PEMBANGKITAN VARIAT RANDOM 1.
Pendahuluan
2.
Variat Random
Variat random (random variat ) merupakan nilai dari suatu variabel random yang memiliki distribusi probabilitas tertentu.
3.
Metode Umum Pembangkitan Variat Random
Terdapat empat metode umum pembangkitan pembangkitan variat random, yaitu: y aitu: Metode transformasi transformasi invers (inverse transformation method ) Metode komposisi (composition method ) Metode konvolusi (convolution method ) Metode penerimaan-penolakan penerimaan-penolakan (acceptance-rejection method )
4.
Metode Transformasi Transformasi Invers
⟹ −
Misal merupakan bilangan random. Misal suatu variabel random memiliki fungsi distribusi probabilitas kumulatif yang dinyatakan dengan . Secara umum, pembangkitan variat random dengan metode transformasi invers dilakukan dengan hubungan sebagai berikut:
=
=
1
F ( x)
U
x X
F ( x)
U
x X
4.1
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Seragam Kontinyu
− ≤≤
Misal ~ random dinyatakan dengan:
1
=
0
,
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel
;
; yang lain
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random dinyatakan dengan:
≤ − − ≤≤ − − − − ≤ −− − −− − − − − − 0
=
;
<
;
=
1
;
Variat random ~ rumusan sebagai berikut:
> ,
dapat dibangkitkan dengan
= =
=
4.2
+
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Eksponensial
Misal ~ dinyatakan dengan:
1
=
0
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
;
>0
; yang lain
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random dinyatakan dengan:
=
=
Variat random ~ sebagai berikut:
=
=1
=1
= ln 1
=
ln 1
1 0
; >0 ; yang lain
dapat dibangkitkan dengan rumusan
− − − − − ~
Karena
1 ~
~
=
0, 1
mengimplikasikan maka variat random 0, 1 , dapat dibangkitkan dengan hubungan:
ln
Jika parameter distribusi eksponensial dinyatakan dengan = 1 , maka pembangkitan variat random ~ dapat dinyatakan dengan:
ln 1
=
atau
ln
=
4.3
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Weibull
− −−
Misal ~ dinyatakan dengan:
,
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
1
=
; >0 ; yang lain
0
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dinyatakan dengan:
− −
− − − −
= 1 0
Variat random berikut:
~
=
=1
=1
; >0 ; yang lain ,
dapat dibangkitkan dengan rumusan sebagai
− − − − − − − − − = ln 1
=
ln 1
1
=
ln 1
1
=
4.4
ln 1
Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Bernoulli
Misal ~ dinyatakan dengan:
1
=
0
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
; =0 ; =1 ; yang lain
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random dinyatakan dengan:
≤ − ≥≤ −− − =
0 = 1 1
; <0 ;0 <1 ; 1
Variat random yang berdistribusi Bernoulli dengan parameter dapat dibangkitkan dengan rumusan sebagai berikut:
= =
=
+
Metode Konvolusi
Metode konvolusi merupakan metode pembangkitan variat random yang didasarkan pada ciri bahwa suatu variabel random tertentu merupakan jumlah dari variabel-variabel random lain yang identik dan saling independen. Pembangkitan Variat Random Binomial
Misal memiliki variabel random Bernoulli dengan parameter . Misal terdapat variabel random Bernoulli yang identik dan saling indepenen dengan parameter . Misal variabel random didefinisikan sebagai berikut:
=
1
+
⋯ 1
+
+
Variabel random memiliki distribusi binomial dengan parameter-parameter dan . Dengan demikian, variat random binomial dengan parameter-parameter dan dapat diperoleh dengan jumlah dari sebanyak variat random Bernoulli identik dan saling independen yang masing-masing memiliki parameter .
Pembangkitan Variat Random Erlang
Misal memiliki variabel random eksponensial dengan parameter / . Misal terdapat variabel random eksponensial yang identik dan saling independen dengan parameter / . Misal variabel random didefinisikan sebagai berikut:
=
1
+
⋯ 1
+
+
Variabel random memiliki distribusi Erlang dengan parameter-parameter dan . Dengan demikian, variat random Erlang dengan parameter-parameter dan dapat diperoleh dari jumlah dari sebanyak variat random eksponensial yang identik dan saling independen yang masing-masing memiliki parameter / .
