HIPER matemáticas Autores Julian Cifuentes Rubiano Francia Leonora Salazar Suárez
¡'
'J
. -~ e
i
-
r
K
PROHIBIDA SU VENTA
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7 Edición docente Directora de Educativas Directora Editoria l
La Edición para el docente del Hipertexto Matemáticas 7 para la ed ucació n básica sec undaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada por el Departa mento Ed itorial de Santillana S.A. Ana Julia Mora Torres Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento
Equipo editorial
Isabel Hernández Aya la. Coordinadora de contenidos Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora Ejecutiva del área de matemáticas Carlos David Sánchez. Editor júnior del área de matemáticas Edgar Alexander Olarte Chaparro. Editor júnior del área de matemáticas Jheny Aguilar Suan. Asistente editorial del área de matemáticas Anl ly Ma rcel a Díaz Gil. Coordinadora TICS
Autores Edición docente
Ju lian Cifuentes Rubia no Matemático. Universidad Nacional de Colombia.
..
Francia Leonora Salazar Suárez Licenciada en física. Universidad Distrito/ José de Caldas. Especialista en Edumática. Universidad Autónoma de Colombia. Magíster en educación con énfasis en investigación. Universidad de La Sabana Autores
Johann Alexander Chizner Ramos Licenciado en matemáticas y física. Universidad Antonio Nariño. · Juan de Jesús Romero Roa Licenciado en matemáticas. Universidad Distrito/ Francisco José de Caldas. Especialización en estadística. Universidad Nacional de Colombia. Magíster en economía. Universidad Nacional de Colombia. Francia Leonora Salazar Suárez Licenciada en física. Universidad Distrito/ Francisco José de Caldas. Estudios de maestría en Educación con énfasis en investigación. Universidad de la Sabana. Anneris del Rocío Joya Vega Licenciada en matemáticas. Universidad Distrito/ Francisco José de Caldas. Especialista en matemática aplicada. Universidad Sergio Arboleda. Magíster en didáctica de la matemática. Universidad Pedagógica Nacional Valeria Cely Rojas Licenciada en matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. Estudios de maestría en matemáticas. Universidad Nacional de Colombia.
.1
La especial ista encargada de avalar este texto desde el punto de vista de la disciplina específica ·y desde su pedagog ía fue Lucía Victoria Cabrera Díaz. Licenciada en Matemáticas. Pontificia Universidad Javeriana . . Magíster en Economía. Universidad de Los Andes. El especialista encargado de ava la r este texto desde la equidad de género y de su adecuación a la diversidad cultura l fue Auri Wa/dron Bulla. Psicólogo. Pontificia Universidad Javeriana. Especialista en psicolog ía médica yde la salud. Universidad del Bosque. Las pruebas de campo del texto fueron rea lizadas por el Departamento de Investigación de Editorial Santillana bajo la dirección de Ximena Ga/vis Ortiz. Se han hecho toaos los esfuerzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es necesario hacer alguna rectificación, la editorial está dispuesta a hacer los arreglos necesarios. Equipo gráfico y técnico
lvan Merchán Rodríguez. Coordinador de arte creativo. Diseñador del modelo gráfico y carátulas Carlos Ernesto Ta mayo Sánchez. Coordinador de Arte Educativas Martha Jeanet Pulido Delgádo, Orla nejo Bermúdez Rodríguez. Correctores de estilo Beatriz Román Campos. Correctora de estilo edición para e/ docente Alveiro Javier Bueno Aguirre. Coordinador de soporte técnico Lu is Nelson Colmenares Barragán . Documentalista gráfico y de escáner Sandra Patricia Acosta Tovar, Edward Guerrero Chinome, Luz DaryVillamil Velasco. Diagramadores Magdalena Medio. Jorge Eduardo Sandoval, Ricardo Alexis Fajardo, Alejandro Redondo. Armadores edición para el docente Claudia Jaime Tapia, Anacelia Blanco Suá rez. Documentalistas. Diomedez Guilombo Rámírez,.Edwin Hernando Cruz Delgado, Miguel Darío Martínez, Yein Barreta, Da.nilo Ramírez Parra, Francisco Sánchez. Ilustradores. · Ana María Restrepo, Juan Gira Ido, Luis Ramírez, Javier Jaimes Sánchez, Manuel GonzálezVicente, Tul io Pizano Arroyáve. Gustavo Rodríguez. Fotógrafos. Getty images, Repositorio Santil lana (archivo imágenes) Carel Professional Photos, images provided by Photodisc, lnc., Corbis images, Archivo Santillana. fotografía. Francisco Rey González. Director de Producción.
© 20 1O EDITORIAL $ANTILLANA S.A.
Calle 80 No. 9-69. Bogotá, Colombia 1.S.B.N. 978-958-24-1365-1 Obra completa l.S.B.N. 978-958-24-1388-0 Edición para el alumno l.S.B.N. 978-958-24-1389-7 Edición para el docente
SantiUana
Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC°NTC-4724 y NTC-4725 para textos escolares.
.
Depósito legal en trámite Impreso en Colombia por Printer Colombiana S.A. Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de rec~peración de información, sin permiso previo por escrito de. la editorial.
1
1
..
·-···.
•• •• •••
1
.1
•,
ÁREA DE MATEMÁTICAS
1:
1
ESTÁNDARES
UNIDADES
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Séptimo
ll
1
(!)
Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.
1, 2, 3, 4, 6, 7
1
1
@
Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes), para resolver problemas en contextos de medidas.
@
Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la represe.ntación decimal de los números racionales, utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal.
©
Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (sistemática, transitiva ... ) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa ... ) en diferentes contextos.
®
-
1, 2 1:
., i
1, 2, 3, 4 1
1, 2, 3, 4,7
®
Formul'o y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.
1, 2, 3,4, 7
®
Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.
1
1
11
.
el uso de representaciones y procedimientos en situaciones ® Justifico de proporcionalidad directa e inversa. ;
1, 2
procedimientos aritméticos, utilizando las relaciones y las propiedades ® Justifico de las operaciones.
1
•
Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas . de lé! desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación .
2, 3, 4, 6, 7
@)
Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.
1, 2, 3 1
3,6
1, 2, 3, 5, 6, 7
1
1
t 1 1
conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, ® Establezco utilizando calculadoras o computadores.
@
Justifico la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas.
@
Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo.
r
~..
1
r
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 5, 6, 7
7
l '
HIPERTEXTO/ MATEMÁTICAS 7
© Santillana
'
13 '
. .--;--·
ESTÁNDARES BÁS ICOS DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
ESTÁNDARES Pensamiento espacial
y sistemas geométricos
UNIDADES Séptimo
® Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.
5,6
@)
Identifico y describo figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales.
5,6
@
Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.
@
Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (translaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.
@)
Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y prop iedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.
® . Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. @
Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica.
5,6 5,6
5,6
5,6 1, 2, 5
Pensamiento métrico y sistemas de medidas
@ @
Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas. Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas, mapas) . Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos.
@ @
4
1
Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación.
© Santill ana
5,6
3, 4,5,6
5,6
6
1, 2, 3, 5, 6
HIPERTEXTO I MATEMÁTICAS 7
ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENC IAS EN MATEMÁTICAS
1
ESTÁNDARES
UNIDADES
Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
. Séptimo
¡1
@
Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión experimentos, consultas, entrevistas).
7,
@
Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación.
7
@
Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para representar diversos tipos de datos (diagramas de datos, diagramas circulares .. .).
7
@
Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.
7
Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir posibilidades de ocurrencia de un evento.
7
Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio, usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad.
7
@
Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.
7
@
Predigo y justifico razonamientos y conclusiones usando información estadística.
7
@
®
1
1
•
1
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
@ @ @
@ @
Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas) .
1, 2, 3, 4
Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación).
1, 2, 3, 4
Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, · de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.
1, 2, 3, 4
Utilizo métodos informales (ensayo-error, complementación) en la solución de ecuaciones.
1,2, 3,4
Identifico las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que representan.
1, 2, 3, 5
HIPERTEXTO I MATEMÁTICAS 7
1
© Sa ntillana 1
5
OBJETIVOS GENERALES , PARA EL GRADO SEPTIMO PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS - - - - - - - - - - - - - - - - - - . . .
Ut il iza r las diferentes fo rmas de expresa r y representar un número entero y un número raciona l. Comprender la estructura del sistema de nu meración decimal para expresar cualquier ca ntidad y para aplicar los algoritmos de las operaciones entre nú meros en teros y números raciona les. Usa r estrategias de estimación en el cálculo de operaciones y en la solución de problemas. Formular y resolver prob lemas asociados a las operaciones entre números enteros y rac ionales. Apl icar la proporcionalidad en la solución de problemas que re lacionen magnit udes en forma directa e inve rsa.
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS
Describir, dibuja r y ana lizar fig uras de dos y tres dimensiones. Identifi car y describir re laciones ent re diversas formas geomét ricas. Apl icar homotecias sobre una fig ura geométrica .
PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
Generaliza r estrateg ias para h ~l l ar medi ci ones indi rectas de los ángu los y los lados de un polígono. Usar propiedades métricas pa ra ca racteriza r los po lígonos. Rea lizar esti maciones en la solución de situaciones asociadas a la med ición. Comprende r y aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar med idas indi rectas. Formu lar y resolver problemas asociados con la med ición de longitud, amplitu d de áng ulos, peso, capacidad, perímetro, área y volumen. Apl ica r la proporcio nalidad en sit uaciones métricas.
PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS
Recolecta r y reg istra r información en tablas, gráficos, diagramas de ba rras, diag ramas ci rcula re s, entre otros. Ana lizar la información obtenida de una situación. Proponer co nclu siones a partir del aná lisis de la información. Eva luar la pro babi lidad de ocurrencia de una situación.
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
Explica r y descri bi r relaciones di rectas e inversas entre ca ntidades o magn it udes, med iante tablas, gráficas y ecuaciones. Usa r le nguaje si mbóli co pa ra representa r e interpretar sit uacio nes asociadas ta nto a patrones numéricos como a patrones geométricos.
6
1 © Santil lana .
)
PLANEACIÓN HIPERTEXTO MATEMÁTICAS
COMPETENCIAS GENERALES , PARA EL GRADO SEPTIMO INTERPRETATIVA
1.
Reconocer los diferentes métodos usados para solucionar situaciones algorítmicas. 2. Comprender los conceptos est udiados en cada conjunto numérico y re lacionarlos con situaciones reales. 3. Determinar si las soluciones que resultan al resolver algorit mos y problemas tienen sentido en los contextos cotid ianos que han sido planteados.
'1
Y(
ARGUMENTATIVA
-----------------------...
4. Justificar, utilizando modelos matemáticos, las soluciones planteadas a diferente s problemas. 5. Escribi r en forma coherente, clara y concreta las conclusiones de un hecho real en el cual se han usado algoritmos y conceptos matemáticos.
PRO POSITIVA
6. 7. 8.
Uti lizar los conce ptos matemáticos para plantear y reso lve r problemas en contextos coti dianos. Inventar situaciones en las cua les tiene sent ido proponer y soluciona r conceptos matemáticos. Apl icar los conceptos, algoritmos y representacio nes aprendidas en estadística y probabilidad en la solución de situaciones de contexto real.
© Sa ntillana 1
7
-
·'
--- ~ ----
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
Números enteros Temas de la unidad 11 El conjunto de los números enteros 11 Operaciones en
"11..
•
Polinomios aritméticos con números enteros
•
Ecuaciones con números enteros
,
MATRIZ DE PLANEACION Logros
Indicadores de logro
O Identifica las característ icas del conj unto
Reconoce el signo de un número entero. Encuentra el opuest o de un número entero.
de los números enteros.
e e 8
Establece las relaciones entre números enteros.
Efectúa operaciones básicas con números enteros, apl icando las propiedades correspond ientes.
=
•w ~
. . . . . .
:>
z
f2z O w
Res uelve pol inomios con números enteros.
~
c:C
. . .
VI
zw
o.
e
Resuelve situaciones problemáticas con números enteros.
. . . .
8
1
© Santil lana
Escribe los símbolos >, < = o entre dos números enteros. Ordena un conjunto de números enteros . Ubica números enteros en la recta numérica y en el plano cartesiano. Res uelve operacio nes aditivas y multip licativas entre números enteros. Identifica y realiza las operaciones de potenciación y rad icación con números enteros. Identifica y aplica las propiedades de las operaciones y las relaciones entre números enteros. Reconoce el orden en las operaciones . Suprime correctamente los signos de agrupación. Soluciona polinom ios con operaciones ad it ivas y mu lt ip licativas. Comprende los pasos del proceso de resolución de problemas. Identifica información adiciona l necesaria para resolver prob lemas. Resuelve problemas mediante la aplicación de relaciones y operaciones básicas entre números enteros y sus propiedades. Apl ica habilidades de pensamiento propias de las matemáticas para resolver j uegos, acertijos y situaciones lúdicas.
MAPA CONCEPTUAL
e
z
o )::!'
o
..... Números enteros
"1l..
se forman por
presentan
1
1
= -¡¡_-U {O} U -¡¡_+
se les determina
Opuestos
Va lor absoluto
que son
que se simboliza como
Dos nú meros ente ros que están a la misma distancia del cero y tienen diferente signo.
lal y es la distancia que existe entre a y O.
1
establecen
Relaciones
Operaciones
que pueden ser
como
. '
De orden
$
1
)>
); l
1 De equivalencia
Ad ición
Sustracción
Mult iplicación
División
Potenciación
como
de la siguiente forma
que se define como
que se define como
se define como
su operación inversa es
!
como
! · a < b, si a está a la izquierda de b.
· a > b, si a está a la derecha de b. ~
se expresan mediante ! 61 l/l QI
~
¡¡¡::J QI
LO
Desigualdades e inecuaciones.
a = b, si a y b están ubicadas en el mismo lugar. se expresan mediante
1 Igua ldades y ecuaciones.
1 •Si son del mismo ~i gno; §fil ~umªn J¡¡§ y¡:¡Jor~~ ab~olvtQ~
y ~12
pon@ ~I mi~mo ~igno, • Si son de dif@r@nts signo: $e re~tim los va lores absolutos y S€' pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Si a, b E "ll.., entonces, a~b=a+(-b)
= e, a y b son factores y e es En a · b
el producto ·Si a y b son de igual signo, el producto es positivo • Si a y b son de diferente signo, el producto es negativo
a
-7-
b = c, si y sólo si a= b ·e
n o z n m
IJ
--i
e
)>
1
1
Vl
r
Rad icación
m
Vl
..
UNIDAD 1
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
'
.
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS :-: El conjunto de los números enteros ACTIVIDADES DE AULA •
•
• 1
Proponga a los estudiantes que realicen la lectura "El secreto de los nudos" que aparece en el hipertexto en la página 9. Luego, pida a los estudiantes que realicen la actividad de "Para responder" de la misma página.
•
De igual forma explique cómo se representan los números en el eje de las ordenadas.
•
Realice varios ejercicios en los cuales los estu diantes deban hacer representaciones en el plano cartesiano. Puede proponer las siguientes parejas ordenadas:
Compruebe que todos los estudiantes identifican el símbolo N como la letra que designa al conjunto de los números.naturales. Haga notar que para representar los números enteros eh la recta numérica, se toma una unidad arbitraria y se lleva esta·unidad a la izquierda y a la derecha del origenü:Explique que en el eje de las abscisas los números positivos se representan a partir del :origen de,c00rdenadas en la semirrecta derecha, y los números•negativos en la semirrecta izquierda .
(2, 1 ), (-1, 4), (O, - 5), (3, - 2), (1 , - 2), (4, 3). •
Pida a los estudiantes que comenten cómo deben ser las coordenadas de una pa reja ordenada para que se encuentre ubicada en el primer cuadrante, en el segundo cuadrante, en el tercer cuadrante, y en el cuarto cuadrante.
•
Plantee varios grupos de números para que los estudiantes los ordenen en forma ascendente, y/ o descendente.
•
Haga que los estudiantes propongan ejemplos y contraejemplos para llegar a la conclusión de que no se puede dividir un número entre cero y _que el cociente entre dos números enteros debe ser exacto, de lo contrario, no sería un número entero.
•
Escriba varias operaciones combinadas en el tablero y pida a los educandos que subrayen o ro deen la operación que tienen que realizar en prime lugar. Intercambie los trabajos y solicite a los estudiantes que corrijan los trabajos de sus compañeros.
•
Recuerde con los estudiantes las principales potencias trabajadas en el conjunto de los números naturales, resaltando que el signo de la base es positiva independientemente de si el exponente es par o impar.
:-: Operaciones en 7L ACTIVIDADES DE AULA •
Utilice la recta numérica ;Para explicar a los est udiantes cómo se realiza la suma de números enteros.
•
Lleve a los estudiantes al patio .del colegio. Luego, pídales que dibujen rectas n uméricas en el piso y proponga varias sumas par.a que las resuelvan en grupo.
11
Explique a los estudiantes el sentido de la propiedad clausurativa de la suma de enteros.
•
Explique a los estudiantes cómo se realiza la resta de números enteros. Insista en que es común utilizar también el término diferencia para denotar una resta .
•
Resalte que los criterios de divisibilidad para los números enteros son los mismos que para los números naturales. La diferencia está en el número de divisores: 0 6 = {- 6, - 3, -2, - 1, 1, 2, 3, 6}.
1O 1 © Santillana
..
U NIDAD 1
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
X Operaciones en Z ACTIVIDADES DE AULA 111
Pida a los estudiantes que observen la secuencia de la construcción del triángulo de Sierpinski. Pregúnteles cuál creen que es la ley de formación.
•
Haga que el estudiante comprenda que, para poder expresar un producto en forma de potencia, todos sus factores deben ser iguales.
•
Compruebe con los estudiantes la equivalencia entre la multiplicación de factores iguales y la potencia correspondiente.
•
Para estudiar el signo de las potencias de base negativa, elabore una secuencia formada por todos los resultados de (- 2)n, donde n toma los diez primeros valores naturales. Así los estudiantes podrán deducir que la potencia es negativa cuando la base es negativa y el exponente es impar.
•
Recuerde con los estudiantes los llamados cuadrados y cubos perfectos. Pida que elaboren una tabla y que los ilustren geométricamente, para que luego relacionen la radicación como una operación inversa de la potenciación.
•
Es importante que los estudiantes no aprendan por repetición. Deben comprender lo nuevo que aprenden, conectándolo con los conocimientos previos y considerqndo todo en una estructura que tenga sentido.
:-: Polinomios aritméticos con números enteros ACTIVIDADES DE AULA •
Explique a los estudiantes, la forma para resolver diferentes tipos de polinomios aritméticos con enteros. Para ello realice lo siguiente:
Después proponga otros polinomios con potencias y raíces, como el siguiente: -
[ - v 369 + 1- r-12 +-4)2- 6 2] + Vlüo
Comience con polinomios aritméticos sin signos de agrupación y con sumas y restas como el siguiente:
Finalmente, resuelva otros polinomios aritméticos que tengan signos de agrupación y operaciones combinadas, como el siguiente:
- 2 + 3 - 9 - 12 - 25
[35 - (-2 X 29) - 6 2]
Luego, continúe con polinomios que tengan multiplicaciones y divisiones como el siguiente:
-5 X 2 + 30-(-24)+2
X Ecuaciones con números enteros ACTIVIDADES DE AULA •
Pida a los estudiantes que investig uen la diferencia entre igualdades y ecuaciones y que den ejemplos de unas y otras.
•
Dé a los estudiantes una letra por incógnita y un número por grado, para que construyan una ecuación con las características solicitadas y así, se acostumbren a nombrar los distintos elementos de la ecuación de forma adecuada.
•
Pida a los estudiantes que construyan ecuaciones equivalentes a una dada y que comprueben que la solución es la misma. Haga que, a través de ejemplos, los estudiantes conozcan las técnicas de resolución, para que sepan valorar las ventajas e inconvenientes de cada una. Propóngales varias actividades hasta que adquieran práctica ..en el manejo de dichas técnicas. © Santillana
J
11
--·-----~------------...-,---...,...---,~---,,.-----:~----
•'
r•
'
.,
O.Yo'•--;
·~
·~
·~
r
,,.
~H IPERT~·~TO MATEMÁTICAS.7.f
Números racionales Temas de la unidad 11!\1
Los números racionales
111 Operaciones en Q 1111 Polinomios aritméticos con racionales 1111 Ecuaciones en los números racionales
MATRIZ DE PLANEACIÓN Logros
O Reconoce las características de los ...1
números raciona les.
ce z
o
ü
ce
Ci2
:;
ez w
:E
ce
"'zw Q c.. >
8
Identifica y establece relac iones entre los números raci onales.
Ci2
•w
:E
Indicadores de logro
Explica cómo se compone el conjunto de los números racionales. Reconoce y utiliza la representación fracc ionaria de un número racional. Reconoce y utiliza la representación decimal de un número ra cional. Determina cuál debe ser la ubicación de un número racional en la recta numérica y en el plano cartesiano. Establece relaciones de orden entre fracciones. Establece relacio nes de orden entre decimales. Ordena un conjunto de números racionales en cualqu iera de sus representaciones.
::>
ez 9 z
Reconoce los números decima les como números racionales.
• Rea liza conversion es de fracción a decimal. Rea liza conversiones de decimal a fracción.
- W · · -------------------+---------------------~
:E
."cez'
O
w
c..
12 j
©
Santillana
Plantea y resue lve operaciones aditivas y multiplicativas con números racionales.
Plantea y resuelve situaciones aditivas y mu lt iplicativas con números fraccionarios. Plantea y resuelve situaciones ad itivas y mu ltiplicativas con números decimales.
......
,,..;~¡1~~~
~~,-
' HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
Logros
.....
z
C)
o
~
Identifica y aplica las propiedades de las operaciones entre números racionales ,
ii2
~ ~ zLLI ~
O Reconoce y aplica el orden en las
111
operaciones en la simplificación de polinomios con números racionales,
zLLI
Q..
>
o
u
ii2
•w
:E ::>
z ~ zLLI ~
111
zLLI
Q..
O
Resuelve problemas mediante la apl icación de relaciones y operaciones básicas entre números racionales y de sus propiedades,
' MATRIZ DE PLANEACIÓN
Indicadores de logro
• Reconoce el módulo, el inverso y el opuesto de un número racional , Utiliza la propiedad asociativa para resolver operaciones con números racionales, Utiliza las propiedades de la potenciación y la radicación de números racionales, Resuelve polinomios con operaciones aditivas, Resuelve polinomios con operaciones ad itivas y mu ltiplicativas , Simplifica, hasta su mínima expresión, operaciones con números racionales, Aplica la estrategia "hacer un dibujo" para resol ver problemas, Ap lica la estrategia "extraer datos de una tabla, texto o diagrama" para resolver problemas, Aplica habilidades de pensamiento propias de las matemáticas para resolver juegos, acertijos y situaciones lúdicas,
© Santillana
l 13
~
··~~__,_----=-~-~
~ @ Vl
"'
ª·
e
MAPA CONCEPTUAL
z o )>l
¡¡¡ ::>
"'
o
NbifieHi~ ra~ioi1ale~
1\.) f
----------- -----
----------------
-----------------
1
l
.
se definen como
se pueden expresar como
O={-~ /a,bEZ,b *º}
1
1
Numeras decimales
y se forman por 1 0 = o+U {O} U o-
1
mediante 1
La división del numerador entre el denominador i
en ellos se establecen r~~
Relaciones
Operaciones
1
!
como
que pueden ser 1 r-De orden
De equivalencia
1
1
se define
se define
1
J
Adición
Sustracción
1
g<
~
si y sólo si
a · d
a
b
=
e .
d
SI
,
y SO 1O SI
a·d=b·c
!
1
se expresa mediante
se expresa mediante
l
Desigualdadés
e inecuaciones
1
Igualdades y ecuaciones
que se efectúa 1
1 .
a
e
b+d=
a · d+b·c b·d
T
a
e
b-d
a·d-b · c b·d
!
Mu ltiplicación
1
que se efectúa
1
1
a
----- -
1
Potenciación
Divis ión
$ )>
~
1
1
1
l/)
que se efectúa
que se efectúa
que se efectúa
()
1
i
!
b-:-d=b·d
(gt= g~
e
a· e
b-d=Td
a . e
a
e
o z
()
m
-o
-1
e
)>
su operación inversa es !
Rad icación 1
y se deñne como 1
n/a e Vb= d
si Y sólo si
(~Y= g
r
m
l/)
1 1
UNIDAD 2
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
1
1
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS :-: Los números racionales ACTIVIDADES DE AULA •
•
Realice como actividad de motivación la actividad de prepárate para ... razonar, del hipertexto en la página 47.
será útil al representar en la recta los números racionales. •
Luego, proponga a los estudiantes la realización de la lectura La senda de los recuerdos que aparece en la misma página del hipertexto.
•
Muestre a los estudiantes que la fracción irreducible de un conjunto de fracciones equivalentes es un ejemplo adecuado de un número racional.
•
Haga notar a los estudiantes que los números racionales contienen a los números enteros.
•
Escriba ejemplos en el tablero con las diferentes representaciones posibles de un número racional y explique por qué todas son equivalentes. Por ejemplo, muestre que como:
°
f
puede expresarse
6 ; 6 ; 0,6 ó 60%. 10 10 0
•
Aclare que toda fracción es un representante de un cierto número racional y que existe un solo representante canónico para cada uno de ellos.
•
Planteé a los estudiantes que cada punto en la recta es la representación de un único número racional, de todas sus fracciones representantes y del número decimal asociado.
•
Recuerde a los estudiantes que para ubicar en la recta numérica una fracción pueden descomponerla como la suma de un entero y otra fracción, además que las fracciones positivas van a la derecha del cero y las negativas a la· izquierda, esto
Resalte los siguientes·:casos·.cuando represente un racional en la recta .numériGa,en forma de decimal: Cualquier número decimal positivo es mayor que cero. Cualquier número decimal negativo es menor que cer0. Cualquier número decimal positivo es mayor que cualquier número decimal· negativo. De dos números.:de:G:.i rrrales negativos es menor el que · tier;r~ may«w valor absoluto.
ACTIVIDAD LÚDICA •
Proponer a los est.l!.ldiantes:elij uego: círculos racionales. Para elfo,. rec;:or te' l'as; piezas de cada uno de los siguientes círculos:
Luego pida a los estudiantes que mezclen las piezas y construyan cada círculo, uniendo aquellas que co rresponden a diferentes representaciones · de un mismo número racional.
:-: Operaciones en Q ACTIVIDADES DE AULA •
Repase con los estudiantes la ley de los signos para la suma y el producto de números enteros, ya que será necesaria en las operaciones con números racionales.
•
Recuerde a los estudiantes que para sumar números racionales en forma de fracción debe tener en cuenta que si las fracciones son heterogéneas no
pueden ser sumadas directamente. Para hacerlo hay que buscar fracciones equivalentes a las dadas pa ra que tengan el mismo denominador. •
Recuerde a los estudiantes que para sumar números racionales expresados en decimales deben ordenarlos haciendo corresponder sus órdenes, tanto en la parte entera como en la parte decimal.
© Santillana
l 15
UN IDAD 2
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
X Operaciones en Q ACTIVIDADES DE AULA
• •
•
Aclare a los estud iantes que para sumar números racionales expresados en fracciones y decimales, es necesario lleva rlos todos a una misma forma fracción o decimal, según se considere más conveniente. Planteé a los estudiantes operaciones de suma y resta combinadas con números racionales e induzca un análisis que les permita identificar las propiedades utilizadas, así como, establecer la relación de estas con las planteadas en los números enteros.
•
(-
• •
Antes de realizar productos entre números raciona les, pida a los estudiantes que formulen con sus propias palabras el procedimiento en los siguientes casos:
•
r
4
2 - 32 - 34
Insista en que el signo (- ) en el exponente, no modifica el signo de la potencia, sólo indica que se debe "invertir la base". Muestre que raíces son posibles para números racionales negativos, trabajando primero ejemplos de números enteros negativos.
Calcula V- 64
Multiplicar un número entero y uno decimal.
Buscamos un número que elevado al cuadrado, o sea, que multiplicado por sí mismo, resulte-64:
Multiplicar dos números decimales.
v-64
Planteé diferentes ejercicios y pida a los estudiantes que identifiquen la propiedad utilizada de cada operación. Recue.r-de que para multiplicar o dividir dos númer.os :racionales expresados como fracciones no es lilecesario que tengan el mismo denominador. Indique tamh i:én que para simplificar los cálculos se d:ebe simpU:fücar los numeradores y denominadores ·de los números antes de multiplicarlos o dividjrlos. Resalte que cua tildo :S-e d ivii.c!len dos números raciona les expresados
=
c...J( .... ).
Probar con 8; - 8 o cualquier otro valor aportado po r los estudiantes mostrando que no existe tal número.
Multiplicar dos fracciones.
•
32
Ejemplo:
Multiplicar un número entero y una fracción .
•
Haga notar que para indicar la potencia de un número racional expresado en fracción, es necesario utilizar paréntesis.
Calcula RJ- 64 Buscamos un número que elevado al cubo, dé: - 64 - 64
= (-4) (- 4) (-4)
(- 4) 3 = - 64 - \ /- 64
•
•
= -4
Explique que la potenciación y la radicación son operaciones de igual jerarquía, por lo tanto si ambas se presentan a la vez, se efectúa primero la que simplifique el cálculo; por lo general la radicación. Pida a los estudiantes que describan en forma verbal el proceso seguido para desarrollar cada operación.
X Polinomios aritméticos con números raciona les ACTIVIDADES DE AULA •
Recuerde a los estudiantes la jerarquía de las operaciones, así como la manera para resolver los polinomios con y sin signos de agrupación: . Raíces y potencias Multiplicación y división Sumas y restas
16
J
© Santilla na
ACTIVIDAD EXTRACLASE •
Pida a los estudiantes que planteen polinomios aritméticos que tengan algunos de los siguientes resultados: - 1, 3,-27, 40
Proporcionalidad Temas de la unidad Razones y proporciones Proporcionalidad directa 111 Proporcionalidad inv~rsa 111 Aplicaciones de la proporcionalidad
,
MATRIZ DE PLANEACION Indicadores de logro
Logros
O Identifica razones y proporciones. $
. . .
Identifica y discrimina mag nitud es directamente proporciona les e inversamente proporcionales.
. .
_,
c:c
z
o
~
C2
~
ez
E)
Comprende y apli ca el proceso de reg la de t res.
w
~
.
. . .
c:c zw
111 Q.
o
Ap lica los conceptos de propo rci onalida d en la sol ución de problemas.
. . .
Identifica y explica qué es una razón aritmética . Ident ifica y explica qué es una proporción . Aplica las propiedades de las proporciones . Identifi ca la gráfica de un par de magnitudes d i recta mente proporciona les. Identifica la gráfica de un par de magn itudes inversamente proporcionales. Determina si dos magnitudes son directamente proporcionales. Determ ina si dos magn itudes son inversamente p roporciona les. Apl ica la propiedad fundamental de las proporciones en la solución de problemas. Explica qué son proporciona lidad simple y compuesta, y establece re laciones entre el la s. Plantea una regla de t res simple a partir de una situac ión probl emática dada. Pl antea una regla de tres compuesta a partir de una situación problemática dada. Real iza repartos directa e inversamente proporcionales. Resuelve problemas de porcentaje. Resuelve p roblemas con el concepto de interés . Identifica probl emas que se resuelven mediante proporcionalidad.
© Santillana
j 17
.J )
()) @ l/l lll
~ ¡;¡
MAPA CONCEPTUAL
(
::J
lll
J ------ ---------------- ,_:,---- ------------------
--------------- --------
Razón
e z
J
1 ------- -----------.-----
Se define como
se simboliza
1
1
ba
El cociente indicado entre dos cantidades
su igualdad defin e una
1
oa:b
o)=il o lJ-1
¡,'· ¡ ,,
Proporción
su propiedad fundam ental es
1 -a = -e s1. y so·1o s1. a · d = b · e b d otras p ropiedades son
,----- --------¡ a de ' entonces, S.1 b= a±c a b±d =b
e
d
1
s· b= a de ' entonces, 1
a
b
1
J
d
e
c=d yb=a
s· b= a d' e entonces, 1
a±b c±b -ª-= - e-
s·1b= a de ' entonces, a±b _ c±d __b___d_
i1
s·1ba = d' e entonces, a+b
c+d
a=b= c-d
1
$
• ¡----------------------------------
Magnitudes directamente proporciona les
)>
se aplica en
j;
1
V1
n
o z
Magn itudes inversamente proporcionales
n
que se defin encomo 1
e
i
m
-o
que se definen como
1 Si x es la medida de una magnitud A y y es la medida de una magnitud B, A es directamente proporcional a 8 si
L = k, donde k es la constante de proporcionalidad. X
-
Si x es la medida de una magnitud A y y es la medida de una magn itud B, A y 8 son inversamente proporcionales si x ·y= k, donde k es la constante de proporcionalidad.
---j
)>
r
m
V1
1
[.
i·
en consecuencia
en consecuencia
1 Si m y n son medidas de una magn itud A; p y q son medidas de una magnitud B, A y B son directamente
i Si m y n son medidas de una magnitud A; p y q son med idas de una magnitud B, A y 8 son inversamente
proporcionales, entonces: m = R
proporcionales, entonces m= R
n
q
.
n
q
.
UNIDAD 3
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
,
SUGERENCIAS METODOLOGICAS :-: Razones y proporciones ACTIVIDADES DE AULA •
Escriba en el tablero las siguientes razones:
•
Luego, pídales que completen la tabla con las proporciones fo rmadas, así verificaran experimentalmente la propiedad fundamental de las proporciones.
_]___. _1_. _1 . 0,2 . ~. _1 4 ' 5'2 ' 5'2 ' 5 Pregunte; ¿Cuáles de las razones son fracciones?
• •
Pídales que escriban 5 razones que no sean fracciones. Resalte la importancia de la correcta lectura de una razón . 15:30 =
•
1~
•
Producto de extremos
Producto de medios
'-
se lee "15 es a 30".
Indique a los estudiantes que el valor de una razón es el cociente entre las dos cantidades. El valor de la razón
•
Proporción
•
1~ es 0,5.
Analice con los estudiantes diferentes usos del concepto de razón en Aritmética y Geometría 1 edición docente reales. Por ejemplo, proponga a los estudiantes que determinen cuál es la mejor compra de acuerdo con los datos dados. Una crema de 300 gramos que vale $4.500 y una de la misma calidad de 250 gramos con un valor de $4.000. Haga ver a los estudiantes que al establecer la razón entre el precio y la cantidad de gramos, se determina el costo por gramo, para así poder seleccionar el valo r más económico.
Haga que los estudiantes comprueben experimentalmente que en una proporción se cumple que la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecutivos es igual a cualquiera de las razones.
a
e ·
b= d -
a+c a e b+d = b =d
•
Pida a los estudiantes que establezcan las semejanzas y diferencias entre las proporciones y las series de razones iguales. ¿Cumplen las mismas propiedades?
•
Elabore tarjetas con razones diferentes. Reparta una a cada estudiante y pida que se agrupen los estudiantes cuyas razones formen una serie de razones iguales. Cada grupo deberá comprobar experimentalmente las propiedades que se cumplen.
© Santil la na
119
UNIDAD 3
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7 · SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
X Proporcionalidad directa ACTIVIDADES DE AULA 11
Longitud (cm)
Resalte que para que dos magnitudes sean directamente proporcionales no basta con que al aumentar una aumente también la otra.
Resistencia eléctrica '- (ohmios)
Proponga modelos desde otras áreas que se asocien al concepto de proporción. Por ejemplo:
240
120 2,3
3,5
4,2
5,8
6,7
7
El oxígeno y el hidrógeno se combinan en una razón fija para formar el agua. La razón es aproximadamente 8 partes de oxígeno por 1 parte de hidrógeno, en peso. ¿Cuántos gramos de oxígeno se requieren para formar 32 gramos de agua?
La resistencia eléctrica de un alambre es directamente proporcional a su longitud. Si la resistencia de 120 cm de cierto alambre es de 3,5 ohmios, completar la tabla de la siguiente columna si se usa en todos los casos el mismo alambre.
X Proporcionalidad inversa 1
ACTIVIDADES DE AULA Realice el análisis de la siguiente tabla de proporcionalidad, donde se presentan la capacidad expresada en litros de una botella y el número de botellas que se requieren para envasar 120 litros de aceite.
\,,_
Capacidad (L) por botella Número de botellas
1
2
3
4
5
120
60
40
30
24
11
Si la capacidad de las botellas es del doble, se necesita la mitad del número de botellas.
lil
Si se usan botellas con el triple de la capacidad, se necesitan sólo la tercera parte del número de botellas.
/
~: .. 1
X Aplicaciones de la proporcionalidad ACTIVIDADES DE AULA
11
Forme grupos de tres integrantes y pídales que resuelvan algunos problemas sin aplicar la regla de tres simple. 100
Resalte que cuando intervienen más de dos magnitudes relacionadas proporcionalmente, se está ante una regla de tres compuesta. Es necesario determinar el tipo de proporcionalidad existente entre la incógnita y el resto de magnitudes que intervienen. Utilizando la proporcionalidad en triángulos rectángulos, construya con los estudiantes una estrategia gráfica para calcular porcentajes. Para esto, solicíteles que dibujen en una hoja de papel milimetrado, un rectángulo cuyos catetos midan 100 mm (1 Ocm) y 30 mm (3 cm) y prolonguen sus lados, como se indica en la figura.
2 O 1 © Santill ana
200
De acuerdo con el gráfico, pida a los estudiantes que midan la longitud de los segmentos perpendiculares correspondientes a 50 mm, 150 mm 200 mm. Luego, dígales que relacionen estos resultados con el cálculo del 30% de 50, el 30% de 150 y el 30% de 200. Proponga a los estudiantes que, a partir del gráfico, calculen el 30% de 70 y el 30% de 120.
•
Haga notar al estudiante lo cotidiano del tema del interés simple, ya sea en su casa mediante el pago de cuotas de compras de electrodomésticos o de la hipoteca; o en la publicidad, donde los bancos anuncian los bajos intereses.
1
..
1
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
1
1
Introducción al álgebra Temas de la unidad •
Expresiones algebraicas
•
Adición y sustracción
•
Multiplicación
.,.
MATRIZ DE PLANEACION Indicadores de logro
Logros
.... e:(
O Reconoce las caracte rísti cas de las expresio nes algebraicas
z o
u e:( C2
~ ~ zw
:E
. . . . .
e:(
V'I
zw
CI.
>-
f)
8
Rea liza operaciones ad itivas ent re expresiones algebraicas.
C2 :E
•w
.
:l
z ~ z
!:!::!
:E e:(
V'I
zw
CI.
. . . .
e
Rea liza la m ultiplicación entre expresio nes algeb raicas.
Comp rende el co ncepto de expresión algebraica . Reconoce los elementos de una expresió n algebraica. Clasifica expresiones algebraica de acuerdo con el número de térm inos. Det erm ina cuando dos térm inos son o no son semejantes. Escribe enunciados del lenguaje comú n m ed iante expresiones al geb raicas. Reduce a té rminos semejant es en una expresión. Resuelve la suma de monomios semejantes. Realiza la resta de m o nom ios semej antes. Ha lla la su m a y resta de bino mi os . Apl ica las operaciones aditivas entre expresiones algebraicas para resolver situac iones.
. Halla el producto de dos o más monomios. . .
Halla la mu lti pl icació n de expresiones algebraicas. Ap li ca la m ulti plicació n de expres io nes algebraicas a la solución de situaciones problema.
© Santillana
j
21
'
'
.,_ '"·
.
.
~~:!}~.li"':-1':7, I """-.1., ":"..,,_r.;.r.: ~~\(.'::/Jt:·
UNIDAD 4
,';,,•"';/1,n¡ ·.
·¿·(..,
t.; t:t!f'ERTEXTO : ~ATEMÁTICAS 7 ·: MAPAS CONCEPTUALES .n '· .: ....~
. '
.
.ft..::
_._.,._ r-;·
<\l
11
MAPA CONCEPTUAL
Las expresiones algebraicas
1
son
1 Combinaciones de números, letras signos por medio de una o varias operaciones.
'J
estan 1orma dos por
1 Términos
cuyos elementos son
1 Signo Coeficiente Parte literal
•
1
''
22 J
© Santillana
1
se clasifican en
1 Monomios Binomios Trinomios Pol inomios
f
se pueden operar mediante
1 Adición Sustracción Mu ltiplicación
--
UNIDAD 4
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS :-: Expresiones algebraicas ACTIVIDADES DE AULA •
Proponga a los estudiantes que realicen la lectura
•
El escudo de armas, que aparece en su hipertexto
en la página 133. •
• •
•
•
Pida a los estudiantes que realicen la actividad de Prepárate para ... analizar de la página 133. En el ejercicio a dígales que utilicen el método de ensayo y error para determinar el posible valor de x. Lu ego, dígales que resuelvan la ecuación utilizando las propiedades de las proporciones. Pida a los estudiantes que escriban un monomio e identifiquen los elementos que aparecen en él. Haga ver, con distintos ejemplos, las diferencias entre lenguaje numérico y algebraico y las ventajas que ofrece el último. Pida a los estudiantes que planteen sus propios ejemplos. Haga notar que utilizando el lenguaje algebraico se obtienen expresiones generales que no se pueden dar utilizando el lenguaje numérico. Proponga situaciones en las cuales los estudiantes encuentren la utilidad del lenguaje algebraico. Por ejemplo: Si a, by e son tres números enteros, exprese con ellos: La propiedad conmutativa de la adición y la multiplicación. La propiedad asociativa de la adición y la multiplicación. La propiedad distributiva respecto a la adición y a La sustracción. Si a x b = 470 y no se conoce el valor de uno de ellos, ¿se podrá saber cuánto es a + b?
•
¿Qué condición tiene que cumplir un número natural a para que (6+ a) tenga residuo cero? 3 Proponga expresiones algebraicas para que los estudiantes asignen valores a las variables y calculen su valor numérico; y así comprendan que las expresiones toman distintos valores de acuerdo al número que sustituya a la letra.
Elabore varias tarjetas con monomios y entregue a cada grupo. De el orden para que con ellas formen binomios, trinomios, polinomios de cuatro, cinco .. . términos. Debe conseguir que todos los grupos realicen la actividad en el menor tiempo posible. Las tarjetas deben tener algunos monomios semejantes, así los estudiantes podrán reducir los monomios semejantes y formar el polinomio solicitado.
•
Proponga a los estudiantes que realicen la siguiente actividad: Expresa en lenguaje algebraico las siguien tes frases: a. La quinta parte de un número más su triple. b. El triple de un número menos su mitad.
c. El cubo de número más su doble. d. La sexta parte del cuadrado de un número. e. Un número más la tercera parte de su cubo. f. El triple de la séptima parte de un número. Expresa en lenguaje usual :
3x 2
+5
2x
+y
Utiliza el lenguaje algebraico para expresar lo siguiente. En un corral hay varias vacas. Indica las que hay en cada caso. a. Si se venden 15 vacas. b. Si se compran 9 vacas.
c. Si se vende dos tercios de las vacas. d. Si se compra un cuarto de las que había y se venden 11 vacas.
© Sa nt illana 1 2 3
UNIDAD 4
HIPERTEXTO M1ffEMÁTICAS 7
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
X Adición y sustracción ACTIVIDADES DE AULA •
Resalte que la adición y la sustracción de monomios semejantes se reduce a la suma o resta de sus coeficientes.
•
Si lo cree conveniente indique que la adición de monomios cumple las mismas propiedades que la adición de números racionales.
•
Recuerde a los estudiantes que un signo menos que antecede un paréntesis modifica los signos de la expresión que éste contiene, pues se aplica la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta .
•
Presente la suma y resta de binomios relacionándolas con la suma y resta de monomios.
•
Si lo cree conveniente indique que la multiplicación de monomios cumple las mismas propiedades que la multiplicación de números racionales.
Propiedad conmutativa A(x)
+ B(x)
= B(x)
+ A(x)
Propiedad asociativa [A(x)
+ B(x)] + C(x)
= A(x)
+ [B(x) + C(x)]
Propiedad conmutativa
Elemento neutro A(x)
•
+ O=
A(x) X B(x) = B(x) X A(x)
O + A(x) = A(x)
Propiedad asociativa
Proponga actividades para que los estudiantes comprueben que la sustracción de monomios no cumple la propiedad conmutativa.
[A(x) X B(x)] X C(x) = A(x) X [B(x) X C(x)]
:-: Multiplicación ACTIVIDADES DE AULA
J
•
Recuerde a los estudiantes la ley de signos para multiplicar números enteros.
•
Recuerde también de qué manera se realiza la multiplicación de: dos números enteros, dos números racionales, un número entero con un número racional.
•
Realice algunas multiplicaciones entre expresiones algebraicas que son monomios.
•
Luego, explique el uso de la propiedad distributiva para multiplicar un monomio por un binomio.
..
24
1 © Santill ana
•
Explique que se puede realizar la multiplicación de dos binomios escribiendo los binomios uno debajo del otro, de forma similar como se realiza la multiplicación de dos números de tres o más cifras.
•
Comente algunas aplicaciones de la multiplicación de expresiones algebraicas, por ejemplo, para calcular el área de figuras geométricas planas.
•
Pida a los estudiantes que busquen en su CD de tics la hoja de vida de Al-Kwuarizmi y lo lean .
~]-_:-_-_-_-_---~~~~~~-------, HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
Geometría Temas de la unidad m Polígonos 11 Circunferencia y círculo •
Sólidos
,
MATRIZ DE PLANEACION Indicadores de logro
Logros
O Reconoce las características genera les de los polígonos.
. o
zw
. . . .
< zw
.
>_, <
.
u
...C2 $
•W
:E
g
Determina la clasificación de un polígono a partir de sus elementos y sus propiedades.
:E
11'1
CI.
~
. .
11'1
w
g zw
:E
< 11'1 zw CI.
E)
O
Identifica las características de un pol iedro. Clasifica poliedros en regulares e irregulares.
. . .
.
Identifica y nombra lados, ángu los y vértices en un polígono. Identifica y traza diagonales en un polígono. Determina la medida de los ángulos internos de un polígono. Clasifica polígonos según su número de lados. Clasifica polígonos según la medida de sus lados y de sus ángulos internos. Clasifica polígonos según su forma . Identifica y clasifica cuadriláteros. Identifica y clasifica triángulos. Identifica las características las clases, las relaciones y las propiedades de los triángulos. Identifica y clasifica las clases, las relaciones y las propiedades de los cuadriláteros. Construye y clasifica triángulos . Construye y clasifica cuadri láteros. Reconoce los diferentes elementos en un poliedro. Construye poliedros a partir de su desarrollo. Reconoce las características de los diferentes poliedros. · Examina la forma y clasificación de los polígonos que fo rman un poliedro para, a su vez, clasificarlo. Reconoce las diferencias entre los poliedros regulares y los poliedros irregulares.
© Santillana
1
C5
r--~. f\J O'l· @ Vl
"' ~
MAPAS CONCEPTUALES
e z
¡:¡;-
o ~ o
:J
"'
Figuras planas 1
01
algunas son
1
1
1
Polígono
Círculo
1
1
se define como
se define com o
1 Porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada
Porción del plano limitada por una circunferencia
1
1 se clasifica según
1
r·Su forma 1
Números de lados
en
en
1
r - - -1 Convexo cuando 1
Ninguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
en
1
1 Cóncavo
1
cuando
que se define como
1 Uno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
se clasifica en
se clasifica según
Paralelogramo Trapecio Trapezoide
it'
i 2) = 180º
La medida de sus ángu los
Equil: tero
~ Acutá~gulo
Isósceles
1-
Escaleno
L. Obtusángulo
interiores es
(n -
Todos sus lados y ángulos tienen la misma medida.
1 .
La medida de sus lados
2
1
1
Un polinomio de tres lados. 1
·'-
1 cuando
1
Un polígono de cuatro lados. 1
1
y la suma de los ángulos
Regulares
qué se define como
1
$
1
······· ········· ·····~·-···-·····-·····-1
)>
~
Vl
Triángu lo
1
su número de diagonales es
el número de lados.
1
1
Cuadrilátero
1 n · (n - 3) donde n es
Medida de sus lados y ángulos interiores
Rectángulo
1rregu lares
1
Í)
o z
cuando
Í)
1
-o --!
La medida de sus lados y ángulos no es igual.
m
e
)>
r m
Vl
-1 1
UNIDAD 5
MAPAS CONCEPTUALES 1
MAPAS CONCEPTUALES Cuerpos geométricos son
i Porciones de espacio li mitadas por polígonos o caras curvas
1
se clasifican en
Poliedros
Cuerpos redondos
que se definen como
que se define como
1
! Porciones de espacio limitadas por polígonos i
1 Sólidos limitados por _alguna cara cu rva
i
pueden ser
por ejemplo
1
l
Cóncavos
Convexos
1
1
cuando
cuando
!
1
Alguna de sus caras es un polígono cóncavo.
Todas sus caras son pol ígonos convexos.
1 pueden ser
r
o!
Cilindro
1
Cono
i
Esfera
1
cuando
1 Es un cuerpo limitado por una cara curva y dos caras planas circu lares.
1
cuando
cuando
1 Es un cuerpo redondo limitado por una cara cu rva y dos caras planas circulares.
! Es un cuerpo redondo limitado por una sola superficie curva.
,_,..,,-----1
Regulares
Irreg ulares
1
1
cuando
cuando
1 Sus caras son pol ígonos congruentes y todos sus vértices son del mismo orden.
1 Sus caras no son congruentes o no todos sus vértices tienen el mismo orden.
y son
i ·Tetraed ro ·Cubo
· Octaedro ·Dodecaedro
· Icosaed ro Prismas
Pirám ides
cuando
cuando
1 Tienen dos bases que son ca ras poligona les congruentes y caras laterales que son pa ralelogramos.
1
1 Tienen un polígono de base y sus caras laterales son triángulos con un vé rtice común.
© Santillana
1
27
UNIDAD 5
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7 •
-:;
.•
•
r
"'"
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
,..,
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS X Polígonos ACTIVIDADES DE AULA
• • l
•
1
1
..
'
•
• ¡
• 1
Pida a los estudiantes que elaboren un diagrama para representar la clasificación de los polígonos. Para determinar los conocimientos previos de los estudiantes realice preguntas acerca de los polígonos, regulares que conocen, por ejemplo, triángulo equilátero, cuadrado, etc. Resalte que el nombre de equilátero indica igualdad de lados, pero al tener los ángulos iguales se puede llamar también triángulo equiángulo y que también se puede llamar triángulo regular.
Doble el papel por el segmento MN.
3.
Doble por las líneas punteadas que parten de M y N. Observe que los ángulos del triángulo ABC, forman un ángulo llano.
A 1
1 1 J 1
-- _,_ --- -- -- - -1
1
1 1
Explique a los estudiantes que el lado del hexágono regular es igual al radio de la circunferencia que lo inscribe. Si algún estudiante no entiende este concepto, una el centro con dos vértices consecutivos luego pregunte por el tipo de triángulo que se forma . Es necesario aclarar que no siempre es posible construir un triángulo dados tres segmentos. Tiene que verificarse que cada segmento sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Esto lo puede comprobar con los estudiantes con ejemplos concretos, utilizando pitillos para armar triángulos.
1
1
•
Para trabajar la construcción de triángulos se recomienda formar grupos de trabajo (no más de cuatro estudiantes) y proponer la construcción de los diferentes casos que se dan en la construcción de triángulos, luego, que cada grupo confronte lo que hizo. Finalmente, promueva la corrección y discusión de los resultados en clase.
•
Resalte que las alturas son siempre perpendiculares al lado o a su prolongación desde el vértice del que se traza y que tanto la mediana como la bisectriz comparten la propiedad de bisecar, respectivamente, al lado y al ángulo en dos partes congruentes.
•
Pida a los estudiantes que dibujen un triángulo en una hoja de papel bond y luego, con instrumentos de medida, que tracen todas las líneas utilizando para cada una un lápiz de color distinto. Haga que ubiquen los puntos notables.
Muestre que la extensión del concepto de semejanza a cualquier polígono es inmediata. Haga que los estudiantes comprendan que la razón de semejanza debe ser siempre definida de un polígono respecto al otro, y que si se define al revés, la nueva razón será el inverso de la anterior. Una razón
...
2.
1f mayor que 1 indica que el polígono P'
•
es más grande que el polígono P, si dicha razón es menor que la unidad, entonces Pes rnayor que P'. Utilice material concreto para demostrar que la su~a de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
11
Por ejemplo: 1.
Dibuje en un papel transparente el triángulo ABC. Los puntos M y N son los puntos medios de AC y AB, respectivamente.
2 8 1 © Santillana
...
I[ UNIDAD 5
..
\ñJ!.!!l~l~l,!,1~
1 SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
X Polígonos /
ACTIVIDADES DE AULA •
Dibuje en el tablero un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4 cm. Pida a los estudiantes que construyan un cuadrado sobre la hipotenusa y otros sobre cada uno de los catetos. Luego, que comprueben que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Pida a los estudiantes que expliquen con sus propias palabras cuando dos triángulos son semejantes y analice con la clase la definición. Haga que dibujen triángulos con los tres ángulos iguales y comprueben que son semejantes. Haga lo mismo con triángulos que tengan los lados proporcionales.
•
Con la ayuda de un transportador pida a los estudiantes que comprueben que los ángulos consecutivos y opuestos de los trapecios y paralelogramos son suplementarios y congruentes, respectivamente.
•
Oriente la construcción de paralelogramos siguiendo los pasos propuestos y exija el uso de escuadras, regla y compás. Se sugiere que trabajen en clase, ya sea en forma individual o grupal bajo su supervisión. Muestre a los estudiantes que el concepto de semejanza se extiende a las medidas características de los polígonos además de los lados. Pida que los estudiantes lo comprueben realizando mediciones en varios polígonos semejantes realizados por ellos mismos.
X Círculo y circunferencia /
ACTIVIDADES DE AULA •
•
Es importante que los estudiantes lleguen a la fórmula de longitud de la circunferencia de un modo experimental.
J
1
Moneda
Longitud de la circunferencia
Sugiera a los estudiantes que construyan diferentes figuras combinando las diez piezás. Por ejemplo, la siguiente figura se ha construido usando las piezas A, F, H, /,J.
Diámetro L/d
•
\
Pida a los estudiantes que describan verbalmente la figura que se obtiene utilizando los elementos básicos de un círculo tales como diámetro, radio, entre otros.
Plato
Haga notar que el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número que se aproxima a 3, 14. A este número, los griegos lo designaron con la letra p que se lee pi.
G
/
Pida a los estudiantes que midan con un pedazo de lana o cordón el contorno y el di:§ metro de un CD, de una moneda y de un plato. Luego, que completen la siguiente tabla: CD
•
F
, I
\
Proponga a los estudiantes construir el siguiente tangrama circular.
© Santillana
j
29
Medición Temas de la unidad •
Longitud
• Área 111 Volumen
1 ••" 1
1
MATRIZ DE PLANEACIÓN Logros
O Reconoce la s un idades básicas de longitud, masa, superficie y vo lumen.
."'
Indicadores de logro
. . .
8 ii:
1-
•w
:¡:
g zw
~
ce z w VI
e
Reconoce el perímetro como un atributo medible en los polígonos.
o..
> ..J
ce
~
e
Determina el área de una figura.
VI
w
6 1zw
. . .
:¡:
ce VI
~
zw
o..
e
3 O 1 © Santillana
Halla el volumen de un cuerpo geométrico.
.
Determina la un idad de medida adecuada en una situación co ncreta. Reconoce y uti liza los múltiplos y los submúltiplos de la unidad de medida dada en el sistema métrico decimal. Utiliza medidas del sistema inglés de medida . Realiza conversiones entre unidades de longitud. Realiza conversiones entre un idades de área. Rea liza convers iones entre unidades de volumen. Calcu la el perímetro de una figura teniendo en cuenta las unidades de medida . Utiliza el concepto de perímetro en la solució n de situaciones problemáticas. /'
Ap lica las fórmu las para encontrar el área de un polígono dado. En cuentra el área de figuras no regula res haciendo recubrimientos con figuras conocidas. Halla el área del desarrol lo de un cuerpo geométrico. Resue lve situaciones problemáticas relacionadas con el concepto de área. Aplica las fórmulas para encontrar el vo lumen de un cue rpo geométrico. Resuelve situaciones problemáticas re lacionadas con el concepto de volumen.
UN IDAD 6
MAPAS CONCEPTUALES
MAPAS CONCEPTUALES Sistema métrico decimal se define como
1 Sistema de medidas cuya unidad patrón es el metro y las unidades aumentan de 1Oen 1O
1
se aplica en la medición de
==-t-·Longitud
Área
Volumen
se define como
se define como
1 se define como
1
1
Número que indica el largo de un objeto
Número que indica La medida de una superficie
La medida del espacio que ocupa un cuerpo
! ~
1
1
cuyas unidades básicas son
cuyas unidades básicas son
1 Metro: m D , d ecir;ietro: m Kilómetro: km Hectómetro: hm Ce~timetro: cm Decámetro: dam Mli1metro: mm
1 otras unidades usadas son
km 2 hm 2 dam 2
! m2 dm 2
.
i
cuyas unidades básicas son
i cm 2 mm 2
km 3 hm 3 dam 3
m3 dm 3
cm 3 mm 3
otras unidades usadas son
1 Pulgada Pie Vara
2,54cm 30,48 cm 80 cm
Yarda 91,44cm Milla 1.600 m Milla náutica 1.852 m
Hectárea: ha = 100 a; Área : a Centiárea: ca = 1 m 2 Fanegada = 6.400 m 2
© Santillana
1
31
.·
. t~~~
-··
UJ f\J @ V>
'"
2: ¡;;-
MAPAS CONCEPTUALE-S
e z
o)>! o
Magnitudes
:;
'"
,,.:·.
1
pueden ser
1
-·
Perímetro
i
1
1
se puede hallar en
se puede hallar en
1 Polígonos
1
1
Cuadriláteros
¡
mediante
m ediante
!
1 La su ma de las medidas de su s lados
- !
1 Triángu los
mediante
e= 27rr, donde e es la longitud de la circu nferencia y res el rad io
La med ida del espacio que ocupa un cuerpo
La medida de la superficie de una figura
se puede hallar en
1
1
1
La longitud del contorno · de la figura
mediante /a expresión
se define como
se define como
¡
Círcu los
1
1
se defin e como
l
Volumen
Área
1
1-·-·
~
A = ba se · altu ra 2
1
y la aplicación de
1 Teo rema de Pitágoras
1
Rectángulo:
A
= base ·altura
Cuadrado: A = lado · lado Para lelogramo general o romboide: A = base · altura
que se enuncia
1 En todo triángulo rectángu lo de catetos a y be hipotenusa c, se verifica que: a2 + b 2 = c2
-Polígonos regu lares
=---, Círcu lo mediante
1
i
p·a
7rr2
2
Poliedros
1
mediante
1
m edian te
A=
1 ¡-····-···· .... ········-··· ---1
A=
Cubo: V= /3 Pirámide: 1
V=- 3 Ab · h Prisma: V= Ab · h Paralelepípedo: V=!· a · h
Trapecio: A = B+b·h 2
Tetraedro regu lar: 13./2 V= - ¡2-
Rombo: O·d A= 2
Octaedro regu lar 13 ./2 V= 3
Trapezoide simétrico:
A= -12.:_Q 2
Cuerpos redondos 1
m ediante __.
Cilindro:
V= Ab · h $ )>
Cono: 1 V= -crrr2 • h 3 Esfera: 4 V=- 7rr3 3
Tronco de la pirám ide: 1 V= 3 h(AB + Ab +.J AB. Ab)
:g l/)
n
o z
n
m
-o -l
e
)>
r m
l/)
UNIDAD 6
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS :-: Longitud ACTIVIDADES DE AULA •
Proponga a sus estud iantes que realicen la lectura que aparece como comienzo de unidad en la página 187 y resuelvan las actividades propuestas en la sección para responder.
•
Retome los decimales y recuerde a sus estudiantes, la técnica de la multiplicación y la división por potencias de diez.
•
Recalque que:
•
Plantee a los estudiantes formular y resolver diferentes preguntas asociadas al siguiente gráfico:
Al multiplicar por 1O;100; 1.000 ... el número crece. La coma avanza: 1,25
<
12,5
<
125
<
1.250 ¿Cuál es la distancia en metros entre Palmira y Cartago?
Al dividir entre 10; 100; 1.000 ... el número decrece. La coma retrocede: 36,5 •
¿Cuál es la distancia en metros entre Tu lúa y la Pintada?
> 3,65 > 0,365 > 0,0365
Utilice el tablero posicional para expresar magnitudes en las unidades requeridas y presente la conversión de unidades como un ·procedimiento en que se multiplica o divide por la potencia de diez correspondiente (el factor de conversión).
•
Indique a sus estudiantes que efectúen las conversiones de unidades po r uno de los dos procedimientos y verifiquen los resultados por el otro.
•
Si se utiliza una gran cantidad de cifras decimales, use el espacio entre grupos de tres cifras, como se hace con los números enteros: 24
¿Cuál es la diferencia de alturas en kilómetros entre Cartago y Medellín? ¿Cuál es la diferencia de alturas en kilómetros entre la Pintada y Altos de minas? ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre el sitio más bajo y el sitio más alto? •
x 10 10 m = 0,0000000024 m
Sobrevoló la base área a 20.000 pies.
1Ocifras decimales •
•
Navega a 150 nudos (el nudo es la velocidad equivalente a una milla por hora).
Establezca la correspondencia entre micra, que es una unidad auxiliar para longitudes pequeñas, y el micrómetro que es una unidad del SI. Si lo considera motivador, en la clase anterior pida a sus estudiantes traer recortes de información en unidades de longitud del sistema inglés para que hagan las respectivas estimaciones en el sistema métrico.
En caso de no disponer de datos reales, plantee situaciones que todavía, se expresan comúnmente en el sistema inglés y pida la longitud estimada en metros.
Azotaron la zona vientos huracanados de hasta mil millas por hora. Las costas de La Habana y La Florida distan solo 90 millas. •
Construya cuadriláteros con los estudiantes y luego, con una regla graduada pida que obtengan el perímetro pregunte como se puede expresar.
© Sa ntillana 1
33
UNIDAD 6
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
:-: Área ACTIVIDADES DE AULA
•
•
~I
li
1J
1
• 1
.:·¡
• 11
,·_.
11
• •
Plantee una actividad que le permita establecer la diferencia entre área y superficie. Deje claro que para medir la superficie de una figura se debe elegir una unidad de superficie y que el área de una figura es la medida de la superficie (se expresa con números). Pida a los estudiantes que hagan la estimación en metros cuadrados de la superficie del techo, el tablero, la pared, la puerta, un jardín, la cancha de balón cesto. Luego que escriban las estimaciones hechas y después sí, que midan con una cinta métrica, y comprueben cuáles han sido más representativas de la superficie. Si la estimación de longitudes (ancho y largo) no es acertada, al multiplicar, el error será mucho mayor. Proponga a sus estudiantes medir con regla las dimensiones de un libro, el cuaderno, etc., calcular la superficie en cm 2 y comparar sus resultados. Solicite a los estudiante que investiguen en su entorno local donde hacen uso de las unidades agrarias.
111!1
•
Experimente con material concreto (cortes, traslaciones, plegados) para que el estudiante deduzca las estrategias que tiene que aplicar para calcular el área de figuras irregulares. Haga notar a los estudiantes que las figuras que a veces tienen formas complicadas pueden descomponerse en otras figuras conocidas que permiten con facilidad calcular el área; y muestre que el área final no depende de la descomposición elegida En el caso de figuras irregulares que no pueden ser fácilmente descompuestas. explore con los estudiantes otras estrategias. Por ejemplo, sugiérales el siguiente procedimiento: copiar la figura en otro material, pesarla, recortar un centímetro cuadrado del mismo material pesarlo y establecer una proporción. V-- --.., /
/
V
""' "\
Actualmente sólo la hectárea es de uso común, por lo tanto, enfoque sus esfuerzos a ejercicios y problemas con hectáreas. Pida a los estudiantes que dibujen figuras poligonales en una hoja de papel cuadriculado y las recorten; luego que cuenten el número de cuadrados que ocupa cada una de ellas. Recuerde con sus estudiantes aprendizajes previos sobre polígonos regulares, sus elementos y sus propiedades. Solicite a los estudiantes que verifiquen el resultado utilizando la calculadora. Resalte que el área de un círculo se reduce a calcular el área de un polígono de muchos lados donde el perímetro es la longitud de la circunferencia y la apotema es el radio del círculo.
11 · P¡:ira trabajar en el área de un cuerpo geométrico es conveniente que el estudiante desarme un prisma, una pirámide, un cilindro y un cono y obtenga su desarrollo. Así podrá deducir de manera experimental como hallar el área de cada uno de estos cuerpos y establecer la representación simbólica respectiva .
34
•
1 © Sa nt illa na
\,
r--...
~
\
"'--
-
-·''-
\
?
I~
1
I
\
""'
.........
......
,,V
En este ejemplo, la figura se copió en un pedazo de caucho y su peso indico 20 gramos. Luego, se pesó un centímetro cuadrado del mismo caucho y pesó 0,5 gramos. Para hallar el área aproximada de esta figura se realiza la siguiente proporción: si 1 cm 2 de caucho peso 0,5 gramos, ¿cuántos cm 2 del mismó material pesaran 20 gramos? Se obtiene que el área de la figura es aproximadamente 40 cm 2•
UNIDAD 6
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
:-: Volumen ACTIVIDADES DE AULA •
•
Utilice plastilina para que los estudiantes construyan y visualicen el cm 3 como un cubito de 1 cm de lado. Proponga diferentes casos para que los estudiantes indiquen la unidad adecuada para medir el volumen. Una cuchara de jarabe Un cubo de hielo Una habitación
ACTIVIDADES LÚDICAS •
Proponga a los estudiantes es juego; estimación cercana . Para ello, organice a los estudiantes en grupos y pídales que estimen la medida de la longitud de los lados, el área de las caras y el volumen de determinado objeto. Luego, se mide el objeto para determinar las longitudes, las áreas y el volumen y se compara este resultado con las estimaciones dadas por los grupos. Gana el grupo que tenga una mayor aproximación a las medias reales.
El agua en una laguna
©
Santillana
1
35
.l
Estadística y probabilidad Temas de la unidad
1
11 Estadística 11 Probabilidad
MATRIZ DE PLANEACIÓN Indicadores de logro
Logros
O Identifica los conceptos básicos de estadística.
e
Rea liza la caracterización de una variab le cua 1itativa.
o i52 o !ce
w ....
w
"'zw
. . . . . .
.
ez :E
.
e
Rea liza la caracterización de una variable cuantitativa.
CI.
'
.
. . .
. .
36
I
o SooUlloo•
Determina la población y la muestra en una situación planteada. Define correctamente la muestra representa t iva dentro de una población dada . Elabora tablas de frecuencias para una variable . Elabora tablas de frecuencias para dos variab les. Elabora tablas de frecuencias de un conjunto de datos. Representa la información obtenida a partir de una tabla de frecuencias. Interpreta la información obtenida de una tabla o de una gráfica . Plantea conclusiones a partir del anál isis logrado con base en la caracterización de una variable. Determina la diferencia entre un conjunto de datos agrupados y un conjunto de datos no agrupados. Elabora tab las de frecuenc ias comp letas para una variab le cuantitativa. Elabora histogramas, po lígonos de frecuencias y establece conclusiones a partir de ellos. Elabora d iagramas de tallo y hojas . Encuentra las medidas de tendencia central de un conjunto de datos y las interpreta en el contexto dado. Plantea conclusiones a partir del análisis logrado con base en la caracterización de una variab le.
MATRIZ DE PLANEACIÓN
Indicadores de Logro
Logros
O
Re laciona las operaciones entre conj untos co n los conceptos básicos de probabilidad.
.
o a: o ~
w
....1
<
ez
. . .
e
Realiza el conteo de los elementos de un espacio muestra!.
w
:E
< 11\ zw c.
Reconoce en un diagrama de Ve nn qué partes son el espacio muestra! y los diferentes eventos. Escribe por extensión los elementos de un espacio muestra! o evento. Interpreta los diferentes sectores de un diagrama de Venn como eventos co ncretos. Determina por compresión los elementos de un evento.
. Determ ina qué técnica de conteo se debe usar para determinar un espacio muestra!. . Aplica el principio de la mu lt ipl icación. . Determina en qué casos se usan las perm utaciones. . Determ ina en qué casos se usa la comb inatoria. . Determ ina el rJúmero de elementos de una población determinada .
G Halla la probabi lidad de ocurrencia de un evento.
. . .
l
Determ ina si un experimento es o no aleatorio . Encuentra el número de elementos del espacio muestra! y un evento dado. Ap lica la fórmu la de p robabil idad pa ra dete rm inar la posibilidad de ocurrencia de un event o dado.
© Santillana
l 37
MAPAS CONCEPTUALES
MAPA CONCEPTUAL
""""'~~-~~~~La~e-st-j~d-ís_t_ic_a____~
---,
r
se trabaja en
eli
!
.......L
r La ciencia encargada de diseñar, recolectar y analizar información para encontrar las principales características de un grupo de individuos
l
Variables cualitativas
Variables cuantitativas
¡
1 que{ on
que son 1 Aquellas va riables que estudian gustos, cualidades, opiniones o preferencias
!
se puede
Aquellas variables cuyos datos brindan información en una escala numérica 1
se pueden
1
1 Caracterizar
Caracterizar
¡-=----....r~-,_J una
dos
1
1
Variable cualitativa
Variables cuantitativas
1
1
mediante
Tabla
~ecuendas ~
Diagramas de barras y diagramas circulares
Moda
mediante
l : bla de
L
c~ntingencie
Tablas de contingencia de frecuencias relativas
Datos· agrupados
1
©
Santillana
1
1
mediante F"""""=~·,=1 Diagrama de tallo y hojas
-
L [
Tabla de frecuencias Histogramas y polígonos de frecuencias Moda
38
Datos no agrupados
mediante ~ Medidasde tendencia central Medidas de posición
UN IDAD 7
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS :-: Estadística ACTIVIDADES DE AULA •
Pida a los estudiantes que lean la biografía de Heródoto o la hoja de vida que aparece en el CD de tics o en la página web.
•
Repase con los estudiantes conceptos previos necesarios como:
la frecuencia absoluta, pídales que calculen el porcentaje de dinero recibido por cada departamento sobre la cantidad total, es decir, 7,2% de 30.000 millones = 2.160. Muéstreles cómo encontrar la frecuencia relativa, estableciendo la razón entre la frecuencia absoluta y el total. Para este caso se tiene 60 que al que la frecuencia relativa es igual; 3 00
2ó1
Cálculo de porcentaje Noción de promedio
simplificar equivale la fracción 125 . La frecuencia porcentual se muestra directamente en el gráfico; para el departamento de Antioquia es 7,2 %.
Población Muestra
Pida a los estudiantes que realicen el mismo ejercicio para otros departamentos y construyan la tabla.
Tipos de variables •
•
Pida a los estudiantes que traigan recortes de revistas y periódicos donde encuentren información estadística, para que pueda detectar los saberes previos y sobre esa base construir los nuevos aprendizajes. En las distribuciones de frecuencia que se estudian en esta unidad, la variable toma un conjunto finito de valores.
11
Oriente a los estudiantes sobre la elección y construcción de escalas y el aprovechamiento eficiente del espacio, a la hora de representar gráficamente los datos.
•
Haga notar que para representar los datos de una tabla de frecuencias mediante un gráfico circular se ha de dividir 360º en partes directamente proporcionales a las frecuencias.
•
Comente a los estudiantes que la media es la medida de centralización más común. Proponga ejercicios para su cálculo con y sin intervalos de frecuencia, complementando con una reflexión sobre lo adecuado o inadecuado de la media en diferentes situaciones.
•
Enfatice que las medidas de tendencia central o de centralización, como también se les llama, caracterizan con mayor o menor éxito, al conjunto de datos. Por sí solas, no brindan una idea de cada dato en particular, esa no es su utilidad. Por ejemplo, dentro de un aula con rendimiento regular puede haber notas excelentes. En el ámbito de la estadística, que es el de los datos numéricos, las medidas de centralización sí constituyen un criterio importante.
Por ejemplo: Si la variable x es género.
x+ 5 masculino x- 5 femenino Si la variable x es edad de los estudiantes de un curso de primero. x1
= 11
años
x 2 = 12 años x 3 = 13 años •
Anime a los estudiantes a expresar conclusiones como: el departamento que más dinero recibió fue el departamento de Santander y el que menos recibió fue Risaralda. Oriéntelos para que encuentren la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual. Para encontrar
© Santillana
1
39
UNIDAD 7
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
X Estadística ACTIVIDADES DE AULA •
Primero muestre la mediana en conjuntos pequeños de datos ordenados. Luego, la mediana en conjuntos de datos agrupados.
•
El estudiante debe saber que al procesar los resultados de experimentos aleatorios como los que se llevan a cabo en biología, termodinámica, diseño de automóviles, etc, no basta con hallar las tres medidas de centralización para descubrir la tendencia .
•
Previamente, se debe examinar la distribución obtenida. Si hubiera datos anómalos, que distorsionan la tendencia real, no se consideran al calcular el promedio o se toma otra medida como la mediana o la moda, que son menos sensibles a ellos.
•
Según el criterio que emplea, las medidas serán más o menos representativas de la tendencia. Explique a los estudiantes que la estadística está muy relacionada con las encuestas y en ellas interesa el resultado global, no lo que dice cada persona individualmente. Explique también que en las encuestas para que sea más sencillo contestar las preguntas, vienen escritas las posibles respuestas y solo hay que señalar la que corresponde a la pregunta. Estas preguntas se dice que son cerradas, mientras que si permiten contestar libremente lo que se quiera, se denominan abiertas. Una vez recogidos los datos de las encuestas se procede a organizar y a procesar la información para obtener conclusiones y tomar decisiones.
X Probabilidad ACTIVIDADES DE AULA •
•
Aproveche la oportunidad de trabajar con material concreto (dados, naipes, ruletas de cartón, pirinolas) y desarrollar dinámicas grupales. Algunas librerías venden dados grandes de material ligero y colores vivos que pueden lanzarse al piso. Ubique en la parte de adelante del salón tres sillas numeradas con 1, 2 y 3. Luego, pida a tres estudiantes que se sienten en cada silla y anote en el tablero las posiciones que ocuparon. Dígales quiera que se vuelvan a sentar pero con la condición de que deben acomodarse en posiciones distintas a como lo hicieron la primer vez. Escriba los resultados en el table ro. Repita la orden una vez más y anote los resultados. Pregunte al resto de la clase de cuántas formas diferentes pueden sentarse los tres estudiantes y cuáles·sqn estas posiciones.
•
Por ejemplo, elaborar en el tablero y de manera colectiva, un diagrama de árbol para encontrar el espacio muestra! del siguiente experimento. Una bolsa contiene tres bolas de color amarillo, rojo y verde. Se extraen dos bolas una a una de tal manera que una vez elegida la primera bola, se observa su color y se introduce nuevamente en la bolsa para extraer la segunda. El siguiente diagrama de árbol permite encontrar el espacio muestra! correspondiente.
A
A~~
A
Repita el ejercicio con cuatro sillas y cuatro estudiantes e introduzca el concepto de permutación y combinación.
~--- R ~ ~
Proponga experimentos sencillos en los cuales se aplique la estrategia de diagrama de árbol para encontrar el espacio muestra! de un evento.
A
4 O 1 © Santillana
V ~~
Resultados A,A
A, R
A,V R,A R,R
R,V
V,A V,R
V,V
I
1 1
PRUEBA SABER 1
I'
PRUEBA SABER X Matemáticas 7º grado Tiempo disponible 1 hora y 30 minutos.
J, i' 1
1nstrucciones
1
1. Escribe primero tu nombre y apel lido, en el espacio correspondiente, en tu hoja de respuestas. 2. En esta prueba encontrarás 25 preguntas a partir de diferentes situaciones. 3. Para contestar, en la hoja de respuestas, hazlo de la siguiente manera. Por ejemplo, si la respuesta correcta a la pregunta 1 es B.
MARCA ASÍ:
NO MARQUES ASÍ:
ASÍ, TAMPOCO:
PARA CORREGIR, BORRA COMPLETAMENTE
1.
1.
1.
1.
'A
'A
'A
t
B
'A
1
• e
e
Je
e
D
D
D
D
© Santillana
1 1
l 41
PRUEBA SABER
PRUEBA SABER X Hoja de respuestas
f
Nombre
e
Curso
L
)
) Fecha
)
---~l ¡!
1.
A
B
e
D
14.
A
B
e
D
2.
A
B
e
D
15.
A
B
e
D
3.
A
B
e
D
16.
A
B
e
D
4.
A
B
e
D
17.
A
B
e
D
5.
A
B
e
D
18.
A
B
e
D
6.
A
B
e
D
19.
A
B
e
D
7.
A
B
e
D
20.
A
B
e
D
8.
A
B
e
D
21.
A
B
e
D
9.
A
B
e
D
22.
A
B
e
D
10.
·~
B
e
D
23.
A
B
e
D
11.
A
B
e
D
24.
A
B
e
D
12.
A
B
e
D
25.
A
B
e
D
13.
A
B
e
D
4 2 1 © Santillana
~·~:-----~-P_R_u_EB_A_s_A_B_ER________________________________
1¡
Responde las preguntas 1, 2 y 3 de acuerdo con la siguiente información: El gran matemático, astrónomo y físico alemán Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777-23 de febrero de 1855), en medio de una cantidad de contribuciones significativas a nivel científico, dedujo una regla práctica para hallar el día de la semana correspondiente a cualquier fecha. El procedimiento se puede observar a continuación mediante el cálculo para determinar qué día de la semana nació Gauss: Sean el año de nacimiento de Gauss. n = 1777 O el número del día dentro del año que corresponde al día y mes de nacimiento. En este caso para llegar al 30 de abril han transcurrido: 31 días Enero 28 días (Observa que 1777 no fue año bisiesto) Febrero Marzo 31 días Abril + 30 días 120 días De modo que O = 120 Nota: Para hacer el conteo de los años es importante tener en cuenta que un año bisiesto es divisible entre 4, excepto aquel divisible entre 1OO. (Por ejemplo, 1700, 1900 y 2100) a no ser que sean divisibles entre 400 (por ejemplo, los años 1600, 2000 ó 2400). N = 1777 - 1, Sean A = cociente de N entre 4; A = 1776 /4 = 444 . Luego A = 444. B =cociente de N entre 1OO. Consideramos únicamente la parte entera del cociente, de modo que B = 17. C = cociente de N entre 400. Consideramos nuevamente la parte entera, de modo que C = 4. E = N + O + A + C - B = 1776 + 120 + 444 + 4 + 17 = 2327 = E R = al resto de dividir E entre 7, luego R = 3 Entonces Res el día de la semana, de modo que si R = O es domingo; si R = 1 es lunes; si R = 2 es martes; y así sucesivamente. En el ejemplo, como R = 3, quiere decir que Gauss nació un miércoles. '-
1.
¿Cuál de los siguientes años no fue bisiesto?
A. 1492 B. 1596 c. 1604 D. 1582 2.
El 21 de julio de 1969 a las 22:56 p.m. el hombre piso la Luna por primera vez. ¿Qué día de la semana fue? (Ten en cuenta que mayo tiene 31 días y junio 30 días).
A. B. C. D. 3.
Domingo Lunes Martes Miércoles
El 5 de julio de 1996 nació la oveja Dolly que fue el primer mamífero clonado a partir de una célula adulta. Ese día fue:
A. B. C. D.
Lunes Martes Miércoles Jueves © Santillana
1
43
PRUEBA SABER
4.
Un depósito de agua de 5.000 litros de capacidad está vacío. En la parte superior del depósito hay dos grifos, uno de ellos vierte agua al depósito 35 litros por minuto, y el otro, 40 litros por minuto. En la parte inferior tiene un grifo por el que salen 50 litros por minut o. ~ i se abren los tres grifos a la vez, el depósito se llena totalmente en: A. 2 horas B. 3 horas y 20 minutos C. 3 horas y 45 minutos D. 4 horas
5.
Una persona quiere embaldosar el suelo de un salón cuadrado de 36 m 2 de superficie. Para ello puede elegir baldosas cuadradas de 30 cm, de 35 cm o de 45 cm de lado. Para que la persona no tenga que romper ninguna baldosa al realizar el recubrimiento del salón: A. Debe elegir B. Debe elegir C. Debe elegir D. Debe elegir
la la la la
baldosa baldosa baldosa baldosa
de de de de
30 cm 45 cm 45 cm 30 cm
y usar 14.400 baldosas como esta. y usar 6.400 baldosas como esta. y usar 169 baldosas como esta. y usar 400 baldosas como esta .
Responde las preguntas 6, 7 y 8 de acuerdo con la siguiente información: En un determinado pueblo tres personas se enteran de una noticia. Cada persona, en el transcurso de media hora, comunica la noticia a otras tres personas.
6.
En dos horas el número de personas que sabrá la noticia es: A. 81 personas B. 363 personas
7.
1 © $a nti ll ana
D. 5 horas
C. 1 hora y media menos D. 2 horas y media menos
Un padre deja como herencia a su tres hijos, una colección de monedas de oro. Al primero le deja la mitad de la colección más media moneda, al segundo, le deja la mitad de las que quedan más media moneda, y al tercero le deja la mitad de las que han quedado más media moneda, de modo tal que así quedan distribuidas la totalidad de las monedas. ¿Cuántas monedas tenía la colección? A. 13 monedas. B. 11 monedas
44
C. 4 horas
Si en vez de 3 personas, se enteraron 4 personas de la noticia y cada una de ellas la trasmite, en el transcurso de 20 minutos, a 4 personas más, ¿qué tanto más rápido se entera todo el pueblo de la noticia en relación con la situación anterior? A. 1 hora menos B. 2 horas menos
9.
D. 729 personas
Si el número de habitantes del pueblo es de 6.550 personas, el tiempo en que tarda todo el pueblo en saber la noticia es: A. 3 horas y media B. 4 horas y media
8.
C. 243 personas
C. 9 monedas D. 7 monedas
PRUEBA SABER
Responde las preguntas 1O, 11, y 12 de acuerdo con la siguiente información: La temperatura normal de cuerpo es de aproximadamente 98,6 grados Fahrenheit (98,6 ºF). Los médicos consideran que un incremento de (3,6 ºF) en la temperatura corporal es una urgencia. La siguiente expresión siguiente permite convertir grados centígrados en grados Fahrenheit.
TF -- 59 Te+ 32, donde:
TF = Temperatura en grados Fahrenheit Te= Temperatura en grados centígrados
1O. Por medio de cuál de las siguientes expresiones podemos convertir grados Fahrenheit en grados centígrados
A. Te
5
= 9 TF -
~ ( TF-
32 )
= ; ( TF-
32 )
B. Te = C. Te
D. Te
32
=
9
5 TF -
32
11 . Según los médicos, ¿a partir de qué temperatura corporal se considera que una persona está de urgencias?
A. B. C. D.
A partir de 40º centígrados (40 ºO A partir de 41 º centígrados (41 ºO A partir de 42º centígrados (42 ºO A partir de 39º centígrados (39 ºO
12. Otra de las escalas para medir la temperatura es la escala Kelvin . Por medio de la siguiente expresión podemos hacer la conversión de grados centígrados a grados Kelvin y viceversa : Te= TK- 273, 15. La temperatura normal del cuerpo humano en grados Kelvin es:
· A. - 236, 15 grados Kelvin (- 236 K) B. - 174,55 grados Kelvin (- 174,5 K) C. 31O,15 grados Kelvin (310, 15 K) D. 371,75 grados Kelvin (- 371,75 K) Responde las preguntas 13, 14, 15 y 16 de acuerdo con la siguiente información: El aire es una mezcla de gases. La composición aproximada de aire en volumen es la siguiente: Nitrógeno - - - - - - - - - - 78% Oxígeno 21% 0,04% Anhídrido carbónico y el resto, está formado por otros gases como el Aragón y el criptón. Cuando inspiramos, parte del oxígeno se queda en la sangre, de modo que el aire espirado sólo tiene un 14% de oxígeno y el 4,5% de anhídrido carbónico. Una persona adulta respira aproximadamente unas 15 veces por minuto y cada vez que respira introduce en los pulmones 2 litros de aire aproximadamente.
1
'1
© Santi llana
j
45
!i :
1
1
PRUEBA SABER
13. La cantidad aproximada de oxígeno que llega a los pulmones en 1 hora es: A. B. C. D.
Aproximadamente Aproximadamente Aproximadamente Aproximadamente
252 litros de oxígeno 378 litros de oxígeno 1.404 litros de oxígeno 1.422 litros de oxígeno
14. La cantidad aproximada de anhídrido carbónico que llega a los pulmones en una hora respirando 15 veces por minuto unos dos litros cada vez es: A. B. C. D.
Aproximadamente Aproximadamente Aproximadamente Aproximadamente
0,72 litros de anhídrido carbónico 7,2 litros de anhídrido carbónico 72 litros de anhídrido carbónico 81 litros de anhídrido carbónico
15. La cantidad aproximada de anhídrido carbónico que sale de los pulmones en 1 hora respirando 15 veces por minuto unos dos litros es:
A. B. C. D.
Aproximadamente Aproximadamente Aproximadamente Aproximadamente
0,324 litros de anhídrido carbónico O, 1008 litros de anhídrido carbónico 0,0324 litros de anhídrido carbónico 3,24 litros de anhídrido carbónico
16. La cantidad aproximada de oxígeno que se queda en la sangre en 1 hora respirando 15 veces por minuto unos dos litros es: A. B. C. D. I!
