Portafolio CD 2012// Rolando Zares

UNIVERSIDAD TÈCNICA DE MANABÌ ESCUELA DE INGENIERIA EN SISTEMAS FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS

2”C” PORTAFOLIO

CALCULO DIFERENCIAL

Visión:: Visión Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias informáticas, que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a las necesidades de la sociedad

ING. JOSE CEVALLOS SALAZAR DOCENTE

Misión: Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y calidad en la educación, organizada en sus actividades, protagonistas del progreso regional y nacional.

ZARES MARQUEZ ROLANDO ESTUDIANTE

PORTOVIEJO ABRIL –AGOSTO DEL 2012

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS

TABLA DE CONTENIDO 1)

UU

PRONTUARIO DEL CURSO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI FACULTAD DE CIENCIAS INFORMATICAS ESCUELA DE INGENIERIA EN SISTEMAS

CARTA DE PRESENTACION

2) Visión: Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias informáticas, que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a las necesidades de la sociedad

3)

DIARIO METACOGNITIVO

Misión: Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y calidad en la educación, organizada en sus actividades, protagonistas del progreso regional y nacional.

4)

AUTORETRATO

5)

ARTICULOS DE REVISTA PROFESIONALES

6)

TRABAJO DE EJECUCION

7)

MATERIALES RELACIONADOS

PORTAFOLIO CALCULO DIFERENCIAL

8)

SECCION ABIERTA


































9)

RESUMEN DE CIERRE

10)

EVALUACION DEL PORTAFOLIO

11)

12)

ANEXO 1

ANEXO 2


































PRONTUARIO DEL CURSO SYLLABUS DEL CURSO Asignatura: Cálculo Diferencial 1.

CÓDIGO Y NÚMERO DE CRÉDITOS

Código:

N° de Créditos:

OF-280

4

2. DESCRIPCION DEL CURSO La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras ciencias, marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel científico. Estas son las razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a la malla curricular. El propósito de la asignatura en sus cuatro capítulos, es conceptualizar conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos metodológicos al estudiante, en el análisis de las funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, específicas, se hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta unidad el estudiante aprenderá a calcular la derivada inicialmente con su definición, y luego hace énfasis con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace énfasis

en determinar los Valores Máximos y

Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo un determinado proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para el Trazo de Curvas. La programación de la asignatura concluye con la introducción de Diferenciales para aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software matemático Matlab y Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños Software. 3. PRERREQUISITOS Y CORREQUISITOS Pre-requisitos: OF-180 Co-requisitos: ninguno

































4.

TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL CURSO

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA



SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.



LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo Tomo 1, octava edición. Mc Graww Graww Hill 2006.



SMITH Robert-MINTON Roland, Cálculo. Tomo 1, primera edición, Mc Graw-Hill. Interamericana. 2000.

































BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA 

LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.



STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.



THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.



GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.



LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.



PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.



PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.



www.matemáticas.com

5.



OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO. (RESULTADOS DE APRENDIZAJE D EL CURSO)

Determinar el dominio, dominio, rango y gráficas de funciones funciones en los reales reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación)



Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación)



Determinar al procesar procesar los límites de de funciones en en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)



Determinar la derivada de los diferentes diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel Taxonómico: Taxonómico: Aplicación)



Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos (Nivel Taxonómico: Aplicación)

6.

TOPICOS O TEMAS CUBIERTOS (NÚMEROS DE HORAS POR TEMA)



Análisis de funciones (16 horas)



Aproximación a la idea de límites (12 horas)



Cálculo diferencial pendiente de la recta tangente (12 horas)



Aplicación de la derivada (18 horas)



Introducción al cálculo integral: Integrales indefinidas (6 horas)



































7.

HORARIO DE CLASE / LABORATORIO

Cuatro horas de clases teóricas en dos sesiones de dos horas de clase a la semana

8.

CONTRIBUCION DEL CURSO CON LA FORMACION DEL INGENIERO

Desarrollar en los estudiantes estudiantes habilidades de de reconocer funciones, funciones, obtención de dominio dominio e imagen, expresar modelo matemáticos donde se involucre el concepto de función, demostrar límites de funciones aplicando la definición, determinar la continuidad de una función Interpretar, enunciar y aplicar los teoremas de la derivada, analizar el estudio de la variación de una función, función, aplicar el flujo de información información en la fabricación de pequeños software, para el análisis, el razonamiento y la comunicación comunicación de su pensamiento, a

través de la solución de problemas problemas que le permitan permitan percibir percibir e interpretar su entorno entorno

espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, matemáticas,

promoviendo la investigación científico-técnica para la ciencias

informáticas. 9.

