PIA Mecanica Materiales

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Carlos Javier Chávez Blanco

1746425

IMTC

046

Jueves /V1-V3

MC. Dante Alberto Jiménez D.

............................................................................................................................. ....................................................... 1 CONCEPTOS......................................................................

Conceptos Básicos .................................................................................................... 1

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Mecánica de Materiales. .............................................................. ............................................................................................... ................................. 1

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Resistencia de Materiales. ........................................................... ............................................................................................ ................................. 1

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Fuerza. .................................................................... ........................................................................................................................... ....................................................... 1

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Área. ........................................................... .............................................................................................................................. ................................................................... 2

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Esfuerzo. ................................................................. ........................................................................................................................ ....................................................... 2

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Momento............................................................................................................... Momento......................................... .............................................................................. ........ 2



Ecuaciones de equilibrio .............................................................. ............................................................................................... ................................. 3 ....................................................................................................... 3 Fuerzas Internas ........................................................................................................





Fuerza axial ............................................................ .................................................................................................................... ........................................................ 3

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Fuerza Cortante ................................................................. ............................................................................................................. ............................................ 4

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Momento de flexión......................................................... ...................................................................................................... ............................................. 4 ................................................................................................ 4 Deformación Simple .................................................................................................

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Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación ........................................................... 5

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Modulo elástico ................................................................. ............................................................................................................. ............................................ 6

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Ley de Hooke ......................................................... ................................................................................................................. ........................................................ 7 ......................................................................................................... 7 Tipos de Cargas ..........................................................................................................

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Carga máxima ........................................................ ................................................................................................................ ........................................................ 7

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Factor de seguridad .......................................................... ....................................................................................................... ............................................. 8

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Carga permisible............................................................... ............................................................................................................ ............................................. 8 ............................................................................................................................... 9 Vigas ................................................................................................................................

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Carga puntual o concentrada. .................................................................... ....................................................................................... ................... 9

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Carga distribuida .............................................................. ........................................................................................................... ............................................. 9

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Clasificación de vigas. ................................................................... .................................................................................................. ............................... 10

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Vigas estáticamente determinadas. ...................................................................... ............................................................................ ...... 10

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Viga simplemente apoyada .......................................................... ......................................................................................... ............................... 11

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Viga con un tramo en voladizo ................................................................... .................................................................................... ................. 11

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Viga en voladizo ............................................................... .......................................................................................................... ........................................... 12

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Vigas estáticamente indeterminadas. ................................................................... ......................................................................... ...... 12

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Viga continua ......................................................... ............................................................................................................... ...................................................... 13

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Viga empotrada empotrada en en un extremo y apoyada apoyada en el otro extremo.................................. 13

............................................................................................................................. ....................................................... 1 CONCEPTOS......................................................................

Conceptos Básicos .................................................................................................... 1

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Mecánica de Materiales. .............................................................. ............................................................................................... ................................. 1

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Resistencia de Materiales. ........................................................... ............................................................................................ ................................. 1

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Fuerza. .................................................................... ........................................................................................................................... ....................................................... 1

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Área. ........................................................... .............................................................................................................................. ................................................................... 2

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Esfuerzo. ................................................................. ........................................................................................................................ ....................................................... 2

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Momento............................................................................................................... Momento......................................... .............................................................................. ........ 2

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Ecuaciones de equilibrio .............................................................. ............................................................................................... ................................. 3 ....................................................................................................... 3 Fuerzas Internas ........................................................................................................

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Fuerza axial ............................................................ .................................................................................................................... ........................................................ 3

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Fuerza Cortante ................................................................. ............................................................................................................. ............................................ 4

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Momento de flexión......................................................... ...................................................................................................... ............................................. 4 ................................................................................................ 4 Deformación Simple .................................................................................................

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Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación ........................................................... 5

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Modulo elástico ................................................................. ............................................................................................................. ............................................ 6

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Ley de Hooke ......................................................... ................................................................................................................. ........................................................ 7 ......................................................................................................... 7 Tipos de Cargas ..........................................................................................................

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Carga máxima ........................................................ ................................................................................................................ ........................................................ 7

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Factor de seguridad .......................................................... ....................................................................................................... ............................................. 8

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Carga permisible............................................................... ............................................................................................................ ............................................. 8 ............................................................................................................................... 9 Vigas ................................................................................................................................

