La enciclopedia de las demostraciones
Escrito Esc rito po porr Imanol Iman ol P´erez erez
1. Teor´ıa de n´ umeros
6
1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Infinitud de los n´ umeros primos . . . . . . . . . . .
6
1.3. Irracionalidad de
√ 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4. Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5. Irracionalidad de e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.6. El caso n = 4 del ´ultimo teorema de Fermat . . . .
16
1.7. Divergencia de la serie arm´ onica . . . . . . . . . . .
18
1.8. Divergencia de la suma de los inversos de los n´ umeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.9. Problema de Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.10. Identidad de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
6
´ 2. Algebra
24
2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2. Teorema fundamental del a´lgebra . . . . . . . . . .
24
2.3. El binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3. An´ alisis
29
3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.3. Regla de l’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.5. Teorema del valor medio de Cauchy . . . . . . . . .
34
3.6. C´alculo de la integral de Gauss . . . . . . . . . . .
35
7
3.7. F´ormula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Otros
36
38
4.1. Los puentes de K¨onigsberg . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2. Demostraci´ on sin palabras de la f´ormula para calcular el ´area de un c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3. Demostraci´ on sin palabras de que la cardinalidad de la recta de los n´umeros reales es la misma que la de un intervalo de la recta de los n´umeros reales . . . .
41
4.4. Demostraci´ on sin palabras de la suma de los primeros umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . n n´
5. Problemas no resueltos de las matem´ aticas
41
42
5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.2. Hip´ otesis de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
8
5.3. Conjetura de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.4. Conjetura de Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.5. P contra NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.6. Conjetura de los n´ umeros primos gemelos . . . . . .
46
5.7. Existencia de n´ umeros perfectos impares . . . . . .
47
6. Bibliograf´ıa
49
9
1.
Teor´ıa de n´ umeros
1.1.
Introducci´ on
La teor´ıa de n´umeros es la rama de las matem´aticas que estudia las propiedades de los n´umeros y es una de las primeras ramas de la matem´atica en ser estudiadas. Euclides, Fermat y Euler son algunos de los matem´aticos m´as importantes en esta rama. Hoy en d´ıa sigue habiendo problemas irresueltos como la conjetura de Goldbach, seg´ un el cual todos los n´ umeros pares pueden expresarse como suma de dos n´umeros primos.
1.2.
Infinitud de los n´ umeros primos
La infinitud de los n´umeros primos fue demostrada por primera vez por Euclides utilizando el reductio ad absurdum , m´etodo que ´el mismo invent´o.
10
Supongamos que los n´ umeros primos son finitos. Sea A el con junto de todos los n´umeros primos: A = p1 , p2 , p3 ,...,pn . Sea S el producto de todos los n´umeros primos m´as uno:
S = p 1 p2 ... pn + 1
· · ·
S puede ser compuesto o primo. Si es compuesto, debe de haber
un pi
∈ A tal que p divide a S . Sin embargo: i
p1 p2 ... pn + 1 p1 ... pi−1 pi ... pn + 1 = = pi pi
· · ·
· ·
· · ·
p1 ... pi−1 pi+1 ... pn +
· ·
·
· ·
1
pi
El cual no es un n´umero entero. Por lo tanto, S ha de ser primo. Como esto es una contradicci´on del supuesto original, el conjunto de los n´ umeros primos no puede ser finito.
1.3.
√ Irracionalidad de 2
Para esta demostraci´on se utilizar´a el descenso infinito , aunque existen numerosas demostraciones utilizando otros m´etodos. 11
Supongamos que
√ 2 es racional. Por lo tanto, se puede escribir
de la siguiente manera:
√ 2 = p
q
√ Donde p y q son enteros positivos. Ahora se demostrar´a que 2 es igual a otra fracci´on cuyo denominador tambi´en es positivo y menor que q . Esto implicar´ıa que se podr´ıa encontrar una sucesi´on de n´ umeros enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual no es posible. Operando en la expresi´on anterior obtenemos que:
p2 2= 2 q
Multiplicando ambos lados por q 2 obtenemos:
2q 2 = p 2
Utilizando esta igualdad, tenemos que:
2
p
2
− pq = 2q − pq ⇒ p( p − q ) = q (2q − p) ⇒ 12
2q p p = q q p
− −
p Como = q
√ 2: √ 2 = 2q − p q − p
Ahora se ver´a que 0 < p
1 <
2
p q
< 4
− q < q . Como
2
p q
= 2:
⇒ 1 < pq < 2 ⇒ q < p < 2q ⇒ 0 < p − q < q
Por tanto, hemos encontrado otro n´umero entero positivo menor que q tal que este n´umero es el denominador de una fracci´on
√ equivalente a 2. Si repetimos lo anterior con esta nueva fracci´on encontrar´ıamos otro entero positivo de estas caracter´ısticas, creando una sucesi´on de n´ umeros enteros positivos decreciente infinita-
√ mente. Como esto es imposible, la suposici´on inicial de que 2 es √ racional ha de ser falsa y, por lo tanto, 2 ha de ser irracinal. 1.4.
