BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Saat ini perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalamberbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,ekono kimia,ekonomi, mi, atau pada persoalan persoalan rekayasa. rekayasa. Seringkali Seringkali model model matematika matematika tersebut tersebut muncul dalam bentuk yang sulit untuk dikerjakan secara analitik dimana analitik disini adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan. Metode Metode analit analitik ik unggul unggul untuk untuk sejumla sejumlah h persoal persoalan an yang yang memilik memilikii tafsiran tafsiran geomet geometri ri sederh sederhana ana.. Misalny Misalnyaa menent menentuka ukan n akar akar penyel penyelesai esaian an dari dari menggu menggunak nakan an rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhanatetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat diguna digunakan kan adalah adalah dengan dengan metode metode umerik umerik.. Metode Metode umerik umerik adalah adalah teknik teknik yang yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa !tambah,kurang, kali, dan bagi". #alam #alam penyeles penyelesaian aian persoa persoalan lan rumit rumit fisika fisika penggu penggunaa naan n metode metode numerik numerik sendir sendirii sudah sudah banyak banyak diterap diterapkan kan misalny misalnyaa saja saja penyel penyelesai esaian an untuk untuk menget mengetahu ahuii hubung hubungan an kecepa kecepatan tan termal termal dengan dengan koefis koefisien ien kekent kekentala alan n zat cair menggu menggunak nakan an meto metode de inter interpo pola lasi si,k ,kem emud udia ian n pers persoa oala lan n gerak gerak pelu peluru ru deng dengan an spin spin yang yang bisa bisa diselesaikan menggunakan metode runge kutta,dan masih banyak contoh persoalan rumit fisika yang dapat diselesaikan menggunakan metode numerik. #alam hal ini penulis akan membahas mengenai persoalan fisika mengenai debit air yang dapat diselesaikan diselesaikan mengguna menggunakan kan Metode Metode eliminasi gauss!$pper gauss!$pper dan %o&er" dan %$ #ecomposition !Metode #oolittle". $ntuk lebih jelasnya akan dibahas pada bab-bab selanjutnya
1.2 Rumusan Masalah
Berapakah Berapakah besar debit air pada sebuah pipa dengan dengan menggunakan menggunakan Sistem Persamaan %inier %inier yaitu menggunakan menggunakan Metode eliminasi eliminasi gauss !$pper" dan %$ #ecomposition #ecomposition !Metode #oolittle". 1.3 Tujuan
Menentukan besar debit air pada sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan %inier %inier yaitu menggunakan menggunakan Metode eliminasi eliminasi gauss !$pper" dan %$ #ecomposition #ecomposition !Metode #oolittle" 1.4 Manaat
#eng #engan an adan adany ya prog progra ram m yang yang tela telah h dise disedi diak akan an pada pada MA' MA'%AB %AB kita kita dapa dapatt meng menggu guna naka kan n meto metode de secar secaraa tepa tepatt agar agar perm permasa asalah lahan an fisik fisikaa yang yang rumi rumitt dapat dapat terselesaikan dengan baik, misalnya pada persoalan yang akan dibahas dalam makalah ini ini meng mengen enai ai besa besarr debi debitt air air pada pada sebu sebuah ah pipa pipa deng dengan an meng menggu guna naka kan n Sist Sistem em Persamaan %inier yaitu menggunakan Metode eliminasi gauss !$pper dan lo&er" dan %$ #ecomposition !Metode #oolittle"
BAB 2 T!N"AUAN PU#TA$A 2.1 El%m%nas% &auss
(limin (liminasi asi )auss )auss adalah adalah suatu suatu metode metode untuk untuk mengop mengoperas erasika ikan n nilai-n nilai-nila ilaii di dalam dalam matri matriks ks sehin sehingg ggaa menja menjadi di matri matriks ks yang yang lebi lebih h sede sederh rhana ana lagi lagi.. #eng #engan an melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. *ni dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggu menggunak nakan an matriks matriks.. +arany +aranyaa dengan dengan mengub mengubah ah persam persamaan aan linear linear tersebu tersebutt ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari ariabel-ariabel tersebut. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris yang Eselon-baris.. *ni dapat digunakan sebaga sebagaii salah salah satu metode metode penyeles penyelesaian aian persam persamaan aan linear linear dengan dengan menggu menggunak nakan an matriks matriks.. +arany +aranyaa dengan dengan mengub mengubah ah persam persamaan aan linear linear tersebu tersebutt ke dalam dalam matriks teraugmentasi dan dan
meng mengop oper eras asik ikan anny nya. a.
