Péndulo Simple
1 AÑO 2009
FÍSICA I TRABAJO PRÁCTICO I: PÉNDULO SIMPLE FECHA:
07 DE ABRIL DE 2009
ALUMNOS:
POULSEN, TANIA MOLINI, FRANCO
PROFESORES:
MARMORA, JESSICA KÖNIG, PABLO
COMISIÓN:
Comisión E
“E”
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Índice Introducción.........................................................................................................................3 Marco teórico........................................................................................................................3 Péndulo plano............................................................................................................................................3 Propagación de errores............................................................................................................................3
Desarrollo del trabajo de medición....................................................................................4 Gráficos......................................................................................................................................................5
Conclusiones........................................................................................................................7 Apéndice 1............................................................................................................................8 ECUACIONES............................................................................................................................................8
Apéndice 2..........................................................................................................................10 Figura 1: VISTA FRONTAL......................................................................................................................10 Figura 2: VISTA LATERAL DERECHA....................................................................................................10 Figura 3: VISTA ISOMÉTRICA.................................................................................................................11 Figura 4: VISTA LIBRE.............................................................................................................................11
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Introducción La experiencia que se realizó el día martes 17 de marzo tenía como objetivo objetivo determinar el valor de la gravedad en forma indirecta, indirecta, mediante los datos medidos en el laboratorio. En los cálculos se utilizó el método de propagación de ince incert rtez ezas as para para dedu deduci cirr el erro errorr corr corres espo pond ndien iente te a los los dist distin intos tos valo valore ress de gravedad obtenidos.
Marco teórico Péndulo plano Está Está conf confor orma mado do por por un hilo hilo inex inexte tens nsib ible le y de masa masa desp desprec recia iabl ble, e, cuyo cuyo extremo superior se encuentra inmóvil, mientras que en el extremo inferior oscila un punto material de masa “m” bajo la influencia de la gravedad. Este movimiento, que se efectúa en un plano vertical, es periódico para amplitudes pequeñas y el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa (denominado período) depende de la l ongitud del hilo. La ecuación que vincula el período “T” con la longitud del hilo “L” y la gravedad “g” es la siguiente: Τ = 2π
L g
Ecuación I
Propagación de errores Es un método que permite determinar analíticamente la incerteza absoluta de una cantidad y que depende, a su vez, de n cantidades x1, x2... xn. Es decir que tanto y como su error son determinados indirectamente. Al tomar Δ y aproximadamente igual que dy se puede armar la siguiente expresión: ∆Υ =
∂ f ∂ x1
∆ x1 +
∂ f ∂ x 2
∆ x 2 + ... +
∂ f ∂ xn
∆ xn
Ecuación II Las derivadas parciales como los errores absolutos deben tomarse con signos positivos, de no ser así es posible que el Δy sea nulo y esto no tiene sentido sentido físico (significaría (significaría que que no hay error).
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Desarrollo del trabajo de medición Para poder realizar la práctica se utilizaron los siguientes instrumentos: •
Barrera fotoeléctrica.
•
Calibre.
•
Cinta métrica.
•
Columna metálica (para soporte del péndulo).
•
Contador electrónico.
•
Esfera metálica.
•
Hilo.
Los Los elem elemen ento toss para para real realiz izar ar la medi medici ción ón fuer fueron on ensa ensamb mbla lado dos, s, ante antess de comenzar las mediciones, por los docentes tal como se muestra en las figuras 1, 2, 3 y 4 Apéndice 2 ). (ubicadas en el Apéndice ). A continuación continuación se describen los pasos llevados a cabo en el laboratorio: 1.
Primer paso: se determinaron los errores absolutos (∆) de los instrumentos de medición (en nuestro caso la mínima unidad de medición de los mismos), el “∆Li” correspondiente a la cinta métrica fue de 1x10 -3mts y el “∆Ti” del contador digital de 1x10-3seg. Cabe aclarar que tanto el error de la reacción de la celda fotoeléctrica y el de medición del calibre se despreciaron debido a que su valor no era comparable con el error de los dos primeros instrumentos.
2.
Segundo paso: se midió con una cinta métrica el largo del hilo hasta el borde superior de la esfera y el diámetro de ésta con un calibre. La suma del largo del hilo y el radio de la esfera dieron como resultado “Li”.
3.
Tercer paso: se hizo oscilar el péndulo para determinar el valor del período “Ti” corre corresp spon ondi dien ente te a la long longititud ud “Li”. “Li”. Esto Esto se repi repititió ó siet siete e vece vecess con con dist distin inta tass longitudes de hilo, obteniendo de esta forma siete valores “Ti”.
4.
Cuarto paso: a partir de la ecuación I se I se determinó el valor de la gravedad “gi” para cada una de las mediciones anteriores.
5.
Quinto paso: se calculó el “∆gi” mediante el método de propagación de errores (ecuación II ). ).
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Las mediciones que se realizaron y los datos obtenidos se pueden observar en la siguiente tabla: Nº\Med.
Li (mts.)
∆Li (mts.)
