Geodetski premer 1
1
3. POLIGONSKA MREŽA Kao sto je pomenuto u prthodnom poglavlju izvođenje državnog premera i premera za posebne potrebe podrazumeva najpre definisanje geodetske osnove. Geodetska osnova za premer predstavlja skup trajno stabilizovanih geodetskih tačaka, koje svojim prostornim rasporedom omogućuju neposredno izvodjenje i održavanje državnog premera i izradu katastra nepokretnosti na odredjenom prostoru. Postavljanje geodetske osnove za snimanje detalja podrazumeva skup svih radova kojima se geodetskim tačkama te osnove odredjuje položaj u državnom ili lokalnom koordinatnom sistemu, prema prethodno izradjenom projektu. Geodetska osnova za snimanje detalja izrađuje se rekonstrukcijom stare i razvijanjem nove mreže (poglavlje 1.5). Nova geodetska osnova izrađuje se ako se prethodno istraživanjem utvrdi da je na području katastarske opštine, uništen ili postao nefunkcionalan dovoljan broj tačaka bez kojih nije moguća izrada i održavanje premera. Pravougle koordinate Y,X tačaka nove poligonske mreže 1. i 2. reda računaju se po modelu najmanjih kvardata u državnom koordinatnom sistemu. Kao Datum mreže koriste se poznate koordinate tačaka referentne mreže, koje se u postupku izravnanja uzimaju kao date-tačne. (Referentnu mrežu čine tačke približno raspoređene po celoj teritotiji jedne ili više katastarskih opština na međusobnom rastojanju 1-4 km. U konteksu stare mreže to su tačke gradskih trigonometrijskih mreža).
3.1 POLIGONSKI VLAK U skladu sa zahtevima metoda premera (polarna, ortogonalna,..) između tačaka referentne mreženova mreža (ili trigonometrijske mreže 4. reda–stara mreža) postavlja se niz tačaka na međusobnom rastojanju od 100-500m, međusobno povezanih merenjima: ugla, dužine i GPSvektora. Ovaj niz povezanih tačaka čini poligonski vlak. Ako je poligonski vlak postavljen između dve tačke sa unapred definisanim koordinatama naziva se umetnuti poligonski vlak (slika 3.1 a). Poligonski vlak koji počinje i završava se na istoj tački naziva se zatvoreni poligonski vlak (slika 3.1 b). Vlak koji počinje od tačke sa definisanim koordinatama i završava se na “slepo“ zove se “slepi poligonski vlak“ (slika 3.1 c).
Slika 3.1 Poligonski vlak
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 2 Pre računanja koordinata poligonskih tačaka utvrđuje se redosled kojim će se računati koordinate. Redosled računanja označava se na skici poligonskog vlaka smerom računanja i prateći smer računanja definišu se elementi poligonskog vlaka (slika 3.1 a): početna tačka vlaka 1 i završna tačka vlaka N su tačke sa unapred određenim koordinatama na koje se vlak oslanja, poligonska strana je dužina između dve susedne poligonske tačke u vlaku ili dužina između poligonske i susedne tačke sa datim koordinatama, početna i završna strana su dužine između tačaka sa unapred određenim koordinatama na koje se vlak oslanja (SA1, SNB), početni 1 i završni N vezni uglovi su uglovi na tačkama 1 i N, prelomni uglovi su uglovi na poligonskim tačkama od 2 do n (n- broj poligonskih tačaka) u vlaku između susednih poligonskih strana. Kako između dve strane poligonskog vlaka postoje uvek dva ugla, čiji je zbir 360o, to za prelomne i vezne uglove treba uzeti uglove koji se nalaze sa leve strane vlaka idući u smeru računanja odnosno sa iste strane na kojoj se nalazi strelica koja označava smer računanja. Radi ostvarivanja pravilnijeg oblika poligonske mreže i skraćivanja dužina vlakova kod računanja u staroj poligonskoj mreži koristile su se čvorne tačke. Čvorna tačka je tačka u kojoj se sustiču tri ili više poligonskih vlakova.
3.2 PROJEKAT I REKOGNOSCIRANJE POLIGONSKE MREŽE Projekat poligonske mreže izrađuje se na planovima razmera 1:2500, 1:5000 ili 1:10 000 unutar jedne katastarske opštine. Poligonske tačke se postavljaju u vlakovima unutar katastarske opštine, koji zajedno čine poligonsku mrežu. Poligonska mreza služi kao osnova za snimanje detalja. Snimanje detalja vrši se unutar jedne katastarske opštine. Katastarska opština obuhvata, po pravilu, područje jednog naseljenog mesta i čini osnovnu teritorijalnu jedinicu za koju se vrši premer. Veći gradivi su podeljeni na više katastarskih opština. Poligonska mreža razvija se unutar katastarske opštine i mora predstavljati celinu. Za veće gradove koji su podeljeni na više katastarskih opština postavlja se jedinstvena poligonska mreža, bez obzira na granice katastarskih opština. Takav karakter ima i poligonsta mreža koja služi za snimanje liniskih objekata: putevi, reke, kanali itd. Na planovima se tačke postojeće referentne mreže iscrtavaju crvenim, a novoprojektovane tačke poligonske mreže crnim tušem. Projektovane strane poligonske mreže 1. reda iscrtavaju se crnim tušem debljinom linije 0.6 mm, a strane poligonske mreže 2. reda 0.2 mm. Za svaku katastarsku opštinu izrađuje se skica poligonske mreže u razmeri 1:5000 ili 1:10000, koja sadrži: koordinatnu mrežu sa ispisanim koordinatama izvan okvira lista; nanete postojeće tačke crvenim i novoprojektovane tačke crnim tušem; granicu katastarske opštine nanetu zelenim tušem debljine 0.8 mm; granicu građevinskog reona nanetu žutim tušem debljine 0.5 mm; podelu na listove (nanetu neprekidnom linijom ljubičastim tušem debljine 0.5 mm) i skice detalja (nanetu neprekidnom linijom ljubičastim tušem debljine 0.2 mm) strane koje se mogu direktno meriti na skici se označavaju neprekidnom linijom, a one koje se određuju indirektno isprekidanom lijom (crnim tušem debljine 0.2 mm). Rekognosciranje poligonske mreže podrazumeva izbor mesta na terenu za postavljanje poligonske tačke. Pri rekognosciranju poligonske mreže potrebno je imati projektovanu skicu poligonske mreže. Pre početka postavljanja poligonskih tačaka moraju se na terenu pronaći i siglalisati tačke stare mreže tj. one na koje će se vlak oslanjati. Osnovna pravila rekognosciranja poligonske mreže su: o vlak treba da bude razvučen, tj. da prelomni uglovi vlaka po mogućnosti budu što bliži 180 i dužine poligonskih strana treba da budu približno iste i da se kreću od 50-500m.
