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Revue Construction Métallique

CALCUL D'UNE PANNE Z SOUS BAC ACIER CONTINUE SUR TROIS APPUIS par M. Luki´ c

1. – IN INTR TROD ODUC UCTI TION ON

Cette note technique est un exemple d'application de l'Article 10.1 – Poutres maintenues par des plaques – de la norme expérimentale française XP P 22-313 [1] à la vérification de la résistance d'une panne continue (cf. fig. 1 et fig. 2) : 













sur trois appuis, à travées égales, sans emboîtement ni éclissage, à profil en Z à bords tombés, fixée sous un bac acier, soumise à des charges uniformes identiques, soit descendantes, soit ascendantes, en présence d'un effort normal de compression modérée.

Cet exercice est une suite de la note technique [4], dont il reprend la présentation, mais aussi – en cas de nécessité – certaines remarques principales.

qFd NSd

NSd

L

L

Fig. 1 – Disposition générale

M. LUKIC´ – Ingénieur au CTICM CENTRE TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION

INDUSTRIEL MÉTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78471 Saint-Rémy-l Saint-Rémy-lès-Chevreuse ès-Chevreuse Cedex Tél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieu Télécopieurr 01-30-52-75-38

Construction Métallique, n° 4-2003

1

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

Le bac est supposé avoir la rigidité et la résistance nécessaires pour admettre un maintien latéral de la semelle connectée (pour un tel calcul, cf. [2] et [3]). Vu les limites des méthodes de dimensionnement par calcul selon XP P 22-313 (cf. [1]), un rappel des principales hypothèses à considérer dans le calcul présenté ci-après est fait en début de note. Après une présentation des données, les calculs sont développés pas-à-pas, en faisant référence aux articles concernés de la norme expérimentale.

2. – TABLE DES MATIÈRES

2

1 Introduction 2 Ta Tabl blee des des ma mati tièr ères es 3 Notations 4 Limites Limites d'ap d'applic plicatio ation n de la la méthode méthode – Hypoth Hypothèses èses 4,11 Hy 4, Hypo poth thès èses es gé géné néra rale less 4,2 Hy Hypot pothè hèses ses spéc spécifi ifique quess à l'exem l'exempl plee 4,3 Mé Métho thode de génér général alee de calc calcul ul appli appliqué quéee 5 Donn Donnée éess de l'e l'exe xem mpl plee 5,1 Panne 5,2 5,33 5, 5,4 5,55 5, 5,6 5,7 5,8

Liernes Dime Di mens nsio ions ns de de la la sect sectio ion n Acier Coef Co effi fici cien ents ts de de sécu sécuri rité té Proprié Prop riétés tés mécan mécanique iquess de secti section on brute brute du du profil profil Z Proprié Prop riétés tés méc mécaniq aniques ues de la la «sem « semell ellee libre libre + 1/6 1/6 de l'â l'âme"» me"» Calcul Cal cul de la rigidi rigidité té élastiqu élastiquee CD en rotatio rotation n – Applicati Application on du § 10.1.5.2 10.1.5.2

5,9 5,10 5,11 5,12 5,13

Charges sous Charges sous la la combina combinaison ison d'ét d'état at limit limitee ultime ultime Charges sous la combinaison combinaison d'état limite limite de service service Propriétés Proprié tés mécaniques mécaniques de section section efficace à l’état l’état limite ultime ultime Propriétés Proprié tés mécaniques mécaniques de section section efficace à l’état l’état limite de service service Limite d'élasticit d'élasticitéé pour les vérifications vérifications de résistanc résistancee en section

6 Cas sans sans liern liernee : Vérifica Vérification tionss sous charg charges es descend descendante antess 6,11 Vé 6, Véri rifi fica cati tion onss à fa fair iree 6,2 6,3 6,4 6,5

Vérificatio Vérific ation n de flèc flèche he – Appl Applicat ication ion du § 7 Résista Rés istance nce des secti sections ons transv transvers ersale aless – Applicati Application on du § 10.1.4.1 10.1.4.1 Résista Rés istance nce de la semell semellee libre libre au flambem flambement ent – Applicat Application ion du § 10.1.4.2 10.1.4.2 Résistance Résist ance de la section section à l’inter l’interaction action entre entre le le moment moment fléchissant fléchissant et l’effort l’effort tranchant – Application du § 5.10 6,6 Résist Résistance ance de la section section à l’intera l’interaction ction entre entre le le moment moment fléchissant fléchissant et la réaction d’appui – Application du § 5.11


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Rubrique


Le bac est supposé avoir la rigidité et la résistance nécessaires pour admettre un maintien latéral de la semelle connectée (pour un tel calcul, cf. [2] et [3]). Vu les limites des méthodes de dimensionnement par calcul selon XP P 22-313 (cf. [1]), un rappel des principales hypothèses à considérer dans le calcul présenté ci-après est fait en début de note. Après une présentation des données, les calculs sont développés pas-à-pas, en faisant référence aux articles concernés de la norme expérimentale.

2. – TABLE DES MATIÈRES

2

1 Introduction 2 Ta Tabl blee des des ma mati tièr ères es 3 Notations 4 Limites Limites d'ap d'applic plicatio ation n de la la méthode méthode – Hypoth Hypothèses èses 4,11 Hy 4, Hypo poth thès èses es gé géné néra rale less 4,2 Hy Hypot pothè hèses ses spéc spécifi ifique quess à l'exem l'exempl plee 4,3 Mé Métho thode de génér général alee de calc calcul ul appli appliqué quéee 5 Donn Donnée éess de l'e l'exe xem mpl plee 5,1 Panne 5,2 5,33 5, 5,4 5,55 5, 5,6 5,7 5,8

Liernes Dime Di mens nsio ions ns de de la la sect sectio ion n Acier Coef Co effi fici cien ents ts de de sécu sécuri rité té Proprié Prop riétés tés mécan mécanique iquess de secti section on brute brute du du profil profil Z Proprié Prop riétés tés méc mécaniq aniques ues de la la «sem « semell ellee libre libre + 1/6 1/6 de l'â l'âme"» me"» Calcul Cal cul de la rigidi rigidité té élastiqu élastiquee CD en rotatio rotation n – Applicati Application on du § 10.1.5.2 10.1.5.2

5,9 5,10 5,11 5,12 5,13

Charges sous Charges sous la la combina combinaison ison d'ét d'état at limit limitee ultime ultime Charges sous la combinaison combinaison d'état limite limite de service service Propriétés Proprié tés mécaniques mécaniques de section section efficace à l’état l’état limite ultime ultime Propriétés Proprié tés mécaniques mécaniques de section section efficace à l’état l’état limite de service service Limite d'élasticit d'élasticitéé pour les vérifications vérifications de résistanc résistancee en section

6 Cas sans sans liern liernee : Vérifica Vérification tionss sous charg charges es descend descendante antess 6,11 Vé 6, Véri rifi fica cati tion onss à fa fair iree 6,2 6,3 6,4 6,5

Vérificatio Vérific ation n de flèc flèche he – Appl Applicat ication ion du § 7 Résista Rés istance nce des secti sections ons transv transvers ersale aless – Applicati Application on du § 10.1.4.1 10.1.4.1 Résista Rés istance nce de la semell semellee libre libre au flambem flambement ent – Applicat Application ion du § 10.1.4.2 10.1.4.2 Résistance Résist ance de la section section à l’inter l’interaction action entre entre le le moment moment fléchissant fléchissant et l’effort l’effort tranchant – Application du § 5.10 6,6 Résist Résistance ance de la section section à l’intera l’interaction ction entre entre le le moment moment fléchissant fléchissant et la réaction d’appui – Application du § 5.11


