OSCILACIONES AMORTIGUADAS DESDE EL PUNTO DE VISTA MECANICO Argumedo. G., Doria. M., León. J., Montoya. S, Padilla. K, Puche. C. Departamento de Ingeniería Mecánica - Lab. Física III. Universidad de Córdoba, Montería
RESUMEN En esta práctica se estudió las oscilaciones amortiguadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k que experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. 1. TEORIA RELACIONADA Oscilaciones Amortiguadas En la vida real existen fuerzas no conservativas tales como la fricción las cuales hacen retardar el movimiento, como consecuencia se tiene que la energía mecánica disminuya a través del tiempo, a este movimiento lo llamaremos amortiguado. La energía mecánica perdida se transforma energía interna del objeto y del medio retardador.
fuerza opuesta a la velocidad, llamada fuerza retardadora 𝐹𝑟 = −𝑏𝑣 , donde b es una constante llamada coeficiente de amortiguamiento. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta. Al aplicar la segunda Ley de Newton, tenemos: ∑ 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝜆𝑣𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 −𝑘𝑥 − 𝑏
𝑑𝑥 𝑑2𝑥 =𝑚 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Si la fuerza retardadora es pequeña con respecto a la fuerza restauradora máxima, se obtiene la siguiente expresión: 𝑏
𝑥 = 𝐴. 𝑒 −(2𝑚)𝑡 . cos(𝜔𝑡 − 𝜙) Fig. 1. Ejemplo de un oscilador amortiguado.
El sistema más simple que representa este movimiento es el de un objeto unido a un resorte y sumergido en un medio viscoso (Fig. 1.). Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza restauradora F= -kx, actúa otra
Donde tenemos que la frecuencia 𝑏
angular es: 𝜔 = √𝜔°2 − (2𝑚)2 Las características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:
La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo. La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de
rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.
ondulación debida al segundo término entre paréntesis, tal como apreciamos en la figura:
Fig. 3. Energía del oscilador amortiguado.
2. MATERIALES Fig. 2. Grafica de x vs. T para un oscilador amortiguado.
Energía del oscilador amortiguado La energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial del muelle elástico deformado. 1 1 1 1 𝐸 = 𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 = 𝑚𝑣 2 + 𝑚𝜔°2 𝑥 2 2 2 2 2
Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t. 1 𝐸 = 𝑚𝜔°2 𝐴2 𝑒 −2𝛾𝑡 2
1 − 𝑚𝛾𝐴2 𝑒 −2𝛾𝑡 𝑠𝑒𝑛(2(𝜔𝑡 2 + 𝜑))
Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, como hemos visto en el ejemplo del apartado anterior ω0≈ω 1 𝐸 = 𝑚𝜔°2 𝐴2 𝑒 −2𝛾𝑡 (1 2 𝛾 − 𝑠𝑒𝑛(2(𝜔° 𝑡 + 𝜑)) 𝜔°
La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña
Pie estativo Varilla soporte (600mm) Nuez Noble Pasador Muelle helicoidal (3N/m) Platillo para pesas de ranura Pesa de ranura (50gr) Regla Vaso de Precipitado 250 ml Cartón
1 2 2 1 1 1 1 1 1 1
3. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Parte 1 Primero se preparó el montaje de un péndulo simpe indicado en la fig. 4. Se cargó el muelle con una masa de 50gr, incluyendo platillo y con Δl= 10cm. Se tomaron datos de los alargamientos cada 30sg hasta llegar a 3 min, y se llevaron los valores a la tabla. Luego se procedió a realizar un segundo montaje de un péndulo simple con un disco de cartón, colocado entre las dos pesas,
también se realiza un alargamiento de 10cm, y se consignan los respectivos valores en la tabla. Parte 2.
El péndulo se detuvo totalmente antes de los 3 min 2. Calcule la
reducción de la amplitud Δl2 después de 3 min (en cm y en %). R/ ΔL= L12-L62= (3-0) cm= 3cm
se realizó el mismo montaje, pero sumergido en el vaso de precipitado 4cm, se sumergió y se le dio un alargamiento de 4cm, y se tomó el alargamiento después de 5g.
