perfiles de velocidad

FENÓMENOS DE TRANSPORTE. CAPÍTULO 3: DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR. SISTEMAS RADIALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3.

Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas radiales.

PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1

ó

7A264BE3,

correo

electrónico:

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ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3.


ACERCA DEL AUTOR. Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



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Capítulo 3.


3.1.- DEFINICIONES BÁSICAS. Balance de cantidad de movimiento en un cilindro.

Elemento diferencial de radio.

Balance de cantidad de movimiento.

2  r L rz r  2  r L rz r   r  2  r  r  v z2  2  r  r  v z2  2  r  r L  g  2  r  r ( p0  p L )  0 z 0 zL             Efecto viscoso

Efecto de gravedad

Efecto de velocidad

Efecto de presión

Como se supone que el fluido es incompresible, v z es la misma para z  0 y z  L , y, por tanto, los términos tercero y cuarto (efecto de velocidad) se anulan entre sí.

2  r L rz r  2  r L rz

r  r

 2  r  r L  g  2  r  r ( p0  p L )  0

Definición de la derivada de una función: f d f  lim  d x  x0  

r

x x

f

x



x

   

R

Velocidad máxima.

Velocidad media.


Flujo volumétrico.


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Capítulo 3.

Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas radiales. 2

vz , max  vz

R

  v (r ) r d r d   v     r d r d 0

r , r z  0

0 2

0

z

R

Q

2

0



R

0

v z (r ) r d r d 

0

Número de Reynolds. Re 

D v 





4Q   D

Flujo laminar

Re  2100

Flujo turbulento

Re  2100

Desarrollo en serie de potencias para funciones de interés.

ln (1  x)   x  ex  1 x 

x 2 x3 x 4 x5 (1)n 1 n     ...  x  ... 2 3 4 5 n

x2 x3 x4 x5 xn     ...   ... 2! 3! 4! 5! n!

Integrales notables.

1 ax e c a a x 1 a x ax  x e d x  a2 e  c mxa bm  an m  n x  b d x  n x  n 2 ln (n x  b)  c

e

ax

a

2

a

2

dx

 bu  a  1 1 c du ln  2 2 2 a b  b u  a  b u u 1 d u   2 ln (a 2  b 2 u 2 )  c 2 2 b u 2b

3.2.- FLUJO EN TUBOS CIRCULARES. Ejercicios propuestos. 1. Flujo a través de un tubo circular. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante  en un tubo <> de longitud L y radio R .



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Capítulo 3.


Determinar: a) Distribución de esfuerzo cortante. b) El perfil de velocidades. c) Velocidad máxima. d) Velocidad media. e) Velocidad volumétrica de flujo. f) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie. Respuesta: a)  rz

P P R2  r ; b) v z  4 L 2L

  r 2  P R 2 ; 1     ; c) v z , máx  4 L   R  

P R 2  P R 4 d)  v z  ; e) Q  ; f) Fz ( R)   R 2  p   R 2 L  g . 8 L 8 L 2. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable. Resolver de nuevo el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma siguiente:    0 e  r / R , en la que  0 es la viscosidad en el centro de la tubería, y  una constante que expresa la rapidez con que disminuye  al aumentar r . Determinar: a) Distribución de esfuerzo cortante. b) El perfil de velocidades. c) Velocidad máxima. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


d) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie. Respuesta:

v z ,máx

a)

 rz

P  r; 2L

b)

P R 2   [e (  1)  1] ; d) 2  L 2

P R2 vz  2  L 2  v z 

    r/R r  1 ;  e (  1)  e  R  

c)