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7 Cas sans sans lierne. lierne. Véri Vérifica fication tionss sous char charges ges ascend ascendante antess 7,11 Vé 7, Véri rifi fica cati tion onss à fa fair iree 7,2 Vér Vérific ificatio ation n de flèc flèche he – Appl Applicat ication ion du § 7 7,3 Rés Résista istance nce des secti sections ons transve transversa rsales les – Applic Applicatio ation n du § 10.1.4.1 10.1.4.1 7,4 Rés Résista istance nce de la semell semellee libre libre au flambem flambement ent – Applicat Application ion du § 10.1.4.2 10.1.4.2 8 Cas sans sans lier lierne. ne. Rappe Rappell des résul résultats tats et et conclusi conclusion on 9 Cas avec une une lierne lierne à mi-portée. mi-portée. Vérific Vérifications ations sous charges descenda descendantes ntes 9,11 Vé 9, Véri rifi fica cati tion onss à fa fair iree 9,2 Vér Vérific ificatio ation n de flèc flèche he – Appl Applicat ication ion du § 7 9,3 Rés Résista istance nce des secti sections ons transve transversa rsales les – Applic Applicatio ation n du § 10.1.4.1 10.1.4.1 9,4 Rés Résista istance nce de la semell semellee libre libre au flambem flambement ent – Applicat Application ion du § 10.1.4.2 10.1.4.2 9,5 Résist Résistance ance de la section section à l’intera l’interaction ction entre entre le le moment moment fléchissant fléchissant et l’effort l’effort tranchant – Application du § 5.10 9,6 Résistance Résistance de la section section à l’inter l’interaction action entre le moment moment fléchissan fléchissantt et la réacréaction d’appui – Application du § 5.11 10 Cas avec une lierne à mi-portée. mi-portée. Vérifications Vérifications sous sous charges ascendantes ascendantes 10,1 Vér Vérific ificatio ations ns à fair fairee 10,2 Vérific Vérification ation de flèche – Applicat Application ion du § 7 10,3 Résista Résistance nce des sections sections transversales transversales – Application Application du § 10.1.4.1 10.1.4.1 10,4 Résista Résistance nce de la semelle semelle libre au flambement flambement – Application Application du § 10.1.4.2 10.1.4.2 11 Cas avec avec une lierne lierne à mi-portée. mi-portée. Rappel Rappel des résultat résultatss et conclusion conclusion 12 Conc Conclusi lusion on génér générale ale 13 Ré Référ férenc ences es

3. – NOTATIONS

Les notations utilisées sont autant que possible celles de la XP P 22-313 [1]. qFd,↑

qFd,↓

θ c

a

b-a

t

h

c

b h c t a θ q Fd

: : : : : : :

largeur (horslargeur (hors-tout tout)) de semelle semelle hauteur haut eur (hors(hors-tout tout)) de la section section hauteur haut eur (hors(hors-tout tout)) du bord bord tombé tombé épaiss épa isseur eur de la tôl tôlee distanc dist ancee de la fixation fixation au plan plan de l'âme l'âme angle ang le du du bord bord tom tombé bé charge de calcul calcul appliquée perpendic perpendicuulairement au bac : q Fd ,↓ : charge descendante q Fd ,↑ : charge ascendante

b

Fig. 2 – Dimensions de section


3

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Remarque importante sur les axes (cf. [4])

Les sections en Z ont la particularité d'avoir des axes principaux y-y et z-z décalés angulairement par rapport aux axes de référence u-u et v-v (cf. fig. 3). À cause de la flexion « forcée» perpendic perpendiculairem ulairement ent au bac, on admet dans cet article les axes de la figure 3b, en confondant les 2 systèmes d'axes et en les prenant parallèles aux parois principales. Mais on garde les notations adoptées dans les formules de [1]. Ainsi, M y,Sd et W eff,y sont en fait calculés par rapport à l'axe u-u. v

v z

z

4 y u

y u

u

y u

y

z

v

v z

a) XP P 22-313

b) Dans cet article

Fig. 3 – Conventions d'axes

Conventions de signes (cf. [4])

D'une manière générale les charges et sollicitations sont prises avec des valeurs positives, quel que soit le sens de l’action. Les signes sont adaptés dans les formules pour tenir compte du contexte, notamment dans les combinaisons de contraintes où ces dernières sont comptées positives en compression et négatives en traction.

4. – LIMITES D'APPLICATI D'APPLICATION ON DE LA MÉTHODE – HYPOTHÈSES HYPOTHÈSES

4,1. – Hypothèses générales

On rappelle ci-après les limites d'application de la méthode (cf. [4]) telles qu'on peut les trouver dans la norme expérimentale XP P 22-313 [1], les paragraphes et les clauses concernés de la norme étant indiqués en extrémité de ligne : 







Profilé à section en Z , C , Σ ou similaire Maintien la latéral co continu sur une semelle (i(ici su supérieure) Bac/plaque nervurée en acier fixé en creux d'onde (1/1 ou 1/2)1 Appuis bloqués en rotation longitudinale et translations (appuis « à fourche »)

1. Dans la mesure où l’on a choisi ici de déterminer la rigidité de maintien par le calcul.


(§ 10,11) (§ 10 10,11) (§ 10,11) (§ 10,11)

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











0,95 mm  t cor  8 mm (t cor : épaisseur du métal nu) (§ 3,13(1)P I) (Tableau 3.2) b/t  60 (Tableau 3.2) h/t  500 0,2  c/b  0,6 (§ 3,4(4)) Angle du bord tombé 45°  θ  135° (§ 4,321(2)P) Pour le calcul de la rigidité élastique en rotation C D (§ 10,152(7)) – Largeur de la plage du bac à laquelle est fixée la panne  120 mm – Épaisseur nominale de métal nu du bac  0,66 mm – Distance a ou (b – a) entre fixation et bord de semelle de contact  25 mm.

4,2. – Hypothèses spécifiques à l'exemple 











Panne physiquement continue sur trois appuis : – Sans emboîtement ni éclissage, – Sans lierne, puis avec une lierne à mi-portée de chaque travée. Charges transmises uniquement par la couverture (pas d'éléments directement accrochés sous la panne). Rigidité et résistance du bac suffisantes pour un maintien latéral de la semelle connectée. Effort normal de compression modéré (cf. [4]). Bord tombé pleinement efficace (cf. [4]). Arrondis négligés dans le calcul des propriétés de section (cf. [4]).

Remarque importante sur la continuité

La norme expérimentale [1] n’envisage pas le traitement par le calcul seul des pannes dont la continuité est assurée par emboîtement ou éclissage : il convient de réaliser d’abord des essais afin de déterminer les caractéristiques de la partie emboîtée ou éclissée (§ 10.1.3.4). Ce cas n’est pas considéré ici. Remarque importante sur les liernes

Dans la norme expérimentale [1], le calcul d’une panne sans lierne est bien explicité. Par contre, en présence de liernes, le cas de charges ascendantes pose problème, ce qui est remarqué aussi dans le document [5]. Ce dernier en donne une solution (en appliquant § 10.1.4.2(7)I) très défavorable, c’est-à-dire trop du côté de la sécurité. En revanche, dans le dernier projet de la norme européenne [6], cet aspect semble mieux traité, mais ce projet n’est pas encore «stabilisé » et n’est donc pas utilisé dans cette étude.

4,3. – Méthode générale de calcul appliquée

Les vérifications sont faites (cf. [4]) en appliquant la méthode exposée en § 10.1.3 et § 10.1.4 pour tenir compte de la tendance de la semelle libre à se déplacer latéralement en la traitant comme une poutre soumise à une charge latérale équivalente q h,Fd (voir figure 10.1 de [1]) issue de l'effet de la flexion latérale et de la torsion du profil.


5

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5. – DONNÉES DE L'EXEMPLE

On a choisi ici de prendre en compte une panne dont les caractéristiques géométriques ainsi que les charges sont identiques à celles présentées dans la référence [4], afin de comparer son comportement pour les conditions d’appui différentes.

5,1. – Panne

6

Panne physiquement continue en deux travées égales, sans emboîtement ni éclissage Portée de la panne (dans chaque travée)

L=5m

Nombre de fixations de la couverture par mètre linéaire de panne p = 5 Longueur réelle d'appui rigide

s s = 100 mm

5,2. – Liernes

Nombre de liernes, deux cas sont analysés : 1. Sans lierne (voir chapitres 6, 7 et 8 de cet article) :

n L = 0

2. Avec une lierne à mi-portée dans chaque travée (voir chapitres 9, 10 et 11 de cet article) :

n L = 1

5,3. – Dimensions de la section Remarque : On considère ici que les semelles ont la même largeur (cf. figure 2 et [4]).

Épaisseur nominale Hauteur hors tout Largeur semelle supérieure Hauteur du bord tombé Angle du bord tombé Distance fixation/âme Rayon intérieur des arrondis

t nom = 2 mm h = 200 mm b = 60 mm c = 18 mm

θ = 90° a = 30 mm r = 5 mm

(Arrondis négligés dans cet exemple, pour le calcul des caractéristiques)

5,4. – Acier

Profilé réalisé par profilage à froid de tôles d'acier NF EN 10147 S350GD+Z275 galvanisé à chaud en continu, avec certificat de réception «3.1.B» conformément à la norme NF EN 10204 sur la tôle et le profilé (conditions du § 2.2(3)PI sur les tolérances supposées également satisfaites).