Postulado de Bertrand
El postulado de Bertrand establece que para todo n > 1 existe al menos un primo p tal que n < p < 2 n. 13
Figura 1: Joseph Bertrand. Par´ıs, 11 de marzo de 1822 - 5 de abril de 1900
Sea x un entero positivo mayor que 1. Definimos ν (x) como:
ν (x) =
log( p)
p≤x, p primo
Consideremos ahora lo siguiente:
1
1
1
ψ (x) = ν (x) + ν (x 2 ) + ν (x 3 ) + ν (x 4 ) + ... (1)
log[x]! = ψ (x) + ψ ( 12 x) + ψ ( 13 x) + ... (2)
Siendo [x] la parte entera de x. De (1) se tiene que: 14
ψ (x)
− 2ψ(√ x) = ν (x) − ν (x
1 ) + ν (x 13 ) 2
− ... (3)
Y de (2) obtenemos:
log[x]!
− 2log[
1 ]! 2x
= ψ (x)
− ψ (x
1 ) + ψ (x 13 ) 2
− ... (4)
Puesto que tanto ν (x) como ψ(x) son funciones crecientes, obtenemos a partir de (3) y (4) las siguientes desigualdades:
√ ψ (x) − 2ψ ( x) ≤ ν (x) ≤ ψ (x) (5) ψ (x)
− ψ(
1 x) 2
≤ log[x]! − 2log[
1 x]! 2
≤ ψ(x) − ψ(
1 x) + ψ ( 13 x) 2
(6)
Por otro lado, puede demostrarse que:
log(Γ(x))
− 2 log(Γ
1 x + 12 ) 2
log(Γ(x + 1))
≤ log[x]! − 2log[
− 2log(Γ
1 + 12 ) 2x
1 x]! 2
≤
(7)
Ahora, ayud´andonos de la aproximaci´on de Stirling, seg´ u n el cual n!
n
−n
≈n ·e
√ · 2πn, obtenemos de (7) que: 15
log[x]!
log[x]!
− 2log[
− 2log[
1 ]! 3 2 x < 4 x,
1 2 ]! x > x, 2 3
si x > 0 (8)
si x > 300 (9)
Uniendo ahora la informaci´on proporcionada por (6), (8) y (9) se ve que:
ψ (x)
ψ (x)
− ψ(
− ψ(
1 3 ) x < 2 4 x,
si x > 0 (10)
1 x) + ψ ( 13 x) > 23 x, 2
si x > 300 (11)
Si se toma la expresi´on (10) y si se sustituye x por 12 x, 14 x, 18 x , . . . y se suman los resultados, se obtiene que:
ψ (x) < 32 x, si x > 0 (12)
Uniendo en este punto la informaci´on proporcionada por (5) y (12) se llega a que:
16
1 2
ψ (x)
1 3
− ψ( x) + ψ( x) ≤ ≤ ν (x) + 2ψ(√ x) − ν ( x) + ψ( x) < (13) √ < ν (x) − ν ( x) + x + 3 x 1 2
1 2
1 3
1 2
Por otra parte, es evidente que:
1 x 6
− 3√ x ≥ 0, si x ≥ 324
Por lo tanto se tiene que:
ν (2x)
− ν (x) > 0, si x ≥ 162
Esto demostra el postulado de Bertrand para x > 162, ya que como ν (x) era la suma de los logaritmos de todos los n´umeros primos menores que x, y como ν (2x) > ν (x), se tiene que entre x y 2x tiene que haber alg´un primo para que ν (2x) sea mayor que ν (x). Si a continuaci´on se comprueba el postulado de Bertrand para todo x < 162, se demostrar´a el postulado de Bertrand.
17
1.5.
Irracionalidad de e
Asumamos que e es racional. Por lo tanto, se puede escribir de la forma:
a b
e =
Definimos ahora x como:
− b
x = b !
e
n=0
1 n!
(1)
a Como e = : b
x = b !
