Practica N°2 Sistema de ecuaciones no lineales: 1. Caculos estequiométricos en reacciones biológicas Utilización de balances elementales para calcular los coefcientes estequiométricos empleando el coefciente respiratorio, CR en reacciones biológicas biológicas generales Planteamiento del problema Una reacción de conversión biológica simplifcada se puede escribir para un carbohidrato que reacciona con oxígeno y amoniaco para ormar material celular, agua y dióxido de carbono como !nicos productos seg!n la ecuación"
CH mOn
+ aO + bNH → cCH αOβ N δ + dH O + eCO 2
3
2
2
#os balances elementales de la ecuación anterior se pueden escribir de la orma" 1= c +e
Balance de carbono:
m + 3b = cα + 2d
Balance de hidrogeno:
n + 2a
Balance de oxigeno:
= cβ + d + 2e
b = cδ
Balance de nitrógeno: $l cociente respiratorio, CR, se defne como" RQ =
e a
% esta ecuación se puede a&adir el sistema defnido por por las ecuaciones anteriores anteriores
C6 H12O6 a' $l sustrat sustrato o de de gluc glucosa osa
,reacciona con oxígeno y amoniaco para ormar un
CH 2O0.27 N 0 .25 material bacteriano, , agua y dióxido de carbono con un cociente respiratorio de ()* +Cules son los coefcientes estequiométricos para esta reacción cuando se escribe en la orma de la ecuación-
Solución.#a ecuación química con el sustrato que da de la siguiente manera"
C6 H12O6 + aO2 + bNH 3 → cCH 2O0.27 N 0.25 + dH 2O + eCO2 #os balances elementales de la ecuación química son" 6=c+e
Balance de carbono: Balance de hidrogeno:
12 + 3b = c 2 + 2d
6 + 2a
Balance de oxigeno:
= c 0.27 + d + 2e
b = c 0.25
Balance de nitrógeno: .comodando las ecuaciones en orma de matriz tenemos" 6=c+e 12 = c2 + 2d − 3b 12 = c2 + 2d
− 3b 6 = c0.27 + d + 2e − 2 a 0 = c0.25 − b
6=c+e 6 = c0.27 + d
+ 2e − 2 a
1.5 = a=
0 = c0.25 − b
e a e
1.5
.dems" Reemplazando Reemplazando tenemos" 12 = c2 + 2d − 3b 12 = c 2 + 2 d
6=c+e 6 = c0.27 + d
6=c+e
e + 2e − 2 ÷ 1.5
6 = c0.27 + d
+ 0.667e
0 = c0.25 − b
0 = c0.25 − b
−3b +
− 3b
2c + 2d
= 12 c+ e =6 0.27c + d + 0.667e = 6 −b + 0.25c =0
$n orma de matriz" −3 2 2 0 b
0 0 −1
1
0
0.27 1 0.25 0
c 1 = 0.667 d 0 e
12 6 6 0
/ara hallar los coefcientes de este sistema aplicaremos el programa 0atlab con el siguiente código de programa" function X = GAUSSJ(A,B) %-------------------------------------------------------------------------% Este programa resuelve un sistema lineal AX=B, usano la t!cnica e % Eliminaci"n Gaussiana %-------------------------------------------------------------------------% E#$A&AS % A ' atri n*n % B ' +ector n* % SA.&AS % X ' +ector soluci"n %-------------------------------------------------------------------------/n n0 = sie(A)1 A = /A21B2021
X = eros(n,)1 for p = 'n, for 3 = /'p-,p4'n0, if A(p,p)==5, 6rea3, en mult = A(3,p)7A(p,p)1 A(3,') = A(3,') - mult8A(p,')1 en en X = A(',n4)97iag(A)1
Cuando hacemos correr el programa obtenemos el siguiente resultado"
/or lo tanto sabemos que los coefcientes son"
b = 0.9790 c = 3.9159
a=
d = 3.5526 e = 2.0841
.dems"
e
1.5 a = 1.3894
$n guide se tiene"
/or lo tanto sabemos que los coefcientes son" b = 0.9790 c = 3.9159
a=
