Escuela Politécnica Nacional Facultad de Ingeniería Mecánica Laboratorio de Análisis de Esfuerzos y Vibraciones Laboratorio de Mecánica de Materiales II 1. PRÁCT PRÁCTICA ICA 5: Ensayo Ensayo de flexión flexió n en prob etas etas de perfil es de acero 2. Grupo: 5 2.1. Integrantes: Diego Paúl Arellano Venegas Anderson Efren Insuasti Guerra Joselyn Daniela Sánchez Moncayo Galo Fausto Tenelema Yanez
Carpeta: Verde Claro
1723401574 1724334121 1751612282 1724171457
Grupo 2 Grupo 2 Grupo 2 Grupo 3
3. Objetivos Determinar el módulo de elasticidad elasticidad (E) de los perfiles ensayados. Observar el comportamiento comportamiento de los elementos elementos sometidos sometidos a flexión flexión simétrica. Determinar el centroide centroide y el momento momento de inercia de la viga ensayada. Reconocer y determinar determinar los diagramas de distribución distribución de esfuerzo esfuerzo de flexión y el de esfuerzos cortantes de la viga. Conocer los principales parámetros presentes en un ensayo de flexión. Realizar los los diagramas de fuerza fuerza cortante y momento momento flector flector del perfil ensayado. • •
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4. Resumen Este documento presenta el estudio del ensayo de flexión realizado a una probeta de perfil de acero de sección C; se presenta el diagrama de cuerpo libre del perfil ensayado, los diagramas de corte y momento, el cálculo del momento de inercia del perfil y el cálculo del módulo de elasticidad para el perfil ensayado. Se detalla también los resultados obtenidos en el ensayo: velocidad de carga, carga máxima, esfuerzo máximo y deformación unitaria. Finalmente, se analiza el efecto que tienen las deformaciones por torsión en el cálculo del módulo de elasticidad de la viga y se detallan el esquema de distribución de esfuerzos de flexión y el diagrama de esfuerzos cortantes en la sección de la viga. Para el análisis y comparación de los resultados obtenidos se puede utilizar la norma ASTM E290-09. 5. Abstract This document presents the study of the bending test made to a C section steel profile; the free body diagram of the profile, the shear and moment diagrams, the calculation of moment inertia of the section and the calculation of the modulus of elasticity for the profile tested are presented. The following results obtained in the test are also detailed: loading speed, maximum load, maximum stress and unit strain.
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Finally, the effect of the torsional deformations in the calculation of the modulus of elasticity of the beam is analyzed; the distribution scheme of bending stresses and the shear stress diagram of the beam section are detailed. For the analysis and comparison of the results obtained, Standard Test Methods ASTM E290-09 can be used. 6. Revisi ón Teórica
La flexión se utiliza en el diseño de muchos elementos estructurales, al someter a un elemento simétrico a pares (M, M’) iguales y opuestos que actúan en el mismo plano longitudinal (flexión pura). Donde M es el momento flector.
Fig. 1. Flexión pura de un elemento simétrico. [1] El elemento se comporta como un material elástico lineal, que se flexionará de manera uniforme y en cualquier punto de la sección obedece a un estado de esfuerzo uniaxial y permanecen por debajo del esfuerzo de fluencia. La deformación unitaria longitudinal normal varía linealmente con la distancia y [1], que es la distancia perpendicular desde el eje neutro:
∈ −
(1)
Donde: y: distancia perpendicular desde el eje neutro. ρ: radio de curvatura.
La deformación unitaria será máxima cuando y es igual a la distancia perpendicular más alejado del eje neutro, c. Es decir:
∈
(2)
El esfuerzo normal varía linealmente con la distancia al plano neutro: Página 2 de 18
∈
(3)
−
(4)
Donde el esfuerzo máximo es igual a:
(5)
M: momento resultante interno. I: inercia de la sección de la sección transversal respecto al centroide. El eje neutro no está sometido a esfuerzos y pasa por el centroide de la sección.
Fig. 2. Variación del esfuerzo de flexión. [2]
7. Cálculos
7.1 Diagrama de cuerpo libre del perfil ensayado. (FIGURA 4)
Figura 3. Representación del ensayo de flexión realizado Página 3 de 18
Figura 4. Diagrama de cuerpo libre del perfil ensayado.
7.2 Diagramas de corte y momento. Para el diagrama de corte, los puntos máximos y mínimos son: ±
5320 2660 [N] 2
Para el diagrama de momento flector, el punto máximo es:
5320 [N] ∙ 0.8[m] 1064 [Nm] 4
Y los diagramas son:
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Figura 5. Diagrama de Corte
Figura 6. Diagrama de Momento Flector
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7.3 Cálculo del momento de inercia para el perfil ensayado.