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 3 Kod izbora samog mesta za postavljanje (stabilizaciju) poligonske tačke mora se voditi računa o sledećem: da belege poligonskih tačaka ne budu oštećene ili uništene, da se sa poligonske tačke mogu meriti uglovi i dužine u poligonskom vlaku, da se sa poligonske tačke može snimiti što više tačaka detalja. Oblik vlakova, izgled poligonske meže i sve ostalo što je vezano za rekognosciranje poligonske mreže u velikoj meri zavisi od terenskih prilika i iskustva stručnjaka koji vrši rekognosciranje.
3.3
IZGLED I DIMENZIJE BELEGA KOJIMA SE OZNAČAVAJU POLIGONSKE TAČKE
Poligonske mreže se postavljaju prilikom geodetskog premera zemljišta i služe za održanje premera i izvođenje drugih geodetskih radova. U cilju njene uspešne eksploatacije veoma je važno kako će se stabilizovati poligonske tačke. Način stabilizacije zavisi od vrste terenske podloge, tj mesta gde će se belega postaviti: njiva, livada, pašnjak, neobradivo zemljište, stena, makadam, asfalt itd. Prema materijalu od koga su napravljene belege mogu biti: trajne, koje se izrađuju od keramike, kamena, betona, gvožđa i privremene, koje se izrađuju od drveta i koriste se u postupku privremenog označavanja mesta na terenu gde će biti trajno stabilizovana tačka poligonske mreže. Prema položaju u zemljištu belege mogu biti: vidne ili nadzemne kod kojih se gornji deo vidi iznad terena i podzemne koje su potpuno prikrivene zemljom. Na mestima gde može doći bo oštećenja gornje površine belege postavljaju se složene belege tj. belege sa podzemnim centrom. Gornja belega i odgovarajući podzemni centar složenih belega izrađuju se od različitog materijala i propisanih dimenzija.
Slika 3.2. Izgled i dimenzije belega poligonskih tačaka Belege od prirodnog kamena, sa ''obrađenom glavom'', usađenom bolcnom ili uklesanim krstom kao centrom belege (slika 3.2 a), usađuju se u rastresito zemljište u nivou zemljišta ili da iznad njega vire 2-3cm. Podzemni centar izrađuje se od keramike ili pečene cigle. Belege od armiranog betona sa oznakom centra u obliku repera sa rupicom, bolcna sa rupicom ili uklesani krst usađuje se isto kao belega od prirodnog kamena (slika 3.2 b).. Betonska ili keramička cev oblika zarubljene kupe (slika 3.2 c). Centar belege je sredina šupljine cevi. Donja belega pravi se od keramike. Belega se ukopava ispod nivoa terena. Dubina ukopavanja gornje belege mora biti ispod dubine oranja (50-60cm). Pisana predavanja
Geodetski premer 1 4 Keramička ili plastična cev oblika valjka (slika 3.2 d). sa podzemnim centrom, ukopava se na obradivom zemljištu ispod nivoa terena 30-50cm. Na istu dubinu potrebno je ukopavati i belege od prirodnog kamena ili armiranog betona ako se postavljaju na obradivom zemljištu. U gradovima na asfaltiranim ulicama i trotoarima postavljaju se metalne belege (kape) u istoj ravni sa asfaltom (slika 3.2 e). Kao privremene belege poligonskih tačaka koristi se drveno kolje dimenzija kao na (slika 3.2 f)..
3.4 UKOPAVANJE (POSTAVLJANJE) BELEGA Po izvršenom rekognosciranju mreže prelazi se na postavljanje belege. Način postavljanja belege zavisi od vrste belege. Pri ukopavanju složenih belega veoma je važno da se gornji i podzemni centar nalaze u istoj vertikali. Postupak ukopavanja složenih belega objasnićemo na primeru belege od prirodnog kamena, sa obrađenom glavom. Ukopavanje podrazumeva Slika 3.3 (slika 3.3) da se: a) Na obeleženom mestu iskopa se rupa odgovarajuće dubine (oko 80cm). b) Postavi se donja belega na dno rupe, pa se oko nje naspe i nabije usitnjena zemlja, c) U cilju fiksiranja vertikale centra donje belege, pobije se jedan koćič na oko 0.5 m od iskopane rupe i iza njega odozgo prikuje letva dužine 1.5-2.0 m tako da se može oko eksera horizontalno rotirati. Držeći visak tačno iznad centra donje belege rotira se letva pažljivo dok ne dodirne kanap viska. Da bi se letva u tom položaju fiksirala pobije se kolac ispred letve, olovkom se povuče linijka koja na letvi označava mesto kanapa viska. d) Iznad donje belege naspe se i dobro nabije sloj zemlje od oko 10cm debljine. e) Postavi se gornja belega i njen centar dotera pomoću viska u pravac vertikale centra donje belege. Donja belega postepeno se nasipa zemljom i nabija dok se belega ne zaspe do kraja. U toku zasipanja gornje belege povremeno se kontroliše njen položaj.
3.5 NUMERISANJE I OPIS POLOŽAJA POLIGONSKIH TAČAKA Poligonske tačke numerišu se onako kako se poligonska mreža razvija, odnosno po katastarskim opštinama brojevima od 1 pa nadalje. Ako preko dela katastarske opštine prolazi neki vlak koji je postavljen pri snimanju susedne katastarske opštine, tačke toga vlaka se preuzimaju i zadržavaju se njihovi brojevi u matičnoj katastarskoj opštini. Da ne bi došlo do duplih brojeva poligonskih tačaka i zabune preuzete poligonske tačke dobijaju pored broja u imeniocu početno slovo njihove matične katastarske opštine. Nakon stabilizacije za svaku tačku treba sastaviti opis položaja koji će omogućiti ta se tačke mogu lako pronaći. Opis položaja poligonskih tačaka vrši se u trigonometrijskom obrascu broj 27, kod kojeg se u zaglavlju upisuju podaci kako je to na primeru pokazano (slika 3.4). U obrascu se crta skica položaja tačke u približnoj razmeri, pri ćemu se dozvoljava karikiranje menje važnih detalja. Na skici se ucrtavaju: saobraćajni objekti i na njima upisuju odgovarajući nazivi, granice parcela sa podacima o posednicima i kulturi zemljišta, karakteristično drveće od kojeg se vrši odmeranje sa vrstom drveta, telefonski i električni stubovi sa brojevima, jarkovi i drugo. U gornjem levom uglu skice upisuje se naziv potesa a u donjem desnom uglu upisuje se zvano mesto. Odmeranje se uzima koso po terenu do na centimetar od najbližih stalnih objekata koji se lako mogu identifikovati i kasnije. Broj odmeranja ne bi trebalo da bude manji od tri i to pravilno raspoređenih oko tačke. Dužine odmetanja treba da su kraće od 50m osim ako se odmeranje vrši duž međa parcela. Pisana predavanja
Geodetski premer 1 5 Ako na terenu nema dovoljan broj objekata za odmeranje, može se između dve stalne tačke nekih objekata postaviti apscisna linija pa za se za poligonsku tačku odredi apscisa i ordinata i neko koso odmeranje. Oznaka tipa belege, odnosno skica tipa belege i dubina ukopavanja gornje i donje belege unose se u odgovarajuću kolonu. U delu Primedbe upisuje se datum uzimanja opisa i ime lica koje je uzelo podatke.