Aproximadamente 325,08 litros de oxígeno Aproximadamente 45,50 litros de oxígeno Aproximadamente 252 litros de oxígeno Aproximadamente 1,548 litros de oxígeno
17. El suelo de un baño se ha cubierto con baldosas blancas y grises, siguiendo este modelo. ¿Cuántas baldosas grises se colocaron si se necesitaron 2.320 baldosas para cubrir el suelo en su totalidad?
A. B. C. D.
40 baldosas grises 928 baldosas grises 80 baldosas grises 1.856 baldosas grises
18. Un barco lleva víveres para alimentar durante 45 días a su tripulación que está formada por 60 personas. Si acogen a 1O hombres más cuyo barco está averiado, ahora el alimento para todos \ alcanzará para: A. Durante 38 días B. Durante 52 días
C. Durante 39 días D. Durante 53 días
19. Una familia de 5 personas invierte $700.000 para el mercado de dos meses. Bajo las mismas condiciones, si una familia de ocho personas, quiere que su mercado dure seis meses, deberá invertir:
A. $ 1.120.000 B. $ 2.800.000
46
1
© Santil lana
c.
$ 2.240.000 D. $ 3.360.000
'I PRUEBA SABER
1
'I
1
1
20. 15 obreros trabajando 6 horas diarias tardan 30 días en realizar un trabajo. Si 1O obreros quieren hacer el mismo trabajo en los mismos 30 días, deberán trabajar:
1
A. 8 horas diarias B. 9 horas diarias C. 1O horas diarias D. 11 horas diarias 21. Un estudiante de arquitectura debe hacer una maqueta en la que tiene que atravesar con una
cuerda la d iagonal de un cubo de lado 4 cm. Esta cuerda debe medir:
1
4 cm
e
1 A.4V2 cm 2 B. 2V6 cm 2
B 2
C. 4V3 cm D. 2V3 cm 2
22. En la siguiente figura del punto A al punto E hay 20 cm de longitud y además . Entonces el área de la región sombreada es:
1 - - - - --
cm 2
B. 25 7T cm 2
c. s'25JT cm 2
D. 75 7T cm 2
A.
25 T'IT
20 cm - - - --1
4
4
23. Una empresa tiene que transportar sus productos en cajas rectangulares de 30 cm de largo, de 24 cm de profundo y de 18 cm de alto. Los productos se empacan en cajitas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuántas cajitas caben exactamente en la caja rectangular grande? (Ten en cuenta que la arista de la cajita cúbica tiene que caber un número exacto de veces en el largo, en el ancho y en el alto de la caja grande rectangular).
18 cm
A. 60 cajitas B. 480 cajitas
C. 216 cajitas D. 1.620 cajitas
© Santillana
j
47
:
PRUEBA SABER
24. En una urna hay 1.000 papeletas de una rifa numeradas de 1 al 1.000. ¿Cuáles de las siguientes parejas de eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir?
A.
A: Que el número de la papeleta acabe en 7 B: Que el número de la papeleta sea capicúa (que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) de 2 cifras y menor que 50
B.
C: Que el número de la papeleta sea de 2 cifras y empiece por 5 D: Que el número de la papeleta sea de 3 cifras, empiece por 1 y acabe en 7
C.
E: Que el número de la papeleta sea de 2 cifras y empiece por 5 F: Que el número de la papeleta sea capicúa (que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) de 2 cifras y menor que 50
D.
G: Que el número de la papeleta sea de 3 cifras, empiece por 1 y acabe en 7 H: Que el número de la papeleta sea capicúa (que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) de 2 cifras y menor que 50
25 . Si se lanza un dado de seis caras que tiene tres de sus caras marcadas con un punto, dos caras marcadas con una X, y una cara marcada con dos puntos, la cara que es más probable salga es:
A.
B.
c.
D. Todas tienen la misma probabilidad de salir
48
1©
Santillana
... e
• •• e
•.
4f'v1p4fJ 4
•
• S iftJti/l • 11. a11a
•
'Ello'E
.o • • "'1.o~· • • • ~COLOG\C.O
HIPER matemáticas Autores Johann Alexander Chizner Ramos Juan de Jesús Romero Roa Francia Leonora Salazar Suárez Anneris del Rocío Joya Vega Valeria Cely Rojas
\
\
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7 Directora de Educativas Directora Editorial Equ ipo editorial
Autores
1
i
r·
l
¡,
. 1
Para educación básica secunda ri a, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada por el Departamento Editoria l de Santi llana S.A. Ana Julia Mora Torres Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento Isabel Hernández Aya la. Coordinadora de contenidos Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora Ejecutiva del área de matemáticas Carlos David Sá nchez. Editor júnior del área de matemáticas Edgar Alexander Olarte Chaparro. Editor júnior del área de matemáticas Jheny Agu ilar Suan. Asistente editorial del área de matemáticas Johann Alexander Chizner Ramos Licenciado en matemáticas y física. Universidad Antonio Na riño. Juan de Jesús Romero Roa Licenciado en matemáticas. Universidad Distrito/ Francisco José de Caldas. Especialización en estadística. Universidad Nacional de Colombia. Magís ter en economía. Universidad Nacional de Colombia. Francia Leonora Salazar Suárez Licenciada en física. Universidad Distrito/ Francisco José de Caldas. Estudios de maestría en Educación con énfasis en investigación. Universidad de la Sabana. Anneris del Rocío Joya Vega Licenciada en matemáticas. Universidad Distrito/ Francisco José de Caldas. Especialista en matemática aplicada. Universidad Sergio Arboleda. Magíster en didáctica de la matemática. Universidad Pedagógica Nacional Valeria Cely Rojas Licenciada en matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. Estudios de maestría en matemáticas. Universidad Nacional de Colombia. La especial ista encargada de avalar este texto desde el punto de vista de la disciplina específica y desde su pedagogía fue Lucía Victoria Cabrera Díaz. Licenciada en Matemáticas. Pontificia Universidad Javeriana. Magíster en Economía. Universidad de los Andes. El especialista encargado de ava lar este texto desde la equidad de género y de su adecuación a la diversidad cu ltu ral fu e Auri Waldron Bulla. Psicólogo. Pontificia Universidad Javeriana. Especialista en psicolog ía médica y de la sal ud. Universidad del Bosque. Las pruebas de campo del texto fueron real izadas por el departamento de Investigación de Editorial Sa nti lla na bajo la dirección de Ximena Galvis Ortiz. Se han hecho todos los esfuerzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es necesario hacer alguna rectificación, la editorial está dispuesta a hacer los arreglos necesarios.
Equipo técnico
lvan Merchán Rodríguez. Coordinador creativo. Diseñador del modelo gráfico y carátulas. Carlos Ernesto Ta mayo Sánchez. Coordinador de Arte Educativas Martha Jea net Pu lido Delgado, Orlando Bermúdez Rodríguez. Corrección de estilo. Alvei ro Javier Bueno Agu irre. Coordinador de soporte técnico. Lu is Nel son Colmenares Ba rragán. Documentalista gráfico y de escáner. Sa ndra Patricia Acosta Tova r, Edward Jimeno Guerrero Chinome, Paola And rea Franco Chacón. Diagramadores. Claudia Jaime Tapia, Anacelia Blanco Suárez. Documentalistas. Diomedez Guilombo Ra mírez, Edwin Hernando Cruz Delgado, Miguel Daría Martínez, Yein Barreta, Dan ilo Ramírez Parra, Francisco Sánchez. Ilustradores. Ana Ma ría Restrepo, Juan Giralda, Luis Ramírez, Javier Jaimes Sánchez, Ma nuel Gonzá lez Vicente, Tulio Pizano Arroyave. Gustavo Rodríguez. Fotógrafos. Getty images, Repositorio Santillana (archivo imágenes) Carel Professional Photos, images provided by Photod isc, lnc., Corbis images, Archivo Santillana. Fotografía . Francisco Rey Gonzá lez. Director de Producción. © 201 O EDITORIAL SANTILLANA S.A. CALLE 80 No. 9-69 Bogotá, Colombia l.S.B.N. 978-958-24- 1365-1 Obra completa l.S.B.N. 978-958-24-1 388-0 Edición para el estudiante· Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NTC-4724 y NTC-4725 para textos escolares. Depósito legal en trá mite Impreso en Colombia por Printer Colombiana S.A. Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de recuperación de información, sin permiso previo por escrito de la editorial.
·
1
1
HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7 De la serie HIPERTEXTOS SANTILLANA, es una nueva propuesta pedagógica que responde a los lineamientos curriculares y a los estándares básicos en competencias exigidos por el MEN. Tu hipertexto te permitirá potenciar tus capacidades de manera que puedas aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas, analizar, razonar, interpretar y resolver problemas en distintas situaciones.
¡Tu Hipertexto Matemáticas 7 hace tu aprendizaje más dinámico! ¿Qué hay en tu hipertexto? Estos hipervínculos. Cuando los veas debes saber que cada uno de ellos te indica que, además de lo que hay en la página, vas a encontrar:
.1 1
1
Mayor información para ampliar tus conocimientos sobre temas específicos. Además, en algunos casos, te sugiere realizar más actividadespara reforzar los conceptos trabajados.
1
' ' 1
11
Una dirección de Internet para profundizar en un tema.
Una presentación o un video que te ayudará a comprender mejor los temas trabajados.
1 i
(
Una evaluación que te permitirá verificar tus capacidades y el aprendizaje de los contenidos de cada unidad.
Para acceder a esta información debes consultar la página www.santillana.com.co/hipertextos. Un método para que desarrolles destrezas en la comprensión de los contenidos propios de Matemáticas.
Comprender para aprender
fJI X
Recupera información
1
«a
interpreta
1
Q
Reflexiona y valora
1
€¡ Plantea y actúa
1
Actividades para desarrollar las habilidades matemáticas.
~Ejercita
1
~Razona
1
Q Comuni~a
1
fJiAModela
1
B!I Soluciona problemas)
1
T" '
© Santi llana
l3 \
¿Cómo está organizado tu hipertexto? Tu hipertexto consta de siete unidades y los contenidos están organizados de a ~uerdo con los cinco pensamientos matemáticos: pensamiento numérico, pensamiento variacional, pensamiento espacial, pensamiento métrico y pensamiento aleatorio.
Ahora prepárate para conocer la est ructura de cada unidad. :-: Página inicial . Al comienzo de cada unidad encontrarás una doble página de apertura con los temas que vas a trabajar, una narración sobre historia de las matemáticas y algunas preguntas sobre ella.
Prepárate para ... Propone actividades de motivación que te preparan para trabajar con la temática de la unidad.
Una narración que relaciona la historia de las matemáticas con los temasde la unidad.
Presenta los temas que vas a trabajar en la unidad.
Para responder ... Las preguntas de esta sección te permitirán fortalecer tu capacidad de interpretar textos relacionados con las matemáticas.
:-: Desarrollo de temáticas Encontrarás el desarrollo de contenidos con ejemplos resueltos que explican el procedimiento . que se debe realizar paso a paso.
1
1.
Te indica el tipo de estándar o estándares que vas a trabajar en la unidad.
( !
(,-
~ ,'I !
-~{;¡
~~
.......... ...._......
~ ..,.....
'~""""""'""~ ··"'·,._..~
.....
Observarás algunos datos de matemáticos que hicieron aportes importantes en el desarrollo de las matemáticas.
_
............. .... ..... ~
--.::=~·~~.;:·;:,:;:~:~..:
,.---
~~~~=~?.~=
......
1., . . -~
"§:§;~~:~:'.·:¿~"i~.!
..,.... ....
~-~-.....
;--.;::::-~
~- - .. ~·
................ ..,..........
J;., ,.. ,_._ ...~
~
_
Observarás recuadros que se llaman recuerda que, te ayudaran acomprender mejor los contenidos .
- ;~· ~
:-: Además tu hipertexto contiene: \
Actividades con 1
ejercicios enfocados al desarrollo de procesos matemáticos yhabilidades de la competencia lectora.
1
/\
4
1
© Santillana
En síntesis Es un resumen de las temáticas trabajadas que te servirá para recordar los conceptos más importantes.
Taller Es una selección de ejercicios de toda la unidad que te servirán para reforzar conocimientos ypreparar tus eva 1uaciones.
~ Seccio nes especial es
Yesto que aprendí, ¿para qué me sirve? La encuentras al final de la unidad, en ella podrás leer situaciones que se relacionan con las temáticas estudiadas y que tienen aplicaciones fuera de las matemáticas, con esta sección mejorarás tu competencia lectora.
Los números enteros en tos líneos de !iempo "' " """"'""' .. ....... ,,,,,..,.. ..... Jo ...~ ... --..lili~L..,,-" ./AL ................ L
_...,.,............." .....
.........
~"""'
t'""""'~"'""""'°"'""'~""='"''""""'
k "'f'<
p;... L"Ki'
of'<""rb""•"'"""'"' ··~
..... ~..w,,,.~.i.,...,...i.,.i,...,.,....,
..... ....~-.k <
"'"'""""~'" .. "'"'''"""'""~""'"J
,,.,........,..,.,...,¡.,,-,,,, .,.,,..,,.,m.s,, ,.,,_ """"""""'-'" "'" .. """"'ll"I«""<º"" "''"'""o. i...,¡,,......,1...,..-ao <.~•""""
'""""°""'K"""-'".... """'""''"'""''
§§~~~~§§ §z;;g2ª;;~
............,........._ ......,, '.;..,,..., ,. •.....,, ""'" ,,.....,,...., ..... ,,... . . . . .......,.. ..... ...,,,., .. , ..... '"'"'"''"''"""""º"' ................ ..., ,.,,,... .............,.. ........ ,....,........., ....,... .-..... ,. • .¡.""'' .. """ ... " '-'"• ...- .... ... ,-.... , ....... ...... ,..,.,.,, .. , ""'"''""'"" u,,.,,_.. ,.. "' ,..,. .......... ....., , ,,...,., .... ~
"~
"~' "'••~,., ,.~
.... ,.,..... ,. .
,~
"'-"~
~« ..., -!00......,
.....b . .
>1.o><• ..'>W
1
1, 1
i ~----t
Matemáticas y tecnología
i
Te informa sobre avances tecnológicos, útiles en matemáticas, y la manera como influyen en la sociedad. Tiene como objetivo que desarrolles los componentes de los estándares de tecnología: naturaleza y evoluciónde la tecnología, apropiación y uso de la tecnología, solución de problemascon tecnología y tecnologíay sociedad.
1
1
Laboratorio con Cabri La encuentras en la unidad de pensamiento espacial y pensamiento métrico, en ella se proponen actividades para que desarrolles con el uso del programa Cabri. Esta sección tiene como finalidad la utilización de la tecnología como herramienta para mejorar tu análisis matemático. E) .....,,.,.,, ...,.;;.. .......""''.;_,',,.,.~~ .. ,;,.... ~ .. -.. ,,," ....... ~"'"' ... d~ ~ ' ~:-;;.~~!• ~"".".''.'' '";""• <-~~,'_''"''"'_","~•q'< .nrr•~~;·.:_•• ..
~----1
CJ.k,,1dllw&
¡
,,,_"""""'"' ~'... ¡, ....... ,, .. _,,,""'" .. , _....... .. . ...
...... ·-··- ·"-""'"''~·l•"""'..................~v...-
~~§f~~~~E.
,.._--............
,........,, ..... ,_. ......... _HIJ..._.,,........... ,,_ ........
:
\
Bicentenario en datos La encuentras en launidad de pensamiento aleatorio, presenta una lectura con datos veríd icos de la época de la independencia de Colombia y propone actividades relacionadas con estadística. · ·!
~
_
~;:::;;.;;:.t;~::;;;:-."...t:"'~':.."::'-"'!':.
. .......
........... , -.... """"" ............ ........, _ _ Od,.. .... ,.. .... _ , . _ h ......... d ..... .,. .... , ....
· .....,...,..,,,,K :r:r=.~~E~~..Z.1:-::E:d:EZ: ................. _.....,,,. ... ,,..,, ... ..,.......
© Santill ana
1
5
.•
1
UN 1DAD 1. Números enteros .,..
El conjunto de los números enteros 1 1O Definición del conjunto de los enteros Representación en la recta numérica Representación de puntos en el plano cartesia no Números opuestos Va lor absoluto de un número entero Orden en '1L Operaciones en '1L 1 20 Adición en los enteros Propiedades de la adición de números enteros Sustracción en los ent eros Supresión de signos de agrupación Mu lt iplicación de números enteros Propiedades de la multiplicación de números enteros División de enteros Potenciación de números enteros
~
,111!1!'
Propiedades de la potenciación Radicación de números ent eros tii- Polinomios aritméticos con números enteros 1 37 Pol inomios aritméticos sin signos de ag ru pación Poli nomios aritméticos con signos de agrupación 1 39 Ecuaciones con números enteros Propiedad uniforme Ecuaciones de la forma x ± a = b Ecuaciones de la forma a · x = b Plantea miento y solución de problemas mediante ecuaciones • Taller 1 42 11 En síntesis 44 11 Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve? 45 Los números enteros en las líneas de tiempo
--·
UNIDAD 2. Números racionales .,..
Números racionales 1 48 Definición del conjunto de los números raciona les Fracciones equivalentes Clasificación de racionales Números mixtos Repres~ntación decim al de un número racional Conversión de decimal a racional Representación de los racionales en la recta numérica Clas ificación de los números racionales decimales Ubicación de un punto en el plano cartesiano Orden de racionales en Q .,.. Operaciones en Q 1 65 Ad ición de ra ciona les en forma de fracción Ad ición de raciona les decima les Sustracción de ra cionales
1
1
1
lli" tii-
ll 11.11
11
Sustracción de racio nales decimales Multiplicación de racionales en fo rma de fracción Multipl icación de números racionales decima les División de racionales en forma de fracción División de ra cionales decimales Potenciación de nú me ros racio nales Rad icación de núm eros rad ica les Polinomios aritméticos con racionales Ecuaciones con números racionales Solución de ecuaciones con números raciona les Planteamiento y solución de problemas Taller 2 En síntesis Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve? Los núme ros racionales en Google Earth
I!>-
1
6
Razones y proporciones Razón Proporción Proporcionalidad directa Magn itudes d irectamente correlacionadas Magnitudes directamente proporcionales Proporcionalidad inversa Magnitudes inversamente co rrelacionadas Magn itudes inversamente proporciona les Aplicaciones de la proporcionalidad
1 © Santillana
92 94 95
96 ~
UN 1DAf?~ ~L~~º!?.º!cional!dad
I,
1
83 88
1 98
l 106 l 11 O
l 113
Reg la de t res simple Reg la de tres compuesta Repartos proporciona les Porcentajes Interés simple 11111 Taller 3 En síntesis 111 Y esto qué aprendí, ¿para qué me sirve? Los porcentajes en el agua
1128
l 130 1131
(~ NIDAi:? ~4. Íntroducci~; al ~lgebra. .. -: l 134
!!'> Expresiones algebraicas
~
l 138 l 140
l\'i Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve? El álgebra en la pista de patinaje D Matemáticas y tecnología Máquinas sim ples
""" .
. ""'""'_""'_""'
(~.~JP,AD ~.:.~eometr~~ ~
l 142 l 144 l 145
Taller4
llil!! En síntesis
Clas ificación de expresiones algebraicas Términos semejantes Reducción de t érminos semejantes ._ Adición y sustracción ~ Multiplicación
l 146
""
150 ~1 "-~-·
-~---
~
Polígonos Clasificación de polígonos Triángulos Cuadriláteros Construcción de cuadriláteros filo- Laboratorio con Cabri Polígonos congruentes Criterios de congruencia de triángulos Polígonos semejantes Circunfe rencia y círculo ¡¡;.. Sólidos Paralelepípedo
l 152
l 166
l 173
Prisma Pirámide Poliedros regulares e irregulares ~ Cuerpos redondos Ci li ndro Cono Esfera ll;J Taller 5 lli§ En síntesis ti Y esto que aprend í, ¿para qué me sirve? Para determinar la forma y el diseño de un cometa
l 179 l 182 l 184 l 185
( ~~IDAD~6;; Medición ~
Longitud Unidades métricas de longitud Conversiones Otras unidades de longitud Perímetro 11>- Área Propiedades del área Unidades métricas de área Conversiones Unidades agrarias Área de polígonos
,
#!!!'~-
lt
''"""""-"''
l 188
l 196
Área del círculo . Área de la superficie de un poliedro Área de una pirámide Área de un poliedro reg ular .,._ Volumen Algunos vo lúm enes liilfl Taller 6 11.'1 En síntesis mi Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve? Medidas de una piscina olímpica
1218 1222 1224 1225
-
L~l_N 1DA ~,?· E~t~_dís~]~~y prob~.bilid_ad [)-
1\1'>-
Estadística Conceptos fundamentales Caract erización de una variable cua litativa Caracterización de dos variables cualitativas Caracterización de una variable cuantitativa Datos agrupados Datos no agrupados Bicentenario en datos
1228
!l> Probabilidad
1240
Conceptos fundam entales Técn icas de conteo Probabi lidad lfili Taller 7 11 En síntesis Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve? Estadística en el medal lero de Beij ing 2008
o
1242
1250 1252 1253
© Santi/l a.na
17.
Números enteros Temas de la unidad liQ'l
El conjunto de los números enteros
!llll Operaciones en Z ~
Polinomios aritméticos con números enteros
lliii Ecuaciones con números enteros
la.Det ermma . . debe recorrer D'iego que' cammo J
1
para que la suma de los números sea 300.
b. Ubica los números del 1 al 7 de tal forma que no haya números consecutivos en las casillas que tienen un lado en común.
c. Determina el valor de cada letra en los si-
guientes ejercicios de criptoaritmética.
ABCDE X4
EDCBA
El secreto de los nudos Hacia el Este se veían los picachos nevados que, como cada mañana, incapaces de contener los rayos de luz, parecían aliarse a ellos revistiéndolos de matices y tonalidades únicas.
Tras el refriger io, Kinu recog ió cuidadosamente las cuerdas de diferentes colo res, que conten ían nudos co locados de manera caprichosa, las guardó entre sus ropas y emprendió el camino hacia el pa lacio.
Kinu hizo una reverencia al So l recién nacido y se apresuró a dar las gracias por poder contemplar cada mañana el nacimiento del d ios.
Las cuerdas y sus nudos usados como regla nemotécnica hacían las veces de libros de contab ilidad, y causaron una profunda impresión entre los conqu istadores, incapaces de descifrar su significado.
M ientras tanto Laymi, su esposa, ya había encendido el fuego donde comenzaban a humear unas tortillas de maíz y tras preparar el refrigerio, reclamó la atención de su marido.
Los incas no conocían el cero ni los números negativos. Tomado de Matemáticas 4 ESO. España, Editorial Santil lana.
- ¡Kinu, date prisa!Todavía no has preparado nada y te esperan en el palacio a primera hora. -Cálmate, como cada año, todo está preparado. -Este año es especial. -El gesto ten so de la mujer, delataba su estado de preocupación-. Este año además del Emperador están también los extranjeros, los enviados del Sol.
En la lectura se describe un quipu. Consulta qué es y cómo se representan en él los números. Escribe las operaci.ones que no podían .resolver los incas, debido aque no conocían el cero ni los números negativos.
•
1
:i'
El conjunto de los números enteros Brahmagupta
598-668 Matemático y astrónomo hindú. Fue el director del observatorio de astronomía de la ci udad de Ujjain, ubicada al noroeste de la India. Escribió el primer libro de matemáticas en el que se habla del cero como un dígito propio y de los números negativ9s, describió operaciones matemáticas con números negativos y desarrolló la ley de lossignos.
En la vida cotidiana, el ser humano está habituado a emplear los números enteros: al indicar temperaturas iñ.feriores o superiores a los Oº, al hablar de ingresos y egresos de dinero, al señalar los goles a favor o los goles en contra de un equipo de fútbol, al representar desplazamientos hacia la derecha o hacia la izquierda, o al referirse a los niveles superiores e inferiores en ciertos edificios o centros comerciales. En síntesis, son muchas las situaciones en las cuales el ser humano ha necesitado considerar un conjunto de números distinto al conjunto de los números naturales N.
Definición del con¡unto de los enteros En el conj1mto de los números naturales N, no tiene sentido considerar restas tales como 8 - 11, 5 - 17, 23 - 39; ya que, por ejemplo, la resta 8 - 11 significaría querer quitar de un conjunto de ocho elementos un total de once elementos. Por tal motivo, se hace necesaria la ampliación del conjunto de los números, a otro conjunto denominado conjunto de números enteros, que se simboliza 7L. La ampliación del conjunto 7L se origina con fa introducción de los números enteros negativos utilizados para representar situaciones tales como las temperaturas inferiores a Oº o los egresos de dinero. Estos números, que forman el conjunto de los números negativos se simboliza¡¿- y se representa por los números naturales precedidos por el signo menos, así: ¡¿- = { ... , - 5, -4, -3, -2, -1}.
¡.
Por su parte, el conjunto de los números naturales es considerado como el conjunto de los números enteros positivos, los cuales forman el conjunto¡¿ + y se representan así:
'· '1
•. r
¡¿+ = {l, 2, 3, 4, 5, ... }. El número O pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se considera negativo o positivo.
11
'
i 1
El co njunto de los números enteros se considera como la unión del conjunto de los números enteros negativos, el conjunto de los enteros positivos y el cero, es decir: "1L = z- U z+ U {O} "1L = {... , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, .. .}
A continuación se muestra una situación en la cual se utilizan números enteros. Un edificio tiene un ascensor que sirve para llevar a las personas hasta uno de los cinco pisos, a una planta baja o a uno de los tres sótanos. Esto se puede mostrar así:
Piso 5 Piso4 Piso 3 Piso 2 Piso 1 Planta baja Sótano 1
Se asignan números enteros positivos para indicar los pisos, el cero para indicar Ja planta baja y los números enteros negativos para indicar los sótanos.
1O 1 © Sa ntill ana
'
1
5 4 3 2 1
o 1
-1
Sótano 2
- 2
Sótano 3
-3
--i...-----.. . . . . --------------------~(-~ Estándar: pensamiento numérico
x Ejemplos Simbolizar las siguientes situaciones mediante números enteros: a. Un submarino se encuentra a 1.500 m de profundidad. Como es una profundidad, se expresa mediante un entero negativo así: -1.500.
El conjunto de los números enteros es infinito.
b. La lombriz Alvinella Pompejana puede sobrevivir a una temperatura de 105 ºC. Como es una temperatura mayor que cero se expresa como:
+105.
c. La pérdida generada al vender un producto en$ 16.000, si fue comprado en $ 19.500. Como se perdió dinero, entonces, la cantidad se expresa como -3.500.
Representación en la recta numérica Todos los elementos del conjunto de los números enteros se puederi representar gráficamente en la recta numérica así: • Primero, se fija un punto sobre la recta al que se le hace corresponder el cero. • Luego, se dibujan marcas, separadas unas de otras por espacios iguales, tanto a la derecha como a la izquierda. • Finalmente, a cada marca se le asigna un número entero; a la derecha del cero se ubican los enteros positivos y a la izquierda, los enteros negativos, así: Enteros negativos
Enteros positivos
-10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 -2 -1
o
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x Ejemplos Determinar por extensión los siguientes conjuntos. Luego, representar cada uno en la recta numérica. a. S: números que están a la derecha de 4. El conjunto S por extensión es S = {5, 6, 7, 8, ... }, y su representación en la recta numérica es: -1
o
2
5
4
3
7
6
9
8
10 ...
b. T: números que están a la izquierda de 2. El conjunto Tpor extensión es T = {... , -3, -2, -1, O, l}, y su representación en la recta numérica es: ... - 9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
o
2
3
4
c. F: números que están entre - 5 y l. El conjunto F por extensión es F = {-4, -3, -2, -1, O}, y su representación en la recta numérica es: -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
o
© Santillana
l 11
!.
El conjunto de los números enteros
{il Recupera información: 1 1 <®i Ejercita: 2 1 ~Razona: 31 0
e
Resp?nde. a. ¿Qué operaciones no se pueden hacer en el conjunto de los números naturales? b. ¿Cuál conjunto numérico se representa a la izquierda de cero en la recta numérica?
0
b.
e
c. d. e.
r, ¡1
g. h. i. j.
) 100 ) 472 ) 600 ) 190 ) 430
-
8.000 -
500 129 900 294 100
Los números Los números Los números Los números
que que que que
2.000
están a la derecha de 2. están a la izquierda de 5. están entre - 3 y 4. están a la izquierda de -1.
10,000 _ ,___________________________________________ ·---0
G!I Soluciona problemas)
1. Límitedel vuelodelasaves. 2. Límitedelavida enlas montañas de lazonatropical. 3. Límite de la vida en las montañas dela zona templada. 4. Máxima concentración de seres vivos. 5. Fosasoceánicas: límiteinferior delavida.
O Lee la siguiente información. La aparición de la escritura es un suceso importante para el desarrollo de las civilizaciones puesto que con ella se registraron por escrito los asuntos y acontecimientos del mundo. ,·A continuación se relacio nan algunos años de aparición de la escritura en diversas culturas. En el 1000 a.C.: el alfabeto fenicio. En el 2200 a.C. : el protoindio. En el 2000 a.C.: el cretense. En el 1400 a.C.: el hitita. En el 1300 a.C.: los ideogramas chinos. En el 3000 a.C.: la escritura jeroglífica egipcia. Elabora una línea de tiempo en la que ubiques los datos anteriores. Considera como año O el nacimiento de Cristo.
1 1
En metros 1 0.000 ----0- - - - --- -~~:f~
Representa en la recta numérica cada conjunto de números. a. b. c. d.
1 t
f.
)7- 8 )9- 2 ) 27 - 40 ) 12 - 80 ) 80 - 50
Lee la siguiente información. La parte de la Tierra donde se desarrolla la vida recibe el nombre de biosfera. Dentro de ella, el mayor porcentaje de seres vivos se localiza en la banda situada entre los 3.000 m de altitud y los 2.000 m de profundidad, aproximadamente. La estructura de la biosfera se muestra a continuación:
Marca con una X las operaciones que no se pueden hacer en el conjunto de los números naturales, y con ./ las operaciones que sí se pueden hacer. a.
.
12 1 © Santill ana
Expresa con números enteros los siguientes datos: a. El límite del vuelo de las aves. b. El límite de la vida en las montañas de la zona tropical. c. El límite inferior de la vida. d. El rango en donde se encuentra la máxima concentración de seres vivos.
e
Representa en la recta numérica el conjunto de enteros dado en cada enunciado. a. Las profundidades a las que se sumerge un buzo son: 8 m, 45 m, 80 m, 60 m, 120 m. b. Las temperaturas de una población colombiana a las 5:00 a.m . en los últimos cinco días: 3 ºC bajo cero, 4 ºC, 1 ºC, 2 ºC bajo cero, 5 ºC. c. La altura de seis poblaciones colombianas con respecto al nivel del mar es, respectivamente, 1.200 m, 700 m, 450 m, 600 m y 2 m.
Estándar: pensamiento numérico
Representación de puntos en el plano cartesiano ~
El plano cartesiano o sistema de coordenadas es el plano que se encuentra formado por la intersección de dos rectas numéricas que se co rtan perpend icul armente en cero.
./,
En un plano cartesiano se reconocen los siguientes elementos: La recta numérica horizontal denominada eje x y la recta numérica vertical denominada eje y. • El punto de intersección entre los ejes, llamado origen. • Las cuatro regiones generadas por los dos ejes que dividen al plano son denominadas cuadrantes y se representan con los números romanos 1, 11, 111, IV
En el plano cartesiano, cada punto se encuentra determinado por una pareja ordenada de números, la cual se escribe entre paréntesis y se separa por medio de una coma. Por ejemplo, la pareja ordenada (4, 3). En toda pareja ordenada (a, b) se distinguen dos coordenadas: la coordenada a, denominada abscisa, localizada sobre el eje x y la coordenada b, denominada ordenada, ubicada sobre el eje y. Para representar una pareja ordenada (a, b) en el plano cartesiano se realizan los siguientes pasos. • Primero, se localizan la abscisa sobre el eje x y la ordenada sobre el eje y. • Posteriormente, se traza por a una recta vertical y por b una recta horizontal. La intersección de estas rectas representa el punto donde está ubicada la pareja (a, b). • Finalmente, se nombra el punto con una letra mayúscula, así: P(a, b), es decir, el punto P de coordenadas (a, b). 1'.
f--
-- -
-
b
- p_
f--
_,_
f--
a
!X
--f--± -gl signo de cada componente, en una pareja ordenada, depende del cuadrante en el que esté ubicado el punto correspondiente. © Sa ntillana
l 1B
......
..............,.,._,,__......""""'...........................,,""""'~-I~----
n .....,,.,,,~~,.~~~..,,.........,,,.,,.~= """"~""""'""""""'""""""""""""""'""""'
Re presentación de pu ntos en el plano cartesiano
x Ejemplos
(i) Representar en el plano cartesiano cada pareja ordenada. Luego, determinar en cuál cuadrante se encuentra ubicado el punto correspondiente.
@ Escribir las coordenadas de cada punto que se indica en el siguiente plano: ·
a. D(-3, -2) Primero, se ubica el número - 3 en el eje horizontal, luego, se ubica el número - 2 en el eje vertical. Después, se traza una recta vertical por - 3 y una recta horizontal por - 2. El punto se ubica en la intersección de las dos rectas.
,--1 -r----
_v-n-
~·
2-·+ -+--'-----1
--i-
>--+--t---r--J'--t--t--1
Por cada punto, se. escribe primero la coordenada corre.Spondiente al eje horizontal y luego se escribe, la coordenada del eje vertical. Para el punto P, por ejemplo, la coordenada horizontal es 5 y la coordenada vertical es 2. Luego, las coordenadas son P(5, 2). El punto está ubicado en el tercer cuadrante.
Las parejas ordenadas son:
b. C(l, -4) Siguiendo el procedimiento para graficar, el punto se ubica en el plano cartesiano de la siguiente manera: ¡'·
TTl
.
+--+--+--+---¡- --
1
1
.
..__.-e--+-+----+--~ 3 4 $ ID
'
--
¡-¡
---+-1--
2
-+3
1~
-f -¡c--
1.
X
!
1
'
6 -T____[__
- --
El punto está ubicado en el cuarto cuadrante.
c. F(-2, 5) ~. Siguiendo
el procedimiento para graficar, el punto se ubica en el plano cartesiano de la siguiente manera:
P(5, 2)
S(-4, -1)
Q(4, O)
T(-4, 2)
R(O, -3)
U(3, -5)
@ El pirata Barbanegra está buscando un tesoro, para ello debe seguir las instrucciones que aparecen a continuación: •
Punto de referencia (-3, -3).
•
Siete pasos hacia la derecha.
•
Dos pasos hacia arriba.
•
Tres pasos hacia la izquierda.
•
Dos pasos hacia arriba.
Determinar las coordenadas del punto donde se encuentra el tesoro a partir del mapa. Primero se ubica el punto de referencia y luego, se indican sobre el mapa los pasos de las instrucciones. y --T--
r-·¡1--I--r_,---~-
~---r~-
f-+-1
L-.i-i-
1---1 1___
y -6- ---
F[I r~-----
-
-¡±- -~---+-~
- - l-3 --
1---l___ -- --- ---~1- --
1~;-
!
-
i
--t-l- 1---+--f---< .
1
1
El punto se ubica en el segundo cuadrante.
14
J
© Santillana .
Las coordenadas del punto donde se encuentra el tesoro son T(l, 1).
~
Estdnda" pensam;ento numéáco
f~
Í
"'. ~21:
I '::::!;/. ,'-....._; ~
1
'-~
~o.T~r•r•Ti~
fj Recupera información: 1 1~ Ejercita: 2 I ~Razona: 3-41
O Responde. ·
l!I Soluciona problemas J
'
a. ¿Cómo se forma el plano cartesiano?
e
b. ¿Qué representan la abscisa y la ordenada en una pareja ordenada (a, b)?
'e
Nicolás y Sofía juegan batalla naval con los siguientes tableros: Nicolás
Determina las coordenadas de los puntos que están ubicados en el siguiente plano cartesiano.
-- --..; L,_j_
-
i
t~ 4-·-~
y
-
~
-
-
-
~
-
--- - - ~-7-'-- -
-6
-
B i7-
-
-
~
1-
-
-
1
~
---
l
-
-
-
-
-
---
-
-- -
~
---
-
'
E B 1
'
F
.6
-
-
1
1
4
----L-
-
y 3
-
~
1
__ ,_ -
;¿
c. M(-6, 4), N(-2, 8), 0(2, 8), P(6, 4), Q(6, O), R(2, -4), S( -2, -4), T(-6, O) Responde: d. Si unes los vértices ABCDE del literal a, ¿qué clase de polígono se forma? e. Si unes los vértices FGHIJ del literal b, ¿qué clase de polígono se forma?
f. Si unes los vértices MNOPQRST del literal c, ¿qué clase de polígono se forma? Escribe dos puntos que cumplan con la condición dada en cada caso. a. Con abscisa cero. b. Con ordenada negativa. c. Con la misma ordenada. d. Con ordenada cero y abscisa negativa.
-1-
-- -
1
Ubica cada grupo de puntos en el plano cartesiano.
!
4 ~
i
i
-4.-
1
H
X
i1
1
t- -
1
-
:::~ ~ __LJ__1.-
X
a. A(-2, 2), B(2, 2), C(5, -2), D(O, 2), E(-5, 2) b. F(-5, 7), G(5, -7), H(8, 1), J(O, 9), /(-7, 5)
e
l
[2 ¡ i ------"'--
Sofia
el
7
' - 2-~
5
--1~ -
I
---1----+,
---¡-
f--,¡ ~--
-4-
--
_ts16
1 1
i
-·- - ~
s _r4- 11 - 2 -¡ 1 K 2 l_ - =-J-
i
e
e
1
L
L _ _ __ - --
!
:
'-- ' - - f--- -2-
-
-
.D
5
A
-
- - ----
~-
1
- - -1
-
8 ---- - - - - - - -
--- ' ,.;
lx
'
- 4-
- --
' _ ,
~-
--- ..;¡,
-il
[
~ -t--
•2
~
-- 3
--- 4
-
5
---- ·- 1
Las coordenadas de ataque de Sofía fueron: (O, 3), (2, -2), (1, 1), (-2, 4), ( -4, -4), (-3, 4), (4, -5), (O, O), (-2, -3), (3, 4).
1
Y las coordenadas de ataque de Nicolás fueron: (-2, 1), (O, O), (-1, 5), (1, 2), (5, 5), (-4, -5), (3, 2), (4, 5), (-3, 5), (4, 2).
'
a. ¿Cuántos impactos de Sofía fueron acertados?
1
b. ¿Cuántos impactos falló Nicolás? c. ¿Quién ganó el juego al realizar más impactos acertados en el tablero de su contendor? Responde. d. ¿Cuál es el signo de la abscisa de un punto en el primer cuadrante? e. ¿Cuál es el signo de la ordenada de un punto en el segundo cuadrante? f. ¿Cuál es el signo de la abscisa de un punto en el tercer cuadrante?
-
....,
. .© Santillana ~
'
1
1
!¡ 1
1¡
1
l 15 1
..:..
Números opuestos Al observar la recta numérica del conjunto de los enteros, "11. , se puede determinar que existen parejas de números que se encuentran a la misma distancia de cero, aunque tengan signos diferentes. Por ejemplo, los números 7 y - 7 se encuentran a 7 unidades del cero a pesar de tener signos distintos. - 10 -9 -8 -7 - 6
-s
-4 -3 - 2 -1
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Se puede decir que el número -7 es el opuesto del número 7, y a su vez, que 7 es el opuesto de -7.
~
Dos números enteros se llaman opuestos si están a la misma distancia de cero y t iene n d iferente signo. Es decir, el o pu esto de a es -a.
Á
Valor absoluto de un número entero Geométricamente, la distancia que separa a un número y a su opuesto de cero siempre es la misma. Así, se puede afirmar que el valor absoluto de un número entero, corresponde al número de unidades que separan a dicho número de cero, es decir, a la distancia del número respecto a cero.
a
~
Si E "ll.., el va lor absoluto de va lor abso luto de cero es cero.
ase nota lal y es la dist ancia que existe ent re ay c~ro. El lül = O.
Á
:-: Ejemplos
(!) Ubicar en la recta numérica cada número y su opuesto. a. -5 El opuesto de - 5 es 5, entonces, se ubican en la recta numérica 5 y - 5, así: -6 -5 - 4 - 3 - 2
-1
o
2
3
4
5
b. 8 El opuesto de 8 es -8, entonces, se deben ubicar 8 y - 8 en la recta numérica, así: -10 - 9 - 8 -7 - 6
-s
-4 -3 -2 -1
o
2
3
4
5
6
7
8
@ Calcular el valor absoluto e~ cada caso. a. 161 Como hay 6unidades entre 6y O, entonces, 1 61= 6. b. l-91 Como hay 9unidades entre -9 y O, entonces, l-91= 9. c. lxl, x mayor que O. Como hay x unidades entre Oy x, entonces, lxl = x. d. 1-( - s)i Como el opuesto del opuesto de mes m, entonces,
16
I © Santil lana
!-(-s)! = Is!= 5.
9
10
Estándar: pensamiento numérico
0
O Observa la siguiente figura. Luego, responde.
Responde: a. ¿Por qué puede afirmarse que 10 y -10 son números opuestos?
e
300 200 100 Nivel delo mar
Escribe el opuesto de los siguientes números enteros. a. b. c. d. e.
e
-8 5 -10 9 3
f. g. h. i. j.
16 - 20 35 -70 -100
- 100
k. 45 l. -100
- 200
m.n n. m
-300 - 400
o. -p 1
Determina el opuesto de cada número representado en la recta numérica y ubícalo en ella.
a. ¿Qué se encuentra a mayor distancia del nivel mar, el alpinista o el tesoro?
a. - 6 - 5 -4
- 3 - 2 -1
b. ¿Cuál es el valor de 1-4001y de l4ool?
o
2
3
4
5
6
4
6
8
10 12
c. En general, si x E Z, ¿cómo son 191 y l- 91? Justifica tu respuesta.
b. -12 - 10 - 8 -6 -4 - 2
o
2
c. - 25 - 20-15-10 -5
o
5
O Completa la siguiente tabla.
10 15 20 25
d. -100-80
o
- 40
40
80
120
e.
o -a
b
3
4
- 2
5
-a
-b
6
-3
1°1 lbl 1-al l-bl
-4
d. 1- 751 e. 12001 f. l- 901
g. 12501
h. lsol i. 1-sl
e
12
Determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Luego, explica tu respuesta mediante un ejemplo numérico. a. Si un número es positivo, entonces, su valor absoluto y su opuesto coinciden.
Halla el valor absoluto y represéntalo en la recta numérica.
b. Si un número es negativo, entonces, el opuesto de su opuesto es negativo.
a. b. c. d. e. f.
c. Si un número es positivo, entonces, el opuesto del opuesto de su opuesto, es también positivo.
151 1-21 -131 - 1-sl - 1(-3)1 1- 1-511
g. -141 h. 1-(-6)1 i. 1- 1-511 j. - 1-( - 6)1 k. 1-( - (-1))1 l. -1-(-(- 111))1
1
12 8
o
Escribe el valor de cada expresión. a. 131 b. l-51 c. 1-111
a
-x
f.
e
~
400
b. ¿Cómo se define el valor absoluto de un número? c. ¿Cómo puedes ubicar el opuesto de 8 en la recta numérica?
d. El valor absoluto del opuesto del opuesto de un número es positivo. e. Si un número es negativo, entonces, su opuesto y su valor absoluto son diferentes. © Santillana
J
17
Orden en Z Para comparar dos números, se observaen la recta numérica cuál de los dos está a la derechadel otro. Entre dos númerosenteroses mayor el que estáala derecha del otro.
Al comparar dos números enteros a y b, entre ellos se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: '
• a > b, a es mayor que b, si al representarlos en la recta numérica, a se encuentra a la derecha de b. b
•
a
a < b, a es menor que b, si al representarlos gráficamente sobre la recta numérica, a se encuentra ubicado a la izquierda de b. b
a
• a = b, a es igual a b, si al representarlos en la recta numérica, a a y b les corresponde el mismo punto.
a
b
x Ejemplos (!) Observar la recta numérica. Luego, escribir los símbolos > , < o = para relacionar las siguientes parejas de números enteros. - 10 - 9 -8 - 7 -6 - 5 -4 - 3 -2 - 1
a.
o
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
60 s
6 > 5, 6 es mayor que 5 porque 6 está a la derecha de 5 en la recta numérica.
b. -3 0
-10
- 3 > -1 O, - 3 es mayor que -1 O porque - 3 está a la derecha de -10 en la recta numérica. :
~
c.
.1
-s D s
-5 < 8, s-5 es menor que 8, porque -5 está a la izquierda de 8 en la recta numérica.
@ Representar los números sobre la recta numérica. Luego, ordenarlos de menor a mayor: -10,4,6, -8, -5, 1, -3. Al representar los números enteros dados en la recta numérica, se ubkan así: Para ordenar los números, se leen de izquierda a derecha, así: -10 -9 - 8 - 7 -6 - 5 -4 - 3 - 2 -1
o
2
3456789
-10 < -8 < -5 < -3 < 1 < 4 < 6
@ Si la temperatura en una ciudad es 2º bajo cero, ¿qué debe suceder para que quede en 7º sobre cero? Se ubica - 2 en la recta numérica, luego, se ubica 7 y se cuenta el número de unidades que hay entre estos dos números. Así: 9 unic;l.ades
-4
-3
-2
-1
o
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Se puede determinar que la temperatura en dicha ciudad debe aumentar 9 ºC.
18
I
© Sa ntillana
.J
¡
fil
1
-
~
Recupera información: 1 1<@l Ejercita: 2-31 (j1Razona: 4-s l
e¡
Pla ntea y a ctúa: s
I
1
O ¿Qué relación existe entre dos números a y b si al ·
e
representarlos en la recta numérica, a está ubicado a la izquierda de b?
b.
oO
9
g. -7 0
12
h. -120 O 1
-5
c. -1 O 5
i.
-2 O -25
d. 9 0
-6
j.
8 01 -81
e. -3
Oo
k.
O -10
i.
f. 7
9
María, Camilo, Claudia, y Juan son hermanes. Si Juan es mayor que María pero menor que Diana, Camilo es menor que María y Diana menor que Claudia, ¿cómo quedan los cinco hermanos ordenados de mayor a menor?
Escribe < , > o= según sea el caso. a. 5 0
G!I Soluciona problemas J e D~ana
f) Observa la siguiente gráfica que muestra las ga-
-11 O1-111 1-121O 12
Ordena en forma descendente cada grupo de números.
nancias y las pérdidas de una fábrica de vestidos de baño entre junio de 2008 y abril de 2009. 70
60 50
a. -2, 5, O, 7, 4, -18, -1, 15
40
o, -22, 35
30
b. 9, -8, 5, 6, -4,
10
d. 15, -10, 5, -25, 30, 45, -75, 60
0
e. 100, -2.000, 300, - 500, O, -800, 600, -1.000
10
f. 1.500, 2.000, -3.000, 4.500, -8.000, -5.500
20
O Escribe un ejemplo numérico que muestre que la afirmación no se cumple en todos los casos.
b. Si a > b, entonces,
lal >
-lal lbl
c. Si a, b, e E "ll, a < by b < e, entonces,
'T
20
c. 8, -7, -17, 25, -32, 50, -47, 19
a. Si a E "ll, entonces, a =
Millones de pesos
lal < Jcl
Feb. _.,f-'-__,__,,~Arg~ o. ~S~ ~~,.._, N~ o"~ · ~+-"-~,-+,,.......__~~ Oct.
Mar. Abr.
30 40
. so Responde: a. ¿De cuánto fueron las ganancias en diciembre?
c;l. Si a, b, e E "ll, a = b y b > e, entonces, a < e
b. ¿En cuáles.meses tuvieron pérdidas?
e. Si a, b, e, d E "ll, a = d, b > e, b < d, entonces,
c. ¿En cuál mes tuvieron más pérdidas?
a< b
d. ¿En cuál mes tuvieron más ganancias?
Encuentra números enteros que cumplan con la condición dada. a. a, b E "ll y a < b b. a, b E
z- y a > b
c. a, b E "ll son pares y a > b d. a, b, e E -¡¿ - son impares, consecutivos y
a < b
e. Escribe los nombres de los meses desde el que obtuvieron más ganancias al que obtuvieron más pérdidas.
E) Averigua los siguientes datos y escríbelos en tu cuaderno. Luego, ordena los números de menor a mayor. a. La temperatura normal del cuerpo humano.
--
e. a, b, e E "ll son pares a > b > e
b. La temperatura dentro de un refrigerador.
f. a, b, e E -¡¿- son primos, consecutivos y a > b>c
c. La temperatura al interior del Sol. d. La temperatura corporal de un cocodrilo.
© Sa ntillana
l19
Todo número entero tiene signo positivo o negativo. Así, - 5 tiene signo negativo y 6 tiene signo positivo. Cuando un número no está precedido de un signo, se asume que es positivo.
Operaciones en -¡¿ Adición en los enteros En la adición de números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos:
Caso 1. Adición de dos números enteros de igual signo Para realizar la adición de dos números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de dichos números y, al resultado, se le antepone el signo común de los sumandos. Por ejemplo: • Para resolver la suma 5 + 16, se procede como en la suma de números naturales, es decir: 5 + 16 = 21. • Para resolver la suma ( - 7) + ( - 11), se suman los respectivos valores absolutos, 7 y 11, y a la respuesta se le antepone el signo menos, así: (-7) + ( -11) = -18.
Caso 2. Adición de dos números enteros de diferente signo Para realizar la adición de dos números enteros de diferente signo, se determina el valor absoluto de ellos. Luego, se restan los valores absolutos y al resultado se le antepone el signo del número que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo, para sumar 15 + ( - 26), se restan los valores absolutos de cada número, 15 y 26, y a la respuesta se le antepone el signo menos, ya que -26 tiene mayor valor absoluto que 15, entonces, 15 + (-26) = -11. La suma de enteros se puede observar fácilmente en la recta numérica. Para ello, se ubica el primer sumando y luego, se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda tantas unidade·s como indique el segundo sumando, según sea positivo o negativo. Así, la suma (-9) + (4) se representa así: "'
-101
-9
-s
-7
-6
~s
-4
-3
-2
-1
1
o
2
3
>
Por tanto, (-9) + (4) = -5.
:-:,Ejemplos Realizar las siguientes sumas:
a. ( - 81)
+ ·(-
19)
(-81) + (-19) = -100, pues se deben sumar los valores absolutos así l-811+l-191=81+19 = 100,se antepone el signo menos ( - ) ya que los dos sumandos son negativos.
b. (-35)
+
17
(-35) + 17 = -18, como son de diferente signo se restan los valores absolutos de los números entonces: 35 - 17 = 18 y el sumando que tiene mayor valor absoluto es 35, por tanto, se antepone el signo menos.
2 O ¡© Santillana
c. ( - 13)
+ (-
17)
+
10
Al sumar tres o más números enteros, se suman los dos primeros sumandos; este resultado se suma con el tercer sumando, y así sucesivamente. (-13)
+ (-17) + 10
=(-30)+10 =
-20
Suma dada. Sesuma(-13)
+ (-17) =
Se suma (- 30)
Entonces, (-13) + (-17) + 10 = -20.
+
-30
JO= -20
Estándar: pensamiento numérico
Propiedades de la adición de números enteros A continuación se plantean las propiedades que cumple la adición de números enteros. Clausurativa. La suma de dos números enteros es siempre otro número entero.
Si a E
"11..
ybE
"11.. ,
Por ejemplo, 3 E
entonces, a
"11..
y (-8) E
+ b E "11.. "11..; 3 + (-8)
=
- 5 y (-5) E
"11.. .
Asociativa. Al agrupar los sumandos de diferente forma, siempre se obtiene el mismo resultado.
Si a, b, e E
"11..,
+ e=
entonces, (a+ b)
a+ (b
+ e)
Por ejemplo, [(-7) + 3] + 9 = (-4) + 9 = 5 (-7) + [3 + 9] = (- 7) + 12 = 5
Por tanto, [(-7) + 3] + 9 = (-7) + [3 + 9] Conmutativa. El orden en el que se realiza la suma de dos números enteros no altera el resultado.
Si a, b E
"11..,
entonces, a
Porejemplo,3 Por tanto, 3
+
+ (-7)
+b=
b
+a
= (-4)y(-7)
(-7) = (-7)
+3=
(-4) .
+ 3.
Elemento neutro. La suma de cualquier número entero con el cero da como resultado el mismo número entero. El Orecibe el nombre de elemento neutro o módulo de la adición.
Existe O E
"11..
tal que O + a = a + O = a para todo a E
"11..
Por ejemplo, (-8) +O= O+ (- 8) = -8y7 +O= O+ 7 = 7 Inverso aditivo u opuesto. Todo número entero sumado con su opuesto da como resultado el módulo de la adición.
Para todo a E
"11..,
existe (-a) E
"11..
tal que a+ (-a) = (-a)
+ a=
O
Por ejemplo, (-5) + 5 = 5 + (-5) =O. Por tanto, 5 es el inverso aditivo de ( - 5) y también ( - 5) es el inverso aditivo de 5.
:-: Ejemplos
(!) Escribir la propiedad que representa cada igual-
@ De una depuradora que contenía 4.500 litros de .
a. (-5) + 2 = 2 + (- 5) Como se cambia el orden en la suma, corresponde a la propiedad conmutativa.
agua, se sacaron 2.500 litros, después se depositaron 4.000 litros y por último se sacaron 6.000 litros. ¿Cuántos litros de agua contiene ahora la depuradora?
b. (-9) + 9 =o Como se suma el mismo número, con diferente signo, corresponde a la propiedad del elemento inverso.
Para calcularlo se realiza la siguiente adición: 4.500 + (-2.500) + 4.000 + (-6.000) Al aplicar la propiedad asociativa para agrupar los números de igual signo, se tiene que:
c. (-15) +o= -15 Como se suma O y se obtiene el mismo número, entonces, la propiedad que se está utilizando es la del elemento neutro.
4.500 + (-2.500) + 4.000 + (-6.000) = [4.500 + 4.000] + [(-2.500) + (-6.000)] = 8.500 + (- 8.500) = o Esto significa que la depuradora no tiene agua.
dad.
© Sa ntill ~ n a 1
21
I' 1
Adición en los enteros
Q Reflexiona y valora: 1 1~ Ejercita: 2-3 1@
O Explica paso a paso la manera como sumarías los
e
1:
e
a. b. c. d. e. f.
Realiza las siguientes sumas.
l. (-8) + (-12) + (-13) m. -4 + 6 + (-1) n. -7 + (-8) + (-12) o. (-23) + (-22) + 7 p. (-6)+(-18)+(-3) q. (+10)+(-50)+60 r. -35 + (-58) + 120 s. -14 + (-18) + (-35) t. -12 + ( -16) + 20 + 35 u. -7 + (-45) + 14 + (-5) v. - 22 + 65 + ( - 30)
g. h. i. j. k. l.
+4
i
-8
-2
11
-7
+8
+4
+10
-4
+13
-9
+16
+42
-12
+50
-30
-270
+180
l 1
. 1 11
b+a
a+b
-6
1
l[' I
e
12
t
c-8)
Resuelve cada situación y representa la operación · en la recta numérica. a. En una región se registró una temperatura de - 8 ºC en la mañana y en la tarde la tempera tura subió 5 ºC. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro en la tarde?
d. 16 + 18
=
de tal forma
D
e. - 25 + 42 D
-6 + c-3) -5 + c-4)
-12 + c-21) -6 +· 8
f. -4 + c-3) + 12 D -16 + 1 g. 25 + 32 - 4 D -8 + c-16) - 2 h. -49+16+(-9) D-11+8+(-5)
22
1
© Santillana
b. Un equipo de fútbol tiene 9 goles en contra y 15 goles a favor. ¿Cuál es la situación final del equipo?
D 7+ 2
c. 9 + c-18) D
= -3
Q
D
b. .· -11' + c-4) D
+ 7)
C!I Soluciona problemas)
Escribe en el el signo >) ~ o que la expresión sea verdadera.
ª·
a. -18 + (-25) = -43 b. -78 +O= -78
·
+ 2.300
'- -1.500
1
m. -24 + (-32) = -56 n. -51+16 = -55 o. -80 + 14 = 94 p. -10 + (-82) = 92 q. -45+30=-85 r. -22 + (-27) = -49 s. -34 + (-50) = -16 t. -12 + 4 = -8 u. 45 + 16 = 71 v. 31 + (-5)= -26 w. -81 + 19 = -110 X. -18+(-14)=-32
c. (-6 + (-4)) + 7 = -6 + ((-4) d. -77 + 84 = 7 e. -95 + 95 =O f. ( - 56 + 48) + o = 7 + o = 7
,;
f:
-4 + 5 = 1 -2 + (-3) = -5 8 + (-2) = -6 -9 + 7 = 5 -5+(-l)=-6 -4 + 10 = -6 -8 + 3 = 5 4 + (-10) = 6 7 + (-14) = 21 16 + (-9) = 20 -7+ (-2) = -9 -8+(-3)=-5
Escribe, en cada caso, la propiedad de la adición utilizada.
Completa la siguiente tabla.
a
1
Determina si las sumas fueron realizadas correctamente. En caso contrario, corrígelas.
números -100 y - 300 sin usar la recta numérica.
a. 12 + 13 b. 6 + 21 c. 9 + (-2) d. 8 + (-24) e. -8 + (-7) f. -6 + (-12) g. -17 + 5 h. -13 + (-21) i. 15 + (-9) j. -16 + 9 k. -ll+(-13)
Razona: 4-5-61
e
c. Un tiburón nadaba 26 metros bajo el nivel del mar y ascendió 2 metros. ¿A qué nivel nada ahora? Una persona va de una ciudad A a una ciudad B. Cuando lleva recorridos 60 km se devuelve 10 km. Emprende nuevamente su camino hacia la ciudad By recorre 190 km hasta llegar a su destino. ¿Qué · distancia hay entre las dos ciudades?
Sustracción en los enteros En la sustracción de números naturales existe la condición de que el minuendo debe ser mayor que el sustraendo; sin embargo, con los números enteros esta condición desaparece, ya que el minuendo puede ser mayor o menor que el sustraendo. · Toda sustracción puede expresarse como a - b = e, sien'do a el minuendo, b, el sustraendo y la diferencia.
e,
Para hallar la diferencia entre dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Es decir, a - b =a + (-b) . ~
Á
Por ejemplo: Para resolver la resta 9 - 12, se suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo, es decir: 9 - 12 = 9 + (-12) = -3. Para realizar la resta ( -21) - (-6), se le adiciona al minuendo el inverso aditivo del sustraendo, y a la diferencia se le antepone el signo del sumando de mayor valor absoluto, así: ( -21) - (-6) = (-21) + 6 = -15. Para realizar la resta ( -15) - 9, se le adiciona al minuendo el inverso aditivo del sustraendo, y a la diferencia se le antepone el signo del sumando mayor, por tanto: (-15) - 9 = (-15)
+ (-9)
= -24.
La sustracción de números enteros es clausurativa, es decir, la resta de dos números enteros siempre da como resultado un número entero. Así, 5, ( -6) E "1L y 5 - ( -6) = 5
+ 6 = 11y11 E "ll..
>:Ejemplos
= 23 + (-9) = 14
Se escribe la resta como suma con el opuesto de 9. Como son de.diferente signo, se resta y se antepone el signode23.
b. 6 - 18
= 6 + (-18) = -12 c. 7 - (-9)
=7+9
= 16
=9
a. ( - 3)
+ (- 7)
Se transforman las sustracciones en adiciones.
= -7 .
Se calcula la suma. b. -(9 - 4 + 5) - (-3 + 11) = -(10) - (8)
Como son de diferente signo, se resta y se antepone el signo de - 18.
= -10
Se escribe la resta como suma con el opuesto de - 9. Como son de igual signo, se suma y se antepone el signo de 7y9.
Se escribe la resta como suma con el opuesto de 11. Se realiza la suma de enteros
- ( - 8) - 5
= ( - 3) + ( - 7) + 8 + ( - 5)
Se escribe la resta como suma con el opuesto de 18.
d. -8 - (-17)
= -8 + 17
@ Deterfl1:inar el resultado de cada expresión:
+ (-8)
Se realizan las operaciones de los paréntesis. = -18
Se escribe la resta como suma con el opuesto de 8 y se realiza la suma de enteros.
@ El congelador de un frigorífico tiene una tempe-
lj
ratura inicial de -18 ºC. En una hora la temperatura disminuye 6 ºC. ¿Cuál es la temperatura final?
.1
-18 - 6
Se plantea la resta.
= (-18) + (-6) = -24 Se escribe la resta como suma con el opuesto de 6 y se realiza la suma de enteros. Por tanto, la temperatura final es - 24 ºC. ©
Santillana
1
23
¡
JJ
Supresión de signos de agrupación Los signos de agrupación usados en matemáticas son: () paréntesis [ J corchetes {} llaves
En expresiones en las cuales se combinan adiciones y sustracciones con números enteros, se utilizan signos de agrupación con el fin de diferenCiar el signo del número respecto al signo de la operación. Por ejemplo, (-2) + ( -5) - ( -3) - ( -6). Para resolver estas expresiones, se deben eliminar los signos de agrupación teniendo en cuenta las siguientes reglas: • Cuando un signo de agrupación está precedido por el signo +,se suprime dejando las cantidades que están en su interior con el mismo signo, así: 5+(-~=5-2
L
T
• Cuando un signo de agrupación va precedido por el signo - , se suprime cambiando de signo las cantidades que se encuentran en su interior, es decir: 8- ?
l
=8+ +
Luego de la supresión de signos de agrupación, se calcula el resultado de las expresiones considerando que:
1
• Dos cantidades de igual signo se suman y al resultado se le antepone el signo común. • Dos cantidades de diferente signo se restan y al resultado se le antepone el signo de la cantidad que tenga mayor valor absoluto.
:-e Ejemplos
@ Resolver la siguiente expresión.
(!) calcular.
a. (-10) - ( -15) = -10
-2 - {-[2 + (-5 + 8) - 4] + 3} Se suprimen signos de agrupación.
+ 15
Se suprimen los corchetes.
b. (-14)+(-3)-(-8)
= -14 - 3 + 8
+8
=
Se suprimen signos de agrupación. Se suman los números de igual signo.
= -9
Se realiza la suma.
c. (-'-ll)+(-6)-(-4)-(-1) =-11-6+4+1 = [-11- 6] = -17
I·
=
-12
+5
Se suprimen signos de agrupación.
C4 1
1
© Santillan a
-2-2
= -4
Se suprimen las llaves. Se resuelve la resta.
@ verificar que (p - q) - r-=? p - (q - r) teniendo en cuenta que p = 2, q = -4 y r = l. Se deben remplazar las letras por los números correspondientes en cada expresión y se realizan las operaciones. (p - q) - r = (2 - (-4)) - r = (2 + 4) - 1 = 5 p - (q - r) = 2 - (-4 - l)= 2 - (-5) = -7
+ [4+ l] ·Se suman los números de igual ~igno. Se realizan las operaciones. se·realiza la suma.
1
= -2 - {-[2 + 3 - 4] + 3}
Se realiza la suma.
=5
= -17
Se suprimen los parén tesis.
Como 5 -=? 7 entonces se verifica que (p - q) - r -=? p - (q - r).
Estándar: pensamiento numérico
~Ejercita: 1-3 1
d. 2-6 e. -7- 4 f. 9 - 5 g. 3-9 h. -8 - 7
e
-9 - 2
i.
j. -1 - 1 k. 5 - 10 -8 - 3
l.
Interpreta: 2
1
~ Razona: 4-s \
O Responde las siguientes preguntas.
O Realiza las siguientes restas. a. 4-8 b. 6-5 c. -5 - 1
e&
q. 12-(-7) r. 8 - (-5) s. -21 - 12
a. ¿Qué número debe restarse de -24 para que la diferencia sea 15? b. ¿Qué número restado de 19 da 31? c. ¿Cuál es el minuendo, si el sustraendo es 19 y la diferencia -8?
-18-(-31)
t.
m. 6 - 12 n. -19 - 5
u. 24 - (-75) v. 34 - (-81)
o. -5 - 24 p. 32 - 15
w. (-41) - (-18)
d. ¿Cuál es la diferencia si el sustraendo es - 34 y el minuendo - 21?
- 44 - (-35)
X.
Lee la siguiente información. La distancia entre dos números se define como el valor absoluto de la diferencia que hay entre ellos, entonces, si a y b son dos números enteros, la distancia entre ellos se simboliza como d(a, b) =
la - bl.
d(a, b)
•
e
e. ¿Cuál es el sustraendo si el minuendo es 50 y la diferencia -120? Resuelve las expresiones teniendo en cuenta que: m = 2, n = 5, p = - 3. a. m + [n - (p + m)] + m
b. c. d. e.
n + [m + (p - m - n)] - m {m + [m - (m - n + p) + n]} + p {[m - (-n)] + (p - n)} + p {[m + (n - p)] + p} + n
b
a
la - bl Halla la distancia entre cada par de números: i. 104 y -36
a. 5 y4
b. 7y-2 c. -3 y 6 d. -8 y-12 e. 15 y -31 f. -13 y-24 g. -9 y-34 h. -8lyl2
9
', j. -100 y -205 k. 39 y -400 l. -513 y -490 m. -324 y -230 n. 450 y -890 o. -350y-120 p. 1.390 y -4.509
Realiza las siguientes operaciones suprimiendo signos de agrupación. a. (-8) + ( -15) + 16 b. (19) + 24 - (-31) c. 35-(-18)+(-21) d. - 17 + ( - 21) - ( - 19) - ( + 1o) e.- -(-21) - (-35) - (-60) - (+42) f.
-8 + [-(13+(-5))-4+16] - 15
g. [9 + (-4)] - [-32 + (-5 + 4)] + 6 h. 17 - [4 + (-3 + 5) - (-8 + 7) + 3] i. 55 - {11 + [-15 - (-8)] - 21} - (7 - (-11)) j.
{(31 + ( - 8)) - [( - 17) - 16 + ( - 14)]} - 41
O El ) punto
de mayor altitud en la superficie de la Tierra es el Monte Everest en el Himalaya, y se encuentra ubicado a 29.269 pies sobre el nivel del mar. El punto de menor altitud de la Tierra es el mar Muerto en Palestina, y se encuentra a 1.286 pies bajo el nivel del mar. ¿:Cuál es la distancia en pies entre estos dos puntos?
@ Javier salió de su casa en la mañana con$ 120.000. Primero pagó los recibos de los servicios de luz y gas por$ 85.000. Luego, se encontró con un amigo que le pagó $ 50.000 que le debía y después pagó el servicio de telefonía móxil por $ 42.000. ¿Con cuánto dinero regresó Javier a su casa?
C) Andrea vive en el tercer piso. Baja en ascensor 4 pisos para ir al sótano y luego sube 5 pisos para visitar a su amiga Sara. ¿En qué piso vive Sara?
© Santilla na
j
25
Multiplicación de números enteros La multiplicación de dos números enteros a y b es un número entero é llamado producto.
%..
Si a, b E "11., ent onces, a · b = e E "11., los términos a y b se denominan factores y e se llama producto.
Para multiplicar dos números enteros se deben tener cuenta los siguientes casos:
Leonhard Euler 1707-1783 Matemático y físico suizo. Popularizó varios signos de nota. ción científica ta les como 'IT ,
;, f(xJ yI. Demostró que (-1 )( -1 ) = 1.
Si los números tienen el mismo signo, se multiplican los valores absolutos de cada número y el producto respectivo es positivo. · Por ejemplo: (-8) X (-4)=32 3 X 7 = 21 • Si los números son de distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y el producto es negativo . Por ejemplo: 6 X (-7) = -42 ( - 5) X 1O = - 50 Estos casos se pueden generalizar en la siguiente ley de signos: El producto de dos enteros de igual signo es positivo. (+) (+ ) = + (-)( .:. ._ ) = + El producto de dos ente ros de diferente signo es negativo. (+)( - ) = (-)(+) = _·
Cuando se multiplican tres o más números enteros se multiplican sus valores absolutos sin tener en cuenta el signo. Posteriormente, se procede así: • Si el número de factores negativos es par, el producto es positivo, por ejemplo: (-9)(-4) = 36, ya que 9 X 4 = 36 y hay dos factores negativos. • Si el número de factores negativos es impar, el producto es negativo, por ejemplo: (-5)(-2)(-6) = -60,yaque5 X 2 X 6 = 60yhaytresfactoresnegativos. • Si todos los factores son positivos, el producto es positivo, es decir: (4)(5)(2)(3) = 120, yaque4 X 5 X 2 X 3 = 120ytodoslosfactoressonpositivos.
Propiedades de la multiplicación de números enteros El producto de números enteros cumple las siguientes propiedades. Clausurativa. La multiplicación de dos números enteros siempre da como resultado un número entero. Es decir, Si a E "1L y b E "ll.., entonces, a · b E "1L Por ejemplo: (-5) E "1L y ( -10) E "lL, entonces, ( -5) X (-10) = 50 y 50 E "!L. Una expresión como: (-3) X (2) X (-5),
se puede escribir eliminando el signo X, así: (- 3)(2)( -5)
C6
1
© Santillana
Asociativa. Tres o más enteros se pueden agrupar de diferente forma y el producto no se altera. Es decir, Si a E "lL, b E "1L y e E Z, entonces, (a· b) ·e= a· (b ·e) Por ejemplo: [(-5) X (-8)] X (-6) = 40 X (-6) = -240 (-5) X [(-8) X (-6)] = (-5) X 48 = -240 Por tanto, [(-5) X (-8)] X (-6) = (-5) X [(-8) X (-6)]
Conmutativa. El orden en el que se realiza la multiplicación no altera el resultado . . Es decir, si a E -¡¿ y b E Z, entonces, a · b = b · a. Porejemplo:3 X (-5) = -15y(-5) X 3 = -15. Luego, 3 X (-5) = (-5) X 3. Elemento neutro. El producto de un número entero con uno da como resultado el mismo número entero. El 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la multiplicación. Es decir, existe 1 E -¡¿ tal que 1 · a = a · 1 para todo a E Z. Por ejemplo: 1 X ( -13) = -13 y (-13) X 1 = -13. Elemento nulo. El producto de un número entero con cero da como resultado cero. Es decir, si a E Z, entonces, a · O = O · a = O. Por ejemplo: (-35) X O= Oy O X (-35) =O . . Distributiva. Es la propiedad que relaciona la adición o la sustracción y la multiplicación de números enteros. Es decir, si a, b, e E Z, entonces, a · (b ::::!:: e) = (a· b) :±: (a· e). Por ejemplo: (-3) · [2 + (-5)] = (-3) · 2 + (-3) · (-5) = (-6) + 15 = 9.
x Ejemplos
0
Resolver las siguientes multiplicaciones:
b. (-9)(-6)(1) El producto de los números es 54 y el producto de los signos es positivo (+) . Entonces, ( -9)( -6)(1) = 54.
a. (-6) X (-2) (-6) X (-2) = 12 porque los factores son de igual signo.
c. (-3)(5)(-10)( - 2) El producto de los números es 300 y el producto de los signos es negativo ( - ) . Entonces, (-3)(5)(-10)(-2) = -300.
b. 10 X (-16) 10 X ( -16) = -160, porque los factores son de diferente signo.
@ Determinar el signo de cada una de las siguientes multiplicaciones. a. 5 X 1 El signo es positivo porque los dos números tienen signo positivo. b. (-l) X (-5) El signo es positivo porque los dos números tienen el mismo signo negativo.
@ Escribir los factores
que faltan en cada pro-
ducto. ·
O
a. X ( - 5) = - 30 El factor que falta es 6 porque 6 X ( - 5) = - 30.
D
b. 6 X = 54 El factor que falta es 9 porque 6 X 9 = 54.
@ Hallar los siguientes productos. a. (5)(8)(-2) El producto de los números es 80 y el de los signos es negativo (-).Entonces, (5)(8)(-2) = -80.
@
Indicar la propiedad que se aplica en cada multiplicación de números enteros. a. (-7) X 9 = 9 X (-7) El orden de los factores no altera el producto, se aplica la propiedad conmutativa. b. [(-5) X 8] X (-4) = (- 5) X [8 X (-4)] Se puede agrupar de diferentes formas y el producto es el mismo, se aplica la propiedad asociativa.
c. (-6) X 1 = 1 X (-6) = -6 Al multiplicar por 1, el resultado es el mismo, se aplic.a la propiedad del elemento neutro.
d. ( - 7) X O = O X ( - 7) = O Cuando se multiplica un número por O, el resultado es O, se aplica la propiedad del elemento nulo. e. -5X[(-3)+5]= (-5) X (-3) + (-5) X 5 La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, se aplica la propiedad distributiva.
r't © Sa ntill ana
j
27
1I
!, .. .
Multiplicación de números enteros
O ¿Cuál es la ley de los signos para la multiplicación
e
e
G Soluciona aplicando la propiedad distributiva.
entre números enteros?
a. (-4)[(-5) + 3] b. [-8+(-4)](-6) c. (6)[8 + (-2)] d. (+ 5)[(-7) + (-3)]
Determina el signo de cada uno de los siguientes productos. a. 8 X 6 b. -4 X -3 c. 12 X -4
d. 7 X 10 e. 8 X -3
f. 5 X 14
g. -5 X 6 h. -11 X -5 i. -9 X -11
m . ( -6)(3)( -4)(5) n. (8)(-5)(-6)(-9) o. (-4)(-10)(-3)(-6) p. (5)(9)(11)(8) q. (-9)(7)(-5)(6) r. (-11)(-7)(-9)(10) s. (3)(4)(6)(8)(2) t. (-4)(- 5)( -8)(-12) u. (-7)(5)(-8)(2)(-6) . v. (10)(-9)(-3)(0)(-11) w. (11)(-8)(10)(5)(-4) X. (12)(-4)(3)(-5)(-2)
valores que se asignan para cada letra: a. 5m, m = - 10 b. -3ab, a= 1, b = -2 C. -lOxy, X= -1,y = 1
d. 5(c - d), e= -2, d = -1
l!I Soluciona problemas)
e
O Escribe V, si la expresión es verdadera o F, si es falsa y justifica tu respuesta.
e
a. El producto entre dos números enteros de igual signo es negativo. b. El producto de dos enteros de diferente signo es negativo. c. El producto de cuatro enteros siempre es positivo. d. El producto de todo número entero por cero da como resultado el mismo número. e. El 2 es el módulo de la multiplicación, por lo tanto, si a E :JL entonces a X 2 = a.
Dos trabajadores de una empresa de aseo limpian las ventanas de un edificio en el siguiente orden. Primero, las del piso 15, luego, las del 8, después, las del 11 y final~ mente, las del6. Si cada piso mide 3 m, determina: a. ¿Cuántos metros descendieron del piso 15 al 8.? b. ¿Cuántos metros ascendieron del 8 al 11? c. ¿Cuántos metros descendieron del 11 al 6?
f) Un pequeño submarino que fotografía fauna marina desciende automáticamente 10 m cada 20 minutos. Si descendió durante 2 horas: a. ¿A qué profundidad se encuentra al cabo de dos horas? b. ¿Cuántos metros desciende en la primera hora? c. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a -40 m?
Responde las siguientes preguntas. Durante 7 días Natalia retiró de su cuenta $40.000, cada día. ¿Cuánto dinero retiró Natalia en una semana?
a. ¿Cuál es el signo del producto de siete números enteros negativos? b. ¿Qué número entero multiplicado con -1 da 7? c. ¿Qué número entero diferente de cero al multiplicarlo por Oda O? d. Si el producto de tres números enteros es positivo y uno de ellos es negativo, ¿cómo son los signos de los otros dos? ·.
. .
Manuel gasta $19.000 cada domingo en la entrada para un partido de fútbol. Deja de ir a cinco partidos porque no jugaba su equipo favorito. ~~uánto ~~~ero ahorra en total?
----_.-==-~-=--=--=-=-=====-=-:-:::::=-::::.-=--:;::,;--=-====-=-=--=--====
28
(9)[6 + 11] [(-7)+6](-12) 10[(-8) + (-6)] [(-11) + 3](-5)
O Halla el valor de cada expresión de acuerdo con los
Realiza los siguientes productos. a. (-4)(5) b. (-9)(10) c. (25)(-4) d. (-6)(-8) e. (-15)(-6) f. (12)(10) g. (9)(-3)(-5) h . (5)(7)(3) i. (6)(-4)(8) j. (-9)(-12)(-2) k. (-7)(5)(-9) l. (-6)(-4)(-10)
e. f. g. h.
j © Sa nt illana
j}
· 1 1
División de números enteros La ley de los signos para multiplicar es:
La división es la operación inversa de la multiplicación, ya que permite encontrar el factor desconocido de una multiplicación en la que se conoce el producto y un factor.
+· += + Si a, b E 7L con b #-O se llama cociente exacto de a y b al número e E 7L tal que b · e= a.
-· -=
+· Para simbolizar la división entre a y b se utiliza la notación a + b o -ª-- , donde a es el dividendo y b es el divisor. b
+
-= -
-· += -
Para hallar el cociente entre dos números enteros se debe tener en cuenta que: • El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo, por ejemplo: (-24) + (-8) = 3 porque 3 X (-8) = -24 45 + 9
= 5 porque 5 X 9 = 45
• El cociente de dos números enteros de distinto signo es negativo, por ejemplo: 1.2 + (-3) = -4 porque (-4) X (-3) = 12 (-35) + 5 = -7 porque (-7) X (5) = -35 • El cociente de cualquier número entero entre uno es el mismo número entero, por ejemplo: (-88) + 1 = -88 porque (-88) X 1 = -88 15 + 1 = 15 porque 15 X 1
= 15
• El cociente de cero entre cualquier número entero diferente de cero es cero, por ejemplo: O + (-23) =O porque O X (-23) = O
:-: Ejemplos
(!) Completar los siguientes enunciados.
D=
tf.;\ R
=D.
a. 4 X -32porque -32 + 4 Como -32 + 4 = ~8, entonces, el enunciado completo es: 4 X -8 = -32 porque -32 + 4 = -8.
D
D.
b. X -2 = 50 porque 50 + -2 = Como 50 + -2 = -25, entonces, el enunciado completo es: ,- 25 X -2
D
= 50 porque 50 + -2 = -25.
D
c. -20 X = 120 porque 120 + = -20. Como 120 + -6 = -20, entonces, el enunciado completo es: -20 X -6 = 120 porque 120 + -6 = -20.
D
=
. . . , --"'---'--7 X ( -9) X 2 eso lver la s1g01ente operac10n: 3 X (-2) .
~
=O.
d. X5 -lOOporque -100 + 5 Como -100 + 5 = -20, entonces, el enunciado es -20X5 = -100 porque -100 + 5 = -20.
Se multiplica en el numerador y en el denominador.
7 X (-9) X 2 3 X (-2) =
Se divide el numerador entre el denominador y se aplica la ley de signos.
-126
-6 = 21
.@ Resolver aplicando la propiedad distributiva', (-180)
-7-
20
= ( - 100 + ( - 80))
= -100 +(-8º ) 20
20
= -5 + (-4) = -9
-7-
20 Se escribe el número como la suma de dos enteros. Se aplícd la propiedad distributiva. Se realiza la sl)ma.
© Sa ntillana 1
29
División de números enteros
O Responde, ¿qué reglas se deben tener en cuenta al O Construye un ejemplo para demostrar la verdad o falsedad de las siguientes expresiones.
dividir dos números enteros?
e e
Responde, ¿cuáles propiedades de la multiplicación no se cumplen para la división? Encierra en un círculo las divisiones que no pueden hacerse en el conjunto de los Z.
a. 18 + -3 b. -4 + 12 c. -6 + -4
d. -24 + 48
g. 72 + -12
e. -36 + -9 f. -100 + 25
h. 15 + -30 i. -4 + 3
O Escoge dos divisiones en los enteros que expresen
a. b. c. d.
1 24 + 8 ·1 3 + 24 1 8 + 3
b. ( - 5) . 6
16 + (-3o)l-3o + (-5)1-30 + 616 + (-5)1
c. (-11). (-9) = 99 199 + (-9)1-11 + 9199 + (-11)1-11 + (-9)1
d. 7 . ( - 8) 1
= - 56
-8 + 7
1 -
56 + 7
1 -
56 + 8 1 7 + ( - 56)
1
e. ( -12) · ( -4) = 48 148 + (-4)1-12 + (-4)1-4 + 48148 + (-12)1
e
Realiza los siguientes cocientes: a. -18 + 2
h. -98 + 7
b. 22 + -11
i.
c. d.
e: f.
e
g.
-35 + -7 52 + 13 o+ -25 -168 + -21 320 + -16
j. k.
l. m.
n.
-640 + -20 -720 + 16 1.500 + -25 -20.000 + - 400 - 60.000 + 1.200 45.000 + -900
Soluci~na aplicando la propiedad distributiva. a. (36 - 24) + -4 b. (-35 + 55) + 5 c. (64 + 32 - 24) + - 8 d. (-26 + 52 - 13) + 13 e. ( -60 - 90 + 135) + -15 f. (74 + 148 + 37) + 37 g. (-76 - 114 + 38) + -19 h. (48 + 144 + 72) + -24
3 O J © Santill ana
z-.
a.
(-7) X (-4) 2
g.
70X(-6) -14
b.
(-9) X (8) -6
h.
(-12)( 4)(-5) 80
c.
(-18) X (-6) -12
i.
(-9)(-7)(-8) -14
d.
54X(-8) 24
j.
( _:._ 11)(-4)(5) -22
e.
(-40) X (12) -60
k.
12(-9)(-13) 18
f.
-60 X 12 20
l.
(-300) (15) (-45)
24 + 3
= - 30
z-,
.. Realiza las operaciones propuestas.
cada uno de los productos dados. a. 8 · 3 = 24
Si a, b E Z, entonces, a + b = b + a. Si a, b, e E entonces, a+ b +e E Si a, b E Z , entonces, (a+ b) +e= a+ (b +e). Si a, b E Z y a + b = e, entonces, e E Z.
l!I Soluciona problemas J • Camila, Sebastián y sus hijos van de campamento el fin de semana. Si com pran alimentos por $ 120.000, elementos de aseo por $ 19.000 y bebidas por$ 140.000, ¿cuánto dinero debe pagar cada uno?
CD) Un turista toma un curso de buceo durante cuatro días en Cartagena. En cada clase se sumerge las siguientes distancias: 4 m, 6 m, 5 m y 9 m. ¿Cuál es la profundidad promedio a la que se sumergió?
CI) La temperatura en Cota, una población de Cundinamarca, medida durante una semana a las 5:30 a.m. fue la siguiente: lunes - 3 ºC, martes O ºC, miércoles -4 ºC, jueves -2 ºC, viernes -1 ºC, sábado - 1 ºC y domingo - 3 ºC. ¿Cuál fue la temperatura promedio en Cota esa semana?
Estándar: pensamiento numérico
Potenciación de números enteros La potenciación se define como la operación que simplifica la multiplicación de varios factores iguales. Si a E 71_ y n E 71_+ , entonces,
a·a·a · ... ·a=an
...
•
n-veces
En expresiones como: a» = b se identifican los siguientes términos: • a, indica el factor que se repite en l~ multiplicación, recibe el nombre de base. • n, indica la cantidad de veces que se repite el factor, recibe el nombre de exponente.
• b, indica el resultado de la multiplicación, recibe el nombre de potencia.
t
Por ejemplo:
Exponente
(-2) 4 = 16
t
t. .
· Base . Potencia Para hallar el valor de Úna potencia, se multiplica el valor absoluto de la base por sí mismo, tantas veces como indique el exponente y para determinar el _signo de la potencia se deben tener en cuenta las sigµientes reglas: • Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva. Por ejemplo: (-3) 2 = (-3)X (-3) = 9 • Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa. Por ejemplo: (-5) 3 = (-5) X (-5) X (-5) = -125 • Si la base es positiva y el exponente es par o impar, la potencia es positiva. Por ejemplo: 24 = 2 X 2 X 2 X 2 = 16 63 = 6 X 6 X 6 = 216
:-: Ejemplos
0
Escribir en forma de producto las siguientes potencias: a. (-c) 4
(-c) 4 =(-e) X (-e) X (-e) X (-e)
Se multiplica -c, 4 veces por sí mismo.
b. a5 a5
=
a X a X a X a X a
Se multiplica a, 5 veces por sí mismo.
@ Indicar el signo de cada potencia. a. 6 2
El signo de la potencia es positivo porque la base 6 es positiva y el exponente es par.
b. (-2) 4 El signo de la potencia es positivo porque la base es negativa y el exponente es par. c. (-7) 3 El signo de la potencia es negativo porque la base es negativa y el exponente es impar. ©$anti llana j
31
,-,. -
Propiedades de la potenciación La potenciación de números enteros cumple las siguientes pr?piedades. Producto de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de igual base, y con diferente exponente, se deja la misma base y se suman los exponentes. Es decir, si a E "1l._ y n, m E N, entonces, an • am = an + m Por ejemplo: (-5) 3 X (-5) 4 = (-5)3+ 4 = (-5)7 72 X 73 X 7s = 72 + 3 + s = 7 10 Michael Stifel
~
1487-1567 . Matemático y teólogo alemán . Intentó descifrar el final del mundo en el Apocalipsis, al fracasar con la fecha que dio, desistió de su idea. Popularizó los signos + y - , desplazando a la p y a la m que se usaban antes para representarlos.