Figura 7. Dimensiones en centímetros del perfil ensayado
Para los cálculos se toma de referencia la siguiente figura:
Figura 8. Referencia para el cálculo del momento de inercia del perfil Página 6 de 18
Primero, se calcula el centro de gravedad de la sección: Coordenada x: ∑= Área tángulo ∙ ̅ ̅ ̅ Área totl
Donde: ̅ : Coordenada x del centro de gravedad de la sección. ̅ ̅ : Coordenada x del centro de gravedad del rectángulo i.
Cálculo de las áreas: A 5.6 ∙ 0.2 1.12 cm A A 6 ∙ 0.2 1.2 cm A A 0.8 ∙ 0.2 0.16 cm A A +A + A +A + A 3.84 cm
Reemplazando cada factor: ̅
(1.12 ∙ 3) + (1.2 ∙ 0.1) + (1.2 ∙ 5.9) + (0.16 ∙ 0.6) + (0.16 ∙ 5.4) 3.84 ̅ 3
Coordenada y: ∑= Área tángulo ∙ Área totl
Donde: : Coordenada y del centro de gravedad de la sección. : Coordenada y del centro de gravedad del rectángulo i.
(1.12∙5.9)+(1.2∙3)+(1.2∙3)+ (0.16 ∙ 0.1) + (0.16 ∙ 0.1) 3.84 3.6
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Centro de gravedad: CG (3, 3.6).
Por el teorema de Steiner, se calculan las inercias de cada rectángulo respecto a x e y; luego se suma y se obtiene el momento de inercia respecto al centroide. Inercias respecto a x: ∙ ℎ I + A ∙ d 12 I
Inercia x respecto al centroide del rectángulo i.
Base del rectángulo i.
ℎ
Altura del rectángulo i.
A
Área del rectángulo i.
Distancia paralela al eje y del centro de gravedad del rectángulo i al centro de gravedad de la sección.
Para el rectángulo 1: ∙ ℎ 5.6 ∙ 0.2 I + A ∙ d + 1.12 ∙ 2.3 5.92853 cm 12 12
Para el rectángulo 2 y 3: ∙ ℎ 0.2∙6 I I + A ∙ d +1.2∙0.6 4.032 cm 12 12
Para el rectángulo 4 y 5: ∙ ℎ 0.8 ∙ 0.2 I I + A ∙ d + 0.16 ∙ 3.5 1.96053 cm 12 12
La inercia en x, es entonces: I I + I + I + I + I 17.9136 cm
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Inercias respecto a y: ∙ ℎ I + A ∙ d 12 I
Inercia y respecto al centroide, del rectángulo i.
Base del rectángulo i.
ℎ
Altura del rectángulo i.
A
Área del rectángulo i.
Distancia paralela al eje x del centro de gravedad del rectángulo i al centro de gravedad de la sección.
Para el rectángulo 1: ∙ ℎ 5.6 ∙ 0.2 I + A ∙ d +1.12∙0 2.92693 cm 12 12
Para el rectángulo 2 y 3: ∙ ℎ 0.2 ∙ 6 I I + A ∙ d +1.2∙2.9 10.096 cm 12 12
Para el rectángulo 4 y 5: ∙ ℎ 0.8 ∙ 0.2 I I + A ∙ d + 0.16 ∙ 2.4 0.93013 cm 12 12
La inercia en y, es entonces: I I + I + I + I + I 24.9792 cm
Finalmente: I 17.9136 cm I 24.9792 cm
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7.4 Cálculo del módulo de elasticidad para el perfil ensayado. Para la viga utilizada, se sabe que: x 48
Es decir:
48x
Donde: :
Módulo de Elasticidad.
:
Carga máxima (5320 N).
x:
Deflexión máxima (9.59 mm).
:
Momento de Inercia Ix de la sección utilizada. Reemplazando los datos en la ecuación anterior: 5320 [N] (0.8) [m ] N 3.303 × 10 17.9136 m 48(0.00959 ) [m] ∙ 100 [m ] 33 [GPa]
7.5 Diagrama Esfuerzo vs Deformación unitaria Para realizar este diagrama, los esfuerzos se obtuvieron tras dividir el momento para la inercia, dicho momento se obtuvo multiplicando cada fuerza por la mitad de la longitud de la probeta; la deformación unitaria se obtuvo dividiendo el esfuerzo para el módulo de elasticidad.
