P L A N I M E T R I J A3

PLANIMETRIJA a2 + b2 = c2 Pitagorin poučak O = a + b + c opseg pravokutnog trokuta P= a ∙b površina pravokutnog trokuta ( ili P=c∙v )

α + β = 90° tj. α i β su komplementarni kutovi β

2

α

α/2 α

α

γ c a

α

a

α

a∙b = c∙v c = p+q v= a = √p∙c b = √q∙c

r=c 2

α = 60°_ O = 3∙a opseg v = a∙√3 visina 2_ 2 P = a ∙√3 površina 4

 _ 

R = 2 ∙v = a∙√3 3 3_ r = 1 ∙v = a∙√3 3 6

radijus opisane kružnice radijus upisane kružnice

radijus opisane kružnice

α + 2β = 180° O = a + 2∙b opseg α P = a∙va = b∙vb površina 2 2 r = a tg β radijus upisane a 2 2 kružnice β β R = a __ radijus 2sinα opisane ili R = b___ kružnice 2sinβ

O = a + b + c opseg s = a + b + c poluopseg 2 Formule za površinu : P = a∙va = b∙vb = c∙vc 2 2 2 P = √s(s–a)(s-b)(s-c) Heronova formula P = a∙b∙c R = radijus trokutu opisane kružnice 4∙R b P = r∙s r= radijus trokutu upisane kružnice β

β

2 p i q su odsječci koje visina na hipotenuzu odsjeca na hipotenuzi  ___ p je ortogonalna projekcija katete a na hipotenuzu √p∙q q je ortogonalna projekcija katete b na hipotenuzu

 P 

1 =

2

ac sin β 

1 =

2

ab sin γ  

1 =

2

bc sin sin α 

( poligoni ili n-terokuti) β - sve stranice jednake i svi unutrašnji kutovi jednaki Svaki pravilan n-terokut sastoji se od n sukladnih trokuta sa zajedničkim vrhom→karakterističan vrhom→karakterističan α trokut n-terokuta je općenito jednakokračan α/2 α γ α=360° središnji kut γ=360° vanjski kut n n β=180° - α =(n-2)∙180°/n unutarnji kut O = n∙a opseg pravilnog n-terokuta β/2 β/2 Pk= a∙r  površina karakterističnog trokuta 2 r =radijus =radijus n-terokutu upisane kružnice R=radijus opisane kružnice Pn= n∙ Pk površina pravilnog n-terokuta O= 2(a+b) opseg P = e ∙ f  površina I α + β = 180° φ + φ = 180° 2 α P = a∙va = b∙vb formule za površinu P = a∙b∙sinα = a∙b∙sinβ paralelograma φ P=1e∙f∙sinφ I φ 2 β - dijagonale paralelograma se raspolavljaju

P = e ∙ f površina 2 četverokuta s okomitim dijagonalama - kvadrat,romb,deltoid

α + β = 180° ( α i β su suplementni kutovi ) O = 4∙a opseg romba P = a ∙va = e ∙ f  površina romba α 2 r = va radijus rombu upisane kružnice 2 α/2 β/2 → Pitagora : e2 + f 2 = 4∙a2 β Romb je tangencijalni četverokut.

β a

α

α + β + γ + δ =360° s = a + c srednjica trapeza 2 γ P = s ∙ v površina trapeza O = a + b+ c+ d opseg trapeza

δ α

a

β

trapez je jednakokračan ako je b=d

α + β =180° → kutovi uz isti krak su suplementni

Jednakokračan trapez je tetivni četverokut. α

β

β

α

- četverokut je tangencijalan ako mu se može upisati kružnica tj. ako njegove stranice leže na tangentama iste kružnice Vrijedi : 1. a + c = b + d kriterij da je neki četverokut tangencijalan ( u četverokut se može upisati kružnica <=> je a + c = b + d) 2. 2s = O = a + b+ c+ d 3. P = r∙s površina tangencijalnog četverokuta r = radijus upisane kružnice - četverokut je tetivni ako mu se može opisati kružnica tj. ako su njegove stranice tetive iste kružnice Vrijedi : 1. α + γ = β + δ = 180° kriterij da je Središnji kut = 2 x obodni kut neki četverokut tetivni ( oko δ α = 2∙ β četverokuta se može opisati γ kružnica <=> α + γ = β + δ = 180° tj. nasuprotni kutovi su suplementni) β 2. 2s = O = a + b+ c+ d α 3. e ∙ f =ac + bd_________ β α 4. P = √(s–a)(s-b)(s-c)(s-d) površina tetivnog četverokuta Obodni i središnji kut isjecaju isti luk na kružnici.

α

d = 2r promjer ili dijametar kruga t = tetiva kružnice r = radijus ili polumjer kruga P = r 2 ∙ π površina kruga O = 2∙r∙π opseg kruga α = središnji kut l (α) = r π α duljina luka kružnice kojeg isjeca α 180° kut α P (α) = r 2 π α površina kružnog isječka kojeg isjeca 360° kut α => P (α) = r∙l(α) 2