Técnico en Gestión de Recursos Naturales Centro Universitario de Rivera Física General – 2008 Práctico 2 Vectores y Escalares. Componentes de un vector. Suma, resta y multiplicación de vectores 1) Si una componente de un vector no es cero, ¿su magnitud puede ser cero? Explique. Resolución Para que un vector sea cero todas sus componentes deben ser cero. Por lo tanto si alguna de las componentes de un vector no es cero el vector nunca podrá ser cero. 2) El vector A se localiza en el plano xy. ¿En qué orientaciones de A sus compon component entes es serán serán negati negativas vas? ? ¿En ¿En que orient orientaci acione ones s sus compon component entes es tendrán signos opuestos? Resolución
En el caso del vector A sus componentes A x y Ay son negativas. En el caso del vector B la componente B x es negativa y la componente B y es positiva. En el caso del vector C la componente Cx es positiva y la componente C y es negativa.
1
3) Las coordenadas polares de un punto son r = 5.50 m y θ = 240º. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto? Resolución
En coordenadas cartesianas, las componentes del vector serán A x y Ay según se muestran en la figura. θ = 240º
⇒ α = 60º
por lo tanto: A x
= r cos α = r cos 60º = 2.75 m
A y
=
r sin α
=
r sin 60º = 4.76 m
(Ax = 2.75 m, Ay = 4.76 m) 4) Si las coordenadas polares de un punto (x, y) son (r,θ) determine las coordenadas polares para los puntos: a) ( – x, y ) b) ( – 2x, – 2y ) c) ( 3x, – 3y ) Resolución Para el punto P (x, y) tenemos: r =
x2
tgθ =
+y
2
y ⇒ θ = arctg x x y
a) punto P2 = (-x, y)
r 2
= ( − x ) 2 + y 2 = r
tgθ 2
=
y −x
x ⇒ θ 2 = arctg − = 90 º + θ y (ver figura)
b)
punto P3 = (-2x, -2y)
2
r 3
tg θ 3
c) r 4
(
= ( − 2x ) 2 + ( − 2 y ) 2 =
= − 2x = x ⇒ − 2y y
4 x2
+ y2 ) = 2
x2
= 180 º + θ
θ3
+ y 2 = 2 r (ver figura)
punto P4 = (3x, -3y)
= ( 3x ) 2 + ( − 3 y ) 2 =
tgθ 4
=
3x − 3y
=−
x y
(
+ y2 ) = 3
θ4
x = arctg − = 360 º − θ y
9 x2
⇒
x2
+ y 2 = 3 r (ver figura)
Por lo tanto: P2 = (r, 90 9 0º + θ)
P3 = (2r, (2r, 180º + θ)
P4 = (3r, (3r, 360 – θ)
5) Un avión vuela 200 Km directo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad B y después 300 Km en la dirección 30º al norte del oeste desde la ciudad B hasta la ciudad C. a) En líne línea a rec recta ta,, ¿a ¿a qué qué dist distan anci cia a est está á la la ciu ciuda dad d C de la ciud ciudad ad A? b) Resp Respec ecto to de la ciud ciudad ad A, ¿en ¿en qué qué dire direcc cció ión n est está á la la ciud ciudad ad C? Resolución
a)
A partir de la figura tenemos que que α = 150º
Aplicando teorema del coseno: coseno:
R2
=
( AB) 2
+
(BC )2
−
)(BC ) cos α 2( AB )(
=
3
=
R2
=
100000 Km2
200
2
+
300
2
−
2
200 x 300 x cos60º Km
R = 316.2 Km
⇒
Por lo tanto la distancia de la ciudad A a la ciudad C es: R = 316.2 Km b)
El ángulo entre entre el eje x y la dirección AC estará dado por: θR = 90º + β
Aplicando teorema del seno: seno: sin α R sinβ
θR
= =
sin β
(BC) 0.474
⇒ ⇒
sinβ = β
=
(BC) R
sin α =
300 316.2
sin150º = 0.474
28.32º
= 90º + β = 90º +28.32º = 118.32º
La dirección de la ciudad C respecto a la ciudad A está dada por 118.32º. 6) Las componentes x, y, z de un vector B son de 4.0, 6.0 y 3.0 unidades respectivamente. Calcule la magnitud de B y los ángulos que forma B con los ejes coordenados.
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Resolución
Magnitud de B:
B
B2 x
=
+
B2 y
+
B2 z
42
=
+
62
+
32
61 = 7.81
=
Aplicando trigonometría: cos γ = δ
=
90º
−
γ
cos α
Bx
4.0 =
0P
cos β =
B
By 0P
=
0.5547
⇒
=
3.0 7.81
= 0.384 ⇒
γ = 67.41º
⇒ 0P = B cos δ = 7.81 x cos( 22.59º ) = 7.21
90º −67.41º = 22.59º
=
=
Bz
α
=
56.3º
7.21
=
6 .0 = 0.8322 7.21
⇒ α = 33.7º
Por lo tanto: B = 7.81, 7.81, α = 56.3º, 56.3º, β =33.7º, =33.7º, γ = 67.4º 7) Considere dos vectores: A =3 ˆi −2 jˆ y B Calcule: a) A + B b) A − B A B c) A − B d) e) las direcciones de A + B y A − B Resolución
ˆi
4 jˆ .
