INVESTIGACIÓN IV MATRICES
1. INTRODUCCIÓN En muchos análisis se supone que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria. En este trabajo, se define a la matriz, así como las operaciones correspondientes. Se considera un tipo especial de matriz, el cual es el objetivo principal de este estudio: las matrices subdivididas (Partición de Matrices).
2. OBJETIVO Aplicar el concepto de matriz particionada (dividir una matriz en submatrices menores) para reducir matrices de grandes dimensiones. 3. DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es matriz es una disposición (o “arreglo”) rectangular de números en la forma a11
a12
21
a 22
a A am
1
am 2
a1n
a n a mn 2
o
a11
a12
a1n
21
a 22
a2n
a A a m
1
am 2
a mn
Las letras ai j representan números reales, que son los elementos de la matriz. Nótese que ai j designa al elemento en la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A; la matriz A se denota también a veces por ( ai j ) o por { ai j }. Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n (“m por n”), o bien, una matriz de orden m x n.
Si m = n, se expresa que la matriz es cuadrada. Cuando han de realizarse varias operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subíndices, por ejemplo, A m n , o bien, ai j m n .
Ejemplo 1
5
1 4
0
2
8
3
6 3 1
9 6
es una matriz 2 4
6 8 0
12 13 2 6
2 0 3
es una matriz 3 3 (cuadrada )
8 2 10 1 9 3 7 6 4 10
es una matriz 5 3
1 1 1 1 es una matriz 2 2 (cuadrada )
Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.
Ejemplo 2 Si A
2
2
2 2
2
2
2
2
B
2
2
2 2 2 2
C
D
2
2
2 2
A D, pero A B, A C, B C, B D, y C D.
4. Operaciones con matrices 4.1. Igualdad de matrices: Dos matrices A= aij
m,n
y B= bij
m, n
del mismo orden (es
decir con igual número de filas y columnas) son iguales, A=B, si y sólo si a ij = bij
4.2.
para todo i y j. Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea un número complejo y sea A= aij m,n una matriz de dimensiones mxn; entonces, el producto A es una nueva matriz C= cij
4.3.
m, n
, tal que cij aij para todo i y j.
Adición y sustracción de matrices: Si dos matrices A= aij
m, n
y B= bij
m, n
tienen el mismo orden (dimensión) definimos la suma o diferencia de matrices, C=A B, como una nueva matriz C= cij m,n , tal que cij aij bij para todo i y j.
4.4.
La adición de matrices es una operación conmutativa, es decir A+B=B+A, o en una forma más general A+B+C = (A+B )+C = A +(B +C ), no ocurre lo mismo con la sustracción. Multiplicación de matrices: Sea A= aij m,n (de dimensión mxn) y B= bij n, p (de dimensión nxp), se define el producto entre matrices, A B ó A B, como una nueva matriz C= cij m, p (de dimensión mxp), donde
n
aik bkj
cij
k 1
Ejemplo 3:
a a
A=
a11b11 a12b21 a21b11 a22b21
AB=
a12
11
b b
B=
a 22
21
11
21
a12b22 a21b12 a22 b22 a11b12
b12
b22
a11b11 a21b12 a11b21 a21b22
a12 b11 a 22 b12
BA=
a12 b21 a22 b22
Ejemplo 4:
1 A= 2
0
i
1 1 , B= 2 3 3
1 2 i 0 , AB= 11 2i 2 1 i 0
4
4i
8 3i
Debemos hacer notar que la multiplicación AB está definida si y sólo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que ambas matrices son conformables en el orden indicado (AB). En general el producto entre matrices no es conmutativo (ver Ejemplo 3), es decir: AB BA. Si A= aij m,n y B= bij n, p , entonces AB está definido, pero BA no lo está a menos que m=p. Sin embargo, si m=p, AB y BA son de distinto orden, a menos que m=n. Si A y B son matrices cuadradas (igual número de filas que de columnas) y del mismo orden, entonces el producto conmuta, AB=BA.
