

X.

lim ----~---~ n -->00 a n· sen-2n

= b

n

n

f(';i) (x¡ -

Xi-l)

=.E

i=1

s (t1)

n

b~a

'=1

n

= 1: e; -

~

[Xi_h

2n

= sen!:...2

1 n cos :::-. lim

sena=

2

J:

n-->ro

2

a

=a- sen

a

"2

n

cos 2'

sen-2n

cosxdx,

b-a

f(g,) - - ,

n

i=1

donde .;; es un punto cualquiera de

en + 1) (.(

sen-2n

de donde Denwstración. Si se considera una partición 6 de [a, b] de n partes iguaJes, y se forma la suma:

¿

o

resulta

I I

XI

j'" cosxdl'

a

COS

1=1

Xo

f(x)dx.

a

Para la función f(x) = cos x, se tiene: n---KO

f(~,)

a=

f¡

si n:>-

,'s S (A) -

f.

de una función continua, como límite de un promedio de valores de la funl'i{m en puntos regularmente distribuidos en el intervalo de integración.

lim f(';I)

J:

.v en virtud de la proposición anterior,

n

S(L',)-s(ll)< b-a ~1(Xi-X¡=I)=e, lo que

~

J: f(x)dx~S

5.

x;], se tiene

n

b-a

n

b~a

'=1

n

'=1

n

¿ f(M-- ~ ~ El - - =

S (ó).

PROPIEDAD ADITIVA DE LA INTEGRAL RESPECTO DE LOS INTERVALOS

5.1. En primer lugar se considera la descomposición del intervalo de integración en dos.

402

La integral de Riemann

Proposición: Dada {: [a, b]"-+ R que es R-integrable en [a, b], y sea e un punto interior de este intervalo, es decir, a < e < b, entonces f es R-integrable en [a, e] y en [e, b]; Y recíprocamente, si f es R-integrable ('1/ [a, e] y [e, b] conjuntamente, lo es en [a, b]. En todo caso se tiene:

J: /)nll,¡slración. Si I'd¡til'itm A: {a = xQ,

{(x) dx =

J:

f es R-integrable en fa,

= b}

XI' •.• , XI!

J:

+

{(x) dx

b], para cada

<

sr;\')

f> O existe una JI "l/rindo a = b, se define:

s

+ [S (ó

(~')]

s (N'») = S (tI)-- s (.,'.,) <

N )

-

e,

de los sumandos del primer miembro es menor que '-, lo que aseintegrabilidad de f en cada uno de los intervalos [o, e] y [e, b], Además, de

('.!(Id

J>=O. ').3. ~Il'i('m

r:

!I

Proposición: Si 1-+ R es una función R-integrable en el inl ('rp,d, I 1, b Y e son tres puntos cualesquiera de 1, se tiene:

CI,

lIllO

Demostración: En el caso en el que dos o los tres puntos COill('l(ldll, 1.1 igualdad es consecuencia inmediata de las definiciones anteriorl'~_ SI ',"11 distintos, se puede ordenar la terna, y suponiendo a < b < e, sc tiene:

)'.lll"a 1;1

s (N)

~

J:

{(x) dx

s (ti)

~

~ S (~')

J:

s (.'\)

If:

{(x) dx

~(

r

~

J

e

b

Como también

l'S

Y s (N')

((x) dx

~

f:

+

J:

f(x) dx

{(x) dx

~ S (").

f(x) dx

=

J:

r"b

lo que prueba la identidad.

6,

f(x) dx <; S (N'),

+

r:

PROPIEDAD LINEAL Y DE MONOTONtA DE LA INTEGRAL RESPECTO DE LAS FUNCIONES

f(x) dx

+

I:

I

f(x) dx,

FijO' el intervalo [a, b], la integración hace corresponder a cad;1

ción integrable f el número

f(x) dx ) <

lo que implica la igualdad

J:

~ S ("""),

J,J + JeJ = Je• r = - Ja• r,

6,1.

f(x) dx

De estas definiciones resulta una formulación general de la 1'1'''1'''anterior, que se denomina identidad de Chasles.

+ S ('<''') + s (N').

('omo [S (N) -

"1

< b, sin embargo conviene extender la definición cuando los límill's

.11· la integral son números cualesquiera,

=

íS (ó) = S eN)

¡se".) =

el

> O arbitrariO'.

Hasta ahora se han considerado integrales sobre intervalos [a,

';.2. 1'1111

>

e,

=

= =

ser

()cfinición: Si f: [a, b]"-+ R es R -integrable, se define:

Sí Sc' agrega el punto e a la partición ~ (cuando no pertenezca a ella) se ,'¡,til'lIé' una partición más fina, por lo que se continúa verificando la desi:',ILlld;ld anterior. Se supondrá que el punto e pertenece a Ó, que será \ 111 - :ro, Xl' ... , e X k , Xk+l, ... , x" b}, por lo que se podrá descompo111'1 ('11 dos particiones: la ó' {a Xo, Xl' oo., X¡, e} del intervalo [a, e], \ 1.1 V' = {e = XI" X"Tl, ... , X" = b} del intervalo [e, b]. Evidentemente es

=

401

Intogral de Riemann

IlUl'

{(x) dx.

tal que es

SU,)-s (ó)

b

F,

real

J:

f.

fllll-

La integración es, pues, una apli-

cación del conjunto de las funciones R-integrables en el R de los ntím('(os reales. Entre las propiedades de esta aplicación las más notables son la Iil1(';Ilidad y la monotonía, Antes de exponerlas se demostrarán algunas proposiciones auxiliares referentes a los extremos de los conjuntos de números.

Proposición: Si E Y f? son los extremos superior e inferior de la fU/I<"Í,íll real f en un intervalo 1, ya> O; entonces E Y a e son los extremos superior e inferior de a f en l. (f.

404

La integra! de Rlemann

Si es a < O, de a f en l.

d~ a

E, y

a

donde

e son respectivamente los extremos in[?rior y superior

<

<

Demostración. Para todo x E 1, es f(x) E, Y si a> O, es a {(x) a E; luego E es una cota superior de a f(x) para x E l. Además si Á < a E, es (1

Á__

4()'i

L. Integral de Riemann S e".) -- s (.".) =

Dado un ,> 0, si A es una partición para la cual es S'C") - s'(I\)< '¡'" ',,' tlrl1\' S(:\)-~ se,',) <', lo que prueba que a f es R-integrablc, Por otra parte, para cualquier partición ó. de [a, b] es

s'(A) ~

< E, Y por tanto para algún Xl € 1 será -).- < f(XI), o sea ). < a [(Xl);

"

a

E es el extremo superior de a f(x) para x € l. Análogamente se prueba que a e es el extremo inferior de a {(x) para x Si < O; cambian los sentidos de las desigualdades.

lo que prueba que a

€

l.

dt· dunde, si

a>

O, es s (A) =

(l

Proposición: Si E', e'; E", e" y E, e son los extremos supmor e inferior t, g y f + g, en el intervalo 1, respectivamente; I'II/onces se tiene: e' + e" e y E' E' + E",

dI' cada una de las funciones

<

< f(x) < E'

!kmostración: Para cada x E 1 es Y g(x) ~ E", Y por tanto (en t- ,¡;(x) -s:, E' + E", Y E' + E" es una cota superior de f + g en 1, luego /:'. E' + E". Análogamente se prueba e + e" e.

<

(S'(/).) ~ s(.".)).

a

a

s'(A)

~a

Como sup{s(A)}=inf{S(.".)} y ~l' tiene finalmente: 1>

(

a

J: ~ J: f ~ Ji f

a

S'({).) = S (,",).

a

está comprendido entn'

f=

JU f·

a

a

Si u < 0, el razonamiento es análogo.

Para una partición A de [a, b], sean E:, e;'; E,", 1'," Y 1-'" ", 1",. superior e inferior de cada una de las funcione" ,i-! y I I .': ,'11 Ix, l. x.;]; y S'(,",), s'(.".), S"("'), s"(A) y S (.".), s (A), las sumas SUpl'IWI ,", .. 111 Il'riores correspondientes a t, g y f + g respectivamente. Entonn'~ .... 111'11<' a")

r,

l'xl remos

Teorema: Sean t:[a, b]-+R y g:[a, b]·-~R dos funciones acotadas, R-integrables en [a, b]; entonces: a) Para todo par de números reales a y (I, la funcián af + /3g es R-integrable, y además 6.2,

J:C af + b)

Si

en cada x

€

pg) = a

J> + J~ fI

g

f: ~ J: g

k

+ s"("') = ¿; el, {Xi -

X'_I)

i=l

=

+ L e;' (x,

---¡

Xi_l)

=

1"!:.1

L" (e~ + e;') (Xi -

< L e, (Xi -

Xi_l)

Xt-l) =

s (.".).

i=1

i=l

y análogamente para las sumas superiores.

Resulta, pues:

f (monotonía).

Demostración, El apartado a) se. descompondrá en dos partes. Primera, se considerará el producto de una función por un número, y después el caso de la suma de dos funciones. a') Para una partición ,', de [a, b], sean E;' y e;' los extremos superior e inferior de f en [X'_iI x,], entonces, supuesto a> 0, a E', y a e,' serán los extremos superior e inferior de a f en [Xi_l, x;]. Designando por S'(A) y s(.".) las sumas superior e inferior correspondientes a la función t, y por S (A) Y s (A) las correspondientes a la función a t, se tiene: s (.".) = L a e¡ (Xi - Xi_l) = S'("') y S(.".) = a S'(,",), (J

k

s'(,",)

(linealidad).

[a, b] es g(x) ~f(x), se tiene

,llIdu)·.,

a

a

.J

S'({).),

s'(.".)

+ s"(A) < s (A) :::;:; S (ti):::;:; S'(A) + S" (.".).

Dado un ,,>0, si /), es una partición para la cual es S'(A)--s"(A}<,' !. Y ~"(,",) -

s"(,",) <

T' se tiene

S(Ll) -

s(Ll) < s, lo que prueba que

R-mtegrable. Por otra parte, para cualquier .". es s(A) y también

+ s"(A):::;:;

rb + Jb a

f

a

g ~ S'(,".) -1- S"(.".)

f +,i-! ('~

406

La íntegral de Ríemann

y para cada

f >0 los dos extremos de estas desigualdades difieren en menos de F para una partición conveniente tl, luego los términos centrales han de coincidir; es decir,

tJIl';

l.• Integral de Riemann

6.5.

En la proporción anterior se pueden tomar para k y K, el Ínfimo l' E de la función f en el intervalo [a, b], que son finitos por l'~t.11 Ill'olada la función, y entonces se tiene:

.v el supremo

1 e~~ Combinando los resultados a') ya") se obtiene el a} del enunciado del teorema. 0, la función dib) Si en cada x € (a, b] es g(x) ~ (x) o f(x) - g(x) ferencia h = f - g, será positiva o nula en todo punto x € (a, b], luego el extremo inferior de h en cualquier subintcrvalo de [a, b] será no negativo. Para la función h, que es R-integrable, sus sumas inferiores son no negativas, luego

>

f f- J b

Jba (f -

b

a

ag =

fbah> O. g) =

6.3. De la propiedad de monotonía, se deducen algunas consecuencias importantes que permiten acotar el valor de una integral a partir de acotaciones de la función que se integra.

Proposición: Sea f: [a, b] ces es:

~

"S

decir, el término intermedio de esta desigualdad es un número !' ('( 1111[" ,'11 entre e y E:

Ilido

Proposición: Sea

1: [a,

b]

~

J:

R acotada y R-integrable, se tielle: f(XI dx = fh(b

6.6. Finalmente de las proposiciones (5.3) y (5.4) resulta Id lación de uso frecuente.

R acotada y R-integrable en [a, b], entonell'

Por las propiedades del valor absoluto, en cada x

€

la,

Proposición: Sea f:[a, ItI en [a, b] se tiene:

b]~R

acotada y R-integrable,

7.

1/1,

Demostración, de monotonía da

J:

Como para cada x

f: kdx~ J: f(x)dx~ J~dX

E

o sea

f(x)dx

~ K(b -

[a, b] es k

f{

,',\

I/I/,r

",¡,

H(b --a).

PRIMER TEOREMA DEL VALOR MEDIO

J:

6.4. Proposición: Sea f: [a, bJ --+ R acotada y R-integrable. Si k Y K son una cota inferior y otra superior de f en [a, bJ se tiene:

~ a) ~

Si)',IIIl'IIIt' ,11"

Primer teorema del valor medio: Sea la función f: [a, b 1 tinua en [a, b], entonces es

que equivale a la desigualdad de la proposición.

k(b

•

7.1. Cuando la función que se integra es continua, la fórmula ((,.'.) <111 da el valor de la integral, en la que interviene uno intermedio entrl' l'l 11111111' Y supremo de la función, puede precisarse.

y de la propiedad de monotonía se deduce:

f<

J> I ~

SI

,\1111<'11'"

b]

-. [f(x) [ ~ f(x) ~ [f(x)[,

-f: If[~ J: f:

~ a),

donde 1-' es un número comprendido entre los extremos inferior !I 11 lé' de f en el intervalo [a, b].

I Demostración. se tiene

JO• f(x)dx~ E,

donde

= f(¿) (b -

R

1'01/-

a),

[a, b].

a).

~ f(x) ~

k(b-a)~

~ €

f(x) dx

~

K, la propiedad

f: f(x)dx~K(b-a).

Demost;ación.

Por ser

f

continua es R-integrable en [a,

su mínimo y su máximo en [a, b]. Según (5.5)

J:

f(x) dx

= l' (h ~ a)

bJ. Sean

/11

y /\

408

La integral de Riemann

donde l' es un valor comprendido entre m y M, Y aplicando el teorema de Bolzano se tiene {(n donde ~ E [a, b].

t.

409

',,(or/fBI de Riemann

J.

f:

('alcular directamente

= /',

7.2. =ado.

Una variante de éste es el primer teorema del valor medio generali-

estando f definida por f(x) l.

1 = --o x

Calcular directamente

Teorema: Sean dos funciones, una f: [a, h]-+ R continua en [a, b], !lla otra g:[a, b]-+R no negativa y R-integrable en (a, b]; entonces es

J:

((x) g(x) dx = t(n

J:

[ •

E

f)e/noslración. Si m y M son el mínimo y el máximo de .J:LI') . O para cada x E [a, b] se tiene

f

f

en [a, b], como

J:

g(x)dx<

de donde

J:

J:

t(x)g(x)dx
Zo (x) dx.

f:

< ((x) . g(x) < M g(x).

J:

f(x) dx,

f

siendo

12-x,

para

para

I

f(x) =

O
para

í x',

(x) =

"

O

x /

C,

l-x

c---

1 --' e'

- Si la notación [x] indica la parte entera de x, calcular las integralc,

g(x)dx,

f>X]dX; J>x']dX; (,.

[(x)g(x)dx

J>v"ldX'

f>X]ldX;

x

f(

f:

comprendido ,a, donde

ten =

[o, h].

Jo

[x]' dx.

Dibujar la gráfica cartesiana de f, y hallar todos los valores de X,,> cuales es

a

El término intermedio de esta desigualdad es un número re In y M, Y aplicando el teorema de Bolzano se tiene

f3[X 2]dX;

- Sea la función f definida para X;?- O por f(X) =

(b g(x) dx

('lit

siendo

X.

m C; --'-'-~----- ~ M. v

X

Dibujar las gráficas de la función f en cada caso.

Ik la propiedad de J.?0notonía de la integral, resulta

m

~_.

1

Calcular cada una de las integrales siguientes

[a, h].

m g(x)

2

ror medio de particiones de intervalos iguales [Xk-t. x.l. tomando como fU 1). rara Ck E [Xk-l, Xk], f(~lt) = [f(Xk-l) • f(xlel]'!'·

g(x) dx, 4.

donde !:

f(x) dx,

7. -

[xl' dx

==

2 (X -

Ü

1).

Determinar lim 5", en los siguientes casos: TI_OC

8.

n n+k 5n =L;----; 2

EJERCICIOS

k=l

1. - - Calcular directamente, a partir de la definición de integral definida,

f(x) =

I

-- x

+

5,

E

[l, 3],

para

x

€

[3, 4].

Sn = L; k=l

1 n

y

x

k

k'

n :1n + k' 2

F" = - - [(n

estando f definida por para

+

J

. '

k,T

k

n

L-sen - - , 2

S" =

n

k=l

n

8. -- Determinar lim- F", en los siguientes casos:

J:f(X) dx,

x + 1 -2-'

n'

+

1) (n

, 1) 2\ [ (. 1 + -n ( 1 + -n ) ,.,

+ 2) ... (2n)]'/" n

2

Fu =

(1

+ -n)

n ] lln'

:

+

1

pMiI

t",

410 9. -

La integral de Riemann

Determinar

.E

lim rt

10. -

k

sen

sen

n

r.=.-1

k

n'

Si las funciones f y g son R-integrables en el intervalo [a, b], probar la relación

+- f: [J: ;~:~ :~:~ I

11. -

--toCO

l

2

dy

1

dx = (

f !(xY (J dx )

:g(X)2 dx ) -

(J

!(x) g(x) dx )

Sea f una función continua positiva en [a, b], y M el máximo de demostrar ro b

(j

!!.~

a

en

[

a, b];

1.

(.', I/Ijul1tos de contenido nulo en R.

•

FUllciones continuas salvo en conjuntos de contenido n1l10. ( :¡J/ljuntos d(i! medida nula en R.

1. ,1

I/n

= M.

{(x)" dx)

f

2.

21. Funciones integrables Riemann

( )xciIación de una función en un intervalo y en un puntO'. (:(/racterizaGÍón de las funciones integrables Riemann.

12. - Probar la desigualdad

0<

JI Xsen xdx<_7_. 24

1/2

to.

Funciones regladas.

'/

Fjeycicios.

13. -- Hallar los límites ~/4

J o sen" xdx

lim n-OO

J 4. -

,,14

y

Jim n...a.ffi.

[

o

tg n x dx,

Sea f una función continua en [a, b]; probar que si

J:

:t(x) I dx = O,

es f(x) = O para todo x

E

[a,

bJ.

L\ caracterización de las funciones acoradas integrables Riemann por 1" "1""'1. •.1· .. 1111 rillsecas de las funciones, fue uno de los brillantes resultados de la .. IIII('V .... 1<'"", 01,· 1" medida a principios de este siglo. Partiendo de las funciones COnl i 1111;1'. <1"" ',"11 H illtegrables, se pasa a las que tienen un número finito de puntos de di~ .. ""III,,,,,I. •. I. '1"" i~ualmente son R-integrables. El problema de la R-integrabilidad se 111'(".,'111., • '1.11' do el conjunto de los puntos de discontinuidad no es finito. Hay 11I1\['io,"", \{ 1111, ~~Iólbles que tienen infinitos puntos de discontinuidad, y otras quc no lo '."". De manera natural se presenta, pues, el problema de medir con)""I,,·, .1,. 1'".11 .. ·. \'1\ R; Y como los puntos de discontinuidad tienen el carácter de pUIII<1.', ,'\, "1" "",.d, '. "11 la determinación de la integral, tiene especial interés definir en ]{ I()', ""1111111,,', ('uya medida sea menor que cualquier número € > O. El método que se sigue para determinar aproximaciones por exceso (1<- l.. II1I'00ul .. de un conjunto de R, consiste en cubrirlo con sistemas de intervalos. ...<1, Id.n l.. sllma de las longitudes de estos intervalos, y hallar el extremo inferior de ,·sl;.'. ',11111.", para todos los recubrimientos posibles de C. En el esquema anterior queda una cuestión por concretar, que ticne 1111<1 )'.'d".!'· ,. inesperada importancia en toda la teoría de la medida. Se trata de decidir si sólo se admiten recubrimientos finitos de e, o si 1;.",10"'11 .1'(' admiten los recubrimientos numerables. Las sumas, en el primer caso, tl"lIl LIt! 1111 número finito de sumandos, mientras que serán series en el segundo, Cuando el ínfimo de las sumas en el caso de los recubrimientos finitos P.' '''''". d conjunto e es de contenido nulo (1.1), y cuando el ínfimo se refiere [amhi,," .1 ¡"', recubrimientos numerables, y es cero, el conjunto e es de medida nula (3.1), De ,'1'111'.01" con estas definiciones, todo conjunto de contenido nulo es de medida nu/a, 1'1'10 "" es cierta la implicación inversa. Los conjuntos numerables son de medida //11/(/ ,\ \1. pero en particular, el conjunto de los puntos racionales no tiene contenido 11,,10, El concepto de conjunto de medida nula permite dar la caracterización d" 1",. ¡ .. " ciones R-integrables, según el teorema de Lebesque (5,1), Condición nece~a,i;r v '.11 (id ente para la R-intcgrabilidad de una función es que su conjunto de disconlill,"
e

'JII

412

Funciones integrables Riemann

Una clase de funciones R-integrables que no son continuas ni monótonas en general, es la de las regladas (6), cuya propiedad característica es la de poseer límites laterales ... 11 cada punto. Su R-integrabilidad es consecuencia del hecho de ser numerable (o finito) el conjunto de sus puntos de discontinuidad (6.2).

411

'unr./ones integrables Riemann

l.

CONJUNTOS DE CONTENIDO NULO EN R

1.1. En los ejemplos estudiados en el capítulo anterior, se han consid," mdo funciones no continuas que eran R-integrables. Sus puntos de di~I-(II1' Illlwdad formaban conjuntos finitos, o infinitos que se acumubban ell l.", proximidades de un número finito de puntos. En cierta forma, los pllldll" d,' discontinuidad tenían un carácter excepcional. Para precisar cst;1 Ilk.. ',.' 1111 rllduce el concepto de conjunto de contenido nulo.

Definición: Un conjunto e e R es de contenido nulo, si parcr (-(;J~/:l O existe un recubrimiento de e formado por un número [illllo el,' intervalos cerrados, tal que la suma de las longitudes de l()s illtal,.i/,". es menor que f. I

>

~---------------------------------------------

Para que C sea de contenido nulo, para cada F> O ha de exist Ir finito de intervalos

1111

'"1

lIH'ro

Ltles que

CcUli

y

Evidentemente que se pueden considerar disjuntos los intervalos J,. ¡" , __ ,1m , y además formando una sucesión con orígenes crecientt's, ,'s d,..-", al

< bl <

a2

< b 2 < _.. <

a m

< bm •

Observación. En los eíemplos 2 y 3 (20; 2.2), la demostracilÍn d .. '1111' las funciones consideradas son R-integrables, equivale a probar que SOIl dI' contenido nulo los conjuntos de discontinuidad. 1.2. De la definición anterior se deducen fácilmente las siguientes cons,· euencias: a)

Todo conjunto finito es de contenido nulo.

b)

Todo conjunto acotado con un número finito de puntos de lación es de contenido nulo.

c)

La unión de un número finito de conjuntos de contenido nulo, es .," contenido nulo.

(/c/IIII/I("

Sin embargo, esta última propiedad no se conserva cuando se trata de 1"

414

Funciones integrables Ríemann

unión de una infinidad numerable de conjuntos de contenido nulo, que en gcneral no es de contenido nulo.

los puntos de todas las particiones ~~ (r S

2. l. Estas funciones, cuando están acotadas, constituyen una clase muy )',"II('I,t1 de funciones R-integrables. ,'1/

(~) -

s (~)

~I

Sea H una cota de [{(x)[ en [a, b], y e el conjunto de punI ,,~. ,iLo discontinuidad, que es de contenido nulo. 1).Ido un I > se trata de determinar una partición ó- de [a, b], para la plt' ~,l';1 S (A) - s (l'.) < E. ('>1110 e es ue contenido nulo, existe un número finito de intervalos 11> lb ... , 1", que cubren e, y cuya suma de longitudes es

°

j

m B

r=~

t... (b,-a,)<--.

m

l. (b,-a¡) + c' 1: (arl-i- br) I'=~

i =1

< 2H . _e_ 4H

1lelllo.\l ración.

4H

~ al) 2H + ~ (S (1'0 ~ s (ó-)).

(b i

i~t

S (¡\.)- S (11) ~2H

Proposición: Una función acotada f: [a, b] ,-;o R, continua en [a, b] salvo cO/ljunto de puntos de contenido nulo, es R-integrable.

i=J

0, 1, ... , m). Entonces se tiene:

finalmente

111/

\,

=

donde en el segundo miembro, la primera suma corresponde a los intervalos 11, 12, ... , 1m Y la segunda suma a los I~, 1;, ... , 1~. Como para el intervalo l', se tiene S(¡\.~)-s(¡\.'r)~¡(ar+l-br) .resulta

FUNCIONES CONTINUAS SALVO EN CONJUNTOS DE CONTENIDO NULO

2.

415

Funciones integrables Ríemann

+

e

2 (b-a)

(b -

Sea, la función f: [0, 1] 0-+ R definida por

=

~ :~: : ~rra~i~~al x = l.

1

--

8

':,

8,

b,

b,

8,

b

2

Los extremos de 1]) lb ... , 1m determinan en [a, b] los intervalos cerrados = [a, ad, = [bit a2], ... , I'm = [b m , b] en los que la función es continua, y

1;

por tanto uniformemente continua. Entonces para un m

E'

=

e

-/

/

/

/

/

/

/

p

X

= - - irreducibk. q

.-

4

4/

1

/

, existe un

2 (b -- a) que verifiquen [x' - x"[ <

O tal que para todo par de puntos x', x" E U 1; i5 ,'s I/(x') - f(x") [ < r'. r~O En cada I~ se establece una partición ¡\.: con intervalos parciales de longit ud menor que (), y se consideral la partición 1\ del intervalo total formada por ,\ ':>

q

SI

/,

/, 1',

1',

e,

2.2. La proposición anterior se refiere a una clase de funciones R ~i 11 t ('grables de gran generalidad, y a la que pertenecen la mayoría de las funclolH'S que se presentan en los problemas del cálculo de áreas, volúmenes, lon~11 utll'~. etc., sin embargo, el ejemplo que se estudia a continuación, prueba 1;1 ,'XI'.tencia de funciones integrables no continuas en los puntos de un cOIIJllllln de contenido no nulo. Una caracterización de las funciones R-intc~r'lh¡"', ". quiere condiciones menos fuertes que las indicadas en la proposiciú,1.

{(x)

1,

=

t·

lo que prueba la R-integrabilidad de

Ejemplo.

1'0

a)

/

-

8/

o

/

8

8

1

8

8

416

Funciones integrables Riemann

Evidentemente la función es discontinua en todo punto racional, entre O y 1, ya que

f(

=) ~ O, Y en todo entorno d~ un punto racional hay puntos

irracionales en los que la función es nula. El conjunto C de los puntos racionales entre O y 1 no es de contenido nulo, pue~ cualquier recubrimiento finito de e con intervalos cenados, cubre el intervalo [O, IJ. Efectivamente un punto .r" t [0, 1] es de acumulación de racionales de C, y la unión de los intervalos enrados que forman el recubrimiento finito de C, es un conjunto cerrado, !fUl' por tanto, contendrá a Xc. Sin embargo, la función f es R-integrable. Se trata de probar que para cada F > 0, existe una partición & de [O, 1] p;lra la que es S (&) - s fA) < F; Y como s (&) = O para cualquier &, bastará Vl'r que es S (1\) < E. Sea m el mínimo entero positivo tal que m>

+.

1/

,'S

... +

-

'

= comprendidas entre O y 1, cuyo denominador

dI' fracciones irreducibles

m, El número de estas fracciones es menOr o igual que 1

+ 2 + ...

= M.

El conjunto de dichos puntos en los que es f(x) ;? _1_ se puede m' C1lhrir con intervalos cerrados, centrados en céda uno de ellos, de longitud .'

m

~-.

J¡;¡S(¡I

Sea

&

la partición fo.rmada por estos intervalos y por los que restan

completar el intervalo [O, 1].

x-xo

lIt,terminar un ,\ > O tal que si Ix - xol < b es f(x) < Dado el

E,

E.

se designa por m el menor entero tal que m >

El conjunto de las fracciones irreducibles

1

~,-.

~ entre O y 1 cuyo denomi.

q nadar q es ~ m, es finito. Si A es la menor de las distancias de x() a estas lid l' ('iones, en el intervalo (xo -~, xo + ,\) no existe ninguna fracci(m d\' d"1\11 minador q"'( m, luego para todo x con 1 Ix-xoi < lJ es f(X)<--
COJUNTOS DE MEDIDA NULA EN R

3.1. En el ejemplo estudiado de función R-integrable, se observa, ror tlll.l parte, que el conjunto- C de discontinuidad de f no es de contenid() Ilulo: v flor otra parte, que en la comprobación de la R-integrabilidad de tlO s,'·,,, entra en juego la "extensión" del conjunto C, sino la "oscilación" d\' b _t 1111 ción f en cada uno de los puntos de discontinuidad. El concepto de ("01//1/1111 de medida nula, más preciso que el de contenido nulo, se introd lIC\' ;1 (
r,

I

Definición: Un conjunto CeR es de medida nula, si para ("
La suma de las longitudes de los primeros intervalos es < M . _ 6_ = E, M Y el valor de la función f en ellos es ~ La suma de las longitudes de

-i-.

lus intervalos restantes es < 1, Y el valor de la fLllción

1

f

en ellos es menor que

()

"


Es decir, la medida de C es nula, si para cada F. > O existe una infinidad numerable de intervalos cerrados: Ii [a" b i ], (i = 1, 2, .oo, n, ... ), tales que l'~

En consecuencia se tiene:

=

.

S ,(A) <

f. Efectivamente, es lim f = O, pues para cada E> O se puede

Iinuidad del

El número de puntos

.\' del intervalo [O, 1] en los que es f{x):;? _1_ es finito e igual al número

m

417

Funciones integrables Riemann

E •

1 -~ 2

10 que prueba la R-integrabilidad de

J:

e

+ 1 . -- =

E

2'

f. y además

f(x)dx

e"Q

lXJ

= O.

Observación. Los únicos puntos de discontinuidad de f son los racionales entre O y 1, y todos los puntos X o en los que eS! {(xo) = 0, son puntos de con-

Ce

U I¡ i=l

Y

L (b¡-ai) <

e.

i=1

Como se ha indicado en la definición, los intervalos pueden ser vados " partir de uno de ellos. 3.2. Con frecuencia conviene considerar una definición algo diferente, pno que equivale a la anterior, en el sentido- de que si un conjunto e es de medida nula respecto de una definición, también lo es respecto de la otra.

418

Funciones integrables Riemann

Definición: Un canjunto Ce R es de medida nula, si para cada B > O existe un recubrimiento de C formada por un número finito o una infinidad numerable de intervalas abiertos, tal que la suma de las longitudes de los inintervalos es menor que e. La equivalencia de las definiciones se comprueba fácilmente: Si {[(} es un recubrimiento de e con intervalos abiertos I( '=: (a;, b,) tal que

i

¿I

{Id con [. = [a;¡,

ai) < e, el recubrimiento de C por

(b; -

propiedad. Inversamente, sea {Id un recubrimiento de C con intervalos' cerrados e

tI (b, --.; a;¡) < -2-' 00

1, = [a"

b,] tal que

Y se trata de determinar un recubri-

mil'nto Con intervalos abiertos tal que la suma de longitudes de los intervalos sea menor que E.

Para cada intervalo li = [a" ba, se construye el [:

=(a, -

2;+2' b,

+

2:+ 2)

y evidentemente es

I;::JI;,

luego

( (

b, + 2;+2 ) - (

2:+ 2

Clt -

DO

i=l

i=l

e e U Ii e U 1;.

Además

i~1

DO

))

=

El sistema formado por todos los intervalos {fu} con (i, un canjunto numerable de intervalos que cubre a C: ca

C=

i.EJ(bfi-a;,)

Como Todo l'onjunto Todo

1: 1 )

=

3.3. Una propiedad importante de los conjuntos que se obtienen como unión de otros de medida nula, es la siguiente.

Proposición: Si un canjunto Ce R, es unión de una infinidad num~rable de mnjuntos ej e R de medida nula, entances e es también de medida nula. Un E> 0, se puede escribir en la forma E

=-2-+7+'" +7+'"

Para cada j fijo, es ej de medida nula, po.r lo que existe un recubrimiento numerable formado por intervalos {lí.;} con (i = 1, 2, ... ), tal que 00

C¡ e

U [j.; i=l

00

y

2: (b.·1.~ -

i=1

a./) },

< _2i· 8_

[j",

},l=l

-+- =

e.

1111

3.4. De la definici6n de conjunto de medida nula, resulta que lodo ('(111junto de contenido nulo es de medida nula. La proposición recíprocl no ('S l'Íerta en general, y un ejemplo es el conjunto C de los racionales entre O y I cuya medida es nula, y que se ha visto en el ejemplo anterior (2.2) que. 110 es de contenido nulo. Sin embargo en algunos casos ser de medIda nuLt 1111plica que el contenido es nulo:

Proposición: Si un conjunto campacta Ce R es de medida contenido nulo.

~ (b, - Clt) + 2

E

1=1

1, 2, ... ), es

aplicación de esta proposición resulta: conjunto numerable de puntos en R es de medida nula, PlI('S que s61O' tiene un punto es de medida nula. En particulilr: conjunta de números racianales es de medida nula.

IIUrll.

Demostración. Por ser C de medida nula, para cada r > 0, exislt' brimiento formado por intervalos abiertos {1,'}, tal que

l/t'II,'

1111 ITrl1

00

U 1; Y 2: (b, i=1

E

)=1

i=

00

[j.;) =.U

=J~ CE (bj,i-a;i) )
DO

e

LX)

y además

Ce

Demostración.

ca

U C¡cU (U J=l

b,] tiene la

111 is ma

419

FuncIones integrables Rlemann

a,) <

E.

i=l

Pero al ser C compacto, un número finito de intervalos l,' con i = 1, 2, ... , cubre a e, y evidentemente la suma de las longitudes de estos intervalos l'S menor que f.

4.

OSCILACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO Y EN UN PUNTO

4.1. La oscilación de una función en un intervalo es la diferencia ('nf re sus extremos superior e inferior. Cuando el intervalo, centradO' en ~n punfo, tiende a cero se obtiene la oscilación en el punta. El que la OSCIlaCión í'1I un punto sea' nula equivale a la continuidad. Estos con~eptos per~iten. 110 s6lo precisar si una función es discontinua en un punto, smo en que medld.l.

Definición: Sea f: [a, b] ,- R acotada, e' 1 un intervalo contenido en [a, b). Si E Y e son los extremos superior e inferior de f en 1, la

420

Funciones integrables Riemann

diferencia E - e es la oscilación de f en l. Se designa por decir: (j

(j, 1) = sup {f(x)

Ix El} -

inf 1f(x) I x ~

Hjemplos: 1. La oscilación de la función tervalo es igual a 1. 2.

La función

f: (O, 1) - R, definida por I

ducible, y f(x) = O si x irracional, tiene oscilaciól ., OSCI'1 aClon

1

.

(1 )

(l. 1), es

¡J.

E

Dirichlet en cualquier in-

I~) =

I

(j

+ q

_1_ con q

~ q

irre-

en el intervalo (O, 1),

- - en el mtervalo O - 3 ' 2 Consecuencia inmediata de esta definición e~: .)"ea 1: [a, b]·- R acotada. Si 1 JI' son dos sukintervalos de [a, b], se tiene 11 (r. 1) ~ H(t, 1'). Y

Definición: Se[.l t: [a, b] -> R acotada. Se denomina oscilación de ( en un punto Xc € [a, b], al límite de la o¡ci!ación de t en el in terralo (xo --;-,j, Xo + ,j) () [a, b], cuando .) tíen/e a O. Se designa por

1.2,

() ((, xo).

Funciones Integrables RJemann

421

Demostración. Si f es continua en Xo, para cada E> O, existe un J> O tal que si .x € (x~ -~, Xo + ~) n (a, b] es !f(x) - f(xo)] < t. Por tanto, para dichos valores de x, la diferencia entre los extremos superior e inferior de t(x) es menor que 2 E. Lo que prueba que es () (t, xo) = O. Si () (t, xo) = O, existe un b> O tal que la diferencia entre los ext remo" superior e inferior de f(x), para x € (xo - /J, Xo + <1) n [a, b] es menor que " por lo cual, para estos valores de x es If(x) - f(xo)1 < f. Lo que prueba 1;1 ('()Il~ tinuidad de f en XQ.

4.4. Proposición: Sea la función acotada f: [a, b] --;. R. El con¡/I/llo ¡f,. puntos de [a, b] en los que la oscilación de la función es mayor o ig/ltll '//U' un h > O, es un conjunto cerrado. Demostración. Sea C h el conjunto de puntos de [a, b] en los que 1<1 0'.1'1 lación de f es :;? h, Y Xo un punto de acumulación de Ch' Por ser Xo de al'llllllllación en cada entorno (xo- 0, Xo + o) de Xo. existe al menos un punto XI ' C. Por ser Xl interior en el entorno (xo - o, Xo + o), existirá un entorno (XI ,1', Xl + .1') de Xl contenido en el anterior. De (Xl - o', Xl + 1)') e (xo -.1, Xo +,j) resulta (XI - J', Xl + ,\') n 111. hl r e (xo - (J, Xo + o) n [a, b), y como fJ (t, Xl) ~ h, la oscilación de { en (x, ,1', XI + o') n [a, b] es :::;:, h. Luego. cualquiera que sea ti la oscilaCión di· f ,'11 (Xo-/J, Xo + b)n [a, b] es ~ h, Y por tanto (j (t, xo)? h.

Es evidente que esta definición tiene sentida pues en virtud de la propiedad anterior, la oscilación de f en (x(, - ti, Xo +
4.5. La proposición siguiente relaciona la oscilación puntual dI' 1111,1 11111 ción, con la oscilación en los intervalos de una partición y es h,ísic.1 ,'" 1.1 demostración del teorema fundamental.

O!>servación. Si el punto Xo es un punto intuior de [a, b], se puede suponer siempre que (xo -~, Xo + J) e [a, b] y en:onces es:

Proposición: Sea la función acotada f:[a, bJ-~R. Si para cada x {III, /'1 es () (t, x) < e, existe una partición t! de [a, b] tal que la oscilación dc' f 1'11 cada· uno de los intervalos [Xi_¡' Xi] de la partición t! es menor que "

fi (t, xo)

= lim

(j

(t, (xo - 0,

~

+ <1).

0-'>0

Si el punto Xo coincide con uno de los extremos es: (1

(f, a) = lim (f, [a, a

+ ti»

y

(j

(t, b)

0-.---)0

Ejemplo,

f: R

-)o,

R definida por !(x)

Y t(O) = O, tiene como oscilación en el punto cualquier entorno de O es:

4.3, lo

Xo E

IX

(b - J, b]).

Ó40

La función

1 = sup {t(x)

=lim (1,

E (-

lJ,

+ t5)}

X

= sen

= O el

+

para x:¡l= O,

valor fJ (r, O) = 2. En

Y - 1 = in1 {(x) I x

€ (-

/J,

+

ó)}.

Proposición: La función acotada f: [a, b:--~+ R es continua en el pun[a, b] si, y sólo si, es nula la oscilación di f en xo.

Demostración. Si para cada x € [a, b] es fi (j, x) < f, existe para cada .r un entorno (x - 6, X + ó) tal que la oscilación de f en (x - 8, X + (1) n [a, "1 es menor que E, en virtud de la misma definición de oscilación de f en x, Tomado un /J' positivo que sea ,j' <,j, la oscilación de t en [x - ¡j', X + .\'] n la. 1>1 también es menor que f. Se considera un recubrimiento abierto de [a, b], haciendo corresponlkr a cada X € [a, b] el entorno (x - /J', x + ,s'), Como [a, b] es cerrado y acotado. basta un número finito de entornos:

(X;-o;, Xi + ó? i = 1, 2, .. " m, para cubrir [a, b]. Cada uno de estos entornos determina una partición "elemental" i\" r()l~ mada por los extremos del entorno (x, - 1I/, Xi + ti;') contenidos en [a, "1.

422

Funciones integrables Rlemann

Una partición i\ más fi 1 . ,1 .' na que as 1\1> /l.. b .oo, 1\,. trene cada uno de sus interVd ~s ~?ntenIdo en uno, al menos, de los [x, J I x, + IV] pOr lo oscllaClOn de f en cada uno de los intervalo.s de ' , que la A es menor que ". 4.6. Consecuencia inmediata es la siguiente .. ' P~oposici6~:. ~ea f: [a, b]--+ R acotada. Si para cada x E [a, b] es 8 (t, x) < / .\ 1.\/( una partlclOn i\ de [a, b], para la cual es S (A) - s (/1..) < F (b _ a).

423

FuncIones Integrables Riemann

segunda por los intervalos restantes, en los que únicamente los extremos pueden ser puntos de Cl/'" La suma anterior se descompondrá en dos sumas parciales: la ¿' que corresponde a la primera clase de intervalos, y la 2;", que corresponde a la segunda clase. Se tiene k

S (/1..) - s (A) = 2;' (El - e.)

f

i==l

I

k

+ 2;"(E,-e¡)

B;lsta considerar la partición /1.. obtenida en la proposición anterior.

k

n

i=l

Xi-l)

+

(X¡- Xi-l)~ --¿;'(X¡-X¡_l),

i=l

5.

(Xi -

1

pues si en el interior de un intervalo [Xi_JI x,] de la primera clase hay

CARACTERIZACIÓN DE LAS FUNCIONES INTEGRABLES RIEMANN

de CI / n ,

plllllos

1 la oscilación de f en ellos es .:> --o n

De la desigualdad anterior, resulta:

".1. Las proposiciones (4.5) y (4.6) son básicas para la demostración del

'.'''rema de Lebesgue que d . . . a una caractenzaclón de las funciones R-integrables pOI' una propIedad del conjunto de puntos de discontinuidad de cada función.' , T~or~ma ~e ~besgue: La función acotada f: [a, b] -+ R es R-inte!.mhh SI, y solo SI, el conjunto de puntos de discontinuidad d f 111, h] es de medida nula. e en

l'n

!)l'llIostración. Se designa por GI, el conjunto cerrado de puntos de [a, b] los que la oscilación de f es mayor o igual que h: G" = {x ¡ x e [a, b],

(j

(t, x) ~ h}

Si G es el conjunto de puntos de discontinuidad de

lIll'n te

es:

f en

[a, b], evidente-

G = C l U GI /1 U oo. U C l /" U oo.,

pues en todo punto de discontinuidad, la oscilación d l -, que O. e a funclOn es mayor •. En primer l~gar se supondrá que f es R-integrable, y se deberá probar que es nula la medIda de C, para lo cual bastará demostrar que e es de med¡-da nula Pero C l/n Como como . l/n es compacto, se probará que es de contenido nulo. f es R-mtegrable, para cada ,> O, existe una partición ~ de [a b] para la cual es '

S (~)-s (~)

k

= L (Ei-ei) (x, _ i~l

Xi_l)

< _"_. 2n

Los intervalos de la partición ~ se distribuyen en dos clases' la p . nmera formada por los . t I ' m erva os que en su interior contienen puntos de GI / n y la

luego, la suma de las longitudes de los intervalos de la primera clase es < -- .'" Los puntos de e lf• que no estén en el interior de ningún intervalo de /\ <,011 extremos de intervalos de la segunda clase, y por tanto en número finilo, V se podrán cubrir con un número finito de intervalos de longitud mellor '1UI' s

-2-' En consecuencia, el sistema formado por estos intervalos, junto con lo..,

de la primera clase forman un recubrimiento finito de C lf • cuya SlIllI;1 dl' longitudes es menor que E. Queda pues probado que GIl n es de contenido nulo. En segundo lugar se supondrá que el conjunto G de los puntos de disco/ltinuidad de f tiene medida nula. Para un h> O dado se considera el conjunto eh' que como está conh'nido en G es de medida nula, y por ser un compacto, de contenido nulo. En l'Ollsecuencia, existe un recubrimiento finito de G. formado po.r inte¡-valm; cerrados cuya suma de longitudes es < h. Se puede suponer que estos intervalos son disjuntos y contenidos en [a, b]. Los extremos de los intervalos determinan una partici6n de [a, b] que se designa por t.Q• Los intervalos de ~o se distribuyen en dos clases: a la primera pertenecl'1l los que formaban el recubrimiento de G., y a la segunda los restantes. (Si UII intervalo [X;_h Xi] pertenece a la primera clase se indicará escribiendo [x, lo x.l'; y si un intervalo [Xí-l, Xj] pertenece a la segunda clase, se escribirá [Xi 1< xJ'>. Sea [Xi-h Xi]" uno cualquiera de los intervalos de la segunda clase. En cld;1 punto X € [Xi-b Xi)" la oscilación de la función es < h, por lo que es posible construir una partición /I..¡ del intervalo [Xi-l' Xi)", tal que la oscilación de f en cada uno de los subintervalos de ~j sea menor que h.

424

Funciones integrables Riemann

Se considera la partición f.. a la que pertenecen todos los puntos de la f..o Y todos los de las /l,.j correspondientes a cada uno de los intervalos de la segunda clase. Para esta partición /1,. se calcula S (/1,.) - s (1) descomponiendo la suma en dos parciales: la primera, que se indicará con L' corresponderá a los intervalos de la primera clase, y la segunda suma parcial, que se indicará con 2:* corresponderá a los intervalos restantes de /i. Si t o = a, t b t 2, ... , t m = h, son los puntos de la partición f.., se tiene: S

(f..) -

s (/1,.)

= L' (E; -

~ 2K L'(t,- t'_I)

tH )

e,) (ti -

+ h L* (ti -

+ L * (E, -

t;_I) ~ 2K h

siendo K una cota de la función f. Dado un ,> 0, para que sea S (A) - s (/1,.) < h <.

e

e,) (ti -

+ h(h-a),

basta tomar inicialmente

FUNCIONES REGLADAS

6.1. Una clase de funciones R-integrables que contiene a las continuas y las monótonas es la clase de las funciones regladas acotadas. Estas funciom's pueden ser discontinuas, pero existen sus límites laterales (H; 4.1} en cada ;1

lino dc los puntos del intervalo de definición, que en general serán distintos.

Definición: Una función f: [a, b] -+R es reglada en [a, h], si en cada x € (a, h) existen los límites de f por la derecha y por la izquierda, l'S decir, f(x +) y f(x --); y además existen fCa +) y f(b -), límites por {u derecha e izquierda en los extremos a y h del intervalo. 6.2. Estas funciones tienen la notable propiedad de que el conjunto de puntos de discontinuidad de cada función es numerable. Previamente se da la proposición auxiliar siguiente:

Proposición: Sea f:[a, b]--+R, y un xo€(a. b) en el que es I{(xo +)-f(xo-)l ~ho>O;

entonces, si 0< h < hv. en todo entorno de Xo existen puntos x' y x", distintos de xo. en los que es

lim f X"'""'1"ólit

E

f(x")1

> h.

= ho - h, Y comO

= f(xa +)

y

lim f

a::~x;

(xo. Xo

+ o)

es

e

I{(x') - t(xo

Y p;¡ ra todo x"

E tXo -

+ JI < -2-'

J, Xo) es S

If(x") ~ {(xo -)1 < -2-' En consecuencia para todo par x', x" con x'

€

(xo, Xo

+

If(x') - f(x")1 > If(xo +) - I(xo -)1- F > ha -

<5) Y x" F

E

(x"

= h,

Proposición: Si f: [a, b] ' 4 R es una función reglada en [a, b1. el e/(' sus puntos de discontinuidad es finito o numerable.

= f(xo -),

1'0" J 111/1"

Demostración. Se designa por D" el conjunto de puntos de [a, b] en los que el salto de la función f es, en valor absoluto, mayor o igual que h o: D h, = {x

If(x') -

€

lo que prueba la proposición. F,

•

Demostración. Se escribe

existe un b > O tal que para todo x'

t;.I)~

2K + (h-a) Luego se verifica la condición de integrabilidad, y f es R-integrable.

6.

42'5

'unciones integrables Rlemann

€

[a, b] : If(x +)-f(x-)I ~ ho}.

El conjunto D es finito, pues si no 10 fuera, en [a, b] existirí.a un punto hO E de acumulación de D.o y en tal caso, en uno al menos de los mtervalos (~ -

ó,

n

o

(,;,

~

+ tl),

para cada /j> 0, existirían infinitos puntos de Dho' Se supondrá que en (~, ~ + d) existen infinitos puntos de D hU para todo ,,> O. Si Xo € D" n (~, ~ + ó), en todo entorno de xc, contenido en (~, l; + "). existen puntos x' y x" en ios que es

> h, con O O, en el intervalo {l;, l; +~) existen pares x', x" € [a, b], con If(x')- f(x")1 > h, no existe límite por la derecha de. f en el punto ~. Lo que contradice la hipótesis de ser reglada en [a, b] la funCIÓn f. El conjunto D de puntos de discontinuidad de f se puede expresar de la forma: D = D¡ U DI!2 U ... U DI/O U ... , 1 en donde los conjuntoS! del segundo miembro son los Dh. para ha = 1, -2-' .. · 1 ... ,--", .... n El conjunto D como uDlon de una infinidad numerable de conjuntos finitos, es un conjunto numerable. II(x') -

f(x U )!

426

Funciones integrables Riemann

6.3. Como todo conJ'unto nu mera bl e en R es d e medida nula, es aplicable el teorema de Lebesque a las funciones r,egladas, y se tiene

Proposición: Toda función f: [a, bJ -}- R, acotada y reglada en [a, bJ es R-integrable.

7.

EJERCICIOS

1. -

l.

Probar que si un l'nt erva l o t'lene me d ida nula se reduce a un punto.

2. -

Probar que todo conjunto de medida nula es de interior vacío.

3. -

Dadas dos funciones f y g definidas en [a • b] y R -In . t egra bl es, y sea

X = {x

E

[a, bJ;

f(x}#g(x)}.

Probar que si X tiene medida nula es

J:f(X) dx =

J:

~ar u~

i~tOenglrUanbtlo

fun~ión

6. - Sea f una función definida en [a X

7

[a. b] tiene medida nula,

b] lipschitziana

ent~nces

Probar

f(X)' también es de

.

.

'::::di~a u: ¡conJunto

C ua. ea el CO?junto de Cantor. Dar un ejemplo de función f : [O 1] ~ [O 1] nótona contmua .tal que (C) no tiene medida nula. ' " mo 8. - Probar la verdad o falsedad de la proposición siguiente' Si f' [a b] [ d] g.: [e, d]-+R son dos funciones R-integrables. Entonces' también' lo : : ~~ fun: clón g o f: [a, bJ'~ R. Si es falsa dar un contraejemplo. .-

S

e

s~ f y g son dos funciones R-integrables en [a b] y e' I( ) :2 O para todo x € [a, bJ, la función h = f' es R-integrable er: [a; b]. s x;:>'" m>

9. - Probar que 10. -

Sell {Yn}. una sucesión decreciente de números reales tal que y O S d f una funCIón f: [O, l]_R por ,n~. e e me

1, f(x)

=

O, ) tIn,

si si

x

x

=O = irracional

m si x = - - irreducible. n

Calcular la oscilación de f en cada x

€

,l.

Integral indefinida. Primer teorema fundamental del Cálculo.

l. 1.

Función primitiva. Segundo teorema fundamental del Cálculo.

'" ("

Fórmulas clásicas del Cálculo. Funciones con integral y p'rimitiva distintas.

'l.

El segundo teorema del valor medio.

K.

Ejercicios.

g(x) dx.

ejemplo de dos funciones f y g definidas en [a, b] y acotadas tales qu e X ¡= {x E [a'l b]; f(x) 'F g(x)} tenga medida nula, la f se: e y a g no o sea. R5. - J?ada una función continua f en [a. bl. ¿es R-integrable una función flere de la f en una infinidad numerable de: puntos? g que di-

4. -

22. Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

[O, 1], Y probar que es R-integrable.

No es cierto que la integración sea la operación inversa de la derivación, ,0111" '''. frecuente decir, pero en muchos casos se puede aceptar como una formubl"i,'
indefllli,ja funciolll'.·, funei", .... , una 1'011',

tante (3.2). Cuando la función f es continua en [a, b], se puede asegurar la existencia de 1"' Illitiva y su coincidencia (salvo constantes) con la integral indefinida; mientras q ut' \', ,ola R-integrabílidad de f en la. b] no permite asegurar la existencia de primitiva. Esta dificultad esencial referente a la existencia de la primitiva. no impide cs!., blecer el segundo teorema fundamental del Cálc:ulo (4), para las funciones aeo(¡lll.,·.

42/'

428

Los teoremas

fundame~tales

del Cálculo integral

R-integrables. que afirma la identidad (salvo constantes) entre la integral indefinida y una función primitiva P, cuando ésta existe, La hipótesis de la existencia de primitiva permite. en virtud de este teorema, deducir las fórmulas clásicas del Cálculo integral de las correspondientes del diferencial (5),

Finalmente se estudia en este capítulo el segundo teorema del valor medio (7) de en distintas teorías del Análisis, especialmente en la de series y en la de transformaciones funcionales.

lit iJidad

429

/.oa teoremas fundamentales del Cálculo integral

l.

INTEGRAL INDEFINIDA

1.1. Un progreso decisivo en el estudio de las integrales de funciones Sl' nmsigue al introducir el concepto de integral indefinida. Dada una función f: [a, b] -+ R positiva y R-integrable, su integral mide ('1 ¡írea del "conjunto de ordenadas" limitado por el eje x, el grafo de f y I¡¡s rectas x = a y x b; Y fijo el intervalo [a, b] el valor de la integral l'S 1111 I/Iill/ero. Sin embargo, si se considera fijo el extremo a y variable el " ,It" 1IIIervalo [a, b] sobre el que se efectúa la integración, el área será una {II/U'IOIl del extremo b, Precisamente esta función, prescindiendo del carácter 1" '''11 1\''' de y del aspecto geométrico de la integral, es la llamada integml illd"/IIlI.!" ti" f. Antes de precisar los términos de esta definición, conviene intrlldlll'll ,11 gunus cambios en los símbolos empleados para escribir la integral. L:I V.III.I hle de integración, que hasta ahora se había designado por x, se cambi.11:1 1" 11 l. mientras que para el extremo variable b del intervalo de integraciún <;(' l'l1IpIca rá la letra x.

=

r,

x

a

Definición: Dada la función t:[a, b]--+R. R-integrable en [a. "j, se denomina integral indefinida de t, la función F: [a, b] -+ R, definida por F(x) =

J:

f(t) dt.

para todo x e [a, h],

1.2. La función F tiene propiedades muy notables, ya que siempre es l'OIlen [a, b], y frecuentemente derivable en los puntos x € [a, b]. De precisar cuándo se verifica esta propiedad, se ocupan los teoremas r"ndamentales del Cálculo integral. I inua

430

Los teoremas fundamentales del Cálculo ¡nteg,

Proposición: Sean f: [a, b] --+ R una función R-integrable en [a, b] !I F: [a, b] --+ R su integral indefinida. Entonces existe un número K> 0, tal qu< ¡Jara cada Xo € [a, oJ es IF(x)-F(xo)1 ~K Ix-xul, clIolquiera que sea x

E

IF(x) - F(x ú) I

1.3.

== I

J

:.'(t) dt

Iti

I P(x~-=-~~o}

I = I x 1 xJ:~(t)-f(xo»)dt )<-lx-s-x-oIIJ:dt I

en [a, b]; de (20; 6.6) se deduce:

I ~ 1J:. 1{(t)1 dt I ~ K Ix E

xol·

Proposición: Si la función

es

-(Xo)

es: =.

l.

F(x) -F(xo)

lim

-~_----.:.~

X4Xo

X-Xo

y además que coincide con

r(xo).

[a, O].

Todas las funciones que cumplen la condición de Lipschitz son con· pues evidentemente, si x ~ Xo

F(x) ~ F(xo),

t: [a, b] --+ R es R-integrable en (a,

b], la inte·

gral indefinida F: [a, h] --+ R es una función continua en [a, b].

2.

il

1.0 que prueba la existencia del límite

Adviértase que la constante K es independiente de Xo I inllas,

'1 Impuesto Ix - xol <

[a, b]. (Condición de Lipschitz.)

Demostración: Sea K el supremo de

431

'CII tooremas fundamentales del Cálculo integral

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

~.

FUNCIÓN PRIMITIVA

3.1. Sean la función f:[a, b]~R, que es R-integrable, y la F:[a, "1 ,·H su integral indefinida. El teorema fundamental del Cálculo asegura 1;1 nw. tcncia de la derivada de F en los puntos de continuidad de f, y que es F(.r) = ((x). En un punto Xo E [a, b] en el que f no es continua, pueden darse 1.1'; tres posibilidades siguientes: que no exista derivada de F en Xo; qUl' l'xi~;t.1 la derivada de F en Xo y que no coincida con f(xo); y, finalmente, qUl' .'XI',I.I la derivada de F en Xo y que coincida con ((xo).

En consecuencia, en general no se puede afirmar que "la integral inddlllld,1 La derivabilidad de la integral indefinida F no se puede asegurar en todo punto, pero sí en aquellos en los que t es continua. 2.1.

Primer teorema fundamental del Cálculo: Si f: [a, o] ~ R es R-integraole en [a, b], y en Xo es f continua, entonces la integral inde(inida F: [a, b]--+ R es derivable en Xo y además F'(xo) = f(xo). En los extremos a y O del intervalo [a, b] se consideran las derivadas laterales de F por la de.recha e izquierda respectivamente. Demostración. Para simplificar se supondrá que Xo es un punto interior en [a, bJ. Por la continuidad de f en Xo. para cada e> existe un b> O tal que si Ix - xol < /) es I((x) -- !(xo)1 < e.

°

Se supondrá <5 suficientemente pequeño para que x esté en [a, Por otra parte, para todo x € [a, b] con x # Xo se tiene: F{x) -- F{xo}

--.:.~----..:~

X-Xo

=

1

~-

X-Xo

Ja; f(t} dt; "'.

o].

de una función tiene por derivada esta función".

Al no verificarse esta propiedad está justificada la noción de f UIKII'II mitiva.

1'11

Definición: Dada una función f: / --+ R, donde 1 es un intervalo JI' extremos a y b; una función F: /.--+ R es una primitiva de f, si F ('S derivable en todo x € 1, Y F'(x) = f(x). Si x = a (o x = o) pertenece al intervalo 1, la derivada F'Ca) (o F'(b) es la derivada lateral. También se dice que F: lo ,--+ R, es una primitiva de f en el intervalo lo e /, si 101 es de la restricción de f al intervalo lo. Como la existencia de la derivada en un punto implica la continuidad ('11 él, evidentemente

Proposición: Toda primitiva F:I--+R de una función ción continua en l.

f:l-~R,

es una

{tl/t-

Notación. Una notación tradicional para una primitiva "cualquiera" ti.· una función t, en un intervalo, es la de Leibnitz:

Jf(x) dx

.

IINÉS-15

432

Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

que se lee "integral de ((x) diferencial x". Esta notación, aunque usada, es confusa puesto que designa una función primitiva por un símbolo integral, y ya se ha indicadO' que no hay tal equivalencia. Por otra parte es una notación imprecisa, pues dada f no se sabe SI existe alguna primitiva, y si existe no se da información de cuál se trata. Tam· poco se especifica el intervalo en el que está definida la primitiva. Sin embargo, en los casos elementales, no se originan dificultades con el uso de dicho símbolo, y en caso de duda se recurrirá a notaciones más explícitas. 3.2. Para las primitivas de funciones definidas en un intervalo se verifica una propiedad de unicidad salvo una constante.

Proposición: Si F I : 1 '-f R Y F 2 : 1 -r R son dos primitivas de f en 1, es FI -

F2

= constante.

ln. tnoremas fundamentales del Cálculo integral

4. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAl. DEL CÁLCULO 4.

Ya se ha indicado en el apartado anterior, que son distintos los C"It de integral indefinida en 1 de la función f (que precisa ser ({-illtel',t.\ hll'), y función primitiva en 1 de la función t (que no precisa ser R-inll'grald,' (t.Ntas dos funciones se identifican (salvo constantes) en el caso de 1;, ('011 1IIIIIidad de f. Se trata ahora de estudiar otro caso en el que también hay idenl tfll',J( ,,," (~¡liv() constantes), sin presuponer la continuidad de f. En forma brl've ",' 1'"'' ti" decir que "la existencia de la integral indefinida de f en 1, y I;¡ ('XI',"'" ,\ d,' la función primitiva de f en 1, aseguran su identificación" (salvo eOIl',I,IIII,') t'rplos

Segundo teorema fundamental del Cálculo: Si t: [a, h] ·I{ función R-integrable, y F: [a, b] -+ R es una primitiva dI' I

/lila

111, b], es

Demostración. La función Fo = FI --- F 2 tiene de,rivada nula en todo punto interior del intervalo l. Además Fo es continua en todos los puntos de 1, incluidos los extremos' si pertenecen a l. Sea un x() interior de 1, y Fo(x o) = c. Para otro punto cualquiera x E 1, en virtud del teorema del valor medio del Cálculo diferencial, es FoCx) -- Fo(xo) = F~(~) (x -- xo)

con

~

E

(x!» x),

J~ /,aru todo x

Fo(xo) = O,

En consecuencia, si F es una primitiva de primitiva de cualquiera.

f

en el mismo intervalo es F

f

+

en el intervalo 1, cualquier otra e, donde c es un número real

f(x) dx = F(x)

ei (Xi -

+ c.

Xí_l)

(ó)

=

¿

= f($¡) (Xi-Xi_I),

F(Xi_l)

<:. E¡ (Xi -

f(:,)

e,'

J,

Xi_I),

n

el (Xi ~ Xil):S;:: F(c) -

mitiva en l. Una primitiva de f es la integral indefinida a

€

l.

= S (A),

i=l

para cualquier partición ¡\ de [a, eJ. Como ( es R-integrable en [a, el = [a, x], se tiene finalmente

J: 4.2,

con

F(a) ~ ¿ E¡ (Xi ~ Xí_l)

'J=I

Proposición: Toda función f: 1 -r R, continua en el intervalo 1, tiene pri-

f(t) dt,

:s;:: F(x;) -

n

3.3. No todas las funciones tienen primitivas, y es difícil dar condiciones suficientes, bastante generales, para que una función f: [a, bJ -r R tenga primitiva. En el caso de la continuidad de f, el primer teorema fundamental del Cálculo asegura la existencia de primitiva.

J:

(Xi-Xt_l)

de donde S

F(x) =

= F'($;)

¡Ionde ~¡ es un punto! intermedio del intervalo (Xi. 1, Xi), y por tanto NIl'ndo el y El el Ínfimo y supremo de f en [Xi_l, x;]. Se tiene, pues,

Con la notación tradicional se escribe

I

F(a)

[a, bJ.

€

F(Xí)-F(x l _ l )

Fo(x) = constante.

Y por tanto

t(t) dt = F(x) -

/)emostración. Sea un x = c € [a, bl. La función f es R·intq~r;,hl.· ,ti ,,1 IlIlnvalo [a, ,e], y se designa por~: {a=xo, XI, ... , xn=c} Ulla poli 111 11111 .Itlel, t'j. Según el teorema del valor medio del Cálculo diferencial es

luego FJx) -

1'\

1'11

t(t) dt = F(x) -

F(a).

Esta proposición proporciona una regla práctica para el cálculo

11 vo de integrales: Si f: [a, b] -+ R es R-integrable y F: [a, b]""· R es una primitiva dI' en el intervalo [a, b], es

r

I:

t(t) dt = F(b) -- F(a) = [F(x»); ,

d.·,

eW¡{(jllit'/'t/

134

Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

empleándose en el último miembro una notación comunmente adoptada. Efectivamente la fórmula anterior es la usada ordinariamente en el cálculo de las integrales, que se reduce al cálculo de primitivas. En (20; 2.2) se calculó directamente

Fjercicios: 1.

r entero y positivo, a partir de la definición de integ.ral. ('on la regla anterior el cálculo es inmediato, incluso cuando es r

S.

FORMULAS CLASICAS DEL CALCULO

5.1. El segundo teorema fundamental del Cálculo, permite establecer las Mrmulas clásicas de cambio de variable y de integraci6n por partes en condidones suficientemente generales.

5.2. Proposición: Sea
Jo xr dx, "011

~

O real


J

X T +1

cualquiera. Corno x' es continua, y ---1 una de stS primitivas, se tiene r+ ( ' x'dx=

[~]l =~ r+1o

"0

'111<'

J: cO's x dx = [sen x]~ = sen a -

x es continua y

)

senO

= sen a,

J:

para todo x

E

parax=O 3

.

(.
hm l'

1.1.'>

-o I

F(x)

--~X

= O es

F'(O) = feO)

= o.

Para x

E

x (0, 1], es F derivable por

reglas normales. La función f no está acotada en [O, 1] luego nol es R·inte· en este intervalo.

)'Y;lhll'

-

F(cp(a».

con

• q/(t),

= F(tp(b»

f(
t

E

[a, b],

-

F(tp(a».

De las igualdades anteriores resulta la fórmula buscada. Ejemplo.

Suponiendo a, b > 0, en la integral

J

dx

.~

(O, 1]

Observense que es la derivada de F(x) = Xl sen _1_ si x ~ O Y F(O) = O. ,

= f(cp(t»

b

1 -~ 1 sen---x 2COS~x x

O

= F(
por lo que la. función F o
\. Se presenta finalmente un ejemplo interesante de una función que no rs H-integrable en el intervalo [O. 11 Y sin embargo posee una primitiva La función f: [O, 1] ---+ R está definida por

_x 2

f(x) dx ~(.)

(F o
coincide con· el resultado que se obtuvo.

[(x) =

~(b)

Por la regla de derivación de la función compuesta es

una de sus primitivas, se tiene

3":'" 2

f(

•

(Fórmula de cambio de variable.)

f

cosxdx,

y ron la regla anterior, el cálculo es inmediato. ComO' cos

qUI'

= Jb

Ile un intervalo compacto. Como f es continua, posee una primitiva F: [a, b] -+ R, Y en virtud del seKundo teorema fundamental del Cálculo se tiene:

En (20; 3.2) se calculó directamente

Sl'lI.1' l'S

f(x) dx

¡pla)

Demostración:

r+l'

roincidc con el resultado anteriormente obtenido.

