PRACTICA # 2 ASIGNATURA: PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES ASIGNATURA: TIEMPO PLANIFICADO EN EL SILABO: 6 HORAS TIEMPO DE LA PRÁCTICA : 4 horas NUMERO DE ESTUDIANTES POR GRUPO: Pra!"a "$"%"$&a' D(: DANN) ARMI*OS
Para: + I,- D"(,o Or(''aa
.- TEMA: SISTEMAS ) SEÑALES DE TIEMPO DISCREITO
2- OB*ETI/O I/OS: •
Aprender a generar funciones para aplicar a programas de análisis de señales discretas como son las funciones sigmult, impseq, stepseq, sigad, sigshift, sigfold, evenodd, conv_m.
•
Aprender sobre Secuencia exponencial, exponencial, la
exponencial exponencial de valor complejo,
Secuencia Sinosoidal, Sinosoidal, Secuencia periódica, periódica, la adición multiplicación multiplicación de señales discretas •
Aprender a encontrar encontrar la convolución convolución de una una señal
0- Ma!(r"a Ma!(r"a'(s1 '(s1 H(rra H(rra"( "(!as !as11 E3&"os E3&"os 5 r(a!"% r(a!"%osos!ateriales , "eactivos Sof#are •
Pro,raa Ma!'a 27.4
4- E3&" E3&"o os s 5 R(a R(a! !"% "%os os $quipos herramientas •
Ua Co&!a$ora o aa"$a$ $( or(r Ma!'a
8- IMA IMARCO RCO TE9R TE9RIC ICO: O: S(a'(s 5 s"s!(as $( !"(o $"sr(!o %omen&amos %omen&amos con los conceptos de señales sistemas en tiempo discreto. Se introducen una serie de tipos importantes de señales sus operaciones. 'os sistemas lineales invariantes por despla&amiento despla&amiento se discuten sobre todo porque son más fáciles de anali&ar e implementar. 'a convolución las representaciones de las ecuaciones de diferencia reciben una atención especial debido a su importancia en el procesamiento de señal pág. 1
digi digital tal en !A( !A('A). 'A). $l *nfa *nfasi sis s en esta esta prác prácti tica ca está está en las las repr repres esen enta taci cion ones es e implementación de señales sistemas usando !A('A).
'as señale señales s se clasif clasifica ican n en gener general al en señale señales s analóg analógica icas s discr discreta etas. s. +na señal señal analógica será denotada por xa t-, en la cual la variable t puede representar cualquier cantidad cantidad fsica, pero asumiremos asumiremos que representa representa el tiempo tiempo en segundos segundos.. +na señal discreta será denotada por x n-, en la que la variable n es inter/valuable representa instancias discretas en el tiempo. 0or lo tanto, tambi*n se denomina una señal de tiempo discreto, que es una secuencia num*rica se indicará mediante una de las siguientes anotaciones1 2 n- 3 4x n-5 3 4. . . , 2 /6-, x 7-, x 6-,. . .5
6-
ACTI/IDADES DESARROLLAS: 6-. Señales en Tiempo Discreto 6-.-. Tipos de secuencias Se +tili&a varias secuencias elementales en el procesamiento de señal digital para el análisis 'os propósitos. Siguen sus definiciones representaciones de !A('A).
S(&("a $( &(s!ras &"!ar"as:
7
$n !A('A) la función ceros 6, 8- genera un vector de fila de 8 ceros, que se pueden utili&ar para implementar 9 n- en un intervalo finito. Sin embargo, la relación lógica n 33 7 es una forma elegante de implementar 9 n-. 0or ejemplo, para
Sobre el intervalo n6 : n7 : n;, utili&aremos la siguiente función de !atlab que se observa en el cuadro 6.
function [x,n] = impseq(n0,n1,n2) %Generates x(n) = dirac(n-n0);% n1 <= n <= n2 % ---------------------------------------------%[x,n] = impseq(n0,n1,n2) n = [n1n2]; x = [(n-n0)==0]; Cuadro. 1 función que representa d(n-n0 impseq Secuencia de pasos unitarios:
$n !A('A) la función ones 6, 8- genera un vector de filas de 8 ones. 0uede usarse para generar u n- en un intervalo finito. +na ve& más, un enfoque elegante es utili&ar la relación lógica n< 3 7. 0ara implementar
Sor( (' "!(r%a'o . ; 7 ; 21 &!"'"
oo s( os(r%a ( (' &a$ro 2function [x,n] = stepseq(n0,n1,n2) % Generates x(n) = u(n-n0); n1 <= n <= n2 % -----------------------------------------% [x,n] = stepseq(n0,n1,n2) % n = [n1n2]; x = [(n-n0) != 0]; Cuadro. ! funcion para una secuencia de pasos unitarios u(n-no Secuencia exponencial de valor real: x (n) = an, ∀n; a ∈ R
Secuencia exponencial. 0or ejemplo, para generar x n- 3 7.=- n, 7 : 8 : 67, necesitaremos la secuencia de comandos de !A('A) que se observa en el cuadro > cuo resultado se observa en la figura 6.
