Permbledhje e Ligjeratave Statistike- Rahmije Mustafa

1-1

Çështë Statistika ? Qëllimet: Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të : Kuptoni rolin dhe rëndësinë e statistikës. Spjegoni se çka kuptoni me dukuri masive variabile, mostër, njësi statistikore dhe variabël. Bëni dallimin në mes të variablave kualitative dhe variablave kuntitative Bëni dallimin në mes të variablave diskrete dhe variablave të vazhdueshme. Kuptoni se çka është Statistika Deskriptive dhe Statistika Reprezentative. Keni një paraftyrim rreth zhvillimit historik të statistikës.

Kuptoni rëndësinë e kompjuterëve Bazat e Statistikësdhe 2010 softverëve për aplikimin e 1 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu metodave statistikore

Kuptimi dhe rëndësia e statistikës



H.G.Wells: ”Mënyra statistikore e të menduarit një ditë do të jetë e domosdoshme për qytetari efektive si aftësia për të lexuar “



Më 1998, David Moore, kryetar i Asociacionit të Statistikës Amerikane: ”Edhe pse statistika është shkencë matamatikore, ajo nuk është pjesë e matematikës, dhe as që duhet studentëve t’iu spjegohet në atë mënyrë”. Statistika ka metodën e vet induktive të të menduarit që dallon dukshëm nga metoda deduktive në matematikë. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

2

1

Kuptimi dhe rëndësia e statistikës  2002- Statisticientët (50) më të njohur në botë:

“Statistika nuk është fushë e matematikës, por vetëm shfrytëzues i madh i matematikës si dhe i metodave të tjera të llogaritjes” 

Gjithashtu kanë theksuar se statistika ka natyrë multidiciplinare dhe se qëllimi i përbashkët i profesionit të statisticientit është nxjerrja e informatave nga të dhëna të llojllojshme.

Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

3

1-2

Kuptimi dhe rëndësia e statistikës Statistika për biznes dhe ekonomi:  Statistika është shkencë e grumbullimit, organizimit, prezantimit , analizimit dhe interpretimit të dhënave numerike me qëllim të ndihmës për marrjen e vendimeve më efektive në kushtet e pasigurisë.  Për të kuptuar statistikën duhet analizuar Dukuria variabile  Dukuria variabile është ajo dukuri në të cilën ndikojnë shumë faktorë dhe për këtë arsye ajo në paraqitjen e saj merr vlera të ndryshme nga një rast në tjetrin. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

4

2

Kuptimi dhe rëndësia e statistikës Pse paraqiten variacionet? Për arsye se në dukuri veprojnë , në përgjithësi, e veçanërisht në ekonomi dhe shoqëri, në të njejtën kohë shumë faktorë. 

Pse duhet të hulumtohen variacionet? Që të shikohet se çka është e rëndësishme në to e çka jo, sa janë devijimet (shmangiet) në raport me “normalen” 


5

Definicioni i statistikës  Statistika

është shkencë e grumbullimit, organizimit, prezantimit , analizimit dhe interpretimit të dhënave të dukurive masive variabile.


6

3

Pse duhet të mësohet statistika? 

Arsyeja e parë: Gjithkund hasim në të dhëna numerike;



Arsyeja e dytë : Teknikat statistikore shfrytëzohen për të marrë vendime të cilat kanë ndikim në jetën tonë, gjegjësisht që ndikojnë në mirëqenjen tonë personale.



Arsyeja e tretë: Njohuritë për metodat statistikore ndihmojnë që të kuptojmë pse janë marrë vendimet dhe të kuptojmë më mirë se çfarë efekti kanë në jetën tonë, etj. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

7

1-3

Kush e shfrytëzon statistikën ? 

Teknikat statistikore gjerësisht shfrytëzohen nga marketingu, kontabiliteti , kontrolli i kualitetit, konsumatorët, njerëzit profesional të sportit, administrata e spitaleve, arsimtarët, politikanët, fizicientët etj…..



Përdorimi i gjerë i kompjuterëve, a para se gjithash i softverëve të ndryshëm statistikor, i ka krijuar hapësirë shfrytëzuesve të statistikës që në mënyrë relativisht të thjeshtë të përdoret në shumë disiplina shkencore; mjekësi, psikologji, farmaci, veterinari, astronomi, biologi, sociologji, fizikë, gjeologji, inxhinjeri, ekonomi, biznis, etj. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

8

4

Elementet e analizës statistikore Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria masive  Mostra  Njësia statistikore (individi)  Të dhënat statistikore (atributi ose tipari statistikor), Variablat. 


9

Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria masive 

Dukuritë masive / kolektive ose popullimi statistikor janë grumbull i njerëzve, objekteve, sendeve, rasteve, ngjarjeve etj, që janë me interes. Dukuria masive është sasia e diferencuar në mënyrë cilësore.


10

5

Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria masive Varëshisht nga qëllimi i hulumtimit, tërësia e përgjitshme mund të përbëhet nga njerëzit, kafshët, ngjarjet, objektet, sendet.  Kështu për shembull tërësinë statistikore mund ta përbëjnë: - të gjithë banorët e një qyteti, - të gjithë studentët e një fakulteti, - fondi i kafshëve në një shtet, të gjitha ndërmarrjet në një regjion, ose komunë ose shtet, - të gjithë kompjuterët në një universitet, etj. 


11

Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria masive

Tërësinë statistikore mund ta përbëjnë edhe ngjarjet si:  vizitat turistike,  importi dhe eksporti,  prodhimi dhe konsumi,  veprat kriminale,  fatkeqësitë e komunikacionit, etj. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

12

6

Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria masive Tërësia e përgjithshme duhet të definohet saktë nga aspekti:  



Përmbajtësor; (punëtorët) Hapësinor; (ndërmarrjet e vogla në Kosovë)

Kohor. (01.06.2008)

Shembull. Popullimi statistikor: Punëtorët në ndërmarrjet e vogla në Kosovë më 01.06.2008


13

Mostra/Zgjedhja 

Mostra është porcion ose pjesë e popullimit me interes, përmes së cilës merret vendimi, bëhet vlerësimi , parashikimi ose përgjithësimi rreth popullimit.


14

7

Populacioni dhe mostra Populacioni/dukuria masive

Mostra


15

Pse mostra? Pamundësia fizike për të kontaktuar me të gjitha njësitë e popullimit.  Shpenzimet e studimit të të gjitha njësive në popullim.  Rezultatet e mostrës zakonisht janë adekuate.  Kontaktimi i të gjitha njësive do të marrë shumë kohë.  Natyra shkatërruese e disa provave/testeve. 

16

8

Njësia statistikore (individi) Njësia statistikore (individi) paraqet elementet individuale prej të cilave përbëhet tërësia e përgjithshme ose dukuria masive të cilat kanë karakteristika variabile.  Njësia (individi ) paraqet pjesën përmbajtësore të dukurisë masive dhe ka rëndësi të veçantë. Shembull: Regjistrimi i popullsisë – banori, për standardin jetësor- familja, etj. 


17

Të dhënat statistikore, (atributi ose tipari- VARIABLAT) 

Të dhënat statistikore, (atributi ose tipari (variablat) paraqesin çdo veti të veçantë për secilin dhe të përbashkët për të gjitha njësitë statistikore.


18

9

1-7

Tipet (llojet ) e Variablave 

Variabla kualitative ose Atributive: karakteristikat e variablave që studiohen janë jo numerike dhe mund të jenë nominale dhe rendore/shkallore.

SHEMBUJ: Gjinia, përkatësia fetare, tipi i automobilit, vendi i lindjes, ngjyra e syve etj. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

19

1-8

Tipet (llojet ) e Variablave 

Variabla kuantitavie (sasiore-numerike): variablat mund të raportohen në mënyrë numerike dhe mund të jenë në intervale dhe proporcionale.

SHEMBULL: bilanci në llogarinë e juaj bankare, mosha e punëtorëve të një firme, numri i fëmijëve në një familje, etj. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

20

10

1-9

Variabla kuantitavie (sasiorenumerike) 





Variablat kuantitative mund të klasifikohen si diskrete - të ndërprera dhe të vazhdueshmekontinuale . Variablat diskrete - të ndërprera: mund të marrin vetëm disa vlera të caktuara dhe gjithmonë ka “ndërprerje” në mes të vlerave. SHEMBULL: numri i dhomave të fjetjes në shtëpi ( 1,2,3,.., etj), numri i anëtarëve të familjes, etj. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

21

1-10

Variabla kuantitavie (sasiorenumerike) 

Variablat e vazhdueshme - kontinuale: mund të marrin çfarëdo vlere brenda një rangu të caktuar.

SHEMBULL: Koha e kaluar me aeroplan prej Prishtine në Gjenevë, gjatësia e nxënësve të një klase, etj. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

22

11

Përmbledhje e llojeve të variablave Të dhënat/variablat

Numerike/Kuantitative)

Kualitative/Atributive) Shembuj: •gjinia, nacionaliteti ngjyra e flokëve,etj

Diskrete /të ndërprera Shembuj: •Numri i fëmijëve, Numri i të punësuarëve, Numri i kinemave Numri i veturave të shitura

Të vazhdueshme /kontinuale Shembuj: •Mosha e studentëve Kilometrat e kaluara në mes të dy distancave Gjatësia trupore e nxënësve, etj


23

Të dhënat/variablat Të dhënat statistikore mund të klasifikohen edhe sipas nivelit të matjes së tyre.    

Niveli nominal i të dhënave (të parënditshme) Niveli ordinal i të dhënave (të renditëshme) Niveli interval i të dhënave Niveli proporcional i të dhënave


24

12

Shembull për të dhënat nominale/ të parenditshëm Variablat kualitative

Kategoritë/Modalitetet

Pronarë i automobilit

Po

Jo

Gjendja martesore

I/e martuar; I/e pamartuar; I/e ve; I/e ndarë

Gjinia

Mashkull; Femër

Veprimtaritë ekonomike Industria dhe xehtaria; bujqësia; tregtia; pylltaria, ndërtimtaria; komunikacioni dhe lidhjet; etj Format ligjore të shoqërive tregtare

Biznes individual, Partneritet, Korporatë, etj Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

25

Shembuj pët të dhënat ordinale/ të renditshme

Variablat kualitative

Kategoritë/Modalitetet

Kënaqja me produktin

Shumë i pakënaqur; pak i pakënaqur; neutral, Pak i kënaqur; shumë i kënaqur (Shkallët e Likertit)

Thirrjet akademike të profesorëve

Profesor i rregullt; Profesor i asocuar; Profesor asistent; Assistent; Asistent i ri.

Suksei i studentëve

10;

9;

8;

7;


6;

5.

26

13

Shembuj të shkallës intervale dhe proporcionale të dhënave Variablat kuantitative

Niveli i matjeve

Temperatura (në shkallë Celsius ose Fafrenheit)

Intervale

Gjatësia (në metra dhe cm)

proporcionale

Pesha (në litër ose kg)

Proporcionale

Pagat (në euro apo valutë tjerër)

Proporcionale


27

Shembull. Vrojtimi i punëtorëve të firmës “X” Emri dhe mbiemri

Gjinia

Mosha

Pozita

Pervoja Paga vjetore e punes (000)

Albulena Z.

F

30

Menaxhere

12

20

Afrim T.

M

25 Shefe e shitjes

13

15

Vjollca M

F

22.3

Financa

10

10

Aferdita I.

F

45

Marketing

2

8

Agon T.

M

32.5

Shites

5

6

Genc M.

M

23.8

Shites

8

6

Adelina B.

F

27

Shites

6

6

Bardha M.

F

19

Shites

14

6

Yll T

M

27

Shofer

12

5

Valton K.

M

28.6

Shofer

3

5


28

14

Shembull, vazhdim



Popullimi/tërësia e përgjithshme: Të gjithë punëtorët e firmës “X”.



Mostra/Zgjedhja : Disa elemente të popullimit,p.sh. Albulena, Ylli, Vjollca, Genci.



Njësitë statistikore: Albulena, Afrimi, Vjollca, … Valtoni.



Variabla cilësor: Gjinia, Pozita në firmë/



Variabla numerikë: Mosha, Përvoja e punës, Paga vjetore. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

29

Burimet e të dhënave statistikore Primare

Sekondare

Mbledhja e të dhënave

Të dhëna të grumbulluara

Të printuara ose

Vrojtimi

elektronike

Studimi

Eksperimentimi Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

30

15

1-12

Burimet e të dhënave statistikore Burime primare janë ato të cilat krijohen përmes vrojtimit dhe përmbledhjes së të dhënave për qëllime të hulumtimit të fenomeneve me interes. Burime Sekonadare janë të dhënat që sigurohen nga burime sekondare siç janë entet e statistikave, ose institucione të autorizuara për mbledhjen e të dhënave primare (banka qendrore, shërbimi i doganave, shërbimet e ndryshme komunale, raportet për afarizmin e firmave etj).





Burimet sekondare gjinden në vjetar të ndryshëm statistikorë në nivel ndërkomëtar, rajonal dhe kombëtar, në artikujt e publikuar, në revista, gazeta, etj.




31

Burimet ndërkombëtare 

 



Organizata e Kombeve të Bashkuara-“Statistical yearbook” (Vjetari statistikor ), Demgraphic yearbook (Vjetari demografik), Yearbook of national accounts statistic ( Vjetari statistikor i llogarive kombëtare) etj. Organizata Ndërkombëtare e Punës (ILO)- Yearbook of Labour Statistic ( Vjetari statistior i punës). Organizata Ndërkombëtare e Shëndetësisë - “World Health Statistic annual” (Vjetari Statistikor i shëndetit botëror). Organizata Ndërkombëtare e Ushqimit (FAO)“”Production yearbook”(Vjetari i prodhimit), etj.


32

16

Burime rajonale 



Instituti i Statistikës së Unionit Evropian (EUROSTAT) publikon një gamë të gjerë periodikësh, zakonisht vjetor ose mujor, të cilët përmbajnë statistikat e fenomeneve të ndryshme të jetës ekonomike dhe sociale të vendeve që bëjnë pjesë në Bashkimin Evropian. Enti i Statistikës i BE, Eurostat-i, i jep rekomandimet lidhur me definicionet, klasifikimet dhe standardet. Për shtetet anëtare të BE disa nga këto rekomandime janë të obligueshme. Natyrisht, standardet ndërkombëtare kanë për qëllim mundësimin e krahasueshmërisë ndërmjet shteteve dhe në kohë.


33

Burime nacionale Në Kosovë, Enti i Statistikave të Kosovës (ESK) bënë publikimin e një numri të caktuar të statistikave zyrtare përmes publikimeve të ndryshme si:  Publikimet e bujqësisë dhe të ambientit,  Publikimet ekonomike,  Publikimet e popullsisë,  Publikimet e përgjithshme etj. 


34

17

Enti i Statistikave të Kosovës (ESK) 

Në kuadër statistikave të përgjithshme, Enti i statistikës rregullisht publikon Buletinët mujor mbi statistikat e përgjithshme të cilët përcjellin trendët dhe ecuritë e çështjeve të ndryshme në Kosovë si:        

Statistikat vitale (lindjet, vdekjet, kurorëzimet, shkurorëzimet, etj) Tregu i punës; Kushtet sociale; Statistikat ekonomike të përgjithshme; Prodhimi i energjisë dhe rrymës elektrike; Transporti dhe komunikimi; Tregtia e jashtme; Çmimet, gjegjësisht indeksi i Çmimeve të konsumit (IÇK) i cili mat nivelin e kostos së jetesës së banorëve të Kosovës.


35

Statistikat zyrtare 







Statistikat zyrtare formojnë një pjesë të rëndësishme të infrastrukturës informative të shoqërisë. Statistikat zyrtare duhet të sigurojnë informacione globale lidhur me situatën dhe trendët zhvillimore. Statistikat e mira zyrtare duhet të japin një pasqyrë gjithëpërfshirëse të shoqërisë, andaj duhet t’i mbulojnë të gjithë sektorët, aspektet dhe konditat. Statistikat duhet të distribuohen në një formë që mundëson qasje të lehtë dhe formë të kuptueshme në mënyrë që t’i shfrytëzojnë të gjithë të interesuarit në shoqëri. Në bashkësinë ndërkombëtare, Kombet e Bashkuara i kanë përpiluar rekomandimet përkitazi me statistikat zyrtare dhe statistikat përkatëse të lëmenjve të ndryshëm. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

36

18

Pak histori për statistikën Zhvillimin e statistikës në vija të trasha mund ta ndajmë në tri etapa: 

Mbledhja e të dhënave për gjendjen e popullsisë, ushtarëve, detyruesve tatimor, para se gjithash për udhëheqjen e politikave të taksave.



Zhvillimi i teorisë së probabilitetit, statistikës i ka dhënë një mekanizëm të domosdoshëm i cili mundëson që në bazë të mostrës të bihen vendime të rëndësishme për tërësinë e përgjithshme.



Revolucioni në zhvillimin dhe disponueshmëria me kompjutor në dhjetë vitet e fundit i ka ofruar statistikës mundësi të jashtëzakonshme që ajo të jetë a aplikueshme në të gjitha fushat shkencore dhe të shfrytëzojë metodat e reja të cilat nuk do të mund të aplikoheshin pa mbështetjen e kompjuterëve. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

37

Rritja dhe zhvillimi i statistikës moderne Nevojat e qeverive për të mbledhur të dhëna për qytetarët e tyre

Zhvilli i teorisë së probabilitetit

Zbulimi i kopmpjuterit Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

38

19

Pak histori për statistikën 

Sot konsiderohet se fjala “Statistikë” rrjedh nga shprehja e re latine statisticum collegium (ligjërata për punët e shtetit).



Fjala “statistikë” rrjedh prej latinishtes mesjetare “status”, që tregon rendin politik, në këtë kuptim statistika është shkenca që përshkruan faktet më të rëndësishme të shtetit. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

39


Njeriu që për herë të parë e përdori emrin “Statistikë” në formë të shkruar është Gottfried Achenvall më 1784, i cili konsideron se detyra e statistikës është sistematizimi i të dhënave për popullsinë me qëllim të udhëheqjes së politikës shtetërore. Gottfried Achenwall (1723-1762)


40

20

Pak histori për statistikën Fillimet e statistikës si shkencë mund të gjinden në Gjermani dhe Angli në shekullin XVII dhe gjysmën e parë të shekullit XVIII, kur paraqiten dy koncepte të statistikës.



Në Gjermani zhvillohet shkolla e posaçme “Statistika Universitare” nga prof. Herman Konring (Hermann Counring, 1606 1681), Shkolla deskriptive ose përshkrimi i shtetit.


41


Në anën tjetër , në Angli është zhvilluar një koncept tjetër i statistikës “Aritmetika Politike” e cila është përgëzuar nga John Graunt (1620-1674), kurse më pas është përkufizuar si “art i të arsyetuarit përmes shifrave mbi çështjet që kanë lidhje me qeverisjen”. Përshkrimi dhe analiza. Është vënë theksi në nevojën për përpunim matematik të dhënave dhe përpjekjet për të zbuluar ligjshmëritë e sjelljeve të dukurive

John Graunt (1620-1674)


42

21

Tipet (Llojet ) e Statistikës Edhe sot ndihet ndikimi i ndryshimeve të këtyre dy qasjeve dhe statistika e aplikuar ndahet në dy grupe kryesore:  Statistika

deskriptive (Përshkruese)  Statistika representative (Inferenciale) (Mostra)


43

Zbërthimi i analizës statistikore Statistika

Statistia Deskriptive Përfshin  Mbledhjen  Organizimin  Përmbledhjen  Prezantimin e të dhënave

Statistika Inferenciale Përfshin  Bërjen e vlerësimeve  Testimin e hipotezave  Përcaktimin e raporteve  Bërjen e parashikimeve

22

1-4

Tipet (Llojet ) e Statistikës 





Statistika deskriptive: Metodat e organizimit, përmbledhjes dhe prezentimit të dhënave në mënyrë informative. SHEMBULL 1: Regjistrimi i popullsisë dhe krahasimi i të dhënave nëpër periudha të ndryshme kohore. SHEMBULL 2: Të ardhurat personale të punëtorëve të një firme konkrete, mosha e të punësuarve të kësaj firme, përvoja e punës ose elemente të tjera rreth punëtorëve të kësaj firme. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

45

1-5

Tipet (Llojet ) e Statistikës 





Statistika reprezentative (mostra): Vendimi , vlerësimi , parashikimi ose përgjithësimi rreth populacionit bazuar në mostër. Populacioni / dukuria masive është mbledhja e të gjithë individëve të mundshëm, objekteve dhe njësive të tjera me interes ose sasia e diferencuar në mënyrë cilësore. Mostra është porcion ose pjesë e populacionit me interes. Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

46

23

1-6

Tipet (Llojet ) e Statistikës (shembuj të statistikës reprezentative) 





SHEMBULL 1: TV – në mënyrë konstante monitorojnë popullaritetin e programeve të tyre duke bërë hulumtimin me një pjesë të shikuesve ose duke i angazhuar organizatat e specializuara për këtë qëllim. SHEMBULL 2: Departamenti i kontabilitetit të një firme të madhe do të zgjedhë një mostër prej disa faturave për të vërtetuar saktësinë e të gjithë faturave të firmës. SHEMBULL 3: Testuesit e verës do të provojnë disa gllënjka të verës për të marrë vendim në lidhje e Statistikës 2010 me shitjen e tyre. Dr.Bazat Rahmije Mustafa -Topxhiu

47

Disa veprime më të rëndësishme statistikore, zbulime dhe të dhëna për evolucionin e statistikës VITI

ZBULIMI OSE NGJARJA

AUTORI

3800 p.e.r.

Regjistrimi në Babiloni me qëllim të tatimit

2323 p.e.r.

Regjistrimi i fondit të kafshëve në Egjipt ( para kësaj date për cdo dy vjet, a pas kësaj date për cdo vjet)

1055 p.e.r.

Regjistrimi i popullsisë në Izrael

Mbreti David

550 p.e.r.

Regjistrimi i parë i popullsisë në Romë, Roma ka 83.000 banorë

Servilje Tulje

28 p.e.r.

Regjistrimi i popullsisë zbulon se në mbretërinë e Romës ka 4.063.000 banorë.

2

Regjistrimi i popullsisë më i vjetër rezultatet e të cilit janë ruajtur. Kina në bazë të këtij regjistrimi ka pasur 47.5 milionë banorë

Dinastia e Hunëve në Kinë

1086

Aksioni më i rëndësishëm statistikor në mesjetë - Regjistrimi i popullsisë në Angli, rezultatet janë botuar në Librin e gjyqit të tmerrshëm.

Williami i Parë Pushtues

1654

Vënia e themeleve të Teorisë së Probabilitetit

Blaise Pascal & Pierre de Fermat

1662

Studimi i parë demografik i publikuar i bazuar në tabelat e vdekjes

John Graunt

1676

Del nga shtypi “AritmetikaBazat politike” e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

William Petty 48

24

1710

Përdorimi i parë i një lloj testi statistikor

John Arbuthnott

1713

Shtypet punimi më i rëndësishëm për teorinë e probabilitetit në shek. e XVIII: Ars Conjectanti (Ligji i numrave të mëdhenj) Golden Theorem

Jacob Bernoulli

1733

Zbulimi i Shpërndarjes Normale

1749

Për herë të parë përmendet termi “STATISTIKË” në një punim

1763

Bazat e statistikës së Bayes-it, e bazuar në konceptet subjektive të probabilitetit

1801

Popullsia e botërore arrin në 1 miliard banorë

1805

Zbulimi i metodës së katrorëve më të vegjël

1809

Gausi përsëri zbulon shpërndarjen normale dhe zgjeron metodën e katrorëve më të vegjël

1812

Publikimi i parë i punimit nga teoria e gjasave

1853

Në Berlin organizohet Konferenca e Parë Ndërkombëtare e Statistikës

Abraham De Moivre Gottfried Achenvall Tomas Bayes

A.M.Legendre Carl F.Gauss Pierre S.Laplace Adolphe Quetelet


1885

Për here të pare futet ideja e regresionit

1896

Formulohet koeficienti korrelacionit të thjeshtë linear

1900

Formulohet testi χ2

1904

Formulohet Koeficienti i Korrelacionit të Spearman-it

1908

Zbulimi i vlerësimit të mesatares aritmetike në rastin kur devijimi standard i populacionit nuk dihet.

1918

Formulohet koncepti i analizës së variancës.

1925

Popullsia në botë arrin në 2 miliardë banorë

1925

Botohet libri “Metodat statistikore për hulumtim”, padyshim libri më me ndikim i statistikës në shekullin e XX

1933

Formulohet intervali i besimit, gabimi i llojit të II-të, fortësia e testit, regjionet kritike.

1933

Është vendosur koncepti aksiomatik i probabilitetit

1945

Është formuluar testi më i njohur joparameter: testi i shumës së rangimit të Wilcoxon rangut me shenjë

1959

Popullsia e botërore arrin në 3 miliardë banorë

1966

Përdorimi i parë i metodave statistikore resampling (metoda e mostrave të përsëritura)

49

Francis Galton Karl Pearson Karl Pearson


Charles Spearman William Gosset (“Student”) Ronald Fisher

Ronald Fisher Jerzy Neyman & Egon Pearson Andrei Kolmogorov Frank Wilcoxon

Julian Simon

50

25

1972

Është formuluar koncepti i analizës hulumtuese të të dhënave

1972

Janë formuluar modelet lineare të përgjithshme

1974

Popullsia në botë arrin në 4 miliardë banorë

1979

Formulohet bootstrap metoda

1986

Popullsia në botë arrin në 5 miliardë

2000

Popullsia në botë arrin në 6 miliardë.

2002

Me shfrytëzimin e FDR metodës është vërtetuar teoria e Big Beng-ut

John Tukey J.A.Nelder & R.W>M Wedderburn

Bradley Efron


51

Përdorimi i kompjuterëve në statistikë   

   

Softwear-ët që më së shumti përdoren për zgjidhjen e shumë problemeve statistikore janë: Excel , SPSS ( Statistical Package for Social Science), SAS (Staistical Anlysis System), Minitab, Statgraphics, Statistica, etj.


52

26

Përdorimi i Excel-it   

 

Në mënynë rënëse Tools klikojmë me anë të miut në opsionin Data Analysis. Në kornizën e gjetur Analysis Tools selektojmë metodën që dëshirojmë të shfrytëzojmë. Nëse opsioni Data Analysis nuk paraqitet në mënynë rënëse Tools, atëherë klikoni në të njëjtën meny në AddIns dialog box. Në kornizën e gjetur selektoni opsionet Analysis ToolPak dhe Analysis ToolPak –VBA dhe klikoni Ok. Kthehuni përsëri në Tools dhe do të gjeni Data analysis.


53

Konceptet kyçe       

 

Dukuritë variabile Statistikë Popullimi/tërësia e përgjithshme Mostra Njësia statistikore, individi Të dhënat statistikore:diskrete dhe kontinuale/të vazhdueshme Modalitetet Statistika deskriptive Statistika representative Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

54

27

Detyrë Shpjego dallimin në mes të të dhënave kualitative dhe kuantitative dhe jep tre shembuj për secilën.  Shpjego dallimin në mes të dhënave diskrete dhe të vazhdueshme dhe jep tre shembuj për secilën. 


55

Detyrë Përcakto se cilat nga variablat vijuese është kualitative e cila kuantitative. Nëse janë kuantitative përcaktoni se fenomeni me interes a është diskret apo kontinual: - Numri i telefonave në familje, - Lloji i telefonit, - Ngjyra e telefonit, - Pagesa mujore (në euro dhe cent) për thirrje telefonike, - Numri i thirrjeve lokale të bëra gjatë muajit, - Zgjatja (në minuta) e thirrjeve lokale gjatë muajit, - Fakultetet e Universitetit të Prishtinës.


