UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PRACTICO No. 1 TEST DE HIPOTESIS Materia: ESTADISTICA MATEMATICA Docente: MSc. Ing. Luis Herman Hinojosa Saavedra 1. Para cada una de las siguientes hipótesis discutir si el error Tipo I o el error Tipo II será más serio. Justificar la respuesta. a) Ho : La pistola está cargada H1 : La pistola no está cargada b) Ho : El perro muerde H1 : El perro no muerde c) Ho : La farmacia está abierta H1 : La farmacia no está abierta d) Ho : La serpiente es venenosa H1 : La serpiente no es venenosa e) Ho : Es seguro cruzar la calle H1 : No es seguro cruzar la calle PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL 2. En un cultivo se viene trabajando a nivel comercial con una variedad cuyo rendimiento promedio es de 4 ton/ha y el desvío estándar es de 0.5 ton/ha. Mediante un proceso de selección, o sea de mejoramiento genético, los fitotecnistas “mejoran” la variedad buscando aumentar el rendimiento de la misma. Para decidir si la variedad mejoró el rendimiento se plantaron 45 parcelas, a la cosecha el rendimiento promedio que se obtuvo fue de 4.3 ton/ha. 3. Una compañía productora de cigarrillos sostiene que una marca que ellos producen tiene un contenido promedio de nicotina menor a 0.7 miligramos por cigarrillo. Para realizar la prueba se determinó el contenido de nicotina de 30 cigarrillos. Con esta muestra se obtuvo una media de 0.6920 y un desvío estándar de 0.0653. Es cierto lo que afirma la compañía. (α = 0,03)
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 4. El gerente de una empresa que realiza trabajos de mantenimiento para otras empresas habitualmente, trata de establecer una cantidad fija a pagar a cada empleado en concepto de manutención (comidas) los días que deban desplazarse a otras empresas. El gerente cree que esa cantidad debe ser de 2.500 pesetas por día, cantidad que estima es el gasto medio en comida por empleado. De los datos contables de años anteriores sabe que la desviación típica de las facturas individuales presentadas por este concepto por los trabajadores es de 800 pesetas. Para contrastar su suposición toma una muestra de 100 facturas de comida presentadas por los empleados el último mes, obteniendo una media de 2.380 pesetas por factura. ¿Es cierta la suposición del gerente? 5. Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones: 11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8, 23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15. A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo? 6. Los alumnos de preescolar de una zona urbana tienen una estatura que es una variable aleatoria de media desconocida y desviación típica de 16 cm. Si seleccionamos una muestra aleatoria de 100 de tales alumnos y obtenemos una estatura media de 95 cm. a) ¿Se puede afirmar que la estatura media de los alumnos es menor de 95 cm? (Use α = 0,01? b) ¿Se puede afirmar que la estatura media de los alumnos es mayor de 100 cm? (Use α = 0,05? 7. Una de las entradas a cierta ciudad sufría constantemente retenciones de tráfico, de forma que el tiempo de espera en la cola formada por el semáforo allí instalado seguía una distribución normal de media 10 minutos y desviación típica de 4 minutos. Con el fin de descongestionar ese punto y bajar la media de tiempo de espera, se habilitó una vía de acceso auxiliar. Transcurrida una semana se hizo un estudio sobre 36 vehículos y se obtuvo que el tiempo medio de espera en el citado semáforo fue de 8,5 minutos. Las autoridades municipales mostraron su satisfacción y dijeron que la medida había funcionado, pero la opinión pública, sin embargo, defiende que la situación sigue igual. Suponiendo que la desviación típica se ha mantenido: a) Plantee un test para contrastar la hipótesis defendida por la opinión pública frente a la de los responsables municipales. Si se concluye que la media de tiempo de espera bajó y realmente no lo hizo, ¿Cómo se llama el error cometido? b) ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5 %? c) ¿A que conclusión se llega con un nivel de significación del 1 %?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 8. Cuando un proceso de producción funciona correctamente produce frascos de champú con un peso promedio de 200 gr. Una muestra aleatoria de 32 una remesa presentó los siguientes pesos: 214; 197; 197; 206; 208; 201; 197; 203; 209; 210; 220; 195; 201; 200; 106; 198; 211; 209; 204; 202; 211; 214; 220; 190; 195; 197; 191; 213; 218; 216; 198; 202; Asumiendo que la distribución de los datos es normal, pruebe con un nivel de confianza del 95% si el proceso está funcionando correctamente. 9. La altura en centímetros de las cañas producidas por una variedad de carrizo en cada cosecha es una variable aleatoria que sigue una ley normal con desviación típica de 16 cm. Para contrastar si la altura media de las cañas de la última cosecha es de 170 cm, se ha tomado una muestra aleatoria de 64 de estas cañas y se han medido sus longitudes, resultando como media muestral 166 cm. ¿Son suficientes estos datos para rechazar que la altura media de las cañas de la última cosecha es de 170 cm, a un nivel de significación del 5 %? 