Sete Setela lah h
menj menjad adii
matr matrik ikss Eselon-baris, Eselon-baris,
lakukan substitusi lakukan substitusi balik untuk untuk mendapatkan nilai dari ariabel-ariabel tersebut. Sebagai contoh berikut ada persamaan dengan bilangan tak diketahui a//0/ 1 a/202 1 a/0 3 b/
!/.a"
a2/0/ 1 a2202 1 a20 3 b
!/.b"
a/0/ 1 a202 1 a0 3 b
!/.c"
Persamaan pertama dibagi dibagi koefisien pertama dari persamaan persamaan kesatu a// dan dikalikan dengan koefisien koefisien pertama dari persamaan kedua a2/ a/2
a/-
b/
a//
a//
a//
a2/0/ 1 a2/
02 1 a2/
0 3 a2/
!/./"
Persamaan !4./.b" dikurangi persamaan !4.2" didapat
!a22 - a2/ atau
a/2
a/-
b/
a//
a//
a//
" 02 1 !a2 - a2/
" 0 3 !b2 - a2/
a522 02 1 a52 0 3 b52
" !/.2"
%angkah berikut, dengan cara yang yang sama dilakukan pada persamaan pertama dengan persamaan ketiga, sehingga didapat persamaan
a/2
a/-
b/
a//
a//
a//
a/0/ 1 a/
02 1 a/
0 3 a/
!/."
dan persamaan !/.c" dikurangi persamaan !/." didapat a/2
a/-
b/
a//
a//
a//
!a2 - a/ atau
" 02 1 !a - a/
" 0 3 !b - a/
"
a52 02 1 a5 0 3 b5
!/.4"
%angkah berikut mengeliminasi persamaan !/." dan !/.4" yaitu membagi persamaan !/.2" dengan koefisien a5 22 dan dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan !/.4" hasilnya a 6 2-
b6 2
a 6 22
a 6 22
a52 02 1 a52
0 3 a5
!/.7"
Persamaan !4.7" dikurangi persamaan !4.8"
!a5 - a52 atau
a 6 2-
b6 2
a 6 22
a 6 22
" 0 3 !b5 - a5
"
a9 0 3 b9
!/.8"
#engan demikian terbentuk persamaan dalam bentuk matri0 segitiga atas a//0/ 1 a/202 1 a/0 3 b/
!/.a"
a522 02 1 a52 0 3 b52
!/.2"
a9 0 3 b9
!/.8"
Maka hasilnya dapat diselesaikan dengan menyelesaikan persamaan !/.8" didapat nilai 0 kemudian dengan memasukan nilai 0 ke persamaan !/.2" didapat 02 dan selanjutnya dengan memasukan nilai 0 2 dan 0 pada persamaan !/.a" didapatkan nilai 0/ . dengan demikian sistim persamaan dapat diselesaikan .
2.1.1 '%r%()%r% El%m%nas% &auss
a. :ika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah / !/ utama" b. Baris nol terletak paling ba&ah c. / utama baris berikutnya berada dikanan / utama baris diatasnya d. #iba&ah / utama harus nol 2.1.2 Alg*r%tma +asar met*+e el%m%nas% gauss
Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut A
$bahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matr%k augment, yaitu suatu matrik
yang berukuran n 0 !n 1 /". :elas terlihat bah&a elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n1/ 3 bi dimana i 3 / , 2 , ..., n. B
Periksalah elemen-elemen piot. Apakah ada yang bernilai nol< (lemen-elemen piot adalah elemen-elemen yang menempati +%ag*nal suatu matrik, yaitu a//, a22,..., ann atau disingkat aii. :ika aii _ 3 =, bisa dilanjutkan ke langkah no.. amun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii 3 =, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada diba&ahnya, ! Pi" ↔ ! Pj" dimana j 3 i 1 / , i 1 2 , ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii ≠ =. c. Proses triangularisasi. d. >itunglah nilai xn e. %akukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1 , xn-2 , ...., x2 , x1
2.1.3 $ele,%han +an $ekurangan
Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap a.