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Limite d'élasticité de base

f yb = 350 MPa

(Tableau 3.1)

Résistance à la traction

f u = 420 MPa

(Tableau 3.1)

Module de Young

E = 210 000 MPa

Coefficient de Poisson

ν = 0,3

Module de cisaillement :

G =

E 2(1 + ν)

G = 80770 MPa

Épaisseur du revêtement zinc (cumulée sur les 2 faces) t rev = 0,04 mm

(§ 3.1.3(5)I)

Épaisseur de métal nu

t cor = t nom – t rev

t cor = 1,96 mm

(§ 3.1.3(5)I)

Épaisseur de calcul

t = t cor

t = 1,96 mm

(§ 3.1.3(4)I)

5,5. – Coefficients de sécurité

Compte tenu de la tôle utilisée pour former le profil (conditions du § 2.2(3)PI satisfaites), les coefficients de sécurité sont les suivants : Relatif à la résistance en section

γ M 0 = 1,0

(§ 2.2(3)PI)

Relatif aux instabilités

γ M 1 = 1,0

(§ 2.2(3)PI)

Relatif aux vérifications d'état limite de service

γ M,ser = 1,0

(§ 2.3(3)P)

5,6. – Propriétés mécaniques de section brute du profil Z

Aire de section brute

Ag = 6,82 cm2

Module élastique de section brute / yy

W el,y = 40,84 cm3

Inertie de flexion de section brute / uu

I u = 404,4 cm4

5,7. – Propriétés mécaniques de la « semelle libre + 1/6 de l'âme »

Inertie de flexion / zz

I fz = 11,04 cm4

Rayon de giration / zz

i fz = 2,284 cm

Module élastique / zz relatif au bord côté âme

W fz,a = 4,47 cm3

Module élastique / zz relatif au bord côté bord tombé

W fz,b = 3,32 cm3

Selon le sens de la charge (q h,Fd ) et l’endroit de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de W fz qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. fig. 6 et fig. 9).


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5,8. – Calcul de la rigidité élastique C D en rotation – Application du § 10.1.5.2

CD

8 Fig. 4 – Ressort de maintien de la panne en rotation

L'encastrement en rotation conféré par le bac à la panne est modélisé par un ressort en rotation de rigidité totale C D qui peut être calculée par (cf. [4]) : C D = C D,A

La rigidité C D,A peut être calculée selon le § 10.1.5.2(7), dans la mesure où les conditions imposées (cf. [4]) sont respectées : C D,A = 130 . p Nm/m/rad

(§ 10.1.5.2(7))

où p est le nombre de fixations bac-panne par mètre linéaire de panne. Ici p = 5. Donc :

C D,A = 650 Nm/m/rad

Il en découle :

C D = 650 Nm/m/rad

5,9. – Charges sous la combinaison d'état limite ultime

Les charges exercées sous la combinaison d'état limite ultime la plus défavorable sont (toutes valeurs positives) : Charge descendante (normale à la toiture)

q Fd,↓ = 300 daN/m

Charge ascendante (normale à la toiture)

q Fd,↑ = 200 daN/m

Effort normal de compression

N Sd = 300 daN

5,10. – Charges sous la combinaison d'état limite de service

Les charges exercées sous la combinaison d'état limite de service la plus défavorable sont (toutes valeurs positives) : Charge descendante (normale à la toiture)

q ′Fd,↓ = 210 daN/m

Charge ascendante (normale à la toiture)

q ′Fd,↑ = 140 daN/m


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5,11. – Propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite ultime

Le calcul des propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite ultime étant tout à fait identique à celui de la référence [4], on renvoie le lecteur à cette dernière. On rappelle néanmoins que pour simplifier, tout en se plaçant en sécurité, on admet ici 1. que la paroi travaille à une contrainte de compression maximale égale f yb / γM Le calcul (non détaillé ici) des propriétés de section efficace donne : Inertie de flexion de section efficace / uu

I u,eff = 393,9 cm4

Module élastique efficace en flexion / yy – Fibre comprimée

W eff,y,c = 38,75 cm3

Module élastique efficace en flexion / yy – Fibre tendue

W eff,y,t = 40,88 cm3

Selon le sens de la charge et la semelle étudiée, c'est l'une ou l'autre valeur de W eff,y qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance.

5,12. – Propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite de service

Pour le calcul des flèches, on se place en sécurité en considérant les propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite ultime. Sinon, il y aurait lieu de se référer au § 4.2(5) qui préconise la prise en compte de la vraie contrainte de compression dans la paroi.

5,13. – Limite d'élasticité pour les vérifications de résistance en section

Les vérifications de résistance en section font intervenir f y et non f yb . Le § 3.1.1(6)P stipule que f y peut être pris égal à f yb ou f ya, où f ya est la limite d'élasticité moyenne augmentée définie en § 3.1.2(2)P pour tenir compte de l'écrouissage dû au profilage. Pour prendre f y = f ya, les conditions du § 3.1.2(3)P doivent être remplies, ce qui n'est pas le cas ici puisque Aeff  Ag . Donc,

f y = f yb = 350 MPa

6. – CAS SANS LIERNE. VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES DESCENDANTES

6,1. – Vérifications à faire

D’après les paragraphes 10.1.3.2(2), 10.1.3.2(2)A et 10.1.3.5, les vérifications suivantes sont à faire : 



Flèche sous charge d'état limite de service selon § 7; En travée : – Résistance de section transversale selon § 10.1.4.1 ;


9

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


Sur appui : – Résistance de section transversale selon § 10.1.4.1, – Critères de stabilité de la semelle libre selon § 10.1.4.2, – Interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant selon § 5.10, – Interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui selon § 5.11.

6,2. – Vérification de flèche – Application du § 7

10

La flèche de la panne continue en deux travées égales, dans le plan perpendiculaire à la toiture, est donnée par ′ ,↓L4 q Fd δ↓ = 185EI u,eff (On se place en sécurité ici en considérant la section efficace à l’état limite ultime, sachant que la norme permet de la considérer à l’état limite de service.) Selon § 7.3(3)I, on doit vérifier δ↓ 

L 200

ou, ce qui revient au même, le critère Γ δ,↓ = Ainsi, on obtient successivement :

δ↓ L /200



1,0 δ↓ = 8,58 mm Γ δ,↓ = 0,343  1,0 OK

6,3. – Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1 6,31. – Moment maxi en travée

Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : 9q Fd,↓L2 M y,t,Sd,↓ = 128

M y,t,Sd,↓ = 527,3 daN.m

6,32. – Moment maxi sur appui

Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : q Fd,↓L2 M y,a,Sd,↓ = 8


M y,a,Sd,↓ = 937,5 daN.m

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6,33. – Coefficient de sécurité sur la résistance

γ M = γ M 0 si (Aeff = Ag ) ou si (W eff,y = W el,y et N Sd = 0)

(§ 10.1.4.1(2))

γ M 1 dans les autres cas Donc ici :

γ M = γ M 1 = 1,0

11

6,34. – Moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre

Sous charge descendante, la semelle libre de la panne est comprimée sur appui.

6,341. – Calcul de la charge fictive q h,Fd ,↓ avec charges descendantes qFd,↓

Fonctionnement sous charges descendantes : Ci-dessus extrait de la Figure 10.1 de l’ENV [1]

kh,↓.qFd,↓

=

qh,Fd,↓

Fig. 5 – Charge latérale sous charge descendante

La charge latérale agissant sur la semelle libre et résultant de la torsion et de la flexion latérale est donnée par : q h,Fd ,↓ = k h,↓ . q Fd,↓

(Exp. 10.4)

avec : k h,↓ =

D'où

b 2ht 4I u

k h,↓ = 0,0872 (figure 10.3a) q h,Fd,↓ = 26,17 daN/m

Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de W fz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. fig. 6). Conformément à la norme [1] – selon la figure 5 – le sens de q h,Fd est reproduit sur la figure 6 (k h est toujours positif en charge descendante).