7
n = [0"]; % representa un #ector x = (0$)$&n; % operacion de un numero esca'ar e'e#ado a un #ector disp( esca'ar 0$ e'#ado a #ector n= [0"]);x % muestra mensa*e en e' command +indo+ Cuadro. % "orma de in#resar los operadores para reali'ar una secuencia exponencial
"i#ura. 1 $esultado de la operación del cuadro %
S(&("a (?o("a' $( %a'or o'(@o: ?onde @ produce una atenuación si 7- o amplificación si< 7- B7 es la frecuencia en radianes. Se utili&a una función exp de !A('A) para generar secuencias exponenciales. 0or ejemplo, para generar x n- 3 exp C; D j>- nE, 7:n:67, necesitaremos el siguiente script de !A('A) como se observa en el cuadro F, cuo resultado se puede ver en la figura ;.
n = [0]; % representa un #ector x = exp((2.*)/n); %operacion de 'a exponencia' de un numero comp'e*o por un #ector disp(resu'tado de 'a exp((2.*)/[0]);x % muestra mensa*e en e' command +indo+ Cuadro. & "orma de in#resar los operadores para reali'ar una secuencia exponencial
"i#ura. ! $esultado de la operación del cuadro numero &
S(&("a S"oso"$a'
?onde A es una amplitud G7 es la fase en radianes. +na función de !A('A) cos o sin- se usa para generar secuencias sinusoidales. 0or ejemplo, para generar x n- 3 >cos 7.6Hn D H I >- D ; sen 7.JHn-, 7 : n : 67, necesitaremos el siguiente
7
script de !A('A) que se observa en el cuadro J cuo resultado de se representa en la figura >.
n = [0"]; % representa un #ector x = ./cos(0$1/pi/npi.) 2/sin(0$/pi/n);% operacin con seno 3 coseno disp(resu'tado de ./cos(0$1/pi/npi.) 2/sin(0$/pi/n );x % muestra mensa*e en e' command +indo+ Cuadro. )peraciones con seno * coseno de la función x
"i#ura. % $esultado del cuadro
S(&("a (r">$"a: +na secuencia x n- es periódica si x n- 3 x n D 8-, ∀n. $l entero 8 más pequeño que satisface esta relación se llama el perodo fundamental. +tili&aremos Kx npara denotar una secuencia periódica. 0ara generar 0 perodos de Kx n- desde un periodo 4x n-, 7 : n : 8/65, podemos copiar x n- 0 veces esto se representa en el cuadro L.
xti'de = [x,x,$$$,x];
Cuadro. + $epresentación de una secuencia periódica 0ero un enfoque elegante es utili&ar las poderosas capacidades de indexación de !A('A). 0rimero generamos una matri& que contiene 0 filas de valores de x n-. $ntonces podemos concatenar las filas de 0 en un vector de la fila larga usando la construcción 1-. Sin embargo, esta construcción sólo funciona en columnas. 0or lo tanto, tendremos que usar el operador de transposición de matri& Mpara proporcionar el mismo efecto en las filas. xti'de = x / ones(1,4); % 4 co'umnas de x; 5 es un #ector de fi'a xti'de = xti'de(); % 6ector co'umna 'ar7a xti'de = xti'de; % 6ector de fi'a 'ar7a
Cuadro. , $epresentación de una secuencia periódica en atla
7
6-.-2 )peraciones en secuencias .- /dición de señal Se implementa en !A('A) por el operador aritm*tico NDN. Sin embargo, las longitudes de x6 n- x; n- deben ser las mismas. Si las secuencias son de longitudes desiguales, o si las posiciones de la muestra son diferentes para secuencias de igual longitud, entonces no podemos utili&ar directamente el operador D. (enemos que aumentar primero x6 n- x; n- para que tengan el mismo vector de posición n por lo tanto la misma longitud-. $sto requiere una cuidadosa atención A las operaciones de indexación de !A('A). $n particular, el funcionamiento lógico de la intersección NON, las operaciones relacionales como N3N N33N, la función find son necesarios para hacer x6 n- x; n- de longitud igual. 'a siguiente función, denominada función sigadd, demuestra estas operaciones esto se muestra en el cuadroP. Su uso se ilustra en el ejemplo ;.; que se desarrollará más adelante