Slika 3.4 Trigonometrijski obrazac broj 27
3.6 RAČUNANJE KOORDINATA U POLIGONSKOM VLAKU Ovde ćemo se skoncentrisati samo na računanje koordinata tačaka u vlaku primenom približne metode izravnanja tvz. prosta metoda. (Izravnanje mreže po metodi najmanjih kvadrata uči se u okviru predmeta Geodetski premer 2.) Računanje koordinata tačaka u vlaku podrazumeva: − određivanje elemenata poligonskog vlaka, − računanje direkcionog ugla i dužina iz koordinata, − računanje direkcionih uglova poligonskih strana, − računanje koordinatnih razlika poligonskih tačaka i − računanje samih koordinata poligonskih tačaka.
3.6.1 ELEMENTI POLIGONSKOG VLAKA Elementi poligonskog vlaka (slika 3.1 a) dele se na: date i merene veličine. Date veličine su ranije sračunate, to su koordinate tačaka na koje se oslanja vlak (tačka A,B, 1 i N) i direkcioni uglovi početne 1A ,i završne strane NB . Merene veličine su uglovi i dužine. Pri računanju koordinata poligonskih tačaka koriste se vrednosti veznih 1 , N i prelomnih uglova 2, ... n i horizontalne vrednosti dužina poligonskih strana
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 6 S1 ,...S n . Ako su uglovi mereni u više girusa ili dužine više puta, prvo se odrede njihove srednje vrednosti. Pribor i metode merenja u poligonskom vlaku obrađuju se u okviru predmeta Tehnike merenja 1. Kada se zbog različitih prepreka na terenu uglovi i dužine poligonskog vlaka ne mogu neposredno izmeriti određuju se indirektnim putem. Pristupa se merenju drugih veličina koje su geometrijski povezane sa uglovima i dužinama poligonskog vlaka. Geometrijska veza između pomoćnih veličina koje se mere i veličina koje se određuju zavisi od konkretnih uslova na terenu. Ovde ćemo prikazati slučajeve u kojima se primenjuju: sinusna teorema, kosinusna teorema i tangensna teorema.
1
PRIMENA SINUSNE TEOREME ZA REŠAVANJE TROUGLOVA
Kada strana poligonskog vlaka prelazi preko neke prepreke (reke), onda dužinu poligonske strane b treba odrediti indirektno(slika 3.5). Za određivanje nepoznate dužine, dovoljno je na terenu postaviti pomoćnu tačku A, koja sa poligonskim tačkama 2 i 3 čini trougao u kome se mogu izmeriti drugi njegovi elementi.
Slika 3.5
Slučaj broj 1: Ako su u trouglu izmerena sva tri ugla , i horizontalna dužina a=S 2-A Najpre je potrebno sabrati uglove u trouglu i videti koliko zbir odstupa od teoretske vrednosti (1800).
+ + 180 0
(1)
Ukoliko je razlika = 1800 - ( + + )
(2)
u okviru dozvoljenog odstupanja (f) koje je unapred zadato i zavisi od klase tačnosti merenja (f), tada se računaju popravke V = V = V = V =
3
(3)
zaokružene do na 1". Popravljene vrednosti uglova
' = + V = +
; ' = + V = + ; ' = + V = + 3 3 3
(4)
treba da zadovoljavaju uslov ' + ' + ' = 1800, što se mora proveriti u cilju kontrole računanja. Tek sada možemo primeniti sinusnu teoremu:
a b c m 2R sin sin sin
(5)
koja kaže da je odnos navedenih elemenata trougla konstantan (R je poluprečnik opisanog kruga). Iz formule (5), računaju se nepoznati elementi b i c
b
a sin ' m sin ' sin '
(6)
c
a sin ' m sin ' sin '
(7)
Pisana predavanja
Geodetski premer 1
7 Kontrola računanja dužina b i c može se obaviti preko njihovih projekcija na stranu a slika 3.6
Slika 3.6
a b cos 'c cos '
(8)
Vrednosti dužine a sračunate iz (8), treba da se slažu sa datom vrednošću dužine a, (najveća dozvoljena razlika je 3 jedinice na poslednjem decimalnom mestu).
Slučaj broj 2: U trouglu su merena dva ugla (npr. ,) i horizontalna dužina a. Najpre se računa treći ugao kao dopuna zbira do 1800.
= 1800 - ( + )
(9)
Potom se računaju vrednosti stranica b i c pomoću formule (6) i (7). Jedina razlika, u odnosu na slučaj br. 1, je u tome što se koriste merene, a ne popravljene (izravnate) vrednosti uglova. Vrednosti strana b i c se kontrolišu pomoću formule (8). Slučaj broj 3: U trouglu su merene dve strane i ugao naspram jedne od njih. Ovaj slučaj podrazumeva varijante: Varijanta broj 1 Merene su strane a i b, i ugao naspram duže strane a (slika 3.7). Na osnovu sinusne teoreme, formula (5), se računa vrednost
Slika 3.7
m
a sin
(10)
i vrednost ugla sin
b b ,odnosno arcsin . m m
(11)
Potom se računa vrednost trećeg ugla , kao dopuna do 1800. = 1800 - ( + )
(12)
Vrednost stranice c se raćuna na osnovu formule (5), odnosno formule (7). Na kraju se vrši kontrola na osnovu formule (8). Varijanta broj 2 Merene su strane b i c , i ugao naspram kraće strane b (b
Zbog toga što rešenje nije jednoznačno u geodetskoj praksi se izbegava ovakav način računanja trougla.