d = 3.5526 e = 2.0841
.dems"
e
1.5 a = 1.3894
b' Repita los clculos para la parte a'con un cociente respiratorio de 1)2
Solución.-
Reemplazando en el sistema de ecuaciones
12 = c 2 + 2d − 3b
12 = c 2 + 2d
− 3b
2=
6=c+e 6 = c0.27 + d
a e a= 2
+ 2e − 2 a
0 = c0.25 − b 12 = c 2 + 2d − 3b
.dems"
−3b +
0.27c + d
6 = c 0.27 + d + e
−b + 0.25c
0 = c 0.25 − b
$n orma de matriz" −3 2 2 0 b 1
0
0.27 1 0.25 0
2c + 2d c+
6=c+e
0 0 −1
e
1 c = 1 d 0 e
+
6=c+e 6 = c0.27 + d
e + 2e − 2 ÷ 2
0 = c0.25 − b
= 12 e =6 e= 6 =0
12 6 6 0
.plicando en programa pro6lema(a,6) se obtiene el siguiente resultado"
/or lo tanto los coefcientes son" b = 0.9790 c = 3.9159
a=
d = 3.5526 e = 2.0841 $n guide se tiene"
.dems"
e
2 a = 1.04205
/or lo tanto los coefcientes son" b = 0.9790 c = 3.9159
a=
d = 3.5526 e = 2.0841
.dems"
e
2 a = 1.04205
c' Repita los clculos para la parte a' cuando el sustrato es acido benzoico
C6H 5COOH , y orma el sismo material bacteriano en condiciones anaerobias, es decir, sin la presencia de oxigeno gaseoso)
Solución.#a ecuación química que da de la siguiente manera" como no hay presencia de oxigeno no hay la 3ormación de agua
C6 H 5COOH
+ bNH 3 → cCH 2O0.27 N 0.25 + eCO2
C7 H 6O2
+ bNH 3 → cCH 2O0.27 N 0.25 + eCO2
#os balances elementales de la ecuación química son" 7=c+e
Balance de carbono: Balance de hidrogeno:
6 + 3b
= c2
2
Balance de oxigeno:
= c0.27 + 2 e
b = c 0.25
Balance de nitrógeno: .comodando las ecuaciones en orma de matriz tenemos" 7 =c+e
6 = 2c − 3b
6 = c 2 − 3b
7 = c+e
2 = c0.27 + 2 e
2 = 0.27c + 2e
0 = c0.25 − b
0 = c0.25 − b
−3b +
=6 c + e =7 0.27c + 2e = 2 −b + 0.25c =0
$n orma de matriz se tiene" −3 2 0 b 6
0
1
1
0 0.27 2
c = e
7 2
Resolviendo con el programa pro6lema(a,6),tenemos"
/or lo tanto los coefcientes son" b = 2.6243 c = 6.9364 e = 0.0636
2c
$n guide se tiene
/or lo tanto los coefcientes son" b = 2.6243 c = 6.9364 e = 0.0636
Q1
2. Una bomba peristltica envía un 4u5o unitario 6 ' de un 4uido muy viscoso) $n la siguiente fgura se ilustra la red) Cada sección del tubo tiene la misma longitud y dimetro) $l balance de masa y energía mecnica se simplifca para obtener los 4u5os en cada tubo) Q5 Q3 Q1
Q7 Q6 Q4 Q2
Resuelva el sistema de ecuaciones a fn de obtener el 4u5o en cada corriente) Q3 + 2Q4 − 2Q2 = 0 Q5 + 2Q6
− 2Q4 = 0 3Q7 − 2Q6 = 0 Q1 = Q2 + Q3 Q3 = Q4 + Q5 Q5 = Q6 + Q7
.comodando las ecuaciones tenemos" −2Q2 + Q3 + 2Q4 = 0 Q1 − Q2 − Q3 = 0 Q3 − Q4
− Q5 = 0 Q5 − Q6 − Q7 = 0
−2Q4 + Q5 + 2Q6 = 0 −2Q6 + 3Q7 = 0
#uego" Q1 − Q2 − Q3
=0 Q3 − Q4 − Q5 =0 Q5 − Q6 − Q7 = 0 − 2Q2 + Q3 + 2Q4 =0 − 2Q4 + Q5 + 2Q6 =0 − 2Q6 + 3Q7 = 0
.l observar el sistema de ecuaciones vemos que existen 7 ecuaciones y 8 incógnitas por lo tanto el n!mero de incógnitas n98 y el rango del sistema de n − r = 7 − 6 = 1
ecuaciones r97 entonces el n!mero de variables libres ser" Q7
= t
, t
existe una variable libre el cual para este caso es el donde es una constante, para que el sistema de ecuaciones sea cuadrada y poder resolver el sistemas de ecuaciones se hace lo siguiente" Q1 − Q2
− Q3
=0 Q3 − Q4 − Q5 =0 Q5 − Q6 − Q7 = 0 − 2Q2 + Q3 + 2Q4 =0 − 2Q4 + Q5 + 2Q6 =0 − 2Q6 + 3Q7 = 0 Q7 = t
