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PRACTICA N°2 DE ESTADÍSTICA 1. A cuatro unidades estadísticas se le asigna los valores 6, 10, 14 y 20 respectivamente en una escala de razón. Si en la misma escala se transforma 6 en 9, calcule el coeficiente de variación de los 4 valores transformados. SOLUCIÓN: Se observa que los datos están en razón a; 3:5:7:10 Si 6 se transforma en 9 los ahora serán; 9:15:21:30 Calculando la media de estos datos: 9+15+21+30 𝑋̅ = = 18,75 4
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑆𝑛2 =
81+225+441+900 4
- (18,75) 2
𝑆𝑛2 =60,1875
Sn = √𝑆𝑛2 = √60,1875 Sn = 7,758 Entonces el coeficiente de varianza (CV) es: 𝑆𝑛 7,758 CV = ̅ = 𝑋
18,75
CV =0, 41376 =41,376%
2. La demanda diaria en kilogramos de un producto tiene una media de 10 y una desviación estándar de 2. Si se hace un incremento del 20% de la demanda más 3Kg. ¿En qué porcentaje se logra reducir la variabilidad de la demanda diaria? SOLUCIÓN: Del enunciado se tiene: La media es: 𝑋̅ =10
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La desviación estándar es: Sn=2 El coeficiente de variación es: 𝑆𝑛 2 𝑐𝑣1 = ̅ = =0,2 o 20% 𝑋
10
Con un incremento del 20% más 3kg. Donde: X: demanda media inicial Y: demanda media final Y =1,2X+ 3 ̅𝑌 =1,2𝑋̅ + 3 ̅𝑌 =1,2.10+ 3
𝑌̅ =15
Además: 𝑆𝑦 =1,2. 𝑆𝑥 𝑆𝑦 =1,2x2 =2,4 El coeficiente de varianza final es: 𝑐𝑣2 =
𝑆𝑦 𝑌̅
=
2,4 15
= 0,16 o 16 %
El porcentaje reducido de variabilidad es: 20% -16% =4%
3. Las notas de una prueba de conocimiento que van de 0 a 20 se tabularon en una distribución de frecuencias y de la cual se obtuvieron: media=10, mediana=8, moda=4, y desviación estándar =3. Además, el 25% de los alumnos obtuvieron como máximo 04 y otro 25% obtuvieron como mínimo. a. Describe la asimetría de la distribución aplicando los promedios. b. Describe la asimetría de la distribución dibujando un diagrama de caja. c. Si a cada alumno se sube 4 puntos, ¿se ha logrado bajar la dispersión de las notas? SOLUCIÓN: a. Describiendo la asimetría promedios. Del enunciado se tiene: 𝑋̅ =10;
de la distribución aplicando los Me =8;
Mo =4
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Mo < Me < 𝑋̅ La grafica es asimétrica positiva con cola sesgada a la derecha
Mo < Me < 𝑋̅ b. Describiendo la asimetría diagrama de caja.
de la distribución mediante un
Xmin
Xmax
𝑄1=4
𝑄2
8
𝑄3 =13
Como 𝑄2 esta mas cera de 𝑄1 los datos tienden a concentrarse hacia la parte inferior entonces la gráfica es asimétrica positiva o sesgada a la derecha.