menentukan apakah sistem konsisten.
b.
menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang ariabel setiap langka.
c.
lebih mudah untuk memecahkan
kelemahan a.
memiliki masalah akurasi saat pembulatan decimal
$ntuk function Metode eliminasi gauss yang dapat digunakan dalam menyelesaiakan persoalan menghitung debit air dalam sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan %inier yaitu
function 03gauss!A,b" ?n,n@3size!A"; k3/; ?n/,k@3size!b"; 03zeros!n,k"; for i3/n-/; m3-A!i1/n,i"A!i,i"; A!i1/n,"3A!i1/n,"1mA!i,"; b!i1/n,"3b!i1/n,"1mb!i,"; end 0!n,"3b!n,".A!n,n"; for i3n-/-//; 0!i,"3!b!i,"-A!i,i1/n"0!i1/n,"".A!i,i"; end
2.2 LU Dek*m-*s%s%
%$ dekomposisi memiliki tempat dalam memecahkan persamaan linear.metode dekomposisi %$ komputasi ini memiliki kelebihan yakni lebih efisien daripada eliminasi )auss. Metode !-"ecom#osisi bisa dibilang merupakan modifikasi dari eliminasi gauss, karena beberapa langkah yang mesti dibuang pada eliminasi gauss, justru harus dipakai oleh ! "ecom#osisi Pada %$ dekomposisi ini persamaan linier A03b mengubah matriks A menjadi matriks upper dan matriks lo&er, A3%$
A3
|
U 11
U 12
L21 U 11
L21 U 12 U 22
L31 U 11
L31 U 12 L32 U 22
+
+
U 13
+
L21 U 13 U 23
+
L31 U 13 L32 U 23
|
+U 33
metode !-"ecom#osition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut C Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik % dan matrik $ D A 3 %$. C Menghitung ektor dengan operasimatrik %y 3 b. *ni adalah proses for$ar" substitution atau substitusi-maju.
C Menghitung ektor / dengan operasi matrik $0 3 y. *ni adalah proses back$ar" substitution atau substitusi mundur. $ntuk function Metode %$ #ecomposition !Metode #oolittle" yang dapat digunakan dalam menyelesaiakan persoalan menghitung debit air dalam sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan %inier yaitu function 03ludec!A,b" n3size!A,/"; for k3/n-/; for i3k1/n if A!i,k"E3=.=
lambda3A!i,k"A!k,k";
A!i,k1/n"3A!i,k1/n"-lambdaA!k,k1/n";
A!i,k"3lambda; end end
end if size!b,2"F/;b3b6;end for k32n b!k"3b!k"-A!k,/k-/"b!/k-/"; end for k3n-// b!k"3!b!k"-A!k,k1/n"b!k1/n""A!k,k"; end 03b;
2.3 De,%t a%r
Golume suatu fluida yang mengalir melalui penampang dalam selang &aktu tertentu dikenal dengan %ebit Air. De,%t adalah besaran yang menyatakan banyaknya
air yang mengalir selama / detik yang mele&ati suatu penampang luas. Ambillah sebuah selang dan nyalakan kran, air akan mengalir melalui penampang ujung selang itu. :ika selama 8 detik air yang mengalir adalah le&at ujung selang adalah /2 m , maka kita katakan debit air adalah !/28" m detik 3 2 mdet.