− a b
b
n=0
1 n!
b
= a (b
− 1)!
− n=0
b! n!
El primer t´ermino es entero, y cada fracci´o n en la suma es un entero ya que n
≤
ermino. Por lo tanto, x es un b para cada t´
entero. Ahora se demostrar´a que 0 < x < 1, lo cual supondr´ıa una contradicci´ on con lo dicho anteriormente, lo que supondr´ıa que e no es racional. 18
∞
El n´ umero e est´a definido como e =
n=0
(1) y operando tenemos que:
∞
x =
n=b+1
1 . Insertando esto en n!
b! n!
Para cada t´ermino de la sumatoria tenemos que:
1 b! = (b + 1)(b + 2)(b + 3) ...(b + ( n n!
1 ≤ − b)) (b + 1)
Cambiando el ´ındice de la sumatoria a k = n
n−b
− b y utilizando la
f´ormula para la serie geom´etrica infinita, se tiene que:
∞
x =
b! < n!
∞
n=b+1
k=1
1 1 = (b + 1) k b + 1
1 1
−
1 b+1
1
= l1 b
Como no hay ning´u n n´ umero natural entre el 0 y el 1, hemos llegado a una contradicci´on, y por lo tanto e ha de ser irracional.
19
1.6.
El caso n = 4 del u ´ ltimo teorema de Fermat
El u ´ ltimo teorema de Fermat, formulado por Pierre de Fermat en 1637, establece que si n es un n´umero natural mayor que 2 entonces no existen n´umeros enteros no nulos a, b y c tales que ongase que existen tres n´umeros x, y y z tales que an + bn = c n . Sup´ x4 + y 4 = z 4 . Esto se puede reescribir como ( x2 )2 + ( y 2 )2 = (z 2 )2 .
Por lo tanto, (x2 , y 2 , z 2 ) ha de ser una terna pitag´orica. Como toda terna pitag´orica ha de tener la forma (2 pq, p2 igualar (x,y,z ) y (2 pq, p2
2
− q , p
2
2
2
2
− q , p + q ) podemos
+ q 2 ) miembro por miembro:
x2 = 2 pq y 2 = p 2
2
− q
z 2 = p 2 + q 2
Donde 0 < q < p y p y q tienen distinta paridad. De la segunda ecuaci´ on obtenemos que y 2 + q 2 = p 2 y, por lo tanto, y , q y p forman otra terna pitag´orica. Por lo tanto:
q = 2ab y = a 2 20
−b
2
p = a 2 + b2
Donde 0 < b < a y a y b tienen distinta paridad. Sustituyendo obtenemos que:
x2 = 2 pq = 4ab(a2 + b2 )
Por lo que ab(a2 + b2 ) ha de ser el cuadrado de
x
2
. Como ab y
(a2 + b2 ) son primos relativos, tanto ab como (a2 + b2 ) han de ser cuadrados. Supongamos que a = X 2 y b = Y 2 . Esto es suficiente para aplicar el descenso infinito, ya que suposici´on que se hizo al principio es que z 4 era un cuadrado, no una cuarta potencia. Dicho de otro modo, si x e y son enteros positivos tales que x4 + y 4 es un cuadrado la demostraci´on anterior nos permite encontrar otros dos enteros positivos, X e Y , tales que X 4 + Y 4 es un cuadrado. Adem´ as:
X 4 + Y 4 = a 2 + b2 = p < p2 + q 2 = z 2 < z 4 = x 4 + y 4
Por lo que se tiene una sucesi´on infinita decreciente de n´ umeros enteros positivos. Como esto no es posible, queda probado el u´ltimo 21
teorema de Fermat para el caso n = 4.
1.7.
Divergencia de la serie arm´ onica
La serie arm´onica es la siguiente:
∞
n=1
1 n
Para demostrar su convergencia, ordenaremos la serie y lo comparamos con la siguiente serie:
∞
1
1 2
1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + + ... > 3 4 5 6 7 8 n n=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + ... = 1+ + + + ... > 1 + 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2
Como esta u ´ ltima serie diverge, entonces queda demostrado que la serie arm´onica tambi´en lo hace.
22
1.8.