.comodando en orma de matriz y resolviendo este sistema de ecuaciones en el Command :indo; de 0atlab se obteine"
1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 − − 0 − 2 1 2 0 0 0 0 0 0 − 2 1 2 0 0 0 0 0 0 2 3 − 0 0 0 0 0 0 1
Q1 Q 2 Q3 Q 4 Q5 Q6 Q7
0 0 0 = 0 0 0 t
=
84t
Q2
=
43t
Q3
=
21t
Q4
=
Q5
=
Q6
=3
Q7
= t
8 8 4 11t 4 5t 2
t
2
=) #a siguiente fgura ilustra un proceso de intercambio químico que consiste en una serie de reactores en los que un gas 4uye de izquierda a derecha pasa por un líquido que 4uye de derecha a izquierda) #a transerencia de un producto químico del gas a
líquido ocurre a una tasa proporcional a la dierencia entre las concentraciones del gas y el líquido en cada reactor) $n estado estacionario 6estable', el balance de masa para el primer reactor se puede escribir para el gas, así" QG cG 0 − QG cG1 + D (cL1 − cG1 ) = 0 % para el líquido Q LcL 2 − QLcL1 + D (cG1 − cL1 ) = 0
QG y QL liquido) $s posible escribir otros balances similares para los dems reactores) Resuelva para las concentraciones con loa siguientes datos" QG = 2, QL = 0.8, cG 0 = 100, cL 6 = 10
Solución. ?odos los balances de los reactores son los siguientes" /ara el gas" QG cG 0 − QG cG1 + D (cL1 − cG1 ) = 0
QG cG1 − QG cG 2 + D (cL 2
− cG 2 ) = 0 QG cG 2 − QG cG 3 + D (cL 3 − cG 3 ) = 0 QG cG 3 − QG cG 4 + D (cL 4 − cG 4 ) = 0 QG cG 4 − QG cG 5 + D (cL 5 − cG 5 ) = 0
Reemplazando datos tenemos" 2(100) − 2cG1 + 0.8( cL1 − cG1 ) = 0 2cG1 − 2cG 2 + 0.8( cL 2
− cG 2 ) = 0 2cG 2 − 2cG 3 + 0.8( cL3 − cG 3 ) = 0 2cG 3 − 2cG 4 + 0.8( cL4 − cG 4 ) = 0 2cG 4 − 2cG 5 + 0.8( cL5 − cG 5 ) = 0
/ara el líquido" Q L cL 2 − QL cL1 + D( cG1 − cL1 ) = 0 Q L cL 3 − QL cL 2
+ D( cG 2 − cL 2 ) = 0 Q L cL 4 − QL cL 3 + D( cG 3 − cL 3 ) = 0 Q L cL5 − QL cL 4 + D( cG 4 − cL 4 ) = 0 Q L cL 6 − QL cL 5 + D( cG 15 − cL5 ) = 0
− 1cL1 + 0.8( cG1 − cL1 ) = 0 1c L 3 − 1cL 2 + 0.8( cG 2 − cL 2 ) = 0 1c L 4 − 1cL 3 + 0.8( cG 3 − cL 3 ) = 0 1c L 5 − 1cL 4 + 0.8( cG 4 − cL 4 ) = 0 10 − 1c L 5 + 0.8( cG15 − cL5 ) = 0 1c L 2
#uego simplifcando datos y ordenando" −2.8cG1 + 0.8cL1 = −200 1c L 2 − 1.8cL1 + 0.8cG1 2cG1 − 2.8cG 2 + 0.8cL 2
=0 2cG 2 − 2.8cG 3 + 0.8cL3 = 0 2cG 3 − 2.8cG 4 + 0.8cL 4 = 0 2cG 4 − 2.8cG 5 + 0.8cL5 = 0
=0 1c L 3 − 1.8cL 2 + 0.8cG 2 = 0 1c L 4 − 1.8cL 3 + 0.8cG 3 = 0 1c L 5 − 1.8cL 4 + 0.8cG 4 = 0 −1.8c L5 + 0.8cG15 = −10
@umando todas estas ecuaciones se obtiene"
−2.8cG
+
1
2cG1
− 2.8cG
2
2cG 2
= −200 + 0.8cL =0 + 0.8cL =0 +0.8cL =0 − 2.8cG +0.8cL = 0 − 1.8cL + 1cL =0 − 1.8cL + 1cL =0 − 1.8cL + 1cL =0 − 1.8cL +1cL = 0 0.8cG − 1.8cL = −10 0.8cL1
2
− 2.8cG
3
3
2cG 3 − 2.8cG 4 2cG 4 0.8cG1
4
5
5
1
0.8cG 2
2
2
0.8cG 3
3
3
0.8cG 4
4
4
5
5
5
Colocando todo en orma de una matriz tenemos"
−2.8 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 2 − 2.8 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 2 − 2.8 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 2 − 2.8 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 2 − 2.8 0 0 0 0 0.8 − 0.8 0 0 0 0 1.8 1 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 − 1.8 1 0 0 − 0 0 0.8 0 0 0 0 1.8 1 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 − 1.8 1 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 − 1.8