56

28

Ushtrime Ushtrim 1. “Jam shumë i stresuar” është një shprehje që shumë e shpeshtë në mes të studentëve. Çka ju streson juve. Cili është populacioni me interes?  Identifikoni më së paku tri arsye për të marrë mostrën.  Identifikoni dy variabla ose karakteristika të anëtarëve të këtij populacioni që ju dëshironi të studioni. 


57

Ushtrime

Ushtrim 2. Dekani i fakultetit dëshiron të shoh se çfarë lloj aktiviteti dhe pune bëjnë studentët e diplomuar të fakultetit pas 5 vjet diplomimi. Cili është populacioni me interes?  Identifikoni arsyet për të marrë mostrën për hulumtim.  Identifikoni dy variabla/karakteristika të anëtarëve të populacionit që ju dëshironi të studioni 


58

29

Ushtrime 

Ushtrim 3. Kryetari i një shteti dëshiron të shoh se sa është i popullarizuar pas dy vjetëve të mandatit të tij. Një mostër e votuesve të rritur janë pyetur se a do ta rizgjedhnin prapë atë në atë post. A janë të dhënat kualitative apo kuantitative  Nëse të dhënat janë kualitative a janë ato nominale apo rendore/shkallore. Nëse janë numerike a janë ato diskrete apo kontinuale. 


59

Ushtrime Ushtrim 4. Më poshtë janë të listuar disa pyetje nga anketa rreth virusit “Trojan horse”. Për çdo lloj të pyetjes identifikoni se çfarë lloj të dhënash duhet të grumbullohen. 

A është infektuar kompjuteri juaj me virusin “Trojan horse”   



A dini dikë tjetër që kompjuteri i është infektuar me virusin “Trojan Horse”  



Po, kompjuteri im është infektuar me këtë virus. Jo , kompjuteri im nuk është infektuar me këtë virus. Nuk jam i sigurt se kompjuteri im është infektuar.

Po Jo

Sa shpesh ju me kujdes ekzaminoni subjektin e-mailit të juaj para se të hapni atachmentët.    

Gjithmonë Shpesh Sipas rastit Rrallë ose kurrë Bazat e Statistikës 2010 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

60

30

1-1

Fazat e studimit statistikor Qëllimet: Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :  Dini se cilat janë fazat e studimit statistikor  Kuptoni rëndësinë , llojet dhe mënyrat e vrojtimit statistikor  Bëni dallimin në mes të vrojtimit të përgjithshëm dhe vrojtimit të pjesshëm  Kuptoni rëndësinë , llojet dhe mënyrat e grupimit statistikor.  Kuptoni seritë statistikore , llojet e tyre dhe të formoni seritë e distribucinit të frekuencave për të dhënat kualitative dhe kuantiative  Paraqitni grafikisht seritë e distribucionit të frekuencave 1

Fazat e studimit statistikor 

Vrojtimi statistikor ( mbledhja dhe grumbullimi i të dhënave);



Grupimi dhe klasifikimi i të dhënave (formimi i serive statistikore, përdorimi i tabelave, grafeve, etj.);



Analiza statistikore



Publikimi dhe interpretimi i të dhënave 2

1

Vrojtimi statistikor (Mbledhja e të dhënave) 





Vrojtimi statistikor paraqet fazën e parë kërkimore të studimit gjatë së cilës bëhet grumbullimi i të dhënave për dukuritë masive dhe tipareve të tyre të llojllojshme Njësia (individi ) paraqet pjesën përmbajtësore të dukurisë masive dhe ka rëndësi të veçantë. Shembull: regjistrimi i popullsisë – banori, për standardin jetësor- familja, etj.

3

Vrojtimi/grumbullimi i të dhënave 

Plani i mbledhjes së të dhënave përfshinë:



Definimi i qëllimit të vrojtimit/mbledhjes së të dhënave;



Përcaktimi i tërësisë statistikore/dukurisë masive dhe njësisë statistikore;



Zgjedhja e karakteristikës/variablës dhe definimi i modaliteteve;



Përcaktimi i pyetësorëve për mbledhjen e të dhënave;



Përcaktimi i mënyrës dhe metodave të mbledhjes së të dhënave, etj. 4

2

Burimet e vrojtimit/mbledhjes së të dhënave SIPAS BURIMIT TË SIGURIMIT TË DHËNAVE

VROJTIMI I DREJTPËRDREJTË

Marrja e informatave drejtpërdrejtë nga persona fizikë dhe juridikë

VROJTIMI PËRMES DOKUMENTEVE

Dokumenta zyrtarë: Libri amë, kontabiliteti, Listëpagesa e punëtorëve, etj

VROJTIMI PËRMES DEKLARIMIT

Informata të tërthorta , nga profesionistët që e njohin mirë problematikën.

5

Mënyrat e vrojtimit



  

Mënyra ekspeditive Mënyra përmes thirrjes zyrtare Mënyra përmes korrespondetëve Mënyra e vetëregjistrimit

6

3

Llojet e vrojtimeve statistikore LLOJET E VROJTIMEVE (Qëllimi, natyra e dukurisë dhe rrethanat e saj)

VROJTIMI SIPAS KOHËS

VROJTIMI SIPAS VËLLIMIT

Vrojtimi i vazhdueshëm

Vrojtimi i përgjithshëm

Vrojtimi jo i vazhdueshëm

Vrojtimi i pjesshëm

7

Vrojtimi sipas vëllimit VROJTIMI I PËRGJITHSHËM bëhet përmes: Regjistrimit dhe

Evidencës gjegjësisht raporteve statistikore. Karakteristikat e regjistrimit:  Gjithëpërfshirës (vrojtimi i të gjitha elementeve të dukurisë)  I njëkohshëm (periudha më e shkurtë jep rezultate më të mira)  Koha e regjistrimit – Momenti Kritik- kur gjendja e dukurisë është “normale”.  Përsëritja e regjistrimit (mundëson krahasimin e rezultateve)  Rregullimi normativ i regjistrimit (rregullat ligjore me të cilat rregullohen të drejtat dhe obligimet e pjesëmarrësve në regjistrim) -

P.sh.Regjistrimi i popullsisë, amvisnive, ekonomive shtëpiake, etj. (çdo dhjetë vjet) 8

4

Vrojtimi sipas vëllimit Vrojtimi përmes evidencës ose raporteve statistikore. Bëhet te dukuritë që tregojnë variabilitet më të madh gjatë kohës apo hapësirës. P.sh. - gjendja e të punësuarëve, - prodhimtaria e realizuar, - lëvizja natyrore e popullsisë e të ngjashme. ( Regjistrimi dhe raportet statistikore japin të dhëna më të sigurta dhe më të plota) 

9

VROJTIMI I PJESSHËM/ JO I PLOTË /REPREZENTATIV 

Vrojtimi i pjesshëm paraqet metodën përmes së cilës në bazë të vështrimit të një pjese të njësive statistikore të dukurisë bihen konkluzione/përfundime për karakteristikat dhe sjelljen e tërësisë së përgjithshme.

Mostra është një pamje e zvogëluar, por besnike e popullimit. Ajo përmbush dy kritere të rëndësishme:  Zvogëlimi i kohës dhe punës së nevojshme për mbledhjen dhe përpunimin e të dhënave;  Lejon një reduktim të ndjeshëm të kostove të mbledhjes dhe përpunimit të të dhënave. 10

5

Pse vrojtimi i pjesshëm? 









Pamundësia fizike për të kontaktuar me të gjitha njësitë e popullimit. Shpenzimet e studimit të të gjitha njësive në popullim. Rezultatet e mostrës zakonisht janë adekuate. Kontaktimi i të gjitha njësive do të marrë shumë kohë. Natyra shkatërruese e disa provave/testeve. 11

Llojet e mostrave/vrojtimit të pjesshëm Llojet e mostrave

Mostra të rastësishme /probabile

Mostër e rastësisshme e thjeshtë

Mostra jo të rastësishme /jo probabile/e arsyetuar Mostër e përshtatshme Mostër subjektive

Mostër e rastit sistematike Mostër e stratifikuar/shtresëzuar

Mostër me kuota

Mostër e grumbulluar / klaster

12

6

Gabimet gjatë vrojtimit GABIMET E VROJTIMIT

GABIMET E REPREZANTIMIT (PËRFAQËSIMIT)

Gabime gjatë vrojtimit të pjesshëm

GABIMET E REGJISTRIMIT

Gabimet e rastit Gabimet sistematike/ e qëllimta

13

Kontrolli i të dhënave 

Pas përfundimit të mbledhjes së të dhënave duhet të bëhet kontrollimi i tyre në mënyrë cilësore dhe sasiore.

Zakonisht bëhen dy lloje të kontrollimeve:  Kontrolli logjik i të dhënave;  Kontrolli aritmetik (llogaritës) i të dhënave

14

7

PËRMBLEDHJA DHE GRUPIMI I TË DHËNAVE STATISTIKORE 





Grupimi i të dhënave paraqet ndarjen e dukurisë masive të hulumtuar sipas tipareve të përbashkëta, në grupe homogjene. Grupimi paraqet fazën e dytë të studimit statistikor gjatë së cilës materiali rregullohet, gjegjësisht grupohet sipas karakteristikave të caktuara që hulumtuesit i interesojnë. Gjatë kësaj faze është karakteristikë formimi i serive statistikore, tabelave statistikore dhe paraqitja grafike e të dhënave të rregulluara.

15

Llojet e grupimeve LLOJET E GRUPIMEVE:

Sipas qëllimit

 Tipologjike  Variacionit  Analitike

Sipas llojit të tiparit

Sipas vëllimit

 Cilësore  Numerike  Kohore-Kronologjike  Hapësinore

 I thjeshtë  I përbërë  Rigrupimi

16

8

Seritë statistikore Radhitja e të dhënave në formë të vargut quhet seri statistkore. Ato formohen prej më së paku dy madhësive, modaliteteve. Seritë statistikore mund të jenë:  Të thjeshta  Të përbëra  Hapësinore/Territoriale  Kohore  Shpërndarjes/distribucionit/ të frekuencave 

17

2-4

Seritë e shpërndarjes/ distribucionit të frekuencave 

Seritë e shpërndarjes/distribucionit të frekuencave mund të jenë:



Atributive/Cilësore Variacionit (numerike)



Seritë e distribucionit të frekuencave janë mjet shumë i shfrytëzueshëm për organizimin dhe grupimin e masës së të dhënave në një formë të shfrytëzueshme. 18

9

Seritë e distribucionit të frekuencave Distribucioni i frekuencave paraqet grupimin e të dhënave në kategori, të treguara me numrin e vrojtimeve në çdo kategori. Distribucioni i frekuencave jep numrin se sa herë çdo vlerë paraqitet në çdo klasë/modalitet/kategori





Karakteristika (X) Frekuencat/ Denduritë (f) Modalitetet e karakteristikës/variablës

x1 x2 x3 x4 xn Σ

f1 f2 f3 f4 fn ΣF 19

Distribucionet e frekuencave • Çka është distribucioni i frekuencave? Distribucioni i frekuencave është organizimi i të dhënave të pagrupuara në formë tabelore duke shfrytëzuar modalitetet dhe frekuencat/denduritë. • Çka janë frekuencat? Frekuencat/denduritë ose numërimi i frekuencave tregojnë se sa herë një vlerë paraqitet në grumbullin e të dhënave.

1-20

10

Distribucioni i frekuencave për të dhënat kualitative/atributive/jonumerike

Të dhënat kualitative

Paraqitja grafike

Distribucionit të frekuencave Tabela përmbledhëse

Diagrami tortë Diagrami i Paretos

Bar diagramet

21

Paraqitja tabelare dhe grafike e të dhënave kualitative Të dhënat kualitative

Paraqitja grafike

Distribucioni i frekuencave

Tabela përmbledhëse x

(f)

Diagrami tortë

x1

f1

x2

f2

CD

Savings

x3 x4

f3 f4

Diagrami i Paretos

Bar diagramet

Bonds

Stocks

0

10

20

30

40

50

45

120

40

100

35 30

80

25

Σ

ΣF

60

20 15

40

10

20

5 0

0 Stocks

Bonds

Savings

CD

22

11

Distribucioni i frekuencave për të dhënat kualitative-- Shembull • Shembull: Gjaku sipas grupit i 25 dhuruesve është dhënë më poshtë. Gruponi të dhënat përmes distribucionit të frekuencave AB O B A A

B B O O B

A O B AB AB

O A B AB O

B O B O A

1-23

Distribucioni i frekuencave për të dhënat kualitative-Shembull -vazhdim Karakteristika kualitative/e parenditshme/nominale

Kara

Grupi i gjakut

Nr. i dhuruesve (Frekuencat F)

A

5

B

8

O

8

AB

4

Gjithsej

25

Frekuencat/Denduritë

Vrojtimet /matjet

Modalitetet e karakteristikës

1-24

12

Shembull: Distribucioni i frekuencave për stafin akademik të Fakultetit Ekonomik të UP. 

Stafi akademik sipas thirjes akademike

Thirrja akademike Profesor të rregullt Profesor të asocuar Profesor asistent Ligjërues

Karakteristika kualitative

Nr. i stafit (F) 17 5 11 7

Asistent mësimor Gjithsej

19 59

Modalitetet e karakteristikës

Burimi: Fakulteti Ekonomik Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, korrik 2008

25

Frekuencat relative 

Frekuencat relative paraqesin raportin në mes të frekuencave individuale absolute dhe totalit të frekuencave. f ri fi

fi ; f ri frekuenca relative, fi frekuenca apsolute; f tatali i frekuencave

26

13

Frekuencat në përqindje 

Frekuencat në përqindje paraqesin raportin në mes të frekuencave individuale absolute dhe totalit të frekuencave shumëzuar me 100.

F%

fi 100, f

F%

frekuenca ne perqindje

27

Distribucioni i frekuencave relative dhe në përqindje Tab. Stafi akademik sipas thirrjes akademike të FA të UP, korrik, 2008

Thirrja akademike

Profesor të rregullt Profesor të asocuar

Nr. i stafit Frekuenca Frekuenca në (Frekuenca relative përqindje % absolute) 17 17/59=0.29 0.29 x 100=29% 5

5/59=0.08

0.08 x 100= 8%

11

11/59=0.19

0.19x100=19%

7

7/59=0.12

0.12x100=12%

Asistent mësimor

19

19/59=0.32

0.32x100=32%

Gjithsej

59

1.00

100

Profesor asistent Ligjërues

Burimi: Fakulteti Ekonomik, UP, Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, Korrik 2008

28

14

Paraqitja grafike e të dhënave kualitative (Diagrami Tortë) Personeli akademik sipas thirrjes akademike

12% 29%

Profesor te rregullt Profesor te asocuar Profesor asistent

32%

Asistent mësimor 8%

Ligjërues

19%


29

Paraqitja grafike e të dhënave kualitative (Bar diagramet)

Thirrja akademike

Personeli akademik sipas thirrjes akademike Ligjërues Asistent mësimor Profesor asistent Profesor te asocuar Profesor te rregullt 0

5

10 Nr. i personelit

15

20


30

15

Paraqitja grafike e të dhënave kualitative (Bar diagramet) Personeli akademik sipas thirrjes akademike

Nr. i personelit

20 15 10 5 0 Profesor te Profesor te rregullt asocuar

Profesor asistent

Asistent mësimor

Ligjërues

Thirrja akademike Burimi: Fakulteti Ekonomik Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, korrik 2008

31

Distribucioni i frekuencave/Organizimi i të dhënave numerike Të dhënat numerike

Rregullimi sipas radhës 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41

41, 24, 32, 26, 27, 27, 30, 24, 38, 21

Distribucioni i frekuencave Distribucionet kumulative

Tabela Ogiva Histogrami

Polygoni

32

16

Organizimi i të dhënave numerike në tabela dhe grafe

Të dhënat numerike 41, 24, 32, 26, 27, 27, 30, 24, 38, 21

Distribucioni i frekuencave Distribucionet kumulative

Regullimi sipas radhës 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41

Tabelat x x1 x2 x3 x4 Σ

(f) f1 f2 f3 f4 ΣF

Ogiva

Histogramet

O give 7

Polygoni

6

120

5

100

4

80

3

60

2

Poligoni i f rekuencave

40 1

20 0

7

10

6

20

30

40

50

0

60

10

20

30

40

50

60

5 4 3 2 1

33

0 5

15

25

36

45

55

More

Organizimi i të dhënave numerike/diskrete-të ndërprera







Të dhënat në formë të papërpunuar (ashtu si janë mbledhur) p.sh. suksesi i nxënësve në matematikë): 4,5, 4, 3, 4, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 1, 4, 5, 4, 3, 2, 5, 3, 5 Të dhënat e rregulluara sipas radhës, nga vlera më e vogël te vlera më e madhe: 1,1,1,2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,

Suksesi (X)

Nr. i nxënësve (f)

1 2 3 4

III IIII IIII IIII

3 4 4 4

5 Gjithsej

IIII

5 20

34

17

Hapat për ndërtimin e distribucionit të frekuencave/ të dhënat numerike diskrete/të ndërprea dhe kontinuale/të vazhdueshme 1.

Formimi i një vargu/rreshti i të dhënave nga vlera minimale deri te ajo maksimale apo anasjelltas.

2.

Përcaktimi i gjerësisë së intervalit dhe numri i klasëve, gjegjësisht grupeve. Nëse është vendosur numri i klasëve, atëherë gjerësia e intervalit të sygjeruar mund të llogaritet me formulat vijuese:

i= i

Vlera më e lartë - vlera më e ulët numri i klasëve Vlera maksimale vlera min imale 1 3,32(log i te gjitha frekuencave)(Rregulla e Struges) 35

Hapat për ndërtimin e distribucionit të frekuencave/ të dhënat numerike diskrete dhe kontinuale

3. Vendosja e grupeve/klasave 4. Vendosja e të dhënave në klasë për të krijuar distribucionin e frekuencave

36

18

Kriteret për ndërtimin e distribucionit të frekuencave a)

b)

c)

Zakonisht seritë nuk duhet të kenë më pak se 5 klasë/grupe, por gjithashtu nuk duhet të kenë më shumë se 15 klasë/modalitete. Duhet bërë përpjekeje për t’iu larguar klasëve të hapura, gjegjësisht gjithmonë duhet krijuar klasë të mbyllura aty ku është e mundur. Gjerësitë e intervaleve duhet të jenë të barabarta.

37

Prezantimi i të dhënave numerike në tabelë/në distribucionin e frekuencave 

Rreshtimi i të dhënave sipas madhësisë: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58.



Gjetja e rangut: Xmax-Xmin= 58 - 12 = 46



Zgjedhja e numrit të klasëve: 5 (zakonisht në mes të 5 dhe 15)



Llogaritja e gjerësisë së intervalit (gjerësia): 10 (46/5 mandej rrumbullakëso)



Përcaktimi i limiteve të klasëve (limitet): 10, 20, 30, 40, 50, 60.



Logaritja e mesit të intervalit: 15, 25, 35, 45, 55.



Numrimi i vrojtimeve dhe vendosja nëpër grupe klasë/kategori. 38

19

Prezantimi i të dhënave numerike në tabelë/në distribucionin e frekuencave  

Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 Frek. absolute

Grupet/Klasët 10 por më pak se 20

3

20 por më pak se 30

6


5


4


2

Gjithsej

10- Limiti i fillimit të grupintervalit të parë.

20- Limiti i fundit të grupintervalit të parë.

20

39

Mesi i intervalit 



Mesi intervalit është pika e mesit në mes të dy kufijëve të çdo klase dhe është reprezentative për të dhënat brenda klasës. Llogaritet si mesatare e thjeshtë në mes të dy niveleve të një intervali.

40

20

Distribucioni i frekuencave, Distribucioni i frekuencave relative dhe Distribucioni i frekuencave në përqindje Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 Frek. absolute

Grupet

Mesi i intervalit (X)

Frek. relative

Frek. në përqindje


3 10+20/2=15

3/20= 0.15 0.15x100 =15%


6 20+30/2=25

6/20=0.30 0.30x100=30%


5 30+40/2=35

5/20=0.25 0.25x100=25%


4 40+50/2=45

4/20=0.20 0.20x100=20%


2 50+60/2=55

2/20=0.1 0.1x100=10%

Gjithsej

20

1.00

100

41

Paraqitja grafike e të dhënave numerike: Histogrami i frekuencave Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 His togram i 7

6

Frekuencat

6

5

5

4

4

Nuk ka zbrastësi në mes te katërkëndëshave

3

3

2

2 1

0

0

0 5

Kufijtë e klasëve

15

25

36

45

Mesi i intervalit

55

eMore më shumë

42

21

Histogrami i frekuencave 



Histogrami: Grafiku në të cilin klasët shënohen në abshisë (boshtin horizontal) kurse frekuencat e klasëve shënohen në boshtin vertikal(ordinatë) të sistemit koordinativ. Frekuencat e klasëve janë të prezantuara me gjatësinë e katërkëndëshave të cilët janë të mbështetur në njëri tjetrin. 43

Histogrami i frekuencave Histogrami prezanton tri lloje të informatave : 





Mund të vërehet se përafërsisht ku janë të koncentruara të dhënat. Mund të kuptojmë shkallën e shpërndarjes ose variacionet në të dhëna. Mund të vërejmë formën e distribucionit.

22

Histograme që tregojnë qendra të ndryshme 70 60 50 40 30

70

20

60

10

50 40

0

0<2

2<4

4<6

6<8

8<10

10<12

12<14

14<16

16<18

30 20 10 0

0<2

2<4

4<6

6<8

8<10

10<12

12<14

14<16

16<18

Histograme – Qendra e njejtë, Shpërndarje të ndryshme 70 60 50 40 30 20 10 16 < 18

14 < 16

12 < 14

8

10 8<

6

4

10 < 12

6<

4<

2<

0<

2

0 70 60 50 40 30 20 10 0

0<2

2<4

4<6

6<8

8<10

10<12

12<14

14<16

16<18

23

Paraqitja grafike: Poligoni i frekuencave Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 Poligoni i f rekuencave 7 6 5 4 3 2 1 0 5

15

25

36

45

55

More

Mesi i intervalit 47

Poligoni i frekuencave 



Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija që paraqet lidhjen e pikave të formuara në mes të frekuencave dhe klasëve, gjegjësisht mesit të intervalit dhe frekuencave. Poligoni i frekuencave ofron informatat e njëjta sikurse histogrami i frekuencave.

48

24

Distribucioni i frekuencave kumulative Frekuencat kumulative përfshijnë vlerat korresponduese të variablës brenda çdo limiti, plus të gjitha vlerat më të ulëta ose më të larta. Në fakt ekzistojnë dy metoda për llogaritjen e frekuencave kumulative: - Frekuencat kumulative “nën” ose progresive - Frekuencat kumulative “mbi” ose degresive.  Përdorimi i metodës së parë është shumë i gjerë. Frekuencat kumulative të fundit sipas metodës “nën’ dhe të fillimit sipas metodës “mbi” janë të barabarta me totalin e frekuencave. Kjo njëherit shërben si kontrollim i rezultatit. 

49

Distribucioni i frekuencave kumulative Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Grupet

Frekuencat absolute

Frekuencat kumulative (“nën”)

Frekuencat kumulative (“mbi”)

Frekuencat kumulative në %


3

3

20

15


6

3+6=9

20-3=17

45


5

9+5=14

17-6=11

70


4

14+4=18

11-5=6

90


2

18+2=20

6-4=2

100

Gjithsej

20

50

25

Paraqitja grafke: Ogiva (Poligoni kumulativ në %) Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Ogiva 100 80 60 40 20 0 10

20

30

40

50

60

Limitet e klasëve (Jo mesi i intervalit) 51

Distribucioni kumulativ i frekuencave 

Distribucioni kumulativ i frekuencave (ogiva) shfrytëzohet për të përcaktuar se sa ose çfarë pjese e të dhënave është nën apo mbi vlerën e caktuar.

52

26

2-5

SHEMBULL Të dhënat në vijim paqaqesin kohën e kaluar në minuta prej shtëpisë në punë, për një grup prej 30 punëtorësh.



28 25 41 37 41 19 32 20 26 24 16 23 23 29 36 31 26 21 32 25 31 43 35 44 38 33 28 27 32 18

Rregolloni të dhënat në distribucionin e frekuencave



53

Hapi i parë, rreshtimi nga vlera më e vogël deri te vlera me e madhe 

16 18 19 20 21 23 23 24 25 25 26 26 27 28 28 29 31 31 32 32 32 33 35 36 37 38 41 43 43 44.



Hapi i dytë. Përcaktimi i klasëve dhe gjerësisë së intervalit

Gjeresia e intervalit=

Vlera më e lartë - vlera më e ulët numri i klasëve

44 16 6

5,33 5

54

27

2-6

SHEMBULL

vazhdim

Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë: 16 18 19 20 21 23 23 24 25 25 26 26 27 28 28 29 31 31 32 32 32 33 35 36 37 38 41 43 43 44. Koha e kaluar në minuta

Frekuencat Numri i Denduritë (f) punëtorëve (f)

15 por më pak se 20 20 por më pak se 25 25 por më pak se 30 30 por më pak se 35 35 por më pak se 40

III IIII IIII III IIII I IIII

40 por më pak se 45 IIII ΣF

3 5 8 6 4 4 30 55

2-7

Sugjerime për konstruktimin e distribucionit të frekuencave 

Gjerësitë e intervaleve në mes të klasëve duhet të jenë të barabartë .



Shfrytëzoni intervalin e sugjerur për të konstruktuar histogramin e frekuencave.

Shënim: ky është intervali i sugjeruar ; nëse intervali i llogaritur është 97, më mirë do të ishte që të shfrytëzohet 100. 