10. Los estudiantes universitarios de cierto país dedican al estudio un número de horas semanales que sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica de 7 horas. Si en una muestra de 200 estudiantes se obtuvo una media muestral de 30 horas de estudio semanal. a) Halle un intervalo de confianza al 95 % para el número de horas de estudios semanales de los estudiantes universitarios de dicho país. b) ¿Se podría afirmar que los estudiantes universitarios de ese país estudian menos de 35 horas semanales? (Usar α = 0,01) Muestras pequeñas 11. El calcio se presenta normalmente en la sangre de los mamíferos en concentraciones de alrededor de 6 mg por cada 100 ml del total de sangre. La desviación típica normal de ésta variable es 1 mg de calcio por cada 100 ml del volumen total de sangre. Una variabilidad mayor a ésta puede ocasionar graves trastornos en la coagulación de la sangre. Una serie de nueve pruebas sobre un paciente revelaron una media muestral de 6,2 mg de calcio por 100 ml del volumen total de sangre, y una desviación típica muestral de 2 mg de calcio por cada 100 ml de sangre. ¿Hay alguna evidencia, para un nivel α = 0,05, de que el nivel medio de calcio para este paciente sea más alto del normal?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 12. Se sabe que la longitud en cms de una determinada especie de coleópteros sigue una distribución normal de varianza 0,25 cm2. Capturados 6 ejemplares de dicha especie, sus longitudes (en cm) fueron: 2,75 1,72 2,91 2,60 2,64 3,34 ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la población tiene una longitud media de 2,656 cm? (Usar α = 0,05) 13. Para conocer la produccion media de sus olivos, un olivarero escoge, al azar 10 de ellos, pesa su produccion de aceitunas y obtiene los siguientes valores, expresados en kg: 175, 180, 210,215, 186, 213, 190, 213, 190, 213, 184, 195. Sabemos que la produccion sigue una distribucion normal con desviacion igual a 15,3 kg. Con la informacion obtenida, ¿Se puede asegurar que la produccion media de un olivo de ese agricultor es menor de 200 kg? ((Usar α = 0,05) 14. El número de accidentes mortales en una ciudad es, en promedio, de 12 mensuales. Tras una campaña de señalización y adecentamiento de las vías urbanas se contabilizaron en 6 meses sucesivos 8, 11, 9, 7, 10, 9 accidentes mortales. ¿Fue efectiva la campaña? 15. El consumo de cierto producto sigue una distribución normal con varianza 300. A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a 180. a) Halle un intervalo de confianza al 95% para la media del consumo b) ¿Se podría afirmar que el consumo medio de este producto no llega a 200? (Usar α = 0,05) 16. El peso medio de mujeres de 30 a 40 años es de 53 kg. Un estudio realizado en 16 mujeres de tales edades que siguen una dieta vegetariana da y . ¿Modifica la dieta el peso medio? 17. Un comerciante ha observado durante un largo periodo de tiempo que sus beneficios semanales se distribuyen según una ley normal con una media de 5000 euros y una desviación típica de 520 euros. A finales del año pasado se abrió un supermercado frente a su comercio y el cree que su beneficio semanal medio ha disminuido desde entonces. Para contrastar esta suposición, ha tomado una muestra aleatoria de 16 semanas del año actual y ha encontrado que el beneficio semanal medio de esa muestra es de 4700 euros. ¿Puede afirmarse, a un nivel de significación Usar α = 0,01, que estos datos avalan la creencia del comerciante?
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18. Los depósitos mensuales, en euros, de una entidad bancaria, siguen una distribución normal de media y desviación típica de 5,1 euros. Con el fin de contrastar si la media de los depósitos mensuales es 20 euros, se toma una muestra de tamaño 16, resultando ser la media muestral de 22,4 euros. ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la media es 20 a un nivel de significación del 5 %? 19. Una empresa de teléfonos asegura que por termino medio realiza una instalación estándar en una casa en menos de 15 días con una desviación de dos días. Se seleccionan un total de 20 instalaciones realizadas por dicha empresa, resultando un tiempo medio de 14,2 días. Contrastar con un nivel de significación de 0,05 que el tiempo medio de cada instalación es inferior a los 15 días. 20. Una maquina de envasado automático llena en cada saco una cierta cantidad de determinado producto. Se seleccionan 20 sacos, se pesa su contenido y se obtienen los siguientes resultados (en kilos): 49, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 51, 52, 48, 50, 51, 51, 51 A partir de esta información y suponiendo que la variable, peso de cada saco, se distribuye normalmente con desviación típica de 1 kg: a) ¿Se puede admitir que el peso medio de los sacos que llena la maquina es de aproximadamente 51 kg? (Usar α = 0,01) b) ¿Se puede admitir que el peso medio de los sacos que llena la maquina es menor de 50 kg? (Usar α = 0,05) 21. El peso en vacío de los envases fabricados por una empresa, según su método usual, es una variable aleatoria que sigue una ley normal con media 20 gramos y una desviación típica de 1 gramo. Para ello, se eligen al azar 25 envases fabricados por la nueva técnica y se encuentra que la media de su peso en vacío es de 20,5 gramos. ¿Se puede afirmar, a un nivel de significación de Usar α = 0,02, que el nuevo proceso ha aumentado el peso medio de los envases?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Contraste de hipótesis para la Diferencia de Medias Poblaciones, muestras independientes y grandes. 22. Dos tipos diferentes de aleación, A y B, se han utilizado para fabricar especimenes experimentales de un pequeño eslabón de tensión, empleado en cierta aplicación de ingeniería. Se determino la resistencia máxima en (ksi) de cada espécimen y los resultados se resumen en la siguiente tabla de distribución de frecuencia.
A B 6 4 12 9 15 19 7 10 40 42 Se puede concluir que ambos métodos tienen la misma resistencia en ksi 26 – 30 30 – 34 34 – 38 38 – 42
23. Se conocen los datos de dos muestras de dos poblaciones, que son los siguientes: X1 = 74
X2 = 78
n = 42 n = 56 Se pide contrastar estadísticamente si hay diferencia entre las dos poblaciones, a un nivel de significación del 0.05.