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 Varijanta broj 3
8
Slika 3.9 Varijanta broj 3 predstavlja poseban slučaj varijante broj 2 - u pitanju je pravougli trougao ( = 90 0), a temena C i C' se poklapaju slika 3.9.
NAPOMENA: Kada se trougao rešava primenom sinusne teoreme u njemu ne bi trebalo da bude uglova manjih od 30o. Ako u trouglu ima oštrih uglova (30 o), manja je tačnost indirektno sračunatih strana. Sve merene dužine najpre se moraju redukovati na horizont. Rešavanje trougla primenom sinusne teoreme može se vršiti u trigonometrijskom obrascu br. 13 (T.O. 13). U rubriku "Mereni uglovi" se upisuju samo dati uglovi, tj. oni koji su mereni. U rubriku "Popravljeni uglovi" se upisuju vrednosti sva tri ugla. Kontrola raćunanja strana b i c se izvodi računanjem merene strane a. PRIMER 3.1 ( 202; 26; 25) Sračunati dužine strana 202 - 25 i 202 - 26, ukoliko je izmerena dužina 25 - 26 i iznosi 183.24 m, i sva tri ugla koja imaju sledeće vrednosti: =
570 03' 50"
=
610 55' 59"
=
610 00' 17"
(primer urađen u TO 13)
PRIMER 3.2 ( 103; 104; 91) Sračunati dužine strana 91 - 103 i 103 - 104, ukoliko je izmerena dužina 104 - 91 i iznosi 450.38 m, i dva ugla kod tačaka 103 i 104 koja imaju sledeće vrednosti: =
630 44' 54"
=
740 22' 23"
(primer urađen u TO 13)
PRIMER 3.3 ( 103; 192; 91) Sračunati dužine strane 103 - 192, i uglove kod tačaka 192 i 91 dužine: 91 - 192 = 2003.39 m 103 - 91 = 372.39 m kao i mereni ugao kod 103, = 69 0 56' 39".
Pisana predavanja
(primer urađen u TO 13)
ukoliko su izmerene
Geodetski premer 1
9
Rešenje: PRIMER 3.1, PRIMER 3.2, PRIMER 3.3 Trigonom. obrazac br. 13 Računanje trougla po sinusnoj teoremi Mereni uglovi Uglovi i strane
su uzeti 0
1 Primer 3.1
2
202
26
a
25 Primer 3.2
103
104
b a
91 Primer 3.3
103
55
61
00
180
00
180
--
--
44
54
192
b
03
''
03
sin
cos
b
sin
cos
c
(bcos)
bcos +
(ccos)
ccos = a
6
7
m
a sin
5 48
0,83927
57
0,88239
0,47051
192,65
00
15
0,87466
0,48475
190,96
89,85 00 44
00 54
218,332 0,89686
c
b
Pisana predavanja
............ 183,24 450,38
22
23
22
23
0,96304
0,26937
483,61
41
--
--
52
43
0,66756
0,744561
335,23
138
07
17
180
--
--
56
39
10
--
--
03
21
0,17461
0,98464
372,39
100
--
--
00
00
0,98481
- 0,17365
2100,32
180
18.3 1.3
93,39
360,08 00 56
00 39
502,174
90,30
0,93936
............ 450,38 2003,39
- 64,66
91
183,24
55
a
a
74
69
c
18.1
' 4
61
63
c
1.2
'' -2 50 -2 59 -2 17 -6 06
57
c
' 3
b
1.3
Popravljeni uglovi
Trougao
Strane sin
a
--
--
00
00
2132,720
2068,05
............ 2003,39
Geodetski premer 1
2
10
PRIMENA KOSINUSNE TEOREME ZA REŠAVANJE TROUGLOVA
U cilju određivanja poligonske strane a=S5-6, koja prelazi preko neke prepreke, postavlja se pomoćna tačka A, tako da se obrazuje trougao 5A6 u kome se mere strane b, c i ugao između njih . Na osnovu horizontalne dužine b,c i zahvaćenog ugla , može se strana a sračunati primenom kosinusne teoreme.
Slika 3.10
U trouglu (slika 3.10) važi kosinusna teorema, koja glasi: a 2 = b2 + c2 - 2bccos
(13)
u istom trouglu važi b 2 = a 2 + c2 - 2accos
(14)
c2 = a2 + b2 - 2abcos.
(15)
Pomoću kosinusne teoreme možemo sračunati vrednost strane a (izraz 13) koja nije merena. Isto važi i ukoliko su merene strane a i c, i ugao (izraz 14), ili ukoliko su merene strane a i b, i ugao (izraz 15). U geodetskoj praksi je uobičajeno da se, kada je ovaj problem u pitanju, merene strane obeleže sa b i c, a strana koja se računa sa a. Kada je strana a sračunata (izraz 13), elementi trougla koji nedostaju (ugao i ugao ) se računaju primenom sinusne teoreme:
a b c m 2R sin sin sin odnosno, sin
b ; m
= arcsin
sin
b ; m
c m
= arcsin
(16)
c m
(17)
Kontrola raćunanja uglova i se vrši na osnovu zbira uglova u trouglu + + = 180 0
(18)
Ukoliko je jedan od uglova u trouglu veći od 90 0 (npr. > 900), onda će se pomoću inverznog sinusa dobiti oštar ugao ' ' = 1800 - te će važiti jednakost ' = + što znači da se radi o uglu večem od 900, te će vrednost ugla iznositi = 1800 - ' U tom slućaju se, ukoliko je dati ugao < 900, koristi sledeći postupak: najpre se sraćuna ugao naspram manje date strane (npr. ); Pisana predavanja
Geodetski premer 1 11 sraćunati ugao se sabere sa datim uglom , i na osnovu toga utvrdi da li je treći ugao (npr. ) oštar ili tup; definitivno sračuna vrednost trećeg ugla (npr. ). NAPOMENA: U slučaju da se primenom kosinusne teoreme uglovi dobiju sa greškama u sekundama, naročito ukoliko računar ima manji broj decimalnih mesta, ili je ugao koji se dobija na osnovu formule 2.5 blizak vrednosti od 90 0, treba koristiti tangesnu teoremu. Za rešavanje trougla primenom kosinusne teoreme ne postoji poseban obrazac, već se računanja mogu izvoditi u trigonometrijskom obrascu br. 13 (TO 13). PRIMER 3.4: ( 26; 202; 24) Sračunati dužinu strane 24 - 202, kao i uglove kod 202 i 24, ukoliko su izmerene dužina 26 - 24 koja iznosi 244.31 m, i dužina 26 - 202 koja isnosi 190.96 m, kao i ugao kod 26 koji iznosi = 62 0 12' 11". Rešenje :
T.O. br.13 Računanje trougla po kosinusnoj teoremi
Uglovi i strane su uzeti
Mereni uglovi
Trougao
0 1
2
Primer 3.4
'
''
Popravljeni uglovi
'
3
'' 4
sin sin sin m
a sin
5
cos cos
Strane a b c
(bcos) (ccos)
bcos + ccos = a
6
7
26
62
12
11
12
11
0,46634
229,44
70
-
-
22
58
0,94196
0,33573
244,31
47
-
-
24
50
0,73626
0,67670
190,96
59
59
259,364
c
b
a
165,32
202 179
64,11
24
3
PRIMENA TANGENSKE TEOREME ZA REŠAVANJE TROUGLOVA
U trouglu (slika 3.10) važi tangenska teorema, koja glasi: tg bc 2 bc tg 2