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Carga puntual o concentrada. .................................................................... ....................................................................................... ................... 9

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Carga distribuida .............................................................. ........................................................................................................... ............................................. 9

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Clasificación de vigas. ................................................................... .................................................................................................. ............................... 10

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Vigas estáticamente determinadas. ...................................................................... ............................................................................ ...... 10

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Viga simplemente apoyada .......................................................... ......................................................................................... ............................... 11

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Viga con un tramo en voladizo ................................................................... .................................................................................... ................. 11

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Viga en voladizo ............................................................... .......................................................................................................... ........................................... 12

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Vigas estáticamente indeterminadas. ................................................................... ......................................................................... ...... 12

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Viga continua ......................................................... ............................................................................................................... ...................................................... 13

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Viga empotrada empotrada en en un extremo y apoyada apoyada en el otro extremo.................................. 13

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Viga empotrada ................................................................. ........................................................................................................... .......................................... 14

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Diagrama de Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes........................................ 15

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Curva elástica ........................................................ .............................................................................................................. ...................................................... 16



Perfil de Viga ......................................................... ............................................................................................................... ...................................................... 18



Perfil compuesto de viga. ............................................................. ............................................................................................ ............................... 18

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Perfil común de viga ......................................................... .................................................................................................... ........................................... 19



Centroide............................................................... ..................................................................................................................... ...................................................... 19

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Momento de Inercia de Área .................................................................. ...................................................................................... .................... 21



Eje Neutro ............................................................. ................................................................................................................... ...................................................... 22

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Teorema de los ejes paralelos .................................................................... ..................................................................................... ................. 23

............................................................................................................................. ................................................................. 24 OBJETIVO: ............................................................ ..................................................................................... ................. 26 REALIZACIÓN DEL PROBLEMA .................................................................... 

Análisis de Cargas ................................................................................................... 26

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Análisis de Perfil de la Viga ................................................................................ 33

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Esfuerzos de Tensión y Compresión debido a la flexión de la viga .. 37

..................................................................................................... 38 INDICE DE FIGURAS ......................................................................................................

CONCEPTOS 

Conceptos Básicos

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Mecánica de Materiales. La Mecánica de Materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata del comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a varios tipos de carga. La Mecánica de materiales involucra métodos analíticos para determinar la resistencia, la rigidez (características (características de deformación), y la estabilidad de varios miembros en un sistema estructural Fuente:

INGENIERIA Y DOCENCIA. Mecánica de materiales https://ingenieriaydocencia.wordpress.com/resistencia-de-materiales/

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Resistencia de Materiales. Entendemos como Resistencia de Materiales la parte de la Mecánica que estudia el comportamiento de los sólidos sometidos a cargas exteriores. La Resistencia de Materiales, más concretamente, estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas, sus efectos en el interior de los sólidos y las deformaciones que en ellos se producen. Fuente:

RESISTENCIA DE MATERIALES. https://ibiguridp3.wordpress.com/res/

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Fuerza. La fuerza es una magnitud vectorial que representa toda causa capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo o de producir una deformación en él. Su unidad en el Sistema Internacional es el Newton (N). Un Newton es la fuerza que al aplicarse sobre una masa de 1 Kg le provoca una aceleración una aceleración de 1 m/s2.

1

Fuente:

FISICALAB. Las fuerzas. https://www.fisicalab.com/apartado/las-fuerzas#contenidos



Área. Un área es la extensión que podría presentar una figura geométrica y la que debe ser medida. Es posible saber cuánto mide una superficie mediante una serie de fórmulas. Fuente:

CONCEPTO DEFINCION DE. Que es Área. http://conceptodefinicion.de/area/



Esfuerzo. El esfuerzo es una fuerza que actúa sobre el área unitaria en la que se aplica, existen esfuerzos de tensión, flexión, compresión y cortantes. Fuente:

CONCEPTO DEFINCION DE. Que es Esfuerzo. http://conceptodefinicion.de/efuerzo/

Fig. 1 Esfuerzo

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Momento La propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto.

Fig. 2 Llave generando un Momento

Fuente:

Beer, F., & Johnston, E. (1981). Mechanics of materials .

New York: McGraw-Hill.

2

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Ecuaciones de equilibrio Estas ecuaciones se resuelven para determinar las fuerzas desconocidas, de las que pueden calcularse los esfuerzos y deformaciones requeridas. Fuente:


New York: McGraw-Hill. 

Fuerzas Internas Estas fuerzas internas serán la resultante de esfuerzos distribuidos en la sección trasversal (tensiones) y se introducen para caracterizar la ley de distribución de las fuerzas internas en la sección transversal, como una medida de la intensidad de las fuerzas internas. Fuente:

Fig. 3 Fuerzas internas



EcuRed. Resistencia de materiales. https://www.ecured.cu/Resistencia_de_materiales

Fuerza axial Esta fuerza actúa perpendicularmente al área. Se desarrolla siempre que las cargas externas tienden a empujar o jalar sobre los dos segmentos del cuerpo. Fuente:

mecánica de materiales. http://carolupegg.blogspot.mx/

Fig. 4 Fuerza Normal

3



Fuerza Cortante Se encuentra en el plano del área y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos segmentos del cuerpo se deslicen uno sobre el otro.