24. Se desea comparar la actividad motora espontánea de un grupo de 35 ratas control y otro de 36 ratas desnutridas. Se midió el número de veces que pasaban delante de una célula fotoeléctrica durante 24 horas. Los datos obtenidos fueron los siguientes: Ratas de control
n1=35
Ratas desnutridas n2=36 ¿Se observan diferencias significativas entre el grupo control y el grupo desnutrido?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Prueba de Hipótesis sobre la varianza 25. Suponga que un fabricante de pernos está produciendo pernos de 8 mm de diámetro, y que los diámetros de estas piezas se distribuyen normalmente; con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25 pernos de una línea de producción para estimar la varianza de todos los diámetros, la cual resultó ser S 2 = 0.009 mm2. Con un nivel de significancia de 0.05. ¿Se puede concluir que la varianza poblacional es igual o menor 0.01 mm2? 26. El encargado de personal de una joyería sospecha que el peso de los torques de oro que fábrica un determinado trabajador fluctúa más de lo aconsejable, que corresponde a una desviación típica de 0,9 gramos. Para contrastar sus sospechas, observa 10 días elegidos al azar a dicho trabajador, obteniendo los siguientes pesos: 10,1 9,4 8,2 11,5 10,2 9,8 11,1 10,4 9,8 y 10,2. ¿Tiene apoyo la sospecha del encargado con un nivel de significación de 0,05? 27. Se supone que los diámetros de cierta marca de válvulas están distribuidos normalmente con una varianza poblacional de 0,2 pulgadas 2, pero se cree que últimamente ha aumentado. Se toma una muestra aleatoria de válvulas a las que se les mide su diámetro, obteniéndose los siguientes resultados en pulgadas: 5,5 5,4 5,4 5,6 5,8 5,4 5,5 5,4 5,6 5,7 Con ésta información pruebe si lo que se cree es cierto. 28. Las puntuaciones en un test de razonamiento abstracto siguen una distribución Normal de media 35 y varianza 60. Para evaluar un programa de mejora de las capacidades intelectuales, a 101 individuos que están realizando este programa se les pasa el test, obteniéndose una media de 50 puntos y una varianza de 80 ¿Puede asegurarse, a un nivel de confianza del 90%, que el programa incrementa las diferencias individuales en esta variable? 29.- Averiguar si la variabilidad de edades en una comunidad local es la misma, menor o mayor que la de todo el Estado. La desviación estándar de las edades del Estado, conocida por un estudio reciente es de 12 años. Tomamos una muestra aleatoria de 25 personas de la comunidad y determinamos sus edades. Se toma la muestra y resulta una desviación estándar muestral de 15
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA RAZON DE VARIANZAS 30. Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas en dos diferentes maquinas de extrusión. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaño n1 = 15 y n2 = 18; las medias y las varianzas muestras son X1 = 8,73; S12 = 0,35; son X2 = 8,68; S22 = 0,40, respectivamente. Parece razonable concluir que las dos varianzas son iguales? 31. Dos fuentes de materias primas están siendo consideradas. Ambas fuentes parecen tener características similares, pero no se está seguro de su homogeneidad. Una muestra de 10 grupos de la fuente A produce una varianza de 250 y una muestra de 11 grupos de la fuente B produce una varianza de 195. Con base en ésta información se puede concluir que la varianza de la fuente A es significativamente mayor que la de la fuente B?. Asuma un nivel de confianza del 99 por ciento. 32.- Averiguar si la variabilidad del salario por hora es la misma en dos sucursales, o si la variabilidad de la sucursal 1 es mayor que la de la sucursal 2. La comparación de la variabilidad de las dos sucursales constituye el primer paso en un estudio detallado sobre ingresos. Se toman muestras aleatorias de los salarios por hora en cada sucursal para determinar las varianzas muestrales y elegimos un nivel de significancia de 0,05. Los resultados de la muestra son: S1 = $3,79 n1 = 21 (Sucursal 1) S2 = $2,48 n2 = 25 (Sucursal 2) 33.- ¿Son iguales las varianzas de dos poblaciones de edades de los artículos en inventario, o la población 2 tiene una mayor varianza? Se toman muestras aleatorias de cada población de inventario y se calculan las desviaciones muestrales. La prueba ha de llevarse a cabo con un nivel de significancia de 0,01. Los resultados de la muestra son: S1 = 4,89 n1 = 50 (inventario 1) S2 = 4,37 n2 = 53 (inventario 2)
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS, PEQUEÑAS
MUESTRAS
34.- Un diseñador quiere reducir el tiempo de secado de una pintura. Se prueban dos fórmulas de pintura. La fórmula 1 es la normal y la fórmula 2 posee un ingrediente secante que se espera reduzca el tiempo de secado. Se sabe que el tiempo de secado tiene una desviación estándar de 8 min y que ésta no se afecta con la adición del nuevo ingrediente. Se pintan 10 especímenes con la fórmula 1, y 10 con la fórmula 2, obteniéndose tiempos promedio de secado de x1=121 min, y x2=112 min. respectivamente. ¿A qué conclusión se llega sobre la eficacia del nuevo ingrediente utilizando a=0,05? 35. Las notas obtenidas en Análisis de Datos de 5 individuos elegidos al azar del grupo T1 y de 6 individuos, elegidos también al azar, del grupo T2 son las siguientes: T1 T2
10 4
6 8
4 6
4 6
5 2
3
¿Puede concluirse a un nivel de confianza del 95% que las puntuaciones medias de ambos grupos son iguales? o por el contrario que hay diferencia entre ambas. 36.- En una prueba general realizada por todo el alumnado de un nivel de enseñanza se han detectado diferencias que parecen significativas entre dos grupos, uno diurno y otro nocturno. El primero, de 67 alumnos y alumnas, ha obtenido una media en la calificación de 5,23, con una desviación típica de 1,78. En el otro, compuesto de 58 pruebas realizadas, la media ha sido de 4,78 y la desviación típica de 1,60. No se tiene información sobre las características de la población, ni de sus parámetros. ¿Puede ser significativa la diferencia de rendimiento entre los dos turnos, al 95% de nivel de confianza? 37.- Muchos autores afirman que los pacientes con depresión tienen una función cortical por debajo de lo normal debido a un riego sanguíneo cerebral por debajo de lo normal. A dos muestras de individuos, unos con depresión y otros normales, se les midió un índice que indica el flujo sanguíneo en la materia gris (dado en mg/(100g/min) obteniéndose: Depresivos Normales
n1 = 19 n2 = 22
X = 47 X = 53,8
S1 = 7,8 S2 = 6,1
¿Hay evidencia significativa a favor de la afirmación de los autores?