Divergencia de la suma de los inversos de los n´ umeros primos
Para demostrar la divergencia de la suma de los inversos de los n´ umeros primos, consideremos primero la serie arm´onica y la f´ormula del producto de Euler:
∞
1
n=1
n
=
p
1 1
−1
− p
Tomando logaritmos en ambos lados y utilizando la serie de Taylor de log(1
− − − − ∞
log
− x) tenemos que:
n=1
1
1
= log
n
=
p−1
1
p
p
p
p
1
p
p
1
p
p
p2
p
1
p
1
+
p
1+
p2
1
+
p
p( p
1
+
− 1)
23
1
p
p−1
1 1 + + ... 2 p2 3 p3
1 1 1 + + 2 + ... 2 3 p 4 p
1
+
p
1
log
p
1
p−1 ) =
log(1
=
+
1
p2
+ ... 1
=
p
p
<
=
+ C
=
=
Siendo C una constante menor que 1. Puesto que la suma de los rec´ıprocos de los primeros n n´umeros enteros positivos es asint´otica a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a infinito ) se tiene:
∞
1
≈ n=1
n
log(n) si n
→∞
Sustituy´endolo en la expresi´ on de arriba y despreciando la constante C cuando n tiende a infinito, concluimos que:
1 1 1 1 + + + + ... = log log( ) 2 3 5 7
∞ →∞
1.9.
Problema de Basilea
El problema de Basilea consiste en encontrar la suma de los inversos de los cuadrados de los n´umeros naturales, es decir, encontrar el valor de:
∞
n=1
1 n2
24
Euler demostr´o que el valor de la suma era
π2
6
. Para demostrarlo,
consideremos el desarrollo de sin(x) utilizando la serie de Taylor:
sin(x) = x
x3
x5
− 3! + 5! − ...
Dividimos ambos lados entre x y tenemos que:
sin(x) x
Las ra´ıces de
sin(x)
=1
x2
x4
− 3! + 5! − ...
son nx, donde n es un n´umero entero. Asu-
x
mamos que podemos expresar esta serie infinita como producto de factores lineales dados por las ra´ıces, de la misma forma que hacemos con los polinomios finitos:
sin(x) x
x π
x π
x 2π
x ... = 2π
− − − −
= 1
1
1+ x2 π2
1
1
x2 4π 2
1+
...
Si calculamos la multiplicaci´on veremos que el coeficiente de x2 es:
25
−
1
1 1 + + + ... 4π 2 9π 2 π2
=
1
−π
2
∞
n=1
1 n2
Del desarrollo de la serie de Taylor tenemos que el coeficiente de x2 ha de ser
−
1 3!
=
−
1 . 6
Como los dos coeficientes han de ser
iguales, tenemos que:
−
1 = 6
1
−π
2
∞
n=1
1 n2
Y, por lo tanto:
π2
6
1.10.
∞
=
n=1
1 n2
Identidad de Cassini
La identidad de Cassini establece que, si F k es el k-´esimo n´ umero de Fibonacci, entonces F n+1 F n−1
2
− F
n
= ( 1)n . Se demostrar´a por
−
inducci´on. Para n = 1, se ve que se cumple que F 2 F 0
2 1
− F
= ( 1)1 .
Supongamos que la identidad es cierta para n = k : F k+1 F k−1 ( 1)k . Entonces, ha de ser cierta para n = k + 1:
−
26
− −F
2
k
=
Fk+2F k
2
− F
k+1
= (F k + F k+1 ) F k = F k2 + F k F k+1 = F k2 + F k F k+1 = F k2 + F k F k+1 = F k2
2
k+1
2
− F − F (F + F − F F − F
k +1
k+1
k
k
k +1
k
k+1
2
k
k −1
)
k+1 F k −1
(3) (4) (5)
k −1
k−1
(2)
k+1
− F F = (−1) F F − F = (−1) (−1) = (−1) k+1
(1)
− F
(6) (7) (8) (9)
27
´ Algebra
2.
2.1.
Introducci´ on
El ´algebra es la rama de las matem´aticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del ´algebra elemental). Su origen se romonta a los antiguos babilonios, que hab´ıan desarrollado un avanzado sistema aritm´etico con el que fueron capaces de hacer c´alculos en una forma algebraica. Utilizaron este sistema para encontrar valores desonocidos.
2.2.
