Unidad 3 Ecuaciones E Inecuaciones, Funciones Y Gráficas, Funciones Especiales
Contenido INTRODUCCIÓN ................................................ .......................................................................... .................................................... .......................... 2 1. DESIGUALDADES .......................................... .................................................................... ................................................... ........................... 2 1.1 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES ................................................ ................................................ 3 1.2 INECUACIONES ................................................ ......................................................................... ........................................... .................. 5 1.3. INTERVALOS SOBRE LA RECTA DE LOS NÚMEROS REALES............... 5 1.3.1 Clases de Intervalos ................................................. ........................................................................... .............................. .... 6 1.3.2. Operaciones con Intervalos.................................................. .................................................................... .................. 8 1.3.3. Valor Absoluto de Ecuaciones y Desigualdades: .............................. ................................. ... 17 1.3.4. Propiedades de Valor Va lor Absoluto ................................................. ............................................................ ........... 18 1.4. ECUACIONES ....................................................... ................................................................................. ..................................... ........... 19 1.5. SISTEMAS S ISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ................................. ................................................. ................ 24 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones ec uaciones lineales ............................. ............................. 24 1.6. ECUACIÓN CUADRÁTICA................................................. ......................................................................... ........................ 39 2. FUNCIÓN LINEAL, FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y FUNCIÓN EXPONENCIAL .. 42 2.1 FUNCIÓN LINEAL .............................................. ....................................................................... ......................................... ................ 42 2.1.1 Pendiente de d e una u na Función Fu nción Lineal ................................................... .......................................................... ....... 43 2.2.2. Ecuación Punto Pendiente Pe ndiente .............................. ........................................................ ..................................... ........... 45 2.2.3. Modelos Lineales ................................................................. ................................................................................. ................ 46 2.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA ............................................... ......................................................................... ............................ .. 49 2.3. FUNCIONES ESPECIALES ..................................................................... ....................................................................... .. 54 Función Logarítmica ............................. ....................................................... ................................................... ................................ ....... 54 2.4 ECUACIONES LOGARÍTMICAS ..................................... .............................................................. ............................ ... 56 2.5 FUNCIONES EXPONENCIALES ................................................ ................................................................ ................ 57 BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS DIGITALES ................................. ......................................................... ........................ 60
INTRODUCCIÓN Apreciado(a) estudiante: en esta unidad, se tratarán los conceptos básicos del Álgebra, como las desigualdades e inecuaciones, los sistemas de ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas, ecuaciones logarítmicas; se hará un breve repaso, sobre razones y proporciones, regla de tres simple y compuesta, y algunas aplicaciones sobre interés simple y compuesto. La aplicación de los conceptos claros, que enmarcan los conceptos básicos de Álgebra, dan claridad clar idad de los conceptos fundamentales de las Matemáticas, ya que constituyen la base de otras asignaturas, como lo es la Trigonometría, las Matemáticas Financieras, el Cálculo, la Geometría Analítica, entre otras. En esta unidad, se profundizará en las características especiales que tienen los temas a tratar, donde se involucran diferentes contextos, con problemas de aplicación, basados en la teoría explicada.
Conocimientos previos requeridos
Operaciones con el conjunto conjunto de los números números reales (adición, sustracción, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación). Mínimo común múltiplo, y máximo común divisor. Descomposición en factores primos. Análisis e interpretación de problemas. Operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división) Productos notables Factorización de expresiones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas.
Competencias Al finalizar la unidad, el estudiante estará en capacidad de:
Identificar las variables de una ecuación lineal Realizar operaciones basadas en el contexto de los polinomios Factorizar adecuadamente, expresiones algebraicas. Desarrollar adecuadamente los métodos de solución de los sistemas sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, o según sea el caso. Aplicar correctamente los los sistemas de ecuaciones, en su entorno diario.
1. DESIGUALDADES Según Montoya. R Juan C. Docente ECT. Definición: Una desigualdad, es una expresión matemática, que contiene los siguientes signos:
INTRODUCCIÓN Apreciado(a) estudiante: en esta unidad, se tratarán los conceptos básicos del Álgebra, como las desigualdades e inecuaciones, los sistemas de ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas, ecuaciones logarítmicas; se hará un breve repaso, sobre razones y proporciones, regla de tres simple y compuesta, y algunas aplicaciones sobre interés simple y compuesto. La aplicación de los conceptos claros, que enmarcan los conceptos básicos de Álgebra, dan claridad clar idad de los conceptos fundamentales de las Matemáticas, ya que constituyen la base de otras asignaturas, como lo es la Trigonometría, las Matemáticas Financieras, el Cálculo, la Geometría Analítica, entre otras. En esta unidad, se profundizará en las características especiales que tienen los temas a tratar, donde se involucran diferentes contextos, con problemas de aplicación, basados en la teoría explicada.
Conocimientos previos requeridos
Operaciones con el conjunto conjunto de los números números reales (adición, sustracción, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación). Mínimo común múltiplo, y máximo común divisor. Descomposición en factores primos. Análisis e interpretación de problemas. Operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división) Productos notables Factorización de expresiones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas.
Competencias Al finalizar la unidad, el estudiante estará en capacidad de:
Identificar las variables de una ecuación lineal Realizar operaciones basadas en el contexto de los polinomios Factorizar adecuadamente, expresiones algebraicas. Desarrollar adecuadamente los métodos de solución de los sistemas sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, o según sea el caso. Aplicar correctamente los los sistemas de ecuaciones, en su entorno diario.
1. DESIGUALDADES Según Montoya. R Juan C. Docente ECT. Definición: Una desigualdad, es una expresión matemática, que contiene los siguientes signos:
Sea
,, , ,,, ∈ , se expresan las siguientes relaciones, en este conjunto: < , , > , ,
Estos se conocen como desigualdades estrictas.
≤ , , ≥ , , Ejemplos: Sean las siguientes relaciones:
.3 . 3 < 4, 3 4 .2 > 1 100 00,, 2 100 100 c. 3 ≤ 6 3 6 d. 2 ≥ 2, 2 2 1.1 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Se pueden resolver desigualdades, utilizando las propiedades de la suma y la sustracción, según sea el caso: Propiedades de la adición y sustracción. a. b.
> → > > → >
Ejemplo: Ejemplo: Solucione las siguientes desigualdades: Determine el valor de la incógnita:
3>6=>63=>3 Solución: > 3 5<12=<125=<7 Solución: < 7 0,5≤70,5≤0≥35≤7≥5≤00,5≤7≥35,0,5≤7 ≤ 70,51, ≤ 7 ≥ 5 0,5 ≤ 7
Propiedades de las desigualdades de la Multiplicación y de la División:
Según Montoya. R Juan C. Docente ECT En estas propiedades, debe tener presente, que cuando multiplica por un número negativo, debe revertir el signo de la desigualdad; es decir, cuando multiplica o divide a ambos lados de la expresión, por un número negativo, el signo de la desigualdad, debe cambiar; para esto, se utilizan las siguientes propiedades: a. b. c. d.
> → > , > 0 > → > , < 0 > → > , > 0 > → < , < 0
Comentario del Tutor: Se puede tener presente, que sólo cambia el signo, cuando multiplica o divide por un número negativo. Si realiza adición o sustracción, con un número negativo, la desigualdad no va a cambiar.
Ejemplos: a. Resuelva las siguiente desigualdad:
14 >12 12
Divide a ambos lados entre , para despejar la variable; como está dividendo entre un negativo, debe cambiar la dirección del signo de la desigualdad.