c. Si a cada alumno se sube 4 puntos, ¿se ha logrado bajar la dispersión de las notas? Si se ha logrado bajar la dispersión en las notas ya que: Al inicio: Al final:
𝑐𝑣1 = 𝑐𝑣2 =
3 10
21 100
= 0,3 o 30 % = 0,21 o 21 %
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Hay una disminución de 9%
4. Se realizaron 10 mediciones en C° con cada uno de los termómetros Ay B. a. ¿Cuál de los dos termómetros es más confiable, Si SA=4 y SB =5? b. ¿Cuál, si además, XA =20 y XB=27? SOLUCIÓN: a. ¿Cuál de los dos termómetros es más confiable, Si SA=4 y SB =5? RESPUESTA: se observa que la desviación estándar de A es menor que la desviación estándar de B, esto implica que las mediciones realizadas con el termómetro A están más cerca de su medida, por tanto es el más confiable ya que sus lecturas no varía mucho. b. ¿Cuál, si además, XA =20 y XB=27? Calculando el coeficiente de variación para ambos termómetros Para el termómetro A se tiene:
𝑐𝑣𝐴 =
𝑆𝐴 𝑋𝐴
=
4 20
= 0,2 o 20 %
Para el termómetro B se tiene:
𝑐𝑣𝐵 =
𝑆𝐵 𝑋𝐵
=
5 27
= 0,185 o 18,5 %
A partir de estos cálculos se observa que el más confiable es el termómetro B ya que su coeficiente de variación es más homogéneo.
5. La medida y la desviación estándar de los sueldos de N empleados de una fábrica son 500 y 30 respectivamente. A cada uno de los N empleados se les dará un aumento de A% de su sueldo más una bonificación de B soles. Halle A y B de tal manera que la medida de los sueldos modificados sea 600 y su desviación estándar.
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SOLUCIÓN: Datos: 𝑋̅ =500;
𝑆𝑋 = 30;
𝑌̅ (media de sueldos modificados)= 600
Podemos plantear que: Y=aX+b =X+
15𝑥 100
+b
a X + b = 1, 15X+ b
a = 1,15
Luego de realizar el aumento y la bonificación se obtiene la siguiente relación ̅
𝐴𝑋 𝑌̅ = + 𝑋̅+ B
𝑌̅ =
100
600=
(𝐴+100)500 100
+B
(𝐴+100)𝑋̅ 100
+B
5 A + B =100
De donde se obtiene que: A =10 Y B=50 Además:
𝑆𝑋 = a𝑆𝑌
30 = 1,15x𝑆𝑌
𝑆𝑌 = 26,087
6. Una investigación califica la aptitud de los grupos A y B de dos modos. Si los cuartiles 1, 2 y 3 del grupo A son respectivamente 5, 10 y 30; y del grupo B son 35, 45 y 50. a. ¿Cuál de los dos grupos tiene más aptitud homogénea? b. Describe la asimetría de cada grupo SOLUCIÓN: a. Determinando cuál de los dos grupos tiene más aptitud homogénea para ello calculamos el rango intercuartil.
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En el grupo A se tiene: 𝑅𝐼𝐴 = 𝑄3 - 𝑄1 =30 – 5 =25 En el grupo B se tiene: 𝑅𝐼𝐵 = 𝑄3 - 𝑄1 =50-35 =15 El rango intercuartil de B es más pequeño, por tanto será el más homogéneo
b. Describiendo la asimetría de cada grupo, para ello se debe tener en cuenta que, mientras el rango intercuartil sea más pequeño no hay mucha variabilidad en los datos. En el grupo A se tiene:
𝑄1=5
10
𝑄3 =30
Es asimétrica positiva o sesgada a la derecha En el grupo B se tiene:
𝑄1=35
𝑄2
45
Es asimétrica negativa o sesgada a la izquierda
𝑄3 =50
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7. Una prueba de conocimiento A se calificó sobre 20 puntos dando una media de 12 y una desviación estándar de 2 puntos. Mientras que una prueba de aptitud B se calificó sobre 100 puntos, dando una media de 70 y una desviación estándar de 5. a. ¿En cuál de las dos pruebas los puntajes son más homogéneos? b. Si juan tiene 14 en A y Luis, 73 en B, ¿Quién tiene mejor rendimiento? SOLUCIÓN: a. Para determinar en cuál de las dos pruebas los puntajes son más homogéneos calculamos el coeficiente de variación de ambas pruebas. Para la prueba A 𝑆 2 𝑐𝑣𝐴 = 𝐴 = = 0,167 o 16,7 % 𝑋𝐴
12
Para la prueba B 𝑆 5 𝑐𝑣𝐵 = 𝐵 = = 0,071 o 7,1 % 𝑋𝐵
70
Se puede observar que el coeficiente de variación en B es menor, por tanto será la más homogénea. b. Si juan tiene 14 en A y Luis, 73 en B, ¿Quién tiene mejor rendimiento? En el examen A 14−12 𝑍𝐴 = =1 2
𝑍𝐵 =
En el examen B =0,6
73−70 5
Juna tiene mayor rendimiento que Luis
8. El costo inicial de producción X de una muestra de 50 objetos de cierto tipo, tiene una desviación estándar de $3. La media de costo de producción es de $25 para 30 de los objetos de la muestra y de $20 para el resto. El costo final de producción esta dedo por la relación: Y=1,15X +2 Suponga que el precio de venta de cada objeto de la muestra es proporcional al cuadrado del costo final de producción. ¿Cuánto se recauda por la venta de los 50 objetos?