Fig. 5 Figura con esfuerzo cortante aplicado

Fuente:


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Momento de flexión Se denomina momento flector(o también "flexor"), o momento de flexión, a un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. Es una solicitación típica en vigas y pilares y también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. Fuente:

Momento Flexión.

Fig. 6 Flexión en una viga

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https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flector

Deformación Simple Se puede definir como la relación existente entre la deformación total y la longitud inicial del elemento, la cual permitirá determinar la deformación del elemento sometido a esfuerzos de tensión o compresión axial.

4

Fuente:


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Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación

Fig. 7 Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación

a) Límite de proporcionalidad: Se observa que va desde el origen O hasta el punto llamado límite de proporcionalidad, es un segmento de recta rectilíneo, de donde se deduce la tan conocida relación de proporcionalidad entre la tensión y la deformación enunciada en el año 1678 por Robert Hooke. Cabe resaltar que, más allá la deformación deja de ser proporcional a la tensión. b) Limite de elasticidad o limite elástico: Es la tensión más allá del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una deformación residual llamada de formación permanente. c) Punto de fluencia: Es aquel donde en el aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin el 5

correspondiente aumento de carga que, incluso, puede disminuir mientras dura la fluencia. Sin embargo, el fenómeno de la fluencia es característico del acero al carbono, mientras que hay otros tipos de aceros, aleaciones y otros metales y materiales diversos, en los que no manifiesta. d) Esfuerzo máximo: Es la máxima ordenada en la curva esfuerzodeformación. e) Esfuerzo de Rotura: Verdadero esfuerzo generado en un material durante la rotura. Fuente:

Diagrama esfuerzo deformación. http://mecatronica4b.blogspot.mx/2011/11/diagrama-esfuerzo-deformacion- unitaria.html

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Modulo elástico El módulo de elasticidad (E), también llamado módulo de Young, es un parámetro característico de cada material que indica la relación existente (en la zona de comportamiento elástico de dicho material) entre los incrementos de tensión aplicados (ds) en el ensayo de tracción y los incrementos de deformación longitudinal unitaria (de) producidos.

Fig. 8 Grafica de esfuerzo vs deformación (E= Modulo de Young)

6

Fuente:

Diagrama esfuerzo deformación. http://mecatronica4b.blogspot.mx/2011/11/diagrama-esfuerzo-deformacion- unitaria.html

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Ley de Hooke La ley de Hooke establece que en un material elástico sometido a una única fuerza en una dirección, la deformación longitudinal unitaria (ε) en dicha dirección es proporcional a la tensión aplicada (σ) resultante de dicha fuerza: El coeficiente de proporcionalidad es el módulo de elasticidad del material. La ley de Hooke debe su nombre a Robert Hooke que observó la proporcionalidad entre la fuerza F aplicada sobre un cuerpo elástico y su deformación DL, dando origen al desarrollo de los resortes helicoidales: Fuente:

Diagrama esfuerzo deformación. http://www.mecapedia.uji.es/ley_de_Hooke.htm

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Tipos de Cargas

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Carga máxima Carga que causa la fractura en un ensayo de tracción, compresión, flexión o torsión. En los ensayos de tracción de materiales de láminas finas o de materiales en forma de alambre de pequeño diámetro es difícil distinguir entre la carga de rotura y la carga máxima desarrollada, por tanto, esta última es la que se considera carga de rotura. Fuente:

Carga Máxima. http://www.construmatica.com/construpedia/Carga_de_Rotura

7

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Factor de seguridad Si se tiene que evitar una falla estructural, las cargas que una estructura es capaz de soportar deben ser mayores que las cargas a las que se va a someter cuando este en servicio. Como la Resistencia es la capacidad de una estructura para resistir cargas, el criterio anterior se puede replantear como sigue: la resistencia real de una estructura debe ser mayor que la resistencia requerida. La relación de la resistencia real entre la resistencia requerida se llama factor de seguridad.

Fuente:

Factor de Seguridad y Esfuerzo admisible. https://www.academia.edu/23012894/FACTOR_DE_SEGURIDAD_Y_ESFUERZO_DE_DI SE%C3%91O_PERMISIBLE_ESFUERZO_DE_TRABAJO

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Carga permisible La carga admisible (llamada también carga permisible o carga segura) es igual al esfuerzo admisible por el área sobre la que actúa. Para barras de tensión y comprensión directas (sin pandeo), esta ecuación se transforma en Siendo el esfuerzo normal admisible y A la sección transversal de la barra. Sila barra tiene un orificio que la atraviese, el área neta se usa en el caso normal, cuando la barra está en tensión. El área neta es el área transversal bruta o total, menos el área eliminada por el orificio. Para la comprensión se puede usar el área bruta si el orificio se ocupa con un tornillo o pasador que pueda transmitir los esfuerzos de comprensión. Fuente:

Factor de Seguridad y Esfuerzo admisible. https://www.academia.edu/23012894/FACTOR_DE_SEGURIDAD_Y_ESFUERZO_DE_DI SE%C3%91O_PERMISIBLE_ESFUERZO_DE_TRABAJO

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Vigas Una viga es una serie de miembros estructurales que se extienden desde el borde hasta el perímetro, diseñada para soportar la cubierta del techo o el tipo de carga, asociados con los elementos que componen el techo de un edificio. Fuente:

ARQUITECTURA ¿Qué es viga? http://www.arqhys.com/construccion/queesviga.html

Fig. 9 Ejemplo de Viga

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Carga puntual o concentrada. La carga transversal de una viga puede consistir en cargas concentradas P1, P2,..., expresadas en newtons, libras o sus múltiplos, kilonewtons y kips (figura 10)

Fig. 10 Ejemplo de cargas concentradas

Fuente:



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Carga distribuida

Fig. 11 Ejemplo de una carga distribuida

w, expresada en N/m, kN/m, lb/ft o kips/ft (figura 11), o una combinación de ambas. Cuando la carga w por unidad de longitud tiene un valor constante a lo largo de parte de la viga (como entre A y 9

B en la figura 11), se dice que la carga está uniformemente distribuida en dicha parte de la viga. Fuente:



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Clasificación de vigas. Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la que se encuentran apoyadas. Varios tipos de vigas utilizadas con frecuencia se presentan en la figura 12.

Fig. 12 Clasificación de Vigas

Fuente:



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Vigas estáticamente determinadas. Note que las reacciones en los soportes de las vigas en las partes a, b y c de la figura 13 involucran un total de sólo tres incógnitas y, por lo tanto, pueden determinarse empleando métodos estáticos. Tales vigas se conocen como estáticamente determinadas 10

Fig. 13 Vigas estáticamente determinadas

Fuente:



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Viga simplemente apoyada Viga que esta soportada por apoyos simples en los extremos y que permiten el libre movimiento de dilatación y flexión.

Fig. 14 Viga simplemente apoyada Fuente:

Beer, F., & Johnston, E. (1981). Mechanics of materials . New York: McGraw-Hill.

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Viga con un tramo en voladizo Viga apoyada con un extremo en voladizo, que permite reducir el momento positivo en el centro del tramo, mientras que en el extremo se desarrolla un momento negativo.

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Fig. 15 Viga con un tramo en voladizo Fuente:



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Viga en voladizo Viga en la que uno de sus extremos se encuentra empotrado mientras que el otro se encuentra libre o en voladizo.

Fig. 16 Viga en voladizo Fuente:


New York: McGraw-Hill

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Vigas estáticamente indeterminadas. Las propiedades de las vigas con respecto a su resistencia a las deformaciones deben tomarse en cuenta. Tales vigas se denominan estáticamente indeterminadas

Fig. 17 Vigas estáticamente indeterminadas

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Fuente:



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Viga continua Viga soportada por dos o más apoyos para lograr una mayor rigidez, de modo que se puede calcular el efecto que una carga tendría sobre vigas individuales de iguales luces.

Fig. 18 Viga continua Fuente:



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Viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro extremo Las vigas apoyadas en un extremo y empotradas en el otro son vigas hiperestáticas, ya que con las ecuaciones de equilibrio no se pueden determinar las reacciones en los enlaces, siendo 3 el número de incógnitas, dos en el empotramiento y una en el apoyo. Se trata de un sistema hiperestático de primer grado (3 incógnitas- 2 ecuaciones de equilibrio=1er grado).

Fuente:


Fig. 19 Viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro extremo


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Viga empotrada Las vigas empotradas son vigas hiperestáticas, de 4 incógnitas, dos en cada empotramiento. Por tanto, es un sistema hiperestático de segundo grado, son cuatro incógnitas y dos ecuaciones de equilibrio. Por tratarse de estructuras hiperestáticas, además de utilizar las ecuaciones de equilibrio, se han de considerar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. Los métodos para calcular las vigas empotradas también son los mismos que en las vigas articuladas y empotradas. El formulario se ha realizado aplicando el método basado en los teoremas de Mohr, y el método de superposición

Fig. 20 Viga empotrada

Fuente:



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Claro. La distancia L mostrada en distintas partes de la figura 15 se denomina el claro.

Fig. 21 Claro de la Viga Fuente:



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Diagrama de Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes Primero se obtienen las reacciones en los soportes a partir del diagrama de cuerpo libre de la viga entera (figura 22); se encuentra que la magnitud de cada reacción es igual a P/2.