14 × ( 121 ) < 12 12 1 < 48 b. Resuelva las siguiente desigualdad:
4>24 Dividimos a ambos lados de la desigualdad entre 4, para despejar la variable.
4>24
4 > 24 4 4 >6 c. Resuelva las siguiente desigualdad:
3>15 3
Divido cada lado de la desigualdad entre , para despejar la variable, y cambia el sentido del signo de la desigualdad, ya que estamos dividiendo entre un número negativo.
3 < 15 3 3 <5 Comentario del tutor: Cuando a ambos lados de la desigualdad, se divide por un número negativo, el símbolo de la desigualdad, cambia, es decir,
> < 10≥150=15≥15≤15≥15=1515≤15≥15 = 0 15, ≤ 15 ≤ 15 10 15 ≥ ≤ ≥15≤15
1.2 INECUACIONES Según Montoya. R Juan C. Docente ECT Las inecuaciones, son desigualdades algebraicas, que en sus dos miembros, se relacionan con los signos: menor que, menor o igual que, mayor que, mayor o igual que. La solución de una inecuación, es un conjunto de valores, tomados en un intervalo.
1.3. INTERVALOS SOBRE LA RECTA DE LOS NÚMEROS REALES La relación de orden, permite escribir subconjuntos importantes en los números reales.
1.3.1 Clases de Intervalos De acuerdo a sus características especiales, se pueden tener las siguientes definiciones:
a. Definición 1: Intervalos cerrados a izquierda y derecha
,∈, entonces, , = ∈ / ≤ ≤ En el intervalo cerrado , incluye todos los puntos extremos de la recta de los números reales entre Si
b. Definición 2: Intervalos abiertos a izquierda y derecha
,∈, entonces, ,= ∈ / < < En el intervalo abierto , no incluye todos los puntos extremos de la recta de los números reales entre . Si
c. Definición 3: Intervalo abierto a izquierda, cerrado a derecha Si
,∈, entonces, , = ∈ / < ≤
Intervalo cerrado a izquierda, abierto a la derecha Si
,∈, entonces, ,= ∈ / ≤ <
Para este tipo de intervalos, sólo se toman los extremos, cuando la expresión es cerrada.
d. Definición 4: Intervalos infinitos a derecha
∈ , entonces, ,∞= ∈/ > Si ∈ , entonces, ,∞= ∈/ ≥ Si
Sólo se toman los extremos, cuando el intervalo es cerrado.
e. Definición 5: Intervalos infinitos a izquierda
∈ , entonces, ∞,= ∈/ < Si ∈ , entonces, ∞, = ∈/ ≤ Si
Sólo se toma el punto, cuando es cerrado. Las anteriores definiciones, se ven ilustradas en la siguiente tabla:
Notación de conjunto
Notación de intervalo
Notación grafica
|<<
,
⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣
| ≤≤
,
0
⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣
|≤<
,
0
,
0
⊣⊣⊣⊣⊣⊣
|≥
⊣⊣⊣⊣⊣⊣
|<≤
,∞
0 →∞
⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣
0
Intervalo abierto en ambos extremos Intervalo cerrado en ambos extremos Intervalo cerrado en “a” y abierto en “b”
Intervalo abierto en “a” y cerrado en “b”
Intervalo cerrado en “b” y abierto
hasta infinito
|≤
∞,
∞←
⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣ |<
0 ∞←
∞,
⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣ 0 |>
→∞
,∞
⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣
Intervalo abierto desde menos infinito y cerrado “b”
Intervalo abierto desde menos infinito y abierto hasta “b”
Intervalo abierto en “b” y abierto
hasta infinito
0
Tomado de: https://ybarrera.wordpress.com/
1.3.2. Operaciones con Intervalos Para las operaciones con intervalos, se utilizará la simbología de la lógica proposicional, y la teoría de conjuntos, en cuanto a las operaciones dadas entre ellos. a. Unión entre intervalos: Se define bajo la siguiente expresión.
∪ = / ∈ ∨∈
b. Intersección entre intervalos: Se define bajo la siguiente expresión.
∩ = / ∈ ∧ ∈
Ejemplo 1: a. Solucione las siguientes desigualdades Resuelva y grafique:
223 10<62 4610<612 44<612 444<6124
4<68 46<8 2<8 2 > 8 2> 4 2 Solución gráfica 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∞
Solución: El intervalo solución es:
4,∞
El intervalo es abierto a izquierda y a derecha, ya que no toma ninguno de los puntos extremos.
Ejemplo 2: b. Solucione las siguientes desigualdades: Resuelva y grafique
3 1 ≥ 5 2 5 33≥5105 33≥55 333≥553 3≥58 35≥8 2≥8 2 ≤ 8 2 2 ≤4 Solución gráfica:
∞ Solución:
4
Es el intervalo
∞,4
Para este caso, toma el punto
4 , ya que es cerrado
Ejemplo 3: c. Solucione las siguientes desigualdades: Resuelva y grafique
23 6 ≥ 2 4 4 3 4) 12(23 )126 ≥ 122 12( 4 3 323 72≥2444 6972≥2416 663≥2416 6324≥166 39≥10 39 ≥ 10 10 39 ≥ 10 10 Solución gráfica:
∞
Solución: Está dada por el intervalo
∞,
Para este caso, el intervalo es cerrado a derecha, y toma el punto
Ejemplo 4: d. Solucione las siguientes desigualdades: Resuelva y grafique
3 (43 ) 8 < 6 3 2 43 6( 3 )68<666(32) 243 48<369 8648<369 842<369 89<3642 1<6 1 > 6 1> 6 1 Solución gráfica:
6
∞
Solución: En el intervalo abierto extremo
6,∞; como el intervalo es abierto en 6, no se toma el punto
Ejemplo 5: Problema de aplicación. e. Solucione las siguientes desigualdades: Resuelva En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico, se va a mantener entre 300C y 350C, es decir, . ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit de conversión Celsius / Fahrenheit, si se conoce la fórmula de conversión que es: .?
30≤≤35 = 32
Solución:
30≤≤35, si = 32. 30 ≤ 59 32≤35 9 30≤ 9 × 5 32≤ 9 35 5 5 9 5
270 ≤ 45 32≤ 315 5 45 5 54≤32≤63 5432≤3232≤6332 86≤≤95 El rango de la temperatura es de 86 0F a 960F. En total.
Ejemplo 6: Problema de aplicación. f. Solucione las siguientes desigualdades: El aire seco, tiende a avanzar hacia arriba y a expandirse, y al ir avanzando, se enfría a una razón constante de 5.5 0F, por cada 1000 ft (pies) que asciende hasta alcanzar una altitud de 400000 ft (pies). Si la temperatura en el suelo es de 70 0F, entonces la temperatura T una altura h, estará dada aproximadamente por , para un rango de altitud, la 0 0 temperatura estará entre 26 F y 40 F, en total.
=700,0055ℎ
Solución:
= 70 0,0055ℎ
ℎ = 40000
Temperatura del suelo 700F
40≤≤26 40 ≤ 70 0,0055ℎ ≤ 26 40 70 ≤ 70 0,0055ℎ 70 ≤ 26 70 110 ≤ 0,0055ℎ ≤ 44 110 ≥ 0,0055ℎ ≥ 44 0,0055 0,0055 0,0055 20000≥ℎ≥8000 Solución: La altura está entre 8000 ft y 20000 ft
Ejemplo 7: Problema de aplicación. g. Solucione las siguientes desigualdades: Suponga que una llamada a larga distancia cuesta 36 Euros, los tres primeros minutos, y 11 Euros, cada minuto adicional. ¿Durante cuántos minutos puede hablar una persona con menos de 200 Euros?.