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SOLUCIÓN: Datos: Muestra = n=50 𝑆𝑥 = 3 La media de los 30 primeros objetos es: 𝑋1 +𝑋2 +⋯…..𝑋30 30
= $25
𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ … . . 𝑋30 =$750 La media para los 20 objetos restantes es: 𝑋31 +𝑋32 +⋯…..𝑋50 20
= $20
𝑋31 + 𝑋32 + ⋯ … . . 𝑋50 =400 Calculando la media de todos los objetos
𝑋 +𝑋 +⋯…..𝑋50 750+400 𝑋̅ = 1 2 = 50 50 𝑋̅ = 23
Utilizamos la relación: y=1,15.x + 2; para hallar el costo final de producción 𝑌̅ =1,15. 𝑋̅ + 2
𝑌̅ =1,15x23 + 2
𝑌̅ = 28,45 𝑌 = 28,45𝑥50 = 1422,5 El precio de venta es: 𝑃𝑣1 𝑦1 2
=
𝑃𝑣2
𝑦2 2
………
𝑃𝑣50 𝑦50
2
=k
𝑃𝑣1 +𝑃𝑣2 ………+𝑃𝑣50 𝑦1 2 +𝑦2 2 +⋯..+𝑦50 2
=k =1,15
Ptotal=𝑃𝑣1 + 𝑃𝑣2 … … … +𝑃𝑣50 =k (𝑦1 2 + 𝑦2 2 + ⋯ . . +𝑦50 2 ) Además: 𝑆𝑦 = 1,15x𝑆𝑥
𝑆𝑦 = 1,15x3=3,45
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𝑆𝑦 2 =
(𝑦1 2 +𝑦2 2+⋯..+𝑦50 2) 50
-𝑌̅ 2
𝑦1 2 + 𝑦2 2 + ⋯ . . +𝑦50 2 = (3.45)2 𝑥50 - (28.45)2 = 1404,5275 El precio total es = 1,15x1404,5275 = 1615, 206
9. Para un trámite nutricional de 100 adultos mayores se obtuvo la siguiente información de sus pesos en kilogramos. Se agrupan en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud, siendo el mínimo 40 y el máximo 90. La frecuencia absoluta del intervalo central fue 40 y del quinto, 10. La frecuencia relativa del primer intervalo fue de 0.05 y la del cuarto de 0.15. a. Calcule los cuartiles 1, 2 y 3. luego, analice la asimetría usando una gráfica de caja. b. Calcule la varianza de los pesos. ¿Cómo cambia este si cada adulto gana 10 Kg? SOLUCIÓN: Muestra =n =100 Numero de intervalos =5 𝑋𝑚𝑖𝑛 =40 y 𝑋𝑚𝑎𝑥 =90 A=
90−40 5
=10
𝑓3 =40 y 𝑓5 =10 ℎ1 =0,05 y ℎ4 =0,15 entonces usamos la relación ℎ𝑖 =
𝑓𝑖 𝑛
𝑓1 = ℎ1 𝑥100 =15 𝑓4 = ℎ4 𝑥100 =5
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Elaborando la tabla de frecuencias 𝐼𝑖 [40; 50> [50; 60> [60; 70> [70;80> [80; 90]
𝑓𝑖
𝑋𝑖 45 55 65 75 85
15 30 40 5 10
ℎ𝑖 0,05 0,15
𝑓𝑖 𝑥 𝑋𝑖 2 10125 90750 169000 84375 72250 Suma=426500
a. Calculando los cuartiles 1, 2 y 3 𝑄1 =50 +10(
200 −5 4