Bila fluida mengalir dalam pipa yang mempunyai luas penampang A dan mengalir sejauh % maka olume fluida yang ada di dalam pipa adalah Gol 3 A.% , karena selama fluida mengalir dalam pipa sepanjang %, fluida menempuh selang &aktu tertentu selama &t. ' ( )olume * +aktu ( A. * t (*t maka ' ( A.t * t ' ( A. Persamaan "ebit air
)br./ )ambar di atas menunjukkan aliran fluida dari kiri ke kanan ! fluida mengalir dari pipa yang berdiameter besar menuju diameter yang kecil ". )aris putus-putus merupakan garis arus. :ika dicermati, garis-garis pada aliran ini sama sekali tidak berpotongan satu sama lainnya. )aris alir semacam ini dinamakan /aris alir ! stream line" yang didefinisikan sebagai lintasan aliran fluida ideal. Pada pipa alir, fluida masuk dan keluar melalui mulut-mulut pipa. Air masuk dari ujung kiri dengan kecepatan / dan keluar di ujung kanan dengan kecepatan 2. :ika kecepatan fluida konstan, maka dalam interal &aktu !t fluida telah menempuh jarak ( .0t .
Heterangan gambar / 3 kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar
!ms-/"
2 3 kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil
!ms-/"
A/ 3 luas penampang bagia pipa yang berdiameter besar
! m2 "
A2 3 luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil
! m2 "
% 3 jarak tempuh fluida
! m "
It 3 selang &aktu fluida
! s "
Selama selang &aktu tertentu, sejumlah fluida mengalir melalui bagian pipa yang berdiameter besar !A/" sejauh %/ !%/ 3 / Jt". Golume fluida yang mengalir adalah G / 3 A/%/ 3 A//Jt. Selama selang &aktu yang sama, sejumlah fluida yang lain mengalir melalui bagian pipa yang diameternya kecil !A 2" sejauh %2 !%2 3 2 Jt". Golume fluida yang mengalir adalah G2 3 A2%2 3 A2 2 Jt Massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A / !diameter pipa yang besar" selama selang &aktu tertentu adalah sbb m
K3
V
m/ 3 K/G/
m 3 KG
G/ 3 A/ %/ 3 A/ / It
m/ 3 K/ A/ / It
#emikian juga, massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penamang A2 !diameter pipa yang kecil" selama selang &aktu tertentu adalah m2 3 K2G/ m2 3 K2 A2 2 It
G2 3 A2 %2 3 A2 2 It
$ntuk fluida yang tunak dimana kecepatan aliran fluida di suatu titik sama dengan kecepatan aliran partikel fluida lain yang mele&ati titik itu, maka jumlah massa yang menembus penampang / !A /" dan penampang 2 !A 2" haruslah sama. Sehingga dapat dibuat persamaan sbb m/
3
K/ A/ / It K/ A/ /
m2 3 K2 A2 2 It
3
K2 A2 2
:ika fluida tersebut tak termampatkan atau tidak bisa ditekan, maka ρ1 = ρ2 ! ρ tidak berubah terhadap tekanan", maka A L/ A/ /
3 tetap 3 L2 3 A2 2 !Persamaan kontinuitas"
Heterangan / 3 kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar
!ms-/"
2 3 kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil
!ms-/"
A/ 3 luas penampang bagia pipa yang berdiameter besar
! m2 "
A2 3 luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil
! m2 "
BAB 3 MET0D0L0&! PRA$T!$UM 3.1 Langkah $erja
/. Membuka Program Matlab 2. Menuliskan persamaan diba&ah ini dalam bentuk matrik -2 /14 217 3 / 18 21/2 3/= 7 /142-32 . Memanggil function dari gauss dan %$ dekomposisi pada common &indo& dimana function tersebut telah ditulis sebelumnya pada M-Nile lalu disimpan. 4. Setelah mengetahui harga kecepatan !/,2," maka selanjutnya kita dapat menentukan besar debit air dengan memanggil function dari M-Nile sesuai dengan rumus debit air !L3A.". 3.2 Met*+e Anal%s%s +ata
Metode yang digunakan yakni metode eliminasi gauss !upper,lo&er" dan %$ decomposition!#ollite"
BAB 4 HA#!L PEN&AMATAN +an ANAL!#!# DATA 4.1 >asil Pengamatan
1
2 A2
A1
3
A3
A2
#ari gambar tersebut, sebuah fluida mengalir dalam pipa dimana diketahui pipa tersebut memiliki luas penampang berturut-turut A/32,O m2, A232. m2, A32,7 m2 dengan persamaan kecepatan dalam ms sebagai berikut -2 /14 217 3 / 18 21/2 3/= 7 /142-32 'entukan #ebit air pada L /,L2,L dalam msQ
4.2 Has%l Anal%s%s Data Has%l Perh%tungan anal%t%k
Metode %o&er
|
−2
4
3 5
6 4
5
||| 3
12 10 −8 2
→
−2
4
10.5 5
12 4
didapatkan
|
0
0
10.5 5
12 4
0 −8
12a-(3
| |
−4.55
a(1,4
51.46(-12
−2.783 13 2
5
||| 3
0 13 −8 2
→
| |
1,125
−6.5
0
10.5 5
12 4
0 −8
4.25 13 2
→
71.44(13.4 8 1.417(13.4
4a-(3
a(3,524
63,5246(5.4 23,5244(1.124 7 3,52417(6.24
5.4a12(3
a(-3.461
1.124-3.46113.4(-6.44 6.243.46117(-2.97 A.v=b
|
1 0.875 −0.625
0 1 −0.5
| || |
0 0 1
0.610 v = 1.083 2 −0.25 v v
1
3
0.610
1(
0.875 v 1 + v 2 =1.083
v2
= 0.549
−0.625 1 −0.5 v 2+ v 3=−0.25
v3
= 0.405
Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan hasil perhitungan analitik yakni L/3A/./3 2,O m. =.8/= ms3/,8O m s L23A2.23 2, m.=.74O ms 3 /.42 m s
L3A.3 2,7 m.=.4=7ms3 /,=/27 m s
Metode $pper
|
−2
4
3 5
6 4
5
||| 3
12 10 −8 2
−2
4
0 5
12 4
→
#idapatkan
|
| |
−2
4
5
0 0
12 0
19.5 −18.237
4.25
14.5 −7.407
7a-2(3 a( - 1.4 51.46( - 12 121.44(18.4 13 1.417(16.4
4a-2(3
a(2.4
62.46(16 -2.44(6.4 2 2.47(8.4
16a12(3
a(-1.155
6.418.4-1.155(-1.279 8.416.4-1.155(-9.639 A.v=b ,v=x
|
1
4
0 0
1 0
5
| | −1.5
19.5 1.208 1 0.406
5
| || 3
19.5 14.5 −8 2
→
−2
4
0 0
12 14
5
| | 4.25
19.5 14.5 4.5 9.5
→
0.610
7(
v1
v2
+ 1.625 v 3=1.208
v2
+ 0.66 =1.083
v2
= 0.548
− 2 v 2−2.5 v 3=−1.5
v1
= 0.611
Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan hasil perhitungan analitik yakni L/3A/./3 2,O m. =,8// ms3/,/O m s L23A2.23 2, m.=,74ms 3 /,4O8 m s L3A.3 2.7 m.=.4=7ms3 /,=/27 m s
Metode %$#(+ !dollite"
|
2 3 5
• • • • •
•
4 6 4
||
U 11 5 12 → L21 U 11 −8 L31 U 11
U 12 L21 U 12
L31 U 12 L32 U 22