Metode Penerimaan-Penolakan
≥
Misal suatu variabel random memiliki fungsi distribusi probabilitas dan fungsi distribusi probabilitas kumulatif . Metode penerimaan-penolakan memerlukan penentuan suatu fungsi sedemikian hingga untuk semua .
∞ ∞ ∞ −∞ ≥−∞ ⟹−∞
Misal adalah variabel random kontinyu. Fungsi distribusi probabilitas karena:
=1
bukanlah suatu fungsi
Misal
∞ −∞
≤ =
dan suatu fungsi
didefinisikan dengan:
=
Fungsi
merupakan fungsi distribusi probabilitas.
Langkah 1: Bangkitkan yang memiliki distribusi probabilitas
.
Langkah 2: Bangkitkan ~ seragam kontinyu 0, 1 yang independen terhadap . Langkah 3: Jika
, tetapkan
= . Jika sebaliknya, kembali ke langkah 1.
Metode Penerimaan-Penolakan untuk Pembangkitan Variat Random Poisson
− ⋯ ⋯ ≤ ⋯ Misal ~ dinyatakan dengan:
=
!
0
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
;
= 0, 1,
; yang lain
Variabel random diinterpretasikan sebagai jumlah kejadian dalam satuan waktu. Misal variabel random menyatakan waktu antar kejadian dengan . Berdasarkan hubungan antara distribusi Poisson dengan ~ distribusi eksponensial, maka Misal
= . Kondisi ini terpenuhi jika dan hanya jika:
1
+
2
+
+
1<
1
+
2
+
+
+
+1
Untuk
= artinya terdapat tepat kejadian selama satu satuan waktu.
Dengan demikan, variat random Poisson yang berdistribusi Poisson dengan parameter dapat dibangkitkan dengan membangkitkan sejumlah variat random eksponensial dengan parameter hingga kejadian terjadi setelah 1 satuan
− ≤ − ≥− ≥− +1
ln
1<
=1
ln
=1
+1
ln
>
=1
ln
=1
+1
>
=1
=1
7. Pembangkitan Variat Random dengan Sifat-Siat Khusus dari Distribusi Probabilitas
Pembangkitan variat random dapat dilakukan menggunakan sifat-sifat khusus dari distribusi probabilitas. 7.1
Pembangkitan Variat Random Lognormal
Pembangkitan variat random lognormal dengan parameter-parameter dapat dibangkitkan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku. Misal terdapat variat random normal baku yang saling independen . Variat random yang berdistribusi khikuadrat dengan parameter dapat ditentukan 7.2
Pembangkitan Variat Random Khikuadrat
Pembangkitan variat random khi-kuadrat dengan parameter (derajat kebebasan) dapat dibangkitkan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku. Misal terdapat variat random normal baku yang saling independen . Variat random yang berdistribusi khikuadrat dengan parameter dapat ditentukan
⋯ =
2 1
+
2 2
+
+
2
Pembangkitan Variat Random Distribusi- t
Pembangkitan variat random distribusi-t dapat ditentukan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku dan khikuadrat. Misal adalah variabel random normal baku dan adalah variabel random khikuadrat dengan derajat kebebasan . Misal dan adalah saling independen. Misal variabel random didefinisikan dengan:
=
Maka, variabel random kebebasan) .
adalah berdistribusi t dengan parameter (derajat
Pembangkitan Variat Random Distribusi F
Misal 1 dan 2 masing-masing adalah variabel random yang memiliki distribusi khikuadrat dengan parameter (derajat kebebasan) 1 dan 2 . Misal 1 dan 2 adalah saling independen. Misal variabel random didefinisikan dengan:
=
1
1
2
2
Maka, variabel random adalah berdistribusi F dengan parameter-parameter (derajat-derajat kebebasan) 1 dan 2 . Beberapa Algoritma Pembangkitan Variat Random
Pembangkitan Variat Random Seragam Kontinyu
− − − − − − − − Misal ~
,
Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = + . Berhenti.