𝑄2 =60 +10( 𝑄3 =60 +10(
) =56,667
30
100 −35 2
40
) =63, 7500
300 −35 4
40
) =70
b. Calculando la varianza de los pesos cuando cada adulto gana 10 Kg? 𝐼𝑖 [50; 60> [60; 70> [70; 80> [80;90> [90; 100]
275 1950 3000 1275 950
𝑓𝑖 𝑥 𝑋𝑖 2 10125 90750 169000 84375 72250
Suma= 7450
Suma=565500
𝑓𝑖
𝑋𝑖 55 65 75 85 95
15 30 40 5 10
𝑓𝑖 𝑥 𝑋𝑖
Al inicio: ∑ 𝑓 𝑥𝑋 6450 𝑋̅ = 𝑖 𝑖 = = 64,5 100
100
∑ 𝑓𝑖 𝑥 𝑋𝑖 2
𝑆𝑛2 =
Al final:
100
426500 - 𝑋̅ 2 = - (64,5) 2 = 104, 75 100
UNCP - FAIM ∑ 𝑓 𝑥𝑋 7450 𝑋̅ = 𝑖 𝑖 = = 74,5 100
100
∑ 𝑓𝑖 𝑥 𝑋𝑖 2
𝑆𝑛2 =
100
565500 - 𝑋̅ 2 = - (74,5) 2 = 104, 75 100
Entonces no cambia la varianza
10.
Los siguientes datos muestran los calificativos de 20 personas sometidos a una prueba de aptitud. Los 20 estudiantes fueron divididos en dos grupos, al grupo 1 se calificó de 0 a 100 y al grupo 2 de 0 a 20: Grupo 1: 86, 81, 79, 73, 95, 86, 94, 90, 86, 88. Grupo 2: 16, 19, 13, 20, 14, 16, 19, 18, 17, 15. a. Calcule la media y la desviación estándar en cada grupo ¿Cuál de los grupos es más homogéneo? b. ¿Se puede aceptar que el estudiante con 73 puntos del grupo 1 tiene mayor aptitud que el estudiante con 13 puntos del grupo 2? SOLUCIÓN: a. Calculando la media y la desviación estándar en cada grupo
Para el grupo 1 ∑𝑋 86+81+79+73+95+86+94+90+86+88 𝑋̅ = 𝑖 = 𝑛 10 𝑋̅ = 85,8
S=√
∑ 𝑋̅ 2 𝑛
− 𝑋̅ 2 = √7402,4 − 7361,64
S=6,38 𝑆
6,38
𝑋
85,8
𝑐𝑣 = ̅ =
=0.074
Para el grupo 2 ∑ 𝑋 16+19+ 13+ 20+ 14+ 16+ 19+ 18+ 17+ 15 𝑋̅ = 𝑖 = 𝑛
10
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𝑋̅ = 16,7 S=√
∑ 𝑋̅ 2 𝑛
− 𝑋̅ 2 = √283,7 − 278,89
S=2,19 𝑆
2,19
𝑋
16,7
𝑐𝑣 = ̅ =
=0,131
Entonces el grupo 1 es más homogéneo
b. ¿Se puede aceptar que el estudiante con 73 puntos del grupo 1 tiene mayor aptitud que el estudiante con 13 puntos del grupo 2? PARA EL GRUPO 1 𝑍1 =
73−85,8 6,38
=-2,006
PARA EL GRUPO 2 𝑍2 =
13−16,7 2,19
=-1, 689
El grupo 2 tiene mayor valor relativo por lo que no es válido aceptar dicho argumento
