BAB I PENAKSIRAN/ESTIMASI
1.1 Statistika Induktif
Statistik Induktif ( Inference) ialah pengambilan keputusan mengenai nilai sebenarnya dari parameter parameter (yang dihitung berdasarkan berdasarkan populasi), populasi), yang didasarkan didasarkan atas perhitungan perhitungan sampel, sehingga kesimpulan tersebut mengandung unsur ketidakpastian. Artinya kesimpulan tersebut bisa benar dan bisa juga salah. Hal ini disebabkan karena data yang digunakan adalah data pendugaan/taksiran (dari sampel), yang mengandung kesalahan dalam penarikan penarikan sampel. sampel. Statistika Induktif dapat dibagi dalam dua bagian besar: penaksiran dan uji hipotesis. Kedua bagian ini akan dibahas secara terpisah.
1.2 Penaksiran
Dari suatu populasi ingin diketahui atau diidentifikasi karakteristik parameter populasi
.
Karena satu dan lain hal identifikasi dilakukan dengan teknik sampling tidak dapat
dilakukan dengan cara sensus. Dari sampel ini dilakukan penaksiran secara statistik untuk
menghasilkan penaksir parameter sampel ( ). Contoh : Seorang pengusaha yang hendak memasarkan produk barunya ingin menaksir proporsi sesungguhnya sesungguhnya dari calon pembeli, dengan menanyakan menanyakan pendapat secara acak kepada 100 calon pembeli. Proporsi calon pembeli yang yang mau membeli produk baru dalam sampel dapat dipakai sebagai taksiran proporsi calon pembeli sesungguhnya dalam populasi. populasi. Secara umum, karakteristik parameter populasi adalah: rata-rata
yang sering ingin diidentifikasikasi
, proporsi (p), dan simpangan baku .
Beberapa jenis lambang yang sering digunakan untuk menyatakan ukuran statistik sampel dan parameter populasinya.
Tabel 1.1 Beberapa Statistik Sampel dan Parameter Parameter Populasinya Populasinya
Jenis Ukuran
Statistik Sampel
Parameter Populasi
Rata-rata
Simpangan baku
s
Variansi
s
Koefisien korelasi
r
Koefisien regresi
b
1
Sifat-sifat penaksir yang baik: (a) Tidak bias Jika rata-rata dari sampel akan sama dengan nilai parameter dari populasi yang diduga.
E ( ) =
E ( ) (tak bias)
E ( ) = (tak bias)
E ( ) (bias)
(b) Konsisten
Jika nilai cenderung mendekati nilai parameter untuk n (ukuran sampel) yang semakin besar mendekati tak terhingga
n . Jadi ukuran sampel yang cenderung
besar memberikan pendugaan titik yang lebih baik dibandingkan ukuran sampel kecil. (c) Efisien atau bervariansi minimum
Jika penaksir memiliki varians atau standar deviasi yang lebih kecil dibandingkan dengan penduga lainnya.
1.3 Jenis Penaksiran
Ada dua macam penaksiran yaitu penaksiran tunggal ( point estimate) dan penaksiran interval/selang ( interval estimate ). Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut: “Setiap hari di televisi disiarkan prakiraan cuaca untuk berbagai kota besar di Indonesia. Misalnya, dikatakan bahwa suhu udara di kota Jakarta besok hari adalah 32 0C. Prakiraan tersebut dapat juga dinyatakan dalam bentuk rentangan nilai, misalnya, suhu udara besok hari di kota Jakarta berkisar antara 29 0C sampai dengan 35 0C. Prakiraan pertama dilakukan dengan cara menunjukkan suatu nilai atau titik tertentu, yaitu angka 32 0C, disebut penaksiran tunggal ( point estimate). Sedangkan prakiraan kedua dilakukan dengan menentukan rentangan nilai yaitu 29 0C - 350C, disebut penaksiran interval/selang ( interval estimate ).
Penaksiran
2
1.3.1 Penaksiran Tunggal
Penaksiran tunggal ( point estimate) merupakan fungsi dari nilai observasi yang berasal dari sampel dengan n elemen. Jika penaksir diberi simbol
dan X1, X2, ..., Xn merupakan
suatu sampel acak, maka = f (X1, X2, ..., Xn). Misalnya, apabila ˆ
1
=
1 n
X
i
( X 1 X 2
n
... X n )
dan apabila ˆ S 2
1
X X n 1
2
i
X X n 1 1
=
2
1
X 2 X ..... X n X 2
2
maka nilai akan berbeda-beda dari sampel yang satu dengan sampel yang lainnya. merupakan variabel yang mempunyai distribusi sendiri.
