UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ARMADAS “ESPE”
PROCESAMIENTO DIGITAL DIGITAL DE SEÑALES
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS”ESPE” PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES ESTRUCTURAS EN CELOSÍA (LATTICE)
RESUMEN: En el siguiente documento se muestra, una forma diferente de representación de un sistema LTI. Ésta proporciona la relación entre la entrada y salida de una función de transferencia, la realización en celosía es ampliamente utilizada en el procesamiento digital de la voz y en la implementación de filtrado adaptativo por sus características de estabilidad y en sistemas FI !espuesta Impulsional Finita, todos ceros". ABSTRACT: T#e follo$ing document s#o$s a different $ay of representing an LTI system. %onduc %onductin ting g lattic lattice e is $idely $idely used in digita digitall speec# speec# processi processing ng and adapti adaptive ve filter filtering ing implementation for its stability, also used in FI filters. PALABR PALABRAS AS CLA CL AVE: Celosía , Estructuras. ARMA, AR, MA 1. INTR INTRO ODUCC UCCIÓN IÓN
La estruc estructur turaa en cels! cels!aa es a"#l$a" a"#l$a"ent entee ut$l$%a&a en el #rcesa"$ent &$'$tal &e la (%) $"#le"entac$*n &e +$ltrs a&a#tat$(s #r sus caracter!st caracter!st$cas $cas &e esta,$l$&a esta,$l$&a&) &) $"#le"enta $"#le"entac$*n c$*n &e +$ltr +$ltrs s FIR) FIR) - en trata trata"$ "$en ent t &e se.a se.ale less 'e+ 'e+!!s$ca s$cass) #ar #ara &er &er$(ar $(ar la est estruct ructur uraa &e "ues "uestr tre e en +rec +recue uenc nc$a $a)) es#e es#ec$ c$+$ +$ca can& n& la res#uesta en +recuenc$a &esea&a en un cn/unt &e +recuenc$as e0u$es#ac$a&as1
2.1 CELOSÍA FIR SISTEMA TODO CEROS (MEDIA MÓVIL MA)
Da& un +$ltr FIR cu-a u-a +unc$*n &e trans+erenc$a es5 M
H ( ( z z )=
k
k 0
Va"s Va"s a &e+$n$r un cn/unt &e +$ltrs m
Am ( z z ) =1+
2. ESTR ESTRUC UCTU TURA RAS S EN CELO CELOSÍ SÍA A
Una re#resentac re#resentac$*n $*n estructural estructural ut$l$%an& ut$l$%an& ,l0ues es el #r$"er #as en la real$%ac$*n &e s+t2are 3ar&2are &e un s$ste"a &$'$tal1 La re#r re#res esent entac ac$* $*nn &e la estr estruc uctu tura ra #r# #r#rc rc$ $na na relac$nes entre al'unas (ar$a,les $nternas cn la entra&a - la sal$&a 0ue) a su (e%) es la cla(e &e la $"#le"entac$*n1 Va"s "s a anal$ anal$%a %arr 4 cass cass55 s$st s$ste" e"as as 6MA7 6MA7)) s$ste"as 6AR7 - s$ste"as 6ARMA71
∑= h (n ) z−
∑= α (k ) z− m ≥ 1 k
m
k 1
H ( z z )= A M ( z z )
La res#uesta al $"#uls un$tar$ &el +$ltr " es h m ( 0 )=1 y h m ( k )= )= am (k ) , k =1,2,... , m 1
Dn&e " es el r&en &el +$ltr1 Para Para este este cn/u cn/unt nt &e +$lt +$ltr rss su res# res#ue uest staa te"#ral ser85 m
y ( n )= x ( n )+
α ( k ) x ( n− k ) ∑ = m
k 1
1 ING ARMANDO ÁLVAREZ
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Su#n'a a3ra 0ue tene"s un +$ltr &e r&en "9:1 La sal$&a &e tal +$ltr es5
A@ 6 z 7 = B@ 6 z 7 = :
2.2 CELOSÍA FIR SISTEMA TODO POLOS (AUTOREGRESIVOAR)
y ( n )= x ( n )+ a 1( 1 ) x ( n−1 )
Esta sal$&a ta",$;n #ue&e ,tenerse a #art$r &el +$ltr en cels!a &e #r$"er r&en &e una sla eta#a) "stra& en la F$'ura :) e
Da&a +unc$*n &e trans+erenc$a &e un s$ste"a t& #ls1 1
H ( z )= 1
1
=
N
+ ∑ ⍺ N ( k ) z−k
1
A N ( z )
k =1
OBTENCIÓN DE LOS COEFICIENTES DE REFLEXIÓN
La ecuac$*n en &$+erenc$as ser85 N
∑ =
y ( n )=−
k
Figura 1. M-esima etapa de la realización de un sistema FIR en celosía.
