Parte 5_Porticos Isostaticos

5. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Elementos de Cálculo Estrutural Profa. Ana Amélia Mazon Prof. Ricardo A. M. Silveira Deciv/EM/UFOP

SUMÁRIO 5. Pórticos (Quadros) Isostáticos 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12.

Introdução Pórticos Biapoiados Pórticos Engastados-Livres Pórticos Triarticulados Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (ou Escora) Pórticos Compostos Estabilidade Grau de Indeterminação Barras Inclinadas Pórticos com Barras Curvas (Arcos) Arcos Triarticulados Pórticos Espaciais

5. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.1. INTRODUÇÃO a) Definição São estruturas reticuladas formadas por várias barras situadas num único plano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural. b) Observações • Os nós entre as barras são LIGAÇÕES RÍGIDAS ou ROTULADAS. • Esforços solicitantes numa dada seção: MOMENTO FLETOR (M), ESFORÇO CORTANTE (V) e ESFORÇO NORMAL (N). • Pórticos simples ou compostos. • Barras retilíneas ou curvas (arcos).

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS c) Exemplos Pórticos com barras retilíneas p

P

P

(a) Biapoiado p

P

(c) Atirantado, biapoiado e articulação interna

(b) Triarticulado

P p P

P P P P

(d) Em balanço

Elementos de Cálculo Estrutural

(e) De múltiplos vãos

(f) De múltiplis andares

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS

Pórticos com barras curvas

p

(a) Biapoiado p

(c) Triarticulado


p

(b) Biengastado com articulação p

(d) Atirantado


Pórticos compostos


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Pórticos espaciais


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS c) Diagramas de esforços solicitantes 1. Momento Fletor (DMF) Obter os momentos fletores atuantes nos nós das barras e, em seguida, ligá- los por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se os diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam sobre cada uma das barras que constituem o quadro.

2. Esforços Cortantes (DEC) e Esforços Normais (DEN) Obtenção imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reações de apoio.


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.2. PÓRTICOS BIAPOIADOS

Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN). F

C

D

E H

G

A


B

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.3. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES

Exemplo : Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

E

D

F

B C

A


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.4. PÓRTICOS TRIARTICULADOS

Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.5. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA)

a) Escoras e tirantes Definição: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre ela que funciona como uma ligação do primeiro gênero, na qual surgem apenas forças na direção do seu eixo (esforço normal). Quando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando está TRACIONADA, diz-se que é um TIRANTE. N

N

ra co s E

N


Ti ra nt e

N


b) Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

E

C

A


F

D

B

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.6. PÓRTICOS COMPOSTOS a) Definição: são estruturas formadas através de associações de quadros simples.

Quadro Composto

Quadros Simples



b) Solução

1. Decompor o quadro composto original em quadros simples. 2. Verificar quais os quadros com e sem estabilidade própria. 3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade própria para o carregamento atuante sobre eles. 4. Resolver em seguida os quadros simples com estabilidade própria para o carregamento atuante sobre eles, acrescidos das forças transmitidas pelas rótulas.


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Exemplos:

Quadro Composto

Quadros Simples



Quadro Composto

Quadros Simples



Quadro Composto

Quadros Simples



Quadro Composto

Quadros Simples



Quadro Composto

Quadros Simples



Quadro Composto

Quadros Simples



c) Exemplo: Pede-se as reações de apoio e os diagramas (DMF e DEN).

Quadro Composto


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.7. ESTABILIDADE Restrição Inadequada Restrição Parcial

Restrição Inadequada


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS a) Conceito Básico Está relacionado com as restrições impostas à estrutura (vigas, quadros, pórticos, etc); ou se a estrutura é geometricamente instável ou estável. Restrições Parciais

r < 3n

Restrições Inadequadas r ≥ 3n r = número de incógnitas (reações e forças) n = número de partes do sistema estrutural Situações As reações são concorrentes (as linhas de ação das reações se interceptam um ponto em comum) ou são paralelas.


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 1. Restrições Parciais: r < 3n


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 2. Restrições Inadequadas: r ≥ 3n


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS b) Aplicação Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável.

As

estruturas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar.

(d)

(a)

(b)


(c)

(e)

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.8. GRAU DE INDETERMINAÇÃO a) Conceito Básico

1. Estrutura Estaticamente Determinada

r = 3n

Todas as forças (reações e esforços internos) podem ser avaliadas através das equações de equilíbrio da mecânica clássica. 2. Estrutura Estaticamente Indeterminada

r > 3n

As estruturas (vigas, quadros, pórticos, etc) têm mais forças incógnitas do que equações de equilíbrio da mecânica clássica. r = número de incógnitas (reações e forças) n = número de partes do sistema estrutural


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS b) Aplicação Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de indeterminação.