Parte 1. Resultados péndulo simple 1 5
1.5 4
2 3
2.5 2
3 0
Resultados péndulo simple con platillo Tabla 2. t(min) 0.5 A(cm) 3
1 2.5
1.5 1
2 0
3. Compare los resultados de 1 y 2. ¿Qué encuentra? R/ en el experimento uno y dos las oscilaciones se detuvieron antes de los 3 min, pero, en el experimento 2 las disminuciones eran el doble de la uno por fracción de tiempo como se pueden observar en las tablas.
4. RESULTADOS
Tabla 1. t(min) 0.5 A(cm) 6
El péndulo se detuvo totalmente antes de los 3 min
2.5 0
3 0
PARTE 2
Resultados péndulo simple material viscoso (agua)
en
4. ¿Cuál de los dispositivos tiene mayor amortiguamiento? Explique. R/ Las oscilaciones presentaron mayor amortiguamiento con el disco de cartón que en él, ya que este dispositivo aumenta la fricción con el aire, al aumentar la superficie de contacto. 5.Realizar la gráfica de Δl en función del tiempo en cada caso para los datos de la tabla 1, trazando la curva (línea) de manera continua (Δl1vs t y Δl2 vs t). Grafica 1
t(seg) A(cm)
5 0.5
Tabla 3.
A(m) 8 6 4
5. EVALUACION
2 0
1. Calcule en cm y en porcentaje (%) ¿en cuánto ha descendido la amplitud (alargamiento) ΔL1 después de 3 min?
0
t(min)
R/ -ΔL= L1-L6= (6-0) cm= 6cm
Grafica 2
1
2
3
4
A(m) 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
t(min)
6. ¿Qué puede deducir sobre la trayectoria de las curvas para tiempos mayores? ¿Alcanza la amplitud un valor límite? Explique. R/ cuando la trayectoria supera los 2 min
en la gráfica 2 se acerca mucho al valor de cero, tanto que se toma como cero ya que es imperceptible para el ojo humano los valores muy cercanos. Mientras tanto en la gráfica se empieza a acercar los valores a cero ya cuando está muy cerca a los 3 min. 7. ¿Qué significa un valor límite 0 de la oscilación? R/ cuando las oscilaciones empiezan a ser muy pequeñas, pueden durar así por cierto tiempo, y estas se hacen imperceptibles para el ojo humano por lo que se toman los valores de cero. 8. Calcule la reducción de amplitud Δl3 en cm y en %.
R/ la mayor disminución de amplitud se observó en el agua mientras la menor se vio en el aire sin disco. Esto se debe a que el agua ofrece más resistencia al movimiento que el aire, por lo que tiene mayor coeficiente de amortiguamiento que el aire. el disco de cartón no es suficiente para ofrecer la misma fricción que el agua. 10. ¿Por qué apenas es posible registrar una curva en el agua como la que se registró en el aire? R/ porque el coeficiente de amortiguamiento del agua es muy grande, mientras que la masa y el alongamiento son muy pequeños para este, por lo que la disminución de la amplitud es muy brusca y desciende rápido a cero. 6. CONCLUSION A través de los experimentos realizados logramos comprobar que las amplitudes de las oscilaciones dependen directamente aparte de la masa y la elongación inicial, también dependen del medio donde se realicen y de la forma de las masas como lo es el disco de cartón que ofrece mayor fricción y un medio como el agua que dada su viscosidad frena rápidamente las oscilaciones. 7. BIBLIOGRAFIA
R/ ΔL= L13-L23= ((4-0.5) = 3.5cm %= (3.5/4) x100% = 87.5% Se redujo en un 87.5% después de 5 seg
9. Compare la disminución de la amplitud del oscilador en el aire (con y sin disco) y con la masa sumergida en agua. ¿Dónde es el amortiguamiento (disminución de la amplitud) menor, y dónde es mayor? Explique.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ oscilaciones/amortiguadas/amortigu adas.htm Serway R.; Beichner R.; Física para Ciencias e Ingeniería. 7° Ed. McGraw - Hill. Pags 436 – 437. GUIA DE LABORATORIO.