Fig. 22 Reacciones de la viga

A continuación, se corta la viga en un punto D entre A y C y se dibujan los diagramas de cuerpo libre de AD y de DB (figura 23). Suponiendo que el corte y el momento flector son positivos, se dirigen las fuerzas internas V y Vy los pares internos M y M´ como se indica en la figura 22. Considerando el cuerpo libre AD y escribiendo que la suma de las componentes verticales y que la suma de momentos alrededor de D de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son cero, se encuentra que V =+P/2 y que M=+Px/2. Tanto el cortante como el momento flector son, por lo tanto, positivos. Esto puede verificarse observando que la reacción en A tiende a cortar y a flexionar la viga en D como se indica en las figuras 23 y c. Ahora se grafican V y M entre A y C (figuras 25 y e); el cortante tiene un valor constante V = P/2 mientras que el momento flector aumenta linealmente desde M = 0 en x = 0 hasta M = PL/4 en x = L/2.

Fig. 23 Viga cortada

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Cortando ahora la viga en el punto E entre C y B y considerando el diagrama de cuerpo libre EB (figura 5.9c) se escribe que la suma de los componentes verticales y la suma de los momentos con respecto a E actuando en el cuerpo libre son cero. Se obtiene V =P/2 y M= P(L - x)/2. El cortante es, por lo tanto, negativo y el momento flector, positivo. Esto puede verificarse observando que la reacción en B flexiona a la viga en E como se indica en la figura 24 pero que tiende a cortarla en una manera opuesta a la mostrada en la figura 23. Ahora es posible completar los diagramas de cortante y de momento flector de las figuras 25 y e; el corte tiene un valor constante V =- P/2 entre C y B, mientras que el momento flector disminuye linealmente desde M = PL/4 en x = L/2 hasta M = 0 en x = L.

Fig. 24 Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos Fuente:


New York: McGraw-Hill. 

Curva elástica La curva elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano x, y sobre la viga. La curva de corte es, por tanto, una recta oblicua que cruza el eje x en x =L/2 (figura 25). Considerando, ahora, el momento flector, primero se observa que MA =

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0. El valor M del momento flector a cualquier distancia x desde A puede obtenerse de la ecuación, se tiene la curva del momento flector es una parábola. El máximo valor del momento flector que ocurre cuando x =L/2, ya que V (y por tanto dM/dx) es cero para tal valor de x. Sustituyendo x =L/2 en la última ecuación, se obtiene Mmáx = wL2/8

Fig. 25 Diagrama de fuerzas cortantes y diagrama de momentos de fuerza

En la mayoría de las aplicaciones ingenieriles, se necesita saber el valor del momento flector sólo en unos cuantos puntos específicos. Una vez que se ha dibujado el diagrama de cortante, y después de que ha sido determinando M en uno de los extremos de la viga, el valor del momento flector puede obtenerse en cualquier punto dado calculando el área bajo la curva de cortante y utilizando la ecuación. Fuente:

Beer, F., & Johnston, E. (1981). Mechanics of materials . New York: McGraw-Hill.

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Perfil de Viga Los perfiles estructurales o vigas son un tipo de productos que se crean por laminación en caliente de acero. El tipo del perfil que vaya a tener la viga de acero, así como sus cualidades, son determinantes a la hora de elegirlos para su aplicación y uso en la ingeniería y la arquitectura. Entre sus propiedades clave destacan su forma o perfil, su peso, sus particularidades y la composición química del material con que está hecho y su longitud. Fig. 26 Ejemplo de perfiles de vigas

Fuente:

Perfiles de Viga. http://ferroslapobla.com/tipos-de-perfiles-estructurales-o-vigas/

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Perfil compuesto de viga. Los perfiles estructurales de hierro son perfectos cuando se va a generar una tensión alta debida a grandes cargas y, por tanto, se necesita un material con rigidez en su capacidad de carga, pero, a su vez, con cierta flexibilidad. Se utilizan no solo en vigas, también en pilares, paneles prefabricados y forjados

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Fig. 27 Perfiles de Viga Compuesto Fuente:

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Perfil común de viga En estas vigas su perfil se conforma solamente de una figa geometríca ya sea cuadrado, circular, triangular o inclusive la mitad de dichas figuras para su uso requerido.

Fig. 28 Perfiles de viga común Fuente:


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Centroide El Centroide es una palabra que pertenece a la familia centro. En la mecánica racional es la coordenada de un punto que pertenece a una figura. Al igual que el centro, el centroide tiene coordenadas de acuerdo con la posición que ocupe en el espacio. Existen centroides de línea, de área y de volumen.