RELACION DEL CURSO EL CRITERIO 3 DE ACREDITACIÓN ABET:

RESULTADOS O LOGROS DEL APRENDIZAJE

CONTRIBUCIÓN (ALTA, MEDIO, BAJO)

EL ESTUDIANTE DEBE:

de

MEDIA

Aplicar con capacidad las Matemáticas en el diseño y desarrollo de Sistemas Informáticos como producto de su aprendizaje continuo y experiencia adquirida adquirida en el manejo de lenguajes de programación de software matemático en su etapa de formación.

(b) Capacidad de diseñar y conducir experimentos, así como para analizar e interpretar los datos

*******

*******

(c) Capacidad de diseñar un sistema, componente o proceso para satisfacer las necesidades deseadas dentro de las limitaciones realistas, económicos, ambientales, sociales, políticas, éticas, de salud y seguridad, de fabricación, y la sostenibilidad (d) Capacidad de funcionar en equipos multidisciplinarios

*******

*******

MEDIA

Interactuar en los equipos de trabajo, cooperando con valores éticos, responsabilidad, respeto a opiniones y contribuyendo con conocimiento y estrategias informáticas efectivas en la consecución de los objetivos de un proyecto .

(e) la capacidad de identificar, formular y resolver

*******

*******

(a) Capacidad de aplicar conocimientos matemáticas, ciencias e ingeniería.

































( j) j) Conocimiento de los temas de actualidad (k)

Capacidad de utilizar las técnicas, habilidades y herramientas modernas de ingeniería necesarias para la práctica la ingeniería.

*******

*******

MEDIA

Utilizar el Matlab (u otro software matemático) como herramienta informática para modelar situaciones de la realidad en la solución de problemas informáticos del entorno.

10. EVALUACION DEL CURSO

DESCRIPCIÓN Exámenes Pruebas Escritas Participaciones en Pizarra Actividades Tareas varias Compromisos Éticos y Disciplinarios Informes Defensa Oral Investigación (Comunicación matemática efectiva ) TOTAL

MEDIO CLCLO 15% 5%

FIN DE CICLO 15% 5%

TOTALES 30% 10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

10%

45%

10% 20%

20%

55%

100%

11. RESPONSABLE DE LA ELABORACION DEL SYLLABUS Y FECHA DE EL ABORACION Elaborado por: Fecha:

Ing. José Cevallos S. 20 de Diciembre del 2011


































SYLLABUS DEL CURSO PLANIFICACIÓN DEL CURSO 1.- Datos Generales Unidad Académica: Facultad de Ciencias Informáticas Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos Ciclo Académico: Abril 2012 - Agosto 2012 Nivel o Semestre: Semestre : 2do. Semestre Área de Curricular: Matemáticas Tipo de Asignatura: Obligatoria de Facultad Código: OF-280 Requisito para: Cálculo Integral-OF-380 Pre-requisito: Matemáticas Básicas II-OF-180 Co-requisito: Ninguno No de Créditos: 4 No de Horas: 64 Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar Correo Electrónico: [email protected],, [email protected]. [email protected]

2. Objetivo general de la asignatura Desarrollar en los estudiantes habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la ciencias informáticas. 3. Contribución del curso con el

perfil del graduado graduado

Objetivos Educacionales de la Facultad de Ciencias Informáticas Carrera de Ingeniería de Sistemas Informáticos

































4.

Demuestra compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario con ética profesional

5.

Capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en áreas afines.

6.

Es emprendedor, innovador y utiliza los últimos avances tecnológicos en el desempeño de su profesión

5. Resultados del aprendizaje RESULTADOS DEL APRENDIZAJE Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua.

METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES

APLICACIÓN

METODO DE EVALUACIÓN

CRITERIOS

Ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemático: Derie-6 y Matlab.

Aplicación de 4 técnicas para dominio Aplicación de 4 técnicas para rango Aplicación de 4 técnicas para graficar las funciones.

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Determinará el dominio con la aplicación de 4 técnicas, el rango con 4 técnicas y graficará las funciones con 4 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab.