1. 1 1
Cociente de potencias de igual base. Para dividir potencias de igual base y diferente exponente, se deja la misma base y se restan los exponentes. Es decir, si a E "1l._ y n, m E N, entonces, an --;-- am = an - m con a =f. Oy n > m Por ejemplo: 56 --;-- 54 = ~ = 56 - 4 = 52 54 (-8)7+(-8)4= (-8)7 =(-8)7-4=(-8)3 (-8)4
Potencia de una potencia. En ocasiones, la base de una potencia es otra potencia. Para resolver una potencia elevada a un exponente, se deja la base y se multiplican los exponentes. Es decir, si a E "1l._ y n, m E N, entonces, (an)m = an x m Por ejemplo: (112)5= 112X s= lllOy[(-2)3]4= (-2)3 X4= (-2)12
Potencia de un producto. Para calcular la poteñcia de un producto, se eleva cada factor del producto al exponente indicado. Es decir, si a, b E "1l._ y n EN, entonces, (a· b)n = an • bn Por ejemplo: [5 X (-3)]4 = 54 X (-3) 4 y [(-7) X (-9)]3 = (-7) 3 X (-9) 3
Potencia de un cociente. Para calcular la potencia de un cociente, se eleva a dicha potencia cada uno de los términos de la división. Es decir, si a, b E "1l._ y n E N, entonces, (a--;-- b)n = an--;-- bn Por ejemplo: (12 + 5)3 = (R)3 = 123 5 53
Otras propiedades de la potenciación Exponente uno. Todo número entero elevado al exponente uno da como resultado el mismo número entero. Es decir, si a E "11._, entonces, a 1 = a ,,
Exponente cero. Todo número entero diferente de cero, elevado al exponente cero da como resultado uno.
.
l
Es decir, si a E
3 C 1 © Sant illana
"1l._
con a =f. O, entonces, a0 = 1
......
Estándar: pensamiento numérico
Potencia de uno. Uno eleyado a un exponente e!1tero, da ~orno resultado 1. Es decir, sin E N, entonces, 1n = l.
:-: Ejemplos Simplificar cada expresión. Para ello, utilizar las propiedades de la potenciación.
a.
5 2 X 5 1 X 53
= 52 = 56
Expresión dada.
X 51 X 53
Se aplica el producto de potencias de igual base.
b. (-8)X(-8) 3 X(-8)º
Expresión dada.
(-8) X (-8)3 X (-8)º Se aplica el producto de potencias de igual base.
= (-8)1+3+0 = (-8)4
Se suman los exponentes.
c. [(-7) 2 ]3 X [(-7) 4 ]5 [(-7) 2 ]3 X [(-7) 4 ]5
Expresión dada.
= (-7) 6 X (-7) 9
Se aplica la potencia de una potencia.
= (-7)15
Se aplica el producto de potencias de igupl base.
d. [(-1)3]4 X (22)3 X [(-3)4]3
Expresión dada.
[(-1)3]4 X (22)3 X [(-3)4]3
Se aplica la potencia de una potencia.
= (-1)12 X 26 X (-3)12
Se aplica la potenCia de uno.
= 1 X 26 X (-3) 12 e. '
[(2 X 5) 3 X (2 X 5) 2 X (2 X 5))
[(-2) 4 X (-5) 2 ]
[(2 X 5) 3 X (2 X 5)2X (2 X 5))
[(-2) 4 X (-5)2] 23 X 5 3 X 2 2 X 5 2 X 2 X 5
Expresión dada. Se aplica la potencia de un producto.
(-2) 4 X (-5) 2 . Se aplica el producto de potencias de igual base.
2 6 X 56 4
(-2) X (-5)
=
2
22 X 54
f.
a 3 X (-b) 5 X c7 X (-d) 8 (-b) 3 X c7 X a 3 X (-d)7
=
aº X ( - b)2 X eº X ( - d) 1
= 1 X ( - b)2 X 1 X ( - d)
Se utilizan las reglas generales de potencias de igual base.
Se aplica el cociente de potencias de igual base. Se aplica el exponente Oy la potencia de 1.
©
Santillana
l 33
Propiedades de la potenciación
~~a
información:
O ¿Qué representa el exponente en la potenciación
e e
de un número?
b. Escribe los siguientes productos como potencia. c.
d.
(6) 4
e
b. c. (-1) 8 d. -(11) 4
e. ( -4) 4 (-8) 6
f. g. (-10) 5 h. -(-9) 6
Potencia
Base
i. (-5)3 j. (7)5 k. ( -2)14 l. __.: ( -12) 5
-7
·valor
-216
4
3
e
729
1
15 -1
8
g.
52· (-4)3[(-4) 6 ]2 · 53 (52)2· (-4)4(-4)8
h.
[ [(-2)5]3· (62)4 [(-2)3]4·66
J
]º
(-7)16 (-10)20
= (-6)9 (-9)°
f.
[ (-8)4(-2 )° ] 3 = (-2)6 (-8 )° (-2) 2
G!I Soluciona problemas) '1!) Escribe en forma de potencia la cantidad de cubos que forman cada cubo.
Escribe con un solo exponente las siguientes potencias.
a. (32) 4 b. [(4) 3 ]2 c. [(-1)5]3
e. [(-5) 2]2 f. [(-10) 2 ]5 g. [(-7)2]2
d. [(-9) 4 ]3
h . [62]4
32 X 33 53 X 54 23 X 24 X 2 (-8) 5 + (-8) 2
e. f. g. h.
a.
b.
i. [(-9)4]0 j. (53)2 k. [(-6)3]2 l. [(-2)5]4
O Expresa como una sola potencia. a. b. c. d.
7 3· (-4)3[(-4)2] 5 [(-4)3]4· 73
c. [(-4) º ]3 = (-4)15
(-10)-5
\.
f.
4
3
1
(-5)3(-5) 4 ]2 (-5)2(-5) 3
b (-5 )° = (-5)7 . (-5 )°
(-9) 4
-3 i
[(-3)3]5 [(-3)2]3
e. [ (-6)3
1 1
64
[
a. (-3) º ·(-3) º =(-3)12
(-s)- 3 1
1s , 110 , 115 (150) 0 (3 + 3) 2· 6 3
(-7 )° ] 4 d. [ (-10 )° -
Exponente
e.
dera la expresión.
Completa la siguiente tabla. 1
(-8)3· (-8)5 (-8)2· (-8)2
f) Completa los espacios en blanco para hacer verda-
O Identifica el signo de cada potencia. a. 32
~Razona: 4-7-91
Resuelve como una sola p~tencia.
¿Cómo se determina el signo de una potencia si la base es negativa?
c. 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 d. 9 X 9 X 9 X 9 X 9 X 9 e. (-4)(-4)(-4) f. (-6)(-6)(-6)(-6) g. (-5)(-5)(-5) (-5)(-5) h. (-b)(-b)( -b)(-b)(-b)
' ·1¡¡1
e
a.
a. (-3)(-3) b. 2 X 2 X 2 X 2 X 2
1
1-21G Interpreta: 31 ~Ejercito: 5-61
(-4) 6 • (2) 2 (-3) 4 ·(-3) 3 ·(-3) 2 (-6) 3 • (-6) 2 · (-6) 4 (-1)3(-1) 6 (-1) 5
CD Helena compró 5 cajas de chocolates, cada una con 5 paquetes de 5 chocolates cada uno. a. ¿Qué potencia expresa el número de chocolates que compró? b. ¿Cuántos chocolates tiene en total Helena?
. Estándar: pensamiento numérico
Radicación de números enteros La radicación es una operación inversa a la potenciación en la que, dadas la potencia y el exponente, se debe hallar la base. Si a, b E 7L, la raíz n-ésima de a se nota
ef; =
b si bn = a
Las raíces de índice 2, se llaman raíces cuadradas. En este caso, el índice no se escribe.
1J2f = g
En expresiones como: ef; = b, n recibe el nombre de índice radical, el símbolo _¡se denomina signo radical, a se llama cantidad subradical y b recibe el nombre de raíz. Por ejemplo, en la expresión radical y 3 es la raíz.
ef8l =
3, 81 es la cantidad subradical, 4 es el índice
En la radicación de números enteros, para determinar la raíz n-ésima de un número entero se deben considerar tres casos: Si el índice es par y la cantidad subradical es positiva, las raíces son dos números opuestos. En este caso se dice que la radicación es una operación multiforme. Por ejemplo,
J25 =
±5 ya que (5) 2 = 25 y ( - 5) 2 = 25
Si el índice es impar y la cantidad subradical es positiva o negativa, la raíz es única y del mismo signo del radical. Por ejemplo, V(-8) = -2 yaque(-2) 3 = -8,y,
if8 =
2 yaque(2) 3 = 8
Si el índice es par y la cantidad sub radical es negativa, la operación no es posible en el conjunto "lL. Por ejemplo, .J(-36) "1L ya que (6) 2 = 36 y (-6) 2 = 36 En este caso, .J(-36) no tiene solución, ya que no existe un número que elevado al cuadrado dé como resultado - 36.
Propiedades de la radicación La radicación de números enteros cumple las mismas propiedades que la radicación ·de números naturales. , Es decir, si a, b son números enteros y m, n son los índices se cumple que: i;,J a X b =
Raíz n-ésima de un producto: Por ejemplo: ~27 X 8 =
:ifii X if8 =
Raíz n-ésima de un cociente: Por ejemplo:
~ lOO 25
=
Vf
.JlOO
J25
Raíz n-ésima de una potencia: Por ejemplo:
J64 =
=
ef; X ~
3 X 2 = 6.
~
= 1Q_ = ·2. 5
~=
am+n
64 "' 2 = 62 = 36
Raíz n-ésima de la potencian: Raíz n-ésima de la raíz n-ésima: Por ejemplo: V./64 =
3
if;;;: = a Por ejemplo: ifi4 = 2 ~ = mxfa
x
2
©
Santillana
l35
Rad icación de números enteros
:-: Ejemplos Resolver las siguientes raíces aplicando las propiedades de radicación.
J=-4 . ª3
c. ~ b3· c3
V-64 · a 3
a. V(-8) X 64 Se escribe la expresión dada.
V(-8) X 64 = V(-8) X
if64
~ X if¡;3
W- x ef¿
Se aplica la raíz de un producto.
= (-2) X 4
(-4) X a 373
Se hallan las raíces.
= -8
Se aplica la raíz de un cociente.
~
b3+3xc3+3
Se aplica la raíz de la potencian.
- 4 ·a b ·e
Se realizan la operaciones.
Se realiza la multiplicación.
b. -t/81 . a 4 ~81. a4 =~ X
Se escribe la expresión dada.
if¡;4
Se aplica la raíz de un producto.
d.
Se escribe el radicando como producto de factores primos.
-t/10.000
~ Se aplica la raíz n de la potencia.
= 104 + 4 = 3 X
= 3
a4 7 4
Se aplica la raíz de un producto.
Se aplica la raíz n de la potencian. = 10
Se realiza la operación en el exponente.
·a
Se realiza la operación de los exponentes.
<§1 Interpreto: 1-2 I ~ Razono: 3-4-5-6 1 Explica: ¿Por qué se afirma que si n es un número par y b E 71_ -, !efb no existe?
Determina si el resultado es correcto, en caso contrario, corrígelo.
Resuelve las potencias. Luego, escríbelas en forma de raíz.
= 7 e. -J900" = 30 b. .J625 = 15 d. },j729 = -3 f. .J400 = -20
a. 42 b. 13
d. (-4) 5 e. (-1) 4
c. (-2) 6
f. 34
g. ( -6)3 15
h. i. (- 2)4
a.
k. 162 l. (-10)3
J6 iflli
i.
~-729
j.
.J8l
g. V-i.ooo
k
V-216
h. ~-256
l.
~
e.
E
f.
b. c.
rs
d.
if32
e
l·
J9
g.
J%l
e.
..)256
h. -t/1.296
c. if625
f. .
.J36i
i.
l • soo,;1100,
e. ~
b. }./27 X 2
3
f.
V32 X m 10
c. .J25a2
g. ..)36 X 62
d. ~16m 4
h. V25 x 5
G!I Soluciona problemas J Determina la longitud de la arista de cada cuadrado de acuerdo con su área. a. A = 49 cm2 b. A = 121 cm2 e.A = 289 cm 2
b. V-64 1
36
d; ~
Resuelve aplicando propiedades de potenciación. a. ..)4 X 16
Calcula las siguientes raíces. a.
c. V- 243
j. 54
Determina cuáles de las siguientes raíces no se pueden calcular en los enteros.
a. V-27
'Ff = 1
~10.000
:
Halla las dimensiones de una barra m etálica de 2.058 cm3 de volumen, si el largo es el doble del ancho y el alto el triple del ancho.
Estándar: pensamiento numérico
Polinomios aritméticos con números enteros Un polinomio es una expresión matemática en la que se encuentran indicadas varias operaciones matemáticas que pueden tener o no tener signos de agrupación. Las siguientes expresiones son ejemplos de polinomios aritméticos: 15 - 12 + 4
+ 8 X 3 + 5 es un polinomio sin signos de agrupación.
-{(-14) - [ -(2 X 3)]} es un polinomio con signos de agrupación.
En esta sección, se resolverán polinomios en los que se combinan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación de números enteros.
Polinomios aritméticos sin signos de agrupación Cuando un polinomio aritmético no tiene signos de agrupación, se soluciona realizando las operaciones en el siguiente orden: • Primero, se resuelven las potencias y las raíces. • Luego, se realizan las multiplicaciones y las divisiones. • Por último, se solucionan las adiciones y las sustracciones. Por ejemplo, para solucionar el polinomio 15 -'- 12 + 4 + 8 X 3 + 5, se realiza el siguiente procedimiento, primero se realizan la división y la multiplicación; luego, se resuelven las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. Así, 15 - 12 + 4
+8X
3
+5=
15 - 3
+ 24 + 5
= 12
+ 24 + 5
Se resuelve la sustracción.
= 36
+5
Se resuelven las adiciones.
=
Se realizan la división y la multiplicación.
41
-Entonces, 15 - 12 + 4
+8X
3 + 5 = 41.
Polinomios aritméticos con signos de agrupación Cuando un polinomio aritmético tiene signos de agrupación, se elimina cada signo de agrupación de adentro hacia fuera, teniendo en cuenta el orden de las operaciones y aplicando la ley de signos. Por ejemplo, para solucionar el polinomio - ·{(-14) - [-(2 X 3)]}, primero se resuelve el paréntesis, es decir, se realiza la multiplicación, luego, se elimina el corchete y se finaliza resolviendo las llaves. Así, -{(-14) - [ -(2 X 3)]} = -{(-14) - [-6]}
= -{(-14) + 6} = -{-8}
=8
Entonces, -{(-14) - [-(2 X 3)]} = 8. © Santillana
l 37
Polinomios aritméticos con números enteros
:-: Eje mp los
(D Simplificar los siguientes polinomios. a. (-7 - 2) 3 + (-9)
= (-729) + (-9)
• siguiente polinomio: (-2) X [(-6 + 5) X (-3) + (-36) + 6] 4 +l.
+ 62
+ 62
= ( -9)3 + (-9)
@ Suprimir los signos de agrupación y resolver el
Se resuelve el paréntesis.
+ 36
= (-2) X [(-6 + 5) X (-3) + (-36) + 6] 4 + 1 Se resuelve el paréntesis.
Se realizan las potencias.
= (-2) X [-1 X (-3) + (-36) + 6] 4 + 1 = 81
+ 36
Se resuelve la división.
Se realiza la multiplicación
y la división del corchete. = 117
Luego, (-7 -
Se realiza la suma.
2) 3
b. V-32 X (-3
+ (-9)
+
62
+ 7) + (-2)
=
+ (-6)]4 + 1
Se realiza la suma del corchete.
= 117. = (-2) X [-3] 4
+1
Se realiza la potencia.
2
=(-2)X4+4
Se resuelven la raíz, el paréntesis y la potencia.
=(-8)+4
Se realiza la multiplicación.
= -4
(-2) X [3
= (-2) X 81 + 1
Se realiza la multiplicación.
= (-162) + 1
Se realiza la suma.
= -161
Se realiza la suma de enteros.
Luego, el resultado del polinomio dado es: -161.
Luego, V-32 X (-3 + 7) + (-2)2 = -4.
<& Interpreto: 1
O Determina la primera operación que harías para
e 1' 1
1
e
·1'
38 1
¡J.__
resolver el polinomio: -4
+ 52
-
82 X 4.
e
Realiza las siguientes operaciones. a. 8 - (5)(-3) + (-4)(7) b. (-6)(4) - (-5)(8) + (-6) c. (-7) + (-8)(-4) - (9)(-2) d. (-3)(-5) - (9)(-2) + 18 e. (-12)(6)+(-4)(2)+6 f. (-15)+(-3)+(-5)(8)+4 g. (-6)2 + (-9) + (12)(-3) + 32 h. (...:03 - 2) 2 + (-3) 3 - (-8)(2)
Determina el valor de cada expresión si a = 3, b = -2 ye= -4.
-3b +e - 2a
a. 2a - 3b +e
e.
b. be..:... ab + ae c. a 2 - 2b +e d. b3 ª 2 + 3e + (-b) 5
Sb + 4e + 2a g. ab 3 + e + 3b - a h. .Ja 2 (-e) + e 2 b + b3
1 © Santi llana
f.
e
1~Ejercito: 2-3-4-51
Escribe paréntesis en el lugar que corresponda para obtener el resultado dado.
a. 15 - 6 X 4 - 12 = -72 b. 8 + 7 - 4 - 9 - 12 = 32 c. 6 X 14 - 4 - 17 - 8 = 51 d. 35 - 10 - 15 - 3 - 20 + 7 =o e. 21 - 35 + 5 + 6 X 9 - 4 = 46 f. -65 - 28 - 13 - 56 + 8 = -87 g. -21 + 9 + 5 + 4 X 8 + 6 = 41 h. -18 + 3 + 5 - 12 X 4 - 30 - 5 = - 59 Resuelve los polinomios. a. -3 + {[(-8) - (-5)] + 12} + 6 b. -(-12) - {-[(-4) X 6] + (-3)(-9)} + 4 c. (-5)(4) - {20 - (-6 + 4) 2 + [81 + (-9)]} d. -so+ {[(-10+ 3)(-4)+ (-72) +9]}2-(8 x s) e. (90 + 6) X {-5 + [-4(3 - 8) - (12 - 3) + 4]}
f.
[
J25 ; 164 -
7
J
g.
~ 42 ~5 32
• 22
Ecuaciones con números enteros Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce algún término al que se le denomina variable o incógnita. La incógnita se representa generalmente con una letra minúscula. Por ejemplo, las expresiones -3 + x = 9; y -7 = -17 y 4 · w = 20; son ecuaciones donde las incógnitas están representadas por las letras x, y y w, respectivamente. Una ecuación está conformada por dos expresiones separadas por el signo igual ( = ). La expresión ubicada al lado izquierdo del signo = se denomina primer miembro y la expresión ubicada al lado derecho del signo = se denomina segundo miembro. En la ecuación - 3 + x = 9, el primer miembro es - 3 + x y el segundo miembro es 9. Solucionar una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que satisface la igualdad. En el caso anterior, el valor de x que hace verdadera la igualdad -3 + x = 9 es 12, ya que -3 + 12 = 9. Por tanto, la solución de la ecuación es x = 12.
~.
Adam Riese 1492-1559 Matemático alemán. Escribió varios libros, uno de ellos llamado Die Coss, donde expone problemas algebraicos, que nunca publicó, pero sus manuscritos fueron editados en el año 1992.
Propiedad uniforme El proceso que permite solucionar ecuaciones está fundamentado en la aplicación de la propiedad uniforme de las igualdades. Este proceso consiste en sumar, restar, multiplicar o dividir una misma cantidad a los dos miembros de la igualdad, obteniendo así otra ecuación equivalente a la primera. Si a, b, e E "1L y a = b, se cumple que:
a+c=b+c
a-c=b-c
a·c=b·c
Ecuaciones de la forma
X +
a+c=b+c
a== b
,Las expresiones x + 4 = -9 y x - 9 = -15 son ecuaciones de la forma x ± a= b. Este tipo de ecuaciones se resuelven sumando o restando la misma cantidad en los dos miembros de la ecuación para obtener de esta manera otra ecuación equivalente, por ejemplo:
X+ 4 = -9 X+ 4 - 4 = -9 - 4 . x+0=-13 X=
-13
Ecuación dada. Se resta 4 en ambos miembros de la ecuación. Se resuelven las operaciones a ambos lados de la ecuación. Se aplica la propiedad modulativa y se obtiene la solución.
Para comprobar que la solución de una ecuación es la correcta, se remplaza el valor de la incógnita en la ecuación dada y se verifica la igualdad.
En el ejemplo anterior se tiene que: -13 solución de la ecuación.
+4=
-9. Por lo tanto, x
=
-13 sí es la
º''"'"''"' l 39
11
Ecuaciones con números enteros
Ecuaciones de la forma a· x = b Expresiones como 3 · x = 18 y -7 · x = -35 y son ejemplos de ecuaciones de la forma a · x = b. Esta clase de ecuaciones se soluciona multiplic,ando o dividiendo los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, obteniendo así otra ecuación equivalente a la primera, por ejemplo:
-7
•X =
-35
Ecuación dada.
-7 ·X = -35 -7 -7
Se divide a ambos lados entre el coeficiente de x que es - 7.
1 •X= 5
Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación.
x =5
Se resuelve la multiplicación.
Luego, se comprueba que x = 5 es la solución de la ecuación, para ello se remplaza la x por 5 en la ecuación dada así:
-7
•X=
Ecuación dada.
-35
-7. 5 = -35
Se remplaza x por 5 y se verifica que el producto es - 35.
Entonces, x = 5 sí es solución de la ecuación.
x Ejemplo Resolver la siguiente ecuación. _Jf_
= 7
2
1 1
_Jf_
2
Ecuación dada.
=7 Se multiplica por 2 a ambos lados de la igualdad.
X=
~I:
Se realizan las operaciones.
14
Luego, se comprueba la solución de la ecuación. Para ello se remplaza x = 14 en la
1
ecuación
_2f_ =
2
7 así: 11._ 2
=
7, entonces, la solución de la ecuación es x = 14.
Planteamiento y solución de problemas mediante ecuaciones Por medio de las ecuaciones es posible resolver problemas que involucran números enteros. Para ello, hay que tener en cuenta los pasos para la solución de problemas:
Interpretar el enunciado. Este paso consiste en identificar los datos conocidos del problema e identificar el dato que se busca calcular. Se debe asignar una letra (o incógnita) para el dato desconocido. Plantear y resolver la ecuación. En este paso se debe escribir el problema en forma de ecuación. Luego, se debe resolver la ecuación. Comprobar el resultado. Una vez se resuelva la ecuación se debe verificar si la solución cumple las condiciones del problema. Luego, se debe redactar la respuesta en términos de la información del problema.
4 Ü 1 © Sa nti lla na
x Ejemplos (D Traducir cada expresión numérica en forma de
Tercero, se comprueba el resultado. En este caso se remplaza 80 en la ecuación planteada inicialmente.
ecuación. a. Un número disminuido en 12 equivale a 500.
X
n es el número. Como disminuir está relacionado con restar entonces la expresión es: n - 12 = 500.
b. El perímetro de un cuadrado es 80 cm. ¿Cuánto mide el lado de dicho cuadrado? Primero, se asigna la variable l a la medida del lado.
d es el número. Como la expresión la mitad equivale a dividir =
2
80 + 15 = 95
Como sí se cumplen las co17-diciones del problema, se puede afirmar que el número que aumentado en 15 equivale a 95 es 80.
b. La mitad de un número es 70.
entre 2, entonces, la expresión es A_
==>
+ 15 = 95
70 .
@ Resolver cada situación:
D .
Segundo, se plantea y resuelve la ecuación.
a. Un número aumentado en 15 equivale a 95, ¿cuál es ese número? Primero, se asigna la variable x al número.
41 = 80
--1l = 4
Se divide a ambos lados entre4.
80
4
l = 20
Segundo, se plantea y resuelve la ecuación:
X+ 15 = 95
Se realizan las operaciones.
Tercero, se comprueba el resultado. En este caso se cumple que 4 X 20 equivale a 80. Luego, la medida del lado del cuadrado es 20 cm.
X= 95 - 15 X= +80
<& Interpreto:
e
Resuelve las ecuaciones. a.
e
X -
5 = 12
b. y- 3 = 9 c. b - 7 = -13 d. -2 +X= -6 e. a - 30 = -55
f. 8 =X - 25 g. 30 +y= -12 h. 24 = z - 12 i. 315 = 216 + t j. 107=-305+w
Halla el valor de la incógnita. a. 2x = - 16 b. 5a = -75 c.
_2f_
= 16
3 d. 13n = -26
e. -10b = -20
f. - 48 = - 6x g. 4x = -28 h.
_2f_
e e
= 100
i.
4 -24 + 7 = -17c
j.
-35 - 4q = -7
C!I Soluciona problemas) El perímetro del triángulo equilátero que se observa en la figura es 33 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
D
e
1-21
Juan y David juegan un videojuego. Si el puntaje obtenido por David es 150 menos que el de Juan y entre los dos alcanzaron 1.960 puntos, ¿cuál es el puntaje de cada niño? El número de niños en un salón de clase es el doble del número de niñas más 6. Si en el salón hay 36 personas, ¿cuántos niños y cuántas niñas hay? Si al dinero que tiene Mateo se le restan$ 150.000 le quedan$ 352.000. ¿Cuánto dinero tiene Mateo? Una gaseosa y tres perros calientes cuestan $ 25.000. Si la gaseosa cuesta $ 4.000, ¿cuánto cuesta cada perro caliente? Halla cuatro números consecutivos, de tal forma que su suma sea 326.
G Halla dos números tales que su suma sea 105 y el número mayor exceda al menor en 9.
Clj) Entre tres bibliotecas tienen 575 libros. En la primera biblioteca hay 10 libros más que la segunda biblioteca y 15 más que en la tercera. ¿Cuántos libros hay en cada biblioteca?
--------.
-----':"""'---------~
© Santillana
1
41
Núm ros enteros
O
e e e e
1 . Utiliza números enteros para expresar el valor numérico de las siguientes afirmaciones.
a. Un helicóptero vuela a 6.000 metros de altura máxima. b. En la Antártida se registró una temperatura de 15 ºC bajo cero. c. Pitágoras nació en el año 582 a.C. d. Me pagaron$ 150.000 que me debían. e. Un pez se encuentra a 1 m de profundidad. Escribe un enunciado que se pueda expresar mediante los números dados. a. 100.000 b. -1.700
c. 3.785
e. 150
d. -20
f.
Escribe en la línea E,
ti., C, (/.. según corresponda.
a. 3_z-
e.
z_z+
b. -15_zc. -8_Z d. o_z
f. -75_Z g. z-_z h. o_z-
-486
e. -3, -2, -1,0 f. 1,2,3,-5 g. -1,-2,-3,9 h. 8, -7, 6, -5
Mayores que -3 y menores que +7. Menores que 2 y mayores que -6. Menores que 1 y mayores que - 9. Mayores que - 5 y menores que 2.
a .. 151
b. 1-21 c. l-31 d. l+sl
11
1
e. l-121 f. l-151
i. 1-171 j. l-2051
g.
k. l+4ol l. 1-1201
IBI
h. 12001
O Responde. lml
a. ¿Puede ser = -2? Explica tu respuesta. b. ¿Puede ser m = 4? Explica tu respuesta. Escribe cuántos opuestos están entre cada par de números. a. 3 y su opuesto b. 4 y su opuesto c. - 7 y su opuesto
,¡
• 1¡:
80 ~40º
120º 100° 80º
W
A
40°
60° ~~ ,_2,Q° _ Oº
Oº
JQ'.,_4,Q° ~6,Q°
8Qº _IOQ'__12_()"__14~º0º
J
W
H
40°
F
20º
B
20°
e
G
Oº
D 20°
E
40°
40°
140° 120° 100° 80°
60°
40°
20°
Oº
20º
40º
60º
80° 100° 120° 140°
Determina las coordenadas de cada país usando coordenadas cuyos componentes sean números enteros. a. Punto A: Canadá b. Punto B: México c. Punto C: Ecuador d. Punto D: Brasil e. Punto E: Argentina
f. Punto F: Malí g. Punto G: Zaire h. Punto H: Turquía i. Punto J: China j. Punto J: Rusia -
4 C 1 © Santillana
Orden en los números enteros
(D) Escribe en cada línea dos números que hagan verdadera la expresión.
ª·
(;) Calcula.
e
Los meridianos atraviesan la Tierra de polo a polo. El cero es el meridiano de Greenwich. Los paralelos son líneas paralelas y su cero es el Ecuador. Observa.
Escribe los números enteros en cada caso. a. b. c. d.
·1'
cas permiten ubicar lugares sobre la Tierra, estas coordenadas se definen teniendo en cuenta los meridianos y los paralelos.
20°
i. N_Z j. 10o_z+ k.z+_z l. -45_Z
Dibuja una recta numérica y ubica en ella cada grupo de números. a. -5,4, 7,0 b. -2,1,2,3 c. -3,2,0,l d. o, 4, -2, -1
Representación de enteros en el plano cartesiano f) Lee la información: Las coordenadas geográfi-
d. 9 y su opuesto e. 1-41 y su opuesto f. 121 y su opuesto
b. c. d. e.
f. g. h. i. j.
50>0>8 -3<0<0<3 -9 >O> O > 12 -10 O> O> -21 -7 0>o>O - 51 > O > -60 > O -6
G Ordena los siguientes grupos de números de menor a mayor. a. -150, 470, 8.000, -9.000 b. 490, 250, -7.000, 4.900
;A!)''.,._ ~ ...,
.E¡;:;-J?>j,,._~
~~P.,,,''""'.';..
~
..
:-
.___,, •
'f
'"'
•
•
.
• ,
.
o
(f) En un juego de dardos, el puntaje se obtiene de
Suma y resta de enteros
e
acuerdo con la zona donde cae el dardo, de la siguiente forma:
Realiza las siguientes sumas.
a. b. c. d. e. f.
50
g. -12+9
(12)+(-15) (-10) + (+2) ( - 21) + (- 11) (-32) + 75 ( -48) + (-47) (-39) + 51
h. -31 + (-32) i. 45 + ( +38) j. -51 + 16 k. 19 + (-38) l. 49 + (-37)
(9 Completa la tabla.
\..
a
b
e
-5
-3
-8
-4
12
-9
31
+9 -7
12
-29
-32
7
14
-8
16
+15 12
a+b+c
Responde: ¿Qué puntaje obtuvo el jugador si los dardos se ubicaron de la siguiente forma en el tablero.
División de números enteros (!) Realiza las divisiones.
(D Resuelve las sustracciones. f. 45 - (-90) g. 12 - (-300)
a. -15 - 19 b. -8 - 30 c. -9 - (-2) d. -35 - 10 e. 30 - 14
_e
h. -350 - (-150) i. -495 - ( -190) j. 450 - (-30)
En un juego de mesa cada jugador avanza o retrocede su ficha según lo indique el tablero. Pilar partió de Oy anotó lo que sacó en cada ronda: con azul cada avance y con rojo cada retroceso. 9
o
7
d. 490 + 70 e. -85 + -5 f. 130 + -2
Potenciación y radicación
O Determina la suma de las potencias que expresa el número de cubos de la pirámide. ¿Cuántos cubos son?
5
10 2
a. -1.500 + 3 b. 450 + -5 c. 150 + 10
4
' 10
¿Con cuánto puntaje quedó Pilar después de sus avances y retrocesos?
Multiplicación de números enteros (f.) Resuelve las multiplicaciones. a. -3 X 2 b. -8 X 10 c. -9 X -4 d. -15 X 10 e. -9 X (-2) f. -15 X 16
g. (-4)(-2)(-9) h. (-8)(10)(-25) i. (13)(16)(-30) j. -(19)(-15)(-150) k. (290)(-16)(-350) l. -(19)(-150)(380)
CD ¿Cuánta malla debe ser comprada para rodear un terreno de forma rectangular, que tiene un área de 588 m 2, si su largo es tres veces el ancho?
Ecuaciones
e Ma~ía
salió de compras con $ 240.000 y compró una falda, una blusa y unos zapatos; si la falda costó el doble de la blusa y los zapatos el triple de la blusa, ¿cuál fue el costo de cada prenda?
© Santillana
l43
1'
. \',
,1
.• -·\·.
! ;· /. . . -1.\ . . ~ ··-,> -<--·· /
/¡:-;.-
/
."
-
:' ., •. ,
\
.
El conjunto de los números enteros está conformado por los números negativos, los positivos y el cero. Se simboliza '?L.
'1L
= { ... ,-3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ... }
Dos números enteros son opuestos si están a la misma distancia del cero en la recta numérica pero tienen signos opuestos. El valor absoluto de un número entero a es la distancia que hay entre a y O en la recta numérica. Se simboliza
lal.
,:
'
-~
-_. -·
.......
::: ·<
.·
":'/:. I
:./· .: \
..·.
Multiplicación y división de números enteros ·
...
Conjunto de los números enteros
:.,·.
~
Para multiplicar dos números enteros se multiplican los valores absolutos de los números. Luego, se escribe el producto anteponiéndole el signo que corresponda según la ley de signos, así: • Si los factores tienen signos iguales el producto es positivo. Si los factores tienen signos diferentes el producto es negativo. Para dividir un número entero a entre un número entero b, donde bes diferente de O, se dividen los valores absolutos de ambos números. Luego, se escribe el cociente anteponiéndole el signo que corresponda según la ley de signos.
i_/ .
Orden en los números enteros
•I
·. ·.· ·"
'\ ,,.
Al comparar dos números enteros a y b solamente se puede presentar una de estas rela, \ ciones. <.· Que a sea mayor que b. En este caso a se ~,,' ubica a la derecha deben la recta numérica. • Que a sea menor que b. En este caso a se ubica a la izquierda deben la recta numérica. Que a sea igual a b. En este caso a y b representan el mismo punto en la recta. "
. :· ~- .
(
!/
!'.
.1.\
La potenciación permite simplificar la multiplicación de varios factores iguales. En ella se presentan los siguientes elementos:
an
Para sumar dos números enteros se presentan los siguientes casos: • Cuando los dos números enteros tienen igual signo se suman sus valores absolutos y se escribe la suma anteponiéndole el signo común de los sumandos. Cuando los dos números enteros tienen diferente signo se restan sus valores absolutos como números naturales y se escribe la diferencia anteponiéndole el signo del número cuyo valor absoluto es mayor. \,·· .. ,_,. Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo.
Una ecuación es una igualdad en la cual se desconocen uno o más números conocidos como incógnitas. Para resolver una ecuación se utiliza la propiedad uniforme: si a, b, e E '1L y a = b se cumple que:
-..·. ·.
1
© Santill ana
;f
La radicación es una relación inversa a la potenciación, ya que dados el exponente y la potencia permite encontrar la base. En esta se encuentran los siguientes elementos: !efb =a
I ~
44
=b
/
a+c=b+c aXc=bXc a-c=b-c a + e = b + e, donde e =/= O. ,
..
.,1
'., ·
-
. ·-·,-j'. 1 ·,,·
·.
.'
;
·'
Y esto que aprendí,
¿PARA QUE- ME SIRVE? Para construir líneas de tiempo.
''
Los números enteros en las líneas de tiempo En el estudio de la historia se abarca todo lo que ha sucedido desde la aparición de la humanidad hasta la actualidad. Para poder comprender el conocimiento histórico, los historiadores han establecido divisiones temporales que conocemos como eras, períodos y épocas; aún así, para la mente humana es difícil imaginar la temporalidad ya que implica un alto grado de abstracción. Una forma sencilla y clara de entender el tiempo histórico es por medio de organizadores gráficos como las líneas de tiempo. Estas permiten ordenar una secuencia de eventos sobre un tema y observar con claridad la relación temporal entre ellos; visualizar la duración de los procesos y la conexión entre sucesos que se desarrollaron en un tiempo histórico determinado, también es posible reconocer la distancia que separa una época de otra.
Para elaborar una línea de tiempo acerca de un tema, es necesario identificar los eventos y las fechas en qúe ocurrieron, luego ordenar los eventos en forma cronológica; después seleccionar los hitos más relevantes del tema para establecer los intervalos de tiempo adecuados y así establecer gráficamente las diferencias temporales utilizando un color para cada época; finalmente, determinar la escala de medición para organizar los eventos en el diagrama.
Hay distintos tipos de línea de tiempo, por ejemplo, hay líneas de tiempo de un año, una vida, una época, un período de pocos años o de miles de años, las hay también temáticas, por ejemplo de historia política, cultural, artística, etc.
En algunas líneas de tiempo aparecen números negativos como - 500, que representa el año 500 a.c. Para la siguiente línea de tiempo se toma como O, el año de nacimiento de Cristo. En ella se muestra desde la era neolítica hasta la actualidad.
:1
{!) Explica qué es
una línea de tiempo y para qué
sirve. @ En la línea de tiempo, ¿qué representa el número entero -10.000? @ ¿Cuántos años transcurrieron desde el Imperio macedónico hasta la conquista de América?
a
@ ¿Cuál imperio predominaba en el año -3000?
Plantea y actúa
1
1
@ Elabora una línea de tiempo sobre los sucesos más importantes de tu propia vida. Toma como referencia Oel día que cumpliste 6 años.
© Santillana
l4
,,
Números racionales Temas de la unidad Los números racionales Operaciones en Q Polinomios aritméticos con racionales
!'!! Ecuaciones en los números racionales
a. ¿Qué fracción del pan representa una tajada delgada?
b. ¿A qué fracción del tangrama corresponde la ficha F?, ¿y la ficha D?
c. Uno de los objetos de la balanza pesa ; kg y el otro pesa í_ kg, ¿cuál es el peso de cada objeto? 10
La senda de los recuerdos Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras líneas decían:
, La sa la del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos de Silvestre IL El otrora poderoso pontífice romano había perdido todo su poder político aunque a los ojos de cualquiera su presencia aún imponía un respeto casi místico,
Día y noche son las dos partes en que se divide el día, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el día se han consumido 3 velas y 6 durante la noche,,,
Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre, Recordaba fe liz su estancia en el monasterio cata lán de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que ven ía del sur.
De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su próxima audiencia.
A su memoria volvían algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo construyó con los números arábigos escritos en sus fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto de aquella máquina que fraccionaría el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia ,, ,
--~-~~--
Tomado de Matemáticas 3 ESO. España, Editorial Santillana.
• ¿Qué significa maitines, laudes, prima ytercia? • ¿Qué fracción del día le asignarías al día yala noche, según la explicación de la máquina que medía el tiempo?
\
© Santill ana -
-
l47
Los números racionales El concepto de número racional surge a partir de la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como por ejemplo, cuando nos referimos a un cuarto de hora, a la mitad de una pizza o las tres cuartas partes de una naranja. Así, los números racionales suelen ser empleados al establecer ganancias y pérdidas de un negocio, el tiempo empleado por un móvil al recorrer cierta distancia o al representar en una encuesta los porcentajes de una población.
Definición del conjunto de los números raciona les En el conjunto de los números enteros, "ll., operaciones tales como 8 + ( - 5) no tienen solución, ya que, la división entre números enteros tiene como condición que el cociente debe ser un número entero, es decir, que la división sea exacta. Por tal razón, se hace necesario ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de números racionales. El conj unto de los números racionales se simboliza Q y se define como el conjunto de cocientes entre dos números enteros, es decir, ·
Q = { ~ /a, b E Z, b
=/=
Oy mcd(a,b) = 1}
En todo número racional es posible determinar el signo a partir de los signos del numerador, a, y del denominador, b. Si el numerador y el denominador tienen el mismo signo, el número racional es positivo, pero, si el numerador y el denominador tienen signos distintos, el número es negativo. Por ejemplo,_§__ ' -12 son números 5 -16 racionales positivos y _lL, - 99 son números racionales negativos. -13 4
Fracciones equivalentes Los números racionales, en algunos casos, pueden representar una misma cantidad. Por ejemplo, al representar los números _l_ y _§__ en una unidad se puede observar 4
_l_
4
6 8
8
que indican la misma región coloreada. Cuando dos fraccion~s representan la misma cantidad pero se escriben de forma · diferente se dice que las fracciones son equivalentes. Dos fracciones se llaman fracciones equivalentes cuando representan la misma cantidad, es decir,
g=
~ . Si
g=
~ , entonces, a X d = b X e donde a, b, e, d E Z ·
con b =!= Oy d =/= O.
: e orno 1as fracc10nes 43
y 3 4
· 48
\¡
1
© Sa ntillana
86
. 1entes, po d emos escn'b'ir : son eqmva _§__ ya que 3 X 8 8
= 24 = 4 X
6
Simplificación de fracciones Simplificar una fracción racional cons iste en encont rar otras fracc iones equiva lentes a la fracción dad a, pero que tengan los t érminos menores. ~
Á
fara simplificar una fracción se dividen tanto el numerador como el denominador ~ntre el mismo número, de esta manera, se obtiene una fracción equivalente. La simplificación termina cuando se obtiene una fracción que tiene los términos prim()S ~ntre sí, y se llama fracción irreducible.
~
Una fracc ión es irreducible cuand o no hay fa cto re s com un es al numerador y al denominador, es decir, cuando el máxi mo com ún divisor (mcd) del numerador y del denominador es 1.
Se conoce como máximo común divisor de dos o más núm eros, al mayor de los divisores comunes de dichos números.
Á
La obtención de una fracción irreducible se puede realizar de dos formas : • Al dividir cada término de la fracción entre divisiones comunes. Por ejemplo, 30 = 30 ...;- 2 = 12_ = 15 ...;- 3 = 2 , luego, 30 = 2 36 36 . .,. . 2 18 18 ...;- 3 6 36 6 • Al dividir cada término de la fracción entre su mcd. Por ejemplo, el máximo común divisor entre 30 y 36 es 6, por tanto, 30 = 30 7 6 = 2 36 36 ...;- 6 6
Complificación de fracciones Complificar una fracc ión rac ional es encontrar otras fraccio nes equ ivalentes con té rm inos mayo res a la fracción dada. ~
Á
Para complificar una fracción se multiplica tanto el numerador como el 4enominador por el mismo número. Así, se obtiene una fracción equivalente. Por ejemplo,_ -3 _ (-3) X 2 _
4-
4 X 2
-
6 .
-S,
-3 4
=
(-3) X 5 4 X5
= _J.i. 20
Por medio de los procesos de simplificación y complificación, se pueden determinar conjuntos de fracciones equivalentes. Por ejemplo, ·{ _l_ _1___ _Q_ _§__ 1Q_
7 ) 14 ) 21 ) 28 ) 35 , ...
¡I
} 1
Se observa que el conjunto está formado por la fracción _l_ , que es una fracción irre- . 7
{-ª-,b ªb X 22 , ªb X 33 ,.J1es un conjunto de fracciones equivalentes,
-ª- con b i= b
X
X
O, se denomina racional representante.
.
El conju nto fo rmado por todos los representantes de los conj unt os de las fracciones equ iva lentes es el conj unt o de los números raciona les.
· © Sa ntill ana
J
49
Clasificación de racionales Ley de signos es:
Racional positivo. Un número racional es positivo cuando el p; oducto de los signos
(+)(+) = + (-)(-) =
76
del numerador y del denominador es positivo. Por ejemplo, -9 ( +) X ( +) = (+ ); _ 1 E Q+ ya que ( - ) X ( - ) = (+ ). 6
+
(-)(+) = -
{+){-) = -
E Q+ ya que
Racional negativo. Un número racional es negativo cuando el producto de los signos del numerador y del denominador es negativo. Por ejemplo, ' 7 ( - ) X ( +) = (- ); _ E Q- ya que ( +) X ( - ) = (- ). 4
~3
E
o- ya que
Racional nulo. Un número racional es nulo cuando el numerador es cero y el denominador es cualquier número entero diferente de cero. Por ejemplo, los números
-º-, __Q_ son nulos. 21
racionales, _Q_' 8 -25
Racional entero. Un número racional es entero cuando su denominador es uno. Por ejemplo,-º-, - 13 , 2 son racionales enteros y se escriben así, 6, -13, -20, 1 1 -1 respectivamente.
º
Números mixtos Existen números racionales en los que el numerador es mayor que el denominador, sin ser el denominador un múltiplo del numerador.
il
Por ejemplo, la fracción
1¡
~
se representa de la siguiente manera:
corresponde a 1 unidad completa y
de otra.
4 - 4 . s·ien do 143
Luego, 7 - 1 + 3 - 1 3
4 -
!
1-!-[0 []]]
, . un numero mixto.
Un número mixto es el racional que se expresa como la suma de un número entero y un :¡·, .·1
número racional. Simbólicamente, se expresa así
.
1
11
a + _Q_ = a_Q_, con e* O. e e
=
(D Escri~ir en forma de número mixto el número
@ Expresar como un ~úmero racional el número
racional -2._ • 4 Para convertir un racional en mixto, se divide el numerador entre el denominador. El cociente es la parte entera del número mixto, el residuo es el numerador de la fracción y el denominador es el mismo. Por tanto,
mixto sl. 3 Para convertir un mixto en racional, se multiplica la parte entera por el denominador de la fracción y, a este producto, se le suma el numei;ador. El resultado anterior es el numerador de la fracción. El denominador es el mismo. Por tanto,
9
L±_
1
2
9 1 Entonces, 4 = 2 -¡- .
5 O 1 © Santillana
5 i_ = (5 X 3)
3
+1
3 15 + 1 = _lQ_ 3 3
Estándar: pensamiento numérico y pensamien to variacional
e
O ¿Qué representa el símbolo Q?
e e
e
La palabra racional se deriva de la palabra "ración''. Explica la relación entre las dos palabras.
Determina el racional representante de cada conjunto de fracciones.
R}
24 -1ª-- _u_ J_Q_ { 72 ' 144 ' 33 ' 30 ' 36
ª·
Escribe la fracción que representa la parte sombreada de cada figura.
-88 -56 -400 -40 -12 } b. { 66' 42' 300' 30' -9-
·~
c. { 900' 288
150
48
5
100 12 } 600' 72
'30'
O Indica qué fracciones son equivalentes. ª·
Observa el diagrama de Venn. Luego, utilízalo para determinar si las afirmaciones son yerdaderas o falsas.
2. y
34 y 102 c. 27 81
.12_
8
24
47
_21_ y 630 5 50
b.
d.
91 y
517 1.001
CD) Determlna el racional que no pertenece . a cada ·
conjunto.
b.
a.
7 12
e
a. Los números enteros son un subconjunto de los números naturales. b. Todo número natural es uri. número racional. c. Todo número racional es un número entero.
Q
60 25
_21_ _lQ__ 36 120
11-
42
6
72
35 60
R 5
16
3
4
b. .
c.
_l_
4
d.
-24 64
b.
57 12
c.
220 990
d.
125 620
c.
140 380
d.
2i_
D
=
D 76
= -1.ª49
1
mismo peso.
--º-- libra
~libra
_i_ libra
2- libra
-9
nal.
120 50
(9 Relaciona las etiquetas que hacen referencia ~l
14
O Encuentra la fracción irreductible de cada racioª·
2
8
7
36 15
1
cada racional dado.
a.
30
l!I Soluciona problemas)
O Escribe un conjunto de fracciones equivalentes a _5
72
10
Escribe el número entero que verifica cada equivalencia.
Escribe cada número racional teniendo en cuenta la condición dada. a. El denominador es el doble del numerador y el numerador es la unidad. b. El denominador es el triple del numerador aumentado en 1 y el numerador es el menor número primo. · c. El numerador es el opuesto a 8 y el denominador es el mayor número dígito.
72
8
e
_l_ libra
8
4
2 1
l libra
En un supermercado venden café por octavos de 1 kg. Si Luisa compró : de café, ¿cuántos kg de café compró? © Santillana
1
51
Números mixtos
(@l Ejercita: 14- 15- f6 I (jl Razona : 17
O Clasifica los siguientes números en positivos, negativos, nulos o enteros. a. b. c.
5 9 -4 1
o 10
_o_
d.
-3 7
g.
e.
-8 -7
h. -12 17
f.
10
i.
-3
-5
_u_
l.
l!I Soluciona problemas) ~ Si un tercio de los estudiantes de séptimo juega fútbol y en total hay 75 estudiantes en séptimo, ¿cuántos estudiantes juegan fútbol?
~ En una población, 4 de cada 7 habitantes son mu-
1
(9 Expresa cada fracción como un número mixto. a.
9 2
c.
15 6
e.
21 5
b.
7 3
d.
18 7
f.
19
e
11
jeres. ¿Cuántas mujeres hay si la población es de 14.000 habitantes? Un brazo robótica fue diseñado para hacer giros positivos ( +), si gira en el sentido contrario. a las manecillas del reloj y giros negativos ( - ), si gira en el mismo sentido de las manecillas. Por ejemplo: ·
(?¡) Relaciona cada número de arriba con su racional
_¡ gir~,,(
equivalente. a. 3-1.. 2 l.
24 7
b. -2_±_ 7 2.
_ _]&_
7
32
c. -l_l_ 7
d.
3. 7 2
4. _-2._ 7
0
7
~r~
\~~~==- · ~ •
Cf) Escribe el número racional correspondiente a cada
Dibuja la posición final del brazo robótica después del giro. c.
a.
dato. a.
El Phobaeticos chani es un insecto pa. lo que ha llegado a medir 56_§_ cm 10 de punta a punta.
b. b.
f:~
/~~
-
La mangosta de Kimberley es el mar-
d.
~ giro
lgiro 2
supial más pequeño. Mide 5_1__ cm . 10
c.
El Paedocypris progenetica es el pez más pequeño. Vive en los lagos ácidos de Sumatra y mide 7_!}___ mm. 10
d.
El Phocoena sinus o la "vaquita" es el cetáceo más pequeño. Es una especie en vía de extinción y mide 1_1_ m. 2
e
Un CD (disco compacto) puede ser usado para almacenar cualquier tipo de información: música, fotos, videos, documentos, entre otros. Ac-tualmente, un CD de música .m ide
12 lO
dm.
¿Es posible guardarlo en una carátula cuadrada de 1 dm de lado? ¿Por qué?
~==-=-=-=-==-=--======================-==-=-==-=-===-=-~~---;========-o===========-=-=-=-======~
5 C 1 © Santillana
-~
\
. Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
~
/'-,y
~I
(. N..
....._:,..
j '~
d.....~
Representación decimal de un número racional 7 17 200 9 f . d . w' 100 , 1:000 , 10.000 , son racc10nes cuyo enom1-
. . 1 Las f racc10nes raoona es
nador es una potencia de 10. Estas fracciones se denominan decimales y se leen así: 17 : d'iec1s1ete . . centes1mos ' . 100
7 : siete . d'ec1mos . lO 200 1.000 . doscientos milésimos
9 - - - : nueve diezmilésimos 10.000
~ .: G'iovanni Antonio Magini \
•
Cuando las fracciones no tienen como denominador una potencia de 1O, pero son potencias de 2, potencias de 5 o productos de una potencia de 2 por una potencia de 5, se pueden expresar como una fracción equivalente, en donde, el denominador sea una potencia de 10. Para ello, se complifica la fracción, por el factor que convenga, de modo que el denominador se transforme en una potencia de 10, así, _ -125 5 _ . 5 X 25 -; 4 4 X 25 100
-11 = (-11) X 4 = -44 250 X 4 250 1.000
--
•
Toda fracción decimal se puede representar como un número decimal, el cual se encuentra formado de una parte entera, escrita antes de la coma, y una parte decimal, escrita después de la coma.
•
Para expresar una fracción decimal como un número decimal, se escribe el numerador de la fracción y en él se separan con una coma, de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador de la fracción. Si las cifras del numerador no alcanzan, se agregan a su izquierda, tantos ceros como sean necesarios. Por ejemplo:
2.648 100
= 26
,
48
__lL 1.000
¡
r
. 1( , 1555-1617 Matemático, astrónomo, astrólogo y cartógrafo italiano. Trabajó como matemático en la Universidad de Bolonia después de ser elegido por Galileo. Fue el primer matemático en usar la coma para separar la parte entera de la parte decimal. .,.·~·~
~
;
=o , 016
En los números decimales se tiene en cuenta el valor de posición de las cifras, al igual que en los números naturales. Por tal razón, se pueden ubicar en la tabla de posición, así: 1 ·
Unidadesjl Coma U
2
Décimas d
Centésimas e
6
4
8
o
o
x Ejemplos {D Transformar, si es posible, la fracción
:
a frac-
ción decimal.
_2_ = 9 X 125 = 1.125 8 8 X 125 1.000 Se multiplican tanto el numerador como el denominador por 125.
Luego _2_ = 1.1 25 . , 8 1.000 .
6
@ Expresar en forma decimal la fracción ~~~~ -192 1.000
.
=-o 192 ,
Se escribe el numerador -192 y como el denominador tiene tres ceros, se separan tres cifras.
Luego _---121_ = -O 192. , 1.000 , © Santillana
J
53
Clasificación de los números racionales decimales Un número racional decimal se clasifica en: decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto.
Decimal exacto El número decimal exacto es aquel que tiene parte decimal finita. Se obtiene a partir de fracciones decimales o de fracciones equivalentes a una fracción decimal. Por ejemplo, 1,24; 0,1; 18,05 y 125,l son números decimales exactos. Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi 1380-1429 Matemático y astrónomo persa. Logró calcular 16 decimales para el número pi ('IT), cifra que hasta ese momento no había sidocalculada. Contribuyóen el desarróllo delas fracciones decimales proporcionando un algoritmo para el cálculode lasraíces enésimas.
Decimal periódico Todo número racional que no es equivalente a una fracción decimal se puede expresar como un número decimal al dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo,
~
no es equivalente a una fracción decimal. Para expresar la fracción
como un número decimal se realiza la división de 4 entre 33, así: 33
4
o
40 70
33 0,1
33 40 0,1212 70 40 70 4
'· ~
Se puede observar que en el residuo de la división se repiten dos números, el 7 y el 4, y que en el cociente hay un grupo de cifras que se repiten, 12. En este caso, el número decimal se qenomina periódico, ya que tiene infinitas cifras decimales que.se repiten.
J
Por tanto, 0,1212 ... es un número decimal periódico, en el cual el número 12, que es el grupo de cifras decimales que se repiten, se llama período.
111 11
Un número decimal periódico puede ser: periódico puro o periódico mixto.
1
ll I·
Decimal periódico puro. Es un decimal inexacto cuya parte decimal es infinita y tiene un número o grupo de números que se repiten indefinidamente a partir de las décimas. Por ejemplo, 0,1212 .. . o 0,333 .. ., son decimales periódicos puros, cuyos períodos son 12 y 3, respectivamente. Estos decimales periódicos puros ,.-....
~
también se pueden representar como: 0,12 o 0,3, donde el arco indica el dígito o conjunto de dígitos que se repiten indefinidamente. Decimal periódico mixto. Es un decimal inexacto cuya parte decimal es infinita y tiene un período que no comienza en las décimas. Por ejemplo, 0,59191... es un decimal periódico mixto, cuyo período, 91, no empieza a partir de las décimas. ,.-.... Por tanto, 0,59191 se representa así 0,591. Existen otros números decimales infinitos, sin embargo, no son racionales, por ejemplo '1T = 3,1415 .. ., J2 = 1,4142 .. ., entre otros. Toda fracción se puedeescribir en forma decimal.
54
j © Santillan~
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variaciona!
Conversión de decimal a racional Un número decimal está formado por una parte entera y una parte decimal. La parte entera corresponde a las cifras ubicadas antes de la coma y la parte decimal, a las cifras escritas después de la coma. Así, para expresar un número decimal exacto como un número racional, se escribe como numerador el mismo número decimal pero sin coma; y como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. De ser posible, la respuesta se debe simplificar para obtener así el racional representante. Por ejemplo,
o,15 =
_12_ = - 3-
100
32 4 = 324 = 162 ' 10 5
20
45 708 = 45.708 = 11.427 1.000 250 '
' '
Para encontrar el número racional de un número decimal periódico puro, en el cual la parte entera es cero, se escribe como numerador el período y como denominador, tantos nueves como cifras tiene el período. Por ejemplo:
o,54 =
o3=2 ' 9
54 99
o,42857i =
428.571 999.999
Cuando la parte entera del número decimal no es cero, se escribe el número como la suma de la parte entera más la parte decimal. En la parte decimal, cero es la parte entera y las cifras decimales se conservan. Luego, se determina el decimal como un número mixto y por último, el número mixto se expresa como una fracción. Por ejemplo, 4 = 4 +o = 4 43 = 439 99 99 ' '
43
43
:-: Ejemplos
(D Hallar la fracción decimal correspondiente a cada número decimal. Luego, encontrar el racional representante. a. 1,8
Se escribe como numerador 18 y como denominador 10, ya que 1,8 solo tiene una cifra decimal. Luego, se simplifica. 18=_1§_=_2_ ' 10 5
@ Determinar la fracción correspondiente a cada decimal e indicar qué clase de decimal es. a. 0,6 Se escribe como numerador 6 y como denominador 9, pues el período tiene una cifra decimal. 06=-º-
'
9
Por tanto, 0,6 es un decimal periódico puro. ,......,
b. 10,65
b. 0,81
Se escribe como numerador 1.065 y como denominador 100, ya que 10,65 tiene dos cifras decimales. Luego, se simplifica.
Se escribe como numerador 81 y como denominador 99. o 8i = 818 ' ' 99 '
10,65 = 1.065 = 213 100 20
,,.....
Por tanto, 0,81 es un decimal periódico puro.
é. -0,25
c. 0,325
Se escribe como numerador -25 y como deno minador 1.000, ya que -0,025 tiene tres cifras decimales. Luego, se simplifica.
Se escribe como numerador 325 y como denominador 1.000.
-o ' 025
=
--1.L
l.000 '
o' 325 =
__lQ__
1.000
Por tanto, es un número decimal exacto. © Santillana 1
55
Conversión de decimal a racional
O Encuentra una fracción equivalente a cada frac-
e
ción dada. 17 50
a.
3 250
c.
b. _n_ 125
7 8
e.
d. 29 4
9 g.16
57 25
f.
h. 327 2
Expresa como números decimales los siguientes números racionales.
e
b. -=12._ 5 10
d.
d. 4.276
b. c.
0
g.
10
10
759 100
e.
25 100
f.
1,295 1,000
h.
145 1.000
i.
9
JI
Clasificación
6 24 125
-
Expresa como un número decimal cada fracción decimal. a. - 38
d. _i_
12._
-
3
48 10.000
Número decimal
Númer9 racional
c. _]__ = ___flQ_ 1.000
125 = 100 4
c. -~ 15
6
@ Completa la siguiente tabla.
Determina el valor que debe haber en cada cuadro para que se ·cumpla la equivalencia. a.
b. _ _lZ._
a. lQ_ 3
_j_ 11
\..
147 100
Escribe cada número decimal como una fracción.
a. 1,4 b. 2,5
25 10
---1.L 1.000
f) Explica
c.
0,16
d. -37,6
e. 1,125
f. 4,92
por qué se cumple la equivalencia
0,1 = 0,10 = 0,100 = .. .
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones. .
CI!) Escribe cinco
ejemplos en los cuales se pueda verificar que: toda fracción cuyo denominador al descomponerse en factores primos contiene solo los factores 2 o 5, es un decimal exacto.
15
a. La forma decimal de - - es 1,5. 100
b. La fracción _]__ se representa como 0,31. 10
c. 2,35 es la representación decimal de 235 .
C!I Soluciona problemas)
d. _ ___1R_ = -0,431
CD David debe partir un palo de balso de 20 cm en 3
100
1.000
1· I·.
.e
Escribe el número decimal que corresponda a la fracción dada.
,, 1
e
Número decimal
Unidad
Fracción decimal
decisegundo
1 lüs
s
centisegundo
1 100
s
milisegundo
1 .1.000
microsegundo
1 1.000.000
,_
.1
s
partes iguales. Para esto planteó la fracción 20 . 3 ¿Qué puede hacer David para partir el palo? El dueño del su"permercado desea verificar en su balanza digital si los pesos de los productos son correctos.
s
s s
s
¿Cuáles productos tienen el peso que indica su etiqueta? ·~:=::================================================================================'9" nanosegundo
'-
56
j © Sa ntill ana
1 1.000.000.000
s
s /
•
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variaciona!
Representación de los raciona les en la recta numérica Para representar un número racional en la recta numérica se realiza el siguiente procedimiento:
Las divisiones de la recta numérica deben ser de la misma medida.
Primero, se localizan los números enteros sobre la recta numérica. Segundo, se determina el par de números enteros entre los cuales se encuentra el número racional. Si en la fracción, el numerador es mayor que el denominador se expresa el número racional como un número mixto. Tercero, se divide cada segmento unidad en tantas partes como indique el denominador. Finalmente, se cuenta a partir del cero, el número de partes que indique el numerador. Si el número es positivo se cuenta hacia la derecha, pero si el número es negativo, se cuenta hacia la izquierda.
:-: Ejemplos Representar en la recta numérica los siguientes números racionales.
a.
2-
8 Para representar en la recta numérica
2 , primero, 8
ros entre los cuales está la fracción. Como
se determina el par de núme-
2
está entre O y 1, se divide la unidad 8 en ocho partes y se cuenta a partir del cero cinco partes.
o
-1
5 8
b.
7 2
Para representar en la recta numérica _.1__, primero, se determina el par de nú2 meros entre los cuales está la fracción. Como _.1__ está entre - 3 y -4, se divide la 2 unidad en dos partes y ~e cuenta a partir de - 3 una parte .
. -~ -~ r-~
-~
- 2
1
o
3
2
4
)>-
5
7
2
c.
2---ª4
Para representar en la recta numérica
22-, primero, se determina el par de núme-. 4
ros entre los cuales está la fracción. Como
.
' .
22- está entre 2 y 3, se divide la unidad 4 .
.
en cuatro partes y se cuenta a partir de 2 tres partes. -<
1
- 1
1
1
1
1
o
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
r
1
)>-
3
. 3
24
© Sa ntillana
l 57
Representación de los racionales en forma decimal en la recta numérica Para representar un número decimal en la recta numérica s.e deben tener en cuenta los siguientes pasos: • • •
Primero, se localizan los números enteros sobre la recta numérica. Luego, se ubica el valor correspondiente va la parte entera del número decimal. Por último, se ubica la parte decimal, teniendo en cuenta que el segmento comprendido entre cada par de números enteros se divide entre 10, 100, 1.000 partes iguales. Esta división se hace de manera aproximada .
. :-: Ejemplo Representar 2,3 sobre la recta numérica. Para representar en la recta numérica 2,3, primero, se determina el par de números entre los cuales está el decimal. Como 2,3 está entre 2 y 3, se divide la unidad en diez partes y se cuenta a partir de 2 tres partes. ~~~~1~1~1~1~11~1~1n1~1~1~ 11~1~1~11~1+-,--,11~1~1~11~1~ 1 ~ 1 ~1~1~1~1~1~11~1-+---~
-1
o
2
2,3
3
~Ejercita: 1-31
O Representa en la recta numérica cada número · racional.
e '¡
i'
c. _ _±_
a. _ _L 3 b. _l_ 5
e.
5
~~-+1~1~1~1~1~1~,~¡~,~,~1~,~1~1~,~,~,~,~,~1~,~1~¡~,~,~1~~
-2
8 10
Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. Justifica tu respuesta. a. El número
Indica el número racional que representa cada · letra. a.
2-
f. _--2.._
d. ]_ 9
e
2- se representa en la recta numé-
4 rica entre 1 y 2.
b. El número mixto 3-1_ se ubica en la recta entre 7 8 y9. c. Er'racional _ _u_ se ubica en la recta entre :_ 3 y-4. 3
{fl Razona: 2 I
b.
A
o
1
2
B
3
~~-+1~¡0--~,~~~1~~~-+r~,~-,--~1~~
-2
c.
-1
C
-1
o
D
2
3
~~-+~11~11~1~ 11 ~1~11~ 11 ~11~ 1~1~11~11~11~11~ 11 ~ 11 ~11~11~11~11h1~11~,~,-rt--~
o
1
E
2
3
4
F
5
Q!I Soluciona problemas) O Para poder comparar los datos de las pesas de un laboratorio, se requiere ubicarlos en una recta numérica.
d. En la recta, el racional _ _u_ se ubica a la de. 5 recha de -2.. e. En la recta, el racional
R
4
coincide con el 3.
f. El racional - 28 coincide en la recta con el 4.
-6
58
j © Santíllana
a. Representa los.datos en una sola recta numérica. b. Ordénalas de menor a mayor peso según la ubicación en la recta númerica. '
( -,
--.i-------~=-----------------------------------........... -----------------------------Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
Ubicación de puntos en el plano cartesiano: coordenadas con números racionales
El plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes.
En la unidad anterior se definió el plano cartesiano o sistema de coordenadas, como el plano que está formado por la intersección de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en cero. En el plano se distinguen los siguientes elementos: • La recta numérica horizontal denominada eje x y la recta vertical llamada eje y. • El punto de intersección entre los ejes, llamado origen. • Las regiones generadas porlos dos ejes que dividen al plano. Estas cuatro regiones denominadas cuadrantes, se representan por los números I, II, llI, IV. • Dos coordenadas: la coordenada a, denominada abscisa, localizada sobre el eje x y la coordenada b, denominada ordenada, ubicada sobre el eje y. Para representar una pareja de números racionales(--ª--, ....f....)· en el plano cartesiano se realiza el siguiente procedimiento: b d . • Primero, se localizan los números enteros sobre cada eje del plano cartesiano. • Segundo, se determina, sobre el eje x, el par de números enteros entre los cuales se encuentra la coordenada
--ª-b
y se ubica. De igual manera, se procede a ubicar
.
sobre el eje y la coordenada ....f.... .
d
Si en la fracción el numerador es mayor que el denominador, se expresa el número racional como un número mixto y se determina entre qué números enteros se encuentra. • Tercero, por el número
--ª-b
se traza una recta vertical y p.or el número ....f.... una recta
d
horizontal. El punto de corte entre las rectas trazadas indica la pareja ordenada dada. Todo punto se nombra con una letra mayúscula, por ejemplo, P(
~ , ~ ) , que indica
~l punto P de coordenadas ( ~ , ~ ) . El signo de cada coordenada, en una pareja ordenada, depende del cuadrante en el que esté ubicado el punto correspondiente.
:-e Ejemplo Representar en el plano cartesiano la pareja ordenada
A(!' ~).
1--~ -- y- ~l- - -----t--t--t---!-t---· -- -2- -- --- -- ----~- --~ --
Para ubicar esta pareja ordenada en el plano cartesiano se realizan los siguientes pasos:
i
t=---c--- -
1----
Primero, se escriben los números enteros en cada eje. Luego, se ubica sobre el eje x la coordenada .l y sobre el
.
.
t--- - -
3
eje y la coordenada _l_ . 3 Finalmente, se trazan las rectas respectivas y se dibuja el punto de corte entre las rectas trazadas.
-
-r--l-f--f--1-f--<-
-1
i
X
-1-.¡ © Santil lana J.
59
T Ubicación de puntos en el plano cartesiano: coordenadas con números racionales decimales Con la misma idea con la cual se representan las parejas ord.enadas de números racionales en el plano cartesiano, se representan las parejas ordenadas de números decimales. Para representar una pareja de números decimales en el plano cartesiano, se realizan los siguientes pasos: • Primero, se determina el par de números enteros entre los cuales se encuentra la parte entera del número decimal. • Segundo, se divide la unidad en la cual se encuentra ubicado el número en 10, 100, 1.000 partes iguales, para ubicar la parte decimal del número. • Luego, se localiza sobre el eje x el primer número decimal de la pareja ordenada y sobre el eje y el segundo número decimal de la pareja. • Por último, por el número decimal ubicado sobre el eje x se traza una recta vertical y, por el decimal localizado sobre el eje y una recta horizontal. La intersección de las rectas corresponde al punto donde está ubicada la pareja ordenada dada.
x Ejemplos Representar en el plano cartesiano las siguientes parejas ordenadas. Luego, determinar en qué cuadrante se ubica el punto. a. M(l,5; 2,7)
Para ubicar esta pareja ordenada en el plano cartesiano se realiza lo siguiente: Primero, se escriben los números enteros en cada eje. Luego, como la pareja es de números decimales, se divide en 1Opartes iguales la unidad donde se encuentra la parte entera de cada número.
b.
Q( -2,5; -
~)
Para ubicar esta pareja ordenada en el plano cartesiano se realiza lo siguiente: Primero, se escribe la fracción como número mixto: ( -2 ' 5·'
-l) = (-2 5· -1 -1..). 2 ' ' 2
Segundo, se dibujan los ejes y se escriben los números enteros en cada eje.
Después, se ubican los números sobre los ejes y se trazan las rectas respectivas.
Tercero, se ubica el valor - 2,5 sobre el eje xy -1 -1.. sobre 2 el eje y .
Finalmente, se dibuja el punto de corte entre las rectas trazadas.
Luego, se trazan las rectas respectivas y se dibuja el punto de corte.
f - - --- - - - ---- - - - - --
f---l----+--+--- -
- - ----
-y------
--+--
3 ->--------
~-- -+--+---+--
3
l--t----t--+-+---1--1--+--+---J,-~-1El punto M está ubicado en el cuadrante I.
6 O j © Sa nt ill ana
El punto Q está ubicado en el cuadrante 11.
r Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variaciona/
f'Ji El plano cartesiano debe su nombre al matemático René Descartes. Consulta su biografía e indica el porqué del nombre.
e
e
~, ~).
1-21 ~Ejercita: 3 1
Ubica los puntos en el plano cartesiano. a. b. c. d.
Escribe el procedimiento para representar en el plano cartesiano la pareja ordenada (
e
Recupera información:
M(l,3; 8,2) N(2,5; - 5,6) P(-3,2;-l,l) Q(O; 2,8)
e. R(l ; 6,25) f. S( -4,2; 2,4) g. T(9,2;6,5) h. 0(-2,3; -5,3)
O Determina una pareja ordenada A y B con coor-
Indica las coordenadas racionales representadas en cada plano.
denadas racionales, que cumpla las condiciones dadas.
a.
a. A y B tienen la misma abscisa pero diferente coordenada. b. A y B tienen la misma ordenada y sus abscisas son opuestas. c. A tiene abscisa y ordenada negativas y B, tiene la misma ordenada que A y diferente abscisa.
1---1-1--t-+-f---j-)' f--f--1-1--t-+--+-l----i f-------- 1--- - - e-
-r----
-- ~- - - - - - -
---
-r--
-- , +--- -:
---+---+---+--+--+--
:
-
1
-1-
·- -
1 --
2:
S
Escribe las coordenadas decimales de los sitios donde el ~omegalletas debe recoger galletas.
1- -------
-- B- - - : - -· - - - - - - - - b - - - - r - - - - -
'-----'----
--- - - __ .__
b.
-1--------
f-
---<--+--1
)'---l--+--+-1--1---+---I
--~~-~-~-~
\/
~- - - - -- ---- ~--
1
.1
X
- - - - - - - - _- J_."" ' L'- 1 - - + - - l
1---1---1--tf--i--l--l--.l>--+-·-- -
-
-
--f----1---- - - -
l-f--if--if--o-l-~--t-+--l-+-+--1-,
•-1--1-+-+ i
-~
---
[__
L '
- ---- __"..(!_,_ -- -- ----
~+--+--~---+---1--1--1--+
i-...--+----l-~-1----1-----l
C5
t--l-
1---l-t--t---t+ l -+-~-l---j---jf---j----i----i-
.1
~;---¡--¡--~·-~-1---1-~
iu,_ -- - - -------
1
¡1
---+++++++++++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-~-*1 - ~ - 1 --~f----- ---+--~---4--+----+---+----<
-+-- -
1------- -
2
1
l---lf--1--t-l--+-4'-l -
f-- -1-----
--f-------~
- - - i--------
·- l ·-+1 -+--t---+---+---1---f-----i
- - ~1 2-- -- -----~-f----
----
---f-----, 1¡- - - ' - - - - l - - - + - + -
Ubica en un plano cartesiano las coordenadas de cada triángulo. Luego, clasifica los triángulos de acuerdo con las medidas de sus ángulos en acutángulo, obtusángulo o rectángulo. a.
b.
d.
P( ; , ; ), o( ; , ~ }R(
i: ,;)
r( - ! ,o} u( ~ ,o} v( ! , ~ ) A(-22' -2) B(.1_4' -2) c(24' 2) 2) 2) 4·
l !I
e
Soluciona problemas )
Unos estudiantes de física o hicieron un experimento sobre el movimiento del péndulo. Para esto, cambiaron varias veces la lon. gitud (l) de la cuerda del péndulo y midieron el tiempo (T) que duraba el péndulo en hacer una oscilación en cada caso. Del experimento obtuvieron los siguientes datos. Longitud (m)
0,3
0,5
0,7
0,9
Tiem o (s)
1, 1
1,4
1,7
1,9
a. Si les la abscisa y Tla ordenada, ¿cuáles parejas ordenadas se obtuvieron? b. Realiza el gráfico de las parejas obtenidas en un plano cartesiano. © Santillana
1
61
Orden en los racionales Orden de racionales en forma de fracción Dados dos números racionales -ª-- y _f_, entre ellos se puede cumplir una y sol() una de las siguientes relaciones: b d
• -ª-- > b
de
_f_,
d
si al representarlos en la recta numérica,
.
-ª-b
se encuentra a la derecha
.
_f_.
' d e d
• -ª-- < b
a b
de , si al representarlos gráficamente sobre la recta numérica,-ª-- se encuen-
.
.
b
· tra ubicado a la izquierda de ~ : a b
•
e d
~ = ~ , si al representarlos en la recta numérica, ~ y ~ les corresponde el
mismo punto.
a b
1 '
e d
~·
Para comparar dos números racionales en forma de fracción es necesario convertir dichos racionales en racionales homogéneos, es decir, fracciones con igual denominador. Por ejemplo,
L
4
y
11 sonfracciones homogéneas. 4
Para expresar como homogéneas un grupo de fracciones, se determina el mínimo común múltiplo entre Íos denominadores y, posteriormente, se complifican para expresarlas con igual denominador. Por ejemplo, para expresar los raci~nales J_ y _l__ como fracciones homogéneas se . 5 4 proéede así: • Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones J_ y _l__ que es 20. 5 4 • Segundo, se complifican las fracciones para expresarlas con denominador 20 de la siguiente manera, l_
5
=~ =R 5X4
20
y _L 4
= ~ = _2_ 4 X5
20
Por tanto, · 12 y _2_ son fracciones homogéneas. 20 20 Para compara r dos números racionales, primero se expresan como fracciones homogéneas y luego, se com paran los numeradores de acuerd o con su posición en la recta numérica. ~
Á
Cuando los números racionales son negativos se escriben como números racionales con numerador negativo, se expresan como fracciones homogéneas y se comparan los numeradores.
62
J
© Santillana
.1 Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
Orden de racionales decimales Para comparar dos números, se observa en la recta numérica .cuál de los dos está a la · derech~ del otro. Entre dos números decimales es mayor el que está a la de,recha del otro. ·
Para comparar dos números racionales en forma decimal se deben terier en cuenta las siguientes condiciones: ' •
Si la parte entera de los dos números decimales es diferente, es mayor el número decimal cuya parte entera es mayor. Por ejemplo,
3,55 < 30,55 ya que 3 < 30 85,l > -85,l ya que 85 > -85 •
Si la parte entera de los dos números decimales es igual, se verifica: que tengan la misma cantidad de cifras decimales para poderlas comparar. De no ser así, se completan con ceros. Luego, se comparan, una a una sus cifras, teniendo en cuenta él lugar de posición de las mismas. Así, resulta ser mayor el decimal que tenga la cifra mayor en el lugar de posición comparado. Por ejemplo, para comparar los números racionales decimales 78,3934 y 78,395, · se agrega un cero como cifra decimal al segundo número, para igualar la cantidad de cifras decimales en ambos números. Luego, se comparan una a una las cifras de los números. Por tanto, se tiene que 78,3934 < 78,3950 ya que en el lugar de la milésimas 3 < 5. · · ·
• Si tanto la parte entera como la parte decimal de los dos números decimales es la misma, los números decimales son iguales.
x Ejemplos d. -5 y 35,16 8
(!) Escribir, para cada par de números racionales, los signos
> o < según corresponda. ·
Primero, se convierte la fracción en número decimal.
5 y2 a. 7
2. 7
=
9
2.
45 y _l_ = Ji_ 63 9 63
8
/
Luego, se comparan los dos números decimales.
Se convierten los números raciona/es en fracciones homogéneas y se determina la relación de orden.
Como 45
> 14 se tiene que ~ > ~ .
_lQ_
=-
8
30 . _lZ_ 24' 3
0,625 y 35,16
=-
136 ' 24
.
Como la parte entera de.los decimales es diferente, se tiene que 0,625 < 35,16, pues O< 35.
< 35,16.
Entonces, 2 8
y - 17 b . - 10 8 3
Se realiza la división de 5 entre B.
=o ' 625
. @ Escribir un número decimal entre cada par de · números decimales.
.J
·
a. -l,7y-1,6 Se convierten los números racionales en fracciones homogéneas y se determina la relación de orden.
. Como -30
.
> -136 se tiene que
10 17 -8 > -3 ·
Como -1,7 < -1,6, entonces, se escribe una cifra en las centésimas a -1,6. En este caso, puede ser . -1,65. L~ego,
-1,7
< -1,65 < -1,6
c. - 3,365 y - 3,356
b. -2,25 y 3
Como la parte entera de los decimales es igual, se comparan una a una las cifras de los números. Por tanto, - 3,365 < - 3,356 ya que en el lugar de las centésimas -6 < -5.
Como 2,25 < 3, entonces, un número entre estos dos puede ser 2,3. Así, 2,25
< 2,3 < 3. © Santillana
1
63
Orden de raciona les decimales
Cf)l Interpreta: 1
O Observa la serie. Luego, completa la expresión. 1 -, 1 -, 1 -, 1 -, 1 -1, -1, ... -1, -, 2 3 4 5 6 7 8 9 Al comparar fracciones de igual denominador, es mayor la fracción con denominador.
e
Ordena de menor a mayor los siguientes conjuntos de números racionales. 12 5 9 19 36 3 23 24
O Escribe el número decimal que cumple la condición dada.
< O < 3,75 d.6,1 > D > 6,02 b. ~o,38 < D < -0,34 e. -2,02 > D > -2,l c. 5,63 < O < 6 f. - 1- > D > o a. 3,51
Ordena de menor a mayor cada grupo de números decimales. a. 4,17; 4,107; 4,7; 4,017; 0,417 b. -2,205; -2,l; 2,201; -2,5; -2,05 c. 0,019; 0,25; 0,17; 0,206; 0,2
·C!I Soluciona problemas) Expresa cada grupo de racionales como fracciones homogéneas. a.
5
4
-7Y3 .
d.
3 7 '
_u_
1
4'
14 4 2 _.1_ e. 9' 15' 6 _ _l_ _J_ _lQ_ ,. f. 49 ' 7 21
b. .]__y .1_ 9 3 c. .]__y lL 6 7
f) La siguiente tabla muestra el contenido de agua aproximada, de diferentes alimentos. . Alimento
Huevo hervido Lomo de ternera
O Ordena de mayor a menor las siguientes fraccio-
Maní
nes. a.
_lL _.]__ _ __±_
21
7
13
e
b.
15
9
25
Jamón
7 9
Galletas
3
7'8'5'4
Escribe
Papas fritas
4 30 D 15
O _§_3
d.
b. .]__
D J...2
e. _ _JL
.
5
'-
> ; < o = según corresponda.
a. -2._ 4
c. _ _i_ 13
8
D
215
D _JL 20
f.
4 19
D
__].ª-.._ 349
6 7
O Indica el número que hace verdadera cada relación.
a. _.]__ < __5_ 7
D
4 b. ·11
64
1
{fl Razona: 6-7
10
ª· ·7, 7' 7' 7' 7' 7' 7' 7
e
~ Ejercita:.2-3-4-5-8 1
© Santillana
>
9
3 5 . c.-- < 21
º
1 Contenido de .• agua
147 500 _]]__
50 2 25 127 200 13
25 11
20
a. ¿Cuál alimento tiene mayor contenido de agua? b. ¿Cuál alimento tiene menor contenido de agua? c. ¿Tiene mayor contenido de agua el jamón o el huevo hervido? d. ¿Tiene menor contenido de agua las galletas o las papas fritas?
(& Las focas y los elefantes marinos son mamíferos que pasan la mayor parte del tiempo en los océanos. , La foca. común llega a medir 1,9 m; la foca de Largha, 1,8 m; la foca de Baikal, 1,4 m, y la foca anillada, 1,6 m. Entre estas especies, ¿cuál es la foca de menor longitud? ¿Cuál la de mayor longitud?
r·--"'
~
~~
HMTñt'S
1
s::m:_~~
\ 1
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional \~ .. ~~"""'""""""""""""""""'""""""'""""""""""""""""""""'""""""""""""'""""""""""""""'"""""""~--~ ' """"""""""'''"' 'r ™"""""""' -~~ ~
..
(~~¡~~
Operaciones. en Q Ad ición de raciona les en forma de fracción En la adición de racionales en forma de fracción se presentan dos casos:
Caso l: Adición de numeras racionales con igual denominador Para realizar la adición de dos números racionales con igual denominador, se suman los vafores correspondientes a los numeradores y se deja el mismo denominador.
Caso 2. Adición de números racionales con diferente denominador Para realizar la adición de dos números racionales con diferente denominador, se expresan las fracciones con igual denominador, es decir, se transforman en fracciones homogéneas. Posteriormente, se suman los numeradores.
:-: Ejemplos
1
{!) Resolver las siguientes adiciones.
@ En una finca
~ :~ ) + ( - !~ )
vivienda,
a. (
Se escribe cada · fracción con numerador negativo.
(-21)
+ (-17)
Se plantea la suma de numeradores.
13
-21 - 17 13
b.
38 13
Se suprimen los signos de agrupación y se opera.
_!_
de la finca se encuentra destinada a algún proyecto? Para hallar qué parte del terreno se encuentra destinado a algún proyecto, se suma la parte destinada a la vivienda, a la piscina y al sembrado de árboles frutales.
2- + -1. + __i_ 9
Se plantea la suma de numeradores.
+ 11
55
18 18
=l ~60
+ 11
55
18
Se plantea la suma de numeradores.
Se complifican los · . racionales al mcm quees 18.
Se expresan corno fracciones homogéneas.
55
(-60)
a la construcción de una piscina y
El mcm de 9 y 18 es 18.
= - 60 + _ll_ 55
del terreno están destinados a
para sembrar árboles frutales. ¿Qué parte
9
(-R) + s 11
1~
~
~
49
55
Se suprimen los signos de agrupación y se opera.
Se realiza la suma. Se simplifica.
Como el resultado es 1 entonces, toda la finca se encuentra distribuida para algún proyecto. © Sa ntillan a
¡6 5
Adición de racionales decimales La equivalencia de números decimales exactos y periódicos con respecto a las fracciones decimales permite realizar la adición de números decimales por medio de las fracciones y, luego, expresar la respuesta en forma decimal.
+ 12,6 es:
Por ejemplo, la suma 3,29 3 29 )
+ 12,6 = 329 + 126 100
329
=
10
+ 1.260 = 1.589 = 15,89 100 100
Sin embargo, para sumar dos o más números racionales en forma decimal se realiza lo siguiente: • Primero, se escriben los números, uno debajo de otro, de tal manera que las comas queden en la misma columna. Así, se garantiza que las unidades del mismo orden también estén en columnas. • Luego, se suman los números como si fueran números enteros. •
Por último, a la suma se le pone la coma en la columna correspondiente.
+ 5,0234 + 53,24 se procede así:
Por ejemplo, para determinar el resultado de 531,6
Primero, se ubica un número debajo del otro, de manera que coincidan las comas. 531 ,6 5 ,0234 53,24
+
Luego, se suman los números como si fueran números enteros. 531 ,6 5,0234 53,24
+
589 ,8634 Así, 531,6
+ 5,0234 + 53,24 = 589,8634.
', l 1 1
-".lL;.
Propiedades de la adición Clausurativa. La adición de dos números racionales es siempre otro número racional.
Es decir, si
b, ~
E Q, entonces
Por ejemplo: ; E Q y (-
b+
~ E Q.
~ ) E O; luego,
;
+ (-
U
=
~
y
~
E O·
Conmutativa. El orden en el que se realiza la suma de dos números racionales no . altera el resultado.
. a e E Sib, d
ifll 'lo!! ,
Por ejemplo: _±_ 5
entonces,
+ _l_ 10
a ba +'de -_ de + b'
= _§___±__l_ = _2_ y
10
Por tanto, _±_ + - 1- = _2_ = - 15 ' 10 10 10
66
1
© Sa nt ill ana
10
+ _±_ . 5
_l_ 10
+ _±_ 5
= ~ = _2_ .
10
10
Asociativa. Cuando se suman dos o más números racionales, se pueden agrupar los sumandos de diferente forma y siempre se obtiene el mismo resultado.
~, ~,
En general, si
f
E O, entonces, (
b + ~) +
f
=
b+ ( ~
+
f)
Por ejemplo:
=
Jl +
_l_
12
Se suman los numeradores del corchete.
3
+4
11
Se suman los numeradores.
12 15 - 5 -12
Se simplifica el resultado.
4
(-
~ )+[ ~
(-
~) + i~
~ J=
+
(-
~ ) + ( 2\; 4)=
Se plantea la suma de los números del corchete.
1
-10 + 25 12
Se suma el resultado con el otro número.
11
Se simplifica el resultado.
=12_=2_ 12 4
Por tanto, [ ( _
~)+ ~]+ ~
= ( _
~)
+[
~
+
~J
Elemento neutro. La suma de todo número racional con el cero da como resultado el mismo número racional. El O recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la adición de racionales. En general, existe O E (j) tal que O +
b = b + O = b para todo b E
(j)
Por ejemplo:
' (-12_) + o
o+
=
23
_2__
4
(----º-) 23
+ o = o + _2__ 4
= _12_
23
= _2__
4
Elemento simétrico u opuesto aditivo. Todo número racional sumado con su opuesto da como resultado el módulo de la adición. Para todo
b E (j) existe (- b) E ([]) tal que b + (- b) =
(-
b) + b =
O
Por ejemplo:
1z + ( _ 1z ) Por tanto,
1 :
= (_
1z ) + 1: º =
es el inverso aditivo de ( -
~)
y también ( -
iz ) es ~l inverso
aditivo de _lZ_ . 8 © Santillana
1
67
Sustracción de racionaies Al igual que en la adición de racionales, en la sustracción de numéros racionales se presentan dos casos:
Caso l. Sustracción de números racionales con igual denominador Para restar dos números racionales con igual denominador, se restan los valores correspondientes a los numeradores y se deja el mismo denominador.
