II. PHƯƠ NG NG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1. Phươ ng ng trình tách biến (hay biến phân ly) a) Là phươ ng ng trình vi phân có d ạng : f 1(x) + f 2(y).y’ = 0 hay f 1(x)dx + f 2(y)dy = 0 (1) b) Cách gi ải : Lấy tích phân phươ ng ng trình (1) thì có : hay 2 Thí dụ 1 : Giải phươ ng ng trình vi phân : y ‘ = ( 1 + y ). ex
Phươ ng ng trình đượ c đưa về dạng :
c) Lưu ý: Phươ ng ng trình : f 1(x) g1(y) dx + f 2(x) g2(y). dy = 0 (2) Nếu g1(y)f 2(x) ≠ 0 thì có th ể đưa phươ ng ng trình trên về dạng phươ ng ng trình tách biến bằng cách chia 2 v ế cho g1(y)g2(x) ta đượ c :
(3) Nếu g1(y) = 0 thì y = b là nghi ệm của (2). Nếu f 2(x) = 0 thì x = a là nghiệm của (2). Các nghi ệm đặc biệt này không ch ứa trong nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình (3) 2 2 Thí dụ 2: Giải phươ ng ng trình vi phân: (y - 1) dx - ( x + 1) y dy = 0 2
Vớ i y - 1 ≠ 0 ta có :
Ngoài nghiệm tổng quát này ta nh ận thấy còn có 2 nghi ệm: y =1 và y = -1
2. Phươ ng ng trình đẳng cấp cấp 1
ng trình vi phân có d ạng : a). Là phươ ng
(4)
Từ (4) có : y = xu --> y’ = u + xu’. Thế vào (4) có: u + xu’ = f(u) có thể đưa về dạng phươ ng ng trình tách bi ến :
(5) ng trình (5) ta nh ận đượ c nghi ệm tổng quát khi f(u) – u ≠ 0. Nếu Lư u ý: Khi giải phươ ng f(u) – u = 0 tại u = a thì có thêm nghi ệm y = ax.
Thí dụ 3: Giải phươ ng ng trình vi phân: Đặt y = xu, ta có phươ ng ng trình :
Ngoài ra do f(u) = u ⇔ tg u = 0 ⇔ u = k π x, nên ta còn có thêm các nghi ệm : y = k π x, vớ i k= 0, ± 1, ± 2, …….
ng trình vi phân: Thí dụ 4: Giải phươ ng 2
Chia cả tử và mẫu của vế phải cho x ta đượ c :
Đặt y = xu ta có: Lấy tích phân ta có :
thế
, ta đượ c :
Vớ i điều kiện đầu : x = 1, y = 1, ta
ng trình: b). Chú ý: phươ ng
đượ c nghiệm riêng: x3 + 3xy2 = 4
(6)
có thể đưa về dạng phươ ng ng trình đẳng cấp như sau: b1) Nếu 2 đườ ng ng thẳng a1x + b1y + c1 = 0 , và a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau t ại (x1, y1), thì đặt X = x - x 1, Y = y - y1 , thì phươ ng ng trình (6) đượ c đưa về dạng :
b2) Nếu 2 đườ ng ng thẳng a1x + b1y + c1 = 0 , và a2x + b2y + c2 = 0 song song nhau, khi đó có :
nên phươ ng ng trình (6)
đượ c đưa về dạng :
(7) khi đó đặt u =
,
phươ ng ng trình (7) tr ở thành thành phươ ng ng trình tách bi ến.