function [3,n] = si7add(x1,n1,x2,n2) % 8mp'ementa 3 (n) = x1 (n) x2 (n) unesdoc$unesco$or7 unesdoc$unesco$or7 % [9, n] = si7add (x1, n1, x2, n2) % 9 = secuencia suma so:re n, que inc'u3e n1 3 n2 % 51 = primera secuencia so:re n1 % 52 = se7unda secuencia so:re n2 (n2 puede ser diferente de % n = min(min(n1),min(n2))max(max(n1),max(n2)); % duracin de 31 = eros(1,'en7t(n)); 32 = 31; % inicia'iacin 31(find((n!=min(n1))(n<=max(n1))==1))=x1; % x1 con duracin 32(find((n!=min(n2))(n<=max(n2))==1))=x2; % x2 con duracin 3 = 3132; % secuencia de adicin
n1) 3(n) de de
3 3
Cuadro. Desarrollo de la función si#add que permite reali'ar la adicción i#ualando 2- ultiplicacion de señal las lon#itudes de los vectores $sta es una multiplicación de muestra por muestra o NpuntoN-- dada por
Se implementa en !A('A) por el operador de matri&. +na ve& más, las restricciones similares se aplican para el operador Q como para el operador D. 0or lo tanto, hemos desarrollado la función sigmult que se observa en el cuadro =, que es similar a la función sigadd. Su uso se ilustra en el ejemplo ;.;.
7
function [3,n] = si7mu't(x1,n1,x2,n2) % 8mp'ementa 3 (n) = x1 (n) / x2 (n) % [9, n] = si7mu't (x1, n1, x2, n2) % 9 = secuencia de' producto so:re n, que inc'u3e n1 3 n2 % 51 = primera secuencia so:re n1 % 52 = se7unda secuencia so:re n2 (n2 puede ser diferente de n1) % n = min(min(n1),min(n2))max(max(n1),max(n2)); % duration of 3(n) 31 = eros(1,'en7t(n)); 32 = 31; % 31(find((n!=min(n1))(n<=max(n1))==1))=x1; % x1 +it duration of 3 32(find((n!=min(n2))(n<=max(n2))==1))=x2; % x2 +it duration of 3 3 = 31 $/ 32; % sequence mu'tip'ication
Cuadro. 3 Desarrollo de la función si#mult que permite reali'ar la multiplicación de vectores i#ualando las lon#itudes.
0- Siftin#: $n esta operación, cada muestra de x n- se despla&a en una cantidad R para obtener una secuencia despla&ada n-.
Si dejamos que m 3 n/R, entonces n 3 m D R la operación anterior es dada por
0or lo tanto, esta operación no tiene efecto sobre el vector x, pero el vector n cambia añadiendo R a cada elemento. $sto se muestra en la función sigshift.que se observa en el cuadro 67.
function [3,n] = si7sift(x,m,>) % imp'ements 3(n) = x(n->) % ------------------------% [3,n] = si7sift(x,m,>) % n = m>; 3 = x;
Cuadro. 10 $epresentación de la función si#sift que lo que ace es despla'a una señal
4- "oldin# (2le#ado $n esta operación cada muestra de x n- es volteada alrededor de n 3 7 para obtener una secuencia plegada n-.
En MATLAB esta operación se impementa me!iante a "#nción $ipr (%) para os &aores !e m#estra ' por a "#nción $ipr (n) para as posiciones !e m#estra como se m#estra en a "#nción sig"o! a c#a se p#e!e oser&ar en e c#a!ro 11.
7
function [3,n] = si7fo'd(x,n) % imp'ements 3(n) = x(-n) % ----------------------% [3,n] = si7fo'd(x,n) % 3 = f'ip'r(x); n = -f'ip'r(n);
Cuadro. 11 $epresentación de la señal si#fold que lo que ace es encontrar la re7e6ada de una señal.
8- 4ner#5a de señal 'a energa de una secuencia x n- viene dada por
?onde el exponente Q denota la operación de conjugación compleja.6 'a energa de una secuencia de duración finita x n- se puede calcular en !A('A) usando el script que se observa en el cuadro 6;.
?x = sum(x $/ con*(x)); % one approac ?x = sum(a:s(x) $& 2); % anoter approac
Cuadro. 1! Script que permite encontrar la ener#5a de una funcion x(n
6- / continuación desde el cuadro 1! al 1 se representan e6emplos de la utili'ación de las funciones
creadas previamente en diversos
e6emplos
6-. $jemplo ;.6
G((rar 5 !ran67-Cun67-un;7-E, 7 : n : ;7. - xn- 3 cos7.7FHn- D 7.;#n-, 7 : n : J7, #here #n- is a Taussian random sequence #ith &ero mean and unit variance.