Caso 2. Sustracción de números racionales con diferente denominador Para restar dos números racionales con diferente denominador, se transforman los racionales en fracciones homogéneas. Luego, se suman los numeradores.
Sustracción de racionales decimales •'
Para restar números decimales, se sigue un proceso similar al que se utiliza para sumar. Sin embargo, en la resta de números decimales, el minuendo debe tener la misma cantidad de cifras decimales que el sustraendo. De no ser así, se.agregan tantos ceros como sea necesario a la derecha de la última cifra decimal del minuendo.
:-: Ejemplos Resolver las siguientes sustracciones. a. (-
= (11
~ )-
~~ )-
!
Se expresan como fracciones homogéneas.
:2
Se plantea la resta de numeradores y se suprimen los signos de agrupación.
(-18)-7
1
42
-18-7_ 42 . -
b. ( -
l~ }- ( -
(-1) - (-8)
15
-1+ 8 15 .= _]__
15
68
1 © Sa ntillana
Se restan los numeradores~
25 42
c. 7,16 - 3,126 Primero, se ubica un número debajo del otro, de manera que coincidan las comas. 7,160 - 3,126
Luego, se restan los números como si fueran números enteros. 7,160 - 3,126
y se deja el mismo
4,034
denominador.
d.
8
1s
)
13,2 - 2,001
Primero, se ubica un número debajo del otro, de manera que coincidan las coma_s. Se plantea la resta de numeradores. Se suprimen los signos de agtupación. Se operan los numeradoresyse .deja el mismo denominador. •
13,200 - 2,001
Luego, se restan los números como si fueran números enteros. 13,200 - 2,001 11,199
O Explica el proceso para sumar los números racio-
e
4 3 nales --y - . 5 4
8 , restar - 7 . a. De la suma de -12 y - -
+ _H_ 18
b. _2 +2 7 9 c. _.±._
1~
1 . 5 5 -16 a la suma de 32 Y s·
a la suma de ( -
~)
l~
+----º----
Completa las casillas del siguiente cuadro.
17
46
2 5
__l_ + __2__ 24
15
d. ( -
3 - ( - 10 )
e. -
13 18
f. (
l~ ) ~
+ (-
--.u-
5 )
(-
~~ )
1:)
12 -7
Relaciona cada operación de la izquierda con su correspondiente resultado en la columna de la derecha. 79 a. ]_ + _Z_ - _l_ l. 24 2 3 4
b. c.
]_ + _Z_ + _Z_ 4
2-(i)+-l 6
d. _±_ 6 e.
2.
3 .
2 9
12
+ _2._ + ]_ 4 5 4
13
36
8 _1_
9
2..1.. 3
+ 1_1_
b 3+ ( -
5
3 5
+
9 10
+
15
9
43 3. 12 79 4. 12 25 5. 36
¡)+ ~ 2
c. 3 2 - 1 1 - ( 4 ) 7 5 35
Ll
1 10
Observa el peso de cada producto. Luego, calcula el peso de cada grupo de productos.
l.,
/ffü~
d
~ :
1 !Kg
.
~_)
a. b. c. d.
Fríjol, margarina y salsa de tomate Café y salsa de tomate Café y fríjol Café y margarina
G Para medir la masa de los planetas, se toma como unidad la masa de la Tierra. La siguiente tabla muestra la masa de algunos planetas del sistema solar.
- 1-1-
15
+
3
l!I Soluciona problemas) e
_lQ_
Determina los resultados de las siguientes expresiones. a.
~ ).
_i_
l~ ) + ( - ~2 ) 7 9
c.
Y( -
c. Sumar
Realiza las siguientes operaciones.
b.
e
b. Restar
+--ª-45
f.
24
30
d. R 25 e.
+ _í__
32
ª· ( -
e
~
. 5
Resuelve las siguientes adiciones. Luego, simplifica la respuesta hasta encontrar el racional correspon diente. a. _1_ 9
e
Escribe cada expresión. Luego, resuelve la operación.
1
Planeta
l
Masa
1
1
Marte
Venus
~ i~
Neptuno 1 Mercurio
1
-ªf
1
1
fo- J
a. ¿Cuál es la diferencia entre las masas de Marte · y Mercurio? b. ¿Cuál es la diferencia entre las masas de Venus
~==d=.=l==~-=--===;=l=-:::==·=i=k=l=======================·--~-- yNe~~---====---z::..-==-"""'-~___, (
© Santi ll ana
1
69
Sustracción de racionales
fj Recupera información: 1 1~ Ejercita: 2-3-4-s I (jl Razona: 6-71
.
CD Escribe en cada cuadro el número que hace verda-
(D Realiza las siguientes operaciones.
e
dera la igualdad.
d. 12,51 + (-3,968) e. 4 - 2,019 f. (-2,63) + ( -1,9)
a. 3,18 + 5,4 b. -2,163 + 1,8 e, -7,06 - 2,165
ª·
4,36
+D=
b. 35,9 Completa cada pirámide si se sabe que cada número es la suma de los bloques que le quedan debajo.
8,6 5,9
48 En un cuadrado mágico la suma .de cada fila, cada columna y cada diagonal es la misma. Completa cada cuadrado mágico. 3,75
b.
0,625
0,75
2,625
2,25 0,375
3,125
1,08
D = 26,3 - · d. D - 1 = 5,76
·C!I Soluciona problemas) • El nuevo sistema de transporte de la NASA se llama Constellation. Se está ensayando la nueva cápsula Orión con un diseño clásico de forma cónica. Similar a las del programa Apolo. Orión tiene un diámetro de 5 m y 3,5 m de altura, mientras que una cápsula del Apolo medía 3,9 m de diámetro y 3,5 m de altura. a. ¿Cuántos metros más de diámetro mide la cápsula Orión con respecto a una cápsula del Apolo?
1,125
2,5
b. ¿Cuántos metros menos de altura mide la cápsula Orión con respecto a la del Apolo?
CD Encuentra las cifras perdidas en cada operación. a.
D + 0,16 =
b.
a.
a.
2,19 . c.
c. 3 0
'
.
0 1
b.
2 0
8 0
o,
3
9- 0
D
D 2D +D· 6 3 1 D 7 o, 9
6
4 1, 7
6
O,
4
3
4 9,o o 1 4
D
2
6 4
D
1
5
d.
6 2, 0
6 1
•¡
1
5 2, 9
8
d - 1- - 0,03 . 20
+(__l_) 2
+(-2) 8 + _l_ 4
b. 1,92
+_l 25
e. 4,93
c. _ _l_ 4
+o' 84 +_l_2
1- f . - -16
o' 028 +1)3
1
Altura
1
1,79
filt,
4 3, 5
presa el resultado en forma decimal.
7 O j © S~ntillana ·
Observa las gráficas.
DO, 1 D
O Resuelve las siguientes operaciones. Luego, exa. .1_ - o 75 5 .'
8
0,35
I
Base
10.ltuW Base
a. ¿Cuál es la altura total de la bandera roja? b. ¿Cuál es la altura del asta o palo de la bandera azul? c. ¿Cuánto más mide de altura total, la bandera azul que la bandera roja? d. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas de las astas o palos de las dos band~as? e. ¿Cuántos metros menos mide la base de la bandera azul que la base de la bandera roja?
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
Multiplicación de racionales en forma de fracción
Ley de signos es: (+)(+) = +
Para multiplicar dos fracciones racionales se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Es decir:
(- )( -) =
(- )( + ) = (+)(- ) =
Si ªb , d e E Q, e!ltonces, _Q_ • ~
b
d
=
a • de siendo b i= O, d i=
b.
+ -
o.
. a c a·c Los rac10na1es b y d se llaman factores y --¡;:-;¡ se llama producto. Como los números racionales pueden ser positivos o negativos, en la multiplicación en Q se utiliza la misma regla del producto que en 'll. . Por ejemplo, _l_ •
4
(-2-)
I =
7
. (-_]_) (-..±_) 9 11
= _ _Q_
3 . (-5) 4. 7 =
28 y
(-4) . (-7) 9 . 11
=~ 99
Cuando en la multiplicación dada, alguno de los numeradores tiene un divisor común con alguno de los denominadores, estos se deben simplificar. Por ejemplo,
(-;}{~(-;)·~ (-7) . 1 3. 5
7 15
Propied.ades de la multiplicación de racionales Clausurativa. La multiplicación de dos números racionales siempre da como resultado un número racional. En general, si
bE Q y
~ E Q , entonces,
b· ~
E Q
Asociativa. Al multiplicar tres o más números racionales se pueden agrupar de diferente forma y el producto no se altera. Si _g_ E Q _f_ E Q y _f_ E Q entonces, b 'd f )
(_g_ . _f_) b
d
• _f_
f
= _!!:__
•
b
(_f_d .
_f_ \
f
J
Conmutativa. El orden en el que se realiza la multiplicación de dos números racio. nales no altera el resultado. En general, si _g_ E Q y _f_ E Q entonces, _!!:__ b d ) b
• _f_ = _f_ • _!!:__ •
d
d
b
Elemento neutro. El producto de un número racional con uno da como resultado el mismo número racional. El 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la multiplicación. En general, existe 1 E Q tal que 1 · ·
b = b · 1 = b para todo b E O · © Sa rit illana
171
Distributiva. Es la propiedad que relaciona la adición o la sustracción y la multiplicación de números racionales.
f
a d' e e E S1. b'
IÍll
'lol!,
entonces, ba
. ( de +- fe )- (ba . de ) .-+ ( ba . fe )
Multiplicación de racionales decimales Dos números decimales se pueden multiplicar siguiendo alguno de los siguientes procedimientos. •
Conviertiendo los números a fracciones decimales. Por ejemplo, 3 22 . 4,6 = 322 . 46 = 322 . 46 = 14.812 = 14 812 100 10 100 . 10 1.000 ' '
•
Calculando el producto entre los dos números decimales. Por ejemplo, .....---- Dos cifras decimales .....---- Una cifra decimal
3,22 X 4,6 1932 + 1288 14,812
.....---- Tres cifras decimales
Se puede observar que se separan del producto tantas cifras decimales como cifras decimales hay entre los dos factores.
:-: Ejemplos
(D Indicar la propiedad aplicada en cada multiplicación de números racionales.
a.
(-
~).
1:
= _
j
=
1; .(- ~ )
La propiedad que se aplica en este caso es la propiedad conmutativa ya que al cambiar el orden de los factores no se altera el producto.
b. 1 . (-
!~
)
= -
es el mismo.
3
9
~ ) . [ (- ~ ) + ! J
Se realiza la multiplicación se simplifica.
= 40
2 Luego, los 3 2 . b. Los - de 4
Za + (- 1~ )J= Za -
=
1~
2
1
- X4 3
;~
La propiedad que se aplica es la asociativa ya que se pueden agrupar los números de diferente ma nera y el resultado es el mismo.
2
12
y
de 60 equivalen a 40. 1 - . 3 .
.
Para hallar la cantidad se multiplica
!]
7 C 1 © Sa nt illana
2 Para hallar la cantidad se multiplica - por 60, así: 3 2 . - X 60 Se plantea la multiplicación. 3
120
=[(-U·(-~)]+[(-U· =[
2 a. Los - de 60. 3
!~
La propiedad que se aplica es la del elemento n.eu,tro, ya que al multiplicar _ _u_ con 1 el resultado
c. ( -
@ Hallar la cantidad que se indica en cada caso.
~ '4:
por
~ , así: 3
Se plantea la multiplicación.
1
Se realiza la multiplicación
6
y se simplifica.
2 1 1 Luego, los - de - equivalen a - . 4 3 6
Explica: ¿cuál propiedad afirma que el producto de dos números racionales es otro número racional?
e
• Indica el valor de verdad de cada proposición. a.
Resuelve las siguientes operaciones. a.
~
X 152
b. _11_ X 22 3
15
c. _ _2._ X _i_
e
11
5
~
d.
-
e.
5 (- ; ) x (-
f.
8
1~ )
X _H_ 13
Simplifica los factores. Luego, encuentra cada producto. a.
b. c.
(!)(:)(~)
d. (- 155 ) (
(:)( ~~ )( ~~ ) ( ~~ )( ! )( - l~ -
~~ ) ( l~ )
e. (- 224 )(-
) f.
(-
de
S2
de 45 es 6.
2 . 1 ' b. - de - de -63 es -6. 7 3
X ( - l; )
(-2)
31
~ )( ~~ )
~ )(- i55 )( 24) 8
c. _i_ de J__ de 840 es - 21. 5 8 Halla los siguientes productos. a. 3,24 X 1,5
d. 0,5 X ( -1,66)
b. 0,26 X ( -4,8)
e. 3 X 4,758
c. ( -3,71) X (-0,7)
f.
5,18 X (-49,1)
a. 3,75 X 10
c.
10 X (-45,2)
b. 4,032 X 100
d. 100 X 0,016
Calcula cada producto.
l!I Soluciona problemas) f) Aunque África es un continente conocido por su fauna
Calcula cada fracción de cada número. a.
24 de los 28 estudiantes del salón escuchan . música.
b. Los
~
de los 5.600 habitantes de una pobla-
ción son adultos . . c. De los 12 jugadores del equipo, teros.
~
son delan-
Relaciona las expresiones de la columna de la izquierda con las fracciones de la derecha. _l_
a. La mitad de un cuarto.
l.
b. Un cuarto de un quinto.
2.
11 30
c. La tercera parte de un medio.
3.
1 20
d. El triple de un cuarto. e. Un tercio de dos séptimos.
f. Once quintos de un sexto.
4. 5. 6.
6
2 21 _l_
8 3 4
-1
salvaje, solo ;
partes de su 5 territorio es salvaje. En cam. en Norteamenca , . 1as -19 b10, 50 partes del territorio es salvaje. Si la superficie de África es 30.330.000 km 2 y la superficie de Norteamérica es 23.752.600 km 2, ¿cuáles son las áreas del territorio salvaje de Norteamérica y de África? (!) En el sistema de medidas sajón o imperial, usado en Estados Unidos, existe el pie (foot) como unidad de longitud; 1 pie = 30,48 cm. La siguiente tabla muestra las alturas de algunas especies de árboles. Complétala. Árbol
Altura (pies)
Guayacán
20
Roble cimarrón Ro ble plateado Secuoya Pino blanco
25 275 80
Abeto noruego
60
Altura (centímetros)
1
1
30
-----·--·©
Santil lana ·¡ 73
En la divisiónel número quese divide es el dividendo, el númeroquedividees el divisor y el resultado es el cociente. Así,
-ª-- . .;- .i_ = b
t
dividendo
Cuando se dividen dos fracciones ~ y ~ , se busca una fracción que multiplicada
f ,
f -
a ,es d ecir, . b a . ,.. . de -_ e s1. y so' lo s1,. de X e _ b. a por de de' como resu lt ad o b
_f_
f cociente
d
División de racionales en forma de fracción
Cuando el producto entre dos números racionales es l, se dice que uno de los nú-
divisor
meros es el inverso multiplicativo del otro. Por tanto, si ~ es un número racional diferente de cero, entonces, su inverso multiplicativo es ]!___ . a Para dividir dos números racionales se multi plica el dividendo por el inverso multiplicativo del diviso r. Luego,
En algunos casos, la división entre números racionales está determinada por racionales en los cuales el numerador es una fracción y el denominador es otra fracción. Este tipo de expresiones se denominan fracciones complejas. Por ejemplo, _l__
:
__2__
y
3 4
8
son fracciones complejas.
15 3
Para resolver una fracción compleja, se divide el numerador entre el denominador. _l__
_ 7 _ = _l__ ...;- J]__ = _l__ • _1_ = ~ J]__ 7 4 7 13 91 4
:-: Ejemplos (D Realizar las siguie~tes divisiones. , a.
1
1
_z_ . .;3
@ Resolver la siguiente fracción compleja: 1
__!_
5
5
=L . 2-=E 3
4
12
2
Se multiplica por el inverso multiplicativo.
Se multiplica por el inverso multiplicativo.
6 1
2
5
6
Se escribe la fracción com~ una división.
1
6
5
2
=- X -
Se escribe la división como multiplicación con el inverso.
6
=
11 1
74
1
© Santill ana
30 18
=_2_ 3
Se simplifica.
10 3 2
Se realiza la multiplicación. Se simplifica.
@ Resolver la siguiente fracción compleja que involucra sumas y restas. i+l-_l_ 5
4
20
_2_ - _l_
3
9 8
+ _2_ 6
+ 15 -
1 20 12 - 2 + 15 18 22 _ll_ - __1Q__ = _1Q_ 25 25 18 18
Se resuelven/as operaciones en el numerador y en el denominador.
Se simplifica en la parte racional de arriba y se plantea la división.
-
-
11 -;-. 25 10 18
Se escribe la división.
=
Jl_ X __lli_
Se realiza la multiplicación.
10
25
- 198 250
Se simplifica.
---
-
99 125
División de racionales decimales Para dividir dos números decimales, se deben transformar los números racionales en enteros. Para ello, se multiplican el dividendo y el divisor por una misma potencia de 10. Por ejemplo, la operación (-6,30924) + (-2,03) se resuelve así: • Primero se multiplica por 100, tanto el dividendo como el divisor. Para ello, se desplaza la coma decimal tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10, en este caso, se desplaza dos lugares, (-630,924)
-7-
(-203)
• · Luego, se realiza la división como una división entre números enteros. Para este caso, se pone la coma decimal en el cociente cuando se toma la primera cifra decimal. 630,924 219
~
630,924 219 1624
3,
203 3,108
o Entonces, ( -6,30924) + ( -2,03) = 3,108.
Para dividir un decimal entre una potencia de 1O, se desplaza la coma decimal tantos lugares a la izqu ierda, como ceros tenga la potencia de 1O.
Por ejemplo, para resolver 3,878 + 100 se desplaza la coma dos lugares a la izquierda, así: 3,878
-7-
100 = 0,03878 © Santillana
175
r División de números racionales
__._,, :=..~~~~~"""""""""""""""""'"""""""""""""""""""""'"""""'.....""""'""""=""""'""""......"""""==-=""""'""""~""""'-
.._
<& Interpreta: 1
O Completa. Al inverso multiplicativo de un número
f) Si se reparten
racional también se le llama._ __
e
Indica el inverso multiplicativo de cada número racional. a.
2 3
b.
5 4
c.
2 9
e.
d.
7 8
f.
_ l§_
g.
23 18 29
2
-
11 24
!
~ Ejercita: 2-3
de torta entre 6 personas en par-
tes iguales, ¿qué fracción de torta le corresponde a cada persona?
.1
Cl!) Si Fernando recorrió _1_5 kilómetros en 9 minutos
9
h.
1
-----~ Razona: 4-51
e
a velocidad constante, ¿qué fracción de kilómetro recorrió en 1 minuto? En Estados Unidos se usan 6 monedas con los siguientes valores.
Resuelve las siguientes divisiones. Luego, simplifica si es posible. a.
(- l~)
+
b.
3 15
9 18
c. (-
~) +
~
d. ( e.
Í1
f.
~ ) + (- ~ )
~~ + ( - : ) (-;8)+(-~)
O Escribe cada división como una multiplicación. Luego, soluciónala. c.
b. 31 + _l_
1d . -25 + -10
2
e
12 + _ _l_
a. 44 + _l_
4
5
e.
15 +
~3
1 f . -40 + -5
g. -6,39 + -3 h. -1,25 + 0,5 i. 6,75 + 2 j. -3,28 + -1,2 k. 5,7 + -0,03 l. 9,65 + 6,3
.C!I Soluciona problemas J e. ~ ¿Cuántos vasos de
una gaseosa de
!
litros?
cortar de un pliego y medio de cartulina? 1 ¿Cuántos tarros de - -. galón se pueden llenar con 16 2 galones de pintura?
l
1
76
1
© Santillana
Nickel = 0,05 dólar
50 centavos = 0,5 dólar
Dime = 0,1 dólar
1 dólar
b. ¿A cuántos nickels equivalen 3 dólares? c. ¿A cuántos quarters equivalen 5 dólares? d. ¿A cuántos dimes equivale 1 quarter? e. ¿Cuántas monedas de 50 centavos se requieren para reunir 12 dólares?
f. ¿Cuántos quarters se requieren para reunir 1,5
e
dólares? En una pastelería utilizan los siguientes productos .
"ff4RINA .11
litro se pueden servir de
'8) ¿Cuántos octavos de pliego de cartulina se pueden
1
Quarter = 0,25 dólar
a. ¿A cuántos pennys equivalen 2 dólares?
Resuelve los siguientes cocientes. a. 38 + 5 b. 1,5 + 0,25 c. 8,2 + 0,1 d. 0,12 + 2 e. -27,2 + 30 f. 6,25 + 1,72
Penny = 0,01 dólar
'.(:,
\
Q,5 KU
e
·Para elaborar una torta de cumpleaños se gastaron 1,5 kg de mantequilla, 2,5 kg de harina y 1,8 litros de leche. a. ¿Cuántas barras de mantequilla se gastaron? b. ¿Cuántas bolsas de harina se gastaron? c. ¿Cuántas bolsas de leche se gastaron?
~
r Potenciación de números racionales La potenciación es la operación que permite escribir y determinar el producto entre varios factores iguales.
~
Si
E Q,
n E Z, entonces, (
~
r
=
...
~
·
~
·
~
. ... .
~
~~
=
•
n -veces
En expresiones como: (
~
J
~:
=
se identifican los siguientes términos:
~ , que indica el factor que se repite en la multiplicación. Recibe el no~bre de base.
• n, que indica la cantidad de veces que se repite el factor. Recibe el nombre de exponente.
~:
º
, que indica el resultado de la multiplicación. Recibe el nombre de potencia.
Cuando se va a determinar el signo de la potencia se deben tener en cuenta las siguientes condiciones: Si •
~
E Q+ , entonces, (
r
% E Q +.
Si ba E
o- y n es par, entonces, ( %)" E
Q+ .
~
o- y n es impar, entonces, ( ~ )
E
Si
E
11
o- .
:-: Ejemplos
(D Escribir cada expresión como potencia de base
@ Calcular las siguientes potencias.
racional. a. J_ X J_ X J_ X J_
2
2
2
2 4
_!:_ X _!:_ X _!:_ X _!:_ = (_!:_)
2
2
2
2
Se escribe la base elevada a la 4.
3,878 . 3,878 . 3,878 = (3,878) 3
(-5)3 23
d.
b. (
2
1. 1. 1. 1. 1. 1
= (
=
~~
r
=_l_ . l . l . l . l_=_l_ 6
6
6
6
Z776
c. (1,25) 3
=(-2)3
!: ! r
~ )( - ~ )( - ~ )( - ~ )
¿
= 1,25 . 1,25 . 1,25 = 1,953125
d. (3,4) 6 = 3,4 . 3,4 . 3,4 . 3,4 . 3,4 . 3,4 = 133,6336
4 · 4 ·4· 4·4 · 4 =
Se multiplica cuatro veces -- . 3
6
(-5)(-5)(-5) (2)(2)(2)
=
= ( -
2
b. 3,878 . 3,878 . 3,878
c.
2
4
a. (- ; )
e. (
11
r
1 1
=-1_ . _1_ . _1_ . _1_ . _1_ . _1_= 1 10 10 10 10 10 10 1.000.000 ©
Sa nt ill ana
177
1
1
Propiedades de la potenciación Producto de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes.
En general, si
r
b E Q con b-=!=- Oy n, m E "lL, entonces, ( br · (b
= (
br+m
Por ejemplo:
Cociente de potencias de igual base. Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.
En general, si Por ejemplo:
r br
b E Q con b -=!=- Oy n, m E "lL, entonces, ( b
+ (
= (
brm
(! J ! y= (! y-2 = ( ! )5 -7- (
t
1
,:·¡
Potencia de una potencia. Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes.
1
Si i
rJ br
b E Q con b -=!=- Oy n, m E "lL, entonces, [ ( b
1
= (
m
[(; n~(; r~(; J
1
Por ejemplo:
Potencia de un producto. Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a dicha potencia.
Si
b, ~
E Q con b -=!=- O, d -=!=- Oy n E "lL, entonces, (
b· ~
r br (~ r = (
Por ejemplo:
[(- ! ).(~ )J
= (-
!J· (~ r
Potencia de un cociente. Para elevar un cociente a una potencia se eleva cada término de la división.
Si
b, ~
E Q con b -=!=- O, d -=!=- Oy n E "lL , entonces, (
Por ejemplo: [( .1:
7 8 j © Santill ana
~) + (- ~ )J
= (
b7 ~
~ J+ (- ~
J
r br ~ r = (
7
(
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
=====================-----~~--
Interpreto: 1-4 ]
o
En la página 77 aparece la expresión "si ~ E Q- y n
es par, entonces,
9
(~
b
J
E Q''. ¿Qué significado tiene?
Expresa en forma de potencia. Luego, resuelve. a. (
~ )( ~ )( ~ )( ~ )
~ )( ~ )( ~ ) (- ~ )(- ~)
c. (
e
~
b. (;
e
J r
c. ( -
d. (
J (% J ~ J (-¡ J ~
e.
f.
a. ((1,2)2]3
c. ,(3,7)3
b. ((-4,5)4]0
d. (2,4) 3 X (2,4)º
--;--
1
(3,7) 2
a.
(0,31) 4 (2,5) 2 (2,5)(0,31) 3
c.
(1,4) 2 (1,9) 2 (1,9) 3 (1,9)
b.
(- 0,02 )3 (1,2) 4 (l,2)2 (-0,02) 2
d.
(-0,5) 5 (0,1 )7 (-0,1) 8 (-0,5) 6
Lee el enunciado. Luego, completa la tabla.
g.
(~J
h.
(-~ J
El área de un cuadrado se calcula mediante la fórmula A = l2. 1
Lado I (cm) Área (cm 2 )
11 Lado
I (cm) 1 Área (cm 2 )
11
1,27
7 3
- 8,45
2
1
Lee la siguiente propiedad de la potenciación. Potencia con exponente negativo si ~ E Q con
b ,. Oy n E Z, entonces, (
ff ~ (n
a.
b.
r (- ~ r
(i~
c. (-
~
r
d.
e. f.
(~ r
'-
(-~r
V= l3
(~r
DJ
Calcula el volumen de un cubo de lado:
Resuelve las siguientes potencias. c. (0,5) 3
'-
El volumen V de un cubo de lado 1, se calcula mediante la fórmula
d.
b. (2,3) 2
-1,1 2
4
a.[(!)']' c.[crr x (~r [H)']° . (:)"+UJ e a. (1,1) 3
2,34
5 _12_
Escribe cada expresión, como una sola potencia.
b.
1
jJ_
Aplica la propiedad en cada caso.
e
Razona: 5-6-7-8
Aplica las propiedades de la potenciación para resolver cada operación.
b
9
Soluciona problemas)
Halla la potencia indicada. a. (
1
Simplifica cada expresión.
b. (- ; )(- ; )(- ; )(- ; )(- ; )
d.
~Ejercito: 2-3
==";
d. (-0,5) 4
a. 3,4cm
c. 4,22 cm
e. i·cm 2
b. 2,54cm
d. 7,81 cm
f. __1_cm 10
Si una hoja de papel blanco se divide en la mitad, cada mitad se divide en la mitad y cada pedazo obtenido se divide nuevamente en la mitad, ¿a qué fracción de la hoja corresponde un pedazo de los más pequeños?
..
- ...
-Á
© Santil lana
17 9
1.
Radicación de números racionales La radicación es la operación que permite determinar la base en una potenciación . . ~;~
E Q,
Es decir,
ff
Si
~
nE N y(
r~
~
=
, se dice que
~,si y sólo si, ( ~
=
r
=
~
es la base de la ra íz, n se llama índice y
~
es la raíz n-ésima de
~.
.
ff¡ se denom ina raíz n-ésima de ~ .
Para determinar la raíz n-ésima de un número racional se deben considerar los siguientes casos:
~=
•
~
:±:
~
si n es par y
~
~
(/:. (JJ si n es par y
E (JJ+ .
E Q- .
•
./c = -ª-b sin es impar y ~ E (JJ + . y-;¡ d
•
a s1. n es impar . o = -y - e E \Id!
b
d
•
Para hallar la raíz de un número racional se debe calcular la raíz en el numerador 8 y en el denominador. Por ejemplo, para calcular la raíz cúbica de se realiza el 125 siguiente procedimiento:
~
Se plantea Ja raíz.
V8 -
Se halla Ja raíz del numerador y del denominador. ·
2
ifill - 5 1)
:-: Ejemplos
l 11 '
Calcular el valor de las siguientes raíces.
~
a. ~Si
(2) = 2
Como
b.
9
49 y 81
(-2) = 2
9
49 , entonces, el valor es:±: ?_. 81 9
~- 2; 3
. Como
(
. 3. _ _l_ ) = - 27 , entonces, el valor es - 2 8 2
c. ~0,027
=
27 ~ 1.000
3
= _]_ yaque(_]_) = lO
Entonces, -.¿/0,027
8 O j © Santillana
10
= 3 = 0,3. 10
_J:]__
l.000
= 0,027
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
Propiedades de la radicación La radicación de números racionales cumple las siguientes propieda~es.
--ª--,
Raíz de un producto. Si
_f_ E ([]),
b
d
n E "lL y
fcZ" · ~ Vb Vd n
existen, se cumple que
n
~=*x[-f. Raíz de un cociente. Si
--ª--,
_f_ E([]),
b
~
Raíz de una potencia. Si
d
~~-;- ~
Raíz n de la potencia n. Si Raíz de una raíz. Si
~
n E "lL y
n~-;- n/c Vb Vd
existen, se cumple que
=-*-7-ff.
E([]) y n, m E "lL, se cumple que
~
E ([]) y n E "lL, se cumple que
E 4) y n, m E "ll_, se cumple que
~( ~ r = ( ~ r-n
~( ~ J= ~ .
* mx* .
~
=
:-: Ejemplos
(I) Resolver las expresioues aplicando las propiedades de la radicación. a.
=
~(
~(
1~5
8 - 27 ) X
~ 1~5
~ )( ~
= (-
b.
8 - 27 ) X
~
2 ) = - 15
. 49
!K"-;-
oc \)49
~~ ~~
=
2X~ ~~
=
~ ~~
Se aplica la raíz de una raíz.
=
~
Se halla la raíz.
@ Simplificar la siguiente expresión. Se halla el producto.
~t X 0,01
Ri
16 -;- 36 25
\)25
Se aplica la raíz de un producto.
d.
Se aplica la raíz de un cociente.
~t X Too
Se escribe el número decimal como fracción.
~ 16 1
- _±_ -;- --º-- - 28 = l.i. 5 7 30 15
Se resuelve la división.
c.{}) = (
~ J74
Jf x[Fo
Se aplica la raíz de un producto en el numerador
Hi ·Se aplica la raíz de una potencia.
_LX _l_
3
10 _L
4 Se resuelve la potenciación.
= == _ l_
_]Q_ _L
_i_
30
__1__
15
4 Se calculan las raíces
y se realiza la división. © Sa ntill ana \
81
Radicación de números naturales
Q
e
b.
Resuelve: a.
I.
b. c.
e
b.
0
fF f-f Hf
d. e.
f.
6
Hlio ff fFs
g.
flf
h.
Fdiio
~~ = : ~6 = ~
a.
f_i_
~ 9
X _Q_
36
b. 3/_l_ X _8_ ~ 27 125
G!I Soluciona problemas) e h=
.Ja
2
+ b2
b. ~2,25
c.
h
b
a
~B ~
Calcula la hipotenusa de cada triángulo de acuerdo con la medida de sus catetos.
d.
Ju= 2
a. a = 1§_ cm y b = R cm 5 5
=
VTI
7
-iis
c.
~ff¡
d.
-~- 6~ 6~5
7
7
.JOI6
e.~
d. ~0,36 .
f.
b. a = _l._ cm y b = - 1- cm 5 12 c. a
= _lL
3
cm y b =
2i cm 9
d. a = -4 cm y b = _l._ cm 2
O El ajedrez se juega en un tablero cuadrado de 64 casillas cuadradas iguales de colores intercalados blanco y negro.
~-0,027
O Simplifica cada expresión utilizando las propiedades de la radicación y la potenciación.
a.
(ffJ . ffi(1- ~~ )
b
Q Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si no lo es. En caso de ser falsa, escribe un contraejemplo. a. La raíz cuadrada de un racional siempre es mayor que su raíz cúbica. b. La raíz cuadrada de un racional negativo es un racional negativo. c. La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíees.
11
'l
8 C j © Santillana
1
Todo triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras que relaciona la medida de los catetos a, b y de la hipotenusa h, así:
c.
Calcula cada raíz.
· a. ~0,04
1
~3
Aplica las propiedades de la radicación para resolver cada operación.
e
~ Ejercita: 2-6 ~ Razona: 3-4-5-7
4
i.
5
1
Escribe un número en el cuadro para que se cumpla la igualdad. a.
¡·'
1
D. Al hallar una raíz cuadrada el índice es D.
a. Al hallar una raíz cúbica el índice es
Recupera información: 1
Un artesano necesita saber la medida del lado de cada casilla de cada tablero para elaborar las fichas de tamaño adecuado. Calcula el lado de cada casilla si se sabe que los tableros de ajedrez, a los que se les debe elaborar las fichas, tienen las siguientes áreas. a. 0,16 m 2 b. 0,25 m 2
c. 0,0256 m 2 d. 0,01 m 2
--i-- - - -......------=-----------_...."""'""_"""""___________ ..._(,~-,\, Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional -.i-----.. . . .--"""""'_________________...,_,__....___..,__....._,_...,..,._,........,...._,._... .................,,___..._,............
0'
1
~,\ - ·~
j
~/ __,,
.
1
Polinomios. aritméticos con racionales Un polinomio aritmético con números racionales es una expresión en la cual se combinan números racionales con varias operaciones aritméticas. En este caso, se encontrarán expresiones en las que se combinan la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación de números racionales. Las siguientes expresiones son ejemplos de polinomios aritméticos:
+
_l_
3
{-[ -
~
_L X _1
2
X (-
5
~
+
+ JL 2
-7-
-12_ 4
~ )] - ~ }
-
Sin signos de agrupación.
Con signos de agrupación.
En las expresiones anteriores se observan dos tipos de polinomios aritméticos: polinomios en los que no aparecen signos de agrupación y polinomios en los que aparecen signos de agrupación.
Polinomios aritméticos sin signos de agrupación Cuando un polinomio aritmético no tiene signos de agrupación, se soluciona realizando las diferentes operaciones en el siguiente orden: • • •
Primero, se resuelven potencias y raíces. Luego, se realizan las multiplicaciones y las divisiones. Por último, se solucionan las adiciones y las sustracciones de izquierda a derecha.
Por ejemplo, para solucionar el polinomio _l_ · 3 así:
+ _L
X _1
+ _.2_
2
5
12
-;-
li
se procede
4
Polinomio dado.
=_l_+_l_+l 3
20
10
5
+9+6 30
= 35 30
Se resuelve la multiplicación y la división. Se expresan como fracciones homogéneas.
(
= _]_
..
Se realizan las adiciones y se simplifica.
6
Cuando los polinomios aritméticos se encuentran formados por números decimales y por operaciones aritméticas, se procede de la misma manera. Por ejemplo, el polinomio 8,3 - 0,05 X 4,25 miento: 8,3 - 0,05 X 4,25
+ 3,15 se realiza el siguiente procedi-
+ 3,15
= 8,3 - 0,2125 + 3,15
Se realiza la multiplicación.
= 8,0875 + 3,15
Se resuelve la sustracción.
= 11,2375
Se resuelve la adición.
© ;
.
Santillana
1
83
Para simplificar una fracción hasta una fracción irreducible, se deben dividir tanto el numerador como el denominador entre el m. c. d. de los términos de la fracción
:-: Ejemplos (!) Simplificar los siguientes polinomios. a. _ _1_
+1X
5
_.±_ - 1 + _1_ - _1_ X 6 - _2_ - l i 3 3 2 2 4
=-_1_+lx_±_-l+_1_-lx~-_2__Q
5
1
3
1
3
2
1
2
4
Se resuelve la multiplicación y la división. ~
= _ _1_ + _.±_ - l + _1_ 5
3
1
-24
60
+ 80
60
- 60
+ 40
Se escriben los números enteros como fracciones.
_2_ - Q
2
-ºº- +
= - 24 + 80 60
3
-
2
40 60
4
180 60
270 60
Se plantean la suma
- 180 - 270 - 225
y resta de numeradores.
60 639 60
b.
213 20
0,4 -;-. ___±___ 4 0,4 0,16 16
0,0025 25
= 0,01 - 0,0001
Se resuelven las multiplicaciones.
225 60
Se resuelven las sumas y restas. Luego, se simplifica.
0,05 -;-. _5_ 5 0,05 0,000036 36
+ 0,000001
+
0,006 6
6 0,006
Se resuelven las divisiones. Se resuelven las divisiones entre términos de la fracción.
Se resuelven la suma y resta de decimales.
= 0,009901
@ La· pintura contenida en una caneca corresponde a los 29 m 3 de su capacidad total. Se han sacado 36
2- m 3 para pintar las paredes de la sala, 9
.1
_1_ m 3 para
9
pintar la cocina, _1_ m 3 para pintar los baños y l 18
.1
1\
6
m3
para pintar las alcobas. ¿Qué cantidad de pintura se sacó de la caneca? La expresión que indica la cantidad de pintura es: -2.. + _1_ + __1_ + l 9
9
18
Para resolver esta expresión se procede así:
= 20 + ·36 20
---ª-- + __.2_ + __.2_ 36
36
Se expresan como fracciones homogéneas.
36
+8+6+6
Se plantea la suma de numeradores.
36
= _1Q_ =
lQ_
36
9
Se resuelven las sumas.
Se sacaron de la caneca lQ_ m 3 • 9
84 1
.:,¡
1
© Santillana
6
~I Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
Polinomios aritméticos con signos de agrupación Cuando un polinomio aritmético tiene signos de agrupación, se resuelven las operaciones indicadas en el interior de cada uno, teniendo en cuenta el orden de las operaciones. Luego, se elimina cada signo de agrupación de adentro hacia fuera, aplicando la ley de signos.
Lossignos de agrupación usadosen matemáticas son: () paréntesis [ ] corchetes {} llaves
x Ejemplos
{!) Simplificar las siguientes expresiones. a. -{
~
! -(! + ~ ) - ! J+ 1}
+[
Se expresan las fracciones del paréntisis como fracciones equivalentes.
=-{
~
~
+[
~~ ) - ! J+ 1}
- (
Se resuelve la suma del paréntesis.
Se suprime el paréntesis.
=
-{-1.3. + [___1__ - 11_ 20 20
-12.._J + 20
i}
Se expresan las fracciones del corchete como fracciones homogéneas.
= -{
~
+ [-
~~ J+ 1}
Se resuelven la resta y la suma del corchete.
= - {
~
+ [-
~~ J+ 1}
Se simplifica la expresión.
Se suprime el corchete.
= -{ 20 30
= - {-
1 30 }
_R 30
=
b. 6,1 - (1,8
+
2º-}
Se expresan las fracciones como fracciones homogéneas.
30
1 30
+ 0,7)
Se resuelven las operaciones, se suprimen las llaves y se simplifica.
- [(5,6 - 3,2) - 1,9]
= 6,1 - (2,5) - [(2,4) - 1,9] = 6,1 - 2,5 - [2,4 - 1,9] = 6,1 - 2,5 - [0,5]
+ 2,5
+ 2,5 - 3,8
+ 2,5 - 3,8 Se resuelven las operaciones 0e los paréntesis.
+ 2,5 - 3,8
Se suprimen los paréntesis.
- 3,8
Se realiza la resta del corchete.
= 6,1 - 2,5 - 0,5 + 2,5 - 3,8
Se suprime el corchete.
= 1,8
Se resuelven las operaciones.
© Sa nti llana
1
85
Polinomios aritm éticos con signos de agrupación
:-: Ejemplos
1
Los números ra ciona les se utilizan en gran parte de la economía, ya que las cifras en que se presentan gra n cantidad de datos contienen cifras decimales.
c.
(;)'+ff-[(-~)'x(!)'J+[ IF¡f)
1
=
_1_
9
= _1_
9
+
+
3fr - [-_l_ X _l_J + ( Vs 8 . 9
_l_ 2
[-l 8
X
_l_J + [ 9
ffC+ f-f
j
Se resuelven las potencias.
\j 1{
+ +J +
Se solucionan las raíces.
_l_
4 = _1_
9
+ _l_ _ 2
[-l
X
8
_l_J + [ 9
~J
_l_
.
Se realiza la suma de los numeradores del paréntesis.
4 Se resuelve la división entre los racionales · del paréntesis. Luego, se simplifica.
= _1_
+
_l_ + _1_ + _lQ_
9
2
32
72
Se realiza el producto del corchete
y se suprime el signo de agrupación.
3
+ 36 + 1 + 240
Se plantea la suma de los numeradores.
72 =
309 = 103 72 24
Se realiza la suma y se simplifica.
@ Si Daniel le debía los l8 le pagó los l
4
de $ 2.520.000 a Lorena y .
de los _2_ de$ 2.520.000, ¿cuánto 14
dinero le debe aún Daniel a Lorena? La expresión que indica la cantidad de dinero que aún le debe Daniel a Lorena es:
I'
~
(
X 2.520.000) - (
!
X
l~
X 2.520.000)
X
1~
X
..., ...
Esta expresión se resuelve así: = (
~
X
2.52~.000 )
7.560.000 8 59.920.000 56
- (
!
37.800.000 56 37.800.000 56
15.120.000 = 270.000 56
86
1
© Santillana
Se escriben los números enteros como fracciones.
Se realizan los productos de los paréntesis
y se suprime el signo de agrupación. Se expresan las fracciones como fracciones homogéneas. Se resta y se simplifica.
Daníel le debe aún a Lorena $ 270.000. ',f
2.52~.000 )
1
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
~ Ejercita: 4,61Q
O Consulta en un diccionario el significado de lapa-
e
labra ''polinomio". Luego, escríbelo en tu cuaderno.
a.
b. [
O Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones.
c.
! +( ~
- [
~ ~
- ( - {
~ + ~)
J- ~
! +[( ~ +~ ) -( ~ +i) ]}
Resuelve los siguientes polinomios.
f. .j2,25 -[(0,08)
b. ( c.
+ ~ 16
25
~
e
_ _1_ 3
J-ff
r
+ ~ ~~
(-l9 +~- 12527 +1 l~ J+~ +(- ~ y- Pi
7
c. 2,3
resultado en la columna derecha.
c.
d.
(-~)+!+~X~
l.
(~J+(~r+ ~
2.
f-f xi+l x2 5
6
3
( ~ J 2: - ) 215 + )
149 75 7 45
3. - 107 42 4.
49 90
Indica cuál fue el error que se cometió al resolver la expresión y corrígelo.
(~J+~+!=!+~+~ -
4
. 13 14 13
117
+ 4,3]2 + (1 - 0,8)]2 -
+ 5(0,3
l}
- 27)]
+ _L = - .l.L
2
12
3
--ª- - _L = 2
+ 1,2 X
5
4
7,5 = 26,25
l!I Soluciona problemas) Un obrero realizó 1- de una obra, un segundo 3 . obrero realizó 1- de lo que quedaba de la obra 2 y un tercer obrero realizó el resto de la obra. ¿Qué porción de la obra realizó el tercer obrero?
f) Un grupo de niños compró una gaseosa de
3 2
litros. El primero se tomó ~ de litro, el segundo se tomó 1- de litro y el tercero se tomó el resto. 3
.
¿Cuántos litros de gaseosa se tomó el tercer niño?
(ti) Christiaan Huygens fue un matemático holandés, del siglo XVII, que planteó una expresión matemática para calcular el tiempo que tarda Saturno en dar una vuelta al Sol. Él la expresó mediante la siguiente fórmula. 29 _l_ anos. 2
= _i_ X 1±_ = __22._
9
2
+
---:--
9
- 0,2)
Escribe el paréntesis en el lugar que corresponde para que las igualdades se cumplan.
b. _i_ + _L +
O Relaciona cada polinomio de la izquierda con su
' b.
+ [(2,5
a. _1_ - 2 3 4
d. -(
a.
d. 0,31
~ ) J+ ~
X
e. 9,8 - {[(4,2 - 1,5)
2
e
~
O Se resuelven las potencias y los radicales. O Se resuelven las sumas y las restas. 2
1 ~ Razona: 71
• Suprime los signos de agrupación y resuelve cada expresión.
Escribe los números 1, 2 y 3 para ordenar el procedimiento que se sigue para resolver un polinomio aritmético.
a.
Comunica: 5
+ 3.
9 Determina cuántos años tarda Saturno en dar una vuelta al Sol. © Santillana
¡e7
1
· 1
J
1 11
.1
e caco es e numeras raciona e·s 6
,
6
Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce uno o varios términos llamados variables o incógnitas, representados generalmente pot una letra minúscula. · Así, _l_ 3
+x
= _ll_ es una
3
ec~ación en la que se distinguen los siguien.tes elementos . . _l_
+X
= _ll_
3 Matemático y astrónomo indio. Escribió un tratado astronómico ymatemático en versos llamado Aryabhatiyam. Halló soluciones para las ecuaciones indeterminadas de primer grado.
3
.............
Primer miembro Segundo miembro
Solución de ecuaciones con números racionales Cuando se resuelve una ecuación, se encuentra el valor de la variable que hace ver
+ lQ_ 3
=
_ll_ . Por tanto, la solución de la ecuación es x 3
= lQ_ .
3
Para !)olucionar una ecuación en el conjunto de los números racionales se debe aplicar la propiedad uniforme de las igualdades.
Para
e e ba , d, T
--º-- + _§'.__ f
b
E l[Jl tales que
= _f__
d
e:a -_ de se cumple:
+ _§'.__ f
Las ecuaciones en QJ pueden ser de dos tipos: ecuaciones de la forma x ± ~ · a e y ecuaciones de la forma b · x = d .
Ecuaciones de la forma x + Las expresiones x la forma x ±
+ lL = 2 .
_i!:.__ = _f_ .
b
d
_ll_ y x - .]__
2
4
0
= ~
e d
b
= _ _]_, son ejemplos de ecuaciones de 4
Este tipo de ecuaciones se resuelven al sumar o restar la
.
misma cantidad en los dos miembros de la ecuación. De esta manera se obtiene otra ecuación equivalente, por ejemplo:
x+lL=_ll_ =>x + lL-lL=_ll__Jl_ =>x = _±_ =>x=2 2
. 88
1
© Sa ntillana
2
2
2
2
2
2
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
%· x = e
Ecuaciones de la forma
d
Son ejemplos de ecuaciones de la forma _g_ • x =
b
_f_,
d
expresiones como _1_ • x = 2 4 2
1 · x = - -. Estas ecuaciones se resuelven al multiplicar o dividir los dos miemY~ 5 35 .
El producto de un nú mero, distinto de cero, por su inverso multipl icativo es igual a1. J_·J_=l 3 4
bros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, por ejemplo:
:-: Ejemplos Traducir a una ecuación cada expresión y resolver. a. La suma entre un número y _l_ es _lZ_ . 4
20
Se escribe la expresión que traduce la expresión. Se restan ambos miembros de la igualdad por _ J_ que es el inverso de J_.
4 17 - 5 20
X+ 4 - 4 4
4
Se plantea la resta entre numeradores.
x+ O =_l_ 5
Se resuelve la resta y se simplifica.
X= _l_ 5
Se expresa la solución de la ecuación.
b.
25_más la mitad de un número es igual a 75.
25
+ _l_ 2
25 - 25
0
+ _l_ 2
'
=
X
+ _l_ 2
Se escribe la expresión que traduce la expresión
75
•
X
Se restan ambos miembros de la igualdad por - 25 que es el inverso de 25.
= 75 - 25
Se resuelven las restas indicadas.
• X= 50
Se multiplican ambos miembros de.la igualdad
___¿ • _l_ • X = 50 • ___¿ 1
2
1
por
-2 1
que es el inverso .de J_ . 2
2 ·1 · x_50 2 --·-
Se escribe el número entero como fracción.
___¿ .X= 100
Se resuelve el producto. ·
1
2
2
1
1
1
1 •X = 100
Se simplifica.
X= 100
Se expresa la solución de la ecuación. © Santill ana
1
89
Planteamiento y solución de problemas En la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones se siguen los siguientes pasos: •
Comprender el problema. Se reconocen en el enunciado los datos y las incógnitas que se deben calcular. A continuación, se asigna una letra minúscula a la incógnita, que es la información desconocida en el enunciado. Elaborar un plan y llevarlo a cabo. Se escribe la ecuación correspondiente a la situación que plantea el problema. Luego, se resuelve la ecuación aplicando la propiedad uniforme de las ecuaciones. Verificar la respuesta. Se remplaza el valor obtenido para la incógnita y se verifica si dicho dato hace verdadera la igualdad. Redactar la respuesta. Una vez verificada la solución, se redacta la respuesta correspondiente a la pregunta planteada en el problema.
:-:Ejemplo Resolver la siguiente situación. Si al dinero que tiene Daniel se le agrega la mitad y $ 100.000 más; Daniel tendrá $ 1.000.000. ¿Cuánto dinero tiene Daniel? Para resolver la situación se deben realizar los pasos de solución de problemas. Comprender el problema. Se asigna la letra x al dinero que tiene Daniel, así: dinero que tiene Daniel: x Elaborar un plan y llevarlo a cabo. Como se le añade la mitad del dinero que tenía Daniel, además de $ 100.000, se tiene que: J_ 2
. _l_ ' 2
X
+ 100.000 =
1.000.000
•X
+ 100.000 -
100.000
_l_ 2
·1·
1 .
X+
· X+ 100.000 = 1.000.000
Se resuelve la suma de los térm inos de x. Se resta 100.000 a ambos miembros de la ecuación.
= 1.000.000 - 100.000
Se resuelve la resta.
1
_l_ ' 2 -
2
3 X=
X
• -
= 900.000
3
· Se multiplican ~mbos miembros de la.igualdad por
. 2 = 900.000 ' -
' X
2
3
~
.
Se resuelven las operaciones indicadas.
600.000
Verificar y redactar la respuesta. Remplazar el valor de x en la ecuación para comprobar si el valor que se encontró cumple las condiciones del problema. 600.000
+
Luego, x
=
J_ . 600.000 + 100.000 = 600.000 + 300.000 + 100.000 = 1.000.000. 2 600.000 cumple con las condiciones del problema.
Finalmente, se redacta la respuesta: El dinero que tiene Daniel es $ 600.000.
9 O 1 © Santill ana
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
fJi O Explica con tus palabras los pasos que se siguieron
Recupera información: 1
e
para resolver la siguiente ecuación con números racionales. 5 1 2 -
3
3
c. y - 4,038
b
2
5
3 -9
a. -m=-5
e
-12
5
9 -5
Un mago le pidió a un niño que siguiera las instrucciones y él adivinaría el número que pensó. • Piensa un número. • Duplícalo y añade al resultado 30 unidades. • Halla la mitad de lo que obtengas y réstale a esa mitad el número que pensaste.
6
-100
1 c. -y=-7 13
f. --x=4 2
Resuelve las siguientes ecuaciones. a. _l_ 5
b.
+X =
_l_
=
_l_
_l_
X -
7 C.
_l 4
d. 2._ = 3
2
X -
2
7
e. _l_ + _l_
5
+ _l_ =
+ _±_
X
9
= _l_ -
4
3
_l_
=
7
_l_
9
O Verifica si la respuesta obtenida para cada ecuación es correcta, remplazando la incógnita. a. _1_ X 2
b. C.
+ _l_ 5
~
X
=
lJL
e
11
J
Pensé un número, le sumé _l_ y obtuve 2. ¿Qué , '( 3 9 numero pense.
O A un número lo multipliqué por· _l_ y obtuve __§__ .
3
¿Cuál era el número?
_±_X =
d. _l_
l!I Soluciona problemas) ·.
15
X
7
e
= 4
Al final, el mago adivinó que el niño pensó en el número 15. · ¿Cómo adivinó él mago el número que pensó el niño?
X
2
f. -x + 2 -
_l_ 7
= -7,31
· Lee la siguiente situación. Luego, plantea una ecuación y responde.
e. 4p=-
8 12
6
32,76
d. 15,3 - y= 12,017
7
d. - p = -
b. --x=-
+ 1,7 =
b. 4,02 - 5,3y = 2,9
5
A . a V Resuelve las ecuac10nes de la forma -x =c. 1
Encuentra el valor de y en las siguientes ecuaciones. a. 5,3y
= -
-X -
1 ~ Ejercita: 2-3-61 {f¡ Razona: 4-5-71
_l_ ~ X = .]_
3
_l_
y a lo que obtuvo le sumó _±_. Si el resultado fue 9 . __L, ¿cuál número pensó Daniel? 27
20
9
35
.
CD Daniel pensó un número, lo multiplicó por _ 3
6
- 4 X ~ X = _.2__
=
5
5
Escribe una ecuación que represente cada enunciado.
G Ángela tenía una cierta cantidad de harina. Si usó
a. La mitad de un número aumentado en 1 es igual a 9.
_l_ de esa harina para hacer un pastel, luego usó 3
b. Los _l_ de un número es igual a 16.
1,5 kg para hacer galletas y aún le quedan 0,75 kg de harina, ¿cuántos kilogramos de harina tenía inicialmente?
3
c. Un número más _±_ es igual a 2. 5
d. La tercera parte ·de un número menos 5 es 8
igual a _l_. 9
e. El triple de un número es igual a . _2_. 4
ce
Calcula el valor de la base de cada rectángulo si se la medida de su altura y se sabe que el perímetro es 35 m. 7 1 3 a . -5 c. b. 9 ~iene
2
© Sa ntill ana
l 91
1
Fracciones equivalentes Simplifica las siguientes fracciones hasta su forma irreductible. a.
c.
124 68
b. _ ---12_
e.
125 600
d. - 200 250
343
420 49
cumplan las equivalencias. .!!!:__
=
b. 2_ = n
-
p
125 95
e. _M_ 200
c. 1.1_ = _1_ 3
f.
30
Ubica cada conjunto.de racionales en una misma recta numérica.
b.
{-1 ,
q r
Escribe las siguientes cantidades como números . mixtos.
Escribe
a. .]_ libras de harina. 2
D i7
d. 0,01 D 0,19
b. 2
on
e. 9,o3 D -o,9
.
3
25 litros de agua.
>, < o = según corresponda. ·
ª· ..1... 9
,
{~, -l, l:}
Orden en los racionales
e
..
d.
Y determina si es un cuadrado midiendo sus án gulos.
300
Números mixtos
b.
{~ , ~, l~}
(- ~,-~),(~,-~),(-~, !}(~, ~)
lQ_
_Q= 35
c.
G Construye un cuadrilátero con vértices:
81
=
_l_}
_l_, 2 4
10
d. _Q = - 45
35 49
7
e
121 99
f.
f) Escribe un valor para cada letra de manera que se a.
Representación de racionales en la recta numérica. y en el plano cartesiano
c. _ 1.1_ 3
4
8
D
_lZ__ 7
f. -5,381 D -5,096
c. lL kilogramos de café . 8
• Las _TI_ partes de la masa corpo50
ral humana están compuestas por agua.
Clasificación de los números decimales
e
Las _l_ partes del cerebro huma4
Expresa los siguientes racionales en su forma decimal. Luego, clasifícalos. a. 2
c.
lQ_ 10
e.
d.
10 6
f.
8
'i b.
12 25
2 3
Indica los siguientes pesos en su forma decimal. a.
b.
c.
d.
Los huesos humanos tienen _l._ parte compuesta por agua.
13 6
.
mano están compuestas por agua. 4
La sangre humana está compuesta ____§}__ partes por agua. 100 a. ¿Es mayor la fracción de agua de la sangre o del cerebro humano? b. ¿El contenido de agua en el cuerpo humano es menor a la mitad de la masa corporal? c. ¿Se puede afirmar que más de _l._ de los huesos 3 están compuestos por agua?
(fi) Ordena de menor a mayor los siguientes números. 9
e
1 © $antill ana
:1
Multiplicación y división de racionales (9 Calcula los siguientes productos.
Adición y sustracción de racionales
G Resuelve las siguientes operaciones. a.
..l.. + _1_ 2
_2._
+ _!§_
3
g. _Ll_ - _Ll_
c.
2
5
3
d.
1 + ( 90
e.
-;-(~)
8
b. ( -
h.
(-~1)+(-1~)
c. (
i.
(-
7
1±_ - _1_
3 ) 16
a. 2._ X (--1-) 3 17
9
b. _i_ + _il. 7
e
f.
5
j.
1~ )
- (-
1~ )
-(-~) + (~)
Relaciona cada operación con su resultado. a. 3,605 - 4,29
l. -5,1
b. 2,73 + 1,9 - 0,5
2. 23,678
c. - 0,3 - 5,8
+
1
3. 4,13
d. 23,12 + 0,758 - 0,2
4. -0,685
d. 4,32 X 0,8
1~ ) + ( - ~ )
e. 5,24 + (-2,3)
~ ) X (- ~ )( - ~ )
f. ( -O,l)(0,5)(0,7)
fJ) En la Luna, el peso de los objetos corresponden a ..l.. del peso de los objetos en la Tierra. Calcula el
6 peso que tienen en la Luna los siguientes astronautas. a. Jane: 63 kg
c. Michel: 54 kg
º kg
b. Joseph: 15 2
d. John: 73...l.. kg 2
O Halla el área de los siguientes rectángulos. a.
b.
3,Sm
(9 Adriana compró en el ~,____--4,3-21-n~ ~
supermercado: 0,250 kg de espinaca 1,3 kg de manzanas 2,45 kg de tomates 1,82 kg de ceb.olla 2,08 kg de maracuyá
l
\
0
1
'
42
~l,95 m-<
\
m
1
Potenciación y radicación en Q (f) Resuelve las siguientes potencias.
¿Cuál fue el peso total de los productos que compró Adriana en el supermercado? Julián compró l.L galones de pintura blanca y la 2
mezcló con ..l.. de galón de pintura azul. Si de la 4
cantidad de pintura resultante gastó _2_ galones 2
a. (
b. ( _
J ~J ~J r c. (
e. (-
d. ( ;
f. ( _
a. (
b.
~ J( ff)
c.
(!f(;f
d.
r ~r
~ J g. ( ~2 ~ J h.
(
e;, Simplifica cada expresión.
al pintar la casa, ¿cuántos galones de pintura le sobraron? ¿Le sobra más o menos un galón? ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
~
{25 ~
~16 ~2s
~ 1~5 ( ! (~ r
r
Ecuaciones con racionales
G Camilo gastó
J_ de la leche que tenía. Si lo que 4 gastó corresponde a J_ de litro de leche, ¿cuántos
>----~---
11 ,3 m
------~
1¡
8
litros de leche tenía inicialmente? © Sa nt ill ana
1
93 .
)
.·..
Números raciona,les . ,, ... ~... ~~ú-~ - .,.
·--:,-
"\
••,,._'.
;"
·,
f
.,
___
·\ El conjunto de los números racionales, Q, se define como el conjunto de cocientes entre dos números enteros, es decir,
Q
Para sumar o resta r dos o más números racionales cuyos denominadores son iguales se realiza el sigu iente procedimiento: • Primero, se suma n o restan los valores del numerador. Segundo, se escribe el mismo denominador. Tercero, se simplifica la fracción obten ida, hasta hal lar la fracc ión irreductible.
g/a, b E Z, b i= O y mcd(a, b) = 1}
= {
.
_... ;
•
'
•
'
,
e
~
'
•
~ '
.:'-·
'··
:.-"'.
-
;~:¡
/ ... -~,·
·,-;··~-·~
Potenciación . ·.. . · -~ de números racionales.. " ·,
__
Para dividir números racionales en forma de fracción, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción . Si es posible, se simplifica el resultado.
--:
.\ .·_:.. • .1
Las propiedades más usadas de potencia-
g E Q, con b =O, n, m E Z son:
ción para
r
(gr. (g =(gr+m (gr g =(gr-m [( gfr=( gfm
ti
..··, •,
94
1
© Sa ntillana
\:.
' ' 1/
--'.'•
1'
En la solución de problemas se deben tener en cuenta los siguientes pasos: Comprender el problema. Elaborar un plan y seguirlo. Verificar la respuesta. Redactar la respuesta.
r
7 (
..
... ·.·, .
;-·. ·, '•
"'
;'
,r_ _-..
Dos o más fracciones con diferente denom inador se pueden sumar o restar de la siguiente manera: Se transforman los rac ionales a fracciones homogéneas, es decir, con ig uales denominadores. • Se real iza la suma o la resta de los va lores del numerador y se escribe el denominador común. Se simp lifica la fracción, hasta hallar la fracc ión irreductible.
Para multiplicar números racionales en forma de fracció n se multiplican ent re sí los nu meradores y los denom inadores ent re sí. El resu ltado se sim plifi ca si es posible. En algunas ocasiones es posible simplificar antes de multipl icar, es importante hacerlo, ya que este proceso facil ita la solución del ejercicio.
.._
:-;:.
.,
,1 "". ·
Multiplicación qe _ rácio'ndies _.·, 'J
',:
.. '·'·
:·
/.
~ /
._.. :.1
. '\
/
.
Los números racionales en Google Earth
.F ~ M->\>;>•<>
º""'""" .......~.
Google Earth es un software similar a un Sistema de Información Geográfica (SIG), creado por la empresa Keyhole Inc. que combina imágenes de satélite, mapas ............ • y el motor de búsqueda de Google. -o ... ~.,
- ~~::.~~>tu
~
·-·~
• !<> .., ..... ~
• ' f'IM ''"'"'"' !!
Cuenta con tres versiones, todas disponibles en inglés: : ·-*}' '""' ~:::·::':.~•! una gratuita llamada Google Earth Free y otras dos . ,i!..".': versiones de pago (Google Earth Plus y Google Earth Pro). Google Earth Free permite al usuario: Se puede localizar un punto de la superficie de la Tierra • Aproximarse a un territorio de la Tierra desde la ata partir de sus coordenadas, es decir, a partir de su mósfera y observarlo desde diferentes alturas y latitud y su longitud. La latitud es la distancia angular ángulos. entre el Ecuador y el punto se mide en grados(º), entre • Desplazarse entre ciudades de diferentes países del Oº y 90º y puede representarse con valores positivos si mundo, volar de un sitio a otro recorriendo océanos es norte y negativos si es sur. La longitud, es la distancia o grandes territorios como desiertos y selvas. angular entre el punto dado y el meridiano Oº (meri• Observar calles, edificios, casas y monumentos de diano de Greenwich), se mide también en grados (º), las ciudades. entre Oº y 180º con valores positivos para el este y ne• Marcar y guardar imágenes de sitios y compartirlas gativos para el oeste. Algunos ejemplos de coordenadas con otras personas a través de Internet. de sitios que se pueden ubicar con Google Earth son: • Medir la distancia entre dos sitios trazando una Aeropuerto El Dorado, Bogotá 4,69979779372º, . trayectoria. -74,1446263761 o • Observar las formas de relieve (nevados, volcanes, ~
llanuras, cordilleras, valles, altiplanos, etc.) en cual, quier lugar del mundo y conocer sus nombres. • Conocer las coordenadas de cualquier punto de la Tierra y ubicar un sitio a partir de sus coordenadas.
I' 1,
.1
Gran muralla China 34,381247º, 109,254079º Cataratas del Iguazú -25,690327º, -54,438629º Islas Galápagos -0,329588º, -:-90,681152º
a
Plantea y actúa
1
C) ¿Qué indican los signos negativos en las coorde-
e Responde con base en la información anterior.
e
e
¿La latitud del aeropuerto El Dorado es norte o sur? ¿La longitud de las Cataratas del Iguazú es este u oeste?
nadas de las islas Galápagos? Usa una hoja de papel milimetrado para ubicar los siguientes puntos: Himalaya: 30º, 80º Andes: 20º, - 64 º Gran Cañón: 36,05º, -112,14º
© Santillana
1
95 1
1
1
n n
::::¡
a..
OJ
a.. OJ a..
OJ
::::¡
c;·
n
o....
-o
OJ
V\
n ..... OJ
a.. OJ a.. a.. .... ro
OJ
OJ
o.:
o::::¡
n
o -o o....
\J ....
lJ
o::::¡
n
o ro<....
-o
OJ
ro
a..
V\
ro
o ::::¡
OJ
o -o o ....
\J ....
)>
-o
~
~
V\
ro
::::¡
c;·
n
-o
o o ....
-o ....
'<
ro V\
::::¡
o
OJ N
:o
¡¡¡J
et.
e
Q..
~·
:J
e
-e
([)
o_
3 e(/)
ro=t
V-
e_
o
~
-·
.,_e
()
~
o
-o
-o ..
f~l
\_"~i11'9JllllJH!':i:;.'.;~~
.
_,_.,,_,_LZ!
"(
<:
!lltlii.~·
-;
~m
70.391 . "' º~-·. \\. ¡,;_
t 4't1(t ('. ~'·
~o
... . .
23.31
R!iill&tAUU:P_ .. .>i.o"li.::I" - .. - ~, )1
·"
/
....
Si para preparar un postre para cuatro personas se necesita medio litro de leche, 250 g de azúcar y 3 huevos, ¿qué cantidad . de ingredientes se necesita para hacer el mismo postre para doce personas? Dos de los animales más rápidos del mundo son el guepardo y el avestruz, aunque el primero es el más rápido. Si la razón entre sus 6 velocidades es - y la velocidad 5 del guepardo es 108 km/h, ¿cuál es la velocidad del avestruz?
Un pedazo de la historia Por fin, Alí había conseguido sacar a Schoene del hotel, donde llevaba recluido cuatro días sin apartar la vista ,de aquel libro, que a intervalos hacía exclamar a Schoene: - ¡Es maravilloso! ¡Fantástico! ¡Estuvo perdido durante siglos y lo he encontrado yo' Aquel la tarde, paseando por el zoco, Sc hoene no dejaba de hablar de su nueva adquisición, de la que decía ser una pequeña pieza del puzzle de la historia. - Alí, el libro es la prueba. - Schoene lo miraba emocionado-. Es una traducción de un libro de matemáticas de Herón de Alejandría perdido hace mucho t iempo, cuyo origina l se escribió en el sig lo l. - Yo prefü:ro lo real a las teorías matemáticas -contestó Alí sin compartir el entusiasmo de su compañero. -Te equivocas Alí, este li bro está lleno de aplicaciones prácticas: enseña maneras de aproximar raíces
1
1
cuadradas no exactas, métodos para ca lcular área de polígonos, volúmenes de cuerpos e, incluso, división de su perficies en partes proporcionales ...
1
Estos conocimientos eran muy úti les en el Egipto del sig lo 1, por ejemplo, para ca lcular las medidas de los terrenos que cultivaban o repartir herencias. Tomado de Matemáticas 3 Eso, España, Ed itorial Santi llana, 2007.
1
1 • Según la anécdota anterior, ¿cuál es la importancia del libro de matemáticas de Herón de Alejandría? ¿Qué otras aplicaciones, aparte de la división de superficies mencionadas en la lectura, crees que tiene laproporcionalidad? ¿Cómo se podr[a repartir un terreno de 1.000 m2 entre dos familias de tal forma que auna le correspondan 7 partes yala otra 13?
Razones y proporciones El estudio de las razones y de las proporciones se inicia como solución de problemas de repartos proporcionales, el cobro de impuestos, el cambio de moneda, también aspectos geométricos relacionados con la medición y semejanza de figuras utilizadas para la construcción de templos y edificios. En la actualidad, se presentan variadas aplicaciones de la proporcionalidad que involucran relaciones y comparaciones entre dos magnitudes. La relación y comparación entre dos magnitudes se puede expresar como el cociente entre dos números;
Razón a
El cociente indicado entre dos cantidades a y b, - con b =!=O se denom ina la ra zón entre a y b. b
a
Una razón se puede presentar como - o como a : b, en ambos casos se lee: "la razó n de a a b" o "a es a b". b
a
~
En una razón - , a es el antecedente y bes el consecuente.
b
.
x Ejemplos
@ En un colegio hay 300
(D Escribir cada expresión como una razón..
niñas y 200 niños. Determinar la razón en cada caso.
a. 4 es a 21 4 se escribe como antecedente y 21 se escribe como · consecuente. 4 As1,' - representa 1a razón d e 4 a 21. 21
a. La razón entre la cantidad de niñas y la cantidad de estudiantes del colegio.
b. 0,5 es a 10
Como la cantidad de estudiantes es 500 y la cantidad de niñas es 300, entonces, la razón entre la cantidad de niñas y la cantidad de estudiantes es:
0,5 es el antecedente y 1O es el consecuente, luego, 0,5 5 10
100
300
5 . 1a razon ' d e 0,5 a 10. As1,' - . representa
500
100
2
.
c. :.....:· es a 7 9
2
•
.
· ll..1
7 es el antecedente y 9 es el conse2
7 9
. 9 2 9 Así, - representa la razón de - es a - . 14 7 4
98
1 © Sa nt illana
b. La razón entre la cantidad de niños y la cantidad de estudiantes del colegio.
4
18 9 cuente. Entonces - = - = - . ' 4 28 14
1
5
3
Por lo tanto, la razón es - . . 5
4
En este caso
3
"'
Como la cantidad de estudiantes es 500 y la cantidad de niños es 200, entonces, la razón entre la cantidad de niños y la cantidad de estudiantes es: 200 2 500
Por lo tanto, la razón es
5
~. 5
Series de razones iguales Se denomina serie de razones iguales a la igualdad de dos o más razones equiva lentes.
'd e razones .1gua 1es se s1m ' bol iza como:_:__ a Una serie b
= · -C = -e = ...
d
f
Por ejemplo, el equipo de fútbol de un colegio, ha ganado 5 de los 9 partidos que ha 5 jugado. La razón que corresponde a la situación es - .
.9
Sin embargo, si los datos fueran que el equipo ha ganado 10 partidos de los 18 jugados, 10 5 la razón que correspondería a este caso sería - , que al ser simplificada es igual a - . 18 9 5 10 . Por lo tanto, se puede afirmar que las razones - y - son equivalentes, es decir, 10 9 18 5 - = - . De igual forma, se puede llegar a la misma conclusión si los datos fueran 9 18 15 5 que el equipo ha ganado 15 partidos de los 27 que ha jugado, ya que - =-.Por lo 27 9 5 10 15 tanto, se puede concluir que las razones - , --:- , - son una serie de razones iguales, es 5 10 15 9 18 27 decir: - = - = - . 9 18 27
Matemático italiano. Viajó alrededor del Mediterráneo para estudiar con matemáticos árabes. Formuló la sucesión de Fibonacci, en laque se puede hallar el número de oro o la proporción divina.
'
1 '
Propiedad fundamental de una serie de razones En una serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual a cada una de las razones de la serie. Es decir, si a e e a e e a+c+e - = - = - entonces - = - = - = . b d ¡' 'b d f b+d+f
. 1 0,2 0,6 2 . 0,2 0,6 2 0,2 + 0,6 + 2 Por eJemp o, como = = - se tiene: = = - = ----0,5 1,5 5 0,5 1,5 5 0,5 + 1,5 + 5
2,8
7
...
x Ejemp los Hallar los términos desconocidos en cada serie de razones iguales.
a
12
18
a.-=-=20 5 b El valor de a se halla de la siguiente manera: 12
3
20
5
a
b
18
5
30
---
12
a+ b
Se aplica propiedad de razones iguales.
2
2 + 12 21
Se remplaza el valor de a
-----
a
Se cbmplifica por 6.
18 18 Ahora, al comparar - =-,se tiene que b = 30. b 30 Por lo tanto, los valores son: a ~ 3 y b = 30.
21
2
Ahora, al comparar - = - , se tiene que a = 3. 5 5 El valor de b se halla de la siguiente manera: 3
+b=
a
Se simplifica por 4.
3
b
a
b. :---- = - y a 2 12
14 3
Se simplifica por 1. ·
2
Se compara -
a
2
a=3 b
3
18
12
2
12
---
b = 18
+ b.
3
= -.
2
Se plantea la proporción y se complifica. b Se compara 12
18
= -. 12
©. Sa ntillana
1
99
Razón y serie de razones iguales
O Halla los términos desconocidos de la serie.
O Escribe cada expresión como una razón. a. 8esal0.
c. 0,02 es a 1,009.
b. 202 es a 180.
d. 36 es a 100 . 5 9
a a b e b. 3 = 15 = 21 y 4
e
Escribe la razón entre dos cantidades sabiendo que una de ellas es el triple de la otra.
e
Expresa en términos de una razón las situaciones. a. En una población hay tres adultos por cada niño. b. En los últimos cuatro mundiales Colombia solo clasificó a un mundial. c. De 10 personas que ingresaron a la educación superior, en una ciudad, solamente se graduaron 4. d. En los números naturales primos menores que diez solo hay un número par. e. En un hospital nacen siete mujeres por cada tres hombres.
1'
f) Escribe tres razones equivalentes en cada caso. a.
b. c.
e '
1
3
3 4 2 5
1 d. 2
-
f.
-
I¡ 1
3m
1
·1
·¡
1
e
.8
4 9
g. -
3
h. i.
4 5
1 7
5 j: 6
k. l.
10
-
13 3 11
Determina la razón entre los perímetros de los siguientes rectángulos.
D2ml
1
7
e.
2
a
A V
12
'r
'. ,
3 d. -;; =
Halla el valor de (a
a 9
45
18
b = --;;- y
a + b + e = 40
+ b-
a b e =- = - y 5 9 3
e), si -
a+ b +e= 85.
l!I Soluciona problemas) O Se realiza una encuesta entre los estudiantes de un colegio sobre los deportes que les gusta practicar. Deportes
Cantic:lad de estudiantes
Fútbol
180
Baloncesto
135
Vo leibol
55
Cicl ismo
85
a. Determina la razón entre el. número de estudiantes que les gustad fútbol y los que les gusta el ciclismo. b. Halla la razón entre los estudiantes que prefieren voleibol y los que les gusta el baloncesto. c. Halla la razón entre los estudiantes que les gusta el fútbol y el total de estudiantes.
G) A partir del triángulo equilátero de la figura res'ponde:
16m 9m
En el parqueadero de un centro comercial hay 160 automóviles y 80 motos. Determina las siguientes razones.
a. Razón entre el número de motos y automóviles. b. Razón entre el número de automóviles y el número total de vehículos. . c. Razón entre el número de motos y el númeró total de vehículos.
1OO 1 © Santillana
9
+ b + e = 26
a
a. ¿Cuál es la razón entre el perímetro y su lado? b. Si se duplica el lado, ¿cuál es la razón entre el perímetro y su lado?
CD Responde: ¿Cuántas personas viajan en el autobús si en el automóvil caben 5 pasajeros y la razón · . 2 entre las capacidades de los dos es - ? 18 ------.:::t-
' : t·
2 6 .. b c. - - - - -
1 3 7 a. - = - =
....¡___________....,,,,......,.,__________...,..._......,,,...._,__,________........,.........____________.,......___
(--"\\
~""""'
Estándar: pensamiento variacional \ 17
.1
~;~--"'.
Proporción Una proporción es una igu al dad de dos razones.
e
a
"-
La proporción entre las razones - y - con b 'Í' Oy d b d y se lee "a es a b como e es a d".
a
-=!=
e
O se escribe - = - o a: b :: e: d b d
21 Por ejemplo, las razones ?__y forman una proporción ya que al complificar por 3 3 9
, 7 21 1a f raccion se tiene que: - = - . 3
1
Las razones
9
2
2 y 3 no forman una proporción ya que ninguna de las dos se puede
obtener a partir de la complificación o la simplificación de la otra.
· a e En la proporción = a y d son los extremos y b y e son los medios.
b d,
Por ejemplo, en la proporción
~=
: , o 3 : 5 :: 6 : 10; 3 y 10 son los extremos y 1
5 y 6 son los medios.
•
Teano stglo VI a.c. Matemática griega, esposa de Pitágoras. Luego de la muerte de su esposo, dirigió la escuela pitagóri ca. Escribió tratados sobre la proporción áurea, que es un nú. mero algebraico que se aplicó en la construcción de templos y de obras de arte.
Cuando, en una proporción, los medios o los extremos son iguales, la proporción recibe el nombre de proporción continua. 3 9 20 4 . Por ejemplo, - = - y = - son proporciones continuas. 20 9 27 100 El término que se repite en una proporción continua se denomina media proporcional de los términos no repetidos. Así: 3
9
. En la proposición - = ·-, 9 es la media proporcional de los términos 3 y 27. 9 27 • Cada término en una pr~porción con todos sus términos diferentes se denomina cuarta proporcional de los tres términos restantes de la proporción.
8 4 = -, x es cuarta proporcional de 8, 3 y 4. 3 X
Por ejemplo, en la proporción -
·
Así, en la proporción
e ba = d, des cuarta proporcional de a, b y c.
Propiedad fundamental de las proporciones En toda proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a
En general, si b
e
= - , entonces, a X d = b X c. d
.
"-
Á
8 12 Por ejemplo, en la proporción - = - se tiene que: 10 15 8 X 15
= 120 y 10
X 12
= 120, por lo tanto, 8
X 15
= 10
X 12
La propiedad fundamental de las proporciones permite verificar si un par de razo.nes forman una proporción y también permite hallar el valor de cualquier término desconocido en la proporción. . © Sa ntill ana
¡1O1
·
j
--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-J
Proporción
::
x Ejemplos (}) Determinar, en cada caso, si el par de razones representan una proporción.
ª·
12 6 32 y 16
12 X 16 = 192 y 32 X 6 = 192
@ Encontrar el término desconocido de cada proporción. n 8 a. - - 2,5 5 n X 5 = 8 X 2,5
12 6 .' Luego, - = - es una proporc10n. 32 16
Se despeja n y se realizan las operaciones.
5
n=4 · , n Por 1o tanto, en 1a proporcion -
2,5
5 X 0,75 = 3,75 y 7 X 0,25 = 1,75
b. -
.' Luego, - - = - - no es una proporc1on. 0,25 0,75 .
8 X 2,5
n=
5 7 b. 0,25 y 0,75
5
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones.
7
5
b - -
120
8
5X3 1 b = -- = -
3
3 X 6 = 18 y 4 X 8 = 32, luego 3 X 6 =f. 4 X 8. 6 4 Por lo tanto, las razones - y - no establecen una
8
3
120
8
Sedespejabyse realizan las operaciones.
Por lo tanto, b = .!_ en la proporción dada. 8 .
@ Determinar el valor de x, si las medidas de los
proporción.
@ Encontrar dos proporciones a partir de las si-
lados correspondientes de los dos triángulos son proporcionales. E
guientes igualdades. 0,3 X 4 = 2 X 0,6
d= 6
En este caso 0,3 y 4 pueden ser extremos y 2 y 0,6 pueden ser medios, entonces, una proporción es :
0,3
0,6
2
4
C
4
0,6
a
2
0,3
b
d e
3
6
4
e
Así, las proporciones cumplen la propiedad fundamental. ·
1
·
a
9
. @ Determinar la media proporcional en ¡ = -;¡. a
9
a2 = 36
a=6
Se aplica la propiedad fu ndamen tal de las proporciones. Se multiplica y se extrae la raíz.
Por lo tanto, la media proporcional de 4 y ·9 en
a
9 4 · a
- = - es a= 6.
1~ 2
1 © Sa ntill ana
A
F
·e
D
3Xe=6 X 4
e=8
Se remplazan los valores. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Se despeja ey se realizan las operaciones.
Además,
--4 a
a2 = 4 X 9
b=4
f
Como la medida de los lados de los dos triángulos son proporcionales se cumple que: . .
Otra proporción puede ser:
1
5
Se aplica la propiedad fu ndamental de las proporciones.
3
5 X 3 = b X 120
6 4 c. - y -
8
= - , n = 4.
a
d
e
f
Se remplazan los valores.
3
6
5
.f
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones.
3Xf=6 X 5
f= 10
Se despeja f y se reálizan. las operaciones.
Por lo tanto, las medidas de los lados desconocidos · del triángulo DEF son: e = 8 y f = 10.
Estándar: pensamiento variacional
.
~Ejercita: 1-2-3 1
O Escribe, frente a cada razón, otra razón para formar una proporción. 1 8 a. d. 2 3 b.
2 5
3 c. . 7
.e
4
e.
-
f.
-
6 5 3
h.
3
j.
4 1 5
2
k.
-
l.
-
2 i. 3
4 1
6
b.
1
t(s)
x(m)
Gasolina (cm 3 )
Distancia (km)
5
1.000
7.000
70
10
2.000
10.000
100
20
4.000
14.000
135
25
5.000
"' 21 .000
205
"' a. b. c. d.
X X X X
3=1 X 6 4=2 X 6 6=8X3 4=2 X 2
salario de $ 350.000. ¿Cuántas horas al día debe trabajar para recibir $ 490.000? La razón de consumo de agua por persona en un día caluroso es 3,75 litros por cada 3 personas. En · las mismas condiciones, ¿cuántos litros de agua consumen diariamente 7 personas?
e
e. 5 X 3 = 15 X 1
f. 6 X 2 = 12 X 1 g. 5X6=10 X 3 h. 8 X 10 = 20 X 4
e
O Encuentra el término que falta en cada proporción. a.
3
a
4
8
[
5 15 b. - - a 21 c.
2
12
12
a
---
g.
9
54
2 3
a
4-
2,2
a
d. - - 5 20
3
7
28
Una caja de 12 colores cuesta$ 15.000 y una caja de 48 colores cuesta $ 55.000. Determina si las razones entre las cajas de colores y precio forman una proporción. De no ser así cambia el precio de la caja de 48 colores para formar una proporción. Tales de Mileto utilizó un método interesante para medir la altura de la pirámide de Keops, aplicando las proporciones .
a
i.
_]_=~ 2 4
15 3 e. - - a .21
Una caja de 12 colores cuesta$ 15.000 y una caja de 48 colores cuesta$ 55.000. Determina si las razones entre las cajas de colores y el precio forman una proporción. De no ser así cambia el precio de la caja de 48 colores para formar una proporción.
h. 0,25 -~ 1
2
e
X
Escribe las razones que plantea cada situación y determina si son o no proporciones.
O Por trabajar 5 horas diarias , Daniel recibe un
.
2 3 4 1
i
Q!I Soluciona problemas)
Escribir ocho proporciones a partir de cada igual-
&d
Razona: s
a. En una ciudad A hay 3 carros por cada 120 personas y en una ciudad B hay 2 autos por cada 80 personas. b. En el laboratorio de un colegio A hay 6 computadores por cada 35 estudiantes y en un colegio B hay 12 computadores por cada 60 estudiantes. c. En un bus viajan 45 personas sentadas y en 4 buses viajan 225 personas sentadas .
2
Determina si los datos de cada tabla conforman o no una proporción. Explica tu respuesta. a.
e
9
g.
e
~"'\
j.
MP
AB
AP
10
2=2a
MN.
9 14
~==============
Calcula la altura de la pirámide de Keops, teniendo en cuenta que Tales utilizó un bastón de 1 m de largo que proyectó una sombra de 3 m, cuando la pirámide proyectó una.sombra de 438 m.
·=======...--.....:::--""'==,.,,...-·==·..::..===---------. -==-=-==--====="" © Sa ntillana
l 1O 3
l.
Propiedades de las proporciones En una proporción se cumplen también las siguientes propiedades: Propiedad
a
Si
e
1 12 Como - = - , se tiene: 3 36 1 3 - = - , ya que 12 X 3 = 36 y 1 X 36 = 36. 12 36
b = d, entonces,
a
.1
Ejemplo
b
b
d
-=-y-=c d a e
3 36 - =-,ya que 36 X 1 = 36 y 3 X 12 = 36. 1 12 a e Si - = - entonces b d' )
8 4 Como - = - , se tiene: 6 3
a+c a a-e a b+d=byb-d=b
8+4 12 8 - - = - = -, ya que 12 X 6 = 72 y 8 X 9 = 72. 6+3 9 6
a+c e a -e e b+d=dyb-d=d
8- 4 4 8 .- - = - = -, ya que 4 X 6 = 24 y 8 X 3 = 24. 6- 3 3 6
a e . Si - = - , entonces,
b d a+b c+d a-b c-d --=-- y --=-b d b d
25 15 . Como - = - , se tiene: 20 12 25 + 20 15 + 12 - - - =---,ya que 45 X 12 = 540 20 12
a+b
y27 X 20 = 540.
c+d
a-b
c-d
--=--y--=-e a e
ª
25 - 20 15 -12 --- = , ya que 5 X 15 = 75 25 15 y 3 X 25 = 75. 24 9 . C orno - = - , se tiene: 16 6
Si !!-.. = ~, entonces,
b d a+b c+d a-b c-d
24 + 16 9+6 - - - = - - , yaque40 X 3 = 120 24 - 16 9- 6 y 15 X 8 = 120.
:-: Ejemplos
·., i .1
17'\.
1
~
'¡·
Como !!._ = ~'entonces, se puede cambiar el lugar 5 8 de los medios:
11
',
-. n 2 Determinar la razón de n a 2 si - = - . 5 8
1
1
1
n
5
2
8
Se aplica la primera propiedad de las proporeiones.
' 5 Por lo tanto, la razon den a 2 es -. 8
1O 4
I
© Santill ana
. (':)'\
0
Determinar la razón den
n 36 Como - =-,entonces: m 40
+ 40
n+m n
36
n+m n
76
19
36
9
---
36
--==-=-
n
36
m
40
+ man si - = - .