$//3 -2 $/23 4 $/3 7 $/3 7 %2/. $//3 %2/.3 -/.7 %2/ $/2 1 $22 3 8 $223/2
•
%/ $/2 1 %2 $22 3 4 %2 3 /./8
+
+ U 22
U 13
|
+ U 23 L31 U 13 + L32 U 23+ U 33 L21 U 13
%2/ $/ 1 $2 3 /2
•
$2 3 /O.7 %/ $/ 1 %2 $2 1 $ 3 -
•
$ 3 /.278 A L. U
|
2
4
3 5
6 4
5
||
12 = −1.5 −8 −2.5
|
0
−2
4
5
1 1.167
0 1
0 0
12 0
19.5 18.256
LY= b
|
1 −1.5 −2.5
0 1 1.167
|| ||
0 Y 1 0 Y 2 1 Y
3
3
3
10 2
R/3 -/.7 R/1 R2 3 /= •
•
R2 3 /4.7 -2.7 R/1/./8 R21 R 3 2
•
R 3 .42/ Uv=Y
|
−2
•
v
3
0 0
4 12 0
, v=x
| || |
5 19.5 18.256
v v v
1 2 3
3 = 14.5 7.421
18.256 v 3=7.421
= 0.406
•
12 v 2+ 19.5 v 3=14.5 v2
= 0.548
|
0
1
•
−2 v1 + 4 v 2 + 5 v3 =3 v
1
= 0.611
Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan hasil perhitungan analitik yakni L/3A/./3 2.O m. =.8// ms3/,/O m s L23A2.23 2. m.=.74ms 3 /,4O8 m s L3A.3 2.7 m.=.4=8ms3 /,=/7 m s
3.2.2 Has%l -erh%tungan MATLAB
#engan menggunakan fungsi eliminasi gauss function 03gauss!A,b" ?n,n@3size!A"; k3/; ?n/,k@3size!b"; 03zeros!n,k"; for i3/n-/; m3-A!i1/n,i"A!i,i"; A!i1/n,"3A!i1/n,"1mA!i,"; b!i1/n,"3b!i1/n,"1mb!i,"; end 0!n,"3b!n,".A!n,n"; for i3n-/-//; 0!i,"3!b!i,"-A!i,i1/n"0!i1/n,"".A!i,i"; end (ksekusi pada command &indo& Diary on format long A=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8] A = -2 3 5 b=[3;10;2] b =
4 6 4
5 12 -8
3 10 2
gauss(Ab! ans =
0"6118#2146118#22 0"54#$452054#$452 0"4063$26$4063$2#
lu%&'(Ab! ans =
0"6118#2146118#22 0"54#$452054#$452 0"4063$26$4063$2#
$ntuk mendapatkan hasil #ebit air dalam pipa, maka diperlukan fungsi pada mfile,kemudian eksekusi pada command &indo& dengan klik run. FLOW CHART menentukan debit air :
START
*P$' Luas penampang (A), kecepatan(v)
Hitung: Q (debit
OUTPUT: Q=A*v
STOP
M-Nile fun'tion = %&bitair A = in)ut(*luas )&nam)ang+ *!; , = in)ut(*&'&)atan+ *!; = A., &n%
>asil run dari M-Nile format long / o%ify &)r&ssion to a%% in)ut argum&nts" / am)l&+ / a = [1 2 3; 4 5 6]; / foo(a!; %&bit luas)&nam)ang+ 2"$ &'&)atan+ 0"611 = 1"##1$00000000000
ans = 1"##1$00000000000 / o%ify &)r&ssion to a%% in)ut argum&nts" / am)l&+ / a = [1 2 3; 4 5 6]; / foo(a!; %&bit luas)&nam)ang+ 2"# &'&)atan+ 0"54# = 1"4#6$00000000000
ans = 1"4#6$00000000000 / o%ify &)r&ssion to a%% in)ut argum&nts" / am)l&+ / a = [1 2 3; 4 5 6]; / foo(a!; %&bit luas)&nam)ang+ 2"5 &'&)atan+ 0"406 = 1"015000000000000
ans = 1"015000000000000 %iary off
Sehingga diketahui debit air L /3 /./O m s, L23/,48O m s, L3/,=/7 ms
BAB PEMBAHA#AN
Pada penyelesaian soal berkaitan dengan menghitung debit air yang mengalir pada sebuah pipa, menggunakan metode eliminasi )auss dan %$ dekomposisi dimana metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan persamaan dari kecepatan yang diketahui memiliki persamaan berikut -2 /14 217 3 / 18 21/2 3/= 7 / 1 42 - 3 2 #alam pengerjaan di MA'%AB, langkah pertama yakni menuliskan persamaan tersebut dalam bentuk matrik FFA3? -2 4 7; 8 /2; 7 4 -@ A3 -2
