JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
1
Analisis Stabilitas dan Sensitivitas Model Epidemik Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan deng an Vaksin Vaksinasi asi Wahyuni Ningsih, Mohammad Setijo Winarko, Nuri Wahyuningsih Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail:
[email protected]
Abstrak—Penyakit menular seperti flu burung merupakan jenis penyakit menular yang sudah bersifat pandemik. Sehingga perlu adanya penelitian lebih lanjut untuk menganalisa pola penyebaran virus flu burung tersebut. Pada penelitian kali ini dilakukan analisa stabilitas lokal dan analisa sensitivitas terhadap model epidemik flu burung burung pada unggas-manusia unggas-manusia dengan vaksinasi. Dari model epidemik tersebut dicari bilangan reproduksi dasar, analisa stabilitas lokal pada titik setimbang, serta analisa sensitivitas untuk mengetahui parameter-parameter yang sensitif. Hasil yang diperoleh menyatakan bahwa masih terjadi penyebaran virus flu burung saat > 1 , dan tidak terjadi penyebaran virus flu burung saat < 1. Selain itu dari setiap asumsi parameter, didapatkan beberapa parameter yang mempengaruhi tingkat penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun pada populasi unggas. Parameterparameter yang sensitif tersebut yaitu laju kelahiran dan laju kematian pada populasi manusia , laju kelahiran dan laju kematian pada populasi unggas , laju kontak rata-rata populasi , laju kontak rata-rata populasi , laju kontak rata-rata populasi , serta laju kesembuhan dari infeksi .
−
−
−
Kata Kunci—Analisis
sensitivitas, analisis stabilitas lokal, bilangan reproduksi dasar, flu burung, parameter sensitif.
I. PENDAHULUAN
S
AAT ini penyakit yang sering dijumpai adalah penyakit menular. Salah satu jenis penyakit menular yang cukup ganas dan telah menelan banyak korban di berbagai negara di dunia adalah virus flu burung. Flu atau bisa disebut sebagai influenza adalah suatu infeksi virus pada sistem pernapasan yang disebabkan oleh virus RNA tertentu dari keluarga Orthomyxoviridae [7]. Dari ketiga jenis virus influenza A, B, dan C, virus flu burung sendiri merupakan jenis virus influenza tipe A yang tidak hanya menyerang pada manusia tapi juga pada hewan. Berdasarkan data WHO, virus flu burung telah menelan banyak korban di berbagai negara. Salah satunya yaitu di Indonesia. Sepanjang tahun 2005-2012 di Indonesia terdapat 192 kasus flu burung yang menyerang manusia dengan 160 kematian [1], [2]. Tentu saja kondisi ini cukup mengkhawatirkan. Sehingga diperlukan langkah lebih lanjut untuk mencegahnya. Seperti teori yang dikemukakan Kermark dan Mckendrick, penyebaran penyakit menular dapat dideskripsikan secara matematis dengan model kompartemen [3]. Bentuk matematis dari model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan
vaksinasi ini yaitu terdiri dari dua subpopulasi pada populasi unggas dan empat subpopulasi pada populasi manusia [4].