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38.- Una cadena de grandes almacenes está considerando la decisión de adquirir nuevas máquinas etiquetadoras. Para comprobar si las nuevas máquinas mejoran significativamente la eficiencia de los trabajadores, selecciona aleatoriamente dos grupos de 9 empleados para controlar el número de etiquetas colocadas en períodos de 5 minutos. En un grupo se utilizan las nuevas máquinas, tras un período de adaptación y en el otro las más antiguas. Los resultados obtenidos son los siguientes. G1 antigua 305 312 300 248 290 264 272 301 G2 nueva 303 301 310 303 309 296 315 282 272
275
Suponiendo que el número de etiquetas colocadas cada 5 minutos sigue una distribución normal, comprobar si, como se piensa, la variabilidad de ambos tipos de Máquinas es similar y, a continuación, compruebe si las nuevas máquinas mejoran significativamente la eficiencia de los empleados. Considérese un nivel de significación del 10%. 39.- Los niveles de audiencia por capítulo de dos series de televisión se distribuyen normalmente con desviaciones típicas 100.000 y 210.000 espectadores respectivamente. Un estudio de medios afirma que ambas series tienen igual nivel de audiencia. Las audiencias, en millones de espectadores, de ocho capítulos seleccionados al azar para cada una de las series fueron los siguientes: Serie A 2.15 2.61 2.11 2.26 2.01 2.31 2.51 2.80 Serie B 2.24 2.53 2.35 2.22 2.21 2.22 2.21 2.01 ¿Se podría admitir que ambos niveles de audiencia son iguales considerando un nivel de significación del 5%? 40.- Existen dos tipos de plásticos apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de este plástico es un parámetro importante. De una muestra aleatoria de tamaño n1 = 10 y n2 = 12, se tiene que X 1 = 162,5 Y X2 = 155,0. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de este exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Con base a la información contenida en la muestra. ¿La compañía deberá utilizar el plástico 1?. Utilice α = 0,05, para llegar a una decisión. 41.- En la fabricación de semiconductores, a menudo se utiliza una sustancia química para quitar el silicio de la parte trasera de las obleas antes de la metalización. En este proceso es importante la rapidez con la que actúa la sustancia. Se han comprado dos soluciones químicas, utilizando para ello dos muestras aleatorias de 10 obleas para cada solución. La rapidez de acción observada es la siguiente (en mililitros/min): Solución 1: 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1 Solución 2: 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL ¿Los datos apoyan la información que la rapidez promedio de acción es la misma par ambas soluciones?. Para obtener sus conclusiones, utilice α = 0,06, y suponga que las varianzas de ambas poblaciones son iguales. 42.- Un grupo de ingenieros está diseñando una nueva aleación la cual esperan que sea una mejor alternativa para la disponible actualmente en el mercado al soportar mayores presiones. Se realizaron una serie de 8 experimentos con la aleación del mercado, las cuales soportaban en promedio una presión de 2000 kilogramos por centímetro cuadrado, con una desviación estándar de 100 kgs / cm 2 mientras que la aleación creada por ellos dio una resistencia media de 2150 kgs / cm 2 con una desviación estándar de 150 kgs / cm 2 para una muestra de 10 experimentos. Los ingenieros saben que la resistencia de los materiales sigue una distribución normal y consideran adecuado el supuesto de que las varianzas sean iguales pues argumentan que esta depende del proceso de elaboración (el cual es el mismo) y no de los componentes usados. ¿Cree usted que la aleación creada por los ingenieros satisface las expectativas de ellos? Justifique. 43.- Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas en dos diferentes máquinas de extrusión. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaño n 1 = 15 y n2 = 18; las medias y las varianzas muestrales son X1 = 8,73, S12 = 0,35, X2 = 8,68 y S22 = 0,40, respectivamente. ¿Se puede afirmar que las medias de varillas de acero fabricadas por ambas máquinas son iguales? (Asuma un nivel de significación del 5 %). 44.- Se quiso probar si la cirrosis de hígado hacia variar el índice de actividad de la colinesterasa en suero. Se eligieron dos muestras aleatorias e independientes de individuos. Los resultados fueron: Individuos normales n1 = 20 Individuos cirróticos
n2=25