. Algoritma pembangkitan dari
adalah:
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 5,
= 0,1234. = 5 + 0,1234 10
= 10 .
5 = 5,6170
Pembangkitan Variat Random Segitiga
Misal ~
, ,
. Algoritma pembangkitan dari
adalah:
Pembangkitan Variat Random Eksponensial
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = Berhenti. ln 1
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2: Karena
=5 .
= 0,1234. = 5 ln 1
0,1234 = 0,6585
~
0, 1 ,
maka 1 ~ 0, 1 . Oleh karena itu, Algoritma pembangkitan untuk juga dapat ditulis sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = . Berhenti. ln
Contoh
Misal ~
=5 .
− ⋯ ⋯ ⟹ − − ⟹ − − = 0,1234. = 5 ln 0,1234 = 10,4618
Langkah 1: Langkah 2:
Pembangkitan Variat Random Erlang
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2:
,
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
Bangkitkan , dengan ~ 1, 2, Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = 1 + 2 + + . Berhenti.
.
Contoh
Misal ~
= 2,
Langkah 1:
1
=5 .
= 0,1234
1
= 0,5678
1
=
2 5
ln 1
0,1234 = 0,3293
ln 1 0,5678 = 2,0972 2 = 0,3293 + 2,0962 = 2,0972
2
Langkah 2:
=
5
Pembangkitan Variat Random Weibull
Misal ~
,
− − − −
Langkah 1:
Langkah 2:
Bangkitkan 2. Tetapkan:
~
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
1
=
ln 1
Berhenti.
Contoh
Misal ~ ~ Langkah 1: Langkah 2:
= 3,
=5 .
= 0,1234.
=5
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
ln 1
0,1234
1 3
= 8,2498
− − − ⋯ − ⋯ − − − ~
Karena
0, 1 ,
maka 1 ~ 0, 1 . Oleh karena itu, pembangkitan untuk juga dapat dinyatakan dengan langkah-langkah: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan . Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan: 1
=
ln
Berhenti.
Contoh
Misal ~ ~
= 3,
Langkah 1:
= 0,1234.
Langkah 2:
=5
=5 .
1 3
ln 0,1234
= 1,1208
Pembangkitan Variat Random Normal
Misal ~ berikut:
,
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah sebagai
Algoritma 1
Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan 1 , 2 , , 12 dengan Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan:
~
12
=
6
=1
Langkah 3:
Tetapkan
=
+
. Berhenti
Contoh
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2: Langkah 3:
= 10,
=2 .
= 0,0123, 2 = 0,1234, 3 = 0,2345, 4 = 0,3456, 5 = 0,4567, 6 = 0,5678, 7 = 0,6789, 8 = 0,7890, 9 = 0,8901, 10 = 0,9012, 11 = 0,0213, 12 = 0,1324 = 0 ,0123 + 0,1234 + + 0,1324 6 = 08468, = 1 0 + 2 0,8468 = 8,3064
1
0, 1 .
Metode 2
Langkah 1: Langkah 2:
Langkah 3:
−− ~
Bangkitkan 1 dan 2 dengan Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan:
1
=
2
=
2 ln
1
cos 2
2
2 ln
1
sin 2
2
0, 1 .
.
Lanjutkan ke langkah 3. Tetapkan: 1 2
= =
+ +
1
2
Berhenti.
Metode 3
Metode ini memerlukan dua bilangan random. Metode ini menghasilkan dua pasang variat random normal. Langkah 1:
Bangkitkan 1 dan 2 dengan Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan:
−− ≤ − − −
Langkah 2:
1
2
Langkah 3: Langkah 4:
Langkah 5: Langkah 6:
=2 =2
1
2
Tetapkan = Tetapkan 1 = Tetapkan: 2
= =
+ +
2 ln
1
dan
2
1
2
Contoh
Langkah 1:
Langkah 2:
= 10,
2
= 0,0123 = 0,9876
1
= 2 0,0123
1
=2 .
