Recueil de contrôles d’électricité 3
-S3) (SMP -S3)
UNIVERSITE CADI AYYAD FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA DEPARTEMENT DE PHYSIQUE MARRAKECH
Support pédagogique : Recueil de contrôles corrigés
d'électricité 3 Filières Licences fondamentales SMP et SMA
A. Essafti et E. Ech-chamikh
Année universitaire : 2008/2009
-1-
A. Ess Essafti & E. Ech-chamikh
Avant-propos Ce recueil de contrôles corrigés d'électricité 3 (élément de module du module physique 3 composé des éléments électricité 2 & électricité 3), est destiné essentiellement aux étudiants des filières Licences fondamentales, Sciences de la Matière Physique (SMP) et Sciences Mathématiques Appliqués (SMA), du premier cycle de l'enseignement universitaire. Les étudiants de quelques filières Licences professionnelles peuvent également se servir de ce document ; notamment les filières EnRA et EEI. Ce support regroupe les contrôles du milieu de semestre, les contrôles de fin du semestre et les contrôles de rattrapage qui ont étés proposés aux étudiants de la Faculté des Sciences Semlalia de Marrakech (FSSM) durant la période 2004-2008 dans le cadre du programme officiel de la réforme pédagogique universitaire. Ces contrôles couvrent tous les chapitres de l'électricité 3 : l'électrostatique dans la matière, la magnétostatique dans la matière et la propagation des ondes électromagnétiques dans la matière. Nous souhaitons que les étudiants (plus particulièrement ceux de la FSSM) trouvent dans ce polycopié un bon outil de travail qui les aidera à mieux comprendre le cours
d’électricité 3
et à se préparer efficacement aux épreuves
des contrôles de cet élément de module.
Les auteurs
-2-
A. Ess Essafti & E. Ech-chamikh
Avant-propos Ce recueil de contrôles corrigés d'électricité 3 (élément de module du module physique 3 composé des éléments électricité 2 & électricité 3), est destiné essentiellement aux étudiants des filières Licences fondamentales, Sciences de la Matière Physique (SMP) et Sciences Mathématiques Appliqués (SMA), du premier cycle de l'enseignement universitaire. Les étudiants de quelques filières Licences professionnelles peuvent également se servir de ce document ; notamment les filières EnRA et EEI. Ce support regroupe les contrôles du milieu de semestre, les contrôles de fin du semestre et les contrôles de rattrapage qui ont étés proposés aux étudiants de la Faculté des Sciences Semlalia de Marrakech (FSSM) durant la période 2004-2008 dans le cadre du programme officiel de la réforme pédagogique universitaire. Ces contrôles couvrent tous les chapitres de l'électricité 3 : l'électrostatique dans la matière, la magnétostatique dans la matière et la propagation des ondes électromagnétiques dans la matière. Nous souhaitons que les étudiants (plus particulièrement ceux de la FSSM) trouvent dans ce polycopié un bon outil de travail qui les aidera à mieux comprendre le cours
d’électricité 3
et à se préparer efficacement aux épreuves
des contrôles de cet élément de module.
Les auteurs
-2-
Recueil de contrôles d’électricité 3
-S3) (SMP -S3)
Contrôle N°1 : (2004/05)
Partie AA- Soient deux tubes conducteurs cylindriques coaxiaux (d’axe Z’OZ), de rayons R 1 et R 2 (R 2 > R 1) et de hauteur H >> R 2. Le conducteur de rayon R 1 porte une charge positive de densité surfacique . L’espace entre les deux conducteurs est rempli par un diélectrique LHI de permittivité électrique (voir figure 1). 1- Ecrire l’équation de Maxwell-Gauss Maxwell-Gauss pour le vecteur déplacement électrique D . Déduire la forme intégrale de cette équation et sa signification physique. physique . 2- Montrer que D , en tout point M (loin des bords) repéré par ses coordonnées cylindriques r, et z, est donné par une expression de la forme : D er où est une constante à r
Z R 1
H
R 2
O
M
Z’
déterminer et r
OM
Figure 1
r er .
3- En déduire le champ électrostatique macroscopique E dans le diélectrique. 4- Déterminer le vecteur polarisation P dans le diélectrique. 5- Calculer les densités des charges de polarisation surfaciques p(R 1) et p(R 2) sur les conducteurs de rayons R 1 et R 2, respectivement. 6- Calculer la densité volumique des charges de polarisation p. 7- En déduire la charge totale de polarisation Q p. 8- Calculer le champ de polarisation E p dans le diélectrique.
9- Calculer la différence de potentiel V entre les deux conducteurs. 10- En déduire l’expression de la capacité C A du condensateur.
On donne, en coordonnées cylindriques :
div A
1
r r
(rAr )
1 A r
Partie BB- On considère, dans cette partie, partie, que l’espace entre les deux conducteurs cylindriques est rempli de deux diélectriques LHI 1 et 2, cylindriques, d’épaisseurs e 1 et e2 et de permittivités électriques et 2, respectivement (voir figure 2). 1- Calculer les vecteurs déplacement électrique D 1 et D 2 dans les diélectriques 1 et 2 respectivement. 2- Déterminer les champs électriques macroscopiques E 1 et
Az z Z
e1
R 1
2 1
e2
H
E 2 dans
les diélectriques 1 et 2. 3- Ecrire la relation de passage, entre les deux diélectriques,
pour le vecteur déplacement électrique D . 4- Déduire une relation entre les champs électriques E 1 et E 2 à l’interface entre les deux diélectriques. 5- Calculer la différence de potentiel V entre les deux conducteurs. 6- En déduire l’expression de la capacité C B du condensateur. Conclure
-3-
Z’
Figure 2
R 2
A. Ess Essafti & E. Ech-chamikh
7- Calculer les vecteurs polarisation P 1 et P 2 dans les diélectriques 1 et 2, respectivement. 8- Calculer les densités surfaciques des charges de polarisation B p(R 1) sur le cylindre de rayon R 1 et p(R 2) sur le cylindre de rayon R 2. 9- Calculer la densité surfacique des charges de polarisation B p à l’interface entre les diélectriques 1 et 2.
-4-
Recueil de contrôles d’électricité 3
-S3) (SMP -S3)
Corrigé du contrôle N°1: (2004-2005) Partie A :
1- L’équation de Maxwell-Gauss Maxwell-Gauss pour
Sa forme intégrale est :
D est : div D
D dS Qint
( S )
Le flux du vecteur déplacement électrique à travers une surface fermée S est égal à la somme des charges libres situées à l’intérieur de S.
2- Par raison de la symétrie cylindrique, le vecteur
D est
radial et ne dépend que de r donc :
D D(r )er Le théorème de Gauss appliqué à un cylindre hypothétique de même axe que les deux cylindres, et de rayon r (R 1
DdS D(r )
dS D(r )2rh 2 R h 1
( S )
( S )
Ce qui donne :
D(r )
Donc
D
R1 r
r
3- Milieu LHI,
D
1
r
er
R
avec : R1
er
R1
E
donc : E
r
er
4- D o E P E , donne P ( o ) E ( o )
R
1
r
er
5- Les 5- Les densités des charges de polarisation surfaciques sont définies par :
p ( R1 ) P (r R1 ) n1
avec : n1
er
D’où : ’où : p ( R1 ) P er (er ) P ( o )
0
p ( R2 ) P (r R2 ) n2
avec : n2
D’où : ’où : p ( R2 ) P er (er ) P ( o )
er
R1 R2
0
6- La 6- La densité volumique des charges de polarisation polarisati on Comme : P r ( o )
R1 r
p div( P )
p ( R1 )dS p ( R2 )dS p dv 0 ( S )
est définie par :
et P P z 0 ; Donc : p 0
7- La 7- La charge de polarisation totale est : Q p En effet : Q p ( o )
p
2 R1 H ( o )
R1 R2
(S )
(V )
2 R2 H 0
8- 8- Le champ de polarisation E p (r ) entre les armatures peut être déterminé à partir de la
relation du champ macroscopique E ; où E est égal à la somme du champ extérieur
champ de polarisation E p : E E o
E p
-5-
E o
et le
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Donc : E p
E E o
Le champ extérieur est créé dans le vide par la charge Q portée par l’armature de rayon R 1, en un point M de rayon r, et son expression est :
Le champ E est déterminé par application du théorème de Gauss :
E
R
1
Alors : E p
R1 1
o
r
er
1 P er r o o
Autre démarche :
Calcul direct en utilisant le théorème de Gauss :
E p dS
( S )
Q p o
p ( R1 )2 R1 h o
On trouve la même expression.
9- On a la relation E grad V , donc dV seule composante E(r). On intègre
R2
E (r ) dr car
le champ électrique n’a qu’une relation entre R 1 et R 2:
R2
cette
R2
R1 dr R1 R2 Log r R1 R
d V V ( R2 ) V ( R1 ) E (r ) dr
R1
R1
V V ( R1 ) V ( R2 )
R1
1
R Log 2 R1
10- Q 2 R1 H C AV C A
R
1
R 2 H 2 H Log 2 ; alors : C A R R 1 R1 Log 2 Log 2 R1 R1
Partie B : R
1- Le vecteur déplacement dans le milieu 1 est :
D1 ( r )
D2 ( r )
r R
Dans le milieu 2 le vecteur déplacement est :
1
1
r
er (avec
er (avec
R 1
R 1+e1
2- Le champ macroscopique dans le milieu 1 est: E 1
D1
1
R1 1 r
er ;
Le champ macroscopique dans le milieu 2 est: E 2
D2 2
R1 2 r
er ;
3- A la traversée de la surface séparant les deux milieux 1 et 2 il y a continuité de la
composante normale du vecteur déplacement D : D1n D2 n 0 , car la densité surfacique des charges libres est nulle à l’interface entre les
deux diélectriques.
4- A l’interface r = R 1+e1, D1 D2 , on peut écrire donc : 1 E 1 2 E 2
5- On a : E
grad V , alors : dV E (r )dr
-6-
Recueil de contrôles d’électricité 3
R1 e1
R2
R1 e1
R2
R2
R1 dr R1 dr ) 1 r R e 2 r
dV V ( R ) V ( R ) ( E dr E dr ) ( 2
1
1
R1
2
R1 e1
R1
V V ( R1 ) V ( R2 ) (
R1
1
1
R e1 R1 R2 R1 Log 1 Log ) R1 R1 e1 1 2
6- Comme Q 2 R1 H C BV C B ( Donc : C B
(SMP -S3)
R
1 1
R e1 Log 1 R1
R
1 2
R2 Log ) R1 e1
2 H
R e1 Log 1 1 R1 1
R2 Log 2 R1 e1 1
Conclusion : Le condensateur est équivalent à deux condensateurs C1 et C2 en série : R e1 R2 1 1 Log 1 Log 1 2 R1 R1 e1 1 1 1
C B
C 1
C 2
2 H
2 H
7- P 1 (1
o ) E 1
(1
o
)
R1
1
P 2
( 2
o
) E 2
( 2
o
)
r
R1 2
r
er ; dans le milieu 1.
er ;
dans le milieu 2.