La cirrosis de hígado, ¿hace variar el índice de la colinesterasa en suero?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Prueba de Hipótesis para la Diferencia Pareada. 45.- Un investigador asegura tener encontrado un medicamento que reduce el nivel de colesterol total. Aplicado a 9 pacientes se obtuvieron los siguientes resultados, medido en mg/100ml, para antes y después de ser aplicado el medicamento: Antes 215 220 205 230 214 218 209 207 230 Desp. 218 217 209 217 221 224 219 221 207 Contrastar si las diferencias son significativas con un nivel de confianza del 99% 46.- La siguiente tabla representa dos medidas consecutivas realizadas a los mismos sujetos en una variable cuantitativa. Una antes de un tratamiento y la otra posterior al mismo: Sujetos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Medida A
2
5
4
3
4
5
7
5
5
4
3
5
6
2
1
Medida B
2
6
5
4
6
8
6
7
6
4
4
7
9
5
2
¿Se puede considerar el tratamiento eficaz, es decir, producente de una diferencia significativa en las medias de ambas medidas? Se supone que lo esperado era un aumento de la media. 47.- Para comprobar si un tratamiento con ácidos grasos es eficaz en pacientes con eczema atípico, se tomaron 10 pacientes con eczema de más de 9 meses y se les sometió durante 3 semanas a un tratamiento ficticio (placebo) y durante las tres siguientes a un tratamiento con ácidos grasos. Tras cada periodo, un médico ajeno al proyecto evaluó la importancia del eczema en una escala de 0 (no eczema) a 10 (tamaño máximo de eczema). Los datos fueron los siguientes: Placebo
6 8 4 8 5 6 5 6 4 5
Tratamiento 5 6 4 5 3 6 6 2 2 6
¿Es eficaz el tratamiento?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 48.- Para comprobar la utilidad de una técnica de enriquecimiento motivacional un investigador pasa una prueba de rendimiento académico a una muestra de 16 sujetos. Después aplica su técnica de enriquecimiento y tras ello, vuelve a pasar la prueba de rendimiento. Los resultados fueron los siguientes: 1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
8 9
12 16
14 23
11 21
16 17
6 10
11 14
9 8
10 11
10 12
19 19
12 16
17 16
8 13
13 17
12 11
A un nivel de confianza del 95%, ¿Podemos rechazar que los rendimientos académicos son iguales antes que después frente a la alternativa de que se produce una mejora? 49.- En un programa de Control de Enfermedades Crónicas, la hipertensión está incluida como la primera patología a controlar. 15 pacientes hipertensos son sometidos al programa y controlados en su tensión asistólica antes y después de 6 meses de tratamiento. Los datos son los siguientes: Inicio 180 200 160 170 180 190 190 180 190 160 170 190 200 210 220 Fin
140 170 160 140 130 150 140 150 190 170 120 160 170 160 150
¿Es efectivo el tratamiento? 50.- La tabla siguiente muestra los efectos de un placebo y de la hidroclorotiacida sobre la presión sanguínea sistólica de 11 pacientes. Placebo 211 210 210 203 196 190 191 177 173 170 163 H-cloro
181 172 196 191 167 161 178 160 149 119 156
Según estos datos experimentales, ¿podemos afirmar que existe diferencia en la presión sistólica media durante la utilización de estos dos fármacos?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE PROPORCIONES POBLACIONES 51.- Prueba la hipótesis
H0 : P = 0.4 H1 : P 0.4
Presuma que p = 0.45, n = 200, y = 0,01 52.- Un hospital sostiene que el número de infectados en intervenciones quirúrgicas en sus quirófanos no sobrepasa el 12%. Se realiza un control sobre 300 enfermos intervenidos en dicho hospital de los cuales 45 si fueron infectados. ¿Es coherente la afirmación del hospital con 1% de significación? 53.- El responsable de una campaña electoral piensa que su candidato está en desventaja frente a su rival político, por lo que decide hacer una encuesta a 1500 electores, resultando que 720 votarían a su candidato y el resto al otro. ¿Existen razones para pensar que este candidato está en desventaja frente a su oponente con un nivel de significación del 1%? 54.- Queremos contrastar si el porcentaje de desempleo en la comarca de Ferrol es mayor que en la del resto de Galicia que están en el 15%. Tomando una muestra al azar de 500 personas de dicha comarca se obtuvieron 95 desempleados. ¿Existen razones para sospechar que hay diferencia entre esta comarca y el resto de Galicia? 55.- Un profesor de matemáticas quiere demostrar que la nota media de selectividad del alumnado de su materia es superior a la media gallega, que estaba en 5,5 en la última prueba. Elige una muestra al azar de 25 alumnos presentados a selectividad en la última convocatoria resultando una media de 5,95 con una cuasi desviación muestral de 0,92. Verificar la afirmación de este profesor común nivel de confianza de un 95%
