BAB II ATOM HIDROGEN
KOMPETENSI DASAR Memahami mekanika kuantum atom Hidrogen dan menjelaskan makna fisis dari hasil-hasil mekanika kuantum atom Hidrogen dalam menjelaskan sifatsifatnya
STRUKTUR ISI DAN INDIKATOR PENCAPAIAN BELAJAR
Kimia adalah cabang sains (IPA) yang memfokuskan kajiannya pada komposisi dan struktur materi di dalam menjelaskan sifat-sifat materi, perubahan materi dan energi yang menyertai perubahan tersebut. Karakteristik kajian kimia yang membedakannya dengan bidang IPA yang lain adalah fokus utaman ya pada komposisi dan
struktur
atau
partikel
materi
(aspek
submikroskopis),
sehingga
aspek
submikroskopis adalah essensi dari kimia. Agar memiliki pemahaman kimia yang baik, pemahaman tentang atom sebagai partikel parti kel materi yang paling sederhana sangat penting. Perjalanan historis pemahaman tentang hakikat atom berlangsung sangat lama, dimulai dari jaman Demokritos (sebelum masehi) – Dalton Dalton (abad 18)-ThomsonRutherford-Bohr-atom modern (abad 19). Perkembangan kimia berjalan sangat lambat sebelum dipahami bahwa hakikat atom adalah seperti atom modern. Fakta historis ini menunjukkan bahwa perkembangan ilmu kimia dipengaruhi oleh pemahaman tentang hakikat atom. Hal yang sama terjadi ketika mempelajari ilmu kimia, pemahaman tentang atom merupakan landasan dalam mempelajari kimia. Pemahaman yang mendalam tentang atom tidak bisa mengabaikan perkembangan teori/model atom serta eksperimen yang melatarinya, walaupun tidak semua teori tersebut mampu memberikan penjelasan tantang sifat materi.
Teori atom sebelum Bohr belum
banyak memberikan informasi tentang sifat-sifat atom. Teori atom Bohr merupakan teori atom pertama yang dapat menjelaskan beberapa sifat atom, khususnya atom yang mengandung satu elektron. Teori ini memberikan konstribusi besar terhadap perkembangan lebih lanjut tentang teori atom modern. Bab ini memaparkan secara ringkas tentang perkembangan atom sebelum atom modern. Paparan bab ini lebih
menekankan pada eksperimen/fenomena yang berkontribusi terhadap
penemuan
partikel subatom dan lahirnya beberapa teori atom, termasuk teori atom Bohr.
Struktur Isi
Indikator Pencapaian Belajar
Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen
1. Menuliskan persamaan Scrhodinger atom H
dalam koordinat bola 2. Menuliskan persamaan Schrodinger hanya
variabel sudut θ
3. Menuliskan persamaan Schrodinger hanya
variabel sudut
4. Menuliskan persamaan Schrodinger hanya
Penyelesaian Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen
5. 6.
Makna Bilangan Kuantum Atom Hidrogen
7. 8.
variabel r Menjelaskan pembatasan bilangan kuantum atom Hidrogen Menuliskan jenis fungsi gelombang atom Hidrogen yang diijinkan dilihat dari pembatasan bilangan kuantum Menjelaskan makna fisis bilangan kuantum utama atom Hidrogen Menjelaskan hubungan bilangan kuantum azimut dengan momentum sudut orbital
9. Menjelaskan makna bilangan kuantum magnetik 10. Menjelaskan makna bilangan kuantum spin 11. Menentukan besarnya momentum sudut
Kebolehjadian dan Diagram Orbital
orbital dan spin 12. Menggambarkan arah momentum sudut orbital dan spin 13. Menggambarkan grafik kebolehjadian radial atom Hidrogen 14. Memberikan argumentasi tentang perlunya mengubah fungsi gelombang imaginer menjadi real 15. Mengubah fungsi imaginer menjadi real atom H 16. Menggambarkan grafik kebolehjadian sudut fungsi gelombang real (gambar orbital) atom Hidrogen
3.1 Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen
Atom hidrogen terdiri dari satu elektron yang bermuatan negatif dan inti yang mengandung hanya satu proton yang bermuatan positif. Elektron bergerak di sekitar inti (mengelilingi inti) sebagai suatu gelombang. Antara inti dengan elektron terdapat gaya elektrostatik atau Coulomb (Fc). Energi potensial sistem atom hidrogen adalah:
F
V
dV
, dV = Fdr
dr
r
0
V V
k .e 2 r 2
dr dimana k = 1/(4πεo)
ke 2
(e: muatan elektron dalam satuan Coulomb)
r e2
(e: muatan elektron dalam satuan esu)
r
Dalam sistem atom hidrogen terdapat dua partikel yang saling berinteraksi (proton dan elektron). Berbeda dengan sistem partikel dalam kotak, yaitu hanya satu partikel atau partikel bebas terhadap yang lain, sehingga massa partikel sama dengan massa satu partikel. Pada
Menuliskan persamaan Schrodinger adalah prosedur pertama yang dilakukan dalam memecahkan suatu sistem kuantum.
sistem atom hidrogen, massa partikel diganti dengan massa tereduksi (μ). Hal yang sama dilakukan pada sistem getaran harmonik molekul diatomik (dua partikel saling berinteraksi).
m1 m2 m1 m2
Elektron bergerak mengelilingi inti atom sehingga sistem atom hidrogen identik dengan sistem rotasi. Pada suatu sistem rotasi, massa dinyatakan sebagai massa inersia, I. Persamaan Schrodinger untuk sistem atom hidrogen adalah: e , r 2 I 2
2
2
Ψ = fungsi gelombang variabel kedudukan. I = μr 2 adalah operator del kuadrat 2
Bentuk persamaan operator del kuadrat ditentukan oleh sistem
koordinat
yang
digunakan.
Pada
sistem
koordinat cartesian, bentuk operator operator del kuadrat adalah sebagai berikut.