⍺ N
( k ) y ( n −k ) + x (n )
1
S$ en este s$ste"a $nterca",$a"s la sal$&a la entra&a tene"s5 N
y ( n )= x ( n ) +
∑ =
⍺
( k ) x ( n− k )
N
k 1
OBTENCIÓN DE LOS COEFICIENTES DE REFLEXIÓN.
Para ,tener ls ce+$c$entes recr&e"s 0ue5 m
Am ( z ) =1+
∑= α (k ) z− m ≥ 1 k
m
k 1
Entnces Am : 6 z 7 =
Am 6 z 7 − K m Bm 6 z 7
−
−m
B m= z
A m ( z
−1
>
: − K m
0ue es un s$ste"a FIR &el 0ue -a cnce"s la relac$*n entre la +unc$*n &e trans+erenc$a ls ce+$c$entes &e re+le<$*n1 S$ ut$l$%a"s las ecuac$nes &e la cels!a FIR e $nterca",$a"s entra&a - sal$&a tene"s las ecuac$nes s$'u$entes #ara la cels!a IIR t& #ls) el s$ste"a IIR cn +unc$*n &e trnas+erenc$a es5 H ( z )=
1
A N ( z )
) , a m ( m )= K m , am ( 0 )=1
? &e "anera $n(ersa &a& ls ce+$c$entes &e re+le<$*n se #ue&en 3allar la +unc$*n &e trans+erenc$a &e la s$'u$ente "anera Am 6 z 7
=
Bm 6 z 7
= K m Am −:
:
−
Am −: 6 z 7 + K m z Bm−: 6 z 7) :
−
6 z 7 + z
Bm−: 6 z 7)
Figura 2. Estructura en celosía para un sistema IIR todo polos.
Su +unc$n &e trans+erenc$a es5 H a ( z ) =
Y ( z ) F 0 ( z ) 1 = = X ( z ) F m ( z ) A m ( z )
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M
Pr tr la&) la sal$&a gn ( n ) +$'ura > re#resenta una c",$nac$*n l$neal &e las sal$&as5
H ( z )=
∑ V
m= 0
m
Bm ( z )
A N ( z )
Hue &a c" resulta&5
z
(¿¿−1 ) G m ( z ) Gm ( z ) H b ( z ) = = = Bm ( z ) = z−m A m ¿ Y ( z ) G ( z )
M
C m ( z )=
∑ V
m =0
m
Bm ( z )
0
Es &ec$r) la +unc$*n &e trans+erenc$a "6%7) t"an& c" entra&a la sal$&a ? 6%7) - la sal$&a G"6%7) es un s$ste"a FIR 0ue se caracter$%a #r ser el #l$n"$ $n(ers &e A"6%7) #r l 0ue ls ce+$c$entes sn $&;nt$cs a ls &e A"6%7 sal( 0ue curre en r&en $n(ers1 Est su#ne una tra-ectr$a t&Bcers 0ue t$ene c"$en% en '@ 6n7 - sal$&a en ' N6n71 Se &$ce 0ue "6%7 es la +unc$*n &e trans+erenc$a 3ac$a atr8s #r0ue #r#rc$na una tra-ectr$a 3ac$a atr8s en la estructura t&B#ls1 Ls #ar8"etrs =:) =>)) =N sn ls "$s"s #ara estructuras t& #ls - t& cers) se &$+erenc$an sl #r la $ntercne<$*n &e sus 'ra+s s$ =" : #ara t& " las estructuras en cels!a t& #ls sn esta,les1 En la #r8ct$ca a s$& ut$l$%a& en las "&elac$nes &el trnc (cal 3u"an - la estrat$+$cac$*n &e la t$erra1
2.! CELOSÍA ESCALONADA
(AUTOREGRESIVO DE MEDIA MÓVIL ARMA).