J:

435

Lo. teoremas fundamentales del Cálculo Integrel

se puede hacer el cambio de variable t = In x, y se tiene: si b>a>l . ..

b -dx= flb

J

es

pues In t es una prImitIva

«

d

x· In x

dt

~-=ln(lnb)-In(lna),

l.

t

1

e -t- ;

si O< a < b < 1 es

J

b

n

dx

~

x -ln x

= In 11n bl -In Ilñal·

436

Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

Observación. La notación tradicional de la integral, tiene una buena justificación en la fórmula del cambio de variable:

r

1't lJ }

Para efectuar el cambio de variable x = TU) en

f(x} dx, se sustituye

I UN tp.oremas fundamentales del Cálculo íntegral

(,.2.

Se estudian previamente las integrales de unas funciones de tipo 1'"

il'lll'ial, que serán de utilidad en la construcción de los ejemplos La función g definida en el intervalo [a, a + 1] por

.Ca)

lIIecánicamente la x por "'( n, y la dx Jior 'P'( t) dt, lo ql<, está de acuerdo con /11 notación diferencial de la derivada

dx = r'(t).

g(x)

u(x) v'(x) dx = [u(x)

v(x)]~ -

.r:

a)'

X k(l-

con

k> 0,

t"'; lTl'ciente desde g(a) = O hasta g(a + l) = k, Y su gráfica es 1;1 d,' 1.1 11,'111,1 ¡Idplnta. Su integral se obtiene inmediatamente por medio de un;] I'rillllll\,'

dt

5.3. Proposición: Sean u: [a, b] -+ R Y v: [a, b]-+ R dos funcione's que poseen derivadas R-integrables. Entonces se tiene

J~

=

POSfl'l'l
u'(x) v(x) dx.

J:+

1

k

(X

lar

dx =

r

~ 1'

Allnque la gráfica pasa por los puntos fijos A y L, al crecer r l'J."ral puede ser tan pequeño como se quiera.

l"

v,d,,, .1,

Ir

1111

(Pórmula de inteffración por partes.) Demostración. dc IIn'

+

Basta observar que la función F = 11 • V es una primitiva u'v en [a, b], Juego en virtud del segundo teorema fundamental

r

(uv'

L'

k'

k'

L

k

+ u'v)dx = [u. v]!.

a

'. J

Ejemplo.

Para a y b cualesquiera se tiene

(b

X

arc tg x dx = [x a.rc tg X]b -~- dx = [x are tg X]b " " ~"l + X2 -a

1

-2

(In (l

+ Xl)]b

"

A

a

()

Se ha puesto u(x) = are tg x y v(x) = x.

Observación.

Gráfica de g.

La formulación tradicional de la fórmula de integración por

partes es

J~ udv = [u· v]~-

f:

Gráfica de h.

a

"

1

Gráfica d.' f.

Un comportamiento análogo tiene la función h definida en d a] por

illlt,.

v,d"

1(/ -1, vdu,

que resulta de la notación diferenci8.1 de las derivadas de las funciones u y v, pues es dv = v'(x) dx y du = 11'(X) dx.

h(x) = k'

FUNCIONES CON INTEGRAL Y PRIMITIVA DISTINTAS

6.1. Se completa este apartado presentando algunos ejemplos de no coincidencia entre la integral indefinida y la función primitiva. Aunque esta cuestión tiene principalmente un interés teórico, jugó un papel importante en las sucesivas ?,eneralizaciones de ambos conceptos, en las que siempre se buscaba su identificación.

(

el X)' , --¡

con

k' >0.

Su integral es

+ Ja k,(~)rdX=~. a-I

6.

a -1

t

1

1

r

Se designa por la función definida en [a - l , a + l] obtenida l'llIl'.1I mando g y h. Para abreviar se dirá que la gráfica de "tiene forma de /1" y pasa de L' a A y de A a L, siendo estos tres puntos fijos. Su integral, qUl' ',,' denota por (T(f), es "fl (k' + k) 1 lf (f) = a_/(x)dx = r + 1

t

J

438

Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

y puede ser tan pequeña como se quiera, tomando r suficientemente grande. 6.3. Ejemplo 1. Función discontinua f definida ~n el intervalo [0, 1], cuya integral indefinida coincide con la función primitiva para todo x E [O, 1]. La función f: [0, 1] -+ R que se considera tiene una gráfica como la de la figura adjunta.

k

°

cuyo límite para n--> ,'-' es en virtud de la condición impuesta a Para un x cualquiera es x. < x < X.+h Y se verifica F(l)-F(xntl) F(l)~F(xn+l) F(1)-F(x) ,. = < 1/2n l-xn 1-x

<

F(l)--F(x,,) ]-x n .¡.!

-

CT

(f,,)·

F(1)-F(x,)

-~----

1/2"'1

y los dos extremos tienen por límite O.

x

----------------

439

Los teoremas fundamentales del Cálculo Integral

E

Resumiendo, la integral indefinida de [O, 1], Y f es discontinua en x 1.

=

f

es función primitiva de f para lotlo

Ejemplo 2. - Función discontinua t definida en el intervalo [0, 11, ,/1/1' posee integral indefinida en este intervalo que no es una función Imlli/flf',I, ¡lIIes la función f no tiene funciones primitivas en [O, 1]. La construcción de f es semejante a la del ejercicio anterior, salvo
o Para construir la función f se divide el intervalo [0, 1] por los puntos ~-, 7 2"~1 2 4"' -8-, .,., 2n , ... ; y en cada uno de los intervalos Ix", x,,+¡], con

3

2" - 1 se conSl'dera una f , t.. x. =-~, un' Clan n con f arma de U" en cuyos extremos tenga el mismo máximo igual a k, y cuya integral cr (f.) verifique la condición

Si existiera una función primitiva de t, en virtud del segundo tcorL'lIl;1 11111damental del 'cálculo, coincidiría (salvo una constante) con la inlL'gr,d 111,1<¡inida, y por tanto existiría la derivada de F por la izquierda del punto.r l. Se trata de probar que no existe esta derivada, Para los puntos de la sucesión {x.} que tiende a 1, es

F{l) - F(x,.) l-x.

(}" (f n)

+

CT

(f"~J)

+ ".

~---~=-----:~:-----

lim n->SO

La función f es la que se obtiene empalmando las de la sucesión fe. tI> ... y se completa su definición poniendo r(1) = O. Manifiestamente f es continua en [0, 1), discontinua en x 1, Y como está acotada es R-integrable en [O, 1]. Designando por F la integral indefinida de f:

.... f.. ... ,

=

F(x) =

J~

f(t) dt,

para

x

E

l-x.

F(l)-F(x,,) =---,--=

fT

(fft)

+

1 ! 2"+1

O"

(/"+1)

k 2

mientras que para los puntos de la sucesión {x',,} con x'n = que también tiende al, es F(l) - F(x' .) ----:-~= l-x'.

8

5

(}" ef,,) + (}" ('.+1) + ...

1 - Xn -

Xn

+-

Xn-H ~

- XII

4

k . 13

1 =~; -4- (X'- c ! - x.)

por lo que no existe F' en x = 1, por la izquierda.

[O, 1];

por la continúidad de f en [0, 1), es F primitiva de f en el intervalo [O, 1). Se comprueba fácilmente que la derivada por la izquierda de F en el punto 1, es igual a f(l). Se tiene: F(l)-F(x,,)

1(2"

+ ...

+ 1/ 2,,+2 ...

Ejemplo 3. - Función discontinua f definida en el intervalo [0, 1] que 111) posee integral indefinida en este intervalo, pues no es R-integrahle en [0, 1). i! sin embargo existe una primitiva de f en [O, 1]. La construcción de f es semejante a la del ejemplo primero, pero ahora la función no está acotada en [0, 1], Se toma inicialmente una sucesión de 111"'-

140

Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

Illeros positivos ke < k¡ < k 2 < ... < k n < ... con límite + 'x, y en cada uno d" los intervalos [x". X,,+I] se considera una función f" "en forma de U", tal que !,,( ,\",,) = k" Y ¡"(x,, II} = k" 4 l' Además se le impone la condición

lim 1/

= lim

cr (fn) Xn+l --

XII

~ (f~ =

o.

r

Se designa por G la integral indefinida correspondiente a la función g, es tltorir. G(x) = •

~.I·

,', Illlpleta

J:

f(O dt,

para

x

E

h···.

fu, ...•

[0, 1),

con

m f{a)

¿

J:

~

f(x) g(x) dx

~M

. fea),

pues entonces, en virtud del teorema de Bolzano, existirá un e que es

00

FO) =

gel} dt,

a

es una función continua, y por m y M sus mínimo y máximo en el mj¡'rvalo [a, b]. Para demostrar la igualdad del teorema bastará probar que es

'"~o

F(x) =

r'"

qtl\'

n.re 1/21141

función se obtiene empalmando las de la sucesión fo, fl1 completa la definición poniendo f(1) = O. 1,,1 función F definida por 1..1

\

>OJ

441

teoremas fundamentales del Cálculo integral

11111

G(c) =

cr (t.),

1 fea)

E

[a, b] para el

Jb f(x) g(x) dx. a

1/=0

I'lIdlt'lIdo :Isegurarse la convergencia de la serie en virtud de la condición ¡mIIlW·,1.1 .1 Ir (f,,).

IVldl'lltemente F'(x) = !(x) si X € [O. 1). Como en el ejemplo primero se que es nula la derivada de F en 1, por la izquierda.

l'III<'I1d

7.

La demostración se hace primeramente pa.ra funciones escalonadas, que se denotan con la letra h; Y después, en el caso general, se aproxima f por funciones de esta clase. Sea t.: {a = Xc. Xh .oo, X n = b} una partición de [a, b], y se considera la función escalonada decreciente h definida de la siguiente forma:

El. SEGUNDO TEOREMA DEL VALOR MEDIO

h(x) = ) h,

(h" 7,1. Este teorema no es una generalización del primero del valor medio. "1'.lIiI' de la propiedad de monotonía de la integración que está presente en

1,,·.

-R, H-illlegrable en [a, b]; entonces existe un e E [a, b] tal que

J:

f(x) g(x) dx = t(a +)

J:

fea)

Como

g(x) dx.

t(a +) es el límite de la función

f

= h¡:;:;' h

x

SI

X E [Xn_¡,

2 :;:;, .,. :;:;,

J:

E

[X,_I, X;],

con

i= 1,2, oo., n - l .

x.],

h n > O.

h{x) g(x) dx =

;~I f::_¡h(X) g(x) dx,

se tiene

l'scribiendo

en el punto a por la dere(·ha. que efectivamente existe por ser monótona. En caso de no coincidir (fa 1 ) con f(a), se sustituirá este valor por el límite, lo que evidentemente 110 l!Iodifica la monotonía de f, ni el valor de la integral. Se supone, pues, /Id} ce- {(a +), y además ((a) -:F O. Si fuera fea) = O por la supuesta monotonía, ',I'I'Í;I nula la función f, y el teorema evidente. Ikl/lostración.

siendo

s!

f

u

n

" h(x) g(x) dx

G, =

= i~1 h, (G, - GH

J:i

),

g(t) dt.

Aplicando la fórmula de sumaGÍón parcial de Abel, se tiene

>

Como h es decreciente, es hi - h;+1 O para i = 1, oo., n - 1, Y h" O. Por otra parte es m -<" G, -< M para i = 1, oo., n, por lo que la igualdad anterior

442

Los teoremas fundamentales del Cálculo Integral

8.

se puede acotar como sigue:

441

Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

l.

EJERCICIOS Demostrar

f xl+x'

l~=Jl/X~

o sea mh{a)

~

J:

h(x) g(x) dx

~M

2.

valores no negativos. El recorrido de la función " es decir, el conjunto de valores de !(x) para .r' ru, b), está contenido en el intervalo 1 de extremos fea) y ((b). Dividido este illlnvalo en n partes iguales, por los puntos fea) = Yr, YI, .oo, Yn = (b), se construye una función escalonada dec.reciente, de la siguiente forma: si X € {x, Y'-l;> {(x» y¡}, con i Yn-I si xE{x, Y,,-l;>l(x);>Yn}'

}1" (x) = I\Y¡-l

= 1,

.oo, n - l

f l.

1

+ x'"

1+ t el cambio de variable x = - - o 1- t Probar la igualdad

'>. - Probar las siguientes desigualdades

_1_<

f1-

dx ..j4-3x

f(a)

..

~x

2

+

<_n:_.

oJ4-?+x3

2

n

)0

-1

hacer el cambio de variable t = - - ? x . Hacer, en la integral

----~,

por

dx

1

1

'l.

Ekcl ivamente, los conjuntos {x, Yi-l;;¿ (x) > Y¡} son intervalos, ya que si .x' y .r" pertenecen al conjunto, cualquier punto entre ellos pertenece al mismo conjunto, en virtud de la monotonía de (. La diferencia entre !(x) y h,,(x) para un mismo valor de x está acotada por {(b) -

- ¿Se puede, en la integral

. h(a).

I es una función decreciente cualquiera, con

Se pasa ahora al caso en que

(x> O).

Il+x"

< --;

x3

0,5

3

6'

f112

<

dx ..jI_x'" m

O

•

<

suponiendo n > 1 en esta última.

que se tiene

IJ: ¡(x) g(x) dx -

J: ~

hn(x) g(x) dx

tea)

!(b) -

n

I~

J~

J:

I!(x) - hn(x)llg(x)! dx

f(a)~

pues para todo n es hnCa)

'P

Ig(x) I dx 7. -

a

J: hn(x)g(x)dx~M·

= fea),

ro

6. - Si " y

Calcular

8. -

f 9. -

tan poco se quiera, resulta la desigualdad que se quería probar.

,

~

J[

Demostrar

f(a),

f(x} g(x) dx

f

~

o ..; 1 - sen' a sen' x

< ..; 1 -

sen' , sen' '1' .

cos x !,(x) sen x ] --dx.

"/2

f(x)

o cosm x sen m

Probar que si

y la integral intermedia difiere de

J:

están comprendidos entre O y -2-' se tiene

'P<

que tiende hacia O cuando n ___ x. Como en virtud de la primera parte de la demostración es m·

~

f,Cx) =

f:

¡(x)'

X

O

f(t) dt, ... , fk+l (x)

se tiene fn(x)

J1t/2 cos

dx = 2- m

= (n ~ 1) I

J:

(x -

=

t)n-I

J:

m

fk

x dx.

(t) dt, ...

f(O dt.

0,524,

444

Los teoremas fundamentales del Cálculo integral

10. - Hallar las derivadas de cada una de las funciones siguientes: X

F(x)

F(x) =

U; sen' t dt)

,

J

=

"sen' t dt;

J: (J~

1

+

F(x) =

1 dt t' sen' t

- - - - - - - dt; 1 + sen' t t'

J2

+

,

)dU;

=

F(x)

J

b

~

1 ------dt.

1.

Notación de Leibnitz. Integrales inmediatas.

J..

Métodos elementales de integración.

\.

Fórmulas recurrentes.

t' .

-1.

sen (sen t) dt.

6.

Integración de funciones racionales. Integración de algunos tipos de funciones irracio nale s. Integración de algunos tipos de funciones trigonométricas. J11 t egración de algunos tipos de funciones transcendentes. ¡;jercicios.

l

+

t'

+ sen' t

11. - Hallar las derivadas de las funciones inversas de las F(x) =

Jx~; I

(

t

J" vI --

=

F x)

o

dt

12. -- Hallar (P-'Y(O) si F(x) =

13.

J:

(l

+ sen (sen O) dt;

- Probar que si

J:

=

l(u)' (x-u)du =

l{,

x f(t) dt. Los métodos de cálculo de primitivas que se exponen en este c"¡oít,,lo ,',,' 0"1",,,,,, t'x<,It"ivamente a funciones continuas definidas en intervalos. Para co;la\ fUI",Í"IW p\lc'de asegurar la existencia de primitivas (1.1), y que todas son de la rOIIlI,1

J: (J:

{(t)dt ) duo

f(u) (x -- u)' du = 2

ItI. -- Hallar una función

J: (J :' (J:'

f tal que 1 {'''(x) = J=;===~' .; 1 + sen' x'

.. Calcular la derivada de la función "IX)

F(x) =

J

Ilx)

siendo h continua y f y g derivables.

h(t) dt,

J"

x t(t) di

Aplicar la igualdad anterior para demostrar

J: 17.

J"

es continua. se tiene

J: J S.

=

,o. "i,

Hallar F'(x), si es F(x)

I ~.

F(x)

23. Cálculo de primitivas

f(t) dl ) duo ) du,

+

C.

Sin embargo como el cálculo de primitivas interesa como auxiliar del ti" "" "1' 1.11, d .. linidas. los métodos que se exponen no ~on de tipo teórico, sino de Ind,,],' ''',''1'' "d 11I\'l1te práctica, lo que forzosamente les da un alcance redllcido. En ('.\Vllc·'" ',,' 1',1',,111 ('11 1res regla, que se denominan; integración por descomposición (2.2), 11'1<'.':'0/, ,,,,, 1" '1 /'II/'/{'S (2.3) e integración por camhio de variable (2.4), que correspond\'1I " 1.1', 1"" r.. ~I¡¡s de la derivación; derivada de la suma, derivada del producto y del ÍV,ld,1 .Ir 1,1 función compuesta. Frecuentemente ninguna de las tres reglas permite clklll." d",·, lamente una integral, sino que se han de emplear sucesivamente v,Hi'IS de \,11..", 111 ~l'ncral lo que se persigue es reducir el cálculo de una integral al de 01 r;1 IIl;Í' ',\'11('111.1 Si la función que se trata de integrar depende de uno o varios pariínll'lro,\ ('IIt.'IO', )< positivos, un paso decisivo en el cálculo de la integral es hallar una (úrrllll¡" '1111' r"'acione la integral, con otra u otras de la misma clase, pero con valores .1,,1 Pd I ,1 metro menores. Estas son las fórmulas recurrentes (3), que ordinariamente Sl' ohl [('11<'11 por la aplicación reiterada de la regla de integración por partes (3.2, 3.3; l'l" 'TI(' lo', L Se ha dicho que el alcance de los métodos que se exponen en este ('''pilulll (", reducido. Esta limitación tiene dos causas, una instrumental y otra miís prollllld .• rererente a la naturaleza de las funciones que se consideran en el cálculo .1" P""ll tivas. Cuando se dice que se ha "calculado" la integral de una función r. se qui"f(' '" presar que se ha obtenido como primitiva de f una "función conocida", En rl'.illd,i<1 esta denominación es imprecisa, pero se puede aceptar que, en el cálculo de ]1rillIÍllv,I'" "(unciones conocidas" son las elementales, las trigonométricas y rus inversas, y 1.1', que se obtienen por los dos procesos siguientes: deducir de varias funciones 01 r.' 1" '1 medio de las operaciones racionales y deducir de dos fuuciones la compuesla, H"¡H' lidos estos dos procesos un número finito de veces. en cualquier orden, la flll1('lllll ohtenida es una "función conocida".

448

Cálculo de primitivas

"iguales",

('''1110

su diferencia es una constante para todo x

SI

E

1,

Eviden~emente esta definición verifica las condiciones de una relación de

1''1

l1lv

;¡lenCla, y es frecuente decir que se trata de una igualdad salvo una cans.

1, l/JI 1'.

1':11 cada caso se habrá de precisar el intervalo l en el que se considera la Mientras no se advierta otra cosa, l será el intervalo en el que es

t

llllq',r;i1.

1 11 lllillll;1.

Si f(x) = sen x, es correcto escribir

l:iI'IIlIJ!O.

I

sen x dx

=-

J''. .~ = l t-

j

,

(¡¡'.\('I'I'uci(ín.

'

dx

_._~

.

dx

~

+e

= ~arc cotgx + e'

1 x = - - arc tg - a

x"

,

J

+ C'

I

= are sen x + e = a

+e

d

X

1 = -- - - arc cotg x a

I -~x-a +e I x + a

I Ja2 + x2 = In (x + Vdl +

También se puede considerar que

+e

a

x dx r = = are sen -1-'-

'Val -

.

are tgx

449

dx- - = - -1l n < ,\', a" 2a

'VII - X2

,

cos x es una primitiva de sen x en R.

I'ltl",

.

X2

1l1+X2

J ,1

+ e,

cos x

~C/l/clJlo de primitivas

X2)

arc eos x

=-

+ e'. x, al + e

areeos -1-

+ C.

{(x) dx

"''',11',11.1 1'11I'lk

2.

r en

1.1 clase de todas las primitivas de

l. E sta 'mterpretación, que ,l'r ma's correcta c d . . , on uce a mnecesarIas complicaciones de lenguaje. ,

Fllh!a de integrales inmediatas.

l. '.

una de las siguientes fórmulas tiene validez en los intervalos en lo' funCIOnes que se integran son continuas. s l.;] 11'1 ra. e designa una constante real. Las constantes 1:1, funcIOnes son también constantes reales. a y a que aparecen (',Id;]

<¡Iil' I:I,s

l'll

·.l"nclx=--_+e, ,f "+] xa+1

(a:;;icl)

·I'"'dx=~ + e l

.

d' dx

r

2

tg x dx = - In leos

J-.-=tgx+C .

dx

cos2 x

In

Ix' + e

= lna: + e,

J

= -cosx + e

r -~-=ln Itg-~I sen x

dx

J

OCX

ISl'nXdX

J7- =

cos x dx = sen x

+e

xi + e

J{dx ~=ln

J f

dx sen x

0, a:;;ic 1)

+e

Itg (X

;;r ) / -2-+-4-

cotg x dx = In Isen --~ 2

(a>

xl + e

= -cotgx + e

+e

MI!TODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÚN

2.1. Para las funciones continuas, la práctica de la integración se simplinca, pues en virtud del' teorema fundamental del Cálculo, se reduce a la deft'rminación de funciones primitivas; es decir, para las funciones continuas, 111 integración se presenta como el proceso inverso- de la derivación. A las tres reglas de la derivación: derivada de la suma, derivada del producto- y derivada de la función compuesta, corresponden las tres reglas de la integración, que se denominan: integración por descomposición, integración por partes e integración por cambio de variable. La demostración de estas re¡(las se reduce a derivar las funciones que resultan de su aplicación y comprobar que las derivadas coinciden con las funciones que se han de integrar; es decir, se trata .de comprobar directamente, que las funciones que se obtienen son primitivas. Estos métodos ya han sido estudiados, como propiedades de la integral (22; 6) en condiciones más generales, ya que se exigía solamente de integrabilidad Riemann de las funciones, y no la condición más fuerte de continuidad. Se trata, pues, de propiedades conocidas, que aquí se consideran conjuntamente a efectos de sistematizar los métodos de cálculo de las funciones primitivas. Se incluyen las triviales demostraciones, con objeto de mostrar la correspondencia con las propiedades de la derivación. 2.2. Proposición: Sea f: 1 --+ R una función continua en el intervalo 1, (fue se descompone en la suma de las g: 1- R Y h: 1- R, igualmente conti-

146

Cálculo de primitivas

Al ,pr??oner el cálculo de la integral de una función f, puede ocurrir que exista ulla pnmltlva de f que sea una "función conocida", pero que "no se sepa" hallar bien porqtIe los método~ no, sean los adecuados, o también porque no se sepan aplicar: Esta 1'"lllaClón es de tIpo Instrumental. , Pero lo más corriente es que al proponer el cálculo de f(x) dx no exista como priIIIH'V;1 una "función conocida". Se puede decir que son pocas las funciones que tienen < nlllo pnrmtlvas "funciones conocidas". Así, por ejemplo. las integrales de las tun('''''1<'.' ",r', l/In x, + x', JT+2'senx no tienen como primitivas "funciones co1I()l"¡da~".

":1\1 re

vI

las clases de funciones continuas cuyas primitivas, son "conocidas", están todas

1.", '¡¡('tonales (4), y algunos tipos de irracionales (5), trigonométricas (6) y algunas 1I .""""IHlentes (7).

C~lculo

l.

447

de primitivas

NOTACIÚN DE LEIBNITZ. INTEGRALES INMEDIATAS

\.\. Los métodos que se exponen en este capítulo se refieren exclusivamente a la integración de funciones continuas definidas en intervalos. A continuación se resumen los resultados obtenidos en el capítulo 22. <1) Dada una función f: 1--+· R, una primitiva de f en el intervalo 1, es una flllH:ión F: 1-"" R tal que F'(x) = f(x) para todo x E 1, Si 1 es cerrado se consideran las derivadas laterales de F en los extremos dcl intervalo l.

b} Si la función ddinida

f es continua en 1, una primitiva de f es la integral in-

J:

f(t) dt,

donde a es un punto cualquiera de 1, y x

E

l.

c) Dos primitivas cualesquiera de f en 1 difieren en una constante; es d¡'cir, si F I y F 2 son primitivas de f en 1, existe una constante e tal que es F¡{x)'= Fix)

+ e,

para todo

E

Si f es continua en 1, y a un punto cualquiera de f en 1 son las funciones de la forma

d) di'

x

J: donde a

E

1, Y

e

f(t) dt

l. 1, todas las primitivas

+ e,

es una constante cualquiera.

1.2. Para denotar las primitivas de las funciones se usa frecuentemente la notación de Leibnitz, que es un signo integral, en el que se omiten los lfmites inferior y superior: Si f: 1 --+ R es continua f!n el intervalo l, con

J

¡(x) dx

se designa una cualquiera de las funciones primitivas de f en 1, y se lee "in te¡!,ral de f(x) diferencial de x" o simplemente "integral de f(x)".· Esta notación es cómoda pero como se indicó imprecisa. Esta imprecisión queda prácticamente salvada, cuando se define la igualdad de integrales y funciones de la siguiente forma: Dadas f: 1--+ R continua y F: [-. R derivable, se definen

J

f(x) dx

y F

450

Cálculo de primitivas

f

f(x) dx =

2.4.

f (g(x) + h(x)} dx = f g(x) dx + f h(x) dx.

451

C6fcufo de primitivas

nuas en 1. Entonces es

El

Proposición: Sea f:l 1 "--*'R una función continua en el intervalo J"

'1': 12 ,-¡.. R

una función estrictamente monótona con derivada continua en l¡, con '1'(12) = 11, Entonces es

(Integración por descomposición).

f

Demastración: La de,rivada del segundo miembro, como suma de funcio-

nes es

lf f(rp(t»

f(x) dx =

'P'(t) dt],~9-llxl'

(lntegración por cambia de variable.)

(f g(x) dx + J h(x) dxY = (f g:(x) dx)' + (f h(x) dx)' luego el segundo miembro es una primitiva de f.

= g(x) + h(x) = {(x),

En la tabla de integrales se ha escrito

Ejemplas.

J

Xl

~ ci

2~

=

Demostración: Como rp es estrictamente monótona y continua exísk L¡ función inversa
In

I ; + : I + e.

La comprobación directa de esta fórmula es inmediata. Derivando el segundo miembro se obtiene el integrando del primero. También es fácil obtener 1;1 fórmula por el método de descomposición. Se tiene

q,'(t)Jt=~-J(J>

• [rp-l(X)]'.

La derivada en el segundo factor se calcula por la regla de la derivad,¡ d,' la función inversa: [rp-l(X)]'

= [ rp'~t) ] t=~-llxl'

En consecuencia, la derivada del segundo miembro coincide con En la tabla de integrales inmediatas se ha escrito

{(x),

EjemplO'.

luego

I

x2 :

ci2

=

2~ (J x ~ a -

. f

J

x dx a ) =

2: (ln Ix -,- al- In Ix - al)

+ C.

2.3. Proposición: Sean u: 1 -+ R Y v: 1 -+ R das funciones derivables en el intervalo 1, con derivadas continuas en l. Entances es

.r u(x) v'(x} dx = u(x) v(x) - .r u'(x) ver) dx.

J

tgXdX=

luego

Ejemplo.

(J u(x) v'(x) dx)'

Se supone que p(x) es un polinomio de grado n, y se tiene f p(x) e'" dx = p(x) eX -

f pues plnl{x) es constante.

p(nl(x} e'" dx

2.5.

= p(n)(x) e'",

+ e. "11

tgx dx

= -In icosxl + e.

Un caso particular del método del cambio de variable es la siguiellll'

Proposición: Sea {: 1-+ R una función continua estrictamente y positiva en el intervalo 1. Entances se tiene

fp'(x) e'" dx,

obtenida hacien,do u(x) = p(x) y v(x) = e"'. Repitiendo n Veces el método de integración por partes se llega a una integral de la fOrma

-In Icos xl

J~dX=J~=-lnjtl + e, cos x t

f

Demastración: La derivada del segundo miembro es u'(x) v(x) = u(x} . v'(x) =

=::

Este resultado se obtiene haciendo el cambio variable cos x = 1, vúlido el intervalo [O, :'7] en el que la función es estrictamente monótona. Se tiene

(Integración por partes).

[u(x) • v(x)]' -

tg x dx

J

t,'(X) dx (x)

=::

In 1{(x)1

111011 iÍl O//(I

+ e,

Demostración: Basta hacer el cambio de variable t = ((x), y aplicar la fúr'

mula general. Observación. Es la proposición referente a la integración por cambio de variable, se ha supuesto que la función de cambia rp es estrictamente monó(o,

452

Cálculo de primitivas

na. Esta condición nO' es necesaria, y es fácil comprobar que se puede sustituir por la de ser estrictamente monótona a trozos; es decir, se supone que cp: 12 ~> R es una función con derivada continua tal que su inte.rvalo de definición 1) se pucde descomponer en un número finito de subintervalos en cada uno de los cuales cp verifica la condición de estricta monotonía.

453

CAlculo de primitivas

de donde

n+1 3"+1 (s) = - ~-- 3" (s)

a

jo (s)

Partiendo de

= .ff" -1 , esta relación de recurrencia permite cala

l'ular J n (s) para todo n

3.

2.

FÓRMULAS RECURRENTES

3. l. Frecuentemente ninguno de los métodos elementales expuestos permite calcular directamente una integral, sino que se han de emplear sucesivamente varios de ellos, y en general lo que se persigue es reducir el cálculo de lIt1el integral al de otra más sencilla. 3.2. Fórmulas recurrentes con un pará11letm entero y positivO'. Una siIlIaeión en la que a veces se puede aplicar el método recurrente se presenta ('11 el cálculo de integrales de las formas

J:

[(x, n) dx

J

o

dundc n es un entero positivo no precisado inicialmente. La función que se integra depende de la variable x, que pertenece a un intervalo y de la variable n que pertenece al conjunto de los enteros positivos. La integración respecto de :r da lugar a un número, o a una función que dependerá de n. Escribiendo 3"

=

J:

t(x, n) dx

o

3"

=

f

Integrales de Wallis. Cálculo de

J

"

3

"+1

=

T sen" x sen x dx o

dc donde, para

= n

• 1l+1

J~ o

-

sen,,-I x cos 2 x 'dx = n •

J~(sen"-l o

2

Jo~

n sen"

I

x cos.'

x - sen"- 1 x) dx

=

Integrando por partes se tiene:

con

a -=.F O Y n

' J O

(n

€

;:)"_1

.

n = ---- --- J n n + 1

Partiendo de 2

según la paridad de

=

J~

1•

sen x dx = 1,

o

resulta:

17

1 . 3 . 5 ... (2p

~

1)

Jl

--

2

2·4·6 ... 2p

e

J

2p 1

+

=

2·4 ... 2p 1 . 3 . 5 .,. (2p +

1)

Observación. De los resultados anteriores resulta la fórmula d~ W¡¡//¡.I. Como la sucesión {3"} de términos positivos es decreciente, se tlcm'll I.I~

Z+.

ea'"

+ l)xn--dx, a

tlx

:\" ,)

n (;1"

desigualdades x" ea'" dx,

X

La fórmula recurrente es

Jl

Cálculo de

Jo +

cos x sen" x

30 = - - - e JI

fórmula recurrente, Un método muy usado para obtener fórmulas recurrentes es la integración por partes.

J:

l~

=

n?: 1, se tiene

t(x, n} dx,

la fórmula recurrente es una relación de 3" con una o varias integrales 3"" con

3.(s) =

Jo; sen"xdx.

Haciendo u = sen" x y v = - cos x, se integra por partes:

,,' < n. A cada una de estas integrales se le puede volver a aplicar la misma

EjemplO' 1.

Z+.

€

J" =

-~

t(x. n) dx,

+ -a1- S,,+I ff".

lo que prueba que lim

JiP+ I/J Z•

= 1, de donde

[ 2 . 4 . 6 .. ' 2p]2 J 2p+I . r 1 = hm - - - = 1m [l. 3 . r¡ .. ' (2p - 1)]2 ¡l

)--"Y

3 2p

I'

>cn

- -2- - (2p

+ 1) ,,'

454

Cálculo de primitiva"

y en consecuencia

• • r::::- l· 3 . 5 ... (2p ~ 1) ]1m 'Vp ¡--'Xl 2 . 4 . 6 .. , 2p

1

= __

Cálculo de p(x) dx

[q(x)]"

La mtegracI ' 'ó n respec t o de x da lugar a un n. úmero, o a una función que dependerá de m y n, y se escribirá

:3 (m, n) =

<;1.

Como las raíces de q SOn simples, los polinomios q y q' son primos entre y por tanto existen dos polinomios h y k tales que qh

J

p(x) dx [q(x)]"

=

p{x) h(x) dx [q(X)]"-l

+

:3 (m, n) =

J

p(x) . k(x) • cf(x) [q(x)]" dx

p(x) k(x) q'(x) dx = _1 __ p(x) k(~~ [q(x)]" 1 - n [q(x}]" 1

J

+

f

, 1 1(lnej e r es un po1" momlO, precIsamente r = - __ (p • ky.

l-n Reunidos estos resultados, se obtiene una fórmula que expresa integrales Ik fracciones cuyo denominador es la potencia n-ésima de q, po.r medio de L'xpresiones en las que intervienen integrales de fracciones cuyos denominadores son potencias (n -1}-ésimas de q. En realidad no se trata de una fórmu la recurrente, en el sentido definido, sino de una fórmula de reducción.

3.3. Fórmulas recurrentes con varios parámetrcs enteros. En el caso de dos parámetros estas fórmulas se aplican a integrales de las formas o

J

J sen'" x cos

;) (m, n) =

J

f(x, m, n) dx.

n

con

x dx,

m y n enteros.

J sen

m 1 - x

Ccosn X sen x) dx

f(x,

fr.,

n) dx

en las que m y n son enteros. La función que se integra depende de las tres variables X, m y n. La x pertenece a un intervalo y las m y n son enteras. En este caso no se impone l;¡ restricción de que sean positivas.

y

v(x)

CO'S,,+l x

= - --;+1

o v'(x)

= cos

n

X

sen x,

y se tiene

J(m, n)

n m-l x . COS"+l x e .

S

=

n+l

m -- 1 + ___ f n+1

Een n - 2x cosn+ 2X dx,

o sea

r(x) dx [q(X}]H

1

f(x, m, n) dx

=

Se puede aplica.r la integración por partes escribiendo

u(x) = senm-l x

Integrando la segunda por partes, suponiendo n> 1, resulta

J:

J (m, n)

y haciendo

+ q'k = 1.

J

o

(x, m, n) dx

Ejemplos: 1. Fórmulas recurrentes para la integral

múltiples.

Entonces se tiene

J: t

En este caso una fórmula recurrente es una relación de ;) (m, n) con una o varias integral~s ;) (mi, ni), en las que mi y n' son más próximas a O que 11/ y n, sin excluir el caso de que m o n no varíe.

dO/lde n es un entero positivo, p un polinomio cualquiera y q un polinomio sin "l,íl'CS

455

de primitivas

.¡;;-

3. No siempre se obtienen las fórmulas recu~rentes por integración por pa rtes. También se emplean con éxito propiedades algébricas.

J

C~/culo

J (m n) = ..'

m --/1 n+l

senm - 1 x cosn + 1 X n+1

+--J

(m ~ 2, n

+ 2),

(o)

que será una fórmula útil si m es positivo y n es negativo. . Repitiendo el cálculo, pero separando un factor cos x, se obtIene análogamente la fórmula senm +1 x COS"-l x m +1 ~

J (m, n) =

n~1

+ m' + 1 J (m + 2,

n-

2),

(P)

,, que será útil si m es negativo y n positivo. Si m y n tienen el mismo signo, las fórmulas (a) y (P) no son de utJhdad, pero a partir de ellas se obtienen otras en las que sólo varía uno de los exponentes m o n. Si en la integral del segundo miembro de (a) se sustituye un factor cos 2 x por 1 - sen 2 x, la integral se descompone en dos, una de las cuales coincide con la del primer miembro:

:3 (

m,n

) = _sen

m 1 -

x cos n+l

n 1

+ X

+ m- 1 f n+l

sen m - 2 x cosn x (1 _ sen 2 x) dx =

=_senm-Ixcosntlx+ m-l (J(m-2, n)-:3(m,n», n+l n+l

456

Cálculo de primitivas

y despejando J (m, n), se obtiene finalmente

J(m, n)

senm-I x COS,,+I x

=

que integradas dan lugar a las siguientes relaciones

m-1 m+n

,- + -~- J

m+n

(m- 2, n),

(a

1

sen + x cos -1 X n- 1 = -.------+ - - J (m, n m

n

m+n

m+n

11

2)

senm+1 x cos n I1X

m+ 1

m + n + 2 +---J

m+ 1

y

senrn + 1 x cos n+1 X

J Cm, n) = -~--;;-+T--

+

m

+n+2

n

+1

(m

+ 2,

(m

(a

a (lJ (m, n) = -

n)

(J")

+

=

bxym+1 xn-l m

(a

a(lJ(m, n)

+

+

1

+ bxyn+l xn+1 n + 1

J (m, n

+ 2)

[(a

+

+ bX)"'+l xnfly =

+

(n

1) C8 (m

+

1, n). (/JI,

+ m + n + 2 (lJ (m + m + ] h m

+ n + 2 (}J (m,

n+ 1

n

1, 11),

+

1).

Estas fórmulas son útiles cuando m o n son negativos, respl'div;III1l'IJI{- '"

dl'~Ill'I"Il!I"

las integrales de los segundos miembros. Efectuando estas tranSfOr!l1dl"IIlIl\'" \ sustituyendo en los resultados m por m-l, y n por n-I, sc obtl<'lll'lJ 1''',

n)=

(J').

(lJ (m, C8 (m, n) =

4.

+ bx)mxn+l + +n +1 Ca + bx)m+l x" In + n + 1

(a

In

+n+

n)

1

an

_ _---(}J(m,n-l). 111

+ 17 + 1

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 4.1.

Una función racional está definida por el cociente de dos polinotlllw,

con coeficientes reales q(x) ,

+ bxr xndx

+ bx)m xn + b (a + bxr X"+I, Cm + 1) b(a + bx)m xn+ 1 + (n + 1) (a + bxr+' x

C8(m-l,

am

m

p(x)

en la que no se impone ninguna restricción a los exponentes numéricos reales. Estas integrales se denominan binomias, y en general no existen métodos elementales para su cálculo. Las fórmulas que se buscan reducen el cálculo de (lJ{m, n) al de .otras integrales de la misma forma, en las que los exponentes m y n están aumentados o disminuidos en tantas unidades como se desee. Se parte de las dos identidades bx) (a

+

ilion son positivos conviene usarlas en sentido inverso; es decir,

Fórmulas recurrentes para la integral

Ca +

1)

pcctivamente

Observación. Las fórmulas obtenidas son también útiles cuando m o n o los dos no son enteros, y constituyen unas fórmulas de reducción, ya que permiten pasar de las¡ integrales dadas a otras en las que los exponentes de los senos y cosenos están comprendidos entre O y 2 (o entre -1 y + 1).

(lJ(m, n) = J(a

+

1) b (lJ (m, n

Entre estas dos ecuaciones se puede eliminar (8 (m + 1, n), o biCI! '/: 1), Y despejando después (}J (m, n) se obtienen las dos fórmula~:

En las fórmulas anteriores, son m y n enteros, y por aplicación reiterada de las mismas se llega a integrales en los que los senos y cosenos aparecen elevados al cuadrado, a 10 más, y cuyo cálculo es inmediato.

2.

+ bx)m+1 x" +1 =

+

'

que será útil si n es positivo mayor o igual que 2. Si m o n son negativos, puede convenir usar las fórmulas ()') y (,1) en sentido inverso; es decir, despejando las integrales de los segundos miembros. Efectuando estas transformaciones y sustituyendo en los resultados m por m + 2 y n por n + 2 respectivamente, se obtienen

J (m, n) = - - - - - - - -

(lJ(rn+l, n)=aC8(m, n)+bC8(m, n+l)

( ;,)

que se,rá útil si m es positivo mayor 01 igual que 2. Operando de forma análoga con la fórmula ((i) se obtiene

J (m, n)

Cálculo de primitivas

bx)m x" = a (a

n

,

para todos los valores de x que 110 anulen el denominador. Si e1 gra d o d e1 numera d or es m ayor o- }·gual que el del denominador, división resulta p(x) = c(x) +

r(:.L,

q(x)

q(x)

en donde el grado de r(x) es menor que el de q(x). Al calcular p(x) dx,

f

q(x)

1'01'

458

Cálculo de primitiva~

primero se integrará el polinomio c(x) resultado !:le la división, y quedará como problema la integración de una función racional cuya numerador tiene grado menor que el denaminador, cosa que se supondrá en lo sucesivo, 4.2. La técnica de la integración de una función racional consiste en descomponer, por métodos algébricos, la fracción dada en otras simples, cuya" integrales son inmediatas o reducibles o inmediatas por medio de fórmulas recurrentes.

459

C_'c/llo de primitivas

Para el cálculo de In se emplea una fórmula recu.rrente, que se obtiene de forma:

111 si~uiente

In = t'

J

Mx+N ay +

(x -

A (x -

con

a)"

J

a¡,

M

ex -

a)2

+ f/2 = ~2-'

f(

A )" dx=_ x-a' (n -

a)2

+

f

M

= -2 In {x -

Mx+N a)2

+ ,82]" =

1) (x -

a)n-I'

1 f/2

+

(M a

+ N)

(x _ a)2

a)2

+

Mx [(x -

+N + ,82]"

ay

d X=

Ma + N x- a ¡1'2} -1- - - - are tg _' f/ ,¡\'

_-o

M 2(x-a) Ma+N -2- [(x ~ a)2 + fllY+ [(x _ a)2 + ,B2]n'

M - 2 (n -1)[(x -

ai 1- p2]"_1

siendo

In

=

f

dz (Z2

+

1)"

y

X-a z=-__ ¡\'

•

+

Ma

Ejemplo.

.r

a

+ ¡\'2'

de donde

f

l)n

. zdz = _

n-l

J

Z2

(Z2

+

• dz

1)"

'

--Z_2~dZ = (Z2

+

1)"

z

-2-(n---l)-(:-'z:-z-+""'1:-:-)-n-7 ¡

z

-~--:-:-:;--:;--:---;--;-:

2 (n -1)(z2 II

La integración de la cuarta fracción simple Sf! consigue con una fórmula recurrente después de una integración por descolhposición. Se tiene [(x -

+

A:

y la integral del primer sumando es manifiestao,ente un logaritmo, mientras que la del segundo un arco tangente, y así resulta

Mx + N ----=-~-:(x-ay + j)2 dx

dz = I

+ 2 (n 1-

1)

1 1I-J,

+ 1)"

2n-3

+ 2 (n-l ) I n-1 ,

1

siendo

2(x-a)

ex -

2z

In =

Para integrar la tercera fracción simple, se emplea el método de ~. descomposición

Mx +N

(Z2

n> 1.

con

De manera inmediata se obtiene dx = A . In Ix f~ x-a

Z2

+ 1)"

obteniéndose la fórmula final

+ ¡\'2Jn

a)2

-l-f 2

n> 1,

Mx+N [(x -

f/2'

(Z2

integrando este último término por partes, resulta

Las fracciones simples, son las de los cuatro tipos siguientes:

A ---, x-a

J

+1 d + 1)" z -

Z2

(Z2

+N

,82n-1

:XbX2

=

X-a

arc tg z = arc tg --f.-'

Se tien¡!

=

Va~

arc'tg

(l~x ) + e,

si a y b tienen el mismo sigilO,

= ___ 1 __ .1n x,.¡-=r¡+~ 2 •.r~ b~ a

xv

+ e,

si a>O

y b
4.3.· Suponiendo que el grado del numerador es menor que el del denominador en la fracción p(x) q(x)

lo que se expresa en forma breve, diciendo que es, una f~acción "propia", la forma de la descomposición de la fracción en fraCCiOnes SImples, depende ~x­ clusivamente de la clase de raíces que tiene la ecuación q(x) = 0, obtenJ(L! anulando el denominador de la fracción. Se pueden considerar los cuatro casos siguientes: a)

Las raíces de q(x) = O son todas reales y distintas.

b)

Las raíces de q(x) múltiples.

c)

Las raíces de q(x) = distintas.

d)

Las raíces de q(x) = O no son todas reales, pero alguna o algunas complejas son múltiples.

In>

=

son O son to das rea1es Pe ro alguna o all!unas ~

°

;-]0

son todas reales, pero las complejas son

460

Cálculo de primitivas

La integración de plq se efectúa con las fórmulas obtenidas en (4.2),

Si la ecuación q(x) = O es de grado n y tiene r¡ raíces iguales a a¡, r2 raíces n, en virtud iguales a a2,'" Y r N raíces iguales a amI con r¡ + rz + o.. + r m del principio de descomposición factorial es

=

q(x) = ao (x -

a2)"

a¡)'1 (x -

oo. (x -

J

p{x)

amY"',

Ejemplo.

donde aú es el coeficiente del términO' de grado n-ésimO' en q. Para simplificar \,1 escritura se supondrá Clo 1 (en todo caso el factor l/ao puede salir fuera (h-I signo integral). Como los coeficientes de q(x) son reales, si al a + i¡J es una raíz compleja de q(x) = O, también es .raÍz la conjugada a2 = a - ¡¡J, y ambas tienen el mismo orden de multiplicidad, es decir, r¡ = r2' Por tanto, las raíces complejas de q(x) = O se presentan "a pares", cada una junto con su conjugada; y en la descomposición factorial de q(x), para el producto de los factores correspondientes a raíces conjugadas, se tiene:

411\

Cl4lcufo de primitivas

q(x)

"J

= i~¡

dx

[x -

(a

+ i¡J)]'1 [x -

(a -

i¡J»)'1

=

[(x -

a -

i¡J)(x -

a

+ i¡J)yl =

A, n -a; dx = i~¡ A j In

Ix - a;1 + C.

Calcular

x2-x+4 -------dx.

J

=

=

X

1) (x

(Xl -

+ 2) = -~ 1,

Las raíces del denominador son a¡ a2 = 1 Y a3 la descomposición en fracciones simples tiene la forma x1 - x

p(x)

-q(x)

+4

(x+l)(x--l)(x+2)

Al x-\-1

=-

A2

2; por lo 'i u,

o

A3 x+2

=--+--+---. x-l

El método más rápido para calcular A¡, es multiplicar los dos micmbro~ d!' la igualdad por x -\- 1, Y hacer x = -1 en el resultado; es decir, de

= [(x - a)Z -\- Pl'l 1;1

C:omo consecuencia de estos resultados se obtiene la forma más general de descomposición factorial del polinomio q(x): q(x)

= (x -

al)"1 ... {x - ahY- [(x -

al)~

+ .8;]81.

o'

[(x -

ak)2

haciendo x = - 1, resulta

+ .8~].I,

1

1-1

+4

...:.:..--~-

2· :)

Este caso se presenta cuando es r¡ = .oo = rh = 1 Y s, La descomposición factorial del polinomio será:

= (x -

al) (x -

a2)

.oo (x -

= oo,

2

x-al

(-1)(- 3) -

J.

10 o sea A 3 =--. 3

La integral buscada será an );

= ~ + ~ -\- ... +~. x-al

o sea Al = - 3.

= A z• o sea A Z =-3-'

4+2+4 -A

= Sk = O.

y en este caso la descomposición de plq en fracciones simples, tiene la forma

p{x) q(x)

,

y

Caso de raíces reales y distintas.

q(x)

= Al

Igualmente se obtienen

neral.

4.4.

+1+4

(-2)(+ 1)

siendo al .. ' ah las raíces reales de multiplicidades r¡, .oo, rh respectivamente, y "1 + ifil' a¡ i¡JI; oo.; ak + iflk' ak - i¡J'I; los pares de raíces conjugadas de multiplicidades S¡, oo., s" respectivamente, con rl +.oo + rh + 2 (s, +.oo + Sk) = n. Los cuatro casos antes considerados, son casos particulares de este ge-

x-a"

Esta descomposición es única. Los numeradores se pueden determinar por el método de los coeficientes indeterminados. Otros métodos más rápidos se basan en el principio de identidad de polinomios o en desarrollos de tipo funcional.

r

.

xl-x

+4

-:-:--:-:-:---::,dx

(X2 -

1) (x

+

2)

2

10

11 + ~ln Ix-11 + -3I n Ix + 21 + C. 3

= - 31n Ix +

Observación. Para calcular los numeradores de las fracciones simples, dan las siguientes fórmulas: ~=

p{a¡)

(al -

. a2) .oo (al ... , An =

a n)

,~=

p(a2) (a2 -- al) ... (a2 -

p{a,,) (a n

--

.)'

al) ... (a n -

a,,-l

an )

,

Sto

462

Cálculo de primitivas

o sea

y también A -

peal) A _ q'(a!) ' 2 -

I -

AH = 2,

p(a n) q'(a ) '

p(a2) q'(az) ' ... , An =

n

Este caso se presenta cuando es SI = ... = Sk = O. La descomposición factorial del polinomio será:

.Y

l'n

.

Caso de raíces reales, algunas de las cuales son múltiples.

q(x) = (x -

al)" ... (x -

con

a,,)'",

2.

+ ... + rh =

r¡

=

An al

X -

+

Ah!

-+ x - a"

A l2 (x - al?

A hZ

Ahrh

+ ... + (x -

a/Y

(x ---

Alr! al)"

+ ... + (x -

ah)"

J Hjemplos: 1.

=

~ (J~ dx + ~ X -

.=1

a;

).=2

Aií (x - a,}).

+1

(X-l)4

A

11 =--+ x-l

que multiplicando por (x p(x) = x 3

A 12

(x-l)2

+

dX)

AI3

I4

1)

+ An (x -

1)2

p(x)

-- =

(x-l).l

x3

+ 3x + 2

----~--x 2 (x--l)3

Al! == - - - x---l

=

x 3 +3x

+2=x

2

(AI)

+A

pO)

= 6 = A IJ ; p"(1) = 6 =

A13 = p'(I),

2!

A13

+

(x-1Y'

l2

(x ---1)

+

AII

(x-l)2)

2AlJ

=

2 AIl

+ 4A I2 +

+ A 12 ;

2All

y finalmente

+ An (x -

1)3.

según las. po-

A13

= 6;

A I2 = 6

Y Au

= 9.

Análogamente, escribiendo p(x) A A ,¡,(x) -= ---+ ._--+ ---q(x) '(x--l)l'

_ p'''(l) •

y

A12 (x---l)2

+---- + -------:--

p'(l) = 6

21

A 14 = P(l),

p"O) AI2=---

(x _,1)3


--~.

y'

+ (x-l)3

A partir de esta igualdad, se obtienen A u , A I2 Y A lI , calculando las derivadas sucesivas de los dos miembros y particularizando enx = l. Así se tiene:

A¡4

+1

+ .3x + 2 ·dx.

El último sumando es la suma de las dos últimas fracciones simples de! desarrollo de p!q. Multiplicando los dos miembros de esta expresión porx 2 (x - 1)\ se tiene

+(x-l)4' ---

Se trata, por consiguiente, de desarrollar el polinomio x3 tencias de x - 1. La fórmula de Taylor da directamente

3(x--l)3

+ 3x + 2

X2

1)4 es

+ 1 = A + A IJ (x -

2(x-l)2

No se seguirá el método de los coeficientes indeterminados sino uno de tipo funcional. Se hacE' separadamente el cálculo de los numeradores de las fracciones simples cuyo denominador es una potencia de x - 1. Y el dt, Jos numeradores de ]¡¡s fracciones cuyo denomirladoT es una potenci;¡ de :r, p:1r;j lo cual se escribe

p(x)

(x-l)3

x3

q(x)

La descomposición en fracciones simples tiene la forma

q(x)

Y AII = 1.

La descomposición en fracciones simples tiene la forma

q(x)

Calcular

x3

x-l

J -~=

J p(x)

=3

Calcular

p(x)

+

X3 + 1 (x _1)4 dx.

-~=

A 12

= In Ix-li _ _3 _ _ _ _3_____2_ _ + C.

X3 XZ

.

J

X3 + 1 dx (x-·-1)4

-.

Esta descomposición es única. Los numeradores se pueden determinar por ,., método de lo.s coeficientes indeterminados, o po.r desarrollos de tipo funt'iOIl,d. La integración de pjq se efectúa con las fórmulas de {4.2), p(x) dx q(x)

r

n;

este caso la descomposición de pjq en fracciones simples, tiene la fo.rma p(x) q(x)

A13 = 3,

La integral buscada será

cuya comprobación es inmediata.

4.5.

463

Cálculo de primitivas

X

Au - -3-!-'

LlNés-16

22

X2

464

Cálculo de primitivas

y multiplicando los dos miembros por

p(x)

X2

= xl + 3x + 2 = (x -

(x _1)3, ~ tiene

1)3 (A n

La descomposición en fracciones simples tiene la forma

+ A! x) + x2 7p(X).

p(x)

A partir de esta igualdad se obtienen An Y A 21 calculando la derivada de los dos miembros y particularizando para x = O. A:Í se tiene: pf(O) = 3

P(O) = 2 = - A 22 ; y finalmente A 22

=-

2

Y A z!

=

=-

+N

x+ 1 =~+ (x-+f ++. 3

x

e

+ 1,

Y particularizando después para x = - 1. Así se obtiene A =

+

Multiplicando los dos miembros por

X3 + 3x + 2 -----dx=Xl

Mx

A

Inmediatamente se puede determinar A, multiplicando los miembros por

La integral bu&cada será

•[

1

q(x) =

A z!

3'\22 -

465

Cálculo de primitivas

+ _6_ + _~_ + 91n

3

(x -1);

(x -

1)2

1

X-

Ix-11 [xl

x

Xl

+ 1=

+r +] =

+ ]) [ ( x -

(x

+

(x -

1) (x 2 -

+ 1),

X

se tiene

'1.6. Caso de raíces no todas reales, siendo disffltas las complejas. Esle caso se presenta cuando es SI = ... = Sk =1. La descomposición factorial del polinomio será: q(x) = (x -

al)' ... {x -

... [(x -

+ tí!],

ah)Z

alJ'h [(x -

con r1

a

2+

+ ... + rh t

1

1 = -3-(x 2 - x

e identificando coeficientes

fíD ...

1 =++N, 0 = - + +M

2k = n,

y en este caso la descomposición de p/q en fraccÍlnes simples tiene la forma

(AH

p(x) '~ A i2 ~=L ~--+ q(x) '=1 x-a. (x-a,f

+

M 1x (x -

+ ...

A'r¡ ) -1 (x-a,;,'

+

r

k

Esta descomposición es única. Los numeradores se pueden calcular por el método de los coeficientes indeterminados, o por ~étodos análogos a los de los casos anteriores. La integración de pjq se efectú con las fórmulas de (4.2)

J + ( J

i: (J'~dx + ~ J'-¡¡~dX) + a, (x -

p(x) dx = q(x)

MI X

X-al

E;emplos.

+ NI + {J¡2

)2

Calcular

h~2

X -

b!

dx

+ ... +

J

=

+1=

M~ x

+ VI,

d

(X-ah . )zl-tízk X+

e

de donde M

f xdx+

+ 1 = -3-'

+

f (x - + ++ +

1 --In Ix 3

1

1 -3-

r

-x

6

3

+1

O tiene como raíces a¡ =- 1, az =

1

.y'3 .

-2 + -2- l,

N=-}-.

dx =

2

1 .ff + 11---ln Ix2-x + 11 + --arctg

y

2x-l .•

tJ3

La dete.rminaciÓn de M y N, en el caso en el que las raíces complejas son simples se puede hacer por los mismos métodos que en el primer caso, operando con números complejos. Operando con las raíces complejas como se hizo con las reales en el caso de raíces simples, la descomposición de pjq tendrá la forma

~.

x3

La ecuaClOn x 3 1 v'f a3 -2---2- i.

f

aj)

1

dx

Xi

=-+

+N,

La integral buscada será:

.

+ NI Mkxl- N k + ... + ----~--2-· + 11; (x - a, + Ji

a¡)2

+ 1) + (Mx + N)(x + 1),

A!

~

x+l

A

2 + ~-----==-+

1

tJ3.

2

2

x------l

1 2

-vT . '

x---+--t 2

4ó6

Cálculo de primitivas

467

Cálculo de primitivas

y se tiene

~(

+ ,,=1 .... -

Mil' 2 (,., -1) [(x - éliY

Mil' ai

+ fill"-l +

+ Ni"

fi4H

)

)1

l~ ¡

.)

+ C.

Esta fórmula tiene un interés práctico escaso, y el teórico radica en el hecho de que la primitiva de una función racional cualquiera se expresa como suma de funciones racionales, logarítmicas y arco tangentes. Ejercicio. Calcular

A3

1 q'(a¡)

= _._-- =

1 ~---- = 2 (3x )x=a,

f

1'1 cálculo de A¡ se puede evitar, pues los numeradores que corresponden a

+ 1)(x2 + X + 1Y'

El denominador ya se presenta factorizado, y la descomposición en fracciones simples tiene la forma:

1 .lllT~

conjugadas son complejos conjugados. Agrupando ahora las fracciones simples que se ,refieren a raíces conjuga-

d.I';,

dx x(x

p(x) q(x) = x (x

es

+

+

1

l)(x 2 +

MI! X X2

+

+

X

=~+~+ 1)2

X

+ NI!

M I2 X

X

(x2

+1 +

X

+1

+ N 12 + X + 1)2 .

Los numeradores A¡ y A 2 se obtienen inmediatamente, pues son raíces simples, las de los términos correspondientes: "II! l'llléndose la

.I.~".

descomposición primera.

A =

Caso de raíces no todas reales, y algunas múltiples complejas.

. La .desc~mposicjón factori~l ?el polinomio q(x) tiene la forma general (4.3), y t n ~ste caso la descomposlclOn de p/q en fracciones simples es

_E~x2 = q(X)

+

i

(~ + ~a,

x

'=1

A i2 (x -

+

+

_

ai)2

'"

Ai'j ) a;)'i

(x -

+

±((x_ ~~x~.=tNi! + Mnx + N + +_ Mi'i 2 .!!ló - él¡)2 + f3; [(x - él;)2 + fi2]2 ... [(x -- aY + ¡¡2j'¡ j2

J _)

1=1

)

J

J.

Esta descomposici~~ es ú~ica. Los numeradores se pueden determinar por el ll1etodo de 1.os coefIcientes mdeterminados. Existen otros métodos pero siempre ~uy labonosos. La integración de p/q se efectúa con las fórmulas de {4.2), obtcl1léndose como resultado final la complicada expresión siguiente:

J o

p(x)

-(-) dx qx

h

=2: '~i

(

A i ¡ In

Mil + L"\.~ I() --In [{x 2 i =1

1

él,y

A,

Ix - a;1- ),=2 2: -.~---'.':..._) + A-1 (x - a,)'-I Ti

+ fi2J, + J

M

il

a j

+ N ;1

flj

x

- a; arc tg ---ji;

+

1

1 [(x

+ 1) (x 2 + X + 1)21x=o

=1' '

También se obtiene fácilmente el numerador del último términO'. Multiplicando los dos miembros por (Xl + X + 1)2 Y particularizando en el resultado x = PI Y x = Pl' donde PI y P2 son las raíces de la ecuación Xl + X + + 1 = O, se tiene: 1 PI{PI

+ 1) =

M l2 Pl

+ N 12

1

Y

de donde resulta Mil = O Y N 12 = -1. Finalmente multiplicando los dos miembros por q(x) x ex + 1) (Xl se tiene 1 = (x + 1) (Xl + X + 1)1 - X (Xl +x + 1)2 +

=

+ x (x + 1)

(x"

+ x + 1)

(Mil

X

+ X + 1)"

+ N n ) + x (x + 1),

y anulando los coeficientes de los términos de mayor grado, resultan las condiciones 1 - 1 + M ll = O Y 3 -- 2 + 2 Mil + N 11 = 0, de donde MJl = O Y N ll =-1.

468

Cálculo de primitiVas

469

Cálculo de primitfvas

se tendría Después de la descomposición en fracciones simples, se tiene, pues, (

J

dx x(x +1)(x2 + x

J

y

dx

+

X2

X

+

J'dX JdX - x - - ~+T

1)2 =

+ 1-

J

(x 2

+

dx X

+

dx

J

X

+

+ 1)~'

Ix + 11-- -3-

100

.vr + c.

--9~

'I.R.

2

.

1)2 = In lxi-In

arctg

2x+l Xl

+

X

+1

2x+l

MétodO' de Hermite para la integraci6n de funciones racionales.

1':11 el caso de raíces complejas múltiples el laboriosísimo método expuesto de poca utilidad. Se observa además que al aplicar esta técnica, en la príIlll'l'a parte se descompone la fracción dada en otras más sencillas, y en la sq.:llnda parte, realizada la integración, se reúnen las partes integradas, qued;llldo el resultado reducido a tres partes, una racional, otra IO'garítmica y una tercera de funciones arco tangentes (que en el campo cO'mplejO' se puede expn'sar igualmente pOlr medio de logaritmos). El método que se expone evita una parte de los cálculos de descomposición citados, y permite encontrar directamente la parte racional del resultado de la in~egración, que se completa con el cálculo de la integral de una funCiÓn raCIOnal cuyo denominador sólo tiene raíces simples. Para esta integral los métodos indicados en el primer caso (4.4) son sencillos y rápidos. El método de Hermite se basa en la siguiente propiedad: ('S

Proposición: Sea una función f que en un intervalo 1 tiene primitiva. Si ~sta

J

c(x) d(x)

+

J

u(x) v(x)

dx,

con

lil que las funciones cId y u/v son fracciones propias, y la ecuación v{x) = O llene todas sus raíces simples; entonc~s la descomposición es única. Demostración: Si existieran dos descomposiciones de las características • indicadas:

r

fex) dx =

c(x). d(x)

+

J-

u(x) v(x)

dx

e

J

f{x) dx =

CI

(x)

di (x)

+

u¡ (x)

= ~-

u(x) v(x)

simples con denominadores de primer grado en x, mientras que el primer miembro, como derivada de una suma de fracciones simples, contendrá fracciones simples con denominadores de grado superior al primero en .x. Como es única la descomposición de una fracción en simples, resulta que se han de anular los dos miembros de la igualdad anterior, luego u¡ (x) VI (x)

=

u(x) v(x)

J

UI

(x) dx,

V¡

(x)

c(x) = d(x)

y

(x) (+ constante). dI (x)

CI

Observación. La función f que tiene la propiedad indicada en la proposición, ha de ser racional, pues derivando resulta f(x)

= (-

c(x) )' d(x)'

+

u(x) v(x)-'

que manifiestamente es racional. Proposición: Sea una función racional definida por la fracción propia p(x) ~;

entonces toda primitiva, admite una descomposición única de la forma

J

x el,

e~

.

dI (x)

y de ~ -~. El segundo miembro será igual a una suma de fracciones VI v

primitiva admite una descomposición de la forma f{x) dx =

el

d(x) -

para todo valor de x que no anule los denominadores de las fracciones. Al sustituir cada una de las fracciones de la igualdad anterior por su descomposición en fracciones simples, y después de la simplificación si es necee Cl sario, se obtienen las descomposiciones en fracciones simples de T--d---;-

aplicando las fórmulas de (4.2) queda

-~ + 1) (Xl +

(X»)'

c(x)

p(x) q(x)

dx

=

en la que son propias las fracciones todas sus raíces simples.

c(x) d(x)

+

J u(x) ~ dx v(x)

+ +, Y

y la ecuación v(x)

= O tiene

Demostración: En el examen de la fórmula de integración correspondiente al caso gene.ral (4.7) se reconocen las tres partes mencionadas. Una racional que se obtiene como suma de fracciones propias cuyos denominadores son potencias de x - a" con exponentes menores o iguales que r, - 1 en el caso de las raíces reales, y de exponentes menores iguales que s, - 1 en el caso de

°

470

Gálculo de primitivas

raíces complejas. La suma de todas las fracclones es otra cuyo denominddor es

I;IS

d(x) = (x -

alYl- 1 .. , (x -

ahY·- 1 [x -

+ p~rl-I ... [(x -

al)2

ak)~

+ pi)" -].

descompuesta en fracciones simples: (x

y

(x -

+

(1)2

= (x -

al) ... (x -

ah) [{x -

al)2

p(x)

dx =

q(x)

+ Pi] ' .. [(x +

c(x)

di x)

J

+ c] +2

2x

X2 -

2x

(x

+ 2) (x

+ 104 -

2x

-

ak)2

+ pil.

u(xL dx. v(x)

1.;1 unicidad de esta descomposición de Hermite queda probada en la pro-

' )

+

A

~

x

2 el x

COX2 - -

+ 2)2

(x

+2

Mx + N + ,-------, X2 2x + 2

'

2x

-

+ 2 eo + 2 el + 2)2

Mx+N

A

En consecuencia, la fórmula de integración (4.7) se puede escribir

J

(ca x -

--------------~-=-----------------~+ 2 2

fJl

l!'spectivamente. La suma de todas estas fracciones simples, es una fracción propi:1 de denominador v(x)

2x + 104 + 2) (x 2 - 2x + 2)2

Y efectuando la derivación

Las partes logarítmicas y arco tangentes proceden de la integración de fI';ll'l'iones de las formas Mx+N A

x-a

471

Gálculo de primitivas

+-~+-----. x 2 X2- 2x 2

+

+ + 2) (x 2 -

Multiplicando los dos miembros por (x 2x + 2)2. efectuando operaciones e identificando los coeficientes de las mismas potencias de x, se obtiene el sistema: A=l A +M=O M=-I -4A + N-co= O 8A - 2M -- 2co - 2c, = O de donde N = 20 - 8A + 4M - 2N + 2eo -- 2c, = 2 Co = ltí CI =-11 4A + 4N + 4co + 4CI = 104

1" )';ic i{lO anterior.