4
7
8
/2
7
4
-
FF b3?;/=;2@ b 3 /= 2 Selanjutnya memanggil function dari gauss dan %$ dekomposisi pada common &indo& dimana function tersebut telah ditulis sebelumnya pada M-Nile lalu disimpan. Setelah memanggil fungsi gauss dan %$ dekomposisi didapatkan hasil sebagai berikut format long A=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8]
A = -2 3 5
4 6 4
5 12 -8
b=[3;10;2] b = 3 10 2
gauss(Ab! ans =
0"6118#2146118#22 0"54#$452054#$452 0"4063$26$4063$2#
lu%&'(Ab! ans =
0"6118#2146118#22 0"54#$452054#$452 0"4063$26$4063$2#
Diary off
Sehingga dapat kita ketahui harga /3 =.8/ms, 23=.74 ms,3=.4= ms. :ika /,2, dimasukkan kedalam persamaan maka akan didaptakan hasil yang sama. Setelah mengetahui harga kecepatan !" maka selanjutnya kita dapat menentukan besar debit air dengan memanggil function dari M-Nile sesuai dengan rumus debit air !L3A.". M-Nile fun'tion = %&bitair A = in)ut(*luas )&nam)ang+ *!; , = in)ut(*&'&)atan+ *!; = A., &n%
>asil run dari M-Nile format long / o%ify &)r&ssion to a%% in)ut argum&nts"
/ am)l&+ / a = [1 2 3; 4 5 6]; / foo(a!; %&bit luas)&nam)ang+ 2"$ &'&)atan+ 0"611 = 1"##1$00000000000
ans = 1"##1$00000000000 / o%ify &)r&ssion to a%% in)ut argum&nts" / am)l&+ / a = [1 2 3; 4 5 6]; / foo(a!; %&bit luas)&nam)ang+ 2"# &'&)atan+ 0"54# = 1"4#6$00000000000
ans = 1"4#6$00000000000 / o%ify &)r&ssion to a%% in)ut argum&nts" / am)l&+ / a = [1 2 3; 4 5 6]; / foo(a!; %&bit luas)&nam)ang+ 2"5 &'&)atan+ 0"406 = 1"015000000000000
ans = 1"015000000000000 %iary off
#ari perhitungan tersebut diketahui besarnya debit air yang melalui sebuah pipa yakni -
#ebit air saat A3 2,O m2 dan 3=.8//ms adalah /./O m s,
-
#ebit air saat A3 2, m2 dan 3=.74 ms adalah /.48O m s,
-
#ebit air saat A3 2,7 m2 dan 3=.4=2 ms adalah /,=/7 m s,
$ntuk perhitungan secara analitik maupun perhitungan matlab didapatkan hasil yang sama baik dalam memecahkan persamaan kecepatan !" maupun perhitungan debit!L".
BAB PENUTUP .1 $es%m-ulan
#ari pembahasan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan dimana dari perhitungan tersebut diketahui besarnya debit air yang melalui sebuah pipa yakni -
#ebit air saat A3 2,O m2 dan 3=.8//ms adalah /./O m s,
-
#ebit air saat A3 2, m2 dan 3=.74 ms adalah /.48O m s,
-
#ebit air saat A3 2,7 m2 dan 3=.4=2 ms adalah /,=/7 m s,
Penyelesaian menggunakan MA'%AB antara metode eliminasi gauss dengan %$ dekomposisi menghasilkan hasil data yang sama dalam menentukan kecepatan air dalam pipa yang memiliki luas penampang berbeda. .2 #aran
Sebaiknya dalam pemecahan soal menghitung debit air ini lebih banyak menggunakan ariasi metode lainnya.