Se aplica la tercera propiedad de las proporciones. Se suma.
Por lo tanto, la razón de n
19
+ m a n es -9 . .
Estándar: pensamien to variaciona! ~
@ Determinar las edades. de Diana y Andrea si
3 X 4=1 X m
Andrea es la mayor. La razón entre las edades 4 es - y la diferencia de las edades es 3 años. 5 Si n es la edad de Andrea y m es la edad de Diana, entonces: n 5
m n- m
n 5 = - se tiene que: m 4
Se plantea la diferencia de edades.
= 3
n-m
5-4
m
4
------
1
n
5
12
4
4 X n
Se aplica la propiedad de las proporciones.
= 5 X 12
n = 15
Se remplaza el valor de m. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Se despejan y se simplifica.
Por lo tanto, las edades de Diana y Andrea son 12 y 15 años, respectivamente.
Se remplazan - m y se resta.
---
Se despej a m y se simplifica.
En -
Se establece la razón entre las edades.
4
3 m
m = 12
Se aplica la propiedad fundamenta! de las proporciones.
4
::::::::::======================================-=-=-=-=========~
~ Ejercita: 1-21 . 1a razon ' dex a 3, si -X = -3. Determma
e
4
11
Determina los valores desconocidos en cada una de las siguientes proporciones.
b
a
a. - = - y a 9 12
a b. -
b 7
= - y
56
+b=
e e
14
b
3 d. e.
f.
15
= -
a
b
a
40
y a + b = 42
b= U y a 2 13
a
=z;yb-a=77
a
17
g. (5
b= 7
=
by a + b =
138
C!I Soluciona problemas J
e
Halla el número mayor de tres números que son proporcionales a 2, 5 y 8, sabiendo que la suma de los dos números menores es 35. La diferencia entre dos números es 3 y su razón es 4 a 3. ¿Cuáles son los números?
Dos hermanos compran una finca por$ 30.000.000, invirtiendo cada uno a razón de 3 : 7. ¿Cuánto dinero aporta cada uno? Una pareja ahorra mensualmente en su cuenta común a razón de 4 : 7. Si la diferencia entre lo que ha ahorrado cada uno es de$ 810.000, ¿cuánto dinero tienen en la cuenta?
a- b= 7
11 44 c. - = - y b - a = 15 a
La razón entre los pesos de Juan y su padre es 2 : 5, si sus pesos suman 105 kg, ¿cuánto pesa Juan y cuánto pesa su papá?
e
En una finca se venden canecas de leche y docenas de huevos a razón de 15 : 6. Si en el último mes en esta finca se recibió por concepto de ventas $ 4.050.207, ¿cuánto dinero se recibió por la leche y cuánto por los huevos?
G Un auto recorre 80 km cada hora. Responde: a. ¿Cuántos kilómetros recorre en 3 horas? b. ¿Cuál es la razón entre los tiempos recorridos si el tiempo de recorrido es de 5 horas? c. ¿Cuál es la razón entre las distancias recorridas? d. ¿Qué sucede con la distancia recorrida si se triplica el tiempo?
CD> ¿En qué proporción se deben mezclar dos tip~s de café A y B, de precios$ 9.000 y $15.000 por kilogramo, para que resulte un café cuyo precio sea $ 12.600 por kilogramo? ©
Sa nti ll ana
¡1O 5
Proporcio alidad directa a
En varias situaciones es necesario realizar mediciones, es decir, asignar cantidade.s algunas propiedades que caracterizan a los objetos y a los fenómenos.
De esta forma, a todas las cualidades que caracterizan im cuerpo o fenómeno y que, a su vez, dicha cualidad permite ser presentada en términos numéricos se denomina magnitud.
Filósofo ymatemático griego. Se le considera uno de los siete sa bios de Grecia. Gracias a su trabajo de propo rcionalidad de seg mentos, calculó la altu ra de las pirámides de Egipto por la sombra que estas proyectaban.
Se denomina magnitud a una cualidad de un objeto o fenómeno a la cual se le puede asignar medida. Por ejemplo, la temperatura, la longitud, el tiempo y el peso son magnitudes. Toda magnitud necesita de un valor numérico que represente su medida, valor que se denomina cantidad y que resulta de comparar o medir una magnitud. Se denomina cantidad al valor numérico que resulta de medir una magnitud. Por ejemplo, el peso de Andrés es 75 kg. Cuando se reáliza el análisis de una situación o fenómeno, se estudia la relación que existe entre las magnitudes, por lo tanto, es indispensable presentar las cantidades que pueden tomar las magnitudes, en tablas y en gráficas en el plano cartesiano, como se muestra en el siguiente ejemplo. \ En la tabla se indica el cambio de tem peraturaque presenta cierta cantidad de agua al ser calentada, conforme pasa el .tiempo. La temperatura (T) se encuentra medida en grados Celsius y el tiempo (t) en minutos.
o
4
8
12
16
20
T (ºC)
20 32
50
73
93
100
,--
y
1
100 . ~:
Uri.a vez se tienen las cantidades que in~ican las medidas de las magnitudes, se representan en un plano cartesiano los pares de números determinados por la tabla.
\
t (Ínin)
T(ºC)
V
50 ~
o
~
,..-/"
5
10 15 t (min)
20
X
Magnitudes directamente correlacionadas Dos magn itudes son directamente correlacionadas, cuando al au mentar una de el las, la otra tam bién aumenta o, cuando al dismi nui r una de el las, la otra ta mbién disminuye. ~
Á
Por ejemplo, en el'Mini-mercado Esperanza, don Luis lanza una promoción de arroz, con el fin de incentivar la compra de productos en su negocio. Para ello, relaciona en una tabla el peso (en libras) del arroz y el precio (en pesos) correspondientes a la promoción. Así, Precio ($)
/
Peso (lb) Precio ($)
1 1.000
2 1.800
3 2.500
5
'
/
3000
4.000
/
2000
_1
1
:
1
1
1
1
JJ
Se puede afirmar que las dos magnitudes son directamente correlacionadas, ya que, cuando aumenta la magnitud peso también aumenta la magnitud precio.
l O6
j © Sa ntil lana
1000
o
1/
V
/ 2 3 Peso (lb)
4
Magnitudes directamente proporcionales
Y esto que aprendí. ¿PARA QUÉ ME SIRVE?
Dos magnitudes son directamente proporcionales si la razón entre cada medida de una de ellas y la respectiva medida de la otra es igual a una constante. Dos magnitudes directamente proporcionales cumplen con lo siguiente: Están directamente correlacionadas. La razón entre dos cantidades que se corresponden es siempre la misma.
Para entender el uso de lasesca las en los mapas o los dibujos técnicos. Escala es la razón entre ladistancia medida sobre un mapa y la distancia correspondiente enlarealidad.
Por ejemplo, Nicolás y su hermano entrenan patinaje. Para controlar su rendimiento, ellos registran el número de vueltas que realizan yel tiempo que emplean al practicar este deporte. Tiempo (min)
5
10
15
Número de vueltas
10
20
30
20
40 1
Se puede afirmar que cuando el tiempo aumenta, el número de vueltas realizadas también aumenta; entonces, el número de vueltas y el tiempo son magnitudes directamente correlacionadas. ·
t. ::
Luego, se confirma que la razón entre cada par de valores correspondientes a las magnitudes relacionadas es siempre igual. 10 -=2 5
20
-=2 10
30 -=2
40 20
-=2
50 -=2 25 .
15 Como la razón ente cada par de cantidades correspondientes es siempre el mismo resultado, se dice que la razón es constante y, por tanto, las magnitudes son directa· mente proporci9nales.
'1
El valor constante obtenido en cada división se llama constante de proporcionalidad, para este caso es 2. Si x es la medida de una magn itu d A y y la medida de una magnit ud B, se dice qu e A y
B son directamente proporcionales si se cu m ple que
I.X
=
l¡j
k, dond e k es la constante
.l.
.
de proporcionalidad. Á
Los valores de las magnitudes x y y se relacionan mediante ia expresión: y = k X x. Así, en el ejemplo anterior los valores del número de vueltas y el tiempo se pueden relacionar mediante la expresión: n = 2Xt La representación gráfica de la relación tiempo-número de vueltas se muestra en la . figura l. Gráficamente, se puede determinar si las magnitudes son directamente proporcionales.
No. de vueltas
50
~
1/ 7, L -
40 30
20 10
Dos magn itudes so n directa mente proporc ional es si al un ir los puntos en el pl ano cartes iano que repre se nta n los pares de valores determin ados por la tabl a, forman un a línea recta que pasa por el origen.
.¡
y
-
1/ 1/ 1
o
5
1
10 15 20 25 Tiempo (min)
X
l
Á
Figura 1 © Sa ntill ana
1J
l1
l 1O 7
¡IJ
~1
Propiedad de las magnitudes directamente proporcionales Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, donde m y n son medidas de la magnitud A; p y q medidas de la magnitud B, entonces, m = .P_, n q Esta relación corresponde a la propiedad de las magnitudes directamente proporcionales.
:-: Ejemplos
{I) Determinar si las magnitudes representadas son
tra la variación del perímetro de un cuadrado en relación con la longitud de su lado.
directamente proporcionales.
a.
y
---- 7
5
---
1/
4
3
/
2
/
/
/ 2
Ü
3
X
Como la línea recta pasa por los puntos: (1; 2), (2, 4), (3, 6) se tiene que: 2 -=2 1
6 -=2 3
4
~=2
2
Por lo tanto, las magnitudes son directamente proporcionales porque la razón entre sus medidas es constante.
b. 4
¡ ¡,,
1
3 1---1--~---lc---,f--+---I
:ll,
21- - 1 - - - + - -•r---+---+---I
'I
1 1'.I
1 -------- -
l.'
·o
0,5
1,5
2
2,5
X
Como ia línea recta pasa por los puntos: (1, 1), (1,5, 2), (2, 3), (2,5, 4) se tiene que: 1 - = 1' 1
' 11, ,1_11
1
fi'
l.
1
3 - = 1,5 2
4 = 1,6 2,5
Por lo tanto, las magnitudes son directamente correlacionadas pero no son directamente proporcionales, porque la razón entre sus medidas · correspondientes es diferente. Además, la línea recta no pasa por el origen.
'
: -, 1
2 - = 1,33 1,5
108'
I
© Santill an a
@ La siguiente tabla muese
\
Longitud del lado (cm)
2
3
4
5
6
· Perímetro del cuadrado (cm)
8.
12
16
20
24
a. Determinar si las magnitudes son directamente proporcionales. A medida que aumenta la longitud del lado del cuadrado aumenta el perímetro, por tanto, las medidas son directamente correlacionadas. Ahora, la razón entre cada par de valores correspondientes a las magnitudes es: 8
- = 4 2
12 -=4 3
16 -=4 4
20
-=4 5
24 -=4 6
Como la razón entre cada par de valores correspondientes es siempre el mismo resultado, se afirma que las magnitudes son directamente proporcionales. b. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. Como las magnitudes son directamente proporcionales, la constante de proporcionalidad es: 8 -=4 2
Por lo tanto, 4 es la constante de proporcionalidad. c. Encontrar la expresión que representa la relación entre el perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado. Si p es el perímetro del cuadrado y Z la longitud de su lado, entonces:
p=4Xl
......."""'...........................,..............................______"""'.....----.............,,..,.....,._____-=.....----..........--...........--....,,""""------
~t_......,..
Estándar: pensamiento variacional
<& Interpreta: 1 1
O Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. Justifica tu respuesta con un ejemplo. a. La edad de una persona y su peso en kg son dos magnitudes directamente correlacionados. b. Dos magnitudes directamente proporcionales son la masa de un cuerpo y el volumen que este ocupa. c. El lado de un cuadrado y su perímetro son magnitudes directamente proporcionales. d. El número de libros leídos es directamente proporcional a la edad del lector. e. Dos magnitudes directamente correlacionadas son siempre directamente proporcionales.
e
Clasifica las magnitudes representadas en las siguientes gráficas en directamente correlacionadas o directamente proporcionales. Halla la constante de proporcionalidad a las que les corresponda. a.
y 12
b.
o 4 8 12 14 X y~--,-,--,-,-,--,-.,-,-,-~
Ü
8.
16
24
X
d.
16 24 +-+--+--+-1--+--l-+--l
12 8+-+--+--+--,,--+--+-~-1'---+-~
8
e
o
6
12
18
24
o
X
2
4
6
a.
8 122
T--iemp - o (s___, ) 11211 9 . .
~ocidad (m/s)
b.
Volumen (cm3)
11,1
Masa (g)
50
------
18,5
1
30
1
27,8
C) El costo de kilov~tio-hora de energía de una casa de estrato 1, 2 o 3 es de $ 280, mientras que para una casa de estrato 4, 5 o 6, es de $ 1.350. a. Construye una tabla que muestre el costo de diferentes cantidades de kilovatios-hora. b. Determina si las magnitudes son directamente correlacionadas y si son directamente proporcionales. c. Representa gráficamente los datos.
e
Los estudiantes de matemáticas realizan una prác. tica en la que miden el perímetro y el diámetro de cinco circunferencias. Los resultados se presentan en la siguiente tabla. ·
'
Diámetro (cm)
5
10
15
20
<25
Perímetro (cm)
15,7
31,4
47, 1
62,8
78,5
1:
I'
a. Representa gráficamente los datos. b. Determina si las magnitudes son directamente proporcionales. c. Halla el valor de la constante de proporcionalidad. d. Encuentra la expresión matemátiea que relaciona las magnitudes. e. Halla el valor del perímetro de las circunferen cias cuyo diámetro es 2 cm, 12 cm y 30 cm.
X
O Realiza aquello que se indica en cada caso. a. Determina el peso de la masa que debe sujetarse del resorte para que se estire 5 cm.
Jj
140 _
33,3
. 1'
minuto. ¿Cuánto tiempo emplea en dar 1.000.000 de vueltas?
Las siguientes tablas corresponden a magnitu des directamente proporcionales. Complétalas, represéntalas gráficamente, halla la constante de proporcionalidad y la expresión matemática que las representa.
L_ ______
Q!I Soluciona problemas)
G Un motor gira a razón de 800 vueltas por cada
16 1--+--t--;l'-,-+-I
4
~Razona: 2 I ~Modela: 31
T
l 11
40,7
b. ¿Cuánto se estirará un resorte con una masa de 22,5 kg?
11
--~--=--·=-=-==-=-=-=-============""=©=Sa=nt=il=an~ , l109 ~
--·
Proporcionalidad inversa Magnitudes inversamente correlacionadas Dos magnitudes son inversamente correlacionadas cuando al aumentar una de ellas, la otra disminuye. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra los valores correspondientes a dos magnitudes A y B. Ahora, se representan en el plano cartesiano los pares de números determinados por la tabla. A partir de los valores de las magnitudes, se puede afirmar que cuando la magnitud A aumenta, la magnitud B disminuye; por tanto, las magnitudes A y B son magnitudes inversamente correlacionadas.
Astrónomo ymatemático griego. Es considerado el padre de la astronomía matemática por ser el primero en hacer un modelo de planetas basado en un modelomatemático. Estudió la teoría de las proporciones, loque indica su gran entendimiento de los números.
B
80
~
60
~ ~
40
~ ~
20 O
~ ~
12345678A
Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de cada medida de una magnitud por la respectiva medida de la otra magnitud es igual a una constante. Dos magnitudes inversamente proporcionales cumplen con lo siguiente: • •
Son inversamente correlacionadas. El producto de sus cantidades correspondientes siempre es el mismo.
Si x es la medida de una magnitud A y y es la medida de una magnitud B, se dice que A y B son inversamente proporcionales si se cumple que:
y
k, donde k es la constante de proporcionalidad.
X x =
k
Los valores de las magnitudes x y y se relacionan mediante la expresión: y = -. X
::-c,EJemplo En una carretera de 72 km se va a instalar peajes separados entre sí por la misma distancia. Determinar cuántos peajes y a qué distancia deben quedar separados, teniendo en cuenta que unos ingenieros deciden registrar algunas posibles opciones en una tabla.
Nú~ero de peajes D1stanc1a (km)
1
.
1
72
2 36
1
3 24
1
4
j
18 .
En este caso, se puede afirmar que las magnitudes son inversamente correlacionadas, ya que mientras una de las magnitudes aumenta la otra dismin.uye.
11 O 1 © Santillana ·
Ahora, el producto entre cada par de valores correspondientes de las magnitudes es: 1 X 72
=
72
2 X 36 = 72 .
3 X 24 = 72 4 X 18
=
72
Como el producto entre los valores correspondientes es el mismo, entonces, las magnitudes son inversamente proporcionales. La constante de proporcionalidad inversa en este caso es 72.
.J.-_"""""'_ _.,,,__.............._ _ _ _"""""_ _ _ _.......,"""""'_ _ _ _ _ _ _____ __ __ _ Estándar: pensamiento variacional
...
_¿,( --\
rz::1
"
r- ~-Y
,1 ¡¡/1~¿·: L...4f. ' _)
Propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, m y n las medidas de la magnitud A; p y q las medidas de la magnitud B, entonces, m = !i. n P Esta relación corresponde a la propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales.
:-: Ejemplos {!) Determinar si las magnitudes relacionadas en la tabla son inversamente proporcionales. Si lo son, hallar la constante de proporcionalidad y la expresión que las relaciona. Las magnitudes son: número de días necesarios para realizar cierto trabajo y cantidad de obreros.
"
Número de obreros
2
3
5
6
10
Días de trabajo
15
10
6
5
3
Las magnitudes son inversamente correlacionadas, ya que, mientras una de las magnitudes aumenta, la otra disminuye. Ahora, el producto de las medidas correspondien tes a las magnitudes son: 2 X 15 = 30
3 X 10 = 30
6 X 5 = 30
10 X 3 = 30
. re1aoona es: d = -30 n
f--
5 4
3 2
Ü
f--
\ ,_
~ ~
Las magnitudes son inversamente correlaciona das, pero no inversamente proporcionales, ya que, el producto entre las medidas correspondientes no es constante.
@ Un bus recorre diariamente el mismo trayecto. La siguiente tabla muestra la velocidad del bus durante el trayecto y el tiempo que gasta en rea~ !izarlo.
Velocidad (km/ h}
60
50
40 ' 30
20
Tiempo (horas}
5
6
7,5
15
10
1 1
gráfica son inversamente proporcionales.
6 ,_
' 1
2 X 5 = 10, 1 X 7 = 7.
'I
@ Establecer si las magnitudes representadas en la
7
Como la gráfica pasa por los puntos (1, 8), (3, 4), (5, 2), (7, 1), entonces: 8 X 1 = 8, 4 X 3 = 12,
5 X 6 =30
La magnitudes son inversamente proporcionales, 'pues el producto entre las medidas correspondientes es constante. 'Si d representa los días de trabajo y n representa el número de obreros, entonces, la expresión que las
y 8
Se observa que cuando los valores de x aumentan, los valores de y disminuyen, por lo tanto, las magnitudes son inversamente correlacionadas.
I~
I"" ~
~
r--..
-
12345678X
Determinar si las magnitudes son inversamente proporcionales. A partir de los datos es posible afirmar que a medida que aumenta la velocidad, el tiempo disminuye. Por lo tanto, las magnitudes son inversamente correlacionadas. Ahora, el producto entre cada para de valores correspondientes a las magnitudes es: 60 X 5 = 300
50 X 6 = 300
30 X 1O = 300
20 X 15 = 300
40 X 7,5
= 300
Como el producto entre cada par de valores correspondientes es siempre igual, entonces las magnitudes son illversamente proporcionales. © Sa ntillana
l 111
.,i,,
Proporcionalidad inversa
..¿;:;==========-==-=-::::-=-~-----------::=. -
~Ejercita: 1 1
=- ---------'=--=-=-=-=--==·-=-=-=·=-Comunica: 2 I ~Modela: 3-41
O
O Completa las siguientes tablas si se sabe que las . O Construye la tabla de datos que corresponde a las magnitudes son inversamente proporcionales.
. GJI : b.
e
CJ
l
2
I
1
1
::
1
ºl
J
54
21 18 15 12 ::..::__}.1
l
'5 7s] l
Determina si las magnitudes planteadas en cada situación son inversamente correlacionadas o in versamente proporcionales. Explica por qué.
e. La distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla á una misma velocidad. · Determina cuáles de las magnitudes relacionadas eh cada tabla son inversamente proporcionales. Grafícalas y halla la expresión matemática que las relaciona.
-a.
c. No.de ·
No.de personas
Litros de agua
dulce~ .
3
8
9
2. 100
4
6
8
, 1.600
6
4
6
1.200
8
3
4
700
b.
\._
Valor
d.
Veloddad
Tiempo
Longitud palanca
Fuerza
10
6
12
1,5
20
3
9
2
30
2
6
3
60
1
3
6
\__
-
35 30 25 20 15 10 5
-
-1-
6 1 1 3 --,1
o
1\. -~
' 11 :----.. -,1
2 4 6 8 10 12 14
o
X
\._
e
1
© Santillana
X
En una clase de electricidad se midió la corriente que pasa por diferentes resistencias cuando se conectan a una pila de 9 voltios. Los resultados fueron:
. Corriente (i)
1,5
3
4,5
6
.6
3
2
1,5
9
a. Representa los datos gráficamente. b. Determina si las magnitudes son inversamente proporcionales. c. Halla el valor de la constante de proporcionalidad. d. Encuentra la expresión matemática que permite relacionar las dos magnitudes. e. Halla el valor de la corriente para una resisten cia de 2,5 y 9, respectivamente.
O La gráfica muestra el número de días que dura un cilindro de gas, dependiendo del número de horas que di'lriamente permanece encendida la estufa. Responde: · a. ¿Cuántos días dura el cilindro si la estufa está encendida 10 horas al día? b. Si el cilindro dura 30 días, ¿cuántas horas al día está encendida la estufa?
No. de días Y r~~~~~~~~ 18 >-11-+---+--+---~-...._,_.,.__,
16 - \ 14 - H - + - + - - f - - i - + - - 1 - - t - - - i 12 ,_ ~-1--1--1---+---+---+-+-l 10 8 ,_
i\
\
6 -- -::: =-=-r~~"4 ~-=-=-~e 2
-- - r-=~
----H
0
~===-..::=====-=-===-=-==-=-=-=-=i-=======-=-======-=-=-=-=-=-=·=-===-=·-==·:;:::_:::;:::::::::.===-==
112
2 4 6 8 10 1214
C!I Soluciona problemas)
Resistencia {R)
él.
\__
-~
9
a. El mercado mensual y el día del mes en que estamos. b. El estrato de la zona y el subsidio para los servicios de agua y de luz. c. La longitud del lado de un cuadrado y su área. d. El diámetro de un orificio y el tiempo que tarda una determinada cantidad de agua en salir por
e
b. y
a. Y
-¡,
6
2 1
3
5
siguientes gráficas de magnitudes inversamente proporcionales y encuentra la expresión matemática que relaciona las dos variables.
.
12345678 X No. horas al día
-
=:::·= · ==;;;=:;--
.::::;;:;-:::::--=·
Estándar: pensamiento variacional
Aplicaciones de la proporcionalidad Regla de tres simple La regla de tres simple es el procedimiento que permite encontrar términos desconocidos en una proporción en la que intervienen dos magnitudes.
Regla de tres simple directa Un problema se denomina regla de tres simple directa cuando las magnitudes que intervienen en el proqlema son magnitudes directamente proporcionales. Para resolver un problema de regla de tres simple directa es necesario realizar los siguientes pasos: • Primero, se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla con las cantidades que intervienen. • Segundo, se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes directamente proporcionales. • -Finalmente, se encuentra el término desconocido.
:-: Ejemplos
(!) Un tanque de 2,5 m de profundidad contiene 85.000 litros de agua cuando está lleno. Si el nivel del agua baja 1,8 m, ¿qué cantidad de agua contiene?
Las magnitudes nivel del agua del tanque y cantidad de agua son directamente proporcionales. Como el nivel del agua.baja 1,8 m, se tiene que: 2,5 m - 1,8 m = 0,7 m Entonces, el nivel del agua es 0,7 m. Si e es la cantidad de litros contenida en el tanque después de bajar el nivel 1,8 m, entonces, la tabla que representa la información es: Nivel del agua (m)
2,5
0,7
Cantidad de agua (L)
85.000
e
La proporción correspondiente es: -· __ 2,5 0,7
85.000
e
2,5 X e = 85.000 X 0,7
e=
85.000 X 0,7 2,5
e= 23.800
Se aplica Ia propiedad fundamen tal de las proporciones. Se despeja c. Se realizan las operaciones.
Por lo tanto, la cantidad de agua que contiene el _tanque cuando el nivel ha bajado 1,8 mes 23.800 litros. @ Si 6 revistas científicas valen$ 31.200, ¿cuánto es el costo de 9 revistas?
Las magnitudes número de revistas y precio son directamente proporcionales, pues; al aumentar el número de revistas se espera que el precio de las revistas también aumente próporcionalmente. Si p es el precio de las 9 revistas, entonces, la tabla que representa la informadón es:
m-e-ro_d_e-re-v-is-t-a s-~ ~ ~
._ ___N _u_· Precio($)
La proporción correspondiente es: 6
31.200
9
p
6 X p = 31.200 X 9 31.200 X 9
p= p
6
Se aplica la propiedad f undamental de las proporciones. Se despeja p.
= 46.800
Por lo tanto, el precio de las 9 revistas científicas es$ 46.800. © Sa ntillana
l 11 3
Regla de tres simple inversa Un problema se denomina de regla de tres simple inversa cuando las magnitudes que intervienen en el problema son magnitudes inversamente proporcionales. Para resolver un problema de regla de tres simple inversa se procede así: •
Primero, se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla con las cantidades que intervienen. Luego, se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales y se busca el término desconocido.
x Eje mp los (]) En una finca hay pasto para alimentar 600 reses durante 5 meses. Si se venden 100 reses, ¿para cuánto tiempo alcanzará el pasto que se tiene?
@ Un vehículo gasta 6 horas para viajar de un l~gar a otro a una velocidad de 40 km/h. ¿Cuánto tiempo gasta si viaja a una velocidad de 70 km/h? El tiempo empleado y la velocidad son magnitudes inversamente proporcionales, pues, al viajar con una mayor velocidad se espera que el tiempo em pleado sea menor. Si t es el tiempo empleado por el vehícul
t
~ 1
500
J
La proporción correspondiente es: 5'
500
t
600
5 X 600
= 500 X t
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones.
5 X 600
Se despeja t.
500
. Se realizan las operaciones.
t=---
t=6
Por lo tqnto, el pasto para 100 reses menos alean zará para 6 meses .
. 114
1
© Santillana
70
t
40
6 X 40
J
Se aplica la propiedad fundamental de las proporCiones y se resuelve.
Por lo tanto, con una velocidad de 70 km/h el tiempo que se gastaría en el viaje es 3,43 horas.
1
600
6
t = - - = 3,43 70
Cantidad de reses
5
70 1
6 X 40 = 70 X t
Si t es el tiempo de duración del pasto, al reducir en 100 reses la cantidad original, entonces, Tiempo (mesE!s)
40
6
La proporción correspondiente es:
Como se venden 100 reses, la cantidad que hay ahora en la finca es 500.
1.
1
t
La relación entre la cantidad de reses y el tiempo de duración del pasto es de proporcionalidad inversa, ya que, al disminuir la cantidad de reses se espera que aumente el tiempo de duración del pasto proporcionalmente.
Velocidad (km/ h)
Tiempo (meses)
1 .
@
un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros en pintar el mismo edificio? Las magnitudes número de obreros y días son . inversamente proporcionales. Si t es el tiempo empleado por los 20 obreros en pintar el edificio, entonces, la proporción correspondiente es: 15
20
t
12 15 X 12
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones y se resuelve.
=9 20 Por lo tanto, el tiempo empleado por los 20 obreros en pintar el edificio es 9 días. t=---
~ 1
Estándar: pensamiento variaciona!
<&Interpreto: 1
O Identifica cuáles de las siguientes situaciones se
Plantea para cada situación un problema de regla de tres simple y luego, resuélvelo.
pueden solucionar aplicando regla de tres simple y determina si es directa o inversa. a. María compra 6 libras de arroz con $ 8.000. ¿Cuántas libras compra con $ 12.000? b. Stella tiene 7 hermanos. ·Si el menor tiene 5 años, ¿cuántos años tiene el mayor? c. Tres pintores pintan una casa en cinco días. ¿Cuántos días necesitarán cinco pintores para pintar la misma casa si cada pintor trabaja al mismo ritmo? d. Una familia consume en tres días 1,5 bolsas de leche. ¿Cuántas bolsas necesitan para toda la semana? e. . Juan gasta $ 15.000 en transporte para 5 días de la semana. ¿Cuánto dinero necesita para su transporte en estos 5 días?
l!I Soluciona problemas)
e
e
b. E= l:a
e
a. Pedro gasta de lunes a viernes $ 18.000 en tran·sporte. b. Dos traductores tardan 1O días para traducir un texto de inglés a español. c. Juan gana al año $ 5.820.000. d. María emplea 15 minutos en ir de su casa al colegio caminando a razón de 3 mi s. e. Una familia paga por un mes de energía una ·factura de$ 129.000.
1 i1
' :!
~
Una excursión de 60 personas lleva provisiones para 15 días. Si se encuentran con 15 personas que perdieron los alimentos, ¿cuántos días podrán quedarse hasta terminar sus provisiones?
G Un bus de pasajeros lleva una velocidad de 80 km/h y un camión de carga va a 50 km/h.
Un automóvil promedio tiene aproximadamente · 600 cm de longitud y 150 cm de altura. ¿Cuál es el valor de la escala a, en la que están hechas las . siguientes representaciones? a. E= l :a·
1
Responde: a. Si parten de puntos opuestos, distantes 250 km . entre sí, la misma hora uno va al encuentro . del otro, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
a
y
c. E= l:a
Dos niños juegan en un sube y baja que tiene sus lados de diferente longitud. Si para que el .sube y baja quede equilibrado, la relación masa longitud debe ser la misma a lado y lado. ¿Cuánto debe pes·ar el niño para equilibrarse con la niña?
b. Si los dos parten del mismo punto y el camión de carga sale antes, con una ventaja de 120 km, ¿cuánto tiempo tardará el bus en alcanzarlo?
: Según una estadística realizada en un centro denUn automóvil va de la ciudad A a la ciudad Ben tal, 2 de cada 3 personas tiene caries. Si en la ciudad 2,5 h viajando a 68 km/h. Si en el regreso gasta 4 hay 36.000 personas, ¿cuántos tienen caries? horas, ¿cuál fue la velocidad de regreso? .-::::-·-= =-=---------===-------- '-"'·==================7 © Sa ntillana
l 11 5
,(
1. ,
:1
1
.. •
1.( )
Regla de tres compuesta En algunos problemas de proporcionalidad intervienen más de dos magnitudes. Por ejemplo, para realizar una campaña publicitaria se debe tener en cuenta la cantidad de personas que participan, el número de folletos que se repartirán y los días de duración que tendrá la campaña. Para resolver este tipo de situaciones se utiliza la regla de tres compuesta. La proporcionalidad compuesta se presenta cuando se plantean · proporóones en las que intervienen más de dos magnitudes.
l.
'
Propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta
1
i '
A, B y C son magnitudes, m y n medidas de la magnitud A; p y q medidas de la magnitud B y r y t medidas
1
i
de la magnitu~ C, como se muestra en la tabla.
1
Magnitud B
Magnitud C
m
p
r
n
q
t
MagnitudA
l
1
j
Al comparar la mágnitud A con las magnitudes B y C se pueden presentar los siguientes tipos de proporcionalidad. m p r. . Caso l. A es directamente proporciona·1 a B y a C, entonces, - = - X - . · n q t
..¡
1
m
Caso 2. A es inversamente proporcional a f3 y a C, entonces, -
n
q
=-
p
t
X - . r
Caso 3. A es directamente proporcional a B y a A es inversamente proporcional a C, m
entonces, n
p =q
t
·
·
X - . r
La regla de tres compuesta es el proceso que permite solucionar problemas en los · cuales intervienen varias magnitudes. Para resolver un problema de regla de tres compuesta se procede así:
f'
!
Primero, se ordenan los datos en una tabla. Luego, se compara la magnitud de la incógnita con cada una de las cantidades restantes, para determinar el tipo de proporcionalidad que hay entre ellas, man teniendo constantes las otras magnitudes. Finalmente, se plantea la proporción teniendo en cúenta la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta y se halla el término descortocido.
•
•
Por ejemplo, 5 fotocopiadoras gastan 6 minutos en realizar 600 fotocopias. Si 7 fotocopiadoras funcionan durante 10 minutos se logra sacar 1.400 fotocopias. El tipo de proporcionalidad que existe entre la cantidad de minutos y las otras dos magnitudes es: • •
Como a más fotocopiadoras menos minutos, la proporcionalidad es inversa. Como a más fotocopias más minutos, la proporcionalidad es directa. ·
Es posible organizar la anterior información en la siguiente tabla: 1
Fotocopias
Fotocopiadoras
Minutos 1
l 116
1 © Sa ntill ana
7
6
600
5 ¡
1.400
La proporción correspondiente es: .
J
6
7
600
10
5
1.400
-=- X --.
1
10
Estándar: pensamiento variacional
:-: Ejemplos
(D Una digitadora escribe 10.000 caracteres en dos días. ¿Cuántas digitadoras se necesitan para digitar 1.350.000 caracteres en 5 días? La tabla que relaciona las magnitudes dadas. ~s: Número de digitadoras
l
X
Cantidad de caracteres
Días empleados
10.000 '
2
1.350.000
5
j
El número de digitadoras es 'directamente proporcional a la cantidad de caracteres, ya que entre más digitadoras haya más caracteres serán digitados. Por otra parte, el número de digitadoras es inversamente proporcional al número de días, pues entre más digitadoras haya menos días serán utilizados para desempeñar la labor: Por lo tanto, la magnitud número de digitado ras es directamente proporcional a la magnitud caracteres para digitar e inversamente proporcional a la magnitud días empleados. De esta manera, se plantea la.proporción teniendo en cuenta la propiedad de la proporcionalidad compuesta, así: 1
10.000
5
X
1.350.000
2
1
50.000
X
2.700.000
(
---- X -
Se resuelven las operaciones indicadas.
2.700.000 X 1
x·=-----
. Se despeja x y se simplifica.
50.000 X'== 54
Se necesitan 54 digitadoras para digitar 1.350.000 caracteres en 5 días. @ Hallar cuántos días puede alimentar Luis a sus 75 gallinas con 24 kg de alimento, si en el saco de alimento se indica que 12 kg alcanzan para 20 gallinas durante 15 días. La tabla que relaciona las magnitudes dadas es: Tiempo (días)
l
15
Número de gallinas
Alimento (kg)
20
12
75
X 1
24 1
j
Las magnitudes tiempo y número de gallinas son inversamente proporcionales y · las magnitud.es tiempo y cantidad de alimento son directamente proporeionales, entonces, se plantea la proporción teniendo en cuenta la relación de proporcionalidad entre las magnitudes y la propiedad de la proporcionalidad compuesta, así: 15
75
12 '
x
20
24
15
900
X
480
~=-X
x=
480 X 15 900
Se plan tea la proporción. Se realizan las operaciones.
=8
Se resuelven las operaciones indicadas, se despeja x y se simplifica.
Por lo tanto, Luis puede alimentar a sus 75 gallinas por 8 días. © Sa ntillana
l117
Regla .de tres compuesta
===================:==~===========-~
f'JI Recupera
O Responde, ¿en qué caso se utiliza la regla de tres compuesta?
1,
e
Una barra de metal de 10 cm de largo y 2 cm2 de sección pesa 5,45 kg. ¿Cuánto pesará una barra del mismo material de 5 cm de largo y 7 cm2 de sección?
¡'
Q!I Soluciona problemas)
1
''i'
e
>------10 c m - - - - - <
S~ccc~2n _f¡
20 hombres que trabajan 9 días, 8 horas diarias, . realizan los
~
T
de una obra. ¿Cuántos hombres más
8 será necesario contratar para acabar la obra en 10 . d{as si se trabaja 6 horas diarias~
1 1
información: 1 1
e
~~---'---o---.-'I
Se cree que, para construir la pirámide de Keops, trabajaron 20.000 personas durante 10 horas diarias, y que tardaron 20 años en terminarla. ¿Cuánto habrían tardado si hubiesen sido 10.000 personas más y hubies,en trabajado 8 horas diarias?
f) El trabajo realizado sobre un cuerpo se calcula de acuerdo con la ecuación W = F · d, donde F es la fuerza aplicada y d, la distancia recorrida. Formula una pregunta de acuerdo con cada tabla dada; plantea la regla de tres" compuesta para solucionar el problema.
'>.
G Los vecinos de un barrio, en la época de · diciembre, colocan en las calles 1.200 faroles que se encienden 8 horas al día, . ocasionando un gasto total de $ 4.550.000. ¿Cuál sería el gasto si se colocan 600 faroles más y se encienden 2 horas menos?
e
Si 15 cajas,' cada una de 12 crayones, cuestan $ 75.000, ¿cuántas cajas de 18 crayones se puede comprar con$ 109.375? En una residencia estudiantil 8 personas pagan $ 120.000 por 30 días de servicio eléctrico. ¿Cuánto deberán pagar 6 personas por 8 días de servicio?
G) Cuatro llaves abiertas llenan en 2,5 horas una piscina de 100 m 3 . ¿Cuántas llaves deben estar abiertas para llenar en 1,5 horas una piscina de 324 m 3 ?
G') 10 sastres
O Dos máquinas revelan 600 fotografías ~n 8 -horas~ a. Determina la relación entre el número de máqdinas y el número de horas empleado en revelar las fotografías. b. Halla la cantidad de fotos que es posible revelar si se triplica el número de máquinas y se reduce el número de horas a 6. c. Determina la relación entre el número de máquinas y el número de fotos reveladas. d . Halla las horas que deben funcionar el doble de las máquinas para revelar el triple de las fotografías.
e
confeccionan 40 vestidos en 8 días. ¿Cuántos días emplearía la mitad de los sastres en elaborar el triple de vestidos?
La ley de gases relaciona la presión P con la tem peratura T y el volumen V, así:
La presión P de una muestra: de gas es directamente proporcional a la temperatura Te inversamente proporcional al volumen V. Si un gas está sometido a una presión de 4 atmósferas ocupa un volumen de 3 litros a una temperatura de 300 grados Kelvin, ¿a qué presión se debe someter µn gas para ocupar un volumen de 4 litros · a una temperatura de 350 grados Kelvin?
'<:::========================= ====:::.:-= ....~ 118
1
© Sa ntillana .
Estándar: pensamiento variacional
Gr7 /~~~~
....----.......""""'""""'""""'""""'_...._......_......................,,..,,..........................._...........""""'........_......._......________....,.__.....,-i!í
-.i~..-...-----
/', } ,;:
l.s-J
Repartos proporcionales En algunas situaciones se plantean problemas acerca de cómo distribuir de manera proporcional una magnitud con respecto a otra. Por ejemplo, al repartir una herencia de acuerdo con la edad de los herederos o una ayuda humanitaria respecto al número de afectados. Para resolver problemas relacionados con este tipo de situaciones se utilizan los repartos proporcionales. Un reparto proporcional es el proceso por el cual se reparte una cantidad en forma directa o inversamente proporcional a ciertas cantidades previamente acordadas.
Reparto directamente proporcional Repartir una cantidad s, dondes = p + q + r, en partes directamente proporcionales a los números m, n y t, es hallar las cantiáades p, q y r, tales que:
s m
+n +t
=_E_=!l_=!_ m n t
::-: Ejemplo El señor Guzmán dejó al morir una herencia de$ 45.000.000 para repartir entre sus tres hijos en partes directamente proporcionales a sus edades. Si el menor de ellos tiene 3 años, el otro tiene 5 años y el mayor tiene 8 años, ¿cuánto dinero le corresponderá a cada hijo? Como la repartición es directamente proporcional, se realiza lo siguiente: Si p, q y r son las cantidades que le corresponden respectivamente a cada hijo y el dinero para repartir es$ 45.000.000. Se tiene que:
p+ q+
r
1
= 45.000.000
f_=!l_=!_ 3
5
8
.P + q + r = p_
Se plantean los prbporciones. Se opli~a reparto proporcional.
3+5+8 3 45.000.000 - p .·, Se remplaza el valor de p + q + r. 16 3 p = 8.437.500 Se despeja p y se simplifica.
p+q+r -!l.
Se aplica reparto proporcional.
3+5+8 5 45.000.000 - q Se remplazo el valor de p + q+ r. 16 5 q = 14.062.500 Se despeja q y se simplifica.
P + q + r - !._
Se oplic¿ reparto proporcional.
3+5+8 45.000.000
Se remplaza el valor de p + q + r.
8 r
16 8 r = 22.500.000
Se despejar y se simplifica.
Por lo tanto, al hijo menor le corresponderá$ 8.347.500, al siguiente,$ 14.062.500 y al mayor, $ 22.500.000. · © Sa ntil lana
l 119 .
1
1
Reparto inversamente proporcional Repartir una cantidad s, donde s = p + q + r, en partes inversamente proporcionales a los números m, n y t, es hallar las cantidades p, q y r, tales que:
s
=l!_~!i=!_ 1 1 l. - + -+m m n t n t 1
1
1
:-: Ejemplo El dueño de una fábrica de artículos deportivos decidió premiar a tres de los arqueros de fútbol que patrocina. Él ofreció $ 15.000.000 para repartir entre los arqueros de manera inversamente proporcional al número de goles que reciban durante el campeonato. Al finalizar el campeonato los resultados de los tres arqueros fueron: Daniel 20 goles, Julio 24 goles y Rodrigo 30 goles. ¿Cuánto dinero le dará el dueño de la fábrica a cada uno? Como la repartición es inversamente proporcional, es decir, a mayor cantidad de goles recibidos menor es la cantidad de dinero que gana, y el dinero para repartir es $ 15.000.000, si d, j y r son las cantidades de dinero que le corresponden a Daniel, Julio y Rodrigo, respectivamente, se tiene que: .
d+j
+r=
15.000.000
d+j+r 1
1
1
1
l
1
20
24
30
20
24
30
-+ - +¡ ; '.. '
·}
15.000.000
..
1. t
= _:!.__ = _j_ = _!._
1
1
1
1
8
20
24
30
15.000.000
d
1
1
8
20
= 20 d d = 6.000.000
120.000.000
15.000.000 1 8
j 1 24
120.000.000 = 24 j ~
j = 5.000.000
.
15.000.000
r
1
1
8
30
120.000.000 r
Se aplica el reparto inversamente proporcional.
Se remplazan los valores.
Se plantea la proporción parad Se resuelven las operaciones. Se despejad Se plantea la proporción para). Se resuelven las operaciones. Se despeja).
Se piantea la proporción parar. Se resuelven las operaciones.
= 30 r = 4.000.000
Se despejar.
El premio se repartirá así: Daniel $6.000.000, Julio $5.000.000 y Rodrigo $4.000.000.
12 O 1 © Santillana
Realiza la repartición de cada número en partes ·directamente proporcionales. 600 entre 2, 4, 6. 1.800 entre 3, 5, 7. 3.000 entre 4, 5, 6. 7.500 entre 6, 8, 11. 6.000 entre 1, 2, 3 10.000 entre 1, 4 y 8 1 2 5 g. 204 entre -, -, - . 2 3 6
a. b. c. d. e. f.
e
e
Para pintar el frente de sus casas tres familias alquilan por 9 días un andamio. Si la primera familia emplea 4 días en pintar, la segunda 3 días, la tercera solo 2 y el alquqer del andamio tiene un costo de $ 45.000, ¿cuánto dinero le toca pagar a cada familia?
G En un campeonato de baloncesto, en honor al juego limpio, se tienen $ 10.200.000 para premiar a los cuatro primeros equipos de manera inversamente proporcional al número de faltas cometidas en el desarrollo del campeonato. Si el primer equipo cometió 25 faltas, el segundo, 15; el tercero, 30 y el cuarto, 5, ¿cuánto dinero recibió cada equipo?
2 5 h . 336 entre -, - y 0,25. 3 6
Realiza la repartición de cada número en partes inversamente proporcionales. a. 165 entre 3, 5, 11. b. 600 entre 2, 4, 8. c. 1.500 entre 5, 15, 20. 1 1 1 d. 80 entre -, -, - . 2 4 8 1 1 1 e. 240 entre -, -, - . 3 2 6
En una competencia de natación se dispone de $ 8.580.000 para premiar a los tres primeros nadadores que lleguen a la meta. Si el premio es inversamente proporcional al puesto de llegada, ¿cuánto dinero recibe cada nadador?
Q!I Soluciona problemas) En un colegio se tienen destinados $ 6.165.000 para salidas pedagógicas. El dinero se ~eparte de acuerdo con el nivel y directamente proporcional al número de estlidiantes. La tabla muestra el número de estudiantes en cada nivel. Determina cuánto dinero le corresponde a cada nivel. Nivel escolar
' :¡
No de estudiantes
Preescolar
60
Básica primaria·
560
Básica secundaria
600
Media vocacional
150
Para ·crear una empresa tres socios hicieron un aporte al capital, así: uno de $ 3.000.000, otro de $ 1.500.000 y el otro de$ 4.500.000. Después de un año, las ganancias son de$ 18.000.000. ¿Cuánto le corresponde a cada socio si la repartición se hace directamente proporcional al aporte?
G Un padre deja de herencia a sus hijos un terreno de 8.000 m 2 para repartirlo inversamente proporcional a sus edades que son.12, 15 y 20 años. ¿Qué cantidad de terreno le corresponde a cada uno?
ff) De acuerdo con el testamento del dueño de ~~a fábrica, se reparten $ 359.580.000 entre tres personas en partes inversamente proporcionales a su sueldo mensual. Determina lo que le corresponde a cada persona si el sueldo . del 2
menor es - del sueldo intermedio y este es 3 3 - del mayor. 4 Una empresa ofrece un premio de $5.500,000 para los cinco empleados de mejor cumplimiento. laboral. Al .final del año reúnen los datos y observan · que Andrés faltó 1 vez, Mariana faltó 2 veces, José faltó 4 veces, Lii:ia faltó 4 veces y M¡irtha faltó 5 . veces. ¿Cuánto dinero recibe cada empleado? © Santillana
l121
,,
Porcenta¡es Los porcentajes tienen diversos usos. Por ejemplo, en economía se relaciona con impuestos (IVA), préstamos banqi.rios, descuentos en productos y alimentos, costo de vida y estudios estadísticos, entre otros. Se denomina porcentaje o tanto por ciento a todas aquell as razones en las que el consecuente es el nú mero 1OO. Se representa con el signo% que sig nifica "por cad a cien''. ~
-
Á
Por ejemplo, 2
· 2% se lee 2 por ciento y es equivalente a la razón-, que significa "2 de cada 100''. 100 40 • 40% se lee 40 por ciento y es equivalente a la razón - , que significa "40 de cada 100~ 100 Un porcentaje o tanto por ciento equivale a una fracción cuyo denominador es 100, por tal razón, un porcentaje se puede expresar como un número decimal y, a su vez, todo número decimal se puede expresar como un porcentaje. Por ejemplo,
¡
13
13% =
Por ciento
1~0
=
0,13
--i
Fracción decimal
Decimal
t Para calcular el t% de un número n, se multiplica el número n por - , es decir, t 100 n X -.
100
Por ejemplo, para calcular el 30% de 80 se procede así: 30 80 X 30 2.400 80 X = = - - = 24 100 100 100 Por lo tanto, el 30% de 80 es 24. También es posible determinar el tanto por ciento por medio de una regla de tres simple directa. Por ejemplo, se encuestó a 300 jóvenes y resultó que tan solo 120 estudian. Para hallar el porcentaje de los jóvenes que estudian se procede de la siguiente manera. Como el 100% es el total de estudiantes, es decir, 300, entonces, para determinar el porcentaje de los jóvenes que estudian se organiza la información en una tabla así: Jóvenes
1
Porcentaje
1
[____~~-~---~----,~-º--~] ' 300 100 La proporcion correspondiente es =- . 120 n Luego n = 40. Por lo tanto, 40% de los 300 jóvenes encuestados estudia. En genera l, para determinar qué porcentaje es la ca ntidad n de la cantidad m, se multiplica
,
n m
d
n x m
·por 100 1a razon -, es eci r, -
12 2
1
©
Sa ntill an a
1OO.
Estándar: pensamiento variacional
x Ejemplos
0
El siguiente diagrama muestra el resultado de las elecciones para la personería en un colegio. Calcular la cantidad de votos obtenidos por cada candidato, si hubo 1.000 votos.
@ En el grado séptimo de un colegio hay 30 estudiantes, que corresponden al 5% del total de los alumnos del colegio. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?
¡I
,¡ I¡
Si n es el total de alumnos del colegio, se tiene que: 5% den es 30, es decir, ·
1
5 X n = 30 100 5Xn --=30 100 30 X 100
n=---
12,5% D Lina
D Juan
D Miguel
D Carlos
La cantidad de votos obtenidos por Juan es: 12,5% de 1.000. 12,5
-
100
12,5 X 1.000 100
n = 600 P?r lo tanto, el colegio tiene 600 alumnos.
@ Un televisor LCD de
=
X 1.000
5
Se calcula el 12,5% de 1.000.
32 pulgadas que cuesta $ 1.200.000 está en rebaja de un 30%; al pagar en la caja se añade el 16% por concepto de IVA. ¿Cuál es el precio final del televisor?
= 125
El descuento por la rebaja del 30% se obtiene como:
La cantidad de votos obtenidos por Lina es:
30% de 1.200.000.
12,5% de 1.000. 12,5
-
100
-
12,5 X 1.000 100
Se calcula el 12,5% de 1.000.
_La cantidad de votos obtenidos por Miguel es: 25% de 1.000. 25
100
X 1.000
=
25 X 1.000 100
Se calcula el 25% de l.000.
.100
= 360.000 Luego, el precio del televisor rebajado en un 30% es: = 840.000
Ahora, del precio del televisor rebajado en un 30% se obtiene la cantidad de dinero que se debe pagar por el concepto de IVA:
-
16
X 840.000 =
100
16 X 840.000 .
100 = 134.400
La cantidad de votos obtenidos por Carlos es: 50% de 1.000. -
30 X 1.200.000
~----
16% de 840.000.
= 250
50
=
1.200.000 - 360.000
= 125
-
X 1.200.000
100
=
X 1.000
30
Así, el dinero que se debe pagar por IVA es: $ 134.400. Finalmente, el precio del televisor es: ·
X 1.000 =
840.000
100 50 X 1.000 100
. Se calcula el 50% de 1.000.
= 500
Por lo tanto, los votos obtenidos por Juan son 125; por Lina, 125; por Miguel, 250, y por Carlos, 500.
+ 134.400 = 974.400
Por lo tanto, el precio final del televisor es: $ 974.400. Aumentar un n% equivale a calcular el (100 . de esa cantidad.
+ n)%
Disminuir un n% equivale a calcular el (100 - n )% de esa cantidad. © Santillana
l 12 3
Porcentaje
~ Interpreta: 2 I ~Ejercita: 31 {tl Razona: 41
O Responde: ¿Qué razones reciben el nombre de porcentajes?
e
Une cada porcentaje de la primera columna con sus expresiones equivalentes en la segunda y tercera columnas. 70 7. l. 0,25 a. 30% 100 2. 18% 8. 45% b. 0,7 c.
18 100
d. 0,45 e.
-
25
9. 25%
4. 0,3
100 10.100
5.
100
-
45
Una pareja de recién casados quiere comprar para su casa una nevera, una lavadora, un equipo de sonido y un televisor. Si los precios de estos artículos, sin incluir el IVA son$ 875.000, $ 1.050.000, $ 920.000 y $ 680.000, respectivamente, ¿cuánto dinero debe tener la pareja para la compra de los electrodomésticos mencionados?
O Luis va de compras y entra en un almacén que ofrece las siguientes promociones: Valor en pesos
Descuento
Pre ndas entre 10-50 mi l
15% de descuento
Prendas entre 50-1 00 mil
20% de descuento
Prendéis de más de 100 mil
30% de desc uento
11. 0,18
100
30 12.100
6. 70%
f. 100%
e
3. 1
G!I Soluciona problemas) e
En un supermercado, se anuncia que los siguientes productos traen más cantidad por el mismo precio. ¿Qué cantidad traía cada producto antes de la promoción?
Si compra 5 camisas de$ 35.000 cada una, 3 pantalones de $ 65.000 cada uno y 2 chaquetas de $ 140.000 cada una, ¿cuánto pagó en total Luis?
O En términos de la anatomía humana se afirma que el cerebro representa el 2,5% de la masa total del cuerpo y que el 60% del cuerpo está conformado por agua. De acuerdo con esta información:
O Una familia tiene un ingreso mensual de $ 650.000
e
que reparte como muestra la figura: Entretenimiento $ 45.500
Ropa $ 45.500
¡
Alimentación $ 260.000
~
Vivienda $ 130.000
La atmósfera es una capa de gas que envuelve la Tierra, que llega hasta más o menos 600 km de la superficie terrestre y que está dividida en cuatro grandes capas: La troposfera que va de Oa 1Okm. La estratosfera que va de 1Okm a 50 km. La mesosfera que va de 50 km a 80 km. La ionosfera que va de 80 km a 600 km. a. ¿Qué porcentaje de la atmósfera representa cada una de sus capas? b. ¿Qué porcentaje representa la estratosfera con respecto a la ionosfera?
11
Ser vicios $ 71.500
a. ¿Cuánta masa de agua tiene una persona que pesa 75 kg? b. ¿Cuánto pesa una persona cuyo cerebro tiene una masa de 1,25 kg?
8
En un salón de clase el 25% de los estudiantes van Determina el porcentaje de los ingresos que desde intercambio. Si el curso tiene 40 estudiantes, tina esta familia a cada uno de los gastos citados. ¿cuántos van de intercambio? ===========-----------=-----------==============-========.Á.,.
12 4
1
© Santillana
Estándar: pensamiento variacional
Interés simple El estudio del interés simple está relacionado con la economía, en situaciones de préstamos de dinero, rendimientos de capital. El interés simple es la cantidad de dinero que se obtiene como beneficio al invertir dinero, o también es la cantidad de dinero que se debe pagar por pedir prestado dinero. El interés simple calcula los intereses de cada período sobre el capital original sin tener en cuenta los intereses generados en el período anterior. Es decir; los intereses de un período no se acumulan sobre el capital para calcular los siguientes intereses. Para calcular el interés se deben tener en cuenta los siguientes elementos:
• Capital: cantidad de dinero que se presta o se invierte. Se simboliza con la letra c. • Rata o tasa de interés: razón que representa el interés que se pagará por cada $ 100 de capital en la unidad de tiempo. Se simboliza como r. • Tiempo: duración de la inversión o préstamo, se representa con la letra t. Cuando se resuelve un problema de interés se aplica la regla de tres compuesta, en la cual, el interés resulta ser directamente proporcional al capital y al tiempo. Por ejemplo, para determinar el interés producido por$ 400.000 al 15% anual, durante 3 años, se tiene en cuenta que i es el interés producido por $ 400.000 al 15% anual. La tabla que relaciona las magnitudes dadas es:
!
interés
t
Capital
Tiempo (años)
0
1
l 4o~ ~oo i
15
i
1
j
3
Como el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, se tiene la siguiente proporción: 15 100 1 ---X-
400.000 15
Se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta.
3
100
Se resuelven las operaciones indicadas.
1.200.000 . l
=
15 X 1.200.000 100
= 180.000
Se despeja i y se simplifica.
Por lo tanto, el interés producido por$ 400.000 al 15% anual es $ 180.000.
:-: Ejemplos (D Calcular el capital invertido, sabiendo que en 4 años produce unos intereses de $ 240.000, a un interés simple del 6% anual. Si e es el capital invertido en 4 años, la tabla que relaciona las magnitudes dadas es: 1
t
Capital
Interés
Tiempo (años)
c
180.000
4
100
6
1
j
Como el capital es directamente proporcional al interés e inversamente proporcional al tiempo, se tiene la siguiente proporción:
e
240.000
1
100
6
4
e
240.000
100
24
---X-
e = 1.000.000
Se aplica la propiedad de la proporcionalidad compuesta. Se resuelven las operaciones indicadas. Se despeja c y se simplifica . .
El capital invertido es$ 1.000.000. •
©
Sa nt illana
l 12 5
¡
Interés simple
:-: Ejemplos @ Un agricultor ha decidido invertir los beneficios de su cosecha que son de $ 8.500.000, en un fondo de ahorros al 3% anual. Hallar el tiempo que el agricultor debe dejar su dinero en el fondo si desea recibir$ 1.275.000.
Si tes el tiempo que se debe dejar en el fondo de ahorros, la tabla que relaciona las magnitudes dadas es: 1
Tiempo (años)
t
1
Capital
Interés
100
3
8.500.000
1.275.000 .
1
J
Al comparar los datos de la tabla se tiene: Como el tiempo es directamente proporcional a los intereses e inversamente proporcional al capital, se plantea lo siguiente: 1
3
t
1.275.000
X 8.500.000 100
1 25.500.000 -----127.500.000 t
Se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta. Se resuelven las operaciones indicadas. Se despeja t.
1 X 127.500.000
t=------
25.500.000
Se simplifica.
t=5
Por lo tanto, el tiempo que debe dejar el agricultor en el fondo es de 5 aúos.
@ Determinar la tasa de interés simple mensual a la cual se deben prestar $ 4.500.000 para que en un año produzcan $ 900.000 de intereses.
Si res la tasa de interés mensual, la tabla que relaciona las magnitudes dadas es: Interés
Capital
Tiempo (meses)
900.000
4.500.000
12
1
t
100
1
j
Como el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, se tiene la siguiente proporción: · 900.000
4.500.000
12
r
100
1
900.000
54.000.000
r
100
- - - - X-
Se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta. Se resuelven las operaciones indicadas.
900.000 X 100
r=-----
54.000.000 90.000.000
r=----
54.000.000 5
r=-
Se despejar. Se multiplica.
Se simplifica.
3
Por lo tanto, la tasa de interés debe ser
126
1
© Santillana
~%,aproximadamente del 1,7%. 3
'"I
1
Estándar: pensamiento variaciona!
?'I
(j Recupera inf.: 1 1Q Reflexiona y valora: 2
-
O Responde.
e
e
a. ¿Cuáless on los elementos que definen el interés? b. ¿En qués ituaciones se utiliza el interés simple? Si en el eje mplo 3 de la página 126 el capital es de $9.000.000, ¿qué tasa de interés se debe prestar para obtene r los mismos intereses? Completa la siguiente tabla. Capital 1
2.000.000
Tasa de interés simple anual
Tiempo (meses)
11%
9
15%
24
10%
12
9.8%
18
Interés generado
"
J
~ Ejercita: 3-41 ~Razona: 5 1
l!I Soluciona problemas) 1
0
Analiza la situación planteada y responde. Pedro presta dinero a terceras personas a un interés simple mensual del 2%, 3% y 4%. a. Si prestó al 2% $ 2.500.000 y recibe $ 100.000 de interés, ¿a cuántos meses prestó el dinero? b. ¿Cuánto dinero prestó, si en 6 meses cobrando al 4% recibió$ 180.000 de intereses? c. ¿Qué cuota mensual recibe de un cliente al que accedió a prestarle al 1,8% de interés simple mensual$ 15.000.000, con el compromiso de pagarlos en 12 cuotas mensuales iguales? -
850.000 1.600.000
12,5%
412.000 250.000
10
" 3.100.000
300.000
279.000
O Determina e1capital que se tendrá al invertir en el
f) Una entidad financiera realiza préstamos a sus afiliados con diferentes tasas de interés simple mensual de acuerdo con el tiempo de duración del crédito, e invierte en certificados a término fijo CDT, cuyo rendimiento mensual depende del tiempo establecido. Sus préstamos e inversiones son las siguientes.
tiempo y ali nterés simple dado. a. b. c. d. e.
$ 100.00O a 3 años al 8% anual. $ 1.200.000 a 2 años al 10% anual. $ 500.00 O a 3 años al 9% anual. $ 2.400.0 00 a 4 años al 10% anual. $ 950.00 O a 2 años al 8,5% anual. f. $5.000.0 00 a 3 años al 4,5% anual.
Préstamos 1
1
Tiempo
1-3años
O Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si es
5 años
falsa. Justific a tu respuesta. a. Sandra, por un préstamo de $ 6.000. 000 al 10% de interé s simple anual, paga mensu almente de intereses $ 60.000. b. Camilo paga$ 54.000 de intereses s emestrales por un p réstamo de $ 900.000 que hizo a una tasa de interés simple del 12% anual c. Nicolás hace, a nombre de su em presa, un préstamo al banco por$ 45.000.000 a un interés simple mensual del 1,1 %, y paga trimestralmente$ 1.485.000 de intereses. d. Juan hiz o un préstamo para la universidad de $ 2.100.000, a un interés simple anua1de11,5% y debe p agar en 6 cuotas fijas de $ 4 70.750. e. Mateo p restó a Javier $ 6.300.000 a un interés simple anual de 13,2%. ¿Cuánto d ebe pagar Javier a 1;ateo?
Capital 3.500.000 1.200.000 4.000.000 2.300.000 12.000.000 9.000.000 21.000.000
Interés anual
10%
10,6%
Préstamos
1
1
Tiempo
3 meses
6 meses · 12 meses \...
Capital 2.500.000 5.000.000 3.600.000 5.000.000 4.500.000 2.900.000 10.000.000 6.000.000 60.000.000
Interés anual
8,63%
9,16% 9,58%
--- 1
¿Cuánto dinero ingresa mensualmente a la entidad por concepto de intereses?
=-·=-=-===============================~=-=-=-=-==========================~ © Santillan a
J
12 7
O En una práctica de física, a una masa de 2,5 kg se
Razón y proporción 11
le aplicaron varias fuerzas en la misma dirección y se calculó la aceleración en cada caso; así se obtuvieron los siguientes datos.
O La habitación de Isabel tiene las siguientes me-
'
didas: 6 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto. Responde:
1
a. ¿Cuál es la razón entre el largo y el ancho? b. ¿Cuál es la razón entre el largo y el alto?
e
Encuentra dos números si la razón entre ellos es 7 a 9 y su diferencia es 6.
e
0,16 X d. - - - X 0,25
b. ~
e.
c.
3
=
1
X
3
81
_J__
0,2
---
28
--5 X
18
f.
X
120
9
5
e
º70 =~= º =~= º 35 105 o 0,7 En la figura se muestra un mapa donde la escala es 1:320.000. Halla la distancia entre las ciudades A y B, si en el mapa su distancia es de 2,8 cm.
B
Magnitudes directamente proporcionales (¡) Determina cuáles de las siguientes gráficas representan magnitudes directamente correlacionadas y cuáles directamente proporcionales. Justifica tu respuesta.
b.
• 12 8 '
e
1
© Santil lana
·y-= c.
Y+m= 'fFR--:· ·· ··--- - ' · :-1 : -=X
15
19
Aceleración
0,8
1,6
3,6
6
7,6
Para dos magnitudes A y B de acuerdo con las con diciones dadas, escribe una situación, construye una tabla y realiza la representación gráfica. a. A y B son magnitudes inversamente proporcionales con constante de proporcionalidad 45. b. A y B son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 2,5.
la comida que tiene para alimentarlos alcance 30 días, tiempo en que llega la nueva provisión. Si alimentando a todos los marranos que tenía, la comida le alcanzaba para 24 días, ¿cuántos m arranos tenía el campesino inicialmente?
Bogotá
. - :~
9
.Regla de tres simple f) Un campesino vende 18 de sus marranos para que
MedelUn A
a.
4
Magnitudes inversamente proporcionales
O Completa.
e
2
a. Representa gráficamente las dos magnitudes. b. Determina la relación entre las dos magnitudes. c. Halla el valor de la constante de proporcionalidad. d. Encuentra la expresión matemática que relaciona las dos magnitudes. e. Halla el valor de la aceleración del cuerpo cuando se le aplican fuerzas de 5 N, 12 N y 20 N.
Halla el valor desconocido en cada proporción. 12 X a. - - 32 4 9
Fuerza
.:-- =--:_ X
• - -
~=-_--
X
d.
YY.=i=Ffi=Ff,::¡ mn=1r
~1 tr=~:--~
X
G) En un partido de fútbol la taquilla total fue de $ 15.000.000, de los cuales las dos terceras partes corresponden a entradas de adultos con un costo de $ 12.500 cada una, y la otra tercera parte corresponde a entradas de niños menores de 14 años con un costo de $ 8.000 cada una. Responde. a. ¿Cuántos adultos y cuántos niños fueron a ver el partido? b. Si la entrada hubiera sido cuatro quintas partes de adultos y una quinta parte de niños, ¿cuántos adultos y cuántos niños hubieran asistido al partido?
Regla de tres compuesta
a. Si Jorge hace un préstamo para estudio por $ 3.000.000, a 6 meses y para pagar por nómina en cuotas fijas, ¿cuál es el valor de cada cuota mensual? b. María paga $ 226.000 mensuales de intereses por un préstamo de$ 24.000.000 para vivienda. ¿Cuál es su forma de pago? c. Si Abelardo pagó $ 975.000 por seis meses de intereses por un préstamo de $ 15.000.000, ¿cuál es el interés mensual que paga Abelardo por el préstamo?
G Determina cuáles de las afirmaciones son verda
Porcenta jes
e
La superficie de la Tierra está dividida en superficie continental y oceánica, como se muestra en la figura. :·········································· ···································· ······ ·······: Superficie de continentes y océanos (En millones de kilómetros cuadrados)
Hemisferio norte Q
En una carrera de meseros, cada uno debe llevar, corriendo, una copa de vino una determinada distancia. El ganador recibe$ 3.000.000. Se premian los tres primeros lugares y el ganador es quien riegue la menor cantidad de vino posible. Si los tres concursantes que llegan primero riegan 5 cm 3, 2 cm 3 y 3 cm3, respectivamente, responde:
\~
\""'
"
Área
América
42 km 2
Atlántico
80,1 km2
África
30,2 km 2
Índico
70, 1 km 2
Antártico
31,1 km 2
Ártico
14,3 km 2
Antártid a
13,8
km 2
\. Oceanía
CD En una cooperativa de trabajadores ofrecen prés-.
Determina.
Nómina
13%
10,8%
9,8%
Ventanilla
13,6%
11 ,3%
10,2%
'-
Área 1 Océano ~===;::::===: Pacífico 165, 1 km 2
43,8 km 2
Interés simple
Vivienda Estudio
1
Asia
km 2
Libre inversión
48,6 km2
Los continentes y los océanos están repartidos así:
10,6 km 2
·Objetivo Forma de pago
X~)
/ // ~- ---- ----~/
Europa
tamos a sus afiliados dependiendo de para qué necesiten el dinero y si el préstamo será pagado por ventanilla o descontado directamente de nómina. Los intereses anuales en cada situación son:
\
0\
........................................................................................... :
1 Continente
a. ¿Cuánto dinero se premia en total? b. ¿Cuánto dinero le corresponde al segundo mesero? c. ¿Cuánto dinero le corresponde al tercer mesero?
Hemisferio sur
206,4 km 2
:
100,7 km2
g;:r. 1¡
;g
cionales a 1, 2 y 5.
e
X
154,3 km 2
Repartos proporcionales (9 Reparte 2.200.000 en partes directamente propor-
8,9
Área en millones de km 2
a. El porcentaje del hemisferio norte representado por los océanos. b. El porcentaje de la superficie terrestre que corresponde a los continentes. c. América y Europa, qué porcentaje de la super. ficie continental representan. d. El océano Atlántico y el Pacífico, qué porcentaje de ia superficie terrestre ocupan. e. El porcentaje del hemisferio sur que corresponde a los continentes. · © Sa ntillana
l l C9
':l'.f'
r
F'- t·~ ==; I t·l1 TF'- ·-· ·=·I ·-· ·=· ... .
-
"~
':'~·--:,,Q':o.;<>•-
;'· '.'\ ',,,
/ .· ·•.·
•
•.
! ' (
'
.. - ~:-:;-.·;t:,~~~"~.J :p.:-:·,,.
..
~",:-57·-~:-~-¡ .::.~~\-:-~
~" -·Razq~~~%· ~:- : prq~~J[e_i. ~ri!~§/i~~\~-~:::«:~~ -· . .. . '~
'
'
,..
~
"'"
~ ~~~ ~ ~--
'
-~
. · ~.
·..
Si
;.
Una razón es el cociente entre dos cantidades
a·d=c·b a b b d -=-y-=c d a e
Una proporción es la igualdad entre dos razo-
a b
e
=-
d
con b =/e- O y d =/e- O
'
donde a y d se denominan extremos y by e se denominan medios.
e
cump len las siguientes propiedades:
a
de tal forma que -b con b =/e- O.
nes de modo que -
a
b = d es una proporción, donde b =/e- o y d =/e- o, se
--_;. -_·-
a+b a-b
/
/1,
c+d c-d
---
a+c
a
a-e
a
--=-y--b+d b b-d b ;\
a+b_c+d a-b c-d -b- - -d- y -b- = -d-
Dos magnitudes son directamente proporcionales si la razón entre dos medidas correspondientes a cada una de ellas es siempre la misma. Así, si m es una medida que corresponde a la magnitud A y n es una medida que corresponde a la magnitud · 8, se cumple que: .·· ~ > , , ·., ...... ¡
m=k n
-/ :-.,,
... ,'.
Donde k es la constante de proporcionalidad.
\'
'
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de cada medida de cada magnitud por la respectiva medida de otra magnitud es igual a una constante. Así, si m1 y m2 son medidas de la magnitud A, Yn1 y n2 son medidas de magnitud 8, se cumple que:
m1n1 = m2n2 = k Donde k es la constante de proporcionalidad.
·:¡ .
Porée:niá¡es V
~~
~
~: ~·
·_ :· · .·.
---~:.· .~
.J.
-
-
Son todas las razones en las cuales se relacionan las cantidades de una. magnitud con' 100 unidades de la otra. As í, si m es
.
"
~·
'
Para repartir una cantidad sen partes directamente proporcionales a m, n y t, se obtiene cada parte multiplicando a m, n y t por
s
m
·una cantidad, el porcentaje se ex100 presa como m%. Para calcular el porcentaje º se establece una proporción de la form a: a 100 -¡; = --¡;--,donde n es el porcentaje que se
m+n+t· Sis se reparte en partes inversamente proporcionales a m, n y t, se multiplica a m, n y
t por 1
m
;:.•,
13 Ü
1
';
-
1
:·>. ' .\\ _:.
© Santillana
1
1.
-+-+ -
quiere calcular. ·.;_·-_.
s n
t
!
' . · .;,.. ¡•
I
\
·.. :~ ,':
I .
1'.
· .. ·..... >-~ i: / . ·. 1
Los porcenta jes en el agua El agua constituye el recurso natural más abundante en la Tierra y, a la vez, el más importante pues es fundamental para la existencia de la vida. Sin embargo, el agua para el consumo humano es cada vez más escasa. Los estudios muestran que, para el año 2025, las extracciones de agua se incrementarán en un 50% en los países en vías de desarrollo y en un 18% en los países desarrollados, debido a que el desarrollo y el crecimiento demográfico conllevan un aumento de la demanda de agua.
Así que menos del 1% del agua de la Tierra es utilizable en forma directa para el consumo humano. La siguiente tabla muestra la distribución en porcenta jes del total del agua de la Tierra.
Se estima que el volumen total de agua del planeta Tierra es de 1.400.000.000 km 3 aproximadamente. De este volumen total, aproximadamente el 97,2% es agua salada, y el porcentaje restante, que corresponde al agua dulce, el 77% está congelada en los casquetes polares y glaciares.
O ¿Cuál es la importancia del agua para la Tierra?
e e
¿Cuál es el volumen total del agua del planeta Tierra?
¿Por qué se cree que para el 2025 la demanda de agua aumentará en el mundo?
@ ¿Qué porcentaje del total del agua de la Tierra es agua dulce?
e
aO 9
Localización
Porcentaje del total
Aguas superficiales
0,0 17%
Aguas subterráneas
0,632%
Casq uetes polares y glacia res
2, 15%
Atmósfera
0,00 1%
Océan os
97,2%
Total
100%
Si el agua dulce utilizable en forma directa para el consumo humano se localiza en las aguas superficiales y subterráneas, ¿a qué porcentaje corresponden estas aguas?
Plantea y actúa
1
1·
'I 1
Determina el volumen de agua aproximado, en kilómetros cúbicos, que se encuentra en los océanos. Calcula el volumen aproximado de agua, en kilómetros cúbicos, que se encuentra en los casquetes polares y glaciares.
© Sa nt illana
l 131
1
1
:
1,!
,
.
lntrod cc·ón
1álgebra Temas de la unidad 111 Expresiones algebraicas ~ Adición y sustracción
tk;l Multiplicación
j
::~~uál n~mero en~:ro de.be~;eu:~~azar a~~ x par:que la igualdad sea verdadera?
-x- 3 2
=
x+ 3 2
Determina todos los posibles valores de las figuras y~ , si se sabe que son enteros positivos, que Ó vale 5 unidades y que cada fila y cada columna suma 12 unidades.
D
D 6 ·o 6 o D o D6
1
El escudo de armas Por el camino que ascendía a la fortaleza avanzaba un soberbio caballo y, sobre él, un caballero cub ierto por su armadura. El guardia se dispuso a darle el alto para que se identificara, pero antes de que lo pudiera hacer el sargento de la guardia lo detuvo y, haciendo una reverencia, dejó pasar al desconocido. -¿Qué haces, necio? -dijo el sargento encarándose con el guardia-. Puede que no sepas quién es, pero los símbolos de su escudo denotan su condición: el bezante y el aspa nos dicen que ha combat ido en las cruzadas y nunca ha sido derrotado, y el cetro asegu ra que es de sangre rea l, así que en adelante fíjate más. - Me fijaré más la próxima vez. La herá ldica es una ciencia de símbolos -respondió el so ldado, aliviado después de haber pasado el tra nce. -No hace mucho tiempo hablé con un médico judío que había leído un manuscrito que explica cómo resolver situaciones con la ayuda de las matemáticas y los
símbolos - explicó el sargento-. Creo que lo llamó Álgebra y se trata, según me dijo, de sustituir cantidades desconocidas por símbol os o letra s y operar, después, con los números. En ese momento sonó la voz de alarma y un tropel de gente entró en el castil lo. El jefe de la partida dio las novedades. -H emos capturado a tres exploradores enemigos; dicen que la mitad de su partida es infantería y el resto son exploradores y caballería; ellos son la cuarta parte de los exploradores y hay ochenta caba lleros. Tomado de Matemáticas l ESO, España, Editoria l Santillana, 2007.
Consulta qué significa álgebra. Luego, compara dicho significado con laexplicación que se da en el texto. Con base en el texto, establece cuántos hombres reportó como capturados el jefe de la partida.
© Sa ntill ana
j 13 3
J'
Expresiones algebraicas Habitualmente, se encuentran tanto en enunciados matemáticos como en enunciados científicos, expresiones que se representan con letras, números, signos de relación y de operación. Estas expresiones suelen tener diversos significados: pueden servir para expresar el recorrido de un móvil, las variaciones de temperatura o problemas comerciales y financieros. En general, el uso de letras, coeficientes y operaciones le permite al álgebra expresar de un modo universal las magnitudes representativas de diversas situaciones de la vida diaria; así, el lenguaje algebraico es una generalización del lenguaje aritmético. Muhamad ibn Musa Al-Khwarizmi
780-850 Matemático yastrónomo árabe. Fue miembro de la casa de la sabiduría en la que trabajaron diferentes sabios procedentes de Siria, Irán y Mesopotamia. Varias de sus obras fueron traducidas al latín y una de el las introdujo los principios fundamentales del álgebra.
i 1 . ''
1
' '
Uria expresión algebraica es una combinac ión de números, letras de una o varias operaciones.
y signos por medio
~
Á
Por ejemplo, la expresión algebraica que representa el área de un rectángulo de base x y altura y es x X y. Por otra parte, si queremos representar el área de la superficie de un prisma recto de base cuadrada, con aristas de longitud x y y, podemos utilizar la expresión algebraica 4 X x X y+ 2 X x 2 . ~-
x2 xy
xy
xy
xy
x2 ~
En la representación de expresiones algebraicas no se escribe el signo de la multiplicación entre números y letras, ni entre letras. Por ejemplo, la expresión x X y se escribe xy y la expresión que representa el área de la superficie del prisma recto, 4 X x X y + 2 X x 2 , se escribe 4xy + 2x2• Una expresión algebraica está formada por términos, así la expresión 4xy + 2x2 la conforman los términos 4xy y 2x2• Un término está compuesto por los siguientes elementos: Signo: puede ser + o - . Coeficiente: corresponde a la parte numérica que aparece antes de las letras. Parte literal: corresponde a la letra o grupo de letras con sus respectivos exponentes. Por ejemplo, en el término - 5x 3y 2 el signo es - , el coeficiente - 5, la parte literal es • • •
x3y2.
x Ejemplo Hallar la expresión algebraica que representa el volumen de la caja.
El volumen de la caja es el producto de la altura, cuya medida es 2, por el área de la base que es un cuadrado de lado y. Por tanto, el volumen es:
V= 2y 2 y
13 4
1
© Santillana
-¡
1
1
Clasificación de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican en: Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término. Por ejemplo, 3x2y; 2xm 3 ; -4xyz; - 3z3 ; - ~ x 2 y 5; ~ s 3t son monomios. Binomio: es una expresión algebraica que consta de dos términos (dos monomios). Por ejemplo, Sa + 3b; -9x2 + y3; -La+ le; (m + l) 2 3 3
2 -
8 son binomios.
Trinomio: es una expresión algebraica que consta de tres términos (tres monomios). . 8x 5 y Por ejemplo, a3 - a2 + ab; la 2 + lb 2 - 2c; - - + 2x 3 + 3 son trinomios. 3 3 4 7 Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término. 3
Porejemplo,-b2 +c;2x 2 - Sx+ 6;Ía 2 + 8b 2 - e- (a- b) sonpolinomios. 2 7 2
Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando su parte literal con sus correspondientes exponentes son iguales. Por ejemplo, los términos 3x2y3 y 9x2y 3 son semejantes porque la parte literal con sus respectivos exponentes son iguales, es decir, x 2y 3 = x 2y 3 • Por el contrario, los términos 3am y 5a 3 m no son semejantes porque, aunque tienen las mismas letras, estas no tienen los mismos exponentes, ya que la a tiene exponente 1 en el primer término, pero en el segundo término tiene exponente 3.
:-: Ejemplos
El signo es positivo ( + ). 1 El coeficiente es - . 3 La parte literal es a2 b. El exponente de a es 2. El exponente de b es 1.
@ Clasificar las siguientes expresiones algebraicas según el número de términos. a. 2w - 1z+ Swz 4 5 La expresión algebraica es un trinomio porque tiene exactamente tres términos. b. _l__bc 2 - 2a 5 La expresión algebraica es un polinomio, ya que tiene más de un término. Sin embargo, se le denomina binomio porque tiene exactamente dos términos.
@
Determinar si los términos 3ab5 , -9a5 b y 6ab 5 c son o no son semejantes. Justificar la respuesta. Los términos no son semejantes entre sí, puesto que no tienen la misma parte literal. Así, por ejemplo, 3ab 5 y - 9a 5b no son semejantes porque los exponentes de las respectivas letras no coinciden; el exponente de b es l, en el segundo término, pero en el primero es 5. De igual manera 3ab 5 y 6ab 5 c tampoco son términos semejantes puesto que no tienen la misma parte literal.
@ Escribir un término que sea semejante al término dado.
a.mn El término puede ser -2mn, se debe dejar la misma ·parte literal; en este caso se cambia sola mente el coeficiente. b. 5x2y Un término semejante puede ser -29x2y, se deja la misma parte literal y se cambia el coeficiente.
© Santill.ana
l 135
·1.
1
Reducción de términos semejantes La reducción de términos semejantes consiste en expresar, mediante un solo término, dos o más términos semejantes. Para reducir términos semejantes se deben tener en cuenta los siguientes casos: Caso l. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Se suman los valores absolutos de los coeficientes. Luego, se escribe la suma con el signo común de los términos. Por ejemplo: - 3a - 5a - lOa = -18a y 2x2y 2 + 5x2y 2 = 7x2y2 Caso 2. Reducción de dos términos semejantes de diferente signo Se restan como números naturales los valores absolutos de los coeficientes. Luego, se escribe el resultado anteponiéndole el signo del coeficiente que tiene mayor valor absoluto. Finalmerüe, se escribe la parte literal. Por ejemplo: 6a 2b - 2a 2b = 4a 2by -15xy
+ 9xy
= -6xy
Caso 3. Reducción de términos semejantes con signos de agrupación Se suprimen los signos de agrupación y se efectúan las operaciones indicadas teniendo en cuenta las siguientes reglas: • Cuando un signo de agrupación está precedido por el signo +, se suprime dejando los términos que están en su interior con el mismo signo, así: a + (b + e) = a + b + e • Cuando un signo de agrupación va precedido por el signo - , se suprime cambiando de signo los términos que se encuentran en su interior, así: 5y - (z + x) = 5y - z - x • Cuando los signos de agrupación están dentro de otros, se suprimen en cada paso empezando de adentro hacia fuera, así: 6a - [9a - (3a + 9a) J = 6a - [9a - 3a - 9a] Sesuprimeelparéntesis. = 6a - 9a
+ 3a + 9a
Se suprime el corchete.
= 9a
Se realizan las operaciones.
:-i:
Ejemplo
Suprimir los signos de agrupación en la expresión:
-3a -[ (!a+
! a)+ (~a+ ~a)l
Luego, reducir términos semejantes. Se realiza el siguiente procedimiento:
! a + ¡ a) + ( ~ a + ~ a) J 3a - [ ( : a) + ( ~ a)]
-3a -[ ( ;.I
= -
Se suman las fracciones.
= -3a -
[(a)
+ (a)]
= -3a - [2a]
Se suprimen los paréntesis y se suma.
= -3a - 2a
Se suprimen los corchetes.
= _
Se reducen términos semejantes.
Sa
Por tanto, - 3a -[ (
13 6
1
©
Santillana
Se simplifican las fracciones.
!
a
+
!
a)
+(~
a
+
~ a)] = -Sa.
<& Inte rpreto: i j
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, según el texto explicativo de la página 134 a 136.
e
Reduce los términos semejantes en cada expresión algebraica.
+ 7x - x + 3x - 2lx -2xy + xy - 7xy + 9xy x 2y 3 + l 5x2y3 - 8x2y 3 + l 3x2y 3 -9m 2n3 + 8m 2n2 - n 3m 2 + 15n 2m 2
a. Sx
a. Todo binomio es polinomio. b. Todo polinomio es trinomio. c. Dos términos son semejantes si tienen el mismo coeficiente. d. Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal.
b.
Determina cuál es el coeficiente, el signo, la parte literal y los exponentes en cada uno de los sigui en tes monomios.
Suprime los signos de agrupación. Luego, reduce términos semejantes.
d. -8x2y
g.
b. 3x4
e. 4x 5
h . _ _l_x2y2
5
c.
d.
a. 2xy3 - (5xy3) b. 3a2b3c + (-5a 2b3c)
-ys
a. -2x3
c. _l_xy3
e
•
~Razona: 2-3-4-s j ~ Ejercita: 6-7 1
5
c.
~ y4 + ( - ~ y4 )
d.
~ am 2-
4
f. xy2
i.
-x3y2
[ -(
- (-
~ y4 )
~ am 2- ~ am 2) J
2
Escribe una expresión algebraica para cada enunciado. a. b. c. d. e.
Un número aumentado en l. El doble de un número. El triple de un número aumentado en 2. El cuadrado de un número. El doble del cubo de un número. f. Cinco veces el cubo de un número más tres veces el cuadrado del mismo.
Q!I Soluciona problemas J
e
Calcula el área de cada una de las siguientes figuras.
X
b.
O Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en
d. .
~--~
monomios, binomios, trinomios o polinomios.
e
a. b. c. d.
3x2 4x2 +y xy + 5 x 2 -x+6
4x3 + 2x2 + x - 5 f. -7xy3z2 g. 5xy2z2 - 3x2yz2 h. -9xyz - xy - 1
y
a. _±_xy2 3 b. 5x2y
2.
c. -7x2y2
3.
_±_ x2 y 3 _ _Lxy 2
4.
-7x2y2z2
d. _ _l_ x2 y2 2 2
--
8
l.
3
X
º
Relaciona cada monomio de la izquierda con su correspondiente término semejante de la derecha.
y
X
e.
Plantea una expresión algebraica que exprese el volumen del siguiente arreglo de cubos. Luego, reduce la expresión hasta obtener un monomio.
3x
-sx2y2
/f-------r-- - - - - - <
8
-- -
2x
1
íl___L___L___J_L__----2x----,-----. ___J_~--__v __J.__
~
© Santillana
l 13 7
¡.
:1
Adición y sustracción Para sumar dos monomios semejantes, se suman sus coeficientes y la parte literal se deja igual. Por ejemplo, para sumar los monomios llmn y 2mn se procede así:
llmn
+ 2mn = (11 + 2)mn = l3mn
Se suman los coeficientes de los sumandos.
La suma de dos monomios semejantes es otro monomi o se mej ante cuyo coeficie nte es la suma de los coefi cien tes de los sumandos.
Para restar dos monomios semejantes, se suma el coeficiente del primer monomio con el coeficiente opuesto del segundo monomio, y se deja la parte literal igual. Por ejemplo, para restar 5m 2 n3 y -2m 2 n3 se realizan los siguientes pasos:
Se reescribe la resta como la suma con el opuesto de - 2m 2n3 y se suma.