8- Les densités des charges de polarisation surfaciques sont : B p ( R1 ) P 1er (er ) P 1 (1 o ) 0 1
B p ( R2 ) P 2 er (er ) P 2 ( 2 o )
R1
0 2 R2 9- A l’interface r=R 1 +e1 ; la densité surfacique de charges de polarisation est : B B B p 1 p ( R1 e1 ) 2 p ( R1 e1 ) .
Avec : B 2 p
( R1
B 1 p
( R1 e1 ) P 1 (r R1
e1 ) P 2 (r R1
Donc : B p
e1 )er (er ) P 2
e1 )er (er ) P 1
(
(1 o )
2 o
R1 o 1 2 ( R1 e1 ) 1 2
-7-
R
1 1
R
1
) 2
( R1 e1 )
( R1
e1 )
0
0
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle N°1 : (2005/2006)
Exercice 1 : On considère un condensateur plan rempli de deux diélectriques LHI de permittivités diélectriques et 2. Ces deux diélectriques touchent chacune des armatures suivant des surfaces S1 et S2; Les contacts sont parfaits. Les deux armatures métalliques du condensateur sont soumises à une différence de potentiel V. Les effets de bords sont supposés négligeables. Soit d la distance entre les deux armatures.
1)- Enoncer les relations de passage entre deux milieux 1 et 2 pour le champ électrique
E et
pour le vecteur déplacement électrique D . 2)- Déduire la relation entre les S1 S2 champs électriques E 1 et E 2 dans les milieux 1 et 2 respectivement. (1) (2) Trouver leurs expressions en d e z V fonction de V et d. 1 2 3)Calculer les vecteurs déplacement D 1 et D 2 dans les diélectriques 1 et 2, respectivement. 4)- Déterminer les densités surfaciques de charges libres 1 et 2 portées, respectivement, par les surfaces S1 et S2 en fonction de d, 1, 2 etV. En déduire la capacité du condensateur C et conclure. 5)- Calculer les vecteurs polarisation P 1 et P 2, respectivement, dans les diélectriques 1 et 2. 6)- Calculer les densités surfaciques de charges de polarisation 1p et 2p portées, respectivement, par les surfaces S1 et S 2 de l’armature supérieure en fonction de d, 1, 2, o et V.
Exercice 2: Soit une sphère diélectrique LHI de susceptibilité électrique , de centre O et de rayon R, placée dans le vide, polarisé uniformément suivant l’axe O X. Le vecteur polarisation
est
P P e x .
1) Rappeler la définition d’un dipôle électrique de moment dipolaire électrique p . 2) Ecrire l’expression du potentiel V(M) créé par ce dipôle électrique p (placé en un point O)
en un point M très éloigné du dipôle. On pose r OM . 3) On supposera qu’à l’extérieur, la sphère est équivalente à un dipôle électrique. Déterminer le moment dipolaire électrique p de la sphère. 4) Exprimer le potentiel V(M) en fonction de la
e
e
M
r
polarisation P . 5) En un point M à l’extérieur de la sphère, donner
e y
R
O
l’expression du champ électrique E ( M ) .
6) Déterminer les composantes de E ( M ) en
X
e x
P
coordonnés polaires (r,.
7)- On considère que la sphère est placée dans un champ électrique uniforme le vecteur polarisation de la sphère.
-8-
E o
. Déterminer
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
On rappelle que le champ électrique de polarisation au centre O de la sphère, uniformément
P
polarisée, est donné par l’expression E p
Rappel : gr ad A
A r
er
1 A r
3 o
e
-9-
où o est la permittivité du vide.
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2005-2006) Exercice 1 : 1) A la traversée d’une surface séparant deux milieux 1 et 2 il y a :
-
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique
-
Discontinuité
E :
E1T=E2T.
D1
de
la
composante
normale
du
vecteur
déplacement
D :
D2
n12 , avec
n
12
un vecteur normal à la surface orienté du milieu 1 vers le
milieu 2 et la densité surfacique de charges libres. 2) continuité de la composante tangentielle du champ électrique: E 1T=E2T, ( pas de composante normale pour le champ électrique), soit donc E1 E 2 .
Le champ électrique est uniforme entre les deux armatures et porté par e z , donc on peut écrire que
2
2
2
1
1
1
d V Edz E dz V Ed , dans le milieu 1 : V=E 1d .
V e z E 2 . d 1 E1 1 e z
De même pour le milieu 2 on a : V=E 2d. Soit donc : E 1
3) Le vecteur déplacement dans le milieu 1 est :
D1
Dans le milieu 2 , le vecteur déplacement est :
4) Sachant que E 1
1 1
e z et E 2
2 2
D2
2 E2
2 e z .
e z , on trouve donc que
V
1
d
Comme la charge Q portée par l’armature supérieure est Q S 1 S1 écrire : Q
1V
d
S 1
2V
d
S 2
V d
( 1 S 1
V
1 et 2
d
2 .
2 S 2 , alors
on peut
2 S 2 ) .
Sachant que la capacité du condensateur est défini e par : C
Q
d
, on trouve C
1 S1 2 S 2
. d V Ce même résultat peut être obtenu en considérant que le condensateur est équivalent à deux S S condensateurs en parallèle : C 1 1 2 2
d
V P 1 ( 1 o )E 1 ( 1 o ) ez d
5) Le vecteur de polarisation dans le milieu 1 est :
De même dans le milieu 2, le vecteur de polarisation est :
P 2
( 2
o )E 2
( 2
V o ) ez d
6) La densité surfacique de charges de polarisation portée par la surface S1 V 1 p P1 n1 P1 ( ez ) P 1 ( o 1 ) d La densité surfacique de charges de polarisation portée par la surface S 2: V 2 p P2 n2 P2 ( ez ) P 2 ( o 2 ) d Exercice2 : 1) Un dipôle élémentaire est formé de deux charges ponctuelles opposées +q et – q séparées par une distance d très petite devant la distance au point d’observation. Le moment dipolaire électrique du dipôle est par définition
p
qd où d AB ;
p
est dirigé de – q vers +q.
- 10 -
A -q
d
B +q
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Unité : dans le SI, le module de p s’exprime en Coulomb-mètre (C.m). 2) - Potentiel vecteur crée par le dipôle (placé en O) en un point M :
r d : V ( M )
1
p r
3
4 o r
; ( r
OM )
3)- le moment dipolaire électrique p est alors : p
4 4) V ( M )
1
1
p r
4 o r 3
3
R 3 P r
3
3
R P cos
R P r
r 3
4 o
3
3
R P
3 o r 3
3 o r 2
R 3 P cos grad ( ) 3 o r 2
5) E ( M )
4
6) E ( M ) E r er E e R 3 P cos R 3 P cos E r ( M ) ( ) r 3 o r 2 6 o r 3 1 R 3 P cos R 3 P sin E ( M ) ( ) r 3 o r 2 3 o r 3
7) le champ électrique à l’intérieur de la sphère : E E o E p E o
Or : P o E
Donc :
P o
E o
P
3 o
P
3 o 3 o
E o
P est
uniforme aussi.
- 11 -
P 3 o
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle N°1 : (2006-2007)
Exercice 1 : On considère un condensateur e plan rempli du vide de permittivité e y diélectrique o. Les deux armatures métalliques du condensateur sont e x soumises à une différence de potentiel V. vide Ad Soit d la distance entre les deux V e feuille B armatures, et S la surface des armatures. vide Soit ex la densité surfacique de charges libres portées par l’armature supérieure (ex >0). Les effets de bords sont supposés négligeables. Entre les armatures du condensateur plan on place une lame diélectrique LHI, de permittivité r et d’épaisseur e, le reste est le vide (voir figure).
z
1- Calculer le vecteur déplacement dans le vide
Do
puis dans le diélectrique D .
2- Déterminer le champ électrostatique macroscopique dans le vide
E o
puis dans le
diélectrique E . Conclure.
3- Déterminer le vecteur polarisation P dans le diélectrique. Donner sa valeur dans le vide. 4- Calculer les densités de charges de polarisation surfacique p et volumique p.
5- En déduire le champ de polarisation E p et préciser son sens. 6- Trouver la relation entre ex et la densité surfacique de charges de polarisation p. 7- Calculer la capacité C du condensateur plan en fonction de e, d, r , o et S. 8- On remplace la lame de diélectrique par une lame de cuivre de même épaisseur e. Calculer la nouvelle capacité C’du condensateur en fonction de o,S, d et e. La position de la lame a-t-elle une influence sur la capacité C' ?. 9- Comparer C et C’. conclure.
Exercice 2 : Une sphère conductrice, de centre O et de rayon R 1 porte une charge électrique Q. cette sphère est entourée par une couche sphérique, de même centre O et de rayon R 2>R 1, d’un diélectrique linéaire homogène et isotrope de permittivité électrique . Un conducteur sphérique relié à la terre enveloppe la couche diélectrique (voir figure). On donne le vecteur déplacement en un point M du diélectrique : r D ( r OM ). 4r 3 1- Déterminer l’expression de la constante .
R 2 R 1 O
2- Calculer le champ électrique E dans le diélectrique.
3- Déterminer le vecteur polarisation P du diélectrique 4- Calculer les densités de charges de polarisation surfacique p(R 1) et p(R 2) (sur les armatures métalliques) et volumique p.
- 12 -
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
5- En déduire le champ de polarisation E p . 6- Déterminer la capacité C du condensateur sphérique. 7- Sachant que la densité d’énergie électrostatique est : w
1 2
D E , calculer l’énergie W
du condensateur.
On donne en coordonnées sphériques :
diva
1 2
r
- 13 -
r
(r 2 ar )
1
r sin
(a sin )
1
a
r sin
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2006-2007) Exercice I : 1- on applique la relation de continuité entre deux milieux 1 et 2 :
D2 n
D1n
ex
( la
normale à la surface est dirigée du milieu 1 vers le milieu 2) ou bien directement le théorème
de Gauss pour le vecteur déplacement :
Dd s Qint (libre)
( S )
Dans le vide : Do ex e z
Do
Dans le diélectrique :
D
(à la surface de séparation entre le vide et le
diélectrique libres=0).
2- dans le vide on a
Do
ex
o E o ex e z E o
e z
o
ex
dans le diélectrique D o r E ex e z E
e z
o r
alors:
E
E o
; E est faible devant Eo.
r
3- le vecteur polarisation dans le diélectrique :
P
( o ) E ( r
1) o
E o
( r
1) o
ex
r
o
e z
r
dans le vide
P
0
4- La densité surfacique de charges de polarisations est définie par :
p P n P ;
.