(19)
U istom trouglu važi tg ab 2 a b tg 2
Pisana predavanja
(20)
....... 4 229,43
Geodetski premer 1 tg ac 2 a c tg 2
12 (21)
Pomoću tangensne teoreme možemo sračunati vrednost uglova i (izraz 19) koji nisu mereni. Isto važi i ukoliko nisu mereni uglovi i , a meren je ugao (izraz 20), ili ukoliko su mereni uglovi i , a nije meren ugao (izraz 21). U geodetskoj praksi je uobičajeno da se, kada je ovaj problem u pitanju, mereni ugao obeleži sa , merene strane sa b i c, a uglovi koji se računaju sa i . Poluzbir
se dobija polazeći od sume uglova u trouglu 2
+ + = 180 0 ili + = 180 0 -
(22)
odnosno 90 0 2 2
(23)
Polurazlika uglova i se dobija pomoću tangesne teoreme (izraz 19), u kojoj se koristi izraz 23. bc bc 0 bc tg tg tg 90 ctg 2 bc 2 bc 2 2 bc
odnosno tg
bc ctg 2 bc 2
(24)
Na osnovu izraza 23 i 24, računaju se vrednosti
; 2 2
i , a potom i vrednosti i . 2 2
2 2
(25)
Polurazlika uglova i može biti pozitivna (kada je b > c) ili negativna (kada je b < c), što treba imati u vidu pri računanju i . Greška se neće napraviti kada se vodi računa da se naspram duže strane nalazi veći ugao. Kontrola sračunatih uglova i se vrši na osnovu zbira uglova u trouglu. + + = 180 0 Strana a se računa primenom sinusne teoreme:
a b c m 2R sin sin sin ab
sin sin c sin sin
(26)
Vrednost sračunate dužine a, dobijene na dva načina, treba da se slaže (najviša dozvoljena razlika je 3 jedinice na poslednjem decimalnom mestu). Pisana predavanja
Geodetski premer 1 NAPOMENA:
13
Rešavanje trougla primenom tangensne teoreme se može vršiti u trigonometrijskom obrascu br. 14. Problem rešavanja trougla u kome su merene dve strane i njima zahvaćeni ugao se može rešavati i pomoću projekcija datih strana i na druge načine.
PRIMER 3.5: ( 12; 14; 13) Sračunati dužinu strane 14 - 13, i uglove kod tačaka 13 i 14 ukoliko su izmerene dužine, i to: 13- 12 = 161.26 m; 12- 14 = 166.34 m, kao i mereni ugao kod 12, = 490 18' 44". Rešenje:
T.O. br.14 Računanje trougla iz dve strane i zahvačenog ugla (tangensna teorema)
Redni broj računanja i skica trougla
Uglovi i strane
1
2
su uzeti
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
ab
sin sin
1 b c ctg 1 2 b c 2
1 1 2 2
c
sin sin
c
b
tg
a
3
4 0
'
''
dato primer 3.5
12
primer 3.5 13
5
b
161,26
c
166,34
sin
0,894226
(1/2)
24
39
22
1/2(+)
+
65
20
38
b-c
-
5,08
sin
0,758273
1/2(-)
-
1
56
05
b+c
+
327,60
sin
0,922394
49
18
44
63
24
33
67
16
43
14
ctg(1/2)
2,178550 ...........
180
00
00
tg(1/2)(-)
-0,033782
a
136,74
3.6.2 RAČUNANJE DIREKCIONOG UGLA I DUŽINE IZ KOORDINATA U poligonskom vlaku slika 3.1 obeležili smo kao date veličine direkcioni ugao početne 1A ,i završne strane NB . Direkcioni ugao strane i dužinu između dve tačke objasnićemo na primeru između proizvoljnih tačaka A i B. Direkcioni ugao neke strane () predstavlja ugao za koga treba rotirati pozitivni smer paralele sa Xosom u smeru kretanja kazaljke na satu dok se ne poklopi sa stranom na koju se direkcioni ugao odnosi. Pisana predavanja
Geodetski premer 1 14 Date su koordinate tačaka A(YA, XA) i B(YB, XB) (slika 3.11). Potrebno je sračunati direkcioni ugao AB , kao i dužinu d A-B. Sa slike 3.11 se vidi da je
tg BA
YB YA Y X B X A X
(27)
Direkcioni ugao AB , mora se kontrolisati, kontrola se vrši konstrukcijom jednakokrakog pravouglog trougla ABA' (sa pravim uglom u temenu B). Direkcioni ugao AA' biće za 45 o veći od direkcionog ugla AB . U skladu sa slikom 3.12 može se zaključiti da je:
tg AB 45 0 x
X Y X Y
(28) x
YB
C Y
Y B -Y A = Y B (Y ,X ) B B
B d
X
d B
45
0
A'
B
X - Y
XB
X
A
B A
450
y
A
XA
0
5
A (Y A ,X A )
A 0
YA
C'
X + Y
+4
X B -X A = X
d
Y
y
Slika 3.11
Slika 3.12
Zavisno od položaja tačaka A i B u koordinatnom sistemu vrednost direkcionog ugla može iznositi od 00 do 3600 i može da se nalazi u prvom, drugom, trećem ili četvrtom kvadrantu, slika 3.13. B
+x
Y < 0
Y > 0 X > 0
X > 0
B
B A
BA a rc tg
YB Y A 360 0 XB XA
B
A
-y
0 A B
YB YA XB XA +y
B
A
A
B A
X < 0 X < 0
Y < 0
Y YA BA a rc tg B 180 0 XB XA
Y > 0 -x
Slika 3.13 Pisana predavanja
BA a rc tg
A
A
B
Y YA BA a rc tg B 1800 XB XA
Geodetski premer 1 Kada je vrednost jedne koordinatne razlike jednaka nuli, Y 0 ili X 0 , tada je: 1)
tg AB
Y ; AB 90 0 i d A-B Y 0
2)
tg AB
0 0 ; AB 0 0 i d A-B X X
15
Posle računanja direkcionog ugla AB , računanje dužine d A-B se radi kontrole vrši na dva načina. d A-B =
YB YA Y B sin A sin AB
d A-B =
XB XA X B cos A cos AB
(29)
Vrednosti sračunate dužine d, treba da se međusobno slažu (najveća dozvoljena razlika je 3 jedinice na poslednjem decimalnom mestu i tada se za konačnu vrednost uzima aritmetička sredina). Vrednost direkcionog ugla BA je
BA AB 180 0
(30)
što znači da, ukoliko je vrednost direkcionog ugla AB poznata, tada vrednost BA ne treba ponovo računati iz koordinata, već koristiti izraz 30. NAPOMENA: Postoji mogućnost da je razlika sračunatih vrednosti dužine (izraz 29), veča od 3 jedinice na poslednjem decimalnom mestu. To će biti u slučaju kada se radi o velikoj razlici apsolutnih vrednosti koordinatnih razlika Y i X (jedna od ove dve vrednosti je mala po apsolutnoj vrednosti). Tada se uzima, kao tačna, vrednost dužine koja je sračunata pomoću veće koordinatne razlike. U tom slučaju se računanje dužine sprovodi i pomoću izraza: d Y 2 X 2
(31)
Računanje direkcionog ugla i dužine iz koordinata se može vršiti u trigonometrijskom obrascu br. 8 (T.O. 8).
