LABORAT LABORATORIO DE PROCESOS ESTOCASTICOS
CADENAS DE MARKOV Una cadena de Markov es una serie de eventos en !a cua! !a "ro#a#i!idad de $ue ocurra un evento de"ende de! evento in%ediata%ente anterior& Es decir !as cadenas de este ti"o tienen %e%oria& 'Recuerdan' e! (!ti%o evento ) esto condiciona !as "osi#i!idades de !os eventos *uturos& Esta de"endencia de! evento anterior distin+ue a !as cadenas de Markov de !as series de eventos inde"endientes co%o es e! !an,ar !an,ar una %oneda a! aire o un dado& En !os ne+ocios !as cadenas de Markov se -an uti!i,ado "ara ana!i,ar !os "atrones de co%"ra de !os consu%idores "ara "ronosticar !as concesiones "or deudores %orosos "ara "!anear !as necesidades de "ersona! ) "ara ana!i,ar e! ree%"!a,o de d e e$ui"o& Matri, de transici.n/ Es a$ue!!a %atri, $ue esta *or%ada "or !as "ro#a#i!idades condiciona!es o de transici.n de %overse de un estado a otro ) cada *i!a de#e ser un vector de "ro#a#i!idad "ro#a#i!idad "or !o tanto !a su%a de !os e!e%entos de cada *i!a de#e ser 0 ) todos !os e!e%entos de !a %atri, de#en ser %a)ores o i+ua!es a cero& Las cadenas de Markov "oseen una "ro"iedad en cuanto a $ue tienden a a"ro1i%arse a !o $ue se !!a%a estado esta#!e& E2e%"!os/ 0&3 Un "roceso de "roducci.n contiene una %4$uina $ue se deteriora con ra"ide, #a2ando tanto en !a ca!idad co%o en e! rendi%iento rendi%iento de su "roducci.n #a2o un uso "esado de %odo $ue se ins"ecciona "eri.dica%en "eri.dica%ente te di+a%os a! *ina! de cada d5a& In%ediata%ente des"u6s de !a ins"ecci.n se o#serva !a condici.n de !a %4$uina ) se c!asi*ica en uno de cuatro estado& ESTADO 7 CONDICION CONDIC ION 8 7 Buena co%o nueva& 0 7 O"era# ra#!e 9 det deterio rioro %enor nor :&:& ; 7 O"e O"era ra#! #!ee 9de 9detterio erioro ro i%"o i%"ort rtan antte :& :& < 7 Ino" Ino"er era# a#!e !e 9 "rod "roduc ucci ci.n .n de de ca!i ca!ida dadd inac inace" e"ta ta#! #!ee :& La Matri, de transici.n es !a $ue se entre+a a continuaci.n/ Estado 8 0 ; <
7 7 7 7 7
8 8 8 8 8
0 ; =>? 0>0@ <> 0>? 8 0>; 8 8
< & 0>0@ 0>? 0>; 0
Su"uesto/ Los costos en $ue se incurre %ientras e! siste%a se desarro!!a contienen varios co%"onentes& As5 si e! siste%a est4 en e! estado 8 0 . ; "ueden "roducirse unidades de*ectuosas en e! d5a si+uiente ) !os costos es"erados ser5an/ 7 COSTO ESPERADO DEBIDO A LA PRODUCCION ESTADO 7 DE ARTICULOS ARTICULOS DEECTUOSOS DEECTU OSOS DEL DIA SIUIENTE SIUIE NTE 8 7 8 0 7 0&888 ; 7 <&888 Si se ree% ree%"! "!a,a a,a !a %4$uin %4$uinaa se incurr incurree en un cost costoo de ree%"! ree%"!a,o a,o de &88 &888 8 2unto 2unto con un costo costo de "roducci.n "erdida 9uti!idad "erdida: de ;&888& Por !o tanto e! costo tota! de! siste%a en e! estado < es de @&888& Con !a "o!5tica de %anteni%iento antes %encionada es decir ree%"!a,ar una %4$uina ino"era#!e nuestra %atri, de transici.n se trans*or%a en/ Estado 7 8 8 7 8
