“Analizador de espectros y señal e s en domi n i o de l a frecuencia” Felipe Eduardo Ramírez Ibañez Matías Alejandro Ramírez Neumann Oscar David Torres Osorio Informe 1 Laboratorio de Telecomunicaciones y Protocolos (EIE-449) Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso conformada por Sr. Guillermo Andres Castro Carranza Profesor Guía
Sr. Piero Mauricio Villavicencio Abarca Segundo Revisor
Valparaíso, 04 de septiembre de 2017
Este trabajo se tratará de analizar señales que están dadas en el dominio del tiempo y obtener la serie de Fourier de las señales utilizando Matlab. También en este mismo programa se realizará una simulación de una de las señales para poder ver mediante las herramientas que este presenta como se comporta la señal en el dominio de la frecuencia. Además, se definirá que es el piso de ruido y como este se podrá medir en el laboratorio e igualmente en Simulink se generará una señal con ruido en el tiempo para luego con el Spectrum Scope poder ver cómo se comporta en el dominio de la frecuencia. Por último, se dará a conocer la formula encontrada para determinar la amplitud de un coeficiente de la serie Fourier de una determinada señal a partir de la medición entregada por el AE.
Índice general
Índice general Introducción ......................................................................................................................................................1 Objetivos generales ................................................................................................................................................ 1
1 Desarrollo .......................................................................................................................................................2 Discusión y conclusiones ......................................................................................................................... 16 Bibliografía ..................................................................................................................................................... 17
En electrónica muchas veces se necesita instrumentos para poder obtener mediciones, con las cuales hacer más fácil o más rápido el trabajo para el cual se necesita este dato, es por esto que en las diversas aéreas que se ramifica la electrónica se han creado dispositivos que permiten obtener datos de una manera sencilla y directa con el fin de facilitar el trabajo y ahorrar tiempo. Es por esto que en las telecomunicaciones se han fabricado herramientas que permitan simplificar el trabajo con las ondas, siendo el analizador de espectro uno de los más utilizados. Un analizador de espectros es un equipo que permite visualizar las componentes espectrales de las señales que entran a este dispositivo, el cual tiene una pantalla en cual salen las componentes espectrales graficadas, siendo el eje horizontal las frecuencias de la señal y el eje vertical medida en una escala logarítmica en dBm del contenido espectral. Este dispositivo permite ver fácilmente el ancho de banda una señal y además se puede visualizar distintos tipos de señales como o ndas acústicas, ópticas, eléctricas y señales de baja potencia, como en el caso de la electrónica. Este instrumento de medición es importante a la hora de querer medir señales con las cuales se trabajará. A sí mismo el Analizador de espectros permite obtener las componentes espectrales de la señal en sus respectivas frecuencias y poder realizar un análisis de la señal que se tendrá.
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Entender cómo se trabaja con la serie de Fourier para luego comprender como es el funcionamiento de un analizador de espectros. Ver y definir piso de ruido. Simular el ruido blanco con Simulink y para poder comprender el filtraje de pasabajos en un analizador de espectros.
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La serie Fourier de una función periódica f(t) constituye una representación que descompone a f(t) en una y en una , las cuales abarcan una serie infinita de senoides armónicas, en otras palabras, Fourier descubrió que una función periódica no senoidal puede expresarse como una suma infinita de funciones senoidales. La serie de Fourier se puede ver reflejada en la ecuación 1.1
(1.1.1)
Para poder representar una función mediante la serie de Fourier se deben cumplir ciertas condiciones conocidas como las condiciones de Dirichlet, si bien, no son todas ellas condiciones necesarias, si lo son suficientes para que exista una serie de Fourier convergente. Dadas estas 2
Desarrollo condiciones, la tarea fundamental es determinar sus coeficientes a 0, an , bn. Los cuales están determinados por las siguientes expresiones matemáticas.
(1.1.2)
(1.1.3)
(1.1.4)
Donde representa el período de la función que se desea expresar con la serie de Fourier y es la frecuencia fundamental en radianes, que se representa matemáticamente como 2 dividido el período.