̇ℎ () = (1 − )ℎ − ℎ () − ℎ () + ℎ () + ℎ () (1) (2) ̇ℎ () = ℎ − ℎ () − ( + )ℎ () ̇ℎ () = ℎ () + ℎ () − ( + )ℎ () (3) (4) ̇ ℎ () = ℎ () − ( + )ℎ () (5) ̇ () = − () − () ̇ () = () − () (6) ( )
1
( )
2
( )
( )
1
2
( )
3
( )
3
Populasi manusia terdiri dari populasi individu manusia yang rentan terhadap penyakit ( susceptible) ℎ , populasi individu manusia yang berada dibawah pengaruh vaksinasi (vaccinated ) ℎ , populasi individu manusia yang terjangkit penyakit (infected ) ℎ , dan populasi individu manusia yang sembuh (recovered ) ℎ . Sementara populasi unggas terdi ri dari subpopulasi unggas yang rentan terhadap penyakit (susceptible) dan subpopulasi unggas yang terjangkit penyakit (infected ) . Disertakan dengan parameter asumsi yaitu sebagai laju kelahiran dan kematian manusia yang besarnya dianggap sama, sebagai laju kelahiran dan kematian unggas yang besarnya dianggap sama, 1 sebagai laju kontak rata-rata antara ℎ dengan , 2 sebagai laju kontak rata-rata antara ℎ dengan , 3 sebagai laju kontak rata-rata antara dengan , sebagai bagian dari populasi manusia yang mendapat pemberian obat pencegah flu, sebagai laju hilangnya kekebalan pada populasi manusia akibat infeksi, sebagai laju kesembuhan populasi manusia dari infeksi, serta sebagai laju menurunnya vaksin pada populasi manusia akibat hilangnya kekebalan alami. Dari (1) sampai dengan (6), agar setiap besaran pada model tidak memiliki dimensi dan untuk memudahkan dalam menganalisa model, maka diperlukan adanya normalisasi. Didefinisikan
ℎ () = ℎℎ ℎ () = ℎℎ ℎ () = ℎℎ () = () = ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(7)
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
2
. Setelah itu dicari titik setimbang yang nantinya digunakan 0
untuk menganalisa stabilitas lokal sistem dinamik tersebut.
D. Simulasi dan Analisis
Hasil yang didapatkan disimulasikan menggunakan software pemrograman untuk menampilkan grafik kestabilan sistem. Selain itu pada simulasi ini dilakukan analisa sensitivitas dengan cara mengubah besarnya nilai parameter dengan nilai yang berbeda-beda yang disesuaikan dengan sistem. Hal ini dilakukan untuk mengidentifikasi parameter yang sensitif. Dan estimasi pada parameter-parameter tersebut berhenti ketika tingkat ketelitian terpenuhi. E. Penarikan Kesimpulan dan Saran Gambar. 1. Diagram kompartemen model penyebaran virus flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi
Dapat dibentuk pula diagram kompartemen dari (1) sampai dengan (6) seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1. Permasalahan yang ada dari model kompartemen tersebut yaitu bagaimana mencari bilangan reproduksi dasar untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit, bagaimana hasil analisis stabilitas lokal dan analisis sensitivitas parameter dari titik setimbang, serta bagaimana hasil simulasi dan interpretasinya. Dengan batasan masalahnya yaitu model epidemik yang dikaji merupakan model epidemik campuran