PRIMER 3.6: Izračunati direkcioni ugao 64 i dužinu 6 - 4 ako su date koordinate tačaka: Y X 4 10230,23 10230,23 6 9336,75 8519,76 (primer 6 urađen u TO 8) PRIMER 3.7: 102 Izračunati direkcioni ugao 100 i dužinu 100 - 102 ako su date koordinate tačaka: Y X 100 24256,36 58329,32 102 25224,70 56592,56 (primer 7 urađen u TO 8)
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 16 PRIMER 3.8: 110 Izračunati direkcioni ugao 112 i dužinu 112 - 110 ako su date koordinate tačaka: Y X 112 9527,45 7502,50 110 8000,39 6920,15 (primer 8 urađen u TO 8) Rešenje : PRIMER 6: PRIMER 7: PRIMER 8
T.O. broj 8
Računanje direkcionih uglova i dužina iz pravouglih koordinata
1
Y = Yb - Ya X + Y
Primer
4
3.6
X = Xb - Xa X - Y
sin ba
tg
(1/4+ ba )
tg ba
1/4+ ba
ba
cos ba
d
2
Xa
devet.ostatak
Ta
Ya
Xb devet.ostatak
Tb
Koordinate su uzete
Yb
3
4
5
6
7
10
230, 23
10
230, 23
0,
46
300
9
336, 75
8
519, 76
0,
88
636
1
710, 47
6
+
893, 48
+
3,
18
725
0,
52
236 ...........
+
102
+
0
816, 99
0
2
603, 95
72 34' 51"
27 34' 51"
1929,77
25
224, 70
56
592, 56
0,
48
698
24
256, 36
58
329, 32
-0,
87
341
1
736, 76
Primer 3.7
100
+
968, 34
-
0,
28
406
-0,
55
756 ...........
-
110
768, 42
-
2
705, 10
0
195 51' 28"
0
150 51' 28"
1988,46
Primer 3.8
8
000, 39
6
920, 15
-0,
93
436
9
527, 45
7
502, 50
-0,
35
632
1
527, 06
112
-
-
582, 35
-2,
23
287
2,
62
224 .........4
-
Pisana predavanja
2
109, 41
+
944, 71
0
294 07' 32"
0
249 07' 32"
1634,33
Geodetski premer 1
17
3.6.3 RAČUNANJE DIREKCIONIH UGLOVA POLIGONSKIH STRANA Kao primer će se uzeti umetnuti poligonski vlak između tačaka Ta i Tb, (slika 3.14). Date veličine: Koordinate tačaka TC, Ta , Tb i Td, direkcioni uglovi početne ( ca ) i završne strane ( bd ) sračunati iz koordinata. Merene veličine: vezni uglovi ( a i b), prelomni uglovi ( 1, 2 i 3) i horizontalne dužine strane (da-1, d1-2, d2-3 i d3-b). d
Ta
1 d a -1
y a -1
T1
x a -1
a
1 a
2 d 1 -2
T2
x 1 -2
2 1
~~
3 2
3 d 2 -3
T3
x 2 -3
Tc
y 2 -3
b d
3 -b
y 3 -b
Tb
x 3 -b
b 3
x b - xa
a c
~~
y 1-2 Td
yb - ya Slika 3.14 Umetnuti poligonski vlak
Pri određivanju direkcionog ugla poligonske strane Ta T1, tj. 1a kad je dat direkcioni ugao ac i vezni ugao a, odnosno direkcioni ugao prethodne strane i prelomni ugao, postoji nekoliko slučajeva (slika 3.15). Za pojedine slučajeve sa slike 3.15, može se zaključiti: 1) 1a = ca - (1800 - a) = ca + a - 1800; 2) 1a = ca + a - 1800; 3) 1a = ca + a - 1800; 4) 1a = ca + a + 1800. U opštem obliku je
a1 = ca + a 180 0
(32)
Direkcioni ugao poligonske strane jednak je zbiru direkcionog ugla prethodne strane i prelomnog ugla koji čini ta strana sa prethodnom stranom, uvećanom ili umanjenom za 1800. Ili napisano u obliku:
i = i1 + i 1800,
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 18 Direkcioni ugao i naredne strane, dobija se kada se zbiru direkcionog ugla i 1 prethodne strane i ugla i koji povezuje te dve strane doda ili oduzme 180o.Ako je i i 180 o , onda se oduzima 180 o, a ako je i i 180 o onda se dodaje 180o. 1)
2)
3)
4)
Slika 3.15 Za poligon Ta, T1, T2, T3, Tb, važi
1a ca a 1800 12 a1 1 180 0 ca a 1 2 180 0 23 12 2 1800 ca a 1 2 3 1800
3b 23 3 1800 ca a 1 2 3 4 1800 bd 3b b 1800 ca a 1 2 3 b 5 180 0 Ovaj poslednjizraz u opšem obliku je: bd ca n 180 0
(33)
Direkcioni ugao bd završe strane poligonskog vlaka jednak je zbiru direkcionog ugla početne strane i sume svih prelomnih i veznih uglova, uvećanog ili umanjenog proizvodom n 1800, gde je n broj prelomnih i veznih uglova (broj merenih uglova). Vrednost direkcionog ugla završne strane koja je sračunata po izrazu 33. obeležićemo sa ( bd )M (merena vrednost, M - mereno) i uporediti sa vrednošću tog ugla ( bd )T (teoretska vrednost, T treba) određenog iz koordinata tačaka Tb Td. Usled grešaka u merenju prelomnih i veznih uglova, Pisana predavanja
Geodetski premer 1 19 kao i usled grešaka pri određivanju direkcionih uglova početne i završne strane iz koordinata njihovih krajnjih tačaka (greške datih veličina), pojaviće se neslaganje. To neslaganje se naziva uglovno odstupanje u poligonu i obeležava se sa =( bd )T-( bd )M=( bd )T - ( ca + n 1800)M= ( bd )T n 180 0) - ( ca + ) (34) što znači da je uglovno odstupanje u poligonskom vlaku jednako razlici vrednosti direkcionog ugla završne strane uvećanog за n 1800 i vrednosti direkcionog ugla početne strane uvećane sumom veznih i prelomnih uglova. Dozvoljeno uglovno odstupanje za Pf zavisi od vrste poligonskog vlaka, broja girusa i tačnosti instrumenta, kao što se vidi iz sledeće tabele.