Untuk menuliskan persamaan Schrodinger diperlukan informasi tentang energi potensial sistem dan sistem koordinat yang digunakan.
x y z 2
2
2
2
2
2
2
Pada sistem koordinat bola, bentuk operator del kuadrat menjadi:
1 1 r sin r r sin sin 2
2
2
2
2
Pada sistem atom hidrogen, sistem koordinat yang digunakan adalah koordinat bola (polar spheris), bukan kotak. Dalam koordinat bola, persamaan Schrodiger atom hidrogen menjadi:
2 2 1 1 e2 r sin 2 (r , , ) sin 2 ( r , , ) r ( r , , ) 2 r 2 r r sin
2
Dalam sistem koordinat bola, syarat batas sistem atom H (syarat batas variabelnya) adalah sebagai berikut. 0 r 0 0 2 3.2 Penyelesaian Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen
Menuliskan
bentuk
persamaan
Schrodinger
suatu sistem apa saja adalah hal yang mudah, asalkan persamaan energi potensial sistem diketahui. Hal yang sulit adalah bagaimana cara memecahkan persamaan Schrodinger yang bentuknya telah diketahui tersebut.
Pemecahan persamaan Schrodinger menjadi persamaan yang hanya mengandung satu variabel adalah prosedur kedua dalam memecahkan sistem kuantum
Seperti pada sistem partikel dalam kotak tiga dimensi, pada kasus atom hidrogen juga dilakukan pemecahan fungsi gelombang, yang semula mengandung variabel r,
, & θ, menjadi fungsi gelombang yang hanya mengandung satu variabel saja, r, , atau θ saja. Pemecahan fungsi gelombang tersebut menghasilkan tiga persamaan, yaitu:
2 ( ) m 2 ( ) 1. 2 m2 2. sin ( ) 2 ( ) ( ) 0 sin sin 1
2 r 2 2 3. r R ( r ) 2 ( r ) ( r ) 0 r ( r ) m dan β adalah tetapan, dengan β = ℓ (ℓ + 1)
Diskusikan !
Pecahkan persamaan Schrodinger variabel r, , dan θ menjadi persamaan yang hanya mengandung satu variabel saja seperti yang di tuliskan di atas . Persamaan pertama adalah persamaan yang paling mudah dikerjakan, sedangkan persamaan kedua dan ketiga pemecahannya sangat rumit. Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan pertama adalah:
m( )
1 2
.e im
Buktikan bahwa fungsi gelombang di atas adalah penyelesaian dari persamaan pertama dari pemecahan persamaan Schrodinger atom H
Karena θ berharga dari 0 sampai 2 π, maka :
m( ) m( 2 ) 1 2
.e im
1 2
.e im ( 2 )
eim 2 1 Dengan mengunakan formula matematika: eix = cos x + isin x e-ix = cos x – i sin x maka, im2π
e
= cos 2mπ + i sin 2mπ = 1
Persamaan di atas, benar apabila sin 2mπ = 0 dan cos 2mπ = 1, sehingga m = 0,±1, ±2,…. . Bilangan m inilah yang dikenal sebagai bilangan kuantum magnetik.
Penyelesaian persamaan kedua dan ketiga tidak semudah menyelesaikan persamaan yang pertama. Menyelesaikan persamaan kedua dan ketiga secara detail merupakan hambatan bagi mereka yang belajar mekanika kuantum karena memerlukan pemahaman kajian diferensial khusus, seperti persamaan Legendre. Pada materi ajar ikatan kimia ini, mahasiswa diharapkan cukup puas dengan hanya mengetahui hasil penyelesaian yang telah dilakukan oleh ahli-ahli mekanika kuantum. Bentuk fungsi gelombang hasil penyelesaian dari persamaan kedua adalah:
2 1( m )!
m( )
2( m )!
m
P (cos )
m
P (cos ) adalah persamaan Assosiasi Legendre yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
P ( x) (1 x ) m
2
d
m /2
dx
m m
P ( x)
P ( x) disebut persamaan Rodriques yang mempunyai bentuk sebagai berikut: P ( x )
d
1
2 ! dx
( x 2 1)
Kalau mau bermain-main dengan persamaan-persamaan di atas, akan dapat diturunkan semua fungsi sudut dari fungsi gelombang atom hidrogen. Contoh
Fungsi gelombang Θ 0,0() dapat diperoleh dengan memasukkan harga ℓ=0 dan m=0.
P 0(cos )
d 0
1 0
2 0! d (cos )
0
(cos 2 1) 0
P 0(cos ) 1 P 0 (cos ) (1 cos )
0 /2
P 0 (cos ) (1 cos )
0 /2
0
2
0
2
d
0
dx d
0
P 0 (cos )
0
dx
0
1
P 0 (cos ) 1 0
0,0( )
2.0 1(0 0 )! 2(0 0 )!
0
P (cos )
(0 0 )!
0,0( )
1 2(0 0 )!
0,0( )
1 2
Cobalah anda menurunkan fungsi gelombang 1,0( ) .
Dua hal yang menjadi perhatian kita dari fungsi gelombang sudut
Θ yang
merupakan penyelesaian dari persamaan kedua adalah jenis bilangan kuantum (konstanta terkuantisasi) yang dilibatkan dan bentuk tetapan normalisasinya. Fungsi gelombang
sudut Θ ditentukan oleh dua tetapan yaitu ℓ dan
m (lebih tepat apabila
ditulis mℓ). Tetapan m sudah kita ketahui sebagai bilangan kuantum magnetik, sedangkan tetapan ℓ disebut dengan bilangan kuantum azimut atau bilangan kuantum momentum sudut karena berhubungan erat dengan momentum sudut yang akan kita uraikan nanti. Bentuk tetapan normalisasinya, yaitu:
2l 1(l m )! 2(l m )!
.
memberikan informasi yang berguna tentang batasan bilangan kuantum
ℓ dan m.
Pembilang pada persamaan tetapan normalisasi di atas mengandung suku faktorial,
( m )!. Karena bilangan factorial terkecil adalah 0!, dan telah diketahui bahwa m berharga 0, ±1, ±2 dan seterusnya, dimana tidak dibolehkan
maka ℓ mempunyai harga dari 0, 1, 2, 3 dst,
/m/ > ℓ. Dengan demikian harga m dibatasi oleh harga ℓ,
harga terbesar dari m adalah ±ℓ. Atau
( m ) ≥ 0
/m/ ≤ ℓ Contoh
Jika harga ℓ = 2, maka harga m adalah 0, ± 1, dan ± 2. Persamaan pertama dan kedua tidak memberikan sumbangan terhadap energi atom hidrogen. Energi atom hidrogen hanya muncul pada penyelesaian persamaan diferensial
ketiga
dari
pemecahan
persamaan
Schrodinger
atom
hidrogen.