flu burung pada unggas-manusia yang diasumsikan penyebaran flu burung berasal dari populasi unggas ke populasi manusia dengan ta mbahan subpopulasi manusia yang berada dibawah pengaruh vaksinasi, dan simulasi model dilakukan dengan menggunakan software pemrograman. Sehingga hasil akhir nantinya didapatkan bilangan reproduksi dasar, hasil analisis stabilitas lokal dan hasil analisis sensitivitas, serta hasil simulasi dan interpretasinya. II. METODE PENELITIAN A. Studi Literatur
Berdasarkan permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan sebelumnya, maka selanjutnya akan dilakukan studi literatur sebagai bahan acuan dalam pemecahan permasalahan. Studi literatur ini dilakukan pada jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, thesis, dan buku-buku yang berkaitan dengan analisis stabilitas dan sensitivitas pada model epidemik. B. Kajian Model Epidemik
Model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi pada penelitian ini merupakan jenis model epidemik campuran. Sehingga untuk memahami model tersebut diperlukan kajian agar dapat disusun asumsi-asumsi tertentu dan dapat dibuat model kompartemen dengan empat populasi individu pada manusia, dan juga dua subpopulasi pada populasi unggas. C. Analisa Stabilitas
Pada tahap ini dilakukan analisa terhadap model epidemik secara analitik untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar
Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan hasil simulasi dan analisa yang dilakukan sebelumnya. Selanjutnya akan diberikan saran sebagai bahan masukan untuk pengembangan pada penelitian selanjutnya. III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Analisis Stabilitas Lokal
Dalam melakukan analisis stabilitas model epidemik, ada beberapa langkah yang harus dilakukan. Dengan melakukan normalisasi model, setelah diinputkan (7) dan direduksi dengan mensubstitusi ℎ ( ) = 1 ( ℎ ( ) + ℎ ( ) + ℎ ( )) dan ( ) = 1 ( ), maka (1) sampai dengan (6) akan berubah menjadi,
−
−
ℎ() = − () + + − ()( − ) − () ℎ ℎ ℎ 1 ()
ℎ ( ) = − () () − ( + ) () 2 ℎ ℎ ℎ ( ) = () () + () () − ( + ) () 1 ℎ 2 ℎ ℎ ( ) = 1 − () () − () 3
(8)
− Ω ≤ ≤ ≤ ≤
)+ dengan = (1 dan daerah batas penyelesaian = { ℎ ( ), ℎ ( ), ℎ ( ), , ( ) |0 ℎ( ) + ℎ( ) + ℎ ( ) 1, 0 ( ) 1} serta semua parameter bernilai positif. Dengan menggunakan (8), maka selanjutnya akan dicari titik setimbang. 1. Titik setimbang bebas penyakit Titik setimbang bebas penyakit 0 ( ℎ , ℎ , 0,0) dengan ℎ = = 0.
�
̇ ̇
ℎ ( ) = − ()( + ) − � ()( − ) = 0 ℎ ℎ ( )( ) = ℎ + + � ℎ ()( − ) ℎ ( ) = − ( + )� () = 0 ℎ �ℎ () = ( + ) = Substitusi (10) ke dalam (9), sehingga didapatkan
ℎ () = 1 − ε − + (
( + )
)
(9)
(10)
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6 2.
Titik setimbang endemik Titik setimbang endemik 1 ( ℎ ∗ , ℎ ∗ , ℎ ∗ , ∗ ) dengan ∗ ∗ ℎ 0, 0. Untuk mendapatkan ℎ ∗, ℎ ∗ , ℎ , dan dengan menggunakan (8) maka dilakukan langkahlangkah sebagai berikut :
̇ ̇ ̇
̇ ≠ ̇ ≠
̇