PONDERACIÓN NIVEL ALTO:

86-100

Determinará el dominio, con la aplicación. de 2 técnicas, el rango con 2 técnicas y graficará las funciones con 2 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab

NIVELMEDIO 71-85

Determinará el dominio, con la aplicación. de 1 técnica, el rango con 1 técnicas y graficará las funciones con 1 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab

NIVEL BÁSICO 70


APLICACIÓN


10 ejercicios escritos, orales y en talleres, individual y en equipo.

CRITERIOS Participación activa, e interés en el aprendizaje. Aplicación de los tres criterios de continuidad de función. Conclusión final si no es continúa la función

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de 10 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones. Participación activa, e interés en el aprendizaje. Conclusión final si no es continúa la función. Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 7 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones.


86-100

NIVELMEDIO 71-85

































RESULTADOS DEL APRENDIZAJE Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas


APLICACIÓN


CRITERIOS

10 ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemáticos: Derive-6 y Matlab.

Aplicación de los teoremas de límites. Aplicación de las reglas básicas de límites infinitos. Aplicación de las reglas básicas de límites al infinito. Aplicación de límites en las asíntotas verticales y asíntotas horizontales.

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE

Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites, Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito y aplicación de límites en las asíntotas verticales y horizontales, en 10 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites, Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 7 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Matlab.


86-100

NIVELMEDIO 71-85

NIVEL BÁSICO

70

Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 5 ejercicios manuales y en el software Matemático: Derive-6

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.


APLICACIÓN

METODO DE EVALUACIÓN Ejercicios escritos, orales, talleres y en el Software Matemáticos: Matlab y Derive-6.

CRITERIOS Aplicación de los teoremas de derivación. Aplicación de la regla de derivación implícita. Aplicación de la regla de la cadena abierta. Aplicación de la regla de derivación orden superior.

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la cadena abierta, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemáticos: Derive-6y Matlab. Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orsles, talleres y en


86-100

NIVELMEDIO 71.85



































RESULTADOS DEL APRENDIZAJE Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.


ANÁLISIS


CRITERIOS

Ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.

Aplicación del primer criterio para puntos críticos. Aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión. Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas. Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización.

NIVELES DEL RESULTADO DE APRENDIZAJE Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, con la aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas, y con la aplicación del segundo criterio para problemas de optimización en ejercicios escritos, orales, talleres y en software matemático: Matlab Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos,Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización. En ejercicios escritos, orales, talleresy en software matemático: Matlab Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas,en ejercicios escritos, orales y talleres.

1.1

PONDERACIÓN NIVEL ALTO: 86-100

NIVELMEDIO 71-85

NIVEL BÁSICO 70

Resultados de aprendizaje de la carrera específicos a los que apunta la materia (ABET).

































e.

Capacidad para identificar, formular, evaluar evaluar y resolver técnicamente problemas de ingeniería ingeniería planteados de acuerdo a las necesidades del medio.

f.

Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética profesional, que le permitan desenvolverse desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y contribuyendo al desarrollo desarrollo de la sociedad.

g.

Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de investigaciones, documentos de trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando las herramientas de las nuevas tecnologías de la información.

h.

Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a la realidad local, nacional e internacional en un contexto económico global, ambiental y social.

i.

Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje continuo, con capacidad para reconocer las oportunidades para mejorar en su campo profesional.

j.

Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno local, regional y global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones creativas y eficientes.

k.

Capacidad y destreza destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el desarrollo de software y hardware para implementar soluciones a problemas de su profesión.

Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera: A: Alta M: Medio B: Baja

































6. Programación 1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas respectivas para cada caso. Fechas

No de Horas

Sept. 13 Oct. 6

TOTAL 16

2

2

2

2 2

2

Temas

UNIDAD I ANÁLISIS DE FUNCIONES PREFACIO. ANÁLISIS DE FUNCIONES. PRODUCTO CARTESIANO. Definición: Representación gráfica.  RELACIONES: Definición, Dominio y Recorrido de una  Relación. FUNCIONES: Definición, Notación  Dominio y recorrido.  Variable dependiente e i ndependiente.  Representación gráfica. Criterio de Línea  Vertical.  Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función. Función en los Reales: inyectiva, sobreyectiva  y biyectiva Representación gráfica. Criterio de Línea horizontal.  Proyecto de Investigación. TIPOS DE FUNCIONES:  Función Constante Función de potencia: Identidad, cuadrática,  cúbica, hipérbola, equilátera y función raíz. Funciones Polinomiales  Funciones Racionales  Funciones Seccionadas 