Llogaritni numrin e vlerave për çdo klasë 56

28

Mesi i intervalit 



Mesi intervalit është pika e mesit në mes të dy kufijëve të çdo klase dhe është reprezentative për të dhënat brenda klasës. Llogaritet si mesatare e thjeshtë në mes të dy niveleve të një intervali: Koha e kaluar në minuta

Mesii i intervalit (X)

Numri i punëtorëve (f)

15- 20

15+20/2 =17,5

3

20 - 25

20+25/2=22,5

5

25 - 30

25+30/2=27,5

8

30 - 35

30+35/2=32,5

6

35 - 40

35 + 40/=37,5

4

40-45

40+45/2=42,5

4

Σ

30 57

2-9

Distribucioni relativ i frekuencave 

Frekuencat realtive fitohen duke ndarë frekuencat e çdo klase me frekuencat totale. Koha e kaluar në minuta

Nrumri i punëtorëve (f) Frekuencat absolute

Frekuencat relative

15- 20

3

3/30=0,10

20 - 25

5

5/30 =0,17

25 - 30

8

8/30 =0,27

30 - 35

6

6/30 =0,2

35 - 40

4

4/30=0,13

40 - 45

4

4/30 =0,13

30

1,00

Σ

58

29

Distribucioni i frekuencave në përqindje 

Frekuencat në përqindje llogariten duke shumëzuar frekuencat realtive me 100. Koha e kaluar në minuta

Frekuencat relative

Frekuencat në përqindje (%)

15- 20

3/30=0,10 0,10 x 100 =10%

20 - 25

5/30 =0,17 0,17 x 100 =17%

25 - 30

8/30 =0,27 0,27 x 100 =27%

30 - 35

6/30 =0,2 0,20 x 100 =20%

35 - 40

4/30=0,13 0,13 x 100 =13%

40 - 45

4/30 =0,13 0,13 x 100 =13%

Σ

1,00

100 59

Distribucioni kumulativ i frekuencave Kumulativi progresiv (rritës) dhe degresiv (zbritës) Koha e kaluar në minuta

Numri i punëtorëve (f)

Frekuencat kumulative progresive

15- 20

3

3

30

20 - 25

5

3+5=8

30-3= 27

25 - 30

8

3+5+8=16

27-5= 22

30 - 35

6

3+5+8+6 =22

22-8=14

35 - 40

4

3+5+8+6+4 =26

14-6= 8

40 - 45

4

3+5+8+6+4+4 =30

8-4= 4

Σ

Frekuencat kumulative degresive

30 60

30

2-14

Frekuencat

Histogrami i distribucionit të frekuencave

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 17.5

22.5

27.5

32.5

37.5

42.5

Koha e kaluar në minuta

61

Konceptet kyçe Vrojtimi

statistikor Vrojtimi i përgjithshëm Vrojtimi i pjesshëm Mostra të rastësishme Mostra jo të rastësishme Grupimi statistikor Seritë statistikore Frekuencat



   

   

Distribucioni i frekuencave Frekuenca absolute Frekuenca relative Frekuenca në përqindje Frekuenca kumulative progresive dhe degresive Histogrami i frekuencave Poligoni i frekuencave Diagrami tortë Bar diagrami 62

31

Ushtrime Detyrë 1. Menaxheri i një firme lokale është i interesuar që të dijë se një konsumator sa herë hyn në shitoren e tij brenda dy javëve. Përgjigjet e 50 konsumatorëve kanë qenë si vijon. Të dhënat e papërpunuara për frekuentim në shitore brenda dy javëve

   

5

3

3

1

4

4

5

6

4

2

6

6

6

7

1

1

14

1

2

4

4

4

5

6

3

5

3

4

5

6

8

4

7

6

5

9

11

3

12

4

7

6

5

15

1

10

8

9

2

12

Formoni distribucionin e frekuencave duke përcaktuar zeron (0) si limit i fillimit të klasës së parë dhe gjerësinë e intervalit 3 . Përshkruani distribucionin. Ku tentojnë të grumbullohen të dhënat. Gjeni mesin e intervalit dhe konstruktoni frekuencat relative, në përqindje dhe ato kumulative progresive dhe degresive. Prezantoni distribucionin e frekuncave grafikisht përmes histogramit të frekuencave, poligonit të frekuencave dhe ogivës. 63

Ushtrime 

  

Detyrë 2. Një mostër e rastit përfshinë 50 nënkryetarë ekzekutivë të disa firmave të mëdha ku të ardhurat vjetore të tyre janë analizuar. Të ardhurat janë ranguar nga 52.000$ deri në 137.000$. Cakto kufijtë e klasëve për distribucionin e frekuencave: Nëse dëshirojmë të kemi 5 klasë Nëse dëshirojmë të kemi 6 klasë Nëse dëshirojmë të kemi 7 klasë

64

32

Ushtrime Detyrë 3. Importet vjetore për një grup të zgjedhur rastësisht të furnitorëve elektronik janë të prezantuara në distribucionin e mëposhtëm.



Importet (në milion $)

Numri i furnizuesve

2 deri në 5

6

5 deri në 8

13

8 deri në11

20

11 deri në 14

10

14 deri në 17

1

a) Prezantoni importet në formë të histogramit dhe të poligonit të frekuencave b) Përmblidhni disa fakte të rëndësishme për distribucionin ( si vlerat më të ulëta , vlerat më të larta, koncentrimi më i madh, etj.) c) Gjeni frekuencat relative, në përqindje dhe kumulative progresive dhe kumulative degresive. d) Prezantoni grafikisht distribucionin kumulativ progresiv dhe degresiv

65

Ushtrime 

Detyrë 4. Distribucioni i frekuencave i mëposhtëm prezanton numrin e ditëve të munguara në punë për shkak të sëmundjeve në një kompani.

Numri i ditëve të munguara

Nr. i punëtorëve /frekuencat

0 deri në 3

5

3 deri në 6

12

6 deri në 9

23

9 deri 12

8

12 deri 15

2

Gjithsej:

50

a)Sa punëtorë kanë munguar më pak se tri ditë në vjet. Sa më pak se 6 ditë në ditë? Sa më pak se 12 ditë. Konvertoni distribucionin e frekuencave në distribucion kumulativ progresiv. b) Ndërtoni distribucionin kumuluativ degresiv të frekuencave dhe paraqitni grafikisht. c)Sa është madhësia e mostrës. d) Sa është mesi i intervalit të klasës së parë. e) Konstruktoni histogramin e frekuencave

66

33

Ushtrime 

   

Detyrë 5. Supozojmë se klasët janë të dhëna kësisoji:Këto klasë përmbajnë në vete tri praktika që duhet të eliminohen. Cilat janë ato. 40-60 60-90 90-150 150 e më lartë.

67

Ushtrime 

Detyrë 6. Për të konstruktuar poligonin e frekuencave na duhet mesi i intervalit dhe frekuencat. Po Jo.



Detyrë 7. Në përgjithësi ne mund të konstruktojmë distribucionin e frekuencave me më së paku 20 klasë Po Jo.



Detyrë 8. Numri i vrojtimeve për çdo klasë quhet distribucion i frekuncave. Po Jo.



Detyrë 9. Poligoni i frekuencave dhe distribucioni i frekuencave relative janë të ngjashëm për arsye se bazohen në distribucionin e frekuencave. Po Jo.



Detyrë 10. Distribucioni i frekuencave relative fitohet duke ndarë frekuencat e çdo klase me numrin total të vrojtimeve. Po Jo. 68

34

1-1

Paraqitjet grafike Qëllimet: Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :  Dini rolin dhe rëndësinë e paraqitjeve grafike  Dini disa nga llojet e paraqitjeve grafike  Konstruktoni diagramet vijore dhe diagramin polar.  Konstruktoni diagramet sipërfaqësore përmes shtyllave, të katrorit dhe rrethit.  Kuptoni disa nga parimet e konstruktimit të paraqitjeve të ndryshme grafike 1

Qëllimi i paraqitjes grafike Grafikët rrefejnë një tregim…..  Shumë njerëz tregojnë pak interesim ose nuk kanë kohë që të analizojnë shifrat dhe faktet e ndryshme të dhëna në gazetat ditore. Mirëpo nëse këto të dhëna janë të prezantuara grafikisht, ato bëhen më të lehta për tu kuptuar dhe mbesin për një kohë më të gjatë në kujtesë.  Prezantimi grafik i të dhënave e bëjnë leximin e tyre më interesant, më të shpejtë dhe më lehtë të kuptueshme.  E metë e prezantimit grafik të të dhënave është mungesa e detaleve dhe saktësia më e vogël. 2

1

Qëllimi i paraqitjes grafike Në ekonomi, një figurë e vërtetë është më e vlefshme se njëmijë fjalë……

 Paraqitja grafike përbën një nga mjetet më efikase si për përshkrimin në formë vizuale të rezultateve të vrojtimit të shumta të një apo disa karakteristikave të një popullimi statistikor, ashtu edhe për zbulimin e raporteve dhe ndërlidhjeve midis këtyre karakteristikave ose midis ndryshimeve në kohë dhe hapësirë të fenomeneve.  Paraqitja grafike lehtëson kuptimin shumë më shpejtë sesa paraqitja e një morie të madhe shifrash, duke i kryer një shërbim të madh shkencës dhe përbënë një mjet ndihmës shumë të vlefshëm për studimet statistikore. 3

Format e paraqitjes grafike FORMAT E PARAQITJES GRAFIKE

Diagramet

-Pikësore (stigmograme) -Vijore -Sipërfaqësore -Hapësinore

Kartogramet

Ideogramet/ piktogramet

-Kartodiagrame -Harta statistikore

Grafikë me figura natyrale

4

2

Diagramet    

Stigmograme (diagrame pikësore) Diagrame vijore (përmes vijave) Diagrame sipërfaqësore (histograme) Stereograme (hapësinore)

5

Diagrami vijor  Bazohet në pasqyrimin grafik përmes vijave të drejta , të shtrembra dhe të thyera.  Në konstruktimin e tyre , kryesisht, shfrytëzohen sistemet koordinative:  -sistemi i koordinatave këndrejta dhe - sistemi polar  Përmes diagrameve vijore mund të pasqyrojmë me sukses grafikisht një ose të krahasojmë dy e më tepër seri kohore, por nëse vlerat e tyre nuk dallohen shumë dhe nëse janë të shprehura në njësi të njeta të matjes. 6

3

Diagrami vijor  Diagramet vijore janë të përshtashme për të prezantuar ecuritë e biznesit sepse përmes tyre mund të shihen ndryshimet gjatë tërë kohës. Variabla, si numri i njësive të shitura prezantohet në boshtin vertikal (ordinatë) derisa koha prezantohet në boshtin horizontal(abshisë)  Përmes diagramit vijor me sukses mund të krahasojmë ecuritë e eksportit, importit, të ofertës , kërkesës, natalitetit dhe 7 mortalitetit e kështu me radhë.

Shembull 1.

Diagrami vijor

 Shitjet e telefonave celularë (në 000 copë) në një shtet gjatë periudhës 2000-2004 janë si në tabelën vijuese: Paraqitni të dhënat përmes dijagramit vijor. Vitet

Shitjet në 000 copë

2000

280

2001

300

2002

570

2003

900

2004

1200 8

4

Prezantimi i të dhënave përmes dijagramit vijor

Nr. i telefonave te shitur

Telefona te shitur 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 2000

2001

2002

2003

2004

Vitet 9

Diagrami polar  Diagrami polar shfrytëzohet për pasqyrimin e dukurive të karkaterit sezonal, përkatësisht për hulumtimin e variacioneve sezonale dhe pasqyrohet në diagramin polar.  Variacione sezonale kanë këto dukuri: numri dhe bujtjet e turistëve, qarkullimi hotelier, konstruktimi ndërtimor, konsumi i energjisë elektrike, kërkesa për mallra sezonale etj.  Diagrami polar na mundëson që në mënyrë mjaft figurative të vërejmë varaiacionet e dukurisë së vështruar përmes muajve dhe të shikojmë ndikimin e sezonës në to. 10

5

Paraqitja përmes diagramit polar Shembull 2 Kurorëzimet në Kosovë në vitin 2004 sipas

muajve janë si në tabelën vijuese

Burimi:ESK: Analiza e statistikave Vitale të Kosovës për periudhën më të re, shukrt, 2008 11

Diagrami polar

 Sa më tepër që vija i afrohet mesit të rrethit (polit), do të thotë se sezoni ndikon ashtu që dukuria zvogëlohet.  Sa më tepër që vija largohet nga mesi i rrethit – sezoni ndikon në rritjen e dukurisë.

12

6

Diagramet sipërfaqësore (histograme)  Diagramet sipërfaqësore janë grafikë të cilët përmes sipërfaqeve të figurave gjeometrike pasqyrojnë të dhënat statistikore. Më të përdorshmit janë:  Shtyllat (bar diagramet)  Katrori  Rrethi

13

2-17

Diagramet me shtylla (Bar diagramet )

Diagramet me shtylla (bar diagramet ), përdoren shumë në prezantimin e të dhënave. Ata mund të jenë:  Shtylla të thjeshta,  Shtylla të dyfishta dhe të shumëfishta  Shtyllat simetrike  Shtylla të ndara ose strukturale 14

7

Shtyllat e thjeshta  Shtyllat e thjeshta shfrytëzohen për paraqitjen e madhësisë ose të nivelit të dukurisë sipas modaliteteve apo vlerave të një veçorie ose sipas veçorisë kohore ose hapësinore.  Me shtylla të thjeshta mund të prezantohen gati të gjitha llojet e serive. 15

Shembull 3

Shtyllat e thjeshta

 Shitjet e telefonave celularë (në 000 copë) në një shtet gjatë periudhës 2000-2004 janë si në tabelën vijuese: Paraqitni të dhënat përmes shtyllave të thjeshta Vitet

Shitjet në 000 copë

2000

280

2001

300

2002

570

2003

900

2004

1200 16

8

Shembull 3- vazhdim

Shtyllat e thjeshta/ të njëfishta

Shitja e telefonave celular

Shitjet (në 000 copë)

1200 1000 800 600 400 200 0 2000

2001

2002

2003

2004

Vitet

17

Shembull 4.


Levizja e numrit të popullsisë së Kosovës për periudhën 123 vjeçare

Burimi: ESK: Analiza e Statstikave Vitale të Kosovës për periudhën më të re, Shkurt 2008.

18

9

Shembull 4. vazhdim


19

Shtylla të dyfishta dhe të shumëfishta  Shtyllat e dyfishta dhe të shumëfishta shfrytëzohen kur duam të krahasojmë madhësinë, përkatësisht nivelin e dy e më shumë dukurive sipas të njetës veçori, ndërsa të dhënat janë të shprehura në njësi të njëjta të matjes.

20

10

Shembull 5.

Shtyllat e dyfishta

21

Shembull 5.

Shtyllat e dyfishta

Popullsia ne Kosove sipas gjinise, 2002-2005) 1080

Nr. i popullsise (ne mije)

1060 1040 1020 1000 980 960 940 2002

2003

2004

Viti

2005

Gra

Burra

22

11

Shembull 5.

Shtyllat e shumëfishta

Popullsia totale e Kosoves sipas gjinise (2002-2005)

Nr. i popullsise (ne mije)

2500 2000 1500 1000 500 0 2002

2003 Gra

2004

Viti Burra

2005

Gjithsej popullsia

23

Sygjerimet për konstruktimin e Diagrameve me shtylla  Për përgjigjet kategorike që janë kualitative, shtyllat duhet të konstruktohen horizontalisht kurse për përgjigje numerike shtyllat duhet të konstruktohen vertikalisht.

 Hapësira në mes të shtyllave duhet të jetë sa gjysma e gjerësisë së shtyllës ose sa gjerësia e shtyllës.  Shkallët dhe porositë janë mjet i rëndësishëm për leximin e grafëve dhe duhet të përfshihen.  Boshtet duhet të definohen qartë.  Titulli i grafit vendoset mbi grafik.  Burime te të dhënave dhe spjegime të tjera duhet të prezantohen.

24

12

Shtyllat simetrike  Shtyllat simetrike janë formë specifike e shtyllave të dyfishta (ose binarëve) të cilat janë të shtrira horizontalisht dhe për ballë njëri tjetrit.  Më së shpeshti zbatohen në statistikën demografike me qëllim të pasqyrimit të të strukturës së popullsisë sipas gjinisë dhe moshës.  Duke pasqyruar të dhënat e popullsisë sipas moshës dhe gjinisë formojmë PIRAMIDËN E POPULLSISË 25

Shtyllat simetrike  Shtyllat simetrike shfrytëzohen edhe për pasqyrimin dhe krahasimin e madhësisë dhe strukturës së dukurive të cilat janë të kundërta njëra me tjetrën, por reciprokisht të lidhura dhe të kushtëzuara. Si p.sh.  Të hyrat dhe të dalat  Eksporti dhe importi  Të lindurit dhe të vdekurit  Të shpërngulurit dhe të kthyerit në një regjion të caktuar  Kurorëzimet dhe shkurorëzimet 26

13

Piramida e popullsisë  Piramida e popullsisë ,e quajtur gjithashtu piramida moshë-gjini e popullsisë ose diagrami i strukturës së moshës, është ilustrim grafik që prezanton shpërnadarjen e moshave të ndrysheme të popullsisë sipas gjinisë (zakonisht për një shtet ose regjion).

 Ajo përbëhet nga dy bar diagrame të mbështetura shpinë për shpinë ashtu që popullsia shënohet në boshtin X (abshisë) kurse gjinia në boshtin Y,(ordinatë), njëra tregon gjininë femerore e tjetra gjininë mashkullore, zakonisht në grupe moshore prej 5 vjet.  Meshkujt prezantohen në anën e majtë kurse femrat në anën e djathtë dhe ata mund të prezantohen në përqindje ose me numrin absolut të popullsisë. 27

Piramida e popullsisë/ilustrim

Mosha

28

14

Piramida e popullsisë së Kosovës (ESK: Anketa Demografike dhe Socio-ekonomike 1999),

29

Përdorimi i piramidës së popullsisë 



Piramida e popullsisë mund të shfrytëzohet për të gjetur numrin e popullsisë që është ekonomikisht e varur nga pjesa tjetër e popullsisë. Vartësit ekonomik ( popullsia e paaftë për punë) janë ata që janë më të rinj se 15 vjet dhe ata mbi 65 vjet.



Natyrisht në disa vende më pak të zhvilluara fëmijët fillojnë të punojnë edhe para moshës 15 vjeçare, kurse në disa vende të tjera është e zakonshme që puna të filloj gjatë moshës 18-21 vjet, kurse njerëzit mund të punojnë edhe pas moshës 65 vjeçare ose të pensionohen më herët.Për këtë definimi është një lloj vlerësimi.



Në shumë vende,qeveritë planifikojnë zhvillimin ekonomik në atë mënyrë që popullsia e aftë për punë duhet të mbështesë popullsisnë e paaftë për punë.



Piramida e popullsisë mund të shfrytëzohet edhe për vështrimin e rritjes natyrore të popullsisë, lindjet dhe normën e vdekjes së popullsisë. 30

15

Diagramet përmes sipërfaqes së katrorit dhe rrethit  Katrorët , gjegjësisht sipërfaqja e katrorit shfrytëzohen për pasqyrim grafik të dhënave me qëllim të krahasimit të madhësive të tyre të cilat mund të jenë proporcionale me madhësinë të cilat i përfaqësojnë.

S

a2

a

S

siperfaqja e katrorit brinja e katrorit 31

Shembull 6 Sëmundjet nga kanceri në Kosovë në vitin 2005 sipas niveleve janë si në tabelën vijuese. Prezantoni grafikisht të dhënat përmes sipërfaqes së katrorit. Rastet e sëmundjeve malinje, 2005 Niveli primar Niveli seknodar

Nr. i të sëmurëve 3885 462

Niveli terciar

1148

Gjithsej

5495

Burimi: ESK Statistikat sociale, “Statistikat e shëndetësisë”, 2005 32

16

Shembull 6 - vazhdim S a2  Niveli primar =3885;S= 3885 a S

 Niveli sekondar = 462; S= 462  Niveli terciar=1148 S=1148

S

a2

a

S

S

a2

a

S

3885

62,32 :10 6, 232 6 cm

462

21, 49 :10 2,149 2 cm

1148

38,38 :10 3,8 4 cm 33

Shembull 6 - vazhdim Fig. Sëmundjet nga kanceri sipas niveleve në vitin 2005 në Kosovë. Niveli primar Niveli sekondar

S= 3885 pacientë S= 462 pacientë

a=62,32 (6 cm)

Niveli terciar

S= 1148 pacientë

a= 21,49 (2m)

a=38,38 (4cm)

Burimi: ESK Statistikat sociale, “Statistikat e shëndetësisë”, 2005

34

17

Diagramet sipërfaqësore të rrethit Diagramet sipërfaqësore të rrethit, përdoren për nevoja të krahasimit të dhënave statistikore si dhe për paraqitjen e strukturës së dukurisë.



S r

r2 S

3,14 r rrezja e rrethit

Të dhënat e shembullit të gjashtë të shfrytëzohen për paraqitjen e sëmundjeve nga kanceri sipas niveleve. 35

Shembull 7  Niveli primar =3885;S= 3885

S r

 Niveli sekondar = S 462; S= 462 r  Niveli terciar=1148 S=1148 S r2

r

S

r2 S

3885 3,14

1237,3

35,17 :10 3,517cm

r2 S

1148 3,14

462 3,14

147,13 12,3 :10 1,123cm

365, 6 19,12 :10 1,912cm 36

18

Shembull 7 - vazhdim Fig. Sëmundjet nga kanceri sipas niveleve në vitin 2005 në Kosovë. Niveli primar Niveli sekondar

Niveli terciar

r=3,5cm r=1,9cm r=1,2cm

r=35,17 (3,5 cm)

r= 12,13 (1,2cm)

r=19,12 (1,9cm)

Burimi: ESK Statistikat sociale, “Statistikat e shëndetësisë”, 2005 37

Rrethi struktural/diagrami tortë

•Diagrami struktural ëshët një grafik i ndarë në sektore, i cili ilustron frekuencat në përqindje. •Në daigramin tortë madhësia e çdo sektori është proporcionale me sasitë që prezanton. •Bashkërisht të gjithë sektorët krijojnë rrethin e plotë. 38

19

Rrethi struktural/diagrami tortë Hapat për ndërtimin e diagramit torte ose rrethit struktural:  Komponentet e veçanta të variablave konvertohen në përqindje për të ndërtuar diagramin tortë.  Këto përqindje konvertohen në shkallë korresponduese të rrethit.  Vizatohet rrethi me kompas me madhësi adekuate.  Maten pikat në rreth që prezantojnë madhësinë e çdo sektori me ndihmën e këndmatësit.  Aranzhohen sektorët sipas madhësisë.  Përdoren ngjyra të ndryshme për të dalluar pjesët e veçanta. 39

2-20

Rrethi struktural/diagrami tortë  Diagrami tortë veçanërisht është i përshtatshëm për prezantimin e distribucionit relativ dhe në përqindje të frekuencave. Rrethi është i ndarë në mënyrë proporcionale me frekuencat relative dhe pjesët e rrethit e përgjigjen grupeve të ndryshme.  SHEMBULL 5: Përgjigjet e 200 lojtarëve në lidhje me llojin e patikave që preferojnë janë si në tabelën 40 vijuese:

20

Shembull 8- vazhdim Bazuar në të dhënat në vijim , prezantoni ato përmes diagramit tortë. Lloji i patikave

Nr. i lojtarëve

Struktura %

Shkallët e rrethit

Nike

92

46%

46x3,6=165,6o

Adidas

49

24,5%

24,5 x 3,6=88,2o

Reebok

37

18,5%

18,5 x 3,6=66,6o

Ascis

13

6,5%

6,5 x 3,6=23,4o

Të tjera

9

4,5%

4,5 x3,6=16,2o

Gjithsej

200

100

360o 41

2-22

Diagrami tortë për preferencat e lojtarëve

Reebok 18%

Asics 6% Të tjera 4% Nike Adidas Reebok

Adidas 24%

Asics Të tjera Nike 46%

42

21

Rrethi struktural/diagrami tortë  Derisa diagrami tortë ndoshta është grafiku statistikor më i përhapur në botën e biznesit dhe të mas mediave, ai rrallë shfrytëzohet për publikime shkencore dhe teknike.  Eshtë një prej grafikëve më të kritikuar, dhe shumë statisticientë rekomandojnë që të eliminohet krejt nga përdorimi , duke theksuar veçanërisht se është vështirë të krahasohen pjesë të ndryshme të një grafiku të dhënë, ose të krahasohen të dhënat nga diagrame të ndryshme strukturale. 43

Forma të tjera të paraqitjes grafike  Kartogrami- i cili mund të paraqitet si kartodiagram dhe si hartë.

 Ideogrami /Piktogramet – paraqiten përmes simboleve dhe figurave natyrale  Shtrirja territoriale e dukurisë më së miri mund të pasqyrohet përmes kartodiagramit. 44

22

Paraqitja grafike përmes hartave

45

Disa rekomandime për ndërtimin e grafikëve

 Çdo grafik duhet të përmbajë në vetvete të gjithë treguesit e nevojshëm për interpretimin e saktë të tij, pavarësisht nga teksti, pra: -titullin e qartë të objektit që paraqitet; -periudhës së cilës i referohen të dhënat; -hapësirën territoriale; -burimin si dhe -shkallët e matjeve që janë zbatuar.  Numrat dhe fjalët që përmban grafiku,duhet të lexohen pa e rrotulluar fletën.

46

23

Disa rekomandime për ndërtimin e grafikëve - vazhdim  Duhet zgjedhur drejt metoda e paraqitjes,në mënyrë që ajo të jetë më e përshtatshmja për një tip tabele të caktuar, kur mund të përdoren korrektësisht disa metoda, përparësi duhet dhënë metodës më të thjeshtë;  Në boshtet duhet treguar saktësisht gjithmonë përmbajtja e variablave dhe njësia e matjes;  Prerjet e shkallëve duhet treguar nëpërmjet ndërprerjes së boshteve, etj. 47

Konceptet kyçe  Diagramet  Diagramet vijore  Diagrami polar  Diagramet sipërfaqësore  Shtyllat e thjeshta, të shumëfishta

      

Shtyllat simetrike Piramida e popullsisë Katrori Rrethi Diagrami struktural Kartodiagramet Ideogramet

48

24

1-1

Analiza e të dhënave statistikore

Madhësitë mesatare Qëllimet Në fund të orës së mësimit , ju duhet të jeni në gjendje që të :

Llogaritni mesataren aritmetike të thjeshtë dhe të ponderuar, dhe mesataren gjeometrike. Shpjegoni karakteristikat, përdorimin , përparësitë dhe të metat e çdo njërës mesatare. Kuptoni madhësitë mesatare të pozicionit (moda dhe mediana) dhe ti llogaritni ato. Përcaktoni pozitën e mesatares aritmetike, medianës dhe modës te distribucionet simetrike dhe asimetrike.

1

Analiza statistikore 





Analiza statistikore paraqet fazën e tretë të studimit statistikor. Varësisht nga qëllimi dhe objekti i studimit, gjatë analizës statistikore bëhet përpunimi i të dhënave dhe formohen tregues të ndryshëm statistikor përmes të cilëve nxirrren konkluzione cilësore për fenomenet e hulumtuara. Analiza statistikore ka rëndësi të veçantë se përmes saj mund të bëjmë krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore për dy e më shumë dukuri, në kohë dhe hapësirë. 2

1

Disa nga llojet e analizave statistikore Llojet e analizave Statistikore

Analiza statike

Analiza dinamike

Analiza reprezentative

Analiza regresive statistikore

3

Disa nga treguesit e analizës statike Treguesit e analizës statike

Madhësitë mesatare

Mesataret algjebrike

Treguesit e variaconit

Mesataret e pozicionit

Treguesit absolut

Treguesit e formës së shpërndarjes

Treguesit relativ

Treguesit e Asimetrise

Mesatarja aritmetike

Moda

Gjerësia e intervalit

Koeficienti I variacionit

Mesatarja harmonike

Mediana

Devijimi mesatar absolut

Devijimi I standardizuar

Mesatarja gjeometrike

Treguesit e Kurtozisit

Koeficienti i Asimterisë

Koeficienti i Kurtozisit

Varianca

Devijimi standard

4

2

Madhësitë mesatare 







Madhësitë mesatare, gjegjësisht vlerat mesatare , janë vlera reprezentative të cilat zëvendësojnë të gjitha vlerat e veçorisë së dukurisë së dhënë. Vlerat mesatare llogariten vetëm nga seritë numerike të njësive statistikore. Sa më homogjene që të jenë të dhënat statistikore më reprezentative do të jetë vlera mesatare dhe devijimet nga ajo do të jenë më të vogla. Mesataret shprehin nivelin tipik të ndryshimeve të modaliteteve të grupeve homogjene me tipare sasiore.