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qh,Fd

qh,Fd b

Sans liernes

+ -

+

+

+

+ -

Coté bord (b) M0,fz,Sd Coté âme (a) a

-: +:

Traction Compression

Fig. 6 – Moments sous charge latérale, sans lierne

12

6,342. – Calcul de la rigidité élastique latérale K par unité de longueur

K Fig. 7 – Ressort latéral de semelle libre

La rigidité K peut être calculée selon § 10.1.5.1(4) (cf. [4] aussi) : K =

où

1 4(1 – ν2)h2(hd + e ) h2 –––––––––––––––––––––––––––––––– + ––––– Et 3 C D hd est la hauteur développée de l'âme. Ici : hd = h – t nom e = a

(Exp. 10.13)

hd = 198 mm

si panne en contact avec le bac du côté de l'âme de la panne,

= 2a + b si panne en contact avec le bac du côté du bord extérieur de la semelle de la panne. Ici, sous charge descendante, le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de la semelle (cf. figure 5). Donc :

e = 120 mm

et, on calcule :

K ↓ = 0,0110 N/mm/mm

6,343. – Coefficient R ↓ d'appui latéral élastique

Ce coefficient R ↓ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR ,↓ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral M fz,Sd,↓ selon § 10.1.4.1(5).


Rubrique

49


R ↓ =

K ↓La4 π4EI fz

(Exp. 10.6)

où La est la distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, pas de lierne, donc : La = L

La = 5 m

et, par conséquent :

R ↓ = 3,047

13 6,344. – Moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre en travée (ici, elle est tendue)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre (partiellement comprimée), compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : M fz,Sd,↓ = βR ,↓ . M 0,fz,Sd,↓

où

(Exp. 10.5)

M 0,fz,Sd,↓ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique,

βR,↓

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M 0,fz,Sd,↓ et βR,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M 0,fz,Sd,↓ =

βR ,↓ =

9q h,Fd,↓La2 (cas sans lierne) 128

1 – 0,0141R ↓ (cas sans lierne) 1 + 0,416R ↓

et l'on peut calculer :

donc

M 0,fz,Sd,↓ = 46,01 daN.m

donc

βR ,↓ = 0,4220 M fz,t,Sd,↓ = 19,42 daN.m

6,345. – Moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui (ici, elle est comprimée)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre comprimée, compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : M fz,Sd,↓ = βR ,↓ . M 0,fz,Sd,↓

où

(Exp. 10.5)

M 0,fz,Sd,↓ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique,

βR,↓


Les expressions de M 0,fz,Sd,↓ et βR,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon


50

Rubrique


isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : q h,Fd,↓La2 (cas sans lierne) 8

donc

M 0,fz,a,Sd,↓ = 81,79 daN.m

1 + 0,0314R ↓ (cas sans lierne) 1 + 0,396R ↓

donc

βR ,↓ = 0,4965

M 0,fz,Sd,↓ =

βR ,↓ =


14

M fz,t,Sd,↓ = 40,61 daN.m

N.B. L’expression ci-dessus pour le calcul de βR ,↓ diffère par rapport à l’expression de la norme expérimentale [1] qui comporte une erreur de signe! L’expression donnée ici est celle utilisée dans le document [5] ainsi que dans le projet final de la norme [6].

6,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue) 6,351 – En milieu de travée (semelle comprimée)

Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est : σmax,t,Ed,s,↓ =

M y,t,Sd,↓ N + Sd W eff,y,c Aeff



f y γ M

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,R,s,↓ =

σmax,t,Ed,s,↓ f y / γM



1,0

On obtient ainsi successivement :

σmax,t,Ed,s,↓ = 142,7 MPa Γ t,R,s ,↓ = 0,408  1,0

OK

6,352. – Sur appui (semelle tendue)

Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est :



σmax,a,Ed,s,↓ = –

M y,a,Sd,↓ N Sd + W eff, y,t Aeff





f y γ M

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ a,R,s,↓ =

σmax,a,Ed,s,↓ f y / γM



1,0


σmax,a,Ed,s,↓ = 222,7 MPa Γ a,R,s ,↓ = 0,636  1,0


OK

Rubrique

51


6,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre) 6,361. – En milieu de travée (semelle tendue)

La contrainte de traction ramenée par M fz,a,Sd,↓ se calcule donc en faisant intervenir W fz,a (cf. 6.3.4.1 et figure 5). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (traction prépondérante) :



σmax,t,Ed,i,↓ = –

M y,t,Sd,↓ N Sd M fz,t,Sd,↓ + – W eff, y,t Aeff W fz,a





f y γ M

(Exp. 10.3a)

15

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,R,i,↓ =

σmax,t,Ed,i,↓  1,0 f yb / γM


σmax,t,Ed,i,↓ = 165,8 MPa Γ t,R,i,↓ = 0,474  1,0

OK

6,362. – Sur appui (semelle comprimée)

La contrainte de compression ramenée par M fz,a,Sd,↓ se calcule donc en faisant intervenir W fz,a (cf. 6.3.4.1 et figure 5). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,a,Ed,i,↓ =

M y,a,Sd,↓ N Sd M fz,a,Sd,↓ + + W eff, y,c Aeff W fz,a



f y γ M

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ a,R,i,↓ =

σmax,a,Ed,i,↓  1,0 f yb / γM


σmax,a,Ed,i ,↓ = 339,4 MPa Γ a,R,i,↓ = 0,970  1,0

OK

6,4. – Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2


6,41. – Longueur de flambement de la semelle libre

Selon § 10.1.4.2(3), sous charge descendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre peut être calculée par : fz,↓

= η1La(1 + η2R ↓η3)η4

(Exp. 10.9)


52

Rubrique


avec La distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, pas de lierne, donc : La = L La = 5 m R ↓ =

K ↓La4 π 4EI fz

(Exp. 10.6)

D’après le tableau 10.2, dans le cas d’une panne sans lierne : fz,↓

16

= 0,526La(1 + 22,8R ↓2,12)– 0,108

Rappel :

K ↓ = 0,0110 N/mm/mm

Donc :

R ↓ = 3,047

On peut alors calculer :

fz,↓

= 1,453 m

– 6,42. – Élancement réduit λ fz,↓ de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(2) λ 1 = π. – λ fz,↓ =

 E f yb

λ 1 = 76,95

fz,↓

λ fz,↓ = 0,827

i fz λ 1

(Exp. 10.8)

6,43. – Coefficient de flambement

Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↓ = 0,5[1 + α(λ fz,↓ – 0,2) + λ fz,↓2 ] χ↓ =

φ↓ +

(φ↓2

1 – 2 0,5 – λ fz,↓ )



φ↓ = 0,908 (Exp. 6.2b)

1

χ↓ = 0,780

(Exp. 6.2a)

6,44. – Vérification de la semelle inférieure (sur appui, comprimée, libre) au flambement

La contrainte de compression ramenée par M fz,a,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir W fz,a (cf. 6.3.4.1 et figure 5). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,a,Ed,i,↓ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,a,Ed,i,↓ =

1 M y,a,Sd,↓ N Sd M fz,a,Sd,↓ + + χ↓ W eff,y,c Aeff W fz,a








f yb γ m 1

(Exp. 10.7)

Rubrique

53


ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ a,F,i,↓ =

σF,a,Ed,i,↓ 1 f yb / γM



1,0


σF,a,Ed,i,↓ = 409,5 MPa Γ a,F,i,↓ = 1,170  1,0

6,5. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant – Application du § 5.10 6,51. – Effort tranchant maxi sur appui central

5q Fd,↓L F Sd = 1875,0 daN 4 Et ainsi l’effort tranchant en est la moitié (travées égales, chargées identiquement) : Réaction sous charges descendantes : F Sd =

V a,Sd,↓ = 937,5 daN 6,52. – Élancement d’âme relatif

Pour l’âme non raidie, d’après § 5.8(6) :



s – λ w = 0,346 w t

f yb E

– λ w = 1,427 (Exp. 5.15b)

où s w = hw = hd dans cet exemple. 6,53. – Contrainte limite de résistance au voilement de cisaillement

Cette contrainte peut être déterminée à partir du § 5.8(5) : f – Pour λ w = 1,427  1,4, âme non raidie : f bv = 0,67 –yb 2 λ w

f bv = 115,2 MPa (Tableau 5.2)

6,54. – Résistance au cisaillement

D’après § 5.8(1), cette résistance est la plus petite des valeurs suivantes : – Résistance au voilement de cisaillement, selon 5.8(3)P : V b,Rd =

hw f bv t sin φ γ M 1

(Exp. 5.13)

