Persamaan Diferensial Homogen
Persamaan diferensial yang n semuanya. F (tx, ty ) = t .F ( x, y )
unsur
x
dan
Contoh: 1.
F ( x, y ) = 3 x + 4 xy − 7 y 2
2
F (tx, ty ) = 3t 2 x 2 + 4t 2 xy − 7t 2 y 2 F (tx, ty ) = t 2 (3 x 2 + 4 xy − 7 y 2 )
= t 2 .F ( x, y ) → Homogen derajat 2 2.
F ( x, y ) = x + x + y 2
2
F (tx, ty ) = tx + t x + t y 2
2
2
2
(
= tx + t x 2 + y 2 = t x + x 2 + y 2
)
= t ⋅ F ( x, y ) → Homogen derajat 1 3.
F ( x, y ) = x + y 2
F (tx, ty ) = t x + ty = t (tx + y ) → Non Homogen 2
2
2
Ciri Umum Homogen Homogen : Tiap suku derajatnya sama. Bentuk PD Homogen:
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 Dikatakan PD Homogen jika: Fungsi M dan N adalah homogen dengan derajat sama. Persamaan ini diselesaikan dengan substitusi:
y x
= z
M ( x, y ) N ( x, y )
→ y = zx dy = zdx + xdz
→ M ( x, zx) = x m R(v) → N ( x, zx) = x m S (v)
Contoh Soal: 1.
( x + y ) dx + x dy = 0
y
tidak
dapat
dipisah
M ( x, y ) = x + y M (tx, ty ) = tx + ty = t ( x + y ) = t ⋅ M ( x, y ) → Homogen derajat 1
N(x) = x N (tx) = tx = t N(x) → homogen derajat 1 → PD. Homogen z=
y x
→ y = xz dy = z dx + x dz
( x + xz ) dx + x (z dx + x dz) = 0 (1 + z)x dx + zx dx + x 2 dz = 0
[(1 + z ) x + (zx)] dx + x 2 dz = 0 x[1 + z + z ] dx + x dz = 0 2
x dx
+
dz
= ∫ 0 → ln x +
x 1 + 2 z 2 ln x + ln (1 + 2z) = 2 ln c 2
1 2
ln ( 1 + 2z) = ln c
2 2 ln x + ln (1 + 2z) = ln c
ln x 2 (1 + 2z) = ln c 2 x ⋅ (1 + 2 z ) = c
y 2 2 x (1 + 2 ⋅ ) = c → x + 2 xy = c x
⎡ x⎤ ⎢Bisa juga pemisalan z = y ⎥ ⎣ ⎦
2.
dy dx
=
4 x 2 + 3 y 2 2 xy
Jawab: 2 xy dy = (4x 2 + 3y 2 ) dx 2 xy dy − (4x 2 + 3y 2 ) dx = 0 ← (M & N Homogen derajat 2)
M ( x, y ) = 2 xy M (tx, ty ) = 2tx ⋅ ty = t 2 ( 2 xy ) = t 2 ⋅ M ( x, y ) 2 xy dy − ( 4 x 2 + 3y 2 ) dx = 0 Misalkan :
z=
y → x
y = zx dy = z dx + x dz
z ⋅ xz ⋅ x (z dx + x dz) − (4x 2 + 3 x 2 z 2 ) dx = 0
2x z dx + 2 x z dx − (4 + 3z ) x dx = 0 2
2
(2 x z 2
3
2
2
2
− (4 + 3 z 2 ) ⋅ x 2 ) dx + 2x 3 z dz = 0
(2z 2 − 4 − 3 z 2 ) x 2 dx + 2x 3 z dz = 0 ( − z 2 − 4) x 2 dx + 2 x 3 z dz = 0 x 2 dx x
3
−
2 z dz
dx
∫ x − ∫ ( z ln
=0
(z 2 + 4)
x
(z 2 + 4)
dz 2
2
+ 4)
= 0 → ln x − ln (z 2 + 4) = ln c
= ln c
x
= c bentuk ini diubah menjadi: z +4 x = c (z 2 + 4 ) 2
z2 + 4 =
x c
z 2 + 4 = cx y2
+ 4 = cx x2 y 2 + 4 x 2 = cx 3 y 2 = cx 3 − 4 x 2
y =
cx − 4 x 3
2
y = x cx − 4 Catatan: Pemilihan bentuk z =
y x
atau z =
x tergantung bentuk persamaannya. y
Untuk soal di atas sudah selayaknya memakai z = dy tidak terlalu banyak. Contoh penggunaan z = 3.