As

vigas

são

submetidas

à

carregamentos

conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar.

(a)

(c)

(e) (b)


(d)

externos


(f)

(h)


(g)

(i)


(j)

(k)

(l)


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.9. BARRAS INCLINADAS a) CASO A: Força distribuída em uma barra inclinada

Definição de p1 e p2: p1 = p x l y Definição de p3 e p4:

lx l

senα =

ly l

1 1 e p2 = p y l x l l

p3 = p1 senα + p2 cos α p4 = − p1 cos α + p2 senα


cos α =

l 2y

l 2x p3 = p x 2 + p y 2 l l l xl y l xl y p4 = − px 2 + py 2 l l


b) CASO B: Força distribuída transversal em uma barra inclinada

Definição de p1 e p2: p1 = p3 senα = p 3

l ly l p y = p2 lx

Definição de p3 e p4: p x = p1


ly l

e p2 = p3 cos α = p3

p x = p1

ly l l = p3 = p3 ly l ly

p y = p2

l l l = p3 x = p3 lx l lx

lx l

cos α =

lx l

senα =

ly l


c) Exemplo 1: Pórtico plano biapoiado com uma barra inclinada.

(i) Reações

∑ MB = 0 ∴ RA ⋅ 8 − 30(1,5 + 5) − 20 ⋅ 5 ⋅ 2,5 = 0 ∴ ∴ R A = 55,625 kN

∑ FY = 0 ∴ R A + RB − 30 − 20 ⋅ 5 = 0 ∴ ∴ RB = 74,375 kN


cos α = 3 / 5 = 0,6

senα = 4 / 5 = 0,8


(ii) Esforços solicitantes • Momento Fletor

DMF DMF (kNm)

Viga auxiliar DMF



• Esforço Cortantes e Normais Seção A: VA = R A cos α = 55,625 ⋅ 0,6 = 33,375 kN

NA = −R A senα = −55,625 ⋅ 0,8 = −44,5 kN

Seção Cd:

cos α = 3 / 5 = 0,6 senα = 4 / 5 = 0,8

VC' = VA − 30cos α = 33,375 − 30 ⋅ 0,6 = 15,375 kN

NC' = NA + 30senα = −44,5 − 30 ⋅ 0,8 = −20,5 kN

Seção Dd:

DEC (kN)

VD = R A − 30 = 55,625 − 30 = 25,625 kN

ND = 0

Seção B: VB = VD − 20 ⋅ 5 = 25,625 − 100 = −74,375 kN = −RB NB = 0


DEN (kN)


d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída na horizontal.

DMF

Viga auxiliar


DEC

DEN


e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída na vertical.

DMF


DEC

DEN


f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída ao longo do comprimento da barra.

DMF


DEC

DEN


g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída ao longo do comprimento da barra

DMF


DEC

DEN

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.10. PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)

Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas de esforços (DMF, DEC e DEN).

P

s R

A


θ B

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.11. ARCOS TRIARTICULADOS



a) Estudo 1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direções: princípios gerais da Estática já utilizados.

2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituição.



b) Viga biapoiada de substituição

Notação Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs



c) Equações de equilíbrio

Arco

∑ FX = 0

⇒ H'A cos α − HB' cos α = 0 ∴ H'A = HB' = H'

(1)

∑ FY = 0

  ⇒ VA + VB −  ∑ Pi  = 0  i 

(2)

∑ MB = 0

⇒ VA ( l1 + l2 ) − ∑ Pi ( l1 + l2 − xi )  = 0 ∴ i

∑ Pi (l1 + l2 − xi ) VA = i (l1 + l2 )

(3)

Substituindo (3) em (1):

∑ Pi (l1 + l2 − xi ) VB = ∑ Pi − VA ∴ VB = ∑ Pi − i (l1 + l2 ) i i VAl1 − ∑ Pi ( l1 − xi )  i ∑ MG = 0 ⇒ VA l1 − H' cos α f − ∑ Pi (l1 − xi ) = 0 ∴ H' = f cos α e

i


(4) (5)

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Viga de substituição   F = 0 ⇒ V + V − P ∑ y  ∑ i  = 0 (6) a b  i 

∑ Mb = 0

⇒ Va ( l1 + l2 ) − ∑ Pi ( l1 + l2 − xi )  = 0 ∴ i

∑ Pi (l1 + l2 − xi ) Va = i (l1 + l2 )

(7)

Substituindo (7) em (6):

∑ Pi (l1 + l2 − xi ) Vb = ∑ Pi − Va ∴ Vb = ∑ Pi − i (l1 + l2 ) i i Momento fletor no ponto g:

(8)

Mg = Va l1 − ∑ Pi ( l1 − xi )  i


(9)

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Comparações: Arco x Viga de Substituição