ℎ ( ) = − ∗ () + ̇ ∗() + − ∗()( − ) − ℎ ℎ 1 ∗
̇ℎ () = 0
3
ℎ ∗() =
ℎ ∗( )−2 ℎ ∗( ) ∗( ) 1 ∗ ( )
( + )
(16)
Substitusi (14), dan (15) ke dalam (16) sehingga didapat
ℎ ∗() =
ℎ ∗( )−2 1
( + )
(17)
Setelah itu substitusi (17) ke dalam (11), sehingga didapat
ℎ ∗( )−2 = − (− )− ̇ℎ ∗( ) ( +1 + ) 1 1 − 1 (− )+2 ( +1 + ) ∗ ℎ () = ( +1 + )( + )+1 = ( + )
didapatkan
∗(
− ̇ℎ ℎ ∗() = −ℎ ∗ − ̇ ∗ ℎ = − () () − ( + ) () = 0 ℎ ℎ )
( )(
+ 1
)
( )+
(11)
(18)
( )
Selanjutnya substitusi (14), (15), dan (18) ke dalam (11), sehingga didapatkan
2
didapatkan
ℎ ∗() = 2 ̇ ∗()+( + ) ℎ ( ) = ∗ ()̇ ∗ () + ∗ ()̇ ∗() − ( + 1 ℎ 2 ℎ ∗ )ℎ̇ () = 0
(12)
Jadi, ∗ 1( ℎ , dengan
diperoleh ∗ ∗ ℎ ∗, ℎ , ) (
(13)
1
1
1
(14)
3
Dari (14) dapat dicari bilangan reproduksi dasar yaitu
̇ ∗() = ( − ) ̇ ∗() = − 1 1
3 3
3
Berdasarkan persamaan diatas, jika nilai ( 3 / ) < 1 maka penyebaran virus flu burung akan berkurang. Namun, jika ( 3 / ) > 1 maka penyebaran virus flu burung masih terjadi. Dengan demikian dapat dikatakan bilangan reproduksi dasar yang dicari yaitu
=
)
Substitusi (14) ke dalam (12), didapatkan (15)
(
=
3
Karena titik setimbang sudah didapatkan maka selanjutnya yaitu melakukan analisa stabilitas lokal. Namun sebelumnya, terlebih dahulu dilakukan linierisasi sebagai berikut : Misalkan
ℎ ( ) = ( , , , ) ℎ ℎ ℎ ℎ ( ) = ( , , , ) ℎ ℎ ℎ ℎ ( ) = ( , , , ) ℎ ℎ ℎ ( ) = ( , , , ) ℎ ℎ ℎ Pendekatan linier dilakukan disekitar titik setimbang. Misalkan titik setimbang ℎ 0 , ℎ 0 , ℎ 0 , 0 . Sehingga dengan menggunakan ekspansi deret Taylor maka didapatkan matriks Jacobian untuk titik setimbang ℎ 0 , ℎ 0 , ℎ 0 , 0 yaitu
3
0
Selanjutnya (13) menjadi
endemik
)+ 2 ( + 1 + ) ( + 1 + )( + )+ 1
1
̇ ∗() = ( − ) =
=
)
2 +( + )
3
2 +( + )
setimbang
( + 1 + )
didapatkan
ℎ ∗() =
titik
− ℎ ∗() = − − ∗ ℎ () = = ℎ ∗() = − − ̇ ∗() = ( − ) = (
∗ ∗ ̇ℎ ∗() = 1 ℎ ∗() ̇ (()++2) ℎ ∗() ̇ () ( ) = 1 − ̇ ∗ ()̇ ∗() − ̇ ∗() = 0 3
3
− (− )− ) ( + 1 + )
(
̇ ̇
didapatkan
3
ℎ ∗() =
ℎ = ℎ ℎ ℎ
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 0,
0
,
0,
0
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
Selanjutnya dilakukan analisis stabilitas titik setimbang bebas penyakit dan analisis stabilitas titik setimbang endemik. 1. Analisis stabilitas titik setimbang bebas penyakit Matriks Jacobian nya yaitu
− �ℎ −( + ) −( − ) − ( + ) 0 − ��ℎ 0 − = 0 −( + ) �ℎ + �ℎ 0 0 ⎣ 0 − ⎦ 0 1
2
1
1
2
3
Hasil determinan karakteristik yaitu
dari
, 1
didapatkan
persamaan
() = (−( + ) − )(−( + ) − )(−( + ) − 1
− 3−
4
Secara umum, analisis sensitivitas dilakukan dengan [10]: Mendefinisikan model yaitu menentukan variabel bebas dan tak bebas b. Menetapkan kemungkinan nilai fungsi input untuk tiap parameter c. Menghasilkan suatu matriks input melalui sebuah metode sampling random, menghitung vektor output d. Menilai pengaruh dan kepentingan relatif dari setiap hubungan input/output. Untuk melakukan analasis sensitivitas ini, diasumsikan nilai inputan dari masing-masing parameter [3] yaitu a.