1.3.2 Penaksiran Selang/Interval
Taksiran selang suatu parameter populasi ialah suatu selang yang berbentuk ˆ1 ˆ2 ; ˆ1 dan ˆ2 tergantung pada nilai statistic untuk suatu sampel dan juga pada distribusi sampel. Untuk membuat penaksiran interval, harus ditentukan terlebih dahulu besarnya koefisien kepercayaan atau taraf kepercayaan yang merupakan pernyataan dalam bentuk peluang, dengan simbol 1 . dinyatakan sebagai kesalahan duga ( error of estimate ). Jadi, jika = 0,05, maka kita peroleh selang kepercayaan 95%. Dan bila = 0,01 kita peroleh
selang kepercayaan 99% yang lebih lebar. Makin lebar selang kepercayaan makin yakin pula kita bahwa selang tersebut mengandung parameter yang tak diketahui.
/ 2
2
Penaksiran
1
/ 2
2
3
1.3.2.1 Penaksiran Interval untuk Rata-rata
Titik taksiran penaksir untuk adalah atau nilai besarnya ditaksir oleh harga yang didapat dari sampel. Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai dengan koefisien kepercayaan yang dikehendaki.
Rumus:
Kondisi A: jika n besar
30 ; gunakan distribusi normal
(1) Simpangan baku diketahui, penarikan sampel dengan pengembalian
P Z 2
n
Z 2
1 n
Dimana: 1 = derajat kepercayaan
= kesalahan duga
2
= bilangan Z didapat dari table normal baku untuk peluang 1/2
(2) Simpangan baku diketahui, penarikan sampel tanpa pengembalian
P Z 2
N n
n
N 1
Z 2
N n
n
N 1
1
(3) Simpangan baku tidak diketahui, penarikan sampel dengan pengembalian
P Z 2
S n
1 n
S
Z 2
(4) Simpangan baku tidak diketahui, penarikan sampel tanpa pengembalian
P Z 2
S
N n
n
N 1
Z 2
S
N n
n
N 1
1
Kondisi B: jika n kecil (<30); Distribusi mendekati normal gunakan distribusi t (df = v = n - 1) (1) Simpangan baku diketahui, penarikan sampel dengan pengembalian
P t 2
Penaksiran
n
t 2
1 n
4
(2) Simpangan baku diketahui, penarikan sampel tanpa pengembalian
P t 2
N n
n
N 1
t 2
N n
n
N 1
1
(3) Simpangan baku tidak diketahui, penarikan sampel dengan pengembalian
S
P t 2
n
S
t 2
1
n
(4) Simpangan baku tidak diketahui, penarikan sampel tanpa pengembalian
P t 2
S
N n
n
N 1
t 2
S
N n
n
N 1
1
Contoh 1.1
Rataan nilai UTS Statistik I sampel acak 36 mahasiswa TI adalah 2,6. Jika simpangan baku populasinya 0,3 dan pengambilan sampel dilakukan dengan cara pengembalian, hitunglah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rataan nilai Statistik I semua mahasiswa TI .
Dik
: Penaksiran rata-rata n = 36 = 0,3
= 2,6 N =~
Dit
: Selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rataan nilai Statistik I
Jawab
:
1 95% 2,5% 1,96
P Z 2
P 2,6 1,96
n
0,3 36
Z 2
1 n
2,6 1,96
0,3
1
36
2,50 2,70
Jadi interval antara 2,5 dan 2,7 merupakan rataan nilai statistik I , dengan selang kepercayaan 95%
1 99% 0, 5% 2,575
Penaksiran
5
P 2,6 2,575
0,3 36
2,6 2,575
0,3
1 36
2,47 2,73
Jadi interval antara 2,47 dan 2,73 merupakan rataan nilai statistik I , dengan selang kepercayaan 99%
Contoh 1.2
Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu bila distribusi dianggap hampir normal .