cG1 −200 c 0 G 2 cG 3 0 cG 4 0 cG 5 0 = c L1 0 c L 2 0 c L 3 0 c 0 L 4 c L5 −10
.l resolver este sistema de ecuaciones con el programa pro6lema(a,6),se obtiene"
= 95.733 c L1 = 85.0665 = 90.2475 c L 2 = 76.5331 = 83.1944 c L3 = 65.5615 = 74.1260 c L 4 = 51.4552 = 62.4668 c L5 = 33.3186
$n guide por el método de Aauss @eidel
4.
.bsorbancia molar del componente 5 ( D (( 18 ( 1
1 ((D 18 = B
= 1 D* (8 8
B ( B D (B1 (8
* 2)* 2)DD 1 1* ((D
.bsorbancia total observada 2)(( 2)11=* 2)1D 2)= 2)(B
.s!mase que la longitud de la trayectoria es unitaria y que el solvente no absorbe a estas longitudes de onda y que se cumple la ley de Eeer, es decir,
5
ATOTi
= ∑ ε i jC j ,
J =1
<ónde" ATOTi = $s la observancia total observada a la longitud de onda i ε i , j = $s la observancia molar del componente 5 a la longitud de onda i C j
=
$s la concentración molar del componente 5 en la mezcla Fallar las concentraciones molares de los componentes en la mezcla @olución .l operar la sumatoria se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones" 98C1 + 9C2
+ 2C3 + C4 + 0.5C5 = 0.11 11C1 + 118C2 + 9C3 + 4C4 + 0.88C5 = 0.2235 27C1 + 27C2 + 85C3 + 8C4 + 2C5 = 0.28 C1 + 3C2 + 17C3 + 142C4 + 25C5 = 0.3 2C1 + 4C2 + 7C3 + 17C4 + 118C5 = 0.14 .l colocarlo en orma de matriz se tiene"
98 11 27 1 2
9
2
1
0.5
118 9 4 0.88 27 85 3 17 4
7
8 2 142 25 7 118
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5
=
0.11
0.2235
0.28 0.3 0.14
Resolviendo con el 0atlab se obtiene los siguientes resultados"
#as concentraciones obtenidas son" C 1 = 0.0009
= 0.0016 C 3 = 0.0023 C 4 = 0.0016 C 5 = 0.0009 C 2
$n guide
. 6!orres de destilación' @e trata de separar una mezcla que contiene =2G de benceno 6E',B*G de tolueno 6?' y 1*G de xileno ) se dispone de una torre de destilación dual como se muestra en la fgura) $l producto extraído en la parte superior de la primera columna contiene ()B G EH D)=2G ? y 2)=2G I ) el producto de la segunda columna contiene B)1*G EH ()7G ? y B)(* G I) un tercio del producto extraído en la parte inerior de la segunda columna es reciclado en la primera columna) $l abricante especifca que la cantidad de E en el producto de la parte superior de la primera columna es 12 veces la correspondiente al producto de la parte superior de la segunda e igual a 1 veces la cantidad de E en el producto de la parte inerior de la segunda columna)
a'
Solución.-
a' .sumimos (22 moles de entrada en la alimentación 100 = B + T + X $l balance total del sistema es 30 = 0.914 B + 0.0425T Ealance parcial de benceno 45 = 0.0830 B + 0.916T Ealance parcial de tolueno 25 = 0.003 B + 0.0415T + X Ealance parcial de Iileno .l observa tenemos B ecuaciones y = incógnitas el cual escogeremos solo = ecuacionesH si se elige otros ecuaciones deben dar el sismo resultado) $l sistema de ecuaciones es"
0.914 0.083 1
0.914 B + 0.0425T + 0 = 30 0.083 B + 0.916T 1 B
+
1T
+ 0 = 45 + 1 X = 100
0.0425 0 B 0.916 1
0
1
30 T = 45 X 100