$- Uxn- 3 4..., J, F, >, ;, 6, J, F, >, ;, 6, J, F, >, ;, 6, ...5V 67 : n : =. 'a resolucion de este ejercicio de todos los literales lo podemos observar en el cuadro 6> donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura F a-, b-, c- d-.
7
%% ?*emp'o 2$1 %Generar 3 traar cada una de 'as si7uientes secuencias en e' inter#a'o indicado$ %%%%a$ x (n) = 2δ(n 2) − δ(n − ), − ≤ n ≤ $ disp(e*ercicio a) fi7ure(1); n = [-]; %#ector x = 2/impseq(-2,-,) - impseq(,-,); % uso de 'a funcion impseq creada anteriormente stem(n,x); tit'e(@equence in 4ro:'em 2$1a)%permite 7raficar un con*unto de nAmeros discretos x'a:e'(n); 3'a:e'(x(n));% etiqueta e*e x e 3 pause;% para pro7rama para contiar acer enter %:$ x(n) = n [u(n) B u(n B 10)]10eB0$.(nB10) [u(n B 10) B u(n B 20)], 0 B n B 20$ disp(e*ercicio :) fi7ure(2); n = [020]; x1 = n$/(stepseq(0,0,20)-stepseq(10,0,20));% uso de 'a funcion stepseq creada anteriormente x2 = 10/exp(-0$./(n-10))$/(stepseq(10,0,20)-stepseq(20,0,20)); x = x1x2; su:p'ot(2,2,.); stem(n,x); tit'e(@equence in 4ro:'em 2$1:) x'a:e'(n); 3'a:e'(x(n)); pause; %% c$ x(n) = cos(0$0pin) 0$2+(n), 0 B n B 0$ disp(e*ercicio c) fi7ure(.); n = [00]; x = cos(0$0/pi/n)0$2/randn(sie(n)); su:p'ot(2,2,2); stem(n,x); tit'e(@equence in 4ro:'em 2$1c) x'a:e'(n); 3'a:e'(x(n)); pause;
%%Cx(n) = D$$$, , , ., 2, 1, , , ., 2, 1, , , ., 2, 1, $$$E; B10 B n B $ disp(e*ercicio d) fi7ure(); n = [-10]; x = [,,.,2,1]; xti'de = x / ones(1,); xti'de = (xti'de()); su:p'ot(2,2,); stem(n,xti'de); tit'e(@equence in 4ro:'em 2$1d) x'a:e'(n); 3'a:e'(xti'de(n));
Cuadro. 1% $esolución del e6ercicio !.1 a8 8 c * d 7
a
7
$ "i#ura. & a8 8 c * d $espuestas del e6ercicio !.1 6-2 E@('o 2-2 Sea x n- 3 46, ;, >, F, J, L, W, L, J, F, >, ;, 65. ?etermine trace los siguientes Secuencias. n 3 /;167V x 3 C61W,L1/616EV a- x6n- 3 ;xn J- >xn D Fb- x;n- 3 x> n- D xn- xn ;'a resolucion de este ejercicio de todos los literales lo podemos observar en el cuadro 6F donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura J.
%% ?*emp'o2$2 %@ea x (n) = D1, 2, ., , , F, , F, , , ., 2, 1E$ n = -210; x = [1,F-11]; %Hetermine 3 trace 'os si7uientes @ecuencias$ %%a) x 1(n) = 2x (n − ) − .x (n ) fi7ure(1) [x11,n11] = si7sift(x,n,); [x12,n12] = si7sift(x,n,-); [x1,n1] = si7add(2$/x11,n11,-./x12,n12); su:p'ot(2,1,1); stem(n1,x1); tit'e(@equence in ?xamp'e 2$2a) x'a:e'(n); 3'a:e'(x1(n)); %%:) x 2(n) = x (. − n) x (n) x (n − 2) [x21,n21] = si7fo'd(x,n); [x21,n21] = si7sift(x21,n21,.); [x22,n22] = si7sift(x,n,2); [x22,n22] =si7mu't(x,n,x22,n22); [x2,n2] = si7add(x21,n21,x22,n22); su:p'ot(2,1,2); stem(n2,x2); tit'e(@equence in ?xamp'e 2$2:) x'a:e'(n); 3'a:e'(x2(n));
Cuadro. 1& $esolución del e6emplo !.! aplicando funciones creadas previamente
7
"i#ura. $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro 1&
F$.