El (alr v m re#resenta ls #ar8"etrs 0ue ns s$r(en #ara &eter"$nar ls cers &el s$ste"a) su +unc$*n &e trans+erenc$a es5 M g ( z ) Y ( z ) H ( z )= = V m m → X ( z ) y F 0 ( z )=G 0 ( z ) X ( z ) m=0 X ( z )
∑
M
H ( z )=
∑= V
m
m
0
Gm ( z ) F 0 ( z ) G0 ( z ) F N ( z )
M
= ∑ V m m= 0
B m ( z ) A N ( z )
Ls ce+$c$entes &el #l$n"$ C M ( z ) ) s$r(en #ara &eter"$nar ls ce+$c$entes &e #n&erac$*n &e la escalera { v m } - ls A N ( z ) ce+$c$entes &el #l$n"$ &eter"$nan ls #ar8"etrs &e la cels!a {k m } 1 Ls #ar8"etrs &e la escalera est8n &a&s #r5 m −1
C m ( z )=
V B ( z ) + V ∑ = k
k
k
m
Bm ( z )=C m−1 ( z ) +V m B m ( z )
0
Ests #ar8"etrs se calculan recurs$(a"ente a #art$r &e ls #l$n"$s $n(erss B m ( z ) "9:)>)11)M) c" β m ( m) #ara t& ") ls #ar8"etrs se #ue&en &eter"$nar "$ran& 0ue V m=C m ( z ) "9@):))M &an& c" resulta&5 C m −1 ( z )=C m−1 ( z ) + v m Bm ( z )
Ests +$ltrs en cels!a escalna&a re0u$eren un "!n$" &e "e"r$a aun0ue n #cas "ult$#l$cac$nes) tra &e sus (enta/as es 0ue sn +$ltrs "u- esta,les - r,usts ante ls e+ects &e #ala,ras &e ln'$tu& +$n$ta #r l 0ue sn "u- ut$l$%a&as en a#l$cac$nes #r8ct$cas tales c" #rcesa"$ent &e (%) +$ltra& a&a#t$( - #rcesa"$ent &e se.ales 'e+!s$cas1 Figura 3. Estructura en celosía escalonada. 3.
EJERCICIO APLICATIVO.
3 ING ARMANDO ÁLVAREZ
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a.