Estrategias metodológicas Dinámica de integración y socialización, documentación, presentación de los temas de clase y objetivos, lectura de motivación y video del tema, técnica lluvia de ideas, para interactuar entre los receptores. Observación del diagrama de secuencia del tema con ejemplos específicos para interactuar con la problemática de interrogantes del problema, método inductivo-deductivo, Definir los puntos importantes del conocimiento interactuando a los estudiantes para que expresen sus conocimientos del tema tratado, aplicando la

Recursos

1. BibliografíasInteractivas, 2. 2. Pizarra de tiza líquida, 3. Laboratorio de Computación, 4. Proyector, 5. Marcadores 6. Software de derive-6, Matlab

Bibliografía

ANÁLISIS MATEMÁTICO. JUAN MANUEL SILVA, ADRIANA LAZO. 2006. LIMUSA NORIEGA. LAZO PAG. 124-128-142

CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. TOMO I LARSON-HOSTETLEREDWARDS.EDISION OCTAVA EDICIÓN. MC GRAWW HILL 2006 LARSON PAG. 4, 25-37-46. LAZO PAG. 857-874, 891919. LAZO PAG. 920-973 LAZO PAG. 994-999-1015

CALCULO. TOMO 1, PRIMERA EDICIÓN, ROBERT SMITH-ROLAND MINTON, MC GRAW-HILL.

































6. Programación 2. Resultados del Aprendizaje No 2:Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico, aplicando los criterios de continuidad continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa. continúa. 3. Resultados del Aprendizaje No 3:Determinar 3:Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas. Fechas

No de horas

Oct. 11 Nov. 8

TOTAL12 2

2

2

2

2

Temas UNIDAD II APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Concepto de límite. Propiedades  de límites. Limites Indeterminados  LÍMITES UNILATERALES Limite Lateral derecho  Limite Lateral izquierdo.   Limite Bilateral. LÍMITES INFINITOS  Definiciones  Teoremas. LÍMITES AL INFINITO  Definiciones. Teoremas.  Limites infinitos y al infinito. ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS.  Asíntota Horizontal: Definición.  Asíntota Vertical: Definición.  Asíntota Oblicua: Definición. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.  Límite Trigonométrico fundamental.  Teoremas. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO.

Estrategias metodológicas

Recursos

Dinámica de integración y socialización, documentación, presentación de los temas de clase y objetivos, lectura de motivación y video del tema, técnica lluvia de ideas, para interactuar entre los receptores. Observación del diagrama de secuencia del tema con ejemplos específicos para interactuar con la problemática de interrogantes del problema, método inductivo-deductivo, Definir los importantes conocimiento interactuando

1.BibliografíasInteractivas 2. Pizarra de tiza líquida. 3. Laboratorio de Computación. 4.Proyector 5.Marcadores 6.Software de derive-6, Matlab

Bibliografía

LAZO PÁG. 1029 LAZO PÁG. 1069 SMITH PÁG. 68 LARSON PÁG. 46 LAZO PÁG. 1090 LAZO PÁG. 1041

LAZO PÁG 1090 LARSON PÁG. 48 SMITH PÁG. 95

LAZO PÁG 1102 SMITH PÁG. 97

LAZO PÁG. 1082 LARSON PÁG. 48

puntos del a

los

LAZ0 PÁG. 1109

































6. Programación 4. Resultado del aprendizaje No 4:Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas teoremas y reglas de derivación acertadamente. acertadamente. Fechas

No de horas

Nov. 10 Dic. 6

TOTAL12 2

2

2

2

2

Temas

Estrategias metodológicas

UNIDAD III CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE DEFINICIONES. DERIVADAS. Definición de la derivada en un  punto. Interpretación geométrica de la  derivada.  La derivada de una función. Gráfica de la derivada de una  función. Diferenciabilidad y Continuidad. 

Dinámica de integración y socialización, documentación, presentación de los temas de clase y objetivos, lectura de motivación y video del tema, técnica lluvia de ideas, para interactuar entre los receptores.

CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICA. Derivada de la función Constante.   Derivada de la función Idéntica. Derivada de la potencia.  Derivada de una constante por la  función. Derivada de la suma o resta de las  funciones.  Derivada del producto de funciones. Derivada del cociente de dos  funciones. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA. Regla de la Cadena.  Regla de potencias combinadas con  la Regla de la Cadena. DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES. DERIVADAS DE FUNCIONES T RIGONOMETRICAS.