0 ; =>? 0>0@
< & 0>0@
0 ; <
7 8 7 8 7 0
<> 0>? 8 0>; 8 8
0>? 0>; 8
En e! estado < e1iste un ree%"!a,o "or !o tanto en e! estado 8 se "one un 0 "or$ue !a %4$uina $ueda ' tan #uena co%o nueva '& DETERMINACION DEL COSTO DE LA POLITICA DE MANTENIMIENTO/ En #ase a !a %atri, de transici.n anterior se "!antea un siste%a de ecuaciones si%u!t4neas deno%inado estado estacionario $ue se "ueden escri#ir co%o/ π< 7 π0 =>? π8 F <> π0 7 π; 0>0@ π8 F 0>? π0 F 0>; π; 7 π< 0>0@ π8 F 0>? π0 F 0>; π; 7 7 π8 F π0 F π; F π< 0 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG7 π8
!a so!uci.n de! siste%a es/ π8
;>0<
=>0<
π0
;>0<
π;
;>0<&
π<
De donde e! costo "ro%edio es"erado a !ar+o "!a,o "or d5a est4 dado "or/ C&T& 8 H π8 F 0&888 H π0 F <&888 H π; F @&888 H π< C&T& 8 H ;>0< F 0&888 H =>0< F <&888 H ;>0< F @&888 H ;>0< C&T& ;&888>0< 0&J;<8?& esto re"resenta e! costo de esta "o!5tica de %anteni%iento& Se "ueden de*inir distintas "o!5ticas de %anteni%iento co%o "or e2e%"!o/ a: Ree%"!a,ar !a %4$uina cuando est4 en e! estado ; . <& #: Ree%"!a,ar !a %4$uina si se encuentra en e! estado < . re"arar !a %4$uina si se encuentra en e! estado ; ) de2ar!a en e! estado 0& c: Ree%"!a,ar !a %4$uina si se encuentra en e! estado < . ; . 0& E! costo de re"arar es de ;&888 %4s ;&888 "or conce"to de !a "roducci.n "erdida ) esto con!!eva a un costo tota! de re"araci.n de &888& Las %atrices de transici.n "ara !as "o!5ticas %encionadas anterior%ente se "resentan a continuaci.n/ a: Estado 8 0 ; <
7 7 7 7 7
8 8 8 0 0
0 ; =>? 0>0@ <> 0>? 8 8 8 8
< & 0>0@ 0>? 8 8
c: Estado 7 8 8 7 8 0 7 0 ; 7 0 < 7 0
0 ; =>? 0>0@ 8 8 8 8 8 8
< 0>0@ 8 8 8
#: Estado 8 0 ; <
7 7 7 7 7
8 8 8 8 0
0 ; =>? 0>0@ <> 0>? 0 8 8 8
< & 0>0@ 0>? 8 8
Las "ro#a#i!idades de cada estado esta#!e ) !os costo de !as distintas "o!5ticas se resu%en a continuaci.n/ POLITICA7 PROBABILIDADES 7 COSTO TOTAL 7 π8 π0 π; 9 en %i!es de "esos: & π< 7 a 7 ;>00 =>00 0>00 0>00 7 0>00 9 ;H 8 F =H0 F 0H@ F 0H@ : 0J>00 0=;= # 7 ;>;0 0>;0 ;>;0 ;>;0 7 0>;0 9 ;H 8 F 0H0 F ;H F ;H@ : <>;0 0@@= Min c 7 0@><; 0><; 0><; 0><; 7 0><; 9 0@H 8 F 0H@ F 0H@ F 0H@ : J@><; <888
Resu!tado/ La "o!5tica #: es !a ."ti%a "or invo!ucrar un %enor costo de %anteni%iento ) !a decisi.n es ree%"!a,ar si !a %4$uina se encuentra en e! estado < . re"arar si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; con un costo "ro%edio es"erado de 0&@@= "or d5a&3 Las "ro#a#i!idades $ue con*or%an !a %atri, de! estado esta#!e se "ueden o#tener e!evando !a %atri, de transici.n a un e1"onente a!to "or e2e%"!o @& Esta o"eraci.n se rea!i,a ocu"ando "!ani!!a ECEL co%o si+ue/ Po!5tica a: π8
π0
π;
π<