π
Sea la figura 1-1 un tren de pulsos rectangular el que se le a signa un ciclo de trabajo arbitrario
Figura 1-1
Como se puede ver en la figura 1-1 el tren de pulsos es una función Par. Se sabe que las funciones pares satisfacen la siguiente propiedad matemática (Ec. 1.2.1):
−// 2 / 1.2.1 La propiedad de la ecuación 1.2.1, es posible a que al integrar desde -T/2 hasta 0, es lo mismo, que hacerlo desde 0 hasta t/2. Gracias a esta última propiedad los coeficientes de Fourier son los siguientes:
Desarrollo
∫/ ∫/ ∗ cos 0
(1.2.2) (1.2.3)
(1.2.4)
De esta manera con las ecuaciones anteriores se evita hacer trabajo incensario en el proceso de calcular los coeficientes de Fourier. Ahora bien, calculando los coeficientes de Fourier de la figura 1-1
/ / 2 / 2 / 2 2 1 + 0 (| ) 1.2.5
/
Donde es la duración donde la función esta en nivel alto Ahora calculando an se obtiene:
4 / ∗ cos 4 /1 ∗cos + 4 //0 ∗ cos 4 /cos 4 / 2 ∗ 1.2.6 Es así como la serie de Fourier de la figura 1-1 es:
∞ 2 2 + ∑= ∗ ∗ cos 1.2.7
De esta misma forma sabiendo que es el ciclo de trabajo se pueden determinar los primeros 10 términos y su grafica de logaritmo de magnitud del coeficiente v/s su frecuencia de l a serie de Fourier para el 10%, 20% y 50%.
101 + 0,196cos 2 + 0,18cos 4 + 0,17cos 6 + 0,15cos 8 + 0,12cos 10 + 0,1cos 12 + 0,07cos 14 +0,046cos 16 + 0,0218cos 18 + 0
Desarrollo
15 + 0,37cos 2 + 0,3 cos 4 + 0,2 cos 6 +0,009cos 8 + 0 0,06cos 12 0,08cos 14 0,07cos 16 0,04cos 18 + 0
12 + 0,63cos 2 + 0 0,212cos 6 + 0+ 0,127cos 10 + 0 0,09cos 14 + 0,046 + 0 + 0,007cos 18 +0 Determine y explique la relación entre la razón τ/T y la periodicidad con la que aparecen los nulos del espectro.
Desarrollo
τ/T es el denominado ciclo de trabajo y es cuánto tiem
La razón po se va a mantener la función en ciclos altos, esto afecta en el espectro, ya que si el ciclo de trabajo es 1/10(10%) van aparecer magnitudes nulas cada 10 términos de la serie de Fourier, mientras que si es un 1/2 aparecen alternadamente, por lo tanto, según sea el porcentaje n%(de 10 en 10) van aparecer nulos en el espectro cada n términos naturales.
Sea la figura 1-2 una señal triangular de pulsos, considerando en este caso a A como la amplitud igual a 1
Figura 1-2
Como se puede apreciar la figura 1-2 es par al igual que el tren de pulsos, por lo tanto, se usarán las ecuaciones 1.2.2,1.2.3 y 1.2.4 para determinar sus (En el cálculo de los coeficientes de Fourier se han saltaron una serie de pasos, debido al extenso desarrollo que posee el calculo de estos coeficientes para la señal triangular, entre ellos se saltaron, la integración por partes y una serie de suma y multiplicaciones de términos algebraicos).
/ / 4 / 4 2 2 2 2 2 + 1 + 1 2 + 2 01.3.1
4 / ∗ cos 4 / 4 ∗ cos + 4 /1cos 2 ∗ sin 4cos + 4 4 1 cos 8 {0 1.3.2 0 1.3.3
Desarrollo Es así como la serie de Fourier de la figura 1-2 es:
∞ 8 2 =,∑,, ∗ cos 1.2.7 Así los primeros 10 términos y su grafica de logaritmo de magnitud del coeficiente v/s su frecuencia de la serie de Fourier para la señal triangular son
0+ 0,81cos 2 + 0 0,09cos 6 + 0+ 0,03cos 10 + 0 0,016cos 14 + 0,046 + 0 + 0,01cos 18 + 0
Desarrollo El tren de pulsos de 50% se ve de las siguientes formas en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Con el resultado de Analizador de espectro se puede ver como la teoría es correcta, ya que los armónicos se presentan , donde k son números enteros del 1 al infinito.
1 + 2
Desarrollo
El tren de pulsos de 20% se ve de las siguientes formas en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Con el resultado de Analizador de espectro se puede ver como la teoría es correcta, dado que los armónicos se presentan en múltiplos de la frecuencia del pulso, pero todos l os armónicos que sean múltiplos de 5, tiene valor 0.