Solución:
: Número 3 = Costo de los tres primeros minutos
Costo de los minutos adicionales
113
36
Costo 200 Euros
Entonces, la desigualdad sería:
36113<200 361133<200 311<200 3311<2003 11<197 11 < 197 11 11 <17,90 Solución: Como la empresa no cobra fracciones, el tiempo máximo es de 17 minutos.
Ejemplo 8: Ejercicios de desigualdades, que involucran factorización. h. Solucione las siguientes desigualdades:
5≤6 56≤0 23≤0 Comentario:
23≤0 ambos factores tiene el mismo signo, existe una
Como Solución.
2 ≥ 0 2≥0 ≥2
3 ≥ 0 3≥0 ≤3
Solución gráfica:
∞
2
∞
3
Recuerde que la gráfica muestra que el intervalo es cerrado; por eso, tomo los puntos extremos, en este caso 2 y 3. Solución por operación de intervalo:
∞,2 ∩ 3,∞= 2,3 Ejemplo 9: Ejercicios de desigualdades que involucran factorización. i. Solucione las siguientes desigualdades:
6 2 > 0 66 662>0 36 6 12>0 6463>0 6463 > 0 3×2 3221>0 Comentario: Como los signos de los factores son diferentes, se pueden tener dos posibilidades, así: Primera Posibilidad:
32 >0 32>0 > 23
21>0 21>0 > 12
Solución gráfica:
∞
23
1 2
∞
(∞, 12)∩( 23 ,∞)=(12 ,∞) Segunda Posibilidad:
32 <0 32<0 < 23
21<0 21<0 < 12
32
1 2
Solución gráfica:
∞
Solución general:
∞
(∞, 23)∩(∞, 12)=(∞, 23)
(12 , ∞) ∪ (∞, 23) El conjunto solución, es:
∈ / > 12 ∨ < 23} Ejemplo 10: Ejercicios de desigualdades que involucran factorización. j. Solucione las siguientes desigualdades:
5 ≤ 6 56≤0 23≤0 Primera posibilidad:
2 ≥0 3≤0
≥2 ≤3 Solución gráfica:
2
3
∞,2 ∩ 3,∞ =2,3
Segunda posibilidad:
2 ≤0 3≥0 ≤2 ≥3 Solución gráfica:
2
3
∞,2 ∩ 3,∞ = ∅ Entonces la solución general, es:
2,3 ∪∅=2,3 Ejemplo 11: Desigualdades Que Involucran Expresiones, Los Racionales. Resuelva la siguiente desigualdad:
4 > 0 23 Se pueden presentar dos posibilidades: Primera posibilidad:
23>0 2>3
4>0 >4
> Solución:
4
( 32 ,∞)∩4,∞ = ( 32 ,∞) Segunda Posibilidad:
23<0 2<3 < 32
4<0 <4 4
( 32 ,∞)∩ ∞,4 = ∞,4 Solución General:
( 32 ,∞)∪ ∞.4 = ∞,∞ 223 10<62.4,∞.4,∞. 4,∞.4,∞ 3 ≤47≤18. 2,1. 2,1. 2,1. 2,1 2 4 ≤ 1 3 . 4,∞. 4,∞. 4,∞.4,∞12 < 34 2≤24.30,18.30,18.30,18.30,18 1.3.3. Valor Absoluto de Ecuaciones y Desigualdades: Según Montoya. R Juan Carlos Docente. ECT El Valor absoluto de un número, se define como la distancia que existe entre dicho número y el cero.
∈
Se tiene que si , el valor absoluto de se denota define su valor absoluto, como sigue:
||, para todo número , se
, ≥ 0 || = , <0 Ejemplos: Determine el valor absoluto de las siguientes expresiones:
a. b. c. d.
|| = |2| = 2 | | = |21| =21 Comentario: Si se observa la expresión correctamente, la definición dada, así:
|21| ,
se puede aplicar
2 1, 2 1 ≥ 0 |21| = {21, 2 1 < 0 1.3.4. Propiedades de Valor Absoluto
son números reales, y es un número entero, se tiene que: 1. || = || 2. |.| = ||.|| || 3. = || 4. | | = || Si
Ejercicio: Solucione las siguientes expresiones, encontrando las soluciones de las igualdades:
|21| = | 2| |21| = | 2| 21 =2 4 4 1 = 44 4 41 4 4 = 0 3 8 3 = 0 a.
8333=0 33 9 83 9 = 0
3931 = 0 33131 = 0 3=0 31=0 =3 = 13 Solución del sistema:
= 13 b. |76| ≤ 3 3 ≤ |76| ≤ 3 3≤76≤3 36≤76´6≤36 3≤7≤9 3 ≤ 7 ≤ 9 73 7 9 7 7≤ ≤7
=3
Conjunto solución:
∈/ 37 ≤ ≤ 97 } = [37 , 97]
1.4. ECUACIONES
Una ecuación, es una expresión matemática, que busca dar solución a una incógnita, basado en ciertos valores que puede tomar, para satisfacer una igualdad.
≠0
a. Ecuaciones Lineales: una ecuación lineal, es una variable ; es una ecuación, cuya forma general, es . Donde para dar una solución, se utilizan las propiedades de los números reales, presumiendo que (con diferente de cero).
=0
Ejemplos: De las siguientes expresiones, despeje la variable adecuada: a.
+ = 2 −
Solución:
=2 =22 2=2 2 =2 = 2 2 b.
= Solución:
c.
+ =
Solución:
= = = 2 5 43 = 8 21012=8 108=10 18=10 = 10 18 = 59
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN INCÓGNITAS Para la solución de problemas que involucran incógnitas, se debe tener claridad, entre lo que es el lenguaje gramatical, y su contextualización al lenguaje algebraico. A continuación, se dan algunos ejemplos de su contextualización:
Lenguaje Gramatical Un número El doble de un número La mitad de un número La tercera parte de un número
Lenguaje Algebraico
2 ,1 2 21 3 ,3
La suma de dos números La diferencia de dos números El producto de dos números El cociente de dos números La suma de dos números entre su producto El cuadrado de un número de la suma de y
Un número aumentado en cinco Un número disminuido en cinco Tres números consecutivos. Elaborada por: Montoya R. Juan Carlos. Docente ECT
. . , 4 55 5 ,1,2
TABLA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS, QUE INVOLUCRAN FÓRMULAS DE CANTIDAD, RAZÓN Y TIEMPO En la siguiente tabla, encontrará expresiones que le permitirán desa rrollar ejercicios de aplicación, que contengan: Razón, Cantidad, Tiempo y Distancia
= = = = =. =. = = = = Elaborada por: Montoya R. Juan Carlos. Docente ECT SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Se sugiere seguir los pasos que se presentan a continuación, para el planteamiento de problemas; recuerde tener presente la anterior tabla, donde se contextualiza el lenguaje gramatical, al lenguaje algebraico, así:
a. Determinar las incógnitas y representarlas con variables. b. Expresar algebraicamente, en términos de las variables, según la información que proporciona el problema. c. Plantear y resolver la ecuación. d. Identificar si la solución dada, cumple con las condiciones del problema. Ejemplo: Solucione los siguientes ejercicios:
a. El interés anual producido por $24000, excede en $156 al producido por $17000. Si la tasa anual que se aplica a los $17000, es del 8% mayor que la aplicada a los $24000. ¿Cuál es la tasa anual de interés, aplicada a cada cantidad?. Solución:
% la tasa anual buscada. 1,8% La tasa de interés anual que se aplica a los $17000 24000. Interés producido por los $24000 Interés producido por $17000 17000. +, 24000. 17000. +, =156 2401701,8 =156 240170306=156 70=156306 70=462 = 462 70 =6,6 Sea
Respuesta: El 6,6% es la tasa de interés de los $24000, y el 6,6% + 1,8%= 8,4%, que es el interés producido por los $17000.
b. Si A es capaz de realizar un trabajo en 3 días, y B puede realizarlo en 6 días. ¿Cuánto demorarán efectuando, juntos el trabajo? Solución:
B efectúa de trabajo en un día A y B juntos efectúan de trabajo en un día
A efectúa de trabajo en un día.