La integral se calcula definitivamente:

O!Jservación. Como toda raíz múltiple de una ecuación polinómica q(x) = O ''s raíz de la ecuación derivada q'(x) = O, resulta que v{x) y d(x) se pueden d!'terminar directamente a partir de q(x) por operaciones racionales, pues es d(x)

= m.c.d. (g(x), q'(x»

y

v(x) =

16x-ll = X2+ ¡n 'Ix + 21. 2x + 2

q(x) d(x) .

njemplo. - Calcular

5.

J

(x

I.;IS

d(lhll'~.

2x

+

+

2) (x 2 -

104 2x

+

2)1

+ 2) (x 2 - 2x +

2)2

= (x + 2) [(x -

= 1+i 1i +

Y

(1-

i;i = 1- i

1]2.

La descomposición de Hermite es de la forma

2x+104 (x +- 2) (x 2 - 2x + 2)2

+ 1] +

19 are tg (x -1)

+ C.

INTEGRACIÓN DE ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES IRRACIONALES

dx.

raíces del denominador son a = - 2, (1 + i IJ El denominador también se puede escribir (x

1 ln [(x -1)2 2

-~

(cox+C¡)' uox 2 +u¡x+uz = X2 - 2x + 2 + (x + 2) (x 2 - 2x + 2)

.

Antes de operar para calcular los coeficientes de los nume,radores por el método de los coeficientes indeterminados, conviene escribir la última fracción

5.1. Cuatro son los tipos de funciones que se consideran y cuya integración se consigue por métodos elementales. Para distinguirlos se les han dado las siguientes denominaciones: integrales de irracionales bilineales, integrales de irracionales cuadráticos, integrales de irracionales binómicos e integrales sobre curvas unicursales. En general el cálculo de una de estas integrales se considerará superado, cuando quede reducido a la integración de una función racional, a la que se le podrán aplicar las técnicas estudiadas en el apartado anterior.

5.2.

Integrales irracionales bilineales Proposición: Sean: R (x,

Xl,

r¡, ... , rh números racionales; y

' __ , Xh)

ax )'x

una función racional de x, x¡, ... ,

+p +á

una función bilineal, con

i'

Xh;

y ó no

472

Cálculo de primitivas

2.

simultáneamente nulos. Entonces el cálculo de la integral

I

R

[x, ( ax ~ oP )"1, ... , ( ax ++ ¡J )'X

)'X

1)

)"h]

ruede reducir al de una integral de una función racional.

1"

Ikmostración: Sea m el mínimo común múltiplo de los denominadores de ... , r,.. y t una nueva variable definida por

J

El cambio de variable adecuado es x --1 = t 2, y así resulta

J

x3dx v'X=T

['·.m, •.. ,

t rhln ]

tp~(t)

dI.

"11 1.1 que la función que se integra es racional, pues lo es
(i/!wn)(1óón: En cada caso, se habrán de analizar los dominios de las va1I,i!,],'s .r y t en los que están definidas las funciones que se van presentando, .I.~I COIllO la existencia de la función inversa
il'lJlar en el que la fracción t'OlllO t'l1 10~ casos siguientes. 1';11'1

I:jí'/Ilplos: 1.

ax

+p +y

--~yX

J

++ y

x2 +

=

1

=

6x 6

+ I

~3X3

2t 3 -

7

[

6

t 2t -7~

4

t - + t2 + + 35

1

]

+c

3 ] + -5-(x -1)2 + x + C.

XII ... , X'¡,)

una función racional de x,

XII ••• , Xh,

el

1

+ ¡J)P

, ... , (ax

+ P) -;)dx

en la que p, . oo, s son enteros positivos, se reduce al de una función racional, haciendo el cambio de variable ax

+ ¡J =

t m,

es 6, por lo que el cambio

{(l-t + t:)dt-6 I~d_t1+t

6ln 11

+ ti + e

I

+ 2X2 -6ln 11 +

Integrales de irracionales cuadráticos.

Sea ax2 + bx + c un trinomio de segundo grado con coeficientes reales y y (3 1Ü's valores que lo anulan (raíces de la ecuación ar + bx + c = O):

I. Si es a> 0, existe un dominio en el que el trinÜ'mio es positivo, y por tanto en este dominio existe .¡ax2 + bx + c.

X3

= 6t-- Jt2

=

(x -1)3

R (x,(ax

5.4.

6 l+t.

1[

l)~dt

donde m es el mínimo común múltiplo de p, "., s.

de variable adecuado es x = f', Y así resulta

I

(t 2

Proposición: Sea R (x, cálculo de la integral

a.

_~d_x__ = 6 J._t_3d_t_

J+

5.3. El caso particular mencionado, y en el que están encuadrados los dos ejercicios anteriores, se puede enunciar como sigue.

se reduce a una función lineal de x,

Calcular la integral

El m.c.m. de los denominadores de

=2

= 2 ';x

1\] realizar este cambio de variable se obtiene la integral

x3dx

~l'

o bien

R [tp(t),

Calcular la integral

dx.

\1'

f

473

Cálculo de primitivas

vax

III. Si las raíces a y (J son reales y distintas, el trinomio tiene signo positivo en el intervalo (a, (3) si a < 0, y tiene signo positivo fuera del intervalo (a, (3) si es a> O. En este caso siempre existe un dominio en el que existe + bx + c, y puede ocurrir que simultáneamente sean a < O Y c < O. En correspondencia con estos tres casos la proposición siguiente determina los oportunos cambios de variables.

a

I

x6 1 +

11. Si es c> 0, existe un dominio en el que el trinomio es positivo y por 2 + b~'I: + c. tanto en este dominio existe Si las raíces a y (3 son complejas y se verifica uno de los casos anteriores, el trimonio es positivo para todo valor de x.

c.

474 y

Cálculo de primitivas

Proposición: Sea R(x, y) una función racional de x e y; sí se hace vax 2 + bx + e, entonces el cálculo de la integral

1'"

. 1)

Célculo de primitivas

2.

Cálculo de la integral

=

fR{x, vax2 + bx

~+'hx+c

se reduce al de una integral de una función racional haciendo los siguientes cambios de variables: I.

Si es a> 0, la nueva variable t está definida por Vax 2

n.

+ bx + c -

va,

de donde

bx

+c=

t 2 ± 2x

Se supondrá que las raíces de la ecuación _x 2 + bx + e = O SOIl 1" ti,,,, ('s decir, b 2 + 4c >0. Sin duda se puede aplicar el cambio nr, pl'r(1 ,", "'" hreve reducir la integral a una de las inmediatas 0,3). Se tiene

ra.

-

X2

+ bx +

b) = (c + -42

c

(

b)'"

x -- 2-

Si es c> 0, la nueva variable t está definida por

vax2 + bx

III.

t ±x

dx

J

+ e) dx,

+ c - ± v'C + tx,

Si las raíces Vax 2

a

y

(1

de donde ax

+b=

t 2 x ± 2./Ct.

b 2

son reales, la nueva variable t está definida por

+ bx + e =

va (x -

a) (x -

(1)

= ± t (x -

a),

a(x-fJ) = t2(x-a).

Demostración: Obsérvese que las relaciones que ligan la x y la t en los tres casos son de primer grada respecto de x, por lo que se podrá despejar la x obteniéndose una función x =
+d;x

VX2

Jv= 3.

X2

~x bx + c

=

+ bx + c -

- x

+ t,

VX2

+d~x +

= In

o bx

f t~~x = J I-}- + + + x

VX2

x

J

dx

arc sen t

ax 2

+ e -::-

2x

arc sen -~ ~'" , Vi)

+c=

t2 -

J

2tx.

bx

= In

x Vax 2

1++ I +e

+ c I + c.

.C1Ix + 'Vr + el + C.

t

1, ,1,

I (

11111\

.1" 1,,',

~x bx ± 1 1

dz Va + bz +

Se presenta frecuentemente el caso particular b = 0, y es

..;xr:tC = In x +c

t2

J

2 t b : 2t

e =

-VI

=

J v'

+c

y sustituyendo se obtiene

J

dt

---c==o¡=

con

'

Se presentan frecuentemente integrales de forma

Como a = 1 > 0, se hace el cambio. v'Xl

J

= al

que haciendo el cambio previo de variable x = -z-' se reduce tipos anteriores.

Cálculo de la integral

J

x---

de donde

de donde

Ejercicios: 1.

y se considera la variable t definida por

dx

+ bx-l

- --

;1

In j_b- + ~ 0ix~x,+ 2

Z2

J. -Va +dz

bi-z 1

= arc sm ~:=c~ 2

x

vb -+ 1a

/J.I' 1 1 \ 1 (

-+ ('.

Hay una clase de integrales de funciones irracionales que se red 11,''('11 1.11 11 mente a irracionales cuadráticas, y a las que en consecuencia se ,1 plle,lI,111 1.1', técnicas de la proposición anterior.

Proposición: Sea R{x, y, z) una función racional de Y = v'ax + b Y z = vcx + d, el cálculo de la integral .fR(x, vax

+ m,

v'CiTa) dx

se reduce al de una irracional cuadrática.

X,

y, z; si

.1'/'

11'1",

476

Cálculo de primitivas

Demostración: Basta hacer el cambio de variable definido por

y se tiene

t2~d

cx+d=t2 o 5.5.

1\7/

Cálculo de primitivas

x=~---.

c

Ejemplos: 1.

Integrales de irracionales binómicas.

Calcular la integral

+ f -,-_Vx_x~

Las integrales de funciones irracionades binómicas son las de la forma m

fx (a

+ bxn)p dx,

Evidentemente se trata de una integral, ya reducida, del tipo {I! (.'.

en don~e a y b son números reales cualesquiera, y m, n y p racionales. PreVIamente a todo cálculo conviene preparar la integral para reducirlo a una de las formas típicas. Haciendo el cambio de variable definido por xn = t, la integral se transforma I m+l xm (a + bx'Y dx = -n- t-·- - 1 (a + bt)" dt.

El cambio de variable adecuado es x = t 2, y se tiene

(p, q) =

I

(a

m = --, n

2.

La integral irracional binomia

1

-

dx ~X3 (a- x)

puede calcularse por integrales racionales. Se tiene

Jx-~(a-X)-+dX= J(a x x)-+(a-X}-I

dx,

y el cambio de variable adecuado es at~

-=t;4 bz"Y zm p

+e

x+l

x

Jea +

OJ (p, q) = (n

basta hacer el cambio de va-

t = are tg t ~ tz+l

,..IX

+ bt)" t" dt.

Proposición: El cálculo de la integral binomia (]J (p, q), con p y q racionales se reduce al de una integral de una función racional en los tres casos siguientes: si 'p es entero, si q es entero, o si p + q es entero.

Demostración: I. Si p es entero y q de la forma q riable t = zn, y se tiene:

2

= arctgVx--~- + C.

Designando por q el exponente de t la integral presenta la siguiente forma simplificada (]J

1) = 2 f n t +dtt 'l (2, ~22

(lJ

J

J

dx.

1):2

(x

a-x

1 dz.

obien

X=---. 1 + t;4

S1· q es entero y p d e la forma p = -m- basta hacer el cambio de n ' variable a + bt = z", como en el caso anterior.

6.

IIl. Si p + q = r entero y p de la forma p =~, se transforma la inn tegral binomía en

6.1. Se trata de la integración de funciones racionales de trigonollwt ric.I·" es decir, del cálculo de integrales de la forma

11 •

(]J

(p, q)

=

J(

a

~ bt

r

t' dt,

Y se hace el cambio de variable a

+ bt t

== zU,

o sea

a

t=---

zn-b'

INTEGRACIÓN DE ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

JR (sen x, cos x) dx donde R es una función racional de dos variables. Existe un método general que permite reducir el cálculo de estas in"')'!.1 les al de la integración de funciones racionales.

Cálculo de primitivas

Proposición: Si R es un función racianal de das variables, el cálculo dí!

f

R (sen x, cos x) dx

n'duce a la integ"oación de una función racional, por el ca1nbio de variable x Ig 2--' que equivale a poner:

'j'

1-- t = --1 + t2' 2

cosx

senx

LllTliv,lInente, se tiene

JR

(sen x,cas x) dx =

f

2t = --1+t 2

'

tlt 1+ t

6.2. El método general anterior conduce con frecuencia a integrales racionales cuyo cálculo es muy laborioso, por lo que es recomendable usar métodos particulares de integración de aplicación más restringida.

Proposición: La integral

con

t

=t

R (sen x, cos x) dx,

Si R es una función impar de cos x; es decir, sí

x 2 '

R (sen x, - cos x) = - R (sen x, cos x),

J --

~

f

en la que R es una función racional de dos variables, se reduce a la integral de una función racional en los casos siguientes:

dx = 2---. 2

I. R¡ (t) dt,

479

Cálculo de primitivas

con el cambio de variable sen x = t, la integral se reduce a racional. Il.

R ( - sen x, cos

I'(l'('l iv,lmente es racional.

'1'1<' I

¡¡'I,'n'acián.

El cambio de variable sólo es válido en aquellos inte.rvalos

los que estén definidas las dos funciones R (sen x, cosx) y tg- ~

,'11

+ n)

,'11 I"s subintel'valos de (- n, fllll¡'j(lI¡ R (sen x, cos x),

¡,"ji'll/¡¡fo,

Si

a y

; es decir,

que no contengan singularidades de la

b son dos números reales, para calcular

. se hace el cambio de variable t

que

racional. Si se supone a> O Y

f

e~

lb; <

r

a+

y así se llega a la integral

l,

+ t2) + b (l -

111. Si R no cambia cuando se remplaza sen x por - sen x y cos x por - cos x; es decir, si R (- sen x, - cos x) = R (sen x, cos x)

con el cambio de variable tg x = t, la integral se reduce a racional. Si R es una función impar de cos x se puede escribir

R (u, v) =

g

Rl (sen x),

p (u, v)

O (u, v)

,

en donde P y O son polínomios en u y v. Separando en O (sen x, cos x) los términos de potencias pares de cos x, de los de potencias impares, y teniendo en cuenta que es cos 2 x 1 - sen 2 x, se tiene

=

+ b cos X arc t

X

en donde Rl designa una función de una sola variable. En efecto, escribiendo R en forma fraccionaria es

t 2)

a, la función

1 vaz=¡;r

R (sen x, cos x)

la integral se reduce a racional.

dt a (l

continua para todo valor de x, y en el intervalo (- J'l, --.dx- - - a + bcosx -

xl = -

R (sen x, cos x) = cos

1

f

con el cambia de variable cos x =

Demostración: I. en la forma

dx b cosx

= tg -T'

a l'S

Si R es una función impar de sen x; es decir, si

-

O (sen x, cos x) = 00 (sen x) + cos X 01 (sen x),

n) se tiene

(~ X) a + b tg -2- + C.

en donde

00 y 01

R (sen x, cos x) =

son poünomios de una sola variable. Por lo tanto resulta cos X 01 {sen x)] O; (sen x) - cos 2 X O~ (sen x)

P (sen x, cos x) [00 (sen x) -

A (sen x, cos x) = -----------02 (sen x)

480

Cálculo de primitivas

en donde A designa un polinomio de dos variables, que necesariamente es una función impar de cas x, por lo que se podrá escribir en la forma A (sen x, cos x)

= cos X Pz (sen x),

luego

f

R (sen x, cos x) = cos x

Q2 (sen x)

ff

= cos X R¡ (sen x)

n.

4

(sen x)

COS1n+ 1 X

Jf (sen 20

(t) dt.

x)

COSZII+

que no cambia cuando se remplaza cos x por - cos Xo Razonando de un modo análogo a 1, resulta que la función Ro solo ha de contener potencias pares de cos x, y teniendo en cuenta que es cos2 x

= 1 + 1tg

2

Jf

x

(t) (l -

t 2)" dt.

x. Sl'fl.r o

El integrando sólo cambia de signo al rem?lazar sen x por cambio de variable adecuado es cos x = to Se tlene

f

_sen5x dx= cos x

J

2

(l-cos cos x

xY sen x dX=-J(l~~~¡Z 4

sen5 x dx = cos2 x - eos ___ - -x - -I nI cos xi

J 30

easx

4

¡{ro

+ C.

Calcular

J

El cambio de variable tg x = t, da inmediatamente

_dx_ sen 4 x cos 2 x L'l)~

El integrando no cambia al remplazar sen x por - sen x y cos x por y el cambio de variable adecuado es tg x = to Se tiene

fR(senx, cos x) dx = fRI(t) 1 ~tt20

cos2 X

Calcular

J

1 = ---~-2 1

+ tg

x

y

tg2 x sen2 x = -----, 1 + tg2 x

y al sustituir estos valores en la integral queda

sen 3 x cosJ x dxo

La función racional sen 3 x cos 3 x sólo cambia de signO' al remplazar cos x por - cos x, y el cambio de variable adecuadO' es sen x = t. Se tiene

Jt (1 3

t!-) dt =

~

-

+

J

sen 4

dl' x cos 2 x

=

(

1 + tI? dt --'--_-'--'

J

t4

1 -~ 1 ~ 2 ~1 +t = - -3 t t 3

de donde

+ e,

V ,,1

t

luego

=

sen3 x cos2 x cos x dx =

x dx =

Calcular

'

se podrá escribir Ro (eos x, tg x) como una [unción R I exclusivamente de tg x; es decir, R {sen x, cos x} = Ro (ca s x, tg x) R I (tg x)o

f

1

sen5x d

Ro (cos X¡ tg x)

sen 3 x cos3 x dx =

+ e.

(sen x) (1- senz x)" cos x dx,

-J-cosx

IIl. Sustituyendo en R, sen x por cos x tg x, se obtiene una función racional en cos x y tg x, tal como

J

Jt

dx =

En este caso se razona exactamente igual que en el I.

Ejemplos: 1.

6

y con el cambio de variable sen x = t queda

que es de la forma indicada al principio. El cambio de variable sen x = t, da inmediatamente

f R (sen x, cos x) dx = f R¡

sen4 x sen 6 x sen 3 x cos l x dx = ~-- - -~-

Análogamente se obtiene

siendo Pz un polinomio de una sola variableo Se tiene, pues, P2 (sen x)

11'1

Cá}culo de primitivas

J

dx = - _1_ cotgJ x - 2 cotg x sen 4 x cos2 x '3

+

tg x

+ Co

,,1,

(,'o

o:,

482 Cálculo de primitivas

6.3. Para las integrales de la forma

f

483

Cálculo de primitivas

las otras se integran por el método de descomposición, a partir de las fórmulas trigonométricas:

sen m x coso x dx,

sen mx· sen nx = pueden aplicar las fórmulas recurrentes expuestas en (3.3); sin embargo en alg~nos ca~os, para determinados valores de los exponentes, puede conseguirse la mtegraclón por métodos más rápidos, aplicando los resultados anteriores.

1

~2-

[cos (m-n)x-cos(m

+ n)x),

se

r.

Si m

= 2k + 1,

f [1.

Si n = 2k

+

IV.

Si n

+n=

sen x cos" x dx = -

1, se pone sen x

Si m

t m (1- t 2)" dt.

I

f

t'" (1

=O Y m =

- 2k -

+ n = 0,

=

1, se pone tg

X

=

se pone tg x

J.

tgmxdx

I

2;" = t, =

t dt. k

=I

t, Y es

m

t 2)k

Y es

=

sen x cos" x dx

sen mx· cosnx = -

= t,

- 2k, se pone tg x

f sen~:+1 V.

IO-

m

Isen x cos" x dx Si m

(1

f

t

1

I

sen mx dx,

sen mx sen nx dx =

f

:2.,t:;k dt

f

dt.

J

sen mx cos nx dx =

J

sen mx· sen nx dx, Icos mx· cos nx dx

e

J

sen mx . cos nx dx.

=- ~

cos. mx

+ e,

J

cos mx d:r =

~

COS2m+ 1 X

sen mx

+ e,

+ (2m) cos 2x + m-l

+ ( m2m) _ 2 cos 4x + .,. + cos 2mx \) '

Aparte de las primeras, que son inmediatas, sen mx dx

m#-n, m=n, m;/=- n,

m= n, si

m.¡i:n,

si

m=n.

6.5. Como las integrales de las funciones trigonométricas de los ángulos múltiples son inmediatas, y son muy laboriosas las integrales de las potencias de funciones trigonométricas, a veces conviene utilizar las siguientes fórmulas de transformación (m es entero y positivo) 1 ( 2m) cos 2mx = -1- ~ ~ 22m-12m

cos mx dx,

sen (m 2 (m

¡

cos mx cos nx dx =

m

t2

+ sen Cm + n)x],

+ n)x + n) +C, si x sen (m + n)x + e, si 2 2 (m + n) sen (m - n)x sen (m + n)x --------,:+ 2 (m + n) + e, si 2 (m - n) x sen (m + n)x --+ + e, si 2 2 (m + n) cos (m - n) x cos (m + n)x + e, 2(m-n) 2 (m + n) cos(m + n)x +c, 2 (m + n)

t, Y es

Y es

J- +

[sen (m- n)x

sen(m-n)x 2(m-n)

+ t 2)"-1 dt.

-=:= 2

1 2

y se tiene

6.4. Unas integrales que conviene conocer por su aplicación en la teona de las serie,> trigonométricas son

f

1 = -[cos (m-n)x + cos(m + n)x], 2

se pone cos x = t, Y es

m

,,1.

cos mx· COsnx

1 ~(2m+l) = --cos x + (2m+l) cos 3x + 2 m m-l 2m

1) cos5x + ... +

+ + ( 2m m-2

cos(2m

+

l)x

I i'

4Wi

484

Cálculo de primitivas

1- ~~ 1 (2m) - (2m ) cos 2x sen2m x = -22m-12m m-l

e'/culo de primitivas

mediata

+

e"" r¡f'xdx = -a-

J.

Sen 2m +1 x = -12m -

2

~(2m+l) sen x -- (2m+l) m

m-l

+ 1 ') sen 5x + oo' + (_l)m-' sen + ( 2m m-2

(2m

sen Ix

+

+ l)x I~ .

+ e,

a

INTEGRACIúN DE ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES TRANSCENDENTES

El método de integración por partes es el que se suele emplear para el cálculo de aquellas integrales de esta clase, que son integrables por métodos elementales. Naturalmente que la aplicación reiterada de este método conduce a fórmulas recurrentes. En (3.2) ya se dio un ejemplo de integrales de este tipo, y el caso que se considera a continuación lo generaliza. 7.

7.2.

Integrales de la forma

ax

p(x) e

dx,

J '"

D:

J

e;

+ e.

e"~

p (Da)

-a- + e,

o o, es la fórmula 'buscada. o denomllla "integración por denva:CJon

A veces esta tecmca se

+

p (x)

r:I"~ -

+f

Ejemplo: p'(x) e"" dx

e"" [ p'(x) = -ap(x) -- -a--

P"(x) + --az -

Observación. Existe una expresión simbólica que permite escribir esta integral en forma resumida. En el caso de reducirse el polinomio p(x) a un solo término xn, se obtiene fácilmente esta fórmula. Se parte de la integral in-

(x 3 + 4x

-

e"

+ 1) e''''' dx = (D! + 4Da + 1) -;--- + e = a

a

ea>

a

e'''

__ + __ +e= a a

=(X3+~+1

'" ] ,

la fórmula termina cuando la última derivada se anula.

f

., -D3~+4D

La integral del segundo miembro es del mismo tipo que la del primero, pero el polinomio es de grado inferior. Se trata de una fórmula de reducción. Reiterando el método se tiene p(x) e" dx

x" e"'" dx =

un parámetro".

Integrando por partes se obtiene p(x) ea", dx =

f

o

se puede deSCOII1I1(llll'l l · Cuando se t rata de un polinomio p(x) cua qmera, d uno de ellos. 1';11,1 tll'" en sus términos, y aplicar la fórmula anterior
q ue

donde p(x) es un polinomio.

J

que equivale a

ea,,)' ( ea.)' D:( ~~ D: -a-_ a ,

p(x) r¡f'"' dx =

f

ea", )'

tf'x -- (~ . a

como fioa la a como variable, indicando Cllll f)" Ahora se considera la x o ¡ YI d o mbros de la última igll;dd;1l1 o d t de a y se derIvan os os mle ' la deriva a respec o " d' es indiferente el ord"1I (k re~pecto de esta variable. Se supone da em(as q~e casO de continui(bd d" 1.1', derivación respecto de x y respecto e a en derivadas es lícita esta hipótesis). Despué" de derivar n veces respecto de a y se tiene Dne"'" = xn e""' =

7.

o b"len

7.3.

Integrales de la forma

Jp(x) cos ax dx donde p(x) es un polinomio.

e

Jp(x) sen ax dx,

respcL"

I

t l>

( l'

487 486

Cálculo de primitivas

El método es análogo al del caso anterior. Por integración por partes sucesivas resulta:

J

p(x) cos ax dx =

+

sen ax ~

-a-(

v"(x)

p(x)-~

pIV(X)

+

p(x) sen ax dx = sen_a~ ~ p'(x) _ P'''(x)

+

t

a

cos ax ~ --a

f

pV(xL CA)

p"(x)

pIV(X)

a2

ct

x'

ea~ sen bx dx =

D:

(

pV(.x) _ .. , -. CA'

a3

a

pecto del parámetro a":

+ -----¡;-- "') +

cos ax IP'(x) _ p"'(x) a (a a3

J-

Cálculo de primitivas

J

~e=~~~=~

i + c.

7.5.

\

.. , ( _

í

p(x)---+-~-

...

ff"X

(a sen bx - b cos bx) al + 7J2

ifX(b sen bx

f

F(x, In x) dx,

P(x, are sen x) dx

In x

=

y

+ i sen ax)dx=

J

p(x) cos ax dx

+

iJ

p(x) sen ax dx =

=

t, arc sen x

J

J

p(x) eiax dx,

F(e', t) e' dt,

=

fa'"

dx

eia" ~.

=-a

P'(X). P"(X) P'''(X) -zp(x) + - - + l - ----a a2 a3

. pIV(X)

Pesen t, t) cos t dt

Ejemplos: 1. ~

+ t- + ... + e, ti'

Integrales de la forma

f

xn e"X

sen bx dx

e

J

xn e'''

e

r

=t

F( cos

t, t) sen t dt.

un polinomio estas tres integrales son calrespectivamente. Si la función F es cosa que en general no ocurre en otros culables por métodos elementales, casos.

f

are sen x dx 2.

=

J

En la integral

se hace el cambio are sen x

s('parando las partes real e imaginaria en el segundo miembro, se tienen directa mente las fórmulas halladas. 7.4.

F(x, are cos x) dx.

Y are eos x

t

J

('omo (7.2)

·p(x) e .f

J

e

que transforman las integrales en las Aceptando las reglas de derivación ordinarias pa,ra las fun(WIll"S complejas de variable real, el cálculo de las integrales se reduce de ma11",.01 inmediata a las del caso anterior. Teniendo en cuenta que es e/ax cos ax + i sen ax, resulta (cos ax

.

Los cambios de variable oportunos son

t +C.

(l!Jsi>rvación.

I,I(.r)

+ a cos bx) + e

al+Jjl

Integrales de las formas

f

J

t cos t dt

En la integral

= t,

=

rxn

are sen x dx

Y se tiene

t sen t -

eos t

+e=

x . arc sen x

se puede hacer el cambio In x = t, pero se obtiene un resultado más directo integrando por partes. cos bx dx.

°

ax

J

(!""

sen bx dx = cos bx dx

ea" (a sen bx - b cos bx) dl+Jjl

+e

= e= (b sen bx + a cos bx) + C. dl

+ \/'1 -- Xl + e

In x dx

Jx"

In x dx =

8.

EJERCICIOS

xn+l

n+T In x -

J

X'+l

-;;+ 1

Integrando por partes, utilizando el método complejo expuesto en la observación anterior, resulta fácilmente para el caso n = o:

" je

+e

+ b1

Las integrales más generales propuestas, se deducen por "derivación res-

1. - Calcular por cambio de variable, las integrales

f /:x J x' ;

1 -¡d:OS1

x; J

1

+

::s x;f

dx

488

Cálculo de primitfvas

489

Cálculo de primitivas

2. - Calcular por descomposición, las integrales

J

VI + I

tg'x dx; J

xX

dx; Jcosx cos 2x cos 3x dx;

10. - Calcular las integrales irracionales cuadráticas, discutiendo los resultados según las raíces del trinomio

r

dx . . sen' x cos' ;le

dx (x-7) ';ax'

J

J. - - Calcular, integrando por partes,

J

arcsenx

~; J~; cos'x

J(X-l)'el~dx.

JX'COSXdX;

'" 1 -

JI. -

Calcular por métodos

-.Ix' - - - -a'd x ; x

J+ a

dx b tg x

;

J

sen'xdx;

J

arcsenx dx;

(1- x')'/'

1 1

+ sen x + cos x

~dx.

12. -

x' dx

r

. 7+x'-2;

J

J-2-~; J

+-1)'d x ' -(x- (x -

5x' + 3 ax + 9a' x'-3ax' + 2a'x dx;

dx

1)'

'

J

dx 1)' (x -

(x -

.

2)' x'

J

J

+1

(x'

+

1)' (x' -

13, -

1)'

J

x:' dx (x' + 1)"

J

Aplicar el método de derivación respecto de un parámetro para probar

J

f(x)dx

1

----- = (x -

D::- I {f(a) In (x -

(11 -- 1)!

a}n

a)}

+ e,

J

dx- ; -sen' x

J

dx a' cos' x

2- sen x ----dx 2+cosx

+ b' sen' x

dx- ; -sen' x

J '

sen xcos' xd x.

(1 -

1-

14. -

C05'

x dx.

= _1-arctg( _b_ tgx ) + c. ah

a

4 are tg (1 = In (2 + cos x) + ,r.r .,3,.,3

M""

= -- + + f ---.:----'---

en donde f es un polinomio de grado < n.

+ bx + e

Probar las fórmulas siguientes

'

J

dx

J

e

_ dx . J sen'x dx,' J .sen' x dx; J sen' x 4 cos4 X J sen x'

2x'-X+3 ----dx' Xl

+

Calcular por las fórmulas de reducción las siguientes integrales

Calcular las integrales racionales

'i.

bx

directos las integrales trigonométricas

J

'1.- Calcular combinando distintos métodos, las integrales

J

+

dx (x-a)' "¡ax'

r cos x) dx 2 reos x r'

x

2

are tg

( 1

+r

--1- r

tg

X) + c.

tg - 2 x

-2

)

+ e.

Calcular las integrales de funciones transcendentes siguientes

Aplicar el método de derivación respecto de un parámetro para probar

7_

¡ a.;a

fex) dx (_1),,-1 ------ = - - - - - Dn-I

r

_ (x'

+ a)n

(n -

1)!

;> ( -

a)

x

+ Va

are tg - -

'" (-a)

2

In (x' +

a)

~

J e"-"cos'xdx; J eaxsen' XdX;J (arcsenx)'dx¡ J (Inx)"dx;

+ C.

en donde f es un polinomio de grado < 2n, que se escribe en la forma f(x) y

R. -

+ x W(x'),

= ,,(x')

a es mayor que O.

Calcular las integrales irracionales lineales siguientes

x' dx [ dx J 1;. x Va+bx; J ';x

J

x' (a

+ x)'/' dx;

f

(l

+

dx x),l' _ (1

1 + x'I' dx' J dx , 1 + x'I' ' x ./X-I'

+ x)'/'

;

f

xdx

~a

x;

f ff + ..,rx' dx

9. -- Calcular las integrales irracionales cuadráticas siguientes:

J"

dx (l+x')';l

x';

J'

J.~;=:;=dX~; (x

1) .; x'

4x -- 2

dx J (l-x')/I+X'i J

dx

;x,

.,¡ 1 - 4x - 2x'

dx J --;:=dx=c==;; ';--3+2x+x'; ';3 + 6x-4x' , ;J

V+

a x dx; a- x

J' x'

V

a' -- x' dx. a' + x'

J x"arcsenxdx¡ Jxnarctgxdx; J ellXsenftxdxj

f

e"Xcos"xdx.

24. Integrales imprcpias Integración sobr? intervalos no 'ompactos. 2. Criterios de convergencia. 3. Algunos tipos dE! integrales im¡:tJpias. 4. Comparación de integrales impvpias con series. 5. Ejercicios. 1.

En Análisis se prtsentan situacione~ en las que se han de integrar funciones no acotadas, o sobre intervalos no cerrado o no acotados, es decir, no compactos. Es pues necesario generalizar la integral le Riemann. Tradicionalmente a estas nuevas integrales se las denomina impropias (.1), unas son de primera especie, cuando el dominio de integraci6n es una semirrcta. otras son de segunda especie, cuando el dominio es finito, per~ en todo entorn, de uno de los extremos del intervalo, la función no está acotada No se agotan ~dos los casos posibles, pero descomponiendo convenientemente el dominio de integlción, la mayoría de las integrales impropias pueden reducirse a sumas de integrale de los dos tipos anteriores. La definición de :as integrales impopias responde al esquema siguiente: se restringe el dominio de integración a un intervalo compacto, en el que la función está acotada y se calcula la integral de Rimann sobre este intervalo; y seguidamente se halla el límite de la integral cuando!1 intervalo tiende al dominio de integración primitivo. La integral impropia queda determinada cuando existe dicho límite (1.2), y si es finito, se dice que es converger-e. Existen condiciones necesarias y suficientes, tipo Cauchy (1.4), para la convergencia,pero su gran generalidad las hace poco útiles. Son más eficaces las condiciones sufi
491

492

1.

Integrales impropias

INTEGRACIÓN SOBRE INTERVALOS NO COMPACTOS

1.1. En la de~inición de la integral de Riemann de una función t, se ha ~up~esto la acotación de t, y. que el intervalo sobre el que se define la integral c~ cerrado y acotado, es deCir, compacto; pero en Análisis se presentan situa. clOnes ~n las que no se cumplen algunas de estas condiciones, por lo que es necesarIO extender la noción de integral. . De acuerdo con el planteo de la cuestión, al generalizar el concepto de Inte~ral se han de atender los aspectos siguientes: que el intervalo de integración sea u~a semirrecta o una recta, que la función no esté definida en algún cxtrem? del mtervalo, o que la función no esté acotada en el intervalo. Es conv~nJente concretar este planteo reduciendo a dos tipos de situaciones. En '\pnmera, se supone .que el do~inio ~e integr~ción es una semirrecta, defin lI.~ndose las llamadas tntegrales tmproptas de przmera especie; en la segunda, se s~pone que el dominio de integración es un intervalo finito, pero que la funCIón no está definida en un extremo, o que en todo entorno de él no está a~'otada, definiéndose las llamadas integrales impropias de segunda especie. (.uando se trate de la integral de una función sobre un intervalo finito o sobre una semirrecta o recta, que no esté definida en un número finito d~ puntos, o no esté acotada en entornos cualesquiera de los mismos, partiendo conveIlJentemente el dominio de integración en un número finito de subintervalos y posiblemente en una o dos semirrectas, se puede reducir a una suma d~ Integrales de los tipos anteriores. . Tanto las integrales impropias de primera especie, como las de segunda son Integrales definidas en intervalos no compactos y muchas de las definiciones se pueden dar refiriéndose únic¡lmente a esta cualidad de los dominios de integración. Algunas de estas definiciones son las que siguen.

493

Integrales impropias

Definición: Sea una {unción {: 1·--)0 R, donde 1 es un intervalo de extremos a y b; se dice que f es localmente R·integrable en 1, si lo es sobre todo intervalo compacto [e, d] e l. Los extremos de 1 pueden ser finitos o infinitos, y si son finitos pueden pertenecer o no pertenecer a l. En particular si 1 = [a, b], f es localmente R-integrable si, y sólo si, lo es sobre el intervalo [a, bJ.

Observación. Como la integración que se considera es la de Riemann, de ahora en adelante, cuando una función sea "localmente R-integrable", se dirá simplemente "localmente integrable". Ejemplos. - Las funciones continuas en 1 son localmente integrables en l. Las funciones eX y E(x) son localmente integrables en R. 1 son localmente integrables en R +. x El estudio de las integrales impropias, especialmente de las de primera especie, tiene muchas analogías con el de las series, conservándose las definiciones básicas e incluso esta analogía se mantiene en el uso de los criterios de convergencia. Para evitar complicaciones en la notación, al definir las integrales sobre intervalos no compactos, se considerará que estos son de la forma [a, b), pudiendo ser b = + oo. Las modificaciones que se han de introducir en el caso de intervalos (a, b] son triviales. Dada una función 1: [a, b)o-JoR; localmente integrable en [a, b), está definida la integral de f sobre [a, x] para todo x € [a, b} que será una función F:[a, b)'-4
Las funciones In x y -

F(x)

= J:f(t) dt.

(Se usará la variable t de integración para evitar confusiones con la x del ex· tremo superior de la integral.) Desde un punto de vista formal, de manera análoga a lo expuesto para las series (9; 1.3), se tiene la siguiente

Definición: Sea f: [a, b) o-Jo R una función localmente integrable en [a, b), la integral impropia de t es el par de funciones {f, F}.

o

+oc

Integral impropia de primera especie. La gráfica de f tiene el eje x como asíntota.

o Integral impropia de segunda especie. La gráfica de f tiene la recta y = b como asíntota.

Sin embargo, esta notación de tipo formal, no se emplea en Análisis. La notación para lá integral impropia de ]a función f sobre el intervalo 1, de extremos a y b, finitos o no, es

494

Integrales impropias

1.2. Definición: Sea f: [a, b) --+< R una función localmente integrable en [a, b). Se dice que la integral de f sobre [a, b) es convergente, si existe y es finito el límite

I,~~

J:fet)

~i~

F(x) =

495

Integrales impapías

1.3. Defnición: Sea 1 = 11 U 12 U ... U 1m una partición del intervalo 1 en subintervalm de interiores disjuntos: 1, = [a" b¡) con i = 1, 2, ... , m. Si f es una función que en cada [a;. b,} o Ca" b;] es localmente integrable, y su integral en cada 1i es convergente, se define

J

dt.

/(t) dt

=~

f.'(t) dt.

Si el limite no existe, o no es finito, se dice que la integral es divergente. Cuando los límites son infinitos se dice que las integrales divergen hacia + , o hacia - ':le. Aunque sea imprecisa la notación, el límite de las integrales convergentes o divergentes hacia infinito, se designa como las integrales ordinarias por

J:f(t) n('mplos. 1. -

o

Siendo

'x t-' dt = f

, I

1;1

dt.

1 - xI - t

---r1

I~

si

J~

inlegral

t-

1

dt = In x,

r

t- dt,

('OI1Vl'rge si es r> 1, Y diverge hacia +:\.. si es r ~ 1. 2.-- Siendo

[ " sen t dt

=1-

cos x,

, u '[lIl'

no tiene límite cuando x~

+ '",

diverge la integral

Jo~en tdt. Definición: Sea f: [a, b) --+ R una función localmente integrable en [a, b). ,.,.(' dice que f es integrable sobre [a, b) si existe y es finita la integral

.r:

f(t) dt.

Según estas definiciones es equivalente afirmar que f es integrable sobre H) Y que la integral de f sobre [a, b) es convergente. No obstante, en lo SlIceS1VO, se preferirá hablar de convergencia, o de divergencia en su caso, rara evitar equívocos.

IiJ.

Para que esta definición sea consistente se ha de comprobar que la integral de t sobre 1 es independiente de la partición finita tomada sobre 1 cosa que resulta fácilmente haciendo uso de la propiedad aditiva de la integral respecto de los intervalos (20; 5.1). Un caso particular de esta definición que se presenta frecuentemente, es el de integrales sobre R.

Definición: Sea f: R --+, R, localmente integrable sobre R. Se define

J:](t) dt

=

J~J(t) dt +

J:=f(t)

dt.

Siempre que existan y sean finitas las dos integrables del segundo miembro, siendo e un número cualquiera. Observación. Esta definición se generaliza inmediatamente cuando en el segundo miembro una de las integrales es infinita, o las dos infinitas del mismo signo. lA. Análoga a la condición de Cauchy para la convergencia de series (20; 2.4) es la siguiente para las integrales. llNÉS-17

Integrales impropias

1.2. Definición: Sea f: [a, b).....jo R una función localmente integrable en [a, b). Se dice que la integral de t sobre :a, b) es convergente, si existe y es finito el límite

I,~~

:i~

F(x) =

495

Integrales impropias

1.3. Definición: Sea 1 = 1[ U 12 U ... ll m una partición del intervalo 1 en subintervalos de interiores disjuntos: li = la" bi ] con i = 1, 2, ... , m. Si f es una función que en cada raí' b¡) o (a" b;: es localmente integrable, y su integral en cada 1, es convergente, se define

J

J:f(t) dt

1

m

{(t) dt = i~l

r •

,rCt) dt.

límite no existe, o no es finito, se dice que la integral es divergente. Cllando los límites son infinitos se dice que las integrales divergen ha('/(/ + <:X.O, o hacia - 'x.

Si el

Aunque sea imprecisa la notación, el límite de las integrales convergentes n div\'rgentes hacia infinito, se designa como las integrales ordinarias por

J:f(t) dt.

o

'¡(,ilirios. 1. - Siendo 1 - xl-r t-'dt = - - - 1 r- 1

f

a;

•

1.1 integral

si

r-::j=l,

J~

t- dt,

nlllVl'rge si es r> 1, y diverge hacia ) - Siendo

ljll\'

J:

+~

e

J~t-Idt=lnx,

T

si es r ~ 1.

sen t dt = 1 - cos X,

no ticne límite cuando X·-l"

+ '-,

diverge la integral

I:en tdt.

Se

Definición: Sea f: [a, b) ~ R una función localmente integrable en [a, b). dice que f es integrable sobre [a, b) si existe y es finita la integral J>(t) dt.

Según estas definiciones es equivalente afirmar que f es integrable sobre f sobre [a, b) es convergente. No obstante, en 10 sucesivo, se preferirá hablar de convergencia, o de divergencia en su caso, rara evitar equívocos. [a, b) y que la integral de

Para que esta definición sea consisterte se ha de comprobar que la integral de t sobre 1 es independiente de la partición finita tomada sobre 1 cosa que resulta fácilmente haciendo uso de la propiedad aditiva de la integral respecto de los intervalos (20; 5.1). Un caso particular de esta definición que se presenta frecuentemente, es el de integrales sobre R.

Definición: Sea f: R .....jo. R, localmente integrable sobre R. Se define

J:]Ct) dt

:=e

J~J(t1 dt +

J:00f

(t)

dt.

Siempre que existan y sean finitas la~ dos integrables del segundo miembro, siendo e un número cualqíliera. Observación. Esta definición se gene:aliza inmediatamente cuando en el segundo miembro una de las integrales es infinita, o las dos infinitas del mismo signo. 1.4. Análoga a la condición de Cauchy para la convergencia de series (20; 2.4) es la siguiente para la:; integrahs. LlNÉS-17

496

Integrales Impropias

Proposición: Sea la función f: [a, b)·-+ R, localmente integrable en [a, b); la integral

t'!\

convergente si, y sólo si, para cada

¡f "'''f(t) dt x'

Demostración.

~

I

<

F.

> O existe un e

€

[a, b) tal que es

x', x"

E

(e, b).

para todo par

F,

Si existe lim F{x) x~b

=H

finito, para cada E> 0, existe un

497

Integrales impropias

conuerge si, y sólo si pera cada ,. > O existe un

> 0, tal que es

para todo par x', x" E O - 0, b). En este caso, se deruce inmediatamente la convergencia de la integral de f, cuando la función está acotada en (a, b).

Proposición: Si la fmción (:[a, b)·-+R está acotada y es localmente mte· grable en [a, b), con b finito, converge la integral

r

• , fa, b) tal que es I

t\

{(t)dt.

e

(

IF x) - HI < -2-'

para todo

x

E

Demostración: Si M es una cota de If(x)1 para x

(e, b),

E

[a, b), tomando un

e

tÍ

v "n consecuencia se tiene

f ::'

f(t) dt :;:: IF(x") -. F(x'}1

.~ IF(x") -

H!

+ IF(x')

--

Hl <

I

Hedprocamente, se supone que se verifica esta última condición y se ha de probar que existe lim F(x) finito, para lo cual basta probar (ll; 3.5) que ('xiste y es finito ,,~~ lim F(x n ), donde {x n } es une. suceSlOn cualquiera que tiende a b, con x" E [a, b). Como X n ._)« b, existe un entero positivo v tal que es x,. E Ce, b) , pa r a

~~

n~, 11,

Y por tanto

para

p, q ~ v,

por lo que {F(x,,)} es convergente; es decir, existe y es finito liro F(x) = x-+b

J

b

f(t) dt.

a

Cuando b es finito, a esta condición de convergencia, se le puede dar una formulación " f ..- (¡",

Prroposidón: Sea f: fa, b) "... R, una función localmente integrable en [a, b), mn b finito. La b'ltegral

M

E

11M" todo par x', x" E (e, b).

IF(x.) - F(x Q) I < e,

< - - , se tiene

f:!(( dl

I

~ f::'lfCt)1 dt ~ M(x"

- X') <

E,

para todo par x', x" E U - t\.. b), con X' < x". Ejemplo. Para la fmción (x) = sen l/x definida en (0,1]. la integral

J I

sen

o

-~- dt t

es convergente, ya que la función es continua y acotada en (O, 1]. Esta proporción muestra que las integrales de funciones acotadas sobre intervalos finitos abiertos o semiabiertos, no presentan dificultad alguna; y en consecuencia, el estAdio de las integrales impropias de segunda especie se limita a las funcionej que no están acotadas en ninguno de los entornos de uno de los extremos dfl intervalo de integración.

1.5. Hay un caso el el que la determinación de la convergencia o divergencia de las integrales impropias, así como su cálculo, es inmediato, y es cuando se conoce una Jrimitiva de la función que se integra.

Proposición: Sea f: [a, b) -.- R una función localmente integrable en [a, b), y F una primitiva de la f en [a, b). La integral de f sobre [a, b) converge si, y sólo si, existe liro F(x) ~ es finito. La integral de f sobre [a, b) diverge hacia x .... b +

+ oc

(ó - ·x) si, y

sól~

si, es lim F(x) =

J:

f(t) dt =

+ ."'.

(ó -

!~~ F{x) -- F(a).

~.).

En ambos casos es

498

Integra/es impropias

Demostración: Es consecuencia inmediata del Cálculo integral (22; 4.1). En los ejemplos de (1.2) ya se hizo uso de esta Los. ~~sult~d~s que se obtuvieron se completan proposlclon sIgUIente, que serán de utilidad en los de in tegrales impropias.

teorema fundamental de propiedad. con otros análogos en la criterios de convergencia

499

Integra/es impropias

que tiene límite finito, para x -+ + oo. Este tipo de convergencia es más fuerte que la convergencia ordinaria: Proposición: Sea f: [a, b)-+ R una función localmente integrable en [a, b). Si es absolutamente convergente la integral

J:r(t) dt,

Proposición: Si a> O, la integral

J:oot_'

es convergente en sentido ordinario. dt,

Demostración: Si e € (a, b), para todo par x', x"

nlllllerge si es r> 1, Y diverge si es r ~ 1. Si ([ < b, la integral

(b (b _ .J

J::'

j ItI

t)-r dt

(b -

y

t)l-r

1- r '

si

r# 1,

.Y

In t ~()n

/11.

si

Y - In (b - t),

r = 1,

primitivas de las funciones t- r y (b _ t)-r. 1.6. Definición: Sea f: [a, b)-+ R una función. localmente integrable en b). Se dice que la integral ,

f:rCt) dt {'S

absolutamente convergente, si es convergente la integral

Ejemplo.

I~

f::' It(tll

(e, b) es

dt.

es convergente sobre [a, b), en virtud de la conComo la integral de dición de Cauchy (lA), para cada ,. > O existe un e tal que la segunda integral es menor que e, lo que en virtud de la misma 0.4) asegura la convergencia de la integral de t sobre [a, b).

a

"t>lIl'erge si es r < 1, Y diverge si es r 3 1. Demostración: Basta tener presente que 1- r

f(t) dt

€

1.7. La proposición anterior es un caso particular del criterio de W merstrass para la convergencia absoluta de la integral de f sobre [a, b).

Proposición: Sean f y g dos funciones localmente integrables sobre [a, b). Si es 1{(x}1 ~g(x) para todo x € [a, b), y converge la integral de g sobre [a, b), entonces converge absolutamente la integral de f sobre [a, b).

Demostración: Si e

€

(a, b), para todo par x', xl!

f::,

If(t)1 dt ~

f::'

€

(e, b) es

g(t) dt.

Como la integral de g es convergente sobre [a, b), en virtud de la condición de Cauchy (l.4), para cada e> O existe un e tal que la segunda integral es menor que e, lo que en virtud de la misma (1.4) asegura la convergencia de f sobre [a, b). Ejemplos. 1 - La integral

La integral +00

J I

sen t - -2 d t

+00

t

[

es absolutamente convergente. Se tiene

f,"__1s_e_n_t_l_ t2

t (t -

1) ... (t - m) e- t dt

• o

converge absol'utamente, pues para t> m se tiene dt <

IX -dt- = I

t2

1

1 - --, x

It (t

-

1) ... (t - m) e-ti ~ Itl"'+' e t;

y como lim

'.~+m

t"'+1 e"t t- l

=

lim t"'+3 e- t = O t ... +co

501

Integrales impropias

500 <1

Integrales impropias

de f sobre [a, b) es divergente también lo es la de g; y si la integral de g sobre [a, b) es convergente, tanbién lo es la de f. (Criterio de comparación).

partir de un t o es

ror lo que converge la integral de la función g(t) 2. -

La integral

J~oo

O/¡serllación. V('l"ifica ,1

r t'n

¡{(xli <

t m + 1 e -, sobre [0,

+ <:~ l.

senm t cos " t e- f ' dt

\"ollverge absolutamente, pues Isen m t cos " t e-t'l y 1.1 integral de g(t) =

=

e-t' sobre (_ "'",

~

+ x)

e

,

(e-t' < __ 1_), 1+ [2

f(x) / . g(x) "",

De una función g, q~e como en el criterio de Weierstrass, g(x) para todo x € [a, b), se dice frecuentemente que "domina"

para todo

x

€

[a, b).

Si la integral de g sobre [a, b) es convergente. también lo es la de

[a, b).

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

2.1 .. Los criterios de convergencia son condiciones suficientes para la conVl'!'gl'nCIa o dl~ergencia de las integrales impropias. Los que se estudian se rdlL'rl'n a funclOnes no negativas, por lo que también pueden usarse como Cl'llt'rlOS de convergencia absoluta. Todos son consecuencia del llamado cri11'1'10 de comparación. Antes de establecerlo es conveniente dar la siguiente propiedad de las inh'gr:lles de funciones no negativas.

Proposición: La integral

f·

[a, b), y la integral de

€

k 'g sobre [a, b) es convergente.

Proposición: Sean f y g ros funciones localmente integrables en [a, b), no negativas, tales que existe ma constante h > 0, de manera que es h

f(x) < __

para todo

x

€

[a, b).

g(x)

Si la integral de g sobre [a, b) es divergente, también lo es la de f. Demostración: Se tiene hg(r) ~ f(x) para todo x

€

[a, b} y la integral de

h . g sobre [a, b) es divergente.

J>(t) dt ¡fe

[a, b) es

Proposición: Sean f y g ¿os funciones localmente integrables en [a, b). no negativas. tales que existe una constante k, de manera que es

Demostración: Se tiene f(x) ~ k g(x) para todo x

2.

€

Esta proposlclon da lugar a as siguientes consecuencias que frecuentemente son de aplicación más simple.

t',

converge

Demostración: Basta tener nesente que para todo x

una función f: [a, b)·-'}o R, localmente integrable en [a, b) y no negativa,

es convergente o divergente hacia

+"'".

Demostración: La función F(x)

= J:f(t)dt

l'S ~o~ótona

creciente y no negativa en [a, b); si está acotada superiormente su lImite para x b, es finito. y si no lo está su límite es + ,:x;, Para las funciones no positivas existe una propiedad análoga. 0-)0,

2.2. Propo~ición: Sean f y g dos funciones localmente integrables en la, b), no negatzvas, y tales que es f(x) < g(x) para todo x € [a, b). Si la integral

Ejemplos. 1. _ Como e-x'~ e-X para x:> 1, Y ambas funciones son positivas, la convergencia de la imegral

J~ e- dt t

implica la de

J~ooe-t' dt.

2. _ Como In x < (In x) sen x para x € (O. lJ. Y ambas son negativas, se tiene - In x > - (In x) sen x, ,} la convergencia de la integral

J

lln t dt o

3. _ Como x> In (l

implica la de

[1

(ln t) sen t dt.

. o

+ x)

1 1 para x:> 1, se tiene - - - < - - - - , y ambas x In (I + x)

502

Integrales impropias

+ 'x

funciones son positivas, luego de la divergencia hacia

J 2.3.

+OO

1

dt -t

resulta la de

J+oo 1

de la integral

dt In (l

+ t)

Para simplificar los enunciados de las proposICiones anteriores, se

503

Integrales impropias

Caso particular del criterio anterior, que se completa con una condición de divergencia, es la siguiente

Proposición: Sean f y g localmente integrables un entorno de b, y se supone que existe

.

ha supuesto que las desigualdades se verifican para todo x E [a, b). Esto no es necesario, pues básta que exista un c E [a, b), y que las desigualdades se

verifiquen para todo x E (e, b), en virtud de la propiedad siguiente: Sea f: [a, b) una función localmente integrable en [a, b); para cualquier l·' ra. b). las dos integrales

J:

f(t) dt

e

J

>(t) dt,

111/11'i'r¡!,en o divergen (en su caso hacia + 'X' o - .;x) simultáneamente. Basta observar, que para cada x € (e, b) es

J:

f(t) dt

=

r

(l) dt

+

J:

rsta simple observación es de gran utilidad en el estudio de la converde las integrales impropias, pues en una integración sobre [a, b), basta Cllllsiderar el comportamiento de la integral en un entorno de b. !'.<'Ileia

r~I,-

g(x)

Si i, es finito, y la integral de g sobre [a, b) converge, la integral de f sobre b) converge absolutamente. Si j, # O, finito o infinito, y la integral de g sobre [a, b) diverge, la integral de f sobre [a, b) diverge hacia ±
la,

Demostración: Basta probar la segunda parte. Si es Á:¡i:: O (que se supondrá positivo), tomando un h que sea 0< h < i., extistirá un e' € (e, b) tal que es g(x) > O Y g(x) de donde resulta (2.2) que la integral de Ejemplos. 1. -

entonces si la integral de g sobre [a, b) converge, la integral de la, b) converge absolutamente.

f sobre

f sobre

{(x)

.

.¡x

X~O

y'tgX

11m - - = hm - - -

En los criterios siguientes ya se hace uso de esta simplificación.

Proposición: Sean f: [a, b) - R Y g: [a, b)-> R dos funciones 10mlmente integrables en [a, b) siendo g(x) > O en un entorno de b, y se supone que es f(x) = O(g(x» cuando x -> b-;

E

(e', b), [a, b) diverge hacia

1 Para las funciones !(x) = - - - y g(x) Vtgx .

2.'1.

X~O g(x)

1 =~

1

dt

o

vt implica la de

J r

'1

jo

dt Vtg t .

1 1 2 2. - La función g(x) = - - cos - - es positiva para x> - - , y si

x

x

n

1 f(x) = - - , el límite del cociente es . f(x). 1 11m --=hm - - - - = 1 , g(x) x~+co 1

g(x)

H+CD

luego la divergencia hacia finito, para todo x .

E

cos - x

+ oc

de la integral

(e', b),

de donde resulta (2.2), que la int,egral de f es absolutamente convergente sobre [a, b).

es

luego la convergencia de la integral

Demostración: Como es g(x) > O en un entorno de b, ex·iste un e € [a, b) tal que es g(x) > O para todo x E (e, b). Por ser f = O(g) , existe un C'E (e, b) de manera que es:

If(x}1

vx

+ oc .

= 1,

x

--- < k

> O en

fex)

t(x)

.v que la integral central es finita, por ser f localmente integrable en [a, b).

b) con g(r)

hm - - - = i..

h < - - para todo x

f(t) dt,

en [a,

f oo ~ 1

t

implica la de

foc I

1 cos - t - dt. t

505

Integra/es impropias

';04

Integrales impropias

2.5. Eligiendo para g funciones de tipo potencial se obtienen los siguientes criterios particulares.

Proposición: Sea f localmente integrable en [a, b), y se supone f(x) = O (Ix

- bl-

r

),

cuando

x

---*

b- ;

si es r < 1, la integral de f sobre [a, b), converge absolutamente. Ikmoslración: Basta considerar g(x) =

Ix - bi-'

ALGUNOS TIPOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

3.1. Los criterios (2.5 y 2.6) que se obtienen al comparar las funciones que se integran con otras de tipo potencial tienen gran utilidad para decidir la convergencia de algunos tipos de integrales que se presentan con frecuencia. El primer tipo corresponde a la integración de funciones que son cocientes de polinomios. l. Sea la función

f =~, en la que p y

t

en el criterio

anterior.

1\ 1I¡'tlo~amente

'"roposición: Sea f localmente integrable en [a, b), y se supone que existe Il/ílllerO r para el que es

1/1/

3.

SI I

1'.\

"',

q(x) = (b - x)' q¡(x),

finito y r < 1, la integral de f sobre [a, b) converge absolutamente. A / O finito o infinito y r;? 1, la integral de f sobre [a, b) diverge hacia nm el mismo signo que Á. ('S Á

Cuando el dominio de integración es una semirrecta, es decir, para t'-·, tomando para q funciones de tipo potencial se obtienen los siguiencriterios particulares.

2.6. /¡ '-~

I ('S

g son polinomios primos entre sí.

La integral de sobre un intervalo 1 compacto converge si, y sólo si, el polinomio q del denominador no tiene ceros en 1. La integral de f sobre la recta (- 'X', +
lim (b - xY f(x) = ),. Si

q

con

q¡(b) ~ 0,

donde r ;? 1 es el orden de multiplicidad de b, se obtiene lim (b - x)'f(x) = x~b

p(b)

--~

q¡(b)

Es aplir.able el criterio (2.5), y la integral de

O.

f sobre

1 diverge.

Si q(x) no tiene ceros reales y la diferencia de grados entre q(x) y p(x)

es r, se tiene x' p(x)

Proposición: Sea f f(x)

loca~mente

= O (x- r),

+ '00),

integrable en [a, cuando

si es r> 1, la integral de f sobre [a,

x-

+
lim x' f(x) = l¡m -(-)-' x-+ ,00 qx

y se supone

+
converge absolutamente.

x-+ +00

que es finito, por tener el numerador el mismo grado que el denominador. Es aplicable el criterio (2.6), si r = 1 la integral entre - 'oc y + ,'Xl diverge, y converge si r;? 2. 3.2. Otro tipo de integrables impropias, que generalizan las anteriores, se presentan al considerar cocientes de polinomios elevados a exponente reales

Demostración: Se considera g(x) = x-ro

p(x)~

Análogamente

y positivos

Proposición: Sea f localmente integrable en [a,

+ oc)

y fJ; es decir, integrales de funciones de la forma ¡(x) =

y se supone que

existe un número r para el que es

lim x' f(x) =

(l

lI. Sea la funq,ión t Á.

x ..... +co

Si es Á finito y r> 1, la integral de f sobre [a, + oc) converge absolutamente_ Si es Á ~ 0, finito o infinito y r:< 1, la integral de f sobre [a, + (le) diverge hacia ±
= ~ , q

q(x)~'

en la que p y q son polinomios cualesquiera de

grados m y n respectivamente, y a y fI números reales positivos. La integral de f sobre un intervalo 1 compacto, que sólo contiene un cero b del polinomio q(x) de orden r, que es cero del polinomio p(x) de orden s, converge si, y sólo si, es {Ir - a s< l.

506

Integrales impropias

La integral de f sobre la semirrecta [a, + ,x), en la que a es mayor que todos los ceros reales de q(x), converge si, y sólo si, es fin - a m > 1. Se razona como en el caso anterior.

_X)~'-
f(x) = lim ...... b-

(b -

=1 +

X2

x)~'

p(x)

-:F O Y finito,

p(x)

lim x6n-«m f(x) = lim - - - - = X«ffl q(x)

j,

-:F O Y finito.

v'(t Z

3)

verge.

f se anula para x

= 3, Y en el radicando

1

.. :' un cero simple. Como r = 1, s = O es fJr - as = -2-' por lo que converge integral en un semientorno de x = 3. El grado del numerador es m = O, Y el del polinomio en el denominador 1/ 4, luego {In - am = 2, Y la integral cO;J,verge en un semientorno de + ( x . 1.1

Los resultados anteriores tienen validez cuando en vez de los polinomios p y q se consideran funciones continuas u y v que cumplan condicioIIl'S que generalizan las relativas a las multiplicidades de los ceros y a los grados de los polinomios.

y

+00

xE

x-++'XY

f son los

anulan a v(x), y se supondrá que son aislados. La integral de t sobre un intervalo compacto 1, que sólo contiene un punto crítico b, converge absolutamente si ¡ir - aS < 1, siendo u(x) = O (Ix - bl') Y l'(x) = O (Ix - bl') cuando x '"""* b. La integral de f sobre la semirrecta [a, + ~), en la que no e.xiste ningún punto crítico, converge absolutamente si fin - 11m> l siendo u(x) = O (xm) y v(x) = O (x"), cuando x ........ + ,x. IJIW

La integral

_"'C'~=1=+,;,=t1~s=en=2=t=;::­ dt 2 4 .JI

+

t2 sen t

+t

cuando

x-?

+ '.x',

3

3

F •

-

3:-++-00

FX"

Si es a > O, se escribe ,la = e', y se tiene x'

y v son funciones continuas y

" y /1 números reales positivos. Se dirá que los puntos críticos de

+00

v{x) = O (x 4)

+ x4

. In x . llx _ 1 hm --=hm ---=hm --=0. XE 1

3.' ...

Ud

f = 7' en la que u

1

senz x

X2

3.4. En el estudio de las integrales impropias en las que intervengan logaritmos o exponénciales, se ha de tener presente el comportamiento de estas funciones en los entornos de los valores en que se hacen infinitas. Para el logaritmo se tiene: Cuando x ,-+ + O Y cualquier «. Cuando x-+ 0+ es (In X)d = o (x-'), para cualquier f> O Y cualquier a. Para la exponencial se tiene: Cuando x ,-+ + O Y cualquier a. Estas igualdades se comprueban inmediatamente por la regla de J'Hópital. Así, para la primera, si a = 1 se tiene

1,3.

J

=I +

La integral converge en virtud de la propiedad anterior y además no tiene puntos críticos

+ l)(t - 2)(t J3+=-,~~~d=t~~==~

Ejemplo.

v(x)

2

La integral

lII. Sea la función

y

1 1 4 fin - am = - - . 4 - - - 2 = - - > l.

xY' q(x)

x-++ro

El denominador de la función

senz x

luego j,

(b x~"

,'Uf)

u(x)

u(x) = O (XZ)

...-+b-

Ejemplo.

es convergente. Escribiendo se tiene

Obsésvese que es lim (b

507

Integrales impropias

con lo que el límite se reduce al caso anterior. Si es

a

< O los resultados son evidentes, pues lim (In x)a = O Y Um (In x)« = 0, x ....

x-++co

o1-

Con auxilio de estos resultados se obtienen las siguientes reglas, u(x) (In x)a IV. Sea la función f(x) = ( ) ' en la que u y v son funciones con. vx tmuas. La integral de f sobre el intervalo (0, b] que no contiene ningún punto crítico de f, converge absolutamente si es s - r> - 1, siendo

u(x) = O (x')

y

v(x)

= O (x'),

La integral de f sobre una semirrecta [a,

cuando

+ 'x),

x,'''''''' 0+.

en la que no existe ni1Qgún

508

Integra/es impropias

punto crítico de t, converge absolutamente

= O (x"')

u(x)

v(x) = O (x"),

y

cuando x '.-Jo

V

(X' ~.X:) = O (x

-

r

-<),

cuando

cuando (m -

+ F) > -1, en virtud

n

h'jemplo.

1

f sobre

(0, b] COn·,

x,~

e

>

----=====---.J1.+t3

+ 2 sen x = O (XO)

m = 0, n =

+

y

y

[a,

+ '~)

e-J.'

m-n

u(x) = O (x 1n ) ,

< _ 1.

+ 'x)

cuando

x ,->-

converge

+ 'x.

e

<

_4_ como

2

x'.... 0+,

que es

J~

e- t

tJ.-1

dt,

y se denomina funció) gamma. Esta definición que se generaliza para Ílalores complejos de la varia~e í., introduce en el Análisis una de las funciones más notables esenCÍalmentl distinta de las elementales. Una de las propiecides básicas de la función gamma, se obtiene fácilmente por una integración ¡::,r partes. De

f

absolutamente,

{j'n particular, la integral converge absolutamente si u es .un polinomio. que sea O<

+ IX)-+ R"

ru·) =

+

=-

cuando

y como 1 ,- i. < 1, en virtud de (2.5), la integral converge. El valor de la inté,ral depende de l., por lo que queda definida una fun-

dt

~ = O (x312),

.integml de f sobre una semirrecta [a, limera que sea m> O, donde

E

A>

+ 2 sen t)(ln tf

, ,ra

TOmando un

que según la última n~la converge absolutamente para todos los valores reales de 1. Es fácil ver que la Iltegral también converge absolutamente para O < J.. < l.

1(X) = O (Xl-J.),

f sobre

V. Sea la función ((x) = e-).,iI: u(x) en la que u es una (unMon' /1 A > O. .... continua ( /1"

O

+ 'x,

d (26) I e . a integral de

e- t {',-J dt,

La función ({x) = - __ es cociente de las dos funciones continuas u(x):;:.::: e-A' Xl-A y v(x) = Xl-A; Y es e-idente que

absolutamente, pues se tiene

por lo que es

3.5. Una aplicaciól importante de los métodos anteriores es el estudio de la in tegral

ción r: (0,

J 1

O

converge.