∗
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Figura 9. Curva esfuerzo vs deformación
8. Resultados Obtenidos
Tabla 1. Resultados Obtenidos Velocidad de carga 5 [mm/min] Carga máxima 5320 [N] Deflexión máxima 9.59 [mm] Esfuerzo máximo 11.88 [GPa] Deformación unitaria máxima 0.36
Cálculo del esfuerzo máximo:
∗ 5320 ∙ 0.4 ∙ 10 11.88 [GPa] 17.9136 100
Cálculo de la deformación unitaria máxima: ;
11.88 [GPa] 0.36 33 [GPa]
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9. Análisis de Result ados
Tras los resultados, se observa que el perfil tiene el momento máximo en la mitad, es decir donde se aplicó la carga y en los apoyos, el momento es igual a cero; para las fuerzas cortantes en cambio, se dio un diagrama formado por dos cuadrados, uno en el eje positivo y otro en el negativo, tal como en el caso de una viga simple; aquí cada sección de la viga soporta una fuerza cortante constante de 2660 N contraria para las dos mitades de la viga. Dibujando el perfil de la viga en el software de AutoCAD para obtener el momento de inercia, se compara con el momento de inercia obtenido con los cálculos hechos a mano; el error obtenido es del 0%. La curva presentada es la curva esfuerzo deformación; si se procede a determinar la deformación unitaria con la ecuación , se obtendrá una gráfica de una recta de pendiente positiva, ya que tanto el valor del módulo de elasticidad y el valor del esfuerzo fueron calculados con la inercia. Es importante notar que una vez que se extrae la probeta de la prensa hidráulica, ésta tiene una recuperación en la deformación final que presentó.
10. Preguntas 1. ¿Afectan las deformaciones por torsión al cálculo del módulo de elasticid ad de la viga?
Al someter a un elemento a flexión en sus extremos (apoyos) se generan momentos torsores, los cuales hacen que se origine un ángulo de deformación y por consecuencia la inercia del elemento varia haciendo que el módulo de elasticidad se altere ya que este depende de la inercia del elemento ensayado. 2. Realice un esquema de distribución de esfuerzos de flexión en la sección de las vigas.
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Figura 10. Distribución de esfuerzos para la sección utilizada en el ensayo [GPa]
3. Realice el diagrama de esfuerzos cor tantes desarrollados en la sección de la viga
Figura 11. Distribución de esfuerzos cortantes desarrollados en la sección
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11. Conclusiones
- Se comprobó que el momento de inercia de un perfil depende de la geometría del mismo. - Se comprobó que cuando un elemento es sometido a ensayo de flexión, éste tiene una recuperación elástica luego de terminado el ensayo, ya que no se deforma plásticamente por completo. - El ensayo fue realizado con el perfil en forma de u invertida, entonces la inercia toma el valor calculado de Ix, si se realizaba el ensayo orientándolo al perfil en C, éste tenía mayor Inercia (Iy) por lo que hubiese sido aprovechado de mejor manera el perfil. - La dificultad de calcular el momento de inercia se halla en la ubicación del centroide del perfil y de los elementos que conforman el perfil, a geometrías más difíciles, mayor dificultad de cálculo. - Como se esperaba, la probeta fallo en la mitad, ya que en este lugar se ubicaba el momento máximo y fue aquí donde se aplicó la carga. - La probeta ensayada no presentó buena resistencia a la flexión por lo que se la descarta si se va a utilizar bajo cargas de flexión o bajo cargas de compresión que lleven a la probeta a la flexión. - Existe un error en la toma de datos de las medidas del perfil o en la longitud de la viga, pues el módulo de elasticidad obtenido no corresponde al del Acero.
12. Recomendaciones
- Para realizar la práctica, es recomendable seleccionar un perfil de geometría no complicada para evitar errores en los cálculos. -
Se debe tener en cuenta las unidades para realizar los cálculos y no obtener errores.
- Se debe tener una viga en buen estado para ser sometida al ensayo de flexión, que ésta no presente grietas o fracturas ya que son concentradores de esfuerzos. -
Utilizar el equipo de seguridad correcto.
- Colocar la carga en la mitad de la viga o de tal manera que ésta tenga su mejor desempeño. -
Asegurarse que el perfil sea de acero.