x y
yang tepat:
2 xy dx + (x 2 − y 2 ) dy = 0 Misalkan :
z =
x y
→ x = zy dx = z dy + y dz
2 xy dx + (x 2 − y 2 ) dy = 0 2 ⋅ ( zy ) ⋅ y (z dy + y dz) + (y 2 z 2 − y 2 ) dy = 0 2 z 2 y 2 dy + 2 z y 3dz + ( z 2 − 1) y 2 dy = 0
y , sebab perkalian M ( x, y ) dengan x
( 2 z 2 + z 2 − 1) y 2 dy + 2z y 3 dz = 0 2
y dy y dy y dy y
+
3
+ +
2 z dz 3z 2 − 1
2 z dz
=0
=0
3z 2 − 1
1 d (3 z 2 − 1) 3
ln y +
∫ (3 z
1 3
2
− 1)
= ∫0
ln (3z 2 − 1) = ln c
3ln y + ln (3z 2 − 1) = 3 ln c ln y 3 + ln (3z 2 − 1) = ln c 3 3 2 ln y (3z − 1) = ln c
⎛ x 2 ⎞ y (3 z − 1) = c → y ⎜⎜ 3 2 − 1⎟⎟ = c ⎝ y ⎠ 2 3 3 x y − y = c 3
2
3
-y
4.
dy x e x + y = dx x
(
)
x dy = x e -y/x + y dx Cara lain melihat ‘homogen’ adalah dengan melihat pangkat x dan y pada:
M ( x, y ) dx = x e x dy − (x e
-y
x
+ y → homogen berderajat 1
+ y) dx = 0
x
Misalkan :
-y
z =
y x
x (x dz + z dx) − (x e
→ y = xz dy = x dz + z dx -xz
x
+ xz) dx = 0
x 2 dz + zx dx − (e-z + z) x dx = 0
x dz + ( −e − z ) x dx = 0 2
− e z dz +
x dx
x
2
= 0→∫
ln x − e z = ln c ln x − ln c = e z x e z = ln c z e = ln cx
dx x
− ∫ e z dz = ∫ 0
ln e z = ln (ln cx ) z = ln (ln cx ) y
= ln (ln cx ) x y = x ln (ln cx )
x2 + y2 + y
dy − dx
5.
x
=0
x dy − ⎛ ⎜ x 2 + y 2 + y ⎞⎟ dx = 0 (homogen berderajat 1)
⎝
⎠
y → y = zx x dy = z dx + x dz
z=
Misalkan :
x (z dx + x dz) −
(
)
x 2 + z 2 x 2 + zx dx = 0
( 1 + z + z ) x dx = 0 + z )) x dx + x dz = 0
zx dx + x 2 dz −
(z − ( 1 + z x dx x
2
2
dz
−
1 + z x dx 2
dz
−
1 + z dz
x
2
∫
2
1 + z
2
2
=0 = 0→∫
dz 1+ z dz
− ln x = ln c → ∫
2
Kita hitung
∫
dz 1+ z
1+ z
2
dx
2
∫
1 + z 2
=∫
sec 2 α d α sec α
= ln sec α + tg α = ln = ln 1+
1+ y2 x
2
+
y2 x
2
y x
+
y 2
= ∫0
= ln x ⋅ c
α
d α
1 + z 2 = sec α
dz
x
[Bentuk Integral Trigonometri]
2
z = tg α → dz = sec
2
−∫
= ∫ sec α d α 1 + z 2 + z
= ln cx
= cx → y + x 2 + y 2 = cx 2
