SECRETARIA DE EDUCACIÓN MUNICIPAL DE CUCUTA INSTITUCION EDUCATIVA COLEGIO ORIENTAL No 26 AREA DE MATEMÁTICAS
Profesor: MG: César Augusto Canal Mora
Grado:6º(Sexto)
Fecha: 9 de Abril/07
POTENCIACIÓN, RADICACIÓN, LOGARITMACIÓN Potenciación: Si a y n son números Naturales, entonces an = a. a. a...a donde a es tomado como factor n veces En la Potenciación se distinguen los siguientes términos: Base: Es el número que se repite como factor. Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base. Potencia: Es el resultado de multiplicar la base el número de veces que indica el exponente. Por ejemplo: La expresión 34 = 81 Se lee “tres elevado al la cuatro igual a ochenta y uno”. Además 3 es la base, 4 el exponente y 81 es la potencia que resulta de multiplicar 3x3x3x3
Potencia en base Cero en N La potencia de base cero es igual a cero para cualquier exponente número natural. Ejemplo: 03 = 0. 0. 0 = 0 es decir que 05 = 0 ó que 025 = 0 El conjunto de los números naturales, junto con la potenciación, satisface las siguientes propiedades:
Multiplicación de potencias de igual base El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. Ejemplo: 23 x 22 = (2x2x2)x(2x2) = 2x2x2x2x2 = 25 Así 23 x 22 = 23+2 = 25
Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Ejemplo: (2x3)4 = (2x3) x (2x3) x (2x3) x (2x3) = = ( 2 x 2 x 2 x 2) x ( 3 x 3 x 3 x 3 ) = = 24 x 34 = 16 x 81 = 1.296 4 4 4 (2 x 3 ) = 2 x 3 = 1.296
Potencia de una Potencia La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes involucrados. Ejemplo: (23)4 = 23 + 23 + 23 + 23 = 23+3+3+3 = 23x4 = 212
Potencia de un cociente La potencia de un cociente en N es igual al cociente de las potencias del Numerador y el Numerador. Es importante importante añadir que por el momento deben ser exactos para poder realizar la potencia. 3
18 18 18 18 = 18 x18 x18 = 5.832 Ejemplo: = x x 3 x3 x3 27 3 3 3 3 3
18 = 18 3 3 33 División de Potencias de igual base El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. En la expresión
a
m
a
n
=
se distinguen tres posibilidades
〉
m n
,
m
=n
,
〈
m n
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〉
Primer caso: Por ejemplo:
m n 7
5
7
3
Segundo caso :
=
m
7
5 3 −
=
7
2
=n 75
5
7 = = (1) 5 = 1 = 7 5−5 = 7 0 = 1 7
aplicando la propiedad anterior 75 Por lo tanto la potencia con exponente Cero (0) con base cualquier número es igual a (1) uno. Si tomamos cualquier número Natural como base y como exponente (0), significa que la potencia es igual a uno como resultado de que es un caso especial del cociente de potencias explicado anteriormente. Ejemplo: 50 = 1 Cualquier base elevada al exponente cero su potencia es (1) uno.
Potenciación en base 10 La potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como lo indique el exponente. Ejemplo: 103 = 10 x 10x 10 = 1.000 lo anterior anterior ilustra la propiedad. Todo múltiplo de 10 se puede expresar como un producto de potencias de 10. Ejemplo: 15.000 = 15 x 1.000 = 15 x 103 es la expresión como producto con potencia s de 10.
Taller de Ejercicios de potenciación y sus propiedades: 1. En cada uno de los siguientes ejercicios, aplica las propiedades estudiadas para simplificar, sin efectuar las potencias: e) 34 x 32 = a) 42 x 42 = f) 23 x 52 x 34 x 5 4 x b) 81 x 85 =
27 x 35 x 25 = c) 52 x 53 x 54 = x ( 3 x 5 )6 = d) 60 x 61 x 62
g) (2 x 7 )4 x ( (7 x 3 ) 5
2. Escribe como producto con potencias de 10 cada uno de los siguientes números: a) 100 = b) 10.000 10.000 = c) 1’000.0 1’000.000 00 = d) 5.000 5.000 =
e) 3.200 3.200 = f) 25.000 25.000 = g) 3.800 3.800 = h) 52.000 52.000 =
i) 7.20 7.200 0= j) 9.000 9.000 = k) 83.000 83.000 = l) 6’300. 6’300.000 000 =
RADICACIÓN La radicación es la operación que representa la operación inversa de la potenciación. Un número b que pertenece al conjunto de los números naturales se llama raíz n-sima de a si y sólo sí bn = a, se nota
n
a
=b
el signo de la operación es :
se llama radical
En la radicación se distinguen los siguientes términos: Radicando = es la cantidad que figura dentro del símbolo radical. Índice = es el número que indica el orden de raíz que se extrae. Cuando el índice es 2, no es necesario escribirlo. Raíz = es el resultado de efectuar la operación. n La expresión lee “raíz n-sima de a igual a b” a = b Se lee Por ejemplo: 2 es la raíz cúbica de 8 por que 23 = 8 y se nota: 3 8 = 2 5 es la raíz cuadrada de 25 por que 52 = 25 y se nota:
2
25
=5
En otras palabras en la potenciación nos dan la base y el exponente y hay que encontrar la potencia, mientras que en la radicación nos dan la potencia y el exponente y se debe hallar la base. Es decir que cuando nos preguntan ¿Cuál es la raíz raíz quinta de 32? Debemos averiguar ¿Cuál es la base que elevada a la quinta nos da 32?