Thí dụ 5: Giải phươ ng ng trình vi phân :
Giải hệ phươ ng ng trình : ta có : x1=1, y1=2
Đặt X = x - 1, Y = y - 2 , thì t hì có :
Đặt u =
, ta có :
2
2
hay là: x + 2xy – y + 2x + 6y = C
3. Phươ ng ng trình vi phân toàn phần a). Là phươ ng ng trình vi phân có d ạng :
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
(8)
Nếu vế trái là vi phân toàn ph ần của một hàm số U(x,y), ngh ĩ a là : dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy
(theo chươ ng ng 3, IV.1., thì điều kiện cần và đủ là:
)
Khi đó từ (8) , (9) ta có : dU(x,y) = 0 Vì thế nếu y(x) là nghi ệm của (8) thì do dU(x,y(x)) = 0 cho ta :U(x,y(x)) = C (9) Ngượ c lại nếu hàm y(x) thỏa (9) thì bằng cách l ấy đạo hàm (9) ta có (8). Như vậy U(x,y) = C là nghi ệm của phươ ng ng trình (8)
b). Cách giải thứ nhất :
Giả sử P, Q trong (8) th ỏa
, ta có U thỏa:
dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy
Lấy tích phân bi ểu thức
, thì do y đượ c xem là h ằng số nên ta có : (10)
trong đó C(y) là hàm b ất k theo biến y. Lấy đạo hàm biểu thức (10) theo biến y và do
, ta đượ c :
từ phươ ng ng trình vi phân này tìm C(y)
2 2 Thí dụ 6: Giải phươ ng ng trình: (x + y ) dx + (2xy + cos y) dy = 0
Ta có:
, vậy s! có hàm U(x,y) thỏa:
Lấy tích phân hệ thức thứ nhất theo x, ta có:
Lấy đạo hàm biểu thức này theo y, và nh ớ = 2xy + cos y
thì có : 2yx + C’(y)
C’(y) = cos y C(y) = sin y + C
Vậy có nghiệm của phươ ng trình là:
c). Cách giải thứ hai (dùng tích phân đườ ng ng loại 2): Vì dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy
(theo theo ch ươ ng ng 3, IV.1., thì điều kiện cần và đủ là :
Nên :
)
(11)
Thí dụ 7: 2
Giải phươ ng ng trình: (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0
Ta có :
, vậy s! có hàm U(x,y) thỏa:
Sử d"ng công th ức (10) (vớ i xo = 0, yo=0), có :
Vậy ta có nghi ệm của phươ ng ng trình vi phân :
4. Phươ ng ng trình vi phân tuyến tính cấp một a). Là phươ ng ng trình vi phân có d ạng: y’ + p(x) y = f(x) (11) trong đó p(x), f(x) là các hàm liên t "c. Nếu f(x)=0, ta có: y’ + p(x) y = 0 (12) Phươ ng ng trình (12) g #i là phươ ng ng trình tuyến tính thuần nhất.
b). Cách giải:
Vớ i phươ ng ng trình (12), có
(13)
Vớ i phươ ng ng trình (11), có th ể giải bằng phươ ng ng pháp bi ến thiên hằng số tức là tìm nghiệm của nó ở d dạng (13) nh ưng coi C là hàm số, dạng : (14) Lấy đạo hàm (14), thay vào (11), có :
hay : từ đó , có: Vậy :
(15)
Công thức (15) nói chung khó nh ớ , nên tốt nhất là cần nhớ các các bướ c tính toán c ủa phươ ng ng pháp bi ến thiên h ằng số để lặp lại.
Thí dụ 8: Giải phươ ng ng trình: y’ – y.cotg x = 2x.sinx Phươ ng ng trình thuần nhất có nghi ệm: Tìm nghiệm phươ ng ng trình không thu ần nhất ở d dạng: y = C(x). sin x Thế vào ph ươ ng ng trình ban
đầu, ta đượ c :
C’(x) sin x + C(x) cos x – C(x) cos x = 2x sin x 2
C’(x) = 2x C(x) = x + C
2
Vậy : y = x sin x + C sin x 2 Thí dụ 9: Giải phươ ng ng trình: xy’ – 3y = x
Đưa về dạng chu$n : Nghiệm tổng quát phươ ng ng trình thuần nhất :
3
Tìm nghiệm ở d dạng y = C(x) x . Thế vào phươ ng ng trình ban 2 2 3C(x) x – 3C(x) x = x
đầu ta có : C’(x)x 3 +
Vậy :
Chú ý: Nếu coi x là hàm s ố theo biến y thì ph ươ ng ng trình tuyến tính đối vớ i hàm số x có dạng :
Thí dụ 10: Giải phươ ng ng trình: Phươ ng ng trình này không tuy ến tính. Tuy nhiên n ếu coi x là hàm, y là bi ến ta có :
Đây lại là phươ ng ng trình vi phân tuy ến tính đối vớ i hàm x. Nghi ệm tổng quát của phươ ng ng trình thu ần nhất có dạng :
Tìm nghiệm của phươ ng ng trình không thu ần nhất dạng : phươ ng ng trình ban đầu, có :
,
đưa vào
Vậy : x = C esiny – 2siny – 2
5. Phươ ng ng trình Bernoulli ng trình vi phân có d ạng : y’ + p(x) y = f(x) y α , α ≠ 1 (16) a). Là phươ ng
b). Cách giải : Đưa về dạng : y-α y’ + p(x) y1-α = f(x) Đặt z = y1-α , ta đượ c z’ = (1-α ) y-α y’, nên ph ươ ng ng trình (16) có d ạng tuyến tính :
hay là : z’ + (1 - α )P(x) z = (1- α )f(x)
Thí dụ 11: Giải phươ ng ng trình: Đây là phươ ng ng trình Bernoulli v ớ i α = ½ . Chia 2 vế cho
ta đượ c :
ng trình: Thí dụ 12: Giải phươ ng Phươ ng ng trình này không tuy ến tính. Tuy nhiên n ếu coi x là hàm, y là biến ta có :
Đặt
, thế vào phươ ng ng trình trên, ta có:
Nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình thu ần nhất tươ ng ng ứng bằng :
Tìm nghiệm phươ ng ng trình không thu ần nhất dạng : z = C(x). x
2
Thế vào ta có :
III. PHƯƠ NG NG TRÌNH VI PHÂN CÂP HAI GI ẢM CẤP ĐƯỢ C 1. Các khái niệm cơ b bản về phươ ng ng trình cấp hai 1.1. Phươ ng ng trình vi phân cấp hai có dạng : F(x,y,y’,y’’) = 0 hay y’’=f(x,y,y’) Bài toán Cauchy c ủa phươ ng ng trình vi phân c ấp hai là tìm nghi ệm của phươ ng ng trình trên thỏa điều kiện đầu : y(xo) = yo , y’(xo) = y’o
Thí dụ 1: Giải phươ ng ng trình : y’’ = x + cosx, biết y(0) = 1 , y’(0) = 3 Ta có:
Cho x =0 , y =1 => C2 =1. Cho y’(0) = 3, ta có C1 = 3. Vậy nghiệm bài toán là :
Thí d" 1 trên cho thấy phươ ng ng trình vi phân c ấp thườ ng ng ph" thuộc vào hai tham s ố C1, C2, và chúng đượ c xác đ%nh nhờ hai hai điều kiện đầu.