Sur la face B on a : pB P (e z ).(e z ) , alors :
pB P ( r 1) o Sur la face A et
E o r
pA
( r 1) o
P pB
(
ex r o 1
( r 1)
ex r
(1
1
r
) ex
1) e x .
r
Le vecteur polarisation étant uniforme à l’intérieur du diélectrique par conséquent
p divP 0
5- Le champ macroscopique est la somme de deux champs électriques E E o
E p (
E o
est le
champ créé par les charges libres et E p le champ créé par les charges de polarisation).
E o r
E o E p , d’où E p E o (
1
r
1) , alors
E o
et E p sont deux champs opposés.
Ou encore E p
P
o
Le champ de polarisation est suivant
e z .
6- sur la face B on a : pB ( r 1) o
E o
r
( r 1) o
- 14 -
ex r o
( r 1)
ex r
(1
1
r
) ex
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
7- Le champ électrique étant uniforme et n’a de composante non nulle que suivant
relation E
grad V (voir figure ) s’écr it E z
dV dz
e
z
, alors la
, d’où dV E dz .
e z
e y
ex
1
e x
e1
V
εo
A
e
feuille
e2
εo
d
B
2 -ex<0
ex o 1 A
En intégrant, On pose : V
V 2
V 1
2 ex ex dz dz o r B o A B
dz ,
d e1 e e2 ,
ex e Q e (e1 e2 ) (e1 e2 ) C o r o S r
o S
d e
e
o S
d (1
r
e
e
d
r d
)
On peut trouver ce résultat en considérant que le condensateur est équivalent à trois o S o r S o S 1 condensateurs plans : C
e1
e
e2
8- même démarche que 7, sauf que dans le métal E=0 on trouve
V
ex o
condensateur C '
(d e) . Comme ex
Q
S
, olors on a : V
Q
o S
(d e) , d’où la capacite du
o S
d e On constate que la position de la feuille dans le condensateur n’a pas d’influence sur la capacité de celui-ci. Tout se passe comme si on avait deux condensateurs en série d’épaisseur (e 1) et (d-e-e1) : e1 (d e e1 ) d e 1 Alors . C ' o S o S o S 9- on peut écrire que C 1
C ' e
r (d e)
La capacité du condensateur avec une plaque du cuivre est supérieure à celle du condesateur avec une plaque d’un diélectrique. Tout se passe comme si la permittivité relative pour un métal est infinie: r
Exercice 2 : 1- On détermine le champ D en appliquant le théorème de Gauss sur une surface sphérique de rayon r. Pour des raisons de symétrie, le champ électrique est radiale et son intensité ne
- 15 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
dépend que de r distance au point O. L'application du théorème de Gauss sur une sphère de Q r rayon r conduit à : Dd S Qint ; D pour r>R 1 , on identifie facilement = Q 3 4 r ( s )
2- Le champ électrique à l’intérieur du diélectrique, de constante diélectrique (R 1
Q r
Q
4- p div P div
4 r 3
p ( R1 ) P ( R1 )(er )
p ( R2 ) P ( R1 )(er )
5- E E o
(1
o
)
Q 1
4 R12 Q 1
4 R22
o
(1
(1
4
r
(1
o
)div
r 3
)
o
)
E p
E o
0
est le champ créé par la charge Q au point M : et E p le champ créé par les charges de Q
r
4 o
r 3
polarisation). : E o
Q r 1 1 ( ) 4 r 3 o
E p
E E o
, E p
On trouve la même expression en utilisant le théorème de Gauss pour calculer E p . R2
6- V ( R2 ) V ( R1 ) Edr R1
Q
R2
1
4 R1 r 2
dr V
alors la capacité du condensateur est : C 4
7- w
1 1 D E E 2 2 2
1 R2
)
R1 R2 R2 R1 2
R2
1 ( 4 R1 Q
1 Q Q2 1 1 2 W e 4 r dr ( ) 2 2 8 R R 4 r 1 2 R1
on peut retrouver ce résultat en utilisant la relation : W e
- 16 -
1 2
QV
2
1 1 ( ) 8 R1 R2
Q
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Contrôle N°1 : (2007-2008)
Exercice 1 : On considère dans le vide une sphère diélectrique , polarisée, de centre O et de rayon R. En un point M de la sphère, la polarisation est radiale et son intensité P a même valeur en
tous les points de . ( P
r
r e
r
P ( r )er ,
on désignera par er le vecteur unitaire porté par le vecteur
). Un point M de l’espace sera repéré par ses coordonnées sphériques (r=OM, , ).
1- Déterminer les densités de charges de polarisation surfaciques p et volumiques p. 2- Vérifier que la charge totale de polarisation Q p est nulle. 3- Calculer dans les deux régions de l’espace (r
R ) le champ électrique. 4- Comment appelle t-on ce champ électrique et pourquoi? 5- Déterminer l'énergie électrostatique de la sphère. On donne en coordonnées sphériques : 1 2 1 (r ar ) (a sin ) diva 2 r r rsin
1
a
rsin
Exercice 2 : La tension U entre les armatures métalliques d’un condensateur plan est maintenue A constante grâce à un générateur. On introduit dans e1 l’espace entre les armatures, de largeur e, deux U e2 lames : l’une diélectrique de permittivité relative e r et d’épaisseur e1, l’autre conductrice d’épaisseur B e2 (voir figure). Soit S la surface des armatures. Les effets de bords sont supposés négligeables et le champ électrique entre les armatures est considéré uniforme. Soit ex la densité surfacique de charges libres portées par l'armature supérieure.
z
1. Trouver la relation entre le champ électrostatique E o dans le vide et le champ
électrostatique
E 1 dans
le diélectrique.
2. Déterminer la polarisation P du diélectrique 3. Calculer les densités de charges de polarisation surfacique p et volumique p.
4. En déduire le champ de polarisation E p et préciser son sens. 5. Trouver la relation entre ex et la densité surfacique de charges de polarisation p. 6. Calculer la capacité C du condensateur plan en fonction de e, e 1, e2, r , o et S.
- 17 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2007-2008) Exercice 1 :
1) la densité surfacique de charges de polarisation p
P n P er er P
La densité volumique de charges de polarisation p 1
dépend que de r, alors p div P
r 2 r
div P ;
( r 2 P )
2) la charge de polarisation totale est définie par : Q p
Comme la polarisation ne
2 P
r
p dS p d S
Q p P 4 R 2
2 P
V
dr 4 PR 4 PR 0 r 3) Par raison de symétrie sphérique du système, le champ électrique est radial et ne dépend que de r. on applique le théorème de Gauss sur une surface sphérique centrée en O Q p int - r
2
4 r
comprise dans la sphère de rayon r. on a :
E p ( r ) * 4 r 2
d’où E p ( r )
r
2
p 4 r
dr
V
2 P
0
o
P
r
r
2
4 r dr
o
, donc E p ( r )
2 P 4 rdr
0
8 P
o
P ( r )
r 2 2
o
er
o o - r>R, La charge de polarisation totale Q p à l’intérieure de la sphère de rayon r est nulle. Alors Q p int 0. le théorème de Gauss E p dS
o
Donc le champ de polarisation E p , ext ( r ) 0 dans cette zone est nul 4) Le champ s’appelle le champ de polarisation ou le champ créé par les charges de polarisation uniquement. 5- En utilisant la densité d'énergie électrostatique : W
1
1
R
1
R
P 2
R
1 P 2
.4 r dr o E dv o E x 4 r dr o 2 espace 20 2 0 o 2 2 2
2
2
2
0
.4 r dr 2
2 P 2 R 3 3 o
o
Exercice 2 : 1- relation de passage a la surface de séparation entre les deux milieux :
D2 n
D1n
0 car
il
n'y a pas de charges libres sur la surface de séparation. Pas de composante tangentielle pour le champ électrique. E E alors o E o 1 E 1 0 r E 1 E 1 o E 1 o r r
2- P o E 1 ( r 1) o E 1 ( r 1) o
E o
r
3- La densité surfacique de charges de polarisations est définie par :
- 18 -
p P n P ;
.
Recueil de contrôles d’électricité 3
Sur la face supérieure on a : p ,sup p ,sup
P
( r 1) o
E o
P (e z ).( ez ) , alors :
ex
( r 1) o
r
(SMP -S3)
( r
r o
Sur la face inférieure p ,inf P p ,sup (1
ex
1)
(1
1
r
r
) ex
1
) ex . r Le vecteur polarisation étant uniforme à l’intérieur du diélectrique par conséquent
p divP 0
4- Le champ macroscopique est la somme de deux champs électriques E E o
E p (
E o
est le
champ créé par les charges libres et E p le champ créé par les charges de polarisation).
E o
E o
1
E p , d’où E p E o (
r
r
1) ,
alors
E o
et E p sont deux champs opposés.
Ou encore E p
P
o
Le champ de polarisation est suivant - e z .
5- sur la face supérieure on a : E p,sup ( r 1) o o ( r 1) o ex r r o
( r
1)
ex r
(1
1
r
) ex
6- Le champ électrique étant uniforme et n’a de composante non nulle que suivant
relation E grad V s’écrit E z
dz
A
En intégrant,
V 1
dV
, d’où
B
dV
e
z
, alors la
E dz .
C
D
2
V U E o dz E dz E o dz E dz E o dz , 2
1
A
1
2
B
C
D
U E o ( e e1 e2 ) E 1e1 E 2 e2 avec E2=0dans la lame métallique. On obtient ainsi :
E o
U
e
e1
e2
e1
r
oUS
La charge Q portée par l'armature supérieure est Q ex S o E o S
e e1 e2 dans le vide,
E o
ex o
e1 r
, où ex est la densité surfacique de charges libres portée par l'armature
supérieure. La capacité C du condensateur a donc la valeur : C
- 19 -
Q U
o S e e1 e2
e1 r
.
A. Essafti & E. Ech-chamikh
On pourrait retrouver ce résultat en notant que le système est équivalent à deux condensateurs en série, l’un à vide d’épaisseur e-e1-e2 , l’autre à un diélectrique d’épaisseur e1. En effet l’addition des inverses de ces capacités donne : 1
C
e e e1 e2 1 o S r 1
- 20 -
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Contrôle N°2 : (2004/05)
EXERCICE 1 : Une sphère de centre O et de rayon R 1, d’un matériau magnétique LHI de perméabilité relative r , est placée à l’intérieur d’un solénoïde infini comportant n spires par unité de longueur, de rayon R 2 < R 1 et d’axe Z’OZ, parcourues par un courant d’intensité I (Voir figure ci-contre).
Z R 2
I
e
1. Montrer que l’aimantation
M de
2. Quelle est la direction de
z
la sphère est uniforme.