• o

La integral +00 (1

'
>

[

En el segundo caso, como es m-n < __ I I 1, se puede determinar un .t que Sf'a m-n + f < --}, y entonces se tiene

l' corno --

f

+ ':-..)

obre [a,

2

x.-;. 0+,

r - e) < 1 en virtud de (25) I . t absolutamente.' , , a In egral ue

\'
--o

y la integral de e

+00 8

como --- (s -

V(lge

A

+ oc.

En el primer caso, como es s - r> -, 1, se puede determinar un tal que sea s - r - f> - 1, Y entonces se tiene f(x) = O

509

Integrales impropias

e.O, m --- n < - 1, siendo

St'

al hacer L '....

Loe- tJ.-l dt

+ 00, rO.)

= [_~JL + _1_ _;. o i.

fLoe- t tl.. dt,

remlta

=-~ r(J.. + 1), l.

o bien

r(A

+ 1) = í. r(í.).

Como' r(l) = 1, aJlicando reiteradamente la relación anterior en el caso de ser A un número intero y positivo, se obtiene T(n)

= (n

-

1)1

se tiene manifiestamente ),

f(x) = O (e'X • e-)X)

= O (e- 2""'),

4.

COMPARACIÚN DE INTEGRALES iMPROPIAS CON SERIES

4,1. Con frecuenca el estudio de la convergencia de una integral impropia se reduce al de la convergencia de una serie y recíprocamente. Este hecho

510

Integrales impropias

es consecuencia de la analogía, que se presenta en forma clara, entre las integrales impropias de primera especie y las series numéricas. Esta analogía puede también establecerse entre las integrales de segunda l'specie y las series numéricas, si bien el aspecto gráfico no es tan simple, y los enunciados de las propiedades más circunstanciados. Dada la función f: [a, +x) ~ R, queda definida (l.l) F(x) =

J~ f(t) dt,

para x

E

[a,

.:r-++cu

=H

Por ser f positiva (o nulala función F es creciente, y por tanto su lím~te, para x ~ + '00, es finito o -oc. Si fuera lim F(x) = + 00, el de la sucesIón { F(x,,)} sería igualmente

x-++ro

+ ,;:)

y la serie

2: Un

divergente.

4.3. Un caso particular,'¡ de más aplicación, se presenta cuando f además de ser positiva es declciente. Esta condición implica la integrabilidad local. Proposición: Sea f: [a, +IC) ~ R acotada positiva y decreciente en [a, + oc).

+ '"'-).

La convergencia de la integral de t sobre la semirrecta [a, + ':xc) implica la ('xislcncia de límite finito de F a lo largo de una sucesión cualquiera {x.} de 1'I/I110s de [a, + 'x) que tiende hacia + 'x; es decir, si lim F(x)

511

Integrales impropias

La integral

f

¿ f{n) converge.

converge si, y sólo si, la se.e

finito, es lim F(x.) = H.

:=tCt)dt

n>G

ft.-+Q:}

Supuesta creciente la sucesión {x,,} y designando por X,

U¡

=

J

x,/(t) dt,

con

t'~

F(x.) IlIq~()

=

J:"

{(t) dt

=

,t

U¡,

se tiene:

la función f localmente integrable en [a, + oc) y {x n } suceSlOn creezente de puntos de [a, + 'x) que tiende hacia + oc; enton~'i converge la integral de f sobre [a, + ':x)o también converge la serie nu-

Propo~~ción: ~ea 111/11

('I'S,

,1/1"riC([

L Un'

4,2. Las proposiciones en sentido inverso tienen más interés. Se trata de criterios que permitan asegurar la convergencia de integrales supuesta la dl' las series.

o

a

Demostración: Al ser dcreciente f se tiene f(r

d;) r

Proposición: Sea { una función positiva localmente integrable en [a, I.a integral

roo

conve~ge

+ 'x).

fU) dt

si, y sólo si. para una sucesión {x,,} creciente de puntos de [a, que ttenda a + 'X, la serie correspondiente ¿ u" es convergente.

+ oc)

D,emostración: En virtud de la proposición anterior. sI converge la integral, lo mismo le Ocurre a la serie. luego se trata de probar la proposición recíproca.

x

n

2

+ 1) ~

f :+1

f(t) dt

~ ten),

por lo que la convergencia de la serie L f(n) equivale a la de 2: u'n; y como Un ~ O, la convergencia de ~ Un equivale a la de la integral de f sobre [a. + oc). Esta proposición se us indistintamente para probar la convergencia de algunas series numéricas (':riterio integral") o para probar la de algunas integrales.

Ejemplos. l.-La serieL _1_, con a> 1, converge (9; 5.1), La función na n~l

asociada _1_ está acotada en [1, xa

+ (0),

sobre [1, +x) converge (.2, ejemplo).

es positiva y decreciente y su integral

513 Integrales impropias

512

Integrales Impropias

2. - Partiendo de la convergencia de la serie 1

Lr(lnr)" ---

con

Sea f una función localmente integrable en [a, +':X;). Si {x n } es una sucesión creciente de puntos de [a, + x) que tiende hacia + ex:, tal que las integrales sobre los intervalos [Xn, Xn+l]:

a> 1,

92

Un

resulta la de la integral

=

JX""'

tU} dt, con

Xo

=

a,

x,

J

dt

+OO

t(In

2

t)~

con

,

a> 1.

ca

Inversamente, se puede obtener directamente la convergencia de esta in/t'g r;¡ 1, pues haciendo el cambio de variable s = In t. se tiene

J

+OO

2

forman una sucesión {un} de signos alternados, decrecientes en valor abs~luto y con límite O, entonces la integral de f sobre [a, + ''X) converge hacta la

dt ---t(ln t)"

f

+00

In 2

ds -s~

L

suma de la serie alternada

Un'

n='~

~ u" converge, Y además para cada

Evidentemente la serie

x

E

[a.

+ "'-),

si x,";;x
q 111' en el ejercicio anterior se ha visto que converge, De esta convergencia 11'~lIlt¡¡

la de la serie. y el segundo miembro tiende a O cuando

l.-Designando por ln¡ t =ln t,

y por recurrencia

1.1 hlllClón In. t está definida para t 1'11 1

>

lnk.r! t = In (In. t),

Ejemplo.

Se trata de estudiar la convergencia de la integral

e',_1> en donde ek está definido por re-

+oo

J"

"l'ncia Teniendo presente que es (lnk+l t)' = _____ 1 , t . In t . In2 t ... ln k t

d l'ambio de variable s

= lnk+l t,

[+co

J e'+2

permite comprobar que la integral

<

converge si es a> 1, Y diverge si es a 1. Como para a > O, la función bajo el signo integral es positiva y decreciente se deduce que la serie 1 r . In r ... lnk r Onk+l r)" converge sÍ, y sólo si, es a> l. 4.4. Cuando la función f no tiene signo constante, los resultados no son tan concluyentes como en el caso anterior, pero se pueden obtener algunos interesantes, cuando la integral es comparable con una serie numérica alternada.

sen t _dt t"

en la que a es un número real positivo. . Si es a> 1, la integral converge absolutamente (2.6). En. el caso mteresante O< a ~ 1 se puede aplicar la técníca anterior de la serie alternada. La secci&; de puntos {X.} adecuada, está determinada por los. ceros del numerador que separan los intervalos con distintos signos. Se tIene, pues,

x.

=

n;r, y es

1

t· In t ... lnk t . (lnk+l t)"

+ .X'.

X·-jo

Un

=

In ! 11"

J

sen t

dt = (- 1)

Iln:

Para los valores de t

r~

n

-t"-

O

sen t

et + n 11')"

dt •

•

€

[O. ,,] se tiene la siguiente acotación sen t

sen t

-----,--~ (n + 1)" ¡c" y por integración resulta

2

(t

.:-- sen t

-, + n1l)~ '" -na-71" 2

----< lunl ~ --, (n + 1)" re" na. "a lo que prue b a que { Iu, I} es decrecl'ente Y tiende a O', Y corno los signos de

514

Integrales impropias

los términos

son alternados, se tiene

Un

f siendo

¿

probar que para todo •

+OO_sen t

¿

dt =

r-

n

> O es también convergente

' J

00

Un,

- - dt. t"

6. -- Probar que es divergente la integral +00

5. l.

J Jao J'

Jao

e.'(tt·dt;

dt

00

t (In t)"

2

oo

lntdt;

J'oo - - ; J tooe-It'lntdt;

2 -

1 - dt ; t

In t

J

00

o

1

1

sen' t - - - dt;

J

JOO

00

o

t

lnt 1 dt· e-tsen---dt. t(t'-I)'/' 'o t'

cos t - - - - dt;

I a

o

f

r

1

toott e-la dl;

o

sen (ca)

+OO

J J

(l -- t2)~ dl;

+00

ca- I

- - - . dt; 1 +t~

o

J'

to.- I

-

+00 n

In

calcular la integral tOO sen t cos t " - - - - dt=--, t 4

J

o

Por integración por partes deducir tOO ~Il~ 'lf t' dt = --2-'

J

e

con n entero y positivo;

lim {(x) = B.

tOO

J

o

9. -

sen' t 1f - - - dt=-t' 4

+ cos' t e

J

= 1, y el resultado anterior, ob-

+00

o

sen't 1f ..dt=--. t' 3

Para va1ores d e n ent e ros pos it¡'vos deducir las siguientes fórmulas tOO sen'"t' t e t dt

J

TT

=

(2n)!

2'HI (n !)'

J

C()

l

In t

--dt t nt1

= n-l.

lO, - Sea f una función per¡'ód¡'ca de período 1, integrable en [0, 1] y tal que es (t

+ a) -

f(t)] dt,

con

J:

a> 0,

y calcular su valor.

+

11:

dt = -2-'

t

Teniendo presente la identl'da d sen' t tener

Y

dt 1+4t'sen't

+ t' Isen tl)'/'

sen t

+00

(In t)· (sen t) '/' dt.

Probar la existencia de

5.--Sea f:[I,

(1

0

t~-I

4, - Sea f: R ,-~ R, localmente integrable en R, y tal que

J_+: [{

J

dt

------~--

o

J

estudiar su convergencia, y por integración por partes deducir una relación entre In e 1'_1, Calcular In.

lim {(x) = A

+00

J

l" dt

= Jó -====::-, ti t' (J - t)

dt;

vT

l .. ,Sea la integral l

+ t'

8. - Suponiendo conocida la fórmula

- - - . _ dt; 1-t

o

+00

di;

o ,t~

J

Estudiar, por el método d e las ser¡'es, la convergencia de las integrales:

t sen t

dl

¡

sen

7. -

I 1 In t . sen --- dt. o t Determinar los valores de • y f3 para los que convergen las siguientes integrales:

J

J

t

aplicando el método de las series.

- Estudiar la convergencia, o divergencia, de las integrales siguientes:

J

Isen ti - - - dt,

l

EJERCICIOS

tOO

f(t)

+00

l

n=1

una serie alternada convergente.

Un,

515

Integrales impropias

f(t) dt = O. Probar que

J

+00

1

"-)-¡.R continua, y se supone que es convergente la integral

J

+OO

1

f(t) dt;

converge si es s> O.

f(t)

--dt t'

25. Sucesiones de funciones l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Convergencia puntual. Convergencia uniforme. Propiedad de acotación. Álgebra de las sucesiones uniformemente convergentes de funciones. Continuidad de la función límite. Derivación de la función límite. Integración de la función límite. Ejercicios.

La definición formal (1.1) de una suceSlOn cuyos términos son funciones sólo tiene interés en relación con el problema de la convergencia de la sucesión hacia otra función. Si las funciones tienen un dominio común de definición X, y para un Xo € X se "hace x = xo" en todas las funciones. se obtiene una sucesión numérica. Cuando esta sucesión converge hacia un número 1, se dice que la sucesión de funciones tiene el límite 1 en x = xo. El conjunto e de los puntos de X en los que tiene límite la sucesión de funciones es su dominio de convergencia puntual, y haciendo corresponder a cada x € e el límite 1, queda definida la función límite de la suce~ión (1.3). En resumen, la función límite de la sucesión se "construye punto a punto" a través de sucesiones numéricas. Esta forma de definir la función límite, por una parte, da interés a la convergencia y es un método potentísimo para definir nuevas funciones, pero por otra parte, da lugar a resultados inesperados y con frecuencia incómodos. Así, las funciones de la sucesión pueden ser continuas, derivables, incluso infinitas veces, y sin embargo la función límite puede ser discontinua (ejemplos 1-7). Para conseguir que las propiedades de las funciones de la sucesión se conserven en la función límite, es necesario imponer condiciones suplementarias a la convergencia. La condición más natural y simple es que la convergencia sea uniforme (2.2), que equivale a que las gráficas de las funciones de la sucesión se aproximen globalmente a la gráfica de la función límite (2.3). Se ha de observar que mientras el dominio de convergencia puntual de una sucesión está detenninado unívocamente, en el caso de la unifonne se ha de precisar cada vez un dominio en que se realiza tal forma de convergencia, y que sea suficiente en el problema que se estudia. La convergencia uniforme permite asegurar la conservación de la acotación (3) y de la continuidad (5). Precisamente esta última propiedad se traduce en una condición suficiente para que dos pasos al límite sucesivos sean permutables (5.2). En el caso de la derivación, se han de imponer condiciones todavía más restrictivas, cual es la cunvergencia unifonne de la serie de las funciones derivadas; y así se puede asegurar la conservación de la derivada en el paso al límite (6). Más sencilla es la propiedad referente a la integración. La convergencia uniforme de una sucesión de funciones R-integrables, asegura la R-integrabilidad de la función límite, y el poder pasar al límite "bajo el signo integral" (7.1). Si las integrales son impropias se han de imponer condiciones restrictivas de uniformidad en la convergencia de las integrales (7.3 y 7.4).

517

519 Sucesiones de funciones

518

Sucesiones de funciones

1

:~~:;

1.1. Sea 9" un conjunto de funciones t, todas definidas en un mismo conjunto X de la recta numérica real R o del plano complejo e, y cuyos valores son igualmente números reales o complejos.

Definición: Dada la sucesión de funciones U.}' de(inida en d junto X· se dice que converge en el punto Xo E X, st es conv(!'g 1 la sucesión numérica (fn(XO)}' El conjunto e de l~s puntos x E X en (:~.: que converge Un}, es el dominio de convergenCIa puntual de la su sión de funciones. . --_.. '

Definición: Una sucesión Un} de funciones del conjunto 9", es una aplicación del conjunto de los números naturales en 9".

Sí a cada punto

1. CONVERGENCIA PUNTUAL

H,,(x)}; es decir,

Se dice que X es el dominio de definición de la sucesión. Ejemplos. 1. - En la sucesión {x'}, las funciones son fn(x} = x' que están definidas en todo R o C, y sus valores pertenecen respectivamente a R o a C.

En la sucesión {sen nx}, las funciones son f"ex) definidas en todo R, y sus valores pertenecen a R. 2. -

= sen nx,

que están

1.2. Pueden existir funciones en la sucesión U.} que no estén acotadas en X, y también puede ocurrir que cada una de las funciones esté acotada ell X y sin embargo no exista ninguna cota común para todas las funciones de la sucesión.

Definiciones: Una suces!on de funciones Un} definida en X está uniformemente acotada, si existe un número K tal que es Ifn{x) I < K,

para todo x

€

X Y todo

n

€

N.

Se dice que {In} está uniformemente acotada en el conjunto existe un número K tal que es

If.(x)[< K, para todo x

E

e e X,

X E

e

se le.hace corresponder el límite de la X f->o

sun'<"lilll

lim f,,(x), fl-+ill

queda definida una función f en C. .---------::--;--:=~7.:::::¡:_¡¡I':;;,·¡¡;;-;pu;;n;tt~u~al.l,-o Sim¡1/:'II[('./I1 l' Definicl'O'n·. Se denomina función !ml.te - f definida en el OU/II/IIIO función límite, de la sucesión Un}, la f unClOn e de convergencia. por f(x) = lim f.(x). Tj .....

tn

También se dice que la sucesión { t• } converge, hacia la función f.

converrte puntualmenle " ~

.,

,//11'

f 1

,'11

I

I

., I 1 el límite puntual de una suceSlOn ObservaClO11. Para ca cu ar ., depende de x y di' 11. llot' . . , t t' dada por una expresJOn que 1 1 1 límite de la sucesión numérica {{"el') ) que la funcJOn n e~. e tará considerar x h¡o, Y ca cu ar e I

"

'

'

si

e y todo n € N.

=

E;emplos. l. - En la sucesión f.(x) = x", con n 1, 2, ninguna de las funciones está acotada en R, pero la sucesión está uniformemente acotada en el intervalo [- 1, + 1].

2. -La sucesión f.(.x} = sen.nx, con n tada en R. Se tiene [sen nxl ::;;; 1, para todo x

= 1, E

2, ... , está uniformemente acox

R Y todo n

E

N.

o

3. - Cada una de las funciones de la sucesión fn(x) = nx, con n = 1, 2, .... está acotada en el intervalo [- 1, + lJ, pues es Ifn(x) I n en este intervalo; sin embargo no existe un K que acote uniformemente a la sucesión.

<

1.3. Para cada Xo E X se obtiene la sucesión numérica {fn(x o}}, cuyos términos son números reales o complejos,

La slIceSlOn de funciones {f,,} converge puntualmente hacia la función f en C.

La sucesión de funciones {f,,} con I,,(:te) = sen nx sólo converge puntuahm' ll x

te en los puntos k = O. ± rr, ± Zrr,

= krr,

520

Sucesiones de funciones

521

Sucesiones de funciones

Ejemplos.

l. - En la sucesión {fn}. las funciones están definidas por x' f.(x) = - - ,

n!

n = 1, 2, ... ,

para todo x t R (o X E C). La función límite es para cada x fijo se tiene

ter)

= 0,

. , converge hac¡'a O, y sólo para x = 1 el límite Para - 1 < x < 1, la funclOn es l. La función límite f es

para todo x, pues

~

f(x) =

. x' hm -,-=0.

n ... m

El campo de convergencia

e

11.

coincide con R (o con C). mente por

2. ___ En la sucesión {tn}, las funciones están deJinidas por o

= 1 + x + X2 + ... + x n, n = 1, X E e). Sin embargo el campo e

!n(X)

1';lr
(x) = lim (ix) = lim (1 +x n ..... ::O

+ X2 + '" +

n ..... oo

Además, restringiendo el dominio I < x < 1, se observa que c;tda 1[,,(xll < l + n para todo x E ( - 1, 1), ,·stá. Al pasar al límite se ha perdido

xn) = lim 1 n_JO 1-

xn+l

=

X

1 , ___ 1 --- X

de las funciones fn al intervalo abierto una de las funciones está acotada: Y sin embargJ la función límite no lo la propiedad de acotación.

R. El campo sl'l1liabierto - 1 < x ~ 1. para todo x

E

e

= x",

'.(x) =

1 - nx, para

1

+ nx,

°

1

~ x ~ --,

para -

n

1 n

--,;;::x~O,

. , esta' deft' ni'da en R, y es nula para La función límite f de esta suceslOn todos los valores de x, salvo para x = 0, en donde es f(O) L

=

Función f" de la sucesión y función límite puntual ,.

1. --- En la sucesión {f1l}' las funciones están defhidas por

¡.(x)

1

Ixl ~ -n-'

0, para

2, ... ,

n = 1, 2,

--------~---~.~~----~

x

de convergencia es precisamente el intervalo

Este ejemplo, aun con más claridad que el anterior,. present~ el hech~ notable, de que las funciones de la suc~sión son todas contmuas, mientras qu la función límite tiene una discontinUldad en x = O. T

.. x

I I 1 I I I

-1

O

5. -- La sucesión {fn} de funciones definidas por fn(x)

=

e-

II

'

x',

n = 1,2, ... ,

-x

Funciones ti.

Funciones (l. f2 y f, de la sucesión y función límite Puntual f, definida en (-- 1, 1].

f,

y

f,

de la sucesión.

523 Sucesiones de funciones

522

para todo x € R. converge hacia la misma función límite que la sucesión del ejemplo anterior. . En este ejemplo, las funciones In poseen derivadas de cualquier' orden mIentras que la fu~ció~ .límite no sólo no es derivable, sino que ni siquier~ es contmua. La denvabIhdad se ha perdido en el paso al límite. , 6. ~- La discontinuidad de la función límite, en el ejemplo anterior, tiene su ongen en ~l hecho de que todas las funciones de la sucesión son iguales .t 1 para el mIsmo valor x = 0, y la sucesión tiende a O para todos los demás valores de x. Sin embargo puede ocurrir que la función límite de una sucesión sea nula existan infinitas funciones de la para todo x, y en cada entorno de x = sucesión que tomen valores iguales a l. En ,la siguient~ ~ucesión se presentan esta y otras particularidades al dar al parametro a dlstmtos valores. Sea la sucesión {in Jo cuyas funciones son impares y están definidas en R ror las siguientes condiciones:

°

x· n«, para fn(x)

=

x

1 <-n

= n a- I ,

In (

+ )=

gráfica cartesiana de fn es rectilínea. Para x una semirrecta real.

°

Si es a> 1, el valor de'la función

In

para x =

+

es

aI In (-+) = n - , y

como el exponente es positivo, tenderá hacia + (X al crecer n, Y por tanto en cada entorno de x = O existen valores de las funciones que superan a cualquier número dado. Los máximos de las funciones de la sucesión dada se pTe-

.

1

1

sentan respectivamente en x = 1, -2-, ... , -n-' ... , y son

tI (1)

= 1, 12 (+) = 2<-1,

... , f"

(-+) =

n"-I,

que tienden a +~. Adviértase que los puntos de las gráficas de tI' {2> ... , 1,,, .. " en los que se presentan los máximos respectivos, corresponden a valor.es de x que son distintos. a

= 1,

para todo n se tiene

In

f ..

(+) = 1. A la derecha de

x

1

tienen un máximo igual a 1. Los valores x

= --, n

o, y

~ _2_,

entre estos valores la la gráfica coincide con

"

n

2 n

x

o

x

Funciones ti' f, y

Función

In de la sucesión

= 0,

se aproximan al origen tanto como se quiera. En este caso como en el anterior, la función límite ·es continua.

2

+)

o, In (

origen . Cualquiera que sea el número real a, la función límite de la suceSlOn es f(x) = para todo x € R; sin embargo, la manera de tender {tn} al límite es muy distinta según sea a> 1, a = loa < 1-

todas las funciones

--~x

n

Además, por ser la función impar, su gráfica será simétrica respecto del

Si es

2) 1 2 ( -n- - x na, para -n- ~ x ~-nO, para

es decir, 1.(0) =

O~

Sucesiones de funciones

y función límite puntual

f. que es la nula.

t, de la sucesión, en los tres casos 2> 1, La función límite puntual f es la nula.

>.

= 1 y

z

< 1.

525

rcesiones de funciones

524

Sucesiones de funcíon,'

Si es

(1

< 1, como fn

(+) = n

a- l

máximos de las funciones tienden a

y el exponente a - 1 es negativo, lo'

°

al crecer n. En este caso, para cad"

F> 0, si v> fk, el máximo de las funciones f. para n> v, es menor

También se puede expresar esta condición de la forma equivalente: La sucesión Un} converge uniformemente hacia f en e, si para cada e> existe un número natural v, tal que es

°

sup qlh

If n(x)

- f(x) I <

para todo

E,

n~

v.

xEC

'. y por tanto es

para todo x E R Y todo n ~ v. 7.- La sucesión de funciones {f n}, definidas por la expresión analític:' fn(x)

= xnae

-~

xl

2

n

= J,

2, ... ,

para todo x E R, tiende hacia la misma fmción límite que la sucesión df' ejemplo anterior, y el carácter de la conver~encia es análogo. Es de observar que en uno y otro caso, las funciones f. poseen derivada ('11 el origen:

°

Si es > el límite de f'. (O) para n -..x es infinito, mientras que la derivada del límite f en x :::;: es reO) = O. El valor de la derivada no se conserva en el límite. (1

2.

°

CONVERGENCIA UNIFORME

2.1. En el estudio de las sucesiones convergentes de funciones tiene es· pecial interés el conocer cuáles son las propi~dades de las funciones de la succsión que se conservan en la función límite, y en qué condiciones tiene lugar esta permanencia; es decir, suponiendo que todas las funciones de la sucesión Un} tienen una propiedad, tal como la acotación, la continuidad, la deri· vabilidad, la integrabilidad u otras, se trata de precisar condiciones que ha dc cumplir la convergencia para que la propiedad considerada la conserve la función límite f. En los ejemplos anteriores se ha observado que no es el hecho de la convergencia el que influye decisivamente en las propiedades de la función límite, sino la manera de ser dicha convergencia. En este orden de ideas tiene importancia la llamada convergencia uniforme. 2.2. Definición: Sea {fn} una sucesién de fun"7:¡;;;es con valores reales o complejos, definidas en un mismo conjunto X. Se dice que la sucesión converge uniformemente hacia la función t en el conjunto e e X, si para cada e > existe un número natural v, tal que es

°

Ir. (x) para todo x

E

e

y todo n

~ v ••

f(x)1

<"

De la definición resulta, que para cada punto x ión de convergencia puntual, luego:

E

e

se verifica la condi-

Proposición: Todo conjunto e en el que una sucesión {fn} converge uniformemente, está contenido en el dominio de convergencia puntual. También resulta de la definición que si la sucesión Un} converge uniformemente en un conjunto e, también converge uniformemente en todo e' e C. Ejemplo. 1. _ La diferencia entre la convergencia puntual y la uniforme se percibe claramente analizando la convergencia de la sucesión {x"} del ejemplo 3. La sucesión {x n } es convergente en el intervalo semiabierto -- 1 < x ~ 1. La función límite es f(x) = para Ix! < 1 Y f(l) = 1. Sea un Xo E ( - 1, 1], tal como Xo = 0,1, la sucesión {O,ln} converge hacia O; es decir, para cada g> existe un Vo tal que 0,1 n < e para n ~ VI). Si, ~r ejemplo, es é = 0,001, a partir de Va = 4 se verificará la desigualdad anteflo~. Para otro Xl E ( _ 1,1]. tal como Xl = 0,5, la sucesión {0,5"} converge h~cl" 0, y dado un E> 0, existe un VI tal que 0,5" < e para n ~ VI' Si, por ejem: '(tI; , = 0,001 como en el caso anterior, la desigualdad 0,5 n < f ya no se venf¡ra a. partir de VI = 4. sino que se habrá de considerar VI = 14. n Finalmente, para X2 = 0,9, se verificará la desigualdad 0,9 < 0,001 para valores de n todavía mucho mayores. Para n ~ Vz = 66 se verifica la desigualdad. Resumiendo, para cada f existe un V tal que es

° °

Itn (x)

-- f(x)1

<

t,

para

n ~ v,

dependiendo el entero v de F y del punto x E ( - 1, 1]; es decir, v CE, x). En el -ejemplo se ha comprobado que fijo E, v depende de x. .. Es fácil ver que no es posible, dado un F > 0, hallar un v fiJO tal que se verifique la desigualdad anterior para todo n > v y todo x E .( - 1, 1]. La sucesión {x n } no converge uniformemente hacia la función límite. 2. _ La convergencia en el ejemplo 1 es uniforme en todo intervalo finito contenido en el dominio de convergencia. En los ejemplos 2, 3, 4, 5 Y 6 la convergencia no es uniforme en todo el dominio de convergencia. La sucesiÓn del ejemplo 2 es uniformemente convergente en todo intervalo cerrado contenido en el dominio de convergencia. En los ejemplos 4 y 5 la conver-

526

Sucesiones de funciones

Sucesiones de funciones

gencia es uniforme en todo conjunto interior al dominio de convergencia del que se han excluido los puntos de un entorno del origen. En los ejemplos 6 y 7 la convergencia es uniforme en todo el dominio de convergencia si la < 1, Y no lo es si a 1. En estos casos, excluidos los puntos de un entorno del origen la convergencia es uniforme en el conjunto restante.

existe un entero

2.3. Si las funciones t" de la sucesión son reales de variable real la convergencia uniforme tiene una interpretación cartesiana interesante. Suponiendo que la sucesión {f,,} converge uniformemente hacia f en e, para cada ,> O se consideran las gráficas cartesianas de las funciones f ~ , y f + f, que determinan un "entorno" en el sentido del eje de ordenadas de la gráfica de la función límite f. Entonces las gráficas cartesianas de todas las funciones fw fv~l, ... , f" ... , para un cierto v, están situadas en dicho "entorno".

De estas dos resulta la desigualdad del enunciado. El recíproco se basa en que toda sucesión de números reales o comr l. que verifica la condición de Cauchy es convergente. Sea un x E e fijo, en virtud de la hipótesis, para cada F > O existe 11" tal que es Ifr(x) - ¡q(x)1 < F, para p, q;,? v.

>

v

tal que es e

!fp(x) -

fex)1 < , 2

!Ux ) -

¡(x)\ < -2-'

y

lE

para todo

p> v

y todo

x

E

C.

para todo

q )3

y

x

E

e.

v

todo

luego la sucesión numérica (f,,(x)} converge, y se designa por {(x) su Hm;l. Como esto ocurre para cada x € e, la sucesión de funciones {fr} conVC'II., puntualmente hacia una función f en e. Se trata de ver que esta convergen,- 1 , es uniforme en C. En virtud de la condición de la hipótesis, para cada t > O, tomado un que sea f > ,'> O,existe un v tal que es lfv(x) - f'(x)i <

p'

para todos

p, q

>

1',

Y todo

x

€

C.

Fijados p y x, al tender q hacia ." resulta Ifr(x) ~ f(x)1

o

desigualdad que se verifica para todo x convergencia uniforme.

x

En la zona rayada limitada por las gráficas de las funciones f están situadas las de todas las funciOlles {n para n 1'.

>

", f

€

:s;; p' <

f.

e y todo

p ~? v, lo que prueha di,

I¡

I

+ ", 3.

2.4. La condición de convergencia uniforme se puede expresar de una forma equivalente a la de la definición, que en algunos casos es de aplicación más difícil. Se trata de una condición de eauchy, análoga a la que aparece en la definición de sucesión fundamental.

PROPIEDAD DE ACOTACIÓN

3.1. Las funciones de una sucesión uniformemente convergente pucd l 'll no estar acotadas. Tal es el caso de la sucesión de funciones {fn} definidas ('11 el intervalo abierto O< x < 1 por ·11 f.(x) = + -n-'

-r=x

Proposición: Condición necesaria y suficiente para que la suceswn de funciones {f,,} sea uniformemente convergente en el conjunto e, es que para cada f> O exista un entero l' tal que es !fp(x) -- fq(x)1 <

F,

para todos p, q;,?

l',

Y todo x

Demostración: Si Un} converge uniformemente a f en

E

e,

e. para cada F> O

Evidentemente esta sucesión converge uniformemente hacia

o<

1 -- x

x < 1, y tanto las funciones de la sucesión, como la función límik

I!O

están acotadas Sin embargo, presupuesta la convergencia uniforme de una sucesión, de la acotación de infinidad de funciones de la misma, resulta la acotación d( la función límite. LlNÉS-18

Sucesiones de funciones

528

Proposición: Si la suceslon {fn} de funciones reales converge uniformemente en e, e infinidad de funciones de la misma, están acotadas superiormente en e: f,,¡(x) < H¡, para i = 1, 2, y todo x € e, oo'

sión {" f"

+ 1I gil},

Ifn(x) - !(x) I <

E,

para todo n ;;;:;.

de donde t(x)

< •

+ !n(x),

para todo n

v

>v

y todo x

y

todo x

€

€

e,

+ H;,

para todo x

€

e.

<,

+ !(x) <

2,

+ H;

para todo

n:>

11

y todo x

• 2j:f' e

!g,,(x) - g(x)1

< 2 1f1'1

para t o d o n ~~ para todo n

v'

y todo x

€

c,

:> v"

y todo x

€

e,

> O

(supuestos (l::¡= O Y 1I ~ O). Si es v = máx {v', v"}. se verifican las dos desi, --- l' Y t od o x € e , de donde regualdades anteriores simultaneamente para n ~ sulta I(a (,,(x) + 1I g.(x)) - (a !(x) + Ji g(X»)! < f, para todo n v y todo x E C.

4.2. Proposición: Si las dos sucesiones {{,,} y {gn} de funciones rea/:s (o complejas) acotadas en e, son uniformemente convergentes en e, tambw/1 lo es la sucesión {f,,' gn }. Demostración: Por ser uniformemente convergentes las sucesiones {{,,}

e.

y {gil} de funciones acotadas, serán uniformemente acotadas; es decir. existen

De la condición de convergencia uniforme, también resulta fn(x)

!(,,(x) - f(x) l <

f

>

Como infinidad de funciones de la sucesión están acotadas superiormente, habrá un ni ;;;:;. v, y por tanto f(x) < •

donde" I1 li son coeficientes numéricos.

Demostración: Por definición de convergencia uniforme, para cada existen dos enteros ,.' y,/', tales que es

la función límite f está acotada superiormente en e. Además, salvo un número finito (a lo más), todas las funciones f. de la sucesión están acotadas uniformemente en e. Análogas conclusiones se deducen en el caso de acotación inferior. Demostración: En virtud de la convergencia uniforme, para cada • > O existe un entero v, tal que es

529

Sucesiones de funciones

dos números H y H' tales que es €

1{,,(x)1 < H Y Ig,,(x)! < H', para todo n y todo x

e,

lo que prueba la acotación superior uniforme de la sucesión obtenida. prescindiendo de los v - 1 primeros términos.

y también es It(x)1

e,

I(,,(x) gll(x) -

y todas

+

fas funciones están acotadas, la función límite también lo está y la sucesión

está uniformemente acotada. Demostración: En virtud de la proposlClOn anterior, tanto la función ¡ como todas las fn, para n v, están acotadas por un mismo número H. Por otra parte, si tI. ... , !,_I están acotadas por H 1, ... , H 1 respectivamente, una cota común a todas las funciones de {f,,} y a t es máx{H], .:., H v _ l , H}.

€

e,

e.

Considerada la diferencia

3.2. La propiedad de acotación se enuncia frecuentemente en la siguiente forma, que es un caso particular de la propiedad anterior:

Proposición: Si la sucesión {f,,} converge uniformemente en

< H Y [g(x)! < H', para todo x

€

((x) g(x)1

< If,,(x) -

Ig,,(x) - g(xJllf(x)1 ::;: !f,,(x) - ¡(x}1 . H'

(x)!lg,,(x)\

+ [gn(x)

+

- g(x)1 . H;

como en virtud de la convergencia uniforme, para cada E> O existen dos en· teros v' y v" tales que es

>

Ifn(x) - f(x)!

< 2 ;, ' para todo

n:> v' y todo

x

€

e

E

e,

V_

4.

ÁLGEBRA DE LA SUCESIONES UNIFORMEMENTE CONVERGENTES DE FUNCIONES

y

8

Ig1l(X) - g(x) I < 2 H ' para todo n ;;;:;. v" y todo x

se tendrá Ifn(x) gix) - (x) g(x)! <

siendo (o

4.1. Proposición: Si las dos sucesiones {{n} y {gn} de funciones reales complejas) son uniformemente convergentes en e, también lo es la suce-

v

8,

para todo n

>v

y todo x

€

e,

= máx {v', v"}.

Observación.

Se ha de advertir que el carácter de acotación de las fun-

530

Sucesiones de funciones

ciones de las sucesiones no se puede omitir. Así el producto de la sucesión {I,,}, con

= _1_ + _1_,

fn(x)

1- x

n

que es uniformemente convergente hacia __1_, por sí misma, da lugar a

1- x

sucesión {f2} convergente hacia 1 vl'fRente. Se tie~e (l -

pero no uniformemente con-

una

I~(x) -

(l

~I

X)2

= ( 1

~x

+

+r-

531

Sucesiones de funciones

5.

CONTINUIDAD DE LA FUNCIÚN UMITE

5.1. Este teorema fundamental asegura la continuidad de la función límite de una sucesión de funciones uniformemente convergente. Aunque sólo se consideran funciones definidas en un conjunto X de la recta numérica real o del plano complejo, el teorema tiene validez cuando en X está definido un sistema de entornos.

X)2 '

(l

~

X)l

~- 1~ x

=

+. ~2

'

Y por grande que sea n, siempre existen valores de x próximos a 1, para los el segundo miembro es tan grande como se quiera.

CIl;i!l'S

_ -U. Proposición: La sucesión {llfH} formada por las inversas de las fund~ la sucesión Un} que converge uniformemente en C, en la que fft \"'1 {uncIOnes reales (o complejas), y cuya función límite f no toma [os valores d., 1111 en:orno de cero, es también uniformemente convergente en e.

Teorema: Sea {In} una suceSlOn de funciones reales (o complejas) definidas en un mismo conjunto X. Se supone que la sucesión es uniformemente convergente en un conjunto e e X, y que todas las funciones f" de la sucesión son continuas en un punto a € X de acumulación de e. Entonces la función límite f es continua en a, y la sucesión converge uniformemente en e u { a} = el'

,WIU'S

f)emostraGÍón: Por ser Un} uniformemente convergente y [f(x)¡ > h > O E e, tomado un h' < h positivo, existe un entero v tal que es

par,¡ todo x

[f.(x)! > h' > O para todo n> v y todo x

E

Demostración: En primer lugar se prueba que la sucesión Un} converge uniformemente en el conjunto e u {a} = C I . Por ser la convergencia uniforme en e, para cada ,> O, Y tomado un " < F positivo, existe un entero v tal que es I{.(x) - f.(x}[

C

1_1 =. ¡'.ex) -

_1_ _ _ f.(x) / f(x)

(x)1

< jfn(x) -

If(x))If,,(x)!

lila) -

f(x)1

fq(a)j

= pim

h'2

_1_1 <,

1 _ _ -f(x) f.(x) 1

,

>v y

todo x

10

para todo n;;:' v y todo x

C, E

e.

Dc esta proposición resulta

_ Proposición: Sí las sucesiones {In} y {gn} de funciones reales {o compleJas) acotadas en el conjunto e, son uniformemente convergentes en e, y la fl/llt'Í!ÍJI f límite de la sucesión no toma los valores de un entorno de cero, en'011,'1'.\ la sucesión {g"lfn} converge uniformemente en C. Ikllloslrllciún:

.1,,-, I !: .. ) y 11/1.. )

>v

y todo x

€

C.

= lim If,(x) - fix)j, con x X'

de donde

en virtud de la convergencia uniforme, para cada e > O existe un entero " (al que es f(x) I < ,h'z, para todo n

f.(x) - lim fq(x»)

X--+iJ

Itia) - f.(a)1

1'01110

se tendrá

e', para todos p, q

Al ser continuas en a las funciones f", se tiene:

('onsiderada la diferencia

Ifn(x) -

<

Hasta considerar la sucesión {gnjfn} como producto de las

<

f'

€

e,

+11

< "

luego la condición de convergencia uniforme se verifica también en x = a. Para demostrar la continuidad de f en a, basta probar que para cada E > existe un entorno Vea) tal que es

°

lt(x) -

fCa)! <

f,

para todo x

€

V(a)ne¡.

En virtud de la convergencia uniforme, para cada f> 0, existe un tal que es If(x) - fix)1

y en particular para

e

< -3-' para todo

x

E

l'

fijo

e,

x = a es s

l!(a) - fJa) [ < -3-' Por ser la función fija f, continua en a, considerando el

3

existirá un

)32

Sucesiones de funciones

de funciones derivables se supondrá que el dominio de convergencia es un intervalo abierto, o al menos que existe un entorno del punto x, en el que se estudia la derivada, contenido en el dominio de convergencia. En este caso se reduce al anterior considerando las restricciones de las funciones a un entorno lineal del punto x.

entorno Vea) tal que es

Iflx) '- tia)¡ < Como la diferencia ¡(x) --

T'

para todo

x

E

U(a) n

el'

fea) se puede escribir en la forma

f(x) - fea) = (f(x) - fv(x»

+ (fJx)

-

tia» + (tia) - fCa»,

rl'sultará, que en virtud de las tres últimas desigualdades se tendrá ¡f(x) - f(a)1 ~ ¡f(x) - fJx)1

para todo x

€

+ !f,(x) -

',(a)!

+ IUa) -

f(a)i < ,

Vea) n el'

O/;.wrvaciones: 1. - La condición de ser uniformemente convergente la suno es necesaria para la demostración, así como tampoco el que foddS las funciones sean continuas en el punto a, supuesta la convergencia

(l·.~1{1I1 {I,,}

d.. la sucesión en este punto. En particular, la uniformidad de la convergencia es una condición suficiente IId"a la continuidad de la función límite de una sucesión convergente de fun('HlI1l'~ continuas. El ejemplo 7, que converge hacia una función

muestra una sucesión de funciones continuas continua no siendo uniforme la convergencia.

2. - Considerando la proposición contraria del teorema, resulta un criterio '1"1' asegura la no uniformidad de la convergencia de una sucesión:

Si una sucesión Un} de funciones continuas converge puntualmente en

e

una función f que no es continua, la convergencia de la sucesión no es IIIliforme,

!¡e/CÚ¡

Así se comprueba inmediatamente, la no uniformidad de la convergencia lit' .I'IS sucesiones de los ejemplos 3, 4 Y 5 en los respectivos dominios de con-

Teorema: Sea {fn} una suceswn de funciones reales derivables en un intervalo finito abierto X. Se supone que la sucesión converge en un punto Xo E X, Y que la sucesión {f' n} de las derivadas converge uniformemente en X hacia una función
-------_._-----_.__._---_._-----

Demostración: En primer lugar se prueba que la sucesión {f n} converge uniformemente hacia una función f en X, El teorema del valor medio aplicado a la función fo - fq en el intervalo [x, xoJ con x E X, donde p y q son enteros cualesquiera, da (f.(x) - f.(x» - (f.(.xo) -- {.(xo»

La continuidad de la función límite rol' la igualdad ¡im f(x)

f en el punto a, viene expresada

= fea),

o bIen

lim [Hm 'n(X}] = lim [lim fn(x)]. La comparación de los dos términos de esta igualdad muestra que el teorema anterior da una condición suficiente para que dos pasos al límite suceS¡'¡iOS

sean permutables.

6

[t.(xo) - f.(xo}1 < - - , 2

DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN LIMITE

/f'{x) p

l'q (x)! < _8_, 2I

En el estudio de la derivada de la función límite de una sucesión

(r"en -

f~(m

con;

€

(x, xo),

para todos

p, q.>

VI;

para todos p, q

.> V2,

Y todo x

€

X,

donde l designa la longitud del intervalo finito X. Estas desigualdades aplieadas a la igualdad del valor medio, condueen "

Ifo(x) - {.ex)i <', para todos p, q

.> ",

y todo x

€

X,

donde v = máx {v¡, v2}, que es la condición de Cauchy para la convergenci
+ h)

..- '.(x)

= ---·7i-·····..····-·

gn(O) = 6.1.

xo)

y por serlo uniformemente la sucesión {t:}, existe un entero "'2 tal que es

,,,(x

6.

= (x -

Por ser convergente la sucesión numérica {(,¡{xo)}, verifica la condición de Cauchy, y por tanto para cada F > O existe un entero v, tal que es

vl'1'gencia. 5.2.

533

Sucesiones de funciones

,~(x)

si

2.... ,

534

Sucesiones de funciones

que son funciones de h, cuyo dominio es un intervalo 1 e X con centro en x. Estas funciones gn son continuas para todo h € l. Para h = O también son continuas, pues lim gnCh} = t:(x) en virtud de la existencia supuesta de la

converge hacia la función límite f = O para todo x La sucesión de las derivadas {f:} con

f'n·(x)

h-.O

derivada de fn en todo punto de X. La sucesión {gn} es uniformemente convergente en l. En efecto, se tiene f/x

gp(h) - g.(h) =

+ h)

- f,(x)

fb_ +_ h) - f.(x) __ h

y

;¡

+ h)

- fq(x

converge hacia

+ h)

<

< 1, de donde resulta

- (.(x

+ h»

,)

-}'2'2

2n2 (x _ n- 1i2) e -n-(x-n

= O para todo x

€

R.

!

R, incluso para x = O, ya que

+ h»

La sucesión de las derivadas converge hacia la derivada de la función límite. Sin embargo {1:} no conv,erge uniformemente, pues basta observar que es

- (/.(x) - f.(x»)],

esta diferencia se puede aplicar el teorema del valor medio obteniéndose ({.(x

'P

=-

€

- -

h 1 = -h- [({p(x

535

Sucesiones de funciones

- (f.(x) - f.(x» = h (f;,(x

(2__ 1 )=~, 'l/n n e

l'

+ Ifh) - f/x + Oh)},

n

que puede superar a cualquier número. COIl

/)

f¡

g.(h) - g.(h) '1 11 l' se verifica para todo h ciún de las funciones

gn'

€

= f~{x + IJh)

- f:(x

+ Oh),

7.

Como se ha supuesto la convergencia uniforme de {f',,}, resulta que para c¡¡da I > O existe un entero v, tal que es jgp(h} - g,,(h)j

<', para todos p, q.>

l'

y todo h

€

7.1. Como para la continuidad, la convergencia uniforme es condición suficiente para asegurar la intcgrabilidad según Riemann de la función límite, a partir de la integrabilidad de las funciones de la sucesión.

1,

Teorema: Si una suceSlOn {fn} de funciones R-integrables en un intervalo [a, h], converge uniformemente en este intervalo hacia la función f, ésta es también R-integrable y además

que es la condición de Cauchy para la convergencia uniforme en 1, de la su-

l'l'siún {gn}. Demostrada la convergencia uniforme de la sucesión {gn} de funciones l'Ontinuas, se puede aplicar el teorema de continuidad de la función límite ('j.l) en el punto h = O, y se tiene lim [lim gn{h)] 1I ~O

= ¡im

n >0:

"---+00

[lim g,(h)] , It-+o

o sea

lim

f(x

+ h)

h

- f(x)

= lim

lt-+o

I/-~CO

t:. (x) =

!~~ J~' fn(t) dt =

Observación. La condición de convergencia uniforme de la sucesión {r.}, supuesta en el teorema, es una condición suficiente. pero no necesaria como muestra el siguiente ejemplo.

La sucesión {fn}, cuyas funciones están definidas por

J

>(t) dt.

Demostración: Para probar que f es R-integrable, basta ver que para cada E> O existe una partición A del intervalo [a. b] para la que se verifica

S (t, 1\) - s (f,'\) <

",ex),

de acuerdo con el enunciado del teorema.

Ejemplo.

INTEGRACiÓN DE LA FUNCióN LÍMITE

1, incluso para h = O como resulta de la defini-

E,

donde S (t, Á) designa la suma superior correspondiente a la función f y a la partición ~, y análogamente s (t, ~) es la suma inferior. Escribiendo la función f en la forma f = (f - fn) + 'n, como el extremo superior de una suma es menor o igual que la suma de los extremos superiores de los sumandos, y lo opuesto ocurre con los extremos inferiores, se tiene: s (f, ~) <.S (f - fn, A) + S (fn, A) y

s (t, ~)

.> s (f -

fm ,~)

+ s (f",

t!),

536

Sucesiones de funciones

luego

s Ct,ó)

- s (t, ó) ~ (S (t -

r.

r., ó) -

+ (S (fm

s (t - In, Ó))

ó) - s (t",~»,

para cualquier de la sucesión, y cualquier partición ó de [a, b]. Como {tri} converge uniformemente en [a, b] hacia existe un entero que es

r,

< __f _ _ , para todo

It(x) - fv(x)j

x

€

v

tal

y en consecuencia

T'

Por otra parte que es

rv

cualquiera que sea 6.

es R-integrable por lo que existe una partición

.6*

para la

ó*) - s (tw 6*) <

para x

_ 8__ •

2

De estas dos desigualdades resulta

t

I

I~

J>n(t) dt - J>Ct) dt

J: Ir.(t) _. t(t) I dt;

pero por la convergencia uniforme de {t.} hacia {, para cada e> O existe un entero v tal que es

It.Ct) -- tCt) I <_8__ , para todo n b-a

>v y

f>(t) dt I<

para todo

E

€

[a, b].

n

> v,

fn(t)

dt =

I:

t(t) dt.

Este último resultado también se puede escribir en la forma lim n~co

J h

a

t.(t) dl =

j'. lim fn(t) dt; /l

n .... W

j"",(1) dI

lim [fn(X) --- InCa)] = n-Jom

[a, b]. Pasando al límite, queda

J:

'F(t) dt,

de donde

f'(x) =

(f!('.,.).

7.3. En el caso de la integración sobre intervalos no compactos, L,'. 11, pótesis del teorema de integración de la función límite, se han el!' lIiPdd,,", ya que en la definición de integral impropia interviene un nueVl) paso ;¡I 11,,,,,.· Para concretar se estudiará el caso de integrales impropias de pl'imen '"'1''' ,. en las que el límite superior de la integral es infinito. En primer lugar se introduce la noción de uniformidad en ];¡ con V",)'.' ". " de integrales cuando el límite superior .-,,* + oc.

J.

rOO

fn(t)dt,

n = 1, 2, ...•

se dice que son uniformemente convergentes, si para cada número L tal que es

IJ~tn(t)dt

lo que demuestra la igualdad

J:

o

TL

Supuestas convergentes las integrales todo x

Resulta, en consecuencia,

!~

4-

E,

lo que prueba la R-integrabilidad de en [a, bJ. Para probar la segunda parte del teorema se calcula

oCt ) dl -

€

IX f:Ct) dt = JX rp{t)dt ¡(x) - ((a) =

S (t, ó *) - s
Observaci6n.

liro 71-+00

s (tVl

IJ:r

es decir, cuando la sucesión Un} de funciones R-integrables converge unifor memente hacia la función f "se puede pasar al límite bajo el signo integral" Evidentemente esta condición de uniformidad de la convergencia no ('\ necesaria. Los ejemplos 3, 4 Y 5 de (1), supuestas las funciones restringid;,~ al intervalo (- 1, + 1), muestran casos en que es lícito el paso al límite ha jo el signo integral y la convergencia no es uniforme. 7.2. El teorema sobre la derivación de la función límite, resolla f;'"il mente del de integración, cuando se supone la continuidad de las f\lncion,·'. derivadas. Con esta hipótesis de la convergencia uniforme de {f'" 1 h;¡n.! '1 en 1 = [a, b], se deduce

[a, b],

2 (b - a)

S (t - t" ó) - s (t .- tv, ó) <

sr;

SucesIones de funciones

I
>

>O

existcll 1m

para n=l, 2, ... ,

Ahora el teorema de integración de la función límite se enuncia de la manera siguiente:

Proposición: Sea Un} una suceslOn de funciones localmente R-integrabies, uniformemente convergente en todo intervalo compacto contenido (m [a, + ':xl); Y sea f la función límite de la sucesi6n.

538

Sucesiones de funciones

Se supone que todas las integrales

J

("(t)

Sucesiones de funciones

Si en la misma acotación se hace q ,--+ 'X, resulta IFp(x) - F(x) I ~ 3,',

n = 1. 2, ... ,

dt,

"

son convergentes, y además uniformemente. Entonces es convergente la integral

y

J~XJ

es

}~: J a Demostración.

F(x) =

p

> v'

y

[a, +(0),

X €

!~~ F.(x) = }~~ J~ fit) dt =

J:t(t) dt.

Entonces, si es x> L, se tiene

tU) dl,

luego (,,(t) dt = fa t(t) dt.

+ :x)-+ R,

Si se designa con Fa: [a,

= J:{n(t)dt,

F"(x)

para

donde

IF(x) -

la función definida por

n=l, 2, , .. ;

H;

< S" < ,

8

tomando inicialmente el < - - , para cada ,> O dado. S Esta desigualdad expresa que es

Y como se ha supuesto la convergencia de las integrales impropias, existen

lim F(x)

y son finitos los

= H,

X~CXJ

o lo que es equivalente: lim F.{x) =

:e...,.co

Joo Ut) dt = a

F,,(x),

!~~

n = 1, 2, ... ,

Cualesquiera que sean p y q enteros y positivos, en virtud de la COnvergencia uniforme de las integrales, es IF.(x) - Fix)¡

~

J:

¡Mt) - {it)1 dl

+ U;

pero siendo {fn} uniformemente convergente en [a, LJ, existe un ¡!p(t) y

p
Ut)! < - " - , L-a

tanto se tiene

para

p, q

v'

tal que es

> v';

p, q

>

H! <

j

C0

!(t) dt

a

= lim

joo ¡,,(t) dt.

n-loCú

a

Proposición: Sea Un} una sucesión de funciones localmente R-ini<'}!.r
g(t)

para

+ x)--+ R,

n = 1, 2. ...

Entonces es convergente la integral de

> v',

luego la sucesión {F"f'-)} converge hacia un número H, y por tanto existe un v v' entero tal que es lF"(:x) -

O

7.4. Una condición más fuerte que la de convergencia uniforml' d" l.", integrales, exigida en la proposición anterior, es la de existencia de 11 fl; I 1110 ción dominante de integral convergente.

UO! <

> ,,'.

para todo x E [a, + 'x), y todo par p, q Si en esta acotación se hace x-> + '""-, resulta para

dt = H,

cuya integral

existe y es convergente, tal que es

iFp(x) - F,,(x): ~ 3 "

IFv(x) - Fi,",,-)I ~ 3 F',

j: f(t)

,', para p > v.

Um n-+OO

Demostración: De

y todo

t, y se tiene

foo fn(t) dt = foo fU) dt. !J.

a

t

E

[a, 'x).

.(",dl)

¡J,

540

Sucesiones de funciones

resulta inmediatamente la convergencia uniforme de las integrales.

Observación. Como es 1{(tJi < g(t), la convergencia de proposición anterior, es absoluta.

j~

de donde por recurrencia

f(t) dt en la

In (A) =

7.5. De esta proposición, resulta una nueva definición de la función reAl. Sea la sucesión {{n} de funciones definidas en [0, + oc) por

¡(°

t)n

1

fn(t)

=

tl.- I

si es si es

t:>n.

+ )" = In (1 - -+-) _ ~

n

lim (1 _ _

o sea

J

+oo

o

o

It-+OO

: nx'

X_)ft = e-X 2.

e-e t)..-I dt

J+OOe-

=}~~

o

t

x

E

3.

¡nx~l~

con X€(O, 1);

~

con x

€

R:

\

con x

( (1

t A- 1 dt,

Jn0(1 - -+-)

n tl.- I

1

dt.

H

1

1);

((J.

'/

x - -n-) ) con .\ '

lO, 1I (O.

101.

+nx'nx+ n'x' l

Probar que la integral en e l ¡'ntervalo (O, a) de la función límite de la ,"n'si,'",

\

n (1 - u)"-J u).. du = --1._1 (.<

¡

nx

Il+n2x4~

. 'd e con el límite de la sucesión de. las dintegrales de las funciono', ti" no comcl l sión la sucesión, Dibujar las gráficas de las funCiones e a suce .

uf u'-' du = .'1.«),

A

[1, 2];

con x'

En estas dos últimas sucesiones a y b son d os números positivos o nulos

5. --

o

€

1 {

ll-¡~;~¡; ¡1+~;X+nz~z-¡; ¡l+n:::nlxl~;

e integrando por partes

JI

l

x

+ x)"

nx:

11111

Estudiar la convergencia puntual y uniforme de. las siguientes SUCCMt >l1t", .1,. f '"1 ciones. Determinar los dominios de convergencia pu ntual • y subdolllilll"" ,'11 1"" que sea uniforme.

r ~ ·1'0 -

n = -,t

+ n)

D da la sucesión {xln}, ¿Es uniformemente convergente en el interv;'¡" :n el intervalo (1, 10), en la semirrecta (l, + "-)?

4. -

1 - - ; , t'-' dt

In(A)

nJ. n ! 1) ... 1;, \

+

R;

en todo

t = u, Operando en la última integral. haciendo el cambio de variable -nse tiene

Ji

Á (;,

. . t es sucesiones convergen puntualmentl' v Determinar cuáles de las slgUle.n d formemente, Estudiar la contmuldad de la función límite en ca a caso.

1. -

i se: x ¡ con tl.-I

1'2

fn(t) dt =

+OO

r(A) =

= lim

8. EJERCICIOS

t.

uniformemente en todo intervalo [0, bJ con b> O (Ejercicio 9). Es, pues, aplicable la proposición y se tiene

j

j -Á-'

n

n--a.OO

lim

siendo loO.) =

Se tiene, pues, finalmente

O~t
Además la sucesión {fn} converge uniformemente hacia e- t intervalo compacto contenido en [0, + cx;), pues es

n ... co

+ n),

_____n_!_ _ _:-::-_/o(,t l. (l. + 1) ... (J. + n _ l)

r (A)

Las funciones f .. son continuas en [0, +'~), y en esta semirrecta están dominadas por la función g(t) = e-t t A- I , ya que es

In (1 -

';11

Sucesiones de funciones

sión convergente de funciones continuas. en la (jU" p,".1 de las funciones de la sucesión forman una y tal que la función límite es continua, converge umfornu'

~~mos~~ar ~~e xu~~s S:a~~res

~:~é~~aormonótona,

S~I('I',i"'"

mente,

+ 1), (; -

.

Sea la sucesión

¡

2" x 1+n2"x'

~

para x

E

[O, l 1; a ) De t erml'nar el límite pun! u,,!.

542

Sucesiones de funciones

Sucesiones de funciones

K,,), Y después lim In y 2~~ In.

Hallar lim (1.. --In) y Um (In b)

n-+ CO

Comparar

lim n~OO

fI

f"

e

dx

O

e)

Calcular el supremo de

In (x) para

(lim

'n)

f

dx.

.~DO

[O. ¡l.

€

7."~

Sea g una función continua en el intervalo [O, 1). tal que g(l) = O. Probar que la sucesión Un} definida por '.(x) = x" g(x) es uniformemente convergente en [O, 1].

8. -

Se considera en el intervalo

~O,

"T l

la sucesión de funciones {{n} tales que

(,,(x) = n (cos x)· sen nx,

tI

= 1, 2, .,. ,,/2

a) e)

o

Comparar

f"/Z,.

lim

9. -

J

Calcular el límite puntual de la sucesión. b) Calcular

o

'11-+00

Probar que la sucesión

~ ( 1 --

f +) con

n

~

l.

In.

'/2

Iim

O

n .... OO

converge uniformemente hacia e- x , en

todo intervalo [O, b], con b > O. 10. -

Dada una función f; R

~

R; probar que lim t(x) = a si, y sólo si, la sucesión

de funciones {fn} con 'n(X) = {(x la función constante a. 11. -

+ n)

converge uniformemente en [O,

+ ClO)

hacia

Probar que no existe ninguna sucesión de polinomios que converja uniformemente hacia la función sen l/x en el intervalo abierto (O, 1). Tampoco existe ninguna 1 sucesión de polinomios que converja uniformemente hacia en el mismo inx

tervalo.

12. -- Calcular n

lim n .... OC

J(1 o

13. -Sean

in

=

"12

J

O

sen nt -sen t

dt, In

=

J

t

+ --) n

,,;2 sen nt

o

--tg t

n

e-u dt.

dt, Kn =

J

Determinar relaciones entre I,n+h 1,.-1. hit; valores de tre 1m e [,n-,. Probar que es +00 sen t lim Kn = - - - - dt. n-¡.OO • o t

f

n-+CO

Deducir el valor de

J~ x

tl 4CO

~/2

o

sen nt - - - - dt. t

["'+1 y

'm; relación en-

co

o

sen t

~-dt.

t

26. Series funcionales l. 2. 3. 4. 5.

Definición de serie de funciones. Convergencias puntual y uniforme. Criterios de convergencia uniforme. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de las serzes uniforme/1U'I/I<' convergentes. Ejercicios.

En estrecha relación con las sucesiones están las series funcionales. Dcjando "p.I1I'el aspecto formal de las series funcionales (1), las cuestiones que interesan "'IH'I,.d mente en Análisis son las relacionadas con la convergencia (2). Las series funcioll"I, .. , convergentes permiten definir nuevas funciones por medio de su suma; pero tien .. 111 terés análogo el problema inverso de representar una función dada como suma de """ serie funcional de un tipo determinado; por ejemplo, de una serie de potenclel.\ ('i). Estas representaciones permiten un análisis sistemático y profundo de las funcione, ". presentadas. Las definiciones y propiedades de las convergencias puntual y uniforme ,¡'o 1.,', sucesiones, estudiadas en el capítulo anterior, se trasladan de manera directa ;,1 ",0'," de las series funcionales; pero para estas series se pueden dar criterios de C
54')

547 Series funcionales

546

1.

y así resulta

DEFINICIÓN DE SERIES DE FUNCIONES

1.1. Las funciones que se consideran en este capítulo tienen su dominio de definición en conjuntos de la recta numérica real R o del plano complejo C, y sus valores son igualmente números reales o complejos. Las series cuyos términos son funciones se definen de la misma forma que las series numéricas (9; 1.2).

Definición: Una serie de funciones, es un par de sucesiones (Un}, {F.}) de funciones definidas en el mismo conjunto X, en el que {a segunda sucesión es la de las sumas parciales de la primera, o la primera sucesión es la de las diferencias de la segunda. Se tiene, pues, F" =

tI + f2 +

y

fn

= F"

oo.

+ tm

- Fn_1t

oo . .

En virtud de esta definición, en una serie basta dar la primera sucesión {f n}, o la seg\lnda {F n}, pues por el proceso de sumas o diferencias se deduce la otra. Se suele dar la primera sucesión introduciéndose la notación siguiente: La serie ({fn}, {Fn}) se denota por

tI + f2 + ... + in + '"

O

la serie funcional

ao +

a a2 ~ + - - - - +... x _ a

an

+

- + .. -,

(x - a)n (x - a)Z todo R (o C) excluido el punto a.

las series de definición es importante es el de cuyo campo funcionales muy 1J. Otro tipo de series trigonométricas: 2 + + a sen nx + b n cOs nx + ... , 2 + b COS x··· n ao + a¡ sen x + b¡ cos x + a2 sen x ,2 ales cualesquiera y las funciones b n numeras re . de x d nde los coeficientes a u y . so nos de los múltiplos suceSIVOS . o . r son senos Y cose R a que multlp Ican r"" ,n de estas series es e son las trigono' El campo de de 11l1ClO las llamadas series de senos, qu· de cosenos qUl' es Casos particulares = O, para n = 1, 2, ... , y las ~~ 2, .... métricas en las que es n las ue es an = O, para n - , '. análogamente son aquellas en q . el estudio de las mIsmas . e la misma definición de sene, . les todas las propll" 1.4. En ~Irtud ~e las sucesiones de sumas parc:~ dificultad a l~s senes; queda redUCido al 1 s sucesiones se trasladan SI . s al de las Sl'I'i(·". ne dades estudiadas para da ducir el estudio de las suceslO . mpre se puede t se pue e re 1 uiera {Fn}, sle I e invers amen e, .ón funcional cua q 1 funciones (k ;1 Sea en efecto, una suceSl parciales coincidan con as , .e cuyas sumas construir una sen t' de la identidad ., pues -a par ir suceslO n , F) + + (F n - F n-1') Fu = Fi + (F z - ¡ ...

so:

n = 1, 2,

n = 2, 3,

Series funcionales

~ fn.

Los elementos tI' 12, ... , fn, de la primera sucesJOn se llaman términos de la serie, y en particular t .. es el término n-ésimo. El conjunto X en el que están definidas todas las funciones de la serie, se denomina campo de definición de la serie. oo'

1.2. Uno de los ejemplos más sencillos y también más interesantes de series funcionales, son las llamadas series de potencias:

ao + al x + a2 Xl +

.oo

- a)

+ az (x

- a)2

F 1 + (F2 - FI) + .. '

+ (F

+ ._. + a" (x

_

n

F

-

u-I

)

+

6

d la sucesi n arciales las funciones e P . .dente mente como sumas tiene eVI d funciones {Fu} con 1. _ De la sucesión e Ejemplos. 1 _ x u +1

{L-)

r,,-

-,

+ an Xn + ...

1- x

En estas series el término general es an x" que es una función potencial, el coeficiente a n es un número real (o complejo) y el exponente n un número entero y positivo. Como estas funciones están definidas para todo valor de .r. el campo de definición de la serie es R (o C). Una generalización inmediata de la serie anterior es

ao + al (x

r esulta que la serie

a)n

+

1 Xl l_X )+ ~+(T=x--r=x2

1-

.oo,

que también es una serie de potencias, y cuyo campo de definición es R (o C). Otra gneralización resulta considerando las potencias negativas de x -- a,

1_

resulta la serie

2. -

X

-l+X+X -

xn+1

1_

xn )

+

+(-----l-X

.. 2

+

l-x

...

+ xn + ."

1t la scrie F (x) = xn , resu a la suceslOn de funciones \ F n} con "( 1) + De + x" x .... 1) + X2 (x - 1) + ( x+xxoo'

548

2.

SerIes funcionales

2.1.

En las series la conver en .

549

Series funcionales

CONVERGENCIAS PUNTUAL Y UNIFORME '.

sucesi~nes; es decir, a la sucesi~n c~ se refiere. s~e~pre a la segunda de lal;

El dominio de convergencia es

¿

=}!: Po (x) = lim ±ti (x),

F(x)

M-+OO

con x

€

X -

1

E

e,

la sucesión {F - F n} ten-

derá a O para n ~x; ahora bien, la diferencia F - F. es precisamente la suma de la serie f»+1 + '»+2 + .. , en el dominio de convergencia e que se llama resto de la serie ¿ fno o con más precisión:

Definición: Se denomina resto de orden n + 1 de la serie ¿ In. la serie que se obtiene suprimiendo los n primeros términos de la dada; es decir

e,

RII =

'n+1

+ fn02 + ...

Consecuencia inmediata de esta definición es la siguiente:

' a se11e y se escribe

Proposición: Una serie ¿ fn es convergente en un conjunto la sucesión {Rn} de los restos converge hacia O en e.

00

= ~ tn (x),

xn

Por ser F(x) = lim F..(x) para cada x

i~t

se denomina suma de 1

P(x)

x

-=--,

n~O

2.2.