56.- Solo el 75 % de los alumnos de un centro de enseñanza realizan correctamente un test psicotécnico que lleva utilizándose mucho tiempo. Para tratar de mejorar este resultado, se modificó la redacción del test, y se propuso a un grupo de 120 alumnos de ese centro, elegidos al azar. De los 120 alumnos a los que se le pasó el nuevo test, lo realizaron correctamente 107. ¿Podemos afirmar que la nueva redacción del test ha aumentado la proporción de respuestas correctas, a un nivel de significación del 0,025? 57.-Se sospecha que un dado está cargado, y que la cara 1 sale más veces que las demás. Se tira el dado 600 veces y el número 1 aparece en 115 ocasiones. ¿Podemos sospechar, con un nivel de confianza del 95%, que, efectivamente, el dado está cargado hacia el 1? ¿Qué ocurriría con un nivel del 0,90?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 58.- El alcalde de una ciudad prometió, en su programa electoral, oponerse a la construcción de una central de tratamiento de ciertos residuos, puesto que en aquel momento solo un 10 % de los ciudadanos estaba a favor de la central de tratamiento de residuos. En los últimos días se ha encuestado a 100 personas de las cuales 14 están a favor de la central. El alcalde afirma sin embargo que el porcentaje de ciudadanos a favor sigue siendo del 10 %, o incluso ha disminuido. ¿Tiene razón el alcalde con un nivel de significación del 2 %? 59.- De una muestra de 361 propietarios de pequeños comercios que quebraron en un período determinado, 105 no tuvieron asesoramiento profesional antes de abrir el negocio. Por experiencia se sabe que lo que ha venido ocurriendo es que a lo sumo el 25% de los comercios que no reciben asesoramiento quiebran. Analice si estos resultados prueban que ha habido un aumento en el porcentaje de quiebras. Utilice un nivel del 90%. 60.- En unas elecciones municipales de una ciudad, el 42 % de los votantes dieron su voto al partido A. En una encuesta realizada un año después a 500 personas con derecho a voto, solo 184 votarían al partido A. Con estos datos, ¿Se puede afirmar que ha disminuido la proporción de votantes a ese partido?. Responder a la pregunta con niveles de significación de α = 0,01; con α = 0,025; con α = 0,001. 61.- En una ciudad, donde la proporción de fumadores con edad comprendida entre 18 y 20 años es del 30 %, el ayuntamiento ha realizado una campaña contra el consumo de tabaco. Dos meses después de terminar dicha campaña, se ha realizado una encuesta a 400 personas de estas edades, elegidas al azar, y se ha encontrado entre ellos a 92 fumadores. ¿Podemos afirmar a un nivel de significación del α = 0,05, que esta campaña ha modificado la proporción de fumadores entre 18 a 25 años? 62.- El presidente del PRI en 1988, basado en su experiencia, sostiene que un 95% de los votos para las elecciones presidenciales han sido a favor de su partido. Los partidos de oposición levantaron una muestra de1,100 electores y encontraron que un 87% de ellos votaría por el PRI. El presidente del PRI quiere probar la hipótesis, con un nivel de significación de 0.05, que el 95% de los votos son para su partido.
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63.- Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro. Después de una campaña publicitaria del cigarrillo Malboro, se entrevistaron a 200 fumadores para determinar la eficiencia de la campaña publicitaria. El resultado de la muestra realizada detecto un total de 26 personas que fumaban Malboro. ¿Pueden considerarse que esos datos presentan evidencia suficiente para indicar que hubo un aumento en la aceptación del cigarrillo Malboro. Obtenga las conclusiones del planteamiento desarrollando un contraste de hipótesis con un nivel de significancia del 5 %. 64.- Se ha afirmado que por lo menos el 60 % de los alumnos de primero y segundo semestre de un Tecnológico prefieren estudiar a partir de las dos de la madrugada. Si 4 de una muestra de alumnos de primero y segundo semestre de n =14 tomadas al azar, afirman estudiar a partir de las dos de la madrugada, pruebe con un nivel de significancia del 5 % , si es cierto lo que se afirma. 65.- Una empresa de productos farmacéuticos afirma en su publicidad que uno de sus medicamentos reduce considerablemente los síntomas de la alergia primaveral en el 90 % de la población. Una asociación de consumidores ha experimentado dicho fármaco en una muestra de 200 socios de la misma, obteniendo el resultado indicado en la publicidad en 170 personas. Determina si la asociación de consumidores puede considerar que la afirmación de la empresa es estadísticamente correcta al nivel de significación de 0,05? 66.- Se afirma que, en una determinada ciudad, al menos el 30 % de las familias poseen ordenador. Se toma una muestra aleatoria de 200 familias de la ciudad y resulta que 50 poseen ordenador. A un nivel de significación de 0,05, ¿Hay suficiente evidencia para refutar la afirmación? 67.- Un constructor afirma que por lo menos el 75 % de las cosas que construye tiene calefacción. ¿Se estaría de acuerdo con tal afirmación si una inspección aleatoria muestra que 72 de 135 cuentan con calefacción? Use α = 0,1 68.- Una compañía textil afirma que a lo sumo el 20 % del público compra ropa de lana. Verifica esta afirmación para α = 0,01; si una encuesta aleatoria indica que 46 de 200 clientes compran ropa de lana.