8 =>? 0>0@ 0>0@ 8 <> 0>? 0>? π0 0 8 8 8 π; 0 8 8 8 π< Para e!evar a! cuadrado esta %atri, !o "ri%ero $ue de#e rea!i,arse es se!eccionar e! n(%ero de *i!as ) co!u%nas $ue deter%inan e! orden de !a %atri, resu!tado en !a ce!da $ue corres"onde a !a intersecci.n de !a "ri%era *i!a con !a "ri%era co!u%na se "osesiona e! cursor ) se a"!ica !a *unci.n MMULT/ en !a "ri%era %atri, $ue a"arece en e! cuadro de di4!o+o se %arcan !as "ro#a#i!idades de !a %atri, de transici.n ) !o %is%o se -ace con !a se+unda %atri,& Para visua!i,ar !as "ro#a#i!idades de !a %atri, "roducto en ve, de se!eccionar ace"tar ud& de#e "resionar !as tec!as/ CTR SIT ) ENTER a! %is%o tie%"o ) se des"!e+ar4n !os e!e%entos de su nueva %atri,& Re"ita e! "roceso anterior unas seis veces considerando e! "roducto de !a nueva %atri, o#tenida ) as5 se a"ro1i%ar4 a !a %atri, de "ro#a#i!idades de! estado esta#!e& π8
E2ercicios/ 0&3 Un +erente de cr6dito esti%a $ue e! = de a$ue!!os $ue "a+an sus cuentas a tie%"o un %es ta%#i6n !o -ar4n e! si+uiente %es& Sin e%#ar+o de a$ue!!os $ue se tardan s.!o e! "a+ar4 a tie%"o !a "r.1i%a ve,& Si una "ersona "a+a a tie%"o cu4! es !a "ro#a#i!idad de $ue "a+ar4 a tie%"o durante !os cinco %eses desde a-ora ;&3 Una e%"resa se "reocu"a "or inter%edio de su de"arta%ento t6cnico de ins"eccionar una %4$uina %u) es"ecia! a! *ina! de cada d5a ) !a c!asi*ica en uno de !os si+uientes estados/ ESTADO CONDICION 8 co%o nueva sin deterioro 0 co%o nueva con deterioro %enor ; o"era#!e con deterioro %a)or < ino"era#!e Las "o!5ticas "osi#!es son/ a: re"arar si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; ) de2ar!a en e! estado 0 #: ree%"!a,ar si !a %4$uina se encuentra en e! estado < ) de2ar!a en e! estado 8 c: si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; se re"ara "ara de2ar!a en e! estado 0 . si se encuentra en estado < se ree%"!a,a "ara de2ar!a en e! estado 8 Los costos "or "roducci.n de*ectuosa son !os si+uientes/ ESTADO COSTO 8 8 0 88 ; ;888 E! costo de re"arar ser4 &888 %4s &888 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de !a re"araci.n& E! costo de ree%"!a,ar es de 08&888 %4s &888 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de! ree%"!a,o& La %atri, de transici.n es !a si+uiente/ ESTADO 8 0 ; < 8 88 8= 80 88 0 8 8=8 8;8 808 ; 8 8 8?8 8;8 < 8 8 8 0 Deter%ine !a "o!5tica %4s conveniente "ara i%"!e%entar&
<&3 Una e%"resa se "reocu"a "or inter%edio de su de"arta%ento t6cnico de ins"eccionar una %4$uina %u) es"ecia! a! *ina! de cada d5a ) !a c!asi*ica en uno de !os si+uientes estados/ ESTADO CONDICION 8 co%o nueva sin deterioro 0 co%o nueva con deterioro %enor ; o"era#!e con deterioro %a)or < ino"era#!e Las "o!5ticas "osi#!es son/ a: re"arar si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; ) de2ar!a en e! estado 0 #: ree%"!a,ar si !a %4$uina se encuentra en e! estado < ) de2ar!a en e! estado 8 c: si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; . < se ree%"!a,a "ara de2ar!a en e! estado 8 d: no -acer nada& Los costos "or "roducci.n de*ectuosa son !os si+uientes/ ESTADO COSTO 8 8 0 088 ; ;888 < @888 E! costo de re"arar ser4 &888 %4s &888 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de !a re"araci.n& E! costo de ree%"!a,ar es de ?