P R2  3 [e (  3 2  6   6)  6] ; e) 2  L 4

 P R 4  3 Q [e (  3 2  6   6)  6] ; f) Fz ( R)   R 2  p   R 2 L  g . 4 2  L 3. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable. Resolver de nuevo el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición

 r radial en la forma siguiente:    0 1   , en la que  0 es la viscosidad en el centro del R   tubo, y  una constante que expresa la rapidez con que disminuye  al aumentar r . Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que   0 (fluido de viscosidad constante). Determinar: a) Distribución de esfuerzo cortante. b) El perfil de velocidades. c) Velocidad máxima. d) Velocidad media. e) Velocidad volumétrica de flujo. f) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie. Respuesta: a)  rz

v z ,max

P R2 P  r ; b) v z  2  L 2 2L

  r  r    1  R   ln 1  R   ln (1   ) ; c)      

P R2 P R2  [  ln (1   )] ; d)  v z  [2  3  3 2  6   6 ln (1   )] ; 2 4 2  L 12  L 

e) Q 

 P R 4 [2  3  3 2  6   6 ln (1   )] ; f) Fz ( R)   R 2  p   R 2 L  g . 4 12  L 



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Capítulo 3.


4. Un fluido newtoniano se transporta entre dos puntos en flujo estacionario e incompresible mediante una tubería horizontal de sección circular. Si se mantiene la diferencia de presión entre la entrada y la salida de la tubería y el flujo puede considerarse desarrollado en todo momento, indique cómo cambia el flujo volumétrico de fluido si su temperatura (la cual puede suponerse uniforme) se aumenta bruscamente mediante una transferencia de calor desde el exterior. Justifique su respuesta. Considere las posibilidades de que el fluido pueda ser un líquido o un gas. ¿Cómo cambia su respuesta si el ducto es de sección cuadrada en vez de circular? 5. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo capilar. Por un tubo horizontal de 30 cm de longitud y 2.5 mm de diámetro interno, fluye glicerina (CH2OH.CHOH.CH2OH) a 26.5ºC. Para una caída de presión de 2.957 kgf/cm2 la velocidad de flujo es 1.883 cm3/s. La densidad de la glicerina a 26.5ºC es 1.261 g/cm3. A partir de estos datos calcular la viscosidad de la glicerina en centripoises. (La medida del flujo en tubos capilares es uno de los métodos corrientes para la determinación de viscosidad; estos aparatos se denominan <>). Respuesta:   492 cp . 6. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo. Uno de los métodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la velocidad de flujo de un fluido viscoso a través del tubo. Hallar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos: Longitud del capilar = 50.02 cm Viscosidad cinemática del fluido = 4.0310-5 m2 /s Densidad del fluido = 0.9552103 kg/m3 Caída de presión a través del tubo capilar (horizontal) = 4.829105 N/m2 = 4.766 atm. Velocidad de flujo de masa a través del tubo = 2.99710-3 kg/s. Respuesta: R  0.75126 mm ; Re  65.98 . 7. En un laboratorio de mecánica de fluidos se cuenta con un capilar horizontal de longitud

L  60 cm , dos fluidos (agua @ 20ºC y uno desconocido) e instrumentos para medir la caída de presión en el capilar y el flujo másico. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


a) Escriba un procedimiento para determinar la viscosidad del fluido desconocido. b) Se hace circular el agua y luego el fluido desconocido a través del capilar obteniéndose los siguientes datos: Agua

Fluido desconocido

0.225

4.502

2.94510–4

2.47410–4

Caída de presión (atm) Flujo másico (kg/s)

Nota: Se determinó que el fluido desconocido tenía una densidad de 0.88 g/cc y las propiedades del agua @ 20ºC son   1 cp y   1 g/cc . Verificar la validez de los resultados. Respuesta:  Desconocido  20.96 cp . 8. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que obedece a la ley de potencias. Deducir la expresión para la velocidad de flujo másico de un líquido polimérico, descrito por el modelo de la ley de potencias. El fluido circula por un tubo circular largo de radio R y longitud L , como resultado de una diferencia de presión, de gravedad o de ambas cosas.

