1
TOPIK 8 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Tujuan : 1. Mahasiswa mampu menentukan panjang sisi dan sudut segitiga siku-
siku dengan perbandingan trigonometri. 2. Mahasiswa mampu menggunakan identitas dalam menyelesaikan soal trigonometri. 3. Mahasiswa mampu menentukan panjang sisi dan sudut suatu segi tiga dengan aturan sinus dan cosinus Sub Topik : 1. Perbandingan Trigonometri.
2. Identitas. 3. Aturan Sinus dan Cosinus.
1. Perbandingan rigonometri.
Jika dalam suatu segitiga ABC siku-siku di A (spt. Gambar ) , maka : C
BC disebut Hipotenusa/Sisi Miring AC dan AB disebut Sisi Siku-siku : AC = Sisi depan α AB = Sisi pada α
A
B
Dalam segitiga siku-siku berlaku : Sin α
=
Sisi Depan α
=
Sisi Miring Cos α
=
Sisi Pada α
BC =
Sisi Miring Tangen α
=
Sisi Depan α
=
Sisi Pada α
=
=
Sisi Miring Sisn Pada
α
AC . AB
=
Sisi Depan α Secan α
AB . BC
Sisi Miring Cotangen α
AC .
AB . AC
=
BC AB
=
1 Cos
.
α 1
2 Cosecan α
=
Sisi Miring
=
BC
Sisi Depan α Contoh :
B
=
AC
1 Sin
.
α
Segitiga ABC siku-siku di B. Tentukan : Sins α, Cos α, Sec α, Tg
β, Cotg β, Cosec β
α
A
β C Jawab :
Sin α =
Cos α = AB/AC
BC/AC
Sec α = AC/AB
Tg β
Cotg β = BC/AB
Cosec β = AC/AB
= AB/BC
Contoh : Diketahui spt. Gambar. , Hitung x. 12 Cm P
45
Q
o
▲PQR siku-siku di Q ▲ = simbol segitiga
o
15
T x
R Jawab :
x = QR – QT ; QT = …? ; QR = …? o
QT PQ
= Tg 45
QR PQ
= Tg 60
o
QT = PQ. Tg 45
o
QT = 12. 1 = 12 o
QR = PQ Tg 60
QR = (12).(√3) = 12√3
x = QR – QT = (12√3 – 12) Cm
Sudut-sudut Istimewa. o
o
o
o
o
Sudut-sudut istimewa 0 , 30 , 45 , 60 , 90 , … nilainya didapat dari perbadingan trigonometri pada segitiga sama sisi dan segitiga siku-siku siku-siku sama kaki. Segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi-sisinya sisi-sisinya diambil 2 satuan, titik D tengah-tengan AB (Gamb. 1) Segitiga sama kaki PQR siku-siku di P dan PR = QR = 1 satuan (Gamb. 2) 2
3 C
R o
2 30
√2
1
√3
o
60
A
2
o
45
1 D 1
Sudut α
B
o
P o
0
30
45
1
o
o
Q o
60
90
Fungsi
Sin α
0
½
½√2
½√3
1
Cos α
1
½√3
½√2
½
0
α
0
⅓√3
1
√3
~
~
√3
1
⅓√3
0
Tg
Cotg
α
o
o
Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0 s/d 360 dan Lebih dari 360
o
Bidang Koordinat Kartesiu dibagi dalam 4 kwadrant yaitu kwadrant : I, II, III dan IV. o
α < 90o
Kwadrant I
: 0 <
Kwadrant II
: 90 <
Kwadrant III
: 180 <
Kwadrant IV
: 270 <
o
α disebut sudut Lancip
α < 180o
α disebut sudut Tumpul
o
α < 270o
o
α < 360o
α disebut sudut Refleks
Sb-y Kwd. II
Kwd. I
!
P ( -x,y)
P(x,y) r
1800-
α
r
α -x
x
Sb-x
a. Dalam Kwdrant I berlaku : Sin α = y/r ;
Cos α = x/r
Pada kwadrant I :
;
Tg α = y/x ;
Cotg α = x/y
nilai x, y dan r positif, maka semua nilai perbandingan trigonometri
Positif
b. Dalam Kwdarant II berlaku : Sin(180 - α )
=
y/r
=
Cos(180 - α )
=
-x/r
= - Cos α
o
o
Sin α
3
4 Tg(180 - α ) o
=
y/(-x)
CoTg(180 - α ) = o
= - Tg α = - Cotg α
-x/y
Dalam Kwadrant II hanya fungsi Sinus yang berniali Positif. c. Dalam Kwdrant III berlaku : o -x
180
+α
Sb-x
360 - α o
r
r
!!!