5

Llojet e madhësive mesatare Madhësitë mesatare

Mesatare Algjebrike

Mesatarja aritmetike

Mesatarja harmonike

•E thjeshte •E ponderuar

Mesatare të pozicionit

Mesatarja gjeometrike

Moda

Mediana

•E thjeshte

•E thjeshte

•E thjeshte

•E ponderur

•E ponderuar

•E ponderur

6

3

Mesataret algjebrike / Mesatarja 



-

aritmetike

Mesatarja aritmetike është madhësia mesatare e përdorur më së shumti dhe prezanton nivelin tipik të zhvillimit të dukurisë. Ajo mund të jetë: mesatare aritmetike e populimit dhe mesatare aritmetike e mostrës

7

Mesataja aritmetike e thjeshtë 

Mesatarja e populacionit

Mesatarja e populacionit 

Shuma e te gjitha vlerave ne populacion Numri i te gjitha vlerave ne populacion

n



X i 1

N

i

ose me tjeshte  

X N

ku

  paraqet shenjen per mesataren e populacionit. Shkronje greke qe lexohet " mi " N  numri i njesive ne populacion X  prezanton cdo vlere te vecante   " sigma " shkronje greke qe tregon operacionin e mbledhjes. X  eshte shuma e te gjitha vlerave te X

8

4

3-2

Mesataja aritmetike e thjeshtë 

Mesatarja e mostrës

Mesatarja aritmetike e mostrës =

shuma e të gjitha vlerave ne moster numrii tegjitha vlerave ne moster

Ajo llogaritet për seritë e thjeshta statistikore kur numri i dendurive është i njejtë ose është i barabartë me 1 me formulën vijuese: n

X 

X i 1

N

i

ose me thjeshte X 

X N 9

Mesatarja (Mesatarja aritmetike) 

Mesatarja është mesatare aritmetike e të dhënave numerike 

N = Madhësia e populimit

N

Mesatarja e populimit



x

i

i 1

N



x1  x2    x N N

n = Madhësia e mostrës n



Mesatarja e mostrës

x

x i 1

n

i



x1  x2    xn n

10

5

Mesatarja aritmetike - e thjeshtë n

X  X 2  X 3  ...  X n X 1  n 



 

X i 1

i

n

(iks bar)-prezanton simbolin për mesataren aritmetike të mostrës n- është numri total i vrojtimeveelementeve X - prezanton vlerat individuale.  - prezanton shumën e përgjithshme të vlerave.

X

11

Mesatarja aritmetike  



Matësi më i shpeshtë i tendencës qendrore Mesatarja = Shuma e vlerave e ndarë për numrin e vlerave Ndikohet nga vlerat ekstreme

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 3

1  2  3  4  5 15  3 5 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 4

1  2  3  4  10 20  4 5 5

6

3-3

Shembull 1   

Nga vlerat vijuese: 3, 8, and 4 llogaritni: a) mesataren aritmetike të thjeshtë dhe b) vërtetoni vetinë se: n

(X i 1

i

 X)  0

13

Shembull 1, vazhdim 



a)

b)

X

X 1  X 2  X 3  ...  X n n

X

3  8  4 15  5 3 3

n

 ( X  X )  3  5  8  5  4  5  2  3 1  0 i 1

i

14

7

Mesatarja aritmetike e ponderur/ për të dhënat e grupuara 





Mesatarja aritmetike e ponderuar është rast i veçantë i mesatares aritmetike dhe llogaritet në rastet kur ka disa vrojtime në të njejtën modalitet, gjegjësisht kur të dhënat grupohen në distribucionin e frekuencave. Mesatarja aritmetike e ponderuar llogaritet në rastet ku përveç vlerave të X janë edhe të dhënat për denduritë, gjegjësisht kur frekuencat nuk janë të barabarta , ashtu që njëri modalitet “peshon” me shumë e tjetri më pak. Mesatarja aritmetike e ponderuar quhet edhe mesatare aritmetike e “peshuar”

15

Mesatarja aritmetike e ponderur/për të dhënat e grupuara 

Formula për llogaritjen e mesatares aritmetike të ponderuar është: n

X   

   

Simbolet:

 i 1

fi X i

n

 i 1

fi

X (iks bar)-prezanton simbolin për mesataren aritmetike të mostrës f- frekuencat në çdo klasë/për cdo modalitet fx - është prodhimi i frekuencave f me vlerat e x X - prezanton vlerat individuale të çdo modaliteti fx - prezanton shumën e përgjithshme të këtyre produkteve. 16

8

Mesatarja aritmetike e ponderuar 

Llogaritet me formulën: n

X

fX i 1 n

f i 1

X

i

i



f1 x1  f 2 x2  f3 x3  ....  f n xn , ose f1  f 2  f3  .... f n

i

fx f 17

Shembull 2. 

a) b)

Një spital punëson 200 infermiere. Prej tyre 50 janë ndihmëse të motrave, 50 të tjera janë në punë praktike dhe 100 të tjera janë motra të përhershme. Të parat marrin 8€ në ditë, të dytat 10 € kurse të tretat 14 € në ditë. Sa është paga mesatare ditore? n Vërtetoni vetinë se: f (X  X )  0

 i 1

i

18

9

Shembull 2- vazhdim 

Tab.nr.1. Pagat e infermiereve

Pagat ($) (X)

Nr. i infermiereve (f)

(X)x(f)

(X-11,5) X  X  f X  X 

8

50

400

-3.5

-175

10

50

500

-1.5

-75

14

100

1400

2.5

250

Σ

200

2300

0

n

X 

X i 1 n

 i 1

fi

i



fi

2300  11, 5$ 200

19

Shembull 2- vazhdim n

X 

X i 1 n

f i 1

fi

i



2300  11, 5$ 200

i

X  11, 5$

20

10

Mesatarja aritmetike te seritë me intervale Shembull 3 



Distribucioni i mëposhtëm prezanton numrin e ditëve të munguara për shkak të sëmundjes së punëtorëve të një firme. Brenda vitit, mesatarisht sa ditë kanë munguar punëtorët e kësaj firme?

Tab.nr.2. Ditët e munguara nga puna Numri i ditëve të munguara

0-3

3-6

6-9

9-12

12-15

Σ

Nr. i të punësuarve

5

12

23

8

2

50

21

Shembull 3-vazhdim 

Tab.nr.2-vazhdim

Numri i ditëve të munguara (Grupet)

Nr. i të punësuarëve (f)

Mesi i intervalit (X)

(X) . (f)

0-3

5

1,5

7.5

3-6

12

4,5

54

6-9

23

7,5

172,5

9-12

8

10,5

84

12-15

2

13,5

27

Σ

50

345

22

11

Shembull 3-vazhdim n

X 

X i 1 n

f i 1

fi

i



345  6, 9  7 50

i

X 7 23

Disa veti të mesatares aritmetike 

Mesatarja aritmetike është vlerë mesatare më e madhe se vlera minimale dhe më e vogël se vlera maksimale e të dhënave, gjegjësisht:

X max  X  X min  



Çdo grumbull i të dhënave numerike ka mesatare. Të gjitha vlerat përfshihen në llogaritjen e mesatares aritmetike. Një grumbull i të dhënave ka vetëm një mesatare. 24

12






Nëse të gjitha vlerat e X-it janë të barabarta , gjegjësisht x1= x2 = x3 = x4….= xn atëherë mesatarja aritmetike ëstë e barabartë me vlerën e X-it. Nëse f1= f2 = f3 = f4….= fn , atëherë mesatarja aritmetike e ponderuar është e barabartë me mesataren aritmetike të thjeshtë. Zakonisht mesatarja aritmetike është e ndikuar nga vlera maksimale dhe minimale.

25




Mesatarja aritmetike është e vetmja mesatare në të cilën shuma e devijimeve nga çdo vlerë është gjithmonë e barabartë me zero: n Te seritë thjeshta: (Xi  X )  0 i 1



Te seritë e ponderuara :

n

 f (X i 1

i

 X) 0

26

13




Shuma e devijimeve të ngritura në katror të gjitha vlerave nga vlera mesatare e tyre është minimale , gjegjësisht më e vogël se shuma e devijimeve të ngritura në katror të vlerave individuale nga cilado vlerë tjetër e marrë. n Te seritë thjeshta: 2

(X i 1



Te seritë e ponderuara :

i

 X )  min

n

 f (X i 1

i

 X )2  min

27

Mesatarja gjeometrike 



Mesatarja gjeometrike përdoret për gjetjen e mesatares së përqindjeve, normave, indekseve ose normën e rritjes. Ka aplikim të gjerë në biznes dhe ekonomi sepse ata janë të interesuar në gjetjen ndryshimit të shitjeve në përqindje, në paga, të kategorive të ndryshme ekonomike si Bruto Produkti Kombëtar, etj.

28

14

Mesatarja gjeometrike 

Mesatarja gjeometrike mund të jetë:

- e thjeshtë (për të dhënat e pagrupuara) - e ponderuar (për të dhënat e grupuara)

29

3-4

Mesatarja e thjeshtë gjeometrike 





Mesatarja gjeometrike (G) e një grumbulli n të dhënave është rrënja n e prodhimit të n numrave. Formula për mesataren e thjeshtë gjeometrike është:

G G

n

( X 1)( X 2)( X 3)...( Xn), ose n

n

x i 1



i

Mesatarja gjeometrike përdoret për gjetjen e përqindjeve mesatare, indekseve mesatare dhe numrave të tjerë relativ.

30

15

Shembull 6. Gjeni mesataren gjeometrike për numrat: 2, 4, 6, 5

G

 X1 )( X 2 )( X 3 )....( X n 

n

G  4 2x4x6x5  4 240

G  4 240 / log logG 

1 1 log240  x 2,38  0,54 4 4

logG  0,54 / anti log G  3,89 31

Mesatarja gjeometrike e ponderuar 

Llogaritet sipas formulës:





G   f X1f1 )( X 2f2 )( X 3f3 )....( X n fn / log

logG 

1

f

f1 log x1  f2 log x2  f3 log x3  ....  fn log xn 

32

16

Mesatarja gjeometrike Te dhenat e pagrupuara

Te dhenat e grupuara



G  n ( x1 x2 x3  xn ) 1 G  AntiLog  N 

n

 i 1

G   f X f1 )( X f2 )( X f3 )....( X fn

 Log xi   

 1 G  AntiLog   f

n

f i 1

i



 Log xi  

33

Mesatarja gjeometrike e ponderuar 

Shembull 7. Për të dhënat në vijim llogaritni mesataren gjeometrike: x 2 4 5 3 Σ

G  f



f

5

X

f1

2

6

4

17

)( X f2 )( X f3 )....( X fn





G  17 25 )(42 )(56 )(34 / log logG 

1  5log2  2log4  6log5  4log3  17 34

17

Shembull 7-vazhdim logG  logG 

1  5log2  2log4  6log5  4log3  17

1  5x0,30  2x0,60  6 x0,699  4 x0,48  17

1 1,5  1,2  4,194  1.92  17 1 logG   8,814  17

logG 

logG 

8,814  0,5185 / anti log 17

G  3,2996  3,3

G  3,3 35

Mesatarja geometrike – Norma mesatare e zhvillimit 

Shembull 8. Firma “Dardania” gjatë periudhës 2001-2005 ka realizuar prodhimtari si në tabelën vijuese (prodhimi i shprehur në tonelata) Vitet

Prodhimi/ton

2001

500

2002

700

2003

600

2004

500

2005

800

Sa është norma mesatare e shtimit për një vit?

36

18


Së pari gjemë koeficientët zingjir k1, k2…. Vitet

k1  k2 

700  1,4 500 600  0,85...... 700

G G

n

4

Prodhimi/ton

Koeficientët zingjir (k)

2001

500

-

2002

700

1,4

2003

600

0,85

2004

500

0,833

2005

800

1,6

 k1 )(k 2 )(k3 )....( k n 

1,4)(0,85)(0,8333)(1,6  37

Shembull 8-vazhdim G

4

1,4)(0,85)(0,8333)(1,6 

G  4 1,6 / log 1 logG  log1,6 4 logG 

0,20412  0,05103 4

logG  0,05103 / anti log

G  1,125x100  112,5 Nmzh  112,5  100  12,5%

Nmzh  12,5% 38

19


Normën mesatare të shtimit mund ta gjejmë edhe përmes formulës vijuese:

N Nzh  n 1 n N1 Nzh  51

800 500

Nzh  4 1,6 / log

Nzh  4 1,6 / log 0,20412 logNzh   0,05103 / anti log 4 Nzh  1,125 x100  112,5 Nzh  112,5  100  12,5 Nzh  12,5

39

Mesataret e pozicionit 





Mesataret e pozicionit për dallim nga mesataret algjebrike gjinden në bazë të pozitës që e marrin në serinë statistikore. Te këto mesatare nuk kanë ndikim vlerat ekstreme, gjegjësisht vlerat minimale dhe maksimale. Në mesatare të pozicionit bëjnë pjesë: - Mediana -

Moda 40

20

Madhësi të tjera të pozicionit  Kuartilet

- i ndajnë të dhënat e serisë në

katër pjesë të barabarta  Decilet-

i ndajnë të dhënat në 10 pjesë të

barabarta  Percentilet-

i ndajnë të dhënat në 100 pjesë të barabarta

41

3-2

Mediana/Mesorja 





Mediana: Vlera e mesit e vlerave të caktuara pasi ato të jenë renditura prej vlerës më të ulët deri te vlera më e lartë ose prej vlerës më të lartë deri te vlera më e ulët. Numri i vlerave është i njejtë mbi dhe nën vlerën e medianës Shënim: Nëse vlerë e mesit paraqiten dy vlera , atëherë mediana është mesatare aritmetike e thjeshtë e atyre dy vlerave. 42

21

Mediana 

Në një varg të numrave të renditur sipas madhesisë, mediana është numri i mesit (50% mbi dhe 50% nën)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mediana = 3

Mediana = 3

Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme



Chap 3-43

Gjetja e medianës 

Pozita e medianes: Pozita e medianes 

 



n 1 pozita nete dhenat e rregulluara 2

Nëse numrii të dhënave ështe tek, mediana është numri i mesit Nëse numri i te dhënave eshtë qift, mediana është mesatare e dy numrave të mesit.

Keni kujdes : n  1 nuk është vlera e medianës , por 2 vetëm pozita e medianës (vendi ku gjindet mediana) në

të dhënat e rregulluara. 44

22

Mediana Shembull 1. 

Llogaritni medianën për këto të dhëna:

Mosha e pesë studentëve është: 21, 25, 19, 20, dhe 22 vjet.  Rregullimi i të dhënave sipas madhësisë është: 

19, 20, 21, 22, 25.

Pra, mediana është 21.

Shembull 2. 

 

Pesha e katër studentëve (në kg) është : 76, 73, 80, dhe 75. Regullimi i të dhënave sipas madhësisë është:

73, 75, 76, 80. Pra mediana është 75,5.Me  75  76  75, 5 2

45

Mediana për të dhënat e grupuara 

 



Mediana për të dhënat e grupuara në distribucionin e frekuencave llogaritet si vijon: Së pari, gjejmë frekuencat kumulative; F Së dyti, gjejmë rangun e medianës : Rme  2

Shembull 3. Për të dhënat në vijim gjeni medianën : Mosha

18

20

25

40

50

60

Nr. i punëtorëve (f)

10

15

20

30

15

5

95

46

23

Mediana për të dhënat e grupuara Mosha

Nr. i punëtor ëve (f)

Frekuencat kumulative

18

10

10

20

15

25

25

20

45

40 (Me)

30

75 ( Rme 47,5)

50

15

90

60

5

95

Σ

95

Rme 

F 2



95  47,5 2

Me  40

47

Mediana për të dhënat e grupuara / seritë me intervale 

Mediana per seritë e ponderuara llogaritet me formulën:

 X  X 1   f  Me  X 1   2  w1   .   w2  w1   2 

    

Simbolet e formulës prezantojnë :

Me – simboli për medianën X1 – limiti i fillimit të intervalit medial X2 – limiti i fundit të intervalit medial w1 – frekuenca kumulative mbi intervalin medial w2- frekunca kumulative e intervalit medial 48

24

Mediana për të dhënat e grupuara / seritë me intervale Mediana te seritë me intervale mund të llogaritet edhe përmes kësaj formule:



Me  X1  Simbolet e formulës prezantojnë :

f / 2  w1 d f me

Me – simboli për medianën X1 – limiti i fillimit të intervalit medial w1 – frekuenca kumulative mbi intervalin medial fme- frekunca absolute e intervalit medial d - gjerësia e intervalit medial 49

Mediana për të dhënat e grupuara / seritë me intervale Shembull 4 Për të dhënat në vijim gjeni medianën (Me) Grupet

Frekuencat

0-5

Frekuencat kumulative

2

5-10

2

7

(X1)10-15 (x2) 15-20 20-25

Σ

12

9 (W 1) Rme=15

21 (W 2)

6

27

3

30

 X  X 1   f  Me  X 1   2  w1   .   w2  w1   2

Rme 

f 30   15 2 2

30

Me  12,5

5  15  10  Me  10    . 15  9  10  x6  10  2,5  12,5 12  21  9  50

25

Mediana te seritë me intervale Me  X 1 

Me  10 

f / 2  w1 d f me

15  9  5  12,5 12

51

3-12

Vetitë e medianës/mesorës 

Ekziston vetëm një medianë për një grumbull të të dhënave .



Nuk ndikohet nga vlerat maksimale dhe minimale dhe për këtë është e përshtatshme dhe e besueshme për të treguar tendecën qendrore kur kemi kësi lloj raste.

{3, 4, 5, 6, 7} Mediana = 5 {3, 4, 5, 6, 700} Mediana = 5 

Mund të llogaritet edhe në rastet kur kemi intervale të hapura me kusht që mediana të mos qëllojë në atë interval. 52

26

Moda Moda është vlera e vrojtimeve që shfaqet më së shpeshti, gjegjësisht vlera e karakteristikës që e ka frekuencën më të madhe. Te seritë e thjeshta nuk ka modë.





Shembull 2. : Sa është moda për secilën seri të numrave të dhënë: a) 5 20 125 150 450 (nuk ka modë) b) 5 20 20 150 450 (20) c) 5 5 80 80 180 (5 dhe 80)-bimodale

   

Seritë me më shumë se dy moda quhen seri multimodale

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 Ska Modë

Moda = 9 3-53 Chap

Moda për të dhënat e grupuara. 

Shembull 6. Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është moda Mosha X

Nr. i punëtorëve (f)

18

10

20

15

25 40

M o  40

20 M0

30 (f max)

50

15

60

5

Σ

95 54

27

Moda për të dhënat e grupuara/ Seritë me intervale

M o  X1 

f 2  f1 d ( f 2  f1 )  ( f 2  f3 )

Simbolet e formulës prezantojnë:  Mo- simboli për modën  X1 – limiti i fillimit të intervalit modal  f2– frekuenca e intervalit modal  f1 – frekuenca absolute mbi intervalin modal  f3 – frekuenca absolute nën intervalin modal  d- gjerësia e intervalit 55

Moda për të dhënat e grupuara/ Seritë me intervale 

Shembull 7 . Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është moda.

Grupet

0-5

2

5 - 10

f1

7

10 - 15

f2

12

15 - 20

f3

6

20 - 25 Σ

M o  X1 

Frekuencat

M o  10 

f2  f1 d ( f2  f1 )  ( f2  f3 )

12  7 5  5  10  5 (12  7)  (12  6) 56

3 30

M o  10 

25  10  2,27  12,27 11 56

28

Karakteristikat e modës Përdorim më i vogël  E vetmja metodë për matjen e tendecës qendrore të të dhënave kualitative nominale.  Mund të ketë distribucione me më shumë moda  Mund të ketë distribucione pa modë. 

57

Zgjedhja e mesatares nga të dhënat në distribucionin e frekuencave 









Në distribucionin normal, gjegjësisht simetrik të frekuencave ku të dy pjesët e poligonit të frekuencave janë plotësisht të njejta , të tri mesataret :aritmetike, moda dhe mediana janë të barabarta. Te distribucionet jo simetrike raportet në mes të këtyre tri mesatareve ndryshojnë. Në distribucionin asimetrik pozitiv në të djathtë mesatarja aritmetike është më e madhe në krahasim me medianën dhe modën, sepse mesatarja aritmetike është e ndikuar më shumë se moda dhe mediana nga disa vlera shumë të larta. Në distribucionin asimetrik negativ në të majtë, mesatarja aritmetike është më e vogël se mesataret tjera , gjegjësisht mediana dhe moda sepse ajo është e ndikuar më shumë nga disa vlera shumë të vogla. Nëse distribucioni është shumë asimetrik atëherë mesatarja aritmetike nuk është përfaqësuese e mirë e distribucionit.

58

29

Distribucioni simetrik/normal  

“Asimetri zero” Moda = Mediana = Mes.aritmetike Moda Mediana Mes.aritmetike

59

Distribucioni me asimetri në të djathtë 

“Asimetri pozitive” 



Mes.aritmetike dhe Mediana janë në anën e djathtë të Modës. Moda
Mes.aritmetike

Mediana

60

30

Distribucioni me asimetri në të majtë 

“Asimetri negative” 



Mes.aritmetike dhe Mediana janë në anën e majtë të Modës. Mes.aritmetike
Mes.aritmetike Mediana

61

Shembull: Rezultatet e testit nga provimi i statistikes. Gjeni mesataren aritmetike, modën , medianën dhe paraqitni grafikisht të dhenat permes poligonit të frekuecave, cfarë shpërndarje ka seria. Vrojtimi 65 70 75 80 85 90 95

Frekuenca 1 2 3 4 3 2 1

62

31

Llogaritja e mesatares aritmetike, modes dhe medianes n

X

F

X*F

Fkumulat ive (nen)

65

1

65

1

70

2

140

3

75

3

225

6

80

4

320

10

85

3

255

13

90

2

180

15

1

95

16

16

1280

95

X

X i 1

i

 fi

n

f i 1



1280  80 16

X  80

i

Me  80 Mo  80 Mo  Me  X shperndarja simetrike

63

Poligoni i frekuencave Shperndarja eshte plotesisht simetrike 4.5

Poligoni i frekuencave

4 3.5

Frekuencat

3 2.5 2 1.5 1 0.5

Mo =Me =X

0 60

65

70

75

80

85

90

95

100

Te dhenat X

64

32

Shembull Çmimet e shtëpive:

$2,000,000 500,000 300,000 100,000 100,000 Shuma 3,000,000



Mes.art.:

($3,000,000/5) = $600,000



Mediana: vlera e mesit e të dhënave të rregulluara = $300,000



Moda: Vlera më e shpeshtë = $100,000 65

Madhësi të tjera të pozicionit të dhënave Madhësi të tjera të pozicionit Percentilet

E ndajnë serinë në 100 pjesë të barabarta

Kuartilet 

Kuartili i 1rë = ¼ e të dhënave



Kuartili i 2të = ½ e të dhënave = medianën



Kuartili i 3të = ¾ e të dhënave 66

33

Kuartilet Kuartilet i ndajnë të dhënat në katër grupe



25% 25%

25%

Q1 Q2 Shembull: Gjeni kuartilin e parë



Të dhënat :

25% Q3

11 12 13 16 16 17 18 21 22

(n = 9) Q1 = (n+1)/4 = (9+1)/4=2,5

(9+1)/4 = 2.5 pozita

Kështu që shfrtëzon vlerat në mes të 11 dhe 13 (12+13)/2=12.5 ashtu që

Q1 = 12.5 67

Kuartili i parë dhe i tretë për të dhënat e grupuara 

Shembull 8. Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është Kuartili i parë dhe Kuartili i tretë.

Grupet

Frekue ncat

0-5

2

Frekuenc at kumulativ e 2

5-10

7

9

10-15

12

21

15-20

6

27

20-25

3

30

Σ

Q1  8,93

Q1  X 1  Rq1 

f / 4  w1 d f q1

f 30   7, 5 4 4

30

Q1  5 

7,5  2 5,5 27,5 5  5  5  5   5  3,9  8,93 7 7 7 68

34

Quartili i tretë

3f / 4  w1 Q3  X 1  d f q3 Rq 3 

3f 3  30   22, 5 4 4

Q3  15  Q3  15 

22, 5  21 5 6

1, 5 7, 5  5  15   15  1, 25  16, 25 6 6 69

Konceptet kyçe Mesataret algjebrike  Mesatarja aritmetike  Mesatarja gjeometrike Norma mesatare e zhvillimit Mesataret e pozicionit  Moda 

      

Mediana Kuartilet Decilet Percentilet Distribucioni simetrik Asimetri negative Asimetri pozitive

70

35

Treguesit e dispersionit/shpërndarjes/variacionit Qëllimet: Në fund të orës së mësimit, ju duhet të jeni në gjendje që të : 

Dini rëndësinë e treguesve të dispersionit dhe pse përdoren ata.



Llogaritni dhe interpretoni treguesit absolut të variacionit, gjegjësisht gjerësinë e variacionit, devijimin mesatar apsolut, variancën dhe devijimin standard për seritë e thjeshta dhe seritë e ponderuara.



Spjegoni karaktristikat, përdorimin, përparësitë dhe të metat për çdo tregues apsolut të variacionit



Të dini të interpretoni devijimin standard dhe të kuptoni Rregullën Empirike/normale



Llogaritni dhe të kuptoni koeficientin e variacionit dhe interkuartilit. 1

Termat e treguesve te variacionit Variacion  Dispersion  Shmangie  Devijim  Shpërndarje  Ndryshueshmëri  Luhatshmëri 

2

Pse duhet të studiohet dispersioni? 

Vlerat mesatare prezantojnë populacionin statistikorë në tërësi. Dy apo më shumë populacione mund të kenë madhësi të njëjtë mesatare, mirëpo dallohen sipas shpërndarjes rreth qendrës së shpërndarjes. P.sh.

I: 100; 100; 100; 100; 100. = ΣX 500,= X 100 II : 100; 108; 107; 105; 80.

= ΣX 500,= X 100

III : 2; 5; 4; 486; 3.

= ΣX 500,= X 100 3

Pse duhet të studiohet dispersioni/shmangia? 

Në serinë e parë , çdo e dhënë është e përfaqësuar në mënyrë perfekte me mesataren aritmetike. Këtu nuk kemi dispersion/shpërndarje.



Në serinë e dytë , vetëm një e dhënë është e përfaqësuar përmes mesatares së vet në mënyrë perfekte, kurse të dhënat e tjera devijojnë nga mesatarja aritmetike.



Në serinë e tretë të dhënat individuale devijojnë shumë nga mesatarja aritmetike dhe vlera mesatare në këtë rast nuk prezanton mirë dukurinë.

4

Pse duhet të studiohet dispersioni? 1)

Për të vërtetuar rëndësinë prezantimit të tërësisë statistikore përmes një vlere mesatare. Kur dispersioni është i vogël, vlera mesatare prezanton në mënyrë të besueshme çdo vlerë. Kur dispersioni është i madh vlera mesatare nuk është e besueshme dhe e dobishme.

2)

Për të krahasuar dy apo më shumë seri statistikore në kuptimin e shpërndarjes së të dhënave.

3)

Të lehtësoj shfrytëzimin e treguesve të tjerë statistikorë.

5

Treguesit e dispersionit/variacionit Treguesit e dispersionit shpërndarjes

Absolut 1. 2. 3. 4.