Observación del diagrama de secuencia del tema con ejemplos específicos para interactuar con la problemática de interrogantes del problema, método inductivo-deductivo,

DERIVADA IMPLICITA. Método de diferenciación Implícita. DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Derivada de:

EXPONENCIALES

Y

Definir los puntos importantes del conocimiento interactuando a los estudiantes para que expresen sus conocimientos del tema tratado, aplicando la Técnica Activa de la

Recursos 1.BibliografíasInteractivas 2. Pizarra de tiza líquida. 3. Laboratorio de Computación. 4.Proyector 5.Marcadores 6.Software de derive-6, Matlab

Bibliografía

LAZO PÁG. 1125 SMITH PÁG. 126 LARSON PÁG. 106 SMITH PÁG. 135 SMITH PÁG. 139 LARSON PÁG. 112

LAZO PÁG. 1137 SMITH PÁG. 145 LARSON PÁG. 118

LAZO PÁG 1155 SMTH 176 LARSON PÁG. 141 LAZO PÁG. 1139 SMITH PÁG. 145 LAZO PÁG. 1149 SMITH PÁG. 162 LARSON PÁG. 135 LAZO PÁG. 1163 SMITH PÁG. 182 LARSON PÁG. 152 SMITH PÁG. 170 LARSON PÁG. 360



































6. Programación 5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos. Fechas

No de horas

Dic. 8 Febr. 12

TOTAL24 2

2

2

2

Temas UNIDAD IV APLICACIÓN DE LA DERIVADA. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO. VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS. Máximos y Mínimos Absolutos de  una función. Máximos y Mínimos Locales de  una función. Teorema del Valor Extremo.  Puntos Críticos: Definición.  FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. DERIVADA. Función creciente y función  Decreciente: Definición.

Estrategias metodológicas Dinámica de integración y socialización, documentación, presentación de los temas de clase y objetivos, lectura de motivación y video del tema, técnica lluvia de ideas, para interactuar entre los receptores. Observación del diagrama de secuencia del tema con ejemplos específicos para

Recursos 1.BibliografíasInteractivas 2. Pizarra de tiza líquida. 3. Laboratorio de Computación. 4.Proyector 5.Marcadores 6.Software de derive-6, Matlab

Bibliografía

LAZO PÁG. 1173 LAZO PÁG. 1178 SMITH PÁG. 216 LARSON 176

LAZO PÁG. 1179 SMITH PÁG. 225 LARSON 176

































8. Parámetros para la Evaluación de los Aprendizajes. DESCRIPCIÓN Exámenes Pruebas Escritas Participaciones en Pizarra Actividades Tareas varias Compromisos Éticos y Disciplinarios Informes Defensa Oral Investigación (Comunicación matemática efectiva ) TOTAL

MEDIO CLCLO 15% 5%

FIN DE CICLO 15% 5%

TOTALES 30% 10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

5%

5%

10%

10%

45%

10% 20%

20%

55%

100%

9.TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL CURSO BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

































UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Fecha:

Fecha:

Fecha:

FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS

AUTORRETRATO AUTORRETRATO


































UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ MISIÓN Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas, éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo nacional, que contribuyan a la solución de los problemas del país como universidad de docencia con investigación, capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la promoción y difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la República del Ecuador.


































DIARIO METACOGNITIVO Clase No 1: PERIODO:

Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012

TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA:

Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012.



































OBJETIVOS DE DESEMPEÑO 

Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones.



Definir y reconocer: dominio e imagen de una función.



Definir y graficar funciones, identificación de las mismas aplicando criterios.

COMPETENCIA GENERAL Definiciones, identificaciones y trazos de gráficas.





































Variables independientes y dependientes



Constantes



Productos cartesianos



Par



Función implícita y explicita



Función creciente



































CONTENIDO 

Producto cartesiano





































Función

Una función es un conjunto de parejas ordenadas (x,y) en el cual no hay dos ordenadas distintas que tengan el mismo primer elemento.