&888 %4s &888 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de! ree%"!a,o La %atri, de transici.n es !a si+uiente/ ESTADO 8 0 ; 8 80 8@ 80 0 8 8?8 80 ; 8 8 8? < 8 8 8 Deter%ine cua! "o!5tica es %4s conveniente i%"!e%entar&
< 88 88 80 0
&3 Una e%"resa se "reocu"a "or inter%edio de su de"arta%ento t6cnico de ins"eccionar una %4$uina %u) es"ecia! a! *ina! de cada d5a ) !a c!asi*ica en uno de !os si+uientes estados/ ESTADO CONDICION 8 co%o nueva sin deterioro 0 co%o nueva con deterioro %enor ; o"era#!e con deterioro %a)or < ino"era#!e Las "o!5ticas "osi#!es son/ a: re"arar si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; ) de2ar!a en e! estado 0 #: ree%"!a,ar si !a %4$uina se encuentra en e! estado < ) de2ar!a en e! estado 8 c: si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; . < se ree%"!a,a "ara de2ar!a en e! estado 8 Los costos "or "roducci.n de*ectuosa son !os si+uientes/ ESTADO COSTO 8 8 0 88 ; ;888 < 888 E! costo de re"arar ser4 @&888 %4s &888 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de !a re"araci.n& E! costo de ree%"!a,ar es de 08&888 %4s &888 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de La %atri, de transici.n es !a si+uiente/ ESTADO 8 0 ; 8 88 8?8 808 0 8 8=8 8;8 ; 8 8 8?8 < 8 8 8 Deter%ine cua! "o!5tica es %4s conveniente i%"!e%entar&
< 88 808 8;8 0
&3 Una e%"resa se "reocu"a "or inter%edio de su de"arta%ento t6cnico de ins"eccionar una %4$uina %u) es"ecia! a! *ina! de cada d5a ) !a c!asi*ica en uno de !os si+uientes estados/ ESTADO CONDICION 8 co%o nueva sin deterioro
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Las "o!5ticas "osi#!es son/ a: re"arar si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; ) de2ar!a en e! estado 0 #: ree%"!a,ar si !a %4$uina se encuentra en e! estado < ) de2ar!a en e! estado 8 c: si !a %4$uina se encuentra en e! estado ; . < se ree%"!a,a "ara de2ar!a en e! estado 8 d: no -acer nada& Los costos "or "roducci.n de*ectuosa son !os si+uientes/ ESTADO COST8 8 8 0 0;88 ; 0=88 < 88 E! costo de re"arar ser4 &88 %4s <&88 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de !a re"araci.n& E! costo de ree%"!a,ar es de =&;88 %4s <&88 "or !a "roducci.n "erdida en e! d5a de! ree%"!a,o La %atri, de transici.n es !a si+uiente/ ESTADO 8 0 ; 8 808 8=8 80 0 8 8= 80 ; 8 8 8?8 < 8 8 8 Deter%ine cua! "o!5tica es %4s conveniente i%"!e%entar&
< 88 808 8;8 0