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FIGURA

CARACTERÍSTICAS Área = 1/2 b*h Coordenadas centroidales a partir del ángulo 90º X = b/3 Y = h/3

Área = b*h Coordenadas centroidales a partir del ángulo 90º X = b/2 Y = b/2

Área = PI*R2 Coordenadas centroidales X=R Y=R

Área = (1/2) * PI*R2 Coordenadas Centroidales X=R Y = (4/3)*(R/PI)

Área = (1/4) * PI*R2 Coordenadas Centroidales a partir del ángulo 90º

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X = (4/3)*(R/PI) Y = (4/3)*(R/PI)

Fig. 29 Tabla de figuras geométricas comunes con su centroide

Fuente:

Centroide. http://larryherreracentroide.blogspot.mx/ 

Momento de Inercia de Área

El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Tomando en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la suma de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el cuadrado de su distancia al eje. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor Fig. 30 Tabla de Momentos de Inercia en escalar del momento diferentes perfiles

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angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del eje de rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del cuerpo. Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia,dependiendo de dónde se considere el eje de rotación. Mientras más masa está más alejada del eje de rotación, mayor esel momento de inercia. El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 , m4 , pulg4. Fuente:

Momento de Inercia. http://larryherreracentroide.blogspot.mx/

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Eje Neutro Es la línea horizontal (eje x) que pasa por el centroide de alguna figura geométrica o figura compuesta.

Fig. 31 Eje neutro de una viga con perfil cuadrado Fuente:

Momento de Inercia. http://larryherreracentroide.blogspot.mx/

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Teorema de los ejes paralelos El Teorema de Steiner nos va a permitir calcular momentos/productos de inercia con respecto a unos ejes a partir de los momentos/productos de inercia respecto a los ejes que pasan por el centro geométrico. Si se conoce el momento de inercia de una superficie respecto de un eje que pasa por el centro geométrico de la figura, , se puede hallar el momento de inercia respecto a otro eje que sea paralelo al anterior, , sumando al primer momento de inercia el producto de la superficie, , por el cuadrado de la distancia existente entre los dos ejes, . Es decir que para los momentos y producto con respecto a los ejes e tenemos:

Fig. 32 Representación gráfica de Teorema de Steiner

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OBJETIVO: En el presente PIA de la correspondida clase de Mecánica de Materiales, se presentará el siguiente problema a analizar el cual trata de una viga con una carga distribuida que cuenta con las siguientes características: Como observamos en la figura a analizar, la viga es una viga con un tramo en voladizo, la cual cuenta con un claro de 8 m, presenta una reacción de apoyo a 0m y otra segunda reacción de apoyo a 6m la cuales deberemos de obtener para el sistema de ecuaciones de equilibrio. También cuenta con una carga distribuida de 400 N/m ubicada 1m después del inicio de la viga midiendo esta carga distribuida es de 3m. Al final de la viga cuenta con una carga puntual de 600 N ubicado a 8m.

Fig. 33 Viga propuesta a analizar

Esta misma viga también se analizará su perfil, el cual es un perfil compuesto formado de la siguiente manera:

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Fig. 34 Perfil de viga a analizar

En este perfil observamos es un perfil compuesto, de manera que se observan dos rectángulos, el objetivo también será obtener su centroide realizando las operaciones debidas y también su momento de Inercia generado en el eje neutro de la viga. Por último se obtendrán los diferentes esfuerzos de compresión y tensión debido a la flexión de la viga mediante sus respectivas formulas.

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REALIZACIÓN DEL PROBLEMA 

Análisis de Cargas Primeramente, retomamos los datos principales de la viga los cuales son: en la figura a analizar, la viga es una viga con un tramo en voladizo, la cual cuenta con un claro de 8 m, presenta una reacción de apoyo a 0m y otra segunda reacción de apoyo a 6m la cuales deberemos de obtener para el sistema de ecuaciones de equilibrio. También cuenta con una carga distribuida de 400 N/m ubicada 1m después del inicio de la viga midiendo esta carga distribuida es de 3m. Al final de la viga cuenta con una carga puntual de 600 N ubicado a 8m. Teniendo los datos importantes de la viga procedemos a obtener su sistema de ecuaciones de equilibrio en el cual obtendremos las dos reacciones faltantes. Fig. 35 (Rep. fig. 33 Viga a analizar )

Como vemos la viga cuenta con una carga distribuida, esta carga distribuida se tendrá que transforma en una carga puntual para poder realizar el sistema de ecuaciones. Para hacerlo tenemos que ubicar esa carga puntual a la mitad de la carga distribuida, en este caso estaría ubica a 2.5m.

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Teniendo ahora si la carga puntual, pondremos el valor de esta carga puntual el cual se obtiene sacando el área de la carga distribuida el cual seria la multiplicación de base (3m) por el valor de la carga distribuida (400N/m) el cual tendría un valor de 1200N.

Fig. 36 Viga con carga puntual de la carga distribuida

Procedemos a obtener las reacciones faltantes por medio del sistema de ecuaciones de equilibrio.