P (-x,-y)
P
!V
( x,-y)
Sb-y
Sin(180 + α)
=
- y/r
=
- Sin α
Cos(180 + α)
=
- x/r
=
- Cos α
Tg(180 + α)
=
- y/(-x)
=
Tg α
Cotg(180 + α)
=
- x/(-y)
=
Cotg α
o
o
o
o
Dalam Kwadrant III hanya fungsi Tg dan Cotg yang berniali Positif. d. Dalam Kwadrant IV berlaku : Sin (360 - α)
=
- y/r
=
- Sin α
Cos (360 - α)
=
x/r
=
Cos α
Tg (360 - α)
=
- y/x
=
- Tg α
Cotg (360 - α)
=
x/-y
=
- Cotg α
o
o
o
Dalam Kwadrant IV hanya fungsi Cos yang berniali Positif.
Jadi dapat disimpulkan :
Sb-y
Kwd. II
Kwd. I
Sinus +
Semua +
Sb-x
Contoh :
o
Kwd. III
Kwd. IV
Tg & Cotg +
Cosinus +
Cos 135 = …? ; o
o
135 ada dikwadrant II maka o
o
Cos 135 = Cos(180 – 45 ) 4
5 o
= - Cos 45 Contoh :
o
= - ½√2
o
Tg 300 = ….? ; 300 ada dikwadrant IV, maka Tg 300 = Tg(360 – 60 ) = - Tg 60 = - √3 o
o
o
o
e. Sudut-sudut saling berpenyiku. Sin(90 - α)
=
Cos(90 - α)
= y/r = Sin α
Tg(90 - α)
= x/y = Cotg α
o
o
o
Sb-y
x/r = Cos α
y
P(x,y) o
90 -
r
Cotg(90 - α) = y/x = Tg α o
f.
Sudut lebih dari 360
x
sb-x
0
Jika titik P(x,y) membentuk sudut
α dengan sumbu-x positif diputar k kali
0
360 dengan arah putar positif, maka nilai fungsi tirgonometrinya akan sama dengan nilai semula, jadi berlakun : Sin(α + k.360 ) o
= Sin α
Cos(α + k.360 ) = Cos α o
Tg(α + k.360 )
= Tg α
o
Sb-y P(x,y) r Sb-x
Cotg(α + k.360 ) = Cotg α o
Sudut Elevasi
Jika, pada gambar 3, BC mewakili garis horizontal tanah dan AB mewakili garis vertikal tiang bendera, maka yang disebut dengan sudut elevasi tiang bendera tiang bendera , A dari titik C adalah sudut dimana garis lurus imajener AC ditarik ke atas (atau dinaikan) dari garis horizontal CB, yaitu sudut θ
Sudut Depresi
Jika, pada gambar 4, PQ mewakili sebuah tebing vertikal dan R adalah sebuah perahu di laut, maka sudut depresi kapal dari titik P adalah sudut di mana 5
6 garis lurus imajener PR ditarik ke bawah (atau diturunkan) ke arah perahu dari garis horizontal imajener, yaitu sudut θ
2. Identitas Suatu persamaan disebut identitas jika persamaan itu benar untuk semua 2
nilai variabel yang diberikan. Sebagai contoh dalam trigonometri sin = 1, bernilai benar untuk semua nilai
α + Cos2 α
α yang diberikan. Untuk Identitas
Trigonometri jelasnya jelasnya perhatikan segitiga segitiga siku-siku ABC. C b a A
B
c
Tg α = a/c Sin α = a/b Cos α = c/b
Sin α = (a/b) = a/c = Tg α Cos α (c/b)
Tg α = Sin α . Cos α
Jadi :
……….. (1)
Dalam torema Phytagoras berlaku : 2
b
= a
2
2
+ c
2
(a) Jika kedua ruas dibagi b maka 2
b
=
2
b
2
a b
+
2
2
2
c
1 = sin
2
b
sin α + Cos α = 1 2
Jadi :
α + Cos2 α
2
…………. (2)
2
(b). Jika kedua ruas dibagi c , maka : 2
b 2 c
=
2
a 2 c
+
2
c 2 c
2
Sec
α = Tg2 α + 1
6
7
Sec α = Tg α 2
Jadi :
2
+
1
………… (3)
2
(c) Jika kedua ruas dibagi a , maka : 2
b
2
=
a
2
a
a
2
+
2
Cosec
2
a
Cosec α = 1 + CoTg α 2
Jadi :
α = 1 + CoTg2 α
2
c
2
…………. (4)
Contoh : Sederhanakan : Cotg A +
Sin A 1 + Cos A
Jawab : Cotg A +
Sin A
=
1 + Cos A
Cos A +
Sin A
Sin A
1 + Cos A 2
= Cos A.( 1 + Cos A) + Sin A Sin A.( 1 + Cos A) 2
2
= Cos A + ( Cos a + Sin A ) Sin A.( 1 + Cos A)
=
Cos A + 1
.