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 69.- Últimamente está observando un incremento del porcentaje de este tipo de calificaciones. En efecto, en el presente curso, con una matrícula de 1385, el colegio presenta un número medio de 201 calificaciones de conflictividad. ¿Puede seguir manteniendo la hipótesis de que sólo supone un 12% del total? 70.- Se desea conocer la proporción de desempleados en una ciudad. Se sabe que la fuerza de trabajo es de 35.250 personas. Se toma una MIA de 830, de las cuales 510 dicen que actualmente están laborando. Calcule la proporción de empleados que tiene la ciudad y obtenga un intervalo de confianza para la proporción. 71.- Un manufacturero de juguetes tailandés reclama que solo un 10% de los osos de juguete hechos para hablar están defectuosos. Cuatrocientos de éstos juguetes se sometieron a prueba de forma aleatoria y se encontró que 50 estaban defectuosos. Pruebe el reclamo del manufacturero con un nivel de significancia de 5%. 72.- Una agencia de empleos afirma que el 80% de todas las solicitudes hechas por mujeres con hijos prefieren trabajos a tiempo parcial. En una muestra aleatoria de 200 solicitantes mujeres con niños, se encontró que 110 prefirieron trabajos a tiempo parcial. Pruebe la hipótesis de la agencia con un nivel de significancia de 5%. 73.- Nacionalmente, un 16 % de los hogares tiene una computadora personal. En una muestra aleatoria de 80 hogares en Baltimore, solo 13 poseían una computadora personal. Con un nivel de significancia de 5%, pruebe si el porciento de hogares en Baltimore que tienen computadoras personales es menor que el porcentaje nacional. 74.- El registrador de cierta universidad ha dicho que esta dispuesto a permitir una sección del curso ESTAD 121 una vez a la semana si más del 65% de los estudiantes matriculados en el curso expresan que prefieren el curso una vez a la semana, en vez de dos veces a la semana. En una muestra aleatoria de 40 estudiantes, 26 indicaron su preferencia de una vez a la semana. Usando un nivel de significancia de 0.01, debe el registrador autorizar el ofrecimiento del curso ESTAD 121 una vez a la semana? 75.- La proporción de fumadores adultos en Michigan en el año 1992 era de 25,5%. El año 1993 el departamento de salud decide hacer una encuesta para saber si ha bajado la proporción. Se realizó una encuesta telefónica a 2400 adultos. En un artículo del diario salió el resultado de la encuesta, donde decía que la proporción de fumadores no había bajado significativamente porque la proporción de fumadores en la encuesta era de 25%. ¿En qué se baso el diario para llegar a esa conclusión?
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 76.- Un fabricante de salsa de tomate está en el proceso de decidir si produce una nueva marca extracondimentada. El departamento de investigación de mercado de la compañía empleó una encuesta telefónica nacional de 6000 hogares y encontró que la salsa de tomate extracondimentada sería comprada por 335 de ellos. Un estudio mucho más extenso hecho hace dos años mostraba que 5% de los hogares en ese entonces habría comprado el producto. A nivel de significancia de 2% ¿debería la compañía concluir que ahora existe un mayor interés en el sabor extracondimentado? PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES 77.- Unos grandes almacenes han instalado unas cajas de cobro automáticas. Durante los primeros meses, tan sólo las han usado un 8% de la clientela, por lo que deciden iniciar una campaña publicitaria a fin de incrementar ese uso en un 10%, y justificar así su instalación. Durante unos días, en horas elegidas aleatoriamente, han efectuado un recuento y han descubierto que de un conjunto de 2340 clientes, tan sólo han usado las cajas 208. Después de desarrollar la campaña, han repetido el estudio, y esta vez, de 1978 clientes, han pasado por las nuevas cajas 395. ¿Justifican estos resultados, al 95% de nivel de confianza, que se ha logrado el incremento deseado del 10%? 78.- Un fabricante de productos medicinales esta probando dos nuevos compuestos destinados a reducir los niveles de presión sanguínea los compuestos son suministrados a dos conjuntos diferentes de animales de laboratorio. En el grupo A, 71 de 100 animales probados respondieron al medicamento A con niveles menores de presión arterial. En el grupo B, de 90 animales 58 respondieron al medicamento B con menores niveles de presión sanguínea. El fabricante desea probar a un nivel de significancia de 0.05 si existe una diferencia entre la eficiencia de las dos medicinas. ¿De qué manera se debe proceder en este caso? 79.- Supóngase que una muestra aleatoria de 1 000 ciudadanos nacidos en Estados Unidos manifestó que 198 favorecían la reanudación de relaciones diplomáticas con Cuba. Asimismo, 117 de una muestra de 500 ciudadanos nacidos en el extranjero, aprobaron tal reanudación. Pruebe al nivel de 0.05 que no hay diferencia en la proporción de ciudadanos estadounidenses y la proporción de ciudadanos extranjeros que esta a favor de restituir las relaciones diplomáticas con Cuba; H a expresa que existe una diferencia, es decir que las dos proporciones no son iguales.