= 0,2 (per tahun), = 0,02 (per hari), = 0,026 (per (tahun*orang*ekor)), = 0,035 (per (tahun*orang*ekor)), = 0,045 (per (hari*ekor)), = 0,2 , = 0,06 (per tahun), = 0,04 (per tahun), = 0,09 (per tahun) Dengan nilai awal tiap subpopulasi yaitu ℎ (0) = ℎ (0) = ℎ (0) = (0) = 0,03. Didapatkan hasil simulasinya dalam 1
2
3
Sehingga didapatkan akar-akar karakteristiknya yaitu
= −( + ), = −( + ), = −( + ), dan = − = ( − 1) 1
4
2
3
3
0
Titik setimbang suatu sistem dikatakan stabil jika nilai bagian real dari akar-akar p ersamaan karakteristik bernilai negatif. Maka dari itu, berdasarkan akar-akar karakteristik diatas, titik setimbang bersifat stabil asimtotis jika 0 < 1 [8]. 2. Analisis stabilitas titik setimbang endemik Matriks Jacobian nya yaitu
waktu (bulan) yaitu 0.9
= ∗ − ℎ ∗∗ ⎤ ⎡−( + 0+ ̇ ) − −̇(∗−−()+ ) − 0 − ℎ ∗ ∗ ∗ ( ) ̇ ̇ − + ℎ + ℎ ∗ ⎣ − 2 ̇ ∗ − ⎦ 0 0 0
s h terhadap t
0.8
vh terhadap t
0.7
i terhadap t h
i terhadap t b
0.6 i s a l u p o p
0.5 0.4
2
1
1
2
2
1
1
2
3
Hasil determinan karakteristik yaitu
dari
, 2
3
0
didapatkan
persamaan
3
2
Sehingga didapatkan akar-akar karakteristiknya yaitu
= −( ∗ + + ) = − − = − ( − 1) 2
3
2
3
3
0.1
0
100
200
300 waktu(t)
400
500
600
Gambar. 2. Grafik tiap populasi terhadap waktu (bulan)
2
1
0.2
2
() = ( ∗ + + + )(− + − )(− − − ) = 0 2
0.3
̇
0
B. Analisis Sensitivitas
Setelah dilakukan analisis stabilitas lokal terhadap titik setimbang, maka selanjutnya dilakukan analisis sensitivitas untuk mendapatkan parameter yang sensitif dan mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun populasi unggas.
0.08 0.07
3 dan 4 dicari dengan menggunakan teori kestabilan Routh-Hurwitz. Misalkan = ( + + 1 ∗ + + ) dan = ( + + 1 ∗ )( + ) + 1 ∗ . Sehingga untuk 0 > 1 , didapatkan > 0 , > 0 , dan > 0. Jadi dapat disimpulkan bahwa titik setimbang endemik bersifat stabil asimtotis lokal untuk 0 > 1 [8].
̇ ̇ ̇
Didapatkan pula titik setimbang endemik 1 ( ℎ ∗ , ℎ ∗ , ℎ ∗ , ∗ ), dengan ℎ ∗ = 0,789586; ℎ ∗ = 0,143141; ℎ ∗ = 0,048926; dan ∗ = 0,555556; serta 0 = 2,25. Dalam melakukan analisis sensitivitas, maka perlu dilakukan memasukkan nilai input yang berbeda secara random dari setiap parameter terhadap titik setimbang endemik.
0.06 0.05
i h
0.04 0.03
µ awal 0.02
µ - 50% µ - 35%
0.01
µ + 20% µ + 65%
0
0
100
200
Gambar. 3. Grafik populasi parameter
300 waktu(t)
400
500
600
ℎ terhadap waktu dengan variasi nilai input
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
5
Pada Gambar 3 terlihat bahwa parameter cukup mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ℎ .
0.06
0.05
0.07
0.04
0.06 i
h
β2 awal
0.03
β2 - 50%
0.05
0.02
0.04
β2 - 35% β2 + 20%
0.01
i h
β2 + 65%
0.03
0
µb awal
0
100
200
µb - 50%
0.02
Gambar. 7 Grafik populasi parameter 2
µb - 35%
µb + 20%
0.01
300 waktu(t)
400
0
100
Gambar. 4. Grafik populasi parameter
200
300 waktu(t)
400
500
600
ℎ terhadap waktu dengan variasi nilai input
600
ℎ terhadap waktu dengan variasi nilai input
µb + 65% 0
500
Pada Gambar 7 terlihat bahwa parameter 2 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia. 0.07 0.06
Pada Gambar 4 terlihat bahwa parameter mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ℎ .