?I?J4KL 2$. Generar 'a seMa' de #a'or comp'e*o x (n) = e(−0.1j0..)n, −10 ≤ n ≤ 10 'a resolucion de este ejercicio lo podemos observar en el cuadro 6J donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura L.
%%?I?J4KL 2$. Generar 'a seMa' de #a'or comp'e*o % x (n) = e(−0.1j0..)n, −10 ≤ n ≤ 10 n = [-10110]; a'pa = -0$10$.*; x = exp(a'pa/n); su:p'ot(2,2,1); stem(n,rea'(x));tit'e(parte rea');x'a:e'(n) su:p'ot(2,2,2); stem(n,ima7(x));tit'e(parte ima7inaria);x'a:e'(n) su:p'ot(2,2,.); stem(n,a:s(x));tit'e(parte de ma7nitud);x'a:e'(n) su:p'ot(2,2,); stem(n,(1"0pi)/an7'e(x));tit'e(parte e fase);x'a:e'(n)
Cuadro. 1 $esolución del e6emplo !.% de la #eneración de una señal de valor comple6o
7
"i#ura. + $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro 1
- S!(s"s ar ( "ar +na secuencia de valores reales xe n- se denomina incluso Sim*trico- si xe−n- 3 xen?e forma similar, una secuencia real xo n- se llama impar antisim*trica- si xo−n- 3 −xon$ntonces cualquier secuencia arbitraria real x n- se puede descomponer en sus componentes pares e impares. x n- 3 xen- D xon?onde las partes par e impar son dadas por
"espectivamente. +tili&aremos esta descomposición para estudiar las propiedades de la transformada de Xourier. 0or lo tanto, es un buen ejercicio desarrollar una función !A('A) simple para descomponer una secuencia dada en sus componentes pares e impares. +tili&ando las operaciones de !A('A) discutidas hasta ahora, podemos obtener la siguiente función evenodd que se observa en el cuadro 6L.
7
function [xe, xo, m] = e#enodd(x,n) % Nea' si7na' decomposition into e#en and odd parts % ------------------------------------------------% [xe, xo, m] = e#enodd(x,n) % if an3(ima7(x) O= 0) error(x is not a rea' sequence) end m = -f'ip'r(n); m1 = min([m,n]); m2 = max([m,n]); m = m1m2; nm = n(1)-m(1); n1 = 1'en7t(n); x1 = eros(1,'en7t(m)); x1(n1nm) = x; x = x1; xe = 0$/(x f'ip'r(x)); xo = 0$/(x - f'ip'r(x));
Cuadro. 1+ Creación de la función evenodd
-
E*EMPLO 2-4 Sea x n- 3 u n- / u n / 67-. ?escomponga x n- en componentes pares e impares. 'a resolucion de este ejercicio lo podemos observar en el cuadro 6W donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura W.
%?I?J4KL 2$ @ea x (n) = u (n) - u (n - 10)$ %%Hescompon7a x (n) en componentes pares e impares$ n = [010]; x = stepseq(0,0,10)-stepseq(10,0,10); [xe,xo,m] = e#enodd(x,n); su:p'ot(2,2,1); stem(n,x); tit'e(4u'so Nectan7u'ar) x'a:e'(n); 3'a:e'(x(n)); axis([-10,10,0,1$2]) su:p'ot(2,2,2); stem(m,xe); tit'e(?#en 4art) x'a:e'(n); 3'a:e'(xe(n)); axis([-10,10,0,1$2]) su:p'ot(2,2,); stem(m,xo); tit'e() x'a:e'(n); 3'a:e'(xe(n)); axis([-10,10,-0$F,0$F])
Cuadro. 1, Script de la $esolución del e6ercicio !.&
7
"i#ura. , $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro 1,
- CON/OLUCION Se introdujo la operación de convolución la ecuación 6 para describir la respuesta de un sistema '(Y. $n ?S0 es una operación importante tiene muchos otros usos que veremos a lo largo de este libro. 'a convolución se puede evaluar de muchas maneras diferentes. Si las secuencias son funciones matemáticas de duración finita o infinita-, entonces podemos anali&ar analticamente ecuación 6
para todo n para
obtener una forma funcional de n-. y n- 3 x n- ∗ hn-
-. E*EMPLO 2- S(a (' "&'so r(!a,&'ar ? & & .7 $(' (@('o 2-4 &a (!ra$a a & s"s!(a LTI o r(s&(s!a $( "&'so h 7- &'a resolucion de este ejercicio lo podemos observar en el cuadro 6P donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura P a- b-.