Equações (3) e (7): VA = Va

(10)

Equações (4) e (8): VB = Vb

(11)

Equações (5) e (9): H' =

Mg f cosα α

(12)

Conclusão

As reações do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas a viga de substituição.



d) Esforços solicitantes numa seção genérica S Arco

MS = VA x −

∑ Pi ( x − xi ) − H' cos α y

(13)

i

VS = VA cos ϕ −

∑ Pi cos ϕ − H' cos α senϕ + H'senα cos ϕ

NS = − VA senϕ +

i

∑ Pi sen ϕ − H' cos α cos ϕ − H'senα senϕ i

Simplificando as expressões (14) e (15), tem-se:

MS = VA x −

∑ Pi ( x − xi ) − H' cos α y

(16)

i

  VS =  VA − ∑ Pi  cos ϕ − H' sen ( ϕ − α ) i     NS = −  VA − ∑ Pi  senϕ − H' cos ( ϕ − α ) i  


(14)

(17) (18)

(15)


Análise dos esforços VA e H’: Seção S ϕ

Nϕ

VA

ϕ

V

VA

N = - VA sen ϕ V = VA cos ϕ

H’ H’ cos α: Seção S

Seção S ϕ

N

ϕ

V

H’ sen α:

N = - H' cos α cos ϕ V = - H' cos α sen ϕ

H' cos α


ϕ

Nϕ ϕ

V

H' sen α

N = - H' sen α sen ϕ V = H' sen α cos ϕ

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Viga Ms = Va x −

Vs = Va −

∑ Pi ( x − xi )

(19)

i

∑ Pi i

Ns = 0

(20) (21)

Comparações: Arco x Viga de Substituição MS = Ms − H'cosα y

(22)

VS = Vscosϕ − H' sen ( ϕ − α )

(23)

NS = − Vs senϕ − H' cos ( ϕ − α )

(24)

Observação: essas expressões permanecem válidas se ocorrerem também

cargas verticais distribuídas.



e) Linha de Pressões: determinação e definição

Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado

carregamento, todas as seções tenham MF nulo (MS = 0). Isto é, adotando-se a notação empregada, obter a ordenada y para cada seção S tal que MS = 0. São dados l1, l2, f e α. Solução: Na expressão (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:

yyyy =

s sssso MMMM c '''' H

MS = Ms − H' cos α y = 0

α


(25)

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Demonstração que VS = 0

Derivando-se (25):  dMs  V dy  dx  = ' = ' s dx H cos α H cos α

(26)

E levando-se em conta que dy dY dy * dy y=Y−y ∴ = − ∴ = tgϕ − tgα ∴ dx dx dx dx *

V dy = tgϕ − tgα = ' s ∴ Vs = ( tgϕ − tgα ) H' cos α dx H cos α

(27)

Chega-se, após a substiuição de (27) em (23), a: VS = ( tgϕ − tgα ) H' cos α cos ϕ − H' sen ( ϕ − α ) ∴ VS = H' sen ( ϕ − α ) − H' sen ( ϕ − α ) = 0


(28)

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Avaliação de NS

NS =

2

2

( Vs + H'senα ) + (H'cosα )

(29)

Inclinação da tangente ao eixo do arco triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27):

Vs + H' senα tgϕ = H'cosα

(30)

Conclusão: quando um arco triarticulado AGB, para um dado carregamento, está

submetido apenas a esforços normais, dizemos que sua forma é a da linha de pressões desse carregamento.


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Observações Finais:

1. No caso da reta AB ser horizontal: H' =

Mg

f M y = s' H

(31) (32)

Vs H'

(33)

NS = Vs2 + H'2

(34)

tgϕ =

2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de COMPRESSÃO. 3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de TRAÇÃO (Caso dos CABOS).



4. Linha de pressões: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econômica de trabalho estrutural). 5. Linha de pressões para carregamento uniforme: PARÁBOLA do 2º GRAU. 6. Construtores da antiguidade: notável intuição estática (venceram grandes vãos com arcos e abóbadas de alvenaria de pedra). 7. Arcos triarticulados: encontrados em várias construções. Arcos biengastados (hiperestáticos): mais utilizados na prática.



e) Aplicação Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se: a. A linha de pressões. b. Os esforços normais máximo e mínimo atuantes. c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m.


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Solução

Viga de substituição…??

Arco triarticulado


Viga de substituição

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 5.12. PÓRTICOS ESPACIAIS

a) Aplicação Calcule as reações e os esforços internos do pórtico espacial mostrado abaixo:


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Solução 1: Reações

Forças

Momentos

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0

∑ Mx = 0 ∑ My = 0 ∑ Mz = 0


PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Solução 2: Esforços Internos

Elemento 3, Nó 3 ao Nó 4






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