@&3 Una co%"aQ5a e%"!ea in+enieros de tres nive!es de c!asi*icaci.n/ "a+a US 08&888 a! aQo a !os in+enieros nuevos un "ro%edio de US 0&888 a! aQo a !os in+enieros veteranos ) un "ro%edio de US ;8&888 a! aQo a !os consu!tores& Cada aQo e! ;8 de !os nuevos e! 0 de !os veteranos ) e! 08 de !os consu!tores de2an !a co%"aQ5a& A$ue!!os $ue se van son ree%"!a,ados "or in+enieros nuevos& La co%"aQ5a tiene a-ora 88 in+enieros nuevos 088 veteranos ) 08 consu!tores& Cu4ntos in+enieros nuevos ) veteranos se de#en "ro%over cada aQo "ara %antener esta#!e !os nive!es de e%"!eados& Cu4ntos in+enieros nuevos se de#en contratar a! aQo& =&3 E! "a#e!!.n +eri4trico de un -os"ita! c!asi*ica a sus "acientes co%o enca%ados o no enca%ados& Los datos -ist.ricos indican $ue durante un "er5odo de una se%ana <8 de todos !os "acientes no enca%ados son dados de a!ta 8 contin(an no enca%ados ) <8 son enca%ados& Durante e! %is%o "er5odo 8 de todos !os "acientes "asan a no enca%ados ;8 "er%anecen enca%ados ) <8 *a!!ecen& Nor%a!%ente e! -os"ita! tiene 088 "acientes en su "a#e!!.n +eri4trico con treinta "acientes enca%ados ) setenta no enca%ados& Deter%5nese e! estado de estos "acientes/ a: des"u6s de dos se%anas ) #: a !ar+o "!a,o& 9E! estado de un "aciente dado de a!ta no ca%#ia si e! "aciente %uere& : ?&3 Una e%"resa A esti%a !a si+uiente %atri, de transici.n "ara !a cantidad de%andada de un "roducto $ue es *a#ricado "or e!!a ) tres de sus co%"etidores 9B C ) D :& A DE
A B C D A 8?8 88 88= 88? B 80; 8=8 80 88< C 808 80 8@ 80J D 88? 88= 80; 8=< La uti!idad unitaria des"u6s de i%"uesto $ue +enera e! "roducto a !a co%"aQ5a A es de 088& Las ventas de! "roducto "or cada co%"aQ5a en e! (!ti%o "er5odo *ue !a si+uiente& COMPAA A B C D N unidades vendidas 8888 ;8888 8888 @8888 La co%"aQ5a B -a decidido rea!i,ar una ca%"aQa "u#!icitaria ) esti%a $ue 6sta !e "er%itir4 %e2orar su "artici"aci.n en e! %ercado $ue ser5a !a si+uiente/ Partici"aci.n Co%"aQ5a COMPAA A B C D B 88 8?8 80< 88;
E! de"arta%ento de estudio de !a co%"aQ5a A se enter. de !o $ue i#a a rea!i,ar !a co%"aQ5a B ) decidi. i%"!e%entar una ca%"aQa "u#!icitaria a+resiva !a cua! tiene un costo de @88888 ) esti%a $ue su "artici"aci.n en e! %ercado ser5a !a si+uiente/ Partici"aci.n Co%"aQ5a COMPAA A B C D Es conveniente $ue !a e%"resa !!eve A 8J8 88; 88< 88 a ca#o su ca%"aQa "u#!icitaria J&3 Una e%"resa A necesita deter%inar cu4ntas %4$uinas ad$uirir "ara un "roceso "roductivo a *in de tener una %a)or "artici"aci.n en e! %ercado& Cada %4$uina tiene un costo de US 088888 ) !a uti!idad unitaria $ue +enera e! "roducto a !a e%"resa A es de US & La distri#uci.n de! %ercado es !a si+uiente/
EMPRESA A B C N unidades vendidas ;88888 08888 0@8888 Las %atrices de transici.n de"endiendo de! n(%ero de %4$uinas $ue dis"on+a !a e%"resa A son/ 0 M4$uina
; M4$uinas A
DE A B C < M4$uinas
A A 8=8 88 88?
B 8;8 8J; 88;
C 808 88< 8J8
A 8J8 808 80
B 88@ 8? 88;
C 88 88 8?<
DE A B C
A 8?8 808 80;
B C 80; 88? 8? 88 88; 8?@
A DE A B C
Cu4! ser5a su decisi.n en e! !ar+o "!a,o Asu%a $ue !a vida (ti! de !a %4$uina es de un "er5odo
