Abstract —Malakah —Malakah ini membahas tentang pengenalan Random Variable. Va riable. Pemahaman tetang random r andom variable akan membantu mempermudah pemahaman tantang proses stokastik atau proses random serta penerapannya dalam berbagai bidang khususnya khususn ya bidang teknik komunikasi dan informasi, maupun bidang – bidang lainnya. Proses, fenomena atau kejadian yang terjadi pada bidang teknik umumnya bersifat random karenanya didalam perhitungan dan pencarian solusi akan melibatkan variabel yang random pula Random Variable!. Va riable!. "alam makalah ini akan diuraikan juga bentuk – bentuk dari random variable yang berupa fungsi – fungsi random variable.
Index Te Terms rms— —Probability Probability,, random variable, discrete random variable, probability mass function, function, commulative distribution distribution function, continues continues random variable, probability distribution function
PENDAHULUAN Pada setiap aplikasi sain dan teknologi, hasil # hasil pengukuran dan observasi selalu diekspresikan dalam $uantitas numerik angka!. %asil observasi dan pengukuran yang berupa numerik tersebut mempunyai variasi yang tidak tentu uncertain! dalam setiap kali kemunculannya. &ilai inilah yang kemudian direpresentasikan dengan random variable. 'ika probabilitas mendefinisikan hasil diskrit dari suatu percobaan yang dilakukan secara acak, maka random variable adalah a dalah fungsi yang mendefinisikan percobaan yang dilakukan secara acak()*. Random Variable Variable r.v! adalah nilai yang berkaitan dengan hasil sebuah percobaan. %asil percobaan atau pengamatan terhadap fenomena alam umumnya mempunyai banyak nilai. +arena merupakan hasil dari suatu percobaan yang bersifat dinamik dan acak, maka nilai ini mempunyai juga mempunyai sifat berubah secara acak dan tidak dapat dipastikan.
"engan kata lain, nilai RV merupakan fonomena yang acak dan juga nilai numerik dari suatu fenomena yang acak()*. Random Variable juga sering disebut tochastic. D E I N I ! I " A N D # $ % A" I A & L E Definisi -ndaikan suatu percobaan menghasilkan suatu bidang sampel yang diberi notasi . Random variable /! adalah fungsi riil yang berhubungan dengan nilai tunggal yang merupakan bilangan riil pada bidang sample . -tau dapat dengan kata lain nilai /! tersebut merupakan nilai sampel ' pada bidang sampel . 0idang disebut sebagai domain dari r.v ' . ekumpulan nilai disebut sebagai range dari r.v. . 1ambar 2 menunjukkan konsep dari domain dan range dari .
1ambar 2 R.v yang berasosiasi dengan titik sampel. 3ontoh random variable pada percobaan tossin( koin mata uang dapat digambarkan sebagai berikut. +oin mempunyai dua sisi yang disebut head %! dan tail 4!. 'ika hanya digunakan 2 koin, maka kita dapat mendefinisikan hasil percobaan tossing koin tersebut dengan r.v sebagai berikut 5 4! 6 7 %! 6 2 atau kita dapat mendefinisikan r.v lainnya misalnya, 84! 6 2, 8%! 6 7 atau 94! 6 7 dan 9%! 6 7
4! 6 7 dapat dipahami bah/a nilai probabilitas keluarnya sisi 4 tail! pada suatu bidang percobaan ! adalah 7 atau peluang munculnya tail adalah 7. edangkan r.v. %! 6 2 digunakan untuk menunjukkan bah/a peluang munculnya % head! adalah 2. :ntuk menyatakan nilai r.v yang lain digunakan penamaan variable lain mis. 8 atau 9!. emua nilai – nilai yang dihasilkan dari percobaan tossing koin tersebut dapat digambarkan dalam maping bidang sample. Maping bidang sample pada garis riil dari hasil percobaan tersebut ditunjukkan pada gambar ).
1ambar ) R.v yang menggambarkan hasil percobaan tossin( satu buah koin. Event yang didefinisikan oleh Random Variable
'ika adalah r.v dan ; merupakan nilai tetap numerik!, maka Event -; adalah bagian dari bidang yang berisi semua titik sampel riil dimana r.v terkait dengan angka ;. %al ini dapat dituliskan 5
Event -; mempunyai probabilitas yang dapat dituliskan 5
+ita dapat mendefinisikan berbagai macam Event dalam rendom variable. Misalkan kita mempunyai nilai tetap ;, a dan b, kita bisa mendefinisikan 5
+eterangan 5 P( < ;* adalah probabilitas dimana nilai lebih besar atau sama dengan ;. P( = ;* adalah probabilitas dimana nilai lebih besar dari ;, hal ini artinya sama dengan 2> P( < ;*. P(a ? ? b* adalah probabilitas dimana nilai berada diantara nilai a dan b. Fungsi Distribusi (Distribution Function) uatu fungsi ;t! dapat dipahami sebagai aturan – aturan hubungan antara nilai aturan! ; dan nilai t. -turan – aturan antara ; dan t dapat berupa kurva, table maupun rumus, misalnya ;t! 6 t). %ubungan ;t! 6 t) dapat dipahami hubungan ; dan t adalah t), sehingga jika t 6 ) maka ; 6 @. Random Variable adalah fungsi yang mana domainnya merupakan set yang diperoleh dari hasil percobaan (2*. alah satu fungsi yang dimaksud disini adalah fungsi distribusi. ebagaimana disebutkan pada poin 2, jika adalah r.v dan ; adalah sebuah nilai, maka kita dapat mendefinisikan Event ( < ;*6A; B /! < ;C. "istribution Dunction dari dapat dituliskan 5
D;! menunjukkan probabilitas yang mana r.v berada pada nilai lebih kecil atau sama dengan ;. 0eberapa sifat distribution function adalah 5
2. D;! bukan fungsi yang menurun, sehingga jika ;2 ? ;), maka D;2! < D;)!. ehingga, nilai D;! dapat naik atau tetap tetapi tidak dapat turun. ). 7 < D;! < 2 E. D F! 6 2 @. D >F! 6 7 G. P(a ? < b*6 D b!> D a! H. P( = a*6 2>P( < a*6 2> D a!