(où φ est l’angle d’inclinaison de l’âme par rapport aux semelles). Soit :

V b,Rd = 4469,4 daN


17

54

Rubrique


– Résistance plastique au cisaillement, selon 5.8(4)P : V pl,Rd =

hw f y / 3 t sin φ γ M 0

(Exp. 5.14)

Soit :

V pl,Rd = 7842,0 daN

Donc, la résistance au cisaillement à retenir est :

V w,Rd = 4469,4 daN

6,55. – Moment résistant de la section transversale

18

D’après § 5.4.1(1), pour W eff  W el : f M c,Rd = W eff,c y γ M 1 Donc :

(Exp. 5.3a) M c,Rd = 1356,2 daN.m

6,56. – Résistance de calcul à la compression

D’après § 5.3(1), pour Aeff  Ag : N c,Rd = Aeff

f yb γ M 1

(Exp. 5.2a)

Donc :

N c,Rd = 15925,0 daN

6,57. – Vérification de la résistance à l’interaction

La vérification a déjà le format adimensionnel, selon 5.10(1)A : Γ a,MV,↓ =



M y,Sd,↓ N Sd 2 V + + Sd,↓ M c,Rd N c,Rd V w,Rd

 

2



On obtient ainsi :

(Exp. 5.25) Γ a,MV,↓ = 0,522  1,0

OK

6,6. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui – Application du § 5.11 6,61. – Réaction d’appui maxi sur appui central

Réaction sous charges descendantes (cf. 6.5.1) :

F Sd = 1875,0 daN

6,62. – Résistance transversale locale de l’âme

D’après § 5.9.2(2), cette résistance se détermine comme suit.


Rubrique

55


Les constantes nécessaires pour son calcul sont, selon 5.9.2(3) : k = f yb /228 (f yb en MPa) k 3 = 0,7 + 0,3(φ /90)2 (φ en degrés) k 4 = 1,22 – 0,22k k 5 = 1,06 – 0,06r/t On considère que pour l’appui central on entre dans le cadre d’une seule réaction d’appui appliquée à une distance c  1,5 hw d’une extrémité libre :



f hw s 1 + 0,007 s t 2 yb , si s s / t  60 ; 49,5t t γ M 1



f hw s 0,75 + 0,011 s t 2 yb , si s s / t  60; 49,5t t γ M 1

R w,Rd = k 3k 4k 5 14,7 – R w,Rd = k 3k 4k 5 14,7 –

 



19



Dans notre cas : s s / t = 60/1,95 = 30,8  60. Donc, la résistance au cisaillement à retenir est :

R w,Rd = 1848,4 daN

6,63. – Moment résistant de la section transversale

Ce calcul est déjà fait ci-dessus (cf. 6.5.5) :

M c,Rd = 1356,2 daN.m

6,64. – Vérification de la résistance à l’interaction

La vérification a déjà le format adimensionnel, selon 5.11(1) : Γ′a,MR,↓ =

M y,Sd,↓ F Sd,↓ +  1,25 M c,Rd R w,Rd

(Exp. 5.26c)

ou, ce qui revient au même : Γ a,MR,↓ =

Γ′a,MR,↓ 1,25



1,0


Γ′a,MR,↓ = 1,706 Γ a,MR ,↓ = 1,365  1,0

7. – CAS SANS LIERNE. VÉRIFICATIONS SOU S CHARGES ASCENDANTES 7,1. – Vérifications à faire

D’après les paragraphes 10.1.3.3(2), 10.1.3.3(3) et 10.1.3.5, les vérifications suivantes sont à faire : 

Flèche sous charge d'état limite de service selon § 7 ;


56

Rubrique






En travée : – Critères de stabilité de la semelle libre selon § 10.1.4.2 ; Sur appui : – Résistance de section transversale selon § 10.1.4.1.


20

La flèche de la panne continue en deux travées, dans le plan perpendiculaire à la toiture, est donnée par : δ↑ =

q ′Fd,↑L4 185El u,eff

(On se place en sécurité ici en considérant la section efficace à l’état limite ultime, sachant que la norme permet de la considérer à l’état limite de service.) Selon § 7.3(3)I, on doit vérifier δ↑ 

L 200

(hypothèse adoptée ici)

ou, ce qui revient au même, le critère Γ δ↑ =

δ↑ L /200



1,0

Ainsi, on obtient successivement :

δ↑ = 5,72 mm Γ δ,↑ = 0,229  1,0 OK


Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : M y,t,Sd,↑ =

9q Fd,↑L2 128

M y,t,Sd,↑ = 351,6 daN.m

7,32. – Moment maxi sur appui

Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : M y,a,Sd,↑ =

q Fd,↑L2 8


M y,a,Sd,↑ = 625,0 daN.m

Rubrique

57



γ M = γ M 0 si (Aeff = Ag ) ou si (W eff,y = W el,y et N Sd = 0)

(§ 10.1.4.1(2))

γ M 1 dans les autres cas Donc ici :

γ M = γ M 1 = 1,0

7,34. – Moment latéral M fz,Sd,↑ dans la semelle libre

Sous charge ascendante, la semelle libre de la panne est comprimée en travée.

7,341. – Calcul de la charge fictive q h,Fd,↑ pour charges ascendantes qFd,↑

a

Fonctionnement sous charges ascendantes : Ci-dessus extrait de la Figure 10.1 de lí ENV [1]

kh,↑.qFd,↑

=

qh,Fd,↑

Fig. 8 – Charge latérale sous charge ascendante

La charge latérale agissant sur la semelle libre et résultant de la torsion et de la flexion latérale est donnée par : q h,Fd,↑ = k h,↑ . q Fd,↑

(Exp. 10.4)

avec : k h,↑ =

b 2ht a – 4I u h

Ici, on obtient :

si  0 : q h,Fd,↑ a le sens indiqué à la figure 8 et le contact panne-bac se fait du côté de l'âme de la panne, si  0 : q h,Fd,↑ a le sens inverse de celui indiqué à la Figure 8 et le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne. k h,↑ = – 0,0628  0

Donc : le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne et q h,Fd,↑ a le sens inverse de celui indiqué à la figure 8. Charge latérale :

q h,Fd,↑ = 12,55 daN/m

Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de W fz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. figure 6). Dans ce cas (k h,↑  0), la charge a le sens indiqué à la figure 6.


21

58

Rubrique



La rigidité K (cf. figure 7) peut être calculée selon § 10.1.5.1(4) (cf. [4]) : K =

1 4(1 – ν2)h2(hd + e ) h2 –––––––––––––––––––––––––––––––– + ––––– Et 3 C D

où

hd est la hauteur développée de l'âme.

Ici : hd = h – t nom

22

(Exp. 10.13)

e = a

hd = 198 mm

si panne en contact avec le bac du côté de l'âme de la panne,

= 2a + b si panne en contact avec le bac du côté du bord extérieur de la semelle de la panne. Ici, sous charge ascendante, le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne (cf. 7.3.4.1). Donc :

e = 120 mm

et, on calcule :

K ↑ = 0,0110 N/mm/mm

7,343. – Coefficient R ↑ d'appui latéral élastique

Ce coefficient R ↑ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR ,↑ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral M fz,Sd,↑ selon § 10.1.4.1(5). R ↑ =

où

K ↑La4 π4EI fz

(Exp. 10.6)

La est la distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, c’est la portée L de la panne.