7
%?I?J4KL 2$ @ea e' impu'so rectan7u'ar x (n) = u (n) - u (n - 10) %de' e*emp'o 2$ una entrada a un sistema KP8 con respuesta de impu'so %(n) = (0$)&n u(n) x = [., 11, , 0, -1, , 2]; % #ector = [2, ., 0, -, 2, 1];%#ector 3 = con#(x, )% con#o'ucion stem(3); tit'e(con#(x, ))
Cuadro. 1 Scrip de resolución del e6emplo !., con la función conv
a
) "i#ura. $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro 1
-2
E@('o 2-
Da$as 'as $os s(&("as s",&"(!(s x n J0, .., ,7,−., 4, 2K, −0 ≤ n ≤
0 hn J2,0, 7,−8, 2, .K, −. ≤ n ≤ 4
D(!(r"( !h( o%o'&!"o 5 ? + h'a resolucion de este ejercicio
lo podemos observar en el cuadro 6=
donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura = a- b-.
7
% ?*emp'o 2$" Hadas 'as dos secuencias si7uientes % x (n) = [., 11, ,0,−1, , 2], −. ≤ n ≤ .; h(n) = [2,., 0,−, 2, 1], −1 ≤ n ≤ %determine te con#o'ution 3(n) = x(n) / (n)$ x = [., 11, , 0, -1, , 2]; nx = [-..]; = [2, ., 0, -, 2, 1]; n = [-1]; [3,n3] = con#Qm(x,nx,,n) stem(3,n3) tit'e(con#Qm(x,nx,,n));
Cuadro. 13 Scrip de resolución del e6emplo !., con la función conv
a
"i#ura. 3 $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro 13
.7- 'a función conv no proporciona ni acepta ninguna información de tempori&ación si las secuencias tienen soporte arbitrario. 'o que se necesita es un punto inicial un punto final de n-. ?ada la duración finita x n- h n-, es fácil determinar estos puntos. ?ejar 42 n-V 8xb : n : nxe5 4h n-V 8hb : n : nhe5
7
Ser dos secuencias de duración finita. $ntonces, refiri*ndonos al ejemplo ;.P observamos que los puntos inicial final de n- son 8b 3 nxb D nhb ne 3 nxe D nhe "espectivamente. Ahora se puede diseñar una modificación simple de la función conv, llamada conv m, que reali&a la convolución de secuencias de soporte arbitrarias. 'a creación de esta función la podemos observar en el cuadro ;7 donde esta el script function [3,n3] = con#Qm(x,nx,,n) % Jodified con#o'ution routine for si7na' processin7 % -------------------------------------------------% [3,n3] = con#Qm(x,nx,,n) % [3,n3] = con#o'ution resu't % [x,nx] = first si7na' % [,n] = second si7na' % n3: = nx(1)n(1); n3e = nx('en7t(x)) n('en7t()); n3 = [n3:n3e]; 3 = con#(x,);
Cuadro. !0 Script de la función de convolución
..-
E@('o 2-
"eali&ar la convolución en el $jemplo ;.P usando la función conv_m. 'a resolucion de este ejercicio lo podemos observar en el cuadro ;6 donde esta el script la representacion resultante se observa en la figura 67 %% ?*emp'o 2$ Nea'iar 'a con#o'ucin en e' ?*emp'o 2$" usando 'a funcin con# m$ x = [., 11, , 0, -1, , 2]; nx = [-..]; = [2, ., 0, -, 2, 1]; n3 = [-1]; [3,n3] = con#Qm(x,nx,,n)
Cuadro. !1 Script del e6emplo !.3
"i#ura. 10 $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro !1
.2- $jemplo ;.67 $n este ejemplo se demostrará una aplicación de la secuencia de correlación cru&ada. ?ejar
7
xn- 3 C>, 66, W,7,/6, F, ;E Ser una secuencia de prototipos, dejar que n- sea su versión corrompida despla&ada por el ruido n- 3 xn / ;- D #n?onde # n- es la secuencia gaussiana con media 7 varian&a 6. alcule la %orrelación cru&ada entre n- x n-. •
noise sequence 6
•
Secuencia de ruido 6
•
'a resolucion de este ejercicio lo podemos observar en el cuadro ;; donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura 66