1.2. Đ%nh lý t&n tại và duy nhất nghiệm bài toán Cauchy Bài toán: y’’= f(x,y,y’) (1) y(xo) = yo , y’(xo) = y’ o (2)
Nếu f(x,y,y’) (theo 3 bi ến x, y, y’) và các đạo hàm liên t"c trong miền 3 chiều Ω , và (xo,yo, y’o) là một điểm trong Ω . Khi đó bài toán Cauchy có duy nh ất một nghiệm y = ϕ (x) xác đ%nh liên t "c, hai lần khả vi trên một khoảng (a,b) chứa xo Hàm số ph" thuộc hai hằng số y = ϕ (x,C1, C2) g#i là nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình vi phân cấp hai (trong mi ền Ω ) nếu nó thỏa phươ ng ng trình vi phân c ấp hai v ớ i m#i hằng số C1, C2 (thuộc một tập hợ p nào đó) và ngượ c lại vớ i m#i điểm (xo,yo, y’o) trong Ω đều tại tại duy nhất Co1, Co2 sao cho y = ϕ (x, Co1, Co2) là nghi ệm của bài toán Cauchy v ớ i điều kiện đầu. Như vậy từ nghiệm tổng quát y = ϕ (x,C1, C2) cho các giá tr % c" thể C1=C1’, C2=C2’ ta có nghiệm riêng: y = ϕ (x,C1’, C2’)
Lư u ý: Nếu nghiệm tổng quát tìm ra ở d dạng $n Φ (x,y,C1,C2) = 0 thì nghi ệm riêng c'ng ở dạng $n Φ (x,y,C1’, C2’) = 0 2. Phươ ng ng trình cấp hai giảm cấp đượ c Phươ ng ng trình có d ạng : y’’ = f(x) D( dàng tìm đượ c nghiệm của phươ ng ng trình này sau hai l ần lấy tích phân
Thí dụ 2: Giải phươ ng ng trình vi phân: y’’= sin x cos x + ex Ta có :
3. Phươ ng ng trình khuyết y Phươ ng ng trình có d ạng : F(x,y’,y’’) = 0 Cách giải : Đặt p =y’ ta có phươ ng ng vi phân c ấp một F(x,p,p’) = 0, gi ải ra tìm p = ϕ (x,C1) và khi đó :
2 Thí dụ 3: Giải phươ ng ng trình: xy’’ + y’ = x
Đặt p = y’ p p’’=y’’, ta có :
đây là phươ ng ng trình vi phân tuyến tính. Giải ra ta đượ c :
Qua đó, ta có:
4. Phươ ng ng trình khuyết x Phươ ng ng trình có d ạng : F(y,y’,y’’) = 0 Cách giải : Đặt p =y’, và coi y là bi ến, và p là hàm số theo biến y. Ta có :
Như vậy ta có ph ươ ng ng trình dạng cấp 1:
Thí dụ 4: Giải bài toán Cauchy: 2
yy’’ + y’ = 0, y(1) =2 , y’(1) = ½
Đặt
, ta đượ c :
Từ đây có 2 tr ườ ng ng hợ p: p: p = 0 , ngh ĩ a là y’ =0. Nghi ệm này không thỏa điều kiện đầu, bỏ
d(py) = 0 yp = C1 Vậy ydx = C1
Khi x = 1 , y =2, y’= ½ cho nên :
Ta có: Cho x= 1, y =2 ta
đượ c C2= 1.