O
M
? Ecrire
M
sous la forme
R 1
est le vecteur unitaire de cette direction. 3. Déterminer les vecteurs densités de courant d’aimantation en surface j s et en volume j v de la sphère. On exprimera ces M
M u où
u
Z’
vecteurs dans la base ( er , e , e ) du système de coordonnées
sphériques.
4. Calculer l'induction magnétique d’aimantation
Ba (O) créée
par la sphère aimantée en O.
5. Montrer que le champ d'induction magnétique d’aimantation
Ba
est uniforme à l’intérieur
de la sphère.
6. Déduire le champ d'induction magnétique
Bi
à l’intérieur de la sphère.
7. Déduire l’aimantation M de la sphère en fonction de l’i ntensité I. Données : Le champ magnétique créé par le solénoïde infini, en un point de son axe, est donné par : B0 = 0 n I. Le champ magnétique créé par une spire de rayon R, parcourue par un courant I d’intensité I, en un point P de son axe, est donné par : B 0 sin 3 où est l’angle 2 R sous lequel est vu le rayon de la spire à partir du point P.
EXERCICE 2 : On considère la propagation d'une onde électromagnétique monochromatique, plane,
progressive, sinusoïdale de pulsation , de fréquence f, de vecteur d’onde k , dans un milieu diélectrique parfait non absorbant caractérisé par sa permittivité électrique , son indice de réfraction n et sa perméabilité magnétique o. L'espace est rapporté à un trièdre orthonormé direct OXYZ de vecteurs unitaires e , e y et e z . L'onde est polarisée suivant OZ et se propage
x
dans la direction OX. Soient E o l’amplitude du champ électrique et k le module du vecteur d’onde. 1- Ecrire les équations de Maxwell dans le milieu considéré.
2- Ecrire les composantes du vecteur d'onde
k dans
la base ( e , e y , e z ).
x
3- Donner l’expression du champ électrique E(M,t) au point M (de coordonnées x, y, z) à l'instant t. 4- Etablir l'équation de propagation pour E .
- 21 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
5- Trouver la relation qui relie , k, c et n. En déduire la vitesse de phase (de propagation de l'onde)
v
k
en fonction de n et c (vitesse de la lumière dans le vide).
6- Déterminer les composantes du champ magnétique B(M,t) de l'onde.
7- Calculer les composantes du vecteur de Poynting R(M,t) .
8- Déduire la valeur moyenne du module du vecteur de Poynting et Eo.
On donne : rot (rot A) grad (div A) A
- 22 -
R (M,t) en fonction de n, c,
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Corrigé du contrôle N°2 : (2004-2005) EXERCICE 1 :
1. En absence de la sphère, le champ
crée par le solénoïde est uniforme à l’intérieur du
B0
solénoïde. Donc, l’aimantation
M de
la sphère LHI, qui est due au champ B0 , est également
uniforme.
2.
est dans la direction de l’axe OZ. Donc,
B0
M
est également dans cette
B0 e z M M e z
direction : B0
3. Les vecteurs densité de courant d’aimantation en surface j s et en volume j v de la sphère sont donnés par :
j s
M n
M sin e
et
M e z ee
j v
rot M
0
(car
M est
uniforme)
4. Bm (O) est l'induction magnétique créée par le courant
Z
surfacique de densité j s
M sin e .
Chaque tranche, de largeur d = Rd, de la surface de la sphère aimantée est équivalente à une spire de rayon r parcourue par un courant d’intensité di j s d MR sin d . D’après l’expression
r
d di
de l’induction créée par une spire (donnée à la fin de l’exercice),
R
O
l’induction élémentaire
d Bm (O) créée
est donnée par : 0di sin 3 e z d Bm (O) 2r
par la tranche de largeur d
0 M R sin d 2r
sin 3 e z
0 M d 2
e z
sin3 e z
Z’
L’induction Bm (O) est donc :
d B
Bm (O)
m
(O)
Sphère
2
0
0 M
0
0 M
2
sin d e z 3
0 M 2
0
(cos 1) d cos e z 2
sin 2 (d cos ) e z
0 M cos3
2
3
cos e z 0
0 M 4 2
3
e z
5. A l’intérieur de la sphère, le champ d'induction magnétique
champ d’aimantation Bm : Bi Donc, puisque
B0 est
Or :
Bi
0 ( H
i
est la somme de B0 et du
uniforme, Bm est uniforme si
Bi
est uniforme.
M M M M ) 0 M 0 M 0 1 1
r
m
r
r
Puisque
Bi
3
0 M
B0 Bm
2
M
est uniforme,
Bi
est également uniforme et par suite
Bm
est aussi
uniforme.
6. Le champ d'induction magnétique Bi à l’intérieur de la sphère est :
Bi
B0 Bm B0 Bm
(O) 0 nI e z
2 3
r M 3( r 1) 0 nI e z 2 0 M e z M r 2 nI M nI . 1 3 1 3 2 r r r
7. Bi 0
0 M e z
- 23 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
EXERCICE 2 : 1- Equations de Maxwell :
E ( j t
B
div B 0 , div E 0 ; rot ( E )
; et rot ( B) o
t
0 ,et
ρ=0).
2- Le vecteur d’onde est : k k y
k z
3-
, les composantes du vecteur d’onde sont
k e x
k x
k ,
0
Onde
plane
monochromatique,
progressive,
le
champ
électrique
est :
E M , t E o cos(t kx)e z
Ou bien, en notation complexe : E ( M , t ) E o e j t kx e z
Ex = Ey = 0
4- rot (rot ( E )) grad (div E ) E
t
(rot ( B)) avec : div E =0
Ou encore : E Comme :
n
(rot B)
t
r
, et o
Ce qui donne : E z
n2
o
c2
c
t 2
( o
2
E
E
t
t
) o
2
o o r
1,
2
E
on peut écrire donc :
E 2
t n
2
c
2
2
E 2
t
2
E z 2
t
car Ex=Ey=0
5-L’équation de propagation permet d’écrire : La vitesse de propagation de l’onde est v
2
k E z
k
n
2
c
2
2
E z ou
encore : k
n
c
c n
k
6- B
E
; donne :
B x
0,
B y
E z
k
E z et
B z
0,
avec E z
E o e
j t kx
ou bien
E o cos(t kx)
k Soit donc B( M , t ) E z e y
E
7- Le vecteur de Poynting est : R R x
R y
1 o
0 ;
( E z . B y ) R z
1 k 2 E z
o
o
B
1 k 2 1 n 2 E o cos 2 (t kx) E o cos 2 (t kx) o o c
0
ou bien en notation complexe est R x
1 2 o
( E z . B y* )
Ainsi R R x e x
R
1 k E z E z *
2 o
1 n 2 o c
E
2 o
B *
1 k 2 E o
2 o
1 n 2 o c
E o2 ; R y
0 ; R z
0
2 o x
E e . Le vecteur de Poynting
propagation e x .
- 24 -
R
est parallèle à la direction de
Recueil de contrôles d’électricité 3
8- la valeur moyenne sur une période T est :
R
1
o
n c
(SMP -S3)
2
E o
1
T
T
cos 2 (t kx)dt
0
En utilisant la représentation complexe on retrouve la même expression : R
- 25 -
1
n
2 o
c
1 n 2 o c
2
E o
E o2
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle N°2 : (2005-2006) Exercice 1 : Milieux aimantés (aimant cylindrique) Un aimant cylindrique de rayon R, de hauteur h et d’aimantation uniforme M M e z selon l’axe OZ du cylindre. On
Z
se propose de calculer l’induction magnétique B(O) créée par cet aimant en son centre O. 1. Rappeler les expressions des vecteurs densité de courant d’aimantation j SB , j SL et jV sur les surfaces de base, sur la surface latérale et en volume respectivement. On donnera ces expressions dans la base (e , e , e ) du système de coordonnées cylindrique . 2. Calculer j SB , j SL et jV .
Y
O X
e
e r
r
e
z
z
3. Donner l’expression de B(O) sous forme d’intégrale. 4. En utilisant la symétrie de la distribution des courants d’aimantation, montrer que est portée par l’axe OZ : B(O) B(O) e z .
5. Montrer que B(O) s’exprime par :
B (O)
0 4
M L où
L est l’angle solide sous lequel
est vue la surface latérale du cylindre (l’aimant) à partir du centre O. 6. Exprimer L en fonction de l’angle (demi-angle au sommet du cône de sommet O et s’appuyant sur la surface de base du cylindre. 7. Déduire l’expression de B(O) en fonction de .
8. En déduire l’expression de l’induction B créée par un aimant cylindrique (d’aimantation uniforme M M e z ) infiniment long en un point de son axe OZ (loin des bords).
Exercice 2 : Ondes dans la matière (incidence de Brewster)
Une onde plane monochromatique ( E 1i , B1i ) , de pulsation
T i1 et de vecteur d’onde k 1 , arrive sur un dioptre séparant deux milieux diélectriques LHI d’indices respectifs n1 (milieu k 1 d’incidence) et n2 sous une incidence i. L’onde plane incidente O k 2 est polarisée dans le plan d’incidence (onde parallèle). i2 (n1) (n2) 1. Représenter sur la figure les vecteurs champs électriques et inductions magnétiques des ondes N incidentes, réfléchies et transmises. 2. Ecrire les relations de continuité pour les composantes de E et B à la traversée du dioptre (en O). N et T représentent respectivement la normale et la tangente au dioptre en O. 3. Rappeler la définition des coefficients de Fresnel. 4. Etablir l’expression du coefficient de réflexion r en fonction des indices et des angles d’incidence et de réfraction. 5. Montrer que r s’annule pour une valeur particulière i B , de i, appelée incidence de n Brewster, donnée par : tgi B 2 . On rappelle que : n 1sini1 = n2sini2 n1 i'1
k '1
- 26 -
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Corrigé du contrôle N°2 : (2005-2006) Exercice 1 : Milieux aimantés (aimant cylindrique) 1. j SB M n avec : n e sur la surface supérieure et n e z sur le surface inférieure
j SL
e
M er et jV
z
Z
rot M
2. j SB 0 (car M est uniforme).
M e z )
, j SL M e et jV
0 (car M
X
j SL PO
4
3. B(O)
3
OP
SL
O
Y
e
0
e z P
ds (où P est le centre de
e r
l’élément de surface ds de la surface latérale) 4. La distribution des courants d’aimantation est symétrique par rapport au plan XOY. Donc, le champ B(O) est perpendiculaire à ce plan. Donc, B(O) est portée
par l’axe OZ : B(O) B(O) e z .
j SL PO
0
5. B(O) s’exprime par : B(O) B(O)e z
Or, j SL D’où :
4
OP 3
SL
e z ds
PO e z M (e z er ) PO e z M er (e z PO) e z (er PO) e z M er PO M er OP 0
B(O)
4
SL
M OP 3
OP
0
er ds
M
4
OP ds
OP
0
3
4
SL
M L
6. L 4 2 SB 4 22 (1 cos ) 4 cos
7.