%?*emp'o 2$10 ?n este e*emp'o se demostrarR una ap'icacin de 'a secuencia de corre'acin cruada$ He*ar %x(n) = [., 11, ,0,-1, , 2] %@er una secuencia de prototipos, 3 de*ar que 3 (n) sea su #ersin corrompida 3 desp'aada por e' ruido %3(n) = x(n - 2) +(n) x = [., 11, , 0, -1, , 2]; Sx = [- . .]; % @eMa' dada x (n) [3, n3] = si7sift (x, nx, 2); % L:tener x (n - 2) + = randn (1, 'en7t(3)); n+ = n3; % Generar + (n) [3, n3] = si7add (3, n3, +, n+); % L:tenemos 3 (n) = x (n-2) + (n) [x, nx] = si7fo'd (x, nx); % L:tener x (-n) [rx3,nrx3] = con#Qm(3,n3,x,nx); % corre'acion cruada su:p'ot(1,1,1), su:p'ot(2,1,1);stem(nrx3,rx3) axis([-,10,-0,20]);x'a:e'( #aria:'e de retardo 1) 3'a:e'(rx3);tit'e(Torre'acion cruada noise sequence 1) % % noise sequence 2 x = [., 11, , 0, -1, , 2]; nx=[-..]; % seMa' dada x(n) [3,n3] = si7sift(x,nx,2); % o:tener x(n-2) + = randn(1,'en7t(3)); n+ = n3; % 7enera +(n) [3,n3] = si7add(3,n3,+,n+); % o:tiene 3(n) = x(n-2) +(n) [x,nx] = si7fo'd(x,nx); % o:tiene x(-n) [rx3,nrx3] = con#Qm(3,n3,x,nx); % corre'acion cruada su:p'ot(2,1,2);stem(nrx3,rx3) % 7rafia en muestras axis([-,10,-0,20]);x'a:e'( #aria:'e de retardo ') 3'a:e'(rx3);tit'e(Torre'acion cruada noise sequence 2)
Cuadro. !! Script del e6emplo !.10
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"i#ura. 11 $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro !1
.0- (ener en cuenta que la caja de herramientas de procesamiento de señales en
!A('A) tambi*n proporciona una función llamada xcorr para los cálculos de correlación de secuencias. $n su forma más simple como se observar en el cuadro ;>. xcorr(x,3)% es una funcin de mat'a: interna de 'a corre'acin cruada
Cuadro. !% función xcorr sirve para el c9lculo de correlación de secuencias %alcula la correlación cru&ada entre los vectores x e , mientras que el cuadro ;F
xcorr(x)
Cuadro. !& funcion xcorr %alcula la auto correlación del vector x. Tenera resultados id*nticos a los obtenidos por el uso adecuado de la función conv_m. Sin embargo, la función xcorr no puede proporcionar la información de tempori&ación o lag- como se hace por la función conv m-, que luego debe obtenerse por otros medios. +na función llamada filtro está disponible para resolver las ecuaciones de diferencia num*ricamente, dados los coeficientes de las ecuaciones de entrada de diferencia. $n su forma más simple, esta función es invocada por cuadro ;J 3 = fi'ter(:,a,x)
Cuadro. ! "unción lter
7
%uando cuadro ;L : = [:0, :1, $$$, :J]; a = [a0, a1, $$$, aS];
Cuadro. !+ expresión de dos funciones 0ara calcular representar la respuesta al impulso, !A('A) proporciona la función imp&. %uando es invocado por cuadro ;W. = imp(:,a,n);
Cuadro. !, "unción imp'
.4-
E@('o 2-..
?ada la siguiente ecuación de diferencia y n- − y n − 6- D 7.=y n − ;- 3 x n-V ∀n a. %alcular tra&ar la respuesta de impulso h n- en n 3 /;7,. . . , 677. b. %alcular tra&ar la respuesta de paso unitario s n- en n 3 /;7,. . . , 677. c. Z$stá estable el sistema especificado por h n-[ 'a resolucion de este ejercicio lo podemos observar en el cuadro ;P donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura 6; a- b-. %?*emp'o 2$11 Hada 'a si7uiente ecuacin de diferencia %y (n) − y (n − 1) 0.y (n − 2) = x (n); ∀n %a$ Ta'cu'ar 3 traar 'a respuesta de impu'so (n) en n = -20,$ $ $ , 100$ %:$ Ta'cu'ar 3 traar 'a respuesta de paso unitario s (n) en n = -20,$ $ $ , 100$ %c$ U?stR esta:'e e' sistema especificado por (n)B : = [1]; a=[1, -1, 0$]; % a) : = [1]; a = [1, -1, 0$]; n = [-20120]; = imp(:,a,n); su:p'ot(2,1,1); stem(n,); tit'e(8mpu'se Nesponse); x'a:e'(n); 3'a:e'((n)) % :) x = stepseq(0,-20,120); s = fi'ter(:,a,x); su:p'ot(2,1,2); stem(n,s) tit'e(@tep Nesponse); x'a:e'(n); 3'a:e'(s(n)) %c)4ara determinar 'a esta:i'idad de' sistema, tenemos que determinar (n) para todo n$ %Vunque no emos descrito un mWtodo para reso'#er 'a ecuacin de diferencias, %podemos usar 'a 7rRfica de 'a respuesta de impu'so para o:ser#ar que (n) %es prRcticamente cero para n! 120$ He aX que 'a sumatoria Y (n) Y 4uede %determinarse a partir de JVPKVZ uti'iando sum(a:s()) %Hado que 'as ma7nitudes de am:as raXces son menores que uno, e' sistema es esta:'e$ 7
a
7
) "i#ura. 1! $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro !
.8- E*EMPLO 2-.2 %onsideremos la convolución dada en el $jemplo ;.W. 'a secuencia de entrada es de duración finita x n- 3 un- − un − 67- !ientras que la respuesta de impulso es de duración infinita hn- 3 7.=-n un- determine1 y n- 3 x n- ∗ hn-. 'a resolucion de este ejercicio lo podemos observar en el cuadro ;= donde esta el script la representacioin de las funciones resultantes se observa en la figura 6> a- b-.
%?I?J4KL 2$12 Tonsideremos 'a con#o'ucin dada en e' ?*emp'o 2$$ %Ka secuencia de entrada es de duracin finita %x(n) = u(n) B u(n B 10) %Jientras que 'a respuesta de impu'so es de duracin infinita %Hetermine 3(n) = x(n) B (n)$ : = [1]; a = [1,-0$]; n = -0; x = stepseq(0,-,0) - stepseq(10,-,0); 3 = fi'ter(:,a,x); su:p'ot(2,1,2); stem(n,3); tit'e(Lutput sequence) x'a:e'(n); 3'a:e'(3(n)); axis([-,0,-0$,"])
Cuadro. !3 Script del e6emplo !.11
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"i#ura. 1% $esultado otenido tras correr el códi#o del cuadro !3
- DISCUSI9N: $n la presente práctica se aprendió sobre el funcionamiento de algunas funciones de !atlab como es el caso de reali&ar operaciones con las diversas funciones creadas para el análisis de señales discretas, la importancia de saber usar !atlab a que se puede facilitar mucho el cálculo con lo que es la convolución correlación haciendo más fácil anali&ar las señales discretas, la cual permite ahorrarse de reali&ar estos cálculos a mano a que son mu tediosos de all la gran ventaja de utili&ar el programa que nos ahorra el tiempo de análisis.
- CONCLUSI9N: !atlab es una herramienta que permite reali&ar operaciones de análisis tanto matemático como grafico que permite trabajar con funciones prescritas o generar nuevas funciones la cual nos ahorra bastante tiempo a que este análisis hecho a mano demorara muchsimo tiempo con posibles erros humanos que no ocurre con este soft#are.
- RECOMENDACIONES: $s recomendable colocar al lado de cada función \\\ un comentario de que reali&a esta parte del código para llevar más claro el funcionamiento de cada programa generado en matlab.
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Al momento de usar el soft#are cerciorarse de las variables a utili&ar a que matlab reconoce tanto ma]sculas como min]sculas. %erciorarse que las longitudes de los vectores a reali&arse sean compatibles o sino a trav*s de funciones acoplar este vector para que sea posible reali&ar los diversos cálculos. Al momento de trabajar con vectores se debe colocar un punto previo a la operación a utili&ar a que caso contrario el soft#are piensa que son unidades escales reproducirá error. Si se desea graficar más de una figura en un mismo programa por separado utili&ar la función figuren- al final de cada programa la función pauseV la cual al momento de dar enter correrá con creación de otra figura si se desea graficar dos funciones o más en una figura utili&ar la función subpot..
.7- BIBLIOGRAFA C6E ^. . %oole and ^. . (uRe. An algorithm for the machine computation of complex Xourier series. Mathematical Computations, 6=1;=W`>76, April 6=LJ. C;E ina . Yncle O ^hon T. 0roaRis. ?igital Signal 0rogrssing +sing !atlab. 8ortheastern +niversit. (hird edition C>E ?. anselman and ). 'ittlefield. Mastering MATLAB 7. 0earsonI0rentice all, $ngle#ood %liffs, 8^, ;77J. CFE^. T. 0roaRis and ?. T. !anolaRis. Digital Signal Processing:Principles Algorithms an! Applications. 0rentice all, +pper Saddle "iver, 8^, fourth edition, ;77L.
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