Sin A.( Cos A + 1) =
1
.
Sin A =
Cosec A
3. Aturan Sinus dan Cosinus.
Untuk mencari panjang sisi-sisi dan besar sudut-sudut suatu segitiga dapat digunakan aturan Sinus dan Cosinus dengan syarat-syarat tertentu. Untuk jelasnya perhatikan pembahasan berikut :
7
8 (a)
Aturan Sinus.
Dalam segitiga ABC, dengan C
b = sisi di depan titik sudut B
C
c = sisi di depan titik sudut C
b A
a = sisi di depan titik sudut A
a D
B c
Aturan Sinus dapat digunakan jika : • •
Diketahui satu sisi dan dua sudut Diketahui dua sisi dan satu sudut di depan sisi yang diketahui.
Pada segitiga ABC : = Sin A
↔ CD = b Sin Sin A
CD = Sin B a
↔ CD = a Sin Sin B
CD b
Sehingga diperoleh :
b Sin A = a Sin B atau
a Sin A
=
b . Sin B
Jika dibuat garis tinggi dari A ke BC, maka dengan cara yang sama akan diperoleh hubungan : b Sin B
Jadi :
a Sin A
=
b Sin B
= c Sin C
=
c Sin C
.
.
Catatan : •
Aturan Sinus ini berlaku baik untuk segitiga lancip maupun maupun segitiga dengan sudut tumpul.
•
Jika d adalah diameter luar suatu segitiga maka berlaku : d
=
a Sin A
=
b Sin B
=
c . Sin C 8
9 Contoh :
Jika diketahui segitiga ABC dengan AB = 5 Cm, AC = 8 Cm , o
dan < B = 30 .
C
Hitung panjang semua sisi dan sudutnya.
o
A
30
Jawab :
B 8 Sin B
=
5 Sin C
↔
8 o Sin 30
=
5/8
o
Sin C = 5/8 . Sin 30
=
5 . Sin C
. ½ = 5/16 o
•
< C = Arc Sin(5/16) = 18,21
•
< A = 180 – ( 30 + 18,21 ) = 131,79
a Sin A
=
o
o
8 o Sin 30
↔a =
o
o
o
8.Sin 131,79 ½
= 11,92
Jadi a = 11,92 Cm (b) Aturan Cosinus
Aturan Cosinus digunakan jika : a.
diketahui dua sisi dan sudut apitnya.
b.
Diketahui ketiga sisi-sisinya.
Dalam segitiga ABC, dengan C
b = sisi di depan titik sudut B
b
A
a = sisi di depan titik sudut A
a D
c = sisi di depan titik sudut C B
CD tegak lurus AB
c Perhatikan ▲BCD : CD = a Sin B
; BD = a Cos B ; AD = c - BD
AD = c - a Cos B. Berdasarkan teorema phytagoras : 2
AC
2
2
= CD + AD
b
2
= ( a Sin B) + (c - a Cos B)
b
2
= a Sin B + c - 2ac Cos B + a Cos B
b
2
= a (Sin B + Cos B) + c - 2ac Cos B
2
= a + c - 2ac Cos B
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Dengan cara yang sama diperoleh : 2
= b + c - 2bc Cos A
2
= a + b - 2ab Cos C
a c
2
2
2
2
dan
9
10 Jadi Aturan Cosinus jika diketahui dua sisi dan satu satu sudut apitnya :
a2
= b + c - 2bc Cos A
2
= a + c - 2ac Cos B
2
= a + b - 2ab Cos C
b c
2
2
2
2
2
2
Jika diketahui ketiga sisinya maka dapat dicari sudutnya dan aturan di atas menjadi :
Cos A
2
=
2
b +c - a
2
2bc Cos B
2
=
2
2
a +c - b 2ac
Cos C
2
=
2
2
a +b - c 2ab
Contoh :
Diketahui ▲BCD dengan a = 6 Cm, b = 8 Cm, Cm, dan c = 12 Cm. Hitung diameter lingkaran luar segitiga tersebut.
