PERAMALAN PASUT DENGAN METODE LEAST SQUARE
5 .1 .1
Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Linear Regression Method) merupakan metode analisis harmonik pasang surut. Dengan metode ini kita bisa menentukan amplitudo (a) dan fasa ( ) konstituen pasang surut dari data time series y(t) (elevasi muka air laut). Dengan diketahuinya amplitudo dan fase untuk setiap komponen pasang surut kita bisa memprediksi pasang surut untuk jangka waktu tertentu, serta menentukan elevasi muka air penting misalnya MSL, LLWL, MHWL, dsb. Prinsip analisis harmonik pasang surut bertujuan untuk menghitung pasang surut yakni amplitudo dan fase komponen‐komponen pasang surut, sehingga dari keseluruhan konstanta ini akan dapat dibentuk grafik yang mendekati data pengukuran. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk analisis harmonik pasang surut adalah metode Least Square. Dalam Perhitungan Pasut ini, metoda Least Square digunakan untuk peramalan pasang surut. Pada bagian di bawah ini akan diuraikan metode Least Square untuk analisis harmonit pasang surut. K
yˆ i Ao Ak cos k t Bk sin k t k 1
(1)
dimana
Ak, Bk =
koefisien yang dihitung dengan metode Least Square.
K
=
jumlah konstituen yang diperhitungkan.
k
=
nomor konstituen.
k
=
kecepatan sudut (frekuensi) komponen pasut k
Dari model pasang surut di atas dapat dijabarkan sebagai berikut. K
K
k 1
k 1
yˆ i Ao Ak cos k t Bk sin k t
(2)
dengan
A0
=
harga elevasi muka air rata‐rata. N
yi i i
=
N
Ak, Bk =
harga yang dicari.
K
=
jumlah konstituen yang diperhitungkan.
k
=
konstituen ke‐k.
k
=
frekuensi sudut konstituen ke‐k.
t
=
waktu (data lapangan).
Berdasarkan metoda Least Square, error didefinisikan sebagai
y data y mod el
(3)
atau
y i yˆ i
(4)
Jika dinytakan dalam bentuk kuadrat, maka N
N
i 1
i 1
2 2 yi yˆ i s
(5)
Dengan mensubstitusikan Persamaan II.5, maka 2
K K s y i Ao Ak cos k t i Bk sin k t i i 1 k 1 k 1 N
(6)
2
K K s y i Ao Ak cos k t i Bk sin k t i k 1 i 1 k 1 N
(7)
Kondisi yang diperlukan agar jumlah kuadrat selisihnya minimum adalah turunan parsial Persamaan 7 terhadap komponen Ak dan Bk harus sama dengan nol. Dengan demikian maka
s 0 Ak
(8)
N K K s 2 y i Ao Ak cos k t i Bk sin k t i cos k t t 0 Ak i 1 k 1 k 1
(9)
s 0 Bk
(10)
N K K s 2 y i Ao Ak cos k t i Bk sin k t i sin k t t 0 Bk i 1 k 1 k 1
(11)
dan
Dua persamaan terakhir dapat diuraikan sebagai berikut. N
K
N
K
N
N
i 1
k 1
i 1
k 1
i 1
i 1
N
K
N
K
N
N
i 1
k 1
i 1
k 1
i 1
i 1
Ak cos k t t cos k t i Bk cos k t t sin k t i A0 cos k t i y i cos k t i
(12)
Ak sin k t t cos k t i Bk sin k t t sin k t i A0 sin k t i yi sin k t i
(13)
Dalam bentuk matrik K N cos t cos k t i k i k 1 i 1 K N sin k t i cos k t i k 1 i 1
N Ak N A0 cos k t i y i cos k t i i 1 i 1 k 1 i 1 = N N N K sin k t t sin k t i B A0 sin k t i y i sin k t i i 1 k 1 i 1 k i 1 N
K
cos k t i sin k t i
(13)
untuk 1 buah konstituen, K=1
N 2 cos 1t i i 1 N sin 1t i cos 1t i i 1
N
i 1
N N A cos t y i cos 1t i 0 1 i i 1 i 1 = N N B A0 sin 1t i y i sin 1t i i 1 1 i 1
cos 1t i sin 1t i A1 N
sin 2 1t i i 1
(14)
Untuk 2 buah konstituen, K=2, jika dinyatakan dalam persamaan matrik
C X D
(15)
Maka N 2 cos 1ti i 1 N sin 1ti cos 1ti i 1 C N cos t cos t 2 i 1 i i 1 N sin t cos t 2i 1i i 1
N
cos t sin t 1 t
i 1 N
sin i 1
2
1 i
1 i
N
sin t sin t 2 i
1 i
i 1
N
i 1
i 1
2 i
sin t cos t
cos t sin t i 1
1 t
N
1ti
2 t
N
cos t cos t
1 i
N
cos i 1
2
2 i
2 tt
N
sin t cos t i 1
2 i
2 i
N
cos t sin t 1 t
2 i
sin 1ti sin 2ti i 1 N cos t sin t 2 t 2 i i 1 N sin 2 2ti i 1 i 1 N
A1 B1 X A2 B2
(17)
(16)
dan N A0 cos 1t i i 1 N A sin 1t i 0 i 1 D N A0 cos 2 t i i 1 N sin 2 t i A0 i 1
N y i cos 1t i i 1 N y i sin 1t i i 1 N y i cos 2 t i i 1 N y i sin 2 t i i 1
(18)
Untuk jumlah konstituen yang lain ditentukan dengan cara yang sama. Ukuran matrik dengan N buah konstituen adalah Matrik 2N x 2N. Berikut adalah langkah‐langkah untuk menyesaikan Persamaan 15. Akan dihitung
X
1 C 1 D C
dimana
C
(19)
= determinan Matrik C.