Dik
: Penaksiran rata-rata n=7
= 10
s = 0,283
N =~
df = 7 – 1 = 6
Dit
: Selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol
Jawab
:
1 95% t 2, 5%,6 2,447
P t 2
S n
P 10 (2,447)
t 2
0,283 7
1 n
S
10 (2,447)
0,283
1
7
9,74 10,26
Jadi interval antara 9,74 dan 10,26 merupakan rataan isi botol, dengan selang kepercayaan 95%
1.3.2.2 Penaksiran Interval untuk Selisih Rata-rata 1
2 2
2
Jika ada dua populasi masing-masing dengan rataan 1 dan 2 dan variansi 1 dan 2 , maka penaksir titik unsuk selisih antara 1 dan 2 diberikan oleh statistic 1 dan 2 . Jadi untuk memperoleh taksiran titik untuk 1 dan 2 diperlukan dua sampel acak yang saling bebas, satu dari tiap populasi, masing-masing berukuran n1
dan n2, kemudian
dihitung selisih rataan kedua sampel x1 x 2 .
Penaksiran
6
Kondisi A: jika n1 dan n 2 besar ( 30) (1) 1 dan 2 diketahui 2 2 1 2 P 1 2 2 n1 n2
1 2 1 2
(2) 1 dan 2 tidak diketahui. 1
P 1 2 .
2
(3) 1
2
1 n1
1
n2
2
2
2
2
2 2
1 2 1 2
. 2
1 n1
1 n2
1
2 2 dan besarnya tidak diketahui
2 2 S 1 S 2 P 1 2 2 n n2 1
2
1 n1 n2
1
1 2 1 2
S 1 2
2
n1
1 n2
S 2
2
Kondisi B : jika n1 dan n 2 kecil (< 30) (1) 1 dan 2 diketahui, populasi mendekati distribusi normal 2 2 1 2 P 1 2 t ,v 2 n n2 1
1 2 1 2 t
1 n1 n2
1 2
,v
2
2
2
dengan df = v = n 1 + n2 – 2
(2) 1 dan 2 tidak diketahui. Asumsi 1
2
2 2 , populasi mendekati distribusi
normal
Dicari dulu simpangang baku gabungan Sp. Sp
P 1
n1 1S 1 2 n2 1S 2 2 n1
n2 2
2 t ,v .Sp 2
1 n1
1 n2
1 2 1 2 t ,v .Sp 2
1 n1
1 n2
1
dengan df = v = n 1 + n2 – 2
Penaksiran
7
(3) 1 dan 2 tidak diketahui. Asumsi 1
2
2 2 , populasi mendekati distribusi
normal 2 2 S 1 S 2 P 1 2 t ,v* 2 n1 n2
1 2 1 2 t
1 n1 n2
S 1 2
,v*
2
S 2
2
Rumus derajat kebebasan df = v* yaitu:
S
S 2 2 n2 1 v* S 12 n1 2 S 2 2 n2 2 n n 1 1 1 2
2
2
n1
Pengamatan Berpasangan
Cara penaksiran selisih dua rataan pada pengamatan berpasangan terjadi bila sampel tidak bebas dan variasi kedua populasi tidak perlu sama. Ilustrasinya sebagai berikut: Dilakukan pengujian mengenai program diet pada 15 orang, berat sebelum dan sesudah menerima diet membentuk dua sampel. Kedua populasinya ialah ‘sebelum’ dan ‘sesudah’ dan satuan percobaan ialah orang. Untuk menentukan apakah diet bermanfaat, hitung selisih ( d ) sebelum dan sesudah diet pada pengamatan berpasangan. Pengamatan dalam suatu pasangan mempunyai kebersamaan. Untuk menaksir selish atau beda rata-rata D x y dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data: di = Xi – Yi dimana
Xi = data ke-i dari percobaan 1 Yi = data ke-i dari percobaan 2 di = selisih percobaan 1 dan 2
Diperoleh rata-rata dan simpangan baku:
n n di di i 1 i 1 sd nn 1 n
d
di n
2
2
Sehingga rumus interval kepercayaan untuk D
x y untuk pengamatan
berpasangan:
d t 2 ,v
sd n
d d t 2,v
sd n
1
dengan v = n - 1
Penaksiran
8
Contoh 1.3
Seorang ahli bola lampu sedang melakukan penelitian terhadap bola lampu dengan merek yang berbeda, yaitu A dan B. Dia ingin mengetahui apakah ada selisih atau perbedaan ratarata lamanya hidup ( expected life ) dari kedua bola lampu tersebut.Untuk maksud itu, masing-masing merek diselidiki sebanyak 100 buah yang dipilih secara acak. Ternyata merek A dapat menyala rata-rata selama 3600 jam, sedangkan merek B selama 3500 jam. Diketahui simpangan baku merek A = 200 jam dan merek B = 200 jam. Dengan menggunakan tingkat keyakinan sebesar 90%, hitunglah penaksiran interval selisih ratarata lamanya hidup dari kedua bola lampu tersebut.