Teorema fundamental del a ´lgebra
El teorema fundamental del ´algebra establece que todo polinomio en una variable de grado n = 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una ra´ız (real o compleja). Para la demostraci´ on, consideremos p un polinomio de grado n, siendo p una funci´on entera. Para cada m positivo, existe un n´ umero real y positivo r tal que:
28
| p(z )| > m, si |z | > r Si p no tiene ra´ıces, entonces la funci´on f = p1 es una funci´on entera con la propiedad de que para cualquier n´umero real > 0,
∃r positivo tal que: |f (z )| < , si |z | > r Por lo tanto, la funci´on f es acotada. Sin embargo, seg´u n el teorema de Liouville si f es una funci´on entera y acotada, f ha de ser una constante, lo cual es imposible. Por lo tanto, f no puede ser entera y p tiene como m´ınimo una ra´ız. En consecuencia, p puede escribirse como el siguiente producto:
p(z ) = (z
− z )q (z ) 1
Siendo z 1 una ra´ız de p y q un polinomio de grado n repetimos estos pasos n
− 1. Si
− 1 veces, llegamos a la conclusi´on que:
p(z ) = k (z
− z )(z − z ) · · · (z − z ) 1
2
29
n
Donde z 1 , z 2 , z 3 ... z n son las ra´ıces de p y k es una constante. De esta manera queda demostrado el teorema fundamental del ´algebra.
2.3.
El binomio de Newton
A continuaci´on se demostrar´a por inducci´on el binomio de Newton, el cual establece que:
n
n
(a + b) =
k=0
n n−k k a b k
Vemos que para el caso n = 1 se cumple que:
1
(a + b)1 =
k=0
1
k
a1−k bk = a + b = (a + b)1
Supongamos ahora que es cierto para todo n = k :
k
(a + b)k =
i=0
k k −i i a b i
Si se cumple para todo k, tambi´en ha de cumplirse para k + 1: 30
k+1
k +1
(a + b)
=
k + 1 k+1−i i a b i
i=0
Como (a + b)k+1 = (a + b) (a + b)k , y si aplicamos la hip´otesis
·
inicial, obtenemos que:
(a + b)k+1 = (a + b) (a + b)k =
· · − − − k
k
k k −i i a b = a i i=0
= (a + b)
i=0 k
k k −i i a b = i
+b
i=0
k
=
i=0
k k+1−i i a b + i k
k
=
ak+1 +
0
i=1
k+1
k
+
=
k
k
a
0
i=1
= +
k + 1
0
k+1 k+1
+
i=1
k
+
k+1
k
i
k k−i i+1 = a b i
i=0
k k+1−i i a b+ i
k k+1−i i a b+ i
k k+1 = b k
ak−(i−1) bi +
1
k
ak+1 +
bk+1 =
k
ak−(i−1) bi =
1
i
i=1
k k−i i a b+ i
i=1
k + 1
0
k i
k
+
i
k
ak+1 +
i=1
31
1
ak+1−i bi +
k + 1 k+1−i i a b+ i
k+1
k +1 k +1
+
b
k+1
=
i=0
32
k + 1 k+1−i i a b i
3.
An´ alisis
3.1.
Introducci´ on
El an´alisis empez´ o a desarrollarse a partir del surgimiento del c´alculo en el siglo XVII. Sin embargo, algunos matem´aticos griegos ya hicieron un uso informal de los conceptos de l´ımite y convergencia.
3.2.
Regla de Barrow
La regla de Barrow, tambi´ en conocido como el segundo teorema fundamental del c´alculo, establece que dada una funci´on f (x) continua en el intervalo [ a, b] y si F (x) es una funci´on primitiva de f (x), entonces
b a
f (x)dx = F (b)
− F (a).
Para la demostraci´on, consideremos que:
x
F (x) =
a
33
f (t)dt
El primer teorema fundamental del c´alculo establece que:
F (x) = f (x) = g (x) x
∀ ∈ [a, b]
Por lo tanto,
∃c ∈ R : ∀x ∈ [a, b], F (x) = g (x) + c Observamos que
0 = F (a) = g (a) + c
Y, por lo tanto, c =
−g(a). Sustituyendo tenemos que: F (x) = g (x)
− g(a)
Si x = b , tenemos que:
b
f (t)dt = F (b) = g (b)
a
34
− g(a)
Que es lo que se quer´ıa demostrar.
3.3.
Regla de l’Hˆ opital
La regla de L’Hˆopital establece que siendo f (x) y g (x) dos funciones definidas en el intervalo [a, b], y f (c) = g (c) = 0, con c
∈ (a, b) y g (x) = 0 si x = c, y adem´as f (x) y g(x) son derivables
en (a, b), entonces:
f (x) f (x) l´ım = l´ım x→+c g (x) x→+c g (x)
Para la demostraci´on, asumamos que tanto f (x) como g (x) son derivables en c. Como f (c) = g(c) = 0,
f (x) g (x)
se puede escribir de la
siguiente forma:
f (x) f (x) = g (x) g (x)
− −
f (x) f (c) x = g (x) g (c) x
− f (c) −c − g(c) −c
Como tanto f (x) como g (x) son derivables en c, utilizamos la definici´on de la derivada y tenemos que: 35
f (x) f (x) x l´ım = l´ım x→+c g (x) x→+c g (x) x
3.4.
