GRAĐEVINSKI FAKULTEТ Оdsek za geodeziju
MODEL IZRAVNANJA GEODETSKIH MREŽA
Doc. dr Zagorka Gospavić, dipl.geod.inž. Školska 2009/10
Model izravnanja Model izravnanja geodetskih mreža zasnovan je na matematičkom modelu koji predstavlja matematički opis pretpostavki o merenjima i njihovoj funkcionalnoj vezi sa nepoznatim parametrima (najčešće koordinatama tačaka).
U teoriji izravnanja geodetskih mreža, koja se bazira na primeni metoda najmanjih kvadrata (MNK), postoji širok spektar različitih matematičkih modela izravnanja. U praktičnim primenama izravnanja geodetskih mreža najčešće se koriste sledeće metode: • izravnanje po metodi posrednih merenja, • izravnanje po metodi uslovnih merenja, • izravnanje po metodi uslovnih merenja sa nepoznatim parametrima, • izravnanje po metodi posrednih merenja kada su parametri u određenim matematičkim uslovima.
1. Izravnanje po metodi posrednih merenja Matematički model koji se koristi prilikom analiza geodetskih mreža, a koji najbolje opisuje stvarno stanje jednog takvog sistema, je Gaus-Markovljev model, koji za ocene parametara modela koristi metod najmanjih kvadrata (MNK).
Analiza merenja pre izravnanja
Analiza i testiranje rezultata merenja pre izravnanja: 1. Postojanje grubih grešaka 1.1. Iz odstupanja sumljivog merenja od aritmetičke sredine 1.2. Preko raspona merenja 1. Homogenost rezultata merenja 2. Normalnost rasporeda merenja
Gauss-Markovljev model - Stohasticki model Geodetska merenja odnose se na različite fizičke veličine (uglovi, pravci, dužine, visinske razlike i druge fizičke veličine) koje se u zavisnosti od metode i mernog pribora određuju sa različitom tačnošću. Stohasticki model definise određene pretpostavke vezane za merenja. Osnovna pretpostavka o merenjima, koju je još Gaus (1908) uveo, a pod kojom važi metod najmanjih kvadrata, jeste da matematičko očekivanje greške merenja bude nula, odnosno da greške merenja slede normalnu raspodelu, sa matematičkim očekivanjem nula i kovaricionom matricom ‘’K’’.
M (ε ) = M (v) = 0
ε ~ N (0, K )
Merene veličine l , l , ..., l su slučajne veličine koje slede normalnu raspodelu verovatnoća 1 2 n izraženu u obliku:
l ~ N (μl , Kl )
gde je
μl vektor očekivanja i K l ⎛ l1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜l ⎟ l =⎜ 2⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜l ⎟ ⎝ n⎠
kovarijaciona matrica merenih veličina.
⎛ σ l21 σ l1l2 ⎜ ⎜σ l2l1 σ l22 Kl = ⎜ ... ⎜ ... ⎜σ l l σ l l n2 ⎝ n1
... σ l1ln ⎞ ⎟ ... σ l2ln ⎟ = σ 02Ql ⎟ ... ... ⎟ ... σ l2n ⎟⎠
Gauss-Markovljev model - Stohasticki model Pretpostavke koje se odnose na korelisanost opažanja - Slučaj korelisanih opažanja različite preciznosti
K l = σ 02Ql K l = σ 02 Pl −1
- Slučaj nekorelisanih opažanja različite preciznosti
⎛ σ l21 ⎜ σ l22 ⎜ Kl = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ 1 ⎜ ⎞ ⎜ p1 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ = σo ⋅⎜ O ⎟ ⎜ 2 ⎟ σ ln ⎠ ⎜ ⎜ ⎝
- Slučaj nekorelisanih opažanja iste preciznosti
1 p2
O
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = σ 2 ⋅ P −1 o l ⎟ ⎟ 1 ⎟ pn ⎟⎠
Pl = El ⇒ K l = σ 02 El
Gauss-Markovljev model - Funkcionalni model Funkcionalni model definise funkcionalnu – matematičku vezu između merenih veličina i nepoznatih parametara modela.