Penyelesaian persamaan yang ketiga tidak kalah rumitnya dengan penyelesaian persamaan kedua. Energi atom hidrogen yang diperoleh dari penyelesaian persamaan ketiga sama dengan yang diperoleh oleh Bohr.
E n
2 2 Z 2 e 4
n2h2
Bentuk fungsi gelombang penyelesaian persamaan ketiga adalah sebagai berikut.
3
2 Z (n 1)! / 2 ( 2 1) .e .L( n ( ) n ( r ) 3 na 2 ( )! o n n e pada
persamaan di atas adalah bilangan alam yang harganya 2,718281
2 Z r na o
ao
dan
h2 4 .e 2
ao adalah jari-jari Bohr dan e dalam persamaan ao adalah muatan elektron.
L((2n1) ( ) adalah polinomial Laquerre terasosiasi yang bentuknya adalah sebagai berikut. ( 2 1) ( n )
L
( )
d ( 2 1) d ( 2 1)
L( n ) ( )
L(n + ℓ) (ρ) disebut polinomial Laquerre
L( n ) ( ) e
d ( n ) d
( n )
( n )
yang bentuknya sebagai berikut.
e
Fungsi gelombang, n (r ) , hasil penyelesaian dari persamaan ketiga ini sering disebut dengan fungsi gelombang radial atom hidrogen. Fungsi gelombang radial, n (r ) , ditentukan oleh dua buah tetapan, yaitu n dan ℓ. Tetapan ℓ sudah kita ketahui dari penyelesaian persamaan kedua, sedangkan tetapan n disebut dengan bilangan kuantum utama. Dengan cara yang mirip saat menurunkan fungs i
gelombang sudut Θ, anda
dapat menurunkan fungsi gelombang radial. Contoh Fungsi gelombang radial n=1 dan 3
=0
atom H
2 (1 0 1)! / 2 0 (0 1) 1,0( r ) .e .L(1 0 ( ) 3 a 2 ( 1 0 )! o 2 r ao L((11)) ( )
d L(1) ( ) d
L(1) ( ) e
d
e
d L(1) ( ) 1 L((11)) ( ) 1 3
2 (1 0 1)! / 2 .e 1, 0( r ) 3 a 2 ( 1 0 )! o 3
2 1 1,0( r ) .e / 2 ao 2 3
Tetapan normalisasi fungsi gelombang radial atom hidrogen, yaitu:
2 Z (n 1)! na 2n(n )!3 o
memberikan informasi tentang batasan bilangan kuantum n dan ℓ. Pembilang pada tetapan normalisasi di atas mengandung faktorial, (n -
ℓ -1)!. Karena bilangan
faktorial terkecil adalah 0, maka harga ℓ terbesar yang dibolehkan adalah: (n - ℓ -1) = 0 atau (n - ℓ -1) ≥ 0
ℓ ≤ (n-1) Karena harga terkecil dari ℓ adalah 0 (nol), maka n memp unyai harga dari 1, 2, 3, dst. 3.3 Makna Bilangan Kuantum Atom Hidrogen 3.3.1 Bilangan Kuatum Utama dan Energi Atom hidrogen
Energi Atom hidrogen diperoleh dari penyelesaian persamaan ketiga atom hidrogen adalah sebagai brikut.
E n
2 2 Z 2 e 4
n2h2
Energi yang diperoleh ini sama dengan yang telah diturunkan oleh Bohr. Dari persamaan energi atom hidrogen di atas terlihat bahwa besarnya energi hanya ditentukan oleh bilangan kuantum n sehingga bilangan kuantum ini disebut dengan bilangan kuantum utama yang menentukan tingkat energi utama atom. Karena energi atom hidrogen dan atom seperti hidrogen, yaitu spesi yang mempunyai satu elektron, hanya ditentukan oleh bilangan kuantum utama, sedangkan setiap fungsi gelombang
penyelesaian atom hidrogen (keadaan atau state) ditentukan oleh 3 bilangan kuantum,
yaitu n, ℓ, dan m sehingga kebanyakan keadaan atau state memiliki tingkat energi yang terdegenerasi.
ψ(300) ψ(200)
ψ(210)
ψ(21-1)
ψ(21+1)
ψ(100) Pada atom berelektron banyak, gaya yang bekerja tidak hanya gaya tarik elektrostatik antara elektron dengan inti atom, tetapi juga terdapat gaya tolak elektrostatik antara elektron satu dengan elektron yang lain. Dengan demikian, pada atom berelektron banyak terdapat lebih dari satu energi potensial yang harus dimasukkan ke dalam persamaan Schrodinger. Hal ini menyebabkan pemecahan persamaan Schrodinger atom berelektron banyak menjadi sangat sulit dan tidak bisa dipecahkan secara eksak seperti pada atom hidrogen. Energi atom berelektron banyak menjadi kurang terdegenerasi dibandingkan dengan energi atom seperti hidrogen. Energi atom berelektron banyak ditentukan oleh tidak hanya bilangan kuantum utama, melainkan ditentukan juga oleh bilangan kuantum azimut yang selanjutnya dikenal sebagai aturan n+
ℓ. Urutan tingkat energi fungsi gelombang ataom berelektron
banyak menjadi
ψ(100) < ψ(200) < ψ(210) = ψ(21-1) = ψ(21+1) < ψ(300) < dst Di samping menentukan tingkat energi utama, bilangan kuantum n juga menentukan besarnya ukuran orbital dan menentukan nomor kulit. Penjelasan lebih baik bagaimana bilangan kuantum n ini menyatakan ukuran orbital dan nomor kulit akan diuraikan pada bagian selanjutnya, yaitu pada pembahasan kebolehjadian menemukan elektron (diagram orbital) dan tingkat energi atom berelektron banyak). 3.3.2 Bilangan kuantum Azimut dan Momentum Sudut
Momentum partikel dalam kotak dapat ditentukan dengan mengerjakan operator kuadrat momentum pada fungsi gelombang penyelesaian persamaan Schrodinger partikel dalam kotak. Pada kasus atom hidrogen, partikel (elektron) bergerak mengelilingi inti atom sehingga elektron mempunyai momentum sudut. Momentum sudut orbital dapat diperoleh dengan mengerjakan operator kuadrat momentuk sudut terhadap fungsi gelombang penyelesaian atom hidrogen.