Tiempo de trabajo de A y B 11= 1 3 6 2 1 = 1 62 61 1 6 =
3=1 63=6 = 63 =2 Por consiguiente, realizar el trabajo.
= 2 donde serán 2 días, el tiempo que demoran A y B en
c. Una compañía de publicidad, tiene computadoras viejas, que para preparar todo el correo, tarda 6 horas; con la ayuda de un nuevo modelo, se termina el trabajo en dos horas. ¿Cuánto tiempo le tomará al nuevo modelo, hacer solo el trabajo? Solución:
Sea Tiempo (horas) que emplea el nuevo modelo Trabajo terminado:
×
Rapidez modelo viejo: trabajo por hora
Rapidez del modelo nuevo: trabajo por hora
=. 1 2 1 2 = 1 ≠ 0 6 22 =1 61 2 3 6 = 1 =1 3 6=3 6=2 =3 Por consiguiente, la nueva computadora podrá hacer sola el trabajo en 3 horas.
6 = √ 36 = 6 3√ 12 = 63 ℎ4 ℎ3 3 | 500| ≤ 20|500| < 20|500| ≥ 20|500| < 20$ 2060 ≤ ≤ $ 34560$ 2060 < < $ 34560$ 2060 < ≤ $ 34560$ 2060 ≤ < $ 34560 1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Según Montoya. R Juan C. Docente ECT Los sistemas de ecuaciones lineales, presentan ciertas características en su solución, así:
a. Sistema de ecuaciones compatibles: un sistema de ecuaciones, es compatible, cuando tiene una única solución. b. Sistemas de ecuaciones inconsistentes o incompatibles: un sistema de ecuaciones, es compatible, cuando no tiene solución. c. Sistemas de ecuaciones independientes: cuando las ecuaciones de un sistema, tiene gráficas distintas. d. Sistemas de ecuaciones dependientes: cuando las dos ecuaciones o más, tienen la misma gráfica e. Sistemas de ecuaciones equivalentes: dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, cuando tienen el mismo conjunto solución. Comentario del tutor: A continuación, se resumirán las posibilidades que se pueden presentar, cuando se grafican dos ecuaciones, cada una con dos variables.
a. Si las rectas son distintas y se intersectan, las ecuaciones son independientes, y el sistema es consistente. Existe una solución: b. Si las rectas son distintas y paralelas, las ecuaciones son independientes, y el sistema es inconsistente. No existe solución. c. Si las rectas coinciden, las ecuaciones son dependientes, y el sistema es consistente. Existe un número infinito de soluciones. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales
2 ×2,3 × 3 × ecuaciones 2 ×2,3× 3 × ,
Los sistemas de ecuaciones y variables que tengan las ecuaciones.
dependen del número de
Un sistema de ecuaciones dos variables.
2 × 2, significa que el sistema tiene dos ecuaciones y
Un sistema de ecuaciones tres variables.
3 × 3, significa que el sistema tiene tres ecuaciones y
Un sistema de ecuaciones variables.
× , significa que se tienen m ecuaciones y n
Para la solución de estos sistemas, existen varios métodos, A continuación, se presentarán varios ejemplos de cada método:
a. Método gráfico: Se pueden seguir los siguientes pasos.
En un solo conjunto de ejes coordenados, graficar cada ecuación. Determinar las coordenadas del o los puntos, en donde se intersectan las gráficas. Esas coordenadas expresan la solución del sistema. Si las gráficas no tienen punto común, el sistema no tiene solución. Si en las gráficas de las ecuaciones, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones. Comprobar la solución, en ambas ecuaciones originales. Ejemplo: Grafique las siguientes ecuaciones.
= 1 1 Ecuación 2 = 3 2 Ecuación Despejar la variable , en las dos ecuaciones, así: = 1 1 Ecuación =1 2 = 3 2 Ecuación =23
Realizar una tabla de valores para cada ecuación. Para la ecuación uno:
=1
, , , , , , , ,
Remplazamos los valores de en la ecuación dada, para obtener el valor de . La continuidad de remplazos se deja al estudiante, para que determine los valores que se encuentran en la tabla
= 1 Si = 3 =13 =13 =4 Para la ecuación dos:
=23 , , , , , , , ,
Remplazamos los valores de en la ecuación dada, para obtener el valor de . La continuidad de remplazos, se deja al estudiante, para que determine los valores que se encuentran en la tabla.
=23 = 23 3 =63 =9 Graficando los resultados obtenidos en las tablas de valores en el plano cartesiano: y 6 5
4 3 2 1 -x
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1 -2 -3 -4 -5
-y En el método anterior, se observa cómo se grafican dos ecuaciones lineales y podemos notar que tiene un punto de corte entre las dos rectas, el cual se determinara, utilizando uno de los métodos algebraicos, así:
b. Método de Igualación: Se pueden seguir los siguientes pasos: Despeje la misma variable en las ecuaciones dadas. Iguale las expresiones encontradas Despeje la variable que tiene producto de la igualación. Una vez despejada, y encontrando un valor, remplaza en una de las ecuaciones originales, para determinar el valor de la otra variable. Compruebe su resultado
Ejemplo: Solucione los siguientes sistemas, utilizando el método de igualación:
= 1 1 (Ecuación 1) 2 = 3 2 (Ecuación 2) Solución:
= 1 1 (Ecuación 1) =1 2 = 3 2 (Ecuación 2) =23 Despejo en las ecuaciones 1 y 2
Igualando:
=1 =23 1=23 13=2 4=3 = 43 Sustituimos el valor de
= en la ecuación 1
=1 4=1 3 Despejo 4=1 3 = 1 43 = 3 3 4 = 13 Comprobando y
=
los
=
resultados
Remplazando en la ecuación 1
obtenidos,
remplazamos
los
valores
de
= 1 1 (Ecuación 1) 41=1 3 3 41=1 3 =3 1 31=1 Remplazando en la ecuación 2:
2 = 3 2 Ecuación 2(43) 13 = 3 81=3 38 31 =3 3 9=3 33 = 3 La solución es:
=
y
= o la pareja ordenada ,
Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN: La cantidad de un producto que la gente está comprando voluntariamente, durante algún periodo, depende de su precio. Por lo general, a mayor precio, la demanda es menor; a menor precio, la demanda es mayor. De manera similar, la cantidad de unos productos que un proveedor está vendiendo voluntariamente, durante algún periodo, también depende del precio. Por lo general, un proveedor estará abasteciendo más de un producto a precios altos, y menos de un p roducto, a precios bajos. El modelo más simple que el proveedor demanda, es un modelo lineal. Suponga que se está interesado en el análisis de la venta diaria de cerezas, en una ciudad en particular. Usando técnicas especiales de análisis (análisis de regresión) y recolección de datos, un analista obtiene las siguientes ecuaciones de preciodemanda, y de precio-abastecimiento:
= 0,3 5 (Ecuación demandada) = 0,06 0,68 (Ecuación abastecimiento)
Donde representa la cantidad en miles de libras, y dólares.
representa el precio en
=0,35 1 (Ecuación) = 0,06 0,68 2 (Ecuación) Para la solución de este problema, utilizaremos el método de igualación, ya que para ambas ecuaciones, está despejada , que representa el precio en dólares.