1=
1, lanjutkan ke langkah 4. Jika
. Lanjutkan ke langkah 5. = 2 . Lanjutkan ke langkah 6.
Berhenti.
Misal ~
0, 1 .
1 1
Lanjutkan ke langkah 3 Tetapkan = 12 + 22 . Jika sebaliknya, kembali ke langkah 1.
1
~
0,9754
− −− −
Langkah 3: Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 4: Langkah 5: Langkah 6:
− −− − − −
= 2 0,9876 = 0,9574 1 = 0,2002 2 = 0,7887 1 = 2 0,2002 2 = 2 0,7887 = 0,5996 2
2
1 = 0,9752 + 0,9752 2 = 1,9024 > 1
1 = 0,5996 1 = 0,5774 2 + 0,5774 2 = 0,6929
≤
1
= 2 ln 0,6929 0,6929 = 1,0290 0,5996 1,0290 = 0,6170 1 = 2 = 0,5774 1,0290 = 0,5942 0,6170 = 8,7660 1 =10+2 2 = 1 0 + 2 0,5942 = 11,1883
Pembangkitan Variat Random Lognormal
⋯ − − −
, . Metode pembangkitan untuk variat random Misal ~ didasarkan atas hubungannya dengan distribusi normal. Langkah-langkah adalah sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
, Bangkitkan ~ Tetapkan = . Berhenti.
. Lanjutkan ke langkah 2.
Contoh
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2:
= 10,
=2 .
= 0,0123, 2 = 0,1234, 3 = 0,2345, 4 = 0,3456, 5 = 0,4567, 6 = 0,5678, 7 = 0,6789, 8 = 0,7890, 9 = 0,8901, 10 = 0,9012, 11 = 0,0213, 12 = 0,1324 = 0 ,0123 + 0,1234 + + 0,1324 6 = 08468, = 1 0 + 2 0,8468 = 8,3064 = 8,3064 = 4049,7
1
Misal ~ dengan rerata dan simpangan baku . Untuk pembangkitan variat random , nilai-nilai parameter dari distribusi lognormal harus dihitung terlebih dahulu dengan rumusan sebagai berikut:
= ln
=
ln
2
+
2
2
+
2
2
Pembangkitan Variat Seragam Diskret
− − ≤
Misal ~ , . Metode pembangkitan untuk variat random didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1:
Langkah 2:
Bangkitkan ~ 2. Tetapkan = +
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
+1
. Berhenti.
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 0,
= 0,9889. = 0 + 10
= 10 .
0 + 1 0,9889
= 10.
Pembangkitan Variat Random Bernoulli
Misal . Metode pembangkitan untuk variat random ~ didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan Jika Berhenti.
. Lanjutkan ke langkah 2. , tetapkan = 1. Sebaliknya, tetapkan
Contoh 1
Misal ~
Langkah 1:
= 0,7 .
= 0,2345.
= 0.
≤ ⟹ ⟹ ⋯ ⋯ ≤≤ ⟹⟹ ≤ ⟹⟹ ⟹
Langkah 2:
= 0,2345
= 0,7
= 1.
Contoh 2
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 0,7 .
= 0,9876. = 0,9876 >
= 0,7
= 0.
Pembangkitan Variat Random Binomial
Misal ~ , . Metode pembangkitan untuk variat random didasarkan atas metode konvolusi dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Langkah 2:
Bangkitkan 1 , 2 , , dengan yang saling ~ independen dan berdistribusi identik. Lanjutkan ke langkah 2. Tetapkan = 1 + 2 + + . Berhenti.
Contoh
Misal ~
Langkah 1:
Langkah 2:
= 5,
= 0,1234 2 = 0,0246 3 = 0,9753 > 4 = 0,0369 5 = 0,8574 > = 1+ 2+
1
= 0,7 .
= 0,7 = 0,7 = 0,7 = 0,7 = 0,7 3 + 4 +
=1 2 =1 3 =0 4 =1 5 =0 = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3. 1
5
Pembangkitan Variat Random Geometrik
Misal ~ . Misal probabilitas terjadi “sukses” dinyatakan dengan . Variat random yang dibangkitkan di sini menunjukkan jumlah “gagal” sebelum diperoleh “sukses” pertama. Metode 1
− − − − − − − ≤
Metode pembangkitan untuk variat random didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1:
Langkah 2:
Bangkitkan ~ 2. Tetapkan = ln 1
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
ln 1
. Berhenti.