Ĺ2 Ψ(r,,θ) = ℓ(ℓ+1)ħ2 Ψ(r,,θ)
Ĺ2 (r ) Ύ(,θ) = ℓ(ℓ+1)ħ2 (r ) Ύ(,θ) Ĺ2 Ύ(,θ) = ℓ(ℓ+1)ħ2 Ύ(,θ) Ĺ2 adalah operator kuadrat momentum sudut yang bentuknya: Ĺ = 2
2
1 2 sin 2 2 sin . Sin
Persamaan di atas menunjukkan bahwa fungsi gelombang penyelesaian atom hidrogen adalah fungsi eigen terhadap operator kuadrat momentum sudut dengan nilai eigen
adalah ℓ(ℓ+1)ħ2. Nilai eigen ini adalah besaran kuadrat momentum sudut orbital atom hidrogen. Dengan demikian, momentum sudut orbital atom hidrogen adalah terkuantisasi yang besarnya adalah:
[ℓ(ℓ+1)]1/2 ħ Terlihat bahwa besarnya momentum sudut orbital hanya ditentukan oleh bilangan kuantum azimut sehingga bilangan kuantum ini sering disebut dengan bilangan kuantum momentum sudut orbital. Contoh Besarnya momentum sudut elektron yang berperilaku sebagai gelombang
Ψ320 (r,,θ) adalah.... L = [ℓ(ℓ+1)]1/2 ħ Fungsi gelombang
Ψ320 (r,,θ) memiliki harga ℓ = 2, sehingga
L = (6)1/2 ħ Di samping menentukan besarnya momentum sudut orbital, bilangan kuantum azimut juga menentukan jenis orbital sekaligus bentuk orbital seperti akan diuraikan pada pembahasan bentuk- bentuk
orbital. Orbital dengan bilangan kuantum ℓ = 0
disebut orbital s, ℓ = 1 disebut orbital p, ℓ = 2 disebut orbital d, ℓ = 3 dise but orbital f , dan harga ℓ lebih besar dari 3 diberi nama secara alfabetis mulai dari huruf g. Dalam kaitan dengan energi orbital atom berelektron banyak yang akan dibahas pada bab berikutnya, bilangan kuantum azimut menentukan tingkat energi tambahan yang disebut dengan subkulit. 3.3.3 Bilangan Kuantum Magnetik dan Arah momentum Sudut
Momentum sudut adalah vektor yang di samping memiliki besar (kuantitas) juga memiliki arah. Besarnya harga momentum sudut dinyatakan dengan panjang anak panah, sedangkan arahnya dinyatakan dengan ujung anak panah. Untuk
kepentingan menjelaskan gejala fisis yang berhubungan dengan sifat atom, di samping diperlukan pengetahuan tentang besarnya momentum sudut orbital, juga perlu diketahui bagaimana arah-arah dari momentum sudut tersebut. Berhubungan dengan keperluan ini, maka dikenalkan operator momentum sudut arah z, yaitu operator yang digunakan untuk menentukan besarnya momentum sudut pada arah z (suatu arah yang
ditentukan secara bebas), Ĺz, yang bentuknya: Ĺz = -iħ ∂/∂θ Pengerjaan fungsi gelombang atom hidrogen terhadap operator Ĺ z menghasilkan suatu fungsi eigen dengan penyelesaian sebagai berikut.
Ĺz Ψ(r,,θ) = mħΨ(r,,θ) Ĺz (r ) , m( ) .m( ) = mħ (r ) , m( ) . m( )
Ĺz . m( ) = mħ . m( ) Dengan demikian, besarnya momentum sudut arah z adalah terkuantisasi yang ditentukan oleh bilangan kuantum m. Orientasi vektor momentum sudut orbital dan besarnya momentum sudut arah z dapat digambarkan sebagai berikut.
ħ
Gambar 2.1 Besarnya momentum sudut dan arah momentum sudut Fungsi gelombang dengan ℓ = 1 dan ℓ = 2
√2 ħ
-ħ
Pada ℓ = 1, besarnyan momentum sudut (panjang anak panah), L = √2 ħ dan arahnya seperti gambar di samping sehingga proyeksinya ke sumbu z, Lz ada yang -1 ħ, 0, dan 1 ħ (ada tiga arah, multiplisitas = 3)
ℓ=1
2ħ ħ
√6 ħ
-ħ -2ħ
ℓ=2
Pada ℓ = 2, besarnya momentum sudut, L = √6 ħ dan arahnya seperti gambar di samping sehingga proyeksinya ke sumbu z, Lz ada yang -2ħ, -1ħ, 0, 1ħ, dan 2 ħ (ada lima arah, multiplisitas = 5)
Diagram di atas menunjukkan bahwa degenerasi atau multiplisitas momentum
sudut orbital adalah (2ℓ+1). Apabila ℓ = 1, maka multiplisitasnya adalah 3 dan apabila ℓ = 2, maka multiplisitas momentum sudut orbitalnya adalah 5. Untuk ℓ = 1 , besarnya momentum sudut orbitalnya adalah √2 ħ dan momentum sudut arah sumbu z bisa berharga 0, -ħ,
dan +ħ. Untuk ℓ = 2 , harga momentum sudut orbitalnya adalah √6.ħ
dan momentum sudut orbital arah sumbu z bisa berharga – 2 ħ, - ħ, 0, + ħ, dan +2 ħ. Apabila tidak ada faktor pengarah dari luar, dalam atom sebenarnya tidak ada arah z. Arah z baru akan ada apabila ada gaya luar seperti medan magnet yang akan memberikan arah z sesuai dengan arah medan magnet. Pada kasus adanya medan magnet ini, orientasi momentum sudut orbital akan terkuantisasi sesuai dengan bilangan kuantum m. Oleh sebab itu, bilangan kuantum m disebut dengan bilangan kuantum magnetik yang menyatakan arah momentum sudut orbital. Bilangan kuantum magnetik juga sekaligus memberikan orientasi atau arah dari orbital seperti yang akan diuraikan setelah ini. Adanya pengarahan momentum sudut oleh medan magnet ini ditunjukkan dengan jelas oleh data spektrum atom yang berasal dari tanpa medan magnet dengan medan magnet kuat. Dalam medan magnet yang kuat teramati bahwa spektrum garis pecah menjadi lebih banyak garis yang sering disebut dengan efek Zeemann. Pecahnya garis spektrum menandakan bahwa dalam medan magnet, tingkat energi atom menjadi tidak terdegenerasi lagi yang dikontribusi oleh harga momentum sudut orbital arah z yang berbeda.
