Pauta Cuarto Examen de FS-321

Cuarto Examen de Electricidad y Magnetismo I

12/12/14

Universidad Nacional Autónoma de Honduras

Nota

Facultad de Ciencias Escuela de Física Pauta Examen de FS-321 (Valor 100 %) Nombre: ___________________________________ No. Cuenta: ____________ Catedrático: ________________________________Sección: ________________

Duración: 2 horas. Tipo Práctico (25% c/u) Resuelva en forma clara y ordenada los siguientes problemas. 1. Una esfera de radio a tiene su centro en el origen. Dentro de la esfera, el campo eléctrico está

⃗        ̂

, ,   

 ,  , donde dado por son constantes. Existe una densidad superficial de carga sobre la superficie de la esfera, dada en coordenadas esféricas por ,



=

donde constante. Encuentre coordinadas rectangulares.

⃗

   

 en todos los puntos justo afuera de la esfera y expréselo en

Solución

Ya que es una esfera, el vector unitario normal a la esfera es

̂   ++   ̂

⃗   ⃗   ⃗  ⃗   (⃗  ∙ )        ̂ ⃗            ̂  ⃗   ⃗                    ⃗   ⃗   ⃗   ⃗      ̂   ⃗   ⃗     ̂ ⃗         ̂      ̂  ⃗                ̂ 2. a) Asumiendo que no existe densidad superficial de carga libre, demostrar que los ángulos de la figura 1 satisface la relación

 cot   cot

. La región entre los

materiales es un plano paralelo al plano “xy”. Si

en la región 1 ke1  = 2.31 y en la región 2 ke2 = 4.00. b) Encontrar θ2 si θ1 = 30 ͦ. Solución

Al no existir carga libre

Por otro lado

D 1n = D2n

E1t = E2t

Al dividir estos términos se tiene:

Figura 1: Campos eléctricos en la frontera entre dos dieléctricos

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                       /  /   /     − [4.00/2.31 30.0°] ≈45.0° 3. Un capacitor de placas paralelas cuadradas de lado L, y separación d recibe una carga Q y se desconecta de la batería. Se coloca entonces verticalmente con uno de sus extremos sumergido en un recipiente que contiene un dieléctrico líquido de densidad de masa  (ver figura 2). Despreciar los efectos de borde y demostrar que el líquido subirá hasta una altura h dentro del capacitor, siendo



Solución

La capacitancia equivalente de este sistema está dada por:

1  1  1               1  1    2   2     En este caso la carga es constante.

      12  1   1    2   1

El sistema alcanza el equilibrio Cuando

     ℎ 

  ℎ  −   4. Una esfera dieléctrica i.h.l. de radio a

Solución

también posee carga libre a densidad cons-

 

⃗ ⃗

tante . Encontrar y   para todos los puntos dentro de la esfera. Encontrar la energía total de los campos dentro de la esfera. ¿Cuál es la carga ligada volumétrica total? Encontrar el potencial debido a este sistema, para toda r. ¿Cuál es el valor del potencial en el centro de la esfera?

Usando Ley de Gauss

∮⃗ ∙⃗    Si r < a

  4  3

La carga libre encerrada es:

     Si r < a

Si r > a

 4        3   4        3 

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Si r < a

⃗  3 ̂ ⃗  ⃗  3 ̂ Si r > a

         4     3           3   La energía en los campos dentro de la esfera es:

       1 1 ⃗ ⃗   2  ∙ 2    9             2    1     4 2  9     2 45    45  La polarización dentro de la esfera es:

  ̂ ⃗   ⃗  1 3   1 1  ⃗ ⃗   ∇ ∙        La carga ligada volumétrica total es:

 4         1  3 El potencial electrico es: Si r > a

∆  ⃗ ∙⃗       ∞    3    ∞      0  3  ∞       3   Si r < a

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                3   6     6                6   3   6       2 1   2       

6

6

Si r = 0

2 1      6 

Bono (16%) La polarización de un cubo dieléctrico de lados L, centrado en el origen, esta expresada por

⃗      ̂

 . a) Determine las densidades superficial y volumétrica de carga ligada. b) Demuestre que la carga total ligada es cero.

Solución

  ∇⃗ ∙⃗  3    ⃗ ∙  ⃗ ∙   =/   2    ⃗ ∙  ⃗ ∙    =−/   2     

Lo mismo ocurre con el resto de caras, es decir

∫   3   ∑ ∫    6    3   3   3    0

La carga volumétrica ligada total es La carga superficial ligada total es La carga ligada total es