B(O)
0
M
4
4 cos e
z
0 M cos e z
8. Pour un aimant cylindrique (d’aimantation uniforme
0 .
M M e z )
infiniment long
D’où : B 0 M e z 0 M
Exercice 2 : Ondes dans la matière (incidence de Brewster) 1.
B '1
E 1i
i1
i1
E '1
T
k '1
B1i
k 1
(n1)
O
E 2
k 2
B2
i2
(n2)
N
2. Continuité de la composante tangentielle de
E :
E 1iT E '1T E 2T
et continuité de
E 1i cos i1 E '1 cos i1
E 2 cos i2 (1)
B : B1i B'1 B2 B1i B'1 B2
3. Les coefficients de Fresnel sont définis par :
- 27 -
n1 c
E 1i
n1 c
E '1
n2 c
E 2 (2)
A. Essafti & E. Ech-chamikh
r
E '1 E 1i
(coefficient de réflexion) et
t
E 2 E 1i
(coefficient de transmission)
4. L’équation (2) dans (1) entraîne : E 1i cos i1 E '1 cos i1 D’où : n1
r
E '1 E 1i
cos i2 -
n2
n2 cos i1
n1 cos i2
n2 cos i1
n1 cos i2
n 1 E 1i E '1 cos i2 n2
cos i1
(1) 0 ⇔n2 cos i1 n1 cos i 2 cos i1 n1 cos i2 Or : n1sini1 = n2sini2 (2) Multiplions (1) et (2) membre par membre on obtient : n1n2 sin 2i1 n1n2 sin 2i2 i1 i2 ou 2i1 5.
r
n2
La première solution est à exclure car : Donc : i2
2
2i2
n1 n2 i1 i2
n i1 n2 cos i1 n1 cos i1 n1 sin i1 tgi1 tgi B 2 n1 2
- 28 -
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Contrôle N°2 : (2006-2007) I- Question de cours Donner la définition d’un milieu aimanté Définir les milieux suivants : paramagnétique, diamagnétique et ferromagnétique. Donner l’ordre de grandeur de la perméabilité magnétique relative r de ces milieux. Exercice : I-: Une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique de pulsation , se propage dans un milieu diélectrique imparfait caractérisé par une permittivité complexe: o ( x' jx' ' ) où x' 0 , x' ' 0 . Ce milieu diélectrique est non magnétique. Cette onde se propageant suivant
z
0 est
polarisée rectilignement et le vecteur champ électrique
est E E o exp j (t kz ) e x où Eo est l’amplitude, constante dans le temps et dans l’espace,
du champ électrique. On utilisera uniquement la notation complexe. L'espace est rapporté à un trièdre orthonormé direct Oxyz de vecteur unitaires e x , e y , e .
z
1- Donner une interprétation physique, à partir des équations de Maxwell, de
x'
et
x' '
.
2- Calculer les composantes du champ magnétique B . 3- Déterminer l’équation de propagation pour le champ électrique. Déduire la relation de dispersion. E 4- Montrer que le rapport Z o x est égal à ( )1 / 2 . B y o
5- En considérant que le vecteur d’onde
k peut
s’écrire sous la forme k o ( j) où
k o
est le
module du vecteur d’onde dans le vide, et deux réels fonction de x et x , calculer la vitesse de phase v. 6- Donner les vecteurs champ électrique et magnétique en fonction de t z E o Z k o . '
,
,
''
,
,
,
,
,
II- : Une onde électromagnétique, plane, progressive, monochromatique de pulsation , polarisée rectilignement, se propageant dans le vide suivant z 0 , tombe en incidence normale sur la face plane du matériau étudié ci-dessus, placée en z 0 . Le diélectrique
s’étend indéfiniment du côté
z
0 . Soit E o l’amplitude du champ électrique incident E i qui
est parallèle à l’axe Ox de vecteur unitaire
e x .
1- Déterminer les composantes du champ électrique réfléchi
E r
et du champ électrique
transmis
E t .
2- Calculer les composantes du champ magnétique réfléchi
Br et
du champ magnétique
transmis
Bt .
3- Calculer le coefficient de réflexion complexe Z o (
o o
r
E r E i
en fonction de Z et Zo. (où
)1 / 2 ).
Exprimer r en fonction de x et x . 4- Le coefficient de réflexion peut s’écrire sous la forme r r exp( j) où r r . '
''
- 29 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
valeur max imale de E
Dans le demi-espace
z
0,
calculer le rapport
S
valeur min imale de E
où E E i
E r .
- 30 -
en fonction de r
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Corrigé du contrôle N°2 : (2006-2007) Question de cours 1- Un milieu matériel aimanté est un milieu dont le comportement est analogue à celui d’un dipôle magnétique de moment dipolaire magnétique m . 2 Les milieux diamagnétiques sont des matériaux constitués d’atomes qui n’ont pas de moment magnétique intrinsèque (propre). Le phénomène d’aimantation de ces milieux, en présence d’un champ magnétique extérieur, est appelé diamagnétisme (c’est une aimantation électronique). Ces milieux sont caractérisés par une faible
susceptibilité magnétique m qui est négative ( m 10 5 ). Les milieux paramagnétiques sont des matériaux constitués d’atomes (ou de molécules) qui ont un moment magnétique intrinsèque (en absence de champ extérieur). Le phénomène d’aimantation de ces milieux en présence d’un champ magnétique extérieur est appelé paramagnétisme (c’est une aimantation d’orientation). Ces milieux sont caractérisés par une susceptibilité magnétique m
positive plus grande (en valeur absolue) que celle des milieux diamagnétiques ( m
10 3 ).
Les milieux ferromagnétiques sont des matériaux qui ont des propriétés magnétiques similaires à celles du Fer. Ce sont des matériaux qui sont capables d’acquérir une aimantation importante dans un champ magnétique extérieur même très faible et de conserver cette aimantation lorsque ce champ est supprimé. Ils sont donc caractérisés par une grande susceptibilité magnétique ( m 10 3 pour le fer) qui varie avec la température. 3 Les matériaux diamagnétiques et paramagnétiques ont une perméabilité magnétique relative 1 1 ( o (du vide) ) r
m
Pour les matériaux ferromagnétiques r 103
Exercice I1- Nous écrivons l'équation de Maxwell-Ampère pour un milieu conducteur, de permittivité E et de conductivité . Nous savons que rot B ( j ) , le milieu est non magnétique t µ=µo. E ) En introduisant la loi d’Ohm : j E , alors rot B o ( E t Pour une onde monochromatique de pulsation , cette équation devient :
rot B o ( E jE ) (1) Ecrivons maintenant l'équation de Maxwell-Ampère pour un milieu diélectrique E d'indice complexe (milieu absorbant) : rot B o t Pour une onde monochromatique de pulsation , cette équation devient :
- 31 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
rot B j o E j o E ( o ( x' jx' ' )) o ( o x' ' jo x' ) E (2)
L'identification des relations (1) et (2) montre que diélectrique et
x ' ' son
x' o
traduit la permittivité réelle du
imperfection c'est à dire sa capacité à conduire l'électricité.
o
2- Comme il s'agit d'une onde plane, le champ magnétique est : B
k
E
avec E x
E o
k e z
E
x
e x
exp j (t kz ) ,
les composantes du champ magnétique sont B x=Bz=0, et B y
k
E x
3- A partir des équations de Maxwell :
rot B
o
E
et
B
. t t B( M , t ) rot rot E ( M , t ) grad (div E ) E rot ( ) (rot B( M , t )) ( o E ) t t t t rot E
avec
div E
champ électrique est transversal): 2 E x 2 E L’équation de propagation est : E o 2 0 E x o 0. t t 2 D’où la relation de dispersion : k 2 E x o ( j) 2 E x 0 k 2 o 2 .
0 (le
k
( o )
1/ 2
4- nous avons B y
1 v
k
E x
E x , alors le rapport Z o
o
B y
E x o 1/ 2 ) . ( k E x
5- k k e z
avec
( o )
1/ 2
k o o o
e z
c
( o o )
et
e
z
1/ 2
x' jx' ' e z
k o
x' jx' ' e z
k o ( j) e z
le vecteur unitaire de direction de propagation
E (t , z ) E o exp(k o z ) exp j t k o z ex
Le premier représente l’atténuation de l’onde. c La vitesse de phase est donc v k o 6- E (t , z ) E o exp(k o z ) exp j t k o z e x
B(t , z )
o Z
E o exp(k o z ) ex p j t k o z e y
E o c
exp( k o z )
exp j t k o z j
e y
II1
Dans le vide le vecteur d’onde k k o ; (z<0), alors le champ électrique incident est :
E i (t , z ) E o exp j t k o z e x
De
même
que
pour
le
champ
électrique
réfléchi
k
k o ,
alors :
E r (t , z ) E or exp j t k o z e x
Dans le milieu le vecteur d’onde est
E t (t , z ) E ot exp j t k z e x
- 32 -
k ,
alors le champ électrique transmis :
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
k
2- Pour le calcul, on utilise la relation
B
E
le champ magnétique incident est : Bi (t , z )
o Z o
le champ magnétique transmis est Bt (t , z )
o
le champ magnétique réfléchi est : Br (t , z )
E o exp j t k o z e y
E or exp j t k o z e y
Z o
o
E ot exp j t k z e y
Z Les champs électromagnétiques sont dans des plans parallèles à la surface de séparation des deux milieux (plan tangentiel). 3Nous écrivons, à la surface de séparation (z=0), la continuité de la composante tangentielle du champ électrique et de l'excitation magnétique (cette dernière relation se confond avec la continuité de l'induction magnétique puisqu' aucun des milieux n'est magnétique). E1T=E2T et H1T=H2T (pas de courant surfacique réel à la surface de séparation) En tout point z=0 de la surface de séparation écrivons la continuité de la composante tangentielle du champ électrique, ce qui donne : E 1x=E2x E i (t ,0) E r (t ,0) E t (t ,0) E o exp j t E or exp j t E ot exp jt
E o E or E ot (1)
En tout point z=0 de la surface de séparation écrivons la continuité de la composante
tangentielle de l’excitation magnétique H1y=H2y (avec
H
B
)
o
o
Bi (t ,0) Br (t ,0)
ce qui donne :
Bt
( E o
(t ,0) ; alors :
E or
)
E ot
Z o
Z
Z o
E o exp j t
Ou encore
r
o
)1 / 2 (
(
o
)1 / 2 (
o
o
o
Z o
E or exp j t
o
Z
E ot exp j t
(2)
A partir de relations (1) et (2) on déduit aisément : r (
o
)1 / 2
1 (
)1 / 2
o
E i ( z 0)
E or E o
Z Z o Z Z o
)1 / 2
o
1 (
E r ( z 0)
)1 / 2
o
1/ 2
r
1 ( x' jx' ' )
1 ( x' jx' ' )1 / 2 4dans le demi-espace vide (z<0) :
E o exp j (t k o z ) r E o exp j (t k o z )ex E E o exp j (t )exp( jk o z ) r exp j (k o z )ex
E E i
E r
2
E E * E * E o exp( jk o z ) r exp j (k o z )* exp( jk o z ) r exp j (k o z )
2
2
E E o 1 r 2r cos(k o z ) E E o 1 r 2 2r cos( k o z )
2
2
1/ 2
- 33 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
la valeur maximale : cos(k o z ) 1 E
max
la valeur minimale : cos(k o z ) 1 E alors S
1 r 2r E 1 r 2r
1/ 2
2
E o
2
max
E o
1/ 2
o
1 r
E o
1 r
1 r 1 r
( j) x' jx ' '
x ' (1 j
x ' ' x '
)
x ' (1 jtg )
x' (1 jtg )
x ' (1 jtg )
1/ 2
1/ 2
1 x' (1 jtg ) x' (1 tg ) exp() x' ( 2 )1 / 2 exp() cos 1/ 2 x ' x ' 1 1 exp( ) x ' exp( ) exp( ) x' cos j sin cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 1/ 2
x'
cos
cos x '
cos
2
1/ 2
1/ 2
2
sin
2
La mesure de ces deux grandeurs permet la connaissance de la permittivité complexe du diélectrique.