3.3.4 Bilangan Kuantum Spin dan Arah putar elektron Perkembangan lebih maju tentang pengamatan spektrum atom menunjukkan bahwa garis spektrum yang semula dianggap tunggal, di dalam medan magnet yang tinggi, ternyata terdiri dari dua garis yang sangat berdekatan satu sama lain. Berdasarkan data ini, Uhlenbeck dan Goudsmit mengusulkan bahwa elektron selain bergerak mengelilingi inti atom (evolusi), elektron juga mempunyai gerakan rotasi sehingga di samping mempunyai momentum sudut orbital, juga memiliki momentum sudut spin. Hasil percobaan menggunakan bubuk perak menunjukkan bahwa elektron mempunyai dua arah putar spin. Kedua harga arah spin ini dinotasikaan dengan m s = ½ dan ms = - ½ yang masing-masing bermakna arah putar searah jarum jam dan berlawanan dengan arah putar jarum jam.
Pemecahan persamaan Schrodinger atom hidrogen seperti yang telah diuraikan sebelumnya tidak menghasilkan bilangan kuantum spin, s. Jawaban mekanika kuantum tentang persoalan spin elektron baru dikemukakan kemudian (1928), yaitu dengan memasukkan faktor relativitas ke dalam persamaan Schrodinger atom hidrogen. Paul Dirac berjasa besar dalam memecahkan mekanika kuantum relativistik yang melibatkan spin elektron ini. Penyelesaian dari mekanika kuantum relativistik menghasilkan fungsi gelombang yang di
samping ditentukan oleh bilangan kuantum n, ℓ, dan m, juga
ditentukan oleh bilangan kuantum spin, s, yang berharga ½.. Momentum sudut spin dan momentum sudut spin arah sumbu z dapat ditentukan dengan cara yang mirip dengan momentum sudut orbital dan momentum sudut orbital arah z, yaitu dengan mengerjakan fungsi gelombang terhadap operator momentum sudut spin dan operator momentum sudut spin arah z.
Ŝ2 Ψn,ℓ,m,s(r,,θ) = [s(s+1)] ħ2 Ψn,ℓ,m,s(r,,θ),
dimana s = ½
Ŝz Ψn,ℓ,m,s(r,,θ) = ms ħ Ψn,ℓ,m,s(r,,θ),
dimana ms = - ½ dan + ½
Adanya dua jenis momentum sudut, orbital dan spin, yang masing-masing memiliki arah terkuantisasi, maka perlu penciri yang membedakan bilangan kuantum arah orbital dan bilangan kuantum arah spin. Bilangan kuantum arah momentum sudut orbital diberi simbol mℓ dan bilangan kuantum arah spin diberi simbol m s. Sampai di sini tentu jelas bagi anda bahwa simbol yang tepat untuk bilangan kuantum arah momentum sudut orbital atau bilangan kuantum magnetik adalah bukan m, melainkan mℓ. Untuk selanjutnya akan digunakan mℓ pada paparan materi ajar ini.
3.4 Kebolehjadian dan Diagram Orbital Fungsi gelombang total hasil pemecahan persamaan Schrodinger nonrelativistik atom hidrogen adalah produk atau hasil kali dari fungsi gelombang radial, fungsi gelombang
sudut , dan fungsi gelombang sudut θ. Ψn,ℓ,m(r,,θ) = n (r ) . m( ) . m( )
Beberapa fungsi gelombang atom hidrogen atau atom seperti hidrogen disajikan di bawah ini. Sebagian besar fungsi gelombang tersebut adalah imaginer, kecuali fungsi gelombang dengan m = 0.
Z Ψ(1s) = Ψ(100) = a o
3/ 2
Z Ψ(2s) = Ψ(200) = ao
3/ 2
2.e
Z Ψ(2p) = Ψ(210) = ao
3/ 2
3/ 2
1
1 2 6
3/ 2
Z Ψ(3d) = Ψ(320) = ao
3/ 2
1 2 6
3/ 2
. .e / 2 .
1
3/ 2
3/ 2
1 2
1
2
.Sin .
.Sin .
. 2 .e / 2 .
15
. 2 .e / 2 .
15
. 2 .e / 2 .
15
. 2 .e / 2 .
15
9 30
9 30
3
3
.
.Cos .
2
2
2
10
1
1
6
2
. 2 .e / 2 .
1
9 30
Z Ψ(3d) = Ψ(32-2) = ao
2
.
. .e / 2 .
9 30
3/ 2
2
. .e / 2 .
9 30
Z Ψ(3d) = Ψ(32-1) = ao
.
.(2 ).e / 2 .
2 6
Z Ψ(2p) = Ψ(211) = ao
Z Ψ(3d) = Ψ(322) = ao
1 2 2
Z Ψ(2p) = Ψ(21-1) = ao
Z Ψ(3d) = Ψ(321) = ao
/ 2
4
4
4
2 1 2 1 2 1 2
.e i
.e i
1
.(3Cos 2 1).
2
2
1
.Sin .Cos .
.Sin 2 .
2
2
2
2
1
1
1
1
.Sin .Cos .
.Sin 2 .
2 .e i
.e i
.e 2i
.e 2i
3.4.1 Peluang atau Kebolehjadian Radial Salah satu postulat mekanika kuantum menyatakan bahwa harga fungsi gelombang atau tepatnya kuadrat fungsi gelombang adalah kebolehjadian menemukan partikel pada kedudukan atau posisi tertentu. Kebolehjadian atau peluang menemukan elektron pada posisi di sekitar inti inilah yang selanjutnya disebut orbital (diambil dari istilah orbit yang digunakan dalam atom Bohr, tetapi mempunyai pengertian yang berbeda). Adanya harga fungsi gelombang pada kedudukan tertentu berarti ada peluang menemukan elektron pada kedudukan tersebut. Agar memperoleh gambaran yang lebih baik dan menyeluruh tentang peluang menemukan elektron, maka dapat
dibuat grafik hubungan antara fungsi gelombang atau kuadrat fungsi gelombang terhadap kedudukan. Grafik aluran fungsi gelombang atau kuadrat fungsi gelombang terhadap
kedudukan r, , dan θ memberikan diagram peluang yang sulit dipahami. Gambaran peluang menemukan elektron akan lebih mudah dipahami apabila dibuat grafik peluang terhadap jarak dari inti, r, yang dibuat secara terpisah dengan grafik peluang
sudut, , dan θ. Peluang menemukan elektron pada kedudukan tertentu, secara mekanika kuantum dinyatakan dengan integral dari fungsi kerapatan kebolehjadian. P=
r
0
0
0
2n,( r ) .2, m( ) . 2m( ) .d
Dengan menggantikan d η (integral volume) dengan perubahan variabel pada sistem koordinat bola, maka; P=
r
0
0
0
2 n,
( r )
.2, m ( ) .2m ( ) .r 2 dr .Sin .d .d
Buktikan sendiri
Volume bola = 4/3 πr 3 atau 4πr 2dr (integral luas kulit bola dr). Agar d sama dengan integral volume bola, maka Buktikan harga integral dari
r
0
0
0
d = r 2dr .Sin .d .d .