Ici, pas de lierne, donc : La = L et, il vient :

La = 5 m R ↑ = 3,047

7,344. – Moment latéral M fz,Sd ,↑ dans la semelle libre en travée (ici, elle est comprimée)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd ,↑ dans la semelle libre comprimée compte tenu du maintien latéral élastique peut être calculé par : M fz,Sd ,↑ = βR,↑ . M 0,fz,Sd,↑

où

(Exp. 10.5)

M 0,fz,Sd ,↑ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique,

βR,↑


Les expressions de M 0,fz,Sd ,↑ et βR,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon


Rubrique

59


isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M 0,fz,Sd ,↑ =

βR,↑ =

9q h,Fd,↑La4 (cas sans lierne) donc 128

1 – 0,0141R ↑ (cas sans lierne) 1 + 0,416R ↑

donc


M 0,fz,t,Sd ,↑ = 22,06 daN.m

βR,↑ = 0,4220 M fz,t,Sd,↑ = 9,312 daN.m

23

7,345. – Moment latéral M fz,Sd,↑ dans la semelle libre sur appui

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd,↑ dans la semelle libre, (partiellement comprimée) compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : M fz,Sd ,↑ = βR,↑ . M 0,fz,Sd,↑

où

(Exp. 10.5)

M 0,fz,Sd ,↑ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR,↑ est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M 0,fz,Sd,↑ et βR,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : q h,Fd,↑La2 (cas sans lierne) 8

donc

M 0,fz,a,Sd,↑ = 39,22 daN.m

1 + 0,0314R ↑ (cas sans lierne) 1 + 0,396R ↑

donc

βR,↑ = 0,4965

M 0,fz,Sd ,↑ =

βR,↑ =


M fz,a,Sd,↑ = 19,48 daN.m

7,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue) 7,351. – En milieu de travée (semelle tendue)

Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est :



σmax,t,Ed,s,↑ = –

M y,t,Sd,↑ N Sd + W eff,y,t Aeff





f y γ M

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,R,s,↓ =

σmax,t,Ed,s,↑ f y / γM



1,0


σmax,t,Ed,s,↑ = 79,40 MPa Γ t,R,s,↑ = 0,227  1,0

OK


60

Rubrique



Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est : σmax,a,Ed,s,↑ =

M y,a,Sd,↑ N Sd + W eff,y,e Aeff



f y γ M

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant :

24

Γ a,R,s,↑ =

σmax,a,Ed,s,↑ f y / γM



1,0


σmax,a,Ed,s,↑ = 167,9 MPa Γ a,R,s,↑ = 0,480  1,0

OK

7,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre) 7,361. – En milieu de travée (semelle comprimée)

La contrainte de compression ramenée par M fz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 7,341 et figure 6) : – W fz,a, si k h,↑  0 (sans lierne) ; – W fz,b , si k h,↑  0 (sans lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,t,Ed,i,↑ =

M y,t,Sd,↑ N Sd M fz,t,Sd,↑ f y + +  γ M W eff,y,c Aeff W fz,b

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,R,i,↑ =

σmax,t,Ed,i,↑ f y / γM



1,0


σmax,t,Ed,i,↑ = 125,4 MPa Γ t,R,i,↑ = 0,358  1,0

OK


La contrainte de traction ramenée par M fz,a,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 7.3.4.1 et figure 6) : – W fz,a, si k h,↑  0 (sans lierne) ; – W fz,b , si k h,↑  0 (sans lierne).


Rubrique

61


Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (traction prépondérante) :



σmax,a,Ed,i,↑ = –

M y,a,Sd,↑ N Sd M + +– fz,a,Sd,↓ W eff,y,t Aeff W fz,b





f y γ M

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ a,R,i,↑ =

σmax,a,Ed,i,↑ f y / γM



1,0


25

σmax,a,Ed,i,↑ = 312,4 MPa Γ a,R,i,↑ = 0,610  1,0

OK




Selon § 10.1.4.2(6), sous charge ascendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre peut être calculée par : fz,↑

– 0,125 = 0,7L0(1 + 13,1R 1,6 0 )

avec L0 =

et

R 0 =

(Exp. 10.10a)

longueur de la zone comprimée. Donc ici L0 = 3,75 m

(Figure 10.5)

K ↑L04 (à condition que 0  R 0  200) π 4EI fz

(Exp. 10.10b)

Rappel :

K ↑ = 0,0110 N/mm/mm

Donc :

R 0 = 0,964


fz ,↑

= 1,899 m

7,42. – Élancement réduit de la semelle libre

Selon § 10.1.4.2(2) λ 1 = π. – λ fz,↑ =

 E f yb

fz,↑

i fz λ 1

λ 1 = 76,95

λ fz ,↑ = 1,080

(Exp. 10.8)


62

Rubrique



Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↑ = 0,5[1 + α(λ fz,↑ – 0,2) + λ 2fz,↑] χ↑ =

26

1 – 2 0,5 φ↑ + (φ↑2 – λ fz,↑ )



φ↑ = 1,176 (Exp. 6.2b)

1

χ↑ = 0,610

(Exp. 6.2a)

7,44. – Vérification de la semelle inférieure (comprimée, libre) au flambement

La contrainte de compression ramenée par M fz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 7.3.4.1 et figure 6) : – W fz,a , si k h,↑  0 (sans lierne) ; – W fz,b , si k h,↑  0 (sans lierne). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,t,Ed,i,↑ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,t,Ed,i,↑ =

M 1 M y,t,Sd,↑ N Sd + + fz,t,Sd,↑ W fz,b χ↑ W eff,y,c Aeff







f yb γ M 1

(Exp. 10.7)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,F,i,↑ =

σF,t,Ed,i,↑ 1 f yb / γM



1,0


σF,t,Ed,i,↑ = 187,7 MPa Γ t,F,i,↑ = 0,536  1,0 OK

8. – CAS SANS LIERNE. RAPPEL DES RÉSULTATS ET CONCLUSION

La vérification des différents critères a conduit aux résultats suivants : 

sous charge descendante Γ δ,↓ = 0,343  1,0 Γ t,R,s ,↓ = 0,408  1,0 Γ a,R,s ,↓ = 0,636  1,0 Γ t,R,i ,↓ = 0,474  1,0 Γ a,R,i ,↓ = 0,970  1,0 Γ a,F,i ,↓ = 1,170  1,0 Γ a,MV ,↓ = 0,522  1,0 Γ a,MR ,↓ = 1,365  1,0


OK OK OK OK OK non satisfaisant OK non satisfaisant

Rubrique

63




sous charge ascendante Γ δ,↑ = 0,229  1,0 Γ t,R,s ,↑ = 0,227  1,0 Γ a,R,s,↑ = 0,480  1,0 Γ t,R,i ,↑ = 0,358  1,0 Γ a,R,i,↑ = 0,610  1,0 Γ t,F,i ,↑ = 0,536  1,0

OK OK OK OK OK OK

En l’absence de lierne, la panne n’est donc pas satisfaisante.

27

9. – CAS AVEC UNE LIERNE À MI-PORTÉE. VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES DESCENDANTES 9,1. – Vérifications à faire

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.1.


Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.2 : Γ δ,↓ = 0,343  1,0 OK


Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.1 : M y,t,Sd,↓ = 527,3 daN.m 9,32. – Moment maxi sur appui

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.2 : M y,a,Sd,↓ = 937,5 daN.m 9,33. – Coefficient de sécurité sur la résistance

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.3 : γ M = γ M 1 = 1,0


64

Rubrique


9,34. – Moment latéral M fz,a,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui


9,341. – Calcul de la charge fictive q h,Fd ,↓ pour charges descendantes

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.4.1 :

28

q h,Fd,↓ = 26,17 daN/m

Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de W fz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. figure 9). qh,Fd

Avec 1 lierne

lierne

lierne

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

-: +:

Coté bord (b) M0,fz,Sd Coté âme (a)

Traction Compression

Fig. 9 – Moments sous charge latérale, avec une lierne

N.B. : Le diagramme des moments latéraux (cf. figure 9) présente une discontinuité «factice» au niveau des liernes, en raison de l’application stricte du tableau 10.1, où la modélisation distingue les trois cas séparément : – poutre sur deux appuis libres, – poutre sur un appui libre et un appui encastré, et – poutre sur deux appuis encastrés. En réalité, bien sûr, le diagramme des moments latéraux est continu.


Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.4.1 : K ↓ = 0,0110 N/mm/mm 9,343. – Coefficient R ↓ d'appui latéral élastique

Ce coefficient R ↓ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR,↓ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral M fz,Sd,↓ selon § 10.1.4.1(5).