lˆ = l + v = F ( Xˆ ) ⎛ lˆ1 ⎞ ⎜ ⎟ ˆ ˆl = ⎜ l2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜M⎟ ⎜ lˆ ⎟ ⎝ n⎠
⎛ l1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ l2 ⎟ l =⎜ ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜l ⎟ ⎝ n⎠
Opšti nelinearni funkcionalni model ⎛ υ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜υ 2 ⎟ v=⎜ ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜υ ⎟ ⎝ n⎠
⎛ F1(Xˆ) ⎞ ⎟ ⎜ ˆ ⎜ F (X) ⎟ F ( Xˆ ) = ⎜ 2 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ F (Xˆ) ⎟ ⎝ n ⎠
ˆl
Vektor izravnatih (ocenjenih ) veličina
l
v
Vektor merenih veličina Vektor popravaka merenih veličina
ˆ) F (X
Vektor nelinearnih matematičkih funkcija
ˆ X
Vektor izravnatih (ocenjenih ) parametara
Gauss-Markovljev model - Funkcionalni model -
,
i
⎛ xˆ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ yˆ ⎟ Xˆ = ⎜ ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜ tˆ ⎟ ⎝ ⎠
Vektor ocenjenih vrednosti parametara
⎛ x0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ X0 = ⎜ 0 ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜t ⎟ ⎝ 0⎠
Vektor pribliznih vrednosti parametara
⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dy ⎟ xˆ = ⎜ ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠
Xˆ = X 0 + xˆ
lˆ = l + v = F ( Xˆ )
Vektor priraštaja parametara
lˆi = li + υi = Fi ( xˆ, yˆ , ..., tˆ) = Fi ( x0 + dx, y0 + dy, ... , t0 + dt )
Gauss-Markovljev model - Linearizacija funkcionalnog modela Metod najmanjih kvadrata podrazumeva linearnost funkcija veze.
li + υ i = Fi ( x 0 , y 0 , ... , t 0 ) +
∂ Fi ∂F ∂F dx + i dy + .... + i dt ∂x0 ∂y 0 ∂t0
υ i = a i ⋅ dx + b i ⋅ dy + ... + u i ⋅ dt + f i Funkcija veze
Gde je: ai =
∂Fi ∂x0
bi =
∂Fi ∂y 0
ui =
∂Fi ∂t 0
f i = Fi ( x0 , y 0 , ... , t 0 ) − li
- Parcijalni izvodi funkcije F ( Xˆ ) po nepoznatim parametrima - Slobodni članovi (približno – mereno)
Gauss-Markovljev model - Funkcionalni model u matričnom obliku -
⎛ v1 ⎞ ⎛ a1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ v2 ⎟ ⎜ a 2 ⎜ M ⎟=⎜ M ⎜ ⎟ ⎜ ⎜v ⎟ ⎜a ⎝ n⎠ ⎝ n
b1 L u1 ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b2 L u2 ⎟ ⎜ dy ⎟ ⎜ ⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ M O M M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ bn L un ⎟⎠ ⎜⎝ dt ⎟⎠ ⎜⎝
vˆ = A ⋅ xˆ + f
f1 ⎞ ⎟ f2 ⎟ M⎟ ⎟ f n ⎟⎠
Algoritam izravnanja - Primena metoda najmanjih kvadrata Metod najmanjih kvadrata predstavlja rešenje preodređenog sistema linearnih jednačina (jednačina veza) v = A ⋅ xˆ + f pod pretpostavkom stohastičkog modela,uz uslov minimizacije kvadratne forme v T ⋅ Pl ⋅ v =. min .
dv T ⋅ Pl ⋅ v + vT ⋅ Pl ⋅ dv = 0
AT ⋅ Pl ⋅ ( A ⋅ xˆ + f ) = 0
(dvT ⋅ Pl ⋅ v)T = vT ⋅ Pl ⋅ dv
AT ⋅ Pl ⋅ A ⋅ xˆ + A ⋅ Pl ⋅ f = 0
2 ⋅ vT ⋅ Pl ⋅ dv = 0
dv = A ⋅ dxˆ vT ⋅ Pl ⋅ A ⋅ dxˆ = 0 v ⋅ Pl ⋅ A = 0 / T
AT ⋅ Pl ⋅ v = 0
T
N ⋅ xˆ + n = 0 N = AT PA n = A ⋅ Pl ⋅ f
- Sistem normalnih jednačina
- Matrica koeficijenata normalnih jednačina - Matrica slobodnih članova normalnih jednačina
Algoritam izravnanja - Ocene parametara modela -
xˆ = − N −1 ⋅ n = −Qxˆ ⋅ n,
vˆ = A ⋅ xˆ + f
- Vektor ocenjenih priraštaja nepoznatih parametara
- Vektor ocenjenih popravaka merenja
xˆ = x0 + dx, yˆ = y0 + dy. . tˆ = t0 + dt
lˆi = li + vˆi lˆi = Fi ( xˆ, yˆ , ..., tˆ)
- Izravnate vrednsti nepoznatih parametara
- Izravnate vrednsti merenih veličina
Fi ( xˆ, yˆ , ..., tˆ) = li + vˆi
- Kontrola izravnanja!!!