 ( P  PL ) R  Respuesta: v z   0   2m L 

1/ n

  r  (1 / n )1  R  R 3   ( P0  PL ) R  1    ; w (1 / n)  3  2 m L  (1 / n)  1   R  

1/ n

9. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Una solución al 13.5% (por peso) de polisopropeno en isopentano tiene los siguientes parámetros de la ley de potencias a 323 K: n  0.2 y m  5 103 Pa.s n . La solución se bombea (en flujo laminar) a través de un tubo horizontal de 10.2 m de longitud y 1.3 cm de diámetro interior. Se desea usar otro tubo de 30.6 m de longitud con la misma velocidad de flujo másico y la misma caída de presión. ¿Cuál debe ser el radio del tubo? Respuesta: R2  1.29 cm . 10. Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Una solución acuosa al 1% de polietileno a 333 K tiene los parámetros de la ley de potencias n  0.6 y m  0.50 Pa.s n . La solución se bombea entre dos tanques, donde el Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


primero está a una presión p1 y el segundo está a una presión p 2 . El tubo que transporta la solución mide 14.7 m de longitud y es de 0.27 cm de diámetro interior. Se ha decidido sustituir el tubo simple por un par de tubos de la misma longitud, pero de diámetro interior más pequeño. ¿Qué diámetro deben tener estos tubos de modo que la velocidad de flujo másica sea la misma que en el tubo simple? Respuesta: R2  0.12 cm . 11. Flujo a través de una sección de corona circular. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R .

Determinar. a) Distribución de esfuerzo cortante. b) El perfil de velocidades. c) Velocidad máxima. d) Velocidad media. e) Velocidad volumétrica de flujo. f) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior. g) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.



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Capítulo 3.


Respuesta:

a)

 rz

 P R  r  (1  k 2 )  R     ;    2 L  R  2 ln (1 / k )  r 

vz 

P R 2 4 L

  r  2 (1  k 2 )  r  ln   ; 1     ln (1 / k )  R    R 

vz 

P R 2 4 L

 (1  k 2 )  (1  k 2 )    P R 2 1  k 4 1  k 2    ; d) 1  1  ln  v      z  ; 2 2 ln ( 1 / k ) 2 ln ( 1 / k ) 8  L 1  k ln ( 1 / k )        

e) Q 

 P R 4 8 L

b)

c)

 (1  k 2 ) 2  (1  k 2 )  4 2 2  ; f) ( 1  k )  F ( kR )    P R k 1  z  ;   2 ln (1 / k )    2 k ln (1 / k ) 

 (1  k 2 )  g) Fz ( R)    P R 2 1  .  2 ln (1 / k )  12. Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Un anillo circular horizontal tiene una longitud de 8.23 m. El radio externo del cilindro interior es de 1.257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2.794 cm. Mediante una bomba se hace circular a través del conducto anular una solución acuosa de sacarosa (C12H22O11) al 60 por ciento a 20ºC. La densidad del fluido es de 1.286 g/cm3 y su viscosidad 56.5 cp. ¿Cuál es la velocidad volumétrica de flujo cuando se le comunica una diferencia de presión de 0.379 kgf/cm2? Respuesta: Q  3.06 103 cm 3 /s . 13. Un intercambiador de calor de doble tubo, concéntricos (ver figura), se utiliza para calentar una línea de glicerina utilizando agua caliente proveniente de otro proceso. La glicerina circula por la región anular experimentando una caída de presión a lo largo del intercambiador de 2.1 atm. En estas condiciones: a) Qué caudal de este producto fluye por la región anular? b) ¿Qué fuerza ejerce éste sobre las paredes del tubo? c) Determine si el flujo es laminar o no. Considere que la densidad y la viscosidad de la glicerina son constantes e iguales a 1.261 g/cm3 y 65 cP respectivamente. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


Respuesta: a) Q  334.24 m3 /s ; b) Fz ( R1 )  7937.99 N/m , Fz ( R)  13386.39 N/m ; c)