Rubrique

65


R↓ =

K ↓La4 π4EI fz

où La

(Exp. 10.6)

distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L /2

et, il vient :

La = 2,5 m R ↓ = 0,190

9,344. – Moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre en travée (ici, elle est tendue)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre (partiellement comprimée), compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par M fz,Sd,↓ = βR,↓ . M 0,fz,Sd,↓

où

(Exp. 10.5)

M 0,fz,Sd ,↓ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR ,↓ est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M 0,fz,Sd ,↓ et βR ,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur cinq appuis, ce sont le deuxième cas (tronçon de rive : entre l’appui d’extrémité et la lierne adjacente) et le troisième cas (tronçon de milieu : entre l’appui central et la lierne adjacente) de ce tableau qui gouvernent et l'on a : M 0,fz,Sd ,↓ =

q h,Fd,↓La2 (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 8

q h,Fd,↓La2 (cas avec liernes : tronçon de milieu) M 0,fz,Sd ,↓ = 12

Le plus défavorable est le premier, donc

M 0,t,fz,Sd ,↓ = 20,45 daN.m

βR,↓ =

1 + 0,0314R ↓ (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 1 + 0,396R ↓

βR,↓ =

1 + 0,0178R ↓ (cas avec liernes : tronçon de milieu) 1 + 0,191R ↓

Le plus défavorable est le premier, donc

βR,↓ = 0,9354


M fz,t,Sd,↓ = 19,13 daN.m

9,345. – Moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui (ici, elle est comprimée)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre comprimée, compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par M fz,Sd,↓ = βR,↓ . M 0,fz,Sd,↓

(Exp. 10.5)


29

66

Rubrique


où M 0,fz,Sd ,↓ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

βR ,↓

Les expressions de M 0,fz,Sd,↓ et βR ,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur appuis, c’est le troisième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M 0,fz,Sd ,↓ =

30 βR ,↓ =

q h,Fd,↓La2 (cas avec liernes) 12

1 + 0,0178R ↓ (cas avec liernes) 1 + 0,191R ↓

donc

M 0,fz,a,Sd ,↓ = 13,63 daN.m

donc

βR ,↓ = 0,9682


M fz,a,Sd,↓ = 13,20 daN.m

N.B. Les expressions ci-dessus pour le calcul de βR ,↓ diffèrent par rapport aux expressions de la norme expérimentale [1] qui comportent une erreur de signe! Les expressions données ici sont celles utilisées dans le document [5] ainsi que dans le projet final de la norme [6].

9,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue) 9,351. – En travée (semelle comprimée)

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.5.1 : Γ t,R,s ,↓ = 0,408  1,0 OK 9,352. – Sur appui (semelle tendue)

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.5.2 : Γ a,R,s ,↓ = 0,636 < 1,0 OK 9,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre) 9,361. – En travée (semelle tendue)

La contrainte de traction ramenée par M fz,t,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – W fz,b , si k h,↑  0 (avec lierne) ; – W fz,a, si k h,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (traction prépondérante) :



σmax,t,Ed,i,↓ = –

M y,t,Sd,↓ N Sd M fz,t,Sd,↓ + – W eff, y,t Aeff W fz,b






f y γ M

(Exp. 10.3b)

Rubrique

67


ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,R,i,↓ =

σmax,t,Ed,i,↓  1,0 f y / γM


σmax,t,Ed,i, ↓ = 180,0 MPa Γ t,R,i,↓ = 0,514  1,0 OK


31

La contrainte de compression ramenée par M fz,a,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir W fz,a (cf. 9.3.4.1 et figure 9). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,a,Ed,i,↓ =

M y,a,Sd,↓ N Sd M fz,a,Sd,↓ + + W eff, y,c Aeff W fz,a



f y γ M

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ a,R,i,↓ =

σmax,a,Ed,i,↓  1,0 f yb / γM


σmax,a,Ed,i,↓ = 278,1 MPa Γ a,R,i,↓ = 0,794  1,0 OK




Selon § 10.1.4.2(3), sous charge descendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre peut être calculée par : fz,↓

= η1La(1 + η2R ↓η3)η4

(Exp. 10.9)

où La distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L/2 R ↓ =

La = 2,5 m

K ↓La4 π 4EI fz

(Exp. 10.6)

D’après le tableau 10.2, dans le cas d’une panne avec une lierne : fz,↓

= 0,622La(1 + 66,7R ↓2,68)– 0,084


68

Rubrique


Rappel :

K ↓ = 0,0110 N/mm/mm

Donc :

R ↓ = 0,190


fz,↓

= 1,481 m


32

Selon § 10.1.4.2(2) λ 1 = π. – λ fz,↓ =

 E f yb

λ 1 = 76,95

fz,↓

λ fz,↓ = 0,843

i fz λ 1

(Exp. 10.8)


Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↓ = 0,5[1 + α(λ fz,↓ – 0,2) + λ 2fz,↓] χ↓ =

φ↓ +

(φ↓2

1 – 2 0,5 – λ fz,↓ )



φ↓ = 0,923 (Exp. 6.2b)

1

χ↓ = 0,770

(Exp. 6.2a)

9,44. – Vérification de la semelle inférieure (sur appui, comprimée, libre) au flambement

La contrainte de compression ramenée par M fz,a,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir W fz,a (cf. 9.3.4.1 et figure 9). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,a,Ed,i,↓ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,a,Ed,i,↓ =

M 1 M y,a,Sd,↓ N Sd + + fz,a,Sd,↓ Aeff W fz,a χ↓ W eff,y,c







f yb γ M 1

(Exp. 10.7)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ a,F,i,↓ =

σF,a,Ed,i,↓ 1 f yb / γM



1,0


σF,a,Ed,i,↓ = 352,1 MPa Γ a,F,i,↓ = 1,006 ≅ 1,0 OK


Rubrique

69


9,5. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant – Application du § 5.10

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.5 : Γ a,MV,↓ = 0,522  1,0 OK

9,6. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et la

33

réaction d’appui – Application du § 5.11

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.6 : Γ a,MR,↓ = 1,365  1,0

10. – CAS AVEC UNE LIERNE À MI-PORTÉE. VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES ASCENDANTES

10,1. – Vérifications à faire

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.1.


Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.2 : Γ δ,↑ = 0,229  1,0 OK


Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.1 : M y,t,Sd,↑ = 351,6 daN.m 10,32. – Moment maxi sur appui

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.2 : M y,a,Sd ,↑ = 625,0 daN.m


70

Rubrique



Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.3 : γ M = γ M 1 = 1,0

10,34. – Moment latéral M fz,Sd,↑ dans la semelle libre

34


10,341. – Calcul de la charge fictive q h,Fd,↑ pour charges ascendantes

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.4.1 : q h,Fd,↑ = 12,55 daN/m

Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de W fz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. figure 9). Dans ce cas (k h,↑  0), la charge a le sens indiqué à la figure 9.


Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.4.2 : K ↑ = 0,0110 N/mm/mm

10,343. – Coefficient R ↑ d'appui latéral élastique

Ce coefficient R ↑ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR ,↑ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral M fz,Sd,↑ selon § 10.1.4.1(5). R ↑ =

K ↑La4 π 4EI fz

où La

(Exp. 10.6)

distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L/2

et, il vient :


La = 2,5 m R ↑ = 0,190

Rubrique

71


10,344. – Moment latéral M fz,Sd,↑ dans la semelle libre en travée (ici, elle est comprimée)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd ,↑ dans la semelle libre comprimée compte tenu du maintien latéral élastique peut être calculé par : M fz,Sd,↑ = βR,↑ . M 0,fz,Sd,↑

(Exp. 10.5)

où M 0,fz,Sd ,↑ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR ,↑

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif

Les expressions de M 0,fz,Sd ,↑ et βR ,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur cinq appuis, ce sont le deuxième cas (tronçon de rive : entre l’appui d’extrémité et la lierne adjacente) et le troisième cas (tronçon de milieu : entre l’appui central et la lierne adjacente) de ce tableau qui gouvernent et l'on a : M 0,fz,Sd ,↑ =

q h,Fd,↑La2 (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 8

M 0,fz,Sd ,↑ =

q h,Fd,↑La2 (cas avec liernes : tronçon de milieu). 12

Le plus défavorable est le premier, donc :

M 0,fz,t,Sd ,↑ = 9,806 daN.m

βR,↑ =

1 + 0,0314R ↑ (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 1 + 0,396R ↑

βR,↑ =

1 + 0,0178R ↑ (cas avec liernes : tronçon de milieu). 1 + 0,191R ↑

Le plus défavorable est le premier, donc :

βR,↑ = 0,9354


M fz,t,Sd ,↑ = 9,173 daN.m

10,345. – Moment latéral M fz,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui (ici, elle est tendue)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd ,↑ dans la semelle libre (partiellement comprimée), compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : M fz,Sd,↑ = βR,↑ . M 0,fz,Sd,↑

(Exp. 10.5)

où M 0,fz,Sd,↑ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR,↑


Les expressions de M 0,fz,Sd,↑ et βR,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon


35

72

Rubrique


isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue en deux travées, c’est le troisième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M 0,fz,Sd ,↑ =