- 34 -
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Contrôle N°2 : (2007-2008)
Exercice 1 : On considère un matériau ferromagnétique doux de perméabilité magnétique ayant la forme d'un tore de section uniforme S et de longueur moyen ℓ, sur lequel sont régulièrement bobinés N spire parcourues par un courant I.
I
1- Déterminer le champ d'excitation
H dans
le tore. En déduire le
champ magnétique B dans ce circuit. 2- Calculer le flux total à travers le tore. 3- En déduire l'inductance L du tore. 4- Calculer la réluctance de ce circuit torique. 5- On donne ℓ=30 cm, S=5 cm 2, r =105 (perméabilité relative d'un alliage composé de fer, de nickel et de molybdène) pour H=1.6 A/m. o= S.I. Calculer numériquement la réluctance, le champ magnétique et l a force magnétomotrice. Exercice 2 : Une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique de pulsation se propage parallèlement à l'axe Oz dans un matériau diélectrique non magnétique et sans déplacement de charges. La permittivité diélectrique du matériau est complexe notée j . La composante en z du vecteur d'onde complexe sera notée k k jk . Cette onde, se propageant suivant z 0 , est polarisée rectilignement et le vecteur champ électrique '
' '
'
''
est E E o exp j(kz t ) e x où Eo est l’amplitude, constante dans le temps et dans l’espace,
du champ électrique. L'espace est rapporté à un trièdre orthonormé direct Oxyz de vecteurs unitaires e , e y , e .
x
z
1- Calculer
div E
2- Trouver les composantes de
B
.
3- Ecrire les équations de Maxwell dans ce milieu en fonction des champs E et B . 4- Déterminer la relation de dispersion dans le milieu et montrer que k' et k" vérifient les deux équations suivantes : k '
2
k ' '
2
2
c
2
'
k ' k ' '
2 2c
2
' '
5- Déduire de ce qui précède l’expression k" en fonction de /c, ' et ''.
6- Calculer le vecteur de Poynting moyen Rmoy ( z ) . 7- La profondeur de pénétration de l'onde est la distance au bout de laquelle la puissance transportée est divisée par e. Exprimer en fonction de /c, ' et ''.
- 35 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°2 : (2007-2008) Exercice 1: 1- L'application du théorème d’Ampère pour H, à la ligne moyenne ℓ du tube de champ constitué par le noyau ferromagnétique, permet d’écrire :
H d
Hd H NI H
NI
NI B H
NI
2- le flux total à travers le circuit magnétique est NSB NS 3
le
LI
flux
SN
magnétique
2
I
L o r
est
relié
au
2
coefficient
SN
I
d'induction
L
par
SN 2
4- la réluctance du circuit magnétique est
R
d
S
o r S
5- Calcul numérique : R
4800 H
B
0.2 T
1
La force magnétomotrice (f.m.m.) du circuit magnétique est E NI H 0.48 A.m Exercice 2: E x 1- div E x
E y y
E z
0
z
k
2- Nous avons une onde plane, le champ magnétique
B
E
avec E x
k e z
E
e x x
E o exp j(kz t ) , Les composantes du champ magnétique sont B x=Bz=0, et k k ' jk ' ' B y E x E o exp k ' ' z exp j ( k ' z t ) 3- Nous écrivons les équations de Maxwell pour un milieu non magnétique (µ=µ o) de permittivité complexe B E , rot E , div B 0 , div E 0 . rot B o t t B E 4- A partir des équations de Maxwell : rot B o et rot E . t t B( M , t ) rot rot E ( M , t ) grad (div E ) E rot ( ) (rot B ( M , t )) ( o E ) t t t t avec div E 0 . 2 E x 2 E L’équation de propagation est : E o 2 0 E x o 0. t t 2 D’où la relation de dispersion :
- 36 -
Recueil de contrôles d’électricité 3
2
k E x o ( j)
(k ' jk ' ' )
2
k '
2
2
E x
On trouve alors : k ' 5- k '
2
2
0
k ' '
2
2k ' ' c
2
k
2
o
2
2 jk ' k ' '
2
k ' '
' ' 2k ' ' c
2
c2
2
o o
k ' k ' '
'
' ' k ' ' c
2
c
2
''
c
( ' j ' ' ) .
2
2c 2
2
'
2
4
Equation du second degré :
2
2
2
2
2
( ' j ' ' )
c2
2
2
2
(SMP -S3)
k ' ' c
4
'
4
2
4 c 2 c ' ' ' 2 4 4 k ' ' 2
2
k ' ' c
2
' ' 0 2
2
2
'
2
c
2 2
c '
2 2
2
2
c ' ' 4 2
c
4
2
4
4 4
La solution physiquement valable est :
' ' ' ' 2
k ' '
2
2
c
2
1
k ' ' 2
2
2
2 c
2
' ' ' ' k ' ' 2
2
' ' ' ' 2
2
c
2
2
6- soit on utilise un calcul direct ou utiliser la notation complexe : R( z )
1 2 o
E B*
E ( z , t ) E o exp( k ' ' z ) exp j k ' z t ex
B
k ' jk ' '
E o exp k ' ' z exp j (k ' z t )e y k ' jk ' '
Alors son conjugué est : B *
R( z )
1 2 o
1
E B*
2 o
E o exp
E o exp k ' ' z exp j (k ' z t )e y
k ' ' z
2
k ' jk ' '
( e x
e y )
La partie réelle du vecteur de Poynting est donc : k ' E o2 exp 2k ' ' z ez R( z ) 2 o
7- Nous avons
1 2k ' '
où
k ' '
c
' ' ' ' 2
2
2
- 37 -
1 2 o
E
2 o
exp 2k ' ' z
k ' jk ' '
ez
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle de rattrapage : (2004/05) Exercice 1: On considère un milieu LHI, constitué d’atomes identiques, au nombre de N par unité de volume. Chaque atome est modélisé par un noyau fixe et un électron qui lui est lié. Un
champ électrique E parallèle à OX et de pulsation
est appliqué à chaque atome :
E E o
cos(t ) e x où e x est un vecteur unitaire dirigé suivant OX. Ce champ électrique
entraîne un déplacement x(t ) , selon OX, de l’électron par rapport au noyau. On admettra que le champ macroscopique est confondu avec le champ local. On suppose que l’électron est élastiquement lié au noyau par la force de rappel f r mo2 x , où m est la masse de l’électr on et
o
est une constante positive.
1- Ecrire l’équation différentielle du mouvement de l’électron sous l’effet de la force de rappel et du champ électrique appliqué. 2- En admettant que la solution de cette équation est de la forme x(t ) xo cos(t ) , déterminer x o . 3- Ecrire l’expression du moment dipolaire électrique induit p(t ) par atome.
4- Déduire l’expression du vecteur polarisation P (t ) du milieu. 5- Déterminer la susceptibilité électrique () du milieu. 6- Représenter l’allure de () . Quelle est sa dimension ?. 7- En déduire l’expression de la permittivité relative 8- Calculer
() , r () et
n() pour
On donne o 3.7 1015 rad / s ,
N
r
() et l’indice n() du milieu.
0.
2.5 1028 m 3 .
Masse de l’électron m=0.91 10-30 kg Charge élémentaire e=1.6 10-19 C Vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide c=3 108 m.s-1 7 Perméabilité du vide S . I o 4 10 Exercice 2 : L'espace est rapporté à un trièdre orthonormé direct OXYZ de vecteurs unitaires
e x
,ey
et e . Un milieu conducteur parfait remplit l’espace z>0 (le reste étant du vide). Soit une onde électromagnétique monochromatique, plane, progressive, de pulsation et de vecteur d’onde
z
k ,
qui se propage dans le vide suivant la direction OZ et qui tombe sur la surface de séparation des deux milieux. On considère que le champ électrique de l’onde incidente est polarisé suivant OY. Soit Eo l’amplitude du champ électrique et k le module du vecteur d’onde de l’onde incidente.
1- Ecrire, en notation complexe, les composantes du vecteur champ électrique
E i
incidente en un point M de coordonnées (x, y, z) à l’instant t.
2- Ecrire les composantes du vecteur d’onde
k
de l’onde incidente.
3- Trouver les composantes du champ magnétique
de l’onde incidente.
Bi
4- Donner la définition d’un conducteur parfait. 5- Donner les composantes des champs électrique et magnétique dans le conducteur.
6- Déterminer les composantes du champ électrique E r de l’onde réfléchie.
7- En déduire les composantes du champ magnétique Br de cette onde réfléchie.
- 38 -
de l’onde
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
8- Déduire les coefficients de réflexion r et de transmission t (en amplitude). 9- Calculer les composantes des champs électrique et magnétique de l’onde résultante dans le vide. 10- Ecrire les relations de passage, à la surface de séparation entre les deux milieux, pour le champ magnétique. 11- Déterminer le vecteur densité de courant surfacique j s parcourant le plan z = 0.
- 39 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle de rattrapage (2004-2005) Exercice 1 : 1- On applique le principe fondamental à un électron de charge – e et de masse m, soumis à la
force électrique e E et à sa force de rappel, soit : d 2 x m 2 eE o cos(t ) mo2 x dt Comme
x(t ) xo
cos(t ) est solution de l’équation, on trouve :
xo
eE o 2
2
m ( o )
2- Le moment dipolaire induit est p(t ) ex(t )e x
e
eE o cos(t ) m(2
2 o
)
e 2 E
e x
m(o2
2
)
Ne 2 E
3- Le vecteur polarisation est P (t ) N p(t )
m(o2
2
)
où N est le nombre d’électron par
unité de volume.