La resta de monomios semejantes se rea liza su mand o el pri m er monom io con el opuesto del segu ndo. ~
Á
Para sumar dos o más binomios se realiza el siguiente procedimiento: •
¡I:
Por ejemplo, para sumar (3a 2
:' 11' .. ~
Primero, se ordenan los términos de los binomios con respecto a una letra, de tal manera que los exponentes de la letra aparezcan ordenados en forma ascendente (de menor a mayor) o descendente (de mayor a menor). Por ejemplo, el binomio x 5y - 3x4y2 está ordenado en forma descendente respecto a la letra x y en forma ascendente respecto a la letra y. Luego, se escriben uno tras otro los términos semejantes. Luego, se reducen.
.,
1 '
(2a 2 b
l
+ 3a2 ) + (-4a 2 b + 2a)
= 2a 2 b
+ 3a2 -
=
2a 2 b
4a 2 b
=
-2a 2 b
-
+ 2a
4a 2 b
+
3a2
+ 2a
+ 3a + 2a
+ 2a2 b) y (2a
- 4a 2 b) se procede así:
Se ordena cada binomio en forma descendente con respecto a la variable a. Se suprimen paréntesis. Se escriben uno tras otro los términos semejantes.
2
Se reducen términos semejantes.
Para restar dos o más binomios se realizan pasos similares: • Primero, se ordenan los binomios. • Luego, se suprimen signos de agrupación, si los hay. • Finalmente, se escriben seguidos los términos semejantes y se reducen. Por ejemplo, para restar (Sx2 - 3x) y (Sx - 8x2 ) se realizan los siguientes pasos:
i:¡I'
·'!
(5x
'1
2
3x) - (-8x
-
= Sx2
-
= Sx2
+ 8x2
= 13x2
3x
-
+ 8x2
8x
-
2
-
+ Sx) 5x
3x - 5x
Se establece la resta ordenando cada binomio. Se suprimen paréntesis. Se escriben uno tras otro los términos semejantes. Se reducen términos semejantes.
Por lo tanto, la diferencia entre (Sx2
13 8
1
©Santillana
-
3x) y (Sx - 8x2 ) es 13x2
-
8x.
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
~========-================================~
/
fj"-•,..__R_e_c_up-e-ra- in-fo-rm - ac-io-, n-:
O Consulta cómo se llama la propiedad que permite afirmar que:
e
x 2(5
+ 2)
=
5x2 + 2x2 = 7x2
Según el texto explicativo de la página 138, determina si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso. Justifica tu respuesta. a. La suma de dos monomios semejantes puede ser un binomio. b. La diferencia entre dos binomios que tienen solo un par de términos semejantes, es un binomio. c. La diferencia entre dos monomios que no son semejantes es un binomio.
e
Halla la suma de los siguientes monomios. a. 12xyz y 5xyz
b.
-3z3 y
4z3
d. 15a3 b3c y 19a3 b3c
h. -l..Lx 2z y -Lx 2z 10 9
mios.
+ (5x - y) 2 b. (5x +y) + (-y+ 2x 2 ) c. (-z3 + 2x) - (4z3 + x)
a. (3x - 2y)
monomios dados. Luego, establece su suma.
e
a. xz
c.
4yz
e.
J2xy
b. -2y7
d. -ab2c
f.
2-x 3 3
Escribe en el cuadro un término semejante para que la igualdad se cumpla.
O = 5ab 2 -2x +O = 12x O + 2xy = -9xy z3 - O + 4z3 = 15z3
a. 7ab 2 c. e.
-0 - 5a b c
3 3 3
=
-3a3 b3 c3
l!I Soluciona problemas J f) Halla el perímetro de los siguientes polígonos. a.
b.
xy' x3y
2mn'
mn'
2mn
m'
G) Completa el cuadrado mágico de tal forma que cada fila, columna y diagonal de cuatro casillas sumen lo mismo.
+ 3z - Sxy + z b. 5xy3 - 2x2 + 4xy3 + 5x2 + x 2 c. 2ab + 3c - 4ab + ab - e d. 8x2y - 2xy + 7y - 5y + x 2y + 6xy e. 4z2 + 2x3y - 3xy3 + 7z2 f. a3 + 7a2b + 2b 2 - 5ab 2 + b2 a. -xy
g. _ _l_ pq2+ _]__ p2q - 2pq2+ _l_ p 2q 9
h. _ _l_mn 2p - _l_m 2np - _l_ pn 2m - _l_ pnm 2 4
lmn 3
3xy2
Simplifica las siguientes expresiones.
7
3m 2
3
4x3y
d. (x 3y 3z + z4) - ( - 5x3y3z + 9z4) e. (-3ab 2 - 2c) - (Se+ 7ab 2)
3
G Escribe dos monomios que sean semejantes a los
d.
g. 3a 2 m 2 y -2-a 2m 2 3
2
15x2y 2z 2
_ _±_ab y 2ab 5
f.
5
A x 3y 2 restar 8x3y 2 A la suma de 9xz3 con 7xz3 , restar 5xz3 Restar -3ab 2c3 a 16ab2t3 Restar 6x2y 2z 2 de la suma de -4x2y 2z2 con
a. b. c. · d.
b.
c. - 2x3y 2y -1 lx3y 2
4
O Plantea cada operación. Luego, resuélvela.
e. _l_m 2n y _ _l_m 2n 2 3
O Resuelve las siguientes operaciones entre bino-
e
~,I ~ Interpreta: 2 I ~ Ejercita: 3-4-51 ~ Razo na: 6-7-81
10x2 ·x2 3x2
4x2
5x2
8x2 4x2
8x2
x2
Determina el monomio que representa el siguiente enunciado: "Tres veces el triple del cuadrado de un número, menos la quinta parte del número al cuadrado".
5
© Sa ntillana
l 13 9
Multiplicación El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y su parte literal es el producto de las partes literales de los factores. ~
•
Á
Para multiplicar un monomio por otro monomio se deben multiplicar los coeficientes entre sí y la parte literal teniendo en cuenta las propiedades de potenciación. Por ejemplo, para multiplicar los monomios -4y2 y 3y3 se realiza el siguiente procedimiento: Se establece la multiplicación entre los coeficientes y entre las partes literales. Se multiplican los coeficientes teniendo en cuenta la ley de signos.
11
Se multiplican las partes literales aplicando las propiedades de la potenciación.
= -12y5z
Se puede observar que al multiplicar las partes literales de ambos monomios fue necesario utilizar una de las propiedades de la potenciación. Esta propiedad menciona que al multiplicar potencias de la misma base, el producto es una potencia con la misma base y con un exponente que corresponde a la suma de los exponentes de los factores. Por tanto, se tiene que: (y2)(y3) = y2 + 3 = yS
•
Para multiplicar un monomio por un binomio se debe aplicar la propiedad distributiva. En este caso se multiplica el monomio por cada uno de los términos del binomio. Por ejemplo, para realizar la multiplicación 5a(2a + 3b) se realiza el siguiente procedimiento: 5a(2a
+ 3b)
=
(5a)(2a)
Se aplica la propiedad distributiva.
+ (5a)(3b)
Se multiplican los monomios.
= 10a2 + 15ab •
Para multiplicar dos binomios se debe multiplicar todos los términos de uno de los binomios por todos los términos del otro binomio y luego, se reducen términos semejantes.
~or .ejemplo, para multiplicar ( ~ m + 3m) 2
s1gmentes pasos: (
2
= _
3m )(-4m
2
+
2
10
2
)
se realizan los
Se plantea la multiplicación.
)
Se ordenan los binomios en forma descendente con respecto a la m.
~ m)
_i_m 4 + - 1-m 3 - 12m3 + 2m 2 5
_l_m - 4m 2
~ m + 3m) ( ~ m- 4m
= ( ~ m2 +
por (
2
Se multiplica cada término de un factor por los términos del otro. Se reducen términos semejantes.
14 O 1 © Santillana
fj Recupera información: 1 1 ~ Ejercita: 2-3-41
O Responde las siguientes preguntas según el texto explicativo de la página 140. a. ¿Cómo se multiplican dos monomios? b. ¿Cómo se multiplican dos binomios? c. ¿Cuál es el producto de las expresiones y 2 por y3? Justifica tu respuesta. d. ¿Cuál es el signo que corresponde al producto de -5x2 por - 4y 2 ? Justifica tu respuesta.
e
• Escribe cada multiplicación y su producto según las representaciones gráficas, tal como se muestra en el ejemplo. Ejemplo:
a b Multiplicación a(a
Completa la tabla. Primer factor
Segundo factor
y2x2
x2y2
-3x 3y
-5x2
lly4z3
-6xyz2
-x3y4
5a
-7m 2n
-14nm 2
8a 3b2
-15a 2b3
I!
Producto
a.
a
+
e
=
-,Do bl
a :
b)
Producto a2 + ab
a
b
b
b.
b
ID ID
bl - bl
1
---t--------i
b
ID
a
b
,____¡
b
a
a
\.
~Razona: 5-61
Resuelve las multiplicaciones entre un monomio y un binomio. a. 2x(3x
+ 5)
e. · 2lx2y 2(xy - xy3)
~ xy- 5xy)
b. 4xy(2x - 5y)
f. -12xy(-
c. -5z(-x +y)
g.
d. - 3xyz(x2 + 4)
h. _ _l_ z 2 (-8 + 88z 3 )
e
l!I Soluciona problemas)
~ y2z(- ~ y 2z + 9)
Escribe una expresión algebraica que represente el volumen de agua del acuario.
8
l
Efectúa la multiplicación entre los binomios indicados.
5
e
+ n2)(m2 -
a. (a - b) (a + b)
c. (m2
b. (2x + 5)(x2 + x)
d. (3x2Y-z2)(2xyz2 -5x3y2)
Resuelve las operaciones indicadas.
a. -2x - [3x(5x + 2)] b. -5y - [(7y - 1)(6y - 4)] c. [(m + n)(m + n)] - [m2 + 2mn + n2] d. m 2
-
{3[(m - n)(n
+ m)]}
l~,.------------.
n2)
- n2
e. [(mx 2n - n)(mxn + m)] - (m 2x 3n 2 + m 2x 2n)
>----
e
lOy----<
Calcula el área de la región sombreada. Ten en cuenta que el área del círculo es A = 'ITr2 , donde 'IT es aproximadamente 3,1416 y res el radio.
o----Sx·----<
~ ·---- ·- = --= --:=- --= ==- -,,_,- © Santillana
l 141
e
Expresiones algebraicas Escribe un monomio, un binomio y un trinomio con las variables x, y y z.
e
a. La mitad de un número.
Coeficiente
más _L, 5
Variables
de un número menos 8.
-18abc
d. Un quinto de un número disminuido en 3.
4. _LX_ 8
e. Cinco veces un número
5. 5x
-x7 z
mio dado. a. pq2
a. Binomio con coeficientes 3 y - 2 y variable x.
b. -2uxy c. 3x2z2
c. Trinomio con coeficientes 2, 5 y 7 y variables x,y,z.
a. {2x - [3x + (2x - x)]} b. -{(4x - 3x) + 6x} c. [-(2y + 5y) - 9y] + 12y d. 3m - {[4m
volumen de los siguientes paralelepípedos.
rLtJ 1BJ 1LtJ
b.
2x '
j
·1
3x /
í
~/
:~
. -3x-
/
+
+ 2z) +
(3m - m)] [3z - (z
j © Santillana
2m}
+ 4z)]
Halla el perímetro de los siguientes polígonos. a.
/
5x
X X
3y
J l
2{
2x
/ >----2y-----<
4y
b. f.
3y
r 4
1
/'"
3y
'/3n
2y
>---lOm~
7y
14 2
+
e.
'/ '/ 2x
/'" ':/ 3x
e
,r
~2x~
c.
e. (-5z
d.
/
~x~
f. -x2yz 3
minos semejantes.
O Escribe expresiones algebraicas que representan el
1
d. -15ab 2x e. 12r2s2
O Suprime signos de agrupación. Luego, reduce tér-
d. Polinomio con coeficientes 3, 2, -1, 6 y variable X.
X
3
O Escribe dos monomios semejantes a cada mono-
Escribe dos polinomios que cumplan las características dadas.
¡
+ _L
Términos semejantes
_2_w2z3 5
b. Monomio con coeficiente 15 y variables a y b.
~
3
aumentado en _L . 3
7pqr2
a.
3. _LX _ 3 5
c. La tercera parte
5x2y
e
+ _L
2. _LX 2
b. El triple de un número
3x
\.
l. 3x
5
Completa la tabla. Monomio
Relaciona cada enunciado de la izquierda con la expresión algebraica correspondiente.
Multiplicación
Adición y sustracción
CD Escribe una expresión algebraica que represente el
• Resuelve las siguientes operaciones.
área de la región sombreada.
+ 3y - Sx + 2y 4z3 + 8z2 - z2 - 2z3
a. x b.
a.
c. -Sm + 2mn - 9mn
L3x_j
d. 4ab - 2ac2 - 7 ac2 - 8ac2 + ab e. - x2 + y4 + 3y3 - Sy4 + x2
b.
a. (2a - b) y(3b +a)
a
b. (5xy+3)y(-5xy+z) c. (-3xyz + 4) y (-8 + 2xyz) d. (-8 + 3x2y ) y (-2 - 5x2y)
+ 2xz) y (xz -
l
Sx
Ci) Halla la suma de los binomios indicados.
e. (15x 3y 2z4
1
3y
o---b-
a
l f
x 3y 2z4)
G Plantea cada sustracción que se indica. Luego,
CE) Halla el área total de las siguientes figuras.
halla la diferencia. a. Minuendo: - 3x2 Sustraendo: 5x2
a.
b. Minuendo: 8x3Y Sustraendo: 2x3Y c. Minuendo: x + y 3 Sustraendo: 3x + 2y3
e
2·
X
X
b.
d. Minuendo: z + z4 Sustraendo: -4z4 2
Escribe la expresión que c~rresponde a la altura y el ancho de la figura.
y
~2y--i
l
y
O Resuelve las siguientes multiplicaciones.
2x 1
4y
a. (2xy)(3 x ) b. (-5xyz 3)(4xy2)
í
c. (-x2;,,2z2)(-2x2y3) d. 4(a 3b)(-a 5b3c)
2x
?
1
3y
l 2x
f-------
e
X
?-----------l
1
Escribe una expresión para el perímetro de la escalera del punto anterior.
e
e. -3(2z3)(3x4y5) Escribe una expresión para el perímetro y otra expresión para el área del triángulo.
z
x+2y
3x + 3y ©
Santill ana
l 14 3
1---
r
t·1J .-. ·=· It·1J T1---·=··-·¡·-··=· ·..
._',, 1
'"
,· _
... ·:,-::
\, :. :'
·" \\
.
'
.\
·.\·· .-
Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y signos por medio de una o varias operaciones. Las expresiones algebraicas están conformadas por térm inos. Cada término tiene los siguientes elementos: signo, coeficiente, parte literal y exponentes de la parte litera l.
''
Signo ~
Las expresiones alg ebraicas se clasifican en monomios, binomios, trinom ios y polinomios. • Monomio: consta de un solo término. • Binomio: consta de dos términos. • Trinomio: consta de tres términos. • Polinomio: consta de más de un término.
. ,,._
.
-- .. .' " '
~ Exponentes
. .-. ~ x2y3
\•
. '
... _ .
.. -
~ .
.1: . \ ' · ; ' :·.
1 ·' '\
:\·
..
<·::
•
\;
•____ ·¡
~-
-;:·
:'
:
'
..
· .' :
Dos términos son semejantes cuando sus partes literales con sus respectivos exponentes son igua les. Por ej emplo, el término -5x2y3 es semejante con el
'" ·
término _J_x 2y 3 7
c......,_.;;.;.;_;;_...__"""'""" ' " " - " ' " " - - - - - - - - - - - - - - - - - - . . - ;
·.,, : \
~
•
! ;
; •
,. :
' ··'.
. I
·•• 1 I
... '·
'
Coeficiente Parte literal
'.· -- \\.
. .,-
.. -:.·\
·- ·, ·:,
·'.\
Para reducir términos semejantes es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos:
Para sumar dos monomios semejantes, se suman sus coeficientes y la parte literal se dej a igua l. Para resta r dos monomios semejantes, se suma el coeficiente del primer monom io con el coefic iente opuesto del seg undo moriomio y se deja la pa rte litera l igua l. Para sumar o restar dos o más binom ios se lleva a cabo el sig uiente procedimiento: Se ordenan los términos de los binom ios con respecto a una letra, puede ser de fo rma ascendente o descendente.
.
Se deben supri mir signos de agrupación, si los hay. .·_ \
. ··
·\"
Cuando los té rminos tienen el mismo signo, se suman los va lores absolutos de los coeficientes. Luego, se escribe la suma con el signo común y se deja la misma pa rte litera l.
,\
Cuando los términos t ienen diferente signo, se restan los va lores absolutos de los coefic ientes como números natura les. Luego, se escribe la diferencia con el signo del coefic iente que tiene mayor va lor absoluto y se deja la misma parte lite ra l.
• Se suprimen signos de ag rupación. Se reducen té rm inos semeja ntes. --.·"'
·\" :'
i:
i -·.
\'
\"
..
'
'1
.:
:.: .\
:·
\\
-·,,
Para multiplicar dos binomios, se realizan los siguientes pasos:
·:._
"/¡.
:1 ·.. ·
14 4
Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes. Luego, se multiplican las partes literales.
1
• Se ordenan los términos de cada binomio en forma descendente o ascendente con respecto a una letra.
,f·.
© Santill ana
-. ·:1
Se multiplica cada término de un factor por los térmi nos del otro. Se reducen términos semejantes.
El álgebra en la pista de patina¡e Una de las modalidades del patinaje de velocidad son las carreras en pista. Estas pueden ser: carrera contra reloj, carrera en línea, carrera a tiempo, carrera de relevos, carrera de persecución y carrera de puntos con eliminación. Se llama pista a la instalación al aire libre o cubierta que presenta dos segmentos de igual medida, en conexión con dos curvas simétricas que tienen el mismo diámetro, cuya línea se encuentra sobre una horizontal. El suelo de la pista debe ser de material lo suficientemente liso como para la práctica del patinaje sobre ruedas; de tal forma que no puede ser resbaloso, para no comprometer la estabilidad de los deportistas. Las pistas pueden ser planas o tener curvas con peralte. Estas últimas deben estar bordeadas por una barrera o valla exterior hecha en materiales aptos para limitar su peligro.
180 - r
Si se considera que la pista de patinaje está compuesta por una superficie rectangular y dos 'semicírculos a los lados, se puede determinar el área total de la pista así: ••;• •••••
AP = área del semicírculo 2
+ área del rectángulo + área del semicírculo
A p = 1T(r;s) +(180-r)(r+S)+ 1T(r;s)
Responde:
O ¿Cuáles son los tipos de carreras de patinaje en
e e
••
2
pista? ¿En cuáles figuras se puede descomponer la pista de patinaje para hallar su área?
¿Qué expresiones algebraicas determinan la base y la altura del rectángulo que conforman la parte central de una pista de patinaje?
a0 e Q
Plantea y actúa
1
Simplifica la suma de polinomios que determina el área total de la pista. Determina una expresión algebraica que permita determinar el perímetro externo de la pista. Reflexiona y valora
1
O Responde: ¿es posible que el área total de la pista de patinaje sea un número entero? ¿En caso afirmativo explica qué condiciones debería tener para obtener dicho valor? © Sa ntillana
l 14 5
MATEMÁTICAS
+ TECNOLOGÍA Componente
___
NATURALEZA YEVOLUCIÓN DE LA TECNOLOGÍA ----~:;)lllG!I
Las máquinas simples son disposit ivos que permiten apli car una fuerza mayor que la que una persona pod ría aplicar utilizando solamente los músculos, o aplicarla de forma más eficaz.
ii@fji
Palanca Es una máquina sim p le diseñada sobre un punto de apoyo que permite multiplicar la fuerza ejercida en un lugar determinado para superar cierta resistencia . Para co nsegu irlo, se aumenta el reco rrido que existe entre el sitio en donde se realiza la fuerza y el punto de apoyo.
'
Palanca de primer grado El punto de apoyo está entre la fuerza y la resistencia, como ·en el caso de las tijeras, la balanza y el co lumpio.
'"
i¡@ifüi!I
Palanca de segundo grado
Palanca de tercer grado
La resistencia está entre el punto de apoyo y la fuerza, como en la ca rreti ll a, el cascanueces o el abrelatas.
La fuerza está entre el punto de apoyo y la resistencia, como en las pinzas y el antebrazo humano.
-
Es una máquina simp le fo rm ada por una rueda que gira alrededo r de un eje y una cana l que rodea su circunferencia. A t ravés de ella se hace pasar un(! correa o cuerda con el fin de elevar objetos con mayor fac ilidad.
Existen tres tipos de poleas: fij a, móvil y polipastos.
Esta polea se encuentra sostenida en un punto fijo y por tanto, gira sin moverse de su sitio. Para elevar la carga, la fuerza aplicada debe ser mayor o igua l que la res istencia.
Polea móvil
Polipasto
En este tipo de d ispositivo el peso cuelga de la polea, por lo cual la fuerza que se emplea para levantar la ca rga corresponde a la mitad de la resistencia.
Un polipasto es un sistema de poleas comb inadas de tal forma que perm iten elevar grandes cargas con el menor esfuerzo posible.
t
© Santi ll ana
l 14 7
Plano inclinado
Cuña
El plano inclinado es Una superficie plana que forma un ángulo (no recto) con la horizontal. Es una máquina simple que se emplea para elevar cuerpos muy pesados realizando menos esfuerzo.
La cuña es un plano inclinado doble, donde la fuerza que se aplica perpendicularmente a la base se transmite multiplicada a las caras de la cuña.
Cuanto menos inclinado es el plano, menor será la fuerza que se tendrá que hacer sobre la carga, pero mayor será la distancia recorrida para subir la misma altura.
La fuerza aumenta más cuanto mayor longitud tienen las caras y menor longitud tiene la base.
Tornillo El tornillo es un plano inclinado, pero enrollado sobre un cilindro. Cuando se aplica presión y se enrosca, se multiplica la fuerza aplicada. Cada filete de la rosca hace de cuña, introduciéndose en el material con poco esfuerzo.
Componente APROPIACIÓN YUSO DE LA TECNOLOGÍA
1. Arquímedes dedicó su vida al estudio de diversos campos de la ciencia (geometría, mecánica, física e ingeniería), por tal razón es considerado, para algunos, como el ingeniero de la humanidad. Consulta: a. ¿En qué época vivió? b. ¿Qué inventos desarrolló? c. ¿Cuál fue su influencia en el desarrollo de las máquinas simples? 2. Leonardo da Vinci inventó este aparato, denominado odómetro. Consulta: a. ¿Para qué sirve? b. ¿Cómo funciona?
14 8
1 © Sa nt illana
Las palancas y el cuerpo humano
Componente TECNOLOGÍA YSOCIEDAD
El cuerpo humano es una de las máquinas más perfectas y complejas. Dentro de su estudio biomecánico se ha podido identificar que los huesos, los músculos y las articulaciones actúan en varias partes como palancas.
Palaca de primer grado: articulación occipitoatloidea.
Palanca de segundo grado: articu lación tibiotarsiana.
Palanca de tercer grado: articulación del codo.
Componente SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON TECNOLOGÍA
Construye una polea fija Materiales:
• • • • • •
Un gancho de alambre. Alicates. Un carrete de hilo grande, vacío. Una bolsa plástica pequeña con manijas. Objetos pequeños, como canicas o pelotas de goma. Tres metros de cuerda.
~/
Procedimiento:
1. Corta 20 cm a cada lado del gancho. 2. Dobla, en ángulo recto, los extremos y pásalos a través del carrete. 3. Toma los extremos que atravesaron el gancho y dóblalos hacia abajo. Verifica que el carrete puede girar libremente. 4. Cuelga la polea de algún lugar saliente y seguro. 5. Ata la bolsa a un extremo de la cuerda e introduce algunos objetos dentro de ella. 6. Deja la bolsa en el suelo. Luego, pasa la cuerda por la polea y tira de ella para levantar la bolsa directamente hacia arriba. 7. Realiza la práctica con diferentes pesos y describe lo que sucede en cada caso.
u'====="'
© Sa ntill ana
/'
Geometría Temas de la unidad 1S Polígonos 11 Circunferencia y círculo lll Sólidos
Determina cuáles de las siguientes figuras son polígonos.
b. Establece cuántos triángulos, cuadriláteros y pentágonos hay en el siguiente cuadrado.
Determina cuáles de los siguientes sólidos tienen más de una cara y cuáles no.
El cíclope matemático La tensión se apreciaba en el rostro de los presentes. La operación de cataratas parecía un éxito, pero la luz se fue apagando y Euler se quedó ciego.
-No te preocupes por eso - le dijo su hijo-. Tú solo piensa y dicta, que yo estaré aquí para escribir y dibujar lo quetú imaginas.
Eu ler, que a sus 59 años derrochaba vitalidad, era el ' menos afectado de todos y bromeaba contando anécdotas de su vid a.
Esto ocurría en 1766 en San Petersburgo. Varios años antes, durante su estancia en Pru sia, Eu ler publicó uno de sus trabajos más conocidos: La relación de Euler, que afirma que, en todo pol iedro sim ple, el número de caras má s el de vértices es igual al número de aristas más 2.
-Si Federico el Grande de Prusia me viera ahora no sab ría cómo llamarme :_decía Euler, pues el monarca lo llamaba el cíclope matemático, porque había perd ido un ojo en su juventud.
Tomado de Matemáticas l Eso, España, Editorial Santillana, 2007
Eu ler continuaba con sus bromas y afirmaba: -¡Ahora me llamaría Polifemo! -pe ro solo él rió un chiste que a los demás les pareció inoportuno. Recuperando la seriedad, Euler se dirigió a su familia: -No os preocupéis, la vista no lo es todo; de hecho ahora evitaré distracciones y me concentraré más. Lo que sí lamento es no poder escribir o dibujar. ~i:lJ;f''"
~T~77'
"~
\t,
f
:· . l ,
'
'
-
• Consulta la biografía de Leonhard Euler y resume íl'or escrito sus aportes ala geometría. • Dibuja un cubo en tu cuaderno. Luego, comprueba la relación de Euler enunciada en el texto anterior.
•,,,.~;-,,,_--_,.
. -~
n
?:"º
.
· _-
¡-;r\
'
© Santillana
1151
.
:>' ·: . " ..
.. .
.~1
.
.
,,. , ,..~
•• •• PENSAMIENTO ESPACIAL.. ••• :..~ y. 4?,~~~~"'.llENTOJ;tÉt~IC0 ..1
••••••
•' • ....
'~---j
~ _..Ji
>
•
•
)'' •
•
L
} _::
'
::.:
l.-' '
~~·
Polígonos Un polígono es una figura plana limitada por segmentos, tales que cada segmento se interseca con otro so lo en sus puntos extremos, y ningún par de segmentos son colineales.
Los elementos de un polígono son: lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales. Por ejemplo, el polígono PQRST lo conforman los siguientes elementos: • Los lados son los segmentos que conforman el polígono: • • •
•
N
PQ, QR, RS, ST y TP. Los vértices son los puntos donde se interseca cada par de segmentos: P, Q, R, S y T. s Los ángulos interiores son los ángulos formados por los lados del polígono:
-
consecutivos del polígono: PR, PS, QT, QS y RT. Se puede calcular el número de diagonales y la suma de sus ángulos interiores mediante las siguientes expresiones donde n es el número de lados.
Número de diagonales
Suma de los ángulos interiores
l
_) N = _n_·(_n_-_3_) S = (n - 2) X 180º __ 2~--
11
Clasificación de polígonos
+
1 .
~
'
Los polígonos se clasifican según la forma, según el número de lados y según la medida de sus lados y ángulos interiores.
1i¡'
iL
~=========S=e=g=ú=n=l=a=f=o=r=m=ª========~I ~I=====S=e=g=ú=n=e=l=n=ú=m=e=r=o=d=e=l=a=d=o=s====~
) i. :1 1
1''
Se clasifica n en convexos y cóncavos. Un polígono es convexo cuando ninguno de sus ángulos interio res mide más de 180º. Un polígono es cóncavo cuando alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
Se clasifican como triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono y así sucesivamente. Por ejemplo el pentágono tiene cinco lados y el hexágono tiene seis.
QPOO Convexo
15 2
1
©
Santillana
Cóncavo
Pentágono
Hexágono
Según la medida de sus lados y de sus ángulos interiores Se clas ifica n en regulares e irregul ares. Un polígono es regular cuando es co nvexo y todos sus lados y sus ángu los ti enen la mi sma med ida. En cambio, es irregu lar cuando sus lados y sus ángu los tienen diferente medida.
Polígono irreg ular
Polígono regular
x Ejemplo Determinar el número de diagonales y la suma de los ángulos interiores del siguiente polígono.
J
Para calcular el número de diagonales N se tiene que: N = 6(6 - 3) = (6)(3) = 18 = 9 2 2 2 Para calcular la suma de los ángulos interiores se tiene:
S = (6 - 2) X 180º = 4 X 180º = 720º Por tanto, el polígono tiene nueve diagonales y sus ángulos interiores suman 720º.
Contesta las siguientes preguntas.
e
a. ¿Qué es un polígono? b. ¿Cuáles elementos conforman un polígono? c. ¿Cómo se clasifican los polígonos?
Clasifica los siguientes polígonos según su forma, su número de lados y la medida de sus lados y de sus ángulos. a.
o
Determina cuáles de las siguientes figuras son polígonos. Justifica tu respuesta.
b.
c.
Calcula el número de diagonales y la suma de los ángulos interiores de cada polígono.
a. Heptágono b. Dodecágono
e
c. Eneágono d. Endecágono
Halla las medidas de los ángu los del polígono, sin usar transportador. Ten en cuenta que el polígono está formado por tres triángulos equiláteros y un pen tágono regular.
F
© Santillana
l 15 3 .1
Triángulos Dos ángulos o dos lados son congruentes cuando tienen la misma medida.
Un triángulo es una región del plano limitada por tres rectas que se intersecan dos a dos.
Para nombrar un triángulo se escribe el símbolo /":,. seguido de las tres letras que indican sus vértices. Así, el triángulo mostrado se nombra 6.ABC, donde A, By C son los vértices, AB, BC y AC son los lados, y
B
A~
Para nombrar los lados de un triángulo, también se puede escribir la letra que indica el vértice del lado opuesto, en minúscula. Por ejemplo, en el 6.PQR, el -
R
-
lado PQ se nombra r, el lado QR se nombra p y el
Q
lado PR se nombra q. Cuando dos lados o dos ángulos son congruentes, se utilizan las mismas marcas para indicar dicha con gruencia. Así, en 6.STU se tiene que
-
u
s
-
T
y ST =SU.
1;
e
p
:-: Ejemplo
1J'
Determinar cuántos triángulos hay en la siguiente figura. Luego, nombrarlos.
En la figura hay 13 triángulos. Para nombrarlos se deben indicar los vértices así: D
". .
',I•.
Luego, se escriben los tres vértices de cada triángulo anteponiéndole .el símbolo /":,.. De donde se concluye que en la figura están los siguientes triángulos: 6.CDE, 6.BCJ, 6.JEF, 6.ECJ, 6.ABI, 6.IJH, 6.HFG, 6.JBI, 6.FJH, 6.BDF, 6.ACH, 6.IEG y 6.ADG. Además, se pueden establecer algunas congruencias entre los lados de algunos trián gulos, tales como: CD
15 4
j © Sa ntill ana
=DE, CH =EG y AD =GD.
~~_...."""""""-=~"""""""~"'"""""'...,._,,""""""""""""""""""'""""""'~~--""""""=-=...,,,..,...,....~."""""'""""""'--=-=~. . ""' Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
. .....
Clasificación de triángulos Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados los triángulos se clasifican en: Equilátero Los tres lados son congruentes entre sí.
Isósceles
Para indicar la medida de un ángulo se escribe m-1..ABC. Los ángulos se miden usualmente en grados.
Escaleno
Solo dos lados son congruentes.
Ningún par de lados son congruentes.
Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en: Acutángulo
Rectángulo
Los tres ángulos son agudos, es decir, miden menos de 90º.
Un ángulo es recto, es decir, mide exactamente 90º.
Obtusángulo Un ángulo es obtuso, es decir, mide más de 90º.
~Ejemplos
(D Medir los lados y los ángulos interiores del siguiente triángulo. Luego, clasificarlo según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos. N
Los lados del triángulo MNO miden: MN = 3,4 cm, ON = 2 cm y OM = 3 cm. Además, las medidas de los ángulos interiores son: m
@ Dibujar un triángulo obtusángulo e isósceles. Para dibujar este triángulo es necesario que el triángulo tenga dos lados de igual tamaño, y esos dos lados deben formar un ángulo obtuso, el lado diferente debe formar ángulos agudos con cada lado. Así el triángulo obtusán gulo e isósceles se observa en la figura del lado. © Santill ana
¡1s5
Construcción de triángulos Los triángulos se pueden construir con regla y compás si se conocen las medidas de sus lados. Construcción de un triángulo equilátero :····· ········ ···· ·· ···· .. ························: :' ' ' ' ' " ' ' ' ' " ' ' " ' ' ' ' ' ' ' ' " '' ' ''' ''' ''' " ' ' " ' " ' ' ' ' ' ' ': :·········· .. ··············................. . : 1. Se traza un segmento AB con la : : 2. Con esta abertura, se traza un arco : : 3. Se nombra el punto de in. medida dada. Luego, se toma con centro en A. Luego, se repiteel · · tersección de los arcos (C). su medida con el compás. mismo procedimiento con centro Luego, se traza AC yBC :: en B.
¡l ¡¡
~
::
/\
,¡
A
~-~ ::
¡ ·. ~· ·· !'
¡¡A B. ¡¡ A B ...................................................... ........................................... .
\B
: ........ ..................................... .... : :
: :
Construcción de un triángulo isósceles :················· ··············· ····· ·· ·: :·····················································: :······················································
¡ 1. Se traza un segmento ¡¡ 2. Con esta abertura, se traza un ·
PO con la med ida de 1 l los dos lados con- 1 l gruentes. Luego, se toma su medidacon el
'# l
jj
~"'==~::::-
compis p
:
1 l 3. Se nombra el tercer vértice del triángulo (R) . Luego, se trazan PR yQR.
arco con centro en Q. Luego, se 1 l ubica en esteel tercer vértice del j j triángulo.
•
~,'*
R
o
~
p
o
p
........................................ : :... ......................... .........................: :..................................................... .
Construcción de un triángulo escaleno
Dadas las medidas a, b y e de un triángulo escaleno: 1. Se traza un segmento MN de medida a.
3. Sobre una regla, se toma la medida c. Luego, se traza un arco haciendo centro en N
;<~ M- - - - - N
M
2. Sobre una regla, se toma con el compás la medida de b. Luego, se traza un arco haciendo centro en M
M·- - -- --
15 6
1
© Sa ntillan a
N
N
4. Se nombra el puntodeintersección de los arcos (O). Luego, se trazan OM yON
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
);,
__
-" --==-....::::-., ____) ~Razona: 3-5-6 1
O Responde las siguientes preguntas de acuerdo con el texto explicativo de las páginas 154 a 156. a. ¿Cuáles son los elementos que conforman un triángulo? b. ¿Cómo se clasifican los triángulos según la medida de sus lados? c. ¿Cómo se clasifican los triángulos según la medida de sus ángulos? d. ¿Cómo se construye un triángulo equilátero utilizando regla y compás?
e
Nombra cada uno de los siguientes triángulos. Luego, determina cuáles son los vértices, los lados y los ángulos interiores. a.
c.
b.
e
Observa el siguiente dibujo. Luego, determina cómo son los triángulos de acuerdo con la medida de sus lados. Justifica tu respuesta.
G Determina la cantidad de triángulos isósceles que se pueden formar con los siguientes puntos. Ten en cuenta que la distancia entre punto y punto es la misma, en forma vertical y horizontal, y que cada punto es un posible vértice.
d.
Mide los lados y los ángulos interiores de cada uno de los siguientes triángulos. Luego, clasifícalos según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos. a.
c.
B
e
A
b.
9
Q
R
SLJ:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
G!I Soluciona problemas) e =
Construye un triángulo ABC, con regla y compás, de tal forma que AB 7 cm, BC = 5 cm y m -t.ABC = 30º.
G En el triángulo MNO se trazan dos segmentos desde los vértices O y N, hasta al lado opuesto a estos, con lo cual se forman 8 triángulos. Si trazan otros dos segmentos de la misma forma se forman 27 triángulos tal como se puede observar en las siguientes figuras. M
M
M
d.
•
[>N
p
L
Construye cada uno de los siguientes triángulos. a. Un triángulo equilátero cuyos lados midan 5 cm. b. Un triángulo escaleno cuyos lados midan 8 cm, 10 cm y6 cm. c. Un triángulo isósceles cuyos lados congruentes midan 7 cm.
o
O N
N
a. Determina cuántos triángulos se forman al repetir el mismo procedimiento. b. Establece cuántos triángulos se forman si se repite el mismo procedimiento n veces.
==== ··----·---.-'::.-..--
~---==-=:::-----
© Sa ntillana
¡1s7
Propiedades de los triángulos En todo triángulo se verifican cuatro propiedades: Propiedad l. La suma de los ángulos interiores es 180º. Propiedad 2. Al lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor medida y al lado de menor longitud se opone el ángulo de menor medida. Propiedad 3 (Desigualdad triangular). La medida de uno de los lados de un triángulo es menor que la suma de las medidas de los otros lados. Propiedad 4. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores que no le son adyacentes.
x Ejemplos (D Calcular la medida del ángulo que falta en el siguiente triángulo. ~~-~~~~~~~~~L
29º
1J
f¡ K
Por la propiedad 1 se tiene que: m1:.JKL
+ m1:.JLK + m1:.KJL =
180º.
Luego, se realiza el siguiente procedimiento. 43º + 29º + m1:.KJL = 180º 11
72º + m
1
m1:.KJL = 108º
Se remplazan las medidas del 1:.JKL y del 1:.JLK. Se suma. Se resta 72 º en ambos miembros de la igualdad.
Por lo tanto, la medida del 1:.KJL es 108º.
@ Establecer cuál es la medida que corresponde a cada lado del .6ABC, si 4 cm, 5 cm y 7 cm son las medidas de los lados y m
'I ·i .
B
45º
A
15 8
j © Sa nt ill ana
~¡_.,,,........,,.,..,"""""''"""""''"""""'"""""'~""""""""""""""""""""""""""""__,= , ===-=m>====z~.....,.,,...,,,,........~.-"""""' .C """""""""""'"""""--""""""'""""""""""""'""""""=-=-o:1llB~
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
"" " .....
,.._~,,=-"'™""""""'·º~=·-=<"""='z=k=""""= ~ =~~~="""'™"""""~=-z--"""""'""""'"""""""""""W""""""""'™'""""""=rn ~=="""""'reo==m;-==mn""'""'~""""""""""º·-·=-.._.,,.,.,..,.llili1I
@ Verificar si 12 cm, 6 cm y 20 cm corresponden a las medidas de un triángulo. Se utiliza la propiedad 3, es decir, la desigualdad triangular. Luego, se compara la suma de las medidas de dos lados con la medida del otro lado así: 20 cm+ 6 cm> 12 cm
20 cm + 12 cm > 6 cm
12 cm + 6 cm < 20 cm
26 cm> 12 cm
32 cm> 6 cm
18 cm< 20 cm
De donde se deduce que las medidas dadas no corresponden a las medidas de los lados de un triángulo, puesto que 20 cm es mayor que la suma de las otras dos medidas. Por lo tanto, no se cumple la desigualdad triangular.
@ Calcular la medida.de los ángulos indicados, teniendo en cuenta las medidas de los ángulos dados.
55º
140º
3
5
Se realiza el siguiente procedimiento: 55º + m1:3 = 140º m1:3 = 85º 55º + 85º+ m
Se aplica la propiedad 4. Se resta 55º en ambos miembros de la igualdad Se aplica la propiedad l. Se suma. Se resta 140º en ambos miembros de la igualdad
m1:4 = 40º + 85º m1:5 = 40º + 55º m1:4 = 125º
Se aplica la propiedad 4. Se suma.
m1:5 = 95º Por lo tanto, se tiene que m
@ Calcular la medida de los ángulos exteriores del b.HIJ, si m 1'.H =
60º,
m
Se aplica la propiedad 4, es decir, se suman las medidas de los ángulos interiores no adyacentes al ángulo exterior, con lo cual se calcula su medida.
N I 80º
Por lo tanto se tiene que: m
40º
o
J © santillana
l 15 9
1 Propiedades de los triángulos
Según el texto explicativo de las páginas 158 y 159, determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
e
Calcula la medida de los ángulos en cada figura. d.
a. En un triángulo rectángulo la suma de las medidas de los ángulos agudos es 90º. b. En un triángulo, al lado de mayor longitud, se opone el ángulo de menor medida. c. En un triángulo la suma de las medidas de dos lados puede ser igual a la medida del otro lado. d. En un triángulo equilátero cada ángulo exterior mide 120º.
e
2 2
Escribe > o < de acuerdo con cada figura.
a.
B
f.
c.
c.
3 3
C
A
m
,1
I¡, \
m
m
G!I Soluciona problemas) e
m |
1
J
d. Jv~ e
b. M 50º
40°
J'
O m
N
e
m
m
c.
F
D
E b. H
Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 45º y 35º, ¿cuánto mide cada uno de los ángulos exteriores?
@ Si las medidas de los lados de un triángulo son:
.Calcula la medida del ángulo que falta en cada triángulo. a.
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles miden 70º, ¿cuánto mide el ángulo opuesto a la base?
FG = 8 cm, GH = 10 cm, FH = 5 cm, ¿cuál de los ángulos interiores tiene mayor medida y cuál tiene menor medida?
G Felipe quiere armar µna estructura triangular y cuenta con dos trozos de madera, uno mide 6 m y el otro 8 m. Si la medida del tercer trazo de madera debe ser un número entero: a. ¿Cuál es la mayor medida que puede tener? b. ¿Cuál es la menor medida que puede?
A
G
G Natalia quiere diseñar su propio jardín con forma
d. Q
de triángulo isósceles, de tal forma que las medidas de los lados sean números enteros. Si el perímetro del jardín es de 18 m, ¿cuáles son las posibles medidas de los lados? R
16 O 1 © Sa ntillana
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Cuadriláteros
1
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, cuatro vérti ces y cuat ro ángu los interiores.
Los cuadriláteros tienen las siguientes propiedades:
A
B
• La suma de sus ángulos internos es 360º. • Los lados opuestos son aquellos que no tienen nin-
-
gún vértice común, por ejemplo, AB y CD . • Los lados consecutivos son aquellos que tienen un -
-
vértice en común, por ejemplo, AC y CD . • Los ángulos opuestos son aquellos que no tienen ningún lado común, por ejemplo,
D
e
Los cuadriláteros convexos se clasifican en paralelogramos, trapecios o trapezoides, dependiendo de si sus lados son o no son paralelos.
Paralelogramos Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus dos pares de lados .opuestos paralelos. Se clasifican en: rectángulos, cuadrados; rombos y romboides. Paralelogramos
= o <> ~ Rectángulo Tiene cuat ro áng ulos rectos.
Cuadrado Tiene cuat ro lados de igual med ida y cuatro-ángu los rectos.
Rombo Tiene cua t ro lados de igua l med ida y los ángu los cansecutivos d iferen t es.
1
Romboide Tiene los lados y los ángu los consecutivos de d iferente medida.
\,_
Algunas propiedades de los paralelogramos son: • • • • •
Cada diagonal lo descompone en dos triángulos congruentes. Las diagonales se intersecan en sus puntos medios. Los lados opuestos son congruentes. Los ángulos opuestos son congruentes. Las medidas de dos ángulos consecutivos suman 180º.
· Por ejemplo, para determinar las medidas de todos los ángulos del paralelogramo MNOP (figura 1) se realiza lo siguiente: Como los ángulos opuestos son congruentes
M
N
~ ·~ o
p
Figura 1 © Santillana
l161
Trapecios Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180º.
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos. Base menor
En un trapecio los lados opuestos paralelos se denominan bases. La base de mayor longitud se conoce como base mayor y la de menor longitud como base menor.
Altura: '
La altura del trapecio es la medida del segmento perpendicular, trazado desde un punto de una base hasta la otra.
Base mayor
El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio, se llama base media.
Base media
Los trapecios se clasifican en: Trapecio isósceles
Trapecio escaleno Tiene los cuatro lados de diferente medid a.
Trapecio rectángulo
Tiene los lados no paralelos de igu al medida.
Tiene dos ángu los rectos.
!'
En un trapecio isósceles se cumplen las siguientes propiedades:
!· 1
:··········································································: : ¡ 2. Losángulos correspondientes acada base tienen lamisma medida.
: 1. Las diagonales son congruentes.
I~----~l
A"-------------~D
:
H
K
..........................................................................: ...........................................................................
:-: Ejemplo . Calcular los ángulos indicados si ABCD es un trapecio B
C
isó~~s.
·
_G ~
45°
Se tiene que m1::2 = 45º por las propiedades de los trapecios isósceles. Luego, m1::4 = 135º porque el 1::4 y el
16 2
1
© Santiilana
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Trapezoides Un trapezoid e es un cu adrilát ero en el cual ningún par de lados opuestos son paral elos.
Por ejemplo, los cuadriláteros ABCD, HIJK y FGHI son trapezoides. B
H
F .
r-----G
e J D
A
K
I
Los trapezoides se clasifican en: Trapezoide simétrico
l,
Trapezoide asimétrico
Tiene exacta mente dos pares de lados consecutivos co ngruentes.
No tiene lados cong ruentes.
El trapezoide simétrico también es conocido con el nombre de cometa. En una cometa la diagonal cuyos puntos extremos son los vértices donde concurren los pares de lados congruentes se conoce como diagonal principal. En una cometa la diagonal principal es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une, y es perpendicular a la otra diagonal en su punto medio. Construcción de un trapezoide simétrico
Para construir un trapezoide simétrico ABCD, conociendo las medidas de una diagonal (AC) y de sus lados AB y AD se procede así: 1. Se traza elsegmentoAC. A----- C
2. Se toma la medida AB con el compás y se trazan arcos con centro en A ycon centro enC. Luego, se nombra el punto de intersección de los arcos (8).
3. Se toma la medida AD con el compás y se !razan arcos al lado opuesto del puntoB, con centroen Aycon centro en C. Luego, se nombra el punto de intersecciónde los arcos (D).
* Ib/ ,,,.
*
A1- - - - - C A- - - - -.
4. Se trazan AB, BC, CD y AD. 8
~j
·'
¡"
A- - - - - C
©
S~ntilla na l 16 3
Construcción de cuadriláteros Para construir un paralelogramo ABCD, conociendo la medida de sus lados consecutivos AB y AD, y el ángulo A que hay entre ellos, se procede así:
...................................................................................................... ................................................... : 1. Se traza AB. .j .i 3. Se toma la medida AD con el i. j 5. Se toma la medida de AD . ¡ Luego, setraza un arco con cen- ¡ compás. Luego, se traza un arco ¡ tro enB. ~ con centro en A. j D
~r~~
Platón 428 a. C.-347 a. C.
Filósofo griego. Fundó la Academia, una especie de universidad donde se estudiaban diferentes ciencias, como matemáticas, astronomía y física. Generalizó algunas reglas metodológicas en la geometría y solo aceptaba el uso del compás y de la regla en esta ciencia.
/~,
A- - - - - B
. . . . : ................................................. : .................. .................................................................................... ..................................................... ................................................... .................................................. . l 2. Se utiliza el transportador para l 4. Se traza la medida de AB con 6. Se nombra el punto de inter- ! i trazar el ángulo A. : ; el compás. Luego, se traza un l l sección de los arcos (C) . Luego l
l
ll
................................................. : : ................................................. :..: ................................................. : B
:
¡'
Para construir un romboide PQRS, conociendo las medidas de sus lados consecutivos PQ y PS, y de una de sus diagonales PR , se procede así: ............ .............................. ........................ .... ... .... 1. Se trazan l 4. Se toma la medida P- - - - R PF( POy P5 ¡ de P5 conel com-
1
l
P- - - 0 P--5
2. Se traza una recta y se ubica un punto P en esta. Luego, se traslada la medida de PR con el compás.
3. Se toma la medida de POcon el compás. Luego, se traza un areo con centro en P, arriba de PR y otro 'Cün centro en R, debajo de PR .
pás. Luego, se traza un arco con centro en P.
º~
p
Q
.¡;;-
·~J~ .............................................................................
lj
R
5. Se repite el paso anterior, esta vez, con centro en R. Luego, se nombran los puntos de intersección de los arcos como OyS.
6. Se trazan -
-
-
R
P
-
POI OR I RS y SP.
5
15 4
1
© Santillana
... .,,,,_._ _ _ _ _ _"""""'_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,..,,,.........._ _ _ _ _ _.,,.,,,..._ _...¡_( -.,\ Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico ) y ~,~_..,.
...
I
/~\.,/~r
1
'-·-
fil
Recupero información: 1 1
e
O Responde: a. ¿Qué es un cuadrilátero? b. ¿Cuáles son las propiedades de los cuadriláteros? c. ¿Cómo se clasifican los cuadriláteros convexos? d. ¿Qué diferencias hay entre un paralelogramo, un trapecio y un trapezoide?
e
Clasifica cada uno de los siguientes cuadriláteros en paralelogramos, trapecios y trapezoides. a.
e.
c.
0[7
~ Razono: 2-3-sj ~ Eíercito: 4~ j
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. b. c. d. e.
Algunos rectángulos con cuadrados. Todos los paralelogramos son rectángulos. Algunos trapecios son trapezoides. Todos los rombos son cuadrados. Algunos romboides son rectángulos. f. Todos los trapezoides son cometas.
• Realiza las siguientes construcciones con regla y compás teniendo en cuenta los pasos mencionados en la página 164. a. Un paralelogramo FGHI, en el cual FG = 5 cm, PI= 4 cm y m
G!I Soluciona problemas) O Si AB y CD son perpendiculares en sus puntos
e
Determina cuáles cuadriláteros son trapecios y cuáles son trapezoides.
.G b.
e f on_ip~eta
s1metnco.
c.
e
medios y AB ABCD?
~CD
¿qué clase de cuadrilátero es
Si AB y CD son perpendiculares en sus puntos medios y AB y CD tienen diferentes medidas, ¿qué clase de cuadrilátero es ABCD?
O ¿Cuántos y cuáles trapezoides asimétricos hay en la siguiente figura? d.
D e<
cada figura para formar un trapezoide
ª/ b0
d(
(9 El siguiente esquema muestra la posición de las casas de cuatro amigos: Ana, Felipe, Rocío y Luis. Felipe
(m) Luis
}.
!11
'
Metros (m)
' (0,6)
a. ¿Cuál es la distancia entre la casa de Ana y la casa de Luis? b. ¿Por qué la distancia entre la casa de Felipe y la casa de Rocío es la misma que la distancia entre la casa de Ana y la casa de Luis?
~j .
\.
1
1·
l
1.
: 1..1
t:·:1 Jl
1
¡f 11
,
1
¡ 1
1
1
15 5
1 © Santil lana
LABORATORIO CON CABRÍ
© Santil lana
l 16 7
Polígonos congruentes Dos polígonos son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño.
Por ejemplo, el polígono ABCD es congruente con el polígono EFGH porque al sobreponerlos coinciden exactamente, y en consecuencia, sus vértices, sus lados y sus ángulos se corresponden. Así? al vértice A le corresponde el vértice E, al lado BC le corresponde FG y al
A
B
D
Es importante tener en cuenta que dos polígonos son congruentes si y sólo si los lados y los ángulos correspondientes son congruentes.
F
E
Criterios de congruencia de triángulos J
Para determinar si dos triángulos son congruentes se deben tener en cuenta los siguientes criterios:
•
so!~ectivamente
·!¡
1'
¡;
s
Criterio lado, lado, lato (LLLl
Si los tres lados de un tdángulo congruentes con los tres lados de otro, triángulo, los triángulos son congruentes. P~ ejemplo~ LPQR = LSTU, puesto que PQ = ST, QR = TU y PR =SU.
·¡
;1·1, 'I
R
u
Criterio lado, ángulo, lado (LAL) B F
Si los dos lados de un triángulo y el ángulo formado por estos son congruentes con dos lados de otro triángulo y el ángulo formado por estos respectivamente, los triángulos son congruentes. Así el -LABC = LDEF porque AB = DE, BC = EF y
A
Criterio ángulo, lado, ángulo (ALA)
,,,¡ 1
16 8 11
¡. ,!,¡,
j © Santi\lana
E
I
Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos, son congruentes con dos ángulos de otro triángulo y el lado comprendido entre ellos, los triángulos son congruentes. Por ejemplo, el LHIJ = LMNO pues el
C
D
H
N
Estándares: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Polígonos seme¡antes ~
Dos polígonos son semejantes cuando tienen exactamente la misma forma, pero no necesa riamente el mismo tamaño. Á
Cuando dos polígonos son semejantes hay una relación entre sus vértices de tal manera que los ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de los lados correspondientes son proporcionales. Así, si los pentágonos ABCDE y FGHIJ son semejantes se tiene que: <)::A=
B
e
A
=
Además, las medidas de los lados correspondientes son
D ;
'"
FOH
proporcionales, con lo cual FG = J_ AB.
G
2
Como los polígonos son semejantes se puede simbolizar esta relación como ABCDE ~ FGHIJ, teniendo en cuenta la correspondencia entre los vértices.
l
I
:-: Ejemplos (}) Determinar cuáles son los lados correspondientes en los siguientes polígonos congruentes. L
X
T
y
z
o
M
p
w
N
Si se sobreponen los polígonos se tienen las siguientes correspondencias: L - W, P - Y, M - Z, O - T y N - X. Por tanto, se escribe LMPNO = WZYXT, con lo cualLM - WZ, MP - ZY,PN- YX y NO+:+ XT. Es importante tener en cuenta que notaciones tales como ONLMP = ZXTWY son incorrectas porque no indican la correspondencia entre los vértices.
@ Si 6.ABC ~ 6.DEF y AB =
7 cm, BC = 10 cm, AC = 12 cm y DF = 9 cm, calcular las medidas de DE y de EF.
Como los triángulos son semejantes, · los lados son proporcionales, y en consecuencia, se tiene que .{ = ~E 9 _ EF
2
YJ:2-1o· De donde DE = -11_ 4 = 5,25 cm y EF= 30 4
= 7' 5 cm .
A,__7cm~B
D
E
© Santillana
j 16 9
Polígonos congruentes
C(i Interpreta: 1 1~Razona: 2-31
Establece las medidas de los lados que faltan teniendo en cuenta que f':..ABC ~ f':..DEF.
Según el texto explicativo de las páginas 168 y 169, determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. Dos polígonos son congruentes solo si tienen \ la misma forma. b. Dos polígonos son semejantes si tiene!\ exactamente la misma forma, pero no neces ria mente el mismo tamaño. c. Dos polígonos semejantes siempre son congruentes. d. Dos polígonos congruentes siempre son seme. jantes.
e
Divide cada una de las siguientes figuras en polígonos congruentes. c.
:
; 1
'
~Ejercita: 41
b.
a.
e
ü
A~8----iB
D
1-----
3 _ ___,e
G!I Soluciona problemas J
e
Santiago necesita reducir proporcionalmente una foto que mide 18 cm de ancho y 15 cm de largo para acomodarla en un portarretrato que tiene 5 cm de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la foto reducida?
G Carolina tiene que aumentar proporcionalmente b.
e
una maqueta que tiene 20 cm de largo y 30 cm de ancho, a una maqueta que tenga el triple de largo de la maqueta anterior. ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva maqueta?
d.
O Para medir la altura Indica, para cada par de triángulos, si se tiene la información necesaria y suficiente para determinar si son congruentes. Si la información es suficiente, establece el criterio que permite demostrar la congruencia. a. A
E
c.
u L
b.
17 O 1 © Santillana
Calcula la altura x de una montaña si desde el extremo de su sombra se puede medir la distancia a la cima, y esta es de 2.325 m, y, en ese momento, un bastón de 1 m produce una sombra de 1,1 m.
d.
s
K
de un edificio, una persona de 1,75 m de estatura, cuenta solo con una escuadra en forma de triángulo rectángulo cuyos ca tetos miden 8 cm. Si la distancia de la base del edificio a la persona es de 1 m, ¿cuál es la altura del edificio?
N
x=?
Estándares: pensamiento espacial y pensamiento métrico Í
>
Circunferencia y círculo La circunferencia es el co nju nto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de otro punto llamado centro. El círculo es el conju nto de todos los puntos que están en el interi or de la circu nferencia. ~
/,
Los elementos de la circunferencia son: Centro: es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio: es un segmento cuyos puntos extremos son el centro y un punto de la circunferencia. Cuerda: es un segmento cuyos puntos extremos son dos puntos de la circunferencia. Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de esta.
Arquímedes 287 a. C.-212 a. C. Diámetro _ _ _R_ad_i_o _
--l
Centro
En un mismo plano, una recta y una circunferencia pueden tener dos puntos comunes, tener un solo punto común o no tener puntos comunes, de tal forma que:
Matemáti co, físico e ingeniero griego. Postul ó el principio de Arquímedes, que habla de la fuerza ascendente que ejerce un fluido sobre un cuerpo sumergido en él. Fue el primer matemático que intentó calcular pi (TI), dándole un valor de 3(1 0/71).
• Si la recta y la circunferencia tienen dos puntos comunes, la recta es secante a la circunferencia. • Si la recta y la circunferencia solo tienen un punto común, la recta es tangente a la circunferencia. • Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto común, la recta es exterior a la circunferencia.
:-: Ejemplo Determinar cuáles rectas son secantes, cuáles son tangentes y cuáles son exteriores a la siguiente circunferencia.
Las rectas s y u tienen un punto en común con la circunferencia, por esto son tangentes. Las rectas r y w tienen dos puntos comunes con la circunferencia, y en consecuencia, son secantes. Las rectas v y t no tienen puntos comunes con la circunferencia, por tanto son exteriores. © Sa nt ill ana
l l 7l
Circunferencia y círculo
~
fJi
Recupera inf: 1
8
O Responde las siguientes preguntas.
e
'J
e
a. ¿Qué es una circunferencia? b. ¿Qué es un círculo? c. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia? d. ¿Cuáles son las posiciones relativas de una recta con respecto a una circunferencia? Escribe el nombre de cada uno de los elementos que se muestran en la siguiente circunferencia.
Dibuja una circunferencia de radio 5 cm, traza un radio, un arco, un. diámetro y una cuerda. Luego, determina la medida del diámetro.
O Determina cuáles rectas son tangentes, cuáles son secantes y cuáles son exteriores en la siguiente circunferencia. p m
e
. l_ 1 1
Determina la posición relativa de cada recta con respecto a cada circunferencia de radio r. Ten en cuenta que des la distancia de la recta al centro de la circunferencia.
1
Si la distancia del punto Q a la recta m es de 4 cm, establece una forma de trazar una circunferencia con centro en Q y tangente a m. Luego, determina la medida del radio de la circunferencia trazada. Si AB es tangente a una circunferencia con centro C, en el punto A, determina qué tipo de triángulo es el í:-,ABC.
G Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. Si una recta es tangente a una circunferencia entonces es perpendicular a su radio, en el punto de tangencia. b. Si una recta es secante a una circunferencia entonces es paralela a su radio. c. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro de la circunferencia. d. Dos cuerdas perpendiculares se intersecan en el centro de la circunferencia.
l!I Soluciona problemas) G!) Realiza la siguiente construcción: Traza una circunferencia de radio 7 cm. Traza dos cuerdas distintas. Ubica los puntos medios de cada cuerda. Traza las rectas perpendiculares a cada cuerda en sus puntos medios. • Ubica el punto de intersección de ambas rectas.
G Se necesita instalar una torre eléctrica que abastezca a los tres pueblos que se muestran en la figura.
r.= 6 cm, d = 4 cm r ' = 6 cm, d = 6 cm r = 5 cm, d = 8 cm r = 5 cm, d = 1 cm
Si M es un punto exterior a una circunferencia, establece cuántas rectas tangentes se pueden trazar que contengan aM.
'
.
e
~ Ejercita: 31~Razona: 5-6-7-8-91
¿Qué representa el punto de intersección de ambas rectas? Justifica tu respuesta.
a. b. c. d.
e
1Cii Interpreta: 2-41
17 2 I © Santillana
M.
A
Explica cómo se puede determinar el lugar donde se debe instalar la torre eléctrica para que quede a la misma distancia de los tres pueblos.
Estándares: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Sólidos Un sólido es un cuerpo geométrico limitado por superficies planas o curvas. En particular, los sólidos conformados por regiones poligonales se denominan poliedros. Un poliedro es un só lid o limitado por superficies planas denominadas caras.
Los elementos de un poliedro son: Caras: son los polígonos que limitan al poliedro. Así, en el poliedro de la figura ABF, BCD, ABCE, AFDE y BFDC son las caras. Aristas: son los lados ~conforman cada cara. Por ejemplo, AB, BC y ED son aristas del poliedro.
A
E
George David Birkhoff 1884-1944 B
Vértices: son los puntos donde concurren varias aristas, tales como A, B, C y D.
El desarrollo de un poliedro consiste en determinar la unión de las superficies de sus caras. Así, el des a rrollo del anterior poliedro es:
Matemático y físico estadounidense. Realizó trabajos sobre la intervención de las matemáticas en el arte, describiendo fórmulas para su interpretación. Demostró un teorema geométrico que resolvía el problema de tres cuerpos cuyos campos gravitacionales se interfieren.
Paralelepípedo Un paralelepípedo es un poliedro de seis caras, en el cual las caras opuestas son paralelas y congruentes. Cada cara de un paralelepípedo es un paralelogramo. Así, si las caras de un paralelepípedo son rectángulos, se le denomina paralelepípedo rectangular, y más específicamente, si las caras son cuadrados se le denomina cubo.
Paralelepípedo rectangular
x Ejemplo Determinar el número de vértices y aristas de un cubo. Luego, establecer su desarrollo.
El cubo tiene 12 aristas y 8 vértices. Debido a que las caras del cubo son cuadrados congruentes, las aristas también son congruentes entre sí. El desarrollo de un cubo cuyos vértices son P, Q, R, S, T, U, V y W es el siguiente:
u
~---~
s
T
Vf---~---<
------ R
p
Q © Santillana
l17 3
Prisma Un prisma es un polied ro limitado por dos polígonos congruentes y paralelos llamados bases y varios paralelogramos llamados caras laterales.
1: 1
J 1
Así, al prisma cuyos vértices son A, B, C, D, E y F lo conforman los siguientes elementos:
1
. Bases: son los polígonos congruentes y paralelos del prisma. En este caso el LABC y el L DEF son las bases. Además, se cumple que LABC ~ LDEF. Caras laterales: son los paralelogramos que limitan el prisma. Así ADFC, BEFC y BEDA son las caras
F
Base
''
~ Altura
laterales. Un prisma tiene tantas caras laterales como lados tienen sus bases, como en este caso cada base es un triángulo, el prisma tiene tres · · caras laterales. Altura: es la medida (h) del segmento perpendicular, trazado desde un vértice de una base hasta el plano que contiene la otra base.
B.
Según la clasificación del polígono que corresponde a sus bases, los prismas pueden ser: Prisma triangular
Prisma pentagonal
Prisma octagonal
'
¡~·
'''
......... -'
l
'' 1' ''
----- - .................
ij
;¡ .
'
'' ' '11
1 ~-------~..
J-------,,
.......
-,
\ \
,
:¡! .. '
fi'
l.· .1
Además, los prismas se clasifican en rectos y oblicuos como se muestra a continuación:
1
ll 1 ·¡:; . _I
'¡
Prismas rectos
Prismas oblicuos
Un prisma es recto cuando todas las caras laterales son perpendiculares a las bases. En un pri sma recto las caras laterales son rectángulos.
Un prisma es oblicuo cuando las ca ras laterales no son perpendicu la res a las bases. En un prisma ob licuo las ca ras laterales son romboides. ·
1
1
11
" :
1
l¡ .¡
17 4.1© Santill ana
Estándares: pensamiento espacialy pensamiento métrico
Pirámide Una pirámide es un poli edro en el cual una de sus ca ras, llamada base, es un polígono y las otras caras, llamadas laterales, sie mpre son triángulos que co ncurren en un vértice co mún. Los elementos de una pirámide con vértices A, B, C, D, E, F y G son: Caras laterales: son triángulos que concurren en un mismo punto denominado vértice de la pirámide. Así el L ABC y el L ACD son caras laterales donde A es el vértice. Base: es un polígono cualquiera. Es la única cara de la pirámide que no contiene al vértice. Así la base de la pirámide es BCDEFG. Aristas básicas: son los lados de la base. Por ejemplo, BC y DE son aristas básicas. Altura: es la medida (h) del segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta el plano que contiene la base.
A
Cara lateral
e
D
Al igual que los prismas las pirámides se clasifican según su base en pirámide trian gular, pentagonal, hexagonal, y así sucesivamente. Además, también se clasifican en rectas u oblicuas así: Pirámides rectas Una pirámide es recta si todas sus ca ras lateral es son triáng ul os isósceles.
Pirámides oblicuas Una pirámide es oblicua si algun a de sus caras es un triá ngulo escaleno.
Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y es recta. Si no cumple con alguna de estas condiciones, la pirámide es irregular. En una pirámide regular se le denomina apotema a la altura correspondiente a una de sus caras laterales.
© Sa ntill ana
l 17 5
l Poliedros regulares e irregulares Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos. Un poliedro es convexo cuando todas sus caras son polígonos convexos. En cambio, un poliedro es cóncavo si alguna de sus caras es un polígono cóncavo. Los poliedros convexos se clasifican en poliedros regulares y poliedros irregulares. Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares con gruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras no son todas congruentes o en los cuales no concurre el mismo número de caras por vértice.
1 1
1 1 1 1 1
/_/_, __________ -------
Poliedro cóncavo
Los cinco poliedros regulares son:
Poliedro regular
'.l
Polígono de sus caras
Número de caras que concurren en un vértice
N, t t umero o a 1 de caras 11
11' ' ,.
Tetraedro regul ar
Triángul o equilátero
Hexaedro regu lar
D
Octaedro regular 1
i
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
3
4
3
6
4
8
3
12
5
20
Cuadrado
Triá ngul o equilátero
o
Pentágono regular
Triángulo equilátero
17 6 [,© Santillana t
T :-: Ejemplos
(D Determinar el polígono que forma Ja base de cada poliedro teniendo en cuenta la condición dada. a. El número de vértices de una pirámide es 10. En una pirámide el número total de vértices corresponde a la cantidad de vértices de la base más el vértice de la pirámide. En consecuencia, la base tiene 1O - 1 = 9 vértices. Por tanto, el polígono que forma la base de la pirámide es un nonágono. b. El número de caras de un prisma es 9. En un prisma el número total de caras corresponde a la cantidad de caras laterales más las dos bases. Así, el prisma tiene 9 - 2 = 7 caras laterales. Como el número de caras laterales es igual al número de lados de la base, el polígono que forma es un heptágono.
@ Establecer qué poliedro se puede construir teniendo en cuenta su desarrollo.
Para determinar el poliedro que corresponde al desarrollo, se unen los lados de las caras latera les con los lados correspondientes a las bases. Así, se obtiene el poliedro de la figura. Este poliedro no es un prisma porque sus bases no son congruentes. Además, no es una pirámide porque sus caras laterales no son triangulares.
' '
1
Por tanto, el poliedro se conoce como pirámide truncada. Una pirámide truncada es un poliedro que resulta al cortar una pirámide con un plano paralelo a su base.
_,_ '
Pirámide truncada
@ Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. "Toda pirámide triangular es un tetraedro". La afirmación es falsa, ya que en un tetraedro todas las caras son triángulos equiláteros congruentes. En cambio, en una pirámide triángular la base no necesariamente es congruente con las caras laterales. Por tanto, toda pirámide triangular no es un tetraedro. Sin embargo, todo tetraedro es una pirámide triangular.
Pirámide triarigular
Tetraedro
©
Santillana
l 17 7
Sólidos
Q Interpreta: 1 j ~Ejercita: 2-3 1{fl Razona: 4-5-6-71 Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. Un paralelepípedo es un prisma. b. Las caras laterales de un prisma nunca son paralelas. c. Un hexaedro regular es un cubo. d. Las caras de un dodecaedro son hexágonos regulares.
e
Nombra los elementos que conforman cada poliedro.
b.
a. 1
e
1
1
1:' ' 1'
1
( 1_.·
e
- '••I l'
,,
e 8
Si el numero de aristas de un prisma es 15, ¿qué polígonos forman las bases? Marca con un ./ si la afirmación es verdadera. a. _ _ Todo poliedro regular es convexo. b. _ _ Algunos poliedros tienen tres caras. c. _ _ Todo polígono cóncavo puede tener un polígono convexo como una de sus caras. d. _ _ El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4. e. _ _ En cada vértice de un poliedro concurre siempre el mismo número de aristas. f. __ El número mínimo de caras que concurre en un vértice es 3.
E!I Soluciona problemas J
~-
Traza cada poliedro según las condiciones dadas. a. Un cubo cuya arista mida 3 cm. b. Un prisma recto de base rectangular cuya altura mida 7 cm. c. Una pirámide regular de base cuadrada cuya apotema mida 5 cm. d. Un octaedro cuya arista mida 8 cm. Determina cuál de los siguientes sólidos es prisma y cuál es pirámide. a.
E) El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783)
estableció la fórmula C + V - A = 2, en la cual C es el número de caras de un poliedro, V es el número de vértices y A es el número de aristas. a. Completa la siguiente tabla que muestra algunos datos de poliedros convexos, teniendo en cuenta la fórmula de Euler. Nombre del poliedro
Caras
Vértices
6
4
8 5
e
a.
b. -
17 8 1(
1.
1 í9 Santill ana
12
b. Verifica la fórmula de Euler para los siguientes poliedros.
c.
O Si en un cubo, el plano trazado contiene dos aristas opuestas, ¿qué cuadrilátero se obtiene?
1
12
6 6
Determina qué poliedro se puede construir teniendo en cuenta su desarrollo.
Aristas
Estándares: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Cuer os redo dos Un cuerpo redondo es un sólido limitado por superficies curvas o por superficies planas y curvas. Los principales cuerpos redondos son: el cilindro, el cono y la esfera.
En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos yel lado opuesto aeste se conoce como hipotenusa.
Cilindro Un cilindro es un cuerpo redond o limitado por una superficie curva y dos caras plana s ci rculares. ~
Á
Los cilindros al igual que los prismas pueden ser rectos u oblicuos. Un cilindro recto . se puede considerar como un cuerpo de revolución ya que se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, este lado se denomina eje de revolución. Otros elementos del cilindro son: Bases: son las caras planas circulares que conforman el cilindro. Altura: es la medida del segmento perpendicular trazado desde una base hasta el plano que con tiene la otra. Se simboliza con la letra h. Radio: es la medida del radio que corresponde a cada base. Se simboliza con la letra r.
Eje de revolución ' "" ' CJ1 ~ '' ,,"",,
,,
Altura
"" "" Base
El desarrollo de un cilindro es un rectángulo y dos círculos que constituyen las bases. Las dimensiones del rectángulo corresponden a la longitud de la circunferencia asociada a las bases y a la altura del cilindro.
Cono Un cono es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva y una ca ra plana ci rcul ar.
Los conos al igual que las pirámides se clasifican en rectos u oblicuos. Un cono recto se puede considerar como un cuerpo de revolución porque se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Dicho cateto es el eje de revolución y la medida de la hipotenusa del triángulo se conoce como generatriz. Otros elementos del cono son: Base: es la cara plana circular que conforma el cono. Vértice: es el punto extremo del eje de revolución que no está en la base del cono. Altura: es la medida del segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta el plano que contiene la base. Radio: es la medida del radio que corresponde a cada base.
Base
El desarrollo de un cono es un sector circular y un círculo, de modo que la longitud del arco del sector circular corresponde a la longitud de la circunferencia asociada a la base. © Santillana
l l7 9
,,_____.._......,__,_.__...............................................................=-.........................,....,,....___,,....,,...,,....._..............'""""................"""""""'"'- -1,,,,,,..
Esfera La longitud de una circunferencia se determina mediante la expresión = 2'Tl'r, donde resel radio.
Una esfera es un cuerpo redon do limitado por una sola superficie cu rva.
e
-
La esfera también es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Dicho diámetro es el eje de revolución.
1
1 1
Los elementos de una esfera son:
Centro: es el punto que se encuentra a igual distancia de todos los puntos que conforman la superficie de la esfera. Se simboliza con la letra C. Radio: es la distancia del centro a cualquier punto de la superficie de la esfera. Se simboliza con la letra r.
Radio
A diferencia del cilindro y del cono, la esfera no tiene desarrollo plano.
:-: Ejemplos {!) Trazar el cuerpo de revolución que se genera al girar la siguiente figura en torno al eje indicado. A
e
D
B
.,;,
<-p Eje de revolución !.,
La superficie de la figura es igual a la superficie del semicírculo cuyo diámetro es
•[,
1
~
~
AB, menos la superficie del semicírculo cuyo diámetro es CD. Luego, si se gira cada semicírculo sobre el eje se obtendrá una semiesfera, así, el cuerpo de revolución que se genera es el siguiente:
·¡
@ Determinar si el siguiente sólido es un cuerpo de revolución. El sólido está compuesto por un prisma de base rectangular o pa ralelepípedo y por un cilindro recto, es decir, está conformado por un poliedro y un cuerpo redondo. Si bien el cilindro es un cuerpo de revolución generado por el giro de un rectángulo el prisma no es un cuerpo de revolución. Por tanto, el sólido no es un cuerpo de revolución. 11 1
1
18 o 1 © s.ant ill ana .
Estándares: pensamiento espacial y pensamiento métrico
1
<& Interpreta: 1
O Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. Al girar cualquier triángulo sobre uno de sus lados se obtiene un cono recto. b. Al girar un rectángulo sobre uno de sus lados se obtiene un cilindro recto. c. El desarrollo de un cilindro corresponde a un rectángulo y a dos círculos que constituyen sus bases. d. La esfera no tiene desarrollo plano.
e
Traza el desarrollo de un cilindro recto cuya altura mida 1O cm y cuyo radio sea 6 cm.
O Traza el desarrollo de un cono cuyo radio mida 3 cm y cuya generatriz mida 7 cm.
Q Considera el desarrollo de un cono como se mues-
Determina cuáles de los siguientes sólidos son cuerpos de revolución.
~
c.
CJ
b
r¡-1\
e.
~
lJ)
V_Jj
V dLZf) [~
Traza los cuerpos de revolución que se generan al girar las siguientes figuras en torno a los ejes indicados. 1
b.
~'0
<+>
y
@ Considera el desarrollo de un cilindro de radio r y altura h.
1 1
tra a continuación. ''' ' '
g
h:
a.
e
e
1 ~ Razona: 2-4-71 ~Ejercita: 3-5-61
a. Si el radio mide 10 cm, ¿cuál es la medida del arco del sector circular que aparece en el
l!I Soluciona problemas J O La relación c
2
= a2
+ b2 se conoce como teorema
de Pitágoras y se utiliza solo en los triángulos rectángulos, de modo que e es la medida de la hipotenusa y a, b son las medidas de los catetos. .. ,'
Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo son 3 cm y 4 cm, respectivamente. Calcula la medida de la hipotenusa.
1.
1
'
b
f) Se tiene una esfera incrustada en un cono como se h
---b---
a. ¿Qué relación hay entr~ la longitud de la circunferencia de la base y el lado mayor del rectángulo? b. Si el radio r = 5 cm, ¿cuánto mide el lado mayor del rectángulo? c. Si el radio r = 7 cm y la altura es igual a la Ion gitud de la circunferencia de la base, ¿cuánto mide la altura h?
muestra en la figura. Si la generatriz del cono mide 25 cm y su altura es 24 cm, determina cuál es la longitud de la circunferencia máxima de la esfera.
Ten en cuenta que la circunferencia máxima es aquella cuyo diámetro coincide con el de la esfera.
© Santillana
l 18 1
Polígonos
O Determina cuáles de las siguientes figuras son
e
·o
l
c.
b.
a.
polígonos.
:.1
Clasifica cada triángulo según la medida de sus ángulos.
c.
bD dA
(¡) Calcula la medida de los ángulos indicados. a.
Clasifica según el número de lados los polígonos que aparecen en cada diseño. a.
b. b.
e
Determina cuáles de los siguientes polígonos son cóncavos y cuáles son convexos.
a.[Lc\f e~
,,_. ¡
111 \1
b.vd. \J fu
8
Establece si las medidas dadas en centímetros corresponden a las medidas de los lados de un triángulo. a. 12, 12,30
e
b. 40,30,60
d. e.
c. 10, 10, 10
f.
12, 2, 8 13, 9, 4 12, 21, 11
Nombra de mayor a menor medida los segmentos de la siguiente figura. B F
Triángulos Determina cuáles de los siguientes triángulos son equiláteros, cuáles isósceles y cuáles escalenos.
48º E
Cuadriláteros f) Clasifica los siguientes cuadriláteros en paralelogramos, trapecios o trapezoides. d.
~. t
1
·.i
I~
18 2
l
© Santillana
Gi) Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. b. c. d.
Circunferencia y círculo
CD Determina cuáles rectas son tangentes, cuáles
Todo paralelogramo es cuadrilátero. Algunos trapecios son paralelogramos. Todo cometa es trapezoide. Algunos trapezoides son trapecios.
secantes y cuáles exteriores a la siguiente circunferencia. n
fJ) Construye con regla y compás un paralelogramo PQRS, si PQ = 7 cm y PS = 4 cm.
(9 Construye con regl~ y compás un trapezoide simétrico ABCD, si se sabe que AB y la diagonal AC = 4,7 cm.
9
= 5 cm, AD = 6 cm
Calca en tu cuaderno la siguiente circunferencia con sus respectivas cuerdas. Luego, determina exactamente la medida de su radio.
Polígonos congruentes
e
Divide cada figura en polígonos congruentes. a.
c.
Poliedros
e b.
e
d.
[)
Determina si la información dada es suficiente para establecer la congruencia entre cada par de triángulos. Si la información es suficiente, escribe el criterio que permite demostrar la congruencia.
b.
a.
b.
Q
1 27
poliedro que resulta de cortar las esquinas de un cubo en igual proporción. Determina cuántas caras, aristas y vértices tiene un cubo truncado.
~ Traza el desarrollo de un cilindro cuyo radio de
Establece las medidas que hacen falta teniendo en cuenta cada semejanza. a.
~ Un cubo truncado es un
Cuerpos redondos
Polígonos semejantes
e
Una hormiga se encuentra en un vértice de un octaedro y decide recorrer todas sus aristas sin pasar dos veces por la misma arista. Indica un camino posible.
e
A
~~/;
L'iPQR- L'iSTR
2,9
20
l
1
2,5
~~l F D
base es 5 cm y su altura es de 7 cm.
G Determina el cuerpo de revolución que se genera al girar las siguientes figuras en torno al eje indicado. a.
.(b. -3---===-- - ---=--
>--1,5 __,
L'iABC - L'iDCF B © Santillana
l 18 3
r
-t..1 ·-·¡t..1TF-·-·¡·-· l:.1,•1 ·=· 1·1 - ·=· ·=· ... !¡ :
\
I /.
·, \ .
\, .·
.· I'
Un polígono es una fi gu ra plana limitada por segmentos, tales que: Cada segmento se interseca con otro solo en sus pu ntos extremos. • Ningún par de segmentos son col ineales.
i"
;..
Dos polígonos son congruentes cuando t ienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. Dos polígonos son semejantes cua ndo t ienen exacta mente la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
Un triángulo es una reg1on plano limitada por tres rectas que se intersecan dos a dos. Los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos, según la medida de los lados. También se clasifican en obtusángulo, acutángulo y rectángulo, según la medida de los áng ulos.
Un cuadrilátero es un polígono de ~ cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángu los interiores. Los cuadri láteros se clasifican en: Paralelogramos: tienen sus dos .11 pa res de lados opuestos parale los. Trapecios:tienen solamente un par de lados opuestos para lelos. Trapezoides: no tienen ningún par de lados paralelos. 1
I'
Un poliedro es un sólido li mitado por superfic ies planas denominadas caras. · ·' Los poliedros se clasifi ca n en: Regulares: sus caras son pol ígonos regulares congruentes y en cada vé rtice concurre el mismo número de ca ras. Los poliedros regulares son:
4 LJJ Tetraedro
'
- ,1
Hexaedro
Octaedro
@
-
Dodecaedro
~ (.[S) Prisma
"
18 4
1. ©
Sa ntillana
La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de otro punto llamado centro. El círculo es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la circunferencia.
Icosaedro
Irregulares: sus caras no son todas congruentes o no concu rre el mismo número de cara.s por vértice. Los principales polied ros irregulares son el prisma y la pirámide.
I¡
1
Pirámide . -
. _:.··,-."
Un cuerpo redondo es un sólido limitado por superficies curvas o por superficies planas y cu rvas. Los principales cuerpos redondos son: Cilindro: está lim itado por una superficie curva y dos caras planas circulares. Cono: está limitado por una superficie cu rva y una cara plana circular. Esfera: está limitado por una sola superficie curva. .- ,.
. . -·'
Para ver mas allá de la forma y el diseño de una cometa.
1
1
1
Geometría en las cometas Una cometa es una máquina voladora formada por una estructura plana o tridimensional elaborada en un material muy ligero y recubierta de una vela. El conjunto se amarra a uno o varios hilos.
Entre las estáticas se encuentran las cometas planas, formadas por un armazón precisamente plano, re- . cubierto con la vela y terminado en una cola que le permite estabilizarse.
Al ser soltada se mantiene en el aire por la acción del viento. La cometa es uno de los aparatos voladores más simples que existen, se considera un aerodino por ser una máquina voladora más pesada que el aire.
Una de las cometas más tradicionales tiene forma de cuadrilátero, específicamente de trapezoide simétrico, ya que cada par de lados adyacentes tiene la misma longitud.
Al parecer, las cometas surgieron hace más de 2.500 años en China, donde volar cometas era una especie de ejercicio de meditación. También fueron usadas con fines militares y, en la Polinesia, como arte de pesca, atando un anzuelo con un cebo a la cometa, para después soltarla desde una barca. Sin embargo, . su principal uso desde tiempos lejanos ha sido como entretenimiento.
.:......................................................................................................: .
Varilla transversal Unión en cruz
Cuerda
Borla
.......................................................................................................
e
e
¿A qué partes de un trapezoide simétrico corresponden la varilla transversal y la varilla longitudinal de la cometa de la figura?
Revestimiento o vela Cuerda tensa
En una cometa se pueden diferenciar las siguientes partes: armazón o estructura, vela o revestimiento, amarre (hilo y brida) y elementos estabilizadores o cola. Existen dos tipos de cometas: cometas de un hilo o cometas estáticas y cometas deportivas (acrobáticas y de atracción) que poseen más de un hilo.
.
Varilla longitudinal
ae
¿Qué ángulo forman la varilla transversal y la varilla longitudinal de la cometa de la figura?
Plantea y actúa
1
Diseña una cometa con forma de trapezoide simétrico y seña~a sus características de acuerdo con sus diagonales, sus ángulos internos y sus lados.
© Sa ntillana
l 18 5
Medición Temas de la unidad fillil'l
Longitud
~ Área mNll
Volumen
a. Si en una hilera de hormigas, la longitud promedio de las hormigas es 0,7 cm y la separación media entre cada dos hormigas es de 3 mm, ¿cuál será el largo de una hilera de 24 hormigas? 3 mm o, 7 c111
~~~~ ~
Las figuras A, B y C son cuadrados. Si el perímetro de la figura B es 40 cm y el área de la figura A es 36 cm2, ¿cuál es el área de la figura C?
B
A
e
Si la arista de cada uno de los cubos mide 1 unidad, ¿cuántos cubos faltan para completar un cubo cuya arista r---, mida 4 unidades?
La visión del ciego El soldado miraba con lástima al anciano ciego que, apoyado en su bastón, tomaba el sol mientras sus ojos extintos intuían la posición del astro en el horizonte. Ahmés, su compañero de guardia a la entrada de la biblioteca de Alejandría, interrumpió sus pensamientos diciéndole: - Es Eratóstenes, el cual no hace mucho tiempo dirigía la biblioteca. -¡Es una pena que sea ciego! -No siempre fue así, y lo único que ahora lamenta es no poder leer el pensamiento del mundo encerrado en estas paredes -dijo Ahmés, y continuó con su explicación-: Pero el maestro todavía es capaz de ver más lejos que tú, que tienes tus ojos sanos. -¡Eso es imposible! Ahmés, con una sonrisa, intentó explicárselo:
-Tú y yo, con nuestros ojos, vemos la Tierra p lana como la palma de nuestra mano; sin embargo él, que ahora está ciego, la ve con forma de bola y dicen que incluso ha calculado su tamaño. Eratóstenes, utilizando ángulos y proporcionalidad, cifró la circunferencia polar de la Tierra en 252.000 estadios egipcios (1 estadio = 157,2 m). Tomado de Matemáticas 1ESO, España, Editorial Santillana, 2007.
En la época en que Eratóstenes vivió, la gente creía que la Tierra era plana. ¿Cómo crees que Eratóstenes llegó a concluir que era redonda? Consúltalo en su biografía. Con base en el texto, determina cuál es la medida de la circunferencia de la Tierra en metros.
)'
_.
••••••
•• •• •••
:1,·¡:·"~~"~.:;·.·::·-~-',.. ' .' . ' . ~' .
·~~~
PENSAMIENTO ESPACIAL Y PENSAMIENTO MÉTRICO
'
---~----r ...... - .r
~~~m.~""'""'._.