1, y la suma de la serie es

1

00

de aplIcar a la sucesión {F } 1 {n}. Las deÍlmclOnes Son las que resultan r. as generales establecidas para sucesiones:

Definición: Sea una serie de funcion . . lo X, y Xo E X Se dice l . es ¿ fn defzmda en un con¡·un. , . que a se11e converge ' en xo, sz converge la serie numerica ¿ tu {xo). El conjunto e de los ' . puntos x e X en los que converge la serie L, fu se denomina d serie. omzmo de convergencia puntual de La función F, definida por

Ixl >

Con

x

E

C.

e

si, y sólo si,

i=l

Si la sucesión {F (: ) n Xo } no es convergente, se dice que la serl'e ,.,"e en xo·

X

€

EJemplos. 1. -La serie 1 + x + R. La s uma parcIa . 1 n-ésima es Fn (x) = 1

+

x

X2

+ ... + x'

+ ... +

Ixl <

+

= ~-X"+I , 1

Si

n

X

-x

."

¿ fn

diver.

2,3. Aplicando la definición de convergencia uniforme a la sucesión de las sumas parciales de una serie funcional. se tendrá que la sucesión {F" l convergerá uniformemente hacia la función F en e, cuando para cada , ,(1 existe - un en tero v tal que es IF(x) - Fo (x}1

está definida para todo

para

x:;i= 1.

<

E,

para todo n

>v

y todo x

E

C.

Teniendo en cuenta que la diferencia F - Fn es precisamente el r['stll n-ésimo de la serie, resulta la siguiente definición de convergencia unífornll' para las series:

1 la serie converge y se tiene 00

L,Xn = lim 11=0

n-+co

1-

X"+1

1

------l-x l-x'

>

.Si Ixl 1 la serie diverge manifiestamente El do . , el zn.tervalo abierto Ixl < 1. . mmlO de convergencia es SI se consi.dera x E e, los resultados anteriores se conservan. El dominio de convergencIa es el círculo abierto Ixl < 1. 2. -La serie 1

+ _1_ + _1_ +

1 xl '" + 7 + ... está definida para todo valor de x excepto x = O Es 'b' d 1 . en len o -x- = t ' se reduce a 1a serIe . anterior.

x

e,

Definición: Una serie de funciones L, f. converge unitormeme.•" en cuando para cada 8 > O existe un número entero v tal que es

1"+1 (x)

+ ',.+2 ex) + ... : < e O

IR» (x)1
v

1

y todo x E C .

._-De esta definición resulta que si una serie funcional converge uniformemente en e, la sucesión de los restos converge uniformemente en el mismo conjunto e hacia 0, y recíprocamente. 2.4. Aplicando la condición de Cauehy para la convergencia uniforme de sucesiones, en un conjunto e, a la sucesión {F n} de las sumas parciales de la serie se tiene;

Proposición: eondici6n necesaria y suficiente para que la serie funcional sea uniformemente convergente en el conjunto e, es que para cada E > O

¿ f.

551 Series funcionales

550

Series funcionales

1/n+1 (x) + In+2 (x) + ... + f"i"" (x)j < para todo n> ", k entero positivo cualquiera y x

E

S en

C.

sen nX sen_ + + - .. , + _. + ... ,

2'

L.

y la serie numérica

de donde resulta la condición indicada en la proposición.

s> 1,

n

\se:~x \~+,

Demostración: Si en la diferencia F. (x) - Fo (x), que aparece en la condición de Cauchy para la convergencia uniforme de sucesiones se supone p> q, y se escribe n en vez de q y p n + k se tiene F. -

con

conv.ergente en todo R, pues

es uniformemente

= Fo = f"ol + '''+1 + ... + f"+,,,

trigonométrica

'"l_

x

- -l'- -

e

Serie

1.- La

Eiemplos.

existe un entero v tal que sea

-

1 n'

converge.

2.- La serie

1

~ + __-1-----:--;:;7" + .. , \ x + n -l)(x + n) 3.

x

CRITERIOS DE CONVERGENCIA UNIFORME

3.1. Un criterio de convergencia uniforme es una condición sufiCIente para que una serie funcional sea uniformemente convergente en un conjunto dado. El más sencillo es el siguiente llamado criterio de Weierstrass:

+1

Demostración: Se supone que para todo n y todo x

E

C es

Al ser convergente la serie L a" de términos positivos, en virtud de la condición de convergencia de Cauchy. para cada [> O existe un entero v tal que es

>

v y k entero positivo cualquiera. para todo n Según lo supuesto es

Itn+1 (x) + .,. + InH (x)1

~ I/n+l {x)[

+ '" +

If1t+dx)1 :S; an+1

y en virtud de la desigualdad anterior Iln+1 {x}

para todo n

> v,

+ '" + tn+k (x)1 <

e,

k entero positivo cualquiera, y todo x

E

C.

+ ... + a.H'

+ 1) (x + 2)

(x

nte en el intervalo [O, 1), pues . converge umformeme 1 1 < -, +n) (n- 1)n (x

"

Proposición: Si los términos de una serie fundamental L f n tienen sus valores absolutos respectivamente menores o iguales que los de una serie numérica convergente L a., para todo x E C, entonces la serie funcional es uniformemente convergente en C (Weierstrass).

+ ...

Y la serie numerIca

~ ¿.-.

+ n -1)( X 1

(

_ converge.

1) n

_

n oducto de dos fun. o término general f" es un ~ 'potentes que 3 2 Para las senes cuy .' de convergencIa, mas A t se pueden dar CriteriOS . , n arcial de Abel. es e . . dones: f~:::= Un v., d d .dos de la fórmula de sumacw P AnáliSIS, Y en parel de Welerstrass, e UCl , de las empleadas en . tenecen la mayona , . tipo de senes per . las trigonometncas . . s de potencIas Y 'd d ticular las sen e ., ardal es la identl a La fórmula de sumaClOn P n I

k

:b

n+k

Ui Vi

,i=n+l

=

~

~

U (v , •-

)

V

1

+ Un+k V 1>+k+ 1

-

U" V,,+1

1+

i=n+l

. U - u + u + .. ' + Ui' en la que U, deSIgna i 1 2 convergente en el con. ~ es uniformemente • ., • La sene t.J Un V n PropOSICIon. ., 1 dos condiciones: e . nto e si se venflCan as ge uniformemente en ,y JU • 't'. U ( v ) con ver e a) La sene,/..l. n V n n+ 1 ge uniformemente en . . , {U v } conver . n b) La suces¡on n n+l •. , ara cada e> O eXIste un e verifica la condlclOn a} P Demostración: Si se terO VI tal que es

552

Series funciona!f.'.'

>

para todo n Vio k entero positivo cualquiera y todo x € C. Si se verifica la condición b), para cada E> O existe un entero /Un+/<

(x)

V n+k+1

(x) - Un (x)

V n +1 (x)!

V2

tal que e~

<-;-

n+~

1! IVi (x)

>

para todo n

>

V

= máx

{vI' v 2 },

Vi

I<

(x)

para n> v, k entero positivo cualquiera y ~~~o x € e. , Según la primera alternativa de la condIclOn c). por la monotoma se tiene -

Vi+1

(x) -

k entero positivo cualquiera y todo x

C.

€

Proposición: La serie L, Un Vn es uniformemente convergente en llerifícan las tres condiciones:

<

e

si se

b !Vi (x) 4K bn+1

_ B_

b)

Las funciones de la sucesión {v.} están uniformemente acotadas en

e)

La sucesión {VA (x)} es monótona para cada x o -

€

e

I ¡~:1 U¡ (x)

e

(Abel).

V.+1 (x) I < M, para todo x

E

e

7"=1

Demostración: Si ri es el resto de orden i de la serie ~ 11.i se tiene U 00

donde U = n=l Z Un. Sustituyendo U i cia] se tiene: n+k

= U -- ri

= U + r, i

en la fórmula de sumación par-

n+k

~ UI Vi = - í=n+l L ri (Vi l=n-t 1

-

V!¡+I) -

r"+k Vn+k+l

+

ro V.+ 1•

Según ]a condición b) existe una cota K tal que es IV n (x)! < K, para todo n y todo x

€

Según la condición a) la sucesión {r.} de restos converge uniformemente hacia O en e, luego para cada ~ > O existe un entero V tal que es e

Ir. (x)1 < -4K -,

para todo n

>

11

Y todo x

€

e;

(x)1 < -2-'

Vi

(x)

I<

E,

>

para todo n v, k entero positivo cualquiera y to~o. x E e. En el caso de la segunda alternativa de la condiCión c), se puede suponer M = K (pues siempre se puede tomar como cota la mayor de las dos), y el razonamiento anterior conserva su validez, 3.4. Otro criterio deducido de la fórmula de sumación parcial es el siguiente:

Proposición: La serie Lo u. V. es uniformemente convergente en e si se verifican las tres condiciones: a) La sucesión {v n } converge uniformemente hacia O en C. b) La sucesión {Un} está uniformemente acotada en e. .. La sucesión {v n (x)} es monótona para cada x € e (Dmchlet). c)

c.

V¡+1

Esta acotación corresponde al primer término del s,egundo ,?iembro de la fórmula de sumación parcial. El último término tambIén ha Sido acotado, y reuniendo las dos desigualdades queda

al ' La serie}; Un converge uniformemente en C.

~ IVn (x)

K

e

n+~

Existe una cota M, tal que es

I

(x) <2

V .... k+1

e

Aunque las condiciones anteriores ya dan un criterio de convergen cía uniforme, conviene distinguir casos particulares en los que las condicione~ son de aplicación más fácil.

de donde resulta

IVn+!

para todo n y k, Y todo x E e. De esta última acotación resulta

3.3.

)

(x)1 =

1:::;::11+1

para todo n V2, k entero positivo cualquiera y todo x € C. En virtud de la fórmula de sumación parcial se tiene

I¡:*:,11., (x)

553

Series funciona/es

o ¡ La serie

Z IV n -

v,,+,11 es uníformemente convergente en

e.

Demostración: Se parte de la primera fórmula de sumación parcial (3. 2). Según b), existe una cota K tal que es IU n (x)1 < K, para todo n

Según a), para cada IV n (x)1

E

y todo

> O existe un entero

<-

:iZ"

para todo n

v

x

€

e.

tal que es

> v y todo x

€

C.

Series funcionales

554

Según la primera alteración de c), por la montonía se tiene n+~

2:

i=n+!

jv¡(x) - Vi+I(X)1

=

!Vn+l(X) - vn+k+I(x)1 < 2

_ 8_ ,

4K

para todo n y k, Y todo x € C. Introduciendo estas acotaciones en la fórmula de sumación parcial resulta n+k

II i~~l Uí(X) v¡(x)

I

n+k

~=;)U.{x)jlv,(x) - Vi+l'(x)j

+ /Un{X)IIVn-t¡(x)1 <

+ IUn+k(x)! IVn+k+lx ): +

n+k

K

2:

E

Iv;(x) - Vi+l(X)1

+ 2K 4K

<

e,

&=n-¡-l

>

para todo n v, k entero positivo cualquiera y todo x € C. En el caso de la segunda alternativa de c), para cada f > O existe un entero v (que se puede suponer igual al antes considerado) tal que es

para todo n> v, k entero positivo cualquiera, y todo x € C. Con esta acotación el razonamiento anterior conserva su validez.

Observación. Todos los criterios expuestos en (3.3) y (3.4) son aplicables cuando las funciones nn y V n son reales. Si las funciones Un Y Un son complejas, los criterios (3.3) y (3.4) sólo son aplicables considerando las segundas alternativas de la condición c). 3.5. Casos particulares de los criterios de Abel y Dirichlet son Jos siguientes, de aplicación frecuente:

Proposición: Si converge la serie numérica 2: an y la sucesión de funciones reales {v n } está uniformemente acotada en e, y {vn(x)} es monótona para cada x € e, entonces la serie 2: an V n converge uniformemente en C. Demostración: Haciendo Un = an , es evidente que memente en e y es aplicable el criterio de Abel.

2: u"

converge unifor-

Ejemplos. 1. - Si la serie 2: an converge, la serie func'ional ~ an x n, con x real, converge uniformemente en [O, lJ. En efecto, la sucesión {x"} está acotada en [O, lJ y monótona para cada x de este intervalo. 2. - Si la serie 1;. an converge, la serie funcional ~ ~ es uniformemente n" convergente en la semirrecta [O, <:xc).

Series funcionales

+. \~

1, Y la .suc.esión Como para todo x de la semirrecta es \ de la semirrecta, es aplicable al cnterlO. es monótona para cada x . funaona . 1 '" u tiene sus sumas parciales ((1'0/" l.,; ., . . ón' Sl. la sene P roposlel . .un t e y la sucesión de números reales ! ti" } das uniformemente en un con7 o 1" . f cional converge unifor1llcJI/"/II" es monótona y tiende a O, entonces a sene un en C.

., H ' ndo v = a es evidente que la sucesión {v" 1 "ull Demostracwn: aCle n n' l' . (. 'f ente a O en e y también es monótona para eua qUlcr .\ , verge um ormem ' .' . . En consecuencia es aplicable el cnteno de Dirlchlet. ' ón de númerOs reales {a.} es monótona y Il<'lId,' Ejemplos. 1. - Si la suces¡ a 0, la serie de senos 2: Qn sen nx,

odo intervalo cerrado que excluya los pUlllo" converge uniformemente en t x = 2kn, con k entero. Las sumas parciales de la serie L sen nx son: X x cos 2' - cos (n + 1) T con .\'./ .' ,.,., Un(X) = sen x + sen 2x + ... + sen nx = x 2seny Para x

€

[ll, 2n - ll] se tiene, pues, IUix)l

<

1 .--1 -----x ""'~. senT

con

O<

(j

< "'.

senT

por lo que las sumas parciales están uniformemente acotadas.

2. - La serie de senos

L~' con a>O, n"

converge uniformente en [ll, 2n - ~J.

4. CONTINUIDAD, DERIVABILlDAD E INTEGRABILlDAD DE LAS SERIES UNIFORMEMENTE CONVERGENTES

T d las propiedades estudiadas para las sucesiones de funciOlIl'S 4.1. o as trasladan a las series ya que en virtud de l., uniformemente convergentes, se

557 .,. funcione/es

556

Series funcíanil/'"

definición la convergencia uniforme de la serie funcional ~ f m es la de l., sucesión {F.}, donde Fn = f, + f2 + ... + f.· Se ha de observar además, que si las funciones de la sucesión {fn} ~,,,,, continuas, derivables o integrables, también lo son las de la sucesión {F, 1, por conservarse dichas propiedades al realizar la suma de un número fill"" de sumandos. D~ esta consideración resultan las siguientes propiedades.

4.4. Proposición: Si una serie de funciones R-integrables en un cíc' /" intervalo J, es uniformemente convergente en 1, la suma de la serie es ll/J " grable, y su integral es igual a la suma de la serie de las integrales en 1 ,1,' las funciones de la serie dada. Si 1 = [a, b] se tiene

'.(x) =

rn cos nx

con

X €

R.

f te las series cada intervalo compacto, convergen uní ormemen x e) L n3 /'sen-7' x .1 L sen--;,-: 11>1 n#l n ...1 "formemente en el intervalo [O, 11 I Para qué valores de , > O converge um

probar que en

Ncrie

4.2. Proposición: Dada una serie funcional ~ fn que converge unifor/l' mente en un conjunto e, y tal que todas las funciones fn son continua.\ ,1/ un punto de acumulación de e, perteneciente al dominio de definición ,/, cada una de las funciones. Entonces la suma de la serie es continua en di< /¡, ' punto de acumulación. 4.3. Proposición: Dada una serie de funciones ~ f. derivables en un (1," to intervalo abierto 1, que converge en un punto de este intervalo, y tal ,(",' la serie de las derivadas ~ f .. converge uniformemente en l. Entonces la S('/I,' dada converge uniformemente en el intervalo J, y su suma, que es una jllll ción derivable, tiene por derivada una función igual a la suma de la serie .1, las derivadas.

(-1)"

~)

t1

x" (1 -

I

"

x)n?

'"... () ara cada x de un dominio X, y para n = 1, 2; f ( ) SI' supone que es fn+l~X) ~ In X , P h 'a O en X. Probar que la serie ¿; ( 1)" ,,\ onverge umformemente aCl "_.1 v que {f"} C " X 'converg e uniformemente en . Probar que la serie ~ nP

+ n q x,

converge uniformemente para todo .. si, v

n;;>1

+q>

2.

'>robar que la serie

í:

sólo si, es p

1,

término si 3p 1 . _---::- es derivable térmInO a nV


• 1.

+ nq xl

n;;>1

Probar que la suma de la serie 00

~

sen nx

. xl

n'

define una funcl'6 n continua en todo R. ."

,Probar que la serie

e

1

e-4:t

_:IX

+ 22=l-42=l

+e-6:e _ - ... 62 - 1

converge uniformemente en .0 ~ x' ue f"(x) se puede obtener derivando dos bar Si ¡(x) es la suma de. la sene, pro veces término a térm1no para x ~ S > .

Ó

supuesta la convergencia uniforme de la serie

~

fn en el intervalo [a, b).

'9, . Probar que la serie

2a ~_2_a_- cos 2x - .,. _ ___._-co s x + --' __ 2' a'-1' ua . tervalo finito de valores de x. converge uniformemente en to d o m convergente en R la serie Probar que es uniformemente sen rrx 1

5. 1. -

EJERCICIOS Determinar cuáles de las siguientes series 1: In convergen puntual y uniformer te. Estudiar la continuidad de la suma de la serie en cada caso a)

b)

t,,(x)

fn(x)

= =

~

o

si

x~n ~

( - 1)'

si

x> n )

1 -n' 1 -xl

1

.

SI

. SI

l'

con

x

E

\ 10,

n'

R.

.

¿ Qué se puede deCir Ixl~n

, con

Ixl >n

x e R.

11.

• Probar que la serie

de la serie derivada? ~

,;sI

sen (2 .. nl x )

558

Series funcional,'

converge absolutamente en Q. ¿Es uniforme la convergencia sobre Q? Se hace x = e, ¿es convergente la serie obtenida? 12. -

Se construye una función poniendo f(x} = Ix! si es x

E

[-

+, -}-]

y se e'

tiende la definición a todo R de manera que sea periódica. Se considera la sun' de la serie 00

{(4 n x)

Z --,

F(x) = n~O 4n Probar que converge la serie. Probar que F es una función continua en R. Probar que F no es derivable en ningún punto.

27. Series de potencias \. 2. J. 4. 5.

Convergencia de las series de potencias. Propiedades de las funciones definidas por series de potencias. Desarrollo de una función en serie de potencias. Algunos desarrollos usuales. Ejercicios.

Las series de potencias (1) son aquellas cuyos términos son productos de coefidrll tes numéricos por las potencias sucesivas de la "variable" x. Estas series, cuyo """ .... anterior al estudip sistemático de las series funcionales, se pueden considerar com" K" neralización de las funciones polinómicas, que son sus aproximaciones. Sin duo .. all(lIlIlI, entre todas las clases de series funcionales, las series de potencias son las más símlll!'.'. y su uso es especialmente adecuado al estudio de las funciones complejas de v .. riahl .. compleja. Una de las notables propiedades de estas series, es que sus dominios <1(' con vergencia son intervalos en el caso real y circulos en el complejo, cuyas semíamplíllHI o radio se determinan de forma directa (1.2), y en los dos casos se denomina radio ,/,. convergencia de la serie. Otras importantes propiedades son las que se refier"n " 1m dominios de convergencia uniforme (1.5 y 1.6), de las que resultan los teoremas hlll.lü mentales sobre la derivación término a término, y la existencia de infinitas drdvII das (2.3). Conocidas las propiedades de las series de potencias interesa determinar hIN lo", ciones que se pueden expresar como sumas de estas series, es decir, las funciml.'I ./" sarrollables en series de potencias (2). De la propiedad de derivación resulta qlJ~ ". condición necesaria para la representatibidad de una función en serie de potendll.~ "11 un dominio, que sea infinitamente derivable en el mismo (3.3). Sin embargo estu wn dición no es suficiente, de lo que es un "contraejemplo" la función de Cauchy (\.4). Condiciones suficientes se obtienen como consecuencia de las fórmulas de Taylor y Mac-Laurin (3.4). Para las funciones elementales y trigonométricas (4.1-4.4) se obtienen fácilmente los desarrollos usuales, probando que los restos complementarios de Lagrange o Cauchy tienden a cero. No siempre es este el método más rápido, y muchas veces la aplicación acertada de la derivación e integración término a término conducen a los resultados deseados (4.6 4.8), como en el caso de las funciones trigonométricas inversas. Finalmente las fundu· nes racionales dan lugar a series recurrentes (4.9).

559 lIN~S-19

560 l.

Series de potencia."

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE POTENCIAS 1.1.

Definición: Una serie de potencias es una serie funcional de la formo

ilQ + a¡ x + a2 X2 + '" + an x· + ... , en la que los términos sucesivos son funciones potenciales de grados enter, positivos ascendentes, multiplicadas por coeficientes numéricos. En las series de potencias se suele principiar con un término inicial ti que se considera como el término de índice 0, por lo que el término n-ésinl" será an x". Cuando se escriba L an x" se sobreentenderá que se incluye el tl'l mino inicial. Las series de potencias pueden ser reales o complejas, y sus conjuntos d, definición son R y e respectivamente.

'.rIBS

561

de potencias

En el caso de las series complejas, el dominio de convergencia es un rlrc/llo centrado en el origen, en los puntos de la circunferencia frontera la .frie puede ser o no ser convergente. Al radio de este círculo, y a la semiamplitud del intervalo en el caso fC,tI, ... les denomina radio de convergencia de la serie.

Teorema: Sea la serie de potencias (real o compleja) l1()

+ a, x + az X2 + ... + a

n

!I

;, = lim

xn

+ ... ,

sup {YfaJ.

Entonces se tiene: si

es finito y no nulo, la serie converge para

En las series reales de potencias, los coeficientes son reales, y en xn c' X € R. En las series complejas de potencias, los coeficientes son complejo', y en ;rn es x € C.

a)

Evidentemente las series reales de potencias forman una cIase partíc1J l." en las series complejas de potencias. El dominio de convergencia de una serie de potencias no coincide en g' neral con su campo de definición.

b) si).:::: 0, la serie converge para todo x; y

Ejemplos. 1. - La progresión geométrica indefinida L x' es converge 11 I , para Ixl < 1, y divergente en el resto. Si x es real, se trata de un interv,¡j .. abierto centrado en el origen de semiamplitud 1; Y si x es compleja, es "" círculo abierto de radio 1 con centro igualmente en el origen. ;r'

2. -

La serie

L -n"-

es convergente para todo valor de x en R o

e,

n

verge para

.

y los términos de la serie estarán acotados por los de una geométrica de raz, ," menor que 1.

3. - El caso opuesto se presenta en la serie ¿ nn x" que no converge pa'.I ningún x;le 0, pues cualquiera que sea x;l:: 0, el producto n Ixl llegará a ~, •. , mayor que 1, y la serie será divergente.

1.2. El dominio de convergencia de las series anteriores se ha dctc'lJ 11 nado por un estudio directo de cada una de ellas; sin embargo, exis te ""' regla general que permite determinarlo en todos los casos. En el caso de las series reales, el dominio de convergencia es un inter/',JI .. centrado en el origen, en cuyos extremos la serie puede ser o no srr "'lJ vergente.

Ixl <

1 -;:--, y d"

Ixl > -.1-; Á

c)

de

si J.

= oc,

la serie diverge para todo x #

o.

Demostración: Se fija un Xo (real o complejo) y se estudia la la serie ilQ + al Xo + a2 x~ + ... + a. x; + ...

a.le estudio se simplifica considerando la

conVCr~l'II(',.1

serie de valores absolutos

lilQl + la¡llxo! + la211 xol 2+ '" + Ia.llxol + ... n

PIII'"

' n -Ixl- 11 egara' a ser menar que un poSItIVO .. k,<' l. . eua IqUiera que sea x l a raza

Á

Ya convergencia implica la de la dada. Por otra parte, el análisis de la diver· ncía de lél serie de valores absolutos da también información sobre la diver· ncia de la serie original. A la serie ~ Ia.llxol" se le puede aplicar el criterio de la raíz (9; 4.2), para )0 cual se calcula

~

11m sup~' =

Ixol

lim sup

\Y[a,J :::: Ixol . A.

Si A es finito y no nulo, es

I

1

SI

Ixol A <

1,

o

Ixol <--.le

divergente si

Ixol A >

1,

o

Ixol>-.-·

\ convergente

1

"

bl este último caso de divergencia, en virtud de la definición de límite su·

562

SerIes de potencia.,

Basta observar que en la mencionada demostración se han estudiado los valores de x para los cuales la serie era absolutamente convergente,

perior, existen infinidad de índices n para los cuales es

'{Y Ja.llxol" > h> 1, o Ja.. x;1 > h", donde se ha tomado En consecuencia

Si

Á

== O,

.1.

> h>

~ a. x;

Proposición: Si R es el radio de co~vergencia de, una serie de p<)(,enc~a.\

1; Y al crecer n, h" crece indefinidamente.

converge si

IXol <

561

SerIes de potencias

_1- Y diverge si Á

l.:rol > ~. A

es

l: a. x", para todo punto x exterior al tntervalo o czrc,ulo ~e convergeml!l. Ixl > R, existen términos de la serie superiores a cualqut,e~ nume~o ~ado. Casos particulares del teorema son las dos proposIciones sigUIentes gran utilidad en la práctica.

Proposición: Si para la serie de potencias 1. an x" existe

Um sup \Y Ia.llxoln = O

lim ~=)..,

lo que asegura la convergencia de

" ..
Z fa"Jlxol" Si A =

CQ,

¡JI'

y de

~

a. xo", para todo

Xo-

el radio de convergencia es R

es

1

= -).-.

Proposición: Si para la serie de potencias ~ a. x" existe

por lo que ~

la"J ¡xoj"

diverge para todo xo'i= O.

lim " .. ro

En este caso, de la definición de límite superior, resulta que para cada H> 1, existen infinidad de índices n para los cuales es

-f/ la.. llxol" > H >

1,

o

ja.1 == --ra=r

A,

. es R == -A 1 el radio de convergencw -. Demostración: Si una sucesión tiene límite, la de las medias gl"om<'lllc.I~' sucesivas tiene también el mismo límite, y por consiguiente si la suceSll'JII

la" X;I > Hft,

Y al crecer n, HA crece indefinidamente.

lall

En consecuencia ~ an x; diverge para todo xo'i= O. Este resultado se puede enunciar en forma más condensada y fácil de recordar:

la2J

la..1

!aol. 'W' TaJ' .. " lQ:T' ... tiene límite A, también será

Proposición: El radio de convergencia de la serie R

~ a"

x" es

lim ".. ro

= -..__1---.,--_. Um sup '&' la.l .

La serie converge para todo Ixl < R, diverge para todo Ixl > R, Y en los puntos con Ixl = R puede ser convergente o divergente.

Ejemplos.

1. -

"

lall lazl laol . -cr . -r::J'

.. , .

,all

1001

Proposición: Si R es el radio de convergencia de una serie de potencias ~ a" x", la serie es absolutamente convergente para todos los puntos de x interiores al intervalo o círculo de convergencia: Ixl < R.

.nn:;J _

n ... -:O

En al serie de potencias ~nxn

el radio de convergencia es 1.3. Dos consecuencias importantes se deducen de la demostración del teorema (1.2).

Ja.I. ¡=-r == bm lan-IJ

R == l/lim

V'ñ' ==

l.

2. - En las series de potencias x"

L --, n

x" y ~ - -C , con a>O, n

el radio de convergencia es igualmente 1.

v ¡a.¡ - A.

564

Series de potencias

3. -

Series de potencias

Las series de potencias

En algunos casos es útil el siguiente criterio.

xn

xP

¿ PI

¿-I' n.

con p primo,

convergen para todo valor de x, 1.4, Hasta ahora sólo se han considerado series de potencias de la forma ¿ a" x", pero basta hacer ligeros cambios para trasladar las propiedades de estas series a las de potencias de forma más general

¿

a" (x - xo)".

H~ciendo el "cambio de variable" x -

Proposición: Si R es el radio de convergencia de la serie de p,,/elll/II\. real o compleja, ¿; anx", y esta serie converge absolutamente en un 1"11/10 .1 0 tal que ¡xo = R (punto de la frontera del intervalo o círculo de conver'::I'II
Demostración: Si Ixl ~ R, es ix ~ ¡xol, y por tanto la" x" i converge es aplicable el criterio de Weierstrass.

la n x~!

Ejemplo.

x' se obtiene una serie de las estudIadas. Su radio de convergencia se determina igualmente por la fórmula dada en (1.2~. La serie converge absolutamente para todo punto interior al mtervalo .0 cIT~ulo de convergencia: xol < R, que están centrados en XII y su semlamphtud o radio es R.

La serie de potencias

Xo =

:x -

Como las propiedades de estas series se deducen inmediatamente de las de la forma ¿ an x", en adelante sólo se estudiarán las de esta clase. 1.5: Los. criterios establecidos para la convergencia uniforme de las series se aplIcan dIrectamente a las de potencias.

. Proposición: s~ R es el radio de convergencia de la serie de potenCIas, r~al o compleJa, 2.: a" x", y r es un número cualquiera entre O y R, es deCIr, O < r < R; la serie converge uniformemente en el intervalo o círculo :xi ~ r. _ Demostración: Para todo x del intervalo o círculo ¡xl -s::: r, se tiene la" xnl ~. , la" 1'' 1. Además x = r es interior al intervalo o CÍrculo de convergedcia p' or 1 I . \' ' O que a serIe L a" r" es absolutamente convergente, En estas condiciones es aplIcable el criterio de Weierstrass (26; 3.1).

L (-

1)"

x·

rT

tiene radio de convergencia R = 1, y para x = 1 converge absolu{allwllk, 1'"'' la serie

¿~ n

converge. El criterio anterior permite asegurar

converge uniformemente en el CÍrculo cerrado

~xl,s;

qlll'

l.,

',,"'1'

1.

1.6. Según la última proposición, la convergencia abso!lIla ('11 1111 1\11111 .. x" frontera del intervalo o CÍrculo de convergencia implicaba la ClII1V'",':1'111 l., uniforme de la serie de potencias en dichos intervalos o círculo" «'11,1'\"" En el caso de la simple convergencia en uno de dichos puntos 1'"111"',1 "1 criterio de Weierstrass ya no es aplicable. Sin embargo, se PUCdl'lI ,"11',",',1111 notables resultados aplicando los criterios más potentes estudiados ('11 1.'(" ! 11 Y (26; 3.5), pero los resultados se diferencian según se trate dl' St'lIi", 1 k 1'" tencias reales o complejas:

Proposición: Si una serie real de potencias 2.: a" x' CI/Y,,' WJ¡I' ¡f" convergencia es R c;L O finito, converge para x = R, la ,\('Jie ""'11"'/'(:" uniformemente en todo interualo cerrado [r, R], con 11'[ < R (/\/11'/)

]

Demostración: La serie de potencias puede escribirse de la siguil'l1k 1"111'.1

'5$¡¡~';¡,1

-R - r Entre -

O

r

R

R

que es del tipo

¿ ú" v"

con u, = an R" y v,,(x) = (

~

)"

En el intervalo [O, Ii I

se puede aplicar el criterio (26; 3.5).

R Y R conuergp la serie. En

[ - r, r] converge uniformemente.

En el círculo de radio R la serie COnverge. En el circulo cerrado de radio r converge unifol711emente.

Como en el apartado anterior se ha visto que la serie converge uniforllll' mente en [r, O], y ahora se ha probado que lo es igualmente en [O. R], rl'sull .. la propiedad enunciada.

566

Ejemplo.

Series de potencIas

~(-l)'~ n '

En primer lugar se considera la suma n-ésima de la serie, y se tiene

cuyo ra~io de convergencia es R = 1, es convergente en el extremo x = l. .En VIrtud de la proposición anterior, la serie converge uniformemente en el Intervalo cerrado [r, lJ, con Irl < lo Proposic1ó.n: Si una serie compleja de potencias ~ an xn, cuyo radio de convergencra. es R =;é= O f init?, converge en un punto Xo con Ixol = R, e~to~ces la sene converge umformemente en todo triángulo T, cuyos vert¡ces son Xo y dos puntos cualesquiera del interior del círculo de convergencia (Pringsheim).

Demostración: La serie de potencias puede escribirse de la siguiente forma

~ a,. xn = que es del tipo

¿ u. v. con

u.

L a" x; ( Xv)

= a,.x~

y v,,(x) = (

Para aplicar el criterio se ha de probar que la serie

tiene una suma que está acotada en T.

(+o r~1

k~1 I(+a r

:0

r

1

-+ k~1 \+a r

= 11 -

(1 XII

Ixo - xl

I

\"+1)

X

~ - x;-

Ixol - Ix\

<

Ixo - xl

Ixol - Ixl'

y como este último término no depende de n es

1(_X )ft _ (_X )''+1 1< Xo Xo

~

.~I

ComolXo -

xl =

d,

Ixol =

Ixo - xl Ixol -Ixl'

Ixl = r, resulta Ixo - xl d IXol - Ix! - R - r

R y

X'

. P~ra demostrar la, convergencia uniforme de la serie en T se aplica el criterIO (~6; 3.4) consIderando la segunda alternativa de la condición c). Es e~ldente que la serie ¿ Un es uniformemente convergente en T, y que las funcIones v. están uniformemente acotadas en T:

~I(~r

567

SerIes de potencias

La serie de potencias real

Se consigue una interpretación geométrica de esta fracción, observando que en el triángulo Ox Xo es r2 = R2

+ d2 -

2 Rd cos l'

de donde

+r

d

R

R - r

2 R cos J'

2R

- - - - -=-=-----:- < - - - - - -

d

2 R cos r - d

Como 2 R cos l' es igual a la longitud del segmento Xo x', y x es un punto del triángulo T, resulta que 2R cos y - d es siempre mayor o igual que mín {11, /2}, Y por tanto la fracción

está acotada superiormente.

2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEFINIDAS POR SERIES DE POTENCIAS 2.1. Se designa por f la suma de la serie de potencias ~ an x', que será una función definida en el intervalo o círculo de convergencia, incluidos los puntos frontera en los que haya convergencia. Para estudiar las propiedades de la función 1, se aplicarán las propiedades estudiadas para las series funcionales. especialmente las que se deducen de la convergencia uniforme. En el caso de las series de potencias, los términos de la serie funcional son funciones producto de un número por una poten-

Series de potencias Series de potencias

568

cia, que tienen las propiedades de ser continuas en cualquier intervalo, derivables cuantas veces se desee e integrables en todo intervalo. 2.2. La propiedad de continuidad es aplicable tanto a las series de potencias reales como a las complejas. Proposición: La función f definida por

L a" x'

11=0

en el dominio de convergencia de la serie, es continua en todo punto terior al dominio de convergencia.

lim

Xo

in-

°

Demostración: Si R:¡ic es el radio de convergencia, se tiene Ixol < R, Y tomando un k comprendido entre IXol y R, la serie es uniformemente convergente en el intervalo o círculo cerrados !xl ~ k. Como todos los términos de la serie son funciones continuas y la convergencia es uniforme. la suma de la serie es continua en el conjunto Ixl k, Y en particular en xo. En un punto frontera del intervalo o círculo de convergencia, en el que la serie de potencias converja, también se puede asegurar la continuidad "restringida" de la función suma, En este caso conviene enunciar separadamente la propiedad para las series reales y para las series complejas.

<

Proposición: Si una serie real de potencias es convergente en un extremo del intervalo de convergencia, tal como en x = R, la función suma f es continua en el punto R por la izquierda.' lim f(x) = f(R). I~R

Demostración: La convergencia puntual de ¿ a" xn en el punto x = R, implica la convergencia uniforme de la serie en el intervalo [r, R] con Irl < R. Los términos de la serie son funciones continuas en R por la izquierda, y su suma también lo será. Análogamente se demuestra la continuidad de f en x = - R, por la derecha, si la serie converge en este punto.

Proposición: Sea una serie compleja de potencias de radio finito R:¡ic 0, que converge en un punto Xo de la frontera del círculo de convergencia, y sea T un triángulo cuyos vértices son Xo y dos puntos cualesquiera interiores del círculo de convergencia. Entonces la restricción de la suma f de la serie al triángulo T, es continua en xo. Demostración.' La convergencia puntual de ¿: a"x' en el punto Xo implica la convergencia uniforme de la serie en el triángulo T. Las restricciones de los términos de la serie a T son funciones continuas en xo, y su suma también lo será.

es tá el cjlcl!l" b . . l 11 o ]tedncr .. poli 1 a omllllO' "

¿: an x' = ~ an x~,

11=()

Y que tiene utilidad cuando se con?ce terior de su dominio de convergencia.

00

t(x) =

Entre las aplicaciones de estos t eoremas , . d de sumas de series numéricas. Si una serie numenca se pue e 'ente de una de potencias ¿: a" x', para un x = Xo per tenecl convergencia se puede aplicar 00 co ., Ob servaClOn.

n=O

la función suma de la serie

('!l

,,1

'11

2.3. Definición: Serie derivada de una de potencias reol " "'11'1·1,·/,, <¡liS 1,:,,/11/11, ' .. \' a x" es la obtenida derivan do farma1men t e cada uno de ' ~s dedzr, la serie derivada es El término inicial de esta serie es

al'

. de la sene de potencias cI/'rIl"'./'1 Proposición: El radio de .conv~~gencza es el mismo que el de la sene ongznal. Demostración: Es evidente que el radio de convergen~ia de \;, ',1'1'" :b nan xn-l es el mismo que el de la ¿: nan x", a la que se aplica el (T,II'I'" <1,. la raíz: ¡im sup \/n la.[ = lim sup

vrnV'IQ,J =

= lim Vn' lim sup vra:f = lim sup <;/1(/,,1·

lo que prueba la proposición. . Para las series de potencias reales se tiene la importante Proposición; La función f definida por 00

f(x) =

¿: an x"

n-~

en el dominio de convergencia de la serie, es derivable en todo punto illl/·/"i",. . d a d e f es 1a suma de la serie tlI'''' del dominio de convergencia, y la denva vada en el mismo punto. Demostración: Sea R:¡ic O el radio de convergencia y ,Ixol ~~. TOl1lando n k comprendido entre Ixol y R resulta que tanto la sene ongmal COIllO 1.1 U . . l . 1 ( k k) Y es ;¡ 1'11 derivada son convergentes umformemente en e mterva o - , .' cable el teorema de derivación de las series funcionales. En partIcular es 00

f'{xo) = ~ na" X~-1 /[.=1

para todo

Ixol <

R.

Ser/es de potencias

570

Observación. Aunque las series de potencias complejas también poseen esta propiedad, su justificación requiere el estudio previo de la derivación en el campo complejo.

Como la serie derivada se puede volver a derivar, e incluso reiterar este proceso de derivación resulta

571

SeNes de potencias

t" qJ(x) + tr
Proposición: La funci6n f definida por 00

Teorema: La función f definida por

f(x)

= ~ anx" 8=t

00

= ha.xiI

f(x)

n=O

en el dominio de convergencia de la serie. es derivable cuantas veces se quiera en todo punto interior del dominio de convergencia, y es f'k'(X)

=

00

~n

(n - 1) (n - 2) ... (n - k

en su intervalo de convergencia, es R-integrable en todo intervalo [XI. x)] ,ti" _ R ~ XI < xz~ R (el signo = es válido en los extremos en los que (a ",/1,' es tonvergente), y la integral se obtiene integrando término a término /a '/'r". dada:

I x, (~a"xft)

+ 1) Gn x"- k,

"1

11=11

para todo

Ixl <

R, siendo R el radio de convergencia de la serie.

Ejemplos.

1. -

A partir de la serie geométrica 1

00

2: x· = - - , 1- x

.=0

con

Ixl <

se tiene

(l _ X)l'

con

Ixl <

:f (

n=k

x"-~ = (1 - 1x r+ l '

I

1.

En general, derivando k veces resulta

n k ) k!

o sea

Ixl <

con

1.

'" r

'"

00

o "=0

dx

... + (X"

í: '"'ñ!'

00

X~+I).

x (con Ix!

< 1), la sene

para todo

L (-

xn+1

1)"_+ 1'

n

"=0

+ x) = x

X2

- -2-

X"+I

1)"--1 +

n+

x3

+ -3- -

... (Ixl <

...

1).

Para x = 1 se obtiene la serie alternada

cuyo radio de convergencia es infinito, coincide con ella misma, luego designando por f la función suma:

x" = ~._,-, n.

+1

00

~(- 1)" x" =

- - = In (l o 1+X

2. - La serie derivada de la

f(x)

n

~(-l)llx",

1

n"lj¡nx·-l =

0=0

Integrando entre los límites O y

por derivación se obtiene 00

=Z~(X~+l -

Demostraci6n: Basta tener presente que la serie de potencias es unifollll" mente convergente en todo intervalo cerrado en el que la serie sea COIlV('1 gente, y en consecuencia se pueda aplicar el teorema de integraciúlI d,' L.', series funcionales. Ejemplo.

1,

dx

. n=U

x

€

R

111 1 - --+-- - --+ 4 3 2

que es convergente, y aplicando el teorema de continuidad, resulta

n~O

se tiene f(x) = f'(x) para todo x E R. Como la función eX tiene esta misma propiedad, y es eX> O para todo x E R, escribiendo f(x) = eX ",(x), resulta

... ,

lim In (1

z~l-

+ x) =

1 In 2 = 1 - - 2

1

+ -3-

1 - -4-

+ ...

573

572 3.

Series de potencIas

DESARROLLO DE UNA FUNCION EN SERIE DE POTENCIAS

3.1. Definición: Sea f: X ,-+ R una función real definida en el conjunto X e R. Se dice que una serie de potencias

¿; a. (x

--- xo)·

o

¿

a. x"

(si Xo = O),

convergente en un intervalo l centrado en xo, es un desarrollo en serie de la función f en el conjunto X n 1, si la suma de la serie coincide con el valor df' la función en este conjunto. Definición análoga sirve en el caso complejo. Evidentemente no tiene sentido en desarrollo en serie de potencias de una función cuando es nulo el radio de convergencia. Ejemplo.

La función (x) = l 1 x está definida en el conjunto X que es

=

R (o C) excepto el punto x 1. La serie geométrica indefinida ¿',x" converge el intervalo (- 1, + 1) (o en el círculo unitario), y su Suma coincide con {(xl en el campo de convergencia de la serie. Este ejemplo muestrá que ordinariamente X no coincide con el campo dt' convergencia de la serie. En esta introducción a la teoría de la representación de funciones por deS;! rrollos en series de potencias conviene imponer algunas restricciones: se slIpondrá en todos los casos que el punto X o es un punto interior del con;1/1/10 X, por lo que la intersección Xn 1 contiene siempre un entorno de xo. Para indicar que la serie ¿; a.(x - xo)" es una representación de f; enlomo de x o, se escribe ('/1

QQ

f(x)

= La

n

(x - xo)"',

Se~ies de potencias

virtud del teorema de derivación (2.3) se en lun intervalo lo centrado en Xo, en tiene rk) (x) = ~ n (n _ 1) ... (n - k + l)aix - xo)n-k, n=h

1 t dos los términos para todo x E lo, Y en par~i.cular al hacer x = Xo se anu an o excepto el primero, obtelllendose fI"l (xo) = k! . ah'

prop~e.dadf' ~:b~énc~~ r~d~, ~~~::ru~ed~~a:;~~;;n:~ !~~~a~e

Esta potenS! la (unclOn. , t interior de X este desarrollo es: cias entorno de xo, que es un pun o ' 00 «ni (Xo) n {(x) = ~ - ¡ (x - xo)· n=~! n. del teorema de derivación de las series de poten3.3. Otra consecuencia cias la siguiente . 1 función f' X -+ R con X e R, Proposición: Condición necesaria p~ra que a intervalo es q~e la (unción admita un desarrollo en serie de potencias en un ' . d d todos los órdenes en l. . . . posea d erwa as e .. , f" t Existen funciones con tnfmls tas d: cuales converge la serie

i

S~~ri:~:::g:n et~~o~ol~~I~~~ta:o ~~ ~~~:n l:~ {'ni (O)

~_x"

n!

pero su suma no coincide con f(x). Un ejemplo notable de función. de esta c~a~e es la de Cauchy (véase 18; ejerc. 14 Y 19; eJerc. 6) defmlda por 3.4.

11=0

entendiéndose que la igualdad se cumple para todo x

E

X

n J.

3.2. Proposición: Si la función real f: X --;. R, con X e R admite el desarrollo en serie de potencias

f(x)

=

)

e-Jlx'

si

x~O

O

SI

x= 0,

00

(x)

= ~a" (x -

xo)",

n:::::O

los coeficientes quedan determinados por

«101 (xo) uk=-k-!-'

k

= 0, 1, 2,

... ,

!I en consecuencia, el desarrollo es único (Principio de unicidad).

Demostración: Verificándose la igualdad entre [(x) y la suma de la serie

o Gráfica cartesiana de la función de Cauchy.

llamada funcú)n

574 y que aparte de su inte é

Series

"

de

potenCia.':

h"

h)

=,¡~~ = O (haciendO ~ = pues se' (19 X gun ,1.3, ejemplo) es h n - o el' Para la derivada primera d f -. ( ), y por tanto h" = o (el") e se tzene .

}.rr:. --x:n-

y para x ~ 0,

---r

feO) = lim f(x) - f(O) _ .