Tabela 3.1 Dozvoljeno uglovno odstupanje poligonskog vlaka Podatak instrumenta
u jednom gurusu osnovna dopunska mreža mreža
1"
-
-
Dozvoljena odstupanja u dva girusa osnovna dopunska mreža mreža
n 6" 30" n 30" 60" n 60" n 45" n n - je broj veznih i prelomnih uglova u vlaku. 20"
n 45" n 60" n 30"
u tri girusa osnovna dopunska mreža mreža
n
12"
n
18"
-
-
-
-
Kad je Pf u dozvoljenoj granici, onda svi prelomni i vezni uglovi dobijaju popravku V
n
(35)
u opšten slučaju: M
i i Vi Onda se stačunaju direkcioni uglovi poligonskih strana, sa popravljenim vrednostima veznih i prelomnih uglova. i = i1 + i 1800
Popravke V se računaju (i ukoliko f nije deljivo sa n zaokružuju do na 1") i upisuju iznad upisanih vrednosti merenih uglova. Sa ovako popravljenim vrednostima veznih i prelomnih uglova računaju se direkcioni uglovi pojedinih poligonskih strana. Ukoliko je prethodno računanje pravilno izvršeno i ako se direkcioni ugao poslednje strane vlaka sabere sa popravljenim veznim uglom kod završne tačke vlaka, vrednost sračunatog direkcionog ugla završne strane mora biti jednaka sa datim direkcionim uglom te (završne) strane. To je istovremeno i kontrola da su prethodna računanja pravilno obavljena. 3.6.4 RAČUNANJE KOORDINATNIH RAZLIKA Sa slike 3.14 se može zaključiti y1 y a y ' a1 d a 1 sin a1
x1 xa x' a 1 d a1 cos a1
y2 y1 y '1 2 d1 2 sin 12
x2 x1 x'1 2 d12 cos 12
y3 y 2 y' 23 d 23 sin 23
x3 x2 x' 23 d 23 cos 23
yb y3 y '3b d 3b sin 3b
xb x3 x'3b d 3b cos 3b
(36)
yb y a y '
xb xa x'
(37)
Sumiranjem
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 20 Odakle sledi da je suma koordinatnih razlika svih poligonskih strana ( y ' )M u pravcu ordinate (Yose), jednaka razlici ordinata završne i početne tačke poligonskog vlaka yb y a T, a zbir apscisnih razlika (u pravcu X-osa) ( x')M jednak je razlici apcisa završne i početne tačke vlaka xb xa T. Zbog toga što merenja nije moguće obaviti apsolutno tačno, pojaviće se izvesna razlika između ovih vrednosti, koje ćemo označiti sa y i x, pa će otuda biti y = (yb - ya)T –(y')M x = (xb - xa)T –( x' )M (38) Ove razlike se nazivaju linearna odstupanja po koordinatnim osovinama. Iz ovih vrednosti se može odrediti ukupno linearno odstupanje d 2y 2x
(39)
Ukupna dozvoljena linearna odstupanja su definisana pravilnikom. Za strane merene pantljikom vrednosti dozvoljenih odstupanja su: − za teren I kat. Pf d = 0,0035 d + 0,0002 d + 0,05 − za teren II kat.
Pf d = 0,0045
− za teren III kat.
Pf d = 0,0060
d + 0,0003 d + 0,05 d + 0,0004 d + 0,05
Ukoliko su dužine poligonskih strana merene elektrooptičkim daljinomerom (isto važi za paralaktičku poligonometriju i precizne optičke daljinomere, s tim što ovi načini merenja više nisu u upotrebi), dozvoljeno ukupno linearno odstupanje je isto kao za teren I kategorije. Kada je d u dozvoljenoj granici, popravljaju se (izravnavaju) koordinatne razlike. Izravnanje koordinatnih razlika po prostoj metodi, se sastoji u raspodeli odstupanja y i x na pojedine koordinatne razlike, proporcionalno dužinama odgovarajućih poligonskih strana, po sledećim formulama: y V yi di Vxi x d i (40) d d gde je i redni broj poligonske strane. Pri merenju dužina u vlaku sa istom tačnošću (isti instrument i pribor) svaka strana u poligonu dobija popravku. y V yi Vxi x (41) n n Ukoliko fy, odnosno fx nije deljivo sa n, popravke V yi i Vxi se zaokružuju. Popravke imaju isti znak kao i odstupanja y i x. Za kontrolu računanja mora biti: Vy = y i Vx = x (42) Sračunate popravke se upisuju iznad sračunatih koordinatnih razlika y' i x'. Suma popravljenih izravnatih koordinatnih razlika y i x mora biti jednaka razlici koordinata krajnjih tačaka Ta i Tb poligonskog vlaka, dakle y' + Vy = y = yb - ya x' + Vx = x = xb - xa (43)
3.6.5 RAČUNANJE KOORDINATA POLIGONSKIH TAČAKA Kada je završeno izravnanje koordinatnih razlika poligonskih strana, mogu se sračunati i koordinate svake poligonske tačke. Pisana predavanja
Geodetski premer 1 y1 = ya + ya-1 y2 = y1 + y1-2 y3 = y2 + y2-3 yi = yi-1 + yi-1
21 x1 = xa + xa-1 x2 = x1 + x1-2 x3 = x2 + x2-3 xi = xi-1 + xi-1
Za kontrolu treba još sračunati i yb = y3 + y3-b xb = x3 + x3-b što mora biti jednako "datim" vrednostima yb i xb.