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 80.- Un fabricante de automóviles produce dos tipos de un determinado modelo de turismo: el tipo A, con motor de gasolina, y el tipo B, con motor de gasoil. De una muestra aleatoria de 200 turismos de este modelo, 112 son del tipo B, ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia, a un nivel de significación α = 0,01, de que los clientes prefieren el modelo del tipo B al del tipo A?. 81.- En un sondeo de opinión en el IUTJAA, 60 de 200 estudiantes del sexo masculino han expresado su disgusto sobre la forma de dirigir el tren directivo la institución, de la misma forma han opinado 75 de 300 alumnos del sexo femenino. Se quiere saber si existe una diferencia real de opinión entre los alumnos y las alumnas del IUTJAA. Para realizar el contraste de hipótesis de las proporciones utilice un nivel de significancia de 0.10. 82.- En el Departamento de Agropecuaria del IUTJAA se investiga si cierto tipo de fertilizante es efectivo. Para ello se deja sin fertilizar 100 plantas de tomate y de esas, 52 plantas tienen un crecimiento satisfactorio. De la misma forma se fertilizaron 400 plantas, y se detecto que 275 presentaron un crecimiento satisfactorio. ¿Qué conclusión pueden obtener los investigadores del Departamento de Agropecuaria si para contrastar la hipótesis utilizan un nivel de significancia de 0.05? Misceláneas 83.- Un investigador quiere contrastar si el peso medio de ciertas hortalizas está en los 1,90 Kg. que le aseguran en el mercado. Suponiendo que este peso se distribuye de forma normal con desviación típica de 100 g, selecciona al azar 10 hortalizas observando los siguientes pesos (en Kg): 1,92 1,98 1,87 2,05 2,02 1,87 1,92 1,95 1,87 2,04. Contrastar, con un nivel de significación de 0,05, que estos datos se adecuan a una distribución con media 1,9 Kg. b) Con los mismos datos del ejercicio anterior, contrastar que la desviación típica del peso de las hortalizas es de 100 gramos. 84.- Una máquina produce balas de calibre 9 mm, las fabrica con una desviación típica de 0,007. Para saber si el proceso funciona correctamente se toman muestras de 5 balas cada dos horas. Encontrar las condiciones para contrastar, con un nivel de significación de 0,05, que la desviación típica es menor de 0,007 y la media es de 9 mm. (lo que equivale, en términos de control de calidad, a que la producción esté bajo control)
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL 85.- Un proveedor de planchas para la construcción de embarcaciones suministra material a un astillero asegurando que la resistencia a tracción de este material cumple la normativa de calidad, que establece una media de 120 Mpa (Megapascales) con una desviación típica de 3,7 Mpa. Se toma una muestra al azar de 9 planchas de este proveedor y se someten a una prueba de resistencia resultando los siguientes valores: 115, 120, 105, 130, 114, 118, 109, 107, 130. Contrástense las hipótesis oportunas con un nivel de confianza del 99% 86.- Se pasa una misma prueba a dos colegios de distintos barrios, con los siguientes resultados: Colegio A
Colegio B
Número de pruebas
342
405
Promedio obtenido
5,44
5,72
Desviación típica
1,83
2,08
a) ¿Existe evidencia, con un nivel de significación del 95%, de que los promedios obtenidos en los colegios sean distintos? b) ¿Se puede afirmar, con el mismo nivel, que las varianzas de las dos poblaciones son iguales? 87.- Para comprobar si la tolerancia a la glucosa en sujetos sanos tiende a decrecer con la edad se realizó un test oral de glucosa a dos muestras de pacientes sanos, unos jóvenes y otros adultos. El test consistió en medir el nivel de glucosa en sangre en el momento de la ingestión (nivel basal) de 100 grs. de glucosa y a los 60 minutos de la toma. Los resultados fueron los siguientes: Jóvenes: Basal
81
89
80
75
74
97
76
89
83
77
60 minutos 136 150 149 141 138 154 141 155 145 147 Adultos: Basal
98
94
93
88
79
90
86
89
81
90
60 minutos 196 190 191 189 159 185 182 190 170 197
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL a) ¿Se detecta una variación significativa del nivel de glucosa en sangre en cada grupo? b) ¿Es mayor la concentración de glucosa en sangre a los 60 minutos, en adultos que en jóvenes? c) El contenido basal de glucosa en sangre, ¿es menor en jóvenes que en adultos? d) ¿Se detecta a los 60 minutos una variación del nivel de glucosa en sangre diferente de los adultos, en los jóvenes?
88.- Un fabricante de bombillos sospecha que una de sus líneas de producción está produciendo bombillos con una duración promedio menor que la de otra línea. Para probar su sospecha toma una muestra aleatoria de 16 bombillos de la línea sospechosa (s) y 18 de la otra línea (c), obteniendo los siguientes resultados:
Con ésta información cuál es su conclusión si se asume un nivel de confianza del 90 por ciento. 89.- Con el objeto de evaluar el efecto del suministro de bloques multinutricionales sobre la tasa de preñez durante los 120 días postparto en búfalas mestizas, se realizó un ensayo en cierto establecimiento. Para tal fin, se seleccionaron 64 búfalas a las que se suministró bloques multinutricionales a voluntad, resultando preñadas 30 luego del servicio. a. Sabiendo que la tasa de preñez de la especie en condiciones de alimentación estándar está en el orden del 40% durante 120 días postparto y fijando un nivel de significación de 0,05 ¿hay pruebas de que el suministro de bloques multinutricionales incide positivamente en la tasa de preñez? 90.- Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo de los 1.020 euros mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de la marca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes cálculos: 51
X i 0
i
51,927 Euros
51
X i 0
2 i
52.924.731 Euros 2
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO FACULTAD DE CIENCIAS EXACAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Con un nivel de significación del 5%, suponiendo que las ventas se distribuyen normalmente, y en vista de la situación reflejada en los datos, ¿se considera oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria? b) Con un nivel de significación del 5%, ¿podría afirmarse que la desviación típica de las ventas por establecimiento del último mes es igual a 120 euros? 91.- Supongamos que cierta variable numérica se comporta de modo gaussiano sobre dos poblaciones, de las que se han extraído respectivamente una muestra aleatoria simple. Los resultados se muestran a continuación: Muestra 1 10 30 32 23 23 24 20 18 19 45 Muestra 2 32 39 35 30 37 28 34 33 25 30 37 33 ¿Cree que las distribuciones normales que describen a ambas poblaciones, poseen los mismos parámetros?