4- Le vecteur polarisation (macroscopique) du milieu est défini par la relation : On déduit la susceptibilité électrique du milieu :
()
Ne
P (t ) o E .
2
2
m o (o
2
)
5- L’allure de la susceptibilité est représentée sur la figure suivante :
2
Ne /m 0
0
(0)
Ne 2
m o
2 o
o
o
D E ( o E P ) E ( o E 2 ) P E ( o E 2 ) o E 2 représente une densité
Le produit
; ( ) ; ( ) ; pour , 0
volumique d’énergie, donc
est
6- La permittivité relative est :
sans dimension.
r 1 , donc :
- 40 -
r () 1
Ne 2 m o (2o 2 )
Recueil de contrôles d’électricité 3
L’indice du milieu est n() 7- La relation
ooc
2
1 permet
Application numérique : pour
( ) , donc :
n()
r
1
1
de déduire
o
oc
2
(SMP -S3)
Ne
2
2
m o (o
8.8 10
12
)
S .I .
0 ; (0) 5.84 , r (0) 6.84 et
2
n(0) 2.61
Exercice2 :
1-Les composantes de
E y
E o e i (
t kz )
E i suivant
les axes OX et OZ sont nulles ( E x
E z
0)
. Alors : E i
E y e y
2- Les composantes du vecteur d’onde incident
k suivant
les axes OX et OY sont nulles ;
( k x
k y
0)
alors : k z
k
k ; donc
k e z .
3- Les composantes du champ magnétique
Bi
sont définies à partir de la relation de Maxwell-
Faraday : rot E i
Bi t
,
k
En notation complexe on a : Ce qui donne : B y
Bi
Bz 0 et B x
E i
k E y
k E o e i (
t kz )
k
; alors :
Bi
E o e
i ( t kz )
e x
4- Un conducteur parfait est caractérisé par une conductivité infinie. 5- Dans un conducteur parfait le champ électrique est nul. Par conséquent les composantes de
E dans
le métal sont nulles : E x E y E z 0
6- Il s’agit d’une onde régressive qui se propage avec un vecteur d’onde réfléchi
k r
k
k e z . Par conséquent le champ électrique réfléchi est : E r
l’amplitude de l’onde réfléchie. Ainsi les composantes suivant OX et OZ sont nulles : E x,r
E z ,r
E r e i (
t kz )
e y où
E r est
0
En utilisant la relation de continuité de la composante tangentielle du champ électrique E1T = E2T ; en z=0 :
E i ( z
0) E r ( z 0) 0 , ce qui donne : E o e i (
En définitive : E r
E o e i (
t kz )
t )
E r e i (
t )
0 ; donc :
E r
E o
.
e y .
7- Les composantes du champ magnétique réfléchi sont définies comme en 3) :
Br
k r
E r ; On trouve : B y
Donc : Br
k
B z
0 et
B x
k
E o e i (t kz )
E o e i (t kz ) e x .
8- Le coefficient de réflexion en amplitude pour le champ électrique est défini par : E r r 1 E o Il n’y a pas d’onde transmise dans le métal, par conséquent t = 0. 9- L’onde incidente et l’onde réfléchie se superposent dans tout le demi-espace z<0, Le champ électrique résultant est :
- 41 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
E E i
E r
E o e i
t
e
ikz
e
ikz
e
iE o e i
t
y 2
sin kz e y
Pour ce champ E , il n’y a plus de phénomène de propagation, mais une oscillation sinusoïdale dite stationnaire d’amplitude 2 E o sin kz .
Le champ magnétique résultant dans le vide est : kE 2kE o it B Bi Br o e it e ikz e ikz e x e cos kz e x
Comme pour le champ électrique il n’y a pas propagation, mais seulement une oscillation 2k E o stationnaire d’amplitude cos kz .
10Continuité de la composante normale du champ magnétique à la surface de séparation entre deux milieux. B 1N = B2N Cette relation est vérifiée car la composante normale du champ magnétique (B z=0) dans le vide est nulle. Discontinuité de la composante tangentielle du vecteur excitation magnétique à la
surface de séparation entre deux milieux : H 1T H 2T j s n où j s est le vecteur densité de courant surfacique et
n
la normale à la surface dirigé du conducteur vers le vide.
11- Le vecteur excitation dans le conducteur est aussi nul, par conséquent : H 1T
j s
e z
Comme
H
B o
dans le vide, alors : B1T
o j s e z
Le champ magnétique tangentiel dans le vide, à la surface du métal en z = 0, est 2kE o i ( t ) B e e x o j s e z
Alors le vecteur densité de courant surfacique
j s
2kE o o
ei(
t )
e y
- 42 -
j s
parcourant le plan z = 0 est :
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Contrôle de rattrapage : (2005/06) e
Exercice 1 :
µo
Un circuit magnétique est constitué par un matériau ferromagnétique de perméabilité magnétique relative µr ,
a
S
r
avec entrefer d’épaisseur e, en forme de tore de rayon de la L
circonférence moyenne a et de section S. Soit L la longueur
N
moyenne des lignes de champ (e<
par une bobine à N spires parcourues par un courant I (Voir figure ci contre). 1- Démontrer la formule d’Hopkinson
NI
1
o
d
où est le flux magnétique à travers la
S r
( C )
section du matériau. Que représente le terme NI ? Quelle est son unité. 2- Calculer la réluctance totale du circuit. 3- Calculer l’excitation magnétique Ho dans l’entrefer en fonction e, L,µ r , N et I. 4- En déduire l’excitation magnétique H f dans le matériau.
Exercice 2 : L'espace est rapporté à un trièdre orthonormé direct Oxyz de vecteurs unitaires
e z
e x
, e y et
. On étudie la propagation d’une onde électromagnétique monochromatique, plane,
progressive, de pulsation , de vecteur d’onde k , dans un métal réel de conductivité de permittivité électrique o et de perméabilité magnétique o. On considère que l’onde se propage dans le sens des x croissants et que le champ électrique de l’onde est polarisé rectilignement suivant Oy. Soit Eo l’amplitude du champ électrique.
1- Ecrire les composantes du vecteur d’onde
k
de l’onde.
2- Ecrire, en notation complexe, les composantes du vecteur champ électrique E de l’onde. 3- Vérifier que l’onde est transversal. 4- Ecrire les équations de Maxwell dans le métal.
5- Etablir l’équation de propagation pour le champ électrique E . 6- Montrer qu’en négligeant le courant de déplacement par rappo rt au courant réel, que
E l’équation de propagation s’écrit : E o . t
7- Dans la suite on se place dans le cadre de l’approximation ci -dessus, en déduire la relation de dispersion. 8- Montrer que k (1 i) avec
o 2
. Donner la dimension de .
9- Représenter graphiquement l’allure de E (module de E ) en fonction de x. Interpréter .
- 43 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
10- Calculer les composantes du champ magnétique B .
11- Donner la définition d’un conducteur parfait. Que peut -on dire alors du champ
B dans
un tel conducteur ?
- 44 -
E
et
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Corrigé du contrôle de rattrapage : (2005/2006)
Exercice 1 :
1- Le vecteur excitation magnétique
H est liée à B par la relation :
B o r H
Appliquons le théorème d’ampère pour le vecteur excitation magnétique :
H d
I à la
(C )
H d
courbe moyenne (c) de longueur moyenne L, donc :
(C )
Hd
( C )
Bd
(C )
o
NI
r
Or le lux magnétique BS est constant le long du tube d’induction formé par le circuit
d NI ou encore S ( )
magnétique, donc :
o
C
donc :
NI
1
d
S
o
( C )
r
E R
o
d
S NI r
( C )
(formule d’Hopkinson).
r
Cette formule est analogue à celle d’électrocinétique La quantité (A.t).
E
NI est
I
E
R
.
appelée force magnéto-motrice (f.m.m); on l’exprime en ampères-tour
2- la réluctance totale du circuit est
R
1
d
S
o
r
( C )
1
e
(
S
o
L e
r
S
)
3- Le théorème d’ampère donne : H o e H f ( L e) NI et, d’autre part, e<
H o e
H o
r
r NI
NI
( L e) NI H o e
1
( L e)
r e ( L e)
r
4- H f
NI r e ( L e)
Exercice 2 :
1- soit
e x la
direction de propagation ; Le vecteur d’onde
donc les composantes du vecteur d’onde sont
k x k ,
k y
k k e x ;
0
et k z 0
2- Le champ électrique étant polarisé rectilignement suivant Oy, donc les composantes sont : i ( kx t ) Ex=Ez=0 et E y E o e .
3- div E ik E
E x x
E y y
E z z
0 0 0 0 k E , l’onde est transversal.
B rot ( E ) t
4- div E 0
div B 0
- 45 -
E rot ( B) o ( j o ) t
A. Essafti & E. Ech-chamikh
avec j
E
rot ( E )
5-
B
t
rot (rot ( E ))
rot ( B) t 2
2
E E 1 E ) où encore E ( o ) 2 t t c 2 t 2 t 6- dans l’équation de Maxwell – Ampère, en négligeant le terme de courant de déplacement
grad (div E ) E ( o
E
oo
responsable de la propagation
o
E t
devant le courant réel j
E ,
l’équation d’onde devient
E
( o
E ) on est donc dans le cadre de l’approximation du régime quasi -stationnaire t
(ARQS)
E 2 7- on a E ) donne k 2 E io E ; alors la k E et i E , alors E ( o t t 2 relation de dispersion est k io , le vecteur d’onde est complexe.
E
8- En posant k=k 1+ik 2 , on a : et 2k 1k 2
2
2
2
k k 1 k 2 2ik 1 k 2 io ;
o comme k 1=k 2 alors
k 1
k 2
o 2
on identifie alors
2
k 1
2
k 2
0
1/ 2
; par conséquent
k
(1 i)
la dimension de est m-1. 1/ est homogène à une distance et caractérise la profondeur de pénétration de l’onde dans le métal : 1/ est appelée épaisseur de peau. 9le champ électrique s’écrit alors
E E o e i ( kx
t )
e y
E o e
i ( x t )
e
x
e y
E
l’onde se propage en s’atténuant, lorsque x>>1/ le champ E devient négligeable.
x 0
10- A partir de la relation de Maxwell
Eo
rot ( E )
B t
, en
considérant toutes les constantes nulles en utilisant la partie réelle, ou directement le champ magnétique est donné par la relation k e (1 i ) suivante B x E e x E
B
(1 i )
E o e
x
e
i ( x t )
i
e z avec 1 i
2e
Ou encore en utilisant la partie réelle : B
4
, donc
B
2
2
E o e
x
e
i ( x t
4
)
e z
E o e x cos( x t )e z 4
11- un conducteur est parfait est un conducteur dont la conductivité est infinie. Le champ électrique est nul sinon la puissance par unité de volume dissipé par effet joule : dP 2 j E E serait infinie ce qui est absurde. d Si est infinie alors l’est aussi pour non nul. Alors le champ électrique et le champ magnétique sont nuls dans le conducteur parfait
- 46 -
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Contrôle de rattrapage : (2006/07)
Exercice 1 : On considère dans le vide une sphère diélectrique de centre O et de rayon R. Celle-ci A
possède une polarisation de la forme P par
er le
2
r
r ,
où A est une constante positive (on désignera
vecteur unitaire porté par le vecteur r
r er )
Un point M de l’espace sera repéré par ses coordonnées sphériques (r=OM, , ). 1- Déterminer les densités de charges de polarisation surfaciques p et volumiques p. 2- Calculer la charge totale de polarisation Q p. 3- Calculer dans les deux régions de l’espace (rR) le champ électrique. 4- Comment appelle t-on ce champ électrique et pourquoi? 5- Calculer le vecteur déplacement électrique D à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère. Commenter ce résultat. 6- Calculer le potentiel électr ostatique à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère. On prendra le potentiel nul à l’infini.