=− −
+
a)
A +B
=
3ˆi − 2 jˆ
A
=
2ˆi −6 jˆ
B
+
+ −
ˆi − 4 jˆ
=
( 3 −1) ˆi + ( − 2 − 4 ) jˆ = 2ˆi − 6 jˆ
5
b)
A −B = 3ˆi − 2 jˆ A
−
B
c)
A
+
d)
A
−
=
− −
ˆi − 4 jˆ
=
( 3 +1) ˆi + ( − 2 + 4 ) jˆ = 4ˆi + 2 jˆ
4ˆi +2 jˆ
B
=
22
B
=
42
62
+
22
+
=
=
40
20
6.32
=
=
4.47
A
A
B
+
−B
=
6.32
=4.47
e) tgθ =
( A + B) y − 6 = = −3 2 ( A + B) x
θ = −71.6º = 288.4º
tgθ =
( A − B ) y 2 = = 0.5 ( A − B ) x 4
θ = 26.6 º
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8) Obtenga expresiones en términos de componentes para los vectores de posición con coordenadas polares: a) 12.8 m, 150º b) 3.30 m, 60.0º Resolución
a)
β
b)
=
180º −θ
=
180º −150º = 30º
r x
= − r cos β = −12.8 x cos30º = 11.09 m
r y
=
r x
= − r cos β = 3.30 x cos60º = 1.65 m
r y
= r sin β = 3.30
r sin β
=
12.8 x sin30º = 6.4 m
x sin60
= 2.86
m
9) Dos vectores vectores A y B tiene tienen n igual igual magnit magnitud. ud. Sus direcc direccion iones es las describen sus ángulos a partir del eje x: θ A y θB a) demostrar rar qu que la la di dirección de de la la su suma S = A + B respecto al eje x es: θS
=
( θ A + θB ) 2
b) ¿cuál es la magnitud de S ? c) ¿cuá ¿cuále les s son son la magn magnit itud ud y dir direc ecci ción ón de la dife difere renc ncia ia D = A − B Resolución
7
a) sabemos que los módulos de A y B son iguales. ángulo entre S y A
⇒
θs
⇒
b)
como
A
=
B
2( θb
:
−
θa )
+
2α
=
360º
⇒
=
θs
=
θa
+
θa
+
θb
=
θb
−
θa
2 −
θa
2
θb
2
α
= 180º −
( θb − θ a )
aplicando teorema del coseno: S 2 = A 2 = A
2
+B
+ B 2 − 2 AB cos α = A 2 + B 2 − 2 AB cos(180º −( θb − θ a ) ) 2
⇒
−
2 AB cos( − ( θ b
S
=
A 2
− θa
) ) = A 2 + B 2 + 2 AB cos( θb − θ a )
+ B 2 + 2 AB cos ( θ b − θ a )
c) θd
θd
α +
+
2
θb
=
= 180 º −
= 180º −
θb
180 º
θb
−
−
α 2
(180º−( θb − θa ) )
⇒ θ d = 90º −
2
( θ a + θb ) 2
aplicando teorema del coseno: D2
⇒
= A 2 + B 2 − 2 AB cos( θb − θ a ) D = A
2
+
B
2
−
2 AB cos( θb
−
θa )
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10) Las instrucciones para descubrir un tesoro enterrado son las siguientes: ir 75 m a 240º, girar hasta 135º y caminar 125 m, después caminar 100 m a 160º. Los ángulos están medidos en sentido antihorario respecto al eje x. Determine el desplazamiento resultante desde el punto de partida. Resolución
Determinamos las componentes de cada vector: A x
= A cos θ A =
A y
=
A sin θ A
=
75 x cos 240 º =
−37.5
m
75 x sin 240º = −64.9 m
Bx
= B cos θB = 125 x cos135º = −88.4 m
By
=
Cx
= C cos θ C = 100 x cos160 = −93.9 m
Cy
=
B sinθB
C sinθC
=
=
125 x sin135º = 88.4 m
100 x sin160 160
=
34.2 m
Desplazamiento resultante: S = A + B + C S = ( A x
( y + B y + C y ) jˆ + B x + C x ) ˆi + A
S = ( −37.5 − 88.4 − 93.9) ˆi + ( − 64.9 + 88.4 + 34.2) jˆ S
=
(−219.8 ) 2
+
(57.7 )2
=
219.8 ˆi + 57.7 jˆ
=−
227.2 m
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