− f (c) −c = − g(c) −c
f (x) l´ım x→+c g (x)
Teorema del valor medio
El teorema del valor medio establece que si f (x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe un c dentro del intervalo abierto (a, b) tal que:
f (c) =
f (b) b
− f (a) −a
Esto implica que la tangente de f (x) en c es paralela a la secante que pasa por los puntos P (a, f (a)) y R(b, f (b)).
Para la demostraci´on, definamos la funci´on g(x) como la recta que pasa por el punto P y R:
g (x) = f (a) +
f (b) b
36
− f (a) (x − a) −a
Figura 2: Representaci´on gr´ afica del Teorema de valor medio
Despu´es, definimos ψ(x) de la siguiente manera:
ψ (x) = f (x)
− g(x) = f (x)
−
f (b) f (a) + b
− f (a) (x − a) −a
Observamos que ψ(a) = ψ (b) = 0. Adem´ as, como f (x) es continua en [a, b] y derivable en ( a, b), ψ(x) tambi´en tiene que serlo. Por lo tanto, ψ (x) satisface las condiciones del teorema de Rolle, y por lo tanto, ha de existir un c
∈ (a, b) tal que:
0 = ψ (c) = f (c)
37
− f (bb) −− f a (a)
Y, por lo tanto:
f (c) =
3.5.
f (b) b
− f (a) −a
Teorema del valor medio de Cauchy
El teorema del valor medio de Cauchy establece que, si f (x) y g (x) son continuas en [ a, b] y derivables en ( a, b), entonces existe
alg´ un c
∈ (a, b) tal que: f (c) f (b) = g (c) g (b)
− f (c) − g(a)
Para la demostraci´on, definamos ψ(x) de la siguiente forma:
ψ (x) = [g (b)
− g(a)] · [f (x) − f (a)] − [f (b) − f (a)] · [g(x) − g(a)]
Se tiene que ψ (a) = ψ (b) = 0. Por lo tanto, seg´un el teorema de Rolle, ha de existir un c
∈ (a, b) tal que ψ (c) = 0. Derivando ψ(x)
se tiene que:
38
ψ (x) = [g (b)
− g(a)] · f (x) − [f (b) − f (a)] · g (x)
Como ψ (c) = 0:
0 = [ g ( b)
− g(a)] · f (c) − [f (b) − f (a)] · g (c)
Y, despejando, obtenemos que:
f (c) f (b) = g (c) g (b)
3.6.
− f (c) − g(a)
C´ alculo de la integral de Gauss
La integral de Gauss es la siguiente:
+∞
2
e−x dx =
√ π
−∞
Para su c´alculo utilizaremos el c´alculo integral de dos variables.
Mediante el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita como: 39
−(x2 +y2 )
e
+∞
dxdy =
R2
+∞
−x2
e
e−(x
−∞ −∞ +∞ −y 2
·
dx
−∞
+∞
e
dy
−∞
2 +y 2 )
dxdy =
+∞
=
2
−x2
e
−∞
dx
Por otro lado, aplicando un cambio de coordenadas a coordenadas polares:
−(x2 +y 2 )
e
2π
dxdy =
R2
+∞
0
re
−r 2
+∞
drdθ = 2π
0
2
re−r dr = π
0
+∞
Por lo tanto, tenemos que
2
e−x dx =
√ π.
−∞
3.7.
F´ ormula de Euler
La f´ormula de Euler establece que eiz = cos z + i sin z .
Utilizando la serie de Taylor para las funciones ex , cos x y sin x tenemos que:
ex =
x0
0!
+
x1
1!
+
x2
2!
40
+
x3
3!
+ ... (1)
cos x =
sin x =
x0
0!
x4
x3
x5
− 2! + 4! − ...
x1
1!
x2
− 3! + 5! − ...
Tomando (1) y haciendo x = iz tenemos que:
(iz )0 (iz )1 (iz )2 (iz )3 + + + + ... = e = 0! 1! 2! 3! iz
z 0
0!
0
z
2
4
+
z 1
z 2
z 3
z 4
z 5
+ + − ... = − − 1! 2! 3! 4! 5!
z z − + − ... 0! 2! 4!