Re  14234415.52 , Flujo turbulento. 14. Uno de los mayores problemas que se presentan en el transporte de petróleo crudo es que, debido a su alta viscosidad, las caídas de presión que se generan en las tuberías de transporte son muy altas, lo cual se traduce en altos costos de bombeo. Una alternativa para aliviar el problema consiste en inyectar agua en la tubería. Esto hace que, en ciertas condiciones, se obtenga un régimen de flujo anular (ver figura). Determine para este caso el flujo volumétrico de cada fase en términos de sus propiedades físicas, Ri , R , y la caída de presión por unidad de longitud,  P / L . Considere flujo estacionario unidimensional y desprecie los efectos de la tensión superficial en la interfase agua-petróleo.

2R

Petróleo

2 Ri

Agua

15. En el diseño original de un sistema, se transporta agua en flujo estacionario (   1000 kg/m 3 ,   1 mPa.s ) a través de una tubería horizontal de 1 m de longitud y 4 cm de radio desde un punto a otro, entre los cuales existe una caída de presión por unidad de longitud

( P0  PL ) / L  0.05 Pa/m . Se modifica el diseño original colocando

concéntricamente en el interior del tubo de 4 cm de radio un tubo de 2 cm de radio, como se muestra en la figura.



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Capítulo 3.


Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema. Desprecie efectos gravitacionales. 16. Por un ducto circular de diámetro D  20 cm , circula un cilindro (de diámetro

d  19 cm , longitud L  30 cm y densidad   1200 kg/m 3 ), y entre el cilindro y el ducto hay un fluido lubricante (rellena completamente el espacio) de viscosidad   1000 cp y densidad   800 kg/m 3 . Si la fuerza aplicada al cilindro para que se mueva es de

F  100 N , y suponiendo que el fluido lubricante es newtoniano y que la diferencia de presión en la dirección de flujo es despreciable, calcule la velocidad del cilindro dentro del ducto si: a) El ducto está horizontal. b) El ducto está vertical y la fuerza se ejerce hacia arriba.

Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema. Desprecie efectos gravitacionales. 17. Por un riel cilíndrico, tal como se muestra en la figura, se desliza otro cilindro con una velocidad V . Halle una expresión para determinar la fuerza tangencial que actúa sobre el cilindro que se mueve. Considere que el fluido que se encuentra entre ambos mantiene sus propiedades constantes y que la longitud del cilindro que se desliza es L .

Respuesta: Fz ( R) 

2  V L . La fuerza tiene sentido opuesto al movimiento del cilindro. ln k

18. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior. Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz.

Respuesta:

v z ln (r / R)  R 2V  ; Q 2 V ln k

 (1  k 2 )  2  V L  2 k 2  ; Fz (kR)   .  ln k  ln (1 / k ) 



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Capítulo 3.


19. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Volver a trabajar el problema 20 para el flujo en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias, con el flujo impulsado por movimiento axial del cilindro interior. a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido es

v z (r / R)1(1 / n )  1  v0 k 1(1 / n )  1 b) Comprobar que el resultado del inciso a) se simplifica al resultado newtoniano cuando n tiende a la unidad. c) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la región anular está dada por

w

2  R 2 v0  1  k 3(1 / n ) 1  k 2  1    (para n  3 ) 2  k 1(1 / n )  1  3  (1 / n)

(8B.3-2)

d) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico para fluidos con n  13 ? e) Simplificar la ecuación 8B.3-2 para el fluido newtoniano. 20. Un fluido newtoniano se encuentra entre dos cilindros concéntricos horizontales de radio R1 y R 2 (ver figura). Si el cilindro interno se mueve hacia la izquierda y el externo hacia la derecha, ambos con velocidad v 0 , calcule: a) El perfil de velocidades. b) El caudal que pasa entre los dos cilindros. c) Determine la posición r para la cual la velocidad del fluido es igual a cero.



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Capítulo 3.