O,ten'a ls ce+$c$entes &e cels!a crres#n&$ente al +$ltr FIR cn +unc$*n &e trans+erenc$a. 4 A6 z 7 = : + z : I −
+
: >
−
z
>
+
: I
−
z
4
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Da& 0ue el s$ste"a t$ene &s sal$&as) F M6Z7 - GM6Z7) - una n$ca entra&a) 6%7) #&e"s &$+erenc$ar &s +unc$nes &e trans+erenc$a5 A M 6 z 7 =
Un s$ste"a en cels!a #resenta una ser$e &e eta#as en casca&a) &n&e el +$ltr &escr$,e el cn/unt &e ecuac$nes s$'u$ente5
B6 z 7 =
F M 6 z 7
=
X 6 z 7
G M 6 z 7
=
X 6 z 7
F M 6 z 7 F @ 6 z 7
G M 6 z 7 G@ 6 z 7
)
)
F @ 6 z 7 = G@ 6 z 7 = X 6 z 7 F m 6 z 7
Gm 6 z 7
= F m −:
6 z 7 + K m
= K m F m −:
Gm −: 6 z 7)
"9:)>))M J :
6 z 7 + z :G m :6 z 7 −
−
) "9:)>))M J
:
Dn&e = " es el #ar8"etr &e cels!a &e la eta#a "B;s$"a) ta",$;n &en"$na&s ce+$c$entes &e re+le<$*n #r ser $&;nt$cs a ls ce+$c$entes &e re+le<$*n $ntr&uc$&s en el test &e esta,$l$&a& &e Sc3KrBC3n1 Las Ecuac$nes "9:)>))M J : - se &escr$,en el c"#rta"$ent &e la eta#a "B ;s$"a) &n&e las entra&as sn F ":6%7 - G":6%7) #r#rc$n8n&las sal$&as F"6%7 - G"6%71 En cn/unt) las Ecuac$nes F @ 6 z 7 = G@ 6 z 7 = X 6 z 7 a "9:)>))M J : sn un cn/unt &e ecuac$nes recurs$(as 0ue &escr$,en el +$ltr en cels!a1 C" (e"s en la +$'ura $n+er$r) #r$"era eta#a) la entra&a <6n7 est8 cnecta&a a + @6n7 '@6n7) - la sal$&a +6n7 &e la lt$"a eta#a se cns$&era la sal$&a &el +$ltr
Figura 4. Filtro en celosía de M-1 etapas
Figura 5. Estructura de cada etapa.
Pr l 0ue &$($&$en& las ecuac$nes tene"s5 F @ 6 z 7 = G@ 6 z 7 = X 6 z 7
a "9:)>))M J : #r 6%7)
A@ 6 z 7 = B@ 6 z 7 = : Am 6 z 7
=
:
−
Am −: 6 z 7 + K m z Bm −: 6 z 7)
"9:)>))M J
: Bm 6 z 7
= K m Am −:
:
−
6 z 7 + z
Bm −: 6 z 7)
"9:)>))M J
: 4 ING ARMANDO ÁLVAREZ
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C" #art$"s &e ls ce+$c$entes &el +$ltr FIR #ara la real$%ac$*n en +r"a &$recta) tene"s el #l$n"$ A6%7 0ue es5 4
:
−
:
−
A4 6 z 7
=
:+
A4 6 z 7
=
α 4 6@7 + α 4 6:7 z
z
I
+
z
>
> :
−
+
+
:
−
:
+
I
:
:
−
z
>
+
+
4
−
z
−
α 4 6 >7 z
>
+
−
α 4 647 z
4
>
−
β 4 6 >7 z >
−
z
+
I
+
4
−
β 4 647 z
=
A> 6 z 7 =
K >
sa,e"s 0u; K = α 6i 7 1 Da& 0ue el 'ra& &el #l$n"$ A6%7 es tres) ten&re"s una cels!a &e tres eta#as) &e la cual #&re"s ,tener $n"e&$ata"ente el #ar8"etr1 α 4 647 = : P I
Bm 6 z 7
=
Am 6 z 7
=
:
−
:
−
6 z 7 + z
Bm−: 6 z 7)
α > 6 >7 = : P 4 B > 6 z 7 =
:
−
la
−
: 4
+
recurs$*n
A> 6 z 7 − K > B> 6 z 7
K : 9 :>)
>
: − K >
> 4
+
:
−
z
:
−
z
4
+
−
z
>
>
&escen&ente) =
:+
: >
:
−
z
K > 9 :4)