Menentukan Matrik C Masukkan data k,ti. Tentukan nilai komponen Matrik C. N cos 1t i cos 1t i i 1 N sin 1t i cos 1t i i 1 . . . . . N K cos k t i cos k t i i 1 i 1 N K sin t k i cos k t i i 1 i 1
(20) Misal untuk K=1.
N
cos 1t i sin 1t i
...........
i 1 N
sin 1t i sin 1t i
...........
i 1
N
K
i 1
i 1
N
K
i 1
i 1
cos k t i cos k t i sin k t i cos k t i . . . . .
. . . . . N
K
cos k t t sin k t i i 1
i 1
N
K
sin k t i sin k t i i 1
i 1
...........
...........
N
K
i 1
i 1
N
K
i 1
i 1
cos k t i cos k t i sin k t i cos k t i
N
K
cos k t t sin k t i
N K sin k t i sin k t i i 1 i 1 . . . . . N K cos k t t sin k t i i 1 i 1 N K sin t sin t k i k i i 1 i 1 i 1
i 1
N
C11 =
cos 1t i cos 1t i i 1
(21)
N
C12 =
cos 1t i sin 1t i i 1
(22)
N
C21 =
sin 1t i cos 1t i i 1
(23)
N
C22 =
sin 1t t sin 1t i i 1
(24)
Sehingga Matrik C
N 2 cos 1t i i 1 N sin t cos t 1 i 1 i C = i 1
N
i 1
cos 1ti sin 1ti N
sin 2 1ti i 1
Membentuk Matrik C, Matrik N x N Menentukan Matrik X Membentuk Komponen Matrik X Komponen Matrik X terdiri dari konstanta konstituen Ak dan Bk Membentuk Matrik {X}, Matrik N x 1
(25)
A1 B 1 A2 B2 . . X . . . . AN B N
(26)
(27)
Menentukan Matrik D Masukkan Data k ti yi N
A0
yi i 1
N
Tentukan nilai komponen Matrik D. N A 0 cos 1t i i 1 N A0 sin 1t i i 1 N A0 cos k t i i 1 N A0 sin k t i D = i 1
N y i cos 1t i i 1 N y i sin 1t i i 1 . . . . . N y i cos k t i i 1 N y i sin k t i i 1
(28)
Misal untuk K=1
D11
N
N
i 1
i 1
N
N
i 1
i 1
A0 cos 1t i y i cos 1t i
=
(29)
D21
A0 sin 1t i y i sin 1t i
=
(30)
Membentuk Matrik D, Matrik N x 1 Menghitung Konstanta Konstituen Matrik Sasaran Dihitung
C X D X
1 C 1 D C
, dimana
C
= determinan Matrik C
Menghitung Determinan Matrik C. Menghitung Invers Matrik C. Menghitung Konstanta Konstituen {X}. Substitusi Konstituen kedalam Model Pasang Surut Memasukkan Konstanta Ao, A1, B1, A2,B2, ... AN,BN kedalam Model Pasang Surut K
yˆ i Ao Ak cos k t Bk sin k t k 1
(31)
Analisis pasang surut selanjutnya adalah menentukan phasa komponen pasang surut k (
k , lihat
Persamaan II.3). Misalkan Ak dan k pada Persamaan 1 masing‐masing disimbolkan dengan E dan F. Kemudian Ak dan Bk pada Persamaan 31 dinyatakan dalam A dan B, maka hubungan E dan F dengan A dan B secara sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut. E cos (t + F) = A cos t + B sin t
(32)
Bentuk cos (t+F) dapat dijabarkan sebagai berikut. cos (t+F) = cos t cos F – sin t sin F Sehingga
(33)
E cos (t+F) = E cos t cos F – E sin t sin F
(34)
E cos (t+F) = E cos F cos t + (‐ E sin F) sin t
(34)
Maka Persamaan II.36 dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut. E cos F cos t + (‐ E sin F) sin t =
A cos t + B sin t
(35)
Dari persamaan di atas E cos F = A
(36)
(37)
Hubungan E dengan F dinyatakan sebagai berikut
A E = cos F
(‐ E sin F) = B
(38)
Hubungan F dengan B dinyatakan sebagai berikut.
B F = Arc sin E
B B sin F = ‐ E = ‐ A cos F
(40)
atau
Jika kedua ruas dibagi dengan cos F, maka:
B sin F A cos F
(II‐46)
atau
tan F =
B A
(II‐47)
Jadi
F = arc tan
B A
(II‐48)
dimana F adalah phasa komponen pasang surut (
).
(39)