Fig. 37 Obtención de las reacciones

Realizando las sumatorias de fuerzas en los puntos podemos obtener la reacción 1 y 2 donde R1=1300N y R2=500N Después colocamos las reacciones, cargas puntuales e inicio y fin de la viga con puntos representando cada uno una letra, empezando de izquierda a derecha del claro.

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Fig. 38 Viga con puntos seleccionados

Procedemos ahora a obtener el diagrama de fuerzas cortantes (DFC). Para esto tenemos que graficar las fuerzas cortantes que se presentan, esto quiere decir, graficar debajo de la viga presentada haciendo líneas rectas basándonos en los puntos realizados donde se encuentran todos las reacciones y cargas puntuales, de la siguiente manera:

Fig. 39 Diagrama de Fuerzas Cortantes de la viga

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Para poder comprobar que los datos obtenidos en la grafica estén correctos se procede a realizar los siguientes cálculos, que son la obtención de cada área que se presentan en la grafica, en pocas, palabra la obtención del área de cada una de las figuras que se forman en esa grafica, la multiplicación de la base (m) por la altura (N). Quedaria de la siguiente manera:

Fig. 40 Comprobación de resultados

Como vimos los resultados fueron similares en los dos casos. Despues obtendremos el diagrama de Momentos de Fuerza, en este caso seria algo similar, la diferencia es que aquí se graficaran la suma de las áreas obtenidas en la grafica de esfuerzos cortante, quedando de la siguiente manera:

Fig. 41 Diagrama de Momentos de Fuerza de la viga

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Como podemos ver, la parte curva es la sección de la parte lineal en la grafica de esfuerzo cortantes porque cuanta con la carga distribuida, y gráficamente tiene ese efecto. La parte donde se Inter secciona la grafica con el eje x quiere decir que en esa parte no hay momento. Este método también tiene una comprobación la cual es sacar todos los Momentos en cada punto y observar si son los mismos resultados obtenidos en la grafica:

Fig. 42 Obtención de los momentos en cada punto

Se puede observar en la figura que los momentos se realizaron para el lado que mas convenga ya sea izquierda o derecha para evitar realizar mas operaciones. El punto F es donde el M=0 tambien se toma en cuenta como un ponto ya que es donde se divide la curva elástica presentada. Las operaciones realizadas obtuvieron resultados iguales al de la grafica realizada. Por ultima para terminar el Analisis de las cargas, se realiza una representación de la curva elástica que tendría esta viga de la siguiente manera:

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Fig. 43 Representación de la curva elástica

Como vemos y se menciono anteriormente, en la parte del punto F donde el M=0 es donde se hace la división dela curva, una de manera hacia arriba y la otra de manera hacia abajo. Para saber de que forma se doblara la viga nos basamos en la grafica de DMF en el cual la parte de la grafica con área posistiva en la curva elastica toma forma de U, y en la parte del área negativa de la grafica de momentos de fuerza, la curva toma forma de u invertida, quedando de la forma presentada. El análisis completo de las cargas se mostraría de la siguiente forma:

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De esta forma es la manera mas sencilla de analizar las cargas en una viga, mediante las realización de estas graficas como asi mismo el comprobar que los resultados sena correctos mediante el calculo de los mismos.

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

Análisis de Perfil de la Viga Como ya vimos el análisis de las cargas en la viga, procedemos a hacer el análisis del perfil, el cual como mencionamos en el objetivo, es un perfil compuesto formado de la siguiente manera:

Fig. 44 (Fig.34 Repetida)

En este perfil observamos es un perfil compuesto, de manera que se observan dos rectángulos, el objetivo también será obtener su centroide realizando las operaciones debidas y también su momento de Inercia generado en el eje neutro de la viga. Para realizar el análisis, primero debemos de obtener el centroide de dicho perfil. Para realizar el centroide del perfil debemos obtener el centroide de cada perfil común conformado del perfil compuesto, en este caso los dos rectángulos, primeramente debemos trazar un eje cartesiano (x,y) en la parte izquierda inferior del perfil de la viga, ese eje seria nuestra referencia para poder obtener las

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cordenadas del centroide de cada perfil común, asi de la siguiente forma:

Fig. 45 Perfil de viga con centroides de cada rectángulo

La obtención de las coordenadas de cada figura es en base al inicio del eje cartesiano las cuales son:

Después proseguimos a sacar el área de cada rectángulo basándonos en la figura presentada:

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Teniendo las áreas de cada uno de los rectángulos podemos obtener el centroide de todo el perfil mediante la formula que se presentara a continuación, siendo Xt la coordenada x del centroide y Yt la coordenada y del centroide:

Se continua representando el centroide en el perfil y justo en el centroide trazar una línea horizontal que divida el perfil, el cual seria el Eje Neutro, en el cual se calculara la Inercia que presenta.