Respuesta:

r


a)

 r ln  R vz  1 2  2 V0 R ln  1  R2

  ;   

b)

Q   V0 ( R12  R22 ) 

 V0 ln ( R1 / R2 )

( R22  R12 ) ;

R1 R2 .

21. Se tiene una tubería vertical de radio R 2 y dentro de ella, un fluido newtoniano que se mueve hacia arriba. Dentro de la corriente del fluido se coloca una barra muy larga y delgada de masa m , radio R1 y longitud L ( L  R1 ) como puede verse en la figura. Dicha barra la sostiene la corriente que fluye hacia arriba. Se pide: a) El perfil de velocidades que hay entre los dos cilindros concéntricos. b) La diferencia de presión  p que debe haber entre los extremos de la barra para que ésta pueda mantenerse en equilibrio. c) El caudal que pasa entre los dos cilindros.

Respuesta: a) v z  

P 2  P ( R22  R12 )  r  (r  R12 )  ln   ; 4 L 4  L ln ( R2 / R1 )  R1 

  P ( R22  R12 )  2 ( R22  R12 )  2 p   g L; Q  ( R2  R1 )  . 8 L ln ( R2 / R1 )   2 ( R22  R12 )      R1  2 ln ( R2 / R1 )   mB g

22. Viscosímetro de cilindro descendente. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


Un viscosímetro de cilindro descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical (de radio R ), cerrado en ambos extremos, con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de radio k R ). El pedazo de metal está equipado con aletas, de modo que su eje coincide con el del tubo. La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede observarse cuando éste se encuentra lleno de fluido. Encontrar una ecuación que proporcione la viscosidad del fluido en términos de la velocidad terminal v0 del pedazo de metal y las diversas cantidades geométricas que se muestran en la figura. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por

vz (1   2 )  (1  k 2 ) ln (1 /  )  v0 (1  k 2 )  (1  k 2 ) ln (1 / k ) donde   r / R es una coordenada radial adimensional. b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener

(  0   ) g (k R) 2  2 v0

 1   1  k 2    ln    2   k   1  k 

donde  y  0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal, respectivamente.

23. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo circular. En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo. Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor  r , tal como se indica en la figura. Observese que las flechas de <> y Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


<> se toman siempre en la dirección r positiva al efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es

 g R2 vz  4

  r 2  r  2 1     2 a ln    R    R 

b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.

 gW  3 c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación Q  si el 3 espesor de la película es muy pequeño.

  g R4 (1  4 a 2  3 a 4  4 a 4 ln a) ; c) Escribir el caudal como Respuesta: b) Q  8 Q

  g ( R) ( R 3 ) (1  4 a 2  3 a 4  4 a 4 ln a) . Por analogía entre el sistema rectangular y 8

el sistema cilíndrico se tiene que el ancho de la película es W  2  R , de donde R  el espesor de la película es   a R  R  R (a  1) , de donde R 3  sustituidas

Q

R

R3

y

en

la

ecuación

del

3 (a  1) 3

W y 2

. Al ser

caudal

queda

 g W  3   1  4 a 2  3 a 4  4 a 4 ln a    . Finalmente, demostrar aplicando la Regla de  16 (a  1) 3    1  4 a 2  3 a 4  4 a 4 ln a 1  . a 1 3 16 (a  1) 3

L´Hopital (3 veces) que lim

24. Flujo de Bingham en un tubo capilar. Un fluido cuyo comportamiento se ajusta muy aproximadamente al modelo de Bingham circula por un tubo vertical en virtud de un gradiente de presión y/o la aceleración de la gravedad. El radio y la longitud del tubo son, respectivamente, R y L . Se desea obtener Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


17

Capítulo 3.


una relación entre la velocidad volumétrica de flujo, Q , y la combinación de las fuerzas de presión y gravedad que actúan sobre el fluido. 4  ( P0  PL ) R 4  4   0  1   0   ( P  PL ) R 1        ;  R  0 Respuesta: Q  8 0 L 2L  3  R  3  R  





25. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento. 26. Un tubo vertical de radio interno 3 cm está lleno de un fluido de Bingham (  0  600 Pa ,

  2000 kg/m 3 ) y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede o no fluir por el extremo inferior debido a la gravedad. Determine si el fluido sale o no del tubo. 27. ¿Qué diámetro de tubo vertical permitiría a la mayonesa (   1200 kg/m 3 ) fluir bajo su propio peso? 28. Se conecta un tubo de 3 mm de d.i. y de 100 mm de longitud a la base de un bote de mostaza dirigido recto hacia abajo. Cuando el bote está lleno (altura de 1 m) la mostaza sale por el tubo, pero cuando la altura en el tanque desciende hasta 0.4 m el flujo se para. A partir de la información anterior encuéntrese la tensión de fluencia de la mostaza, un plástico de Bingham de densidad   1200 kg/m 3 . 29. Se tiene una tubería horizontal de longitud L con un fluido Bingham dentro de ella (ver figura). Si se quiere que la mitad del fluido (en volumen) se mueva con una velocidad uniforme, calcule, despreciando los efectos de la gravedad: a) Perfil de velocidades, b) La caída de presión por unidad de longitud (  p / L ) que hay que ejercer en el fluido, c) El caudal que pasa por la tubería y d) La fuerza F necesaria para mantener la tubería fija.



18

Capítulo 3.


30. Flujo no – newtoniano en un tubo. a) Deducir la fórmula análoga a la de Hagen – Poiseuille para el modelo de Ostwald – de Waele (ley de potencia). Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo del valor absoluto. Como para el flujo en un tubo

d vz es siempre negativo, la ley de la dr

potencia se transforma en este caso en

rz

d vz  m dr

n 1

d vz dv m  z dr dr

n 1

 d vz    dr

  dv   m   z   dr

  

n

(2.H-1)

Explicar cuidadosamente las transformaciones de la ecuación 2.H-1. b) Deducir una expresión de la velocidad volumétrica para el flujo en un tubo de un fluido de Ellis



d vz   0 r z  1  r z dr

 1

rz .

31. Se dispone de un tanque A, tapado en su extremo inferior con una lámina removible, tal como se muestra en la figura. Determine el tiempo necesario para llenar el tanque B (de 50 L de capacidad) a partir del tanque A, una vez removida la tapa, si: a) El fluido es Newtoniano:

 rz   

d vz ;   1150 kg/m 3 ;   80 cp. dr

b) El fluido sigue la ley de la potencia:



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Capítulo 3.

 rz


 dv  m   z  dr

  

n

m  2.5 dinas n / cm 2 ; n  0.6 ;   1150 kg/m 3 . c) El fluido sigue el modelo de Bingham:

 rz   0 :

d vz 0 dr

 rz   0 :  rz   0  

d vz dr

 0  300 Pa;   1150 kg/m 3 ;   80 cp.

Respuesta: t  15.43 s . 32. Se tiene un tanque I de diámetro D1  10 m, lleno de un fluido (   50 cp;

  800 kg/m3). El tanque I se mantiene a un nivel constante de 4 m. Se conecta el tanque I a otro tanque II de diámetro D2  1 m que se encuentra inicialmente vacío mediante una tubería de 2 cm de radio, tal como se muestra en la figura, de modo que pasa líquido al tanque II. Calcule el tiempo que transcurre hasta que el tanque II alcanza un nivel de 2 m. Considere que el flujo en la tubería es del tipo Hagen – Poiseuille.



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Capítulo 3.




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Capítulo 3.


BIBLIOGRAFÍA. BIRD, R. B, Fenómenos de Transporte. Editorial Reverté., Barcelona, 1996. ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012. GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición., Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994. MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall., México, 1996. STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial McGraw Hill., México, 1988.



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perfiles de velocidad

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