Gjerësia e variacionit, Devijimi mesatar apsolut Devijimi standard Varianca

Relativ 1. Koeficienti i variacionit, 2. Koeficienti i interkuartilit, etj

6

Treguesit absolut të variacionit për seritë e thjeshta 

Gjerësia e variacionit:



Devijimi mesatar absolut:

 

Varianca: Devijimi standard:

gjv = Xmax-Xmin

shma =

Σ X −X

n 2 Σ( X − X ) 2 σ = n Σ( X − X ) 2 σ = n

Treguesit absolut shprehen në njësi të njejta të matjes si dukuria 7

Treguesit absolut/ Gjerësia e variacionit Për seritë e thjeshta gjerësia e variacionit është ndryshimi në mes të vlerës më të lartë dhe vlerës më të ulët të të dhënave të hulumtuara.  Gjerëaia e variacionit 

Gjv = Xmax-Xmin

8

Shembull 1: Rrogat në orë (të shprehura në €) për të punësuarit në kompanin “A” dhe “B” janë si vijon: Sa është gjerësia e variacionit  “A”: 2, 10, 6, 8, 9 në të dy kompanitë?  “B”: 5, 9, 7, 6, 8 



“A”: Gjv = Xmax-Xmin = 10 - 2= 8 €



“B”: Gjv = Xmax-Xmin = 9 - 5= 4 € 9

Gjerësia e variacionit Përparësitë :  1. Është i thjeshtë për ta kuptuar.  2. Është i lehtë për ta llogaritur.  3. Përdoret për kontrollin e kualitetit statistikor të proceseve, për parashikimin e kohës, etj. Të metat:  1. Ndikohet shumë nga vlerat ekstreme.  2. Është i bazuar në dy vrojtime ekstreme.  3. Nuk mund të llogaritet për klasët e hapura te seritë me intervale.  4. Përdoret shumë rrallë. 10

4-3

Devijimi mesatar absolut/shmangia mesatare absolute: 

Devijimi mesatar absolut është Mesatare aritmetike e vlerave absolute të devjimeve nga mesatarja aritmetike.

shma =   

Σ X −X n

X – vlerat individuale; X - mesatajra aritmetike; n- numri i elementeve të serisë.

Shenjat për vlerë absolute

11

4-4

Devijimi mesatar absolut (shma) 

Shembull 2 : Rrogat në orë (të shprehura në €) për të punësuarit në kompanin “A” dhe “B” janë si vijon:

 

“A”: 2, 10, 6, 8, 9; “B”: 5, 9, 7, 6, 8;



Sa është devijimi mesatar absolut në të dy kompanitë?

12

Shembull 2, vazhdim Rrogat/A/€ X

Rrogat/B/€ X-X

2 10 6 8 9 35

X-X -5 3 -1 1 2 0

Kompania " A "

X

5 3 1 1 2 12

5 9 7 6 8 35

X-X 2 2 0 1 1 6

Kompania " B "

n

∑X

X-X -2 2 0 -1 1 0

n

i

35 i =1 = = = 7€ X n 5 Σ X −X 12 = = = 2.4€ shma n 2

∑X

i

35 = 7€ n 5 Σ X −X 6 = = 1.2€ shma= n 5 = X

i =1

=

13

Devijimi mesatar absolut (shma) Përparësitë dhe të metat Përparësitë:  Merr në konsiderim të gjitha vlerat në llogaritje;  Është i lehtë për tu kuptuar dhe lexuar – është vlera mesatare e devijimeve të vlerave individuale nga mesatarja e tyre aritmetike. Të metat:  Përdorë vlerat absolute me të cilat është vështirë të punohet.  Pak përdoret në krahasim me treguesit e tjerë të variacionit e sidomos në krahasim me devijimin standard. 14

Varianca dhe Devijimi standard Varianca dhe devijimi standard, të dyja bazohen në devijimet nga mesatarja aritmetike.  Varianca- mesatarja aritmetike e devijimeve nga mesatarja të ngritura në katror  Devijimi standard është rrënja katrore e variancës 

15

4-5

Varianca 

Varianca për të dhënat e thjeshta është mesatarja aritmetike e devijimeve nga mesatarja të ngritura në katror. n

σ2 = σ2

2 ( ) X − X ∑ i i =1

N − simboli per var iancen e popu lim it

X − vlerat e vrotimeve individuale X − mesatarja aritmetike e mostres N − numri total i vrojtimeve 16

4-7

Devijimi standard 

Devijimi standard është rrënja katrore e variancës, gjegjësisht:

Σ( X − X ) 2 σ = n σ − devijimi s tan dard Σ( X − X ) 2 − shuma e devijimeve nga X te ngritura ne katror n − numri i elementeve 17

Varianca dhe devijimi standard /shembull vazhdim ( X − X ) ( X − X )2

Rrogat X

( X − X )2

2

-5

25

5

-2

4

10

3

9

9

2

4

6

-1

1

7

0

0

8

1

1

6

-1

1

35

0

40

35

0

10

Σ( X − X ) 2 40 = = 8€ σ= n 5 2

σ=

(X − X )

Rrogat X

Σ( X − X ) 2 = n

40 = 5

Varianca

Σ( X − X ) 2 10 = = 2€ σ= n 5

= 8 2.8 € Dev.standard σ=

2

Σ( X − X ) 2 = n

10 = 5

= 2 1, 41 €

18

Varianca

Përparësitë dhe të metat

Përparësitë  Në llogaritje përfshihen të gjitha të dhënat  Shprehet në njësi të njëjta si të dhënat por të ngitura në katrorë. E metë  Është shumë vështirë të interpretohet.

19

Devijimi standard… ►Mat shumë mirë variabilitetin e të dhënave. ► Ka lidhje të ngusht me mesataren aritmetike. ► Është shumë i rëndësishëm për zhvillimin e teorisë statistikore. ► Gjindet lehtë përmes softverëve! 20

4-8

Treguesit absolut të variacionit për të dhënat e grupuara Llogariten për seritë e ponderuara dhe shprehen në njësi të njetja të matjes sikurse dukuria. Ata janë: a)

Gjerësia e variacionit (Gjv):

b)

Devijimi/shmangia/ mesatar absolut (shma) ose d Varianca σ 2 Devijimi standard (σ )

c) d)

( )

21

Treguesit absolut të variacionit për të dhënat e grupuara 




Devijimi mesatar absolut:

 

Varianca: Devijimi standard:

gjv = Xmax-Xmin shma =

Σf X − X f

2 Σ f ( X − X ) σ2 = Σf 2 Σf ( X − X ) σ = Σf

Treguesit absolut shprehen në njësi të njejta të matjes si dukuria 22

Shembull: 

Për të dhënat vijuese të llogariten treguesit absolut të variacionit. x

3

5

8

10

12

Σ

f

2

8

5

3

2

20

23

4-9

Treguesit absolut të variacionit për të dhënat e grupuara x

X⋅f

f

X −X

( X − X )2

f X −X

f ⋅ ( X − X )2

3

2

6

4

8

16

32

5

8

40

2

16

4

32

8

5

40

1

5

1

5

10

3

30

3

9

9

27

12

2

24

5

10

25

50

20

140

48

146 24

4-10

Treguesit e variacionit /të dhënat e grupuara a)


GJv=XMax- Xmin Gjv=12-3=9 b) Devijimi mesatar apsolut (shma)

= Shma

Σf

140 = X = 7 20

X −X 48 = = 2, 4 Σf 20 25

4-11

Treguesit absolut të variacionit /të dhënat e grupuara c) Varianca

σ = 2

n

∑ f (X i =1

− X) 146 = = 7, 3 20 Σf 2

i

d) Devijimi standard

= σ

Σf ( X − X ) 2 = Σf

= 7, 3 2, 70 26

Interpretimi dhe përdorimi i devijimit standard  



Devijimi standard është treguesi absolut i variacionit që përdoret më së shumti. Sa më i vogël që është devijimi standard kjo nënkupton që vlerat individuale të variablës janë të vendosura, gjegjësisht janë të koncentruara më afër mesatares aritmetike. Sa më i madh që është devijimi standard vlerat individuale të variablës janë të vendosura më larg gjegjësisht janë të shpërndara më larg mesatares aritmetike. 27

4-15

Interpretimi dhe përdorimi i devijimit standard Rregulla empirike/normale: Për çdo distribucion normal/simetrik/ në formë kambane/, 

Përafërsisht 68% e vrojtimeve gjendet në mes mesatares aritmetike



Përafërsisht 95% e vrojtimeve gjendet në mes të mesatares aritmetike



µ dhe ±1σ

µ

dhe ±2σ

Përafërsisht 99.7% gjendet në mes të mesatares aritmetike

µ dhe ±3σ

28

Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të µ dhe σ .

σ

µ

68.26% 95.44% 99.74%

µ−3σ

µ−2σ µ−1σ

µ

µ+1σ µ+2σ µ+ 3σ 29

Rregulla empirike Ose rregulla 68%; 95%; 99.7%

30

Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të X dhe σ .

µ

σ

68.26% 95.44%

Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të µ dhe σ .

99.74%

X −3σ

X −2σ X−1σ

X

X+1σ X +2σ X + 3σ 31

Shembull Një mostër që prezanton shumën e shpenzimeve mujore për ushqime nga një qytetar i moshuar që jeton vetëm i ofrohet shpërndarjes normale në formë kambane. Mesatarja e mostrës është 150$ kurse devijimi standard është 20$. 1. Rreth 68% e shpenzimeve mujore janë në mes të cilave vlera? 2. Rreth 95% e shpenzimeve mujore janë në mes të cilave vlera? 3. Gati të gjitha shpenzimet mujore janë në mes të cilave vlera? 

32

Zgjidhje 1. Rreth 68% jane ne mes te 130$ dhe 170$ X ± 1σ = 150$ ± 1(20$) 2. Rreth 95% jane ne mes te 110$ dhe 190$ X ± 2σ = 150$ ± 2(20$) 3. Rreth 99,7% jane ne mes te 90$ dhe 210$ X ± 3σ = 150$ ± 3(20$) 33

4-12

Treguesit relativ të variacionit/Dispersioni relativ Treguesit relativ të variacionit përdoren në rastet kur dëshirojmë të bëjmë krahasimin e shpërndarjes së dy apo më shumë dukurive në rastet kur: 1. Të dhënat janë në njësi të ndryshme të matjes; 2. Të dhënat janë në njësi të njejta por në kuptim ato dallohen shumë ( si të ardhurat e menaxherëve dhe të ardhurat e punëtorëve të pakualifikuar) 

34

Treguesit relativ të variacionit/Dispersioni relativ

Treguesit relativ të variacionit

Koeficienti i variacionit

Variabla e standaridizuar/ Devijimi i normalizuar

Koeficienti i interkuartilit

35

4-13

Koeficienti i variacionit 



Koeficienti i variacionit është raporti në mes të devijimit standard dhe mesatares aritmetike i shprehur në përqindje: Autor i këtij treguesi është Karl Pearson(18571936)

KV=

σ

X

⋅100 36

4-14


Shembull:



Produktiviteti mesatar për një punëtor në ndërmarrjen A është 1000 copë, me devijim standard 80 copë. Produktiviteti mesatar për një punëtor në ndërmarrjen B është 600 copë,ndërsa devijimi standard 72 copë. Në cilën ndërmarrje kemi shpërndarje më të madhe të produktitvitetit të punës.

37


Shembull-vazhdim 1000 copë = σ 80 copë

A: X

B: X 600 copë = = σ 72 copë

σ

80 Kv A = = =0, 08 ⋅100 =8% X 1000

σ 72 Kv B = = =0,12 ⋅100 =12% X 600 38


Shembull Në një shkollë 350 nxënës kanë gjatësinë mesatare 129 cm, me devijim standard 5,9 cm. Ky grup i nxënësve ka peshën mesatare 27 kg, me devijim standard 3,2 kg.



Ku është variabiliteti më i madh , te gjatësia apo te pesha e këtij grupi të nxënësve. 39

Koeficienti i variacionit = = Gjatesia : X 129 cm, σ 5,9 cm = = Pesha : X 27 kg , σ 3, 2 kg

σ

5, 9 KV (cm) = (100) = ⋅100 = 4, 5% X 129

σ

3, 2 KV (kg ) = (100) = ⋅100 = 11,8% X 27 40


Në dy ndërmarrje prodhimi mujor gjatë një tremujori ka qenë si vijon: Shembull 3

Prodhimi në tonelata sipas muajve Muajt



Ndërmarrja A

Ndërmarrja B

I

6

60

II

7

70

III

8

80

21

210

Σ

Ku është variacioni më i madh , te ndërmarrja A apo ndërmarrja B 41

Koeficienti i variacionit Shembull -vazhdim

21 Ndermarrja 1: X = = 7 σ= 0,812 ton 3 210 Ndermarrja 2= :X = 70 = σ 8,12 ton 3 Kv=

0, 812 ⋅100= 7

Kv =

8,12 ⋅100 = 11, 6% 70

11, 6%

42

Variabla e standardizuar/normalizuar/Devijimi i standardizuar/ z-scores 

Devijimi i standardizuar prezanton masën e devijimeve të ndonjë të dhëne të vecantë nga mesatrja aritmetike e shprehur në njësi të devijimit standard. Llogaritet në këtë mënyrë:

X −µ X −X = Z = ose t 



σ

σ

Vlera Z ose t: Distanca në mes të vlerës së selektuar, e shënuar me X dhe mesatares së populacionit, e ndarë me devijimin standard të populacionit. Distribucioni normal me mesatare 0 dhe devijim standard 1 quhet distribucion standard normal . 43

SHEMBULL 

Të ardhurat mujore të posa diplomuarve në një korporatë të madhe kanë shpërndarje normale me mesatare aritmetike prej µ= $2000 dhe devijim standard prej σ= $200. Sa është vlera e Z për një të ardhur prej x= $2200? Për një të ardhur prej X=$1700? X − µ 2200 − 2000 Z = = = 1 σ 200

SHEMBULL 1 

Për X=$1700, Z=



vazhdim

X −µ

σ

1700 − 2000 = = −1,5 200

Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$ është 1σ mbi mesataren aritmetike prej $2000, derisa Vlera Z=-1,5 tregon se vlera prej $1700 është 1.5 σ nën mesataren aritmetike që është $2000.

SHEMBULL 3. o

Përdorimi ditor i ujit për person në komunën X ka shpërndarje normale me mesatare 20 galon dhe me devijim standard 5 galon. = X 20 = galon, σ 5 galon

a) Rreth 68% e shfrytëzuesve të ujit në komunën X gjendet në mes të cilave vlera?

µ ± 1σ = 20 ± 1(5).

Për këtë, rreth 68% e shfrytëzuesve ditor të ujit do të jetë ndërmjet 15 dhe 25 galon.

SHEMBULL 3 b) Sa përqind e personave përdorin më pak se 20 galon ujë brenda ditës.

X − µ 20 − 20 = Z = = 0 σ 5 Vlera e Z: Z=0. Kështu, P(X<20)=P(Z<0)=0.5, gjegjësisht 50% e personave përdorin më pak se 20 galon ujë brenda ditës.

SHEMBULL 3, vazhdim

c) Sa përqind përdorin në mes të 20 dhe 24 galon? = = X 20 galon , σ 5= galon, X 24

X − X 24 − 20 = Z = = 0,8 5 σ Vlera e Z e lidhur me X=20 është Z=0 dhe me X=24, Z=0.8. Kështu, P(20
r

. 4

0

. 3

0

. 2

0

. 1

l

i

SHEMBULL 3 t r

b

u

i o

n

:

µ

=

0

,

P(0
f ( x

0

a

0
. 0

- 5

-4 Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës

-3

-2 -1

x

0

1

2

3

4

© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999 Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

SHEMBULL 3

vazhdim

d) Sa përqind e popullsisë përdorë në mes të 18 dhe 26 galon?  Vlera e Z e lidhur me X=18 është:

X −X

18 − 20 = = −0.4 Z=  5 σ  Vlera e Z e lidhur X=26 është = Z 

X − X =

σ

26 − 20 = 5

1.2

P(18
SHEMBULL 4 



Bakshishi që një kamerier në një restaurant ekskluziv merr në një ndërrim ka shpërndarje normale me mesatare 80$ dhe devijim standard $10. Zana ndjen se ka ofruar shërbime jo të mira (të dobëta) nëse bakshishi total për një ndërrim është më i vogël se 65 $. Sa është probabiliteti se ajo ka ofruar shërbime të dobëta? Le të jetë X sasia e bakshishit. Vlera e Z e lidhur me X=65 është Z= (65-80)/10= -1.5. Kështu, P(X<65)=P(Z<-1.5)=0.50.4332=0.0668.

Koeficienti i interkuartilit 

Koeficienti i nterkuartilit llogaritet me formulën:

Q3 − Q1 Kq = Q3 + Q1 Kq − koeficienti i int erkuartilit Q3 − kuartili i trete Q1 − Kuartili i pare

Σf / 4 − w1 Q1 = X1 + ⋅d f q1 3Σf / 4 − w1 Q3 = X1 + ⋅d f q3

52

Koeficienti i interkuartilit 

Shembull: Nga të dhënat në vijim, gjeni koeficientin e interkuartilit Grupet

2-6

6-10

10-14

14-18

18-22

Frekuencat

1

4

10

3

2

Q3 = 14 Q1 = 10

20

Q3 − Q1 14 − 10 4 = = = = 0,16 Kq Q3 + Q1 14 + 10 24

Koeficienti i interkuartilit ( Kq) merr vlerat prej 0 deri në 1. 53

Koeficienti i interkuartilit Përparësitë dhe të metat Përparësitë :  1. Llogaritet dhe kuptohet lehtë;  2. Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme;  3. Mund të llogaritet në seritë me intervale të mbyllura dhe të hapura. Të metat:  1. Nuk bazohet në të gjitha vlerat por vetëm në dy vlera pozicionale Q1 dhe Q3.  3. Ndikohet nga fluktuacionet e mostrës. 54

Konceptet kyçe Treguesit e variacionit  Gjerësia e variacionit  Devijimi mesatar absolut  Devijimi standard  Varianca  Rregulla empirike 

 



Koeficienti i variacionit Variabla e standardizuar/normal izuar Koeficienti i interkuartilit

55

4-15

Shembuj të tjerë 

Shembull. Në 10 teste studenti A dhe B kanë fituar këta poena: A:

25

50

45

30

70

42

36

48

34

60

B:

10

70

50

20

95

55

42

60

48

80



Përcaktoni se cili student është më i arsimuar dhe cili i ka rezultatet më stabile(homogjene) 56

4-17

Shembuj të tjerë 

     

Shembull. Nga distribucioni i mëposhtëm i frekuencave llogaritni dhe gjeni : Grupet

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

Frekuencat

7

12

21

18

12

70

a) Sa është gjerësia e intervalit b) Sa është devijimi standard c) Sa është varianca d) Gjeni koeficientin e variacionit dhe koeficientin e dispersionit e) Koeficientin e interkuartilit Gjeni koeficientin e asimetrise dhe paraqitni grafikisht te dhenat. Distribucioni a eshte simetrik apo asimetrik. 57

1-1

Numrat indeksor dhe tregues të tjerë ekonomik Qëllimet Në fund të orës së mësimit ju duhet të jeni në gjendje që të: Përshkruani se çka kuptoni me indekse.

Kuptoni dallimet në mes të indekseve të thjeshta/individuale dhe indekseve të ponderuar/agregat/gruporë. Konstruktoni dhe interpretoni indeksin e çmimeve sipas Laspeyres-it. Konstruktoni dhe interpretoni indeksin e çmimeve sipas Paasche-ut dhe Edgworth-it Konstruktoni dhe interpretoni Indeksin e Vlerës. Shpjegoni se si konstruktohet Indeksi i Çmimeve të konsumit/Indeksi i kostos së jetesës (CPI) dhe për çka përdoret.  Llogaritni dhe interpretoni disa tregues të tjerë ekonomik (treguesit e strukturës dhe treguesit e dinamikës dhe të intenzitetit) 1

Numrat indeksor  Numri indeksor është një numër që mat

ndryshimet relative në: çmime, sasi, vlerë ose në ndonjë njësi tjetër që është me interes prej një periudhe në një periudhë tjetër.  Çdo indeks ka një bazë që është pikë fillestare

për të gjitha krahasimet dhe shumica e indekseve e kanë bazën 100. Shembull: Në vitin 2007/08 në Fakultetin Ekonomik janë pranuar 1200 studentë , kurse në vitin akademik 2008/2009, janë regjistruar 1600 studentë. Sa është indeksi i pranimit të studentëve në vitin 2009, krahasuar me vitin 2008. 2

Numrat indeksor Shembull, vazhdim Zgjidhje :

Studentet e regjistruar 2009 1600 Ind  100  100  133,33 Studentet e regjistruar 2008 1200 Ind .  100  133,33  100  33,33% Ne vitin 2009 jane regjistruar 33,3% me shume studente se ne vitin 2008.

3

Numrat indeksor Shembull  Në bazë të disa vlerësimeve të Entit të Statistikës së Kosovës të

vitit 2002,Komuna e Prishtinës ka rreth 500.000 banorë , kurse komuna e Pejës ka rreth 181.130 banorë.  Sa është indeksi i popullsisë së Prishtinës në krahasim me Popullsinë e komunës së Pejës. Komento rezultatin. Zgjidhje

Popullsia e Pr ishtines 500.000 Ind  100  100  276 Popullsia ePejes 181.130 Ind  100  276  100  176% Popullsia e Pr ishtines krahasuar me popull sin e Pejes eshte me e madhe per 176%. 4

Pse bëhet shndërrimi i të dhënave në indekse? 

Indekset lehtësojnë krahasimin e serive të ndryshme, gjegjësisht të dukurive të ndryshme.



Një indeks është një mënyrë e përshtatshme për të shprehur ndryshimet e një grupi të përgjithshëm të njësive heterogjene.



Për shembull, Indeksi i çmimeve të konsumit përfshin rreth 400 njësi dhe vetëm me shndërrimin e çmimeve të këtyre njësive të llojllojshme që paraqesin produkte dhe shërbime të ndryshme në një numër indeksor, qeveritë dhe të tjerët të interesuar për inflacionin dhe çmimin e konsumit mund të informohen drejt.



Ndryshimi në përqindje shpesh është më i lehtë për tu kuptuar se sa numrat aktual, veçanërisht kur numrat janë të mëdhenj. 5

Llojet e numrave indeksor LLojet e indekseve

Indekset e thjeshtë/ individual 1. 2. 3.

Indeksi çmimeve Indeksi i sasisë Indeksi i vlerës

Indekset e ponderuar/ Agregat/gruporë 1.Indeksi çmimeve 2.Indeksi i sasisë 3. Indeksi i vlerës 4. Indeksi për qëllime të veçanta

6

Indekset individuale/të thjeshtë Indeksi i thjeshtë është një numër indeksor që përdoret për të matur ndryshimet relative/në përqindje vetëm në një variabël. Ai është normë e dy vlerave të një variable e shprehur në përqindje.  Një indeks mund të klasifikohet si indeks i çmimeve, indeks i

sasisë, indeks i vlerës,  Indeksi i çmimeve mat ndryshimet në çmime në mes të

periudhës selektuese si bazë dhe periudhës tjetër si raportuese.  Indeksi i sasisë mat ndryshimet në sasinë e konsumuar ose

prodhuar nga periudha bazë në një periudhë tjetër. 7

Llojet e numrave indeksor  Indeksi i vlerës mat ndryshimet në vlerë

të një apo më shumë njësive nga periudha bazë në një periudhë tjetër. Vlerat për periudhën bazë dhe për periudhën raportuese gjinden duke shumëzuar sasinë me çmimin ( PxQ)

8

Ndërtimi i numrave indeksor /të thjeshtë  Indeksi i thjeshtë i çmimeve, Ip:

 Le të jetë çmimi i periudhës bazë p0 dhe

çmimi i periudhës raportuese p1, atëherë indeksi i çmimeve do të shprehet përmes formulës:

p0  çmimii periudhesbaze

Ip

p1  100 p0

p1 çmimii periudhes raportuese Indeksi i çmimeve mund të jetë indeks bazë dhe indeks zinxhir

9

Indeksi bazë dhe indeksi zinxhir/vargor  Indeksi bazë paraqet raportin në mes të nivelit

të dhënë të serisë kohore ndaj nivelit apo madhësisë së asaj serie të zgjedhur si bazë.

Ni Ii  100 N0

N 1- niveli raportues N 0- niveli bazë 10

Indeksi bazë  Nëse nivelet e serisë kohore i shënojmë me :

N1, N2 , N3 ,N4 ,N5 ,N6 ,… dhe nëse nga seria kohore si bazë për krahasim marrim nivelin e parë, N1, atëherë indekset bazë llogariten si vijon: I1  100 N3 N5 N6 N2 N4 I 2  100; I 3  100; I 4  100; I 5  100; I 6  100; N1 N1 N1 N1 N1 Ni dhe I i  100; N1

11

Indeksi bazë Nëse si bazë për krahasim marrim nivelin e tretë N3 të të dhënës atëherë do të kemi :

N3 N5 N1 N2 N4 I1  100; I 2  100; I3  100; I 4  100; I5  100; N3 N3 N4 N3 N3 Ni dhe Ii  100; N3

12

Indekset zinxhirorë/vargorë  Indekset zinxhirorë/vargorë tregojnë ndryshimet

relative/në përqindje të dukurisë në periudhën vijuese në raport me periudhën paraprake, dhe llogariten sipas formulës:

Ni Ii  100 Ni 1

Ni - niveli raportues, vijues Ni-1 - niveli bazë (periudha paraprake) 13

Indekset zinxhirorë/vargorë Indekset zinxhiroe/vargorë paraqesin raportin e secilës madhësi raportuese të serisë ndaj madhësisë paraprake si bazë. Nëse nivelet e serisë kohore i shënojmë me : N1, N2 , N3 ,N4 ,N5 ,N6,…. Ni, lndekset zinxhir llogariten si vijon:

I1   nuk mund te gjin det sepse nuk i kemi te dhenat e nivelit paraprak N3 N5 N6 N2 N4 I2  100; I 3  100; I 4  100; I 5  100; I 6  100; N1 N2 N3 N4 N5 dhe I i 

Ni 100; Ni 1

14

Indekset bazë dhe indekset zinxhirorë  Shembull 1  Tabela vijuese prezanton çmimin e një artikulli në periudha të

ndryshme kohore. Vitet

2004

Çmimet 15

 a) b) c) d) e)

2005

2006

2007

2008

20

21

30

25

Llogaritni : Indekset e thjeshtë të çmimeve, për bazë të merret viti 2004 2005=100 Indekset zinxhirore të çmimeve interpretoni rezultatet Paraqitni grafikisht rezultatet e fituara të indekseve. 15

Konstruktimi i indekseve bazë Vitet

Çmimi

2004=100

($) 2004

15 (N1 )

100

2005

20 (N2 )

(20/15)*100=133.33

2006

21 (N3 )

(21/15)*100=140

2007

30 (N4 )

(30/15)*100=200

2008

25 (N5 )

(25/15)*100=166.66

N2 20 100  100  133,33 2005 I 2  N1 15

N3 21 100  100  140 2006 I 3  N1 15

N4 30 100  100  200; 2007 I 4  N1 15

N5 25 100  100  166.66. 2008 I 5  N1 15

16

Interpretimi i indekseve bazë  Baza e indekseve =100

 Indeksi mbi 100 – dukuria ka rritje  Indeksi nën 100 – dukuria ka rënje  Indeksi =100 – dukuria është në nivel të njejtë.

 P.sh.

I  133,33 100  33,33%

2005 2

Në këtë rast themi se çmimi në vitin 2005 krahasuar me vitin 2004 është rritur për 33,33%.