Igualando las ecuaciones 1 y 2
=0,35 =0,060,68 0,35=0,060,68 Despejo 50,68=0,060,3 4,32=0,36 4,32 = 0,36 =12 Sustituimos el valor de =18 en =0,35 =0,35 =0,3125 =3,65 =1,4 Solución:
=1,4 Por libra (cantidad de equilibrio) =12 Mil libras (cantidad de equilibrio) Ejemplo: Grafique el siguiente sistema de ecuaciones:
= 4 1 (Ecuación) 3 = 12 2 (Ecuación) Se realiza una tabla de valores: Para la ecuación 1
=4 4= 2 1 0 1 2 6 6 5 4 -3 2 2 Para la ecuación 2
3=12 3=12 = 12 3 2 1 0 1 2 6 14 13 4 11 10 2 3 3 3 3 Graficando los valores determinados en las tablas de las ecuaciones 1 y 2
y
4 2
6
x
4 Punto de corte o punto solución del sistema de ecuaciones
6,2
Método de Sustitución: Para solucionar este método, es recomendable seguir los siguientes pasos:
Si es necesario, despejar una variable de una de las ecuaciones de preferencia. Sustituir la variable, despejada en la otra ecuación, y resolver la ecuación resultante. Determinar el valor de la primera variable, sustituyendo el valor que se determina. Enunciar la solución. Comprobar la solución en las dos ecuaciones originales.
c. Ejemplo: Solucione el siguiente sistema, utilizando el método de sustitución.
4 = 13 1 (Ecuación) 2 3 = 17 2 (Ecuación) Despejo en la ecuación (1) y sustituimos en la ecuación (2) 4 = 13 1 (Ecuación) =134 Sustituimos en la ecuación (2)
2 3 = 17 2(Ecuación) 23134=17 21239=17 14=1739
14=56 = 56 14 =4 Sustituimos en la ecuación (2)
2 3 = 17 2 Si = 4 24 3=17 Despejo 83=17 3=178 3=9 = 93 =3 Remplazando los valores en las ecuaciones (1) y (2) Para la ecuación (1)
4=13 44 3 = 13 163=13 13=13 Para la ecuación (2)
23=17 24 33 =17 89=17 17=17
Como los valores encontrados, satisfacen la ecuación, conservando la igualdad, entonces la soluciones:
4,3
d. Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN. Un almacén anuncia dos tipos de teléfonos: uno cuesta $67, y el otro $100. Si las ventas de 36 teléfonos, totalizaron $2940, ¿Cuántos teléfonos de cada tipo se vendieron? Solución: Con la formulación del problema, se pueden formular las siguientes ecuaciones:
La cantidad de teléfonos de La cantidad de La cantidad total de menor precio teléfonos de mayor teléfonos. precio
67
100
36
Las ventas de teléfonos de Las ventas de Las ventas totales menor precio teléfonos de mayor precio 2940 Ahora, con esta información, tenemos las siguientes ecuaciones:
= 36 1 (Ecuación) 67 100 = 2940 2 (Ecuación) Despejamos en la ecuación (1) y la sustituimos en (2). =36 6736 100=2940 241267100=2940 67100=29402412 33=528 = 528 33 =16 =16 en la ecuación (1) = 36 1 (Ecuación) 16=36 =3616 =20 Una vez que se han encontrado los valores de =20 y =16, los sustituimos en Sustituimos el valor de
las ecuaciones, para determinar si cumplen la igualdad. Para la ecuación (1)
= 36 1 (Ecuación) 2016=36 36=36 Para la ecuación (2)
67 100 = 2940 2 (Ecuación) 6720 10016 =2940 13401600=2940 2940=2940 Como los resultados obtenidos, satisfacen las igualdades de las ecuaciones, es la solución adecuada. Por tanto: El almacén vendió
20 teléfonos de menor precio, y 16 teléfonos de mayor precio.
Método de la suma o método de reducción.
Escribimos ambas ecuaciones del sistema, en su forma general. Multiplicar los términos de una o ambas ecuaciones, por constantes elegidas, para que los coeficientes de o , sólo difieran del signo. Sumar las ecuaciones y, si es posible, resolver la ecuación que resulta. Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales, y despejar la variable restante. Enunciar la solución que se obtuvo. Comprobar la solución en ambas ecuaciones originales.
Ejemplo: Solucione el siguiente sistema, utilizando el método de la suma.
= 30 1 Ecuación = 110 2 Ecuación Sumo las ecuaciones (1) y (2)
= 30 =110 2 =140 = 140 2 =70 Remplazamos el valor de
=70 en la ecuación (2)
= 110 2 (Ecuación) 70=110 =11070
=40 Comprobación: Sustituimos los valores Para la ecuación (1)
=70 y =40
en las ecuaciones (1) y (2)
= 30 1 (Ecuación) 7040=30 30=30 = 110 2 (Ecuación) 7040=110 110=110 Como los resultados obtenidos, satisfacen las igualdades de las ecuaciones, entonces son una solución al sistema. Solución:
=70 y =40
Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN Los costos de arreglo de una máquina son $400, y su costo unitario es de $1,50. Otra máquina tiene costo de arreglo de $500, y su costo unitario es de $1,25. Determinar el punto de equilibrio. El costo de usar El costo de fabricar El costo de arreglo La máquina 1 x unidades
1,5
400
1,25 = 1,5 400 1 Ecuación =1,25500 2 (Ecuación)
500
El costo de usar El costo de fabricar El costo de arreglo La máquina 2 x unidades
Ordenando las ecuaciones
= 1,5 400 1 (Ecuación) 1,5=400 1 (Ecuación) =1,25500 2 (Ecuación) 1,25 = 500 2 (Ecuación) A la ecuación (1) la multiplico por 1,25 y la ecuación (2) por 1,5 Para la ecuación (1)
1,5 = 400 1 1,25 (Ecuación)
1,25 = 500 21,5 (Ecuación) Sumo las ecuaciones
1,91,25= 500 1,9 1,5=750 0,25=250 250 = 0,25 =1000 =1000 en (1) 1,5 = 400 1 (Ecuación) 1,51000=400 1,5=4001000 1,5=600 = 600 1,5 =400 Sustituimos el valor de
Comprobación: sustituimos los valores de (1) y (2)
=400 y =1000 en las ecuaciones
Para la ecuación (1)
1,5 = 400 1 (Ecuación) 1,5400 1000=400 6001000=400 400=400 Para la ecuación (2)
1,25 = 500 (Ecuación) 1,25400 1000=500 5001000=500 500=500 Como los valores encontrados, satisfacen las igualdades de las ecuaciones, entonces los valores son la solución al sistema. Solución:
=400 y =1000
El punto de equilibrio es:
=400
Como conocemos el punto de equilibrio, observemos cómo es el comportamiento de las ecuaciones, de una forma gráfica
1,5 = 400 1 (Ecuación) 1,25 = 500 2 Tabla de valores para la ecuación (1)
1,5=400 0 266 400 0 Tabla de valores para la ecuación (2)
1,25=500 0 400 500 0
500 400
266 266 266
400 400
X
1.6. ECUACIÓN CUADRÁTICA Según Montoya R. Juan C. Docente ECT
= 0
≠ 0
La ecuación cuadrática, son expresiones de la forma , con , donde los coeficientes son números reales, es decir, esta ecuación tiene solución, en el conjunto de los números reales. De las cuales se pued en diferenciar algunas formas, así:
, , ,,
= 0 Ecuación = 0 = 0 Ecuación = 0 = 0 Ecuación = 0 = 0 = 0 Ecuación La ecuación cuadrática, es un polinomio que involucra el séptimo caso de factorización, que es el trinomio cuadrado de la forma , con cuando la ecuación es completa, y cuando la ecuación es incompleta, se pude recurrir al caso de factorización, diferencia de cuadrados, si cumple las condiciones dadas para ser factorizable; una vez se determine una solución, se pueden encontrar los valores en el conjunto de los números reales, que le permitan satisfacer la condición dada. Cuando la ecuación no es factorizable por el séptimo caso, trinomio cuadrado de la forma , con , o por una diferencia de cuadrados, cuando la ecuación es incompleta, se recurre a la siguiente ecuación, que relaciona los valores de los coeficientes, determinando el valor correcto de la variable deseada. La expresión que representa esta relación, es:
= 0
= 0
≠ 0
4 ±√ = 2 Veamos algunos ejemplos: a. Solucione la siguiente expresión:
≠ 0,
Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN El ancho de una armadura triangular, es el triple de su altura. El área del triángulo es de 96 (pies cuadrados), calcular el ancho y la altura.