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13. Referencias [1]
F. P. Beer y J. J. E. Russell, Mecánica de Materiales 5ta Edición, México: McGraw-Hill, 2010.
[2]
J. M. Gere y B. J. Goodno, Mecánica de Materiales 7ma Edición, México: Cengage Learning , 2009.
[3]
R. C. Hibbeler, Mecánica de Materiales 8va Edición, México: Pearson Education, 2011.
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14. Apéndice o anexos ANEXO 1: No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Fuerza Posición (N) (mm) 870 869 882 892 911 935 960 993 1023 1053 1088 1125 1159 1191 1225 1261 1296 1342 1376 1413 1452 1493 1530 1562 1599 1634 1668 1705 1742 1782 1818 1854 1887 1925 1958 2000 2030 2070 2100 2140 2170 2210 2240 2280
-1.496 -1.496 -1.49 -1.476 -1.457 -1.436 -1.409 -1.381 -1.349 -1.317 -1.283 -1.249 -1.213 -1.178 -1.141 -1.105 -1.068 -1.031 -0.994 -0.958 -0.921 -0.883 -0.846 -0.809 -0.773 -0.734 -0.697 -0.659 -0.623 -0.584 -0.548 -0.51 -0.474 -0.436 -0.4 -0.362 -0.325 -0.288 -0.25 -0.213 -0.1756 -0.1378 -0.1017 -0.0651
No 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
Fuerza Posición (N) (mm) 2310 2340 2370 2410 2440 2470 2500 2530 2570 2590 2630 2660 2690 2730 2760 2790 2820 2850 2880 2910 2940 2970 3000 3030 3060 3090 3120 3150 3170 3200 3240 3260 3300 3320 3350 3370 3400 3430 3450 3480 3500 3540 3560 3590
-0.0273 0.01008 0.047 0.0836 0.1216 0.1593 0.1958 0.234 0.27 0.308 0.344 0.382 0.419 0.457 0.493 0.532 0.569 0.605 0.642 0.679 0.716 0.753 0.791 0.828 0.865 0.902 0.94 0.978 1.015 1.051 1.089 1.126 1.163 1.201 1.239 1.275 1.313 1.35 1.388 1.425 1.461 1.499 1.536 1.574
No 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
Fuerza (N) 3610 3630 3660 3690 3710 3730 3750 3780 3800 3830 3850 3870 3900 3920 3950 3970 3990 4010 4030 4050 4070 4090 4110 4070 4100 4130 4150 4170 4180 4210 4230 4240 4270 4290 4300 4320 4340 4350 4370 4390 4400 4420 4430 4450
Posición (mm) 1.611 1.649 1.686 1.724 1.76 1.798 1.835 1.872 1.91 1.948 1.985 2.02 2.06 2.1 2.13 2.17 2.21 2.25 2.28 2.32 2.36 2.4 2.43 2.47 2.5 2.54 2.58 2.62 2.66 2.69 2.73 2.77 2.81 2.84 2.88 2.92 2.96 2.99 3.03 3.07 3.11 3.14 3.18 3.22
No 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175
Fuerza (N)
Posición (mm)
4460 4460 4480 4500 4510 4530 4540 4550 4570 4580 4590 4610 4620 4630 4650 4660 4670 4690 4690 4710 4720 4730 4740 4750 4760 4780 4780 4790 4810 4820 4830 4830 4850 4850 4860 4870 4880 4890 4900 4910 4920 4920 4930 4930
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3.25 3.25 3.29 3.33 3.37 3.4 3.44 3.48 3.52 3.55 3.59 3.63 3.66 3.7 3.74 3.78 3.81 3.85 3.89 3.93 3.96 4 4.04 4.07 4.11 4.15 4.19 4.22 4.26 4.3 4.34 4.37 4.41 4.45 4.49 4.52 4.56 4.6 4.63 4.67 4.71 4.75 4.78 4.82
No 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222
Fuerza Posición (N) (mm) 4940 4950 4960 4970 4970 4980 4990 4990 5000 5010 5020 5020 5030 5040 5040 5050 5060 5070 5070 5080 5080 5090 5090 5100 5100 5110 5110 5120 5120 5130 5130 5140 5150 5150 5150 5150 5160 5160 5160 5170 5180 5180 5180 5190 5190 5190 5200
4.86 4.89 4.93 4.97 5.01 5.05 5.08 5.12 5.16 5.19 5.23 5.27 5.31 5.34 5.38 5.42 5.45 5.49 5.53 5.57 5.6 5.64 5.68 5.72 5.75 5.79 5.83 5.86 5.9 5.94 5.98 6.01 6.05 6.09 6.12 6.16 6.2 6.24 6.27 6.31 6.35 6.39 6.42 6.46 6.5 6.53 6.57
No 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269