17

Shembull 1- vazhdim

Indekset bazë Vitet

Çmimi ($)

Indeksi bazë ( 2005=100)

2004

15

(15/20)*100 =75

2005

20

(20/20)*100=100

2006

21

(21/20)*100=105

2007

30

(30/20)*100=150

2008

25

(25/20)*100=125

p1 15 I   100  100  0,75 100  75 '04 p p0 20

p1 21 100  100  105 '06 I p  p0 20

'07 I p 

p1 30 100  100  150 p0 20

p1 25 100  100  125 '08 I p  p0 20 18

Kostruktimi i indekseve zinxhirorë Vitet

Çmimi ($)

Indekset zinxhirë

2004

15

Nuk mund të llogaritet -

2005

20

(20/15)*100 =133,33

2006

21

(21/20)*100 =105

2007

30

(30/21)*100 =142,85

2008

25

(25/30)*100= 83,33

p1 20 I   100  100  133, 33 '05 p p0 15 p1 30 I   100  100  142,86 '07 p p0 21

'06 I p 

'08

Ip 

p1 21 100  100  105 p0 20 p1 25 100  100  83, 0 p0 30 19

Interpretimi i rezultateve/indekseve P.sh. Marrim indeksin zinxhiror për vitin 2006 dhe për vitin 2008.

p1 21 100  100  105 '06 I p  p0 20 105-100 = 5%, d.t.th çmimi ka shënur rritje për 5% në vitin 2006 në krahasim me vitin 2005.

p1 25 100  100  83, 0 '08 I p  p0 30 83-100 = 17%, d.t.th çmimi ka shënur rënje për 17% në vitin 2008 në krahasim me vitin 2007. 20

Indeksi i thjeshtë i sasisë Iq  Indeksi i thjeshtë i sasisë, Iq:

 Le të jetë sasia e periudhës bazë q0 dhe sasia

e periudhës raportuease q1, atëherë indeksi i thjeshte i sasisë do të shprehet përmes formulës:

Iq

q1  100 q 0  sasia e periudhës baze q0 q1-sasia e periudhës raportuese 21

Indekset bazë dhe indekset zinxhirorë të sasisë  Shembull 2  Tabela vijuese prezanton sasinë e prodhuar (000kg) të një

artikulli në periudha të ndryshme kohore. Vitet

2000

Çmimet 5

 a) b) c) d)

2001

2002

2003

2004

4

5

6

10

Llogaritni : Indekset e thjeshtë të sasisë, për bazë të merret viti 2001. Indekset zinxhirore të sasisë interpretoni rezultatet Paraqitni grafikisht rezultatet e fituara të indekseve. 22

Shembull 2-vazhdim Vitet

Sasia (000kg)

2000

5

125

-

2001

4

100

80,0

2002

5

125

125

2003

6

150

120

2004

10

250

166,66

5 100  125 00 I q  4

5 100  125 02 I q  4


03

Iq

Indekset zinxhir

6  100  150 4

10 100  250 04 I q  4 23

Shembull 2- vazhdim

 Indekset zinxhirore të sasisë

4 100  80 01 I q  5 5 100  125 02 I q  4

6 100  120 03 I q  5

10 100  166, 66 04 I q  6 24

Shndërrimi/Transformimi i indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe anasjelltas Për nevoja praktike mund të bëhet transformimi, gjegjësisht shndërrimi i:  indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe anasjelltas,  krijimi i indekseve bazë nga indekset zinxhirore. Marrim shembullin në vijim:

25

Transformimi i indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe anasjelltas Shembull 3 Tabela vijuese prezanton sasinë e prodhuar (000kg) të një artikulli në periudha të ndryshme kohore dhe indekset e llogaritura bazë dhe zinxhirore të sasisë.

Vitet

Sasia (000kg)


Indekset bazë (2002=100)

Indekset zinxhir

2000

5

100

83,33

-

2001

4

80.0

66,66

80,0

2002

6

120

100

150

2003

8

160

133,33

133,33

2004

10

200

166,66

125,0

2005

9

180

150

90

Bëni transformimin e indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe anasjelltas. 26

Transformimi i indekseve bazë në indekse zinxhirore Viti 2000  100 '00

Iv 

Viti 2002=100 '00

Iv 

v  '01 I

80 100  80 100

'01

Iv 

66, 66 100  80 83, 33

v  '02 I

120 100  150 80

'02

Iv 

100 100  150 66, 66

'03

Iv 

133, 33 100  133, 33 100

'03

'04

'05

I

v

Iv

I

v

160  100  133, 33 120 200  100  125 160 180  100  90 200

v  '04 I

'05

Iv 

166, 66 100  125 133, 33 150 100  90 166, 66

27

Transformimi i indekseve zinxhirore në indekse bazë Viti 2000  100 '00

I b 100

'01

I b  80

'02

I b  (80 150) :100n 1  120

'03

I b  (80 150 133,33) :10031  160

'04

I b  (80 150 133,33 125) :100 41  200

'05

I b  (80 150 133,33 125  90) :10051  180 28

Transformimi i indekseve zinxhirore në indekse bazë Viti 2002  100 b 3 I  100 : (150*80)  83.33 '00

b 2 I  100 :150  66.66 '01

b I  100 '02

'03

I b  133.33

'04

I b  (133 125) :100  166.65

'05

I b  (133 125  90) :1002  150 29

Indekset agregate të ponderuar Me indekse agregate të ponderuar, çdo njësi ponderohet në bazë të rëndësisë së tij, dhe zakonisht është sasia e shfrytëzuar e mallrave ose shërbimeve. Ata mund të jenë:  1.Indeksi çmimeve  2.Indeksi i sasisë  3. Indeksi i vlerës  4. Indeksi për qëllime të veçanta. 

30

Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar  Indekset agregate të ponderuar të çmimeve dhe të

sasisë marrin në konsiderim edhe çmimin edhe sasinë e njësive dhe llogariten për një grumbull të njësive. Ekzistojnë tri metoda bazë për konstruktimin e tyre:  Metoda e Laspeyres-it (Étienne Laspeyres, 1864)  Metoda e Paasche-ut (Herman Paasche, 1874)  Metoda e Edgworth-it  Metoda e Fisherit ( Irving Fisher)

31

Indeksi për qëllime të veçanta  Indeksi për qëllime të veçanta kombinon dhe

ponderon (peshon) një seri të grupeve heterogjene për të arritur te ndonjë indeks i përgjithshëm për të treguar ndryshimet në aktivitet e biznesit në raport me dy periudha. Në bazë të këtyre indekseve llogariten edhe:  Indeksi i Çmimit të Konsumit (CPI),  Indeksi i Çmimit të prodhuesve (Indeksi i çmimeve me shumicë) (1890)  Indeksi i Produktivitetit të Punës,  Dow Jones Mesatarja e industrisë (DJIA), etj. 32

Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar / Indeksi i çmimeve dhe sasise  Metoda e Laspeyres-it : Kjo metodë përdorë sasitë dhe

çmimet e periudhës bazë si ponderë dhe llogaritet me anën e formulave vijuese:

Indeksi i çmimeve p1q0 100 L Ip  p0 q0

Indeksi i sasise q1 p0 100 L Ip  qo p0

 p0 – çmimi i periudhës bazë

 p1 - çmimi i periudhës raportuese  qo- sasia e periudhës bazë  qo- sasia e periudhës raportuese

33

Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar / Indeksi i çmimeve dhe sasise  Metoda e Paasche-ut. Kjo metodë përdorë sasitë

dhe çmimet e periudhës raportuese si ponderë dhe llogaritet me anën e formulave vijuese:

Indeksi i çmimeve p1q1 100 P Ip  p0 q1 p0 p1 qo q1

Indeksi i Sasise P

Ip 

q1 p1 q0 p1

 100

– çmimi i periudhës bazë - çmimi i periudhës raportuese - sasia e periudhës bazë - sasia e periudhës raportuese 34

Krahasimi në mes të indekseve të Laspeyres-it dhe Paasche-ut Indeksi i LASPEYRE-sit:  Kërkon që sasitë të caktohen vetëm nga periudha bazë.  Emëruesi është i fiksuar, kështu që indeksi mund të llogaritet

sa herë që janë të njohura sasitë dhe çmimet e periudhës raportuese.  Indeksi i Laspeyres-it mund të krahasohet direkt për disa

periudha kohore për faktin se emëruesi është fiks. 

Ponderimi te Indeksi i Laspayeres-it mund të vjetërohet.

 Kjo supozon që për çfarëdo ndryshimi të çmimit, sasitë e blera

do të mbesin të njëjta, gjegjësisht, sa do që çmimet ngriten, e njëjta sasi e mallit do të blihet. 35

Krahasimi në mes të indekseve të Laspeyres-it dhe Paasche-ut INDEKSI I PAASCHE-ut  Kërkon që sasitë të përcaktohen për çdo periudhë, dhe kjo ka

treguar se është shumë e shtrenjtë.  Emëruesi duhet të rillogaritet për çdo periudhë. Indeksi nuk

mund të llogaritet deri në fund të periudhës deri sa të dihen sasitë dhe çmimet e periudhës vijuese.  Krahasimet mund të bëhen drejtpërdrejt në mes të vitit vijues

dhe periudhës bazë për arsye se emëruesi duhet të rillogaritet për çdo vit.  Indeksi i Paasche-ut freskohet për çdo vit.

 Efekti i ponderimit vijues nënkupton që rëndësi më e madhe i

kushtohet mallrave që relativisht janë më të lira tani se sa kanë qenë në periudhën bazë. 36

Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar / Indeksi i çmimeve  Metoda e Edgworth-it. Kjo metodë si

ponderë merr sasitë e periudhës bazë dhe periudhës raportuese dhe llogaritet sipas formulës:

p1 (q1  q0 ) 100 E Ip  p0 (q1  q0 )

p0 p1 qo q1

– çmimi i periudhës bazë; - çmimi i periudhës raportuese; - sasia e periudhës bazë; - sasia e periudhës raportuese. 37

Indekset ideale të çmimeve  Indeksi ideal i Fisherit (i publikuar me 1922)

IF 

L

I 

P

I

 Indeksi sipas mesatares aritmetike

IM 

L

I  PI 2

L

I  indeksi i Laspayers  it

P

I  indeksi i Paasche  ut 38

Indeksi i vlerës  Indeksi i vlerës : reflekton ndryshimet në

çmim dhe në sasi në periudhën raportuese në krahasim me periudhën bazë.

p1q1 Iv  100 p0 q0 39

Shembull 

Çmimet dhe sasitë e shitura në një butik për lloje të ndryshme të mallrave në maj të vitit 2008 dhe maj të vitit 2009 janë si vijon: Mallrat e shitura

2008 Çmimi

a) b) c) d)

2009

Sasia

Çmimi

Sasia

(1)Veshje

20

100

25

80

(2) Këpucë

40

50

50

60

(3) Qanta

30

100

40

70

Përcaktoni indekset individuale të çmimeve dhe të sasisë; Llogaritni indeksin agregat të çmimeve dhe sasisë sipas të gjitha metodave. Llogaritni indeksin e vlerës. Interpretoni rezultatet. 40

Shembull-vazhdim

 A) Indekset individuale të çmimeve:

p1 25 100  100  125 1Ip  p0 20

p1 50 100  100  125 2Ip  p0 40

p1 40 100  100  133,33 3Ip  p0 30 41

Shembull-vazhdim Indeksi i Laspayres-it Mallrat e shitura

2008 Çmimi

p0

2009

Sasia q0

Çmimi p1

Sasia q1

p 1q0

p0q0

(1)Veshje

20

100

25

80

2 500

2 000

(2) Këpucë

40

50

50

60

2 500

2 000

(3) Qanta

30

100

40

70

4 000

3 000

9 000

7 000

Gjithsej:

p1q0 9000 100  100  128,57 L Ip  p0 q0 7000

42

Shembull-vazhdim Indeksi i Paasche-ut Mallrat e shitura

2008 Çmimi p0

2009

Sasia q0

Çmimi p1

Sasia q1

p1q1

p0q1

(1)Veshje

20

100

25

80

2 000

1 600

(2) Këpucë

40

50

50

60

3 000

2 400

(3) Qanta

30

100

40

70

2 800

2 100

7 800

6 100

Gjithsej:

p1q1 7800 100  100  127,87 P Ip  p0 q1 6100 43

Shembull-vazhdim Indeksi i Edgworth-it Mallrat e shitura

2005

2006 q0+q1

Ç p0

S q0

Ç p1

p1(q0+q1)

po(q0+q1)

S q1

(1)Veshje

20

100

25

80

180

4 500

3 600

(2) Këpucë

40

50

50

60

110

5 500

4 400

(3) Qanta

30

100

40

70

170

6 800

5 100

16 800

13 100

Gjithsej:

p1 (q1  q0 ) 16800 100  100  128, 24 E Ip  p0 (q1  q0 ) 13100 44

Shembull-vazhdim  Indeksi i Fisherit

IF 

L

I  P I  128,6 127,87  16444,082  128,23

 Indeksi sipas mesatares aritmetike

IM 

L

I  P I 127,87  128, 6   128, 22 2 2 45

Shembull-vazhdim Indeksi i vlerës

Mallrat e shitura

200 Ç p0

2009

S q0

Ç p1

p0q0

S q1

p1q1

(1)Veshje

20

100

25

80

2 000

2 000

(2) Këpucë

40

50

50

60

2 000

3 000

(3) Qanta

30

100

40

70

3 000

2 800

7 000

7 800

Gjithsej:

p1q1 7800 Iv  100  100  111.42 p0 q0 7000 46

Indeksi i Çmimeve të Konsumit (CPI-Consumer Price Index)  IÇK/ (CPI) mat ndryshimet në çmim të një

“shporte fikse të mallrave dhe shërbimeve ” prej një periudhe në një periudhe tjetër.

 Indeksi (SHBA) përfshin rreth 400 njësi, dhe rreth

250 agjentë që grumbullojnë të dhënat për çmime për çdo muaj. Çmimet mblidhen nga 21.000 firma tregtare dhe nga 60.000 familje në 91 qendra urbane përgjatë tërë vendit (SHBA).  Çmimet e bukës, birrës, rrymës, shkurtimi i flokëve,

norma e interesit të hipotekës, taksat, janë vetëm disa prej njësive që përfshihen në shportën e mallrave dhe shërbimeve që blehen. 47

Indeksi i Çmimeve të Konsumit  CPI daton nga viti 1913 dhe është publikuar

rregullisht që nga viti 1921.(SHBA)  Periudha bazë ka ndryshuar disa herë për shkak të ndryshimit të shprehive të mallrave të konsumuara të cilat kanë ndryshuar në mënyrë drastike gjatë kohëve të fundit. (SHBA)

48

Indeksi i Çmimeve të konsumit (IÇK)  Përdorimi i IÇK : 



Iu mundëson konsumatorëve që të përcaktojnë efektet e rritjes së çmimeve në fuqinë e tyre blerëse. Është matës për të rishikuar pagat, pensionet, pagesat për ushqim, etj.

 Është një tregues ekonomik për normën e

inflacionit në shumë shtete.  Përmes tij llogariten të ardhurat reale: Të ardhurat reale = të ardhurat në para / IÇK x100 49

INDEKSI I ÇMIMIT TË KONSUMIT (IÇK)/Kosovë  Enti i Statistikës së Kosovës (ESK) Indeksin e

çmimeve të konsumit (IÇK) ka filluar ta publikoj në shtator të vitit 2002.  Çmimet e konsumit kanë filluar të mblidhen në

muajin maj të vitit 2002 i cili konsiderohet muaji bazë. Çmimet mblidhen prej datës 10 deri 20 të muajit në 10 qendra të Kosovës.  ESK nga shtatori 2002 ka publikuar në baza

mujore dhe dhe në baza vjetore Indeksin e Çmimit të Konsumit. 50

INDEKSI I ÇMIMIT TË KONSUMIT (IÇK)/Kosovë  Nga janari i vitit 2006, IÇK kalkulohet me

peshat, të dhënat mbi konsumin e realizuar për periudhën qershor 2002 – dhjetor 2004.  Grumbullimi i të dhënave tani bëhet nga

dhjetë komuna (vendbanime urbane dhe rurale), për 210 artikuj të klasifikuar sipas COICOP-it . 51

INDEKSI I ÇMIMIT TË KONSUMIT (IÇK)/Kosovë  COICOP Classification of Individual

Consumption According to Purpose (United Nations statistical methodology)  COICOP Klasifikimi i konsumit individual

në bazë të qëllimeve. Metodologjia Statistikore e Kombeve të Bashkuara në bazë të qëllimeve

52

COICOP                 

COICOP 01-12 - Shpenzimet e konsumit individual për familje. 01 – Ushqimi dhe pijet joalkholike. 02 – Pijet alkoholike, cigaret dhe narkotikët. 03 – Veshmbathja 04 – Banimi, uji, energjia elektrike, gasi dhe lëndë të tjera djegëse. 05 – Mobiljet, pajisjet shtëpikake dhe mirëmbajtja e vazhdueshme e shtëpisë. 06 – Shëndeti 07 - Transporti 08 - Komunikimi 09 – Kultura dhe rekreacioni 10 - Arsimimi 11 – Restorane dhe hotelet 12 –Mallra dhe shërbime të ndryshme. 13 – Shpenzimet e konsumit individual për instiucione jo-përfituese që shërbejnë për familje. 14 - Shpenzimet e konsumit individual nga qeveria në përgjithësi. 53

Treguesit e tjerë ekonomik  Treguesit e strukturës

 Treguesit e dinamikës dhe të intenzitetit  a) Niveli

b) Shtimi Absolut c) Ritmi i zhvillimit d) Norma mesatare e zhvillimit

54

Treguesit e strukturës  Treguesit e strukturës prezantojnë strukturën e

dukurisë së hulumtuar në një moment të caktuar. Gjinden përmes formulës:

P S  100 T P  Pjesa T  Tërësia 55

Shembuj të tjerë  Shembull. Në vitin 1990 shitjet e kompanisë

Johnson and Johnson Co të shprehura në million ishin 1 461 $, në vitin 1995 shitjet ishin rritur në 2 403 milionë $ kurse në vitin 1996 shitjet ishin 2 887 milionë $. Duke shfrytëzuar vitin 1990 si bazë gjeni indeksin e thjeshtë për ndryshimet në shitje të kësaj kompanie për vitin 1995 dhe 1996 duke u bazuar në shitjet e vitit 1990. 56

Shembuj të tjerë Shembull. Shitjet vjetore për disa korporata multinacionale të zgjedhura janë: KOMPANIA

GM

Shitjet në million $

101 781

EXXON FORD

IBM

76 416 71 643 54 217

DAIMLERCHRYSLER 26 257

 Shprehni shitjet vjetore te GM ne indekse duke

shfrytëzuar shitjet e IBM si bazë. Interpretoni rezultatin.  Shpreh shitjet vjetore te Daimler-Chrysler në indekse duke shfrytëzuar shitjet e IBM si bazë.Interpreto rezultatin. 57

Shembuj të tjerë  Shembull. Prodhimtaria e firmës “Agroni Co” – e

shprehur në tonë- gjatë peridhuës kohore 1999 – 2003 ka qenë si vijon:

VITET

1999

2000

2001

2002

2003

Prodhimi-në 000 tonë

10

15

12

16

11

    

Llogaritni indekset bazë – viti 1999 si bazë Llogaritni indekset bazë – viti 2002 si bazë Llogaritni indekset zinxhir Paraqitni grafikisht indekset Interpretoni rezultatet 58

Shembuj të tjerë  Shembull. Firma “Drita” gjatë muajit janar të vitit 2008 dhe 2009 ka realizuar këtë prodhimtari: PRODUKTET E SHITURA

2008

2009

Çmimi

Sasia

Çmimi

Sasia

Kukulla me veshje kombëtare

20

100

30

120

Veshje kombëtare

15

200

20

300

Qilima të vegjël

30

300

30

400

Lodra për fëmijë

10

500

8

400

   

Përcaktoni indeksin e vlerës Përcaktoni indekset individuale të çmimeve dhe sasisë Përcaktoni indeksin agregat të çmimeve dhe sasisë Komentoni rezultatet 59

Metodat e analizës dinamike Seritë kohore

1

Metodat e analizës dinamike/Analiza e serive kohore Qëllimet: Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të : 

Dini disa nga metodat e analizës dinamike



Kuptoni faktorët /komponentët e serive kohore si trendi, variacionet ciklike, variacionet sezonale dhe variacionet e parregullta



Vlerësoni parametrat e trendit linear, parabollik dhe eksponencial.



Përdorni metodat e zbutjes variacioneve të serive kohore me qëllim të vështrimit të tendencës kryesore të zhvillimit të dukurisë



Llogaritni indekset sezonale , të vlerësoni ndikimimin e komponentës së sezonës dhe të eliminoni ndikimet sezonale në seritë statistikore kohore. 2

Seritë kohore/kronologjike 









Analiza e serive kohore është një fushë e veçantë e statistikës e cila është zhvilluar me një hov të madh pas viteve të 1970-ta. Seritë kohore paraqesin nivelin e të dhënave numerike për dukuritë e ndryshme të cilat janë të rregulluara me renditje kronologjike në periudha të rregullta kohore. Seritë kohore përmbajnë të dhëna numerike të siguruara në intervale të rregullta kohore. Intervalet kohore mund të jenë vjetore, kuartale, javore, ditore dhe në orë. Vitet 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Shembull: Shitjet

75,3

74.2

78,5

79,7

80,2

81.5

3

Komponentët e serive kohore Analiza e serive kohore në funksion të kohës niset nga supozimi se në ndryshimin e dukurive të vrojtuara gjatë kohës kanë ndikim katër komponenta/faktorë:  Trendi- tendenca zhvillimore e dukurisë në afat të gjatë  Variacionet ciklike, - lëkundjet në afat më të gjatë se një vjet,  Variacionet sezonale- lëkundjet në afat të shkurtë brenda një viti.  Variacionet e parregullta/reziduale- si variacione të rastësishme. 4

Komponentët/faktorët e serive kohore

Variacionet ciklike

Trendi

Seritë kohore Variacionet sezonale

Variacionet e rastësishme

5

Komponenta e trendit 

Rritja ose zvogëlimi në afat të gjatë kohës (lëvizjet e përgjithshme lartë ose poshtë)



Të dhënat merren për periudha të gjata kohore,

Shitjet

Koha 6

Komponenta e trendit  

(vazhdim)

Trendi mund të jetë në rritje ose në rënie Trendi mund të jetë linear ose jolinear

Shitjet

Trendi linear në rënie

Shitjet

Koha

Trendi jolinear në rritje

Koha

7

Komponenta sezonale  



Lëkundjet në rënie ose në rritje. Paraqitje e rregullt. Vështrohen brenda një viti. Shitjet

Vera Dimri Pranvera

Vjeshta

Koha (Mujore ose në kuartal) 8

Komponenta ciklike   

Lëkundje në afat të gjatë; Ndodhin rregullisht por dallojnë në gjatësi; Zakonisht maten prej maje në maje. 1 Cikël

Shitjet

Viti 9

Komponenta e rastësishme 



Fluktuacione të paparashikueshme, të rastësishme “reziduale” Për shkak të variacioneve të rastësishme: 



Natyra Aksidentet ose ngjarjet e jashtëzakonshme.

10

Kopmonentet e serive kohore 





Nuk është e domosdoshme që çdo seri kohore ti ketë të katër komponentët, mirëpo të gjitha përmbajnë komponentin e rastësishme. Një seri statistikore mund të mos ketë asnjërën nga komponentët, njërën, të dy ose tri. Seria që prezanton të dhënat vjeçare nuk mund të përmbajë komponentët sezonale. 11

Kopmonentet/Përbërësit e serive kohore Faktorët që ndikojnë në ndryshimin e dukurisë gajtë periudhës kohore.

Komponenta Përbërësit

Definicioni

Arsyet e paraqitjes

Koha e zgjatjes

Trendi (T)

Tendenca zhvillimore e ndonjë dukurie ( rritja ose rënia) në periudhën e vështruar

Ndryshimi i teknologjisë, popullsisë, pasurisë, vlerave

Më shumë kohë (muaj, vjet, etj)

Variacionet sezonale (S)

Përafërsisht fluktuacione periodike të rregullta të cilat paraqiten gjatë muajit të caktuar ose periudhës kuartale prej viti në vit.

Kushtet kohore, zakonet shoqërore, zakone fetare, pushimet shkollore.

Gjatë muajve të caktuar ose kuartalëve (mujore ose kuartale)

Variacionet ciklike (C)

Përsëritja e lëvizjes nëpër katër faza: nga maja (prosperiteti) kah zvogëlimi (recesioni) nga poshtë (depresioni) kah ekspanzioni).

Ndërveprimi i shumë kombinimeve të faktorëve që ndikojnë në ekonomi.

Zakonisht më shumë vjet, me intenzitet të ndryshueshëm për një cikël komplet.

Variacionet reziduale/të rastsësishme (R)

Të rastësishme, dhe të tjera flukuacione që gjinden në seri përveç T C, S .

Variacionet e rastësishme, si dhe variacionet për shkak të ngjarjeve të papritura si grevat, vërshimet.

Zgjasin shkurt pa përsëritje

12

Variacionet e serive kohore Variacionet e parregullta

Trendi

Ciklet 90 89 88 Variacionet sezonale 13

Seritë kohore dhe parashikimi Qëllimi kryesor i analizës së serive kohore është prognozimi / parashikimi i vlerave të dukurisë në të ardhmen. Supozimi themelor gjatë prognozimit në analizën e serive kohore është :  Faktorët që kanë ndikuar në nivelin e dukurisë në të kaluarën dhe në të tashmen do të veprojnë në të njëjtën mënyrë edhe në të ardhmen dhe nuk do të ketë ndikim të faktorëve të tjerë. 

14

Seritë kohore vjetore Trendi 





Trendi është tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së vështruar. Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar. Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare, gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë 15

Trendi 

Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar matematikor dhe mund të jetë linear, parabollik dhe eksponencial. Jo sezonal

Sezonim Shtesë

Sesonim multiplikativ

Nivel konstant Trendi linear Trendi eksponencial Trendi jolinear/ Parabolës

16

Trendi Në hulumtimin e tendencës së zhvillimit të dukurisë duhet: Faza e parë: duhet të shikohet se a ekziston trendi, përmes paraqitjes grafike në diagramin e serisë kohore. Shumë subjektive. Faza e dytë: Zgjedhet funksioni adekuat që i përgjigjet më së miri të dhënave: linear, jolinear përmes:







a) b) c)

paraqitjes grafike; metodës së dallimeve/diferencave; metodës së zbutjes së variacioneve.

17

Trendi 

Metoda e dallimeve (diferencave) bazohet në llogaritjen e dallimeve

në mes të vlerave individuale të të dhënave. Në bazë të saj zgjedhim metodën e trendit.  Trendi linear i përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë përafërsisht të barabartë. Yc= a + bx  Trendi i parabollës zgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është: Yc = a+bx+cx2 Trendi eksponencial sipas kësaj metode zgjedhet atëherë kur dallimet e vlerave logaritmike të serisë kohore janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është: Yc =a * bx

18

Zgjedhja e modelit /funksionit përmes shfrytëzimit të diferencave/dallimeve. 

Modeli i Trendit Linear përdoret nëse diferencat e para janë pak a shumë konstante.

Y2  Y1  Y3  Y2  

 Yn  Yn1

Modeli i Trendit të Parabolës përdoret nëse diferencat e dyta janë pak a shumë konstante.

Y3  Y2   Y2  Y1  

 Yn  Yn1   Yn1  Yn2  19

Zgjedhja e modelit /funksionit përmes shfrytëzimit të diferencave/dallimeve. 

(vazhdim)

Modeli i Trendit Eksponencial përdoret nëse diferencat në përqindje janë pak a shumë konstante.