Tóm lại nghiệm phải tìm là:
IV. PHƯƠ NG NG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP HAI 1. Khái niệm chung 1.1. Phươ ng ng trình tuyến tính cấp hai có dạng :
y’’+ p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) vớ i các hàm số p(x), q(x), f(x) xác đ%nh và liên t"c trên kho ảng (a,b). Khi ấy vớ i m#i xo ∈ (a,b) và m#i giá tr% yo, y’o ta có bài toán Cauchy điều kiện đầu : y(xo) = yo, y’(xo) = y’o có nghiệm duy nhất trên (a,b) Phươ ng ng trình y’’+ p(x)y’ + q(x)y = 0 (2)
Đượ c g#i là phươ ng ng trình thu ần nhất tươ ng ng ứng của phươ ng ng trình (1)
1.2. Đ%nh lý 1: (Về nghiệm tổng quát của Phươ ng ng trình không thu ần nhất) Nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình không thu ần nhất (1) có d ạng : y = yo + yr trong đó yo là nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng ng trình thu ần nhất tươ ng ng ứng (2) và yr là 1 nghiệm riêng nào đó của phươ ng ng trình (1)
2. Phươ ng ng trình thuần nhất, nghiệm tổng quát 2.1. Đ%nh lý 2: Nếu y1(x), y2(x) là nghi ệm của phươ ng ng trình thu ần nhất (2) thì y = C 1y1(x) + C2y2(x) c'ng là nghiệm của phươ ng ng trình (2)
Chứ ng ng minh: Thật vậy, ta có : y’’+ p(x)y’ + q(x)y =[C 1y1’’+ C2y2’’] + p(x) [C 1y1’+ C2y2’]y1’ + q(x) [C 1y1+ C2y2] = C1[y1’’+ p(x)y1’ + q(x)y1 ] + C2[y2’’+ p(x)y2’ + q(x)y2] = 0 + 0=0 (do y1(x), y2(x) là nghi ệm của (2) nên bi ểu thức trong [] c ủa biểu thức cuối bằng 0 ) Vậy y = C1y1(x) + C2y2(x) là 1 nghi ệm của (2)
2.2. Đ%nh ngh ĩ a: a:
Các hàm y1(x), y2(x) đượ c g#i là độc lập tuyến tính trên kho ảng (a,b) nếu không t&n tại các hằng số α 1, α 2 không đ&ng thờ i bằng 0 sao cho :
α 1y1(x) + α 2y2(x) = 0 trên (a,b)
(Điều này tươ ng ng đươ ng ng vớ i :
trên (a,b) )
Thí dụ 1: 2
+ Các hàm y1(x) = x , y2(x)= x là độc lập tuyến tính + Các hàm y1(x)= ex, y2(x)= 3 ex là ph " thuộc tuyến tính
2.3. Đ%nh lý 3: Xem các hàm y1(x), y2(x) là các nghi ệm của phươ ng ng trình thuần nhất (2). Khi đó chúng độc lập tuyến tính vớ i nhau khi và ch ) khi đ%nh thức sau khác không :
( đ%nh thức trên g#i là đ%nh thức Vronski )
2.4. Đ%nh lý 4: (Cấu trúc nghi ệm của phươ ng ng trình thu ần nhất) Nếu các hàm y1(x), y2(x) là các nghi ệm độc lập tuyến tính của phươ ng ng trình thuần nhất (2), thì: y = C1y1(x) + C2y2(x) vớ i các hằng số bất k C1, C2 s! là nghi ệm tổng quát của phươ ng ng trình đó. 2x Thí dụ 2: Chứng tỏ rằng phươ ng ng trình y’’ – 4y = 0 có nghi ệm tổng quát y = C1e + C2
e
-2x
2x
-2x
Thật vậy, kiểm tra tr*c tiếp d( thấy rằng y1 = e và y2 = e là các nghi ệm của phươ ng ng trình trên. Mặt khác, -2x e
nên chúng
là nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình trên.
độc lập tuyến tính. Vậy: y = C1e2x + C2
2.5. Biết một nghiệm của (2), tìm nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính vớ i nó Giả sử y1(x), là một nghiệm của phươ ng ng trình thuần nhất (2). Khi đó có thể tìm nghiệm thứ 2 độc lập tuyến tính vớ i y1(x) ở d dạng : y2(x) = u(x) y1(x), trong đó u(x) ≠ const .