..... 0

- ~~~

x - O

f(x) = e-I/""

.

2x- J

e-JI""

--x- = 0,

= f(x) . 2x- 3,

y eVIdentemente lim f'(x) = f'(O) 1 ' . "''''0 ' por o que f es continua R Se tIene pues 1 . en . , , que a prImera derivada es de la forma f'(x)

= f(x) • PI

575

I

trucción de ot f .r s Como contraejempl.o". tiene aplicaci6n en la con.' ras uncIones con infinitas d d ., d a d es. erIva as, que evitan discontinlll La función de Cauchy tiene derivadas recta real, a y son nulas en e l ' de todos los órdenes en toda J Ant d ongen. '. es e comprobar esta ro' d n entero es: P PIe ad, es conveniente observar que para todl re-JI""

Ne~es de potencl8s

(+)

y para

x# O rni(x) = f(x)· p..

donde po es un polinomio de grado n' 3 en

f'''W)

00

--,-x" = 0+ Ox + n=. n. ~

reO) = lim

"(x) - (eO) _ . x-O - 11m f(x) • . "' .. o X en VIrtud de la propi d d . d' ea ID lcada al principio Para x;:i: O es: . " ...0

nx)

X

=

[((X). p'(+)J = ((x). "'(+) + f(x) ( - ~

=

((x)

'

H+) =

[p, (+)' - +p; (+JJ = ((X)p,(+);

fln)(xor

= ~ - - (x - xo) .~~O n!

..

Demostración: Por ser ( infinitamente derivable en 1, es aplicable el desarrollo de Taylor en este intervalo, y se tiene "flk)(Xo) k {(x) = k~ k ! (x - xo)

Si para cada x

E

lim T.(x) = O, 0->00

en virtud de la definición de serie, resulta 00

n-ésima de f, y se tiene

(+)=0,

+ Tix).

1 es

f(x) =.~

1''''(0) = Bm f
O su suma es

Proposición: Sea f: X - a, una {unción real definida en X, e 1 e X un intervalo centrado en xo. en el que { posee derivadas de todos los 6rdenes. Condición necesaria y suficiente para que ( admita el desarrollo

donde P2 es un polinomio

de grado 2.3 en ~ De1a' f x· mIsma orma se continúa hasta la derivada

~

en 1, es que el resto n-ésimo T,,(x) de la fórmula de Taylor, tienda hacia O, cuando n -+ oc, para cada x e 1.

. p (-) = O 1

+ ... + Ox" + ... ,

3.4. Una condición que complementa la anterior necesaria (3.3), para que una función, que posea derivadas de todos los órdenes en un intervalo, sea desarrollable en serie de potencias, es consecuencia de las f6rmulas de Taylor y Mac-Laurin.

00

de f y t' , se lene. 1 1

OX2

que evidentemente converge para todo x, y que para todo x distinta de f(x).

f(x)

seg~n~a

1 --o x

Calculadas las derivadas de la función de Cauchy en x = O, Y siendo todas nulas se tiene

donde PI es un polinomio de grado 3 en _1_ Análogamente se calcula la derivada

(+ )

¡
k!

(x - xo)~

Recíprocamente. si esta igualdad se verifica para cada x en

T.(x) ~ .~,

f
E

1, se tiene

576

Series de potencias

y como se supone que la serie converge para cada x que es el resto de la serie tiende a O cuando n -loX.

E

1, la expresión anteriol

'i77

Ser~s de potencias

de donde

( )1 l · IT"x ,,~~

Observación. Para una función dada t, fijado xo, el resto Tn(x) es una fun ción determinada (diferencia ,entre ((x) y un polinomio de grado n), sin em bargo se pueden dar distintas expresiones para la forma del resto (Lagrange, Cauchy, Schl6miJch, etc.). En ellas aparece siempre un valor intermedio l;, qu\' evidentement,e no es el mismo para todas y depende de x. Ordinariamente no se reconoce la relación entre x y;, lo que origina dificultades en el cálculo de lim Tn(x), que muchas veces se simplifica escogiendo adecuadamente la forma n~m

elX1

s::: /r.rr;, Tn"+1)T .""'

Ixl"+1 Ixln+l = e1x1 l¡m - O n~ro (n + 1)! - •

pues Ixln+1j(n + 1)! tiende a cero, por ser el valor absoluto del térllli/ll' :n + l)-ésimo de la serie considerada, que converge para todo x E R. Se tiene, pues eX

=

x" Z -,-'

CXJ

n~ij

n.

para todo

x

R,

E

que coincide con el resultado obtenido en (16; 1.3).

del resto.

4.3. Para las funciones sen X y cos x, las series de Mac-Laurin

sun

X211~1

4.

~(- 1),,-1 {2n _ 1)1

ALGUNOS DESARROLLOS USUALES

7t,rl

.4.1. En los casos ordinarios, para desarrollar una función f: X -lo R en sene de potencIas de x - Xo, para los valores de x del intervalo 1 e X, centrado en x o, en el que se supone que existen derivadas de todos los órdenes de t, se procede de la siguiente forma: Se calculan las derivadas sucesivas de t en 1, o al menos en xo. Se halla el radio R de convergencia de la serie formal ¡rl/)(xo)

L --,n.

(x - xo)".

Finalmente, se determinan los valores de x que es lim T,/x) 1I ......

.:n

E

con O<

x

¡

n [Xo

- R,

Xo

+ R],

para los

E

/j

< 1, que como en el caso de la función

Se tiene, pues

sen x =

= O,

eX tienden a cero P;II.I 1".1"

R. 00

¿ (-

oc

x2,t-l

1)"-1 (2n _ 1)!

y

cosx =

para todo x

€

L.(-

x21t

1)" (2n)!

'

n~

11.=1

tomando el resto en cualquiera de las formas conocidas. Para las funciones elementales y las trigonométricas. ya se ha realizado el cálculo de las derivadas sucesivas así como el del resto de la fórmula de Taylar (19; 4), así que sólo queda por hallar el radio de convergencia de la serie formal, y el límite del resto. 4.2.

respectivamente, y las dos tienen el mismo radio de convergencia R:: .~ Las expresiones correspondientes de los restos según Lagrange son

R, que coinciden con el resultado de (16; 3.1).

4.4. En el caso de la función logarítmica, conviene desarrollar la funciún In (1 + x), ya que la In x no está definida en el origen. La serie de Mac-Laun n correspondiente es la llamada serie logarítmica:

Para la función eY la serie de Mac-Laurin es x"

l;:D

n!

y su radio de convergencia R ='". Para cada x, la expresión de Lagrange del resto T,,(x) es con

0<8<1,

cuyo radio de convergencia es R = 1. En este caso, para comprobar que el resto TI/(x) tiende a O para cada X € ( _ 1, + 1). conviene usar el resto de Cauchy, cuyo valor absoluto es (1 fJ)n = _I.X'I"+I ( )1 -- 1x,1"+1 ~(-]-+-!l-x-),,-+~I ] + fJx IT n\X

(_1 - () )" 1

+

!Ix

con 0< (j < 1.

579

Series de potencias

578

+1

Como - 1 < x <

es -

f)

< ex y 1 -

fI

< 1 + fJx, y por tanto

IXI"+1

< 1 + /Ix

IT.(x)!

que evidentemente tiende a cero si Se tiene, pues In (1

+ x) =

Ix: <

l.

00

x~

n,;,!

n

ler'~s

de potencias

de estos métodos de desarrollo en serie de potencias, ba~ados Taylor, por medio de la derivació~ e i~~egración de se::~i~~ . f 'l'd d desarrollos que serían mas dIfIcultosos por . onslguen con aCI I a ¡irectos. Partiendo de la serie geométrica

'n

i~6fór~~~~t~e

_1_ = ~ (_1)0-1 t',-l, I +t .=1

~ (- l)~-I_,

¡ue converge para

para todo x E ( - 1, + 1). También para x = 1 tiene validez el desarrollo com' se ha visto en (2.4, ejemplo). 4.5. En el caso de la función potencial, como en el de la logarítmica, con viene desarrollar la función (1 + x)", en vez de la x", donde a es un númer< real cualquiera. La serie de Mac-Laurin correspondiente, llamada serie binó nica, es

}; (an ) x",

I

x

!t" < 1, por integración entre O y x se tiene

...!!...- = InO + x)

o 1

JZ (~(-

e

+t

00

In (1

+ x) =~,

n.-=l

4.7.

n

a

+1

)

X,,+I

(1

+ 19X),,-1 (~ )" 1 + fix

Este resto se puede descomponer en los cuatro factores siguientes: (n + 1) ( n : 1 ) x", x, (1 +

y

f)X)"-1

1 _ fI )" ( 1 + fix

El primero es el término n-ésimo de la serie derivada de la binómina, que converge para Ixl < 1, Y en consecuencia dicho término tiende a cero si Ixl < 1 ; el segundo está acotado evidentemente; el tercero está comprendido entre 1 y (1 + X)«-I; y finalmente el cuarto está acotado por 1, como ocurría en la serie logarítmica. Siendo Bm Tix) = O, para cada x E ( - 1, + 1),

1+t

que converge para

¡ti <

00

para todo x

€ (-

1,

+ 1),

(

a ) x u,

n

cualquiera que sea

a

real.

x2n-1

'

L (-

are tg x =

1)"-1 2 n _ 1 '

"=1

para tod~ Ixl < 1. d Ab I (26) el desarrollo anterior también es En VIrtud del teorema e e . !ido para x = 1, obteniéndose 1 n -1 1 + 2 - - - 7 + ...

-4--

--3-

vá-

5

. 'ó f{) re sen x se pasa a la funPara desarrollar en serIe la funel n x = a , ción derivada (x) = (1 - X2)-lf2, con ¡xl ~ 1, 4.8.

a la que se aplica el desarrollo binómico f'(x)

11=(1

1)>>-1 t 2n - Z

n=1

1, por integración entre O Y x se obtiene

se tiene

+ x)" = ~

xn (- l)n-I_n-

=z (-

~

t

n~OCl

(l

::';

Partiendo de la serie geométrica

y tiene el radio de convergencia R = 1. El resto T.(x) en la forma de Cau chy es

+ 1) (

~I (- 1)"-1

de donde se obtiene el resultado conocido

.;;04

T.(x) = (n

l)n-1 t-- I ) dt =

"~I

Q

que converge para

Ixl <

=~o ( - 1)" (- 1

2

) x

2 ',

1, o sea 00

f{x) = 1

+ '11=1 L

1. 3 ..... (2n - 1) 2 . 4 .. , .. (2n)

2n

x

')80 Series de potencias

581

Series de potencias

Integrando entre O y x se obtiene el desarrollo buscado: are sen x = x

+~

1 . 3 . '" . (2n - 1) 2 . 4 ' ... ' (2n)

"-1

donde "1 '" 0-• ... a m son las raíces del polinomio q(x), y rl .. , ri ... r m sus respectivas multiplicidades, basta sumar los desarrollos de cada una de las fracciones simples, obteniéndose una serie de potencias convergente para

x2n tI 2n + 1

Ixl <

1 El desarrollo de X-=-;;-' con 1

a

1 _l_x_ = -

-:-n~

a

(-:- r,

l)c este desarrollo se deduce por derivación en el caso

( X

~

tll' donde

a

r =~)2 = (x

= -

para

Ix! < lal·

l

_

dt' senes en el complejo, el desarrollo de

= min {I"I\, ... , ¡ami}.

El desarrollo en serie de potencias de u/'la función racional, es válido para los valores de x inferiores en valor absoluto al menor de los módulos de las raíces del polinomio denominador. El método indicado permite calcular los coeficientes del desarrollo, pero se puede seguir un método directo que no requiere la determinación previa de las raíces del denominador. Escribiendo

real o complejo, es

1

~=--a-

R

p(.x) = ao

y para

+ al x +

oo_

p

xv, q(x) = b~

+ bl X +

oo'

+b

q

x·

f el desarrollo '00

rea , y por producto

1 (x - af •

+a

f(x) =

b Cn x n ,

n::::::iJ

~ n! n (7 )"-1

como es p(x) = f(x) • q(x), se puede efectuar el producto del segundo miembro, ordenándolo según las potencias de x, e identificándolo con el primero, y así resulta: Co

bo = ao

el bo C2 bo

+ Co b l = al + Cl b + Co b z = l

az

Reiterando el procedimiento se o b tiene en general

1

(x

~ ay

=

(- 1)' (r _ 1)!

1

ex)

~n~~1

n (n -

1) , .. (n _ r

+

2) (-;-) "-'+1

., •••••••••••• o., ••••••.••.••••••

'}.e~A."

•••••

que tamblen se puede escribir en la forma

{x

~ ay

~

= (-a,l)'

,,~O

( - r ) ( _ _ x_),n,

n

a

de donde resultan sucesivamente para

¡xl < lal,

, ...

y que en el caso real, corresponde el desarrollo según la serie binóm¡'ca.

Si se trata de d 11 esarro ar una función racional que descompuesta en fracciones simples es de la forma

Para recordar este cálculo basta tener presente que los coeficientes co, Ch son los que se obtienen al dividir, según la regla ordinaria, el polinomio p(x) por el q(x) ordenados según las potencias crecientes. C2' •.•

p(x) q(X)

m

(

A,. 1

=L + ... i=l X - a.

Al,",

+~-_ (X _

al)"

) '

Ejemplo,

En el desarrollo en serie de potencias de la fracción 1

1- x

+ x + Xl

'

582

Series de potencias

los términos del desarrollo se calculan por división según las potencias ascendentes de x, según el esquema usual.

: 1+

1- x - x-

+

2x

2. _ Probar que si la serie La. x' tiene u~ r~di? ,de convergencia no nulo y la serie ~ a. x' /n 1 tiene radio de convergencia ¡nflDlto. 3. -

2

2x

-

X2 _

Hallar el radio de convergencia de las series ~ r n cos nO

X+X2

---'--=-2x + X2 +

X2 _2x_x2

583

Series de potencias

cuando se considera la variable r como independiente.

l

4. -

Calcular la suma de las series:

2x!

El desarrollo es de la forma

1- x

x'

= 1-

.2x

,,-4 + x2 + x 3 - = + ...

x'

x'

1

X

----+ 1.2.3 x S. -

x'

an

partir de n = p + 1. Se denomina recurrente una serie cuyos coeficientes, desde uno en adelante, satisfacen una ecuación lineal con coeficientes constantes. que forman la escala (le recurrencia. Se ha probado, por consiguiente. que el desarrollo en serie de potencias de una función racional es una serie recurrente, cuya escala de recurrencia está cIada por los coeficientes del polinomio de denominador. También es cierta la proposición inversa, ya que las ecuaciones de condil'i,~n para co, Ch ez, .... permiten determinar los coeficientes de los polinomios y q(x).

= ¡P'

,,+1)

2.3·4

x' 3

+

x' 3.4.5

x7 7

x' 5

+ a, x + a, r + ... ,

/(q - 1) (q' - 1) ... (qn -

en la cual es

1),

con

!q!

< 1,

converge para todos los valores de x. S1· F( x } es la suma de la serie, probar que se verifica F(x)

= (1 -

qx) F(qx).

6. -

Desarrollar en serie de potencias la función In (x

7. -

Probar que- es

x' n'

QO '\;'_=

.~

8. -

J"

1 x, -ln-d o x l-x

. ,SO y. an,

Probar que si converge la sene

L

+ JI + x').

para

Ixl < 1.

el radio de convergencia de la serie

an x" es por lo menos igual a l. y se verifica

n;;>O

00

lim

¿,

00

a.x"

= ~a..

Z>-+1- n=Q

~.

+ ....

+-----+--- ... ,

Demostrar que la serie 1

ligados por una ecuación lineal de coeficientes fijos:

;¡

I/(x)

x' 11

8

-1.3 - - - -3.5 - - + -5.7 - - - -7.9 - - + ....

Observación. Las ecuaciones de condición obtenidas que determinan los l'ocficientes Co, Ch C2. '" del desarrollo, muestran que cada q + 1 sucesivos

t·~tán

r

x 5

1

--+--+--+--+ .... 2

-,--+-X---,+-X..... 2

~ r n sen n6

y

n:=O

' de convergencia de 9. - Se supone a" ;;;;: O, n = 0.1. . .. ; que e l ra d 10

EJERCICIOS

.'5'. .so a. x"

es

00

1.

Hallar el radio de convergencia de las series de potencias cuyos términos generales son de la forma: _n" _ xn; n!

(n 1)'

- - - x" (2n)!

•

~ n"

x.; (a +n n) x";

1 . 2 ..... n ( 1.S. '(2n+l)

)2

log. nx"; (nI)'

x";

- - - X". (3n)1

= l.

y

Demostrar que es .... ~ an convergente y de que lim 00 ~ a. x· = s < ~. .....,- n=O

.=0

suma s. 10. - Se supone bn > O• n

= O,

convergencia de las series

b, es divergente. y que los radios de 1, ... .• que '\;' Ú

¡

n~

n;¡.o

an x" y

'5'. bn x·

A~

son iguales a 1. Probar que se

584

Series de potencias

verifica

= ~

an xll

ao + a, + + an n=O lim -------=lim ---------------00 n400 ha + bl + ." + b n 000

x~l-

~ bnX"

cuando exista este último límite. 11. -- Dentro de los campos de convergencia, probar las siguientes igualdades (l-x)

co

co

n~O

n~O

Z an x· = L (a. - an -,) x'

00

b) 12.

~-

a-,

con

= O.

00

1;anx·=(l-x)~snxn

con

s.=ao+a,+ ... +an.

Probar que para a;? 1 es ~

1

tU~'

1

1

1

.J o~dt=-a--~+T+~+2--o,o; y en general para cada b

J I

ü

>O

rn-' 1 1 ;t- t b dt = -a- -

1

a

1

+ b + --';-+2b -- ....

13.- Sea at ¡

00

~--=s, n_~ n 1

+

probar que es o;)

Iim (l-x) ~

an x" =

S.

n=R

z~l-

14. --- Probar que es OCJ

n-l

¿--=1. nI

n~2

15. - Estudiar la convergencia de la serie binómica en los extremos del intervalo de convergencia. 16. -

Desarrollar en serie de potencias de z la función 1 vl-2xz

+ z'

=

~ PnZ".

n~ll

Probar que los coeficientes P. son polinomios en x que verifican II! relación recurrente (n

+

1) Pn+, -

(2n

+

1) x P n

+ n P n- = O. 1

17. -- Probar que son recurrentes las series 1

+

3x

+ 3x + 5r + 7x' + + 2'x + 3'x' + 4' x' + 1 + (2' -- 3) x + (2 4) x' + (2' -- 5) x' + 4

__ o

Calcular los correspondientes radios de convergencia y suma. 18. -- Sea la serie o + Ix + Ix2 + 2x' + 3:.:4 + 5x' + ,..

n=O

a)

Series de potencias

+ 7;xl + .. , + (2n __ I)x'-' + (2""--l)x" +

coeficiente es la suma de los dos anteriores (sucesiÓn tI<- ¡:!llO en la q ue cada " l '6
28. El espacio euclldeo R" 1. El espacio vectorial Rn.

2. Topología euclídea en Rn. 3. Principio de encaje.

4. Dos teoremas de existencia. 5.

Conjuntos compactos.

6.

Ejercicios.

Después del estudio de las funciones reales de una variable real. es natural pasal al estudio de las funciones reales de varias variables reales. Sin embargo no se alcanzaría una visión completa y fiel de la teoría. si se considerara el paso de una a varias variables, como un puro ejercicio de acumulación de las dificultades que corresponden a cada una de ellas. Una función f de n variables x" ... , x. ha de entenderse como una función de una n-tupla (Xl> .... Xft). es decir, de un vector x de n componentes. Es pues evidente, que previo al estudio de las funciones de variable vectorial, es el de los conjuntos de vectores en K". Aparte de las propiedades algébricas del espacio Ka interesan en el Análisis las topológicas propias de un espacio métrico. El espacio euclídeo n-dimensional queda definido a partir de la norma de un vector (l.3). La bola abierta (1.5) permite definir el sistema de los entornos esféricos, e introducir los conjuntos abiertos (2.2), o sea la topología del espacio euclídeo. Los conceptos fundamentales relativos a la topología euclídea en Kn, son las generalizaciones naturales de los establecidos en K. Frecuentemente coinciden literalmente sus definiciones. El principio del extremo en K no tiene réplica en el espacio euclídeo, ya que R" no admite una ordenación compatible con su estructura algébrica, por lo cual se ha de partir de otras bases para la demostración de los teoremas fundamentales de la topología en el espacio euclídeo. Uno de los métodos clásicos es partir del principio de encaje (3.2), y entonces resultan fácilmente los teoremas de Bolzano-Weierstrass (4.2) y el general de encaje (4.3). Finalmente, la comJ1Qcidad de un conjunto (5.1) en el espacio euclídeo Rn se define literalmente igual que en el caso de la recta real, y también es válida la caracterización de los conjuntos compactos por el teorema de Heine-Borel (5.2). Sin embargo, la demostración dada para los conjuntos de R. que se basaba en el principio del extremo, no es fácilmente generalizable en R", por lo que se da una demostración directa, a partir del principio de encaje.

587

588 l.

El espacIo euclídeo Rn

EL ESPACIO VECTORIAL Rn

1.1. ,En Rn se puede definir una estructura de espacio vectorial de manera analoga a como se hizo en el caso de R2 en (8; 1). Un elemento de Rn es una n-tupla de números reales (XI> ... , x.), que en forma breve se designará por x; es decir, x

= (x¡, ... , x n).

. Ordinariamente sólo se escribirá la primera Xl y la última X n de las componentes de la n-tupla, cuando se escriba en forma desarrollada.

la Proposición: En el conjunto Rn de todas las n-tuplas de números reales, suma de n-tuplas y el producto de un número real por una n-tupla definidos por ' x

y

+ x' =

con x, x' e Rn y k sobre R.

E

(XI> ••. , x.)

+ (x~,

... , x:) =

(Xl

+ X;,

... , X.

+ x;,)

kx = k . (XII ... , x n ) = (kx¡, ... , kx.) R, determinan en R" una estructura de espacio vectorial

Evidentemente Rn es un grupo abeliano respecto de la suma. El elemento neutro es O = (O, O), Y el opuesto de x = (Xl' ... , X.) es _ x = (_ XII '"

El espacio euclídeo Rn

Los vectores el> e2, ... , en, donde e, = (O, ... , 1, ... , O), con el 1 en el lugar i constituyen una base del espacio vectorial Rn. Si x = (x¡, ... , x n ) su exprcsi(lII referida a esta base es

Ii~¡

-

....

.;/'

=

JX2;::¡::-:-:-:-:+xr· -v'k 2 X~ + I

I

I I

I I

I

E

R' y sus proyecciones en una referencia ortonormal.

... + k2 x2n = ;k¡

II

'=1

Xi X(

(x;

n

!Ix' - kx¡¡Z =

2.: (x;

n

.- kX,)2 =

1=1

2. (X;)2 i.:d

x

I

It

- 2k

J..

+ ... + x;) =

Si por el contrario, para todo k real es x' - kx:j::. 0, o bien se tiene

Ilx' - kxlll

0,

JI

L: x', x, + k2 L: x~ > O i::::l

i=l

cualquiera que sea k. La ecuación obtenida anulando este trinomio en k, h'n· drá por tanto sus raíces imaginarias, luego su discriminante será negativo:

4

C~l x; Xi

r-

Y esta desigualdad equivale a El vector x

en'

I ~ ¡Ix!' . 11x'1! ;

Xi X;'

= l.~.',--=-1 Xi kx¡ I = ;~

n

verificándose la igualdad si, y sólo si, existe un número real k tal que es ,,' (es decir, cuando x y x' son linealmente dependientes). En este último caso se tiene (x;, ... , x;) = (kXIt ... , kx n ), y por tdnlo

x,e,

-- ..........

+ '" + X

e¡

De esta definición resulta inmediatamente que Ix· = O si, y sólo si, x U. pues una suma de cuadrados de números reales sólo es nula si 10 SOIl ... ld.1 uno de los sumandos. Otra propiedad notable de la norma es la desigualdad de Cauchy-Scl/ll'tll· Para todo par de vectOres x = (XI, ... , x n) y x' = (~, .oO' x;), se til'IH'

¡Ixll . Ilx'll

-- ---... ---.

Xl

1.2. El concepto de valor absoluto, definido en R, no tiene sentido ('11 ,,1 espacio vectorial Rn, sin embargo se puede definir la norma de un Vl'cl01 X E R", que se designa por !lx'l, y que conserva las propiedades del villol' ,Ji) sol uta en R, y del módulo en e (8, 4.1) excepto la que se refiere al produciD Geométricamente la norma de x equivale a la longitud del vector. Definición: La norma del vector x = (XI, ... , x n), es el número fI"¡{ "" negativo

... , - x.) .

. ~l produ~to. de. un número real por una n-tupla, cumple las propiedades adItIvas y dlstTlbuÍlvas. y 1 es el elemento neutro de este producto. Las n-tuplas x, x', ... € Rn se denominan vectores, y los números k e R son los escalares del espacio vectorial R".

=

x

4

C~¡ x~ )( ,~/X;)2 ) < O;

590

El espacio euclídeo R'¡

')<)1

El espacio euclideo Rn

1.3. Las propiedades fundamentales de la norma se resumen en la siguiente

Demostración: Sólo requiere la propiedad triangular. Como x - x"

Proposición:

a) lixll?;3 O,

es

para todo

xE

c)

d)

Ilx + x'll :S;; I'¡xll + Ilx",I,

x')

+ (x'

- x")

I!x - x"!1 :S;; Ilx - x'II + Ilx' - xliii·

Rn.

= O si, y sólo si, x = O. Ilk. x!1 = Ikl . Ilx!l, para todo

= (x -

b)'x!1

k

R Y todo

E

x, x'

para todo par

x E R". E

Demostración: Sólo requiere la propiedad d). Se tiene

IIx + x'11 2 =

x

i (Xi + x:y- = Lxi + 2 ±

Xi

j:::o::l

i::::.1

=

1

R".

X/

i=1

+

±

(X/,! =

~x-x'll

;=1

IlxW + 2 ~" Xj x: + !iX'1!2, i,..d

y aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz queda

Ilx + x'!12:S;;ll xI1 2 +

21t

XiX :

o sea

Ilx +

1+ Ilx'112:S;; IlxW + 211 x!l'lIx'll + lix'W,

x'1I 2 ~ (lIxll

+

11x' !f)2

que equivale a la propiedad d). 1.4.

A partir de la norma se introduce la noción de distancia en Rn.

La distancia I1 x - x' :' entre los vectores x y x'.

Observación. La distancia definida entre dos vectores x y x', corresl'0lltl,·. en una interpretación geométrica, a la distancia entre los extremos de dicho', vectores. 1.5. Definición: Dados, un a

Definición: Para cada par de vectores x y x' de R", se define como dislancia entre x y x', el número real IIx - x'II, que se designa pOr d (x, x').

E

R" Y un número real positivo

S.e denominan bolas abierta y cerrada de centro a y radio r, los juntos {x € Rn : IIx - al! < r} y {x € Rn : !Ix - al! :S;;r}

Las propiedades de la norma se traducen en las propiedades correspondientes de la distancia, que coinciden con las enunciadas en (5, 2.5):

r. CON-

respectivamente, que se designan por B (a, r) y B (a, r). Proposición: R", es d (x, x').>

1)

Para todo par de vectores x, x'

2)

Si d (x, Xl) = O es x = x', y recíprocamente.

3)

Para todo par de vectores x, x'

4)

Para toda terna de vectores x, x', x" gualdad triangular": d (x, x")

~d

(x, x')

€

€

o.

Rn es d (x, x') = d (x', x).

+

€

Rn, se verifica la "desi-

d (x' x").

Observación. Si n = 1 las bolas son intervalos centrados en a y semialllplitud r; y si n = 2 las bolas son círculos o discos de centro en a y radio r. En general, la bola B (a, r) es el conjunto de los x E R", cuya distancia a a I'~ menor que r. En ji (a, r). la distancia de los x € R" a a es menor o igual qm' r 2.

TOPOLOGtA EUCLíDEA EN R

n

2.1. Siguiendo la costumbre, a los elementos de R" se les denominar.! puntos. lIN~S-20

592

El espacio euclídeo R"

Este lenguaje geométrico, corresponde al aspecto intuitivo que adquieren muchos conceptos, cuando se refieren al espacio de tres dimensiones R3. Las bolas en Rrt juegan un papel análogo a los intervalos en R, en la definición de la topología en Rn. Muchas de las definiciones en R", coinciden con las dadas en R, así como las propiedades básicas. Definición: Entorno esférico de un punto x

€

li (x, r) de centro x.

593

El espacio euclídeo Rrt

La propiedad 1) de los entornos asegura que el espacio Rn es un abierto; y la propiedad 3) se puede enunciar diciendo que toda bola abierta B(x, r)

es un abierto. Las propiedades esenciales de los abiertos en R" son las mismas que las de los abiertos en R (5; 2.7).

R", es cualquier bola abierta Proposición:

Ordinariamente los entornos esféricos se denominan simplemente entornos .Y un entorno del punto x se designa por U(x), sin hacer referencia al radio de la bola. Esta notación coincide con la introducida en (5, 2.4) para los entornos Itneales en R. Con esta notación, el estudio de la topología en R" coincide casi literallIll'nte con el estudio hecho en la recta real (5).

1)

Rn

y cp son abiertos.

2) La unión de los conjuntos de un sistema finito o infinito de abiertos, es un abierto. 3)

La intersección de los conjuntos de un sistema finito de abiertos, es un abierto.

Propiedades esenciales de los entornos en R". Proposición: 1)

Demostración: Véase (5; 2.7).

Todo punto x € R", posee al menos un entorno U(x), y x pertenece a

•'
La intersección de dos entornos U'(x) y U"(x) de un mismo punto

x , Rn contiene un entorno de este punto x.

]) Si un punto x' € R", pertenece a un entorno U(x) de otro punto x € R", existe un entorno U(x'), tal que es U(x') e U(x). 4) Si x y x' son dos puntos cualesquier:a de R", existen dos entornos U(x) !( U(x') disjuntos.

Definición: El sistema de todos los conjuntos abiertos en R", es una topología definida en R". Como esta topología se ha obtenido a partir de la distancia .d(x, ~') que se denomina distancia euclídea, se dice que la topología es la mduada por la métrica euclídea. 2.3. A partir de los conjuntos abiertos es posible generalizar el concepto de entorno. Definiciones: Un entorno abierto de un punto x

Demostración.: Las propiedades 1) y 2) son evidentes. Si el entorno U(x) es la bola B(x, r) y l la distancia d(x, x') basta tomar un r' < r - l, para que la bola B{x', r) = U(x') esté contenida en U(x). 3)

1 - Y r' < -2-' 1 4) Si 1 es la distancia d(x, x'), basta tomar r <" -2 para

que las dos bolas B(x, r) 2.2.

en R".

= U(X}

y B(x', r')

= U(x'}

sean disjuntas

Por medid! de los entornos se pueden definir los conjuntos abiertos

Definición: En un conjunto e e R", se 7i.ice que un punto x € e es interior a e, si existe un entorno U(x) contenido en e, es decir, U(x) e e. Definición: Se dice que un conjunto A e R" es un abiert'o, si todos sus puntos son interiores; es decir, si para todo x € A existe un U(x) e A.

€

R", es cualquier abierto

A e Rn, que contenga a x.

Un entorno de un punto x € R', es cualquier conjunto e e R", que contenga un entorno abierto de x. Un entorno de x se seguirá designando por U(x), y siempre contiene un entorno esférico de x. 2.4. Las siguientes definiciones relativas a la topología de R", repiten las dadas para la recta real. Definiciones: Sea un conjunto e e R". Un punto a € Rn (no necesariamente perteneciente a eJ, es de acumulación de e, si en todo entorno U(a) hay, por lo menos, un punto de e distinto de a. Un punto a € R" (no necesariamente perteneciente a eJ, es adherente de e, si en todo entorno U(a) hay por lo menos un punto de e. Un punto a € e es un punto aislado de e, si existe un entorno U(a) que no contiene ningún otro punto de e.

594

El espacio euclídeo R"

De estas definiciones resulta que un punto adherente de de acumulación o es un punto aislado de e.

e

es un punto

Definición: El conjunto de todos los puntos adherentes de denomina adherencia de e, y se designa por C.

e e RB,

se

595

El espsc/o eucfldeo R"

Proposicfón: Sea un conjunto e e R", Si x es un punto cualquiera de R", ocurre una, y una sola, de las tres, posibilidades siguientes: a) Existe un U(x) e e, y x es un punto interior de e. b) Existe un U(x) e e', y entonces se dice que x es un punto exterior a e. el En todo entorno U(x) existen puntos de e y e' y entonces se dice que x es un punto frontera de e.

Demostraci6n: Observese que la situación 3) es la opuesta lógica de la situación 1) o 2). Definiciones: El conjunto de todos los puntos interiores de e se denomina interior de e, y se designa por int (e). El conjunto de todos los puntos exten'ores a e se denomina exterior de e, y se designa por ext (C). El conjunto de todos los puntos frontera de e se denomina frontera de e, y se designa por fr (e).

-h~k

o

La definición anterior expresa: El conjunto

Ejemplo.

{x

€

R' : h <

Se considera el conjunto

Ilxll ~ k,

e e Rn

C={x€Rn:h
Y

definido por y

x=o},

que está formado por todos los puntos situados entre dos superficies esféricas dc radios h y k, incluida esta última, junto con el punto x = O. El conjunto formado por todos los puntos de acumulación es

el

= {x € Rn : h ~ Ilxl! ~ k}. R" : h ~

Ilxll ~ k

Y

x=

O}.

El conjunto formado por los puntos aislados es

eo =

u fr (e) = R".

2.6. La definición y propiedades de los conjuntos cerrados en R", coinciden con las estudiadas en la recta real (5; 5). Definición: Si A es un abierto y abierto, y el conjunto e - A cerrado.

e

un cerrado, el conjunto A -

e

es

Demostración: Véase (5; 5.3). En particular: El complementario A' de un abierto, es un cerrado; y el complementario

El conjunto formado por todos los puntos adherentes es

e = {x €

¡nt (C) U ext (e)

x == O}.

{O}.

C' de un cerrado, es un abierto.

En virtud de esta propiedad, al aplicar las leyes de Margan a las propiedades esenciales de los abiertos (2.2) resultan las correspondientes de los cerrados. Proposición:

Evidentemente se tiene

c=eoue¡. 2.5. A 'p~rtir de la definición de punto interior de un conjunto e, se pueden clasifIcar todos los puntos del espacio R". Se designa por C' (1, 1.2) el conjunto complementario del e, es decir, C' = R" - C.

1) R" Y cf> son cerrados.

2) La intersección de los contuntos de un sistema finito o infinito de cerrados, es un cerrado. 3) La uni6n de los conjuntos de un sistema finito de cerrados, es un cerrado.

596

El espacio euclídeo Rn

PRINCIPIO DE ENCAJE

3.

3.1.

Definición: Un intervalo cerrado en R", es un conjunto de la forma 1

= [al'

b l ] X ... X [ai' b,] X ... X [ano bnJ,

donde cada uno de los intervalos cerrados [a,·, b,·], i = 1, 2, ... , n pertenece a la recta real R. A veces se denomina arista i-ésima, del intervalo 1, a [a" bil, i = 1, 2, ... ".j

,'17

El espacio euclídeo Rn

Demostración: La sucesión de las aristas i-ésimas: {[a~, b~]}, forman 1111 encaje de intervalos en R, cuyas longitudes tienden a 0, por lo que en vi 1'1 lid de (6, 1.5) existe un Xi € R, Y uno solo, que pertenece a todos los in!l'rv;d()~, de este encaje. Considerando i = 1, 2, ... , n se obtiene el punto x = (x" .r." ... , x n ) € Rn que pertenece a todos los intervalos del encaje f]'''}. Este punto x es único, pues las componentes de (XI' Xz, .. " x,,} eS!;'¡1l 11111 vocamente determinadas.

n.

Definición: Sea Una sucesión {[m} de intervalos cerrados, en la que es

4.

1"' = [a~, b;"J X .. ' X [a~, b~J X ... X (a',;', b';:J,

donde el superíndice m indica el lugar de orden en la sucesión. Se dice que la sucesión {[m} es un encaje de intervalos, SI se verifica: [1

DOS TEOREMAS DE EXISTENCIA 4.1.

El principio ,de ,encaje es el instrumento para demostrar l'! 1",·,,'/1,,1

del punto de acumulación, del que resulta el teorema general de 1'1/""1" Definición: Un conjunto que lo contiene.

::J p::J ... ::J r"::J [m+1 ::J ...

,1111

una demostración como la dada en (6; 1.3).

e e Rn

está acotado, cuando existe

1/1/(1

/" ./"

Evidentemente, si

zm::J zm+ 1 es

[a~, b~l::J [a:,,+I, b7- IJ para

i

= 1,

2, ... , n

y recíprocamente

b~

También se puede dar como condición equivalente el que exista val o 1 e R" de aristas finitas (b, - a, < k < + '~, para i = 1, 2, que Celo

1111,',

,If

I

Teorema del punto de acumulación: Si un coniunto e el{' está acotado, y contiene infinitos p'untos, existe por lo menos 1111 ['//11111 a € R", que es de acumulación de e (Bolzano-Weierstrass).

- _______.,-_ _ _ _ _ _ _ _ _--,

b'j'

1111

4.2.

/1

b';'+1

1.,1

I

--_._--~----

a;"+l

Demostración: Por estar

a';'

e

acotado existe un intervalo cerrado

1 = [al' b¡] X ... X [a" b i ] X ... X [a", b,,],

con I

al

b, - a,

m

81

el;

Proposición: Si en un encaje de intervalos {lm} en R", es lim (b7' - a:") = 0,

para cada i = 1, 2,

+~,

para

i = 1, 2, , .. , n,

tal que e e l. Dividiendo cada uno de los intervalos [a"b,J en dos partes iguales por (,1

Encaje de in te roalos.

3.2.


'''1

n,

m~OO

existe un pu~to x = (X¡, .... Xi. , .. , X n ) € R", Y sólo uno, que pertenece a todos los mtervalos del encaje. (Principio de encaje.)

+b.

punto c, = --2--' para i = 1, 2, , .. , n; y considerando todos los intervalo,.

ca

cerrados de R", que tienen por aristas los segmentos [ai' o [c i, b,] póll.l i = 1, 2, "., n, se obtiene una descomposición de 1 en 2" intervalos cerrad""

k iguales, cuyas aristas tienen longitudes menores que -2-'

598

El espacio euclídeo R"

599

El espacio euclídeo Rft

siendo C l acotado. Entonces la intersección

- --- - - - - - - -.....----¡~-.. ~

------- --------

es un cerrado no vado. Se ha de observar que la conclusión fundamental del teorema es que e es no vado, lo que equivale a la ex'istencia de puntos que pertenecen a todos los conjuntos e m del encaje.

-------~------~--~--~

5.

X,

Como en ] están los infinitos puntos del conjunto C, en uno de los subintcrvalos, por lo menos, habrá infinitos puntos de e. Se designa por ]1 uno dc estos subintervalos; y evidentemente es )1 el. Con el intervalo cerrado JI se repite el proceso de partición realizado t'1l el J, obteniéndose un subintervalo cerrado J2 e JI que contiene infinitos puntos de

e,

y cuyás aristas tienen longitudes menores que

~2'

Análogamente a partir del intervalo [2 se obtiene el J3; Y siguiendo a partir del ]m, por el proceso expuesto, se obtiene el intervalo cerrado J"'+I. Resulta así la sucesión {r} de intervalos cerrados, cada uno de los cuales contiene una infinidad de puntos de C. Como r+ 1 c]m para todo m entero positivo, además las longitudes de las aristas de ¡m son menores que

~

, resulta que {1 m } es un encaje de

intervalos cerrados que .cumple la condición del principio de encaje (3.2), por lo cual existe un punto x que pertenece a todos los intervalos del encaje. Un entorno cualquiera de x contiene una bola B(x, r) que a su vez conI iene el intervalo r en cuanto la diagonal de este intervalo sea menor que

r; es decir, si Vn 2: < r o 2'" > ,.¡n

+.

Como en todo entorno de x existen infinitos puntos de de acumulación de este conjunto.

e,

x es un punto

4.3. El teorema general de encaje se enuncia y demuestra de la misma forma como se hizo en (6; 1.3) para los conjuntos de la recta real.

CONJUNTOS COMPACTOS

5.1. La definición de conjunto compacto dada en (6; 4) t~ene validez para los conjuntos de espacios topológicos g~nerales. y :n. ~arttcular e~ el espacio enclídeo R". A continuación se actua)¡zan las defImclOnes de (6. 4) refiriéndolas al espacio Rn. • Cé d Definición: Un sIstema J e abz'ertos A e R" es un recubrimiento abier/o de un conjunto e e R", si Ce U A.

Definición: Un conjunto Ce Rn es compacto, cuando en todo recubrimiento abierto Y de C, existe un mímero finito de conjuntos de y que forman un recubrimiento de C. También se dice en forma breve: C es compacto si para cualquier recubrimiento abierto de e, existe un subrecubrimiento finito. d Rn . t una notable caracteri5.2. Para los conjuntos compactos e ,eXIS e zación por medio del teorema de Heine-Borel, según la cual compacto equi-

vale a cerrado y acotado. , . La demostración dada en (6; 3.2) no es facllmente generalizable, ~r lo que se da una demostración directa del teorema de Heine·Borel a partIr del principiO de encaje. Teorema: Un conjunto

Teorema de encaje: Sea {Cm} una sucesión de conjuntos cerra· dos en Rn, no vados, tales que C m + 1 cC ..,

para m=l, 2, ...

e e R"

cerrado y acotado es compacto.

Demostraci6n: Por ser C acotado existe un intervalo cerrado I = [a., b l ] X .. , X [a¡,b¡l

x .. , X

[a n , bA]'

601 El espacio euclídeo Rn

600

El espacio euclídeo R"

Demostración: Es traducción a R" de la expuesta en el caso de la rce! a con bj~a,
para

real (6, 4.3). . . , de los Estas dos proposiciones constituyen la importante caracterJz~c!On conjuntos compactos en Rn, y que en forma resumida se enuncIa:

i=l, 2, ... , n,

tal que es C e l. Dividiendo (como en (4.2)) cada uno de los intervalos cerrados [aj, b,] en dos partes iguales, se obtiene una descomposición de 1 en 2n subintervalos cerrados iguales, cuyas aristas tienen longitudes menores que

Teorema: Un conjunto Ce R" es compacto si, y sólo si,

+.

Hallando la intersección de C con cada uno de los subintervalos anteriores, se obtiene una descomposición de C en 2" subconjuntos cerrados, eada uno de los cuales es la part.e de C contenido en un subintervalo, que se designa por un C d • Cada C d está contenido en un intervalo cuyas aristas

6.

EJERCICIOS

1. _ Probar que para todo par de vectores x', x"

Análogamente a partir del subconjunto C 2 se obtiene el C], y siguiendo ¡¡ partir de Cm, por el proce~o expuesto, se obtiene el subconjunto cerrado C,,' t l' Resulta así la sucesión {Cm} de conjuntos cerrados, cada uno de los cuales está contenido en el anterior, y para ninguno de ellos existe un subrecubrimiento finito de Y. En virtud del teorema general de encaje existe al menos un punto x que pertenece a todos los conjuntos de la sucesión {Cm}. Como x € C existe un abierto A del recubrimiento Y que contiene a x, .Y por tanto una bola B(x, r) e A. Como en (4.2) cuando m verifica la condición

Vn - 2~ <

r, el conjunto Cm está contenido en B(x, r), luego Cm cA;

es decir, el conjunto cerrado Cm está cubierto por un abierto del recubrimiento. Este resultado contradice la propiedad de los conjuntos de la sucesión {Cm} de no existir un subrecubrimiento finito de y para ninguno de ellos. 5.3.

La propiedad anterior admite una recíproca.

Proposición: Un conjunto Ce Rn compacto, es cerrado y acotado.

R". se verifica

E

IIx' + x"ll' + Ilx'-x"ll' = 2
' d es menores que -2-' k t .,enen l ongltu

Un recubrimiento abierto ,Y' de C es evidentemente un recubrimiento ahierto de cada C d • En la demostración por reducción al absurdo se supone que no existe un sub recubrimiento finito para C, de donde se sigue que tampoco existirá un subrecubrimiento finito para algún Ca. Se designa por C, uno de los C d para los que no existe un subrecubrimiento finito de Y. A partir de C l se repite el proceso anterior, obteniéndose un subconjunto (,'¿ e el' contenido en un intervalo cuyas aristas tienen longitudes menores k que 2 2 ' para el que no existe un recubrimiento finito de Y.

es arra.]

do y acotado.

2. _ Probar que para todo par de vectores x', x"

€

Rn, se verifica

Illx'lI- Ilx"lll ~ Ilx' + x"ll· 3. _ Hallar los puntos de acumulación en R' de los conjuntos: {(m, n) : m, n enteros}

racionales}

{(p, q) : p, q

~(_mn ( ,_in ): m,

¡(-;- + 4. -

O ) : m, n enteros, m eje O, n eje O

~

Sean X" X, dos conjuntos abiertos de Rn. Se define: Xl

5. -

~,

n enteros, n -+-0 7'(~

+ X,

= {x, + x, :

Xi €

X"

x, E X,}.

Probar que Xi + X, es abierto. · de R. ; Se puede asegurar que el conjunto Sean Xl, X, dos conjuntos a b lertos ~

XI' X2 =

{XI' X, : Xl €

X"

X, €

X,},

es abierto? 6. -

'ón fA.} de abiertos, decrecientes: An t, Supuesto e cerrado. dar una sucesl para todo n, tal que sea

e

=

(

A..

nA •.

n=l

7. _ Supuesto A abierto, dar una sucesión {e.} de cerrados creciente: para todo n, tal que sea CXJ

A =

U e•. n=l

en e (.'""

602 El espacIo sud/deo R"

8. - Probar que las bolas B(x" r)={x: Ilx-xo!i
29. Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

9. - Probar que las esferas

s (X¡¡_

r) =

{x : IIx -

o

X 11

= r}

son conjuntos cerrados. 10. -- Sea C un compacto de R' 'd ~robar que existe un r < 1 c~;tenq~~ Cen el circulo abierto D = {x : IIxll < l}. D,. = {x : l/xII :s::: r}. está contenido en el circulo cerrado 11..- Sean X un campa t X .' c o y , un cerrado de R" tales que X n X _ eXIste un • > O tal que es ' '1 .p. Probar Que

l/x, -x,11 >",

para todo par

x,

E

Y

XI

X,

E

X,.

1.

Funciones entre espacios euclídeos.

2.

Límite de una función en un punto.

3.

Límites sucesivos.

4.

Continuidad de una función en un punto.

5.

Función continua en un conjunto. Ejercicios.

12.

. Sea 8 la bola cerrada unitaria de R' de la h d' . , q u e se a suprimido el cent D un el'em pI o e recubnmlento abierto de la bola d I ro. ar un subrecubrimiento finito. ' e que no se pueda extraer

6.

11.

Sea e u!!.. compacto de Rn. Probar que existe un abierto A que contiene a C . y tal que A es compacto.

En el capítulo anterior se justificaba el estudio del espacio euclídeo n·dimcIIMolI;li. por ser básico en el de las funciones reales de n variables reales. Pero no es úllicallH'lItl' éste el interés de dicho estudio, 'pues conocidas la estructura y propiedades del <'Sp.II'O euclídeo R", se pueden considerar, en general, las funciones vectoriales de variahh' VI', torial, es decir, las funciones f con dominio en Rn y con recorrido en R"'; se trala. 1.. 11 .... de funciones entre espacios euclídeos (1). Los dos casos de mayor interé, ". p"""." taran cuando m = 1, o cuando n = 1; en el primer caso se trata de las 111"1',,,,,,00. reales de variable vectorial (1.2), y en el segundo de las funciones vectoriales d,' v." ,., ble real (1.3). El caso general (1.4) es equivalente a un sistema de m funcioll'·.' II'.d .... de n variables real«:.s, cada una de ellas. La definición general de límite (11; 3) se aplica al caso de las funciones <,IIlle l', pacios euclídeos y se conservan la mayoría de las propiedades. Se ha de observar <1'' ' para las funciones vectoriales sólo tienen sentido los límites finitos cuando es '" . l. Cuando se trata de una función con valores en Rm, la existencia del límite de la fuu ción en u,n punto es equivalente a la existencia del límite de todas sus funciones l'OIl' ponentes (2.1), en el mismo punto. Como se indica, las definiciones y propiedades referentes a los límites de las fun ciones vectoriales de variable vectorial generalizan, de manera natural, las establecida' para las funciones reales de variable real; sin embargo se plantea una cuestión inten' sante para las funciones de varias variables, sin paralelismo en las funciones de 1I1l:' sola variable, que es la referente a los límites sucesivos: en vez de consider;¡r que todas las variables tienden simultáneamente a un punto, se puede suponer que tiemkn sucesivamente. El problema fundamental en numerosas cuestiones de Análisis e5. el d.· establecer condiciones que permitan asegurar la igualdad de los límites sucesivos lo mados en distinto orden; es decir, de los límites:

0

14. -. Probar

que .todo subconjunto cerrado de un compacto es asimismo . Probar que son compactos los conjuntos de R' compacto_

+ x,' ~ l} x,) : x,' + x,' = l} x,) : x,' + x,' + x,' x' <"' 1 }

{{x" x,) : x,' {{x,. {(x,. 16.

2

-...::::::

•

. Sean X, y X, dos subconjuntos de R", Establecer la inclusión

X, n X, e Dar un ejemplo en el Que

X, n x,.

no se verifique la igualdad X, n X,

= X. n x,.

lím

(lim

(x" x,»

y

lim

(lim

f(x" x,».

Aparte de las proposiciones (3.2) en las que se exige la existencia previa del Iílllill' ordinario en el punto (a" a,). se pueden dar otras condiciones menos restrictivas qlll' (,0 ~

604 LImites y continuidad de funciones entre espacios euclfdeos

:1

permiten asegurar la permutabilidad en el se demuestra, se exige la uniformidad paso limIte. En la proposición simple, que También se aplica la definición de en t~no'd e los pasos al límite (3.3). espacios euclídeos, conservando sus /O~e~n~l a~ local (12; 2 ..1) a las funciones entre valores en Roo es continua en un Pt op a;s 4.1). En particular, una función con y recíprocamente. pun o, cuan o lo son cada una de sus componentes, Los teoremas globales de continuidad . . son notables, el de la conservación d 1 se repiten, casI textualmente, y entre ellos a la existencia de máximos y mínimo: aarco~pa~lda~ (5.2), el . de Weierstrass referente pactos (5.3), y el de la continu'dad p a as uncIones contmuas en conjuntos comI unzforme para las funciones igualmente continuas en compactos (5.4).

cue~~!~:s t:~~:::~:e~~e~~ra:~n~~u~~:~adeclalra, fla i~portancia as unCIOnes.

de la compacidad en las

LimItes y continuidad de funciones entre espacios euclldeos

1.

60')

FUNCIONES ENTRE ESPACIOS EUCLíDEOS

1.1. Conocidas las propiedades fundamentales de los espacios euclídt'()~ R", para n = 1, 2, ... finito. Se pasa ahora al estudio de funciones f cuv" dominio X pertenece a un Rn, y cuyo recorrido está igualmente en un eSJl;1 cio euclídeo de dimensión m, que en general es distinta de n; es decir, ~(' trata de funciones f: X ---+ Rm, con X e R", que son funciones de la vari((¡'I,. vectorial x € R", con valores vectoriales y f(x) E Rm. Los dos casos de mayor interés se presentan cuando m = 1, o cu;¡n do n = 1.

=

1.2. Si m = 1 la función es de la forma f: X ---+ R con X e Rn. En este caso, a cada x = (Xl> ... , x.). que es una n-tupla, le COlTl'Spond(' un número real y = f(x). Con frecuencias estas funciones se denominan "funciones reales dI' 11 1',1 riables reales" y se las representa con la notación tradicional f(xI' __ , x,,). Para conseguir una gráfica expresiva de una función real de vari;l~ V.lII.I bIes reales se considerará el caso en el que es n = 2. La gráfica C;I rk~,'.l11.1 se construye en un espacio de una dimensión más que el espacio dI' 1.1 V.I riable independiente; por 10 que si n = 2, la gráfica estará situad;1 "11 .-1 espacio de dimensión 3. A cada punto (XI X2) de X en R 2, se le h;w(' CI)III". ponder un punto de R3, cuya tercera coordenada es y = t(XI xJ. El Itl}~.11 d,· todos estos puntos es la gráfica cartesiana de la función. Si la función f es continua y el dominio X es simple, por ejemplo. 1111 intervalo, un círculo, etc., la gráfica de f es una superficie e:, R3, cuya proyl'l ción sobre el plano x, Xl, es X. y

Gráfica cartesiana de una función f : X 40 R.

606

límites y continuIdad de fVlciones entre especios euclldeos

1.3. Si n = 1 la función es de la forma f: X -+ R"', con X e R. En este caso a cada x, que es un número real, le corresponde un y = (Yh .,. ... , Ym) que es una m-tupla; es decir, y = f(x). ~on frecuencia estas funciones se denominm "funciones vectoriales de 1Jar~able real". Como f(x) es un vector de m componentes, cada una de estas sera una función real de la variable real x, por b que escribir

[~~J;{~,

y = f(x) equival"

( Y2

= f!x)

con

x

€

X,

evidentemente estará situada en el espacio de dimensión 3. A cada x € X le hace corresponder el punto del espacio x, /JI' Y2 que tiene por coordenadas x, f¡{x), {ix), y el lugar de todos estos pun:os será la gráfica de la función t. Para que la construcción se presente más intuitiva, se pueden determinar prcv.lamente las gráficas de las funciones fl y f2 ~n los planos XYI y XY2 respectIvamente, y entonces la gráfica cartesiana de f tendrá por proyecciones sobre estos planos las gráficas de t¡ y f2' Si las funciones tI y f2 son continuas, y el dominio X es un intervalo la ~dfica de f es una curva situada en el espacio IP, cuyas proyecciones s~bre los planos xy¡ y xyz son las curvas gráficas de las funciones t¡ y f2. qlle Sl'

escribir y = f(x)

/ /

/

/ I

I

1/ II / / 11

t.--k/ y, =

I I IX I J J

I

2.1. La definición general de límite dada en (11; 3) se aplica al caso de las funciones entre espacios euclídeos; además, como todo entorno de un punto contiene una bola abierta centrada en el punto, en la definición de límite, bastará referirse a los entornos esféricos. Se ha de advertir, que como para el espacio Rn (n> 1) no se han dado definiciones para puntos en el infinito, los límites que se consideran c~a.nd(l se trate de espacios de dimensión mayor que 1, se referirán a puntos finitos.

Definición: Sea una función f: X - R"', con X e Rn, y a un punto de acumulación de X. Se dice que I E Rm es límite de la función en el punto a, y se escribe tim f = 1,

cuando para cada e> 0, existe un

> O, tal que es:

B(I, E), para todo x

E

B*(a, .1) n X,

/ 1

I I

Esta misma definición se puede escribir utilizando la noción de distancia:

I I

Es

lim f = 1,

'

x

1

f.(x) : /

~I

"

E

lJ

donde B*{a, .1) = B(a, .1) - {a}. es decir, la bola reducida.

I

I

I

a

/1

1I y, = f,(X)'

/

~uivrue l:~:~:i;~:,~',X;:;

2. UMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

f(x)

y,

y,

1.4. En el caso general, para n y rn cualesquiera, la función vectorial f de variable vectorial, equivale a m funciones reales de n variables reales, pues

En este caso, muchas de las propiedades de la función f, son consecuencia de las mismas propiedades referidas a las funciones f¡, .oo, fm (continuidad, diferenciabilidad, etc.).

luego la función vectorial f(x) equivale a un sistema de m funciones reales de variable real. Para una representación gráfica se considerará el caso rn = 2; es decir st' trata de construir la gráfica cartesiana del sistema de dos funciones: • ~ YI = fI(x)

607

Limites y continuidad de funciones entre espacios eucl/deos

Gráfica cartesiana de una función f: X -+ R'.

> 0, existe un lJ > O, tal que es: Ilf(x) _ 111 < E, para todo x € X que verifique 0< Ilx - all <

si para cada

E

lJ.

En la práctica conviene usar, a veces, la definición de límite, en términos de las componentes.

608

Límites y continuidad de funciones entre espacios eue/ideos

Escribiendo x = (Xl, ...• x. ) f( x) - (f (X X ) 1 ... , ' 1 1, ... , n, .. ·, f m(X¡, = 1, .. ·, m), la deÍlmclOn toma ia siguiente forma: (l

... , X.

» Y 1-

Es

° existe un .) > 11 <

-

f,

f

Vm'

.

Ifm(x¡, .... x n)

....

... ,

<"

Entonces dado un

,>

SI

Xn

-

f

para

° ,

anl

1/.

)

lo

es IXi - ail

m, y

!!x - all < ¡;,.¡n.

.'

-

lml

<"

1

y para cada <,j.

<" para

= 1,

.

= 1, ... , m se tiene ... , n se tiene igualmente 1

se toma un ' _ e -

b

.¡m' y m

ple la condición de límite según las componentes, existe un

F,

para todo x

€

X que verifique 0<

:IX _

•

se cumpara el que

/j'

se verifican las desigualdades de es t a de f'mICÍon. . , Tomando un tendrá IIf(x) - 111 <

,j

SI

O' = Vn'

,> 0, basta tomar

lim

=I =

si para cada

F

> 0, existe un /) > O. tal que es:

EJemplo.

ti = /¡,

Sea la función f: X-+ RZ, con X

= RZ _

,

para todo x

E

<

e,

X n S. que verifique

0< Ilx - all
(l¡, ... , 1m ),

es que para i = l .... , m se verifique lim

f = 1,

xeS,x-&

If(x) - 1[1

Proposición: Sea f = (f lo ... , f m ) una f ' , f:X-+Rm Con XcR" unClOn un punto de acumulación de X Condici' . . : ' y a . on necesarza y sufu:tente para que sea x-a

E.

Definición: Dada una función f: X .-+ R m. el subconjunto S e X. I( 111/ punto a de acumulación de S. Se dice que lE R'" es el límite de f re/e/II",' al conjunto S (o sobre S) en el punto a y se escribe

se

all < ó.

/J =

2.2. La definición del límite de f relativo a un subconjunto S e X. ('11 1111 punto de acumulación de S es la misma que la dada en (11; 3.3). Usall.!" la distancia toma ]a siguiente forma:

De esta última definición resulta la siguiente

Iim f

°I ~ Jx¡f xzl.

E > O basta tomar /J = .¡;: El segundo límite es igualmente O. pues

X que verifiquen

(Xl, .... X n) €

Basta observar que si es If(x

<

~ x, + X2 -

y para cada

0< IXl - all < IJ, ... , 0< IX n !if(x) _ 111

XI X2 sen

I

0, tal que es

1

Ifl(xh .... x n )

para todas las n-tuplas

El primer límite es 0, pues

-

lim f = 1,

si para cada ,>

609

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

{O, O} • definida por

también existe el límite relativo a S, cualquiera que sea S (en las condiciones de la definición). y se tiene lim f = 1.

1 !1(Xl Xz) = Xl X¡ sen -

X~

1

!¡(XI Xl)

+ x;

X¡X2

= '7"~---,,--­

Ixll + Ixzl .

Para calcular el límite de f en (O. O). basta hallar

Observación. Este resultado permite en algunos casos probar la no existencia de límite de una función en un punto a. Si se encuentran dos subconjuntos S' y S" de X, con a como punto de acumulación, y tales que los límites de f relativos a S' y S" sean distintos, se puede asegurar que no exísll' límite ordinario de f en a. Ejemplo.

Sea la función

f: X ->- R, con X f(XI

= R2 -

Xz (X2 - x~)

Xl)

= -,...-;-,,-x~ + x!

{(O. O)}. definida por

610

Límites y continuidBd de funcIones entre espacios euclJdeos

El límite de f en el punto (O, O) no existe. Si S es la parábola que pasa por el origen de ecuación X2 = x~. el valor de f sobre S es constantemente nulo, por lo que el límite será O. Si S es el segundo eje coordenado, de ecuación XI = O, el valor de f sobre S es constantemente igual al, por lo que el límite será 1. 2.3. Si existe el límite, la propiedad de unicidad es consecuencia de la propiedad de separación de los entornos que se verifica en los espacios euclídeos (28; 2.1), propiedad 4):

Proposición: Sea la función f: X - Rm, con X e R', y a un punto de acumulaci6n de X. Si en este punto a tiene f límite, es único. Demostraci6n: Véase (11; 5.1). La consecuencia de esta proposición también se verifica:

Proposición: Si las dos funciones f.: X - Rm y f 2 : X -- Rm, tienen límite en el mismo punto a de acumulación de X, y en toda bola B"'(a, r) reducida, existen puntos x en los que es f¡{x) = f¡(x), se tiene: lim I 1 x-a

= lim x-a

f 2•

2.4. En el caso particular de funciones con valores reales, se pueden dar dos tipos de propiedades de los límites, unas se refieren a la ordenación y otras a las operaciones algébricas. Las demostraciones coinciden con las dadas en (11; 5) Y en (11; 6).

611

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

f 11 c) lim - - = --, g 12 x-a

•

SI

O

12 =,F. •

Observación.

La propiedad a) es también válida, cuando las funciones ,. .., Siguiendo el modelo de las propiedades relativas a ~os bmlt~s I.nftnl'o~ establecidas en (11; 6) se pueden enunciar las proporcIOnes analogas Il.II ,. las funciones reales de variable vectorial.

{ y g toman valores vectoriales.

3.

LiMITES SUCESIVOS

3.1. Las definiciones Y propiedades referentes a los límites de funrioll'"'. vectoriales de variable vectorial generalizan, de manera natural, las esLlhk cidas para las funciones reales de variable real en el c~pítulo 11. .' Muchas veces la única variación consiste en el cambiO del valor ,Ihsolulll por la norma. Sin embargo, se plante~ una cuestión interesante par:1 la~ 11111, ciones de varias variables sin parale]¡smo en las de un~ sola vanablr. qlll es la referente a los límites sucesivos. En vez de conSiderar que todas las variables tienden "simultáneamente" hacia un punto, se puede suponer qlll" tienden "sucesivamente". ' . Para simplificar el estudio se tratará el caso de las funclOne.s de dos Vol riables solamente. En este caso particular ya aparecen con clarIdad los 11111 blemas que se originan en el estudio de estos límites.

Proposición: Si la función f: X - R, con X e R", tiene límite 1, en el punto a de acumulación de X, y es k < 1 (l < K), existe una bola B(a, r) tal que es k < f(x) (f(x) < K), para todo x € B·(a, r)n X. 2.5. Las propiedades de tipo algébrico son

X,

Proposición: Sean las (unciones f: X -4- R Y g: X .-+ R, con X e R" Y a un punto de acumulaci6n de X, en el que tienen límite finito ambas funciones: lim

x.....

f

=1

1

Y lim g = lz.

Entonces se tiene a) lim (al

+ f3q) =

al.

x~.

b)

lim x-a

t . g = ti

. 12,

+ f312•

con

a, /1

€

R.

Xz

d,

612

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

Dada una función f: X -+ R, con X e Rl (en la figura X es el intervalo [c l dI] X [cl1 d 2J), fijado Xl = x~ se obtiene la función de XI' f(XI' xg) definida en el conjunto de los puntos de X en los que es Xl = ~ (en la figura, el intervalo [el' di]); Y análogamente fijado Xl =:ti se obtiene la función de Xl> {(:ti, X2) definida en el conjunto de los puntos de X en los que es Xl = x',' (en la figura, el intervalo [el' d1]). Sea (al. a2) un punto interior al intervalo [e"d l ] X [C2. d 2]. En este punto la función puede no estar definida. En tal caso se puede completar la definición, atribuyendo a la función un valor arbitrario, ya que no interviene en los problemas relativos a los límites. Fijo un X2 #- al (no se le designara de manera especial), en la función que resulta, que depende de XI' se puede considerar el límite respecto de esta variable cuando Xl --+ al; es decir, lim f(x¡,

· t e espacios eucfídeos l.ímites y continuidad de f unCIOnes en r

Para cada

XI €

R, XI

lim

f(XI'

lim f(x\ y por lo tanto

x¡-
por 10 que se escribirá

Supuesta la existencia de este límite para cada X 2 de un entorno reducido de a¡, aparece definida una nueva función h en este entorno, y se puede considerar su límite en Xl = al, que se designa por Xl_Ul

=1

12 ,

Análogamente es

f en el punto

En resumen, este límite sucesivo de en este orden, es

lim (lim f(xl Xl}) X2-a2

x¡-a}

x:z-O

(al' az)

respecto de

= 112

11 .tl.

que manifiestamente depende de i.. ·' ¡·.X--+R, con X = Rl - {(O, Ol} definida por 2. - Para la f unClOn

es

1¡(XI xZ)1 ~ '¡Xli, (Xl

el x:J -" (O, O). S'in em b argo no existe .

sucesivo llz. 3. _ Sea la función

f: RZ - R definida por

t( XIX2) --

¡

XI + X2 + X2

si

Xl

+

O

si

Xl

+ Xz =

Para todo

Xl

~ O es lim

f(XI

x,-.\J

xJ = -

1, luego

XI

Xz

#- O O

Xz-U2

Una función puede tener límite en un punto y no existir los límites sucesivos y también pueden ocurrir que existan los límites sucesivos y que la función no tenga límite. Puede ocurrir igualmente que existan los límites sucesivos y que sean distintos. 1. -

(0,01.

XI-{t

XI Xz -

lim (lim ¡(XI X1) = 121

Ejemplos.

x¡-O

Existen los límites sucesivos y sin embargo no existe el límite d~ f L~II es si se considera una recta cualquiera S que pase por este pUII o ~ I PU . ' y se calcula el límite relattvo, se tlene i. x~ ;. lim f(XI Xz) = lim (1 + i. 2) x~ = 1 + )} ,

Conforme a esta notación, primero se ha de calcular el límite respecto a Xl y después respecto a Xl' De manera análoga se define x,t-.Q.J

lim (lim f(xl Xl» = O.

por lo que tiene límite O cuando

Xl y Xz,

= O,

X2-o

(XI X2) ES (Xl 3:2)-(0. O)

Xl>

Xl)

lim (lim {(Xl Xz)) = O.

Xl),

x 2) = h(x¡).

lim h(X2)

es x,-.\J

xl-al

que en general dependerá del valor fijado

#- O,

Sea la función

f: X ,....., R, con X = R2 - {(O, O)}, definida

por

X¡X2

f(x¡, Xz)

=

x. 1

+ x' 2

lim (lim f(x¡ XI-o

y análogamente

lim (tim xz-O

Xl)

= -

1;

x~

¡(Xl

X2) = 1.

:1:1-+0

1 l' 't de la funciÓn , e lml e .. , Los l ímites sucesivos existen, pero son distintos, , 1 proposlclon si¡!,uiellli' en el punto (O. O) no puede existir, como se vera en a

614

LímItes y continuidad de funciones entre espacIos euc/fdeos

3.2. Proposición: Sea f: X -+- R, con X e RZ. y (al' az) un punto interior de X. Si existen el límite ordinario f(xl! Xz) = 1,

lim

(xr· X2)_(ClI. 42)

y el límite sucesivo lim Oim f(xII

x:z-a2

XI-a)

Condiciones sencillas que permiten asegurar esta "permu~a~ilidad en ,el pasu al límite", se obtienen agregando a la existencia de los hmltes sucesIvos. 1.1 uniformidad en uno de los pasos al límite.

Definición: Se dice que f(x" Xl) tiende uniformemente a h(x¡), cuando a" en un entorno reducido de a2 de radio r, cuando para cada ,., ()

= 112 .

Xl»

XI ,--->'

existe un

ambos coinciden: 1 = 11z, Demostración: Si existe el límite ordinario, para cada minar un ti> O. tal que es 1-

F

F

> O se puede deter-

ti.

De la existencia del límite sucesivo, resulta que se puede determinar un

;" > O (se supondrá igual a n, pues siempre se puede tomar el menor de los dos) tal que para cada Xl que verifique O < IXl _ azl < t5, existe h(X2) = lim f(x" Xj-+4

1-

F

~ h(xz) ~ 1 + ",

Pasando al límite, cuando

X2--jo

> 0, tal que es

para todo X, que se verifique

a)

con tal

qlll'

E;iste un s> 0, tal que es f~lXz)

= h(x;z,)

para todo

Xl

del entorno reducido

lim f(xl Xl) = g(x,), para todo

Xl

del entorno reducido

lim

O < ¡xz - a2,' <

11.

az. queda finalmente

y

<,

Z2-"Z

0< IXl

Análogamente, si existen

=1

Xl.

X2);

1 - ,'~lu ~ 1 + cualquiera que sea " luego 1 = 112 ,

lim f(xl! Xz) (XI' x2)~((/I' a2)

< /),

all

3.4. Proposición: Sea t: X ,-+ R, con X e Rl, y (al' a2) un punto interior de X. Se hacen las hipótesis siguientes:

f, resulta

para

Ix, -

cualquiera que sea X2 del entorno O< IX2 - all < r. La condición de uniformidad radica en que ,\ no depende de Xl esté en el entorno O < IXl - a21 < r.

l

y de la primera desigualdad referente a

(¡

O<

< f(x,. Xl) < 1 + "

para todo 0< IXl - al! < ti Y todo 0< [XZ _ a21 <

615

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

Y XI.....a1 lim (lim f(x" xz)) = X2-+ !2

-

ad
b)

f(x" X2) tiende uniformemente a h(X2), en el entorno reducido de centro a2 Y radio r; es decir, 0< IX2 - a21 < r.

c)

Existe el limite sucesivo 112 de f en (a" a2).

l21!

f

ambos coinciden: 1 = [¡l' Observación. De estas dos proposIcIones resulta una condición para la no existencia del límite de una función en un punto: si para la función f existen los dos límites sucesivos en el punto (a" al), interior al dominio de definición, y son distintos, la función no tiene límite ordinario en (al' al)' En el último ejemplo 3, se da esta situación. 3.3. Los ejemplos anteriores son muestra de algunas de las situaciones que se pueden presentar en la teoría de los límites sucesivos. La proposición demostrada los relaciona con el límite ordinario. Sin embargo las proposiciones más interesantes son las que afirman la igualdad de los límites sucesivos.

lim (lim f(x" X2» = 1'2 o

lim h(X2) = 112 •

:e:z-.al

3)r-+ul

2:'1-«1

Entonces, existe el límite sucesivo

l21

lim (lim f(x" X2» = 12, X]--cl¡

de

f en (a" a2)'

o

x.z-a2

y además estos límites coinciden: 112

lim g(x¡) X,-+C'I

= 12"

= 121 ,

Demostración: Antes de entrar en la demostración es conveniente observar, que en la definición de las funciones h y g no intervienen los valores que f

616

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

617

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclideos

t~ma en las rectas XI = al Y Xz = aZ, e incluso la {unción ( puede no estar defimda a lo largo d~ ~s:as rectas. Evidentemente que tampoco intervienen dichos valores en las de[¡lllcIOnes de los límites sucesivos. De, las hipótesis a) y b) resulta que para cada f.> O existe un b > O (se tomara ~ < s), tal que para todo XI del entorno reducido

o< Ix¡ - all <

~ es

If(xlo X2)

- h(x2)1 <

If(x¡,

Xl) -

i l2 1<

E,

para O< IXl - ad <

Ig(XI) - 112 < 1

del entorno reducido

Y 0< IX2 - a21 <

lJ

/j'

se hace tender X2 -+ a2, como en virtud de la hipótesis a) existe el límite dt" primer término, resulta

---;-;

y en virtud de la uniformidad, esta última desigualdad se verifica Xz

Si en la desigualdad

f,

para 0< IXl -

ad <

ó,

luego existe el límite de g, y es para todo

O < IX2 - a21 < r.

lim y por tanto 121

g(XI)

= 112,

XI-"l

= 112 ,

De la hipótesis c} resulta que para el mismo, existe un ó'.> O (se tomará ó' < r), tal que para todo X2 del entorno reducido

0< IX 2 - all <

Ih(x2)

b' es

-Id


4.

De estas desigualdades resulta ¡f(x" Xz) - ll21 ~ I{(XI> X2) - h(xz)1 para todo (x"

X2)

+ Ih(Xl)

Id < -;- +

-

T

= e

que verifique O<

¡XI -

all

< J

Y 0< IX2 - a21 < ó'.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

4.1. Consideraciones análogas a las expuestas para los límites se plwd"1I hacer en la teoría de la continuidad. La definición general de continuidad local (12; 2.1) se aplica al caso d.las funciones entre ~spacios euclídeos.

Definición: Sea una función f: X -+ Rm, con X e Rn y a lO X. Se dic(' ,/"" que t es continua en a, si para cada ,> O existe un ÍJ > O tal que es ¡(x)

€

B(f(a), ,)

para todo

x

€

B(a,

~)

n X.