+ i
1
3
z
5
z z − + − ... 1! 3! 5!
41
= cos z + i sin z
4.
Otros
4.1.
Los puentes de K¨ onigsberg
Figura 3: Los puentes de K¨onigsberg (izquierda) y su simplificaci´on (derecha)
En el r´ıo de la antigua ciudad de K¨onigsberg, actual Kaliningrado, hab´ıa dos islas, unidas a la ciudad mediante un total de 7 puentes. Los ciudadanos se divert´ıan tratando de adivinar si era posible cruzar los 7 puentes sin cruzar dos veces el mismo puente. Fue Euler quien encontr´o la soluci´ on al problema. Para ello, simplific´o los puentes y las islas tal y como se puede ver en la figura 3. Euler demostr´o que no era posible cruzar todos los puentes sin cruzar dos veces por el mismo, puesto que para que esto sea posible debe haber a lo sumo 2 v´ertices de grado impar, esto es, debe haber a lo sumo 2 v´ertices de la que salgan un n´umero impar de aristas. Esto es debido a que para cada v´ertice tiene que haber una arista 42
que llega al v´ertice y otra que sale, excepto en el inicio y en el final, que pueden tener un grado impar.
43
4.2.
Demostraci´ on sin palabras de la f´ ormula para calcular el ´ area de un c´ırculo
44
4.3.
Demostraci´ on sin palabras de que la cardinalidad de la recta de los n´ umeros reales es la misma que la de un intervalo de la recta de los n´ umeros reales
4.4.
Demostraci´ on sin palabras de la suma de los primeros umeros naturales n n´
45
5.
Problemas no resueltos de las matem´ aticas
5.1.
Introducci´ on
Actualmente existen muchos problemas que no han sido resueltos a´ un. Algunos fueron propuestos hace unas pocas d´ecadas, pero otros llevan siglos sin resolverse. En esta secci´on se hablar´a sobre estos problemas.
5.2.
Hip´ otesis de Riemann
La funci´on zeta de Riemann se define de la siguiente manera:
∞
ζ (s) =
n=1
Donde s
1 ns
∈ C. La funci´on zeta de Riemann est´a estrechamente
relacionada con los n´ umeros primos, tal y como lo mostr´o Leonhard Euler:
46
∞
ζ (s) =
1
n=1
ns
=
p∈P
1 1
−s
− p
Bernhard Riemann conjetur´o en 1859 que la parte real de los ceros no triviales de la funci´on zeta de Riemann es 12 . Por lo tanto, todos los ceros no triviales de la funci´on zeta de Riemann tendr´ıan que encontrarse en la l´ınea cr´ıtica s =
1 2
+ it, con t
∈ R.
Riemann mencion´o por primera vez la hip´otesis que lleva su nombre en su trabajo “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨osse”(Sobre los n´ umeros primos menores que una magnitud dada). La hip´otesis de Riemann est´a inclu´ıda en la famosa lista de 23 problemas no resueltos de Hilbert. Tambi´en es uno de los Siete Problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathemtics Institute en el a˜no 2000.
5.3.
Conjetura de Goldbach
Seg´ un la conjetura de Goldbach, todo n´umero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos n´umeros primos. En realidad, ser´ıa m´as acertado llamarlo la conjetura fuerte de Goldbach, puesto
47
que tambi´en existe la conjetura d´ebil de Goldbach, seg´ un el cual todo n´ umero impar mayor que 7 puede escribirse como suma de tres n´ umeros primos impares. Christian Goldbach, el autor de la conjetura, mencion´o por primera vez la conjetura que hoy en d´ıa lleva su nombre en una carta dirigida a Euler en 1742. Al igual que la hip´otesis de Riemann, la conjetura de Goldbach es uno de los 23 problemas de Hilbert.
5.4.
Conjetura de Collatz
Sea n un entero positivo. Si n es par, entonces dividamos n entre 2. Si, por otro lado, n es impar, multipliqu´emoslo por 3 y sum´emosle 1. Esto es igual a la funci´on f : N
f (n) =
→ N:
n
si n es par
2,
3n + 1 , si n es impar
Lothar Collatz conjetur´o en 1937 que si iteramos un n´umero entero positivo n al final siempre alcanzaremos el 1 y, por lo tanto, el ciclo 4, 2, 1. Todav´ıa no se ha demostrado este hecho, pero se sabe que si existe un contraejemplo a la conjetura de Collatz, deber´a de 48
tener una ´orbita no acotada o una ´orbita peri´odica distinta a la ´orbita 4, 2, 1.