(44)
(45)
U opšten slučaju: yN = yN-1 + yn xN = xN-1 + xn. tj. kada se na koordinate poslednje nepoznate tačke u vlaku dodaju izravnate koordinatne razlika poslednje strane, moraju se dobiti koordinate završne date tačke. NAPOMENA: Računanje koordinata tačaka u poligonskom vlaku primenom približne metode izravnanja može se vršiti u trigonometrijskom obrascu broj 19.
Pisana predavanja
Geodetski premer 1 PRIMER 3.9:
22
Sračunati koordinate poligonskih tačaka 31, 32 i 33 ako je dato: Date veličine: Koordinate referentne mreže Y X 260 74975,24 53418,75 268 75039,61 52669,42 Početni i završni direkcioni ugao 0 260 261 = 249 07' 32"
Skica poligonskog vlaka
261 260
0 270 268 = 147 30' 32"
31
Merene veličine: Vezni i prelomni uglovi 260 = 1160 21' 05" 268 = 1700 51' 20" 31 = 1860 00' 20" 32 = 1640 08' 20" 33 = 1610 02' 55"
Redukovane dužine poligonskih strana
d 260-31 d 31-32 d 32-33 d 33-268
= 192,07 m = 139,00 m = 203,16 m = 239,04 m
Rešenje PRIMERA 3.9 dato je u Trigonometrijskom obrascu broj 19. (Prva strana T.O.19, Druga strana T.O.19)
Pisana predavanja
32 33 268
270
Geodetski premer 1 Rešenje: PRIMERA 3.9.
Pisana predavanja
23 Prva strana T.O.19
Geodetski premer 1 Rešenje: PRIMERA 3.9.
Pisana predavanja
24 Druga strana T.O.19
Geodetski premer 1
25
3.7 RAČUNANJE VISINA POLIGONSKIH TAČAKA Određivanje visina tačaka poligonske mreže vrši se merenjen visinskih razlika po metodi: − geometrijskog i − trigonometrijskog nivelmana. Osnovne karakteristike i modeli računanja visinskih razlika biće objašnjeni u delu Određivanje visinskih razlika i visina tačaka.
3.8 ELABORAT POLIGONSKE MREŽE Podaci i informacije vezane za izradu, merenje i računanje u poligonskoj mreži predstavljaju sastavni deo izrade elaborata poligonske mreže. U elaboratu se prilažu: − skica poligonske mreže, − registar poligonskih vlakova i − opšti registar. Skica poligonske mreže izrađuje se u fazi projektovanja kao što je objašnjeno u delu 3.2. Služi za pregled i registrovanje izvršenih merenja u cilju sagledavanja dinamike izvršenih radova. Na skici se prikazuje i plan računanja poligonske mreže. Izrada registra poligonskih vlakova se vrši po završenom računanju koordinata poligonskih tačaka. Registar se vodi odvojeno, ukoliko su u mreži vršena merenja različite tačnosti. Na početku svakog odeljka se unose podaci o korišćenim instrumentima i priboru. Registar sadrži podatke o tačnosti poligonskih vlakova i poligonske mreže, jer su u njemu prikazana linearna i uglovna odstupanja u poligonskim vlacima, kao i u čitavoj mreži, uz odgovarajuća dozvoljena odstupanja (slika 3.16). Opšti registar se izrađuje u cilju jednostavnijeg korišćenja podataka merenja pri njihovoj obradi. U njemu su prikazane sve tačke koje su korišćene u mreži uz informaciju o tome na kojim se stranama odgovarajućih trigonometrijskih obrazaca (TO 1, TO 8, TO 27, itd.) nalaze podaci koji se odnose na te tačke. Na taj način je olakšano pretraživanje podataka pri kasnijem korišćenju (slika 3.17). Poligonske i trigonometrijske tačke su poređane po rednim brojevima. Opšti registar se vodi svakodnevno - istog dana kada je merenje izvršeno. Ukoliko su pri merenju upotrebljene tačke iz druge mreže one se moraju registrovati, s tim što se pre navođenja podataka o njima upisuje o kojoj se mreži (koje katastarske opštine ili grada) radi. Sastavni deo elaborata poligonske mreže, pored terenskih obrazaca i navedenih registara, čine i obrasci (ili računarski izlazi) računanja koordinata poligonskih tačaka, spisak koordinata i nadmorskih visina tačaka, itd. Automatska obrada podataka i primena GPS merenja u poligonskoj mreži podrazumeva i izmene u vođenju evidencija putem registara.
Pisana predavanja
Geodetski premer 1
26 Slika 3.16 Registar poligonskih vlakova
Slika 3.17 Opšti registar
Pisana predavanja
Geodetski premer 1
27
SADRŽAJ 3.
POLIGONSKA MREŽA .......................................................................................................1 3.1
POLIGONSKI VLAK................................................................................................1
3.2
PROJEKAT I REKOGNOSCIRANJE POLIGONSKE MREŽE ...........................2
3.3
IZGLED I DIMENZIJE BELEGA KOJIMA SE OZNAČAVAJU POLIGONSKE TAČKE.........3
3.4
UKOPAVANJE (POSTAVLJANJE) BELEGA .......................................................4
3.5
NUMERISANJE I OPIS POLOŽAJA POLIGONSKIH TAČAKA........................4
3.6
RAČUNANJE KOORDINATA U POLIGONSKOM VLAKU ...............................5
3.6.1
ELEMENTI POLIGONSKOG VLAKA ...................................................................5
1
PRIMENA SINUSNE TEOREME ZA REŠAVANJE TROUGLOVA .........................6
2
PRIMENA KOSINUSNE TEOREME ZA REŠAVANJE TROUGLOVA .................10
3
PRIMENA TANGENSKE TEOREME ZA REŠAVANJE TROUGLOVA ................11
3.6.2
RAČUNANJE DIREKCIONOG UGLA I DUŽINE IZ KOORDINATA ................13
3.6.3
RAČUNANJE DIREKCIONIH UGLOVA POLIGONSKIH STRANA .................17
3.6.4
RAČUNANJE KOORDINATNIH RAZLIKA .......................................................19
3.6.5
RAČUNANJE KOORDINATA POLIGONSKIH TAČAKA..................................20
3.7
RAČUNANJE VISINA POLIGONSKIH TAČAKA ..............................................25
3.8
ELABORAT POLIGONSKE MREŽE ...................................................................25
Pisana predavanja