Dominio de funciones





































Función Decreciente

Una función es decreciente solo si si para cualquier elección de (x1 , x2 ) es x1 > x2.


















































































































































CONTENIDOS:







































Problemas





















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Asíntotas

Muchas veces las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o disminuyendo) constantemente el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a estabilizarse, tendiendo a un número Real (que es el límite). En el caso mostrado se observa sus principales asíntotas que son la asíntota horizontal y vertical. Vemos como obtenemos asíntota horizontal y vertical en u na misma grafica



































Asíntota Horizontal Horizontal

si existe este tipo de asíntota para la función que se evalúa, esta corresponde al valor a que toma y, cuando x ®µ, y corresponde a la línea horizontal y = a la asíntota horizontal existe cuando se cumple la siguiente igualdad:



Asíntota vertical vertical

si existe, se presenta en funciones racionales de la forma y

corresponde aquellos valores

para los cuales se indeterminada la función para cuando q(x) = 0, o mediante la interpretación del siguiente limite



































Asíntota Oblicua Oblicua

Aunque la Asíntota Oblicua no representa una aplicación del Límite como tal, se incluyen este capítulo por tratarse de una característica más de la gráfica de una expresión y tiene comportamiento similar al definido para las asíntotas Horizontal y vertical. Se dice que la gráfica de una función racional tiene Asíntota Oblicuo si el máximo exponente de la variable independiente del polinomio del numerador excede en uno (1) el máximo exponente de la variable independiente en el polinomio del denominador

Se presenta en expresiones de la forma

































REFLEXIONES

¿QUE COSAS FUERON FACILES? En este tema de límites cuando (x- >∞) o (x ->-∞) no se mas que aplicar los teoremas y definiciones de los mismo por eso se me hizo fácil de entender y más en los tipos de asíntotas porque aplicando la destreza de reconocer sus graficas es más fácil en este tema

¿QUE COSAS FUERON DIFICILES? La definicion de la Asíntota Oblicua dice que no representa una aplicación del Límite como tal entonces porque analizamos dichas asíntotas entonces en este tema de límites


































DIARIO METACOGNITIVO Clase Nº6 PERIODO:


TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS

FECHA:

Martes, 22 de mayo-jueves, 24 de mayo del 2012.

DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

LÍMITES TRIGONOMETRICOS:  

Límite trigonométrico fundamental, Silva Laso, 1082, Larson, 48 Teoremas.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:   

Definición, Silva Laso, 1109 Criterios de continuidad. Discontinuidad removible y esencial.

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  

Definir y calcular límites trigonométricos. Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.

COMPETENCIA GENERAL: 

Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y discontinuidad de funciones aplicando criterios.



































CONTENIDOS



Limite Trigonométrico

                  √ √     √ √  =



=

Aplicando Teoremas Teoremas

              √ √ √ √ √ √            √ √  √ √   1.2) Limites Aplicando a un Radical

      ,      0    1                , -  

=



































Función continúa

NOTA:

Debe cumplir que la función exista y el límite exista

REMOVIBLE CUANDO EL LIMITE EXISTA ESCENCIAL CUANDO NO ES REMOVIBLE

1) X=1 f (2)=3

2) X=-2 f(-2)=2

                                    

F(2)≠

F. DISCONTINUA

f(-2) ≠

FUNCION ESCENCIAL

3) X=0 f(0)=2

 

f(0)=

FUNCION

































REFLEXIONES

¿QUÉ COSAS FUERON FÁCILES? En este tema eh podido entender y comprender en su totalidad los limites y su aplicación en especial sus teoremas y para mi parecer la mejor prueba de ello es primero resolverlo sin teoremas para luego aplicarlos y asi estar seguro de su respuesta Eh llegado asi a definir y calcular limites trigonométricos eh aquí un ejemplo

              √ √     √ √  ¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES? Se me hizo muy difícil de entender la demostración de continuidad y discontinuidad de funciones aplicando criterios.


































DIARIO METACOGNITIVO Clase Nº7 PERIODO:


TIEMPO:

4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS H ORAS

DOCENTE GUIA:

Ing. José Cevallos Salazar

CONTENIDOS PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE 

Definiciones, Silva laso, 1125, Smith, 126, Larson, 106

DERIVADA     

Definición de la derivada en un punto, Smith, 135 Interpretación geométrica de la derivada. La derivada de una función. Gráfica de la derivada de una función, función , Smith, 139 Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO  

Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva. Definir la derivada de una función.

































CONTENIDOS PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE La pendiente de la recta tangente en el punto de la curva f(x) lo representamos asi:

                                                        La derivada definición



MODELOS MATEMATICOS

1. y 2. y 3. y 4. y 5.