0.05
0.8
0.04 0.7
i
h
β 3 awal
0.03 0.6
β 3 - 50% 0.02
0.5
i b
β 3 - 35% β 3 + 20%
0.01
0.4
β 3 + 65% 0.3
µb awal
0
µb - 50%
0.2
µb - 35%
0
100
200
Gambar. 5. Grafik populasi parameter
300 waktu(t)
400
200
µb + 65% 0
100
Gambar. 8 Grafik populasi parameter 3
µb + 20%
0.1
0
500
600
terhadap waktu dengan variasi nilai input
300 waktu(t)
400
500
600
ℎ terhadap waktu dengan variasi nilai input
Pada Gambar 8 terlihat bahwa parameter 3 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ℎ .
0.8
0.7
Pada Gambar 5 terlihat bahwa parameter mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi unggas .
0.08
0.6 0.5
0.07
0.4
β awal 3
0.06
0.3
β - 50% 3
0.05
0.2
β - 35% 3
0.04
0.1
i
b
β + 20% i
h
β 1 awal
0.03
0
β 1 - 50% 0.02
β 1 - 35%
0
100
200
Gambar. 6. Grafik populasi parameter 1 .
300 waktu(t)
400
500
600
ℎ terhadap waktu dengan variasi nilai input
100
200
β 1 + 65% 0
0
Gambar. 9 Grafik populasi parameter 3
β 1 + 20%
0.01
3
β + 65% 3
Pada Gambar 6 terlihat bahwa parameter 1 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ℎ .
300 waktu(t)
400
500
600
terhadap waktu dengan variasi nilai input
Pada Gambar 9 terlihat bahwa parameter 3 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi unggas .
Simulasi dengan variasi nilai input ini juga dilakukan untuk parameter , , , dan . Serta dilakukan juga variasi input terhadap perubahan nilai output populasi yang lainnya. Berdasarkan hasil simulasi tersebut didapatkan parameter-
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
parameter yang sensitif yaitu , , 1 , 2 , 3 , dan . Parameter-parameter yang sensitif tersebut merupakan parameter yang berpengaruh terhadap arah penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun pada populasi unggas. Untuk lebih jelasnya berikut diberikan variasi nilai input tiap parameter dan hasil nilai outputnya pada Tabel 1. Tabel 1. Variasi nilai input tiap parameter terhadap nilai output tiap subpopulasi Nilai Nilai (%) awal variasi = -50% 0,1 0,7732 0,1114 0,0702 0,5556 0,2 -35% 0,13 0,7806 0,1241 0,0622 0,5556
= 0,02
1
= 0,026
2 = 0,035
3
= 0,045
= 0,2
= 0,06
= 0,04
= 0,09
6
20%
0,24
0,7922
0,1502
0,0435
0,5556
65%
0,33
0,7955
0,1612
0,0348
0,5556
-50%
0,01
0,769
0,1392
0,0667
0,7778
-35%
0,013
0,775
0,1404
0,0614
0,7111
20%
0,024
0,7981
0,1447
0,0415
0,4667
65%
0,033
0,8180
0,1485
0,0243
0,2667
-50%
0,013
0,8157
0,1431
0,0299
0,5556
-35%
0,0169
0,8077
0,1431
0,0357
0,5556
20%
00312
0,7795
0,1431
0,0561
0,5556
65%
0,0429
0,7580
0,1431
0,0718
0,5556
-50%
0,0175
0,7907
0,1483
0,0443
0,5556
-35%
0,02275
0,7903
0,1466
0,0457
0,5556
20%
0,042
0,7891
0,1412
0,0506
0,5556
65%
0,05775
0,7882
0,1369
0,0544
0,5556
-50%
0,0225
0,8342
0,1515
0,0103
0,1111
-35%
0,02925
0,8129
0,1475
0,0286
0,3162
20%
0,054
0,7826
0,1418
0,0549
0,6296
65%
0,07425
0,7732
0,14
0,0630
0,73
-50%
0,1
0,8627
0,0715
0,0477
0,5556
-35%
0,13
0,8407
0,093
0,0481
0,5556
20%
0,24
0,7603
0,1717
0,0493
0,5556
65%
0,33
0,694