x, Esta definición se puede escribir utilizando la noción de distancia. a, a,

+ r r-----,---- ___~ +

~,

r------t;'7777770"." :<::<=""""'.,.¡

a,I------1:

8, -

S' r------i"~=~,:L4::~~

a,- r t-----+----

La función f es continua en a € X. si para cada ,. > 0, existe un ,\ . O /ul que es Ilf(x) - f(a)11 < e, para todo x € X que verifique Ilx ... all < /j. Teniendo presente la definición de límite (2.1) resulta: Si a E X es punto de acumulación de X, la función f es continua en a si. y sólo si, lim f = fea).

----i

Si a es punto aislado de X, la función f siempre es continua en a. De esta última condición y de la proposición de (2.1) se deduce a,-8

a,

+8

Los puntos (Xl' X2) que verifican estas condiciones son los de los intervalos abiertos 1, n, III y IV, de las figura.

Proposición: Sea f = (fl' ... , (m) una función f:X--+Rm con XcRn ya (x. Condición necesaria y suficiente para que t sea continua en a, es que cada una de las funciones componentes tí) i = 1, ... , m, sea continua en a.

4.2. Evidentemente las proposiciones: (12; 3.3) referente a la continuidad de la función restricción y (12; 3.4) referente a la continuidad de la [unción

618

Límites y continuidad de funciones entre espacIos euclídeos

L/mltes y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

compuesta, que se deducen de la definición general de continuidad conservan su validez en el caso de las funciones entre espacios euclídeos. ' 4.3. En e~ c~so particular de que las funciones tornen valores reales se pue. den dar las sIgUIentes propiedades de tipo algébrico, que se deducen inmediatamente de las correspondientes de los límites (2.5).

Proposición: Sean las funciones f: X -+ R Y g: X 04< R, con X e R·, continuas en un punto a € X. Entonces las funciones a)

af

+ /3g,

Con a, /3

€

R;

b)

f'

g;

f

c)

g

son continuas en a.

5.1. La definición general dada en (12; 5.1) se particulariza al caso de las funciones entre espacios euclídeos.

Definición: Una función f: X -+ Ron, con X e R", es continua en X, cuando es continua en cada uno de los puntos x € X. E;emplos. 1. - Toda función polinómica P(Xl! ... , X., es una función real continua en todo R".

2. - El cociente

5.3. Una aplicación de esta propiedad al caso de las funciones reales el teorema de Weierstrass.

+

... ,

x n) en las n variables

... , x.) en las n variables XI, oo., x. es una función continua en Rn excluyendo los puntos x = (x¡, ... , x.) que anulan a q. Se ha de observar que en el caso de una variable {n = 1) el conjunto de puntos que anulan a q es finito, y los puntos son aislados; mientras que en el caso de varias variables (n> 1) el conjunto de puntos puede ser infinito y entonces habrá puntos no aislados. En la función definida por Xl

< f(x) ~ f(x"),

para todo x

Definición: Una (unción f: X --+ Rm, con X e Rn, se dice que es uniforllU'mente continua en X, si para cada F > O existe un /¡ > O, tal que: €

X qUf! cumpla

!Ix' - xliii

=

X2'

5.2. El teorema de conservación de la compacidad establecido en (13; 1.1) tiene validez en el caso presente y su demostración no varía. Por su importancia se repite su enunciado.

es Ilf(x')- f(x") 11< '.

Teorema: Sea una función t:X-+Rm, con XcR·, continua en X que es compacto. Entonces t es uniformemente continua en X.

Xl XI

<~,

La continuidad uniforme de f en X implica la continuidad puntual de f en todo punto x € X, pero la recíproca no es cierta. Imponiendo con~ici?ncs suplementarias al dominio de definición X, se puede pasar de la contmuldad en X a la continuidad uniforme en X. Este es el sentido del teorema de la continuidad uniforme.

+ Xz

XI -

X.

5.4. La noción de continuidad uniforme también tiene sentido para LIs funciones definidas entre espacios euclídeos. Tanto en la definición como t'II las propiedades posteriores establecidas en (13; 3.2 Y 3.3) basta sustituir los valores absolutos por las normas, para acomodar la teoría al caso prcsl' n 11' .

f(XI, X2) = - - - ,

los puntos que anulan el denominador son Jos de la recta

€

Demostración: En virtud del teorema anterior Y = f(X) es un conjunto campacto de R, luego cerrado y acotado. Si y' = inf Y e y" = sup ~, dos puntos x' x" € X, tales que y' = f(x') e y" = f(x") verifican las condICIOnes lid teorema.

para todo par x', x"

de dos funciones polinómicas p{x¡, ... , x ..) y q{x¡,

l'S

Teorema: Toda función f: X --+ R, con X e Rn, continua en el conjunto X, que es compacto, posee un mínimo y un máximo en X; es decir, existen dos puntos x' y x" en X tales que es ({x')

5. FUNCIóN CONTINUA EN UN CONJUN'i'O

Xl!

Teorema: Sea una función f: X -+ Y, con Y = f(X), en la que X e .~" e Y-c Rm, que es continua en X. Entonces si X es compacto, tamblen y es compacto.

si g(a)*, o,

Observación. La propiedad a) es también válida cuando las funciones { y g toman valores vectoriales.

619

6.

EJERCICIOS

1. -- Probar que para la función f definida por

620

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclídeos

es también continua. Si X es compacto, determinar el máximo de F en X.

existen y son nulos los límites sucesivos en (O, O), pero no existe el límite de la función en este punto. 2. -

9. ~ Estudiar la continuidad

Probar que para la función ( definida por

f(x)=

X2

XI

no existen los límites sucesivos en (O, O), pero sí existe el límite de la función en este punto, que es nulo. 3. -

uniforme de las funciones f: Rn ,_ R, definidas por:

f(x) = e- IXII~

/(x) =

(lim

X¡-+Oi¡

$2 .... 02

(x"

lim

(lim

xz-+az

XI +0.1

y

Xl»

{(x" x,»

+

x~ x~ f(x" x,) = - - - -

x'I + x',

11. rrX1

en

1 x,x, (x" x,) = - - tg - - - - -

x, x,

1

+ x, X,

al =

:)O,

al = 00; 12. -

en al = O, a, =:x>;

lim

(x~

Xl X2

+ x~)

1

2;

XY+O

:t¡-+O

x;)e- I""+,,,);

.:1:1 ... 00 :t2-+ 00

5. - Sean dos funciones continuas f: [a, b]-40 Rn y g: lb, el ' 4 R", con a < b < e; tales que es f(b) = g(b J. Probar que la función h : [a, el-+ Rn que coincide con la f en [a, bJ y con g en lb, eJ, es continua en x = b. Generalizar este resultado cuando las funciones f y g están definidas en conjuntos X, y X, de Rm.

6. -

Probar que es continua la función norma; es decir, la función en la que a cada x € R" le corresponde Ilxll.

7. -

Dada una función continua f : [a, bl--+ Rn, en la que es l[f(a)11 < 1 Y IIf(b)1I Probar que existe al menos, un ~ € (a, b) en el que es IIIf(OII = l.

8. -

Sean r funciones continuas fi: X ...... R, i = 1, ,.. , r, definidas en el mismo conjunto X e Rn, Probar que la función F : X -+ R definida por

= máx (t,(x),

...• fr(x)},

l} la (uncí"" I

= sen - - - - - , . l-x~-x;

Demostrar que si la fúnción f: R',_R. es continua respecto de cada varíahltx" Xl por separado, y es monótona respecto de una de ellas, para cada valor 11/" de la otra, entonces la función es continua. Dar un ejemplo de una función continua f : R"--* Rm y de un conjunto cl'lTad" e Rn tal que f(C) no es cerrado.

Conside,rar el caso particular, en el que f : R 2 ~ R es la proyección

sen x, x, x,

+ x~ <

C

4. --- Hallar los límites ordinarios siguientes:

F(x)

-l-+-x'-,-+-x-;-+-.-.-,-+-x--c:;-----

f(x" x,)

en

f(x¡, x,) = sen - - - 2x1 + x,

(X; +

0<,

10. _ ¿Es uniformemente continua en el recinto {(XI. x,) : x~ definida por

para las ~sjguientes funciones, en los puntos que se indican:

lim

con

x,- 3x,- 5xs

Hallar los límites sucesivos lim

+ x, + ... + xu X , - 2x, + 3x, ... (-1)" n X n

f(x) = x,

1 1 sen - - sen - -

+ x,)

(x" x,) = (x,

621

Límites y continuidad de funciones entre espacios euclideos

para cada

x

€

X,

>

l.

[(XI.

x,)

\

I

30. Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos l.

Derivada de una función vectorial.

2.

La diferencial.

3.

Propiedades de la diferencial.

4.

Existencia y determinación de la diferencial.

5.

Matriz jacobiana.

6.

Derivada según un vector.

7.

Interpretación geométrica de la diferencial de una función real.

8.

Derivadas parciales de orden superiur.

9.

Fórmula de Taylor. Análisis local de las funciones reales.

10.

Ejercicios.

Una definición de derivada para las funciones entre espacios euclíueos ,ól" ticlle sentido cuando la variable es real. La derivada en un punto de una función vectorial de variable real es un vector (l.1), que desde el punto de vista geométrico determim la tangenle a la cll/,pa cuya ecuación paramétrica es la función dada 0.3). Desde el punto de vista físico, la derivada de la función vectorial cuya variable es el tiempo, es el !lector l'elocidad (104) y la segunda derivada es el l'ector aceleración. Pa ra llega r a una noción que pa ra las funciones de variable vectorial, desempeñe un papel an~ílogo a la derivada de las funciones de variable real, se ha de considerar que la derivada determina la tangente en un punto de la gráfica de la función, y la ecuación de la tangente es la función afin que es aproximación de primer orden de la función en el punto. Este concepto ya se puede trasladar a las funciones de variable vectorial. La aproximación afin de una función en un punto, de primer orden respecto de la norma de la variable vectorial local, ya tiene sentido. Precisamente cuando se considera una referencia local con el origen en el punto donde la función se aproxima, la aproximación que será una función lineal recibe el nombre de diferencial (2.2). La linealidad y el ser aproximación de primer orden implica la unicidad de la diferencial. cuanuo existe. El ser diferenciable en un punto, una función real de variable vectorial, equivale a la existencia de plano tangente (í.!) a la grMica cartesiana de la función, y por tanto implica su continuidad local (2.3). Las propiedades estructurales de la derivada, como son la linealidad y la "regla de la cadena", se conservan para la diferencial (3.2), (3.3), lo que confirma que su definición ha sido la adecuada.

623 LlNÉS-21

624

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

Al estudiar la determinación de la diferencial aparecen de manera natural las deril1adas parciales (4.2). como instrumento adecuado para construirla; y además permiten dar condiciones suficientes para la existencia de la diferencial al imponerles la continuidad (4.3). Si las derivadas parciales "primeras", cuya definición es local, existen en todos los puntos de un coníunto, quedan definidas las funciones derivadas parciales. Para estas nuevas funciones se pueden considerar sus derivadas parciales, que serán las segundas de la función original; y naturalmente se puede continuar introduciendo las derivadas parciales de los órdenes sucesivos (8). Ya para las derivadas parciales segundas se plantean las cuestiones referentes al orden de derivación en las derivadas mixtas (8.1). En realidad se trata de un problema de "permutación del paso al límite" (Z9; 3.4). La condición clásica de Schwarz (8.3) .\ólo es una aplicación del teorema de invariancia. El conocimiento de las derivadas parciales sucesivas permite establecer una fórmula .1,. Taylor para funciones reales de n-variables reales (9.1), que es el instrumento ade.. uado para el análiSis local de las funciones, y en particular para el estudio de los .'x/remos locales (9.3-9.6).

625

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

1.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

1.1. Dada una función f: X ._-~ Rm, con X e Rn, al pretender extender la nOClOn de derivada a esta función vectorial con valores vectoriales, se presenta una dificultad esencial, pues en el cociente {(x) - fea)

x-a tanto el numerador como el denominador SOn vectores, y el cociente no tiene sentido en generaL Este hecho impone una limitación, que determina una clase de funciones para las que se puede definir la derivada. En el campo real, a esta clase pertenecen las funC10nes vectoriales de variable real, es decir, de la forma f: X -+ Rm, con X e R. En este caso f(x) - fea) es un vector de Rm y x - a es un número real, por lo que el cociente será un vector de Rm, e igualmente 10 será el límite del cociente cuando exista. Definición: Sea la función f: x . . . R"', con X e R abierto y a E X; se dice que f es derivable en el punto x = a, si existe el límite .

hm

f(x) - fea)

x-a

.

Este límite, que será un vector de Rm, se denomina derivada de f en a y se denota por l'(a) O Df(a). Razonando como en el caso de las funciones reales (17, 2), de la definición de derivada resulta Proposición: La función f: X' ...... Rm con X e R abierto, y a E X, es derivable en a si, y solo si, existe un vector l E H", Y una función 11: X -+ Rm, tal que es f(x) = fea) + l (x - a) + II(X)(X - a}, con lim II(X) = 0, y entonces se tiene 1 = f'(a).

Escribiendo se tiene

g(x} = fea) .

+ f'(a) (x

hm

-

a),

f(x) - g(x)

x-a

con x

E

R,

=0,

por lo que g(x) es una aproximación de primer orden de f en el entorno de a. 1.2. Como se ha indicado (29, 1.3) una función f: X ,-+ Rm, con X e R, vectorial de variable real, equivale al sistema de funciones tI, ... , f m reales de va-

626

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

notación, una curva en forma paramétriea está determinada por la funci¡Í1I vectorial de variable real;

riable real, y la correspondencia entre x y f(x) está dada por x

f-?

(f¡(x), •.• , (",(xl) = (¡(x)"¡

+ .. , + fnJx) u m ,

donde UI, .•. , "m son los vectores unitarios básicos; interesa, por consiguiente, determinar la derivada de f, en x = a, a partir de sus componentes f¡, ... , (m.

Proposición: La derivada de la función f: X <1

_'o Rm,

i = 1, ... , m; y entonces la derivada de

= (¡(x) "1 + ... + {",(x) """ fea) = I~ (a) "1

en el punto

+ ... + f'm (a) u

t

f-?

x

= f(t)

o

con X e R, en el punto

e X, existe si, y solo si, existen las m derivadas de las funciones fi: X,---+' R,

{(X)

627

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

La variable t, se denomina parámetro.

XI

= {I(t)

X2

= Mt)

Xl

= Mt).

l

x = a,

m•

En virtud de (29, 2.1) el límite de f(x) - fea) f¡(x) - f1(a) -----= x-a x-a

U1

+ ... +

tm(x) -

fm(a)

x-a

tim,

I

o

I

Ejemplo.

es derivable para cada f'(x)

1.3.

= cos x . U 1 + sen x . "2 + hx • U3

X E

Hélice de ecuaciones paramétricas: XI = ces wt, Xz = sen flJt, X3 = kt

R, Y se obtiene

= - sen x • "¡

+ cos x

. "2

+h

. "3'

Se considera el caso m = 3.

Definición: Si la (unción f: X --+, R3 es continua y X un intervalo [e, el], el recorrido de la función, o sea la imagen en R3 del intervalo [e, el] por la función f, es una curva en el espacio R3. es;

r'__

X,

La función f: R .-->, RJ definida por f(x)

La función f es una representación paramétrica de la curva, en la que [e, el] el intervalo paramétrieo.

Observáción. Cuando f es inyectiva en [e, dI. y f(e) -::F f(d), la curva es un arco simple. Cuando f(e) = t(d) se tiene una curva simple cerrada. En el estudio de las curvas definidas paramétricamente se suele usar otra notación. Aunque se trata de algo que no tiene transcendencia, es conveniente emplear la notación generalmente adoptada. Se suele cambiar la x por la variable t que es real, y el valor de f para cada t E [e, dI, se suele designar por x = f(t), que será un vector de R3. Con esta

'-

I/---~

('xiste si, y solo si, existen los límites de las componentes. El resultado se obt iene hallando el límite de cada uno de los sumandos.

l' -..

1" I

"'~

Curva en R' de ecuaciones param,>tnnl\: x, = f,(t), x, = f,(t), x, = f,(I)

En las gráficas de las curvas dadas en forma paramétrica, sólo se representa en Rl el recorrido de la función, no apareciendo el parámetro en la representación gráfica. Supuesta derivable la función f en [e, el] y fijo un a E (e, d), la función ~ antes considerada, con la nueva notación es g(t) = fea)

+ í'Ca) (t

-

a).

Su recorrido es una recta que pasa por el punto fea) y es paralela al vector f'(a). Como la diferencia f(t) - g(t) es de primer orden en el entorno de a, la recta g es una aproximación de primer orden f 10 que en términos geom{-tricos se expresa diciendo que la recta g es tangente a la curva f en el punto fea).

Proposición: Sea la función f; [e, el].--)o< R3 derivable en a entonces existe una recta y una sola: x

= fea) + f'(a) (t -

a),

E

(e, d);

628

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

I que

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

La velocidad y la aceleración son:

es tangente a la curva x = f(t), en el punto fea).

v(t) Sólo existe una tangente a la curva en el punto f(a), Si gl(t) = fea) fucra otra tangente se tendría: f(t) - g(t) i(t) - g¡(t) lim - - - - - = O Y lim

t-a

f--j,(l

t-a

1-f."

+ I (t

-

a)

a(t)

= 0,

2, -

lue~o

g(t) - g¡(t) l -

a

el punto

x

-

1)"]

+ t J "2 + v't+l' U 3

Se tiene liv(t)];

x = Ka

11Ie~o

= x (1) =

+ x'(1)(t

-

1),

2.

U2

+ v2 U1

Y x' (1) = 2 u]

+ 3 U2 + ~ "3,

la tangente es

x

= (U2 + V2 U3) +

(2 u]

+ 3 U 2 + 2 ~ U3

)

(t -

1).

4.1. La nueva variable t introducida como parámetro, tiene un claro senfísico COmo tiempo cinemático; y la representación de la curva en forma paramétrica es particularmente útil en los problemas relativos al movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria curva. El intervalo paramétrico es d intervalo de tiempo en el que se realiza el movimiento, y la ecuación paramétrica da la posición del punto en cada instante t. El vector posición es x = XI Ul + X2 U 2 + X3 u 3, y el movimiento del punto está determinado por 1;1 función vectorial x = f(t). t ido

a (t -

+ a (I

sen t) u]

cos t)"2

-

=

+ a sen t " 2

t 2 a cos -2-

Y

a(t)

= a sen t u,

+ (/ COS I u"

Ila(t)11 = a,

y

LA DIFERENCIAL

2,1. La noción de derivada, que es un número para las fUlI(,](}]ll", 1 f,ll. I de variable real, y un vector para las funCIOnes vectonales dI.' v,Ill,Jld.' ]. ,1, no se puede generalizar a partir del límite de un ~oClente ,k <111('11']11 l.]' cuando se trata de las funciones de variable vectonal. En L.'siL' (',]',<" ]]].1', ' que e I numero o vec'tor, .se ha de fi¡'ar la <'ltención en el " aspecto d lid I JI](" d .. la tangente a una curva en un punto, que es una funcllJll de prlll](,] 1',],]<1 .. ue a~roxima a la función dada, en el entorno del punt,o, hasta l'I I l l ] I ] ] I ' ] ¿rden. Precisamente la diferencial en un punto: es, en SIlltl.'SIS. 1.\ l"'II''',]''1I de la tanuente a la gráfica de la función, refenda a un~s eJL.'S 1m'" le;;, 1,1] ,] D , " d e derlV'¡da llegar a este concepto se parte d e I a d e f'InlClOn " , :v deS¡IUl'S " ' ,Itsimples transformaciones aparece de manera natural la, funclOn 111ll',11 <]UI' aproxima localmente a la función en las condIcIones mdlcadas. · 'd a en un m t erva 10 [,L, dl, J\i sea (/ UI] pUIII
=

Definición: Sea el movimiento de un punto determinado por x Ht), ean t € [e, dJ, y se supone que f es derivable en (e, d), el vector velocidad en cada iYJstante t es v(t) = f'(t). Análogamente, si se supone que v es derivable en (e, d), el vector aceleración en cada instante t, es a(t) v'(t) = f"(t).

=

Ejemplos.

U1

de la curva que corresponde a t = 1, es

Se tiene

Xo

=

v(t) = a (1 - cos t)" ]

La tangente a la curva

Xo

cos 'ot"¡

+ ro cos ,ot"2 + k + m 2 sen wt "2

La velocidad y la aceleración son:

x = (t 2 ('11

w

2

El movimiento cicloidal en R2 estú dado por la ecuación

(f'(a) - 1) (t - a) = lim - - - - - - - - = 0, t4n t - a

f'(a) = 1.

l;'jemp[o,

,ot sen ,ot U¡

Evidentemente es Ifv(t)ji = ";",2 + k 2 Y la(O!! = ,,,2, que son constanll'S La aceleración es un vector paralelo al plano X¡ X2'

de donde lim

= = -

1. -

La ecuación del movimiento helicoidal uniforme es x =

COS rot •

u¡

+

sen (ot •

U¡

+ kt . "3

de donde ,

hm

{(x) -

f(al -

{'(a) . (x -

x --

(J

a) _

- O.

610

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

En esta fracción se observa que el yroducto f'(a) . (x - a) es una función lineal de x - a, pues toda función lineal í,: R-> R, es el producto de un núJIIcro fijo por la variable, y en el caso anterior es íÜ - a) = f'(a} . (x - a). Así pues, si f es derivable en a, existe una aplicación lineal l. tal que es

. fex) - fea) -

11m y

.. x-a

a)

Á(X -

=0;

reCÍprocamente, si existe una función lineal í. que verifica esta condición, ¡,(x - a) es .el producto de un número k por x - a, se tiene

IlllllO

.

hm 1'01

11

!(x) -

fea) - k . (x

- a)

x-a

= 0,

o sea

lim

f(x) -

fea)

x-a

= k,

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclldeos

con lim

2.2. Proposición: Si f: X >--+, Rm es diferenciable en a € X, sólo existe una función lineal .l. que verifica la condición de diferenciabilidad (Teorema de unicidad.)

Demostración: Si existieran dos aplicaciones lineales

Á(X -

+

f(x) = fea)

I}1((( función f: X .--)< R, con X e R abierto, es derivable en un punto a ,·,risle una función lineal í.: R -> R tal que es

fea) -

= O.

Observación. La función f ,está definida en X que es una parte de R" y toma valores en Rm y la función í. está definida en Rn y toma valores en Rm. Hay, pues, un paralelismo entre los dominios y recorridos de f y su aproximación local A.

f es derivable en

{(x) -

a (x)

x-a

a, y además k = {'(a). Hcsumiendo este razonamiento se tiene: lo que

631

€

X,

a)

y f(x)

Al (x -

a)

ÁI

+ o (11x -

= fea) + x (x - a) + o (!Ix 2

y

Al

'I

recíprocamente.

.1

Formulada así la condición de derivabilidad puede extenderse fácilmente fundones vectoriales de variable vectorial.

all),

all)

y llamando

j,

= Al -

(x - a) -

A2'

í'l

(x - a) = o (11x - al]),

que también es lineal, quedaría: .

). (x - a)

). (x - a) = o (¡Ix - all), o sea hm I _ 11 = x-a

Definición: Sea la función f: X--)< Rm con X e Rn abierto y a € X. Se dice que f es diferenciable en a, si existe una función lineal Á: R" -*, R"' '(al que es

x-a

f(x) - fCa) - ;. (x - a)

I!x - all

= 0, o

lim

Ifex) - fea) - }. (x -

Ilx -

x-a

all

a)11

=0.

Haciendo x - a

= y,

Esta condición también se puede expresar por medio de los signos de I.andau. La función f: X-*· Rm es diferenciable en a si, y sólo si, existe una función lineal ;,: R" ,-+ Rm tal que es

= fea) + í, (x -

a)

+ o (11x -

+ í, (x -

a)

+

Ilx -

a

o.

esta última igualdad se escribe

Si para algún Yo fuera A (Yo)

t...o

.l. (Yo

= k -:F 0,

t)

IIYotll

=

~~

haciendo Y = Yo t, con t> 0, sería

t

Á (Yo)

t

IIYol1

luego no existe ningún Yo para el que sea í. (Yo) A (y)

=

Á¡

(y) -

Á2

-:F O, Y para todo Y € Rn es

(y) = O.

Esta propiedad de unicidad permite dar la siguiente all),

o f(x) = fea)

X

. ). (y) hm -11-,-=0. y-O YI:

0= lim

f(x)

tales que

por sustracción se tendría

lim -----:;----:---- = 0, x-a

lim

}.2

all a (x)

. Definición: Si la función f: X -}, Rm, con X e Rn abierto, es diferenclable en a € X, se denomina diferencial de f en a, a la función lineal

632

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclideos i:

3.

R"-->- R"', para la cual se verifica f(x) = Ha)

+ ¡, (x

Esta función lineal

¡,

- a)

+

r!x - al' " (x)

con

lim

(l

(x) = O

se designa por Df( a).

Observación. La notación de la diferencial no es la misma en los distintos autores. La Df(a) es una de las empleadas; otra es df(a), y también es frecuente escribir na). es decir, la misma notación que para la derivada. lo que a veces origina confusión. En la notación Df(a), se indica la función f de que se trata y el punto a en el que se determina la diferencial. Se trata. pues. de un símbolo (como 10 son sen, coso In. etc.), para indicar una cierta función lineal. en el que no están de manifiesto las variables propias de la función lineal. Como símbolo para las variables propias de la diferencial, se adoptará la letra h. cuando se trate de las diferenciales de las funciones de variable rcal. y la h (o bien (h, • ... , h,,)) cuando se trate de las diferenciales de las funciones de variable vedaría!. 2.3.

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIAL

3.1. Las propiedades esenciales de la diferencial son: la propiedad ", linealidad, y la llamada regla de la cadena, que se refiere a la di ferl'!1c·1.1i d, la función compuesta. Antes de pasar a la exposición de estas propiedades, se indic;11l .d)'.IIII.'·. referentes a las funciones lineales entre espacios euclídeos, que S01l 11<·'·' .... , rias, ya que las diferenciales son funciones de esta clase. En una función lineal i.: Rn.-->- Rm, como función de R" en R" (!'). :I a cada vector x = (x, • .... x,,) E R" le corresponde un vectOr y = (y,. ,11 ... )' H' Y como lineal, cada Ye (k = 1. .... m) es una combinación lineal dt' .r,. es decir, la función i. está definida por

(Xl.

X¡, ... ,

x n)

YI

=

all XI

Y2

=

a21 Xi

+ al2 + a21

X2 ,X2

+ ... 1- a,,, + ... + (/,,,

x"

.r,

f-~

donde a'j son números reales. Designando por A la matriz de los

('odl""·I1I,".

De la definición de diferencial se deduce inmediatamente la siguiente

Proposición: Si la función f: ble en a, es continua en a.

X-~

Rm, con X e R" abierto es diferencia-

Demostración: Si en f(x) = fea) + D fea) (x - al los dos últimos sumandos tienden a O.

+ o (11x

- all) se hace x-->- a,

2.4. En algunos casos se puede obtener la diferencial de una función directamente de la definición:

Proposición: La diferencial de l/na función constante, es la función nula. Demoslración: Si es f(x) = fea) para todo x E X, basta tomar Df(a) = O, y entonces se verifica la condición de direrenciabilidad de manera evidente con o (j!x - all) = o. Proposición: La diferencial de una función lineal, es ella misma. Demostración: En este caso es f(x) = fea) + f(x - a), y como f es lineal D fea) = f, verificándose la condición de diferenciabiJidad con o (11x - al]) = O. Del estudio introductorio (2.1) también resulta

Proposición: Si la (unción f: X-o- Rm, con X e R abierto, es derivable en a fe X, es diferenciable en este punto; y la diferencial es la función lineal definida por h f-> f'(a) . h.

la función lineal A se puede escribir en la forma

(

.~: ) = (::: ••::..:::. ) ( :: ) Ym

amI amz ... a mn

Xn

que muestra la correspondencia biunívoca entre las funciones lineales , y sus matrices asociadas A. En esta correspondencia, se corresponden ("., y c· A, Al + A2 Y Al + Az, Y la composición j'l o j'2 con el producto i\,' ;\" cuando tienen sentido las operaciones.

Proposición: Si ),: Rn ...... Rm es una función lineal, existe un numero tal que es IIÁ(x)'1 ~

e

jlxll.

e . O.

634

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

para todo x

E

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

+ d Dg(a) es lineal, resulta D(cf + dg) (a) = e Df(a) + d Dg(a).

y como la suma e Df(a)

Rn.

Demostración: Designando por k = máx. {la'll, l~i ~ m, 1 ~j:S:; n}

Teorema: Sean las funciones f: X ,~~ R'", con X e R" abierto. 1/ g: Y ,-)00 R", con Y e Rm abierto y además f(X) e Y. Se supone f diferenciable en a E X, Y g diferenciable en b = fea) ( y, entonces la función compuesta g o f: X ,-~ RP es diferenciable C/l a, '/ su diferencial es

se tiene n

ly,1 ~ ¿: 1a;¡11xII ~ k • n !lxll, I~l

de donde

D(g o f) (a)

y se puede hacer

e=

= D g(f(a»

o D fea).

Demostración: Expresando las condiciones de diferenciabilidad d... f \' como en la proposición anterior y escribiendo para abreviar

mtkn.

A = D fea)

3.2. Proposición: Sean las funciones f: X Rm y g: X -+ Rm, con X e Rn abierto, diferenciables en a E X; entonces la función cf + dg, donde c y d dos números cualesquiera, es diferenciable en. a y su diferencial es

y

l'

=

r,

D g(b) = D g(f(a»,

--')o

D(cf

+ dg) (a) = cDf(a) + dDg(a).

+ Df(a) (x

- a)

+

f(x) = fea)

+ A (x

- a)

+

Ilx - all

g(y) = g(b)

+ fI (y

- b)

+

Ily - bll (i (y),

y

x-a

y-+b

Para los vectores y = f(x), con x

+ Dg(a) (x

- a)

+

Ilx - all ¡J(x)

g(f(x)

lim a(X) = O Y lim fi(x) = O, x-a

~(f(x»

Multiplicando por e y d Y sumando, resulta e f(x)

+ d g(x) = e fea) + d g(a} + e Df(a) (x - a) + d Dg(a) (x + Ilx - al! (e a(X) + d ¡J(x)).

- a)

= g(f(a» + ¡,(f(x) -

+

= g(f(a)) + I'(!.(X -

+ d P(x) I1

~ Icllla(x)!1

+

Idlllp(x)11

+

¡dllim IIp(x)11 = 0,

se deduce lim Ile a(x) x-a

+ d fI(x)11 ~ Icllim x-a

IlaCr)11

X"'"

x

para

X e R",

E

y

E

Yc R"'.

fCa»

E

+

= O,

X, de la segunda igualdad resu!I;¡ I!f(x) -- f(a)!1 fI(f(x»,

para

x

E

X;

a

a»

+

!Ix - all fI·(a(X»

+

IIf(x) - f(a)III~(f(x»,

que también se puede escribir (g o f) (x) = ( g o f) (a)

+

De Ile a(x)

para

y sustituyendo f(x) - fea) por su valor en la primera igualdad, y teniendo presente que l' es una función lineal, queda

donde x-a

(x),

¡im a(X) = O Y lim fI(y) !Ix - all a(x)

y

g(x) = g(a)

(I

donde

Demostracián: Como f y g son diferenciabJes en a se tiene: f(x) = fea)

dichas condiciones son:

+ (1'

o ),) (x - a)

+ { Ilx

- all.u(a(x»

+

Ilf(x) - fea) I1 fI(f(x»}.

Como l' o}. es una función lineal, para demostrar que es la diferencial de g o f en a, bastará probar que el último paréntesis de la igualdad, que por brevedad se escribe P(x) = Ilx - allll(a(X»

+

Ilf(x) - f(a}11 . fI(f(x»,

636

Cálculo diferenciar de funciones entre espacios euclídeos

es el producto de Ilx - all por una función de x que tiende a 0, cuando x~ a. En el primer sumando de P(x), es l' una función lineal, y según (3.1) existe una constante C, > O tal que es

h~7

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

Ejemplo.

Las derivadas parciales de la función

11 ,.(a(X)}1 1< C, Ija{x)ll· En el segundo sumando de P(x), sustituyendo f(x) - fea) por su valor, se tiene lif(x) - f(a)11 :S; !!i.(x - a)11 + 1x - alllla(X)II, y como que es

es una función lineal, según (3.1) existe una constante

í.

ez>

O, tal

1I¡(x - 3)11 :::;: C 2 I[x - al l •

que se obtienen como derivadas de un cociente para todo (x" En el punto (0, O) se tiene:

En virtud de estas acotaciones se tiene

¡IP(x)\i ~ Ilx - all (C, ::a(X)1I +C 2 11¡i(f(x})I!

son

+ :¡a(x}1I

DI feo, O)

= limO

D2 {lO, O)

= liro

y este último factor, evidentemente, tiende a O cuando x·~ a. Lo que termina

la demostración.

:lIl ....

Xl-+()

4.

EXISTENCIA Y DETERMINACIÓN DE LA DIFERENCIAL

4.1. Definición: Sea f:X~R, con XcR" abierto, una función real de la variable vectorial x = (Xh X2, .•. , xn ). Se denomina derivada parcial de [ respecto de Xi en el punto a = (ah a2, , .. , an ) € X, a la derivada de la [unción

en el punto ai; es decir,

°

= liro

feo, O)

o = lim -- = X-r+O Xl

f(x¡, O) - feO, O)

'li¡l(f(x»!I>,

Xl-

feo, X2)

-

Xz -

o

.ai'\-+O

Xl) /

(O, In

Xl

- - = 1. XI

O.

4.2. Con auxilio de las derivadas parciales se escribe in/llúh,j 1,11111'111" la diferencial de una función real de n variables.

Proposición: Sea la función f: x-. R, con X e R" abierto. e<;i f t',' d,!.' renciable en a = (a" ... , a,,) E X, existen las derivadas parcwles rl's¡ll'do x,. "" X en a; y la diferencial Df(a) es la función lineal definida Jlor rt

D

fea) (h) = D, fea) ht + ", + D .. fea) h ...

Demostración: En este caso la diferel'cial es una función lincal (3,1) dt' lel forma h = (h" .. " h,,) f--'¡o C, ht + .,. + Cn h., donde CI' , .. , Cn son constantes que se han de determinar. La condición de diferenciabilidad aplicada al caso presente es

tiro

"

Esta derivada se designa por Di fea) o

al :;-- (a) vX,

o

fx, (a).

En forma breve se dice que la derivada parcial de f en a respecto X¡, se obtiene derivando la función respecto de esta variable en Xi = a" dejando constantes todas las demás,

f(x" ... , Xn ) - f(al! .... an) -¿ e, (Xi - C1;~ lim _ _ _._ _ _~_ _ _--;.'_~'_ _ _ _ =

(~¡ (Xi -

ai)2

r

o.

Si ,el límite anterior es nulo cuando (x" .. " X,,) tiende a (a" . ". 11" 1. 1.1111 di 1'.11.1 bién será nulo el límite de la expresión que se oht ¡l'IW h:lciendo X,r todo i =1:- í, es decir, dejando como única variable '" r, qUl' S(' h:H'!' 1<"11.1.·, hacia a,.

638

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

Luego sí

f es diferenciable en a, se tiene:

. If(al' ... , Xú •.. , an) - f(al' ... , ai, ... , a,,) - c, (Xi - ai)! l lm-----------------,----,------------------=

IXi - ail

°'

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

Como cada uno de los sumandos depende de una sola variable, se pIJ('(k aplicar el teorema del valor medio, referente a las funciones reales de 1111,' variable real, y es

que equivale a f(ar. ... , X" "" a,,) - f(a l , ... , a" ... , a n ) lim -------------------------------- = c" Xi -

~, está comprendido entre ai y Xi' Al ser continuas las derivadas parciales en a se puede escribir:

donde

Q¡

y como el primer miembro es la derivada parcial D, fea), resulta

D'/(a¡, ... , ai_l' ;"

c, = Dif(a).

donde

De este. resultado se concluye que es condición necesaria para que la fllnción {: X- R, con X e R" abierto, sea diferenciable en el punto a E X, es que existan todas las derivadas parciales DI {(a), ... , D" fea). 4.3. Esta condición no es suficiente para la diferenciabilidad de la función, ya que incluso existen funciones f que poseen todas las derivadas parciales D,f(a), i = J, ... , n, y no son continuas en a por lo que manifiestamente no son diferenciables (2.3). Ejemplo. La función {: R" > {O, l}, que es nula excepto en los de la forma (O, ... ,0, Xi' 0, ... , O), i = l, En el origen (0, ... , O) existen todas las derivadas les a 0, y la función f es discontinua en el origen, Una condición suficiente para la diferenciabilidad

en todo punto de R", ... , n, en los que vale l. parciales, que son iguaes la siguiente

Proposición: La función f: X -+ R, con X e R" abierto, es diferenciable en a E X si existen las derivadas parciales D;{, i = 1, ... , n, en un entorno de a, y son continuas en a.

Demostración: Como existe, por hipótesis, un entorno de a en el que existen las derivadas parciales, se puede considerar un intervalo centrado en a contenido en dicho entorno, en todos los puntos del cual existirán derivadas parciales de' f. En el resto del razonamiento sólo se consideran puntos x pertenecientes al intervalo, Se tiene la siguiente identidad:

==

2: i ~-1

({(ah

9""

ai_h X ü

•.. ,

X n)

-

f(ab ., -,

Xi+],

ai_b ai, Xi+h

••. , X n

»).

lim

Fi

x n ) = Di ((a)

... ,

+ t/x)

(x) = O.

Sustituyendo todos estos valores en la expresión de f(x) - {(a) se f(x) - fea) =

~ D; fea) (Xi

-

a;)

,=1

+ ~ 'i (x) (x,

1 ]('1\{'

- a.).

1=1

Como

I~

'i

(x) (Xi

-

a;)

.=1

II X

resulta que que es

-

a II

I " I ()I ~~)' .""' ...... kl

'i

X

° es el límite del primer miembro cuando x f(x) - fea) - ¿: Di fea) (Xi - ai) lim _____---,.,:.:'-:..:1_,,--_______

¡Ix - all

luego

==

-+

a, lo

l[llt"

11I 111"1."

O,

f es diferenciable en a.

4.4. Las condiciones para la diferenciabilidad de una función a v,don", vectoriales, se deducen de las obtenidas para las funciones con valores n';! les. En términos generales se puede decir que una función vectori~1 e~ difl'n'll ciable, cuando lo son sus componentes (29; 1.4) tal como lo mdlca la ~,] guiente

Proposición: La función vectorial de variable v~ctorial .f: X-'. R ''', (././1 X e R" abierto, es diferenciable en a E X si, y sólo SI, son dzferencwh/c.\ "" a cada una de sus componentes {;, i 1, ''', m; y en tal caso, su diTen'lIo'JI D fea) tiene por componentes las diferenciales D fi (a), i = 1, ... , m: Si es f = (f¡, ... , fm) se tiene D fea) = (D {¡(a), .... D fm(a}).

=

Demostración: Escribiendo para abreviar D fea) = )" Y designando

pOI

1,

641

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclideos

640

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclideos

i = l. . .. , m sus componen tes, la condición de diferenciabilidad de

Ilf(x) - fea) -

lim

¡,

(x - a)!1

f

desarrollada se escribe en a es

tI (XI' Xz, ... , x n ) t2

= O,

Ilx - all

(x"

X2' ... ,

xn)

o bien

lim

(¿"

(ti (x)

-

ti (a) -

)'

Xi (x- a»2

_i_~I_ _ _- ; -_ _" _ _ _ _ _

en el punto

= O.

X

= a, es la función lineal D f(a): R"·-+ R'", que se escrihe

Ix - all Para cada i

IJ, (x)

-

= f,

D fea)

1, ... , m se verifica la desigualdad

n, ( ¿ (ti (x)

a)1

(a) - J.; (x -

~

i~1

-

ti (a)

~

t - ¡,¡ (x - a»2 ) ~

t=l

Ilx - al l

Ilx -" al ~.;;; ~ If¡(x) - ti' (a) ¡'X -

lI

i , (x -

.

x-a

1/. (x)- ti (a) ['

..

- ¡,¡ (x -

..

'1

x - al

a)1

Designando por k = (k l , k), ... , km) el vector que corresponde al h hz, ... , ha) en la aplicación lineal D fea), es decir.

a)1

k

al~

d" donde resulta. que si el término central tiende a O para x-+ a, es ]¡m

= 0, para

. l

=

kl) (DI

1, .... m,

t; son diferenciables en a, y además que es i= 1, .. , m. Hecíprocamente. si las funciones ti son diferenciables en a, el límite del tercer término es O. y lo mismo ocurre al término central. 10 que prueba la dikre!1ciabilidad dc f en a.

5.

(

f){,(a),

MATRIZ JACOBIANA

5.1. En la última proposición del apartado anterior se asegura que si la función f: X--+ R"'. con X e R" abierto, es diferenciable en a € X, su diferencial se obtiene calculando las diferenciales de las componentes t; de f. es dccir: D fea) = iD f l (a), D f2 (a) . . oo, D f",(a».

Como las componentes f¡, i = 1, 2... " m. son funciones reales de la variable vectorial x = (XI! Xl, ... , x,,) y sus diferenciales se han calculado anteriormente (4.2). reuniendo todos estos resultados se obtiene la siguiente regla: La diferencial de la función f: X -> R"', con X e R" abierto. que en forma

(!JI.

= D fea) (h),

la diferencial D fea). escrita en forma matricial es

ID que rrueba que las funciones

1,

+ D 2 tI (a) h¡ + ... + D" J, (a)!t" Dtf¡ (a) h l + D 2 t2 (a) h¡ + ... + J)" f., (a) h.. ................................................... ................................................

Dtfl (a) h l

5.2.

tI

(a) D¿ tI (a) .,. D" tI (a»)

::~ ~ ::;~;:::;~::::::~:::

.

(t)

La matriz asociada a la diferencial D fea) es, por consiguiente.

(i~:~::::E:~1~:)l: )

que se denomina matriz jacobiana de f en a. En forma breve se designa por una de las notaciones

D f{a), l'(a)

o

' a(fl' 12• .... fm) ( a (XI' X2 • .... x,,)

) ,x~a

Observación. Dada la correspondencia biunívoca entre las funciones lineales y sus matrices asociadas. no hay inconveniente en representar con el mismo símbolo la diferencial y la matriz jacobiana correspondiente.

642

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

5.3. Cuando m = n, el determinante de la matriz jaeobiana, es el jacohúmo que se designa por

ID f(a)[, 1 fea),

I

Análogamente, designando por

I

iJ (f¡,fz, .... f m)

o

\f'(a)'

j) (x¡, Xb ... , x,,)

X

643

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclideos

D¡fl=3x~;

D 2 fl=3x;;

t],

f 2 y f] las componentes de f, se tiene:

D¡f2=X2COSX¡X2;

D 2 f2=X¡COSX¡X2;

a

~.4. Con la notación matricial, la diferencial de la aplicación compuesta -;(' calcula inmediatamente por la regla del producto "filas por columnas" de 11l;ltriccs. Dadas las funciones f: X ' 4 R"', con X e R" abierto, y g: y.~ RP, con l' e R'" abierto, diferenciables en a E X Y en b = Ha) E Y respectivamente, si I.I~ matrices jacobianas correspondientes son:

Luego la matriz jacobiana D fea) es

Df(')~(~

n·

La matriz jacobiana de la función compuesta g o f en a = (O, O), es D(g o fHa) = (

1.1

l1la I ríz

!>(~ ()

jacobiana de la función compuesta g o f en

a,

1, (.)+

.•

~ ~.

6.

g,(b)D.t. (.))

... DI gp (b) D" tI (a) + ... + D", gp (b) D" fm (a) o\Jknida lTlultiplicando la matriz D g(b) por la D Ha), "filas por columnas".

H;emplo.

.Y

);1

Sean la función f: R2 4 R3 definida pOr

función g: RJ

4

=

(1O O1) .

6.1. Como ya se ha indicado (1.1) no es posible definir, para una función f: X4 R'", con X e R" abierto, una derivada en un punto a E X, análoga a la de las funciones de variable real. Sin embargo se puede establecer una noción restringida aplicable a las funciones de variable vectorial, que es la derivada según un vector.

Definición: Sea f: X -> R"', con X e R" abierto. La derivada de f en un punto a E X, según un vector v E R" es

f(a + tv) - fea) lim - - - - : - - - -

+ Y2 + Y3,

YI • Y¡ • Y3)'

Se trata de calcular la matriz jacobiana D(g o f) (O, O). Si a (0, O) es fea) = O) = (0, O, 1) = b. Designando por g¡ Y g¡ las componentes de g, se tiene:

=

1O) (O~ O) ~

DERIVADA SEGÚN UN VECTOR

R2 definida por g (Yb Yb Y3) = (YI

1 O

es:

f) (a) =

c:':::~::: :~: ~. •.• .~~: ~:::;~~~:~\b)D.

~

cuando tal límite exista.

feo,

D¡ g¡ = 1 ; DI g¡

= Y2 Y3;

D¡ g¡

=

1;

D) g2 = Y¡ y);

Luego la matriz jacobiana D g(b) es D g(b) =

(~

O

D3 g¡

=

1;

DI g2 = Y¡ Y2

Esta derivada, que es un vector de Rm, se designa por D)(a) o f~(a). Si es [¡vii = 1, entonces D)(a) se llama derivada direccional según v de la función f en el pun to a. Estas definiciones tienen sentido, ya que la función fea + tv) de la variable real t, está definida en un entorno de t = O. Como a + tv es una función continua de t, existe un ,\ > O tal que para [ti <,) es x = a + tv E X, por ser X un entorno de a.

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

644

6.2.

Aunque la definición anterior se refiere en general a una función f

con valores vectoriales, sólo se tratará con detalle el caso de funciones con

valores reales, es decir, funciones f: X·--loo R, con X e R" abierto. Por otra parte, esto no supone restricción. pues para las funciones vectolidieS basta considerar las derivadas según un vector de las componentes. Cuando f es diferenciable en a se puede calcular fácilmente la derivada d" r según un vector v en el punto a E X, que será un número real.

Proposición: Sea f: X-+ R, con X e Rn abierto, una función diferenciaM(, ('n a E X. Para cada vector VIO R" existe DJ(a) y es D J(a) = DI fea) ,1"",/1'

V

+ ... + Dn fea) V n =

VI

D f(a)(v).

= (v], ... , v',,).

nl'/I/oslración: Como se ha supuesto ( diferenciable en a y manifiestaa + vt es diferenciable en t = O, se puede aplicar la regla de diferen,I.I .. IPIl de la función compuesta, pues es fea + vt) = (f o g) (l). con g[t) = a 1 vI, para los valores de t de un entorno de t O. / .• 1 matriz jacobiana de f en x = a es 1II<'IlI,'

=

D f(a)

=

.Y LI lllatriz jacobiana de g(t) =

(DI

parciales respecto

XI> Xz, ..• , Xn :

D u, fea) = D;{(a), i = l •... , n.

7.

INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN REAL

7.1. La interpretación geométrica cartesiana de la función f: X--}o R, con X e R" abierto, se hace en el espacio R'" I (29. 1.2). El conjunto de todas. las (n + l)-tuplas (XI' .... X w y). con (Xl> .... x n ) 10 X e y = {(XI' ... , x"). refendas l a un sistema cartesiano ortogonal, es un conjunto de puntos de Rn+ • llamado gráfica cartesiana de f. Si f es continua. se ~uele dec~r. que su gr:fica cartesiana es una superficie (caso n = 2) o una hlpersuperflcle. (caso n - 2). Y que sus ecuaciones son y = f(xI. Xz) e y = {(XI' ...• x,.) respectivamente. 7.2.

Supuesta

f diferenciable en ((x) = fea)

+ VI t,

E

lim ,,(x) Escribiendo

(:~"

g(x) = tia)

se tiene D(f o g) (O) = Dd(a)

Ejemplo.

VI

+ ." + D" fea) V n,

= cos

(l -

1

+

1)

2

+ cos

a)

+ ,,(x)

Ilx - all·

.

(XI

+ X2 + X3)

(1 - 1

+ 1)

=

O.

- a),

con

x

€

R",

((x) - g(x) Ilx _ al! - = O,

x~a

= O.

La derivada de la función !(x) = sen = (2. 3, 4) es

+ D fea) (x

l!fn

en el punto

= O, - 1, 1) según el vector v

/)J(a)

X, la condición de diferenciabilidad es

X, donde

El producto "filas por columnas" de estas dos matrices da:

a

E

+ D fea) (x-

.... a n + vnt) es

VI)

D g(t) =

que es la derivada de (f o g) (t) en t

a

fCa) • .... D,,{(a)), válida para todo x

(al

645

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

por lo que g es una aproximación de primer orden de f e~ el entorno de a. La gráfica cartesiana de g, que es de primer grado en Xi, 1 = 1, .... n, e~ ~n plano (caso n 2) O con hiperplano (caso n > 2). que es tangente a la grafH;a

=

de f (19; 1.5). 3

+

cos (1 - 1

+ 1)

. 4

=

= 9 cos 1.

Proposición: Sea la función (: x-+ R, con X e R" abierto,. ,diferenciable en a E X; entonces existe un hiperplano, y lirIO solo, de ecuaczon y

6.3. Si u l , Uz, ... , Un son los vectores unitarios de una referencia cartesiana ortogonal. por lo que es x = Xl UI + X2 Uz + .. + X n u"' las derivadas direccionales de f según los vectores u], Ub ... , u,,, coinciden con las derivadas

= (a) + D fea) (x

-

a)

que es tangente a la superficie y = ((x) en el punto x = a.

Se prueba la unicidad como en 0.3).

646

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

La ecuación desarrollada del hiperplano tangente a la superficie y = f(x

... , x,,) en el punto (a¡, ... , a,,) es y

= I(al.

.." a,,)

, •..

superficie como al planto tangente, según las intersecciones

l

~

+ it ¡-

y = I(a

(X =

Di I(a" .... a n ) (x, - ai),

a

+

ut)

a¡)

+ D, f(a,.

=

y

(X =

a

+ ut

y como en el caso anterior, la diferencia entre

fea + ut) y fea) + D fea) (u) t,

a2) (x, - a,)

+ D 2 f(a"

a2) (X2 _ a2)'

D Continuando el estudio en el c~so n = 2, se observa que los coeficientes , ,{(a" a2),~ D 2 f(a", a2) son I~s denvadas parciales de la función I en a, cu a y mterpretaclOn geometnca es mmediata. Si se cortan, tanto la superficie el plano tangente por el 1 b' . como , p ano Xl - a2 se o tIenen las mtersecciones: ~Y f(x l , al) (Xl = a2

) y = fea) + D (a)(u) t

y

+ ut

que en el caso n = 2, se reduce a y = {(a"

M7

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclideos

~y = f(a, a 2)

¡x

2

=

a

+ DI f(al

a2) (x, - al)

2

y como la diferencia entre I(x¡, a,) y f(a a) + D tea a.) ( ) '. 1" . 1, 1 I I 2 XI al' es una "o ~lIn,uscu a de orden 1. cuando x,,'''' a¡, DI f(a¡, a2) es el coeficiente angular e .a :angente a la curva y = f(x¡, a2) en el punto XI = a,. Analogamente resulta que Di f(a" a2) es el coeficiente angular de la tangente a la curva y = f(a,. x,) en el punto X2 = ah y

es una "o minúscula" de orden 1, cuando t--.. O. Luego D fea) (u) = 1)'/(;1). es el coeficiente angular de la tangente a la curva y = I(a + ut) en el pllllf() t = O, que es el punto (a, fea)) de la superficie.

8.

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

8.1. Primeramente se estudiará el caso de las funciones reales d(' do', variables. Sea pues la función f: X -+' R, con X e R2 abierto y (a" a}) ( X. 1.,1', derivadas parciales primeras en el punto (al' al) son los números

si estas derivadas parciales primeras existen en todos los puntos de X, ,/1/1' dan definidas dos funciones por

(XI, Xl)

f->.

DI f(xh Xl)

y

(X¡, Xl)

f->.

D 2 f(XI' Xz),

que se designan por respectivamente. Para estas funciones se pueden considerar sus derivadas ciales en el punto (al az). Las derivadas parciales de DI f serán DI (DI f) (ah az)

y

D 1 (DI f) (ah al),

y

D I2 f(al az)·

p;u·

cuya escritura abreviada es DII

x,

f: superficie de ecuación y = f(x" x,). • 7r: plano tangente a la superficie en el punto (a, fea»). SeccIOnes de f y " por planos "verticales" que pasan por (a, fea)).

En el .pla?o de los ejes XI y Xl' la ecuación x. = a + ut, donde u es un vector umtarIO, es una recta que pasa por el punto a, y es paralela al vector u. El plano que pasa por esta recta y es paralelo al eje y corta, tanto a la

f(at az)

En la notación de esta última derivada. los subíndices 1,2 indicLtIl qtH' primero se ha de calcular la derivada respecto x" y después la derivada re!'>pecto Xl' Análogamente a partir de la función Dl t se pueden considerar sus deri· 'adas parciales en (a¡, az) que serán

cuya escritura abreviada es D ZI tea¡, a2)

Y D Z2 f(a l , al)'

648

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

M')

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclideos

El número de derivadas parciales segundas es 2) = 4. Las derivadas mixtas son D l1 f(al. a2) Y D2I f(al' a2)' Estas dos derivadas no siempre son iguales, pero sí que lo son en los t'ilSOS más frecuentes, y en particular cuando se cumpkn condiciones adecuadas de continuidad, como las de Schwarz. Ejemplo. En la función

El numerador de esta fracción se suele escribir en forma breve (h¡, h 2). es decir: \2 f(al' ([2) (h • h 2) = f(a¡ l

+ hlo

a2

+

h 2)

{(al

-

+ h l,

(2) -

{(al. a2

{(a"

<1,)

+ h)) + {(at.

,1 ).

",2

y entonces

y análogamente

la~

derivadas segundas mixtas son distintas en (O. O). Por cálculo directo se tiene SI

feO,

X2)

se tiene D 2 (D¡

feO,

y en particular DI IlIego

=X2»

Xl;

=-

La igualdad de las derivadas mixtas equivale a la de los límites anteriores.

(Xlo Xl)

c:F (O, O),

Y en virtud de la definición es DI f(O. O) = O. 1 Y D I2 t(O, O) == - 1.

8.3. Proposición: Sea la función continua f: X- R, con X e R' abierto y (alo (2) e X. Se supone que existen las derivadas parciales primeras,

Análogamente XI

D¡ {(Xl.

(x~-- 4 x: x; - X~)

Dl f(xl> Xz) =

(

2

XI

+

1'/1

2 \1

lodo punto

(XI. X2) E

Xl)

y

D 2 f(Xl' X2)

X: y que existe la derivada mixta

Xl'

f(x¡, O) = x¡ y D 2 feo, O) = O; luego se tiene D 21 f(x¡, O) = 1 Y D21 LIS derivadas mixtas DI2 t(o. O) y D 21 {(O. O) son distintas.

y

SlIc',",I\'(I',

/)2

D I2 f(xl

feO. O) = J.

Xl)

en todo punto (Xl> x:) e X, que además es continua en el [Junto (al. fl,).

8.2. Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas mixtas. resultan de las proposiciones referentes a la igualdad de los límites sucesivos. pues las derivadas mixtas son efectivamente límites de esta clase.

Entonces existe la derivadu mixta D2I {(ab a,), y es (Schu·arz).

En primer lugar se tiene

y

en consecuencia

D¡ (D¡ f(al. a2»

=

lim 1¡2-o

+ 2

Demostración: Basta comprobar que se verifican las hipótesis ele la propusición (29; 3.'1) referente a la igualdad de los límites sucesivos para la funciúlI f(aL

+ h¡, a2 + h2) -

[lim

f{a¡, a2

+ h 2)

\2 f( a10 (2) (h lo h2 ) ---¡¡;-h-¡--'

hL

h,-
que está definida en un entorno del punto (O. O). salvo sobre las rectas h l

=.e ()

y h¡ = O.

Evidentemente para cada h z de un entorno reducido 0< lim h,....o

~~a~I_+_h_I_,a_ 2 ~_hl_)_-!.~a¡

+ hl> a2) hl

•

h2

f(al' a2

+

h2)

+ f(al. (2)

]

.

.\2 f(u¡, al) (h¡. h 2)

lun - - - - - - - - ",_11

h¡ h¡

D¡ f(a¡, a2 =

+ h 1) -

Ihzl <

DI f(al (2)

--.-----.------~-, 2

h

s, existe

650

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

y para cada h l de un entorno reducido O <

lim

(hl! h2) = Dz f(al

/5.z f(ah az)

Ihd <

+ h" a2) -

h¡ hz

1,,-+0

s, existe

Finalmente de la existencia de la derivada mixta

D¡ f(a¡ az)

h¡

Para probar que .el primer lfmite es uniforme en un entorno reducido Ihzl < r, se aplica el teorema del incremento finito para una variable de la siguiente forma:

() <

;\2

f(al' a2) (h¡, hz)

=

+ h¡, a2 + h2) - f(a¡ + h¡, a2)] - [f(a¡, a2 + hz) - f(a¡, a2») = h¡ [DI f(a l + (jI hl! a¡ + h¡) - D¡ f(al + el h l, a2)], con O
= [f(al

por aplicación de la proposición (29, 3.4), resulta la existencia de la otra derivada mixta, y la igualdad

8.4. En el caso de una función real de n variables las definiciones neralizan sin dificultades

ID'l (0

1

;+-(11

h l , a2

+ 01 h¡,

+ O2 h2)

-

+ (lz h¡) - DI2 f(a¡, a2 + fY h¡)I':;;: D I2 f(al' a 2)1 + !D,¡ f(ah a2 + (1' h l ) a2

DIl fea], al)!.

Sl'

gl'

Definición: Sea una función t: X -7' R, con X e R" abierto, y a = «(/10 . .'" a,,) € X. Las derivadas parciales en x a con los números D¡f(a), i = 1, ... ,11. Si existen las derivadas parciales en todos los puntos x € X, quedan definidos 111" funciones derivadas parciales D, f(x), i = 1, ... , n, con x € X. Las deril'(/{¡"" parciales segundas de f en a se definen por

=

D j (Di f) (a)

IDI2 f(al

651

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

= D'j fea)

i, j = 1, ... , n.

Análogamente se definen las derivadas parciales de orden superior. El número de derivadas parciales segundas es n 2, y el de derivadas 1'.11 ciales de orden m es n m • Ahora bien, cuando se suponen continuas todas las derivadas parl'laks hasta el orden m inclusive, las hipótesis del teorema de Schwarz se eu Illplt'll evidentemente al pasar de las derivadas parciales de un orden a las del Ol'lkll siguiente, por lo cual el valor de la derivada parcial

En virtud de la continuidad supuesta de D]2 f(x" Xl) en el punto (a], a2), s) tal que es

r ard cada f> O existe un r> O (se supone r <

Di" ... , ¡k f(a},

con 1 < k':;;: In,

no altera al permutar los índices i], ... , i k de derivación. Así, con estas hipótesis, el número de derivadas parciales segundas dispara todo

(XI> Xl)

con

tintas es

SI

~2 {(ah a2) (h¡, h 2)

O
+

2

1)

; Y en general de derivadas de orden

(n

1m

+m

-

I!

es -m---;!-c(Cn-_-I)! .

La hipótesis de continuidad de las derivadas parciales es muy cómoda, pOI' lo cual suele ser admitida en la mayoría de las cuestiones, y origina la siguiente

en consecuencia

I

n (n

h¡ h z

O
D] f(a" a2

+ hz) h2

D] {(ah a2)

Definición: Una función f: X ~ R, con X e Rn abierto, es de clase cm 1'11 X, si existen todas las derivadas parciales continuas de f en cada punto de X hasta el orden m inclusive.

9.

6'))

Cálculo diferencia! de funciones entre espacios euclideos

652

Cálculo diferencia! de funciones entre espacios euclídeos

=

FÓRMULA DE TAYLOR. ANÁLISIS LOCAL DE LAS FUNCIONES REALES

=

9.1. Para establecer una fórmula de Taylor para funciones vectoriales se rrecisa una generalización del teorema del valor medio aplicable a estas func·lones. Su deducción no es inmediata, y requiere bastante espacio. Por este motivo el estudio de la fórmula se limitará al caso de las funciones leales. que se apoya de manera directa en los resultados para funciones de una sola variable real. En el caso de una variable, la fórmula de Taylor para una función f, proporClona el valor de f(a + h) como suma de una expresión formada con los valores de f y de sus derivadas en a, con un término complementario en el que interviene un valor intermedio entre a y (j + h. Para obtener la fórmula en el caso de ser a y a + h dos puntos de R", se considera la recta r determin,lda por estos dos puntos, que en forma paramétrica es

x

= a + ht,

con

=

=

=

= {x

€

R": x

= a + ht,

O~ t

,,~

l}.

Este esquema se desarrolla en la siguiente

Proposición: Sea f: X '... R, con X e R" abierto, una función de clase en X ,y sean a y a + h d os puntos de X, tales que el segmento [a, a + h] que los une esté contenido en X.

vPUl

Entonces existe un número positivo n

t(a

+ h) = fea) + ~¡

h, Di fea)

(j

1

=

< 1 para el que se verifica: n

+ ""'2! i~=¡ h¡ h; Di; fea) + ." +

m!

n

h" ... h,."Di,.i~

¿ j l · · i m-

J

fea + eh).

n

=¿ i~

n

F"(t) =

¿

t

hi Di fea

11

h, (Di

tCa + ht»' = ¿

¿

h i h;Dii fea

+ ht)

/1

hi

L

h¡ Di; fea

+ ht) =

+ ht);

1.1=1

Y reiterando el cálculo se tiene n

F1k)(t) =

¿

h i¡ " . h i, Di,.!,

tea + ht),

;1 _.ik--l

fórmula que es válida para k

= 1,

2, ... , m.

El desarrollo de F por la fórmula de Mac-Laurin con resto de Lagr
Haciendo t = 1, Y sustituyendo las derivadas por sus expresiones h;IJJalJ;¡~, se obtiene la fónriula de Taylor buscada. 9.2. La fórmula de Taylor es especialmente apta, para el análisis loca l IIl' las funciones (19; 7), Y en particular para el estudio de los máximos y mínÍmos locales. Las definiciones dadas en (17; 4.3) se conservan en el caso de las funcÍolll's reales f de la variable vectorial x = (x¡, ... , x n ).

Definición: La función f: X ,-+ R, con X e R", tiene en el punto a (X máximo local fea), si existe un entorno Vea) e X tal que es

f(x)

+_1_

+ ht»'

(t(a

=

la restri.cción de la función f a la recta r, que será una función F(t) = f(a + ht) de la varIable real t. Desarrollando F por la fórmula de Mac-Laurin (19, 3.6), hastará hacer t 1 en el resultado para obtener f(a + h), que es el valor buscado. En el desarrollo de F, el valor de F y sus derivadas en t O, vendrá dado p~)r el valor de f y sus derivadas parciales en x a; y el punto intermedio del termmo complementario, estará situado en el segmento [a, a + h] que une a nltl a + h, es decir, será un punto del conjunto

+ h]

F'(t)

tER,

.v

[a, a

Demostración: Sea g: R ,-+ Rn la función definida por g(t) a + ht. Pd la t € [O, 1] el recorrido g es el segmento [a, a + h] e X por hipótesis. Corno g(O) = a y g(I) a + h pertenecen al abierto X, por la continuidad de ~ ,'11 t = O Y en t = 1. existe un b> O tal que para todo tE ( - A, h) Y todo t e (1 .\ 1 + ,¡) es g(t) € X. En resumen, para todo i del intervalo abierto 1 - ( .\ 1 + o) => [0, 1] es g(t) E X. Se considera la restricción de g al intervalo 1 en el razonamiento sigui'·lllt'. y se designará con la misma letra. Sea F la función compuesta f o g que evidentemente está definid:¡ ('11 I Aplicando la regla de la cadena O.2}, para cada t E 1 se tiene

~ fea),

para todo

x

€

1111

Vea).

La función f tiene en el p'unto a el mínimo local fea), si existe un enlomo Vea) e X tal que es !(x) fea), para todo x E V(a).

>

654

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

De acuerdo con estas definiciones el punto a ha de ser un punto interior del conjunto X. 9.3. Consecuencia de la proposición (17; 4.4) resulta la siguiente condición necesaria, para la existencia de un máximo o mínimo locales.

Proposición: Sea la función f: X-', R, con X e R", y a un punto interior de X. Si la función f tiene un máximo o mínimo locales en el punto a, en el 'Iue existe la derivada D J(a) según un vector ventanees es D J(a) = O. Demostración: Como la función g(t) = a + vt es continua, razonando como en el apartado anterior, resulta de la continuidad de gen t = O que existe un ('ntorno (- 0, (1) de 0, tal que para todo te (- il, (1) es g(t)cX, luego la funciún t(a + vt) está definida en (- J, o). Por otra parte, resulta de la hipótesis que fea + vt) tiene un máximo o mínimo locales en t = O; Y como se ha supuesto que existe su derivada en ('Sll' punto, es DJ(a) = O. Caso particular de esta propiedad, es la siguiente

Una forma cuadrática P2 (x) es definida positiva. si para todo vector x O es P2 (x) > O estrictamente. Una forma cuadrática P 2 (x) es definida negativa, si para todo vectOr x T O es P 2 (x) < O estrictamente.

Proposición: Sean i: X

9,5.

Los puntos en los que se anulan todas las derivadas parciales primeras de lIf/a función, se denominan puntos críticos, por lo que se puede afirmar: Condición necesaria para que una función que posea derivadas parciales, tenga en un punto a un máximo o mínimo locales es que a sea crítico. Esta condición no es suficiente, como ya se advirtió en el caso de las funciones de una sola variable. Condiciones suficientes se obtienen a partir de la fórmula de Taylor. 9.4. Antes de pasar al estudio de las condiciones suficientes conviene recordar algunas definiciones algébricas referentes a las formas cuadráticas: P2

(x) =

¿

Cl;j Xi Xi'

l,i=l

Una forma cuadrática P2 (x) es indefinida, nulos, toma valores de signos contrarios.

R",

n

h i h¡ Di; f(a); 1

i,j

si P 2 (h) es indefinida, f no tiene máximo ni mínimo locales en a, b) si P 2 (h) es definida positiva, f tiene 1m mínimo local en a, .ti e) si P2 (h) es definida negativa f tiene un máximo local en a. Demostración.' El desarrollo de Taylor de f:

+ h)

n

= fea)

+¿

h i D, fea)

1

n

+ -2 ¿

1

h, h¡ Dij fea

+ IIh),

i./ - 1

se transforma en = ((a)

1

",

2

i.i~l

+ --- 2..

hi h j Dij fea)

+ ,(h) , ¡lh:]2.

con ¡im :(h)

= ();

h-·O

pues el primer sumatorio se anula por ser a punto crítico, y en el segundo sumatorio como son continuas las derivadas parciales segundas es D i¡ t(a

+ !:Ih) = D" {(a) + I.¡ (h),

con

lim

'i;

(h) = O,

y escribiendo

se obtiene el desilrrollo transformado. Se trata ahora de probar que en la diferencia f(a

+

1

h} -

f(a)

n

= -2- ¿

hi h D,; ((a) j

+

,(h) . !l h I1 2 ,

l,J-l

el término dominante es la forma cuadrática P¡(h) que es el que determina el signo de /(a + h) -- {(a), en los casos de ser indefinida o definida. él)

SI

1

2

el en X e

a)

rCa + h) Proposición: Si f: X -->, R, con X e R", es diferenciable en el punto a que es interior de X, y tiene en a un máximo o mínimo locales, es D fea) = o.

-+ R, una función de clase y /a (arma cuadrática

= --- ¿

P 2 (h)

¡ '-~

También de esta condición resulta:

r,

a ro X un punto crítico de

fea

Proposición: Sea la función f:X'-'rR, con XcR", y a un punto interiur de X, Si la función f tiene un máximo o mínimo locales en el punto a, y en él existen derivadas parciales, es DI fea) = ... = Dn fea) = O.

655

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

para dos vectores x' y x" no

Sea P2(h) indefinida y h' Y h" dos vectores para los cuales es P 2(h')

LlNÉS-22

> O Y

p'(h")

< O.

656

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclideos

Si es all = O Y an = O, la forma es manifiestamente indefinida. Suponiendo all =1= O (análogamente, si a12 =1= O), se puede escribir Pz(h) en forma

En el primer caso se consideran los h = h't, con t> O, Y se tiene fea

Como

F(h't)~

+ h) -

fea)

=

[P¡(h')

+ ,(h't) Ilh'll l }

O, cuando t -+ O, existe un J' >

P 2(h')

+ ,(h't) Ilh'JIZ >

0,

°

para todo

tI.

+ ,(h"t) Ilh"W <

0< t < b'. de donde resulta inmediatamente

O, para todo 0< t < ll'.

En consecuencia, en todo entorno de a existen valores de h para los que - fea) es positivo y otros para los que es negativo, por lo que f no tiene máximo ni mínimo locales en a.

{(a

+ h)

b) Sea PzCh) definida positiva, como es continua tiene un mínimo k> cuando h varía en el conjunto (esfera unitaria).

Sn = ,que es compacto. Para un h

E

{h

E

Rn:

Ilhl!

°

Si all > O Y all a22 - al~ > O, la forma es definida positiva. Si a ll < O Y all a2l - al~ > 0, la forma es definida negativa. Si all a22 - al~ < 0, la forma es indefinida. En correspondencia con estos casos se tienen las siguientes condiClOII<", suficientes para la existencia de máximo o mínimo locales en un punto nit 1('0 Proposición: 'Sea 1: X ,-> R, con X e Rl, una función de clase e I1 iI t X un punto crítico de f. Designando por

= l}

Rn cualquiera es

\;¡

tal que es

Análogamente, en el segundo caso existe un ;," > 0, tal que es Plh")

6.57

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

h

1hf E S.,

H (f(a)) =

por lo que es

DII

ID

I1

fea)

D l2 fea)

fea)

D12 Ila)

I

(determinante hessianO'), se tiene:

Si H (f(a» < O,

Como ,eh)-+- o cuando h

-~

11.(h)ii < y en consecuencia

PzCh)

+ ,eh) IIbl12 >

para todo

+

Ilhllz,

Ilhll <

cuando

d,

0<

Ilbl! <

b,

lo que prueba que es fea + h) - fea) > O en un entorno reducido de 0, por lo ljue t tiene un mínimo local en a. c)

Basta cambiar el signo de la función

t,

y aplicar el resultado anterior.

9.6. El problema de precisar si la forma cuadrática Pih) es definida o indefinida, es de naturaleza algébrica. Se pueden establecer condiciones referentes a los coeficientes de la forma que permiten clasificarlas. En el caso de funciones en Rl, los resultados son sencillos. Escribiendo para abreviar a'j D¡j fea) es

=

Pz(b)

=

all h;

+ 2 alI h¡ 1x 2 + a22 h;.

no tiene máximo ni mínimo locales en a.

y D. 11 fea) > O, f tiene un mínimo local en a Si H (f(a}) > O ) ,Y DII fea) < 0, f tiene un máximo local en a.

0, existe un ,) > O tal que es

+,

f

Si es H (f(a)} = O es un "caso dudoso", y puede presentarse una de las tr .. ~ situaciones anteriores. Ejemplos. 1. - El punto crítico de la función f(xv X2) = x; -- ,Xl x} I x; es (0, O). Las derivadas parciales son: DI f = 2 Xl

-

X2,

D 11 f = 2, D l2 f

=-

1, D 2 f = -

El hessiano es H (f(O» = y como es

DI!

I -12

-12

X¡

+ 2 X2,

DI2 f

= 2.

I = 3>'0,

feO) = 2, la función tiene un mínimo local en (O, O).

2. - Dada la función f(xl' X2) = el sistema de ecuaciones

x~

- 3 x:

+ x~,

\ D¡ t(x¡ X2) = 3 x; - 6 Xl

¡Dl

t(Xl Xl)

= 2 X2 = 0,

los puntos críticos verifican

=°

658

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

6. -

y son (O. O) Y (2, O). Los respectivos hessianos:

m{w,

~ ~

O)) = / -

I = --

12

Y

H(f(2, O))

= I ~ ~ 1=

Estudiar la diferenciabilidad de las funciones siguientes en (O, O), (coordenada, x, y, z): al