Fuerza Posición (N) (mm) 5200 5200 5210 5210 5210 5210 5210 5220 5220 5220 5230 5230 5230 5230 5240 5240 5240 5240 5250 5250 5260 5260 5260 5260 5260 5260 5270 5270 5270 5270 5270 5270 5270 5280 5280 5280 5280 5280 5290 5290 5280 5290 5290 5290 5300 5300 5300
6.61 6.65 6.68 6.72 6.76 6.79 6.83 6.87 6.91 6.94 6.98 7.02 7.06 7.09 7.13 7.17 7.2 7.24 7.28 7.32 7.35 7.39 7.43 7.47 7.5 7.54 7.58 7.61 7.65 7.69 7.73 7.76 7.8 7.84 7.88 7.91 7.95 7.99 8.03 8.06 8.1 8.14 8.17 8.21 8.25 8.29 8.32
No 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316
Fuerza (N) 5300 5300 5300 5300 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5320 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5320 5320 5320 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310 5310
Posición (mm) 8.36 8.4 8.44 8.47 8.51 8.55 8.58 8.62 8.66 8.69 8.73 8.77 8.81 8.84 8.88 8.92 8.96 8.99 9.03 9.07 9.11 9.14 9.18 9.22 9.25 9.29 9.33 9.36 9.4 9.44 9.48 9.51 9.55 9.59 9.62 9.66 9.7 9.74 9.78 9.81 9.85 9.89 9.92 9.96 10 10.04 10.07
No 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363
Fuerza (N) 5310 5310 5310 5300 5300 5310 5310 5300 5300 5300 5300 5300 5300 5300 5300 5300 5300 5290 5290 5290 5290 5290 5290 5290 5290 5290 5290 5280 5280 5280 5280 5280 5280 5270 5270 5270 5270 5270 5270 5270 5270 5260 5260 5260 5260 5250 5260
Posición (mm) 10.11 10.15 10.18 10.22 10.26 10.29 10.33 10.37 10.41 10.44 10.48 10.52 10.56 10.59 10.63 10.67 10.7 10.74 10.78 10.82 10.85 10.89 10.93 10.97 11 11.04 11.08 11.11 11.15 11.19 11.23 11.26 11.3 11.34 11.38 11.41 11.45 11.49 11.52 11.56 11.6 11.64 11.67 11.71 11.75 11.79 11.82
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No 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410
Fuerza Posición No (N) (mm) 5250 5260 5250 5260 5250 5250 5240 5240 5240 5240 5240 5240 5240 5240 5240 5240 5240 5230 5230 5220 5220 5220 5220 5220 5220 5220 5220 5210 5210 5210 5210 5210 5210 5210 5200 5200 5200 5190 5190 5190 5190 5190 5190 5180 5180 5180 5180
11.86 11.9 11.93 11.97 12.01 12.05 12.08 12.12 12.16 12.2 12.23 12.27 12.31 12.34 12.38 12.42 12.46 12.49 12.53 12.57 12.6 12.64 12.68 12.72 12.75 12.79 12.83 12.87 12.9 12.94 12.98 13.01 13.05 13.09 13.13 13.16 13.2 13.24 13.27 13.31 13.35 13.39 13.42 13.46 13.5 13.53 13.57
411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457
Fuerza Posición (N) (mm) 5180 5180 5170 5170 5170 5170 5160 5160 5160 5160 5160 5160 5150 5150 5150 5150 5140 5150 5140 5140 5140 5140 5140 5140 5140 5140 5130 5130 5130 5130 5130 5130 5120 5120 5120 5120 5110 5110 5110 5110 5110 5110 5100 5100 5100 5100 5090
13.61 13.65 13.68 13.72 13.76 13.8 13.83 13.87 13.91 13.94 13.98 14.02 14.06 14.09 14.13 14.17 14.2 14.24 14.28 14.32 14.35 14.39 14.43 14.46 14.5 14.54 14.58 14.61 14.65 14.69 14.73 14.76 14.8 14.84 14.87 14.91 14.95 14.99 15.02 15.06 15.1 15.13 15.17 15.21 15.25 15.28 15.32
No 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500
Fuerza (N) 5100 5100 5090 5090 5090 5080 5080 5080 5080 5080 5080 5080 5080 5070 5070 5070 5070 5070 5070 5070 5060 5060 5060 5060 5060 5050 5040 5050 5040 5040 5040 5040 5040 5040 5040 5040 5030 5030 5030 5020 5020 5020 5020
Posición (mm) 15.36 15.39 15.43 15.47 15.51 15.54 15.58 15.62 15.66 15.69 15.73 15.77 15.8 15.84 15.88 15.92 15.95 15.99 16.03 16.06 16.1 16.14 16.18 16.21 16.25 16.29 16.32 16.36 16.4 16.44 16.47 16.51 16.55 16.59 16.62 16.66 16.7 16.73 16.77 16.81 16.85 16.88 16.92
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