Thí dụ 3: Biết phươ ng ng trình y’’ – 2y’ +y = 0 có 1 nghi ệm y1 = ex. Tìm nghi ệm thứ hai độc lập tuyến tính vớ i y1(x). Việc kiểm tra lại y1 = ex là 1 nghi ệm là d( dàng. Tìm y2(x) = u(x) ex y’2 =
ex u + ex u’ , y’’2 = ex u + 2ex u’ + 2ex u’’
Thay vào ph ươ ng ng trình đã cho, có : ex (u’’ + 2u’ + u) - 2ex (u + u’) + ex u = 0 2ex u’’
= 0, u’’ =0 , u = C 1x + C2
Vì cần u ≠ const, nên có th ể lấy C1 = 1 , C2 = 0, ngh ĩ a là u = x, y2 = x ex Nghiệm tổng quát có d ạng : y = C1ex + C2x ex
3. Phươ ng ng pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng Để giải phươ ng ng trình không thu ần nhất cần phải biết nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình thuần nhất mà ta vừa tìm hi ểu ở m m"c 2. Ngoài ra còn c ần tìm 1 nghiệm riêng của nó và có thể tìm ở d dạng giống như nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình thu ần nhất, tức là ở d dạng: y = C1y1(x) + C2 y2(x) (3) trong đó y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính, nhưng xem C1, C2 là các hàm s ố C1(x), C2(x).
Để d( tìm C1(x), C2(x) ta đưa thêm điều kiện : C’1(x) y1(x) + C’2(x) y2(x) = 0 (4) Vớ i điều kiện (4), lấy đạo hàm (3), ta
đượ c: c:
y’ = C1y’1(x) + C2 y’2(x) (5) y’’ = C1y1’’( x) + C2 y2’’(x) + C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) (6) Thay (3), (5),(6) vào (1), có : C1y1’’( x) + C2 y2’’(x) + C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) + p[C1y’1(x) + C2 y’2(x) ] + q[C1y1(x) + C2 y2(x) ] = f(x)
Hay: C1[ y1’’( x) + pC1y’1(x) + qC1y1(x) ] C2 [ y2’’(x) + py’2(x) + q y2(x) ] + C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) = f(x) Do y1, y2 là nghiệm của (1) nên suy ra: C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) = f(x) (7) Như vậy C’1 , C’2 thỏa hệ :
2 2 Thí dụ 4: Giải phươ ng ng trình x y’’ + xy’ - y = x
Đưa về dạng chính tắc : Trướ c hết xét phươ ng ng trình thu ần nhất tươ ng ng ứng:
Có thể tìm đượ c 1 nghi ệm của nó là y1 = x. Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính vớ i nó có dạng : y2 = xu(x) y’2 =
u + xu’ , y’’ 2 = 2u’ + xu’’
thế vào phươ ng ng trình thu ần nhất, đượ c :
Đây là phươ ng ng trình c ấp hai giảm cấp đượ c bằng cách đặt p = u’ ta đượ c :
Cho nên :
Do u ≠ const và ch ) cần 1 nghiệm nên ch#n C1=1, nên Vậy nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình thuần nhất có dạng :
.
Việc còn lại là cần tìm một nghiệm riêng của phươ ng ng trình không thu ần nhất bằng phươ ng ng pháp biên thiên h ằng số, dạng :
Vớ i C1, C2 thỏa :
Vì ch) cần ch#n 1 nghiệm riêng, nên có th ể ch#n c" thể c1 = 0 , c2 = 0. vậy , cho nên :
và như vậy nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình ban
đầu là :
ng trình vi phân có d ạng tổng của 2 hàm số f(x) = f 1(x) + Lư u ý: Nếu vế phải của phươ ng f 2(x), thì khi đó có thể giải phươ ng ng trình v ớ i riêng v ế phải là từng hàm f 1(x), f 2(x) để tìm nghiệm riêng là yr1, yr2. Cuối cùng d ( kiểm lại là: nghiệm riêng của phươ ng ng trình ban đầu là yr = yr1, yr2 (theo nguyên lý ch &ng chất nghiệm).
V. PHƯƠ NG NG TRÌNH VI PHÂN TUY ẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 1. Khái niệm chung (n)
(n-1)
y + a1y
(n-2)
+ a2y
+……. + any = f(x) (1)
trong đó a1, a2,…….., an là các h ằng số Trong ph ần sau ta trình bày k + phươ ng ng trình cấp hai.