...WA
Longitud A lo largo de la historia han existido diferentes patrones de medida dependiendo de los lugares donde se utilice. Sin embargo, para unificar medidas en todos los países se hace necesario tener un único sistema de medidas, es por ello que, en la actualidad, se utiliza el Sistema Internacional (SI), cuya base corresponde al Sistema Métrico Decimal (SMD), que es un conjunto de unidades de medida que aumentan o disminuyen en potencias de 10. En el sistema métrico decimal se define, entre otras, como unidad básica de medida para la longitud, el metro.
Joseph louis lagrang~~-; (1136-1813), ' ··. Matemático, físico y astrónomo italiano quien dirigió la comisión qlle estudió la creación de un nuevo sistema de pesos ymedidas, del cual surgió el sistema métrico decimal.
En 1795, el metro se definió como la diezmillonésima parte de un cuadrante del meridiano terrestre. Sin embargo, en 1983 fue cambiada la definición de metro a "la longitud recorrida por un rayo de luz que viaja en el vacío en un lapso de tiempo igual 1 de segun do." · a 299.729.458
Unidades métricas de longitud La unidad básica de medida de la longitud es el metro que se simboliza m. ~
Á
Las unidades superiores al metro se denominan múltiplos, las cuales se nombran anteponiendo los prefijos: kilo, hecto y deca a la palabra metro. Por tanto, los múltiplos del metro son: Múltiplos
Abreviatura
Equivalencia .
Kilómetro
km
1.000 m
Hectómetro
hm
lOOm
"- Decámetro
dam
lOm
Así mismo, existen unidades inferiores al metro denominadas submúltiplos, las cuales se nombran anteponiendo los prefijos: deci, centi y mili a la palabra metro. Por tanto, los submúltiplos del metro son: ·
·, 1
Submúltiplos
Abreviatura
Equivalencia
decímetro
dm
0,1 m
centímetro
cm
0,01 m
mil ímetro
mm
0,001 m
El uso de una determinada unidad de medida depende de la longitud del objeto que se mida. Así, las dimensiones de una hoja tamaño carta suelen expresarse en centímetros, tales corpo 21,5 cm X 27,8 cm. En cambio, la distancia de una ciudad a otra suele expresarse en kilómetros, por ejemplo, la distancia entre Bogotá y Santa Marta es de 918 km. Los múltiplos y los submúltiplos del metro relacionados en las tablas anteriores no son los únicos que se utilizan. Por ejemplo, en astronomía también se utilizan unidades de medida tales como elgigámetro, que corresponde a mil millones de metros. Así mismo, en química se utiliza el picómetro, para medir distancias en escala atómica, que corresponde a la billonésima parte del metro.
· 18 8
1
©
Santillana
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico . í\:7. _,,,~,~::e--==>.
~------------------.,....------------.,_,~.....,..,...,......,,_..,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _.....,...................., . __ _ _ _ _ _ _ __.......,. . . .~')~, d'"~
1
Conversiones Tanto los múltiplos como los submúltiplos del metro se pueden expresar como potencias de 1O, para realizar la conversión de una unidad de medida a otra. Así, se debe tener en cuenta la siguiente tabla: Unidad básica
Múltiplos
km 103 , 1.000 m
hm 10 2 lOOm
dam 101 l Om
Submúltiplos
m 10° lm
dm 10- 1
cm 10- 2
mm 10-3
0,1 m .
0,01 m
0,001 m
Cada unidad de medida es 10 veces mayor que la inmediatamente inferior y 10 veces menor que la inmediatamente superior. Por tanto. • Para hallar la equivalencia de una unidad de orden superior a una unidad de orden inferior, se multiplica por 10, por 100, por 1.000, etc.
r
XlO
km
~
r
hm
X lO
v r
X lO
dam
'°"r m
X lO
X lO
""lr dm
X lO
-Yr cm
-y
mm
• Para hallar la equivalencia de una unidad de orden inferior a una unidad de orden superior, se divide entre 10, entre 100, entre 1.000, etc. hm
datn
_)fL
_)fL
km
~
. .;-. 10
m
. .;-. 10
_)~
. .;-. 10
dm _)A__
. .;-. 10
:-: Ejemplos (D Realizar la conversión indicada.
cm _)
. .;-. 10
~
mm /
. .;-. 10
@ Converti~ a m las medidas de la sigulente figura.
·¡ 1
a. 30kmam
;,¡
u.
Para realizar la conversión de la unidad de orden superior km a la unidad de orden inferior m, se debe multiplicar por 1.000, ya que hay tres lugares entrekm ym. Luego, la equivalencia de 30 km a m es: ( X 10") ( X 10~
Km
nm
'----x
( X 10~
Cl.am m 1.000 ___.A
30 X 1.000 = 30.000 Por tanto, 30 km = 30.000 m. b. 349 cmahm
y-- + dam
9hm
1,2 dam
14hmam 14 X 100 = 1.400
12m
Se plantea la multiplicacion y se resuelve.
Luego, 14 hm son 1.400 m 175 dm a m
Para realizar la conversión de la unidad de orden inferior cm a la unidad de or.den superior hm, se debe dividir entre 10.000, pues hay cuatro lugares entre cm y hm. Luego, la equivalencia de 349 cm a hm es: hm
14hm
10.000 ~
m
dm
cm ~ . .;-. l'O__)~+ ld~+lO )~+ 10/
349 . .;-. 10.000 = 0,0349 Por tanto, 349 cm = 0,0349 hm.
Se divide entre 10 y se resuelve.
175 . .;-. 10 = 17,5 Luego, 175 dm son 17,5 m. 9hmam 9 X 100 = 900
Se plantea la multiplicación · y se resuelve.
Luego, 9 hm son 900 m. · 1,2 dam am 1,2 X 10 = 12 m
Se plantea lámultiplicación y se resuelve.
Luego, 1,2 dam son 12 m. © Sa ntillan a
l18 9
J
Longitud
-------~
fJi @
e e
¿Cómo se definió el metro en 1795?
¿Conoces otras medidas diferentes a los múltiplos y submúltiplos del m etro que sirvan para medir la longitud?
e
a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.
0,78 dama cm 2,59hmadm 7,38mamm 9,81 dama mm 82mmam 591 dmahm 197 cm am t. 296 dmakm u. 3,91 mmadam v. 5,259 hm am
650 cm = 0,65 dam 0,003m = 3mm 0,76 dm = 760 hm 0,79 km = 7.900 m
e. f. g. h.
l,54mm=0,0154dm 2,59 hm = 259 km 5,92dam = 0,0592dm 0,96 m = 960 cm
mayor.
I
r
a. · b. c. d: e. f. · g.
j
¡
~
i
0,25 hm, 8 m, 7.500 cm, 25 dm, 1.000 mm 940 dm, 6 dam, 32 m, 4.200 cm, 55 mm 0,28 m, 310 dm, 720 cm, 4 dam, 0,65 hm 0,98 dam, 5.200 mm, 680 cm, 0,05 km, 2 hm 1,8 km, 63.500 cm, 2.510 dm, 2,6 hm, 8.900 mm 5 m, 6,2 dm, 8,75 hm, 0,25 km 0,2S;m, 17,2 cm, 129,l dm, 14 cm, 0,29 hm
l !I Soluciona problemas) Juan está cambiando las instalaciones eléctricas de su casa y necesita 3,25 hm de cable calibre 16. Si en la ferretería 5 m de cable cuestan$ 4.500, ¿cuánto dinero debe pagar Juan por la totalidad del cable?
190
1
© Santillari a
~ Razona: 5-6 1
O Un atleta entrena ~uatro días de la semana. El primer día recorre 15 km, el segundo 157 hm, el tercero 15.712 m y el cuarto 1.572 dam. ¿Cuál día recorrió la mayor distancia ?
(D Dos automóviles parten de una misma ciudad, si después de un tiempo e1 primero ha recorrido 75 km, 95 hm y 120 dam y el segundo 62 km, 410 hm y 510 dam:
m. n. o. p. q. r. s.
O Ordena las siguientes longitudes de menor a
/ 1 \
¡
l. 32 dmamm
Identifica las equivalencias incorrectas y corrígelas. a. b. c. d.
l:
25macm 7,5kmadm 180 cm amm 6,25 km a cm 0,028 dm a cm 675 cm adam 12,7 m akm 3,7 dam akm 58,9 m ahm 16,4 cmahm 0,29 madam
I ~ Ejercita: 41
Se desea enmallar una p ista de atletismo cuyo borde mide 1,5 km, 1,8 hm y 3,2 dam. Si el costo de la malla es de$ 2.054.40 O, ¿cuánto cuestan 650 cm de malla?
¿Quién trabajó en la creación del Sistema Métrico Decimal?
O Realiza cada una de las siguientes conversiones.
¡
Recupera información: 1-2·3
a. ¿Qué distancia en metro s los separa si uno viaja al norte y el otro al sur ? b. ¿Qué distancia en dm 1os separa si los dos viajan al norte?
f) Al girar un tornillo, este avanza 0,5 mm.
e
a. ¿Cuántos dm avanza en 75 vueltas? b. ¿Cuántas vueltas debed ar para avanzar 1,2 cm? La siguiente tabla muestra algunos de los ríos más largos del mundo, su ubica ción y longitud aproximacla expresada en dos un idades de medida.
Nombre
Ubicación
Longitud
MisisipiMisuri
Norteamérica
50.000 hm y 97.000 dam
Amazonas Nilo Volga Yangtsé
Suramérica África Eu ropa Asia
Cong o
África
6.000 km y 750.000 m 600 .000 da m y 650 km 30.000 hm y 64.500 dam 6.0 00.000 m y 30:000 dam 370 km y 400.000 dam
1
a. ¿Cúal es el orden de lo s ríos de menor a mayor longitud? b. ¿Cuál es la longitud en dam del río de menor extensión? c. ¿Cuál es la longitud en km del río de mayor longitud? d. ¿Qué diferencia en m h ay entre el río de mayor longitud y el de menor longitud? Una ciudad A está sepa rada de una ciudad B 5.600 hm. Si un auto se dirige de la ciudad A y a la mitad del camino p ara y tanquea, ¿cuántos · kilómetros lleva recorrid o hasta ese momento el automóvil?
Otras unidades de longitud Existe otro sistema de unidades de medida que se utiliza usualmente en la navegación, en la aviación y en el comercio de herramienta y partes de maquinaria. Dicho sistema se conoce como sistema anglosajón de unidades porque se utiliza en países tales como Estados Unidos, Inglaterra, Jamaica, Puerto Rico, Panamá, entre otros. En el sistema anglosajón, las unidades básicas de medida son: la pulgada, el pie, la yarda y la milla. A continuación se presenta la equivalencia de cada una en el sistema métrico decimal: Unidad
\.
~
Abreviatura
Equivalencia
Pulgada
pul
2,54cm
Pie Yarda Milla
p yd mi
30,48 cm 91,44 cm 1.609,347 m
Milla náutica
nmi
1.852 m
1
1
Con estas equivalencias es posible realizar conversiones entre cantidades expresadas en el sistema métrico decimal y el sistema anglosajón. Para ello, resulta útil plantear regla de tres simple directa entre las magnitudes que se debe realizar la conversión.
:-: Ejemplos
(!) Convertir a pulgadas 4,58 metros. Para realizar la conversión se procede así: 4,58 X 100
Segundo, se plantean las reglas de tres para determinar a cuántos centímetros equivalen 6 p y 9 pul.
= 458 cm.
Luego, se plantea una regla de tres así: 2,54 cm
x . 458 cm X 1 pul x=-----2,54 cm 458
2,54
30,48 cm
6p
X
1 pul
458 cm
X= - -
lp
De donde, x =
= 180,315 pul
6 p X 30,48 cm
lp
1 pul
2,54 cm
9 pul
X
De donde, x =
@ En una revista deportiva se lee que un jugador
= 182,88
cm
9 pul X 2,54 cm = 22,86 cm 1 pul
de baloncesto mide 6 pies y 5 pulgadas, ¿cuántos metros mide el jugador?
Tercero, se realizan la conversiones respectivas de centímetros a metros así.
Para.realizar la conversión de unidades se siguen estos pasos:
•
Primero, se escribe la equivalencia de cada unidad del sistema anglosajón, en unidades del sistema métrico así:
•
1 p = 30,48 cm
Finalmente, se suman las medidas en metros.
1 pul
= 2,54 cm
182,88 cm a m 182,88 -;-- 100
= 1,8288 m
22,86 cm am 22,86 -;-- 100
1,8288 m
=
0,2286 m
+ 0,2286 m
= 2,0574
m
· 1
Por tanto, el jugador de baloncesto mide 2,057 4 m . .©
Santillana
l 191
Otras unidades de longitud
-:::=::::::==================-=-=·====-======-============~
-~
O Nombra tres unidades de longitud que no pertenezcan al sistema métrico. Luego, escribe a cuánto equivale cada una en metros.
e
i. j. k. l. m. n. o. p.
62,5 pul a dm 1,9 nmi a hm 12 yd adm 1.080 mm a pul 17pamm 3,15 cm a yd 2,5 mi am 35km anmi
Escribe en kilómetros cada una de las siguientes unidades de medida. c. Yarda 1 d. Milla náutica
a. Pulgada b. Pie
O Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. Un edificio tiene 80 p de altura, es decir, 28,4 cm. b. Una puntilla de 2,5 pul tiene 0,984 cm de lon· gitud. c. Un sapo cuando salta a una· dista~cia de 3 p, recorre 0,9144 m. d. El radio de la Ti.erra es 6.371.000 m, es decir, aproximadamente 3.958,74 mi. e. El largo de una cancha de fútbol es 120 m aproximadamente, lo que equivale a 168,528 yardas~
f. Un avión vuela a 500 yardas de altura, es decir, vuela a 457,2 m.
~ Ejercita: 2 j
Cil
Razo no: 3-4
1
La Tierra ejerce sobre todos los cuerpos una fuerza de atracción que genera en ellos una aceleración que es la misma para todos y recibe el nombre de aceleración de la gravedad, la cual tiene un valor promedio de 9,8 m/s 2. Determina el valor de la aceleración de la gravedad en: a. p/s 2
c. y pul/s2
b. yd/s2
O En el costado de una avenida hay un letrero que dice Vmáx 50 mi/h. Si las velocidades de tres automóviles son: 75 km/h, 82.000 m/h y 6.000 dam/h.
e
a. ¿Cuáles automóviles exceden el límite de velocidad? b. ¿Cuál automóvil tiene la menor velocidad? En la navegación se utilizan las siguientes unidades de medida. Unidad
Legua ná utica Milla náut ica Cable Braza 5.556
Metros
182,88
1.852
1,83
Buque
~~ e-- . \
Barco
'
~
35 \\
eables \. \ ,
Faro -. ,
w
\ ~-~
__./,/
. .-
·~·~'W
25 , Millas náuticas
'
0,8 Leguas náuticas
Isla / \ ~- """ '$>
~@
"''
~~ ,,, ~
~~
!
~:~
Pedro .fue a la ferretería a comprar tornillos de
--1. pul para instalar una bisagra, pero el vendedor
(r) María necesita comprar 2,8 yd de tela para elaborar
se equivocó y le dio de --1. pul.¿ Cuántos centíme-
la pancarta que su curso llevará en la inauguración de los juegos del colegio. Si va a dos almacenes en los que le cobran en uno $ 1.500 por m y en el otro $ 1.280 por 80 cm, ¿en cuál de los dos almacenes es más barata la tela?
4
8
tros de diferencia hay entre el diámetro de ambos tipos de tornillos?
19 2
1
De acuerdo con la ilustración determina en kilómetros: a. La distancia del faro al barco. b. La distancia del faro a la isla. c. La distancia del faro al buque.
Q!I Soluciona problemas J
e
e
Realiza cada una de las siguientes conversiones. a. 5 pul a cm b. 180 yd a m c. . 75 p a cm d. 60 p a dm e. 120 yd a mm f. 210 p a dam g. 21,2 p a m h. 3,2 mi ahm
e
(j Recupera información: 1
1 © Santillana
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
1
Perímetro El perímetro de un polígono es la suma de las medidas de todos los lados que lo ~confo r ma n. El perímetro se simbol iza co n la letra P
Por ejemplo, el perímetro del cuadrilátero RCNJ es igua~ a la suma de las medidas de los cuatro lados que lo conforman, es decir: P = JR
R
+ RC + CN + NJ
Para calcular el perímetro es necesario que todas las medidas se encuentren dadas en las mismas unidades. De no ser así, se deben convertir todas las medidas a una misma unidad, antes de calcular el perímetro.
:-: Ejemplos
(!) Calcular elperímetro de la figura, si se sabe que JR = 35 cm, RA = 30 cm, AC = CG = 20 cm, NG = 55 cm y JN = 50 cm. J
R
~A-~c N~----~G
El perímetro de la figura es igual.a la suma de los lados que la conforman, es decir: P = JR + RA + AC + CG + NG + JN P = 35 cm + 30 cm + 20 cm + 20 cm + 55 cm + 50 cm Luego, el perímetro de la figura es P = 21 O cm.
@ Hallar el perímetro del paralel~gramo.
@ Si el perímetro de un cuadrado es 325 yd, ¿cuántos centímetros mide cada uno de sus lados?
Se convierte la medida del perímetro a centímetros, de donde se obtiene que: P = 325 X 91,44 = 29.718 cm. Como en un cuadrado todos los lados son congruentes, se tiene l + l + l + l = 41 = 29.718 cm, donde l es la medida del lado del cuadrado. Por tanto, se tiene que la medida de cada uno de sus lados es: l = 29.718 cm = 7.429,5 cm 4
@ El administrador de un conjunto cerrado compró 327,5 m de cable para instalar el alumbrado público alrededor del conjunto. ¿Le alcanza el cable que compró?
1 - - - -5 km-----1
Como los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes se tiene que LE = US = 300 dam y SE= UL = 5km.
Luego, se hallan las equivalencias de las medidas en metros. · 300 dam = 3.000 m 5km = 5.000 m El perímetro de la figura es entonces: P = 3.000 m + 3.000 m + 5.000 m + 5.000 m = 16.000 m
Primero, se convierten a m las medidas. 7.500 cm + 100 = 75 m 87,5 yd X 0,9144
= 80,01 m
Segundo, se halla el perímetro de la figura, así 2 X 75
+ 2 X 80,01
= 310,02 m
Luego, como 310,02 mes menor que 327,5 m, en· tonces, sí alcanzó el cable que compró. ©
l
Sa ntilla~a 19 3
•
1
Perímetro de un polígono regular Pa ra calcular el perím etro de un polígono regu lar (P), se multiplica la medida de uno de sus lados por la ca ntidad de lados. Así:
P = n X/ ~Donde,
n es el número de lados y/ es la medida del lado.
Por ejemplo, para calcular el perímetro del 6 ABC equilátero, se efectúa P = 3 X 24 ~ 72 cm, puesto que el polígono tiene 3 lados y cada lado mide 24 cm. B
Eratóstenes (276 a. C.-194 a. C.) Matemático, astrónomo y geógrafo griego. Creó la criba de Erastóstenes, una fórmula para hallar números primos. Sulogro más importantefue calcular la longitud dela circunferencia de la Tierra, la cuál estimó en 40.000 km, con un error de 90 kilómetros respecto al cálculo actual.
A 1 - - - 24 cm - - - - - 1 C
Longitud de una circunferencia Para ca lcular el perímetro de una circu nferencia se utiliza la expresión C = 2'rrr, donde C es el perímetro, res el radio y 'TI' es una constante cuyo valor aproximado es 3, 1416.
r:.
1
:-:
Ejemplos
(!) Calcular el perímetro de las siguientes figuras. a.
@ Calcular la medida del radio en metros, de una circunferencia cuya longitud es de e = 65 mm.
Se tiene que C = 2Tir = 65 mm, de donde la medida del radio r se halla dividiendo el valor de C entre 2TI, así: r = 65 mm = 10 34 mm
La figura no es un polígono regular, sin embargo, todos sus lados son congruentes entre sí. Por tanto, se utiliza la expresión P = n X l, donde n = 10 y l = 1,5 cm. De donde se deduce que P = 10 X 1,5 = 15 cm.
b.
8
2TI
Luego, se convierte 10,34 mm a m. 10,34 mm -7- 1.000 = 0,01034 m Por tanto, la medida del radio de la circunferencia es 0,01034 m.
@ ¿Qué es mayor el perÍmetro de un hexágono regular de lado 15 cm o la longitud de una circunferencia cuyo radio es 10 cm? El perímetro del hexágono es:
La figura corresponde a una circunferencia cuyo diámetro mide 20 cm. Luego, se aplica la expresión
e= 2Tir.
1
Como el diámetro es dos veces el radio (2r), se tiene que: C = 20 cm X TI = 62,83 cm P~r tanto, el perímetro de la circunferencia .es 62\83 cm. ·
1
.
\
19 4 ( © Santilla~¡i
'
P = 15 X 6 = 90 cm. La longitud de la circunferencia es: C
= 2TI(10)
= 2 X 3,14 X 10
= 6,28 X 10
= 62,8 cm
Luego, es mayor el perímetro del hexágono que la longitud de la circunferencia.
O Si el lado del triángulo equilátero de la página 194
e e
Determina el perímetro de cada figura.
b.
8cm
D 3m
d.
~cm
b.
65 dam
8dm
nl,5dar
30m
f.
32 dam ·
520m~
ohm ºkm fo P= 0,46 dam
ffhm 2,25 km
~
e
P=llOhm
300dm~m
P = 6,28 cm
{V\8( C!I Soluciona problemas) ~dm 1500mm
(D La diagonal de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 4 cm. Calcula el perímetro de la circunferencia.
Determina el perímetro de cada polígono. Un triángulo equilátero C1;1Yº lado mide 9 cm. Un cuadrado cuyo lado mide 15 cm. Un rombo cuyo lado mide 10 cm. Un trapecio isósceles con bases de 4 y 8 cm y los ·btros lados de 5 cm.
G Dado un cuadrado de 10 cm de lado, calcula:
Halla el perímetro de un paralelogramo cuyos lados paralelos son 12 cm y 16 cm.
G Calcula el perímetro en metros de un cuadrado cuyo lado mide 7 cm. Calcula el perímetro de un rectángulo si sus lados miden 17my15 cm. ·"
Traza µna figura geométrica de acuerdo con cada enunciado. a. b. c. d. e. f.
8dm
P = 1.000 mm
e.
1 km
c.
a. b. c. d.
D
= 270 cm
p
e.
5m
e
P
200mm
Q
e
do
¿Cómo se calcula el perímetro de un polígono?
a.
e
Determina las medidas que faltan en cada figura, teniendo en cuenta. su perímetro.
se aumenta en 2,5 cm, ¿cuál es su perímetro?
Cuadrado de perímetro 2,8 dm. Triángulo de perímetro 15 cm. Hexágono de períll1:etro 240 mm. Octágono de perímetro 0,24 m. Circunferencia de longitud 9,42 cm. Rectángulo de perímetro 15,30 cm.
.e
a. El perímetro de la circunferencia inscrita en el cuadrado. b. El perímetro de la circunferencia circunscrita en el cuadrado. Determina la diferencia entre la distancia que recorre la rueda más grande y la distancia que recorre la rueda más pequeña. Ten en cuenta que d repres~nta el diámetro y r representa el radio. En una carrera de bicicrós los participantes deben dar 8 vueltas a una pista circular cuyo diámetro es 28,2 dazm. a. ¿Cuál es _la longitud del recorrido comple]to expresado en metros? · b. ¿Cuál es la longitud en kilómetros? .
~--:::..-=--=-==-=-=-=-===-=-==-======
© Sa nt ill ana
l 19 5
1
.,
Are a Desde la Antigüedad, la idea de determinar el área de cierta superficie ha tenido sentido e importancia. En el antiguo Egipto, debido a los frecuentes desbordamientos del río Nilo, los pobladores de las riberas se vieron en la necesidad de inventar un sistema rudimentario para medir sus territorios, ya que con cada crecida del río los límites territoriales eran borrados por completo. Así, surge la necesidad de calcular el área de una región o superficie.
~
El área de una figura es la med ida de la superfici e que ocupa dicha figu ra. Se si mbol iza con la letra A. Á
Para calcular el área de una figura se elige una unidad cuadrada (u 2 ) y después se cuenta la cantidad de dichas unidades que recubre totalmente la figura. Por ejemplo, si O se considera como la unidad cuadrada, se tiene que:
¡ ~
f--+-·-1---+--+-+--+----t-- -
.
l1' . r
=24 u2
A = 24 0
= 28 u 2
A = 28 0
Sin embargo, en ocasiones es necesario elegir unidades distintas que sean adecuadas para calcular el área de una superficie. Por ejemplo, para las siguientes figuras es adecuado considerar L] como una unidad de medida, así:
1/
/
/
i/
~
/
I~
"" A =32
·--
~-
LJ
I~
--
--
I~
' -
~
1/ A=44
¿j
No obstante, dos unidades triangulares L], forman una unidad cuadrada tanto, el área de dichas figuras se puede expresar como:
A = 32 L] = 16 D = 16 u2
D· Por
A = 44 L] = 22 D = 22 u2
En conclu sión, rea lizar el conteo directo de las unidades cuadradas que hay en una fi gura hal lar el área de la fi gu ra por recubrimientos.
~signi fi ca
19 6 1 ~ Santi lla na
Propiedades del área Al determinar el área de una figura se deben tener en cuenta las siguientes propiedades: • El área de una figura es un único número positivo que corresponde a una determinada unidad de medida. • Si dos polígonos son congruentes, entonces sus áreas son iguales. Por ejemplo, R
6JRC
= 6DMA, por tanto, = A 6DMA
A f\.!RC
• Si la superficie de un polígono está conformada por la unión de varias regiones de otros polígonos que se intersecan a lo sumo en un segmento, su área es igual a la suma de las áreas de dichas regiones. Por ejemplo, El área de ABCD es la suma de las áreas de las regiones que lo conforman, de modo que:
2
3
4
f
¡I
~Ej e mplos
,1
rl
Cakular el área de la superficie sombreada en cada una de las siguientes figuras.
b. o
N
a.
$
B
D
-
1/
~
/
,7 -
A
1/ 1/
/
F
/ M
J
E
Para calcular el área de la superficie sombreada se utiliza la unidad ¿j. De esta forma se tiene que: · AMJF =
16 LJ YA6DGF = 9 LJ
Luego, se convierte cada área a unidades cuadradas, con lo cual el área del triángulo AJF es 8 u 2 y la del triángulo ADF es 4,5 u2 . Finalmente, se suman las áreas, con lo cual, A = 8 + 4,5 = 12,5 u 2•
\ Q
/ 1/
/
/
/ R
\ \
s
/
\
T
\
I
z
X
\
p
Para calcular el área de la superficie sombreada, se calcula el área del rectángulo QRST que es de 6 u2 . Luego, se calcula el área del 6 OXP y del 6NZM. Para esto se unen ambos triángulos de modo que formen el rectángulo cuyo ángulo mide 3u y cuyo largo mide 6u. Así, se tiene que la suma de las áreas del 6 OXP y del 6NZM es 18 u2 . Finalmente, el área total de la superficie sombreada es A = 6
+ 18 =
24 u 2 . © Sa nt illana
l 19 7
f¡ Recupera información: 1
O Responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es la diferencia entre superficie y área? b. ¿Cuáles son las propiedades del área?
e
Sea L'.J la unidad de medida, calcula el área de los siguientes polígonos. a.
e
~Ejercita: 2 I ~ Razona: 3-4-s
J
Construye las figuras que tengan el área dada. Ten en cuenta que D es la unidad cuadrada u2 • Un rectángulo de 8 u2 de área. Un cuadrado de área de 16 u2 • Una figura de 10,5 u 2 de área. Una figura que no sea rectángulo de 12 u2 de área. e. Un triángulo de 6 u2 de área. f. Una figura de 14,5 u2 de área.
a. b. c. d.
·O Determina en términos de la unidad cuadrada definida u2 , el área de la figura sombreada. D u2
b.
I/
c.
a.
1"'-
I" "
!\
u'
~
/ /\
1/
\
; I\
1 \/ \
c.
b.
d.
i/ I
I"'
~
1-----
/
~
~
'\
/ ~
/I
1/
d. 1
I/
El área del cuadrado sombreado es 1 u2 . Dibuja, en un tablero como este, triángulos de las siguientes áreas:
1
~
I/
·. ~
e.
[/ IL
re--
~
~
>---
p
f.
1/
19 8. I © Santil lana
I""
I/
~
~
1/
d. 1 u2
g. 8 u2
b. 2 u2
e. 12_Lu 2
h. 3 u2
c. 9 u ~
'""'
a. _Luz 2
2
2
f. 4
u2
i.4_Lu 2 2
~_,""""'""""'"""""""""""""'""""'"""""...,.."""""""""'""""""""'"""""""""""""'""""""'"""'""""'""""'""""'"""""'"""""""""'"""""""""""""'-.="""""'""""'"""""""'""""""""""'""'"""'""'"""'"""' ~
- -~
'""""""'"''"""·--
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
(
\
\7 ""~~
· ~~
Unidades métricas de área La unidad básica de medida del área, en el sistema métrico decimal es el metro cuadrado, que se simboliza m 2 y que corresponde a la medida de la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un metro. lm
lmDlm
A~lm'
lm
Al igual que el metro, el metro cuadrado tiene unidades de orden superior llamadas múltiplos y unidades de orden inferior denominadas submúltiplos. Los múltiplos del metro cuadrado son: el kilómetro cuadrado, el hectómetro cuadrado y el decámetro cuadrado. 1
.
Múltiplos
~¡
Abreviatura
o
Equivalencia
Kilómetro cuadrado
km 2
1.000.000 m 2
Hectómetro cuadrado
hm 2
10.000 m 2
Decámetro cuadrado
dam 2
100m 2
1
Los submúltiplos del metro cuadrado son: el decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado y el milímetro cuadrado. 1
Submúltiplos
l
Abreviatura
o
Equivalencia
dm 2
centímetro cuadrado
cm 2
0,0001 m 2
milímetro cuadrado
mm 2
0,000001 m 2
La equivalencia de cada múltiplo y submúltiplo en metros cuadrados se puede deducir calculando el área de un cuadrado cuyo lado se exprese en la unidad de medida que se considere. Así, si se tiene un cuadrado cuyo lado mide 1 dam, su área es A= 1 dam 2 • Como 1 dam = 1O m, al calcular el área en metros se tiene que A = 100 m 2 . DedondesededucequeA = 1dam2 =100m 2 • Así mismo, se puede utilizar este método para hallar la equivalencia de cualquier otro múltiplo y submúltiplo en metros cuadrados.
1
0,01 m 2
decímetro cuadrado
0¡1m2 >--- - - 1 dam - -- - - <
---1---1---1---1---1---1---1-1
1 dam 1-+--+--+--+-+-+--+--+--<--1
1----- - - i - - - - - - - - - - - -- -
~
-
-
© Santillana
l l9 9
1
Conversiones Los múltiplos y los submúltiplos del metro cuadrado pueden expresarse como potencias de 10, con lo cual es posible realizar la conversión de una unidad de medida .de área a otra. Unidad
Múltiplos
1
km 2 106
'-
hm2 104
lf básica
da m 2 102
m2 10º
Submúltiplos
l dm 2· 10-2
cm2 i o- 4
mm2 10-6
Cada potencia de 1O se expresa en metros cuadrados y cada unidad de área es 100 veces mayor que la inmediatamente inferior y 100 veces menor que la inmediatamente superior. Así, para determinar la equivalencia de una unidad de orden superior a una unidad de orden inferior, se multiplica por 100, por 10.000, por 1.000.000, etc. X 100
r2
km
X 100
" r2 hm
X 100 X 100 , X 100 X 100 ~í 'lr ~r --, dam 2 m2 dm 2 cm2 mm 2
'r-
Para hallar la equivalencia de una unidad de orden inferior a una unidad de orden superior, se divide entre 100, entre 10.000, entre 1.000.000, etc.
:-: Ejemplos {!) Realizar las siguientes conversiones a la unidad de medida indicada. a. 56 km 2 a hm 2 Al realizar la conversión de la unidad de orden superior km 2 a la unidad de orden inferior hm 2, se debe multiplicar por 100, pues hay un lugar entre km 2 y hm 2 • Por tanto, la equivalencia de 56 km 2 a hm 2 es: 1
56 X 100 = 5.600 Con lo cual 56 km 2 = 5.600 hm 2 . b. 0,612 cm2 a dam2
Para realizar la conversión de la unidad de orden inferior cm2 a la unidad de orden superior dam 2 , se debe dividir entre 1.000.000, pues hay tres lugares entre cm 2 ydam 2 . ~ -7-
·· dam 2
~ -7-
1.000.000 ~ m2 dm2 cm 2 1OOJ ' 1OO./
10d '-
Luego, la equivalencia de 0,612 cm 2 a dam 2 es: 0,612
-7-
1.000.000 = 0,000000612
Por tanto, 0,612 cm2 = 0,000000612 dam 2 •
2 OO 1 ©_Santillana
@ Una finca de 6 km2 tiene culttvada __2_ de su área con caña de azúcar y el resto 12 con arroz. ¿Cuántos m 2 corresponden al cultivo de arroz?
Primero, se calculan los Í _2_ X 6 = 3o
12
12
=
_2_ 2
=
del área total de la finca así:
12
Se multiplica, se simplifica y se convierte a número decimal.
25
'
Con lo cual el área correspondiente al cultivo de caña de azúcar es 2,5 km 2 • Luego, se halla la diferencia entre el área total de la finca y el área cultivada con caña de azúcar para determinar el área cultivada con arroz. 6 km 2
-
Se resta 6,0 - 2,5.
2,5 km 2 = 3,5 km 2
Por tanto, el área cultivada con arroz es 3,5 km 2 • Finalmente, se convierten 3,5 kill. 2 a m 2 así: 3,5 X 1.000.000
= 3.500.000
Se multiplica por 1.000.000.
Entonces, el área que corresponde al cultivo de arroz es 3.500.000 m 2 •
@ Un terreno de 95 hm
2
fue dividido en cinco partes, como muestra la figura.
a. Calcular el área de las regiones A, B, C y Den dm2 • Se convierte el área de cada región a dm 2 , multiplicando cada valor por la potencia de.diez correspondiente, así:
, .... '
B
15,20 hm2
e 17,5 hm2
= 185.000 X 100 = 18.500.000 B = 15,20 X 1.000.000 = 15.200.000
A
C = 17,5 X 1.000.000 = 17.500.000
D = 0,185 X 100.000.000 = 18.500.000 Por tanto, las áreas de las regiones A, B, C y D son 18.500.000 dm 2, 15.200.000 dm2 , 17.500.000 dm2 y 18.500.000 dm 2 , respectivamente. b. Determinar el área de la región E. Se halla la diferencia entre el área total del terreno en dm 2 , y la suma de los valores anteriormente calculados. Como 95 hm 2 = 95.000.000 dm 2, se tiene que:
E= 95.000.000 - (18.500.000
+ 15.200.000 + 17.500.000 + 18.500.000)
E = 95.000.000 - 69.700.000 = 25.300.000 Por tanto, el área de la región E es 25.300.000 dm 2 • © Santillana
1
2O1
1
..J
Unidades métricas de área
f'j Recupera información: 1
O Responde las siguientes preguntas.
~ Ejercita: 2 I ~Razona: 31
l!I Soluciona problemas)
a. ¿Cuál es la unidad básica de medida del área? b. ¿Cuáles son los múltiplos y los submúltiplos del metro cuadrado? c. ¿Cómo se halla la equivalencia de una unidad de medida de área de orden superior a una de orden inferior? d. ¿Cómo se halla la equivalencia de una unidad de medida de área de orden inferior a una de orden superior?
e
1
1·
1.
~:
"
!n·:
Realiza cada una de las siguientes conversiones. m. 0,021 cm2 a mm 2 a. 2 m 2 acm 2 n. 95 cm2 a dam 2 b. 5 dam 2 a dm 2 c. 1,8 dm 2 amm 2 d. 0,75 km 2 a dam 2
o. 825 m2 akm 2 p. 10 dam 2 a mm 2
e. 121 mm 2 a cm2 f. 937 m 2 ahm 2 g. 36,9 dm 2 a dam 2 h. 6 hm 2 akm 2
q. 2,5 hm 2 a cm2 r 3,8 mm 2 a m 2 s. 4,65 cm2 a hm 2
i. 24km2 am 2
u. 793 dm 2 akm 2 v. 35,2 dam 2 a cm 2 w. 2,05 m 2 a dm 2
j. 205 m 2 a cm 2 k. 0,025 hm 2 a m 2 l. 0,95 km 2a m2
e
t.
X.
78 hm 2 a dm2
6,21 cm2 a m 2
Determina cuáles. de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. Una piscina de 8 m por 4,5 m tiene un área de 36.000 cm2. b. Pedro compró un terreno de 12 dam 2 a un costo de $ 750.000 el m 2 y pagó en total $ 900.000.000. c. El área del antejardín de una casa es de 560 dm 2 lo que corresponde al 5% del terreno total que es de 0,0112 hm 2.
¡:
d. Sebastián y Santiago emplearon 708 baldosas de 40 cm X 30 cm para cambiar los pisos de toda su casa que tiene un área de 108 m 2. e. El área de una casa es 144 m 2, de los cuales
( ) Un padre deja a sus 5 hijos una finca cuya área es 7,2 hm 2. Si las áreas de los terrenos correspondientes a 4 de ellos son 1.150 m 2, 1,68 hm 2, 1,94 dam 2 y 0,0105 km 2, ¿cuál es el área del terreno en hm 2 que le corresponde al quinto hijo?
e
El área de un conjunto cerrado es 5.160 m 2 distribuidos en la zona residencial y la zona de recrea ción y esparcimiento.
'
1 i 1 11i 1 ~.
~
Zona de Recreación " (
~'?J)
0,096hm2 ~
a. ¿Cuánto mide el área de la zona residencial? b. Si de la zona de recreación y esparcimiento la tercera parte es para piscinas, ¿cuántos m 2 corresponden a las piscinas? c. Si en el área residencial por cada 120 m 2 se construyó un edificio, ¿cuántos edificios hay en el conjunto? d. ¿Cuántos dam 2 son de zonas v~rdes, si se les asigna la quinta parte del área residencial? e. Teniendo en cuenta que la zona residencial es para los edificios y las zonas verdes, ¿cuántos m 2 tiene cada edificio?
G La superficie 2del territorio colombiano es de
4.140.852 km distribuidos así: el 50% en área marina, el 27,6% en área continental o insular y el 22,4% en espacio aéreo.
a. ¿Cuántos dam 2 representa la superficie insular colombiana? b. ¿Cuántos hm 2 representa el área marina de Colombia? _l_ corresponde al área de las habitaciones, es 4 c. ¿Cuántos m 2 tiene el espacio aéreo colomdecir, 0,0036 hm 2. biano? f. El área de una cenefa que tiene 1O m de largo d. ¿Cuántos km 2 hay de diferencia entre el área por 0,05 cm de ancho es 50 m 2. marina y el espacio aéreo colombiano? -·---·----.-------=====-=--=-=-=-=-==-=--=-==-=====--
COC
1
© Sa ntilla na
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Unidades agrarias Para medir las extensiones de los campos se emplean otras unidades de superficie, denominadas unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el área, la hectárea y la centiárea. Sus equivalencias son: Nombre
'-
Abreviatura
1
Equivalencia
lf
Hectárea
ha
1 hm 2 = 10.000 m 2
Área
a
1dam 2 =1 00 m 2
Centiárea
ca
1 m2
Otra unidad usada con frecuencia para medir superficies agrarias es la fanegada, que corresponde a 6.400 m 2, es decir, al área de un cuadrado cuyo lado mide 80 m. Para realizar conversiones entre este tipo de unidades se tienen en cuenta estas nuevas equivalencias y se procede como ton las otras unidades de superficie.
x Ejemplos
(!) Convertir a m 2 cada una de las siguientes áreas. a. 26 ha Como 1 ha equivale a 1 hm 2 , se tiene que 26 ha = 26 hm 2 • Luego, se convierte 26 hm 2 a m 2 , así, A
= 26
X
10.000
= 260.000 m 2•
Por tanto, 26 ha = 260.000
Se multiplica por l 0.000.
m 2•
b. 284,7 ca Como 1 ca= 1 m 2, la conversión es inmediata, puesto que 284,7 ca= 284,7 m 2•
•·,
I'
@ Convertir a ca 43,028
hm 2 •
Se convierten 43,028 hm 2 a m 2 , multiplicando por la potencia de 10 que corresponde, de donde A
= 43,028
X
10.000
= 430.280 m 2 .
Como 1 ca = 1 m 2, se tiene que 43,028 hm 2 = 430.280 m 2 = 430.280 cá.
@ Determinar si la expresión 584,3 dam
2
= 58,43 ha, es verdadera o falsa.
Para determinar si la expresión es verdadera o falsa se debe realizar la conversión de dam 2 a ha. Para esto, se convierte dam 2 a hm2 dividiendo entre la potencia de 10 que corresponde, de modo que A = 584,3 ...;- 100 = 5,843. Por tanto, se tiene que 584,3 dam 2 = 5,843 ha. En consecuencia, la expresión es falsa. @ Establecer cuántas fanegadas hay en 27.487 ha. Como 27.487 ha = 27.487 hm 2, se multiplica por 10.000, con lo cual A = 27.487 X 10.000 = 274.870.000 m 2• A = 274.870.000 ...;- 6.400 = 42.948,4375
Por tanto, 27.487 ha = 42.948,4375 fanegadas.
Se divide entre 6.400 ya que l fanegada = 6.400 m2.
© Sa nt illana
1
2 O3
Unidades agrarias
:..: Ejemplos
@ Una finca A tiene una superficie de 2 ha, 15 a y 35 ca; una finca B tiene una superficie de 5 hm 2, 13 a y 12 m 2, una finca C tiene una superficie de 8 ha, 3 dam 2 y 18 ca, y una finca D tiene una superficie 7 ha, 48 m 2 y 25 ca. Calcular el área en metros cuadrados de cada finca. Para calcular el área de cada finca en metros cuadrados se convierten las unida des agrarias a unidades propias del sistema métrico decimal. Luego, se convierten las unidades de área a metros cuadrados, multiplicando por la potencia de 10 correspondiente corno se muestra a continuación: Finca A
2 Ha = 2 hm 2 = 2 X 10.000 m 2 = 20.000 rn 2 . 15 a = 15 dam 2 = 15 X 100 m 2 = 1.500 rn 2• 35 ca= 35 m 2 .
Entonces, la finca A tiene 21.535 m 2. FincaB
5 hm 2 = 5 X 10.000 m 2 = 50.000 m 2• 13 a = 13 dam 2 = 13 X 100 rn 2 = 1.300 m 2 .
12m2• Luego, la finca B tiene 51.312 m 2. Finca C
8 ha= 8 hm 2 = 8 X 10.000 m 2 = 80.000 m 2 • 3 darn 2 = 3 X 100 m 2 = 300 m 2 . 18 ca = 18 rn 2 .
Entonces, la finca C tiene 80.318 m 2• Finca D
7 ha = 7 hm 2 = 7 X 10.000 m 2 = 70.000 m 2 . 48m2•
25 ca= 25 m 2 .
Por tanto, la finca D tiene 70.073 m 2• @ una finca tiene una superficie de 1,62 ha, disponible para cultivo. Un tractor ara cada hora una superficie de 5 dam 2 y 16 ca. ¿Cuántas horas tardará el tractor en arar la superficie? Es necesario convertir todas las unidades a una misma unidad de medida. Luego, se convierten las unidades de medida a m 2 así:
•
1,62 ha = 1,62 hm 2 = 1,62 X .10.000 m 2 = 16.200 m 2 .
•
5 dam 2 = 5 X 100 m 2 = 500 m 2 .
•
16 ca= 16 m 2
La finca tiene 16.200 m 2 y el tractor ara 516 m 2 por hora, de donde se tiene que 16.200 -7- 516 = 31,39. Se divide la superficie de la finca entre la superficie que ara en una hora.
Por tanto, el tractor tardará 31,39 horas en arar toda la superficie de la finca
2Ü4
1
© Sa nti ll ana
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
O Responde las siguientes preguntas.
O Cuatro amigos compran el siguiente terreno.
a. ¿Cuáles son las unidades agrarias? b. ¿A qué equivale cada unidad agraria en el sistema métrico decimal?
e
Completa la siguiente tabla. 1
m2
'· dam 2
a
ca
11
ha
1
30 15,4 23,8 145,5
a. ¿Cuántas centiáreas tiene el terreno? b. ¿Cuál es el costo del terreno si cada área vale $ 9.000.000? c. ¿Cuánto dinero aportó cada amigo? · d. ¿Cuál es la diferencia en m 2 entre las áreas de los terrenos del amigo 1 y del amigo 3?
394,8
e
'-
494,3
Responde las siguientes preguntas y justifica tu respuesta. a. ¿Cuántos m 2 de papel de colgadura, se requieren para cubrir las paredes de una habitación de 0,45 a? b. ¿De cuántas ha debe comprarse un terreno para construir un centro comercial de 42 dam 2 ? c. Un parque natural tiene un área de 24.500 ha, ¿cuántos km 2 tiene el parque? d. ¿Cuánto debe pagar una persona por un terreno que mide 5 a, si cada m 2 tiene un costo · de $ 620.000? e. Se desea construir una vivienda en la que la casa sea de 15 m X 12 m, las medidas de la piscina sean 6 m X 3,5 m y las zonas verdes de 4 m X 3 m. ¿Cuántas ha debe tener el terreno?
O La tabla muestra las áreas de las superficies de cada continente expresadas en ha.
clases diferentes de apartamentos de acuerdo con el área, el sencillo con 0,95 a, el dúplex con 180 ca y el penthouse con 0,025 ha. Si se construyen 8 apartamentos sencillos, 6 dúplex y 2 penthouse:
Área
África América Antártida Asia Eu ropa Ocea nía
3.036.500.000 ha 4.226.214.200 ha 1.239.300.000 ha 4.461.400.000 ha 1.053.074.000 ha 855.070.000 ha
a. Ordena los continentes de mayor a menor área. b. ¿Cuántos dam 2 tiene la superficie de cada continente? c. ¿Cuántos km 2 más tiene la superficie . de América comparada con la de Antártida? d. ¿Cuántos hm 2 hay de diferencia entre las áreas de las superficies de Europa y América?
l !I Soluciona problemas ) G Una constructora está haciendo un edificio de tres
Continente
e
Para enchapar una piscina de un hotel se escogió una baldosa especial de 0,16 ca. 1 1
e
1
1------- -- -~ - -- --/
/
600 cm /
En el primer semestre de 2006 se sembraron en Colombia 99.129 ha de maíz amarillo, un 18% menos que la meta esperada. ¿Cuántos dam 2 faltaron para alcanzar la meta?
160 cm
1
a. ¿Cuál es el área total construida en ha? b. Sicadam2 se vende a$ 750.000, ¿cuánto dinero se recauda por la venta de todos los apartamentos? /
•
1,000 cm
¿Cuántas baldosas se requieren para la obra?
© Santilla na
¡2 O5
Área de polígonos El área de un polígono se puede calcular sin necesidad de utilizar recubrimiento. Para esto se utilizan determinadas expresiones en las cuales es necesario conocer las medidas de algunos elementos del polígono. Dichas expresiones se presentan en esta sección.
Área de cuadriláteros Para calcular el área de un cuadrilátero se aplica alguna de las siguientes expresiones, según el tipo de cuadrilátero. El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de la longitud de su base por la medida de la longitud de su altura. Es decir, Área = base X altura A=bXh
h
A=bXh b
Por ejemplo, el área de un rectángulo cuya base es 7 cm y cuya altura es 3 cm, se calcula así: Área = base X altura = b X h = 7 cm X 3 cm = 21 cm 2 El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la medida de su lado, es decir,
Área = lado X lado
A= l X l
A = ¡2
A = l2
Por ejemplo, el área de un cuadrado cuyo lado mide 9 cm se halla así: Área= lado X lado = l X l = l2 = (9 cm) 2 = 81 cm 2 l.
El área de un rombo es igual al semiproducto de la medida de la diagonal mayor (D) por la medida de la diagonal menor (d).
1
'
Área = _l_ (diagonal mayor X diagonal menor) 2
1
D'1 ____________ _ _____________ 1
:a
A= D Xd 2
Por ejemplo, el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 9 cm, respectivamente, es: Área= _l_ (diagonal mayor X diagonal menor)
2
A= D X d 2
2 O6 .1© Sa ntill ana
.
9 cm X 6 cm 2
54 cm2 = 27 cm2 2
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
El área de un romboide es igual al producto de la medida de la base por la medida de la altura. b 1
1 1 1
Área = base X altura
1
:h
A= b X h b
Por ejemplo, el área de un romboide cuya altura es 7 dm y su base es 10 dm, se calcula así: Área= base X altura= b X h = 10 dm X 7 dm = 70 dm 2 El área de un trapecio es igual al semiproducto de la suma de las bases por la altura. b
Área = (Base mayor + base menor) X altura 2
A= (B
+ b)
X h
2 B
Por ejemplo, para calcular el área del trapecio de la figura se tiene que: 6cm
A=
1 1 1 1 1
A=
:scm
(B
+ b)
Xh
2 (10 cm
+ 6 cm)
X 5 cm
2 80 cm 2
2
16 cm X 5 cm 2
= 40 cri1 2
lücm
El área de un trapezoide simétrico es igual al semiproducto de la diagonal mayor (D) por la diagonal menor (d).
d:
Área = _L (diagonal mayor X diagonal menor) 2
D
A= D Xd 2
.Por ejemplo; para calcular el área de un trapezoide simétrico cuya diagonal mayor mide D = 15 cm y cuya diagonal menor mide d = 7 cm, se tiene que:
A= D X d = 15 X 7 = 105 = 52 5 2
2
2
'
Por tanto, el área del trapezoide es 52,5 cm 2 • 1
© Santillana 1
2 O7
Área de cuadriláteros
<& Interpreta: 1 1
respuesta.
a. ¿Cómo se calcula el área de un cuadrilátero cuyas diagonales son congruentes y perpendiculares? b. ¿Cómo se calcula el área de un cuadrilátero que tiene solo dos pares de lados consecutivos congruentes?
ª·=3dmd.
6dm
SO cm
6cm
e.
0,8 dm
c.
60cm
80dm ' ' SO cm:
40.mm
60dm
f.
SOOmm
e
Determina cuáles de las sig~ientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. · a. Para calcular el área de un cuadrado solo es necesario conocer la medida de uno de sus lados. b. El área de un trapecio se calcula mediante la
c. d.
e. f.
g.
CO8
a. ¿Cuál es el área de un paralelogramo cuya base mide 30 cm y su altura es _2_ de la base? 6
b. El área de un rombo es 48 m 2 • ¿Cuál es la medida de su diagonal mayor si la diagonal menor mide 800 cm? c. Una hoja de papel de forma cuadrada se dobla por la mitad, formando dos rectángulos de 72 cm de perímetro cada uno. ¿Cuál es el área del cuadrado?
Calcula el área de cada cuadrilátero en m 2 •
b.
expresión A = D X d , donde D y d son las 2 . diagonales. Para calcular el área de un trapezoide simétrico se divide el producto de las diagonales entre 2. El área de cualquier paralelogramo es el producto de la medida de la base por la medida de la altura. El área de un rombo es el producto de la medida de la base por la medida de la altura. Se puede hallar el área de un cuadrado con la fórmula para hallar el área de un rectángulo. El área de un rectángulo de base a es igual al área de un paralelogramo de altura h.
j © Santillana
{fl Razona: 3-4 j
O Responde las siguientes preguntas justificando tu
O Responde:
e
~Ejercita: 2 I
Q!I Soluciona problemas J
e
Los vecinos de un barrio piensan pavimentar los andenes de una de sus manzanas. Para esto se plantean las siguientes condiciones. • La manzana tiene un área de 952 m 2• Hay 10 casas cada una de 12 m X 6 m. • Pavimentar un m 2 tiene un costo de$ 15.000. ¿Cuánto dinero debe aportar el dueño de cada casa para llevar a cabo la obra?
O Dos
hermanos compran un lote de forma 64 m 2 cuadrada para cons100 m2 truir en él la casa de cada uno y un restau rante. Si el lote se distribuye como se muestra Restaurante en fa figura y el terreno de cada casa también tiene forma cuadrada, ¿cuál es el área en m 2 del terreno que corresponde al restaurante?
G Se tiene un techo rectangular sobre el que se va a aplicar un decorado en la superficie sombreada que se muestra en la figura. Si el decorado de cada m 2 cuesta$ 28.500, ¿cuánto cuesta el decorado del techo?
1 '-----~""'- -----'º·'r
1.
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
" " iit
...
Área del triángulo Para determinar el área de un triángulo se puede trazar junto a él otro triángulo congruente, de manera que los dos triángulos formen un paralelogramo así: H
H
R ' ' '
D~--------~¡
D~-------~ 'Í
El paralelogramo DHRJ tiene igual base y altura que el triángulo DHJ, además, el triángulo RJH es congruente con el triángulo DHJ, y por esto tiene la misma base. En consecuencia, el área del triángulo DHJ es la mitad del área del paralelogramo de igual base y altura que él. El área de un triángulo es igual a la mita d del producto de la medida de la ba se por la medida de la altura. ;
Área
= base
X
altura
2
A =~ 2
En el caso del triángulo rectángulo, el área equivale a la mitad del área de la superfide de un rectángulo con igual base y altura. Por tanto, el área se determina al calcular la mitad del producto de la base por la altura. El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos, es decir, la mitad del producto de la base por la altura.
Área = base X altura 2
h
A =~ 2
b
Donde by h son los catetos del t riángu lo ABC. D
9 cm
F
16 cm
e
Por ejemplo, el área del triángulo DFC se calcula así: A = b X h = 9 cm X 16 cm = 144 cm 2 = 72 cm 2
2 2 2 Por tanto, el área del triángulo DFC es 72 cm2 • .
© Santi llana
¡2 O9
J---................................----.....--.....,,.............._.....,..________......====--.._.....______.........,..,...,,""""'............_.....__.....,...J,,,,,
---
Fórmula de Herón En algunos casos, puede ocurrir que los tres lados del triángulo se conocen, pero no la altura. En dichos casos es útil emplear la fórmula de Herón. La fórmula de Herón: si las med idas de los lados del L.ABC son a, by e, se cum ple que: A
A = ,Js(s - a )(s - b )(s - e) b
e
Donde, s =
f
(a
+ b + e)
Por ejemplo, para calcular el área del L ABC, teniendo en cuenta las medidas dadas, se realiza el siguiente procedimiento: A Primero se calcula s:
s= ;
1
2
s = ~ (7 cm + 5 cm + 6 cm)
.
b=Scm
c=6cm
(a+ b +e)
= 9 cm
BL_~~~~a-=_7_c_m~~~~~c
Luego, se calcula s - a, s - b y s - e:
s - a = 9 cm - 7 cm
= 2
cm
s - b = 9 cm - 5 cm = 4 cm s - e = 9 cm - 6 cm = 3 cm Firtalmente, se aplica la fórmula de Herón.
A= ~9(2)(4)(3)
= J2l6 = 14,7
cm 2
Por tanto el área del LABC es 14,7 cm2 •
I' 1
:-: Ejemplo
.
1
Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es 18 cm.
Sea el L MNO equilátero en el cual se cumple que los tres lados son congruentes y en consecuencia m = n = o. Luego, se divide el perímetro entre 3 para hallar la medida de cada lado, de donde se obtiene que m = n =o= 6 cm.
N
o
m
Como solo se conocen las medidas de los lados se aplica la fórmula de Herón para calcular s. Así: 5
=
6 cm
+ 6 cm + 6 cm = 2
18 cm
2
=
9 cm
o
Luego, se tiene que s - a = s - b = s - e = 3 cm y se remplaza en la fórmula de Herón: A= ~9(3)(3)(3) = .J243 = 15,58 cm 2 Por tanto, el área del L MNO es 15,58 cm2 .
21 O 1 © Sa ntill ana
..¡,............._............_________________......._____......,______=-__
.......__.....,._____""""".. .:.,(~ _ \
~~--.....,,,_,--_,,,.....,.....,-.,...,,....
J~ ~
Estándar: pensam iento espacial y pensamiento m étrico
/',JI~l) 1 ./ '---....;
e&
O Según el texto explicativo de las páginas 209 y 210, determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. a. Para calcular el área de un triángulo basta con conocer la medida de su altura. b. Para calcular el área de un triángulo rectángulo basta con conocer las medidas de los catetos. c. Es posible calcular el área de cualquier triángulo conociendo solo su perímetro. d. Es posible calcular el área de cualquier trián gulo conociendo las medidas de sus tres lados.
e
Calcula el área de los siguientes triángulos en cm 2 • a.
Inte rpreta:·, j
J (__
_:::,
"
~ Ejercita: 2 j ~ Razona: 3
_
j
l!I Soluciona problemas) O ¿Cuál es el área de la siguiente figura? :1--Sm---1 1 1
1 1 1
:12m 1
f-6m-l
1 1
1
smi
1
1
~lOm---1:
e
1
1-------26 m ---------<
Un triángulo isó~celes tiene perímetro 32 cm y la medida de su lado no congruente es 12 cm. a. ¿Cuál es su área? b. ¿Cuánto mide su altura?
d.
(¡) Calcula el área de L.ACB, L.ADB y L.AEB. ¿Qué observas?
1
0,3?m
e f--0,Sm----1
b.
1
e.
3dm
l
C.
1-Q,4
~>--'------,6--.-m-----<---"'
1- 15,4 mm"
¡:~ l ¡____ _
0,3 dam
am-<
f.
O El antejardín de una casa tiene la forma quemuestra la figura. Si se le va a colocar pasto artificial, ¿cuántos m 2 de pasto se deben comprar? 1-3 m__,
e
~------1~ill~ Determina la medida indicada, teniendo en cuenta los datos dados. a. La base de un triángulo de área 26 cm2 y altura · 0,8dm. b. La altura de un triángulo de área 18,5 m 2 y base 0,3 dam. c. El área de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos mide 0,12 m y la hipotenusa mide 1,6 dm. d. El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 0,1 m . e. El perímetro de ún triángulo isósceles cuyo lado no congruente mide 12 dm y el área es 0,48 m 2 • f. El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 1 cm.
l Sm
e
'--tt-~1========i1~2~m:-=======:::l En el piso de un salón de forma cuadrada se va a realizar un diseño como muestra la figura, ¿cuántas tabletas blancas y cuántas negras se necesitan si cada una mide 40 X 40 cm?
© Sant illana
1
211
Área de polígonos ~egu lares Para calcular el área de un polígono regular se debe tener en cuenta que cualquier polígono regular está conformado por tantos triángulos isósceles congruentes como número de lados tiene el polígono. ' Por ejemplo, el pentágono.se puede dividir en cinco triángulos congruentes y el octágono en ocho, como se muestra en las siguientes figuras:
La medida de la base de cada triángulo corresponde a la medida del lado del polígono (l). Además, la medida de la altura de cada triángulo se denomina apotema y se simboliza con fa letra a.
Como las bases de los triángulos son iguales al lado l y las alturas son iguales a la apotema a, el área de cada triángulo es: · lado X apotema __ _l X a Area=
2
2
Por tanto, el-área del polígono se calcula sumando las áreas de los triángulos que lo conforman. Si el P?lígono tiene n lados, se tiene que: A'rea=
zx·a 2
+~+~+ 2
2
...
+~ 2
n-veces De donde se deduce que: Área = n X
~X
ª ,donde n X l es el perímetro del polígono.
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por la apotema, es decir: Área
Donde
212
1
© Santillana
=
perímetro X apotema
pXa
2
2
pes el pe rímetro y a es la apotema.
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
:-: Ejemplo Calcular el área de un hexágono regular de 8 dm de1ado y 6 dm de apotema. Como un hexágono tiene 6 lados y l = 8 dm, se tiene que el perímetro del hexágono es:
P = n X l = 6 X 8 dm = 48 dm Luego, se utiliza la expresión p ara calcular el área de un polígono regular así:
A = P X a = 48 dm X 6 dm = 288 dm 2 = 144 dm 2 2 2 2 Por tanto, el área del hexágono regular es 144 dm 2 •
Q Co~ur\ica: 1 1~Ejercita: 2 I
0
e
Explica con tus propias palabras cómo se calcula el área de un polígono regular. Luego, escribe un ejemplo.
O Responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es el área de un hexágono regular de 12 m de lado y 80 cm de apotema? b. ¿Cuál es la medida del apotema de un decágono regular de 5 cm de lado y 1,75 dm 2 de área? c. ¿Cuánto mide el lado de un nonágono regular cuyo apotema mide 5,5 mm y cuya área es 152,1 cm 2 ? d. ¿Cuánto mide el área de un heptágono, si cada triángulo isósceles que lo conforma tiene de base 12 cm y sus lados congruentes miden 9 cm? · e. Halla el área de un pentágono regular cuyo apotema mide 5 cm y su lado mide 6 cm.
Calcula el área de los siguientes polígonos regulares.
c.
a. 6m
b.
d. Sm 4,4m
e
Determina las áreas de las siguientes figuras descomponiendo los polígonos. c.
/-120m84 /,
fu/ " l~Sm
..__95m
',
b.
m-
r 1
·········
15
¡
90m
----.~100
1
""~1 ¡
E!I Soluciona problemas J
e a.
1·¡
j
Se quiere cercar el borde de un jardín que tiene forma de pentágono regular, como se muestra en la figura. ¿Cuántos nietros de longitud debe tener la cerca?
"'s
]
D
6m
j
m
~
--
Área 0,35 dm2
d.~¡2m 11:67 ¡6m 1 ~ --l2m-
1 ~=========================-~===================--================-==~========e?' © Santillana
1
213
Área del círculo La circunferencia es el lugar geométrico de los puntosque están a igual distancia del centro. El círculo es la superficieque está enel interior de la circunferencia.
El área de un círculo es igual al producto de TI por el cuadrado de la medida del radio r.
A=
~
1TT2
Por ejemplo, para determinar el área de un círculo cuyo radio mide 6 cm, se tiene que: A =
1T
X r 2 = (3,141) X (6 cm) 2 = (3,141) X (36 cm 2 ) = 113,04 cm 2
Por tanto, el área del círculo es 113,04 cm2 •
<& Interpreta: 1 1
O Responde las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta.
e
a. ¿Se puede calcular el área de una circunferencia? b. ¿Se puede calcular el perímetro de un círculo?
~ Ejercita: 2-4-5
1
~ Razona: 3 1
O Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es 54
e
cm. Calcula el área de un círculo cuya circunferencia tiene perímetro 3,77 dm.
l!I Soluciona problemas J
Calcula el área de cada círculo. a.
/,
c.
O Hace mucho tiempo un rey quiso construir un b.
i
Ü'.;
e
d.
a. ¿Cuál es el perímetro del jardín? b. ¿Cuál es el área del jardín? c. ¿Cuál es el área de la parte del estan que que no está ocupada por el jardín?
Calcula el área de cada figura en m 2 •
ªf>
c.
v2dm
b.
I © Santillana
*
6m
f) En la plazoleta circular de 6 m de radio de uncenSO mm
d. 4cm
214
jardín rectangular de radio 10 m. Convocó un concurso y les dio a los participantes el plano que aparece en la figura adjunta. Pero ninguno logró calcular el área del jardín. ¿Lo lograrás tú?
tro comercial, se va a instalar una fuente circular de 3 m de diámetro. a. ¿Qué área cubre la fuente? b. ¿Qué área de la plazoleta queda libre para la realización de eventos?
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Área de la superficie de un poliedro En un poliedro se pueden determinar dos tipos de área: el área lateral y el área total. El área lateral es la suma de las áreas de las caras laterales. El área total es la suma del área lateral y las áreas de las bases del poliedro. Para calcular el área lateral o total de un poliedro, resulta conveniente recurrir al desarrollo del poliedro en el plano, tal como se observa a continuación:
'
'' ' '' ''
1
,.. ... .L-
- ~,
De acuerdo con lo anterior, el área lateral (A1 ) de un prisma se calcula multiplicando el perímetro de una de las bases del prisma (P), por la altura del prisma (h), es decir: A1
=P
X h 1.
Para calcular el área total (Ay) de un prisma se suma el área lateral y el doble del área de una de las bases (B), es decir: Ay= AL+ 2B
Con el fin de facilitar el proceso para calcular el área de otros prismas, en la siguiente tabla se presenta su desarrollo.
Paralelepípedo
Prisma triangular
'' '''
'' '' '
''r----~·
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
© Sa nt illana
1
215
Área de una pirámide En una pirámide regular también se puede calcular el área lateral y el área total, teniendo en .cuenta que: • El área lateral (AL) de una p~rámide regular es igual al producto del área de una de sus caras laterales por la cantidad de caras laterales. • El área total (Ay) de una pirámide regular es igual al área lateral más el área de la base de la pirámide. Para calcular el área de una pirámide resulta útil realizar su desarrollo, tal como se muestra a continuación.
Pirámide de base cuadrada
Pirámide de base octogonal
Área de un poliedro regular El área de un poliedro regular es igual al producto del área de una de sus caras por la cantidad de caras que tiene el poliedro. De manera similar a los otros poliedros, en este caso también es útil conocer su desarrollo para determinar la cantidad de caras que tiene el poliedro.
Tetraedro
11
Octaedro
1 1 1 1 1 1
'
,'' )',,
,,',,,'
',,',,,
Dodecaedro
216
1
© Santill ana
''
'
''
''
Icosaedro
Estánda" pensam;enta espaóol y pensam;ento mét6co
a
. 1¡
----==~ Ejercita: 2 i ~ Razona : 3-4
e
O Responde las siguientes preguntas. a. ¿Qué es el área lateral y el área total de un poliedro? b. ¿Cómo se calcula el área total de un poliedro?
e
1
1
Construye el sólido que corresponde al siguiente desarrollo.
11
a.
Calcula el área lateral y el área total de cada poliedro.
a.
¿-nn --~Jt
e b. ¿Qué puedes concluir con respecto al área total de esta figura?
1--24 Cm-----<
f.
b.
,, ,, ·
E!I Soluciona problemas ) e
101 cm
..----+:-.-
_L_ ------ j
Efectúa el desarrollo del siguiente cuerpo. Luego, calcula el área total.
::,---10 cm
,_ Ü Cffi--1
c.
' .L ,'
,i--- - --
g.
J
O ¿Cuántos dm
,'
r--5 cm--<
2
de papel regalo debe comprar Luis para envolver la siguiente caja de chocolates?
Scm
J
h.
d.
,,
, ,,
,
,,
1---
e
>--16 cm---<
8 Cm----<
Determina el área de cada arreglo.
c.
a.
b.
/ 1
/
7 7 7 7 7 7 7 7 7 ¿~
L LL 1
1
O La pirámide de Jafra es la segunda más grande de Egipto y fue construida aproximadamente en 2523 a.C. Su base cuadrada tiene dimensiones 215,25 m X 215,25 m. Su apotema mide 179,4 m aproximadamente. a. ¿Cuál es el área lateral de la pirámide de Jafra? b. ¿Cuál es el área total de la pirámide de Jafra? c. Si la punta de la pirámide se erosiona, es decir, si queda con forma de un tronco de pirámide cuyo lado de la base menor mide 2 m, ¿cuál es el área total?
© Santillana
1
217
Volumen El volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo, el cual se simboliza con la letra V. Para determinar el volumen de un cuerpo se utiliza como unidad básica de medida el metro cúbico.
El metro cúbico es la unidad básica de medida del vo lumen, se simboliza m 3 y corresponde al volumen de un cubo de un metro de arista.
/ l l
/
lm
!1 '
1
1
,__ l m
~
V= 1 m 3
fu
-----< / Á
1
1 1
j
Al igual que el metro y el metro cuadrado, el metro cúbico también tiene unidades de orden superior, múltiplos, y unidades de orden inferior, submúltiplos.
; I
Los múltiplos del metro cúbico son: el kilómetro cúbico, el hectómetro cúbico y el decámetro cúbico. Múltiplos
'-
1
Abreviatura
j\
Equivalencia
kilómetro cúbico
km 3
1.000.000.000 m 3
hectómetro cúbico
hm 3
1.000.000 m 3
decámetro cúbico
dam 3
1.000 m 3
Los submúltipos del nietro cúbico son: el decímetro cúbico, el centímetro cúbico y el milímetro cúbico.
'-
Submúltiplos
Abreviatura
Equivalencia
decímetro cúbico
dm 3
0,001 m 3
centímetro cúbico
cm 3
0,000001 m 3
milímetro cúbico
mm 3
0,000000001 m3
Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la inmediatamente inferior y 1.000 veces menor que la inmediatamente superior. Por tanto: Para determinar la equivalencia de una unidad de orden superior a una unidad de orden inferior, se multiplica por 1.000, por 1.000.000, por 1.000.000.000, etc. • Para hallar la equivalencia de una unidad de orden inferior a una unidad de orden superior, se divide entre 1.000, entre 1.000.000, entre 1.000.000.000, etc. Por ejemplo, para convertir 54 m 3 a cm3, se multiplica por 1.000.000, puesto que.m 3 es la unidad de orden superior y cm3 es la unidad de orden inferior. Por tanto, se tiene que 54 X 1.000.000 = 54.000.000, es decir, 54.000.000 cm3 = 54 m 3 . Para convertir 13 cm3 a dm 3 se divide entre 1.000 puesto que cm 3 es una unidad de orden inferior a dm 3. Entonces, 13 + 1.000 = 0,013, es decir, 13 cm 3 = 0,013 dm 3 .
l
Para convertir 25 dm 3 a mm 3 se multiplica por 1.000.000 puesto que dm 3 es una unidad de orden superior a mm 3. Entonces, 25 X 1.000.000 = 25.000.000, es decir, 25 dm 3 = 25.000.000 mm 3.
1
11
218
1
© Santiliana
e
Algunos volúmenes En la siguiente tabla se presentan las expresiones que permiten calcular el volumen de algunos cuerpos geométricos. Cuerpo
Cubo
Volumen
Representación
LJJ
Elementos
V= /3
/:lado -~
Pirám_ide
/!y
V= _l_A,· h 3
Ab: área de la base h: altura
Prisma y cil in dro
[]
V= Ab · h
Ab: área de la base h: altura
Paralelepípedo
Cono
Esfera
Tetraedro regular
Octaedro regu la r
Tronco de la pirámide
/:largo
§
ffi
o 8
V=!· a· h
a: ancho h: alto
V = _l_'1Tr 2• h 3
r: radio h: altura
V = _±_'1Tr3 3
r: radio
f3J2 V=--
/:lado
f3J2 V=-3
/:lado
12
Aa: área de la base mayor . V= 3h(As+ A,+ .)As ·A,) Ab: área de la base
1
menor
h: altura
'-
Por ejemplo, para determinar el volumen de un octaedro regular cuyo lado mide 3 cm se tiene que:
13../2 V= -3 (3)3 .J2 3 27../2 = 9../2 3 Por tanto, el volumen del octaedro regular es
9,j2
cm 3 .
© S~ntil l ana
1
219
Volumen
x Ejemplos
rx
h'm 3
i.oo~~ / Looo~ e x i.ooo~ dam 3 m3 dm 3
"------ X 1.000.000.000 ___A Así, la equivalencia de 6,75 hm 3 a dm 3 es: 6,75 X 1.000.000.000 = 6.750.000.000
Por tanto, 6,75 hm 3 = 6.750.000.000 dm 3. b. 0,0318 m 3 a km3 Para convertir m 3 a km 3 se debe dividir entre 1.000.000.000. ~ + 1.000.000.000 ~ km 3 hm 3 dam 3 m3 ~
_/ -l
+ 1.000
) ~
+ 1.000
+ 1.000
_)
Luego, la equivalencia de 0,0318 m 3 a km 3 es: 0,0318 + 1.000.000.000 = 0,0000000000318
Por tanto, 0,0318 m 3 = 0,0000000000318 km 3.
@ Calcular el volumen de un tronco de pirámide, teniendo en cuenta las medidas que se muestran en la figura y que las bases son cuadradas.
1.
Se debe utilizar la expresión:
:·i
V= _l_h(AB+ Ab + .jAB · Ab ) 3
¡
Luego, se debe calcular el área de la base mayor (AB) y el área de la ba.se menor (Ab) . Como ambas bases son cuadradas An = 6 cm X 6 cm= 36 cm 2 y Ab = 4 cm X 4 cm= 16 cm 2 • Además, la altura (h) es igual a 5 cm, con lo cual se tiene que: ~6cm~
.V = _1_(5)(36 3
=
_1_(5)(36
3
+ 16 + .j(36)(16)
)
+ 16 + (6)(4))
= 2(36 + 16 + 24) = 126,66
Se remplazan la altura y el área de las bases.
Se obtiene la raíz cuadrada. Se realizan operaciones.
3
Por tanto, el volumen del tronco de pirámide es 126,66 cm3.
@ Calcular el volumen de una esfera cuyo radio mide 7 cm. Se aplica la expresión V = --1..'Tl'r 3 • 3 Como r = 7 cm se tiene que: r= Scm
V = --1..71'(7 cm) 3 3
=
j 71'(343 cm
3
)
Se remplaza el radio en la expresión del volumen de la esfera.
= 457,3371' cm 3
Por tanto, el volumen de la esfera es 457,3371' cm 3.
2 2 O j © Sa nti ll ana 1
11
-1
*'
mw-
t
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
fJi O Responde las siguientes preguntas.
Recupera información: 1
1 ~Ejercita: 2-3 1 ~Razona: 41
O Calcula el volumen de los siguientes cueupos
a. ¿Cómo se realiza la conversión de unidades de medida de volumen? b. ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?
geométricos. a.
Realiza las siguientes conversiones.
e
2c
a. 8,5 dm 3 amm 3 b. 9,2 m 3 a cm3
j.
c. 0,018 hm 3 a m 3 d. 4km 3 am 3
k. 26,1 cm 3 a mm 3 l. 492 m 3 amm 3
e. 59 mm 3 a dm 3 f. 6,97 hm 3 a km 3
m. 32,5 m 3 a km 3 n. 0,2 dam 3 a km 3
g. 384 cm 3 a m 3 h. 10 cm 3 ahm 3
o. 975 dm 3 a dam 3 p. 43,8 dam 3 a hm3
0,75 m 3 a dam 3 0,0005 dam 3 a dm3
i.
Calcula el volumen de los siguientes poliedros. a.
/:=3 cm-
2 cm
¡
e.
b. ,
,
,'
~25
' ''
/-·- - -r
c.
f---r';-,_1_-{_-
cm-
-~-" - - - / /25cm
__ _
:::.-=.~2~5~cm
j b.
l !I Soluciona problemas) e
1
Una represa almacena 8 km 3, 15 hm 3, 9 dam 3 y 95 m 3 de agua, para la producción de energía eléctrica. Si en época de lluvias el nivel aumenta en un 20%, ¿cuántos dam 3 de agua almacena la represa después de las lluvias?
(lt Se están llenando dos tanques de agua uno de 3 m X 2 m X 1,5 m y otro de 2,5 m X 2 m X 2 m, cada uno con una llave cuya razón de salida es de 300 dm 3 por minuto y 340 dm 3 por minuto, respectivamente.
f.
,,-----------
a. ¿Cuánto tiempo emplea cada llave en llenar el tanque que le corresponde? b. ¿Cuál tanque se llena primero?
g.
c.
f) Una
puerta de madera de 75 cm X 3 cm X 180 cm tiene un espacio para un vitral en forma de hexágono de 50 cm de lado.
>--16 dm---<
d.
>--15 dm__,
''' '' , ~----- ----,,
h.
80mm 40mm 12ümm
/
a. ¿Cuál es el volumen de la puerta? b. ¿Cuál es el volumen del vitral si su espesor es de 5mm?
© Santillan a 1
2 21
Longitud
Perímetro
O Convertir:
O Pedro tiene en la finca un corral para sus ovejas, que desea cercar con tres vueltas de alambre. Si cada chipa de alambre tiene 12 m de longitud, ¿cuántas chipas de alambre debe comprar?
a. 5 m a cm c. 65,8 mm a m e, 0,47 damam b. 1,3 dama m d. 120 m a dm f. 5,6 km a cm
e
~
Los diámetros ecuatoriales de cada uno de los planetas que conforman el sistema solar están expresados en la siguiente tabla. Planeta
Diámetro ecuatorial
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno '-- Plutón
4.787.000 m 12.104 km 1.275.000 dam 67.940 hm 142.800 km 12.000.000 dam 520.000 hm 48.000 km 2.302.000 m
1
O,OS hm
r1
1
¡' 1
¡,
1:·
Nicolás va a colocar una cenefa en la cocina de su casa. Si necesita 9,6 yd y tiene las siguientes opciones:
e
De las siguientes figuras determina cuáles tienen la misma área, con respecto a la unidad cuadrada (u2) .
Spul
c.
a.
------
1/ "
/
1"/
- -!
/
......
b.
d.
•
Unidades métricas de área
e
Observa la tabla que muestra las áreas de las superficies de los océanos. 1
4 pul
~~
Área
Otras unidades de longitud
e
~ lf~
lb7000mm~
¡\'
'
~
Q
7.000m
a. ¿Cuál es el planeta con mayor diámetro? b. ¿Cuál es el orden de los planetas de mayor a menor diámetro? c. ¿Cuántos km más tiene de diámetro Júpiter con respecto a la Tierra? d. ¿Cuántos km menos tiene de diámetro Plutón con respecto a Marte?
I'
60dm
Océano
Ártico Antártico Atlántico fnd ico , Pacífico
Área 2 9 km 500 hm 2 1.000.000 m2 290.000 dam 2 2.000.000 m 2 550.000 dam 2 2.500.000.000 dm2 6.000 hm 2 100.000 dam 2 10.000 hm 2 65.000.000 m 2
,,
''
6 pul
7 pul
a. ¿Cuál cenefa le genera menor desperdicio de material? b. Con esa cenefa, ¿cuántas piezas necesitaría y cuántos metros de material le sobrarían?
1 ; ;
,J
CCC 1 © Santillana
Responde: a. ¿Cuál es el océano de mayor área? b. ¿Cuál es el orden de los océanos de mayor a menor área? c. ¿Cuántos dam 2 de más tiene de área el océano Atlántico con respecto al Ártico? d. ¿Cuántos m 2 menos tiene de área el océano Índico con respecto al Pacífico?
)>\
~
~;,\/ a. ¿Cuál es el equipo que tiene la mayor área del parque a su cuidado? b. ¿Cuál equipo tiene a cargo la menor extensión? c. Si por cada hm 2 que se mantiene y cuida a la semana se reciben $ 750.000, ¿cuánto recibe semanalmente cada equipo?
Unidades agrarias
Q Un complejo vacacional tiene una extensión de 2,4 ha repartidas en una cuarta parte para hoteles, alojamientos y zona de camping, dos terceras partes para zonas deportivas, parques, piscinas y esparcimiento y una doceava parte para zona de comidas. a. ¿Cuántos m 2 tiene cada zona en la que está dividido el complejo? b. ¿Cuántas centiáreas más tiene de extensión la zona de diversión que la zona de alojamientos? c. ¿Cuántos dam 2 de diferencia hay entre la extensión de la zona de hoteles y alojamientos y la de comidas?
Área de polígonos r~g ulares C!) En Washington, un edificio de gobierno
tiene forma de pentágono regular de aproximadamente 300 m de lado y 206,5 m de apotema.
1 . 1
Área de cuadriláteros E) La figura muestra un puente peatonal construido sobre una avenida. Si la zona sombreada debe pintarse de blanco, y la pintura tiene un cubrimiento de 100 m 2 por galón, ¿cuántos galones se necesitan para darle tres capas de pintura?
a. ¿Cuántos km recorre un turista que le da una vuelta completa? b. Si en el interior tiene unos jardines también en forma de pentágono, cuyas medidas corresponden a la tercera parte de las medidas de todo el terreno, ¿qué área en hm 2 ocupan las edificaciones?
..'
Área de un círculo (D Determina el área de la región: sombreada. a.
Área del triángulo f) En un parque natural se han definido tres zonas: la zona A, animales salvajes; la B, aves, y la C, animales acuáticos y reptiles. Para su mantenimiento y cuidado se han contratado tres equipos de personas.
e
18 dam
l---10 cm---1
Volumen y metro cúbico
e
Debido a un daño en el tubo que lleva el agua a un edificio de apartamentos, el servicio será suspen dido por tres días. Si se cuenta con tres tanques de almacenamiento de agua, cada uno tiene como medidas 0,3 dam X 25 dm X 200 cm y el consumo diario promedio de agua del edificio es de 14.500.000 cm 3: a. ¿Alcanza el agua almacenada para los tres días? b. ¿Cuántos dm 3 de agua sobran o faltan al cabo de los tres días? © Santillana
1
223
1
t=- r·
·=· Ir· T1---·=··-·1·-··=·· ..
1 .-. l
r
-.
1 l
'
.: \ ¡
{~~ \~/é'
Es la medida de la su-p.....e..... rfi..;..c..-i'e-q.....u....e-o.....c.....u-...p.....a....;;...,';, ,:
~;~
Es la medida del espacio que ocupa un cuerpo. Su un idad básica de medida es el metro cúbico.
' ''.
una figura. Su unidad básica de medida es el metro cuadrado. Sus múltiplos son: km 2, hm 2, dam 2. Sus submúltiplos son: dm 2, cm 2 y mm 2.
·-' '-,·
'
--;
\ ~ \ ..
' ..... \ - -'·
\. -' ,.
: :_', \
--. i-
.-
... './
' !-
i
;•._ <.-·'
'1
--:- .
·~ ~
\ '.
1\Y / .,~ . '.
~,~y
, :,0."
El perímetro de un pol ígono es la su ma de las medidas de sus lados. El perímetro de una circunferencia se calcu la med iante la exp resión C = 2m , donde Ces el perímetro y res el rad io.
>. _1 \
1
La unidad básica de med ida de la longitud es el metro (m). Sus múltiplos son : km, cm y mm. Sus submúltiplos son: dm, cm y mm. Otras unidades de medidas de longitud son: Pulgada: 2,54 cm Pie: 30,48 cm Yarda: 91,44 cm Milla: 1.609,347 m Milla náutica: 1.852 m , '·. ,·',!
-........ : ·/¡ .:·~_:: ' .
. - '
.. , . .. ,.... '
,..
: ' ..
··. ' -
_..
.
\
:_-:
.\ ~ .
,:-·
/
., ......_..
.::<. ' . (
Figura
.1/ ...
.·
'/¡'
;
.,
--~
.~:.
-b-
. -'J,,..-\
A=~
: ,.,,.
I
'\ .
Expresión
Triángulo ·>-..'·
1
·. < ~ 1,
'< .
. I • • . . ··.' ... ·•
.
'\··
·' ';·
b: base h: altura
2
Fórmula de Herón
·:.-' l~ ~,
A= ,Js(s - a)(s - b)(s - e) s: semiperímetro
P§ o Cuerpo
Rectángulo y romboide
Expresión
~-~
a: ancho h:altura
Rombo y trapezoide simétrico
Prisma
[Ll
V= Ab • h Ab:área de la base
~b-
V= _J_ A, · h 3
11 \
Ab:área de la base h: alt ura
Círculo
Q
G
r: rad io
Tetraedro regu lar
Polígono regular
1'
l;
.,
2 2 4 j © Santillana
+ b)
Í.~ ,'
X h
f •f
2 8: base mayor b: base menor h: altura
A= 7fr2 r: radio
A= P X a 2
/: lado
P: Perímetro
'
a: apotema
.--···:·
"
A= (8
V = /3 .Jf 3 ''
•r
~--8---
Esfera
,-_!
A= O X d 2 O: diagonal mayor d: diagonal menor
h: altura Trapecio
11
A=bxn b: base h: altura
¡¡¡
V= I· a · h !: largo
.· 11
-.... . \ ' _:./
'•
'·'
·-·-
/:'
/
--
__ -,1
· ..
'. - .-· 1 ~ /.
. ·.:·. > : / ·. '.
-- ;'.
1__
.,,·-<.,·
... ,
.
__..
·
1 1
Las medidas . . en una p1sc1na olímpica Aunque la natación ha sido una actividad de relajamiento y diversión, actualmente es considerada como un deporte de alto nivel competitivo. Para fomentar este deporte profesionalmente se crearon las piscinas olímpicas y semiolímpicas.
1
· 1
La piscina olímpica se originó en Gran Bretaña a finales del siglo XVIII y fue la National Swimming Society, fundada en Londres en 1837, la primera en organizar competencias en ella. Las piscinas olímpicas pueden ser cubiertas o al aire libre y deben tener las siguientes dimensiones: 50 m de largo, 25 m de ancho y 2 m, como mínimo, de profundidad.
' '·
Las partes de una piscina olímpica son:
• El poyete: es el soporte donde se apoya el nadador. Tiene una altura entre 0,50 m y 0,75 m por encima de la superficie del agua y está construido con material antideslizante. • El carril: es la franja de la piscina por donde puede nadar cada competidor. Tiene 2,5 m de ancho. • Las bandas: son los elementos que separan cada carril. Cada una tiene 0,48 m de largo y 0,3 m de ancho. • La cuerda de salida falsa: es aquella que bordea a la piscina y sirve como medida de seguridad. Se encuentra a 15 m de la salida y posee una altura de 1,20 m. • Los banderines: son señales que se ubican al extremo de cada punta de la piscina a una altura de 1,80 m y se utilizan para indicar los virajes de espalda.
era información
¿Para qué se crearon las piscinas olímpicas?
aO e
e
Plantea y actúa
1
, 1,
i
Determina cuántos metros cuadrados de plástico se requieren para elaborar la cubierta para una piscina olímpica. Calcula el perímetro de una piscina olímpica.