11. Las notas de un examen de matemáticas se tabularon en una distribución de frecuencias de cuatro intervalos de amplitud iguales a cuatro, siendo el dato mínimo igual a cuatro y las frecuencias relativas primera y tercera respectivamente 0.15 y 0.35. Calcule la varianza de la distribución si la media aritmética es 12.4 SOLUCIÓN: Muestra =n = 20 Numero de intervalos =4 𝑋𝑚𝑖𝑛 =4 ℎ1 =0,15 y ℎ3 =0,35 entonces usamos la relación
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ℎ𝑖 =
𝑓𝑖
𝑓1 = ℎ1 𝑥20 =3
𝑛
𝑓3 = ℎ4 𝑥20 =7 ELABORANDO LA TABLA DE FRECUENCIAS 𝐼𝑖
𝑓𝑖
𝑋𝑖
[4; 8> [8; 12> [12; 16> [16;20]
6 10 14 18
3 a 7 b
ℎ𝑖
𝑓𝑖 𝑥 𝑋𝑖 2
ℎ𝑖
𝑓𝑖 𝑥 𝑋𝑖 2 108 600 1372 1296
0,05 0,15
Suma= 20
3+a+7+b =20 a + b =10…… (1)
Además la media es: ∑ 𝑋 .𝑓 3x6+10xa+14xa+18xb 𝑋̅ = 𝑖 𝑖 = = 12,4 𝑛
20
10xa +18x b + 116 =248 5xa + 9x b = 66……… (2) Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se tiene: a =6 y b=4 (reemplazando esto valores en la tabla) 𝐼𝑖
𝑓𝑖
𝑋𝑖
[4; 8> [8; 12> [12; 16> [16;20]
6 10 14 18
3 6 7 4
0,05 0,15
Suma= 3376
Calculando la varianza ∑ 𝑛𝑥𝑆 2
𝑆𝑛2 =
𝑛
3376 - 𝑋̅ 2 = - (12,4)2 20
𝑆𝑛2 = 15,04
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12.
En una empresa donde trabajan hombres y mujeres la media general de los estudiantes es $250. Si la media y la desviación estándar de los sueldos en el grupo de varones es $270 y $15 y en el grupo de mujeres es $220 y $10: a. Calcule el porcentaje de hombres y mujeres b. Calcule la desviación estándar de los sueldos de todos los trabajadores de la empresa. SOLUCIÓN:
̅̅̅̅ Media general=𝑋𝑔 ̅̅̅̅ 𝑋𝑔 =250 a. Calculando el porcentaje de hombres y mujeres VARONES
MUJERES
TOTAL
̅̅̅̅ 𝑋𝑣 =270 Sv =15 x 270
̅̅̅̅̅ 𝑋𝑚=220 Sm = 10 y 220
x+y 250
270x +220y =250x+ 250 y 20x=30y X 𝑦
=
3k 2𝑘
Porcentaje de varones es: X = 3k=60%
Porcentaje de mujeres es: Y =2k=40%
x + y = 5k=100%
k=20%
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b. Calculando la desviación estándar Ahora: HOMBRES 3k 15
MUJERES 2k 10
𝑋̅ =270 ∑ 𝑥.𝑓2
𝑆2 =
𝑛
𝑆 2 =175 +
𝑋̅ =220
∑ 𝑓2
- 𝑋̅ 2 𝑛 3𝑘(270−250)2
+
TOTAL 5k 25
5𝑘
+
2𝑘(220−250)2
𝑆 2 =175 + 240+ 360 =775
5𝑘
S = √𝑆 2 = √775 S = 27. 84
13.