 Y2  Y1   Y3  Y2   100%   100%   Y1   Y2 

 Yn  Yn 1   100%  Yn 1 

20

18-5

Trendi linear Ekuacioni i trendit në afat të gjatë (linear) vlerësohet përmes metodës së katrorëve më të vegjël për kohën X dhe është:

Yc  a  bx

Yc – është vlera e projektuar e variablës Y për vlerën e selektuar të kohës X

a – është vlera e vlerësuar e Y kur X=0 b- është pjerrësia e vijës së trendit, ose ndryshimi mesatar në Y për c çdo ndryshim në një njësi të X (pozitive ose negative). X – çdo vlerë e kohës që është selektuar. 21

Ekuacioni i trendit linear

Yc  a  bx Y  na  bX

Y n XY b X 2 a

Kur përdoret metoda e lehtësimeve\ ΣX=0

XY  aX  bX 2 nXY  (Y )(X ) b nX 2  (X ) 2 a

Y  X  b  n  n 

Kur përdoret metoda e e kodimit prej vitit të parë ΣX≠0

22

Gabimi standard i trendit 

Me rastin e vlerësimit të zgjedhjes së funksionit adekuat të trendit i cili më së miri i përgjigjet të dhënave, shpesh shfrytëzohet gabimi standard i trendit: n

Y  c

 (Y  Y i 1

i

n

c

)

2

Yi – të dhënat origjinale Yc – të dhënat e vlerësuara të Y n – numri i viteve

23

18-7

Shembull 1 

Përcaktoni ekuacionin e trendit duke shfrytëzuar metodën e katrorëve më të vegjël. Vlerësoni shitjet e firmës për vitin 2014 (Ekstrapolimi i vlerave të trendit) Vitet

2005

2006

2007

2008

2009

Shitjet (0000 $)

7

10

9

11

13

24

Paraqitja grafike e te dhenave origjinale Shitjet ne 0000$ (2005=2009) 14

12

Shitjet (0000$)

10

8

6

4

2

0 2005

2006

2007

2008

2009

Vitet

25

Shembull 1- vazhdim Vitet

Shitjet (00000) (Y)

X (Kodimi i viteve)

XY

X

2

Yc

2005

7

-2

-14

4

7,4

2006

10

-1

-10

1

8,7

2007

9

0

0

0

10

2008

11

1

11

1

11,3

2009

13

2

26

4

12,6

Gjithsej:

50

∑X=0

13

10

50,0

26

Shembull 1-vazhdim

Yc  a  bx Y  na  bX XY  aX  bX 2

50  5a  b  o  50  5a   a  10  13 13  a  0  10b  b   1,3  b  1,3 10

yc  10  1,3x 27

Ekuacioni i trendit përmes formulave kur përdoret metoda e lehtësimeve

Y 50 a   10  a  10 n 5 XY 13 b   1, 3  b  1, 3 2 X 10

yc  10  1,3x 28

Shembull 1 vazhdim /Interpolimi dhe ekstrapolimi i vlerave të trendit yc  10  1,3x 2005

yc  10  1, 3 x  10  1, 3  ( 2)  7, 4

2006

yc  10  1, 3 x  10  1, 3  ( 1)  8, 7

2007

yc  10  1, 3 x  10  1, 3  (0)  10

2008

yc  10  1, 3 x  10  1, 3  (1)  11, 3

2009

yc  10  1, 3 x  10  1, 3  (2)  12, 6

y  10  1,3x  10  1,3  (7)  10  9,1  19,1

2014 c

Interpolimi i Vlerave të trendit

Ekstrapolimi i vlerave të trendit 29

Paraqitja grafike e të dhenave origjinale dhe e vijës së trendit Te dhenat origjinale dhe vija e trendit 14

12

Vija e trendit

Shitjet (0000$)

10

Te dhenat origjinale

8

6

4

2

0 2005

2006

2007

2008

2009

Vitet

30

Interpolimi dhe Ekstrapolimi i trendit 





Interpolimi i trendit është llogaritja e vlerave të trendit brenda intervaleve kohore të përfshira në serinë kohore Ekstrapolimi i trendit është zgjatja e vijës së trendit jashtë intervaleve kohore të përfshira në serinë kohore, qoftë në të ardhmen qoftë në të kaluarën. Ekstrapolimi përdoret për të parashikuar zhvillimin e dukurisë në të ardhmen 31

Ekstrapolimi i trendit Për të qenë relativisht i suksesshëm ekstrapolimi i trendit duhet të plotësohen disa kushte: 

Faktorët që kanë ndikuar në lëvizjen e dukurisë në periudhën e vështruar duhet që edhe më tutje të veprojnë përafërsisht me intensitet të njëjtë, në drejtim të njëjtë dhe pa ndikim të theksuar të faktorëve të tjerë.



Për ekstrapolim të suksesshëm është e nevojshme që të kemi seri kohore relativisht të gjata.



Nëse është fjala për projeksione të dukurive ekonomike, prognoza që bëhet në kohën e afarizmit stabil është më e saktë dhe më e besueshme në krahasim me ato që bëhen nga koha me ndryshime të shpeshta dhe të papritura të ambientit afarist. 32

Ekstrapolimi i trendit 

Nëse seria ka variabilitet të theksuar ciklik, ose kthesa të mëdha në zhvillimin e saj, nuk është e preferuar që të bëhet prognozimi.



Prognozimi i më shumë agregateve ekonomikë (themi e tërë dega) është më i besueshëm se sa prognozimi i variablave ekonomike vetëm të një firme.



Me të gjitha kufizimet e përmendura, vlera e prognozuar e trendit mund të kuptohet si “pamje mesatare e së ardhmes”, si projeksion mekanik, sepse vlerat të cilat gjinden pikërisht në vijën e trendit tregojnë vlerësimet mesatare të serisë së dhënë.

33

Gabimi standard i trendit linear Vitet

Shitjet (00000)

X

Yc

Yi-Yc (Yi-Yc)2 n

(Yi) 2005

7 -2

7,4

-0,4

0,16

Y  c

2006

10 -1

8,7

1,3

1,69

2007

9

0

10

-1

1

2008

11

1

11,3

-0,3

0,09

2009

13

2

12,6

0,4

0,16

Gjithsej:

50 0 50,0

0

3.1

 (Y  Y i 1

i

c

)

2



n

3,1   0, 7874 5

34

Trendi i parabollës 



Modeli i parabollës ose “Polinomi i shkallës së dytë” ëshë modeli më i thjeshtë nga modelet jo lineare . Duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël, funksioni trendit të parabollës është: Yc=a+bx+cx2

 a- Vlera e vlerësuar e yc- kur x=o  b- efekti i vlerësuar linear në Yc

 c- efekti i vlerësuar jolinear në Yc

35

Modeli i parabolës Yc

Yc

k c<0 (a)

k c< 0 (b)

36

Modeli i parabolës Yc

Yc

k c>0 (c)

k c> 0 (d)

37

Trendi i parabollës  

Ekuacioni i trendit të parabollës është: Yc=a+bx+cx2

 Ekuacionet normale për llogaritjen e parametrave a, b dhe c sipas metodës së katrorëve më të vegjël janë:

y  na  bx  cx 2 xy  ax  bx  cx 2

3

x Y  ax  bx  cx 2

2

3

4

38

Trendi i parabollës 

Formulat për gjetjen e parametrave a, b dhe c kur përdoret metoda e lehtësimeve, gjegjësisht kur ∑X=0 janë:

y  x 4  x 2  yx 2 a 4 2 2 n  x   x   x xy b 2 x 2 2 n  yx  x  y c n  x 4  x 2  x 2

39

Shembull 2 

Për të dhënat në vijim përcaktoni ekuacionin e trendit të parabolës përmes metodës së katrorëve më të vegjël. Vitet

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Gjithsej:

Y

2

3

5

6

9

13

17

55

40

Shembull 2-vazhdim Vitet

(Y)

X

X2

XY

X3

X4

X2 y

Yc

2002

2

-3

-6

9

-27

81

18

2,305

2003

3

-2

-6

4

-8

16

12

2,98

2004

5

-1

-5

1

-1

1

5

4,385

2005

6

0

0

0

0

0

0

6,5

2006

9

1

9

1

1

1

9

9,305

2007

13

2

26

4

8

16

52

12,8

2008

17

3

51

9

27

81

153

16,905

Gjithsej:

55

0

69

28

0

196

249

55,18

41

Shembull 2-vazhdim 55  7 a  28c y  na  bx  cx 2 xy  ax  bx 2  cx3 x 2Y  ax 2  bx 3  cx 4

55  7 a  b  0  c  28 69  0  b  28  c  0 249  28a  b  0  c 196

69  2, 46 28 249  28a  196c

69  28b  b 

55  7 a  28c 249  28a  196c / : ( 4) 55  7 a  28c 62, 25  7 a  49c 7, 25  21c( 1) 7, 25 7, 25  21c  c   0, 345 21 42

Shembull 2-vazhdim 55  7 a  28c 55  7 a  28  0, 345 55  7 a  9, 66 55  9, 66  7 a 45, 34  7 a 45, 34 a  6, 477  6, 5 7

a  6, 5 b  2, 46 c  0, 345

y c  6,5  2, 46 x  0,345 x

2

43


Llogaritja e parametrave a, b dhe c përmes formulave kur përdoret metoda e lehtësimeve:

y  x 4  x 2  yx 2 55 196  28  249 a   6, 47  6,5 4 2 2 n  x   x   x 7 196  28  28 xy 69 b 2   2, 46 x 28 n  yx 2  x 2  y 7  249  28  55 c   0,345 4 2 2 n  x  x  x 7 196  28  28 44

Shembull 2-vazhdim Interpolimi dhe ekstrapolimi i vlerave të trnedit .



y c  6,5  2, 46 x  0,345 x 2 2002

y c  6,5  2, 46  (3)  0,345  (9)  2,305

............................ ............................. y c  6,5  2, 46  (3)  0,345  (9)  16,905 2008

2013

y c  6,5  2, 46  (8)  0,345  (64)  48, 26

Interpolimi i Vlerave të trendit

Ekstrapolimi i vlerave të trendit 45

Paraqitja grafike e te dhenave origjinale dhe e trendit te parabolles

Te dhenat origjinale dhe trendii parabolles

18

16 14

Vija e trendit

Te dhenat

12

Te dhenat origjinale

10 8 6 4 2 0 2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Vitet

46

Trendi logaritmik-eksponencial 

Kur të dhënat numerike të serive kohore kanë një rritje me një shkallë rritëse si diferencë nga viti në vit që është konstante, ne mund të përdorim një ekuacion të trendit eksponencial si në vijim:

yc  m  n  



x

m – Yc e vlerësuar kur X=0 n - norma e vlerësuar vjetore mesatare (në përqindje) X- periudha kohore

47

18-9

Trendi logaritmik-eksponencial 

Nëse logaritmojmë të dy anët e ekuacionit fitojmë ekuacionin logaritmik

log Yc  log m  x log n



Ekuacionet normale për llogaritjen e parametrave m dhe n janë:

 log y  n log m  x log n x log y  x log m  x log n 2

48

Shembull 3 







Shitjet për periudhën pesëvjeçare të firmës që merret me shitjen e softverëve janë rritur si në tabelën vijuese .

a)Përcaktoni ekuacionin logaritmik b) Mesatarisht sa përqind janë rritur shitjet për çdo vit gjatë periudhës. c) Vlerësoni shitjet për periudhën 2014.

Vitet

Shitjet (0000$)

2005

1.1

2006

1.5

2007

2.0

2008

2.4

2009

3.1

Gjithsej

10.1

49

Shembull 3 vazhdim Vitet

Shitjet (0000$)

x

logy

2005

1.1

-2

0,0414

2006

1.5

-1

2007

2.0

2008

xlogy

x2

logyc

yc

-0,083 4

0,088

1,2246

0,176

- 0,176 1

0,183

1,524

0

0,301

0 0

0,278

1,8967

2.4

1

0,380

0,380 1

0,373

2,3605

2009

3.1

2

0,491

0,983 4

0,468

2,9376

Gjithsej

10.1

0

1,39

0,951 10

9,9434

log yc  0,278  0,095x 50

Shembull 3 vazhdim

1,39  7 log m  0  log n 0,951  0  log m  10 log n 1,39 1,39  7 log m  log m   0, 278 5 0,951 0,951  10 log n  log n   0, 095 10

log yc  0, 278  0,095 x 51

Shembull 3 vazhdim

log yc  0, 278  0,095 x log m  0, 278 / anti log; m  1,8967  m  1,9 log n  0, 095 / anti log; n  1, 2445  n  1, 24

 yc  1,9 1, 24  x

n=1,24 - 1 = 0,24 X 100 = 24% ose 1,24 x100=124-100=24%

Kjo do të thotë se norma mesatare vjetore e shtimit të prodhimit është 24%.

52

Shembull 3 vazhdim/Interpolimi dhe ekstrapolimi i vlerave të trendit

log yc  0, 278  0,095x 2005

log yc  0, 278  0,095  (2)  0,088 / anti log  1, 2246

.......................................................... .................................................... 2009 log yc  0, 278  0,095  (2)  0, 468 / anti log  2,9376

2014

log yc  0,278  0,095  (7)  0,943/ anti log  8,770 53

Paraqitja grafike e te dhenave origjinale dhe vijes se trendit eksponencial

Shitjet dhe vija e trendit eksponencial

3.5

3

Vija e trendit

Shitjet (0000$)

2.5

Te dhenat origjinale 2

1.5

1

0.5

0 2005

2006

2007

2008

2009

54

Mesatarja rrëshqitëse 







Përdoret për zbutjen e variacioneve ciklike, sezonale, etj. Seri e mesatareve aritmetike gjatë tërë kohës. Rezultatet varen nga zgjedhja e periudhës për llogaritjen e mesatareve. Për seritë kohore vjetore numri i viteve për mesatare aritmetike duhet të jetë numër tek. 55

Mesatret rrëshqitëse (vazhdim) 

Mesatarja rrëshqitëse me tri të dhëna 

Mesatarja e parë:



Mesatarja e dytë:

X1  X 2  X 3 M1 (3)  3 X2  X3  X4 M 2 (3)  3

........................ 56

Mesatarja rrëshqitëse-Shembull Zgjimi është ndërtues i shtëpive me një rekord prej 24 shtëpive familjare të ndërtuara gjatë periudhës gjashtë vjeçare. Pajis Zgjimin me grafikun me mesatare rrëshqitëse me tri vjet. Vitet

Njësitë Mest.rrq.

2000

2

-

2001

5

3

2002

2

3

2003

2

3.67

2004

7

5

2005

6

57

Mesatare rrëshqitëse-shembull Viti

Njësitë

Mesatare

rrëshq.

Njësitë

2000

2

-

8

2001

5

3

6

2002

2

3

4

2003

2

3.67

2

2004

7

5

0

2005

6

-

Gj = 3

' „01 „02 „03 „04 „05 58

Variacionet sezonale/Lëkundjet stinore 

Variacionet sezonale, Për afërsisht fluktuacione periodike të rregullta të cilat paraqiten gjatë muajit të caktuar ose periudhës kuartale prej viti në vit.



Arsyet e paraqitjes: Kushtet kohore/klimatike, zakonet shoqërore, zakone fetare, pushimet shkollore.



Koha e paraqitjes: Gjatë muajve të caktuar ose kuartalëve (mujore ose kuartale) 59

Variacionet sezonale/Lëkundjet stinore 



Indekset stinore llogarisin lëkundjet stinore sipas muajve apo kuartalëve për dukurinë e hulumtuar. Indekset stinore janë tregues relativ të cilët tregojnë ndikimin mesatar të sezonës në muajin e caktuar apo në kuartalin e caktuar përgjatë disa viteve.

60

Indekset stinore

Shembull

Shembull: Konsumi i patates (tonë) në një komunë sipas tremujorëve gjatë tri viteve ka qenë si vijon:

Tremujorët/ Kuartalet

Prodhimi (T) sipas viteve dhe kuartalëve 2006

2007

2008

I

50

56

59

II

23

30

40

III

54

57

63

IV

102

120

150

Gjithsej

229

263

312 61

Indekset stinore Shembull-vazhdim 2008

Gjithsej Mesatarja Prdhimi tremujore

Indekset stinore

56

59

165

55

82,08

23

30

40

93

31

46,26

III

54

57

63

174

58

86,56

IV

102

120

150

372

124

185,07

Gjithsej 229

263

312

804

Tremujo rët 2006

Vitet 2007

I

50

II

X

n

X i 1

268 i

399.97≈ 400 62

Indekset stinore Shembull-vazhdim 

Së pari llogarisim nivelin mesatar tremujor të tre vjetëve: n

Xi 

X

i

i 1

n n

I

Xi 

X

i



i 1

n

50  56  59 3



165 3

 55

n

II

Xi 

X i 1

n

i



23  30  40 3



93 3

.................................................

 31 63

Indekset stinore 

Shembull-vazhdim

Së dyti llogarisim mesataren e përgjithshme tremujore për tri vjet:

55  31  58  124 268 Xp    67 tona ose 4 4 804 Xp   67 tone 12

64

Indekset stinore

Shembull-vazhdim

Së treti , llogarisim indekset stinore:

Xi Is  100; XP X i  niveli mesatar i cdo kuartali X P  niveli mesatar i pergjitshem

65

Indekset stinore Shembull-vazhdim

55 100  82, 08 I Is  67 31 100  46, 26 II I s  67 58 100  86, 56 III I s  67 124 100  185, 07 IV I s  67 66

Indekset stinore – Interpretimi i rezultateve 





Meqenëse indekset sezonale varirojnë rreth 100, nëse analizojmë të dhënat për kuartal, shuma e tyre duhet të jetë 400, derisa shuma e indekseve sezonale për një vit është e barabartë me 1200. Nëse indeksi sezonal është më i madh se 100, atëherë themi se sezona ka pasur ndikim pozitiv në zhvillimin e dukurisë. Nëse indeksi stinor është më i vogël se 100, atëherë sezona ka pasur ndikim negativ në zhvillimin e dukurisë 67

Indekset stinore – Interpretimi i rezultateve 

Nëse në dukuri nuk ka faktorë sezonal, atëherë të gjithë indekset do të ishin rreth 100, gjegjësisht 100%.



Sa mëimadh që është variacioni në raport me 100, atëherë ndikimi i sezonës është më i madh.



Në shembullin tonë, të gjitha indekset dallojnë nga 100, kështu që mund të themi se ka ndikim sezona në konsumin e patates. Ndikimi më i madh shihet gjatëk uartalit të katërt ku indeksi sezonal tejkalon 100 për 85.07% 68

KONCEPTET KYÇE Seri kohore Trendi Variacione ciklike Variacione sezonale Variacione te rastësishme Trendi linear Trendi i parabollës Trendi eksponencial

Gabimi standard i trendit Interpolimi i vlerave të trendit Ekstrapolimi i vlerave të trendit Mesataja rrëshqitëse Indekset stinore

69

1-1

Analiza e Regresionit dhe Korrelacionit Qëllimet: Në fund të orës së mësimit , ju duhet të jeni në gjendje që të :  Kuptoni rolin dhe rëndësinë e analizës së regresionit dhe korrelacionit si dhe dallimet në mes të tyre Kuptoni dhe interpretoni termet variabël e varur dhe variabël e pavarur.  Dini kuptimin e koeficienteve të regresionit linear a dhe b  Shfrytëzoni analizën e regresionit për të parashikuar/vlerësuar variablën e varur të bazuar në variablën e pavarur.  Kalkuloni dhe interpretoni koeficientin e korrelacionit, koeficientin e determinacinit dhe aleancës.

Analiza e regresionit

• Analiza e regresionit: studimi i lidhjeve gjegjësisht raporteve apo marrëdhënieve në mes të dy apo më shumë variablave. • Analiza e regresionit: një prej mjeteve më të shfrytëzuar për analizën e biznesit dhe fenomeneve të tjera shoqërore dhe ekonomike. • Analiza e regresionit : E lehtë për tu përdorur dhe e aplikueshme në shumë situata.

Analiza e regresionit

• Regresion i thjeshtë : një variabël e shpjegueshme dhe mund të jetë regresion linear dhe jolinear.

• Regresioni multivariabël: përfshin disa variabla të shpjegueshme.

1-2

Analiza e regresionit linear • Analiza e regresionit është teknikë që përdoret për të zhvilluar ekuacionin për vijën e drejtë për të bërë parashikime. • Ekuacioni i regresionit është ekuacion që definon raportet në mes të dy variablave dhe shfrytëzohet për të vlerësuar variablën e varur (Y) të bazuar në variablën e pavarur (X). • Variabla e varur (Y) është variabla e projektuar ose e vlerësuar. • Variabla e pavarur (X) është variabla që siguron bazën për vlerësim.

Analiza e regresionit • Analiza e regresionit përdoret për të : Parashikuar vlerën e variablës së varur të bazuar në më së paku në një variabël të pavarur.  Shpjeguar efektet e ndryshimit të variablës së pavarur në variablën e varur. Variabla e varur: variabla që ne dëshirojmë të parashikojmë ose ta shpjegojmë-sqarojmë.  Variabla e pavarur: variabla e përdorur për të shpjeguar variablën e varur.

Modeli i thjeshtë i regresionit linear Vetëm një variablël e pavarur , X. Raportet në mes të X dhe Y përshkruhen përmes funksionit linear .

Ndryshimet në Y supozohet që ndodhin për shkak të ndryshimeve në X

Llojet e raporteve/marëdhënjeve në mes të X dhe Y Skater diagrami-diagrami shpërndarës Raporte/lidhje lineare

Raporte/lidhje jolineare Y

Y

X Y

X Y

X

X

Llojet e raporteve/marëdhënjeve në mes të X dhe Y

(vazhdim)

Raporte/lidhje të dobëta

Raporte/lidhje të forta Y

Y

X Y

X Y

X

X

Llojet e raporteve/marëdhënjeve në mes të X dhe Y Nuk ka kurrfarë raporte/lidhje në mes të X dhe Y

Y

X Y

X

(vazhdim)

Modeli i thjeshtë i regresionit linear

Ndërprerjen e boshtit Y Variabla e varur

Koeficienti i pjerrësisë

Variabla e pavarur

Shenja për gabimin e rastësishëm

Yc  a  bx  εi Komponenta lineare

Komponenta e gabimit të rastësishëm

Modeli i thjeshtë i regresionit linear (vazhdim)

Y

Yc  a  bx  εi

Vlera e vrojtuar e Y për Xi

εi Vlera e parashikuar e Y për Xi

Pjerrësia = b Gabimi i rastësishëm për vlerën e Xi

Prerja = a

Xi

X

Metoda e katrorëve më të vegjël • Parametrat a dhe b sigurohen përmes gjetjes së vlerave a dhe b që minimizojnë shumën e devijimeve të

ngritura në katror në mes të Yi dhe Yc:

 (Y Y )  min, gjegjesisht,  (Y  (a  bX)   min 2

i

c

2

i

1-3

Analiza e regresionit Ekuacioni i regresionit: Yc= a + bx, ku: • Yc është vlera mesatare e projektuar e Yc për ndonjë vlerë të X. • a- vlera e vlerësuar e y kur x=0 • b – është pjerrësia e vijës, ose ndryshimi mesatar në Yc për çdo njësi të ndryshuar të X. • Metoda e katrorëve më të vegjël shfrytëzohet për të gjetur parametrat a & b:

1-4

Analiza e regresionit/ metoda e katrorëve më të vegjël

Y  na  bX XY  aX  bX

2

n( XY )  ( X )( Y ) b 2 2 n(  X )  (  X ) Y X a b n n

Shembull 1. • Firma “Mobileria” është biznes familjar i cili për kohë të gjatë ju ka shitur firmave tregtare me pakicë produktet e veta . Ata vazhdimisht reklamojnë mallin e tyre përmes radios dhe televizionit duke theksuar çmimet e ulëta dhe kushtet e mira të kreditimit. Pronari i firmës dëshiron të rishikojë raportet në mes të shitjes dhe shumës së shpenzuar për reklamim. Më poshtë janë dhënë informatat për shitjet dhe shpenzimet e reklamimit për katër muajt e fundit. Muajt

Shp. e reklamës (në milionë dollarë)

Të Hyrat nga shitja ( në milionë dollarë )

Shtator

2

7

Tetor

1

3

Nëntor

3

8

Dhjetor

4

10

Shembull 1-vazhdim

• a) Pronari dëshiron të planifikojë shitjet në bazë të shpenzimeve të reklamës. Cila është variabël e varur dhe cila është variabël e pavarur . • b) Vizatoni skater diagramin (diagramin shpërnadarës); • c) Përcaktoni ekuacionin e regresionit. • d) Interpretoni vlerat e a-së dhe b-së . • e) Vlerësoni shitjet kur për reklamë harxhohen 3,5 milionë dollarë.

Shembull 1-vazhdim

• a) Shpenzimet e reklamës=X- variabël e

pavarur Të hyrat nga shitja =Y- variabël e varur Skater diagrami – diagrami shpërndarës Të hyrat nga shitja ( Y)

Të hyrat nga shitja dhe shpenzimet e reklamës

12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

Shpenzimet e reklamës (X)

4

5

Shembull 1-vazhdim/ ekuacioni i regresionit Muajt Shtator

X

2

Yi

7

YX

14

X2

4

Yc

5,9

Tetor

1

3

3

1

3,7

Nëntor

3

8

24

9

8,1

Dhjetor

4

10

40

16

10,3

10

28

81

30

28

Gjithsej:

Y  na  bX XY  aX  bX

2

28  4a  10b / (3) 81  10a  30b 84  12a  30b 81  10a  30b 3  2a / (1) 3 3  2a  a   1, 5 2  a  1, 5

Shembull 1-vazhdim / ekuacioni i regresionit 28  4a  10b 28  4 1, 5  10b 28  6  10b 28  6  10b 22  10b

b  2, 2 yc  1,5  2, 2 x

y x 28 10 a   b   2, 2   1,5 n n 4 4 n(x  y )  x y b 2 2 n  x   (x) 4  81  10  28 b  2, 2 2 4  30  10 yc  1, 5  2, 2 x

Shembull 1-vazhdim / ekuacioni i regresionit

d) a=1,5 kur x=0 • b- ndryshimi mesatar në Yc për ndryshim të një vlerë të X-it. • b=2,2 – kjo do të thotë se një rritje prej 1 milion dollar për reklamë do të rezultojë në rritje të të hyrave për 2,2 milionë dollarë e) Yc=1,5+2,2(3,5)=9,2

Interpretimi i koeficientit/parametrit a Te hyrat nga shitja  1,5  2.2 (shpenzime te reklames) Yc  1,5  2.2 x • a është vlera mesatare e vlerësuar e Yc kur vlera e x është zero. · Këtu në shembullin tonë do të thotë se nëse firma nuk harxhon për reklamë, gjegjësisht shpenzimet e reklamës janë zero, atëherë të hyrat nga shitja janë 1,5 , gjegjësisht 1 500 000$ (1,5 * 1 000 000 $)

Interpretimi i koeficientit të pjerrësisë,

b

Te hyrat nga shitja  1,5  2.2 (shpenzime te reklames) Yc  1,5  2.2 x • b - mat ndryshimet e vlerësuara në vlerën mesatare të Yc si rezultat i ndryshimit të një njësie të X.  Këtu në shembullin tonë b = 2,2 tregon se vlera mesatare e të hyrave nga shitja do të rritet për 2 200 000$, (2.2 *1 000 000=2 200 000$), në mesatare, për çdo 1 milion dollarë shtesë për

Parashikimi përmes analizës së regresionit

•Vlerësoni /parashikoni shitjet kur për reklamë harxhohen 3,5 milionë dollarë.

Yc  a  bx Yc  1.5  2.2 x Te hyrat nga shitja  1.5  2.2 (shpenzime te reklames)  1.5  2.2(3.5)  9.2 Vlera e parashikuar e te hyrave nga shitja me 3,5 milion dollarë shtesë është 8 100 000$. (9.2*1 000 000=9 200 000$).