3 Solución:
Hagamos que sea el número positivo que representa la altura de la armadura.
3 ℎ 3 96 = 96 ℎ = = 3 = ℎ Ecuación del área de un triángulo
Entonces, representa el ancho. anc ho. En la fórmula del área de un triángulo, podemos sustituir a por , a por y a , por el área de , y despejar :
Remplazando los datos obtenidos
96 = 12 3 96 = 12 3 296=3 192=3 = 192 3 = 64 64 = 0 8 8 = 0 8=0 8=0 .: para ambos
así:
8=0 =8 8=0
casos,
=8 Solución general: La altura de un triángulo, no puede ser negativa, y por ello, debemos desechar la solución negativa, entonces, la altura de la armadura es 8 ft y el 24 ft de ancho Ejemplo 3: Solucione la siguiente expresión, utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática.
4 ±√ = 2
2 = 32
6 5 = 6 6 5 6 = 0 = 6 = 5 = 6 466 5 ± 5 = 26 2 5144 = 5 ± √ 1225144 169 = 5 ±12√ 169 = 5±13 12 513 = 12 1 = 23 = 513 12
Los valores obtenidos, son llamados raíces de la ecuación; para comprobar las respuestas obtenidas, podemos sustituir los valores obtenidos, directamente en la ecuación original, y así podemos validar la expresión. Comprobación: Para
1 = 23
6 5 6 = 0 6 (23) 5 (23) 6 = 0
6(49) 5(23) 6 = 0 24 10 6 = 0 9 3 8 10 6 = 0 38103 318 6 = 0 36 66==00 0=0 La comprobación del siguiente valor, se deja al estudiante para que evalúe el resultado, y retome sus conclusiones.
4 12 % 2. FUNCIÓN LINEAL, FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y FUNCIÓN EXPONENCIAL Para determinar el concepto de función lineal, debemos determinar el concepto de función. Según: Stewar James, Pre-cálculo, matemáticas para el cálculo. 5 Edición, edición progreso. S.A der C.V. Las funciones en nuestro entorno, y en cada fenómeno físico, se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estatura depende de la edad; la temperatura depende de la fecha; el costo de enviar por correo un paquete, depende del peso. Se usa el término función, para describir esta dependencia, de una cantidad sobre otra.
Una función , es una regla que asigna a cada elemento x, en un conjunto A, exactamente un elemento, llamado (x), en un conjunto B.
Como se conoce la definición de función, podemos abordar el tema de función lineal.
2.1 FUNCIÓN LINEAL Una función lineal, es una función definida por una ecuación, que se puede escribir de la forma , donde m es la pendiente de su gráfica lineal, y b es la ordenada al origen, es decir, el punto intercepto en el eje y.
= =
Ejemplo: De la ecuación
3=12, determine la pendiente y el punto intercepto en y.
Solución: Despejo la ecuación en función de y
3=12 =312 Donde =3 es la pendiente y =12 es el punto intercepto en y 2.1.1 Pendiente de una Función Lineal TABLA DE RESUMEN DE FÓRMULAS PARA ECUACIONES LINEALES NOMBRE DE LA F RMULA Pendiente de una recta Fórmula punto pendiente Fórmula pendiente ordenada origen Fórmula general
ECUACI N DADA
Δ = = − Siempre que ≠ Δ − al
Recta horizontal Recta vertical Rectas paralelas Rectas perpendiculares Elaborada: Montoya R. Juan C. Docente ECT
= = = 0 = = = . = 1
, , Δ = = − Siempre que ≠ Δ − Vemos que si = , la recta es paralela al eje , y de acuerdo con la definición,
Sea y puntos distintos sobre una recta . Entonces la pendiente de , se denota por , está dada por:
la pendiente no está definida.
Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que contiene los puntos: a.
3,2 5,2
Solución: Para los valores dados, tomaremos la siguiente descripción:
= 3 = 2 , = 5 =2 Remplazando, tenemos:
= = 22 5 2 3 4 2 =53= 2 = 2 Por tanto la pendiente es b.
=2
4,1 5,7 Solución: Para los valores dados, tomaremos la siguiente descripción:
= 4 = 1 , = 5 = 7 Remplazando, tenemos:
= = 75 14 = 61 = 6 Por tanto, la pendiente es
=6
Comentario:
Recordemos que la pendiente significa el incremento de la ordenada , cuando la Δ −, la expresión.Δ Delta de abscisa , se incrementa en una unidad. Δ − Δ y Delta de , significa incremento.
==
Es importante ver, que la pendiente de una recta, es la tangente del ángulo (alfa), que forma la recta con la parte positiva del eje . Entonces, la expresión para calcular el ángulo, es
.
Veamos que en el ejercicio anterior, vimos que la pendiente era el ángulo de inclinación, así:
= 6, calculemos
=6− = 6 =80.5 Es decir, tiene un ángulo de inclinación de 80.5 grados. Es de recordar, que el dominio de la función lineal, son los números reales y su recorrido o rango, es el conjunto de los números reales
2.2.2. Ecuación Punto Pendiente Esta ecuación, como su nombre lo indica, basta tener un punto que pertenezca a la recta y la pendiente; la ecuación que determina esta expresión, es:
= Veamos un ejemplo:
4,3 é = 3 pendiente, la ecuación de la recta, es: = 3=34 Despejamos el 3=312 =3123 =33 Esta es la ecuación que contiene el punto 4,3 y tiene pendiente = 3 , si observamos la ecuación, es de la forma = . El análisis de la ecuación = , determina que la gráfica es una línea recta. Sea el punto
Comentario:
= 0
, ∈
Si observamos la ecuación donde y , no son ambos ceros. Podemos calcular la pendiente y el punto intercepto, de la siguiente forma: Es decir,
= = = 0 = Entonces: =
2.2.3. Modelos Lineales Un modelo líneal, puede definirse, como una relación entre las variables dadas. Veamos algunas funciones que nos permiten realizar modelos lineales, así:
=
, donde es la función ingreso; a. Funciones para ingresos: representa el número de unidades vendidas, y representa el ingreso por unidad o precio de venta. b. Función para costos, costo total= Costos variables + Costos fijos, o sea, , donde es la función de costos total; representa el número de unidades producidas, representa el costo por unidad, representa los costos variables, y los costos fijos. , c. Función utilidad: Utilidad=Ingresos- Costos totales, es decir, donde es la función utilidad, representa el número de unidades producidas y vendidas, representa la utilidad por unidad vendida, y la pérdida, cuando no se venden unidades. Este valor corresponde a los costos fijos.