.r 2 dr .Sin .d .d 4 / 3 r 3
Peluang radial, Pr , dapat diperoleh dengan mengintegrasi langsung kuadrat fungsi gelombang radial terhadap integral volume, Pr = Pr =
r
0
r
0
0
0
2 n,
2 n,
( r )
.2, m ( ) .2m ( ) .r 2 dr .Sin .d .d
2 2 r dr , m ( ) Sin .d ( r ) 0
2
0
2m( ) .d
Karena kita hanya berurusan dengan variabel radial, r, maka Fungsi gelombang sudut bisa dianggap sebagai konstanta (untuk mudahnya konstanta itu dimasukkan satu). Dengan demikian, Pr = Pr =.
r
0 r
2 n,
0
2 r dr Sin .d ( r )
2 n , ( r )
0
.4 .r 2 dr
2
0
.d
Gambaran Peluang radial ini mempunyai makna fisis yang tepat karena secara eksplisit besaran 4πr 2 dr bermakna volume kulit bola, sehingga peluang radial ini lebih tepat dimaknai sebagai peluang menemukan elektron pada volume setebal kulit bola (dr) pada jarak r dari inti (r sampai r+dr). Peluang menemukan elektron pada jarak tertentu dari inti, peluang radial (P r ), juga dapat diperoleh dengan membuat tetap variabel sudut
, dan θ. Caranya,
persamaan Pr di atas diintegrasi pada keseluruhan batas sudut , dan
θ, yaitu 0 ≤. ≤ π
dan 0 ≤.θ ≤ 2π. Pr = Pr =
r
r
0
0
2 n, ( r ) r 2 dr
2 n,
0
2
0
. 2,m ( ) . 2m ( ) ..Sin .d .d
r 2 dr 2, m ( ) Sin .d ( r ) 0
2
0
2m( ) .d
Karena fungsi gelombang sudah ternormalisasi, maka integral sudut, baik terhadap
,
maupun θ sama dengan 1, sehingga; Pr =
r
0
2
2 r dr n , ( r )
Persamaan yang mana saja digunakan untuk memperoleh gambaran kualitatif tentang kebolehjadian radial akan memperoleh hasil yang sama. Gambaran tentang peluang radial yaitu peluang menemukan elektron pada jarak r sampai r+dr diperoleh dengan cara mengalurkan harga .r 2 2 n , ( r ) atau 4 r 22 n, ( r ) terhadap r. Keduanya akan menghasilkan aluran peluang radial yang sama, seperti digambarkan di bawah ini.
1 s ( r )
4 .r 2 21 s ( r )
r
2 s ( r )
r
4 .r 2 2 2 s ( r )
r
r
4 .r 2 2 2 p ( r )
2 p ( r )
r
r
4 .r 2 2 3 s ( r )
3 s ( r )
r
r
4 .r 2 2 3 p ( r )
3 p ( r )
r
r
Gambar 2.2 Aluran grafik Fungsi Gelombang dan Fungsi Kerapatan Kebolehjadian Radial Atom Hidrogen terhadap r (jarak dari inti)
Fungsi gelombang radial 1s dan fungsi kerapatan peluang radial 1s adalah masingmasing : 3/ 2
Z 1 s ( r ) 2 .e Zr / a a0
3
0
4 .r 2
2 1 s ( r )
Z 16 r 2 .e 2 Zr / a a0
0
Diagram fungsi gelombang radial 1s dan kerapatan peluang radial 1s adalah seperti ditunjukkan pada gambar di atas. Diagram peluang radial 1s di atas menunjukkan bahwa rapat peluang menemukan elektron di inti atom dan pada jarak yang jauh tak hingga dari inti atom adalah 0 (nol). Rapat peluang mempunyai harga maksimum pada jarak tertentu dari inti. Jarak r dimana peluang radial maksimum untuk orbital 1s dapat dihitung dengan menurunkan persamaan kerapatan peluang radial di atas dan dihargakan 0 (nol) sehingga akan diperoleh bahwa peluang radial maksimum adalah
pada r = ao (jari-jari Bohr). Apa yang dikatakan Bohr sebagai lintasan hanyalah peluang menemukan elektron paling besar pada kulit bola setebal dr pada jarak jari jari Bohr (ao sampai dengan a o+dr). Diskusikan! Buktikan bahwa kebolehjadian radial maksimum untuk elektron yang berperilaku sebagai gelombang 1s adalah sama dengan jari-jari Bohr. Bantuan Kebolehjadian maksimum adalah titik balik kurva sehingga turunan pertama fungsi kerapatan kebolehjadian radial di titik tersebut adal ah nol.