K 4 9 Q
La estructura en cels!a &el s$ste"a FIR #r#uest es la re#resenta&a en la +$'ura5
-
". CONCLUSIONES •
&n&e5
Am−: 6 z 7 + K m z Bm−: 6 z 7
[
: − K 4
> : + z : 4
1
Am −: 6 z 7 + K m z Bm−: 6 z 7)
= K m Am −:
=
Pr l 0ue +$nal"ente K : = α : 6:7 = : P > cn l 0ue ls ce+$c$entes &e la estructura cels!a resultan
i
Para ,tener el #ar8"etr = > neces$tare"s el #l$n"$ A>6%71 La relac$*n recurs$(a 'eneral se &eter"$na +8c$l"ente a #art$r &e las ecuac$nes5 Am 6 z 7
=
A: 6 z 7 =
Desea"s &eter"$nar ls crres#n&$entes #ar8"etrs &el +$ltr &e cels!a = $1 Para ell
=
>
Al re#et$r ,tene"s5
β 4 647 = α 4 6@7) β 4 6>7 = α 4 6:7)
K 4
>
: − K m
A4 6 z 7 − K 4 B4 6 z 7
Pr l 0ue5
β 4 6:7 = α 4 6 >7) β 4 6@7 = α 4 647)
i
Am 6 z 7 − K m Bm 6 z 7
La cual es #rec$sa"ente la recurs$*n &escen&ente usa&a en el test &e esta,$l$&a& &e Sc3KrBC3n1 Me&$ante la recurs$*n &escen&$ente) cn " 9 4) se ,t$ene5
4
- #r tant
- A6%7 #&e"s
Am −: 6 z 7 5
4
I
z
resl(er
−
:
−
Dn&e s! cnce"s
Am : 6 z 7 =
A&e"8s) sa,e"s 0ue ls ce+$c$entes &el +$ltr &e sal$&a 6%7 sn $n(erss a ls &e A6%7 #r l 0ue5 β 4 6 z 7 + β 4 6@7 + β 4 6:7 z
K m ) Bm
La estructura &e Cels!a es a"#l$a"ente ut$l$%a& en el #rcesa"$ent &$'$tal &e (%) $"#le"entac$*n &e +$ltrs a&a#tat$(s &e,$& a sus caracter!st$cas &e esta,$l$&a&1
=
Am−: 6 z 7 + K m Bm 6 z 7 − K m A m−: 6 z 7
]
•
Las estructuras en cels!a tant FIR c" IIR se caracter$%an #r ls "$s"s 5
ING ARMANDO ÁLVAREZ
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ce+$c$entes &e re+le<$*n ) &$+erenc$8n&se n$ca"ente en su $ntercne<$*n1 •
•
•
Para ,tener la estructura en cels!a ARMA) calculare"s ls ce+$c$entes &e re+le<$*n cns$&eran& un s$ste"a t& #ls) #ster$r"ente calculare"s ls ce+$c$entes &e #n&erac$*n &e la escalera La sal$&a &el +$ltr FIR MA) ta",$;n #ue&e ,tenerse a #art$r &el +$ltr en cels!a &e #r$"er r&en &e una sla eta#a) e
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
#. RECOMENDACIONES
Este t$# &e tra,a/s $n(est$'at$(s) #er"$te ,tener "8s $n+r"ac$*n acerca &e nuestra es#ec$al$&a&) acerca &e te"as necesar$s #ara la #arte a#l$cat$(a en este cas creac$*n &e +$ltrs FIR e IIR1 $. BIBLIOGRAFÍA
: E1 Sr$a) M1 Mart!ne%) 1 Franc;s) an& G1 Ca"#s) “TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES1 Pr,le"as - e/erc$c$s resuelts)”) ta e&1) E&1 Es#a.a5 PEARSON EDUCATION) >@@4 > M1 Mart!ne%) L1 G*"e%) A1 1 Serran) 1 V$la) 1 G*"e%) “FILTROS DIGITALES”) Un$(ers$&a& &e Valenc$a)>@@
6 ING ARMANDO ÁLVAREZ