SISTEMAS HOMOGÉNEOS
1. Demuestre: a) Si , sistema homogéneo:
y
,
son soluciones del
a) De dos maneras que las soluciones dadas en a) son linealmente independientes en cada intervalo cerrado y escriba la solución general de este sistema. b) Que , , es una solución particular del sistema no homogéneo .
2. Encuentre la solución general de cada uno de los sistemas siguientes: a)
b)
c)
R.
d)
f)
g)
i)
e)
R. .
,
h)
j)
2
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k)
l)
ll)
m)
n)
R.
R.
R.
R.
,
,
,
√ √ √ √ √ √
p)
R.
,
R.
,
R.
s)
.
ñ)
0)
r)
.
,
u)
R.
,
3. Demuestre que la condición sistema
es suficiente pero no necesaria para que el
,
3
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+ + + + + + + ̇ + + + + 0 1 + + tenga dos soluciones linealmente independientes de valores reales de la forma:
, 4. Calcule
. para A igual a
a)
c)
d)
b)
e)
f)
5. Encuentre si
6. En cada uno de los problemas, determine si la matriz dada es una matriz fundamental de soluciones de para alguna A. En caso afirmativo, encuentre A. a)
c)
b)
d)
7. Demuestre que
.
8. Calcule
donde
a)
c)
b)
9. Pruebe que 10. Dado
.
con
calcule . 11. Suponga que directamente que 12. Encuentre , asumiendo que 13. Sea
4
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,
tiene
n
raíces distintas .
. Demuestre
.
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( ) . / . / / . / ./ . ̇ .. // ̇. / . / . / ̇ . / . / ./ . / . / . / ./ / ./ ./ . . / ./ . / + + + + ̇ + + + + ̇ + ,
a) Encuentre , b) Demuestre que 14. Sea
.
,
a) Encuentre b) Pruebe que
,
.
15. Resuelva los siguientes sistema de ecuaciones diferenciales
R.
a)
b) c)
, R.
d) e)
,
f)
R.
R.
g) h)
,
R.
i)
,
R.
16. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: a)
,
R.
,
R.
b)
c)
d)
5
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+ + + + ̇ + + + + ̇ + + + + + ̇ + ̇ + ̇ + ̇ + ̇ + + + + + + + + + + ̇ + + , R.
e)
,
f)
g)
, R.
h)
i)
,
j)
R.
,
k)
,
l)
m)
,
,
n)
,
o)
,
R.
17. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:
,
a)
b)
c)
,
R .
,
,
6
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.
̇ + + + + + + + + + ̇ . / ./ ̇ .. / / ..// ̇ . / ./ ̇ ̇ + + ̇ + + ̇ + + ̇ + + ,
d)
,
g)
, R.
,
,
,
h)
,
,
i)
,
j)
.
,
,
,
k)
,
l)
,
m) n)
ñ)
,
,
,
,
,
,
o)
p)
,
,
.
18. Dada la matriz
¿Puede ser una matriz fundamental de algún sistema de la forma una la respuesta y, en caso afirmativo, calcule la matriz A del sistema.
7
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Razone
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̇ ̅ ̇
19. Dado el sistema lineal y pruebe que del sistema.
, define el concepto de matriz exponencial con siendo cualquier matriz fundamental
. Demuestre que una solución de y son linealmente independientes. Sugerencia. Observe que y son linealmente independientes en , ya que son vectores característico de A con valores característico diferentes.
20. Sea
21. Demuestre que , con constante, es una solución de si . 22. Pruebe que es un valor característico de A si . 23. Demuestre mediante un ejemplo que los valores característico de A+ B no son necesariamente la suma de los valores característico de A con los valores característico de B. 24. Pruebe mediante un ejemplo que los eigenvalores de AB no son necesariamente el producto de los eigenvalores de A con los valores característico de B. 25. Demuestre que las matrices y tiene el mismo polinomio característico. 26. Asumiendo que existe alguna de las matrices o . Demuestre que y tienen los mismo valores característicos. c aracterísticos. 27. Demuestre que los valores característico de son los inversos multiplicativos multiplicativos de los valores característicos de . 28. Demuestre que los eingenvalores de son los eigenvalores de A elevados a la potencia n. 29. Determine todos los vectores tales que la solución del problema de valor inicial
̇ + + +
,
es una función periódica del tiempo. 30. Dados y
,
Se pide: a) Deducir una matriz fundamental del sistema b) Obtener la matriz con . c) Resolver el sistema , .
.