Las calificaciones de 120 personas que rinden una prueba de aptitud son divididos en dos grupos, A y B, tienen una media total de 208 y una varianza de 1728.6. L a media y la varianza de las calificaciones de grupo A es de 240 y 225 respectivamente. Si 72 de todas las personas forman el grupo A, calcule la media y la varianza de las calificaciones del grupo B. SOLUCIÓN: Muestra = n
n=120
Media total = 𝑋̅ Varianza total =𝑆 2
̅̅̅ =208 𝑋𝑡 𝑆 2 =1728.6
La desviacion estandar sera: S S = √𝑆 2 =√1728,6 = 41,576
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Grupo A 240 225 𝑛1 =72
𝑋̅ 𝑆2
Grupo B
𝑋̅ 𝑏 𝑆2 𝑏
𝑛2 =48
Calculándola media 240𝑥72+ 𝑋̅𝑏𝑥48 120
240x72 + 𝑋̅ 𝑏𝑥48 =208x120
=208
𝑋̅ 𝑏x48 = 208x120 – 240x72
𝑋̅ 𝑏= 160
Calculando la varianza 𝑆2 =
225𝑥72+ 𝑆 2 𝑏𝑥48 120
+
72 (240−225)2 120
+
48(160−208)2 120
= 1728.6
𝑆 2 𝑏 =144
14.
Un producto que proviene de dos fábricas Ay B se clasifica en tres clases según su duración: De 1era, si su vida útil está en el cuarto superior, de 3era, si su duración está en el cuarto inferior, en otro caso son de 2da clase. Los precios son los mismos en cada marca A y B y en cada clase. Si A y B tienen medianas iguales a 12 meses, 1er cuartil 10 y 8 meses, y sus curvas de frecuencia son simétricas leptocartica y platicuartica respectivamente, ¿Cuál será su estrategia de compra para adquirir las 3 clases de producto? SOLUCIÓN: Producto de 2da clase 3 era
1era
DURACIÓN 25% 3era
2da
50% 75% 1era
La frecuencia simétrica leptocartica y platicuartica se ilustra de la siguiente manera
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Leptocartica
platicuartica
Luego: T = 1 año………………………………………………
A
B
Baja clase barato
2da
alta clase medio caro
12 meses A
B
α1
>
α2
A
100% TIEMPO 10
12
14
Esta es la Estrategia 3era clase 8
12
16 1era clase
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15.
Los precios de un producto en las 50 tiendas del centro de una ciudad A varían entre 8 y 18 soles. Estos precios se han organizado en una distribución de frecuencias con 5 intervalos de igual amplitud, resultado que en el 16, 56, 76 y 90 por ciento de estas tiendas los precios fueron inferiores a 10, 12, 14 y 16 soles, respectivamente. Un estudio similar mostro que en las tiendas del centro de otra ciudad B, la media los precios del mismo producto resulto ser 13.5 soles con la desviación estándar de 3 soles. Una tienda, que tiene sucursales en los centros de las ciudades Ay B, vende el producto en la ciudad B a 12 soles. Si esta tienda, tiende a fijar sus precios de acuerdo al medio, estime el precio al que vende este producto en la ciudad A. SOLUCIÓN: Muestra= n
n=50
K= número de intervalos 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 8
;
𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
A=
𝐾
k=5
=
18−8 5
𝑥𝑚𝑎𝑥 = 18
=
10 5
A=2 Elaborando la tabla de frecuencias 𝑋𝑖
𝑓𝑖
[8;10>
9
8
[10;12>
11
20
[12;14>
13
10
[14;16>
15
7
[16;18]
17
5
𝐼𝑖
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𝑋̅ =
9x8+11x20+13x10+15x7+17x5
𝑆2=
8x81+20x121+10x169+7x225+5x289
50
=12.24
50
– 12,24 =5,7424
S=varianza= √5,7424 =2, 3963
Por lo tanto:
A=2 Media =12,24
Z en B es 0,5 y Z en A es (𝑋̅ - 12,24)/2,3963 0,5=𝑋̅ - 12,24)/2,3963 𝑋̅ = 11,04 Entonces el precio estimado es = 11,04
frecuencia: 8, 20, 10, 7, 5 S=2, 3963