Dik
: Penaksiran selisih rata-rata n1 = n2 = 100
1 2 100
1 3600
1
200
2 3500
2
200
Dit
: penaksiran interval selisih rata-rata lamanya hidup bola lampu
Jawab
:
1 90% Z 5% 1,65 2 2 1 2 P 1 2 2 n n2 1
200 2 200 2 P 100 1,65 100 100
1 2 1 2
1 2 100 1,65
1 2
2
n1
1 n2
2
2
200 2 200 2 1 100 100
53,34 < 1 2 < 146,66
Jadi interval antara 53,34 jam dan 146,66 jam akan memuat selisih rata-rata lamanya hidup bola lampu dari kedua merek, dengan tingkat kepercayaan 90%
Contoh 1.4
Dalam makalah ‘ Essential Elemen in Fresh and channed Tomatoes ’, yang diterbitkan di Journal of Food Science, kandungan unsur penting ditentukan dalam tomat segar dan
kalengan menggunakan spektrofotometer penyerapan atom. Kandungan tembaga dalam tomat segar dibandingkan dengan kandungan tembaga pada tomat yang sama setelah dikalengkan dicatat dan hasilnya sebagai berikut:
Penaksiran
9
Tabel 1.2 Kandungan tembaga dalam tomat segar dan tomat kalengan
Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tomat segar 0,066 0,079 0,069 0,076 0.071 0,087 0,071 0,073 0,067 0,062
Tomat kalengan 0,0085 0,088 0,091 0,096 0.093 0,095 0,079 0,078 0,065 0,068
di 0,019 0,009 0,022 0,020 0.022 0,008 0,008 0,005 -0,002 0,006
Cari selang kepercayaan 98% untuk selisih sesungguhnya rataan kandungan tembaga dalam tomat segar dan kaleng.
Dik
: Penaksiran selisih rata-rata berpasangan n1 = n2 = 10 data tomat segar dan tomat kalengan
Dit
: penaksiran interval selisih rata-rata kandungan tembaga dalam tomat segar dan kalengan
Jawab
:
1 98% t 1%,9 2,821 d
di 0,117 0,0117 10
n
2
n n di di (10)(0,002003) (0,117) 2 i 1 i 1 0,0084 sd nn 1 (10)(9) n
2
d t 2 ,v
sd n
d d t 2,v
sd n
1
0,0084 0,0084 d 0,0117 (2,821) 1 10 10
0,0117 (2,821)
0,0042 < d < 0,0192
Jadi interval antara 0,0042 dan 0,0192 akan memuat selisih rata-rata kandungan tembaga dalam tomat segar dan kalengan, dengan tingkat kepercayaan 98%
Penaksiran
10
1.3.2.3 Penaksiran Interval untuk Proporsi (p)
Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial adalah pˆ n dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi, proporsi sampel pˆ n akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p. Menurut Teori limit pusat, untuk n cukup besar, distribusi pˆ hampir normal dengan rataan np
p
p
n
dan variansi 2 pˆ
npq n
2
pq n
Bila pˆ menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak n, dan qˆ 1 pˆ , maka penaksiran interval untuk proporsi dengan selang kepercayaan 1- : (1) n besar atau n kecil asal n pˆ 5 : pˆ qˆ
pˆ 2
n
p
pˆ qˆ
pˆ 2
n
Contoh 1.5
Sampel random dari suatu barang sebanyak 100 buah ternyata setelah diteliti ada yang rusak 30 buah. Dengan menggunakan tingkat kepercayaan sebesar 95%, hitunglah penaksiran interval p yang menunjukkan proporsi barang yang rusak.
Dik
: Penaksiran proporsi n = 100
x = 30
Dit
: penaksiran interval proporsi barang yang rusak
Jawab
:
1 95% 2,5% 1,96 pˆ
x n
30 100
pˆ 2
0,3 1,96
pˆ qˆ n
0,3
p
qˆ
(0,3)(0,7) 100
pˆ 2
p
1 pˆ 1 0,3 0,7
pˆ qˆ n
0,3 1,96
(0,3)(0,7) 100
0,21 < p < 0,39 21%< p < 39%
Penaksiran
11
Jadi interval antara 21% dan 39% akan memuat persentasi barang yang rusak sebenarnya dengan tingkat kepercayaan 95%
1.3.2.4 Penaksiran Interval untuk Selisih Proporsi (p1 – p2)
Bila pˆ 1 dan pˆ 2 menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak masing-masing ukuran n1 dan n2, qˆ1 1 pˆ 1 dan qˆ 2 1 pˆ 2 . Dan menurut Teori limit pusat, distribusi pˆ 1 pˆ 2 hampir normal dengan rataan
p1 p 2
pˆ 1 pˆ 2
dan variansi
2 pˆ 1 pˆ 2
p1 q1 n1
p 2 q 2 n2
maka interval kepercayaan untuk selisih proporsi (p1 – p2) adalah:
pˆ 1 pˆ 2
pˆ 1qˆ1
n1
2
pˆ 2 qˆ 2 n2
p1
p 2
pˆ 1 pˆ 2
pˆ 1 qˆ1
n1
2
pˆ 2 qˆ 2 n2
1
Contoh 1.6
Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.