=
=
Si el costo de producción es mayor a los ingresos , hay pérdida (al producir unidades); si los ingresos son mayores a los costos, hay ganancias.
=
Cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir, , o equivalentemente, , el valor de que cumple esta igualdad, genera el punto , que se denomina punto de equilibrio.
,
= 0
Ejemplo: El costo de procesar un kilo de café, es de US $ 0,50 y los costos fijos diarios, son de US $300 Hallar:
a. La ecuación de costo y su representación gráfica. Solución:
Si representa el costo en dólares de procesar kilos de café por día, de acuerdo al modelo lineal, tenemos que centavos de dólar, o sea, US $0,50, y los costos fijos diarios son , por tanto, la ecuación sería de la forma
=0,5300.
=50 =300
Para realizar la gráfica de la ecuación, se trata de una recta; es suficiente encontrar dos puntos, si remplazamos en , tenemos respectivamente, que corresponde a los puntos . Por tanto, la gráfica es:
300 = 400 0,300 200,400 0 200 300 400
= 0 = 200
=
y 400 300
200
x
b. El costo de procesar 1000 kilos de café en un día
por 1000 en =0,5300. Ahora: =0,5300 =0,51000300 =500300 =800 Sustituimos
Por lo tanto, el costo de procesar 1000 kilos de café al día, es de US $800
c. Con un presupuesto de US $2000. ¿Cuántos kilos se pueden procesar diariamente?
Para un presupuesto de US $2000, reemplazamos en obtenemos:
=0,5300
=2000 entonces: =0,5300 2000=0,5300 2000300=0,5 1700=0,5 = 1700 0,5 =3400 Kilos Si
Ejemplo2: Si definimos las funciones de ingreso R, de costo C y de utilidad U, como tenemos que , donde es el número de unidades producidas y vendidas. Determinar:
=250, = 150 200000 = , =100200000
a. ¿Cuántas unidades se deben vender, para obtener un ingreso de $2000000? Solución:
= =250, entonces − = para obtener un ingreso de 2000000, necesitamos vender − 2000000 = = 8000 Si
b. ¿Cuántas unidades se producen con un capital de $1850000? Solución: Si $1850000 se producen:
= =150200000 , entonces − = − . =11000 Unidades −1850000 = − =
Con
c. ¿Cuántas unidades se deben producir y vender, para obtener una utilidad de $500000? Solución:
= =100200000
= +
Si , entonces, − para obtener una utilidad de $500000, necesitamos producir y vender:
−500000 = 500000200000 = 7000 100 d. Halle el punto de equilibrio Solución:
=
Para encontrar el punto de equilibrio, resolvemos la ecuación , donde . Significa que se deben producir y vender 2000 unidades, que generan unos ingresos iguales a los costos . El punto de equilibrio es la pareja
100200000=0 =2000 2000 = 2000 =500000 2000,500000 2.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA Según Montoya R. Juan C Docente ECT
Una función cuadrática, es una expresión polinómica de grado dos. Cuya gráfica corresponde a una parábola, que en algunos casos, cortan al eje de la abscisa en dos puntos, donde se puede escribir de la forma donde , son números reales y diferente de cero
= 0
,
Ejemplo: Grafique las siguientes funciones
a.
=
Realizamos una tabla de valores, para poder establecer la gráfica
3 2 1 0 9 4 1 0
3
1 2 1 4 9
Comentario: a. El dominio es todos los valores que le puede dar a la función; por lo regular (si no hay una restricción), el dominio serán "todos los numero reales", el rango de la función, es común definirlo con la gráfica; éste siempre está restringido; el mínimo valor, será el vértice de la parábola y va hasta el infinito. La gráfica
= el dominio “todos los números reales", porque la x puede ser cualquier
número, el rango sería del "0 al infinito" (o también puede dec ir: "todos los reales positivos, incluyendo al cero (0); esto es debido a que la gráfica es una parábola, con vértice en (0,0), que abre hacia arriba.
Comentario:
= ≠ 0 >0 <0 <0 4 = 2 = 4
La gráfica de la función , es una parábola que se abre hacia arriba si y hacia abajo si , Su vértice que es el punto más bajo si y el punto más alto , es el punto con coordenadas.
>0
Tomado de: cuadratica.html
http://acadmate.blogspot.com.co/2011/01/grafica-funcion-
Ejemplo1: PROBLEMA DE APLICACIÓN Una compañía de dulces, vende sus cajas de chocolates a $2 cada una. Si x es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción, están dados en dólares, por
=10001300100 Determine el nivel de producción, en que la compañía no obtiene utilidades, ni pérdidas (punto de equilibrio). Solución: Los ingresos por vender x miles de cajas a $2 cada una, están dados por:
=2000 Con el objeto de quedar en el punto de equilibrio, los ingresos deben ser iguales a los costos, de modo que
= 10001300100 =2000
Para un desarrollo más fácil, dividimos la expresión entre 100, con el fin de simplificarla:
100 1300 1000 = 2000 100 1310=20 100 100 100 132010=0
710=0 La expresión dada 710=0 , se puede solucionar por el sexto caso de factorización, o en su defecto, podemos utilizar la fórmula de la ecuación cuadrática. Para este caso, utilizaremos el sexto caso de factorización, así:
710=0 5 2 = 0 Igualo a cero cada expresión. 5=0 2=0 =5 =2 Por tanto, encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema. La compañía decide fabricar 200 cajas a la semana con ingresos y costos iguales a $4000. O puede fabricar 5000 cajas a la semana cuando los ingresos y los costos estén otra vez en un equilibrio de $10000.
=2,
=5,
= =20001001300100 =1000700100 =10025 = 2 5, la utilidad es cero, y estos son los puntos de equilibrio. Cuando 2 < < 5, tenemos que 2 > 0 5 < 0. Dado que el producto contiene dos signos negativos, es positiva, en este caso. En consecuencia, la compañía obtiene una utilidad positiva, cuando 2 < < 5; es decir; cuando fabrica y vende Cuando
entre 2000 y 5000 cajas a la semana.