(¡) Calcula el volumen mínimo que debe albergar una Representación gráfica de una piscina olímpica e indica sus dimensiones y las de sus partes.
piscina olímpica.
os'"'"''"' 1 i' i' 5
j
i
1 '
, ·,
1
1; 1 ,¡
1' 1
1
1 ,~ r ._ ¡ 1
,.
'·I
1 '
,,·¡, 1 '•
¡,¡ \ l
~·
\¡,
' ¡;
Estadística y probabilidad Temas de la unidad Estadística Probabilidad
a. Al elegir aleatoriamente un número menor o igual que 100, ¿es más probable obtener un número primo o un múltiplo de S? b. Observa las cartas, luego escribe si la proposición es falsa o verdadera.
• Es imposible elegir una J de corazones. • Es seguro elegir una carta de corazones. Es imposible elegir un as de tréboles. c. Si en una bolsa se tienen dos balotas verdes, dos balotas blancas y dos balotas azules, ¿cuántas
balotas se deben extraer de la bolsa para estar seguro de sacar: • Una balota verde? • Dos balotas azules?
El matemático y el emperador El azar, o quizás la Providencia, fue quien en 1785 puso ante Pierre Simon Laplace, siendo profesor en la Escuela Militar de París, a un joven de 16 años que destacaba en matemáticas y que, en el futuro, se convertiría en el hombre más poderoso de Europa, Napoleón Bona parte. Ahora las tornas habían cambiado, era Laplace quien presentaba un trabajo sobre mecánica celeste al emperador de Francia.
Diez años después de este suceso Laplace publicó la obra Teoría analítica de las probabilidades, que él lla" maba La geometría del azar. Al recibir el libro, La place se paró a pensa r precisamente en el azar, esa cua lidad que tienen los experimentos de no ser predeterminados, y cómo él los había atado a leyes matemáticas. Tomado de Matemáticas l ESO, España, Editorial Santillana, 2008.
-Monsieur La place, ha escrito este libro sobre las leyes del universo sin haber mencionado ni una sola vez a su creador. -Si re, es que no he necesitado esa hipótesis -repuso __.-/' el matemático. ·· La respuesta hizo que el emperador mostrase una de sus escasas sonrisas y, después, continuó con la audiencia.
Da un ejemplo de experimento en el que no se pueda predecir el resultado yen otro en que sí. Explica la importancia de predecir eventos.
Estad'stica
! •
Conceptos fundamentales
!
!
La estadística es la ciencia que se encarga de diseñar, recolectar y analizar información para encontrar las principales características de un grupo de individuos a partir de una o más variables.
·1
En un estudio de estadística, en algún contexto determinado, es necesario definir al. gunos conceptos fundamentales para garantizar que los resultados sean interpretados y validados correctamente. Heródoto 485 a.C.-425 a.c. Historiador y geógrafo griego. Es
,· I·
considerado el primer historiador, por narrar en varios libros acontecimientos del mundo antiguo. Descubrió que hacia el año de 3050 aC., se realizó un registro para saber lacantidad de población yde gananciasen Egipto, este es el primer censo del que se tenga conocimiento.
En cualquier estudio que se quiera realizar se debe tener claro a qué personas o indi.viduos se dirige y qué característica o características se quieren explorar. • La población es el grupo de individuos sobre los cuales se va a realizar el estudio. La población debe estar bien definida y cada uno de sus individuos debe cumplir con los requisitos para estar en la población. En la mayoría de casos la población es muy grande y obtener los datos de todos los elementos de la población resulta un trabajo largo, costoso e innecesario. Por esta razón es conveniente tomar un grupo más pequeño de la población sobre el cual se realizará el estudio. Una muestra de la población es un grupo de individuos sobre los cuales se toma la información para analizarla. Al realizar un estudio de una población usando elementos estadísticos, es necesa~ río determinar qué tipo de información se va a recolectar. Para tal fin, se elabora una serie de preguntas que responden a los objetivos del estudio y que permiten obtener los datos de la muestra. Una variable estadística es una pregunta concebida para estudiar una característica en la población. La pregunta sé debe formular de tal forma qµe las respuestas correspondan a una escala numérica o se puedan contar. Las variables estadísticas se clasifican en: cualitativas si lo que se quiere medir en cada individuo de la muestra es una cualidad, un gusto, una preferencia o una opinión; y cuantitativas si la información que se obtiene es numérica y se puede asociar a una escala.
'f
:-:Ejemplo
,.
"
Determin~r ia población .yla muestra en este caso. Luego, identificar las variables y clasificarlas en cuantitativas o cualitativas.
La muestra corresponde a las 30 familias encuestadas, ya que, de allí se obtendrán los datos para analizarlos.
El administrador del conjunto residencial quiere saber si la implementación de bicicleteros en cada unidad residencial ha tenido un impacto positivo. Para ello decide preguntar a 30 familias si han usado el bicicletero y cuántas bicicletas tienen.
Como el administrador formula dos preguntas, enton ces, las variables correspondientes son:
Como el se1vicio de bicicletero es para todas las personas del conjunto residencial, entonces, esta es la población.
La primera corresponde a una variable cualitativa y la segunda corresponde a.una variabl'e cuantitativa.
1
1.
2 2 ~. 1 © Santillana
Si ha usado o no el servicio del bicicletero. • . El número de bicicletas.
Estándar: pensamiento aleatorio
Caracterización de una variable cualitativa Cuando se ha obtenido la información de la muestra en cada una delas variables, es necesario organizar los datos y procesarlos para obtener conclusiones que permitan identificar las características de la población. A este proceso se le denomina caracterización. Para caracterizar una variable de cualidad se tienen en cuenta.tres aspectos fundamentales: las tablas de frecuencias, la representación gráfica y la moda.
Tablas de frecuencias Una tabla de frecuencias es un resumen de los datos en la cual se agrupan las respuestas a la variable teniendo en cuenta las respuestas. Por ejemplo, el director de la emisora del colegio preguntó a 20 estudiantes del grado séptimo acerca del tipo de servicio de televisión que tienen en su casa. Las respuestas que se obtuvieron son: · N
.e
I·
~
1
e s
e e
s N
e s
s e
e s
s N
s e
Donde, N: nacional, C: ca bl e y S: sate lita l.
En la tabla de frecuencias que se muestra al lado se observa que: La frecuencia, f, corresponde a la cantidad de datos que hay en cada uno de los rangos de respuesta a la pregunta.
Tipo de televisión
f
fr
%
Nacional
4
0,2
20
La frecuencia relativa,fr, corresponde al cociente de la frecuencia absoluta de cada dato entre la cantidad total de datos.
Cable
9
0,45
45
Suscripción
7
0,35
35
La última columna de la tabla corresponde al porcentaje de respuesta de la muestra en cada uno de los rangos.
"Total
20
1
100
Representación gráfica
Diagrama circular para tipo de televisión
Una vez se ha elaborado la tabla de frecuencias es necesario utilizar diferentes representaciones que permitan visualiiar la tendencia de las respuestas a la pregunta. Las principales representaciones gráficas de una variable cualitativa son: el diagrama circular y el diagrama de barras. Pa:ra el caso del ejemplo anterior, las representÍ ciones gráficas correspondientes se pueden observar en la figura 1 y la figura 2. 1
Para elaborar el diagrama circular, se divide 360º en partes proporcionales a los valores de las frecuencias dadas. En e~te caso es: Para Nacional, cuya frecuencia es 4, se tiene: 20 = 360º , por tanto, x = 72º. 4 . X 20 360 Para Cable, cuya frecuencia es 9, se tiene: = º , por ta~to, x = 162º. 9 X Para Suscripción, cuya frecuencia es 7, se tiene: 2 = 360º , por tanto, x = 126º. . 7 X
º
Para representar datos en un diagrama de barras, se ubican los datos de la variable en el eje horizontal y las frecuencias o los porcentajes en el eje vertical como en este . caso. De las gráficas se puede concluir que la mayoría de los estudiantes, el 45%, tiene afiliación a televisión por cable, mientras que un bajo porcentaje, el 20%, tiene televisión nacional.
Cable
Figura 1 Diagrama de barras para tipo de televisión
so 40 - - --< 30 -~-~ 20% 20 - - -,-;
O Nacional
Cable Suscripción
Figura 2 © Sa ntillana
1
~ 29 1
La moda j
La moda es una medida de tendencia central que se puede calcular e interpretar cuando se caracteriza una variable cualitativa.
¡
La moda corres ponde al rango de respuesta con mayor frecuencia. En un conju nto de datos se puede determinar una moda, dos modas, varias modas o ning una.
La moda se interpreta como la respuesta esperada para un nuevo individuo de lapoblación. Para el caso del ejemplo anterior, la moda corresponde a televisión por cable.
Q 1nterpreta: 1 1~ Ejercita: 2 1 ~ Razona: 3-41
O En cada una de las siguientes situaciones determina la población, la muestra y las variables relacionadas al estudio. a. Mario quiere indagar acerca de la cantidad de tiempo que debe estudiar un alumno del colegio en casa. Para ello pregunta a 1Ocompañeros del curso cuánto tiempo dedica cada uno a estudiar en su casa. b. El dueño de la papelería del barrio quiere saber si es lucrativo implementar el servicio de fotocopiadora. Para ello preguntó a 57 clientes que ingresaron a la papelería si usarían el servicio y cuántas copias sacarían en una semana.
e
La secretaria del gerente del Banco Central de la ciudad toma una muestra de 42 hipotecas de crédito al que pertenecen: F: de tasa fija V: de tasa variable B: con beneficios del gobierno Los resultados que obtiene son: F
V
F
B
B
V
F
V
B
B
F
V
V
B
V
B
B
F
V
B
F
B
B
F
V
F
V
B
F
V
F
V
F
B
F
B
B
F
F
B
V
V
a. Construye una tabla de frecuencias de los datos recolectados. b. Representa gráficamente el conjunto de datos, en diagrama circular y diagrama de barras. c. Encuentra la moda. d. Si la secretaria debe elaborar un informe para el geren.te, ¿qué conclusiones debe incluir?
2 3 O j © Sa nt ill ana
·
e
1
El director de una programadora de televisión nacional realizó una convocatoria de nuevos actores para la última temporada de una serie. Para cada actor tomó la información del género: hombre o mujer, y de la contextura física: delgado, normal u obeso. Los resultados de los actores que se presentaron el primer día son:
Actor
G
1 2 3 4 5 6 7 8
H
D
H
o
Con t. Actor .. G
H
N
M
N
H
o
M
D D D
H H
9 10 11 12 13 14 .
M H
M H H
M M M
15 16
Cont. Actor G. Cont.
D D D
o o N
o N
17 18 19 20 21 22 23 24
M M
o
H
D
H
M
D D
H
o
M
B
H
o
I
N
a. Caracteriza las variables género y contextura física. b. Caracteriza la variable conte:íctura para los hombres y para mujeres. c. Elabora al menos dos conclusiones.
O En el periódico escolar apareció la siguiente información en uno de sus artículos. Causas de muerte de jóvenes de la ciudad Enfermedad L
28%
Violenta
¿Es posible afirmar que más del doble de jóvenes mueren por causas violentas? Justifica tu respuesta.
--r-.,... . . . ___. . .,______. . ,.____________""""____...,. . .._.____""""____""""'..............""""..................__..................""""', _____. . . r--,,,.\
·
~~
_¡_
.
Estándar: pensamiento aleatorio i-~
(~~~
Caracterización de dos variables cualitativas En la mayoría de estudios estadísticos se relaciona más de una variable cualitativa. Por esta razón se hace necesario determinar algunos criterios que permiten relacionar dos variables cualitativas, para ello se tienen en cuenta dos herramientas de análisis: tablas de doble entrada o tablas de contingencia y representaciones gráficas.
Tablas de contingencia Una tabla de contingencia o tabla de doble entrada está conformada por filas y columnas. Las filas están formadas por los rangos de respuesta de una variable y las columnas, por los rangos de respuesta de la otra variable. En cada una de las casillas formadas se ubica la cantidad de datos que tienen ambas características simultáneamente. Por ejemplo, el presidente del comité estudiantil de un colegio de la ciudad ha conformado un equipo de trabajo con varios miembros de diferentes grados. La siguiente lista relaciona el género del estudiante: masculino M o femenino F, con la sección escolar a la cual pertenece: preescolar, primaria o bachillerato.
1Est.
G. , s M M
2 3 4 5 6 7 8 9
F
M F
M F F
M F
10
1~IE_st_. _
E p E B p B p
B B E
G __ s ~I ~IE_st_. _G~;;_._s~I
M
p p B p
15
F
B
16 17 18 19
M
p B
11 12 13 14
20
F F
M
F
M
B B p
F F
21 22 23 24 25
F F M M F
B p B E
26
M
27 28
F F
B p
29 .
M
30
F
B B p E
En este ejemplo, se tienen dos variables cualitativas: el género y la sección escolar a la cual pertenece cada estudiante. La tabla de frecuencias está formada en las filas por los rangos de una de las dos variables. Para este caso se utiliza la variable género. Por tanto, en las columnas se ubican los rangos de respuesta de la variable sección a la que pertenece. En cada una de las casillas se ubica el número de estudiantes que tienen ambas características simultáneamente. La tabla de frecuencias final es: 1
Preescolar (E)
Primaria (P)
Bachillerato (B)
Total
Masculino (M)
2
4
7
13
Femenino (F)
3
7
7
17
Jota!
5
11
14
30 °
.·
A partir de la tabla anterior se tiene que: 2 estudiantes de la sección de preescolar son de género masculino; 3 estudiantes de la sección de preescolar son de género femenino. Por otra parte, se tienen también las tablas de frecuencias de cada una de las variables. Por ejemplo, se puede ver que hay 13 estudiantes de género masculino y 17 estudiantes de género femenino. © Santillana 1
2 31
Tabla de contingencia de frecuencias relativas Una tabla de doble entrada o de contingencia también puede representar las frecuencias relativas o porcentajes. Para el caso de la tabla de frecuencias relativas basta con dividir cada frecuencia entre el total de los datos. La tabla de frecuencias relativas para el ejemplo de género y sección escolar correspondiente es: 1
Preescolar (E)
Primaria (P)
Bachillerato (B)
Total
0,07
0,13
0,23
0,43
0,10
0,23
0,23
0,57
0,17
0,36
0,46
1,00
Masculino (M) Femenino.(F) (íotal
La tabla correspondiente a los porcentajes se obtiene de multiplicar cada frecuencia relativa por cien. Para el caso del ejemplo, la tabla correspondiente es: Preescolar (E)
Primaria (P)
Bachillerato (B)
Total
Masculino (M)
6,67%
13,33%
23,33%
43,33%
Femenino (F)
10%
23,33%
23,33%
56,67%
16,67%
36,66%
46,66%
100%
;rotal
En la tabla se puede ver que: solamente el 6,67% de la población es masculina y pertenece a la sección de preescolar, mientras que el 23,33% de los estudiantes encuestados es de género masculino de la sección de bachillerato, al igual que la población femenina de la misma sección. De igual forma, el 43,33% de los estudiantes son varones y el 56,67% son niñas. En cuanto a las secciones se tiene que: el 16,67% de los estudiantes pertenecen a la sección preescolar, el 36,66% a la sección de primaria y el 46,66% a la sección de bachillerato. Una tabla cruzada o de contingencia debe contener el cruce de los rangos de respuesta de las dos variables. Sin embargo, no se recomienda construir una tabla cuando existen demasiados rangos en cada variable.
Representación gráfica La representación gráfica puede ser elaborada con diversos propósitos. Uno de ellos es comparar los rangos de respuesta de una variable con respecto a la otra o viceversa. Para el caso del ejemplo, se tiene la gráfic!;l de la figura 3: M mi F D Total IJ 100 - - -- - - 901- - - - - - - - - --1 80 - - - - - - - - · 70
- - ----- - -
60
50 - - - - - - ----
M mi F D Total I] 200 ---·--------------- - 150 - ·------------. 100 -------- - - - - - -
40 - - - - -- -- -
30 - - - 201- - = -I 1 10 -0 E p
Figura3
50
o'--""""''--""'"-...L..J......- ' B
E
P B Figura 4
Total
En este caso, la gráfica compara las secciones escolares a las cuales pertenecen los estudiantes con respecto a su género. De la misma manera se puede obtener la gráfica de la figura 4, en la cual se comparan las variables sección escolar y género, con respecto al total de estudiantes por sección escolar.
C3 2
1
© Santillana
~ Ejercita: 1-2 ~Razona: 3 I
e
Carlos, en su función de monitor de matemáticas del grado séptimo, debe hacer un informe para su profesor en el cual incluya las notas alcanzadas por los estudiantes del curso junto con el género de cada uno. Para ello, Carlos tomó la siguiente información de sus 30 compañeros: 1
Los resultados fueron los siguientes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 \ 25
2 3 1 2 3
o 3 2 1 3
o 2 3 1
o 3 2 1 4
o
4 3 1 2
o
s s s N
s
N N
s s
N
s
N
s s
N N
s
N
s s s
N
s s
N
26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
3 3 3 2 2 1 1 2 3 2 1 3 3 2 4 2 3 4 2 1 2 3 2
2 2
N
s
N
s s
N
s s s
s
N
s
N N
s s
N N
s
a. Elabora una tabla de doble entrada para esta situación. b. Construye la correspondiente tabla de doble entrada de porcentajes. Escribe tus conclusiones. c. Elabora una representación gráfica de esta situación. d. Responde: Si la Junta Administradora Local quiere mostrar que la mayoría de familias cuentan con los servicios, ¿qué valor debe usar y por qué? ¿Se puede afirmar que la mayoría de las familias de estrato uno no tiene los servicios públicos completos?
E E B E B A
Est.
F M
F M
F F F
A B E A
F F M M
1
A B
F
F M M
1
22
A A
23
1
1
M M M
1
E B E
24 25 26 27 28 29 30
M
1
Nota ~~ G
16 17 18 19 20 21
M M
1
H
F M
F F
1
A E B
M
1
M
F F F
1
A
La nota reportada para cada estudiante puede ser E: excelente, B: bueno, A: aceptable e J: insuficiente. El género de cada estudiante puede ser M: mascu lino o F: femenino.
N N
Donde E: estrato y puede ser: 1, 2, 3 y 4; la variable S: servicios públicos completos y la variable N: servicios públicos incompletos.
Est. , Nota 1 G
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 \ 15
s s s s
1
e
a. Elabora una tabla cruzada para esta informa ción. b. Determina si se puede afirmar que la mayoría de estudiantes que perdieron la asignatura son mujeres. c. Construye una gráfica que represente la información anterior. La siguiente gráfica apareció en la sección de Datos curiosos, en el periódico de un colegio: M llEJ
F O
Total mi]
Total )111•.....--.!--...--~ Negros Oscuras ~~__j__~ Claros 50
100
ISO
2ÓO
250
La gráfica muestra la relación porcentual entre el género de 50 estudiantes y su color de ojos. a. Construye la tabla de contingencia correspondiente a esta situación. b. ¿Se puede afirmar que la mayoría de estudiantes son hombres y su color de ojos es negro?
•,':':==::::::::::,,.::::::;;::,-z::;,."':;;;:;;=::::::=::::::::~"© Santillana
l 233
Caracterización de una variable cuantitativa La caracterización de variables cuantitativas se debe realizar aplicando dos criterios: para datos agrupados y para datos no agrupados. ·
Datos agrupados El criterio de agrupación de datos corresponde a un análisis semejante al elaborado para variables cualitativas. Consiste en elaborar una tabla de frecuencias y construir . algunas gráficas que representen el comportamiento de la variable. Para agrupar datos se utilizan fundamentalmente: el diagrama de tallo y hojas, las tablas de frecuencias, los histogramas y los polígonos de frecuencias.
Diagrama de tallo y hojas Un diagrama de tallo y hojas es una representación gráfi c¡:¡ de los datos que se cl asifican de acuerdo con la expresión decimal de cada uno de ellos. ~
Á
El diagrama consta de dos' columnas: una el tallo y la otra las hojas. Para la cons. trucción de este tipo de diagrama se ordenan los datos y luego se divide cada dato · en tallo y hoja. En la mayoría de los casos, la hoja corresponde a la última cifra del dato y el.tallo, a las demás cifras. · Por ejemplo, la oficina de la Secretaría de Tránsito de una ciudad ha recibido la can. tidad de comparendos diarios por pico y placa impuestos durante el último mes. La lista correspondiente es:
Tallo
Hoja
29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
8 1 9
o3 o4 o4
4 8 6 88 8 3 4 6 8 8 9 6 1 3567 005 Figura 5
C3 4
j © Sa nt ill ana
400
340
348
338
376
344
366
363
358
396
350
298
311
368
369
393
346
354
333
329
395
334
381
330
364
400
405
368
397
348
Para el caso de 395, la hoja corresponde al valor 5 y el tallo al valor 39; de igual forma para el dato de 400, la hoja corresponde a Oy el tallo al valor 40. Tallo Hoja 39 40
5
o
• Se ordenan los datos, puede ser de menor a mayor, así: 298,311,329,330,333,334,338,340,344,346,348, 348,350, 354,358,363,364, 366,368,368,369,3 7 6,381,39~395,396,397,400,400,405 ,
• Al considerar todos los datos, el diagrama de tallo y hojas correspondiente al número de compare'ndos por día se puede observar en la figura 5. En el diagrama se puede ver que, en la mayoría de días, se impusieron entre 363 y 369 comparendos, seguidos por entre 340 y 348 comparendos.
~~,,_,
" " . . .,. . . ,. . .E,mst•a•,n•.d•a•r•:p•e•n•s•a•m•ie·n~t-o-a~lecamto=r=io . . i.-A•~~
_____________,......""""'""""'..........__..,,.....,......,..........,,..,.,,..,.......,....,..,,... ._.....,.....
......
Tablas de frecuencia Las tablas de frecuencia, para el caso de las variables cuantitativas, no son únicas y dependen de los grupos que se conformen. Para un grupo de datos se pueden construir varias tablas distintas. En la mayoría de los casos, la persona encargada de analízar los datos determina el número de grupos que desea conformar. El único criterio es el de garantizar que los datos queden bien resumidos cuidando de no construir pocos intervalos con frecuencias muy altas o, al contrario, muchos intervalos con frecuencias muy pequeñas. ' Los pasos que se siguen para construir una tabla de frecuencias de un conjunto de datos son: Primero, se determina el número de grupos que se debe construir. Para este fin se recurre a algunas aproximaciones cuando no se tiene conocimiento previo de las variables y no se tiene un criterio adicional para determinarlo. Una de las aproximaciones más usadas y generalmente más confiable es: Número de intervalos = J;; Donde n es la cantidad de dato_s. Generalmente se recomienda que la aproxima ción se haga al entero menor del resultado de la raíz. Para el caso número de comparendos por día, el número de intervalos que se debe construir es: Número de intervalos = J;; = J30 = 5,477 =::::=: 5 Segundo, se determina el tamaño de cada intervalo. Para hallar este valor se utiliza la siguiente fórmula: Dato mayor - Dato menor Tamaño de cada intervalo = - - - - - ' - - - - - - - Número de intervalos Para el ejemplo, el tamaño de cada uno de los cinco intervalós es: Tamaño de cada intervalo =
Lambert Adolphe Jacques Quételet 1796-1874 Matemático y astrónomo belga. Estuvo a cargo de la construcción del observatorio real de Bruselas, del que luego fue su director. Fue el primero en aplicar la estadística al comportamiento de los seres humanos, por eso es considerado el padre de la ciencia social cuantitativa moderna.
Dato mayor - Dato menor 405 - 298 . · = = 21 4 Número de intervalos 5 '
En este caso se recomienda aproximar el tamaño del intervalo a la cantidad de decimales que tienen los datos. Para este caso, la cantidad de comparendos por día es una cantidad entera es decir, no se tienen decimales, entonces, la aproximación correspondiente es 21. ·Tercero, se construyen los intervalos. El primer intervalo se construye desde el dato menor hasta el dato menor más el tamaño del intervalo. Es decir, el primer intervalo va desde 298, que es el dato menor, hasta 298 ·+ 21 = 319, así el intervalo es 298-319. Para el segundo intervalo se cons~dera como límite inferior una unidad más del límite superior del primer intervalo. El límite superior se obtiene sumando al límite inferior el tamaño del intervalo y, así sucesivamente, hasta llegar al último intervalo que contiene el dato mayor. Es decir, el segundo intervalo va desde 319 + 1 = 320 hasta 320 + 21 = 341. Por tanto, los cinco intervalos son: 298-319, 320-341, 342-363, 364-385, 386-407 En algunos casos el último dato no está incluido en el último intervalo, por lo tanto es necesario construir un intervalo más o aumentar el tamaño del último intervalo. Para este caso, se usará la primera opción ya que bastará con los intervalos creados .. Una vez determinados los intervalos es necesario contar el número de datos que hay en cada intervalo. Para ello se puede hacer uso del diagrama de tallo y hojas o simplemente d~l conteo. ©$a ntillana
l 2 3 5 .. ·
Tabla de frecuencias Para el ejemplo que venimos analizando la tabla de frecuencias correspondiente es: 1
Intervalos
f
fr
F
Fr
298- 319
2
0,067
2
0,067
320- 341
6
0,2
8
0,267
342 - 363
8
0,267
16
0,533
364- 385
7
0,233
23
0,767
386-407
7
0,233
30
1
Total
30
1
\__
Donde:
• fes la frecuencia del intervalo y corresponde al número de datos que están en este rango. • fr es la frecuencia relativa o proporción y corresponde a la frecuencia comparada con el total. • Fes la frecuencia acumulada y corresponde a la sumatoria de las frecuencias de los intervalos anteriores 'incluyendo su frecuencia. Es por esto que el valor de F en el tercer intervalo corresponde a la suma de 2 + 6 + 8 = 16. • Fr es la frecuencia acumulada relativa y corresponde a la frecuencia acumulada comparada con el total. En la tabla se puede ver que el 23,3% de los días fueron impuestos entre 364 y 385 comparendos, mientras que el 6,7% de los días se impusieron entre 298 y 319 comparendos. Según la columna de frecuencias acumuladas se puede decir que el 76,7% de los días se impusieron 385 o menos comparendos.
Histogramas Un histograma corresponde al diagrama de barras de la tabla de frecuencia. En este diagrama, las barras deben construirse pegadas ya que se trata de variables cuantitativas.
¡,
En el ejemplo, los histogramas correspondientes a la frecuencia y la frecuencia acumulada son: · Histograma de frecuencias para el número de comparendos 8 - - - - - ------------
¡,
?
------~-----------i
6
-------~--1
Histograma de frecuencias acumuladas para el número de comparendos 30
----~------------
20 ------------------------------
5 4
3 ----2
· Comparendos
Comparendos
En el histograma de frecuencias se puede ver que las frecuencias entre los intervalos dos, tres, cuatro y cinco son parecidas y que las de los intervalos tres y cinco son iguales.
C3 6
j © Santillana
r·~-
~--.........................._..,...."""""""""""'"""""--"'""'""""..... """"ª"'""""""""""""""""'"""'"""""..............._.........................................- -.......- -.......................,,.....--'-.1
Estándar: pensamiento aleatorio
Polígono de frecuencias El polígono de frecuencias corresponde al diagrama de líneas elaborado con los puntos medios de cada intervalo. En el ejemplo anterirn:, los polígonos de frecuencias y de frecuencias acumuladas son: y
.
10 9 8 7 6 4 3 2 1
y /
--- ---
35 30 25
.:::::::,,,.
~
20
/
15 10
/
V
5
V
/
~ ~
4
5
X
~ Ejercita: 1-2-31
Para pertenecer al grupo de rock de la ciudad se convocó a 40 cantantes. Sus edades son:
17 15 34
22
24
22
23 22
34 32 33 42
17 36 28 35
26 21 25 25 14 25 22 37
15 25 36 19 14 32 31 17
películas que han visto sus compañeros de curso en el último mes. Juan presentó los resultados en el siguiente diagrama de tallo y hojas:
29 18 13 32 23 20 14 24
Tallo
a. Realiza el diagrama de tallo y hojas de las edades de los cantantes. b. Elabora la tabla de frecuencias correspondiente. c. Escribe las conclusiones que se pueden plantear con los datos de la tabla. d. Construye los histogramas y los polígonos de frecuencias correspondientes. e. Responde: ¿Se puede afirmar que hay una tendencia en las edades de los futuros cantantes del grupo de la·ciudad? f. Elabora una tabla de frecuencias con base en los siguientes intervalos. Edades
10 16 21 26 31 \,,_ 36
O Juan ha hecho un estudio acerca del número de
1
- 15 - 20 - 25 - 30 - 35 - 40
g. Compara la tabla de frecuencias del literal b con la tabla del literal f. ¿Existen diferencias significativas entre ellas? Justifica tu respuesta.
e
o
.1
1 2 3
1 9 4
Hojas 3 3 8 5 4 5 3 4 6 7 3 5 6 7 4 5 2 oo 8 3 o
a. Determina cuántos estudiantes hay en el curso de Juan. b. Elabora una tabla de frecuencias para este caso. c. Realiza un diagrama de barras de acuerdo con el diagrama de tallo y hojas. d. Elabora un histograma de acuerdo con la tabla de frecuencias del literal b. e. Compara las gráficas. ¿Existen diferencias entre ellas? Justifica tus respuestas. El valor en miles de pesos que p~garon 48fa~ilias por concepto de servicios públicos se re~aciona con la siguiente tabla.
163 150 155 147 160 160 148 147
169 159 151 154 164 155 167 158
155 154 161 143 149 158 151 152
158 179 160 149 153 152 162 15 1
152 156 162 156 169 151 147 171 157 . 164 157 161 150 162 163 162
a. Elabora un diagrama de tallo y hojas. b. Escribe una conclusión que se puede sacar con base en esta representación.
~----==-~---~--=-==-=================':::::-============================~ © Santillana 1
237
Datos no agrupados Para caracterizar una variable cuantitativa sin agrupar los datos es necesario recurrir al cálculo de algunas medidas que permitan describir su comportamiento. Las medidas que se utilizan para caracterizar una variable cuantitativa son: las medidas de tendencia central y las medidas de posición.
Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central son: la media o promedio aritmético, la mediana y la moda. • La media aritmética o promedio es un dato que no necesariamente está en el conjunto de datos y que representa la característica predominante del grupo. La media es el punto de equilibrio del conjunto de datos. '
'
Para el~aso en que se considere una muestra, la media aritmética se simboliza como X y para el conjunto de datos xi' x 2 , . • . , xn se calcula como: X =
X¡
+ X 2 + ... + X n n .
Para el caso en el cual se considere una población, la media aritmética se simboliza µ, y se calcula de la misma forma. La media es una medida que se ve afectada por . el cambio significativo de un dato. Si existe un dato muy grande o muy pequeño con respecto a los demás, el valor de la media cambia significativamente. En otras · palabras, la media es una medida sensible al cambio de un dato. • La mediana es el dato que divide en dos partes porcentualmente iguales el conjunto de datos.
! ~·,¡
Para el caso en el cual se considere una muestra la mediana se simboliza como X y se calcula ordenando el conjunto de datos y ubicando el que está en la posición de la mitad. Cuando se ·consideran un número lmpar de datos, la mediana es un dato que pertenece al conjunto. Para el caso que se considere un número par de datos, la mediana corresponde al promedio de los dos datos de la mitad. Este valor en algunos casos no pertenece al conjunto. Para el caso en el cual se considere una población, la mediana s~ simboliza (L y se calcula de la misma forma. La moda de un conjunto de datos corresponde al dato que más se repite. En aquellos casos en los cuales se analice una muestra la moda se simboliza X, si se trata de una población, la moda se simboliza µ, .
X Ejemplo El número de minutos que usan cada uno de los 1O estudiantes de un colegio de la ciudad para prepararse para una evaluación de matemáticas programada son: 30
15
60
45
10
o
15
30
25
20
Hallar las medidas de tendencia central. El valor de la media aritmética es: X = 3o + 15
º
+ ... + 2
10
=
25 minutos
Al ordenar los datos: O, 10, 15, 15, 20, 25, 30, 30, 45, 60. El promedio del dato quinto, 20, y e.l dato sexto, 25, es 22,5 minutos, el cual es el valor de la mediana. Existen dos modasl5 y 30 minutos.
í ------------·=----------~-,_,_~ t _
Estándar: pensamiento aleatorio
~-~ ~
Medidas de posición Las medidas de posición son medidas que dividen a los datos en partes porcentualmente iguales. Las m_e didas de posición son: cuartiles y deciles.
~
Los cuartiles son la s medidas que dividen un conjunto de datos en cuatro partes. Cada una representa el 25% del total de los datos. Se sim bolizan 0 1, 0 2 y 0 3 Á
.i
Gráficamente los cuartiles se representan como sigue:
02
Ql
,
25%
•
J,
25%
•
Q3
1• 1• 25%
25%
'
Se puede ver que el valor del cuartil dos corresponde al valor de la mediana. Atrás del primer cuartil se encuentra el 25% de los datos, entre el primer y segundo cuartil se encuentra el 25% de los datos y así sucesivamente. Para calcular el valor de los cuartiles se ordenan los datos de menor a mayor y se calcula el valor de la mediana quien representa el cuartil dos. Luego, se considera la primera mitad de los datos y se calcula la mediana, la cual corresponderá al primer cuartil. Igualmente, se considera la segunda mitad de los datos y se calcula la mediana, este valor corresponde al tercer cuartil.
~
Los deciles son valores que dividen en 1Opa rtes iguales el co njunto de datos. Cada parte representa el 10% de los datos."Se simboliza n como 0 1, 0 2, ... 0 9. Á
• D 1 =Valor que deja por debajo el 10% de los datos y por encima el 90% restante. • D 2 = Valor que deja por debajo el 20% de los datos y por encima el 80% restante. Y así sucesivamente hasta el D 9 que deja por debajo el 90% de los datos y por encima el 10% restante.
__ __ ,,,__
~Ejercita: 1-2 1 ~Razona: 3
O El número de hermanos que tienen los 25 estudiantes del curso se relacionan a continuación: 5 2 6
2 4 3 3 2 3 3 1 3 2 3 3 '2 3 4 2 5 4 2 1 3 3 a. Halla el nJ'.imero promedio de hermanos de un estudiante del curso. b. Halla la mediana del conjunto de datos. c. Indica si es posible afirmar que el 50% de los estudiantes del curso tiene 2 hermanos o menos. Justifica tu respuesta.
e
::::..
1
Las estaturas de nueve alumnos son 159, 168, 173, 168, 173, 159, 165, 173y182. a. Halla la estatura media. b. Determina la mediana y la moda.
e
El preparador físico de un equipo de baloncesto toma nota de las tallas de zapato de sus 1Ojugadores. Al pasar la lista, el utilero extravió uno de los datos. Los nueve datos que existen son: 42, 38, 39, 43, 45,42, 39,38,43. Sin embargo, se sabe que el promedio es 41, ¿cuál es el dato que falta?
"""================================================-~-=-=-==-=-=======--=-=====-=--=-=-==-=-=-========:!:==' © Santillana
1
239
+ El Bicentenario en
datos
N PERIÓDICO QUE CIRCULÓ EN LA ÉPOCA DE LA INDEPENDENCIA fue el Diario Político de Santafé de Bogotá. Para la realizar la publicación de este diario, los autores del movimiento independentista de 1810 encomendaron a Francisco José de Caldas, en colaboración de Joaquín · Camacho, para hacer su edición y ganar la opinión pública.
U
Francisco José de Caldas fue un científico, astrónomo y periodista colombiano que participó en el movimiento independentista y Joaquín Camacho fue abogado y periodista con estudios en jur-isprudencia.
En el Diario Político de Santafé de Bogotá se contaba lo que estaba sucediendo en el Nuevo Reino de Granada, hablaba de las guerras de independencia, noticias económicas y además registraba datos comerciales entre las ciudades. A continuación se citan, por fechas, algunos apartes de información plasmada en el mencionado diario.
si(~ 1o fÚ!¡ 181 o
El Teniente Coronel de la Villa de la Mesa D. D. Nicolas Bellen de Guzmán, en oficio de 8 de agosto último da cuenta a la Suprema Junta de los donativos que han hecho varios Vecinos de aquel Lugar en la forma siguiente: D. Domingo Pereyra dos mil pesos pata el vestuario de las milicias Patrióticas de aquella Villa, o para el fin á que la Suprema Junta á bien destinarlos, ofreciendo a más de esto su persona y bienes. D. Gasyar Cantillo Administrador Particular de Rentas estancadas en la misma Villa doscientos pesos en los mismos términos. D. Benito S. Juan su persona y bienes, y cien pesos para los mismos fines. D. Antonio Hernández cien pesos en iguales términos. D. Anastasia Velasco cien pesos para lo que la -·Suprema Junta quiera aplicarlos. D. Simón García quarenta pesos para las mayores urgencias. D. Clemente Alguacil dos mil pesos para los fines expresados por los anteriores. D. Alberto Fernandez treinta pesos mensuales durante su vida. D. Antonio Magno, sargento retirado, quatro meses del pré que goza de once pesos dos reales, en el presente año y seis meses del venidero. D. Francisco Fernandez veinte pesos mensuales por el tiempo de un año. D. Manuel Rubiano vecino de Zipaquirá donó en efectivo los primeros días de la revolución cinqüenta pesos que se aplicaron para gratificar a los soldados de la Guardia que custodió las casas conisstoriales la noche del 20 de julio y días siguientes.
.., '1
1 J J
,1
1
'
.l. rl ¡1 1·¡ ' .·1!i
.~11
: , ,]1 1
JJ 2 4 O j
·1 ·111
© Sa nt ill ana
No. XLIII, Martes 22 de enero de 1811.
Efectos internados en esta capital, en la semana que termina hoy 19 Enero de 1811
1 1 1
1
199 Resmas papel-870 libras de jabon-61 piezas Platillas crudas-120 piezas mahones azules-125 libras canela-36 arrobas pimienta gorda-48 botellas cidra-48 botellas vino generoso-900 docenas loza-13 cuñetes en curtido, y pescado-3 cajoasitos lugos pasos-150barrilitos ciruelas-1 quintales corinos-50 quintales azero-150 palas-150 azadones- 71 hierbas-20 cueros ingleses-45 bultos estopilla algodón-25 piezas panchos-4 piezas naaqui-9 piezas guia-6 piezas Marcellas-24 córtes de idear-100 tarrugiatos -36 sombreros-4 galapagos para hombre-161 botellas vino blanco-82 vortijas vino seco-29 vortijas vino tinto-3 barriles almendras-12 arrobas idem-24 arrobas fideos-200 vortijuelas aceite-64 vortijuelas aceitunas-4 barriiltros atun 8 o latas-16 cargas panelas-79 cerdos-466 cargas miel-40 cargas azucar-8 cargas jabon-4 media cargas anis-31 cargas cacao-4 cargas concerva-144 piezas lienzo-1 carga garbanzos-5 cargas efectos del Reyno paja-17 docenas gorros-4 y media docenas calcetas-13 arrobas lentejas-1 media docena medias de lana-36 camizetas-30 ruanas-y y med pinza friza-1 media arroba quezos-10 frazadas.
Votijas vino-Barril aguardiente-Cabo bayeta-31 piezas maon-4 m. libsseda-11 sarazas-8 m. doz. navajas-28 medios listones-1 docena pañuelos seda-31 arrobas fierro-12 arrobas cera-6 Bretañas-1 carga Cacao-9 carga de anis-24 varas pana-209 piezas lienzo-37 ruanas-4 m dozenas camisetas-11 dozenas frazadas-11 dozenas cordabanes-14 dozenas pañuelos-12 vararas bodon-1 pieza platilla-5 arrobas 6 libras acero-1 m varas paño16 varas Bayeta-1 parcala-7 Sarazas librito-6 paños aujas-1 listado algodón.
Santafé 19 de Enero de 1811 Luis Sarmiento
Santafé 19 de Enero 1811 Luis Sarmiento
1
¡1 1: 1
l
Efectos extraidos para Medellín, Antioquia, Chiquinquirá, La Mesa y Garagoa en la semana que termina hoy
1
19 de Enero de 1811
tpU+JGt•t•t:i- r=0
e
e
¿Cuál fue el promedio de los donativos de los que habla el periódico el 10 de Agosto de 1810? Como se puede observar, la manera como se presentaba la información era muy difícil de leer, no ~ol~ por el estilo del lenguaje, sino también por la manera como se presentaban los datos. Por ello, realiza lo s1gmente: a. Elabora una tabla en la que se de cuenta de la cantidad de camisetas, ruanas y pañuelos que fueron extraídos hacia Medellín y Chiquinquirá el 19 de enero 1811. b. Elabora un diagrama de barras con base en la información de literal anterior. Escribe algunas de las unidades en las que se hizo el conteo de objetos, alimentos y bebidas el 19 de enero de 1811.
=:;=====
© Santillana
j 24 J
<
i
La probabilidad es un término que se usa en el lenguaje cotidiano para referirse generalmente a la incertidumbre o certidumbre de que ocurra alguna situación.
Probabilidad Conceptos fundamentales Para definir probabilidad es necesario recurrir a tres definiciones previas: experimento aleatorio, espacio muestra! y eventos.
~
Un experimento aleatorio es aquel en el cual se conoce el procedimiento que se va a seguir y los posibles resultados, pero no se puede predecir con ce rteza cuál de esos resultados será el fin al antes de realizar el experimento. Á
Por ejemplo, si dos selecciones de fútbol juegan la final de la Copa Mundial, se tienen tres posibles resultados al finalizar el tiempo reglamentario: que gane un equipo, que gane el equipo contrario o que queden empatados. El resultado final se tendrá solo una vez fi~alice el partido. El espacio muestra! es el conjunto, te rmi nar el experi mento aleatorio. ~
5,
de todos los posibles resultados en que puede Á
En relación con la cantidad de elementos del espacio muestra!, los experimentos aleatorios pueden variat así: • Si él espacio muestra! es el conjunto vacío, entonces, es imposible que ocurra el experimento aleatorio. • Si el espacio muestra! es un conjunto unitario es seguro que ocurra el experimento aleatorio.
:' I !
'1
El espacio muestra! debe ser construido de tal forma que indique claramente todas las posibilidades de ocurrencia de un experimento aleatorio. En todos los experimentos aleatorios existe una población y una muestra. La población está conformada por todos los elementos con los cuales se puede conformar un posible resultado del espacio muestral. La muestra corresponde al número de elementos necesarios para formar un evento del espacio muestral. 1
:-: Ejemplos
111 1i
!
Determinar, en cada caso, si la situación corresponde o no corresponde a un experimento aleatorio. Luego, encontrar el espacio mu.estral. "
a. Un niño tiene cuatro fichas, cada una con un número: 1, 2, 3 y 4. Se le pide que conforme un número de dos cifras con estas fichas. Ya que se sabe que el número debe tener dos cifras pero existen cuatro disponibles, la situación corresponde a un experimento aleatorio .. El espacio muestra! es:
s= 242
{12, 13, 14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}
j © Santillana
b. El colegio "Enrique Pozzo" desea enviar a dos de sus estudiantes al Foro de Juventudes de las Naciones Unidas. A la convocatoria se presentan Hugo, Pablo y Luis. Se trata de un experimento aleatorio ya que se conocen los tres candidatos y se pueden conformar todas las posibles parejas, pero no se tiene la certeza de quiénes serán los elegidos. La población está formada por los tres candidatos. La muestra corresponde a los dos cupos que hay disponibles. El espacio muestra! correspondiente es: S = {Hugo - Pablo, Hugo - Luis, Pablo - Luis}
Estándar: pensamiento aleatorio
Un evento es un subconjunto del espacio mu estra!. Un evento est á formado por uno o más elementos del espacio mu est ra !. ~
Á
Los eventos se representan con las primeras letras mayúsculas del alfabeto y pueden expresarse como conjunto o mediante un enunciado verbal. Por. ejemplo, una persona desea comprar tres teléfonos celulares y el vendedor le ofrece dos tipos de aparatos: genéricos y de marca. Lapoblación corresponde a los dos tipos de aparatos celulares disponibles: Genérico (G) o de Marca (M). La muestra estará formada por los tres aparatos que compra la persona. El espacio muestral correspondiente será: S
=
{GGG, GGM, GMG, MGG, GMM, MGM, MMG, MMM}
El evento A consiste en que al menos dos de los tres celulares que la persona compra sean de marca. Entonces, el evento A será: A
=
{GMM, MGM, MMG, MMM}
El evento A está formado con los elementos del espacio muestral. Si el evento Bes B = {GGG, MMM}, entonces, B consiste en que los tres teléfonos celulares sean del mismo tipo.
<& Interpreta: 1
O Determina si cada una de las siguientes situaciones corresponde o no corresponde a un experimento aleatorio. a. Lanzar dos dados al aire y observar el resultado de los dos. b. Lanzar un dado y dos monedas al aire. c. Escoger entre María y Juan los dos estudiantes representantes para el comité estudiantil. d. Escoger tres fichas de dominó que sumen 6. e. Escoger dos cartas del naipe español. f. Predecir la erupción de un volcán. g. Demostrar la vida en otros planetas.
e
Un experimento consiste en preguntar a tres mujeres aleatoriamente si usan teléfono celular para ' comunicarse con su familia. Enumera los elementos de un espacio muestral usando la letra S para la respuesta "sí" y N para "no''.
e
J
~Ejercita: 2-3-4-5
J
·
Para ganar una rifa se les pide a dos personas que escriban cada una de ellas un número del 1 al 4 (indusive). Escribe el espacio muestral.
O Una convivencia se· organiza para tres días, para
e
tal fin el promotor desea conocer el estado del tiempo. Determina el espacio muestral si la letra L representa lluvia, la letra S, sol y la letra N, nublado. Determina el espacio muestral en cada situación y luego encuentra dos posibles eventos. a. Lanzar una moneda y un dado. b. Sembrar tres semillas de fríjol y determinar si germina o no germina. c. Fabricar un producto para el cuidado de la piel y evaluar su calidad en cuatro tipos de piel como: bueno, aceptable y deficiente. d. Evaluar los tres servicios públicos básicos de un pueblo, como bueno, regular o malo.
© Santillana
1
243
rr
1 1
:11 1
Técnicas de conteo
:¡
I!ll
Un experimento determinista es aquel en el cual se puede conocer su resultado con anterioridad.
l!I
l!¡ jr.
11
11
'il
Las técnicas de conteo son herramientas que se utilizan para encontrar el número de elementos que tiene el espacio muestral, de acuerdo con dos criterios fundamentales que se deben identificar en el experimento aleatorio: el orden y la repetición.
1
'
l:
1
En un experimento aleatorio se co nsidera que existe el orden cuando al conformar la muestra, el orden en qu e ubiquen los elementos de la población hace que los resultados sean diferentes.
':1 1¡
1,.
)
Para calcular la probabilidad de cualquier evento es necesario determinar el número de elementos del espacio muestral y del evento. Por esta razón, se definen algunas técnicas que permiten encontrar el número de elementos del espacio muestral a partir de las características del experimento aleatorio.
li ¡·
"I
Por ejemplo, si se desea conformar un número de tres cifras para elaborar las boletas de una rifa, la población corresponde a los 10 dígitos y la muestra a las tres posiciones: unidades, decenas y centenas, del número que se va a construir. En este caso existe el orden, ya que no es lo mismo ubicar el número 3 en la posición de las unidades que en la posición de las decenas; cada uno representa un número diferente. r
, ,1
Ahora, si se seleccionan tres personas de un grupo de cinco para representar al colegio, el orden en que sean escogidos los tres representantes no es importante ya que si es escogido de primero o de tercero, igual estará en el grupo seleccionado.
f '1
Por ejemplo, al lanzar tres monedas al aire y observar en qué caen, en este caso hay repetición ya que dos o más monedas pueden dar el mismo resultado. Las técnicas de conteo son fundamentalmente tres: principio de multiplicación, permutación y combinatoria.
Principio de multiplicación Esta técnica de conteo permite encontrar el número de elementos del espacio muestral en aquellos experimentos aleatorios en los cuales existe el orden y la repetición. Dado un experimento aleatorio con una población de N elementos y una muestra de n elementos, el número de formas distintas de resultar el experimento es Nn. Por ejemplo, dos equipos de baloncesto llegan a la final nacional y deben jugar tres partidos para determinar el ganador. Para conocer de cuántas formas distintas .se puede obtener el resultado de los tres partidos, se debe considerar, que los partidos de baloncesto no contemplan empates. La población es el resultado final de uno de los partidos, es decir, N = 2 y la muestra está formada por los resultados de los tres partidos, entonces, es decir, n = 3. Existe orden porque para un equipo no es igual ganar el primer partido que el segundo y existe repetición, ya que un equipo debe ganar más de un partido para coronarse campeón. · Por tanto, el espacio muestra! debe tener la siguiente cantidad de elementos. #S = Nn = 23 = 8
244
1
© $antillana .
----¡
El principio de multiplicación también se aplica para aquellos casos en los cuales se debe obtener una muestra considerando poblaciones diferentes. En este caso, si se tienen Nl' N 2 , .. . , Nr, poblaciones distintas y se debe tomar una muestra con elementos de cada una de ellas, el número de elementos del espacio muestral es: #S = N 1 X N 2 X . .. X Nr
Por ejemplo, Camilo va al centro comercial y desea comprar una chaqueta, un pantalón y un par de zapatos. Al llegar al almacén le ofrecen tres tipos de chaquetas, cuatro estilos de pantalones y seis estilos de zapatos. Para conocer de cuántas formas distintas puede Camilo combinar una chaqueta, un pantalón y un par de zapatos, se lleva a cabo el siguiente proceso: Para este caso, se tienen tres poblaciones distintas: chaquetas 3, pantalones 4 y zapatos 6. El número de formas distintas de comprar una chaqueta, un pantalón y un par de zapatos es: #S = N 1 X N 2 X N 3 = 3 X 4 X 6 = 72
Una forma gráfica de representar el principio de multiplicación es un diagrama de árbol en el cual cada rama es considerada como una posibilidad de que ocurra el experimento aleatorio. Por ejemplo, un computador se programa para construir todos los posibles números que se pueden formar con un número de cifras determinado. El programador desea poner a prueba su programa introduciendo los números 5 y 9. Para saber cuántos números de dos cifras debe producir el programa se realiza Jo siguiente: El diagrama de árbol correspondiente es: 5 <
5 9
El programa debe producir cuatro números que son 55, 59, 95, 99.
fj Recupera información: 1 (@l Ejercita: 2 i 1
O En qué consiste el principio de multiplicación.
e
Determina las posibles formas en que Catalina puede combinar su cono de dos sabores, sabiendo que la heladería ofrece: vainilla, chocolate, arequipe, fresa y limón.
a:; e
O Una ensambladora de computadores tiene dos
Soluciona problemas)
El empleado del archivo del banco debe seleccionar al azar cinco clientes y anotar el tipo de tarjeta de crédito que tienen. Se sabe que el banco emite tres tipos de tarjetas de crédito: Gold, Clásica y Premium. ¿De cuántas formas puede el empleado seleccionar los cinco clientes de acuerdo con el tipo de tarjeta que tienen?
e
tipos de procesador, cuatro tarjetas board compatibles y dos tipos de discos duros. La ensambladora decide ofrecer a sus clientes tantos modelos de computadores como le sea posible armar. ¿Cuántos modelos distintos puede obtener la ensambladora con lo que tiene? En un torneo de voleibol, compuesto por ocho equipos, se tienen tres posibles instalaciones para los partidos. ¿De cuántas formas se pueden organizar los encuentros deportivos?
G Un uniforme deportivo se fabrica en cinco estilos diferentes y en cuatro colores distintos para cada uno. ¿De cuántas formas distintas se puede organizar el uniforme deportivo?
===========-~--~-==========
© Santillana
1
245
-----
.
1
"""'""""""""'""""'""""""""'"""""""""""""""""'"""""""""""""·T· ·f~
""""',,,,,_"""'f",,_,~=""""'""""""""'......
---~~-~~ ,. ~~---~~--~--~~---T
1
Permutaciones Una permutación es una operación que se define para dos números. naturales de tal forma que la permutación den en N notada npN se calcula:
Nsimboliza el número de elementos de la población. · nsimboliza el número de elementosde lamuestra.
p = n N
N! (N - n)!
Donde N! = N X (N - 1) X (N - 2) X ... X 3 X 2 X 1 y además O! = l. La permutación se utiliza cuando se quiere calcular el número de elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio en el cual se considera que existe el orden en la muestra pero no es posible repetir ningún elemento de la población en su· conformación . . En el experimento aleatorio en el cual se consideren estos dos elementos es necesario que la población sea mayor que la muestra.
Combinaciones Una combinatoria es una operación que se define para dos números naturales de tal forma que la combinación den en N, notada n CN , se calcula:
C "
N -
N! (N - n)! X n!
La combinatoria se utiliza cuando se quiere calcular el número de elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio en el cual no se considera que existe el orden en la muestra y no es posible repetir ningún elemento de la pÓblación en su conformación. De la misma forma que para las permutaciones, es necesario que la.población sea mayor que la muestra.
:-: Ejemplos
{D Jorge, Camila, Sebastián, Luisa y Marcos están
@ .Cuatro equipos disputan un torne(:) que clasifica
esperando la ruta escolar en el mismo paradero. ¿En cuántos órdenes distintos pueden subir al bus escolar?
a solo dos equipos. El primer cla~ificado irá al .mundial de la categoría y el segun(io clasificado irá a un torneo europeo. ¿De cuál,'ltas formas distintas _pueden dos de los cuatro équipos clasificar al mundial y al torneo?
La población está formada por los cinco estudiantes que esperan la ruta escolar: La muestra está formada por aquellos que sube'n al bus, es decir, los mismos cinco estudiantes. Por tanto N = 5 y n = 5. Se considera el orden en que se suben al bus y no existe repetición ya que un estudiante no puede subir dos veces. El número de elementos del espacio muestra! será: nPN =
N!
5! (5-5)!
(N-n)!
5 X 4 X3 X 2 X1 1
-
5! O!
= 120
Los cinco estudiantes pueden subir a la ruta escolar en 120 órdenes distintos. ·
246
1
La población corresponde a los cuatro equipos que participan en el torneo. La muestra estará formada por los dos equipos que clasifiquen como primero y segundo. Por tanto, N = 4 y n = 2. Existe orden ya que el primer clasificado tiene un premio distinto al segundo. No hay repetición ya que un equipo de un mismo país no puede asistir a ambos torneos. El número de elementos del espacio muestral es:
R n
N -
N! (N - n)!
4! =A! = 12 (4 - 2)! 2!
Existen 12 formas distintas de lograr que dos equipos de cuatro asistan a los dos to_rneos.
© Sa ntíll ana - ."
_,,.
....-
.
(
1
Estándar: pensamiento aleatorio
@ En una canasta hay doce postres distintos. Jorge
@ Se le pide a una persona que seleccione al azar
decide sacar al azar tres de ellos para compartirlos con sus compañeros. ¿De cuántas formas distintas puede Jorge escoger los tres postres de los doce disponibles?
dos cartas de una baraja de 52. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer esto? La población corresponde a las 52 cartas de la baraja. La muestra estará formada por las dos seleccionadas. Por tanto, N = 52 y n = 2. No existe orden ya que las cartas representan lo mismo sin importar cuál salió primero. No hay repetición ya que no existen en la baraja dos cartas . iguales. El número de elementos del espacio muestral es:
La población corresponde a los doce postres que hay en la canasta. La muestra estará formada por los tres postres seleccionados. Por tanto, N = 12
yn = 3. No existe orden ya que los postres seleccionados tendrán el mismo destino. No hay repetición ya que un postre no puede ser consumido dos veces. El número de elementos del espacio muestral es: 11
c _ c _ N -
3
12
-
12! (12 - 3)! X 3!
·c _ c _
11
12! 9! X 3!
N -
2
52
-
52! (52 - 2)! X 2!
52! 50! X 2!
= 52
X 51 X 50! = 2.652 = 1.326 50! X 2 X 1 2
= 12
X 11 X 10 X 9! = 1.320 = 220 9! X 3 X 2 X 1 6
Exist~n 1.326 formas de seleccionar dos cartas de una baraja de 52.
Existen 220 formas de seleccionar tres postres de . un grupo de doce.
~ Ejercita: 1-3-4-5-6-71 ~ Razona: 2-81
O Los cinco finalistas de un torneo internacional de golf son España, Estados Unidos, Portugal, Uruguay y Japón. Responde: a. ¿De cuántas maneras es posible que se otorgue en este torneo .un primer, segundo y tercer lugar? b. Suponiendo que el primer lugar lo gana Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos, ¿cuántas maneras hay de otorgar el tercer lugar entre los países restantes?
G Cada uno de los seis cuadros de la figura que aparece a continuación puede llenarse con cualquiera de diez colores posibles. ¿Cuántas formas diferentes hay de colorear la figura de tal forma que dos cuadros no tengan el mismo color?
e
Tres matrimonios han comprado boletos para una obra de teatro. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar las seis personas si cada esposa quiere sentarse junto a su respectivo marido?
e e e
A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos por día para visitar lugares de interés durante los tres días de duración del evento. ¿De cuántas formas puede una persona escpger los recorridos si solo puede elegir uno · · diario? Determina en cuántas formas pueden sentarse en tres puestos cuatro niños y cinco niñas, si deben · colocarse alternadamente. Un domador de fieras quiere sacar a la arena del circo cinco leones y cuatro tigres. Un tigre no puede ir detrás de otro. Determina de cuántas manerás puede el domador distribuir las fieras.
G Encuentra de cuántas maneras Sandra puede en viar a un amigo ocho fotos distintas si dispone de cinco sobres y en cada sobre debe ir al menos una foto. ' : Los finalistas del torneo de fútbol interclases son Once A, Décimo By Noveno A. El primer lugar ganará un trofeo y un día escolar libre. El segundo lugar ganará un trofeo y medallas. Determina de cuántas formas distintas se pueden repartir los premios. © Sant illana
J
247
................................_,,...._.._................__.....,,_.....,.........._..........._""""__....._,,.............._,,,..........,.........._,.................. _..
·~----
Probabilidad La probabilidad es un valor que se calcula sobre la ocurrencia de un evento. La probabilidad es una medida que se obtiene al comparar el número de elementos del evento con el número de elementos del espacio muestral. Dado un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un evento A, cuya notación es P(A) se calcula como: P(A) = #(A)
#(S) Donde, #(A) corresponde al número de elementos del evento A y #(S) corresponde al número de elementos del espacio muestral. La probabilidad de que el evento vacío o imposible ocurra es Oy la probabilidad de que el evento seguro ocurra es 1. La probabilidad de ocurrencia de un evento se puede considerar como una medida de incertidumbre. A mayor probabilidad de ocurrencia se tiene mayor confianza en el posible resultado.
x Ejemplos {!) Se lanzan cuatro monedas al aire y se anotan los resultados obtenidos. a. Hallar la probabilidad de que dos monedas caigan en cara. Primero, se encuentra el espacio muestral del experimento:
S = {cccc,cccs,ccsc, cscc, sccc, ccss, cssc,sscc, sccs, eses, scsc, csss, scss, sscs, sssc, ssss} Si el evento A consiste en que dos de las monedas caigan en cara, entonces sus elementos son:
1"
A = { ccss, cssc, sscc, sccs, eses, scsc} P(A)
=
#(A)
#(S)
= ----º-- = 0,375 = 37,5% 16
Luego, la probabilidad de que dos muestras caigan en cara es 37,5%.
Con este fin contrata a una persona para que pruebe cada una de las tres marcas de té, las cuales tienen como identificación las letras A, B y C. Si el éatador no tiene habilidad para diferenciar el sabor entre las marcas de té, entonces determinar la probabilidad de que clasifique el del tipo A como el más deseable. El espacio muestral del experimento aleatorio . que consiste en que la persona contratada ordene las tres marcas de té del más deseable al menos deseable, es:
S = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Si el evento A consiste en que la marca A sea clasificada de primera es:
B = {cccc,cccs, cese, cscc, sccc, ccss, sccs, eses,
Por lo tanto, P(A) = #(A) = _l_ #(S) 6
P(B)
= #(B) = #(S)
_ll_
16
© Santillan a
A = {ABC, ACB}
=
0,333
=
33,33%
= 0,6875 = 68,75%
Luego, la probabilidad de que al menos dos monedas caigan en cara es 68J5%. 1
tos planea realizar un experimento para comparar su marca de té con la de los competidores.
b. Hallar la probabilidad de que al menos dos monedas caigan en cara. Sea B el evento que consiste en que al menos dos de las monedas caigan en cara. SCSC, SSCC, CSSC}
248
@ Una compañía de alimen-
Luego, la probabilidad de que el tipo A clasifique como el más deseable es del 33,33%.
:: ::
:~s'.dndar: pensa~> '.o
:~
Se lanza un par de dados al aire y se observa la suma de los dos resultados. Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 10? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 7? c. Si una persona está jugando parqués y necesita obtener un tres, ¿cuál es la probabilidad de obtener el resultado? María, Luis, Tatiana y Lucas compiten en una carrera de bicicletas por la ruta de la ciclovía en la ciudad donde viven. Se premia a los dos primeros puestos con un helado. Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que María y Lucas ganen el helado? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Lucas no gane alguno de los dos helados del premio? c. ¿Cuál es la probabilidad de que Tatiana gane · uno de los helados? d ... Si se decide que el primero en llegar tendrá un helado con dos sabores y el segundo, un helado con un sabor, ¿cuál es la probabilidad de que Luis gane el helado con un sabor? Dos amigos juegan a lanzar dos dados al aire. Si sale un número par gana quien haya lanzado, si sale un número primo impar se vuelve a lanzar, de lo contrario, pierde quien lance. Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane en el primer lanzamiento? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane en el segundo lanzamiento? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador tenga que volver a lanzar los dados? d. ¿Cuál es la probabilidad de que pierden el primer lanzamiento? e. Juan dice que no entra al juego porque la probabilidad de perder es más alta que la de ganar. ¿Es esto cierto? Justifica tu respuesta. Una caja contiene una docena de huevos de los cuales hay cuatro rotos. Una persona selecciona al azar tres huevos de la canasta. Indica cuál es la probabilidad de que: a. Los tres salgan rotos. c. Ningunosalgaroto. b. Salga exactamente uno roto.
e
a/earocio
~ 1
Si se lanzan tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que las tres tengan el mismo resultado, es decir, las tres cara o las tres sello?
O Se seleccionan cuatro cartas de una baraja de 52 .
.
a. Una escalera se conforma cuando las cuatro cartas son consecutivas. Halla la probabilidad de que se obtenga una escalera sin importar el palo. b. Halla la probabilidad de que las cuatro cartas sean del mismo palo. c. Un par corresponde a cartas con el mismo número. Halla la probabilidad de que se obtengan dos pares.
f) A C~mila se le han asignado cuatro tarjetas, con cada una de las siguientes letras: r, o, m, a. Ella debe formar arreglos con las cuatro letras.
e
a. Halla la probabilidad de que urio de los arreglos comience con la letra a. b. Halla la probabilidad de que se conforme una palabra en el idioma español, que comience con la letra r. c. Halla la probabilidad de que la palabra conformada sea mora. El director de la biblioteca . tiene cuatro cupos para estudiantes que quieran prestar su servicio social los fines de semana. Para ello abren una convocatoria a la cual se presentaron seis estudiantes: Andrea, Carlos, Luis, Elías, Rocío y Paola. Responde: a. ¿De cuántas formas puede el bibliotecario escoger los cuatro estudiantes para que pi;esten su servicio social? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Andrea no sea seleccionada en el grupo? c. ¿Cuál es la probabilidad de que Andrea sea seleccionada?
G Un vehículo al llegar a una esquina tiene tr.es opciones para seguir: girar a la derecha, girar a la izquierda o seguir derecho. Si dos vehículos . llegan al cruce, halla la probabilidad de que los dos vehículos giren a la derecha.
· © Santillana 1
249
O Se realizó un estudio estadístico sobre la marca de
Estadística
e
celulares preferidos: Nokia (N), Motorola (M) o Sony Ericson (S), a 30 usuarios de telefonía celular y la compañía celular a la cual pertenece: Movistar (V), Comcel (C) o Tigo (T) .
Determinar la población muestra y las variables por las que se pregunta. La Secretaría de Salud quiere determinar los síntomas de UJ].a enfermedad nueva en la población. Para ello decide escoger a'38 pacientes de diferentes hospitales que tienen la enfermedad y verificar si tienen los siguientes síntomas: fiebre, diarrea y debilidad muscular. De igual forma se les preguntó el tiempo que han padecido dicha enfermedad.
Los resultados fueron: 1
En una sala. de cine se preguntó a 20 personas, entre mujeres y hombres, sobre el tipo de películas preferido: comedia (C), drama (D) o acción (A] . Los resultados se presentan en la siguiente lista.
Ma
ce
u
Ma
ce
1
s
e
16
M
T
2
s
e
17
s
V
3
M
V
18
N
V
4
M
T
19
N
e
p
G
TP
p
G
TP
5
N
e
20
s
e
1
H
D
11
M
e
6
N
e
21
s
V
2
H
A
12
H
A
7
N
M
H
D
13
H
A
4
H
14
H
A
8
M
23
s
e e
5
M
15
M
D
9
s
T
24
M
e
6
M
16
M
e
10
N
T
25
N
T
7
M
17
H
A
8
H
e e e e e
e e
22
3
18
M
e
11
N
V
26
M
e
9
H
D
19
M
D
12
N
T
27
N
V
10
H
A
20
H
A
13
s
V
28
N
V
14
s
29
N
e
\_ 15
M
e e
30
M
T
Si~PS : :~:
Ml!PrnJ.ilIBllJ!ll!l
~
-
a. ¿Cuáles variables intervienen en el estudio? b. ¿Qué tipo de variables estadísticas intervienen? c. ¿A cuántas personas se les preguntó sobre el tipo de película preferido? d. Realiza una tabla de doble entrada para presentar los datos del estudio.
9
u
a. Construir una tabla de contingencia para las variables marca de celular preferida y compa ñía celular a la cual pertenece. b. Representa de dos maneras diferentes la información de la tabla. c. Escribe dos conclusiones sobre cada variable.
Observa la tabla de contingencia para dos varia.bles de una encuesta realizada a algunas personas sohre su gusto acerca de una marca de cereal nuevo.
9
Género
Gusto Sí
Mujer
Hom bre
35
18
No
25
22
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. . ¿A cuántas personas les gustó el nuevo cereal? c. ¿Cuántas mujeres fueron encuestadas? d. ¿A cuántas personas no les gustó el nuevo cereal?
2 5 O 1 © Santil lana
Representa en un histograma de frecuencias, e1 número de usuarios de una famosa red social en España·hasta el año anterior, según la edad: Intervalo
'-
lÍ
Frecuencia
16 - 25
800.000
26 - 35
1.200.000
36- 45
400.000
G Completa la tabla de frecuencias de la altura de los 1
Intervalo
11 f 11 fr
100- 109
15
110-119
17
120- 129
13
130 - 139
9
"-
r o/o a
f 11 fr
o/o
Probabilidad
G Encuentra el espacio muestral de lanzar dos dados
árboles de un bosque en decímetros:
y luego determina cada uno de los siguientes even tos.
1
a. Obtener un número par en la suma de las caras de los dados. b. Sacar un 6. c. Obtener 1 como resultado de la suma de los dados. d. Obtener un número del 1al6, en cualquiera de los dados. e. Obtener un número primo, al sumar los dos resultados.
Total
Observa la lista sobre el tiempo en minutos que 20 estudiantes duraron una tarde, navegando en Internet. 125, 190, 160,240,65, 100, 215, 195,210,200, 70, 90, 140, 185,225,230,40, 190,210, 230
e
e
a. Construye una tabla de frecuencias usando los intervalos: (1 - 60), (61 - 120), (121 - 180), (181 - 240). b. Elabora el histograma de frecuencias. c. Construir el polígono de frecuencias y realiza la ojiva para esta situación.
En una bolsa hay cinco bolas rojas y tres azules. · Se le pide a una persona que saque tres al azar. Responde:
Observa el diagrama de tallo y hojas de los pesos corporales de algunos integrantes de una selección de fútbol. Luego, responde. 5 6 7
6788 027 04469
a. ¿De cuántas formas se puede realizar el experimento? b. Si se seleccionan tres bolas al azar y una es azul, ¿de cuántas formas se pueden escoger las otras dos? c. Si se sabe que las dos primeras son azules, ¿de cuántas formas se puede escoger la tercera?
a. ¿Cuántos jugadores tienen pesos entre 50 y 59 kg? b. ¿Cuántos jugadores pesan 70 kg o más?
O Encuentra la media de la estatura de 24 estu~iantes de séptimo, si se sabe que sus estaturas son: 1,50 1,50 1,58 1,60
e
1,52 1,52 1,50 1,52
1,46 1,50 1,60 1,50
1,60 1,60 1,49
1,59 1,46 1,50
1,49 1,62 1,52
1,46 1,59 1,58
Los siguientes datos corresponden a la cantidad de vasos de agua que consumen 12 mujeres y 12 hombres en un día. Mujeres: 6, 7, 7, 8, 7, 5, 7, 8, 6, 5, 8, 7. I-Iombres:4,6,4,5, 7,3, 2,8,3,4,5,5. a. 1-Ialla la media y la mediana del número de vasos de agua consumidos por mujeres. b. Calcula la media y la mediana para el caso de los hombres. c. Compara las medidas de tendencia central de mujeres y hombres y saca una conclusión.
En una excursión Juan, David, Laura, Jessica y Raúl, tienen la posibilidad de hospedarse en una habitación triple y una habitación dobk Determina el posible espacio muestral y muestra un evento.
.· (D Construye un diagrama de árbol para la siguiente situación.
e
En una fábrica se producen bebidas en caja y en botella. De cada bebida hay tres sabores: cola, uva y naranja. ¿Cuántos tipos de bebida produce la fábrica? Un departamento debe elegir 2 de sus 8 ciudades para realizar visitas de inspección. ¿De cuántas maneras las pueden elegir?
(9 Lee la siguiente situación. Luego, resuelve. Daniel, Juan, Martín y José participan en una competencia atlética. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen: Juan en primer lugar y Daniel en segundo lugar? ©
Santill ana
1
2 51
,
__ 1
F' t· -
<..
r
·=·I t· I 1:.- ·-·¡·-· ·=· ·=· ...
1 .-. l
1 l
Es la ciencia que se encarga de recoger, organizar, representa r, ana lizar y obtener conclusiones a parti r de datos obtenidos en diferentes estu d ios estadísticos. La población es el conjunto de todos los ind ivid uos de los cua les se obtiene información sobre el fenómeno que se estud ia. Una muestra es un subconju nto representativo de una población sobre el cua l se recogen los dat os. Una variable estadística es cada una de las características o propiedades que se pueden estudiar en una población o muestra. Las variables se clasifican en cualitativas y cuantitativas.
variables cualitativas se caracterizan mediante: tabla de frecuencias, diagrama de barras, d iagrama circular, moda y en algunos casos la mediana.
Las variables cuantitativas se caracterizan med iante: distribución de frecuencias, diagrama de ta llo y hoj as, diagrama de ba rras, hist og ramas, polígono de frecuencias, ojivas, medidas de tendencia central y de posición.
Media: es el promedio aritmético de todos los datos. Moda: indica el valor que más se repite, o el interva lo con mayor frecuencia. Mediana: es el punto centra l de los va lores de un. conjunto de datos después de haber sido ordenados. ';.
Las técnicas de conteo son tres:
Principio de multiplicación: importa el orden y puede haber repetición. Se calcula como: ·\· ,
#S = n1 X n2 X n3, ... Permutación: importa el orden pero ,
'\.
p, -
--· \.
N!
(N - n)!
Combinación: no importa el orden y no hay repetic ión . Se ca lcula como:
N! - nCN= - - (N- n)! X n!
de datos en cuatro partes ig uales. Deciles: son los va lores que dividen el conj unto de ·datos en d iez partes igua les.
La probabilidad es la rama de la matemática que estudia aquellos experimentos cuyos resultados pueden variar entre una ejecución y otra. Este tipo de experimentos se denomina
aleatori os. Espacio muestra!: es el conjunto de todos los posibles resulta-
no hay repetición . Se ca lcula como: n N-
Cuartiles: son los va lores que dividen el co njunto
dos de un experimento aleatorio, Se simbol iza S. Evento es cua lquier subconjunto de espacio muestra!, cuyos elementos tienen una caracte rística en común. Se simboliza con letras mayúsculas.
Cálculo de probabil idades ,·,
'"
La probabilidad con la que puede suceder es asignarle un número real entre O y 1. Se calcu la así: P(EJ = #E , donde #E es la
#S
cantidad de elementos del evento Ey #Ses la cantidad de elementos en el espacio muestra! S. !,
2 5 2 I © Santillana
¡
1 1 1
,, 1:
Estadistica en el medallero de Beijing 2008
1;
Los XXIX Juegos Olímpicos tuvieron lugar en Pekín, la capital de la República Popular China, del 8 al 24 de agosto de 2008. Este evento comprendía 302 pruebas en 28 deportes, en las cuales participaron 204 comités olímpicos nacionales. En estas olimpíadas conocidas como Beijing 2008, se entregaron 958 medallas en total: 302 de oro, 303 de plata y 353 de bronce. Posiciones
1 2 3 4 5 6 7
\,.
8 9 10
Medallas de oro
Medallas de plata
Medallas de bronce
Total
21
13 10 15
28 36 28 15 15 17
100 110
Australia
51 36 23 19 16 14
Corea del Sur
13
Japón
9 8 7
10 6 8 16
8 10 10 17
País
China Esta dos Un idos de América Rusia Gran Bretaña Aleman ia
Italia Francia
38 21
e
e
e
¿En qué país se realizaron los XXIX Juegos Olímpicos? ¿Cuántos Comités Olímpicos participaron? ¿Cuántas medallas de cada tipo se repartieron en total en las Olimpíadas Beijing 2008?
¿Cuáles variables estadísticas intervienen en la tabla de medallería de las Olimpíadas Beijing 2008? ¿De qué tipo son las variables?
1
En la siguiente tabla se presenta la clasificación final del medallero olímpico destacando los 1Opaíses que obtuvieron más medallas, empezando por las medallas de oro, seguidas por las medallas de plata y finalmente, las medallas de bronce.
72
47 41 46 31 25 26 40
1
¿Cuál país obtuvo la mayor cantidad de medallas de plata?
O ¿Cuál país obtuvo la mayor cantidad de medallas de bronce? O ¿Cuál tipo de medalla obtuvo China en mayor
e
a
cantidad? ¿Cuál país obtuvo mayor cantidad de medallas? Plantea y actúa
1
O Construye un gráfico de barras que represente la variable "Tipos de medallas ganadas por China''.
© Santillana 1
2 53
r-
'r,
1 1 J
Ángulos adyacentes: son ángulos suplementarios que poseen un lado común. Ángulos complementarios: son dos ángulos para los c;uales la suma de sus medidas es igual a 90º. Angulos suplementarios: son dos ángulos para los cuales la suma de sus medidas es igua l a 180º.
Datos: son cantidades o medidas obtenidas de observaciones, comparaciones y aplicación de encuestas. Demostración: razonamiento lógico que se lleva a cabo para concluir la tesis de un teorema. Descomposición factorial: es toda expresión de un número como el producto de sus factores primos. Desigualdad numérica: es toda expresión que relaciona números por medio de los símbolos
( 1 )
·;
<,>. Base numérica: es el número de elementos que conforman cada orden o nivel en un sistema de numeración posicional. Bicondicional: el bicondicional, o doble implicación, es la. proposición compuesta por dos enunciados simples enlazados por el conectivo lógico "si y sólo si''. Bisectriz de un ángulo: recta que parte del vértice y divide un ángulo en dos ángu los de igua l medida.
Complemento de un conjunto: el complemento de un conjunto A es otro conjunto formado por los elementos del conjunto universal U que no pertenecen al conjunto A. Se simboliza U - A o Ac. Conectivo lógico: es una expresión verba l que sirve para unir o en lazar dos proposiciones simples. Conjunción: operación lógica que enlaza dos enunciados simples por medio del conectivo A. Conjuntos disyuntos: dos conjuntos A y B son disyuntos si no tienen elementos comunes, es decir, si A n B = 0. Conjuntos intersecantes: dos conjuntos A y B son intersecantes si t ienen elementos comunes. Cuantificadores: son los símbolos matemáticos utilizados para indicar el número de elementos de un conjunto que cumple una determinada cond ición .
Ecuación: igua ldad entre dos expresiones algebraicas, que es válida solo para ciertos valores de las variables. Eje de simetría de una figura: es la recta que la divide en dos partes q ue co in ciden exactamente. Estadística: es la ciencia encargada de reco lección, organización, análisis, representación e interpretación de datos a pa rtir de lo cual, saca conclusiones y establece previsiones.
Generatriz: curva cuya rotación alrededor de una recta fija genera una superficie.
Diferencia: la diferencia entre dos conjuntos A y Bes el conjunto formado por los elementos q ue pertenecen a A y que no pertenecen a B. Se escribe A - B. · Diferencia simétrica: conjunto de elementos que pertenecen a A U By no pertenecen A n B. Se representa por A~ B. Disyunción: la disyunción de dos proposiciones p y q es otra proposición que enlaza los enunciados simples p y q por medio del conectivo lógico "O" (V). Divisores: un número a es divisor b, cuando la división de b entre a es exacta.
J, !
Figuras simétricas: dos figuras son simétricas respecto a un eje L, si todas las parejas de puntos correspondientes en dichas figuras equid istan del eje L. Fracción decimal: es toda fracc ión cuyo denominador es una potencia de 1O. Fracción decimal básica: es aquel la cuyo numerador es 1 y cuyo denom inador es wna potencia de 1O. Fracción impropia: es aquella fracción en la que el numerador es mayor que el denominador. Fracción propia: es aquella fracción en la que el numerador es menor que el denominador. Fracciones equivalentes: son aquellas fracciones que expresan la m isma cantidad. En el las el producto de sus términos en diagonal es igual. Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un determinado valor de la variable estadística que se estudia. Frecuencia acumulada: es el número de eventos ocu rridos o individuos que presentan una ca racterística de la variable hasta un momento considerado. Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de individuos de la pob lación en un estudio estadístico.
l
"
Implicación o.condicional: es la proposición compuesta por dos proposiciones simp les enlazadas por el conectivo lógico "entonces"(~) . Información: es el re su ltado de l procesamiento de datos. Intersección: la intersección entre dos conjuntos A y Bes el conjunto formado por los elementos comunes a los dos conju ntos. Se escribe A n B.
--""'.""-------------------------------------.1..------------_,:-2 54
j
©
Santillana
•,
Línea poligonal: es la unión de segmentos contiguos: A, B, C, O, E.
Máximo común divisor: el mcd de dos o más números es igual al producto de sus factores .primos comunes con su menor exponente. Mediatriz de un segmento: .es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento. Mínimo común múltiplo: el mcm de dos o más números es el producto de todos los factores primos comunes con su máximo exponente. Múltiplos de un número a: es el conjunto formado por todos aquel los números de la forma a · n.
Numeral: es el símbolo que representa una canti dad fija. Número: es la idea asociada uno a uno a cada numeral. Número decimal: es una expresión numérica formada por una parte entera y una parte decimal separadas por med io de una coma o punto decimal. Números compuestos: son aquellos que pueden expresarse como el product o de números primos diferentes a la unidad. Números primos: son aquellos .números que tienen solo dos divisores: el uno y el mismo número.
Raíz enésima: se llama raíz enésima de un número pa l número b que al elevarlo al exponente n es igua l a p. Se escribe
efP si bn =p. Segmentos adyacentes: dos segmentos que están en semirrectas opuestas y tienen origen común sobre la misma. Segmentos contiguos: son dos segmentos que tienen un extremo común pero que no están contenidos en la m isma recta. Sistema de numeración: es un conjunto de símbolos con reg las bien definidas de comb inación. Estos símbolos son usados para representar cantidades y realizar operaciones con el las. Subconjunto: un conj unto A es subconj unt o de B si todos los elementos de A están en B.
Pareja ordenada: es una dupla formada por dos elemen tos en los que el orden es determinante. Planos coincidentes: dos planos que tienen puntos comunes no colineales. . Planos paralelos: dos planos que no poseen , ningún punto en co m ún. Planos secantes: son dos planos que se cortan determi nando una recta en común. Población: es el conjunto de individuos, objetos o fenómenos de los cuales se desea estudiar una o varias características. Polígono: línea poligonal cerrada y su int erior. Polígono cóncavo: polígono que tiene un ángulo interior mayor de 180º. Polígono convexo: polígono que tiene todos sus ángulos menores que 180º. Polígono regular: polígono en el cual la medida de todos sus lados es la misma y la abertu ra de sus ángulos interiores es la misma. Polinomio aritmét ico: es toda suma de números; cada sumando se llama término del polinomio. Porcentaje: es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad dada. Potencia: es una expresión usada para ind icar la multiplicación de un factor por él mismo un determinado número de veces. Primos relativos: son aquel los números cuyo único divisor común es el 1. Proposición: es un enunciado verdadero o falso, pero no las dos cosas al m ismo t iempo.
/
Tanto por ciento: una parte o varias partes de cada 100 partes iguales.
Unión: la unión ent re dos conjuntos A y Bes el conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno u otro conjunto contados solo una vez, se escribe A U B.
Valor absoluto de una cifra: es el valor del número que esta representa . Valor relativo de una cifra: es el valor del número que esta representa pero depend iendo de la posición que ocupa. Variable estadística: es la característica que se estudia en cada elemento de la población o muestra.
© Sántillana
J
255
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Decreto 1860deagosto3 de 1994. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Matemáticas. Lineamientos curriculares. Bogotá, 1998. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Resolución número2343 dejunio5 de 1996. AA.VV. Currículo y aprendizaje. Bogotá, Santillana, 1996. AA.VV. Trabajemos solución de problemas con San ti/lana. Bogotá, Santilla na, 1997. AA.VV. Matemáticas 1Eso. España, Editoria l Santillana, 2007, pp. 11 1, 209, 229, 263. AA.VV. Matemáticas 3 Eso. España, Editorial Santillana, 2007, pp. 17, 113. AA.VV. Matemáticas 4 Eso, opción A. España, Editorial Santi lla na, 2007, p. 11. ABDÓN MONTENEGRO, IGN AC IO. Evaluemos competencias matemáticas. Cooperativa Ed itoria l Magisterio, 1999. ALVARENGA, B. Y MÁXIMO, A. Física general con experimentos sencillos. México, Harla, S.A., 1983. BALDO R. Geometría plana y del espacio y trigonometría . México, Publicaciones cu ltura l, 1998. BARNETT, RICH. Serie de compencjios Schaum. Teoría y problemas de geometría plana con coordenadas, México, McGraw Hill, 1970. BOL, BRIAN. Matemáquinas, la matemática que hay en la tecnología, Labor. BU ECH E, F. Fundamentos de física l. Colombia, McGraw Hill latinoamericana S.A., 1988. CASTRO, ENCARNACIÓN; RICO, LUIS; CASTRO, ENRIQUE. Matemáticas: cultura y aprendizaje 2. España, Editorial Síntesis, 1996. CENTENO PÉREZ, JULIA. Matemáticas: cultura y aprendizaje 5. España, Editorial Síntesis, 1997. CLEMENS, S.R., ET ÁL. Serie Awli. Geometría. México, Add ison Wesley. Pea rson educación, 1998. DEL OLMO ROMERO, MARÍA ÁNGELES; MORENO CARRETERO, MARÍA FRANCISCA; GIL CUADRA, FRANCISCO. Matemáticas: cultura y aprendizaje 19. España, Editorial Síntesis, 1993. DÍAZ RODINO, JUAN BATANERO; BERNABE U, MARÍA DEL CARMEN; CAÑIZARES CASTELLANOS, MARÍA JESÚs. Matemáticas: cultura y aprendizaje 27. España, Editoria l Síntesis, 1996. FIOL MORA, MARÍA LUI SA; FORTUNA AYM EMI, JOSEPH MARÍA. Matemáticas: cultura y aprendizaje 20. España, Editorial síntesis, 1990. GONZÁLEZ, JOSÉ LUIS: IRIARTE, MARÍA; JIMEN O, MANU ELA; ORTIZ, ALFONSO; SANZ, ESTEBAN; VARGAS MACHUCA, INMACULADA. Matemáticas cultura y aprendizaje 6. España, Editorial Síntesis, 1990. GUILLÉN SOLER, GREGORIA. Matemáticas: cultura y aprendizaje 15. España, Editorial Sf ntesis, 1997. HEWITT, PAUL G. Física conceptual. Tercera edición, Pearson Educación, 1999. LINDENMAYER, AS ISTI D. Arreglos Geométricos de la naturaleza. Árbol pitagórico. MASON, J.; BURTON, L.; STACEY, K. Pensar matemáticamente. Madrid, MEC/Labor, 1992. MOISE, E. Y DOWNS, F. Geometría Moderna . Estados Unidos, Addison Wesley publishing company, 1966. PASTOR, GUILLERMO. Matemáticas financieras. Madrid, Limu sa, 1998. PAPPAS, THEON I. El encanto de las matemáticas. Los secretos ocultos del arte. Zugarto ediciones, 1997. PAPPAS, THEONI. La magia de las matemáticas. El orden oculto tras la naturaleza ye/ arte. Zugarto ed iciones, 1996. PEÑA, JOSÉ ANTONIO. Álgebra en todas partes. México, SEDI CE, 1999. POLEA, G. Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1989. SESTIER, ANDRÉS. Historia de las matemáticas. México, Lim usa, 1983. STEPHEN, F.M. Historia de la ciencia. Madrid, Alianza Editorial. · VÁSQUEZ, C. Geometría plana y del espacio. Madrid, Biblioteca Sa nti ll ana de consu lta . MICROSO FT CORPORATI ON. Biblioteca de consulta Microsoft Encarta 2005, 1993-2004.
2 5[ C5 6
1
©
Santillana .
1