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2.Encuentra la raíz indicada para cada uno de los siguientes ejercicios:
=
a)
2
9
b)
3
125
c)
2
81 =
g)
d)
2
36
=
h)
= 3 27 = 3 343 = 3 512 =
2
e) f)
=
2
i)
100
j) k) l)
= 2 64 =
3
2
4
64
m)
1.000
= o) 5 32 = p) 3 8 =
729
n)
=
=
10.000
2
=
625
3. Complete el siguiente cuadro: POTENCIACIÓN EXPRESIÓN RADICAL
3
5
= 243
10 4
16
6
= 1'000.000
=2
5 3 343
3
= 125
=7
LOGARITMACION El proceso de hallar el exponente desconocido sabiendo la base y la potencia, es llamado logaritmación.
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número, llamado base, para obtener el número dado. El signo de la operación operación es log. En la logaritmación se distinguen los siguientes términos: Base: puede ser cualquier número positivo Número: es el valor dado, que representa la potencia de elevar la base a cierto exponente. Logaritmo: representa el exponente al que elevó la base para obtener el número. Ejemplo: Log5 25 = 2 Se lee “log en base 5 de 25 es 2”, significa que 2 es el exponente al que hay que elevar a 5 para obtener 25, es decir que 5 2 = 25 Se utilizan mucho los logaritmos de base 10, 1 0, llamados logaritmos vulgares o de Briggs. Cuando nos referimos a estos logaritmos no se escribe la base. Ejemplo: log10 100, también se escribe log 100
Propiedades elementales De la definición de logaritmo se desprenden las siguientes propiedades: • El logaritmo de la base es siempre la unidad. En efecto, como se tiene que: log a a = 1 ⇔ a 1 = a
a
1 =
a
entonces
Ejemplo: log 5 5 = 1 ⇔ 51 = 5 , log 7 7 = 1 ⇔ 71 = 7 , log log 10 = 1
• El logaritmo de la unidad es siempre cero. En efecto, como se tiene que log 1 = 0 ⇔ a a
0
=
a
0
=1
entonces
1
0 Ejemplo: log 5 1 = 0 ⇔ 5
= 1,
log 7 1 = 0 ⇔ 7 0
= 1,
log 1 = 0 ⇔ 10 0
= 1 ilustran la propiedad
Ejercicios: Completar las potencias de 7 4 y 3 5 escribirlas como logaritmo: 74
⇔ log 7 2.401 = 4 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 ⇔ log 3 243 = 5
=
7 x 7 x 7 x 7 = 2.401
35
=
Calcular: log 2 128 = ?
⇔ 2 7 = 128
Propiedades globales de los logaritmos Cuando se aplican los logaritmos a un producto, a un cociente o a una potencia, se obtienen las siguientes propiedades:
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• Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor. Ejemplo: log4 ( 64 ÷ 16 ) = log4 64 – log4 16 En efecto, sabemos que: 64 ÷ 16 = 4 y que Log4 4 = 1 ⇔ 41 = 4 Además, Log4 64 = 3 ya que 43 = 64 y que Log4 16 = 2 ⇔ 42 = 16 Luego log4 ( 64 ÷ 16 ) = 1 = log 4 64 – log4 16 = 3 - 2 = 1
• Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por logaritmo de la base. Ejemplo: Log4 162 = 2 Log4 16 = 2 x 2 = 4 ⇔ 44 = 256 ya que Log4 256 = 4
Taller de ejercicios de Potenciación: 1. Completa Completa las siguient siguientes es potencias potencias y escríbel escríbelas as en notación notación logarítmi logarítmica: ca: a)
103 =
b) 45 =
c) 55 =
d) 110 =
c) log 100.000 =
d) log 7 343 =
2. Calcul Calculaa los siguie siguiente ntess logari logaritmo tmos: s: a) log 5 625 =
b) log 9 6.561 =
3. Completa: Potenciación Radicación Logaritmación
106 = 1’000.000
93 = 729 4
81 = 3 Log 6 216 = 3
4. Aplica Aplica las propiedades propiedades para para hallar hallar los los siguient siguientes es logaritm logaritmos: os: a) log 5 ( 25 x 125 ) = b) log 6 ( 126 x 6 ) = c) log 3 (27 x 81 ) =
d) log 5 ( 625 ÷ 25 ) = e) log 6 ( 1.296 ÷ 36 ) = f) log 3 ( 243 ÷ 27 =
g) log 4 165 = h) log 7 493 = i) log 11 1215 =