6. y

;

;

;

;





































Funciones Trigonométricas

                                                                          10. y 11. y 12. y 13. y 14. y 15. y

Aplicación



































REFLEXIONES

¿QUE COSAS FUERON FACILES? Siendo las derivadas su principal tema en esta clase eh aquí mi mayor expresión de entendimiento del tema a pesar de su complejidad, ejercicios resueltos en clase fue de la manera que pude entenderlos

   ./            √ √          √ √  ,√ √ -  (√ √ ) √ √  




































ARTÍCULOS DE REVISTAS REVISTAS

En la guía manga del cálculo diferencial e integral, aprenderás junto con Sara, que el cálculo es algo más que

































UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS

estructura de adición de conceptos, en donde los primeros son imprescindibles para la compresión de los ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS siguientes, no se expone forma abstracta, sino que se c onfigura a través de ejemplos extraídos de la vida

TRABAJO DE EJECUCIÓN TALLER N”2 UNIDAD I Y II RESULTADO DE APRENDIZAJE: A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las las técnicas respectivas para para cada caso (Nivel Taxonómico: Taxonómico: Aplicación) B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación) C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)



































































TALLER No 4 UNIDAD I Y II RESULTADO DE APRENDIZAJE: A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las las técnicas respectivas para para cada caso (Nivel Taxonómico: Taxonómico: Aplicación) B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación) C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)

































































UNIDAD I Y II TALLER Nº 6 RESULTADO DE APRENDIZAJE: A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las las técnicas respectivas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Taxonómico: Aplicación) B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel continua(Nivel Taxonómico: Taxonómico: Aplicación) C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)

































































TALLER Nº2 UNIDAD III Y IV RESULTADO DE APRENDIZAJE A. Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel Taxonómico: Aplicación) B. Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través tr avés de los criterios respectivos (Nivel Taxonómico: Aplicación) COMPETENCIA: Fortalecer el aprendizaje de los teoremas de derivación interactuando en equipos con ética y responsabilidad para poder ser aplicadas posteriormente en problemas máximo y mínimos.







































































































TAREA Nº 1















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Para determinar cual es la Asíntota Oblicua se realiza la división que se tiene indicada en

Obteniendo como resultado Esta interpretación se puede expresar como

Esta expresión puede ser analizada gráficamente mediante la siguiente representación, en donde se ha indicado cual es la Asíntota Oblicua, y para un valor cualquiera de “x” se ha realizado un análisis de la expresión, descomponiendo el valor de “y” , para la parte entera (Asíntota) y para la

parte fraccionaria (Residuo), así:

































TECNICAS PARA GRAFICAR ASINTOTAS

Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo. La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se acerca la curva a la asíntota horizontal. se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba. uno a cero, por los valores positivos. Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos.

En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.

OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de abajo.



























La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos. En la gráfica se alcanza a distinguir, que del lado Por otro lado, si x tiende a valores muy Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores negativos, la función tiende a cero, pero por derecho, la función va por encima del eje "x", en muy grandes la función tiende a cero pero valores negativos, lo cual nos indicaría, que se cambio del lado izquierdo, se acerca por abajo. manifestando valores positivos. Esto implica, acerca a la asíntota horizontal por abajo. que se acerca a la asíntota horizontal por arriba. OJO: Esto tiene implicaciones serias para la Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0 función. Después de cruzar la asíntota horizontal, horizontal, debe tener un máximo y un punto de inflexión, ya que de otra manera no podría acercarse a la asíntota horizontal en y = 0

La función tiene una asíntota horizontal en y=0

Los dos límites tienden a cero, si hacemos el estudio, como en el primer problema, vemos que los dos límites se acercan a cero por arriba. (Ver gráfica)



























GRADO DEL NUMERADOR IGUAL AL GRADO DEL DENOMINADOR

Haciendo la división de polinomios, se llega a: Si suma una cierta cantidad, se acerca al 3 por valores mayores que el 3, o sea, por arriba.

Asíntota horizontal en y=3

, y se puede deducir, que la parte fraccionaria:

Si resta cierta cantidad, se acerca al 3 por valores menores que el 3, por lo tanto, se acerca a la asíntota por abajo. Suma una cierta cantidad al 3, cuando x tiende a oo, aunque siempre más pequeña.

OJO: A veces las gráficas pueden ser un poco Resta una cierta cantidad al 3, cuando x tuende engañosas, ya que la escala es reducida y no se a -oo, aunque cada vez más cercana a cero. alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede hacer un análisis de cruce con las asíntotas horizontales.. horizontales



























Tiene una asíntota horizontal en y = 2

A la hora de hacer uan división de polinomios, se obtiene una parte entera, que es 2, misma que es la asíntota horizontal.(Esto se debe a que los grados del numerador y denominador, son iguales) Nótese que conforme el grado del numerador y el grado del denominador crece, las gráficas son Cabe hacer un análisis de la importancia de los más complejas. Esta gráfica presenta dos coeficientes de los términos de mayor grado asíntotas verticales, una horizontal y dos tanto en el numerador como en el intersecciones con los ejes. denominador.





