Fig. 46 Análisis del centroide del perfil

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Para continuar analizando el perfil de a viga, se realiza la obtención del momento de inercia en el eje neutro ya teniendo todos los datos necesarios. Se utiliza la siguiente ecuación:

Como resultado tenemos que la Inercia en el Eje Neutral es de 141,440,000mm^4 Y así es como se realiza un análisis completo de un perfil de una viga Compuesta, este método aplica para cualquiera de esos perfiles.

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

Esfuerzos de Tensión y Compresión debido a la flexión de la viga La viga, como mencionamos, sufre una deformación elastica como se represento en la curva elastica. Esta viga presenta diferentes esfuerzos dependiendo de la forma que se aplique, en este caso obtendremos el valor del esfuerzo de tenision y compresión a dos formas. La viga se someterá a compresión y obtendremos el esfuerzo a compresión y el esfuerzo a tensión debido a la flexión que sufre, y de igual forma pero la viga sometida a tensión. De esta manera se realizan los cálculos para poder sacar los esfuerzos, estando la viga a tensión y compresión:

+

σ

σ

=

=

(1.210 6 )(190) 141,440,000 

(1.210 6 )(90) 141,440,000 

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=1.61Nm

=0.76Nm

INDICE DE FIGURAS Fig. 1 Esfuerzo ............................................................................................................................... 2 Fig. 2 Llave generando un Momento ............................................................................................ 2 Fig. 3 Fuerzas internas ................................................................................................................... 3 Fig. 4 Fuerza Normal ..................................................................................................................... 3 Fig. 5 Figura con esfuerzo cortante aplicado ................................................................................ 4 Fig. 6 Flexión en una viga .............................................................................................................. 4 Fig. 7 Zonas de la gráfica de esfuerzo vs deformación.................................................................. 5 Fig. 8 Grafica de esfuerzo vs deformación (E= Modulo de Young) ............................................... 6 Fig. 9 Ejemplo de Viga ................................................................................................................... 9 Fig. 10 Ejemplo de cargas concentradas ....................................................................................... 9 Fig. 11 Ejemplo de una carga distribuida ...................................................................................... 9 Fig. 12 Clasificación de Vigas ....................................................................................................... 10 Fig. 13 Vigas estáticamente determinadas ................................................................................. 11 Fig. 14 Viga simplemente apoyada ............................................................................................. 11 Fig. 15 Viga con un tramo en voladizo ........................................................................................ 12 Fig. 16 Viga en voladizo ............................................................................................................... 12 Fig. 17 Vigas estáticamente indeterminadas .............................................................................. 12 Fig. 18 Viga continua ................................................................................................................... 13 Fig. 19 Viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro extremo ................ 13 Fig. 20 Viga empotrada ............................................................................................................... 14 Fig. 21 Claro de la Viga ................................................................................................................ 14 Fig. 22 Reacciones de la viga ....................................................................................................... 15 Fig. 23 Viga cortada ..................................................................................................................... 15 Fig. 24 Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos ............................................................ 16 Fig. 25 Diagrama de fuerzas cortantes y diagrama de momentos de fuerza.............................. 17 Fig. 26 Ejemplo de perfiles de vigas ............................................................................................ 18 Fig. 27 Perfiles de Viga Compuesto ............................................................................................. 19 Fig. 28 Perfiles de viga común ..................................................................................................... 19 Fig. 29 Tabla de figuras geométricas comunes con su centroide ............................................... 21 Fig. 30 Tabla de Momentos de Inercia en diferentes perfiles ..................................................... 21 Fig. 31 Eje neutro de una viga con perfil cuadrado ..................................................................... 22 Fig. 32 Representación gráfica de Teorema de Steiner .............................................................. 23 Fig. 33 Viga propuesta a analizar ................................................................................................ 24 Fig. 34 Perfil de viga a analizar .................................................................................................... 25 Fig. 35 (Rep. fig. 33 Viga a analizar)............................................................................................. 26 Fig. 36 Viga con carga puntual de la carga distribuida ................................................................ 27 Fig. 37 Obtención de las reacciones ............................................................................................ 27 Fig. 38 Viga con puntos seleccionados ........................................................................................ 28 Fig. 39 Diagrama de Fuerzas Cortantes de la viga ....................................................................... 28 Fig. 40 Comprobación de resultados........................................................................................... 29 Fig. 41 Diagrama de Momentos de Fuerza de la viga ................................................................. 29 Fig. 42 Obtención de los momentos en cada punto ................................................................... 30 Fig. 43 Representación de la curva elástica ................................................................................ 31 Fig. 44 (Fig.34 Repetida) .............................................................................................................. 33 Fig. 45 Perfil de viga con centroides de cada rectángulo ............................................................ 34

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