D I ! ) " E T E " A N D # $ % A" I A & L E ! "iscrete random variables adalah random variable yang dapat memenuhi pada sebagian besar angka yang dapat dihitung I diukur pada nilai – nilai yang mungkin ()*. Misalkan kita mempunyai bidang sampel kerusakan mesin. +ita dapat mendefinisikan semua kemungkinan penyebab kerusakan sebagai bidang sample, misalnya dapat ditulis 6 Aelektrik, mekanik, *uman error C. etiap jenis kerusakan dapat dihubungkan dengan biaya perbaikan, misalnya AG7, )77, EG7C. 0iaya itu merupakan discrete r.v 5 G7, )77 dan EG7. "ari kasus diatas dapat ditulis suatu r.v misalnya elektrik6G7! 6 7,2. Jni dapat dipahami bah/a nilai probabilitas kerusakan yang disebabkan oleh sebab – sebab elektrik yang berbiaya G7 adalah 7,2. Penulisan suatu r.v dalam nilai diskrit dapat dituliskan dalam dua jenis fungsi distribusi yaitu Probability Mass Dunction PMD! dan 3umulative "istribution Dunction 3"D!. Probability Mass Function (PMF)
:ntuk nilai discrete r.v , Probability Mass Dunction PMD!, p;;! dapat didefinisikan sebagai 5 p;! 6 P( 6 ;* Probability Mass Dunction PMD! selalu lebih besar daripada 7 untuk setiap nilai ; yang masih dapat dihitung I diukur. Pada keadaan tertentu, jika kita hanya mengasumsikan bah/a nilai hanya terkait dengan satu nilai ;i, ;), K. ;n, maka5 p;i! L 7 , i 6 2, ),..., n p;! 6 7 , sebaliknya Cumulative Distribution Function (CDF) 3"D dari dapat diekspresikan pada p;! sebagai 5 3"D dari r.v merupakan fungsi bertahap. 'ika mempunyai nilai ;2, ;), ;E, K dimana ;2?;)?;E K maka nilai D;! konstan pada interval antara ;i#2 dan ;2, kemudian akan bernilai p;! pada ;i, dimana i6), E, K ehingga dalam kasus ini, D;! merupakan penjumlahan dari semua mass probabilitas yang dapat kita hitung antara #F sampai F ()*. "iasumsikan r.v cost mempuyai PMD yang diberikan sebagai berikut 5 P cost6G7!67.E, P cost6)77!67.), P cost6EG7!67.G Maka 3"D dapat diperoleh 5 Dcost;! 6
7 ; ? G7 7,E G7 ? ; ? )77 7,G )77 < ; ? EG7
2 ; L EG7 1rafik dari 3"D dari fungsi tersebut ditunjukkan gambar E.
1ambar E 1rafik 3"D dari fungsi cost ;!.
) # N T I N U # U ! " A N D # $ % A" I A & L E ! 3ontinuous Random Variables digunakan untuk mendefinisikan jika suatu set dari nilai – nilai yang ada tidak dapat dihitung atau tentukan secara pasti. &ilai tersebut bersifat kontinyu. +ita dapat menyatakan r.v sebagai 3ontinuous Random Variables jika probabilitas r.v yang merupakan anggota dari -, P ∈ -! mempunyai pola 5
adalah 3ontinuous Random Variables jika dan hanya jika ia mempunyai range yang memuat suatu interval dari bilangan riil baik finite maupun infinite! (E*.
Probability Density Function (PDF)
Dungsi f;! disebut sebagai dari random variable dan dapat ditulis ()*5
Probability Density unction P"D! mempunyai sifat – sifat 5
2. f;! L 7 ). 'ika harus dinyatakan dalam suatu nilai maka 5 E.
yang mana
@. +E!I$PULAN Random variable harus dipahami sebagai suatu nilai yang dinyatakan dalam bentuk fungsi # fungsi. Pendekatan nilai random variable berbeda dengan variable diskrit yang digunakan pada perhitungan statistik. %al ini disebabkan karena nilai yang dinyatakan dalam r.v sesunggunya adalah bentuk diskrit dari suatu fungsi, bukan nilai distrit yang sesungguhnya.
"EE"EN)E! 2. Papoulis, NProbability, Random Variables and tochastic ProcessesO , End, &e/ 8ork5 Mc1ra/#%ill, 22, ). Jbe, Qliver 3., NDundamentals of -pplied Probability and Random ProcessesO, lsevier -cademic Press, )77G. E. 1ubner, 'ohn -., NProbability and random processes for electrical and computer engineersO, 3ambridge :niversity Press, )77H.