$n orma de matriz" .l resolver el sistema de ecuaciones con pro6lema(a,6), se obtiene"
B = 30.6676 moles
B = 30.6676%
= 46.3478 moles X = 22.9846 moles
T = 46.3478 %
T
100 = B + I b' Ealance total en la torre (
X = 22.9846%
I
= x 2 + x3 + x 4
donde 30 = 0.914 B + x2
Ealance parcial de benceno
45 = 0.0830 B + x3 Ealance parcial de tolueno
25 = 0.003 B + x4 Ealance parcial de Iileno Como ya se conoce el valor de E9 =2)7787 entonces cilmente se puede hallar los valores intermedios 30 = 0.914 ( 30.6676 )
+ x 45 = 0.083 ( 30.6676 ) + x 25 = 0.003 ( 30.6676 ) + x
2
3
4
30 = 28.0301864 + x2
x2
45 = 2.5454108 + x3
x3
25 = 0.0920028 + x4
x4
= 1.9698136 = 42.4545892 = 24.9079972
x2 x3 x4
= 2.8411 % de B = 61.2334 % de T = 35.9253% de X
$n guide
B = 30.6676 moles
= 46.3478 moles X = 22.9846 moles T
". 3 moles por hora de un gas de n componentes es introducido como alimentación a un tanque de vaporización 4ash) el vapor y líquido resultantes se retiran de J y # moles por hora, respectivamente) la racción mol de los componentes de la alimentación, vapor y liquido son designados por K, yi, xi, respectivamente) asumiendo que en la operación de estado uniorme de equilibrio vaporLliquido , se tiene " Ealance de materia total" 39#MJ i ! = xiL + y i" Ealance de materia para cada componente" y # i = i xi Relaciones de equilibrio liquidoLvapor" # i i .quí es la constante de equilibrio para componentes a la temperatura prevaleciente y presión en el tanque)
n
n
∑ x = ∑ y = 1 i
i
i =1
i =1
@e deriva la siguiente ecuación n
∑ " ( # $ #− 1! ) + ! = 1 i
i =1
i
i
Usando los datos de la siguiente tabla, resuelve la ecuaciones anterior para J)
xi
yi
también calcular los valores de # de y usando las tres primeras ecuaciones dadas) #os datos de prueba en la tabla relacionan el proceso para el gas natural indica a (( 0/. y BD NC .sumir que 39 (22 molOhora " 0 +Cul sería un buen valor de para iniciar la iteraciónEase esta respuesta en su observación de los datos en la tabla indica) componente metano dióxido de carbono etano propano iLbutano nLbutano pentanos hexanos heptanos
i (
Ki 2)D=B*
Pi =)22
1 = B * 7 8 D
2)22B7 2)2=D( 2)2(7= 2)22*2 2)228B 2)21D8 2)2112 2)2B=B ()2222
()7B2 2)812 2)=2 2)1(2 2)(8* 2)2= 2)27* 2)2=7
Solución./ara poder resolver este problema se dise&ara un programa en el 0atlab para poder hallar todos los resultados incluyendo el J coma las cantidades para cada componente, es programa a utilizar es" function f=flas:(;,<,,*5) fprintf(2>n2) s?ms v n=lengt:(;)1 s=51 for i='n s=s4;(i)8<(i)87(v8(<(i)-)4)1 en s=s-1 tol=59551 +=ne@ton(s,*5,tol,555)1 fprintf(2fraccion e fluo vaporiaa fprintf(2>n2) =-+1 fprintf(2fraccion Due permanese liDuia
+=%9Cf2 ,+)
=%9Cf2 ,)
fprintf(2>n2) suma=51 g=/01 for ='n *()=;()87(4<()8+)1 ?()=<()8*()1 g=/g1*() ?()01 en s=51 s?=51 for 3='n s=s4*(3)1 s?=s?4?(3)1 en fprintf(2 *i ?i2) compocision=g fprintf(2suma e *i %F95f2,s) fprintf(2>n2) fprintf(2suma e ?i %F95f2,s?) fprintf(2>n2)
.plicando el programa se obtiene" Jalor inicial
e5ecutar el programa, el volumen encontrado es de DD)77
3
L Utilizamos AUQ para este problema