La computaci´on distribuida ha ayudado a comprobar la conjetura de Collatz para n´umeros muy altos. En noviembre del a˜no 2005, se hab´ıa comprobado la conjetura para todo n´umero menor que 258 . Sin embargo, esto no puede considerarse como demostraci´on de la conjetura, puesto que es imposible comprobar la conjetura de Collatz para todo entero positivo.
5.5.
P contra NP
Un problema es de tipo P si existe un algoritmo que lo resuelva en tiempo polinomial. Por otro lado, un problema es de tipo NP si existe un algoritmo que verifique una soluci´on en tiempo polinomial. El problema P contra NP, el cual es uno de los Siete Problemas del Milenio, consiste en demostrar que P=NP, es decir, que si se puede comprobar la soluci´on de un problema en tiempo polinomial, entonces tambi´en se puede resolver el problema en tiempo polinomial.
Aunque el problema sigue sin soluci´on, han habido muchos in49
tentos a lo largo de los a˜nos. Uno de ellos fue protagonizado por Vinay Deolalikar, investigador de la empresa HP en Palo Alto. Vinay Deolalikar asegur´o que hab´ıa demostrado que P = N P . Sin
embargo, la demostraci´on result´o ser err´onea.
5.6.
Conjetura de los n´ umeros primos gemelos
Se dice que dos n´umeros primos p1 y p2 son gemelos si p2
−
p1 = 2. La conjetura de los n´umeros primos gemelos postula la
existencia de infinitos n´ umeros primos gemelos. Esta conjetura se puede generalizar, tal y como lo hizo Alphonse de Polignac en 1849. As´ı, Alphonse de Polignac postul´o que para todo n´umero natural umeros primos cuya diferencia es 2 k. k , existen infinitos pares de n´
A lo largo de los a˜nos se han realizado diversos acercamientos a la soluci´on del problema. Uno de ellos fue protagonizado por Erd¨os, quien demostr´o que existe una constante c < 1 tal que existen infinitos n´ umeros primos p tal que p0
− p < c ln( p), donde p es el 0
n´umero primo que sigue a p. En el a˜no 2005 este resultado fue me jorado significativamente tras la demostraci´on por parte de Daniel Goldston, J´anos Pintz y Cem Yildirim de que el resultado es v´alido 50
para todo c > 0. Por otro lado, en 1973 Jing-run Chen prob´o que existen infinitos n´ umeros primos p tal que p + 2 es, a lo sumo, producto de dos n´umeros primos.
Otra generalizaci´on de la conjetura de los n´umeros primos es la conjetura de Hardy-Littlewood. Sea π2 (x) la cantidad de n´umeros primos p menores que x tal que p + 2 tambi´en es primo. Sea C 2 la constante de los n´ umeros primos, definida de la siguiente manera:
C 2 =
p( p 2) ( p 1)2 ≥3
− ≈ 0,66016... −
p
La conjetura postula que:
x
π2 (x)
5.7.
∼ 2C
2
2
dt (ln t)2
Existencia de n´ umeros perfectos impares
Se dice que un n´umero natural k es un n´umero perfecto si la suma de sus divisores (sin tener en cuenta el propio n´umero) es igual a s´ı mismo. El 6 es el menor n´ umero perfecto, puesto que 51
sus divisores son el 1, 2 y el 3, y 1 + 2 + 3 = 6. Actualmente se desconoce si existen n´ umeros perfectos impares. Sin embargo, si existieran tendr´ıan que cumplir algunas condiciones. Por un lado, el n´ umero perfecto impar deber´a ser mayor que 10 300 , deber´a tener 8 factores primos o m´as, excepto si no es divisible entre 3, en cuyo caso tendr´a que tener como m´ınimo 11.
52
6.
Bibliograf´ıa 1. Journal of the Indian Mathematical Society. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://www.imsc.res.in/ rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm
2. Dos demostraciones de la irracionalidad de ra´ız de 2. Gaussianos. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/
3. El postulado de Bertrand. Gaussianos. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/
4. ¿Por qu´ e el caso n=4 es tan importante?. Gaussianos. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://gaussianos.com/¿por-que-el-caso-n4-es-tan-importante/
5. Mathematical Association of America. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://www.maa.org/pubs/Calc articles/ma018.pdf
6. Proofs without words. Math Overflow. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://mathoverflow.net/questions/8846?sort=votespage=1
7. Cassini’s Identity. Proof Wiki. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://www.proofwiki.org/wiki/Cassini’s Identity
53