0,2361
0,0504
0,5556
-50%
0,03
0,7719
0,1603
0,0492
0,5556
-35%
0,039
0,7776
0,1547
0,0491
0,5556
20%
0,072
0,7956
0,1372
0,0488
0,5556
65%
0,099
0,8075
0,1256
0,0486
0,5556
-50%
0,02
0,7880
0,1431
0,0488
0,5556
-35%
0,026
0,7885
0,1431
0,0488
0,5556
20%
0,048
0,7901
0,1431
0,0489
0,5556
65%
0,066
0,7912
0,1431
0,0490
0,5556
-50%
0,045
0,7881
0,1431
0,0578
0,5556
-35%
0,0585
0,7886
0,1431
0,0548
0,5556
20%
0,108
0,7900
0,1431
0,0460
0,5556
65%
0,1485
0,7908
0,1431
0,0407
0,5556
IV. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil analisa diatas yaitu : 1. Bilangan reproduksi dasar dari model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi yaitu
0
2.
=
3 .
Penyebaran virus flu burung tetap akan terjadi jika bilangan reproduksi dasar 0 > 1 dan tidak akan terjadi penyerbaran virus flu burung jikabilangan reproduksi dasar 0 < 1. 3. Didapatkan pula parameter yang sensitif yang dapat mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung baik pada populasi unggas maupun pada populasi manusia. Parameter-parameter yang sensitif tersebut yaitu laju kelahiran dan laju kematian pada subpopulasi manusia , laju kelahiran dan laju kematian pada subpopulasi unggas , laju kontak rata-rata populasi ℎ 1 , laju kontak rata-rata populasi ℎ 2 , laju kontak rata-rata populasi 3 , serta laju kesembuhan dari infeksi .
−
−
−
DAFTAR PUSTAKA [1 ] WHO, H5N1 Avian Influenza : Timeline of Major Events. 17 December 2012. http://www.who.int/influenza/H5N1_avian_influenza_update_20121217 b.pdf . Diakses pada tanggal 21 Desember 2012, pukul 10.00 WIB [2] DEPKES RI, Laporan Kasus Fu Burung 192. 12 Desember 2012. http://www.depkes.go.id/index.php/berita/press-release/2173-laporankasus-flu-burung-192.html Diakses pada tanggal 21 Desember 2012, pukul 10.00 WIB [3] Liu, X., Takeuchi, Y., Iwami, S. (2007). “SVIR epidemic models with vaccination strategies”. Journal of Theoretical Biology. [4] Agarwal, M., dan Verma, V. (2010). “An Avian-Human Influenza Epidemic Model with Vaccination”. Journal of Applied Sciences. Vol 5 (6). Hal : 451-458. [5] Rahmalia, D. (2010). “Pemodelan Matematika dan Analisa Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung”. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [6] Taslima. (2011). “Kendali Optimal pada Pencegahan Wabah Flu Burung dengan Eliminasi, Karantina, dan Pengobatan”. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [7] Earn, D. J. D., Dushoff, J., dan Levin, S. A. (2002). “Ecology and evolution of the flu”, Trends Ec ol. Evol., 17, Hal : 334-340. [8] Finizio, N., dan Landas, G. (1988). “Ordinary Differential Equations with Modern Applications”. California: Wadsworth Publishing Company. [9] Linda J.S. Allen. (2007). “An Introduction to: Mathematical Biology”. United States: Prentice Hall. [10] Hamby, D. M. (1994). “A Review of Techniques for Parameter Sensitivity Analysis of Environmental Models”. Netherlands : Kluwer Academic Publisher.