3.4.2 Peluang Sudut Peluang menemukan elektron pada jarak tertentu dari inti atom telah diuraikan pada subpokok bahasan peluang radial. Pertanyaan kita selanjutnya adalah bagaimanakah kita mengetahui peluang menemukan elektron pada ruang atau sudutsudut tertentu di sekitar inti? Dengan cara yang mirip dengan pembahasan seperti peluang radial, pertanyaan ini akan terjawab bila kita mempunyai bentuk diagram
sudut fungsi gelombang, yaitu suatu aluran harga fungsi gelombang terhadap sudut dan θ. Kalau k embali dicermati bentuk persamaan fungsi gelombang sudut atom hidrogen, ternyata sebagian besar fungsi gelombang tersebut adalah imaginer, kecuali bila harga m = 0. Tentunya kita tidak akan pernah bisa menggambarkan diagram sudut
fungsi gelombang yang imaginer. “Kajian kuantum” memecahkan kesulitan ini dengan cara merealkan fungsi gelombang imaginer dengan cara kombinasi linear. Menurut kajian penyel esaian
persamaan differensial, “kombinasi linear dari fungsi-
fungsi yang merupakan penyelesaian dari suatu persamaan diferesial adalah juga penyelesaian dari persamaan
diferensial tersebut”. Dengan demikian, fungsi
gelombang real yang dihasilkan dari kombinasi linear fungsi gelombang imaginer adalah juga penyelesaian dari persamaan Schrodinger atom hidrogen. Fungsi-fungsi gelombang real atom hidrogen inilah yang dikenal
sebagai Ψ2px
Ψ2py, Ψ2pz, Ψ3dz2, Ψ3dxy, Ψ3dxz, Ψ3dx2- y2, Ψ3dyz, dll. Fungsi-fungsi gelombang inilah yang dapat digambarkan diagram sudutnya yang selanjutnya sering dikatakan sebagai gambar orbital yang sangat berguna dalam menjelaskan ikatan kimia. Detail perhitungan kombinasi linear fungsi gelombang imaginer menjadi fungsi gelombang
real dapat dilihat pada buku-buku mekanika kuantum. Beberapa hal yang perlu dicatat dari kombinasi linear tersebut adalah: a. Fungsi gelombang dimana harga m = 0 sudah real sehingga tidak dikombinasi linearkan b. Nama-nama dengan variabel x, y, dan z adalah berasal dari pengubahan
variabel koordinat bola, yaitu r, dan θ menjadi variabel koordinat Cartesian. c.
Ψ2pz dan Ψ3dz2 mempunyai harga m = 0
d. Kombinasi linear dilakukan antara dua fungsi gelombang yang harga n, l, dan m yang sama, hanya berlawanan tanda untuk harga m-nya. e. Kombinasi linear antara dua fungsi gelombang imaginer akan menghasilkan dua fungsi gelombang real, yaitu berasal dari hasil penjumlahan dua fungsi gelombang dan hasil pengurangan dari dua fungsi gelombang tersebut.
Formula matematika yang perlu diketahui terkait dengan melakukan kombinasi linear ini adalah seperti disajikan di bawah ini. e x = cos x + i sin x e-ix = cos x – i sin x cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B sin (A + B) = sin A. cos B + cos A. sin B cos (A – B) = cos A. cos B + sin A. sin B sin (A – B) = sin A. cos B – cos A. sin B
Dengan menerapkan acuan di atas telah diperoleh hasil kombinasi linear fungsi-fungsi gelombang imaginer sbb.
Ψ2px diperoleh dari hasil penjumlahan Ψ2p-1 dengan Ψ2p+1
Ψ2py diperoleh dari hasil pengurangan Ψ 2p-1 dengan Ψ2p+1
Ψ3dxz dan Ψ3dyz adalah hasil kombinasi linear dari Ψ 3d-1 dengan Ψ3d+1
Ψ3dxy dan Ψ3dx2-y2 adalah hasil kombinasi linear dari Ψ 3d-2 dengan Ψ3d+2 Beberapa fungsi gelombang real atom hidrogen hasil kombinasi linear
disajikan di bawah ini.
Ψ1s =
1 Z
a o
3/ 2
.e
/ 2
.
Z Ψ2s = 4 2 a o 1
3/ 2
(2 ).e
/ 2
.
3/ 2
Z ..e / 2 sin . cos Ψ2px = 4 2 a o 1
3/ 2
Z ..e / 2 sin . sin Ψ2py = 4 2 ao 1
3/ 2
Z ..e / 2 cos Ψ2pz = 4 2 ao 1
Z Ψ3dz2 = 81 6 ao 1
Ψ3dxz = Ψ3dyz =
3/ 2
9 / 4. 2 .e / 2 (3 cos 2 1)
2 Z
3/ 2
2 Z
3/ 2
9 / 4. 2 .e / 2 sin . cos . cos
81 ao 81 ao
Z Ψ3dxy = 81 2 ao 1
9 / 4. 2 .e / 2 sin . cos . sin 3/ 2
9 / 4. 2 .e / 2 sin 2 . sin 2
Z Ψ3dx2-y2 = 81 2 ao 1
3/ 2
9 / 4. 2 .e / 2 sin 2 .. cos 2
============================================================ Contoh 1.
Kombinasi linearkan dua fungsi gelombang imaginer, yaitu Ψ 31-1 dan Ψ31+1 dan beri nama fungsi gelombang real hasil kombinasi linear tersebut. Jawab Persamaan dari dua fungsi gelombang imaginer tersebut adalah
Z Ψ(21-1) = ao Z Ψ(211) = ao
3/ 2
3/ 2
1 2 6 1 2 6
. .e / 2 .
. .e / 2 .
3 2 3 2
.Sin .
.Sin .
1 2 1 2
.e i
.e i
Kedua fungsi gelombang itu bisa ditulis lebih sederhana sebagai berikut.
Ψ(21-1) = (......).Sin .ei
Ψ(21+1) = (......).Sin .ei Kombinasi linear
ΨI = N [ (......).Sin .ei + (......).Sin .ei ] ΨII = N [ (......).Sin .ei - (......).Sin .ei ] N adalah tetapan normalisasi fungsi gelombang hasil kombinasi linear Penyelesaian lebih lanjut persamaan di atas menghasilkan:
ΨI = N (......).Sin .(ei ei ) ΨI = N (......).Sin .2Cos , angka 2 bisa digabung ke dalam keranjang (kurung). Ingat bahwa di dalam kurung (….) terdapat faktor yang berhubungan dengan variabel r.
2 Z r na o
Sehingga kalau kita keluarkan variabel r dari dalam kurung (….), maka
ΨI = N (......).rSin .Cos Besaran rSin .Cos
adalah sama dengan x pada koordinat cartesian sehingga Ψ I
sama dengan Ψ2px. Dengan cara yang sama anda dapat menyelesaikan kombinasi linear yang kedua.