Desarrollo
El tren de pulsos de 10% se ve de las siguientes formas en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Desarrollo Con el resultado de Analizador de espectro se puede ver como la teoría es correcta, dado que la componente 10, 20, 30, y cualquier múltiplo de 10 de la frecuencia del pulso, esa armónico tendrá valor 0.
Además se puede observar como a medidas que disminuye el porcentaje de trabajo, la componente en la frecuencia 0Hz disminuye, esto se debe a que el valor medio de la función disminuye .
Piso de ruido: es una medida de señal que se obtiene mediante de la suma de to das las fuentes de ruido y también las señales no deseadas dentro de un sistema de medición, es decir, es el ruido que se encuentra en un instrumento o objeto de medición cuando no se está midiendo nada. Para poder medir correctamente una señal con el aparato esta debe ser mayor que el piso de ruido que presenta el instrumento. En conclusión el piso de ruido determinara la señal más pequeña que podrá medir el analizador de espectros. Para poder medir el piso de ruido que se genera dentro del analizador de espectro primero se debe tener el aparato frio, es decir, que no presente una temperatura elevada para no agregar ruido térmico. Luego se conecta una resistencia de 50 AE y se mide en la frecuencia de interés mostrando la figura de ruido en la pantalla del analizador de espectro.
Ω a la entrada del
Desarrollo La influencia de en la medición del ancho de banda de FI es que al tener un ancho no muy grande se podrá obtener mejor inmunidad al ruido, es decir, es requerido que el ancho de banda de FI sea lo más pequeño posible.
Desarrollo
Desarrollo El ruido gaussiano (ruido blanco) en el tiempo y la frecuencia posee esta forma.
Como se puede apreciar en la Fig. 4-3 se tiene la señal del ruido, para poder disminuir el ruido que se medirá con el AE o en este caso el ruido que se está viendo en el spectrum scope se tiene que variar el valor de RBW, esto se hace para poder obtener promedios entre frecuencias que no son tan cercanas entre sí, es decir, tendremos menos promedios con lo cual se podrá disminuir el ruido mostrado por el analizador de espectros en Simulink. A continuación, se muestra en la Fig. 4-4 y Fig. 4-5con valores de RBW 4 kHz y 5 kHz respectivamente.
Desarrollo
Como se puede apreciar por las Fig. 4-4 y Fig. 4-5 al ir subiendo el valor de RBW el ruido fue disminuyendo por lo mencionado anteriormente.
La magnitud que entrega el AE, es en dBm y calculada con la potencia.
10 ∗ logmagnitud magni ttudud enen dBm dBmAE m agni logmagnitud 10 magnitud 10 (se eleva todo a 10)
Luego esta magnitud está dada en potencia, por lo cual hay que transformar a voltaje para tener la real amplitud. Como se sabe que
; despejando V se obtendrá.
√ ∙ √ 10 ∙ 1000000
Donde R es la impedancia de entrada del AE. Esta tiene valor 1M , reemplazando el valor de R.
Desarrollo Con esta fórmula se podrá determinar la amplitud del coeficiente de la serie de Fourier de tensión a partir de la medición de AE.
Finalmente con las preguntas antes realizadas se logra destacar como se pasa de una señal en el dominio del tiempo a una en el dominio de la frecuencia, y con esto se puede tener una idea de cómo se verán las señales cuando entren al AE(analizador de espectros), también se analizó cómo varía la componente de frecuencia 0(en el dominio de la frecuencia) cuando se disminuye el porcentaje de trabajo. Se caracterizó el ruido blanco con la función de ruido gaussiano, esto permite tener una idea de cómo será el ruido blanco (una señal aleatoria estocástica que posee su potencia de densidad espectral constante (PSD Power spectral density), es decir su gráfica es plana. Además se logró aprender como simular ciertas funciones y visualizar de forma computacional las señales; y con esto tener una idea aún más clara de lo que se pretende realizar en la experiencia Con todo lo mencionado anteriormente se espera tener un mejor desempeño en la experiencia que se realizará
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[1] C. K. Alexander y M. Sadiku, Circuits, Fundamentals of Electric, McGraw-Hill College, 2003.
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Script en Matlab para la señal triangular de 10[kHz]
Script en Matlab para el Tren de pulsos
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