Ejemplo 2: PROBLEMA DE APLICACIÓN La demanda mensual x de cierto artículo, al precio de p dólares por unidad, está dada por la relación
=13545
El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto, es de $5 por unidad, y los costos fijos son de $200 al mes. ¿Qué precio por unidad p, deberá fijarse al consumidor, con la finalidad de obtener una utilidad máxima mensual? Solución:
El costo total (en dólares) de producir x unidades al mes, es:
=
La demanda x está dada por
=52000 =135045
= 5135045 2000=8750225
Sustituyendo este valor de x en , resulta que
= = = 135045 =135045 La utilidad (en dólares), está dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo. = =45 13508750225 =45 15758750 La utilidad , es una función cuadrática de p. Puesto que =45<0, la gráfica es El ingreso (en dólares) obtenido por vender x unidades a p dólares por unidad, es: Número
una parábola que se abre hacia abajo, y la utilidad máxima se alcanza en el vértice. En este caso, tenemos que:
= 45, = 1575 = 8750 El vértice de la parábola, está dado por:
1575 = 1575 =17.5 = 2 = 245 90 =17.5 En consecuencia, un precio =17.5 por unidad, debe fijarse al consumidor, con el propósito de obtener una máxima utilidad, será:
=45 15758750 =4517.5 157517.58750 =45306.2527563.58750 =13781.2527563.58750 =5032.25 Entonces, el valor de utilidad al mes, es: $ 5032.25
2.3. FUNCIONES ESPECIALES Una función especial, sigue siendo una relación, donde tiene un comportamiento muy particular, y su importancia en el campo de las matemáticas, es porque permite el análisis funcional de las áreas del conocimiento.
Función Logarítmica
=log
La regla de asociación de la función logarítmica, tiene la forma , + donde llamado base del logaritmo, su dominio son todos los números reales positivos, su rango son todos los números reales, los logaritmos no están definidos para los números negativos y el cero.
∈
Ejercicio 1: Determine el dominio y el rango para la función
f x =log
0,5 0,1 1 2 3 4 5 -0,3 -1 0 0,3 0,5 0,6 0,7
Tomado de: logaritmica.html
http://clasesdefunciones2013.blogspot.com.co/p/funcion-
:+ Rango: : Dominio:
Ejemplo 2: Determine el dominio y el rango para la función
=ln1
Determinamos la asíntota vertical con
1 = 0 entonces =1
0,5 0,1 1 2 3 4 5 0,4 0,1 0,7 1,1 1,4 1,6 1,8
Tomado de: logaritmica.html
http://clasesdefunciones2013.blogspot.com.co/p/funcion-
:+ Rango: : Dominio:
Ejemplos 3: PROBLEMA DE APLICACIÓN.
= 4
. Suponga una población, cuyo modelo de crecimiento, está dado por millones a partir del año 2000. ¿Cuándo la población tendrá 5 millones de habitantes? Comentarios: Pre-conceptos (no es tan difícil como parece ) Es importante en el concepto de los logaritmos, identificar las diferentes propiedades que se pueden desarrollar, y las diferentes formas en que se pueden desarrollar las ecuaciones que involucran esta operación especial. En la UNIDAD UNO, se estudiaron las propiedades de los logaritmos, y a su vez, las propiedades de la potenciación y de la radicación, se indicó, por qué la radicación y la logaritmación, son inversas a la potenciación. Basados en estos pre-conceptos, estudiaremos lo que son las ecuaciones logarítmicas.
2.4 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Las ecuaciones logarítmicas, son aquellas ecuaciones, en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas, es necesario tener presentes las propiedades de los logaritmos:
PROPIEDADES DE LA LOGARITMACIÓN
,, ∈ ∈ : Elaborado por Montoya. R Juan Carlos ECT Tomado UNIDAD UNO OVA ECAE PROPIEDAD FORMA GENERAL Logaritmo de la multiplicación de dos (ac) = (a) + números: (c)
log log981 =log9 log81 =24=6 log = log (a) - log (c) log ( 9 )= log9log81 81 = 2 4 = 2 log ( ) = n log (a) log3 =2log3=21=3 log
Logaritmo de la división entre dos números. Logaritmo de la potencia enésima de un número. Logaritmo de la raíz enésima de un número. Logaritmo número.
del
recíproco
de
Logaritmo de 1 en cualquier base. Logaritmo cambio de Base
un
EJEMPLO
log
log √ = log
log √ 81 = log81 = 4 =
log ( - a ) = - log (a)
log(-9)= - log9 = 2
log (1) = 0 log log = log
log1 = 0 4 = 1 = 2 log 4 = log log 2 12
Ejercicio. Solucione las siguientes ecuaciones, aplicando los criterios y propiedades de los logaritmos.
a.
log2log11 =2log5
Solución:
=2log5 log2log11 =log5 log211 =5 211 3 103=0 Para solucionar esta expresión, utilizaremos el séptimo caso de factorización, el cual le dejamos al lector, para que ilustre su solución. Factorizando la expresión, tenemos:
=3 = 13 b. log =log 24log 12 log =log 24 12 log =log 2 =2 c. log log = 2 log × = 2 Por potenciación 3 = 9 log × =log 9 × = 9 d. 5loglog243=4log log 243 =log 81 = 243 = 3 81
2.5 FUNCIONES EXPONENCIALES Según Montoya. R Juan C. Docente ECT
Una función exponencial, se conoce formalmente, como la función real , donde representa el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición, el conjunto de los números reales. La función exponencial, se puede considerar, como la inversa de la función logarítmica.
Ejemplo: Grafique la función
=
= 3 2 1 0 1 2 3 0,05 0,14 0,37 1 2,71 7.39 20,1 Dominio : Rango: : + Tabulando la función
Tomado de: http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/funcion%20exponencial%20precalculo.htm La función exponencial, se puede también definir, bajo los siguientes aspectos: sea un número real (R). La función que a cada número real , le hace correspondencia la potencia , se llama función exponencial de base y exponente
.
Teoremas (leyes de los exponentes). Es de tener presente, que estos teoremas se relacionan con las propiedades de la potenciación que se trató en la unidad uno.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
. = + − = . = . = . = − = = =
Ejemplo: Grafique la función
Tomado de: http://artigoo.com/funcion-exponencial
Ejemplos 1: APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL México tiene una población aproximada de 100 millones de personas, y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la población?
a. ¿En 15 años a partir de ahora? Solución:
: Población : = 0 Población : = 2 = = 2 → = 2 = 100 = 21 ñ Cuando =? = 15 ñ = 2 =100(2) = 164 Ejemplos 2: APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Suponga que se invierten capital al cabo de:
$ 2500000, a una tasa de interés anual al 8%. Hallar el
a. Un año. Solución: Equivale a hallar el 8% por encima de un año es:
$ 2500000, por lo tanto, el capital en
1 =25000001,08 =2700000 b. Dos años Solución:
2 =25000001,08 =2916000 Ejemplos 3: APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL El valor futuro de un capital de 5000000, colocado a un interés compuesto del 3% mensual, depende del número de meses que esté colocado. Si representa el número de meses, tenemos:
=50000001,03 Solución: En particular, si el capital se coloca durante un año, tenemos que
12 = 50000001,03 =7128804,43
=12
BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS DIGITALES
Gustafson David R.(1997). Algebra Intermedia. México Internacional Thomson Editores, S.A de C.V. Soler Francisco, Núñez Reinaldo, Aranda Moisés. (2008). Calculo con aplicaciones. Colombia Ed. Pearson Educación LTDA. George B. Thomas Jr. Ross L. Finney (1998). Calculo de una variable 9ª edición. México Ed. Pearson Educación LTDA. Studer Marilyn R. (1982). Pre calculo, Algebra, trigonometría y geometría analítica. Ed. Cultura Moderna LTDA. Editorial Educativa. Escudero Trujillo Rafael, Rojas Álvarez Carlos. Matemáticas Básicas 3ª edición revisada y aumentada. Ed. Universidad del Norte. Dr. Baldor Aurelio. (2006). Algebra de Baldor. México. Ed. Ultra, S.A de C.V. centeno 162. Salgado Ramírez Diana Constanza. Nuevas Matemáticas edición para el docente. Ed Santillana.