2. Phươ ng ng trình cấp hai thuần nhất Xét phươ ng ng trình : y’’ + py’ + qy = f(x) (2) trong đó p, q là h ằng số Ta tìm nghi ệm của nó ở d dạng : y = ekx (3) 2
Thế (3) vào (2) ta có: (k + pk +q) ekx = 0 2
(k
+ pk +q) = 0
(4)
Phươ ng ng trình (4) g #i là phươ ng ng trình đặc trưng của phươ ng ng trình (2), và c 'ng từ (4) cho thấy y = ekx là nghi ệm của (2) khi và ch) khi k là nghi ệm của (4). Do đó d*a vào việc giải phươ ng ng trình bậc 2 này, ta có các kh ả n,ng sau:
a). Phươ ng ng trình đặc trưng (4) có 2 nghi ệm phân biệt k 1,k 2 (∆ > 0): Khi đó 2 nghiệm y1 = 1x
2x
ek , y2 = ek là 2 nghi ệm riêng của (2), và nên 2 nghi ệm riêng 1x 2x này độc lập tuyến tính. Vậy khi đó nghiệm tổng quát của (2) s! là: y = C1ek + C2ek
b). Phươ ng ng trình đặc trưng (4) có 1 nghi ệm kép k ( ∆ = 0). Khi đó nghiệm y1 = ekx là 1 nghiệm riêng của (2), và nghi ệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính vớ i nó có dạng y = =
u(x).y1 u(x).ekx y2’ = k.ekx . u(x) + u’(x).ekx 2
y2’’= k .ekx.u(x) + 2ku’(x).ekx + ekx.u(x)’’ Thế vào phươ ng ng trình (2) ta có : (k 2.u + 2ku’+ u’’) ekx + p(ku + u’) ekx + q ekxu = 0
u’’
2
+ (2k +p)u’ + (k + pk + q)u = 0
Do k là nghi ệm kép của (4) nên : 2
k = -p/2 2k +p = 0 và (k + pk + q) =0 từ đó : u’’ = 0
u
= C1x + C2
Do ch) cần ch#n 1 nghi ệm nên lấy C1 = 1, C2 =0 , và nh ư thế có : y2 = x ekx Và nghiệm tổng quát của (2) là: y = ( C1+ C2x) ekx
c). Phươ ng ng trình đặc trưng (4) có 2 nghi ệm phức liên hiệp k 1,2 1,2 = α ± β , β ≠ 0 (∆ < 0). Khi đó 2 nghiệm của (2) có d ạng :
Khi đó :
c'ng là 2 nghiệm của (2) và
nên chúng
độc lập tuyến tính.
Từ đó ta có nghi ệm tổng quát của (2) là : y = ( C 1cos β x + C2 sin β x) eα
Thí dụ 1: Giải phươ ng ng trình : y’’ + 3y’ – 4y = 0 Phươ ng ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng có dạng : 2
k + 3k -4 = 0
k 1 =1
, k 2= -4 -4x
Vậy nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình thuần nhất là : y = C 1ex + C2e
Thí dụ 2: Giải phươ ng ng trình : y’’ + 4y’ + 4y = 0 Phươ ng ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng có dạng :
x
2
k + 4k +4 = 0
k 1,2 1,2 =2
Vậy nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình là : y = (C 1 + C2 x)e
2x
Thí dụ 3: Giải phươ ng ng trình : y’’ + 6y’ + 13y = 0 Phươ ng ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng có dạng : 2
k + 6k +13 = 0
k 1,2 1,2 =-3
± 2 i
Vậy nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình thuần nhất là: y = ( C1 cos 2x + C2 sin 2x)e
-3x
3. Phươ ng ng trình cấp hai không thuần nhất vế phải có dạng đặc biệt Xét phươ ng ng trình vi phân c ấp hai hệ số hằng không thu ần nhất : y’’ + py’ + qy = f(x) (5) Qua việc trình bày tìm nghi ệm tổng quát của phươ ng ng trình c ấp hai thuần nhất tươ ng ng ứng, và d*a vào đ%nh lý 2, m"c II.1 ?? thì để có nghi ệm tổng quát của (5) ta c ần tìm đượ c 1 nghiệm riêng của (5). Ngoài phươ ng ng pháp biến thiên h ằng số đã trình bày, d ướ i đây trình bày ph ươ ng ng pháp hệ số bất đ%nh để tìm một nghiệm riêng cho (5) khi v ế phải có dạng đặc biệt thườ ng ng gặp.