Ti (seg)
∆Ti (seg)
gi (mts/seg^2) ∆gi (mts/seg^2) gi-∆gi (mts/seg^2) gi+∆gi (mts/seg^2)
1
1,04
0,001
2,05
0,001
977x10^-2
2x10^-2
975x10^-2
979x10^-2
2
0,97
0,001
1,99
0,001
967x10^-2
2x10^-2
965x10^-2
969x10^-2
3
0,90
0,001
1,91
0,001
974x10^-2
2x10^-2
972x10^-2
976x10^-2
4
0,84
0,001
1,84
0,001
979x10^-2
2x10^-2
977x10^-2
981x10^-2
5
0,77
0,001
1,77
0,001
970x10^-2
2x10^-2
968x10^-2
972x10^-2
6
0,71
0,001
1,69
0,001
981x10^-2
3x10^-2
978x10^-2
984x10^-2
7
0,64
0,001
1,61
0,001
975x10^-2
3x10^-2
972x10^-2
978x10^-2
Apéndice 1 ) (El desarrollo de las ecuaciones utilizadas para completar la tabla se encuentran en el Apéndice
Apéndice 1 ) se obtuvo el Luego de realizar los cálculos con la ecuación III (ver III (ver Apéndice siguiente valor de la gravedad con su error absoluto: g = (974 ± 3) × 10− 2
mts 2
seg
Gráficos Gráfi ráficco 1. Mues Muestr tra a la re relac lación ión entr entre e la lon long gitud itud y el el cua cuadrad drado o del del peri period odo o g de cada medición, la recta de tendencia tiene una pendiente igual a “ ”, cuyo valor es × 4 π 0,25. (ver (ver ecuación IV en el Apéndice Apéndice 1) 2
Longitud en función del Periodo al cuadrado 1,2 1 0,8 i L
0,6 0,4 0,2 y = 0,25x
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Ti^2
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Gráf ráfico ico 2. En el sigu iguiente gráfico pueden observarse rse los los int intervalos de incertidumbre “gi±∆gi” que resultaron de las distintas mediciones.
Intervalos de Incerteza 10,00 09,95 09,90
309,85 ^ m09,80 c ) 09,75 g ∆ ±09,70 g ( 09,65 09,60 09,55 09,50 1
2
3
4
5
6
7
Mediciones
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Conclusiones Tanto el período “Ti” como la longitud “Li” se determinaron experimentalmente en forma directa, por lo cual fue posible efectuar el cálculo del valor de la gravedad de forma indirecta. Debido a que cada valor medido de “Ti” y “Li” tiene un error absoluto asociado a la precisión del instrumento, fue necesario utilizar el método de propagación de errores para averiguar el error absoluto de la gravedad. Sabien iendo que la aceleración de la gravedad en Buenos Aires es aproximadamente 9,797 mts/seg 2 y que nuestro valor representativo fue de 9,74 mts/seg 2, determinamos que el error absoluto (∆X) es 6x10 -2 mts/seg2, el error relativo (Ɛ (x)) 6x10-3 y por por últi último mo el erro errorr rela relativ tivo o porc porcen entu tual al (Ɛp(x)) 0,6 %. Con Con esto estoss núme número ross es posi posibl ble e considerar que el cálculo realizado en esta experiencia fue muy exacto, ya que con unas sencillas mediciones fue posible obtener una buena aproximación al valor real de la gravedad. Si se compara el valor de la gravedad (9,87 mts/seg 2) obtenido a partir de la pendiente de la recta de tendencia (gráfico ( gráfico 1) 1) con el resultante de la experiencia (9,74 2 mts/seg ) se puede concluir que el método utilizado para este último es mucho más preciso que el método gráfico. Finalmente hubo errores accidentales y sistemáticos que no fueron tenidos en cuenta a la hora de determinar el error absoluto “∆gi” y causaron que el mismo fuese menor que el real; algunos de ellos fueron: la oscilación cónica del péndulo, la vibración del hilo al oscilar, el ángulo “θ” que pudo haber sido mayor al requerido para la ecuación de un oscilador armónico y el error de apreciación del observador. Esto produjo que el intervalo de incertidumbre no comprendiera el valor real de la gravedad.
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Apéndice 1 ECUACIONES
∑ F =
m×
d 2 x 2
dt
∑ F = - mg × senθ
sen θ
x d 2 x -mg = m × 2 L dt 2
=
x L
2
x d x d x 2 x 0 = g + 0 ⇒ = + ω 2 2 L dt dt
Las expresiones anteriores dan como resultado la ecuación de un oscilador armónico y de su solución se deduce la siguiente expresión para el péndulo: L
Τ = 2π
g En la ecuación I “T” es el período y “L” es la longitud del hilo correspondiente a ese período.
Ecuación I
Los cálculos de ¨gi¨ que se encuentran en la tabla de la página 5 se 5 se realizaron despejando la gravedad de la ecuación I : gi =
4π
2
Li
Ti 2
Para el cálculo de “∆gi” se utilizó la siguiente ecuación, que corresponde a la expresión del método de propagación de errores: ∆ g =
∂ g ∂ L L0 ,T 0
∆ L +
∂ g ∂ T L0 ,T 0
Ecuación II
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∆ T
Donde “∆Y” es el error absoluto que se desea determinar a partir de los errores absolutos conocidos (∆Xn) y “∂f/∂xn” es la derivada parcial de la función respecto de “x n”.
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Para la expresión final de la gravedad se utilizó la ecuación III .
g = g promedio ±
∆
g máx
Ecuación III Donde “g ” es el promedio entre el máximo promedio y el mínimo valor valor de “gi” obtenido, y “∆g ” es el máx máximo valor “∆gi”.
Para el gráfico 1 la pendiente de la recta de tendecia proviene de la siguiente ecuación:
g
L = π
2
×
4
T 2
Ecuación IV Que tiene la forma: y
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=
mx
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Apéndice 2
Figura 1: VISTA FRONTAL
Figura 2: VISTA LATERAL DERECHA
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Figura 3: VISTA ISOMÉTRICA
Figura 4: VISTA LIBRE
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