12.

f(x, y) =

e

·lI

l

r' + ,,') si

b)

Como H(f(2. O)) > O Y es D!I f(2, O) > 0, hay mínimo local en (2, O).

{(x, y)

+

(x'

=

(x, y) i'= (O, O) (x, y) = (O, O);

si

O

Como H(f(O, O)) < 0, no hay máximo ni mínimo local en (0, O).

O/ v' x' + Y')

y') sen

O xy

------ si el

¡¡)

x,

=

h)

Xl

= a sen' t,

e)

Xl

= (' ("(t) -- 2t ('(tl

a cos , cos t. X,

X,

=

a sen x cos t. x, = a sen t, en t

= b sen t cos t, +

x,

2f(t),

X,

= ecos' t,

=

("(tl,

Xl

en t

----- si

= too

O

(x, 1/) 7- (O, O)

SI

(x, 1/) = (O, O);

O)

cp (O,

O)

(x, y) = (O, O).

si

= ,,/4.

= t f"(l) -

{'(tl, en

t

=

t(;

7. -

suponiendo que f es de clase C' en R. Probar que en este caso las tangentes a la curva son paralelas a las generatrices de un cono de segundo grado.

Una función f : Ru -+ R es homogénea de grado m si es f(tx) = t'" f(x) para '0.1" x. Probar que si f es diferenciable se tiene n

m . f(x) =

¿;

Xi

Di ¡(x).

;=1

E,cribir las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas: Xl = Xl, Xl = x~, en el punto (l. 1, 1). h) x; + x~ = lO, x~ + x~ = 10, en el punto (1, 1, 3). e) x~ + x; + x~ = 6, X, + X, + x, = O, en el punto (1, - 2, 1).

!.

(x, y)

+ y'

x'

(x, y) =

d)

cp (O,

si

(x, y) = (O, O):

si

O x' yl

E,eribir las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas definidas en forma pararnétrica por:

l.

(x, y)

+ y'

x'

)

t(x, y) =

EJERCICIOS

10.

6S9

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

Probar que si f es de clase

e',

se tiene:

¡¡)

\.

lIallar la derivada de la función

en el punto (1, 2,

~--

== - - - - - - - - -

.¡x; + x~ + x;

2), en la dirección de la recta tangente a Xl

=

t,

X,

= 2t', x. = --- 2t'

en este punto. ~.

Escribir la ecuación del plano tangente a cada una de las superficies en el punto indicado '(coordenadas X, y, z): a)

b) el d)

s.

--~

+ y' en (l, + y' + Z2 = 169

2, 5); x' en (3, 4, 12); z = are tg (y/x) en (1, 1, ,,/4); 2X / 2 + 2";' = 8 en (2, 2, 1). z = x'

Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones (coordenadas x, y, z): a)

«x,

b) e)

(x, y) = ~ en (O, O).

y) = ~ en (O, O): f(x, y) = ~x' + Y' en (0, O);

¿;

Xi Xj Di;

f(x).

i,j=l

8. Xl

U

1) f(x) =

m (m -

Hallar las diferenciales de las siguientes funciones compuestas (coordenadas x, !l. ~, ry,

D:

con .x = ~ + ~; con X = ~ . ~ . ~. el (x'- + y' + z'). d) f("¡ X' + y'). e) (x, y), con X = ~ + '1, Y = t -

a)

(x),

b)

¡(X),

f)

x=~''1

con

t(x, y),

'l.

t

y=--. '1

g)

((x, y, z),

z = aJ ~

+

b l '1

x = a,

con

+

Cl

t + b l r¡ + CI~.

Y = a,

t + b, '1 + e, ~,

~.

9.- Comprobar que la función

..¡ (x -

al

u = In

b)

u = ---- e 2a

..;-;c

a)'

+ (y 1"'-"I'/4a'l

b)'

verifica la ecuación

verifica la ecuación

8'u

á'u

--+--=0' rJx' ,)y' '

áu

á'u

at

,Jx'

- - = a2 _ _ •

~;

660

Cálculo diferencial de funciones entre espacios euclídeos

e)

+

u = [(x-a)'

(y-b)'

+

(Z-C)'J-Ij¡

a'u a'u a'u -rJx'- + -ay'- + -,)z' - =O 10. -

verifica la ecuación

para todo (x, y, z)?,= (a,

b: e).

31. Integrales múltiples

Desarrollar la función C. X1l f(h, k)

= ¡(x

+ h,

y

+ k) -

+ h,

{(x

y) -

f(x, y

+ k)' +

l. La integral doble. 2. Clases de funciones R-integrables en un intervalo.

(x, y)

según las potencias de h y k. I I . -~- Desarrollar en serie, según las potencias de x e y las funciones: (l

12. -

+

x),n (l

+

In (l

y)";

+ x + y);

eX sen y;

sen (x'

+ y');

In (1

+

x),

In (I

Escribir el desarrollo de Taylor, en el entorno de (1, 1) de la función t(x, y)

+ y).

= _x_o y

13. -- Hallar los extremos locales de las funciones:

(x, y) = x'

+ (y-l)'; y + 1)';

{(x, y) = (x -

con

O~X~iT,

f(x, y) = x

14. -

(x, y)

+ y + 4 sen x sen y;

f(x, y)

= (x' + y')

r(x'+/I'I.

Problema de Huygens: Entre dos números positivos a y b se han de detenninar n números XI, x" .. . ,x., de manera que la fracción

sea máxima.

{a

O"

Xn

+ x,) (X, + X2)oo.

(Xn

+ b)

Sea C el cuadrado [0,1T] X [O,:r] e R', y la función K : K(x, y) =

~

x(Ir-y)

si

x~ y

y(;r-x)

si

x >y

5. 6. 7. 8.

lntegración sobre conjuntos acotados. La integral múltiple. Fórmulas integrales para algunas constantes mecánicas. Ejercicios.

+ y),

O~y:;:;;;:r.

Xl Xl

15. -

= x'-xy + y'-2x + y.

f(.x, y) = sen x • sen y . sen (x

3. Propiedades de la integral. 4. Integraciones sucesivas.

c._ R

Probar que K es diferenciable en todo (x" Yo) € C con Xo diferencial. ¿Es K diferenciable en los puntos (xo, xo) con X o € (O, rr)7 Determinar el supremo de K en e,

f

definida por

Yo, y escribir su

El cálculo de volúmenes es el origen del concepto de integral doble, de la ll,i'IB.' forma que el cálculo de áreas planas originó la integral simple. La integral doble. ,." su definición riemanniana (1.6), es semejante a la simple cuando se trata de """''''"'''. definidas en un intervalo: particiones del intervalo, sumas superiores e ¡n{('rltm' \ '" rrespondientes a la partición, ínfimos y supremos de estas sumas, etc., hasta 1I'·f'.. " precisar la clase de las funciones R-integrables (1.6), y para ellas se define l;¡ 1111"1:,,11 según Riemann. Las funciones R-integrables son aquellas para las que se reali/." '" 1"" ceso de definición, y evidentemente este método para caracterizarlas no se presta " ""j\ comprobación fácil. Entre las funciones que son R-integrables se encuentran, l'll III~,\I preferente, las continuas (2.1), y las que lo son, salvo en conjuntos de contem¡J" II¡II" (2.3). En los conjuntos planos de contenido nulo los más frecuentes son los ~raf,,\ ",. funciones continuas de una variable (2.2). Un progreso en la caracterización de las 1"" ciones R-integrables se consigue considerando los conjuntos de medida nula y el ('11 rrespondiente teorema de Lebesque (2.5). Las propiedades de la integral (3) son estructuralmente las mismas que las estudiad;" en el caso de una variable, y lo mismo ocurre en el caso general de las illl<,¡.:rall'\' múltiples. Los problemas que se presentan en el estudio de las integrales dobles son de d()~ tipos; unos se refieren a su relación con las integrales simples, y otros a la integraciú" sobre conjuntos acotados que no son intervalos, La solución a los primeros la propor ciona un teorema que transforma las integrales múltiples en sucesivas (4.2), y que '" de gran aplicación en el cálculo efectivo de integrales múltiples. Para definir la inll'~",1 de una función f sobre un conjunto acotado e se construye una función auxiliar f' coincide con f en e, y es nula en el resto, y se calcula la integral de f' sobre un in· tervalo que contenga a e (5,1). Este artificio, por el que se trasladan las irregularidades del dominio de integración a la función que se integra, acumula en ésta todas las dificultades del problema, po, lo que se han de estudiar condiciones para que la función auxiliar sea R-integrable (,)A). En partícular se obtienen fórmulas prácticas para el caso en el que e esté limitado JI"/' curvas continuas,

lJ''''

662

Integrales múltiples

El método seguido para la integral doble se traslada a la múltiple (6), que no presenta características específicas, y sólo requiere atención en lo referente a la reducción de integrales múltiples, sobre conjuntos acotados, a integrales sucesivas (6.7). Las integrales múltiples se aplican a problemas globales entre los que, aparte de las úreas y volúmenes, se encuentran los de determinación de valores promedios. como son I()s centros de masas y momentos de inercia (7).

Integrales múltiples

1.

LA INTEGRAL DOBLE

1.1. Así como el concepto de integral de una función real de variable real tuvo su origen en el cálculo de áreas de figuras planas, y más concretamenk en los llamados "conjuntos de ordenadas" (20; 1.3) el problema análogo dc calcular volúmenes de sólidos en el espacio R3, da origen al concepto de inl\'· gral doble, o integral de una función real de dos variables reales. Tanto el planteo del problema, como el método seguido para la definici('lJI de volumen, son análogos a los expuestos en la teoría de la integración simplL". En el caso presente el "conjunto de ordenadas" se define de la siguit'1l1c torma: Sea f: e ,-+ R una función real no negativa, cuyo dominio de definiciún ('~ el conjunto e e R2, la parte de R3 comprendida entre el grafo de f y el (11;1110 coordenado X¡, X2, es el "conjunto de ordenadas" de f; es decir, si la flll/('i(íll f hace corresponder a cada par (x,. X2) € e el número y = {(XI,X2) € R, ('( "COI/-

junto de ordenadas de f es {(x¡, X2. y)

€

R3 : (x¡, x 2)

€

C,

O

< Y :< {(XI,

X2)}'

y

x, x,

Antes de definir el volumen del conjunto de ordenadas de una función r en un dominio e e Rl. que con lenguaje del Análisis se denomina integral dI' la función f sobre el conjunto e, se ha de observar una diferencia notable ent re las integrales relativas a funciones de una variable, definidas en (20; 2) Y las integrales para funciones de dos variables. En las primeras, el dominio de integración es un intervalo compacto de R. mientras que en las segundas el dominio de integración es un conjunto acotado de R2, que ordinariamente no es un intervalo. Este hecho agrega nuevas difi" cultades en la definición y cálculo de estas integrales.

óó'i

Integrales múltiples

664

Integrales múltfples

Antes de estudiar la integral de la función f en un conjunto acotado e e R2. se considera el caso particular. en el que e es un intervalo compacto X e R2; y en el que se presentan evidentes analogías con las integrales de funciones de una sola variable. 1.2.

Para un intervalo compacto de R2, que es el conjunto producto X

=

[al, b ,] X [a2' b¡]

se definen particiones finitas.

Definición: Una partición L\ de un intervalo [ar, ba X [az, b21e R2, es el conjunto de dos particiones A = {Al' /l.. 2} correspondientes a cada uno de los intervalos [al' b ,] y [a2' b z]· Si se designa por los puntos de la partición intervalos cerrados

I'!.¡,

el intervalo [al' bll queda descompuesto en h

[X:_ l ,

xll,

i

= 1,

... , h;

y si análogamente se designan por

los puntos de la partición intervalos cerrados

I'!.z,

el intervalo [az, bzJ queda descompuesto en k

[X:_ 1 X7]'

j = 1, .. . ,k.

Entonces la partición L\ = {fl h A2 } originará en el intervalo [al' b¡] una descomposición en hk subintervalos cerrados [xL, x!] X [x7-I' x;],

i = l .... , h;

i=

X,

b¡ =-

x; r_----,---.---~--,-----. ~r_----r_--r_--;--1----~

X}_I r_----~--~-~~----~ x~r_----~--~--~~----~ 8

= 2

x; -.-----+__--+____+--+____-1

Partición del intervalo 1

1, ... , k.

X

[a2' bJ

Como se observa, la notación se complica al emplear subíndices y superíndices, y conviene introducir la siguiente simplificación: Un sub intervalo cerrado correspondiente a la partición ti se designará por J, el conjunto de todos ellos son los subintervalos de la partición A, y se escrihirá de forma impropia 1 € L\. Dos subintervalos cualesquiera de la partición ." no tienen ningún punto interior común. Una imagen de la descomposición en subintervalos del intervalo [ah 11,1 x X [a¡, b¡J. la sugiere la figura anterior: la partición L\ determina una fe!,1 1'11 el intervalo, formada por rectas paralelas a los ejes. 1.3. De la misma forma que para las particiones en los intervalos dI' 1(. se establece una comparación entre las particiones A del intervalo [((,. ",1 " X faz, bzl.

Definición: Una partición A' = {A;, A;} de un intervalo de Rl es mús flllll que otra partición L\ = {J Io Jd del mismo intervalo, si A; es más fina ,/m' 1\, y t.; es más fina que A2• En general dadas dos particiones cualesquiera de un mismo intervalo 11111 guna de las dos es más fina que la otra, sin embargo existen particiones llI,i~. finas que ambas. La reja correspondiente a una partición I'!. más fina qlH' b·. 1\' Y fl" se obtiene superponiendo las rejas determinadas por estas p:1 rt ¡CiOllt>', 1.4. Definición: Se denomina área del intervalo [al1 bll mero positivo o nulo (b l - al) . (b 2 - a2)'

X

faz, h 1 ], 1'/

111/

El área de un intervalo compacto 1 se designa por ¡.t(1). En general se define igualmente el área de un intervalo, producto de intervalos lineales, aunque estos no sean cerrados.

1.5. Definición: Sea f: X -+ R una función real acotada, definida en X que es un intervalo cerrado y acotado de R2. Si 6. es una partición de X, SI' designan por El y el el supremo y el ínfimo de f en el subintervalo cerrado f de la partición A. Las sumas superior e inferior de f correspondientes a la partición fl, serán las sumas: S(i'!.) = ~ El ¡.t(/) Y lEA

seA) =

L

el p,(l).

lEA

Las sumas superiores e inferiores tienen las siguientes propiedades: a) Si Ex Y ex son el supremo y el ínfimo de t en X, para toda partición A es ex ¡.t(X) ~ seA) ~ SeA) ~ Ex ¡.t(X).

666

Integrales múltiples

Basta tener presente que cualquiera que sea el subintervalo 1 se tiene eX~e¡ ~

E¡

667

Integrales múltiples

,'-,'e denomina integral inferior de f en el intervalo X, el extremo superior del conjunto de las sumas inferiores s( "-) correspondientes a todas las particiones finitas ;\ de X. Se designa por

~Ex,

y evidentemente

¿

_I x

/-t(1) = /-t(X).

t=

sup {s("-); ,\ partición de X}.

fE,~

b} Si ti' es más fina que ti, es s(L1) S;;; s(ti')

En efecto, cada subinterval0 1 E E IV, Y evidentemente

.... r,

~,

y

S(ti') S;;; S(ti).

se divide en varios subintervalos 1;, 1;,

De la desigualdad c) se deduce de manera inmediata. Proposición: Las integrales inferior y superior de f en X l'prifícall fo ",..Ii gualdad:

F,f
Por otra parte, es

Definición: Una función f: X _., R acotada en el intervalo X ceITII",) y acotado de R2, es integrable en X, si las integrales inferior 11 sll/"'ri"r son iguales. Este número único se designa por

tll' donde resulta

el {L(l) = el (¡¡,(I;)

+ '" + {L(1'»

~ e,; ,.(1;)

El ,~(1) = El (¡L(l;)

+ '" + p(1:»

~ El; /-t(l;)

+ ... + el; ,,(1) + ... + E¡; ,<(1')

y considerando la suma para todos los subintervalos 1 E ~, queda:

s(A) =

¿ fEt,

el ,,(1) ~ ¿ el' ,,(J') = s(ti'). rE/,'

Análogamente se obtiene SeA) ~ SeA'). c)

Si

L1'

Y

L1"

Ix f, 11 se denomina "integral de f sobre X". Esta es la integral de Riemann de la función f en el intervalo X, LI~ 11111 ciones para las que existe esta integral, son las funciones integruhi<'s \/'1:"11 Riemann en X. Aparte de la notación simplificada anterior, es también usual la

I Ix

son dos particiones cualesquiera, es seA') ~ 5(6.").

Si 6. es una partición más fina que ~' y 6.", en virtud de las dos propiedades anteriores, se tiene: s(L1') ~ s(6.) ~ 5(6.) ~ S(~").

que se lee "integral doble sobre X de la función {". 1.7. Equivalente a la definición es la siguiente condición necesana y ficiente para que una función f sea integrable en X.

= inf{ S(tI); ti partición de X}.

SeA)

<

E.

La demostración coincide con la dada en (20: 3.1).

1.6. Definición: Sea f: X -+ R una función real acotada, definida en X que. es un intervalo cerrado y acotado de Rl.

Lf

~II­

Proposición: Una función f: X-+ R, acotada en X, es inlegrllble Rielllrlllll en el intervalo X si, y sólo si, para Crlda f> O existe una partición '\ de X t,,1 rJlle S(tI) -

Se denomina integral superior de f el1 el intervalo X, el extremo inferior del conjunto de las sumas superiores S(I\) correspondientes a todas las particiones finitas L1 de X. Se designa por

t(x t , xz) dx¡ dx"

2.

CLASES DE FUNCIONES R-INTEGRABLES EN UN INTERVALO

2.1. Entre las funciones integrables Riemann, o R-integrables, en el intervalo acotado X, se encuentran las continuas.

668

Integrales múltiples

669

Integrales múltiples

Proposición: Una función f: X-+ R, continua en el intervalo cerrado y acotado X, es R-integrable en X.

x,

Demostración. Es la misma que la dada en (20; 4.1) con leves modificadones. Por ser X compacto, f está acotada en X y es uniformemente continua en • X, por lo que para cada f > O existe un (: > O tal que es

Ifex;, x;) - {(x;', x;')1 < (~, F Al'

para todos los pares de puntos

ex;,

Ix; - x;'1 <,\

x;), (x;', x;')

y

Ix; -

X, que cumplan

€

x~'1

<

o

Si 1\ es una partición de X, en la que las dimensiones de los subintervalos :-.ean menores que 0, como El y el son valores de la función f en un subintervalo l

a=

XO

•

X1

Xi-¡

Xn-t

Xi

Xn

=b

x,

J.

la función g es R-integrable en el intervalo lineal [a, b], para cada una partición

F

>

O existe

11

€

~, es El - el < l/eX)"

Pa ra esta partición

,1

tal que es

ti = {a = Xo, XI' .,., Xu = b),

SeA) - seA)

se tiene:

S(!!.) - s(!!.)

= L ""-1) (El -

el) ~ (X E )

lE&.

"

L JEA

""-1)

= e,

lul').!o f cumple la condición de integrabilidad (1.6). 2.2. Para obtener otras clases de funciones R-integrables conviene consi. derar la noción de conjuntos de contenido nulo.

Definición: Un conjunto e e R2 es de contenido (plano) nulo, si para cada , ',O existe un recubrimiento finito de e. formado por intervalos cerrados 1" 11, ... , 1", tal que es

¿

I,(l,)

< '.

Evidentemente los conjuntos finitos son de contenido nulo. Una clase importante de conjuntos de contenido (plano) nulo, son los grafos de las funciones de una variable, continuas en un intervalo, Una clase algo más general es la que se indica en la siguiente

Proposición: Si g: [a, b] ~ R es un función R-integrable, no negativa, en el intervalo [a, bJ, la frontera de su "conjunto de ordenadas", e, es decir, fr (C) = fr. {(XI' X2) es de contenido nulo.

I XI € [a, b], O ~. X2 ~ g (Xl)},

Demostración: Basta probar que tiene contenido nulo el conjunto G, obtenido al suprimir de fr (e) el segmento de la base [a. bJ, y los laterales que limitan e, Evidentemente el contenido plano de estos segmentos es nulo. Como

<

Entonces, el COiijunto de los intervalos li = [Xi_l, Xi] x [e;, E;], i es un recubrimiento de G. y se tiene:

¿"

p(l,)

= SeA) -

p.

==

1, 2, ... , n,

seA) <

F.

Observación. La hipótesis de ser g(x) ~ O para todo x € [a, b] no es esen· cial, pues como g está acotada, siempre se puede determinar una constante k, de manera que sea g(x) + k ~ O, para todo x € [a, b]. 2.3, La noción de conjunto de contenido nulo permite presentar una clase muy amplia de funciones de dos variables que son R-integrables. A esta clase pertenecen la mayoría de las funciones que se presentan en las aplicaciones.

Proposición: Una función f: X -+ R, acotada y continua en el intervalo cerrado y acotado X, salvo en los puntos de un conjunto e eX de contenido nulo, es R-integrable en X. Demostración. Una observación cualquiera, existen particiones de X una reja a la que pertenece 1). Dado un F> 0, se puede cubrir intervalos cerrados 11> lb ... , In tales n

ee U 1/ i=l

previa es que si 1 e X es un intervalo en las que J es un sübintervalo (existe el conjunto que es

L t=!

con un número finito de

8

n

Y

e

fL(I,)

< 8 (E

_ e)'

donde E Y e son los extremos superior e inferior de

f en X,

670

Integrales múltfples

Sustituyendo cada intervalo cerrado por uno abierto concéntrico, y de dimensiones dobles, se obtienen Jos intervalos abiertos 1;, I~, "" t,,, tales que n

Ce

U 1,'

n

¿

Y

i~t'

1-=-1

El conjunto X -

U(

,,(l.,')

<

e

2(E-e]

1-_~1

f es

continua, lo es uniformemente. por lo que existe un ,) > O tal que si es

Ix; - x;'1 <

b

€

X, que cumplan

Y

Ix; - x;': <

< (E- e)

il.

IfeO"

¿ lED'

luego

Il(l)

+ _e_ ¿ l/,(X)

f1(l)

<

El teorema de Lebesgue se enuncia de la siguiente forma: Sea f: X ,-* R una función acotada definida en el intervalo cerrado I{ ,1'" tado X. La condici6n necesaria?! suficiente para que f sea R-inf('1'.rah1,' 1'1/ \ es que el conjunto de puntos de discontinuidad de t sea de medida /ll/lcl. Con ligeras variaciones la demostración dada en (21; 50) sirve en t'~;k ,·,t'" 3.

Para cada uno de los intervalos 1/, i = 1, 2, "" n, se determina una partición /\,' de X en la que 1/ es un subintervalo, y se considera una partición .\ de X que sea más fina que todas las anteriores, y en la que las dimensiones de los suhinlervalos sean menores que o, Los subintervalos 1 de ,\, se separan en dos clases que se designan por D' y D", A D' pertenecen los 1 € /1 que están contenidos en alguno de los r r ' .. , l',,; y a la clase D" pertenecen los subintervalos restantes. Entonce~ s~ tiene: S(/I.) - s(/I.) = ¿ p.(l) (El - el) + ¿ 11.(l) (El - el) ~ JED'

brimiento finito o infinito numerable de C, formado por una sucesión {/" l d,' intervalos cerrados, tal que es

.

es cerrado y acotado, y como en él la función

para todos los pares (x;, x;), (x;', x;')

(,71

Integrales múltiples

e

IED"

f cumple la condición de íntegrabilidad n,6).

2.4. Los grafos de las funciones continuas g: [a, b]'~ R son los conjuntos G considerados en la proposición (2.2), y por tanto de contenido nulo, luego

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

3.1, Desde el punto de vista formal la definición de la inte:-:r,t1 .1,' 1111.1 función de dos variables en un intervalo, coincide con la de la inll'gldl d,' I1tl.l función de una variable, por lo que las propiedades básicas de la inl(')',r,t1 ,I>ttt ciden en la...4os casos. 3.2. Unas propiedades se refieren a las integrales de distin1;t~ 11I11IIIItt'''' con el mismo dominio de integración, y son las siguientes:

Proposición: Sean f:X'-+R y g:X-+R dos funciones acotad".\ bIes en X, que es un intervalo cerrado y acotado en R2; entonces: a) Para todo par de números reales" y ¡I, la función al + ble, y además (af + (!g) = a f+ fI g (linealidad)

Ix

b)

Si en cada (Xt, Xz)

Ix

€

X es g(Xt,

Ix

g

Ix f

¡ig

es

I~ ¡II/,"'I,'

1
Ix

X2)~;

{(Xt, Xz), se tiene

(monotonía).

La demostración coincide con la de (20; 6.2).

Proposición: Sea f: X '-4- R acotada y R-integrable en X, entonces Proposición: Una función f: X -+ R, acotada y continua en el intervalo cerrado y acotado X, salvo en los puntos de los grafos de una o varias funciones continuas situadas en X, es R-inter,rable en X. 2.5. Finalmente, la propiedad que caracteriza a las funciones acotadas de una variable que son R-integrables en un intervalo, se generaliza el caso de las funciones de dos variables. La definición de conjuntos de medida nula coincide con la dada en (21; 3.1): Un conjunto Ce R2 es de una medida nula, si para cada F"> O existe un recu-

1'.1

IIx ti ~ r, Itl, En consecuencia de la propiedad de monotonía (20: 6.3), También son consecuencia de la propiedad de monotonía los teOrtJltdS d .. acotación y valor medio.

Proposición: Sea f: X -+ R acotada y R-inlegrahle en X. Si k Y K sml cota inferior y otra cota superior de f en X, se tiene

/lltl!

672

Integrales múltiples

Por la R-integrabilidad de f y g, el segundo miembro de la desigualdad. puede hacerse tan pequeño como se quiera, para una A adecuada, por lo que la función producto f· g cumple la condición de integrabilidad 0.7).

y también

Ixf =

K'

f/(X)

donde K es un número comprendido entre los extremos inferior e y superior E de t en el intervalo X. (Véase (20'; 6.4, 6.5». Caso particular de la última fórmula es el

Teorema del valor medio: Sea la función f: X·--} R, continua en el inter"alo cerrado y acotado X e R2, entonces existe un (El, El) E X, para el cual es

fxf=

f(E¡, Ez)' I'(X').

1.3. La R-integrabilidad se conserva en el producto de funciones, como , resulta del teorema Lebesgue. A continuación se dará una demostración directa d.. la propiedad, que tiene aplicación al considerar integrales sobre conjuntos '1 11 l' no son intervalos_

Proposición: Sean f: X -+ R Y g: X .--}. R dos funciones acotadas R-integra/¡fes en X, que es un intervalo cerrado y acotado de RZ; entonces la función f . g es R-integrable en X. Demostración: Si f y g no son positivas, como están acotadas, se les puede sumar constantes convenientes para que lo sean, y razonar sobre las nuevas funciones. Se supondrá, pues, que f y g son positivas. Sean E' y En los supremos de f y g en X, y e' y en los ínfimos respectivos. Dada una partición !!. de X, se designan por E;, E;' Y El los supremos de f, g y f . g en el subintervalo 1 E!!., Y se designan por e;, y e¡ los ínfimos de 1, g y t . g en l. Evidentemente es

e;'

de donde

= (E~ -

e;) E'; + (E~ -

e;') ff¡~ (E; - e;) EU

+ (E;'

-

t . g) -

s(!!.,

f . g) ~ [S(!!.,

f) - s(;,¡, f)] En

+ [S(A, g)

3.4. Otras propiedades se refieren a las integrales de una misma funciún con distintos dominios de integración. La siguiente es una propiedad de adiciún.

Proposición: Sea f:X-+R acotada y R-integrable en X que es con in/ervalo cerrado y acotado en R2; y sean XI y Xl dos intervalos cerrados oh/el/idos al descomponer X por una recta paralela a uno de los ejes. Entonces f 1'.\ R-integrable en XI y X 2 ; y recíprocamente si f es R-integrable en Xl y X. /(/ es en X. En todo caso se tiene:

4.

INTEGRACIONES SUCESIVAS

4.1. Se han definido las integrales dobles de Riemann sobre intervalo:-- y se han estucmrNo sus propiedades; sin embargo. no se han dado métodos d('('tivos para el cálculo de tales integrales. El teorema fundamental de (',IIl'ulo no tiene generalización fácil para el caso de las funciones de dos van,lhlt". Para efectuar el cálculo de estas integrales dobles, se las transforma l'!1 d()~. integraciones simples calculadas sucesivamente. Para comprender bien el sentido del método, se considerará la integr,1! do ble de una función continua positiva f definida en el intervalo X = [al' b.J X X [al. b¡J, que escrita en forma desarrollada es

I Ix {(Xl'

X2) dXI dX2'

Si {al = x~ < x\ < ... < x~, = b¡} es una partición de [al. b l], las rectas paralelas al eje X2, en el plano XI Xl que tiene abscisas iguales a X,~ " determinan una partición del intervalo X en las bandas Xl. Xl' ... , X,.; Y entonces la integral sobre X será igual a la suma de las integrales sobre cada una de estas bandas:

x:' x;, ... ,

e;') E'.

Multiplicando por p(l), y sumando para todos los 1 E!!., se tiene S(!!.,

673

Integrales múltiples

- s(~, g)J E',

donde en los paréntesis de las sumas, se ha indicado la función correspondiente.

Cada integral, en la suma del segundo miembro. es el volumen de una zona del sólido "conjunto de ordenadas" de la función t sobre Xi' Si las zonas son estrechas, el volumen de cada una de ellas es aproximadamente igual al área de una de las regiones planas que limita la zona lateralmente, multiplicada

674

Integrales múltiples

675

Integrales múltiples

Efectivamente, la igualdad es cierta cuando f es continua en X. Si la función f es R-integrable también es cierta la igualdad ligeramente modificada, como se indicará en el teorema siguiente. Puede ocurrir que aun siendo la función f R-integrable en X, no lo sea la función de una variable que resulta al fijar la otra variable. La consideración de las integrales superiores, o inferiores, permite obviar esta dificultad. b, x,

4.2. Teorema: Sea f: X '--'J' R una función acotada R-integrable en el intervalo acotado X = [al' b¡] X [a2. b 21. Para cada x¡ E [ah b¡} se definen las integrales inferior y superior

por la anchura de la zona; es decir, y al variar X¡ quedan definidas las funciones

cy : [ah b¡J - R Y iD: [al dt' donde

b¡] ,->- R.

Entonces estas funciones SI y S son R-integrables en el intervalo [a b b 2], y además se tiene: ~

Si se designa por h(x¡) la función que resulta de la integración, de la funci<Ín ((x¡ X2), cuando se considera X¡ fija, respecto de X2 en el intervalo [a2, n2J; es decir,

JJ JJ

/(Xh X2) dx¡ dX2 = f(x¡, X2) dx¡ dX2

x

se ·tiene

JJ

x f(x¡, Xl) dx¡ dX2

=:

~¡ (x~ - x~_¡) h(x~),

y para particiones bastante finas de [al, b¡J la suma del segundo miembro es aproximadamente igual a

r:

=

J~: ~!(x¡) dx¡ =

J::

=

1

fb. Sex¡} dx¡ .

al

Después de este razonamiento es plausible esperar que se verifique una igualdad de la forma:

b¡ ( [-'"

al

..

[(XI¡ Xl) dX2 ) dx¡.

al

Demostración. Sea ó. = {~J, ~Jf} una partición de X, en la que de acuerdo con la definición 0.3) es N una partición de [ah b¡J y ó." una partición de [a2' blJ. Si I,(l) es el área de 1, y I'(l') Y 1'([") las longitudes de l' e 1" respectivamente, se tiene

Se designará por Y E¡(f(Xh

eJ(f(Xh X2) h(x¡) dx¡.

(r::f(X¡, XI) dX2 ) dx¡

los Ínfimo y supremo de ((X¡, Xl) cuando (X¡, Xl) La suma s(~) correspondiente él la partición Seó.)

=

¿ lE;.

el (f(Xh X2}) • ",(l)

=

¿

Xl) E

~

l.

para la función f es:

€rx["(f(x¡, X2») ",(1') • p(l',

I'C A', ["EA"

=

676 Integrale$ múltiple$

Para cada ~

€

¡nf {f(XI, X2): Xl

€

1', X2

€

677

Integra/es múltiples

l' fijo, evidentemente es l"} ~ inf (f(E, X2): X2

Ejemplo.

Se trata de calcular la integral

€ ["},

que escribiendo inf {(~E, x 2): x 2 € l"} = el"(f(2. X2»). toma la fOrma el' ,,¡,,(f(x¡, X2» ~

H

€

€ [';

¿

J"

'Yen 11(1').

Icos (XI


o

Como e~ta desigualdad se verifica cualesquiera que sean los .; en cada uno l~/e e los subm:er~alos j' € ~'. subsiste cuando en cada sumando se sustituye .' (,). por su Illftm~, para ~ € l'; pero entonces lo que se obtiene es la suma

resulta H = 2,..

InferIor de la funclOn 'Y correspondiente a la partición "" Designando esta suma por s(¿\", '!I/). queda .

5.

seA) ~ s(L\'. '?II).

Como cualquier Suma inferior no excede a la superior de la misma función y las sumas superiores tienen la propiedad de monotonía, la desigualdad

an~

ferior se puede completar de la manera siguiente: s(M ~s(,"".'?II) ~ S(Il'.'Y) ~ S(",'. ¡¡;).

Si en vez de c,omenzar la demostración con la suma s(ll) se hubiera partido de la suma supenor SeA). resultaría análogamente

se"",'. S) ~ S(M. y se hubiera podido cerrar la cadena de desigualdades anteriores con este último término.

Como se ha supuesto que donde: supS(Il', 'Y)

+ xl)1 dx¡ dx

2•

Como

y volviendo a la igualdad que da S(Il) resulta

s(}.) ~

x Icos (Xl

La aplicación de la fórmula de reducción de la integral doble a sucesiv .. ~ es inmediata:

j'.

En consecuencia se tiene:

para cualquier;

J.r

donde X es el intervalo [O.,.] x [O,,.}.

edfe;, Xl».

y esta desigualdad se verifica cualquiera que sea':

=

+ xZ}1 dx = J"-~llcos ti

dt

= 2,

-XI

INTEGRACION SOBRE CONJUNTOS ACOTADOS

5.1. l't:!Ma ahora sólo se ha considerado la integral de funciones suhIC' intervalos cerrados. Se puede salvar esta restricción sin gran dificultad. y dí' finir la integración sobre conjuntos acotados más generales. La existencia Ik la integral depende tanto de la naturaleza de la función t como de la del ('011 junto e sobre el que se integra. Sean f:Xo-+R una función acotada definida en X O CR2, y e un conjunto acotado contenido en Xo.. Para definir la integral de f sobre e, se considera un intervalo X cerrado y acotado que contenga a e. y se define una función auxiliar f*: X-> R de la manera siguiente: (XI' Xl) e

e

(XII Xl) ~

e.

f es R-integrable en X, es sup se¿\,) = inf S(ll)' de

= infSW ay) =

•

fr

f(x¡,x¡) dx¡ dX2;

.. x

es decir, la función ay es R-integrable en [al' bll, y su integral coincide la doble dada. con Análogamente se demuestran las otras igualdades enunciadas.

Definición: Se dice que la función f es R.integrable sobre e, si la función f* es R-integrable sobre X; Y en tal caso la integral de f sobre e es:

(7 1) Intewa/es múltiples

678

Integrales múftiples

De la proposición (3.4) resulta inmediatamente que esta definición no depende del intervalo elegido X que contiene a e. En muchos casos se simplifica la definición de las integrales, introduciendo la función característica del conjunto e que se designa por lc, Y está definida en R2 por si (x], Xl) € e 5.2.

si

(XI, Xl)

rf. e.

Una propiedad interesante de la función característica es la siguiente

Demostración: Si x € fr. (e) es de discontinuidad, pues en todo entorno l/ex) hay puntos en los que lc tiene el valor 1, y puntos en los que lo tiene l'1 valor O. Los restantes puntos de R2, o son puntos interiores de e, y para cada uno de ellos existe un entorno en el que el valor de lc es 1; o son puntos exlc

es O.

'. [a, b]·~ R Y gz: [a, b] ~ R dos funciones

gl(X I)

~glXI)'

para todo

e=

{(X],X¡)

E

RZ :

g¡(x l )

[a, b];

Xl E

< X2 <: giXI)'

a< Xl

<,b}

es R-medible. Demostración: Evidentemente la fr. (C) está compuesta por los l',r;lfo" de y g¡, Y de los segmentos paralelos al eje X2 de extremos. (a, g¡{a», (a, g¡{a)

Cb, g¡(b)), (b, g¡(b»),

y

que son de contenido nulo en R2. Observación.

La propiedad es también cierta cuando g¡ y g~ s()n ¡{-illk

grables, como resulta de (2.2).

X

d

fT1TI1:rg,lx,)

1,f

5.3. Entre los conjuntos acotados e e R2, están los R-medibles (o medibIes según Jordan), que juegan un papel importante en esta teoría de integración.

\\

g, W

Definición: Un conjunto acotado e e R2 es R-medible, si su función característica Xc es R-integrable en un interlJulo cerrado y acotado X que contenga a e; en tal caso, el área de e es

cOllli17I1C1.\

entonces el conjunto

gl

Proposición: Los únicos puntos de discontinuidad de la función característica lc son los puntos frontera de e.

leriores, para cada uno de ellos existe un entorno en el que el valor de

Proposición: Sean g¡ en [a, b], tales que es

e

~

~

~

I

: O

a

b

x,

x,

ede dar una condici"ll 'bl 5.4. Para los conjuntos acotados R-me d ¡ es, ~e pu de R-integrabilidad de funciones sobre estos conjuntos. Estas definiciones son independientes de X. De la propiedad (2.3) resulta:

Proposición: Si e está acotado y fr.Ce) es de contenido nulo, el conjunto es R-medible. A partir del teorema de Lebesgue, dado que fr (e) es un conjunto compacto, se puede probar que la propiedad recíproca también es cierta.

e

Una útil consecuencia de esta proposición se deduce de (2.2).

. .. . Sea f' X ~ R una función acotada R-integrable subre el 111P roposlclon. . . R dible' elllulI tervalo X e R2, cerrado y acotadO, y sea e e X un conjunto -me . ces f es R-íntegrable sobre e.

Demostración: La integral de

f sobre

e

es

680

Integrales múltiples

f y le son R-integrables, lo es su producto (3.3). En el cálculo efectivo de la integral doble de f sobre el conjunto e se aplica el teorema de reducción de una integral doble a integrales sucesivas (4.2). El caso más frecuente en las aplicaciones se presenta cuando el conjunto e está definido (5.3) como el espacio comprendido entre los grafos de dos funciones gl y g¡ de una variable, y entonces se tiene:

681

Integrales múltiples

y como las dos funciones

Proposición: Sea f: X -+ R una función acotada R-integrable sobre el intervalo X e R2, cerrado y acotado, y sean g¡: [a, bJ -+ R Y g2: [a, bJ ~ R dos funciones continuas, con sus grafos en X y tales que eS g¡(x¡) ~ gix¡), SI

e

para todo

XI €

0 2(Xl)

Xl) xC
De esta última, resulta la fórmula para la integración sobre C, tal como se había enunciado. Observación. La fórmula de reducción también es cierta cuando gl y ~', son R-integrables. E;ercicios. 1. - Calcular la integral de la función definida por !(x¡, x,) = .¡x; - x~ sobre el conjunto

e= f

e,

x!) dXI dX2 =

e

€

RZ : g¡(xl) ~ Xl ~ g2(X¡), a ~ XI

~ b},

se tiene· I/Xl

{(XI' xz):X~ ~ X2~",fX¡,

es continua en

f (.vx;- -

es el conjunto {(x¡ xz)

Xl)

dx¡ dxz

=

f:

[I:~:::: f(xl X2) dxz ]

f(x¡, Xz) dX2'

&11(%1)

La función

[a, b];

J

o ~ XI ~ l}. R-integrable en e.

y es

[1 [r ~ (v'X;' -

. o

J:

[Vx;.

..

x3=

Xz -

x~)dx2

] dx¡

=

J; +.

Xl

dx¡ =

2. - Calcular la integral dX h

y en particular

donde

~

Las condiciones que determinan C, equivalen a

re,

Demostración: El intervalo X se puede restringir al [a, b] X [e, dI, donde d] contiene a la proyección de sobre el eje X2' Y está contenido en la

e

proyección X sobre el mismo eje. Aplicando el teorema de reducción a integraciones sucesivas se tiene f /x¡, X2) dXr dX2 =

J:

Xz

~ O,

-

1¡X; -

X2

XI

1~

V 6-6- ~ -2- + -4- ~ V-g--6-"

Y como ha de ser XI ~ 0, para que tenga sentido la segunda condición, Qbtiene como condición final

St'

[f>(X¡ X2)XC(X¡ X2) dX2 ] dx¡

Ahora bien, para cada Xl € [a, b] fijo, la función ((x¡, xz) • lC(xI' X2) es nula fuera del intervalo. [g1(XI), gixl)] , por lo cual en vez de integrar sobre [a, b), bastará integrar sobre [gl(x¡), glx¡)], y en este intervado además Xc vale 1, luego

* Observación. Al aplicar la fórmula de integración sucesiva, para simplificar la escritura, no se ha especificado que se trata de la integral superior (o inferior) la situada en el interior del corchete. La fórmula es válida y el razonamiento también, cuando se tiene presente el verdadero carácter de la integral.

Prescindiendo del término intermedio se tiene Xl ~ 2 2 O~xl~-3-. ,Según la proposición anterior, resulta

fe .,¡x¡-x; dx¡ dX2 = f

2/o 3 v'Xi' rJ-o

2 , • +

,rx;-

V~-6-'

de donde

4\f? VXi dxz ]dXI = -~8~1-' 32 VI

una vez realizadas las operaciones indicadas.

682

6.

Integrales múltiples

LA INTEGRAL MÚLTIPLE

6.1. Se puede decir que el estudio de las integrales múltiples no presenta novedad alguna .d~spués del de las integrales dobles. La mayoría de los Conceptos y ?~OposICJones se repiten textualmente una vez introducidos los elementos baslcos. A continuación se da una exposición resumida de la teoría.

6.2. Para un intervalo compacto de R", conjunto producto de intervalos compactos:

x=

[al, b1] X ... X [a", b,,],

se definen partic~o~es finitas. Una partición i\ de X es el conjunto /),. = {/),.¡, . . . , I\,,} de n partICIOnes correspondientes a cada uno de los intervalos [a b J o."

[a M bnJ.~

1

1,

Si el¡

=

Xi

<

Xi

u

1

<

. .•

<

"i = b."

Xi

= 1,

con i

... , n,

son los puntos de la partición ~, un subintervalo 1 E !l, es el intervalo cerrado 1

= [XI,.'_I'

x~) X '" X [X;.I' x~].

De dos p~rticiones N y A" de X se dice que N es más fina que !l" si cada \' es más fIlla que !l;"; Y dadas dos particiones cualesquiera de X existen pn rticiones más finas que ambas. '

6.3. Se denomina volumen del intervalo [al' bll rositivo o nulo !'(X) = (b l

-

X '" X

[ ' anob ] n e1 numero

al) ... (b" - an ).

Dada qna función real acotada f: X ,-:- R, y una partición .~ de X, designando por El y ~l el supremo y el Ínfimo de f en 1, las sumas superior e inferior correspondIentes son S(!l)

=¿

Y s(!l)

EI/>t(l)

JE4

=¿

el ,,(l).

JEA

Estas definiciones así como sus propiedades coinciden con las expuestas en (l.5) y se definen las integrales superior e inferior de f en X:

Ix t Ix

que verifican

= ¡nf {SeA) : A partición de X}

1 = sup {s(.1)

:

/1.

partición de X}

Integrales múltiples

6X \

La función 1 es R-integrable en X, si coinciden las integrales superior e inferior; en tal caso se escribe simplemente

r .("~

( f o JX

~

I

x

l(xl' ... , x,,) dx(, ... , dx n •

Condición necesaria y suficiente para que f sea R-integrable es que cada ,> 0, exista una partición /),. para la que sea S(.1) - s(t.) < f.

p;lr,l

6.4. Los conjuntos de contenido nulo en R" son los que admiten H'('II brimientos finitos formados por intervalos compactos de Rn, cuya sUl1Ia d., volúmenes, o volumen total, es menor que r, para cada ,> O. Los conjuntos de medida nula en R", son los que admiten recubrilllll'lIliI·. infinitos numerables formados por intervalos compactos de Rn, cuyo VO!tIIlIl'1I total es menor que P, para cada p> O. Son de contenido nulo en R" los grafos de funciones g: x- R, con X eH" I (n - 1 variables independientes) que sean continuas en el interpolo (', '/11 pacto X. La demostración de (2.2) es aplicable.

6.5. Las funciones continuas f:X·-R, en un intervalo comp({clo X t: H", son R-integrables; e igualmente lo son las continuas en X, salvo en fos 11/1/11,.\ de uñ'"Tonjunto de contenido nulo. Las demostraciones de (2.1 y 2.3) son ;11'11 cables. El teorema de Lebesgue asegura que la función f es R-integrable si, y s{.I" si, el conjunto de sus puntos de discontinuidad en X es de medida nub. 6.6. El importante teorema de reducción de una integral múltiple a inltgrales sucesivas, requiere una adaptación en el enunciado, pero la demost ra· ción es la dada en (4.2). El intervalo [alo b¡] X '" X [a n , b,,] = X e Rn se puede considerar descoll!puesto en los dos intervalos: [a" b 1] X ... X [ale' bkl = Xl e Rk y [a1c+1o b k +-1] X ... X [ano b n ] = X 2 e R" '; y entonces 1: x·...¡. R que es una función de n variables reales Xlo ... , X n , se puede considerar como función de dos variables vectoriales XI = (XI ... x,) (' X" y Xz = (Xk+l' oo., X n ) E Xz. Sustituyendo en el enunciado y demostración de (4.2) la Xl por Xl' y la Xz por Xl, el teorema se conserva y su enunciado es

Teorema: Sea f: X'4< R una función acotada R-integrable en el inten)(/f(l compacto X = Xl X X 2• Para cada XI E XI se definen las integrales 'Y(XI)

f

=_

f(xl , x,

Xk+l '"

x,,)

dXk+1 ... dX n

Entonces las funciones 'Y y

&;

( f=

Jx

S(x 1) =

y

J-x,f(x

l , Xk+1 ...

x,,)

dXk+ 1 ...

son R-integrables en X h y se tiene:

r 'Y

Jx,

e

Jf f =

X

x,

S.

dx".

684

Integrales múltiples

Naturalmente que cada uno de los intervalos XI y Xl se puede descomponer de nuevo como producto de otros dos de dimensión menor, y así sucesivame?te hasta expresar la integral de f sobre X, por medio de n integrales SUceSIvas. 6.7. Para la integración de f sobre conjuntos acotados Ce R", se utiliza el artificio (5.1) de construir una función auxiliar f*, que es f*(x) = f(x)

si

x

€

e, y

f*(x) =

o

si

y definir

cuando f* es R-integrable en el intervalo compacto X que contiene a C. El conjunto acotado e, cuya función característica es le, es R-medible, si Xc es R-integrable sobre X, y en tal caso su volumen es ,.(C) =

r

. x

Xc.

Cuando fr CC) tiene contenido nulo, C es R-medible, y por medio del teorema de Lebesgue se prueba que el recíproco es cierto. . Una condición suficiente para la existencia de la integral múltiple, es la mdicada en (5.4): Si f: X 40 R es una función acotada, R-integrable sobre un intervalo compacto X e R", y si C e X es R-medible, la función { es R-integrable sobre C. Ya se indicó (5.4) que el caso que más frecuentemente se presenta en la práctica es el de conjuntos C de la forma: C = {(Xii ... , x n)

€

R" : g, (XII ...• Xn_l) ~ x" ~ gl (x" ... , xn__ ,),

(XI! .•. ,

x'n_,)

€

A},

en donde A e Rn-l es R-medible, y las funciones g¡ y g2 son continuas en A. Para estos conjuntos e se verifica la siguiente

. Proposición: Si f: X 040 R es una función acotada, R-integrable sobre un mteroalo compacto X e Rn, y si g¡: A -+ R Y g2: A --+ R son dos funciones con grafos en X, continuas en A € R"-l, tales que es ~ (XI! ••• , Xn_l) ~ g2 (x¡, ... , x n_,),

entonces se tiene

para todo (x" ... ,

Xn_l) €

Demostración: Se aplica el teorema de reducción de integrales múltiples a integrales sucesivas (6.6) (para abreviar la escritura se omitirá la notación de superior o inferior en los casos en que no existan las integrales ordinarias en la fórmula de reducción). El intervalo X = [al' h¡] X ... X [a n, hn ] se descompone en el producto de XI = [a¡, b¡] X ... X [an_b hn_l ] Y de [an! bn], y se tiene

J f J/ . e

x ~ C;

A;

685

Integrales múltiples

=

Xc =

f

XI

[r:

{(XI ... Xn ) xC
] dX l

••.

dXa_t.

Si el punto (Xii ... , Xn_iI xn) € X, Y (Xii ... , x n _¡) ~ A, dicho punto no pertenece a e, en virtud de la definición de C, y por tanto en él es Xc nula. Se puede, pues, cambiar X, por A en la integración exterior. Cuando (x, • ... , x n _,) € A, la X n es nula fuera del intervalo [g¡(Xh ... , Xn_I), gixil'" x" ,)1. y además en este intervalo Xc vale 1, luego

'. J".

f(x" ... , X'I) XC
=

Estas dos simplificaciones conducen a la fórmula del enunciado de la rroposición. 6.8.

La fórmula de la proposición establece una relación de recurr(,I/CI,I,

~ la que el cálculo de una integral sobre un conjunto Ce R", se reduce ,tl cálculo de una integral sobre un conjunto A e R"-'. después de una integ¡
ción 'simple. Si Ce R3 y el conjunto A está definido como en (5.3), siendo la parte de plano comprendido entre los grafos de dos funciones h¡ y h 2 de una variable, se puede completar la fórmula de recurrencia, reduciendo la integral triple a tres integrales simples sucesivas.

Proposición: Sea f: X -+ R una función acotada, R-integrable sobre el intervalo X e RJ cerrado y acotado; y sea C e X el con;unto definido por las condiciones: g,(x¡, Xl) ~ X.l ~ g2(Xto h,(Xl) ~ X2 ~

h(x¡),

X2),

con

con h¡

g¡ ~ g2. ~

h 2•

en las que todas las funciones son continuas. Entonces se tiene:

686

Integrales múltiples

Ejemplo.

Se trata de transformar la integral triple

JJJe

7. FORMULAS INTEGRALES PARA ALGUNAS CONSTANTES MECÁNICAS

X j dX I dX2 dX3

en integrales sucesivas, siendo

e=

{(XII X2, X3) :

x~

687

Integrales múltiples

+

x~

+

x~

::::;; 1, x~ + x~ <

X3}

7.1. Las integrales se aplican a problemas globales, como son la determinación de áreas, volúmenes y, en general, medidas de conjuntos. También tienen aplicación inmediata a la determinación de valores promedios (20; 4.2), de los cuales los centros de masas y los momentos de inercia, son los frecuentes en Mecánica. Aparte de las fórmulas para las áreas y volúmenes, a continuación se dan las que determinan dichas constantes mecánicas.

7.2.

Si es {(x)

~

O para

X €

[a, b], el área del conjunto de ordenadas:

D = {(x, y) : O~ y::::;; {(x), a::::;; x::::;; b} es área (D)

=

J:

((x) dx,

supuesta f R-integrable. Si f no tiene signo constante, la integral no se corresponde con la no!'" 111 intll'ttiva de área. En este caso, a veces se considera como área del dOllllll1O D de ordenadas: El conjunto e se ha de expresar por medio de desigualdades "escalonadas" como se ha indicado en la proposición. e es un sólido limitado por la esfera unitaria de ecuación x~ + x~ + x~ = 1, y. el paraboloide de la revolución x] = x~ + x;. El conjunto A proyección de e sobre el plano XI X2 está limitado por una circunferencia cuya ecuación se obtiene eliminando X3 entre los dos anteriores, y es x~

+ x~ =

v'5 -

1

---.,.--- = 2

rz.

-

vI - x~ -

x~

+ .¡rz r ~Xl::::;; + r.

x~

+ x~ ~ x, ~ + #=---x~:s::: -

X2:S:::

b

JO

La fórmula de la integración sucesiva se escribe sin dificultad.

If(x)1 dx.

Sin embargo, es más oportuno y de mayor significado atribuir un signo

a las áreas. 7.3.

En consecuencia, las funciones gl, gz, h l Y h2 que determinaron C son: x~

la integral

El área de un conjunto C acotado y R-medible es área (e) =

J e

dXI dX2

Si e está determinado como parte del plano entre los grafos de dos funciones gl y gz, con gl < g2. que son continuas en [a, b] es área (C) =

J:

(g¡(x) - g¡(x» dx.

Integrales múltiples

7.4.

Si es {(XI'

XZ)

> O para

A que es un conjunto acotado R-mc-

(X¡, Xl) E

dible, el volumen del conjunto de ordenadas E

;r&

-y' La segunda coordenada viene dada por

A}

1 z ._Jo 2 sen .T,

es volumen (D)

= .

~lIruesta

ell

puesta la región de densidad constante, la primera coordenada del centro de masas es ;) =

D = {(XI XiX,) : O 'C::- X, / f(x¡ x,), (X¡ x))

689

Integrales múltiples

r

f(x I Xz) dx¡ dxz.

= --------- = sen X¡ dXI

JJ

e dx¡ dxz

f R-integrable en A.

Si f no ·tiene signo constante, la situación es análoga a la que se presenta el caso de las áreas. El volumen de un conjunto e acotado y R-medible es volumen (e)

=

m

e dx¡ dX 2 dX3

e

volumen (e) = [ .

(gz(x¡ x) -

·---~2-·

7.6. Para los sólidos en R3 las fórmulas son análogas. Sea e e R3 un sólido acotado. Si su densidad puntual está dada por la función p(x¡, X20 X3), su masa es

J

está determinado como el espacio entre los grafos de dos funcione~ 1:1 y [;z con g¡ < gz, que son continuas en el conjunto A, acotado y ,R-integrable (en particular cuando son continuas), es Sí

J:

~z =.------.---

A

XI dXI

J

=

e p(x¡, Xz, X3) dXI dxz d X3

supuesta la existencia de la integral; el centro de masas (;1' ;2, ;3) E R} tiene por coordenadas

~1 =

~2 =

g¡(x¡ Xz) dX I dx)

A

r _.!...... r _1_

X¡ P(Xh Xz, X3) dx¡ dX2 dx),

m

. e

m

_ e Xl

p(X¡, Xz, XJ) dx¡ dxz dx},

7.5. Una lámina delgada tiene la forma de un conjunto e e RZ acotado. S¡ la densidad puntual de la lámina está dada por la función P(XI' xz), su masa es m =

J

y el momento de inercia 1 respecto de un plano, o de una recta, es

e p(X¡, Xl) dx¡ dX2

puesta la existencia de la integral. El centro de masas de esta lámina es el punto (';10 r.adas son

1=

:-;\1

,;0 € RZ, cuyas coorde-

y su momento de inercia, respecto de un eje e de su plano, es le =

J

e d 2(x¡, Xz) p(X¡, Xz) dXI dX2'

donde d(x¡, Xl) es la distancia de cada punto (X¡, X2) al eje e.

Ejemplo.

Sea

sen Xl' con O
e la región plana entre el eje ~:re.

X¡

y el arco de sinusoide

" su Como es simétrica respecto de la recta X¡ = -2-'

f

d2(x¡, Xz, XJ) P(Xh X2' X3) dx¡ dxz dXJ.

donde, para cada (x¡, Xz, X3) o a la recta, en cuesti6n.

E

e,

d(x¡, XZI Xl) representa su distancia al plano,

8. EJERCICIOS El cálculo de las integrales múltiples se simplifica frecuentemente por medio de un cambio de variables. Las fónnulas de cambio, aunque guardan alguna semejanza con las establecidas para las integrales simples, tienen mayor dificultad. A continuación se da un resumen de las condiciones en las que se puede realizar el cambio de variables, y la fórmula de cálculo. En la integral doble

690

Integrales múltiples

donde f es R-integrable en e, que es R-medible y acotado, se desea pasar de las variables x" _1", a otras u" u, relacionadas con las primer3s por x, =

1', (tII,

11,)

Y

5. -

Calcular la integral

JJ (x~ e

J,

I

f (9, (u" u,), <2 (u, u,»

¡;¡-:¡CI

I ~ t·,) (J

j

previo el cambio a coordenadas polares,

du, du"

al Cuando e b} Cuando e e) Cuando C d) Cuando C

C es el triángulo de vértices (O, O), (O, 2) y (2, 2), C es el triángulo de vértices (O, O), (3, I) y (l, 1). C es el círculo {(x"x,): x~ + x; ~ l}. e es el segmento parabólico limitado por las curvas x. = C es el anillo circular {(x" x,) : 1 ~.r~ + x; 9 J.

<

e)

r x

, f(x" x,) dx,;

•

I: fnxl dx,

b)

x,

o

(x" x,) dxz;

d)

es el círculo {(x" x,): x~ + x; ~ a' l. es el círculo {(x, x,): x~ + x~ a x¡), con a:> O. es el triángulo {(x" x,): O x, 2 --- x" O <::; x, -::.~ 2} es el segmento parabólico {(x" x,): ..- J <::; r, <' 1, x ~

< < <

7.-En cada uno de los casos siguientes, determinar el dominio CcR' ción, y despuéS cambiar el orden de integración:

En cada uno de los casos siguientes, determinar el dominio ción, y después cambiar el orden de integración: dx,

en los siguientes casos

U¡ 112)

a integrales sucesivas en los siguientes casos:

J:

1.

JJ

.re f (x" X,) dx, dx"

a)

b'

e f(x, x,)dx¡ dx,

J

2. -

X2

6. -- Escribir la fórmula de reducción a integrales simples de

1. -- Escribir las fórmulas de reducción de la integral doble

Cuando Cuando e) Cuando d) Cuando e) Cuando

X2

a'

__' +_2_ =

donde ;:'(C) es la imagen inversa de C en las fórmulas de transformación.

al b)

dx, dx,

extendida al dominio limitado por la elipse

Enjonces se tiene ,( J'c f (x, x,) dx, dx, = ._

x~)

-

x, = 0, (u, u,).

Condiciones suficientes para que se pueda realizar el cambio son: a) las funciones lO, y y, son de clase C' y difieren una biyección entre los conjuntos U y X abiertos y acoi) (T, 1',) tados; b) es el determinante jacobiano -t= O para todo punto (u, 11,) E U; Y Ii(I1, u, ) el el conjunto X contiene a la adherencia de C.

I

6'11

Integrales múltiples

["1 (I-X" _¡dX,

r2~dX' • o

•

r

ee

. . . . . J,/2 d. J""",.a f(r, .)dr

a)'

-~rz

o

(a >0).

f

b)

r

n/2

o d,

I dI'

f(r, ,) ,Ir

8. -- Efectuar el cambio de variables x~ y

x, = 1.

en la integral

R' de integra-

(x" x,) dx,;

(O < a < b;

9. -

O<

<

2

(i).

Calcular las siguientes integrales dobles

-,¡r::x" ,enT,

, o

f(x" X,) dx,.

10. -

Calcular la integral

3. - Calcular la integral

J

fe (x, - x,'! sen' (x,

t x,) dx, dx"

sobre el paralelogramo de vértices (ro. O), (1r,2,,-), (2", Ir), (O, rr). sobre el conjunto r'

ll. - Hallar el área de la figura limitada por la elipse

C={(x"x,): h:;:x,<2, O~x" ++X~
(d, x,

12. -

+ b, x, + c,)' + (a, x, + b,x, + e,)' =

1,

donde

Il

=

a, b, -

a, b, oF O.

Hallar el volumen del cuerpo limitado por la gráfica cartesiana de

x,=

sobre un círculo de radio r y centro en el origen de coordenadas. y los planos

Xl

= O y

Xl

= C.

(x~

+ x:>,

,"I"l""

"V~ O

i

(11

Índice alfabético B

A Abierta - bola, 591. Abierto - conjunto, 85, 88, 592, Acotación uniforme, 528. Acumulación - punto, 89, 593. Adherencia, 90, 594. Adherente - punto, 90, 593. Aislado - punto, 90, 593. Análisis local, 379. Ángulo, J 43. Anguloso - punto,4J..6. Aplicación. l. biyectiva, 13. compuesta, 14. exhaustiva, 13. inversa, 14. inyectiva, 13. natural, 12. sobreyectiva, 13. Aproximación de primer orden, 315. - local de orden r, 362, 364. - polinómica, 365. Área, 387. - de un conjunto en R2, 678. - de un intervalo en R 2 , 665. Argumento, 144. Automorfismo en e, 139. Axiomas algébricos, 73. de continuidad, 74. de orden, 74. de la distancia, 590. de la norma, de la recta real, de los cerrados, de R, 73.

r

Biyección, 13. Bola -. abierta,59l. - cerrada, 591. C Cambio de variable - en integral simple, - en integral múltiple, 689. Cardinalidad, 16. Centro de masas. 688. Ceros de una función, 240. Círculo de convergencia, 561. Codominio, 11. Completo - cuerpo ordenado, 40, 41, 58. - espacio métrico, 146. Condición de Cauchy en sucesiones, - en series numéricas, - en la convergcncia uniforme, 52(" )·1') Conjunto, 2. abierto, 85, 88, 592. acotado, 7. cerrado, 91. compacto, 103, 599. complementario. 4. conexo, 238. de llegada, 1 I . de ordenadas, 389. de partida, 11. denso, 260. diadico de Cantor, 92. - medible Jordan, 678. ordenado, 6. vacio, 3. Constantes mecánicas, 687. Contacto de orden r, 362. Contenido nulo, 413. - plato nulo, 668.

694

índice alfabético

Continuidad de una función, 222. - de una función compuesta, 225. - global, 228, 618 .. local, 224, 617. por la derecha, 226. por la izquierda, 226. uniforme, 241, 242. Continuo lineal, 80. Convergencia de sucesiones numéricas, 23. - de funciones, puntual, 518. - de funciones, uniforme, 524. Convexa - función, 371. Coordinación de conjuntos, 16. Cota - inferior, 7. superior. 7, 27. Creciente en un conjunto, función, 252. en un punto, función, 254 322. Criterio ' de la comparación, 160, 500. de convergencia dc Cauchy, 111, 155. de convergencia uniforme, 550. de Abel, 552. de Dirichlet, 553. de Weierstrass, 550. de la raíz, para series, 164. de Stolz, 36. de Weirstrass para integrales, 499. del cociente, para series, 163. integral. para series, 511. Cuerpo - cociente, 56. - ordenado, 25. Curva en el espacio R 3 , 626.

D

Decreciente - en un conjunto, función, 252. - en un punto, función, 254, 322. Derivada. 314. de arco seno, 329. de arco tangente, 330. de coseno, 329. de cotangente, 329. de seno, 329.

Derivada de tangente, 329. de la función compuesta, 321. exponencial,327. logaritmica, 328. potencial, 328. vectorial, 625. del producto, 350. direccional, 643. infinita, 317. n-ésima, 349. parcial, 636. - de orden superior, 651. - segunda, 647. por la derecha, 316. por la izquierda, 316. según un vector, 643. segunda, 349. Desarrollo de Mac-Laurin, 369. en serie de potencias, 572. del coseno y seno, 577. binómico, 578. exponencial, 576. de la función racional, 580. Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 589. Determinante hessiano, 657. Diferencial de funciones de Rn a Rn 629. - linealidad, 633. ' - «regla de la cadena», fi33. Diferencias primeras, 152. Divergencias hacia 00, 30, 154, 494. Distancia, 84, 590. - axiomas, 590. - euclidea, 593. Dominio de una aplicación, 11. de convergencia puntual, 519, 548. E

Ecuación funcional, 267, 275, 279. 282. Equivalencia - clases de, 6. - relación de, 5. Elemento, 2. Encaje de conjuntos, 98. - de intervalos, 596. Entorno, 87, 593. abierto, 87, 593. - centrado, 85.

índice alfabético

Entorno esférico, 591. lineal, 83. lineal de + 00, 106. lineal de - "", 106. reducido, 202. Escala de recurrencia, 582. Escalar, 588. Espacio vectorial R", 588. Extensión. 15. Extremo inferior, 8. - superior, 7. F Finito - conjunto, 17, 18. Forma cuadrática definida negativa, 655. - definida positiva, 655. - indefinida, 654. Fórmula - de cambio de variables, 435. - de integración por partes, 436. - lreLeibnitz, 350. recurrente, 452. - con parámetros, 454. de sumación de Abel, 551. de Taylor, 369. - con n variables, 652. del incremento finito, 338. - generalizada, 352. de valor medio, 338. - de Cauchy, 342. Formulación «E, V)), 25, 26. -

«E, O», 194.

Fracciones simples, 458, 459, 460, 462. Frontera, 595. Función, 12. arco coseno, 306. arco cotangente, 306. arco seno, 306. arco tangente, 306. campo de definición, 12. caracteristicas, 678. circular, 287. compleja, 192. constante, In, 215. cóncava en intervalo, 373. cóncava en punto, 376. coseno, 293.

Función coseno hiperbólico, 284. cotangente, 302. creciente. 252. - estrictamente, 252. cuadrática. 269. de Cauchy, 573. de clase en, 65 L de Dirichlet, 397. de variable compleja, 192. - real, 192. - vectorial, 605. decreciente, 252. - estrictamente, 252. derivada, 339. diferenciable, 630. dominio, de una, 12. elemental, 267. entre Rn y R'". 605. exponencial, 275. gamma, 509, 540. identidad, In, 215. impar, 294. inversa, 325. limite puntual, 519. lineal,267. localmente integrable, 4'1.1 logaritmica, 279. módulo, 193. par, 294. parte entera, 207, 253. periódica, 289. «perfil de cascada», 253. primitiva, 431. polinómica, 192, 215. potencial, 215, 282. R-integrable, 667. racional, 192, 217. -, entera, 193. real, 192. de n variables, 605. reglada, 424. seno, 293. signo, 207. tangente, 302. vectorial de variahle real, hO). (,

(.iro. I IX (;raln ......

fndice alfabético

696 H

Homomorfismo, 142_ lIomotecia, 138,

6')7

índice alfabético

Monotonía de la integral, 404, 671. global, 252. local, 252.

Intervalo --- semiabierto, 82. - semicerrado. 82. Inyección, 13. L

Identidad de Chasles, 403. Iguales de orden r, funciones, 362. Imagen en la aplicación, 12_ inversa, 12. Implicación. 3. Indeterminación casos de, 34, 214. Inlimo,8. Inlinito. 17. Illllcxión en un punto, 377. Inlq~ración

de irracionales

bilineales, 471. , binómicas.476. , cuadráticas, 473. dc racionales, 457. dc transcendentes, 484. de trigonométricas, 477. por cambio de variable, 451. por derivación paramétrica, 485_ por descomposición, 450. por partes, 450. Integraciones sucesivas, 673_ Inlegral, 393,667. absolutamente convergente, 498. convergente, 494. doble, 663, 667. en intervalos no compactos, 492. impropia, 491. de primera especie, 492. de segunda especie. 492. indefinida, 429. múltiple, 661,682. según Riemann, 394,667. Integrales de Wallis, 453. -- inmediatas, 448. Interior, 595. Intersección, 3. Intervalo abierto, 82, 83. -- cerrado, 82.

Laguna, 258. Límite de una función en un punto. 194. de logaritmos, 124. de potencias, 124. en el infinito, 29, 30. indeterminado, 127, 148. inferior de una sucesión. 109. infinito, 29, 30. más infinito, 29. menos infinito, 29. por la derecha, 206. por la izquierda, 206. por sucesiones, 204. relativo a un conjunto, 203, 609. superior de una sucesión, 109. Límites sucesivos, 611. Linealidad de la integral. 404, 671. Logaritmo natural, 122. - neperiano, 122.

M Matriz jacobiana, 640. Máximo, 7. local de una función - -, una variable, 381. - -, varias variables, 655. Mediación de fracciones, 253. Medida de ángulos, 300. Medida nula - conjunto 320,417. Melodo de Cantor de compleción, 45, 46. -- de Hermite, 468. de T6plitz, 34, 35. diagonal de Cantor, 17. Mínimo, 7. local de una función - - una variable, 381. -- - varias variables, 655. Módulo de un complejo, 140. Momento de inercia, 6S1L

N Norma, 589. -- axiomas de la, 590. Notación de Leibnitz, 447. Nula de orden r -- función, 361. Numerable - conjunto, 17, 18, 19, 20. Número algébrico, 7 S. cardinal, 1 7. complejo, 135, 137. complejo conjugado, 139. e, 117. lT, 296. ¡nscendente, 75.

o Orden lineal,7. - total,7. - relación de, 2. Ordenación - lexicográfica, 10,81, 106. - arquimediana, 64, 65. Oscilación de una función en un intervalo, 420. - en un punto, 420.

P Par ordenado, 4. Paramétrica, representación, 626. Para métrico, intervalo, 626. Parte - negativa, 57. - positiva, 57. Partición, 5. -- de un intervalo, 390, 664. Permutación del paso al límite, 532.

Potencia de base b, 123. - base e, 117. - exponente fraccionario, 271. Precede, 81. Preorden, relación de, 7. Primitivas, cálculo, 445. Principio de condensación en series, 165. - de encaje, 99, 596. - de unicidad para series, 5 '12.. Producto cartesiano, 5. - de convolución de series, 180. - de series abs. conv., 185. Promedios sucesivos, limite, 37. Propiedad de separación, 84. de simetría, 85. de valor intermedio, 339. triangular, 85. Propiedades equivalentes, 3_ Proyección, 5. Punto adherente, 90, 593. aislado, 90, 593. anguloso, 316. de acumulación, 89. 59:1. exterior, 595. interior, 85, 595. frontera, 595. R

R-integrabilidad condición, 394,667. Raíz cuadrada, 138. Radio de convergencia, 561. Recorrido de una aplicación, I 2. Recta numérica, 80. - real,80. - real ampliada, 80. Recubrimiento, 101. - abierto, 102,599. Región escalonada, 388. Regla -- de la cadena, 633. - de I'Hopital, 343. Relación, 5. Relaciones de Morgan, 4.

índice alfabético

698 Resto de Cauchy, 368. de Lagrange, 366. de Schliimilch, 368. n-ésimo, 156. Restricción, 15.

s Salto de una función, 208. Semirrecta - abierta, 82. - cerrada, 82. Serie, 152. absolutamente convergente, 174. alternada, 168, 169. convergente, 154,548. de funciones, 546. de potencias, 546, 559. reales, 560. - complejas, 560. - dominio de convergencia, 561. de términos positivos, 158. divergente, 154, 548. exponencial, 289, 291. exponencial imaginaria, 292, 296. incondicionalmente conv., 179. mayorante, 160. . - minoranle, 160. - producto, 184. recurrente, 581. - reordenada, 177 . .- uniformemente conv., 549. continuidad, 556. - derivabilidad, 556. - integrabilidad, 556. Símbolos de Landau, 359. «O» mayúscula, 359. «o» minúscula, 359. Sistemas de entornos, 84. Subconjunto, 2. Subsucesión, 16. Sucesión . acotada, 27. convergente, 23, 26. de complejos, 146. de funciones, 51 7. continuidad, 531. - derivabilidad, 532.

Sucesión de - integrabilidad, 535. finita, 15. fundamental o de Cauchy, 23, 38, 47. fundamental positiva, 50. fundamental negativa, 50. infinita, 16. nula, 48, 52. Sucesiones adyacentes, 111. Suma de series, 179. - inferior, 391,665. - superior, 391, 665. Sumas parciales, 152. Supremo, 7. T

Tangente a un hiperplano, 646. - a un plano, 646. - a una curva, 313. Teorema del Abel en s. de potencias, 565. de Bolzano, 240. de completitud de R, 61. de conservación de compacidad, 236,619. de conservación de conexión, 238. de continuidad de la f, límite, 531, 556 . de diferenciabilidad de la f. límite, 533, 556. de diferenciaciÓn aplic. compuesta, 635. de encaje, 98, 598. de extensión de una f. monótona, 260. de extensión por continuidad, 230. de Reine-Borel, 102, 600. de integración de la f. límite, 535, 556. de la continuidad uniforme, 243, 619. dc las integraciones sucesivas, 675. de Lebesgue para f. integrables, 422. de Mertens para la s. producto, 182. de no-numerabilidad de R, 100. de permutabilidad de limites, 615. de Pringsheim en s. de potencia, 565. de Rolle, 337. de Schwarz par las derv. mixtas, 649. de unicidad de R, 66. de Weierstrass para los máx. y min., 237, 619. del extremo superior, 70. del incremento finito, 338.

6'1'1

índice alfabético Teorema del punto de acumulación, 98, 597. del radio de covergencia, 561. del recubrimiento, 10 1. del valor medio en integrales, 407, 440, 672. , fundamental del A1gebra, 245. fundamental del Cálculo, primero, 430. fundamental del Cálculo, segundo, 433. Término n-ésimo, 152. Tiempo - cinemático, 628. _ intervalo de, 628. Topología, 87. del orden, 87. - inducida, 593.

u Unión, 3.

v Valor _ adherente de una sucesión, l DR. - intermedio, 240. Valoración arquimediana, 141. Valores promedios, 687. Vector, 588. aceleración, 628. - velocidad, 628.