Mere kvaliteta (tačnosti) modela - Mere preciznosti modelaPreciznost geodetskih mreža predstavlja statistički kvalitet ocena veličina ( funkcija ili nepoznatih parametara - koordinata ). Mere preciznosti nam, pre svega, daju informaciju o prisustvu i uticaju slučajnih grešaka. Osnovi izvor informacija o preciznosti ocena predstavljaju kovariciona matrice ocena K, odnosno, kofaktorske matrica ocena (u ovom slučaju najvažnija kofaktorska matrica nep. parametara Qxˆ
vˆ TQl−1vˆ vˆT Ql−1vˆ sˆo = = −1 tragQl Qvˆ n−u
s xi = so ⋅ Qxi xi
Qx1x2 Qx 2 x 2 M Qxu x2
L Qx1xu ⎞ ⎟ L Qx2 xu ⎟ O M ⎟ ⎟ L Qxu xu ⎟⎠
Empirijska standardna devijacija jedinice težine određena iz izravnanja (a posteriori standarna devijacija obeležava se još i sa ).
σˆ o
Položajna tačnost iz izravnanja tačaka 2D mreže.
K l = sˆo2 ⋅ Qlˆ = sˆo2 ⋅ AN −1 AT = sˆo2 ⋅ A( AT Pl A) −1 AT i
⎛ Qx1x1 ⎜ ⎜ Qx2 x1 Qxˆ = ⎜ M ⎜ ⎜ Qx x ⎝ u1
Empirijska standardna devijacija nepoznatih parametara.
s pi = so ⋅ Qxi xi + Q yi yi
slˆ = so ⋅ Qlˆ lˆ
K Xˆ = sˆo2 ⋅ Q Xˆ = sˆo2 ⋅ N −1 = sˆo2 ⋅ ( AT Pl A) −1
Kovariciona matrica izravnatih merenih veličina
Empirijska standardna devijacija izravnatih merenih veličina
i i
K vˆ = sˆo2 ⋅ Qvˆ = sˆo2 ⋅ (Ql − AN −1 AT )
Kovariciona matrica popravaka
Mere kvaliteta (tačnosti) modela - Globalne mere preciznosti modela-
trK xˆxˆ = σˆ 02 ( λ1 + λ 2 + ..... + λ k ) → min det K xˆxˆ = σˆ 02 ( λ1 ⋅ λ 2 ⋅ ..... ⋅ λ k ) → min
λ max → min λ max → min λ min λ max − λ min → min λ1 ⋅ λ 2 ⋅ ..... ⋅ λ k
Mere kvaliteta (tačnosti) modela -Lokalne mere preciznosti modelaElementi apsolutnih elipsi grešaka
⎛ Qxx Qxˆ = ⎜⎜ ⎝ Qyx
(Q − λ ) Qxy ⎞ Qxy ⎟ det(Qxˆ − λ ⋅ I ) = xx =0 (Qyy − λ ) Qyy ⎟⎠ Qyx
λ2 − (Qxx + Qyy )λ + QxxQyy − Qxy2 = 0 1 ( Qxx + Qyy + k ) 2 1 λ2 = (Qxx + Qyy − k ) 2
λ1 =
Elementi elipse grešaka za verovatnoću (1-α)
A = so ⋅ λ1 = so ⋅ λ A = so ⋅
1 (Qxx + Qyy + k ) 2
B = so ⋅ λ2 = so ⋅ λB = so ⋅
1 (Qxx + Qyy − k ) 2
1 2
θ = arctg AF = so ⋅ 2 ⋅ λ A ⋅ F2, r ,1−α = A ⋅ 2 ⋅ F2, r ,1−α BF = so ⋅ 2 ⋅ λB ⋅ F2, r ,1−α = B ⋅ 2 ⋅ F2, r ,1−α 1 2
θ F = θ = arctg
2Qxy Qxx − Qyy
2Qxy Qxx − Qyy
k=
(Q
= arctg
x1x
− Q yy ) + 4Qxy2 2
xx
x1 y
Mere kvaliteta (tačnosti) modela - Mere pouzdanosti modelaPouzdanost geodetskih mreža predstavlja kvalitet predloženog rešenja mreže (geometrije i merenja) s’obzirom na mogućnost otkrivanja grubih grešaka u merenjima (unutrašnja pouzdanost) i s’obzirom na uticaj neotkrivenih grubih grešaka na ocene traženih veličina (spoljašnja pouzdanost). Kod mera pouzdanosti razlikujemo još lokalne i globalne mere pouzdanosti. Globalne mere pouzdanosti odnose se na mogućnost utvrđivanja postojanja grubih grešaka bez mogućnosti njihovog lociranja, dok su mere lokalne pouzdanosti vezane za verovatnoću otkrivanja rezultata koji odskaču.