On donne en coordonnées sphériques: 1 2 1 (r ar ) (a sin ) diva 2 r r rsin
1
a
rsin
Exercice 2 : On considère une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique de pulsation se propageant dans un milieu, absorbant, non magnétique, de permittivité diélectrique complexe . On considère que l’onde se propage suivant z et qu’elle est polarisée rectilignement et que le champ électrique est suivant e x et que Eo est l’amplitude du
champ électrique. On utilisera uniquement la notation complexe. 1- L’absorption du rayonnement se traduit par un indice de réfraction complexe qu’on écrit n n in , où n >0 et n' ' >0. Déterminer la relation de dispersion à partir des équations de Maxwell. Ecrire l’expression du vecteur d’onde k en fonction de k o (vecteur d’onde dans le vide), n et n' ' . 2- Ecrire l’expression du champ électrique de l’onde.
'
'
''
'
3- L’intensité lumineuse I est le flux du vecteur de Poynting P à travers une surface unité. Montrer que l’intensité du rayonnement en fonction de la distance parcourue dans le milieu s’exprime sous la forme I ( z ) I o exp( z ) ; où est le coefficient d’absorption. On utilisera
la relation
P
1 2
e (
E B
o
*
) où
: valeur moyenne ;
e :
partie réelle et
B
*
:complexe
conjugué de B . 4- Donner les expressions de I o et de en fonction de
n'
,
n' '
, Eo , c, et µo.
5- Les mesures du coefficient d’absorption donnent la valeur de 0,02 m -1 à la longueur d’onde dans le vide de 450 nm. Calculer la valeur de n . ''
- 47 -
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle de rattrapage : (2006-2007) Exercice 1 :
1) la densité surfacique de charges de polarisation p A
polarisation P Donc p
2
r
A
r
P (r R)
r A
P n P er er P avec
le vecteur de
er .
R
La densité volumique de charges de polarisation 1
dépend que de r, alors p
div P
2
r r
(r 2
p
A r
div P ; Comme la polarisation ne
)
2) la charge de polarisation totale est définie par : Q p
A r 2
p dS p d S
Q p
A R
R 4
2
A
V
2
r
2
4 r
V
dr 4 AR 4 AR 0
3) r
E p dS
Q p int o
avec Q pint la charge de polarisation
comprise dans la sphère de rayon r. Par raison de symétrie E p va être suivant er ,de plus le
champ de polarisation est radial et ne dépend que de r, on a : A 2 p 4 r dr 4 r 2 dr 2 r A * 4 r V E p (r ) * 4 r 2 V
o
d’où : E p (r )
A
o
A
, donc E p (r )
o
er
o r o r De même pour r>R, La charge de polarisation totale Q p à l’intérieure de la sphère de rayon r Q p int 0 Donc le champ de polarisation est nulle. Alors le théorème de Gauss E p dS
o
E p (r ) 0 dans cette zone est nul
4) Le champ s’appelle le champ de polarisation ou le champ créé par les charges de polarisation uniquement. 5) On applique le théorème de Gauss à une sphère de rayon r pour le vecteur déplacement :
D dS Qlibres . Comme il n’ y a pas de charges libres Q libres=0, alors le vecteur déplacement
électrique est nulle dans les deux zones rR.
D 0
On vérifie ce résultat sachant que D o E P avec
E le
champ de polarisation car le
champ électrique extérieure est nul. A A r
r>R (dans le vide) :
D
00
0
6) Le champ électrique ne dépend que de r, la relation E p
s’écrit, E p
dV p
, dr r>R : E p 0 , alors V(r)=C1. Comme le potentiel est nul à l’infini, alors V(r)=C1=0.
- 48 -
grad V p
Recueil de contrôles d’électricité 3
r
E p dr
A
o r
(SMP -S3)
dr
A
En intégrant, on trouve le potentiel V p (r )
Ln(r ) C
o
La constante C est déterminée par la continuité du potentiel en r=R, on a A A V p ( R) Ln( R) C 0 donc C Ln( R) o o A
r Ln( ) R o
D’où le potentiel est : V p (r )
Exercice 2 : 1- Nous avons un milieu absorbant de permittivité est complexe
E
Maxwell :
rot B
o
t
, à partir des équations de
et
rot E
B t
.
rot rot E ( M , t ) grad (div E ) E rot (
B( M , t ) t
)
(rot B( M , t ))
t
t
( o
t
E )
Avec : div E
champ électrique est transversal): 2 E x 2 E L’équation de propagation est : E o 2 0 E x o 0 t t 2 D’où la relation de dispersion : k 2 E x o ( j) 2 E x 0 k 2 o 2
0 (le
2
2
k o o r
c
2
2
r
c
2
2
n
2
k nk o k o (n'in' ' )
k
2-
k e z
k o (n' in' ' ) e z
avec k o
oo
c
et
e
z
vecteur unitaire direction de
propagation
E (t , z ) E o exp( k o n' ' z ) exp j t k o n' z ex , le premier représente l’atténuation de l’onde.
3- P
1
P
E B k e ( ) et le champ magnétique est : B E ; 2 o
E et k sont
2
* * 1 E ( k E ) e ( ), o 2
comme P
*
E o
1 2
e (
perpendiculaires et utilisant le produit mixte, nous avons :
( E E * ) k * o
exp( 2n' ' k o z ) 2 o
)
2
1
2
2 o
e ( E o exp(2n' ' k o z ) k ) 2
e (k o (n'in' ' ) e z )
E o
exp( 2n' ' k o z ) 2 o
2
4- on identifie alors : I o 5- n' '
2k o
2 * 2 / o
E o
2 o c o 4
*
n' et
2n' ' k o 2n' '
7.2 *10 10
- 49 -
c
E o
exp( 2n' ' k o z ) 2 o 2
k o n' e z
E o
e (k * )
exp( 2n' ' k o z ) 2 o c
n' e z
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle de rattrapage : (2007-2008) Exercice 1 : Soit un fil conducteur cylindrique infiniment long, d'axe Z'OZ, de rayon a et de perméabilité magnétique relative r , parcouru par un courant volumique uniforme d’intensité totale I. Un point M de l'espace est repéré par ces coordonnées cylindriques et z. 1 –Donner l’expression du vecteur densité de courant volumique j .
Z
e z
2- Déterminer les expressions des champs H et B à l’intérieur et à l’extérieur du fil.
3- En déduire le vecteur aimantation M 4- Calculer les densités de courant volumique et surfacique d'aimantation.
O
e
e
j
Z' On donne :
rot ( A)
(
1
a z
a z
)e
(
a
z
a z
)e
1
(
( a )
a
)e z
Exercice 2: On veut étudier la propagation d'une onde électromagnétique, monochromatique de pulsation , dans un conducteur électriquement neutre et de conductivité électrique . Le milieu conducteur est limité par le plan y=0 et occupe tout le demi-espace 0≤y<∞. Le champ
électrique dans le conducteur est E Ae
y j ( t y )
e
u , où A, , sont des constantes réelles
non nulles ave (>0) et u un vecteur unitaire constant. On considère que la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique du conducteur sont celle du vide.
1- Ecrire le champ réel
E de
la représentation complexe.
2- Quelle est l'amplitude Ar (y) du champ électrique réel E au point M
( x, y, z ) ? Pourquoi
doit-on avoir >0? Tracer et interpréter la courbe Ar (y).
3- Calculer div E . En déduire une condition que doit satisfaire le vecteur u . 4- A partir des équations de Maxwell, trouver l’équation de propagation pour le champ électrique. 2 2 j 2 5- En déduire une équation de la forme: j 2 2 . c L 6- Quelle est l'expression littérale de L en fonction de o, et ?
2
7- Vérifier numériquement que
c
2
est négligeable devant
Dans ce cas, calculer les valeurs numériques de et . On donne 2.25 107 / m , f=1 GHz et o=4 10-7 S.I. On rappelle que (1 j ) 2
2 j
- 50 -
2 2
L
.
Recueil de contrôles d’électricité 3
(SMP -S3)
Corrigé du contrôle de rattrapage : (2007-2008) Exercice 1:
1- le courant volumique s’obtient aisément : j
I e z , avec S=a2. S
2- En appliquant le théorème d’Ampère, sur un contour circulaire de ra yon >a, les champs Hex et Bex s’écrivent respectivement en coordonnées cylindriques d’après le théorème d’ampère et la relation Bex=µoHex o I I H ex e et Bex e , 2 2 En appliquant le théorème d’Ampère, sur un contour circulaire de ra yon
Exercice 2
1- E Ae
y
cos( t y) u ,
2- L'amplitude de E est : Ar ( y )
Ae
y
Pour y cette amplitude doit être finie. On a donc >0. Pour 0 , l'onde électromagnétique serait une onde plane sinusoïdale progressive se propageant dans la direction de Oy vers les y croissants. Sa phase est ( t y ) . Pour 0 , la phase est toujours ( t y ) . L'onde se propage donc dans la directions de Oy vers les y croissants, mais s'atténue (l'amplitude Ar (y) décroît pour y croissant). Cette atténuation résulte de l'absorption de l'onde par le mili eu conducteur, l'énergie de l'onde se transforme en chaleur par effet Joule. y j ( t y ) e y .u Ae y e j ( t y ) ez .u E x E y E z Ae y e j ( t y ) e x .u Ae e 3- div E x y z x y z
Ae y e j ( t y ) e y .u
div E
u
y
( j ) Ae y e j ( t y ) e y .u 0
doit être perpendiculaire à e y
4- Nous écrivons l'équation de Maxwell-Ampère pour un milieu conducteur, de permittivité et de conductivité .
E rot B o ( j o ) , le milieu est non magnétique µ=µ o. t
E ) rot B o ( E o t
En introduisant la loi d’Ohm : j
E , alors
- 51 -