Contoh
~ geometrik
= 0,7
= 0,1403. = ln 1 0,1403
Langkah 1: Langkah 2:
= 0.
0, 1 ,
maka 0, 1 . Oleh karena itu, Algoritma pembangkitan dapat dinyatakan dengan:
1
~ untuk ~
Langkah 2:
0,7
~
Karena
Langkah 1:
ln 1
Bangkitkan ~ 2. Tetapkan = ln
0, 1 . Lanjutkan ke langkah
ln 1
. Berhenti.
Contoh
~ geometrik
Langkah 1: Langkah 2:
= 0,7
= 0,1403. = ln 0,1403
ln 1
0,7
= 1.
Algoritma 2
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3:
Tetapkan = 0. Lanjutkan ke langkah 2. Bangkitkan ~ 0, 1 . Lanjutkan ke langkah 3. Jika , tetapkan = dan berhenti. Sebaliknya, tetapkan
≤ ⟹ ≤ ⋯ ⋯ ⟹⟹ −− = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Contoh 1
~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3:
= 0,7
= 0. = 0,1403. = 0,1403
= 0,7
=0
Contoh 2
~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 2: Langkah 3:
= 0,7
= 0. = 0,6506. Karena = 0,9809 > = 0,7, maka = + 1 = 0 + 1 = 1 . = 0,1706. Karena = 1706 = 0,7, maka = 1.
Pembangkitan Variat Random Binomial Negatif
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
,
Bangkitkan 1 , langkah 2. Tetapkan =
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
2,
1
,
+
~ geometrik
dengan
2
+
+
. Lanjutkan ke
. Berhenti.
Contoh
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
= 2,
= 0,7 .
= 0,1234 1 = ln 0,1234 ln 1 2 = 0,8574 2 = ln 0,1234 ln 1 = 1+ 2 =1+0=1
1
0,7 0,7
=1 =0
Pembangkitan Variat Random Poisson
Misal ~
Langkah 1:
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
Tetapkan
= 1 dan = 0. Lanjutkan ke langkah 2.
− − ⟹ ≥− ⟹ − ≥ ⟹ − ⟹
Langkah 2:
Langkah 3:
Bangkitkan 0, 1 . Lanjutkan ke +1 ~ langkah 3. Tetapkan = , tetapkan = dan berhenti. < +1 . Jika Sebaliknya, tetapkan = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Contoh 1:
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3:
=1 .
= 1 dan = 0 1 = 0,1717 = 1 = 1 0,1717 = 0,1717. = 0,1717 < = 0,3679 = =0
Contoh 2:
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 2: Langkah 3:
=1 .
= 1 dan = 0 1 = 0,6812 = 1 = 1 0,6812 = 0,6812 = 0,6812 = 0,3679 = +1=0+1=1 2 = 0,9807 = 1 = 0,6812 0,9807 = 0,668 = 0,6681 = 0,3679 = +1=1+1=2 2 = 0,2209 = 1 = 0,6681 0,2209 = 0,1476 = 0,1476 < = 0,3679 = =2
Pembangkitan Variat Random Empiris Diskret
Misal ~
Langkah 1: Langkah 2:
Langkah 3:
Contoh
. Algoritma pembangkitan untuk adalah:
−
Tetapkan = 1 dan = 0. Lanjutkan ke langkah 2. Bangkitkan +1 ~ seragam kontinyu 0, 1 . Lanjutkan ke langkah 3. Tetapkan = , tetapkan = dan berhenti. < +1 . Jika Sebaliknya, tetapkan = + 1 dan kembali ke langkah 2.
Misal ~ empiris diskret
= 0,3 0,6 0,1
0 1 2
0 1 2
Langkah 1: Langkah 2:
= 5342 = 5342
( ) 0,3 0,6 0,1
( ) 0,3 0,9 1,0