FUNCIONES NO RACIONAL CON ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Al calcular los límites hacia más y menos infinito, se puede ver, que no son iguales, que uno tiende a 2 y el otro a menos infinito. La función exponencial: , este primer límite nos dice que hay una asíntota horizontal unilateral, sólo hacia la derecha de la función.

, tiene una asíntota horizontal unilateral, sólo cuando x tiende a infinito, ya que su límite es 2. Por lo tanto la recta y = 2 es la asíntota horizontal. La gráfica de la función se acerca a la recta y=2, por abajo, ya que , este límite nos indica, siempre se va a restar una cantidad al 2 que la función no tiene asíntota horizontal conforme crezca x. hacia la izquierda, que la función decrece rápidamente. No hay que confundir este hecho con el de una asíntota vertical, ya que la función no la tiene. No hay valor para el cual la función no esté definida.





























La función:

El límite cuando x tiende a más infinito, es:

, presenta una asíntota horizontal hacia ambos lados de la función. Esto se debe a que los límites de la función cuando x tiende a más o menos infinito, los dos son cero. Por lo tanto la asíntota horizontal se encuentra en y = 0, o sea, el eje "x".

El límite cuando x tiende a menos infinito, es: Nótese que la función aparte de tener una asíntota horizontal presenta un máximo y además dos puntos de inflexión, sin los cuales no se podría acercar asintóticamente al eje "x".





























Este límite nos dice, que existe esa asíntota horizontal.

La función logarítmica

, tiene, aparte de varias peculiaridades, que habría que analizar posteriormente, una asíntota hrizontal unilateral en y = 0, o sea, el eje "x" funciona con asíntota.

Es evidente, que x no puede tender hacia menos infinito, ya que el ln de números negativos no existe. Así también queda claro, que la función no está definida para ningín valor negativo de x. Tampoco está definida para x = 0. Sólo se puede calcular el límite cuando x tiende a o por la derecha:





























CONCLUSIÓN Concluyo este este ensayo enfocado en las técnicas técnicas para graficar graficar las asíntotas porque es donde se practica su teoría entonces: 







Si se calcula el límite cuando x tiende hacia , se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva ll eva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos. Cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba Después de cruzar la asíntota horizontal, horizontal , debe tener un máximo y un punto de inflexión, ya que de otra manera no podría acercarse a la asíntota horizontal en y = 0. A veces las gráficas pueden ser un poco engañosas, ya que la escala es reducida y no se alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede hacer un análisis de cruce con las asíntotas horizontales

BIBLIOGRAFIA 

http://www.vadenumeros.es/primero/asintotas-verticales.htm



http://www.mitecnologico.com/Main/AsintotasVerticalesHorizontalesUOblicuas http://www.mitecnologico.com/Main/ AsintotasVerticalesHorizontalesUOblicuas

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Limites/Asintotas.pdf

































DEBER Nº2 FECHA: FECHA: 22-05-2012

UTILIZANDO EL APOYO AL ESTUDIANTE REALIZAR REALIZAR 2 EJERCICIOS DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES DEL LIBRO DE SILVA LASSO:   

ALGEBRA DE FUNCIONES FUNCION COMPUESTA FUNCION INVERSA

ALGEBRA DE FUNCIONES Para cada función encontrar f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y además dar Df,Dg,Df+Dg,Df-Dg,Dfg,Df/g. f(x)=3x-5

g(x)= 2x+7

                                              * +  * + +  * +    √ √     √ √    =

l)



































  - ,  ,          ,             

FUNCION COMPUESTA

PARA CADA PAR DE FUNCIONES, ENCONTRAR (fog) (x), (gof) (x), (fof) (x), (gog) (x).

         ()          ( )          ( )          ()                   a)

































         

FUNCI0N INVERSA

                     *   +  *     + m)

































DEBER Nº3



































































































UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS INFORMÁTIVOS

BIBLIOGRAFIA CALCULO DIFERENCIAL BIBLIOGRAFIA DADA. SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega. LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc Graww Hill 2006.

Portafolio CD 2012// Rolando Zares

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