lam-%ran LEMBAR PERH!TUN&AN
Metode %o&er
|
−2
4
3 5
6 4
5
||| 3
12 10 −8 2
→
−2
4
10,5 5
12 4
5
||| 3
0 13 −8 2 (1)
→
| |
1,125
−6,5
0
10,5 5
12 4
0 −8
4,25 13 2
→
(2
didapatkan
|
| |
−4,55
0
0
10,5 5
12 4
0 −8
−2,783 13 2
(3
Per:itungan 1 12a-(3
-a(-12 a(1,4
51,46(55(12 71,44(79,4(13,4 13 1,42(137(17
Per:itungan 2 4a-(3
-a(-4 a(3,524
63,5246(62,4(5,4 -23,5244(-27,124(1,124 7 3,52417(7,124(6.24
Per:itungan 7 5,4a12(3
12a(-5.4
a(-3,461
1,124-3,46113,4(1,124-4,534(-6.44 6,24-3,46117(6,24-9,377(-2,97
A.v=b
|
1 0,875 −0,625
0 1 −0,5
| || |
0 0 1
0,610 v = 1,083 2 −0,25 v v
1
3
1( 0,610 0,875 v 1 + v 2 =1,083
0,875 ( 0,610 )+ v 2=1,083
0,533 + v 2=1,083
v2
= 0,549
−0,625 1 −0,5 v 2+ v 3=−0,25 −0,625 ( 0,610 )−0.5 v 2 + v 3=−0,25 0,6555 + v3 =−0,25
Metode $pper
v3
= 0,405
−0,381−0,2745 + v 3=−0,25
|
−2
4
3 5
6 4
5
|||
−2
3
12 10 −8 2
→
0 5
4 12 4 (1)
5
| || 3
19,5 14,5 −8 2
→
−2
4
0 0
12 14
5
| | 4,25
19,5 14,5 4,5 9,5 (2)
→
#idapatkan
|
| |
−2
4
5
0 0
12 0
19,5 −18,237 (3)
4,25
14,5 −7,407
7a-2(3
-2a(-7 a(1,4
51,46(55(12 121,44(129,4(18,4 13 1,417(136,4(16,4
4a-2(3
-2a(-4 a(2,4
62,46(613(16 -2,44(-12,4(6,4 2 2,47(29,4(8,4
16a12(3
12a(-16 a(-1,155
6,418,4-1,155(6,4-22,979(-1,279
8,416,4-1,155(8,4-15,839(-9,639 A.(b
|
1
4
0 0
1 0
19,5 1,208 1 0,406
0,610
7(
v1
| | −1,5
5
v2
+ 1,625 v 3=1,208
v2
+ 1,625 ( 0.610 )= 1,208
v2
+ 0,66 =1,083
v2
= 0,548
− 2 v 2−2.5 v 3=−1.5 v1
v1
−1,096 −1,015=−1,5
− 2 ( 0,548 ) −2,5 (0,406 )=−1,5
v
1
−
2.111
1.5
=−
v
1
= 0.611
Metode %$#(+ !dollite"
|
2 3 5
• • • • •
•
4 6 4
||
U 11 5 12 → L21 U 11 −8 L31 U 11
$//3 -2 $/23 4 $/3 7 $/3 7 %2/. $//3 %2/.3 -/,7 %2/ $/2 1 $22 3 8 -/,7!4"1 $22 3 8
U 12 L21 U 12
+
+ U 22
L31 U 12 L32 U 22
U 13
|
+ U 23 L31 U 13 + L32 U 23+ U 33 L21 U 13
$223/2 %/ $/2 1 %2.$22 3 4 -2,7!4"1 %2!/2" 3 4 /2 . %2 3/4
•
%2
3 /./8
%2/ $/ 1 $2 3 /2 -/,7 !7" 1 $ 2 3 /2 -,71 $2 3 /2
•
$2
3 /O.7
%/ $/ 1 %2 $2 1 $ 3 - -2,7!7" 1 /,/8!/O,7" 1 $ 3 - -/2,7 1 22,78 1 $ 3 - $ 3 -/=,278 -
•
$ 3 /,278 A L. U
|
2
4
3 5
6 4
5
||
1
12 = −1,5 −8 −2,5
|
0
−2
4
5
1 1,167
0 1
0 0
12 0
19,5 18,256
LY= b
|
1 −1,5 −2,5
0 1 1,167
|| ||
0 Y 1 0 Y 2 1 Y 3
3
3
10 2
R/3 -/.7 R/1 R2 3 /= •
•
R2 3 /4.7 •
-2.7 R/1/./8 R21 R 3 2 -2.7 !"1/./8 !/4.7" 1 R 3 2 -,7 1 /8,O2/ 1 R 32 R 3 ,42/
, x= v U v = Y
|
0