Gabimi standard i vlerësimit • Gabimi standard i vlerësimit mat shpërndarjen , ose dispersionin e vlerave të vrojtuara përreth vijës së regresionit. • Formulat për llogaritjen e gabimit standard janë: ( yi  yc )   yx  n2 yi  te dhenat origjinale te var iables se var ur

yc  te dhenat e vleresuara te var iables se var ur ose



yx



Y 2  a (  Y )  b (  X  Y ) n2

Llogaritja e gabimit standard të vlerësimit

Muajt

X

Shitjet aktuale

Yi

Shitjet e vlerësuar a

(Yi –Yc)

(Yi-Yc)2

Yi 2

Yc

Shtator

2

7

5,9

1.1

1.21

49

Tetor

1

3

3,7

-0.7

0.49

9

Nëntor

3

8

8,1

-0.1

0.01

64

Dhjetor

4

10

10,3

-0.3

0.09

100

10

28

28

0

1.8

222

Gjithsej:

Llogaritja e Gabimit standard të vlerësimit 

yx



2 ( y  y )  i c

n2

1.8 1.8    0.9  0.95 42 2

Y 2  a(Y )  b(X  Y ) 222  1.5(28)  2.2(81) 1.8  yx     0.95 n2 42 2

Regresioni i parabollës

• Funksioni i regresionit të parabollës • Yc=a+bx+cx2 • Metoda e katrorëve më të vegjël shfrytëzohet për të gjetur parametrat a , b dhe c:

y  na  bx  cx

2

xy  ax  bx  cx 2

3

x Y  ax  bx  cx 2

2

3

4

Shembull 3.

• Nga të dhënat vijuese gjeni funksionin e parabollës së regresionit: x 1 2 3 4 5 6 7 ∑2 8 y 2 3 4 5 5 4 3 ∑2 6

Shembull 3X

Y

X2

XY

X3

X4

vazhdim

X2y

Yc

1

2

2

1

1

1

2

2

3

6

4

8

16

12

3

4

12

9

27

81

36

4

5

20

16

64

256

80

5

5

25

25

125

625

125

6

4

24

36

216

1296

144

7

3

21

49

343

2401

147

28

26

110

140

784

4676

546

• Yc=a+bx+cx2 y  na  bx  cx 2 xy  ax  bx 2  cx 3 x 2Y  ax 2  bx 3  cx 4 26  7 a  28b  140c /( 4) 110  28a  140b  784c 546  140a  784b  4676c 104  28a  112b  560 110  28a  140b  784c 6  28b  224c ekuacioni I

Shembull 3-

vazhdim

Marrim dy ekuacionet e fundit 110  28a  140b  784c /( 5) 546  140a  784b  4676c 550  140a  700b  3920c 546  140a  784b  4676c 4  84b  756c ekuacioni II

6  28b  224c I /( 3) 4  84b  756c II 18  84b  672c 4  84b  756c 22  82c 22 c   0, 27 82 c  0, 27

Shembull 3-

6  28b  224c 6  28b  224  (0, 27) 6  28b  60, 48 b  2, 4

vazhdim

a  0, 48 b  2, 4 c  0, 27

26  7a  28b  140c 26  7a  28  2,4  140(0,27) 26  7a  67,2  37,8 a  0,48 2 Yc  a  bx  cx

Y  0, 48  2, 4 x  0, 27 x 2

Analiza e korrelacionit • Analiza e korrelacionit: grup i teknikave statistikore që përdoren për të matur fortësinë e raporteve (korrelacionit) në mes të dy variablave.

Analiza e korrelacionit TREGUESIT E ANALIZES SE KORRELACIONIT

KOEFICIENTI I KORRELACIONIT

(r)

KOEFICIENTI I DETERMINACIONIT

(r2)

KOEFICIENTI I ALEANCES/ KONTIGJENCES

(ra)

Koeficienti i korrelacionit, r

Koefiecienti i korrelacionit (r) është tregues i raporteve në mes të dy variablave. Ai merr vlerat prej: -1.00 deri në 1.00. Vlerat -1.00 ose 1.00 tregojnë korrelacionin perfekt dhe të fortë ose lidhjen funksionale në mes të dy variablave. Vlerat afër 0.0 tregojnë korrelacion të dobët. Vlerat negative tregojnë një raport inverz kurse vlerat pozitive tregojnë një raport direkt.

Korrelacion perfekt negativ

r = -1

Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5 X

6

7

8

9

10

Korrelacion perfekt pozitiv r=1

Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5 X

6

7

8

9

10

Korrelacioni zero r=0

Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5 X

6

7

8

9

10

Korrelacion pozitiv shumë i fortë Vlera e “r” shumë afër 1.

Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5 X

6

7

8

9

10

Koeficienti i Korrelaconit/ r

Nuk ka korrelacion

Korrelacion perfekt negativ

Korrelacion i fortë negativ

-1

Korrelacion perfekt pozitiv

Korrelacion mesatar negativ

Korrelacion i dobët pozitiv

Korrelacion i dobët negativ

-0.5 Korrelacion negativ

0

Korrelacion mesatar pozitiv

Korrelacion i fortë pozitiv

0.5 Korrelacion pozitiv

+1

Formula për r

r

n( XY )  ( X )( Y )

 n(X )  (X ) nY    Y   2

2

2

2

ose r

( X i  X )  (Yi  Y ) ( X i  X ) (Yi  Y ) 2

2

Koeficienti i determinacionit/ r2

• Koeficienti i determinacionit, r2 – proporcioni i variacioneve totale në variablën e varur Y që mund të shpjegohen përmes variacioneve në variablën e varur X. • Koeficienti i determinacionit është katrori i koeficientit të korrelacionit dhe merr vlerat prej 0 deri në 1.

Koeficienti i determinacionit/ r2  Koeficienti i determinacionit si raport i pjesës së pashpjegueshme të variabilitetit dhe variabilitetit të tërësishëm

(Yc  Y ) r  2 (Yi  Y )

2

2

 Koeficienti i determinacionit si katror i 2 2 koeficientit të korrelacionit

r  (r )

r2 merr vlerat prej 0 deri te 1

Koeficienti i aleancës (kontigjencës)

Koeficienti i aleancës:

(Yi  Yc ) ra  ose 2 (Yc  Y ) 2

(Yc  Y ) ra  1  2 (Yi  Y )

2

 ra merr vlerat prej 0 deri te 1.

Shembull 2.

Duke ju referuar shembullit 1: • a) Përcaktoni koeficientin e korrelacionit • b) Interpretoni koeficientin e korrelacionit; • c) Përcaktoni koeficientin e determinacionit dhe interpretoni rezultatin • d) Gjeni koeficientin e aleancës

Shembull 2- vazhdim M

X

Y

YX

Y2

X2

Yc

( Xi  X )

( X i  X )2

(Yi  Y )

(Yi  Y )2

( X i  X )  (Yi  Y )

Sh.

2

7

14 49

4

5,9

-0,5

0,25

0

0

0

T

1

3

3 9

1

3,6

-1,5

2,25

-4

16

6

N

3

8

24 64

9

8,1

0,5

0,25

1

1

0,5

Dh

4

10

40 100

16

10,3

1,5

2,25

3

9

4,5

Gj

10

28

81 222

30

27,9

5

0

26

11

r

( X i  X )  (Yi  Y )

r

( X i  X ) 2  (Yi  Y ) 2

r

n(XY )  (X )(Y ) 2  n(X 2 )  (X )2   n  Y 2    Y    

4  81  10  28

11 11 2 2  r   0, 9649  4(30)  (10)  4  222   28    5  26 130 r  0, 9649 r  0,9648

 0,9648

Shembull 2

vazhdim

 Koeficienti i korrelacionit: r=0,964, do të thotë se ekziston një lidhje shumë e fortë pozitive në mes të hyrave nga shitja dhe shpenzimeve të reklamës.  Koeficienti i determinacionit r2=(0,964)2=0,93, nga këtu kemi se 93% e variacioneve në shitje shpjegohen me variacionet në shpenzimet e reklamës.

 Koeficienti i aleancës : Ka = 1- r2=1-0,93 =0,07, nga këtu rrjedh se 7% janë faktorë të tjerë të pashpjegueshëm që ndikojnë në të hyrat nga shitja.

Testimi i signifikances/rëndësisë/ për koeficientin e korrelacionit

• Testimi bëhet përmes t testit për koeficientin e korrelacionit:

t

r n2 1 r

2

me (n  2) shkalle te lirise

Testimi i signifikancës për koeficientin e korrelacionit Testimi i hipotezës se nuk ekziston korrelacion në mes të variablave në populacion.

• Hapi 1: Formulimi i hipotezës zero dhe alternative H0: R=0 (Korrelacioni në populacion është zero) H1: R ≠ 0 (Korrelcaioni në populacion nuk është zero). • Hapi i dytë: Niveli i signifikancës 0.05: , Vlera kritike për n-2 shkallë lirie është 4.303 (Merret te shpërndarja studenti se mostra është e vogël , n=4) • Hapi 3. Llogaritja e testit t për koeficientin e korrelacionit r n  2 0,964 4  2 t

1 r

2



1  0,964

2

 5.04

Testimi i signifikancës për koeficientin e korrelacionit

• Hapi 4. Formulimi i rregullës së vendosjes: • H0 refuzohet nëse t> 4.303 ose nëse t< - 4.303, sh.l=2,  =.05 • Hapi 5. Marrja e vendimit • 5.04> 4.303 , refuzohet hipoteza zero, se

koeficienti i korrelacionit në poulacion është i barabartë me zero, ndërsa pranohet hipoteza alternative se koeficienti i korrelacionit të populacionit është i ndryshëm nga zero.

KONCEPTET KYÇE  ANALIZA E REGRESIONIT  ANALIZA KORRELACIONIT

 REGRESIONI LINEAR

 KORRELACIONI POZITIV

 REGRESIONI JOLINEAR

 KORRELACIONI NEGATIV

 VARIABËL E VARUR

 KOEFICIENTI I KORRELACIONIT

 VARIABËL E PAVARUR

 FAKTORËT E SPJEGUESHËM

SKATER DIAGRAMI

 FAKTORËT E PASPJEGUESHËM

METODA E KATRORËVE MË TË VEGJËL

 KOEFICIENTI I ALEANCËS/KONTIGJENCËS

 GABIMI STANDARD I VLERËSIMIT

KOEFICIENTI I DETERMINACIONITPËRCAKTIMIT

1-1

Qëllimet

Një vështrim mbi konceptet e probabilitetit

Pas përfundimit të kësaj ligjerate ju duhet të jeni në gjendje që të:

Definoni probabilitetin. Kuptoni termet: eksperimenti (prova), rezultati, ngjarja. Përshkruani qasjet klasike, empirike dhe subjektive të probabilitetit dhe të bëni dallimet në mes të tyre.

Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së probabiliteteve. Definoni termet: probabiliteti i kushtëzuar dhe probabiliteti i përbashkët. Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së rasteve të volitshme (permutacionet, variacionet, kombinacionet) Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës

© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999

Probabiliteti • Probabiliteti është një matës numerik për gjasat se një ngjarje do të ndodhë.

1

E sigurt

• Probabiliteti i një ngjarje duhet të jetë në mes të 0 dhe 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 Për çfarëdo ngjarje A 0.5 • Shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/ duhet të jetë i barabartë me 1.

P(A)  P(B)  P(C)  1

Nëse A, B, dhe C janë reciprokisht përjashtuese dhe te domosdoshme Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës

0

E pamundur


5-3

Definicionet  Probabiliteti: Matja e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund të marrë vlera vetëm në mes të 0 dhe 1.  Prova/Eksperimenti: Vështrimi (vrojtimi ) i disa aktiviteteve ose veprimi i marrjes së ca matjeve, gjegjësisht një proces që shpien deri te paraqitja e një (dhe vetëm një) nga disa vrojtime të mundshme.  Rezultati: Rezultati i pjesshëm i një eksperimenti.  Ngjarja: Grumbullimi i një apo më shumë rezultateve të një eksperimenti. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës

© The McGraw-Hill .Companies, Inc., 1999

Hapësira e mostrës/ rezultatet e mundshme

Hapësira e mostrës /është mbledhja e të gjitha ngjarjeve të mundshme p.sh. Të gjitha faqet e zarit/kubit (6):

P.sh. Të gjitha letrat e bixhozit (52):

Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


Shembuj të eksperimentit, rezultatit dhe hapsirës së mostrës

Eksperimenti

Rezultati

Hapësira e mostrës

Gjuajtja e monedhës

Stema (S) , numri (N)

S= { Stema, Numri}

Gjuajtja e zarit

1,2,3,4,5,6

S= { 1, 2, 3,4, 5, 6}

Gjuajta e monedhës dy herë

NN, NS, SN, SS

S = {NN, NS, SN, SS}

Loja në lotari

Fitim, Humbje

S ={ Fitim, Humbje}

Dhënja e provimit

Me kalu, mos me kalu S ={Me kalu, mos me kalu}

Zgjedhja e studentëve

Mashkull, Femer


S= {Mashkull, Femer}

© The McGraw-Hill .Companies, Inc., 1999

Ngjarjet • Ngjarje e thjeshtë · Një rezultat nga të gjitha rezultatet e mundshme me një karakteristikë. · P.sh., Karta e kuqe nga letrat e bixhozit. • Ngjarje komplementare e A (e shënuar~A) · Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes A · P.sh. Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e rombit. • Ngjarje e përbashkët · Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje që paraqiten njëkohësisht. · P.sh., Një As që është gjithashtu i kuq. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit • Janë tri qasje për vlerësimin e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarje të pasigurt: 1. a priori probabiliteti klasik probabiliteti 

m numri i rezultateve te favorshme  n numri total i rezultateve te mundshme

2. a posteriori probabiliteti klasik empirik/frekuenca relative Probabiliteti =

Numri ngjarjeve qe kane ndodhur ne te kaluaren m  Numri total i vrojtimeve n

3. Probabiliteti subjektiv Një vlerësim apo opinion individual rreth probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-4

Qasjet e probabilitetit

• Probabiliteti klasik bazohet në supozimin se rezultatet e një eksperimenti kanë mundësi të barabarta. • Sipas pikëpamjes klasike , Numri i rezultateve tefavorshme Probabiliteti i nje ngjarje = Numrii pergjithshem i rezultateve te mundshme

m P n Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-5

SHEMBULL 1

• Marrim në konsiderim eksperimentin e hudhjes së dy monedhave metalike në të njejtën kohë. • Numri i rasteve të mundshme S = {NN, NS, SN, SS} • Marrim në konsiderim ngjarjen për një N. • Probabiliteti për me ra numri =2/4 = 1/2. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-6

Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme

• Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/: Paraqitja e ndonjë ngjarje nënkupton se të tjerat nuk mund të ndodhin në të njejtën kohë. • Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë reciprokisht përjashtuese/ të papajtueshme.



5-7

Ngjarjet e domosdoshme

• Ngjarjet e domosdoshme : Më së paku një ngjarje duhet të ndodhë kur bëhet një eksperiment. • Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë ngjarje të domosdoshme. Me fjalë të tjera shuma e probabiliteve është = 1 (0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25). Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-8

Koncepti i frekuencave relative/Koncepti empirik

• Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese e kohës si ngjarja ka ndodhur në të kaluarën:

Probabiliteti i nje ngjarje=


Numri i rezultateve qe kane ndodhur ne te kaluaren Numri total i vrojtimeve


Probabiliteti empirik/koncepti i frekuencave relative Supozojme se dëshirojmë të llogaisim probabilitetet e këtyre ngarjeve: - Probabilitetin se automobili i ardhshëm i prodhuar nga fabrika do të jetë me “defekt”. - Probabilitetin se një familje e zgjedhur rastësisht ka shtëpi te veten. - Probabilitetin se një grua e zgjedhur rastësisht nuk e punë duhanin. - Probabilitetin se një tetëdhjetëvjeçar do të jetoj më së paku edhe një vjet, etj.



Shembull

• Dhjetë nga 500 automobila të zgjedhur rastësisht të prodhuar në një fabrikë kanë qenë me defekt. Sa është probabiliteti që automobili i ardhshëm i prodhuar nga kjo fabrikë të jetë me defekt. • n=500 P(A) = 10/500=0.02 Shpërndarja e frekuencave dhe frekuencave relative • m=10 në mostrën prej 500 automobilave Automobili I rregullt Me defekt Gjithsej Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës

Frekuenca

Frekuenca relative 490

490/500=0.98

10

10/500=0.02

500

1.00


5-9

SHEMBULL 2

• Përgjatë karrierës së saj prof. Anitë ka shpërblyer 186 studentë me A nga 1200 studentë sa ajo i ka mësuar. Sa është probabiliteti që studenti në departamentin e saj në këtë semestër do të marrë A? • Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative probabiliteti për një A është • P(A)= 186/1200=0.155 Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-10

Probabiliteti subjektiv • Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të vecanta. • Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon:

- Vlerësimi i probabilitetit se klubi futbollistik “X”

do të luajë vitin e ardhshëm në ligën e kampionëve. - Vlerësimi i probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj



Disa rregulla të probabilitetit

Rregullat e probabilitetit

Rregullat aditive (të mbledhjes)

Rregulla e veçantë aditive


Rregulla e plotësuese komplementare

Rregullat e multiplikatorit (e shumëzimit)

Rregulla e përgjithshme aditive

Rregulla e veçantë e multiplikatorit

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit


5-11

Rregullat bazë të probabilitetit • Nëse ngjarjet janë reciprokisht përjashtuese, atëherë ndodhja e ndonjë nga ngjarjet pamundëson ndodhjen e ngjarjeve të tjera. • Rregullat aditive ( të mbledhjes): Nëse dy ngjarje A dhe B janë reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. P(A ose B) = P(A) + P(B) • Rregulla e veçantë aditive P(A ose B ose C ) =

P(A) + P(B) + P(C)



5-12

Shembull 3

• Aeroporti X së voni ka marrë informata për fluturimet nga Prishtina në Gjenevë


Arritja

Frekuenca

Herët

100

Vonë

75

Në kohë

800

Anuluar

25

Gjithsej

1000 © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999

5-13

Shembull 3

vazhdim

• Nëse A është ngjarja se fluturimi arrin herët, atëherë probabiliteti P(A) = 100/1000 = 0.1 • Nëse B është ngjarja se fluturimi do të arrijë vonë , atëherë P(B) = 75/1000 = 0.075 • Probabiliteti se aeroplani do të vijë herët ose do të arrijë vonë është; P(A ose B) = P(A) + P(B) = 0.1 + 0.075 =0.175 Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-14

Rregulla plotësuese/komplementare

• Rregulla plotësuese/komplementare /përdoret për probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të ndodhë nga 1. • Nëse P(A) është probabiliteti i ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i A, atëherë P(A) + P(~A) = 1 ose P(A) = 1

- P(~A).



5-15

Rregulla komplemenare/plotësuese

vazhdim

• Diagrami i Ven-it (J.Venn 1834-1888) ilustron rregullën komplementare që do të duket si në vijim:

A


~A


5-16

SHEMBULL 4

• I rikthehemi SHEMBULLIT 3. • Nëse C është ngjarja se fluturimi do të arrijë në kohë, atëherë, P(C) = 800/1000 = 0.8. • Nëse D është ngjarja se flutruimi është shtyrë, atëherë,P(D) = 25/1000 = 0.025. • Shfrytëzoni rregullën komplementare për të treguar se probabiliteti i një fluturimi të hershëm (A) ose të vonshëm (B) është 0.175. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-17

SHEMBULL 4

vazhdim

• P(A ose B) = 1 - P(C ose D) = 1 -ë0.8 +.025] =0.175

C 0.8

D 0.025 ~(C ose D) = (A ose B) 0.175



5-18

Rregulla aditive e përgjithshme

• Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë reciprkisht përjashtuese , atëherë , P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese: • P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B)



5-19

Rregulla aditive e përgjithshme

• Diagram i Ven-it ilustron këtë rregull:

B A dhe B A



5-20

SHEMBULL 5

• Në një mostër prej 500 studentëve, 320 kanë thënë se kanë stereo , 180 kanë thënë se kanë TV, dhe 100 kanë thënë se i kanë të dyja:

Stereo 320 Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës

Bashkë 100

TV 180


5-21

SHEMBULL 5

vazhdim

• Nëse studenti zgjedhet rastësisht , sa është probabiliteti që studenti të ketë vetëm stereo, vetëm TV dhe të dyja stereo dhe TV? • P(St) = 320/500 = 0.64. • P(Tv) = 180/500 = 0.36. • P(St dhe Tv) = 100/500 =0.20.



5-22

SHEMBULL 5

vazhdim

• Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti ka gjithashtu stereo ose TV në shtëpinë e tij? • P(St ose TV) = P(St) + P(Tv) - P(S dhe T) = 0.64 +0.36 - 0.20 =0.80.



Shembull

• Studenti është duke mbajtur dy kurse në histori dhe matematikë. Probabiliteti se studenti do ta jap historinë është 0.60, kurse probabiliteti se do ta jap matematikën është 0.70. Probabiliteti se do t’i kaloj të dyja është 0.50. Sa është probabiliteti se së paku do ta jap njërin provim. • P(A ose B) = P(A) + P(B) – P (A dhe B)= 0.60+0.70-0.50 =0.8. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-23

Probabiliteti i përbashkët

• Probabiliteti i përbashkët është probabiliteti që mat gjasat se dy ose më shumë ngjarje do të ndodhin njëkohësisht. Një shembull do të jetë ngjarja që studenti i ka të dyja, stereon dhe TV në shtëpinë e tij.



5-24

Rregulla e veçantë e multiplikatorit

• Rregulla e veçantë e multiplikatorit kërkon që dy ngjarje A dhe B të jenë

të pavarura. • Dy ngjarje A dhe B janë të pavaura nëse ndodhja e njërës nuk ka efekt në probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. • Rregulla e veçantë e multiplikatorit është: P( Adhe B)  P( A)  P( B) Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-25

SHEMBULL 6

• Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të pavaruara nga njëra tjetra. Probabiliteti që fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm është 0.5. Probabiliteti se vlera e aksionit B do të rritet në vitin e ardhshëm është 0.7. • Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do të riten vitin e ardhshëm? • P(A dhe B) = (0.5)(0.7) = 0.35. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-27

Probabiliteti i kushtëzuar

• Probabiliteti i kushtëzuar është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje të veçantë duke ditur që një ngjarje tjetër ka ndodhur. • Vërejtje: Probabiliteti i ngjarjes A duke ditur që do të ndodhë ngjarja B shënohet me P(A|B).



5-28

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit

• Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit përdoret për të gjetur probabilitetin e përbashkët se dy ngjarje që do të ndodhin dhe definohet kësisoji: për dy ngjarje A

dhe B, probabiliteti i përbashkët se të dy ngjarjet do të ndodhin gjindet përmes shumëzimit të probabilitetit se ngjarja A do të ndodhë me probabilitetin e kushtëzuar të B duke ditur se ngjarja A ka ndodhur.

P( Adhe B)  P( A)  P( B / A) Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


Shembull

• Në një anketë, punëtorët e kompanisë ,X’’, në pyetjen se: Nëse do t’iu ipej një mundësi për të punuar në një kompani tjetër, me pozitë të njejtë apo më të mirë se kjo që keni tani, do të dëshironit ta ndërronit? • Përgjigjet e tyre janë të klasifikuara në bazë të përvojës së tyre në atë kompani sipas tabelës vijuese:



Lojaliteti i punëtorëve ndaj kompanisë dhe përvoja e tyre e punës Përvoja >

Me pak se një vit

15vite

6-10 vite

Më shumë se 10vite

Totali

Do të qëndrojnë

10

30

5

75

120

Nuk do të qëndrojnë

25

15

10

30

80

Totali

35

45

15

105

200



• Sa është probabiliteti se një punëtor i zgjedhur rastësisht nga kjo kompani do të qëndrojë në atë kompani dhe që ka më shumë se 10 vjet përvojë pune ?



Zgjidhja

• P(A) - do të qëndroj në kompani • P(B) ka përvojë pune më se 10 vjet • P(B|A) – qëndron në kompani dhe ka përvoj më se 10 vite

P(A dhe B)= P(A) x P(B|A) = 120/200 x 75/120 = 9000/24000 = 0.375 Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


Shembull

 Bordi i drejtorëve të firmës “X” përbëhet nga 8 meshkuj dhe katër femra. Një komitet prej katër anëtarëve duhet të zgjidhet në mënyrë të rastësishme për të rekomanduar presidentin e ri të kompanisë. a) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët e këtij komiteti të jenë femra? b) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët të jenë meshkuj. c) Shuma e probabiliteteve për A dhe B a është e barabartë me 1? Spjego. Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


Zgjidhje

• a) 0.002  4   3   2  1             0.002  12   11   10   9 

• b) 0.14

 8   7   6   5  1680  0.1414           12   11   10   9  11880 Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


5-37

Disa parime të llogaritjes • Rregullat për llogaritjen e numrit të rezultateve të mundshme: • Rregulla 1. • Formula e Multiplikatorit: Nëse ka m mënyra për ta bërë një gjë dhe n mënyra për ta bërë një tjetër , atëherë ka m x n mënyra për t’i bërë të dyja. • Shembull 10: Ju dëshironi të shkoni në park, të hani në restaurant dhe të shihni filma. Janë 3 parqe, 4 restaurante dhe 6 kinema. Sa kombinime të ndryshme të mundshme janë: • Përgjigje: • 3 x 4 x 6 =72 mundësi të ndryshme Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës


Rregullat e llogaritjes (vazhdim)

• Rregulla 2

· Mënyrat se si mund të rregullohen n elemente sipas rregullit është:

n! = (n)(n – 1)…(1)

· Shembull: – Restorani i juaj ka pesë zgjedhje në menynë e tij. Në sa mënyra ju mund të porositni për menynë tuaj? Përgjigje: 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mundësi të ndryshme. Bazat e Statistikës Irwin/McGraw-Hill

Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999

Rregullat e llogaritjes (vazhdim) • Rregulla 3. • Permutacionet: çdo regullim i X elementeve i zgjedhur nga n elementet e mundshme. n! · Shembull: n Px  (n  X)! – Restauranti i juaj ka pesë zgjedhje në meny, kurse tri duhet të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të porositet dreka? Përgjigje: n! 5! 120 n

Px 

(n  X)!



(5  3)!



2

 60

Vërejte: Renditja e rregullimit të elementeve është e rëndësishme te permutacionet. Bazat e Statistikës Irwin/McGraw-Hill


Rregullat e llogaritjes (vazhdim

• Rregulla 4 • Kombinacionet: Numri i mënyrave të zgjedhjes së x elementeve nga grupi i n elementeve pa respektuar renditjen n! C  n x X! (n  X)!

· Shembull: – Restauranti i juaj ka pesë meny për zgjedhe dhe tri duhet të zgjidhen për drekë . Sa mënyra të ndryshme mund të bëhet kombinimi duke injoruar rregullin e zgjedhjes.

n! 5! 120    10 n Cx  – Përgjigje: X! (n  X)! 3!(5  3)! (6)(2) Bazat e Statistikës Irwin/McGraw-Hill


5-40

SHEMBULL 11

• Trajneri X duhet të zgjedhë pesë lojtarë në mes të 12 sa i ka në ekip për të formuar formacionin fillestar. Sa grupe të ndryshme janë të mundshme? 12

C5 = (12!)/ë5!(12-5)!] =792

• Supozojmë se Trajneri X duhet ti rangoj ata kësisoj: 12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.



Konceptet kyçe Probabiliteti Eksperimenti Rezultati Ngjarja Hapësira e mostrës Probabiliteti apriori Probabiliteti aposteriori Probabiliteti subjektiv Ngjarje e thjeshtë Ngjarje komplementare Ngjarjet e papajtueshme Irwin/McGraw-Hill Bazat e Statistikës

Ngjarjet e domosdoshme Ngjarjet e kushtëzuara Regulla aditive e thjeshte Rregulla aditive e përgjithshme Rregulla komplementare Rregulla e multiplikatorit Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit Permuatacionet Kombinacionet Variacionet © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999

Permbledhje e Ligjeratave Statistike- Rahmije Mustafa

Recommend Documents