Dik
: Penaksiran selisih proporsi n1 = 1500
x1 = 75
n2 = 2000
x2 = 80
Dit
: penaksiran interval selisih proporsi cacat pada kedua cara
Jawab
:
1 90% 5% 1,65 pˆ 1
pˆ 2
x1
n1
x2 n2
75 1500
80 2000
pˆ 1 pˆ 2
Penaksiran
0,05
qˆ1
1 pˆ 1 1 0,05 0,95
0,04
qˆ 2
1 pˆ 2 1 0,04 0,96
pˆ 1qˆ1
2
n1
pˆ 2 qˆ 2 n2
p1
p 2
pˆ 1 pˆ 2
pˆ 1 qˆ1
2
n1
pˆ 2 qˆ 2 n2
1
12
0,01 1,65
(0,05)(0,95) 1500
(0,04)(0,96) 2000
p1 p 2
0,01 1,65
(0,05)(0,95) 1500
(0,04)(0,96) 2000
-0,0017 < p1 – p2 < 0,0217
Karena selang mengandung nilai nol, maka tidak ada alasa mempercayai bahwa cara baru memberikan penurunan yang berarti dalam proporsi suku cadang yang cacat disbanding dengan cara lama.
1.3.2.5 Penaksiran Interval untuk Varians
2
Sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi
, 2
dan variansi
sampel s2 dihitung maka akan diperoleh suatu nilai dari statistis S 2. Taksiran selan untuk 2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistik:
2
n 1S 2
2
Statistik 2 berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan df = n – 1 bila sampel berasal dari populasi normal. Selang kepercayaan untuk 2 , yaitu:
n 1S 2 P 2 2
2
n 1S 2 21 2
1
Contoh 1.7
Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan: 46,4, 46,1, 45,8, 47,0, 46,1, 45,9, 45,8, 46,9, 45,2 dan 46,0. Carilah selang kepercayaan 95% untuk variansi semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal.
Dik
: Penaksiran variansi n = 10 46,4 46,1 45,8 47,0 46,1 45,9 45,8 46,9 45,2 46,0
Dit
: penaksiran interval variansi semua bungkusan bibit
Jawab
:
Penaksiran
13
1 α
df = n – 1 = 10 – 1 = 9 1 95% 2 0, 025 ,9 19,023 dan 2 0,975 ,9 2,700 2
n n i i (10)( 21273,12) (461,2) 2 i 1 i 1 2 0,286 S (10)(9) nn 1 n
n 1S 2 P 2 2
2
2
9(0,286) 2 19,023
P
n 1S 2 2 1 2
1
9(0,286) 2,700
1
0,135 < 2 < 0,953
Jadi interval antara 0,135 dan 0,953 akan memuat variansi semua bungkusan bibit yang akan dipasarkan perusahaan, dengan tingkat kepercayaan 95%
1.3.2.6 Penaksiran Interval Ratio/Nisbah Varians 1 2
2
2
2
2
Taksiran titik untuk nisbah dua variansi populasi 1 / 2 diberikan oleh nisbah variansi sampel s12/s22. 2
2
2
2
Bila 1 dan 2 variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk 1 / 2 dapat diperoleh dengan memakai statistik F :
F
2 S 1
2
2
2
2
1 S 2
Peubah acak F mempunyai distribusi F dengan derajat kebebasan v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1, maka P f 1 2 v1 , v 2 F f 2 v1 , v 2 2 2 2 S 1 P f 1 2 v1 , v 2 2 2 1 S 2
1
f 2 v1 , v 2
1
sehingga selang kepercayaan untuk nisbah varians adalah: 2 S 1 2 1 1 P 2 2 f v v S 2 2 1, 2 2
Penaksiran
S 1
2
S 2
2
f 2 v 2 , v1 1
14
Contoh 1.8
Dalam proses pembuatan “bola sepak” yang sifatnya tradisional (masih banyak menggunakan tenaga manusia dibandingkan mesin), produktivitas dapat ditingkatkan dengan memperkecil jumlah produk yang gagal yang dihasilkan oleh masing-masing operator. Perusahaan harus memilih metoda yang mempunyai rata-rata resiko kegagalan yang paling kecil. Untuk mengetahui perbedaan rata-rata jumlah yang gagal maka diambil sampel secara random dan diperoleh jumlah yang memenuhi kualitas adalah sebagai berikut:
Metoda A Metoda B
50 55
Jumlah yang memenuhi kualitas 52 57 42 47 41 49 49 51 55 52 53 58
55 47
55 -
52 -
Jumlah 500 420
Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk mengetahui apakah varians jumlah yang memenuhi kualitas dengan metoda A dan metoda B sama besar ?