Faktor rii kao mera lokalne unutrašnje pouzdanosti: − v = ( E − A N −1 AT Ql−1 ) ⋅ l = = (Ql − AN −1 AT ) ⋅ Ql−1 = = Qv Ql−1 ⋅ l = R ⋅ l
− υi = ri1l1 + ri 2l2 + ... + rii li + ... + rinln = ⎛ r11 r12 L r1n ⎞ ⎟ ⎜ r2 n ⎟ ⎜ r21 r22 −1 R = Qv Ql = ⎜ M O M ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜r r L r nn ⎠ ⎝ n1 n 2
⎛ l1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜l ⎟ l =⎜ 2⎟ M ⎜ ⎟ ⎜l ⎟ ⎝ n⎠
rii = Qvii Ql−1 = Qvii Pi
Faktor rii predstavlja uticaj grube greške i-tog opažanja na i-tu popravku. Iz toga sledi da je verovatnoća otkrivanja grube greške u i-tom opažanju veća ukoliko je faktor rii veći. Kod merenja kod kojih je rii manje od 0.3 smatraju se nepouzdanim.
Metode isključenja grubih grešaka Grube greške u merenjima su najčešće prouzrokovane neispravnostima instrumenata ili ličnim greškama operatera. Prilikom izravnanja merenja u mreži po metodi najmanjih kvadrata, a po modelu Gauss-Markovljeva, kao rezultat ocene dobijaju se popravke merenja koje u sebi sadrže mešavinu različitih tipova grešaka. Da bi došli do određenih saznanja o pojavi grubih grešaka neophodno je uvesti određene pretpostavke u vezi stohastičkih svojstava popravaka. U tom smislu pod rezultatom merenja koji odskače (koji je opterećen grubom greškom) tretira se popravka koja prema određenim pravilima odstupa od neke pretpostavke.
Globalna test statistika za greške matematičkog modela Test statistika
Test odluka
H 0 : E(so2 ) ≠ E(σ o2 )
T ≤ F1−α , r ,∞ → H a
H a : E(s ) = E(σ ) 2 o
T
2 o
v Pv s ~ Fr ,∞ = T= rσ o2 σ 2 o 2 o
⎛ χ ⎞ ⎜⎜ ≅ ⎟⎟ ⎝ r ⎠ 2 r
T > F1−α , r ,∞ → H 0
Metode isključenja grubih grešaka Lokalna test statistika (data-snooping) za grube greške merenih veličina Kada nije prihvaćena nulta hipoteza, neophodno je ispitati razloge njenog neprihvatanja odnosno, proveriti da li postoje grube greške, da li je uzeta odgovarajuća tačnost opažanja i odgovarajući funkcionalni model opažanja. Prvo se identifikuju eventualne grube greške u pojedinim merenim veličinama odnosno, hipoteze glasi:
Test statistika
Test odluka
H o : ∇i = 0
ωi ~ N (0, 1) / H o
H A : ∇i ≠ 0 gde je :
ωi =
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ∇ = ⎜ ∇i ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
− υi
συ
i
=
Vektor grubih grešaka u merenju
− υi − υi = σ o Qυ iυ i σ li ⋅ rii
ωi < k N ( 0, 1) → H o ωi > k N ( 0, 1) → H a