REDUCCIÓN DE ECUACIONES A SISTEMAS
31. Resuelva la ecuación expresandola como un sistema de primer orden y calculando la respectiva matriz 32. Transformar la ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
8
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33. Sea la ecuación diferencial , con . a) Transformar la ecuación diferencial a un sistema lineal de ecuaciones diferenciales. b) Obtener la solución general del problema utilizando la técnica matricial. Determine asimismo la solución del problema de valores iniciales. R. 34. Dada la ecuación diferencial transforme a un sistema de ecuaciones diferenciales, luego resuelva el sistema. 35. Reemplace las ecuaciones diferenciales siguiente que siguen por un sistema equivalente de ecuaciones de primer orden: a) , h) . b) c)
,
,
d)
,
e) f)
,
,
36. Reduzca la ecuación de segundo orden ecuación de primer orden.
i)
,
j)
,
k)
,
l) m)
,
a un sistema de
PUNTOS CRÍTICOS Y ESTABILIDAD PARA SISTEMAS LINEALES 37. Determine la naturaleza y las propiedades de estabilidad del punto crítico (0, 0) para cada uno de los lo s siguientes sistemas autónomos lineales: a)
b)
c)
d)
e) 38. Si
{ { { { {
9
R . Nodo inestable
R . Espiral A.E
R . Punto de Silla inestable.
R . Espiral inestable.
f)
{ { { {
g)
h)
i)
R . Estable, centro no A.E.
R . Nodo A.E.
R . No se encuentra aislado.
,
, entonces demuestre que el sistema:
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{ { ,
(i)
posee una infinidad de puntos críticos, ninguno de las cuales se encuentra aislado. 39. a) Si , entonces demuestre que el sistema: ,
(ii)
{
posee un punto crítico aislado
.
b) Demuestre que el sistema (ii) puede escribirse como el sistema (i) por medio del cambio de variables . c) Halle el punto crítico del sistema:
,
escriba el sistema en la forma de la ecuación (i) por medio del cambio de variable y determine la naturaleza y las propiedades de estabilidad del punto crítico. estable. R . El punto crítico es (-3, 2 ), es nodo asintóticamente estable.
SISTEMA NO HOMOGÉNEO 40. Resuelva el siguiente problema de valor inicial no homogéneo calculando la matriz correspondiente.
. /. /./ . / . /. / . / / . /./ ./ . + + + + { ,
a)
.
R.
,
.
.
R.
,
,
R.
.
41. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial no homogéneo calculando la matriz correspondiente. a)
,
b)
10
.
R.
.
.
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+ + + ( ) + + + . / . / , + + + . / . / . / { + + + + + + ̇ ̇ + + + ,
c)
.
R.
,
d)
R.
.
e)
,
f)
.
R.
g)
,
.
42. Consideremos
,
,
.
a) Calcular una matriz fundamental para el sistema . b) Usar el resultado para resolver el problema de valores iniciales . 43. Considere la matriz con
.
a) Encuentre, según los valores de , una matriz fundamental del sistema b) Para , resuelva el problema de valor incial , , Con
y
44. Consideremos la matriz
con
11
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.
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.
,
+ + { ./ ./ . / { . / ./ + + + + + + . /. / . / . . / . / . / . /. /
a) Encontrar según los valores de , una matriz fundamental del sistema . b) Para , resolver el problema de valor inicial , , donde y
.
45. Use el método de coeficiente indeterminado (parte no homogénea) para resolver el sistema no homogéneo en . a)
,
R.
b)
R.
.
c)
, R.
46. Resuelva el sistema no lineal: ,
Sujeta a
.
R.
47. Resuelva el sistema no homogéneo: en
R.
./ . /
.
.
48. Mediante el método de variación de parámetros (parte no homogénea), resuelva los siguientes problemas: a)
b) c) d) e)
f)
{ ./ ./ ././ . / ./ . / * * . /. / ./ ./ ./ ./ . /./ ./ . / . / * . /./ ./ . / . / . /. { / ||
12
,
R.
.
, R.
,
,
R.
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.
R.
, R.
,
.
.
.
R.
.
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g) h)
. /./ ./ . / ./ { . / ./ ././ ./ || ./ . / ./ || | ./ || | + + ,
R.
.
,
R.
i)
.
,
R.
j)
,
R.
+ + + ( )
.
49. Mediante el método de variación de parámetros (parte no lineal), resuelva resuelva el problema de valor inicial:
../././ .// ././ { . / . / ./ *
a)
,
.
R.
b)
.
,
R.
.
.
50. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para dos corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la figura 1,
e
,
b) Resuelva el sistema de la parte (a) si (en voltios), ,
13
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,
,
.
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,
Figura 1
R.
*./ ./
.
. / . / . / . / . / ./ . /./ . / . / ./ . /. / ./ ./ * . / . / . / . / . /
51. En los problemas siguientes calcular
y
,
R .
,
b)
52. Use (2) (ver anexo) para hallar h allar la solución general del sistema: a)
b)
R .
,
c)
R .
,
53. Verifique
R .
R .
,
donde
,
.
,
54. Asumiendo que
.
donde D es definida por (3) (ver anexo). Demuestre que
. 55. Use el problema anterior para resolver el sistema: .
R .
Anexos:
La matriz exponencial:
∑
(1)
Solución del sistema no homogéneo: 14
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∫ , 0 1 ,
donde A es una matriz no singular, aunque
(2)
es siempre no singular.
Valor propio y vector propio asociado a una matriz:
Sea P una matriz cuyas columnas son vectores propios valores propios distintos de una matriz A de , donde está dado por
, correspondiente a los nxn. Entonces se demuestra que
(3)
Exponencial de una matriz:
Por tanto
15
.
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