3.1 Vế phải f(x) = eα x Pn(x) trong đó Pn(x) là đa thức cấp n, α là một số th*c. Khi đó ta tìm nghi ệm riêng của (5) ở d dạng: yr = u(x) Qn(x) (6) vớ i Qn(x) là đa thức cấp n có (n+1) hệ số đượ c xác đ%nh bằng cách thay (6) vào (5) và đ&ng nhất 2 vế ta có (n+1) phươ ng ng trình đại số tuyến tính để tìm (n+1) h ệ số. Hàm u(x) có dạng c" thể là : x a). Nếu α là nghi ệm đơ n của phươ ng ng trình đặc trưng (4), u(x) = xe α và khi đó: x
yr = xeα Qn(x) 2 x b). Nếu α là nghiệm kép của phươ ng ng trình đặc trưng (4), u(x) = x eα và khi đó: 2
x
yr = x eα Qn(x)
x c). Nếu α không là nghi ệm của phươ ng ng trình đặc trưng (4), u(x) = e α và khi đó: x
yr = eα Qn(x) 2x Thí dụ 4: Giải phươ ng ng trình : y’’ -4y’ + 3y = 3 e
Phươ ng ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng có dạng : 2
k - 4k +3 = 0 có nghi ệm k 1 =1 , k 2= 3 nên nghi ệm tổng quát của phươ ng ng trình thu ần nhất tươ ng ng ứng là: y = C1ex + C2e
3x
Mặt khác số α = 2 không là nghi ệm của phươ ng ng trình đặc trưng, nên nghi ệm riêng tìm ở 2x dạng yr = Ae (do Pn(x) =3 đa thức bậc 0 ), thay vào ph ươ ng ng trình đã cho có: 2x
2x
2x
2x
4Ae - 8Ae + 3Ae = 3e
A
= -3
Vậy nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình là : 3x
2x
y = C1ex + C2e –3e
-x Thí dụ 5: Giải phươ ng ng trình : y’’ +y = xex + 3 e
Phươ ng ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng có dạng : 2
k +1 = 0 k 1,2 1,2 = ± i
2
nên nghi ệm tổng quát của phươ ng ng trình thu ần nhất tươ ng ng ứng là: yo = C1cos x C2 sin x -x
Do vế phải là tổng của 2 hàm f 1 = xex , f 2 = 2e nên ta l ần lượ t tìm nghi ệm riêng của phươ ng ng trình lần lượ t ứng vớ i vế phải là f 1, và f 2 : + Vớ i f 1 = xex thì α = 1 không là nghi ệm của phươ ng ng trình đặc trưng , Pn(x) = x nên nghi ệm riêng có dạng : yr1 = (Ax+B)ex -x
+ Vớ i f 2 = 2e thì α = -1 c'ng không là nghi ệm của phươ ng ng trình -x Pn(x) = 2 nên nghi ệm riêng có d ạng : yr2 = Ce
đặc trưng ,
Theo nguyên lý x ếp ch&ng, nghi ệm riêng của phươ ng ng trình đã cho đượ c tìm ở d dạng : yr = -x (Ax+B)ex + Ce -x
yr ’
= (Ax+B)ex - Ce + Aex
yr’’
= (Ax+B)ex + Ce + 2Aex
-x
Thế vào phươ ng ng trình đã cho, có : -x
-x
2Axex + (2A+2B)ex + 2Ce = xex + 2e Từ đó, ta có : 2A =1, 2A + 2B = 0 , 2C =2
Vậy nghiệm tổng quát của phươ ng ng trình là :
3.2. Vế phải f(x) = eα x [ Pn(x) cos β x +Qm(x) sin β x ] Trong đó Pn(x), Qm(x) là đa thức bậc n, m tươ ng ng ứng, α , β là các số th*c. Khi đó ta tìm nghi ệm riêng của (5) ở d dạng: yr = u(x) [ Rs(x) cos β x + Hs(x) sin β x ]
(7)
(β = 0 s! tươ ng ng ứng trườ ng ng hợ p đã nêu ở trên), trên), vớ i s = max {m,n}, Rs(x), Hs(x) là đa thức bậc s vớ i 2(s+1) đượ c xác đ%nh bằng cách thay (7) vào (5) và đ&ng nhất 2 vế ta có các phươ ng ng trình đại số tuyến tính để tìm các hệ số. Hàm u(x) có dạng c" thể là : x a). Nếu α ± β là nghiệm của phươ ng ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng, u(x) = eα và khi đó yr = eα x [ Rs(x) cos β x + Hs(x) sin β x ]
ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng, u(x) = xeα b). Nếu α ± β không là nghi ệm của phươ ng x và khi đó : x
yr = eα [ Rs(x) cos β x + Hs(x) sin β x ]
Thí dụ 6: Giải phươ ng ng trình : y’’ + y = sin x Phươ ng ng trình đặc trưng tươ ng ng ứng có dạng : 2
2
k +1 = 0 có nghi ệm k 1,2 1,2 = ± i
nên nghi ệm tổng quát của phươ ng ng trình thu ần nhất tươ ng ng ứng là: yo= C 1cos x C2 sin x
- đây α = 0, β =1, nên α ± iβ = ± i là nghi ệm của phươ ng ng trình đặc trưng. Mặt khác, do n =m=0, cho nên s = 0. Vậy nghiệm tổng quát đượ c tìm ở d dạng: yr = x(Acosx+Bsinx)
yr’
= x( -Asinx + Bcosx) + (Acosx+Bsinx)
yr’’ yr’
= 2( -Asinx + Bcosx) + x( -Acosx - Bsinx)
+ yr = -2Asinx + 2Bcosx = sinx
-2A
= 1, 2B =0
A=
-1/2 , B = 0
Vậy nghiệm riêng là :
Và nghiệm tổng quát là :
BÀI TẬP CHƯƠ NG NG 4 I. Chứ ng ng tỏ rằng hàm số y = f(x) là nghiệm ca phươ ng ng trình vi phân t ươ ng ng ứ ng ng 1) xy’’ – y’ = 0
2
2
y = x ; y =1 ; y = c1x + c2
2)
a) y =
2
3) x y’ + xy = ex, 2
4) yy’’= 2(y’) - 2y’ a) y = 1 ; b)
b) y = tgx
II. Giải các phươ ng ng trình vi phân sau: 2
2
1. x( y – 1 )dx - ( x + 1)ydx = 0 2
2
2
2.