Dik
: Penaksiran nisbah variansi n1 = 10
Metoda A Metoda B
n2 = 8
50 55
Jumlah yang memenuhi kualitas 52 57 42 47 41 49 49 51 55 52 53 58
55 47
55 -
52 -
Dit
: penaksiran interval nisbah variansi untuk metoda A dan B
Jawab
:
df 1= n1 – 1 = 10 – 1 = 9
Jumlah 500 420
df 2= n2 – 1 = 8 – 1 = 7
1 90% F 5%(9, 7) 3,68
n Si S Metoda A 10 5,395 29,111 Metoda B 8 3,546 12,571 2 S 1 2 1 1 P 2 2 f v v S 2 2 1, 2 2
2 29,111 1 1 P 2 12 , 571 9 , 7 f 2 5%
S 1
2
S 2
2
f 2 v 2 , v1
29,111 12,571
1
f 5% 7,9
2 1 1 P 2,316 2 3 , 68 2
2,316.(3, 29) 1
2 1 0,629 2 2
7,616
Penaksiran
1
15
Jadi interval antara 0,629 dan 7,616 akan memuat variansi jumlah yang memenuhi kualitas dari metoda A dan metoda B sama besar (karena dalam selang estimasi tersebut terdapat nilai 1), dengan tingkat kepercayaan 90%.
1.4 Penentuan Nilai n (ukuran sampel)
Dalam penelitian seringkali timbul pertanyaan, berapa besarnya n agar sebagi pendugaan parameter cukup baik. Perhatikan
1
i n
1 N
i
(n < N )
( kesalahan penarikan sampel)
Jika n N maka 0 Agar pendugaan sama dengan nilai sebenarnya, maka n = N , berarti harus diadakan sensus yang membutuhkan biaya mahal. Untuk menentukan nilai n, ada 3 faktor yang harus diperhatikan: 1. berapa besarnya yang akan ditolerir. Jika menghendaki = 0 maka n = N , sebab merupakan ukuran tingkat ketelitian. 2. Tingkat heterogenitas/variasi dari data populasi (nilai karakteristik/variabel) yang akan diselidiki, yang dinyatakan dalam besar kesilnya nilai (simpangan baku) 3. Besarnya tingkat keyakinan yang akan digunakan, untuk menjamin pernyataan (statement ) dari pendugaan yang dihasilkan.
Rumusnya adalah sebagai berikut:
2 n
2
dimana nilai 2 diambil dati Tabel Normal
Contoh 1.9
Seorang ahli analisis pasar akan memperkirakan harga telur ayam negeri di suatu kota besar. Berdasarkan pengalaman masa lampau telah diketahui besarnya simpangan baku = 16 rupiah. Ahli analisis pasar tersebut ingin 95% yakin bahwa di dalam pendugaan ratarata harga telur sesungguhnya tidak lebih dari plus atau minus 2 rupiah
2 ,
maksudnya ialah bahwa : P 2
Penaksiran
2 P 2 2 95%
16
Berapa besarnya nilai n = banyaknya pasar/toko/warung yang menjual telur ayam negeri yang harus diselidiki ?
Dik
: = 2 16
Dit
:n
Jawab
:
1 90% Z 5% 1,96 2
2 (1,96)(16) 2 n 246 2 Jadi banyaknya pasar/toko/warung yang menjual telur ayam negeri yang harus diselidiki sebanyak 246, dengan tingkat kepercayaan 90%
2 Untuk menduga proporsi, digunakan rumus berikut: n (0,25)
Penaksiran
2
17