Jawab :
diameter lingkaran luar Cos A
=
2
2
d =
b +c - a
a dengan Sin A
< A = …..?
2
2bc 2
2
2
=
8 + 12 - 6 2.8.12
=
64 + 144 - 36 192
=
172 192
=
0,8958
.
o
A
= Arc Cos 0,8958 = 26,4
d
=
a Sin A
=
6 = o Sin 26,4
6 0,44
= 13,5 Cm
Jadi diameternya diameternya : 13,5 Cm. Contoh : Diketahui
C
6 Cm 0
30 A
8Cm
B
10
11 Jawab : 2
2
2
2
2
2
AC = b = a + c - 2ac Cos B o
= 6 + 8 - 2.6.8 Cos 30 = 36 + 64 – 96 ½√3 = 100 - 48√3 AC
=
100 - 48√3
Cm
Rangkuman :
1. Perbadingan Trigonometri. Sin α
=
Sisi Depan α Sisi Miring
Cos α
=
Sisi Pada α Sisi Miring
Tangen α
=
Sisi Depan α Sisi Miring
Cotangen α
=
Sisi Pada α Sisi Depan α
Secan α
=
Sisi Miring Sisn Pada
Cosecan α
=
=
1
α
Sisi Miring Sisi Depan α
Cos =
.
α
1 Sin
.
α
2. Perbandingan trigonometri di masing-masing kuadrant Sb-y Kwd. II
Kwd. I
Sinus +
Semua +
Sb-x Kwd. III
Kwd. IV
Tg & Cotg +
Cosinus +
3. Identitas a. Tg α = Sin α . Cos α 2 b. sin α + Cos2 α = 1 11
12 c. Sec2α = Tg2 α
+
1
d. Cosec α = 1 + CoTg α 2
2
4. Aturan Sinus a Sin A
=
b Sin B
=
c . Sin C
5. Aturan Cosinus : a2
= b + c - 2bc Cos A
2
= a + c - 2ac Cos B
2
= a + b - 2ab Cos C
b c
2
2
2
2
2
2
Latihan
1. Tentukan panjang sisi AC, besar sudut C, dan sudut B
2. Lampu listrik di atas atas tengah-tengah meja dengan ketinggian 55 Cm, sinar yang 0 jatuh pada sisi-sisi luar meja membentuk sudut 36 dengan garis tinggi lampu. Hitung luas meja tersebut. Lampu 0
55 Cm 36
3. Seorang petugas survei mengukur sudut elevasi dari puncak gedung yang tegak 0
lurus adalah 19 . Ia bergerak 120 m mendekati gedung dan mendapatkan sudut 0
elevasi baru menjadi 47 . Tentukanlah tinggi dari gedung tersebut. 12
13 4. Sudut depresi dari sebuah kapal yang dilihat pada suatu saat tertentu dari puncak 0
tebing vertikal setinggi 75 m adalah 30 . tentukanlak kapal dari dasar tebing pada saat tertentu. Kapal berlayar menjauhi tebing dengan kecepatan tetap dan 1 0
menit kemudian sudut depresi dari puncak tebing menjadi 20 . Tentukanlah kecepatan kapal dalam km/jam 5. Buktikan : a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) β . Tan β + Cos β = Sec β b. Sin 6. Hitung semua besar sudut dan panjang sisi bangun datar bidang datar berikut : 10 m o
35
o
8m
25
7. Gaya 15 Newton dan 20 Newton bekerja pada sebuah benda dengan membentuk 0
sudut 60 . Tentukan a. Besar Resultan Gayanya. b. Tentukan besar sudut antara Resultan Gaya Gaya tsb. dengan gaya 20 N 8. Sebuah gedung berjarak 50 m dari seorang pengamat A. Titik B ( = ujung atas o
gedung) , ttk A, dan bidang datar membentuk sudut 35 . Penangkal petir dipasang pada titik B dengan titik C sebagai titik ujung penangkal petir. Jika
o
BAC = 20, Hitung :
a. Tinggi gedung.
C o
b. Tinggi penangkal petir dari ujung gedung.( = BC )
20
A
B 0
35
50 m
D
DAFTAR PUSTAKA
1. Stroud, K., 1987, Matematika untuk Teknik, Erlangga, Jakarta. 2. Sangka, I G N, 2011, Matematika Terapan I, Politeknik Negeri Bali, Badung.
13