5. MATRICES SUBDIVIDIDAS Con frecuencia es conveniente subdividir (o particionar) una matriz descomponiéndola en sub-matrices. Éstas se pueden considerar como escalares al efectuar operaciones sobre la matriz original. La partición o subdivisión de una matriz se indica mediante líneas punteadas horizontales o verticales trazadas entre filas o columnas. Ejemplo 5: La matriz A de orden m n se pueden subdividir como sigue:
A A1
A2
en donde A1 es de orden m n , A2 es de orden m n , y n n n. La transpuesta de una matriz subdividida se puede escribir en términos de las transpuestas de sus submatrices. Así pues, 1
2
1
2
A 1 A A 2
Ejemplo 6: Si
4 3 A 2 1 8 2
A A1
2
4
A
A A
1
2
2
5
0
7
1
entonces
6
3
8
3 1 2 5 1 3 0 6 7
Si se subdividen en forma compatible, las matrices particionadas se pueden sumar, restar o multiplicar. Si una matriz A de orden m n se subdivide como A A A , en donde A1 es m n , A2 es , y n n n; y si una matriz B de orden m n se particiona como B B B , en donde B1 es m n , B2 es , y n n n, entonces 1
m
1
1
n
2
1
2
2
A B A1 B1
m
1
A2 B2
2
n
1
2
2
De igual modo, si A A 1 A2
en donde A es m n , A1 es m n , A2 es m n , y m m m y
B1 B B2
en donde B es m n , B1 es m n , B2 es m n y m m m , entonces
1
1
2
1
2
1
2
2
A B1 A B 1 A1 B2
Ejemplo 7: 3
Si
A 1 7
4
2
0
5
3
3
0
6 2
y
3 0 2 B 1 1 2 5 4 3
4
1
5
entonces A B A1 A2 B1 A B A1 A2 B1
3 4 2 0 3 0 2 B2 1 0 5 6 1 1 2 7 3 3 2 5 4 3 B2 A1 B1 A2 B2
4
0 4 5 2 1 1 12 7
0
4
3
3 11 6
o bien, 4
2
1
1
0
5
2
2
3
3
3
A B A B 1 A B 7
3 0 2 6 1 1 2 2 5 4 3 0
4
0
4
5 2 1 1 12 7
0
4
3
11
6
A B A B 3 1
2
1
2
Otras muchas subdivisiones posibles conducen al mismo resultado. Particionar o subdividir una matriz es frecuente y conceptualmente conveniente cuando las matrices han de ser sumadas o restadas, pero las ventajas computacionales de la subdivisión de matrices se utilizan principalmente en la multiplicación y en otras operaciones más complicadas. Las matrices deben subdividirse en forma compatible para la multiplicación. Si una matriz A de orden m n se subdivide como A A A , en donde A1 es m n , A2 es , y n n n; y una matriz B de orden n p se subdivide como: 1
m
1
B1 B B2
en
AB A1
A2
donde
n
1
2
B1
2
n1 p
es
2
y
B2
n2 p ,
es
entonces
B1
B A B A B 1
1
2
2
2
Ejemplo 8: 3
Si
0
A 2 4 1 1
1 1 2
2
B 1 1
y
1
1 3
Entonces 3
0
AB 2 4 1 1
1 1 2
2
1 1
1
3
0
2 3 2 4 1 1 1 1
1 1 3 2 1
6
3
1
1 , 1 0 10 1 1 2 2
1 7 1 1 2 1
2
0
11
lo que puede verificarse por multiplicación matricial directa. Las matrices se pueden subdividir en más de dos submatrices. De hecho, es posible particionar una matriz m n en un máximo de mn submatrices; observemos que la partición máxima equivale a no subdividir en absoluto la matriz, puesto que cada elemento se trata como una matriz escalar. A menos que se tenga una partición lógica en términos de las variables de un problema, las matrices se deben subdividir para facilitar los cálculo; esto implica un compromiso razonable entre minimizar el número de submatrices y minimizar su tamaño máximo.
Las matrices se particionan ya sea horizontalmente o verticalmente. Por tanto, la matriz A de orden m n se puede subdividir en la forma: A11 A A21
A12
A22
en donde A11 es m n , A12 es m n , A21 es m n , A22 es m n , y asimismo, m m m , n n n . Entonces 1
1
2
A A A
11 21
1
1
1
2
2
1
2
2
2
A12
11
12
22
21
22
A A A A A
Si la matriz B de orden n p se particiona como
B B 11 B21
B12
B22
en donde B11 es n p , B12 es n p , B21 es n p , B22 es n p , y asimismo, n n n , p p p , entonces A y B están particionadas en forma compatible para la multiplicación y 1
1
2
1
A AB 11 A21
1
1
2
2
1
2
2
2
A12 B11
B12
A22
21
B22
3
1
B
A11 B11 A12 B21
A
21
A11 B12 A12 B22
B11 A22 B21
A21 B12 A22 B22
Ejemplo 9: 1
Si
1 0 1 A 2 1 4 0 2 3
y
3 2 B 5 1 3 2 1
A AB A
entonces
11
A12 B11
B12
21
A22 B21
B22
1
0
4
3
0
1
3
1 2 1 1
3 2 1 0 1 5 1 2 1 4 0 2 3 3 2
1
0
4
3
0
1
1 2 1
7 1 3 1 18 5 3 2 21 3 2 1 0 0 1 3 , 2 3 2 3 2 0 5 1 2 1 4 1 3 12 8 13 11
A11 B11 A12 B21
y
1
3
1
1 0 1 1 0 1 0 , 4 3 2 2 1 4
A11 B12 A12 B22
2
2
A21 B12 A22 B22 0 ,
1 ,
9
1
0
3
1 3 0 , 2
1 ,
0
1 0 4 0
3
5
4
5
0
3 2 3 3 , 2 10 , 2 9 , 1
A21 B11 A22 B21 0 ,
13
1 1 2
1 1 4
1 13 8 4 1 1 1 0 4 2 7 8
1 , 4
6
1 8 , 6 ,
4
0 ,
3 ,
8 ,
3
9 ,
En consecuencia, A11 B11 A12 B21 AB A21 B11 A22 B21
A11 B12 A12 B22 A21 B12 A22 B22
7 13 8 4 21 0 0 1 1 0 13 11 2 7 8 1 4 8 9 7
lo cual se puede verificar por multiplicación matricial directa.
6. CONCLUSIÓN Resulta consistente con las definiciones anteriores, el dividir una matriz en submatrices menores. Este proceso es conocido como partición de una matriz y resulta muy útil en programación, especialmente cuando se trabaja con matrices de grandes dimensiones. Las particiones, pueden hacerse independientemente en columnas, filas o combinadas.
7. BIBLIOGRAFÍA http://www.oocities.org/josearturobarreto/capitulo2.htm.tmp http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/IDEA/2007218/html/lecturas/algebralineal/ 10.htm http://jmcalabu.blogs.upv.es/files/2009/09/Tema2Matrices.pdf http://www.univalle.edu.co/~mvillegas/texto/cap2.pdf
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