ΨII = N (......).Sin .(ei ei ) ΨII = N (......).Sin . 2iSin ΨII = N (......).rSin .Sin ΨII = Ψ2py =========================================================== Contoh 2
Kombinasi linearkan dua fungsi gelombang imaginer, yaitu Ψ 32-1 dan Ψ32+1 dan beri nama fungsi gelombang real hasil kombinasi linear tersebut. Jawab Persamaan dari dua fungsi gelombang imaginer tersebut adalah
Z Ψ(3d) = Ψ(32-1) = ao Z Ψ(3d) = Ψ(321) = ao
3/ 2
3/ 2
1
. 2 .e / 2 .
15
. 2 .e / 2 .
15
9 30 1 9 30
2
2
.Sin .Cos .
.Sin .Cos .
1 2 1 2
.e i
.e i
Kedua fungsi gelombang itu bisa ditulis lebih sederhana sebagai berikut.
Ψ(21-1) = (......).Sin .ei Ψ(21+1) = (......).Sin .ei Kombinasi linear
ΨI = N [ (......).Sin .ei + (......).Sin .ei ] ΨII = N [ (......).Sin .ei - (......).Sin .ei ] N adalah tetapan normalisasi fungsi gelombang hasil kombinasi linear Penyelesaian lebih lanjut persamaan di atas menghasilkan:
ΨI = N (......).Sin .(ei ei ) ΨI = N (......).Sin .2Cos , angka 2 bisa digabung ke dalam keranjang (kurung). Ingat bahwa di dalam kurung (….) terdapat faktor yang berhubungan dengan variabel r.
2 Z r na o
Sehingga kalau kita keluarkan variabel r dari dalam kurung (….), maka ΨI = N (......).rSin .Cos Besaran rSin .Cos
adalah sama dengan x pada koordinat cartesian sehingga Ψ I
sama dengan Ψ2px. Dengan cara yang sama anda dapat menyelesaikan kombinasi linear yang kedua.
ΨII = N (......).Sin .(ei ei ) ΨII = N (......).Sin . 2iSin ΨII = N (......).rSin .Sin ΨII = Ψ2py =============================================================
Gambaran peluang menemukan elektron di sekitar inti (gambar orbital) dibuat dengan membuat diagram sudut fungsi gelombang real. Bentuk-bentuk diagram sudut fungsi gelombang dapat dibuat dalam bentuk diagram permukaan kontur, dimana di dalam permukaan kontur tersebut terdapat peluang menemukan elektron sekitar 95 %. Beberapa diagram permukaan kontur orbital adalah seperti disajikan di bawah ini.
z
Orbital 2p +
y
+
-
Tentu, untuk memperoleh pemahaman yang eksak tentang aluran grafik sudut fungsi
gelombang, kita harus memasukkan banyak harga variabel (r, dan θ ). Kita juga dapat membuat grafik sudut fungsi gelombang pada harga r tertentu. Berikut adalah cara pendekatan untuk memahami mengapa grafik sudut fungsi gelombang atom Hidrogen seperti yang disajikan di atas. Tanda positif dan negatif pada diagram kontur orbital di atas adalah tanda
matematika dari harga fungsi gelombang pada sudut dan θ tertentu. Bentuk diagram permukaan kontur dan tanda matematika ini memegang peranan penting dalam menggambarkan ikatan kimia. Ikatan antar orbital atom terjadi apabila bagian positif dari orbital yang satu tumpang suh dengan bagian positif dari orbital yang lain, dan bagian negatif tumpang suh dengan bagian negatif dari orbital yang lain. Ikatan yang terjadi searah dengan sumbu orbital atom yang berikatan disebut dengan ikatan sigma,
ζ, sedangkan ikatan kimia yang terjadi dengan sejajar sumbu (paralel) disebut dengan ikatan phi, π, atau juga bisa ikatan delta (δ). Orbital dengan tanda matemaika sama bila diputar 180º disebut dengan orbital simetris, dan apabila tanda matematikanya berubah disebut orbital asimetris. Untuk dapat memahami cara membuat grafik sudut secara sederhana, lakukanlah prosedur berikut. a.
Ubahlah fungsi gelombang sudut dan θ menjadi fungsi gelombang sudut saja atau sudut θ dengan mengganggap sudut y ang tidak menjadi fokus perhatian sebagai suatu konstanta
b.
Buatlah grafik harga fungsi terhadap sudut saja dan juga terhadap θ saja
c. Ubahlah grafik pada bagian (b) ke dalam bentuk grafik sudut d.
Gabungkanlah grafik sudut dalam koordinat bola terhadap sudut dan sudut θ
Grafik sudut fungsi gelombang s (1s ataupun 2s)
Problem
1. Tuliskan persamaan schrodinger atom hidrogen menggunakan sistem koordinat bola ? 2. Pisahkanlah persamaan schrodinger atom hidrogen menjadi persamaan yang hanya mengandung satu variabel saja, r, , dan θ? 3. Jelaskan bagaimana bilangan kuantum azimut dibatasi oleh bilangan kuantum utama ? 4. Jelaskan apa yang dimaksud dengan orientasi ruang momentum sudut orbital terkuantisasi 5. Jelaskan apa yang dimaksud dengan kulit atom dan sub kulit atom ? 6. Buktikan bahwa kombinasi linear fungsi gelombang imaginer 2p-1 dengan 2p+1 menghasilkan fungsi gelombang real 2px dan 2py ? 7. Gambarkan diagram fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang sudut (permukaan kontur orbital) dari elektron yang berkelakuan sebagai gelombang ψ3dxy. Jelaskan makna diagram tersebut dikaitkan dengan gambaran atom modern 8. Buktikan bahwa peluang radial terbesar menemukan elektron pada orbital 1s adalah pada jarak sama dengan jari-jari Bohr ? 9. Diketahui fungsi gelombang sudut atm hi drogen adalah : Θl,m () = (2l+1)(l-/m/)! / 2(l+/m/). Plm (cos) Tunjukkan bahwa bilangan kuantum magnetik dibatasi oleh bilangan kuantum azimut: /m/ ≤ 1 10. Apa yang dimaksud dengan momentum sudut orbital dan momentum sudut spin, bilangan kuantum apa saja yang menentukan harga momentum sudut tersebut, dan hitunglah momentum sudut orbital dan sudut spin dari elektron yang berkelakuan
sebagai gelombang ψ3dx0.
11. Hitunglah harga ekspektasi r suatu elektron yang berkelakuan sebagai gelombang ~ ~ 3! n! 1s dan 2s. Diketahui dan e 2 r / ao .r 3 dr x n .e ax dx ( n 1) 3 1 0 0 (2 / a o ) a