βR,↑ =

q h,Fd,↑La2 (cas avec liernes) 12

1 + 0,0178R ↑ (cas avec liernes) 1 + 0,191R ↑

donc

M 0,fz,a,Sd ,↑ = 6,537 daN.m

donc

βR,↑ = 0,9682


36

M fz,a,Sd,↑ = 6,329 daN.m

N.B. Les expressions ci-dessus pour le calcul de βR ,↓ diffèrent par rapport aux expressions de la norme expérimentale [1] qui comportent une erreur de signe! Les expressions données ici sont celles utilisées dans le document [5] ainsi que dans le projet final de la norme [6]. 10,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue) 10,351. – En travée (semelle tendue)

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.5.1 : Γ t,R,s,↑ = 0,227  1,0 OK 10,352. – Sur appui (semelle comprimée)

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.5.2 : Γ a,R,s,↑ = 0,480  1,0 OK 10,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre) 10,361. – En travée (semelle comprimée)

La contrainte de compression ramenée par M fz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – W fz,a, si k h,↑  0 (avec lierne) ; – W fz,b , si k h,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,t,Ed,i,↑ =

M y,t,Sd,↑ N Sd M fz,t,Sd,↑ f y + +  γ M W eff,y,c Aeff W fz,a

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,R,i,↑ =

σmax,t,Ed,i,↑ f y / γM




1,0

(Exp. 10.3b)

Rubrique

73



σmax,t,Ed,i,↑ = 117,8 MPa Γ t,R,i,↑ = 0,337  1,0 OK


La contrainte de traction ramenée par M fz,a,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – W fz,b , si k h,↑  0 (avec lierne) ;

37

– W fz,a, si k h,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) :



σmax,a,Ed,i,↑ = –

M y,a,Sd,↑ N Sd M fz,a,Sd,↑ + – W eff,y,c Aeff W fz,b





f y γ M

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ a,R,i,↑ =

σmax,a,Ed,i,↑ f y / γM



1,0


σmax,a,Ed,i,↑ = 173,8 MPa Γ a,R,i,↑ = 0,496  1,0 OK




Selon § 10.1.4.2(7), sous charge ascendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre – «efficacement maintenue latéralement en position par des liernes» – peut être calculée par : fz,↑

= 1,0La(1 + 30,4R ↑2,28)– 0,108

(Tableau 10.2)

avec La distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L /2 Et R ↑ = Rappel :

K ↑La4 π4EI fz

La = 2,5 m

(Exp. 10.6) K ↑ = 0,0110 N/mm/mm


74

Rubrique

Donc :

R ↑ = 0,190


fz,↑


= 2,362 m


Selon § 10.1.4.2(2)

38

λ 1 = π. – λ fz,↑ =

 E f yb

λ 1 = 76,95

fz,↑

λ fz,↑ = 1,344

i fz λ 1

(Exp. 10.8)


Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↑ = 0,5[1 + α(λ fz,↑ – 0,2) + λ 2fz,↑] χ↑ =

φ↑ +

(φ↑2

1 – 2 0,5 – λ fz,↑ )



φ↑ = 1,523 (Exp. 6.2b)

1

χ↑ = 0,447

(Exp. 6.2a)

10,44. – Vérification de la semelle inférieure (en travée, comprimée, libre) au flambement

La contrainte de compression ramenée par M fz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – W fz,a, si k h,↑  0 (avec lierne) ; – W fz,b , si k h,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,t,Ed,i ,↑ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,t,Ed,i,↑ =

1 χ↑



M y,t,Sd,↑ N Sd M + + fz,t,Sd,↑ W eff,y,c Aeff W fz,a





f yb γ M 1

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ t,F,i,↑ =

σF,t,Ed,i,↑ 1 f yb / γM




1,0

(Exp. 10.7)

Rubrique

75



σF,t,Ed,i,↑ = 238,5 MPa Γ t,F,i,↑ = 0,681  1,0 OK

N.B. Si l’on compare ce résultat (avec une lierne) avec celui de 7.4.4 (sans lierne), il est clair que la longueur de flambement pour le cas avec une lierne est extrêmement défavorable (cf. Remarque importante sur les liernes, chapitre 4) : il n’y a pas de justification physique pour qu’elle soit plus grande par rapport au cas de la semelle libre non maintenue! Il serait probablement plus judicieux de reprendre ici la longueur de flambement obtenue pour le cas sans lierne.

39 11. – CAS AVEC UNE LIERNE À MI-PORTÉE. RAPPEL DES RÉSULTATS ET CONCLUSION

La vérification des différents critères a conduit aux résultats suivants : 

sous charge descendante

Γ δ,↓ = 0,343  1,0

OK

Γ t,R,s ,↓ = 0,408  1,0

OK

Γ a,R,s,↓ = 0,636  1,0

OK

Γ t,R,i,↓ = 0,514  1,0

OK

Γ a,R,i,↓ = 0,794  1,0

OK

Γ a,F,i,↓ = 1,006 ≅ 1,0

OK

Γ a,MV,↓ = 0,522  1,0

OK

Γ a,MR ,↓ = 1,365  1,0

non satisfaisant



sous charge ascendante

Γ δ,↑ = 0,229  1,0

OK

Γ t,R,s,↑ = 0,227  1,0

OK

Γ a,R,s,↑ = 0,480  1,0

OK

Γ t,R,i,↑ = 0,337  1,0

OK

Γ a,R,i,↑ = 0,496  1,0

OK

Γ t,F,i,↑ = 0,681  1,0

OK

En présence d’une lierne à mi-portée de chaque travée, la panne n’est pas satisfaisante,

en seule raison de l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui.


76

Rubrique


12. – CONCLUSION GÉNÉRALE

Quand on compare les résultats des deux calculs concernant une panne sur 3 appuis, sans lierne (cf. 8) et avec une lierne à mi-portée de chaque travée (cf. 11), avec les résultats du calcul d’une panne sur 2 appuis, sans lierne (cf. [4]) et avec une lierne à mi-portée (calcul effectué par ailleurs, mais pas détaillé dans cet article), on arrive au tableau suivant : Critère adimensionnel

40

Γ δ,↓ Γ t,R,s,↓ Γ a,R,s,↓ Γ t,R,i,↓ Γ a,R,i,↓↓ Γ a,F,i,↓ Γ a,MV,↓ Γ a,MR,↓ Γ δ,↑ Γ t,R,s,↑ Γ a,R,s,↑ Γ t,R,i,↑ Γ a,R,i,↑ Γ t,F,i,↑

Panne sur 2 appuis sans lierne avec 1 lierne à mi-travée 0,826 0,826 0,710 0,710 – – 0,636 0,636 – – – – – – – – 0,551 0,551 0,418 0,418 – – 0,557 0,538 – – 0,933 1,133

Panne sur 3 appuis sans lierne avec 1 lierne à chaque mi-travée 0,343 0,343 0,408 0,408 0,636 0,636 0,474 0,514 0,970 0,794 1,170

1,006

0,522

0,522

1,365

1,365

0,229 0,227 0,480 0,358 0,610 0,536

0,229 0,227 0,480 0,337 0,496 0,681

En comparant les résultats, on s’aperçoit que : 







Le cas d’une panne sur deux appuis avec une lierne à mi-portée est plus défavorable que le cas d’une panne sur deux appuis sans lierne ! Ceci est dû à la longueur de flambement de la semelle libre extrêmement sécuritaire dans la norme expérimentale [1]. Le cas d’une panne sur trois appuis sans lierne n’est pas satisfaisant (il est même plus contraignant que le cas d’une panne sur deux appuis) à cause de l’influence du flambement de la semelle libre sur appui. Le cas d’une panne sur trois appuis (avec ou sans liernes) n’est pas satisfaisant au niveau de l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui. Néanmoins, ce problème peut être résolu en suspendant la panne à l’échantignole. L’intérêt principal de la continuité d’une panne sur trois appuis – par rapport à une panne sur deux appuis – serait donc la réduction des flèches, intérêt d’autant plus marqué que les portées augmentent.

13. – RÉFÉRENCES

[1] XP P 22-313 : Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier » – Partie 1-3 : « Règles générales – Règles supplémentaires pour les profilés et plaques à parois minces formés à froid » – avec son Document d'Application Nationale – Mars 1998. [2] Bureau A. – « Stabilisation des pannes en profilé laminé par un bac acier – Vérifica- tion du bac par les recommandations de la CECM » – Revue Construction Métallique – N° 4 1991 – CTICM.


Panne Z sur 3 appuis.pdf

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