(x - xy)dx - (y + x )dy = 0
3.
(x + 2xy)dx + xydy = 0
2
4. y’cosx - ysinx = sin2x
5. y = xy’ + y’lny 6. y’ - xy = 7. xy’ = 2(x -
)
8. y’ + sin(x+y) = sin(x-y) x-y
9. y’=2
, y(-3) = (-5) +y
-y
10. y’ = ex + ex , y(0) = 0
11. y’ = 2
12. y’cos x + y = tgx
13.
2
y’+
4
= x y
14. y’cosx + y = 1 – sinx 2
15. (2xy +3)dy – y dx = 0 ( coi x là hàm s ố ) 4
16. (y + 2x)y’ = y ( coi x là hàm số )
17. 2 2
18. ydx + ( x + x y )dy = 0 ( coi x là hàm số )
III. Giải các phươ ng ng trình vi phân cấp 2 sau: 1) y’’ + y’ = 0 2) y’’ + yy’ = 0 3) y’’ = (y’)
2
2
4) 2(y’) = (y - 1)y’’ 2
2
5) y’’ = 1 + y’ 6) y’’ = y’ey
2
7) (y + y’)y’’ + y’ = 0 2
8) 3y’ = 4yy’’ +y’ 2
2
2
9) yy’’ – y’ = y lny
IV. Giải các bài toán Cauchy sau: 1) xy’’ + y’ = 0, y(1) = -3, y’(1) = 2 2
2) 2y’’ + y’ = -1, y(-1) = 2, y’(1) = 0 2
3) y’’(x + 1) = 2xy’, y(0) = 1. y’(0) = 3 2
4) yy’’ – y’ = 0, y(0) = 1, y’(0) = 2
5) y’’ +
6)
7) Cho phươ ng ng trình
, r(0) = R, r’(0) = vo
Xác đ%nh vo để khi t --> ∞ thì r --> ∞ (bài toán tìm v ận tốc v' tr" cấp hai)
V. Phươ ng ng trình tuyến tính cấp hai 1)Các hàm sau có
độc lập tuyến tính hay không: 2
a) (x + 1) và (x – 1) b) x và (2x + 1) c) lnx và lnx
2
2) Giải phươ ng ng trình khi bi ết một nghiệm là y1 a) y’’ + y = 0 , biết y1 = cosx 2
b) x y’’ – 2y = 0, bi ết y1 = x
2
-x
c) y’’ – y’ – 2y = 0, bi ết y1 = e 2
d) 4x y’’ + y = 0, x > 0, bi ết y1 = 2
e) x y’’ - 5xy’ + 9y = 0, biết y1 = x
3
2
f) (1-x )y’’ – 2xy’ + 2y = 0, bi ết y1 = x 3) Tìm nghiệm tổng quát phươ ng ng trình : xy’’ – (2x + 1)y’ + (x + 1)y = 0 4) Giải phươ ng ng trình: xy’’ + y’ = x
2
5) Giải phươ ng ng trình: y’’ +
Biết một nghiệm của phươ ng ng trình thuần nhất tươ ng ng ứng là :
VI. Phươ ng ng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Giải các ph ươ ng ng trình sau: 1) y’’ - 2y’ – 3y = 0 2) y’’ + 25y = 0
3) y’’ – 2y’ +10y = 0,
4) y’’ + y’ = 0, y(0) = 1, y’ 5) y’’ - 10y’ + 25y = 0, y(0) = 0, y’(0) = 1 6) y’’ -2y’ -3y = e
4x
7) y’’ + y’ -2y = cosx – 3sinx 2
8) y’’ – 6y’ + 8y = 3x +2x +1
9) y’’ + 4y = sin2x + 1 , y(0) =
2
10) y’’ – y = x.cos x 11) y’’ – 2y’ + 2y = exsinx 12) y’’ + y = tgx
13) y’’ + 4y = cos2x, y(0) = y
14) y’’ + 5y’ + 6y =
