Os Quadrados Mágicos. (por Euclides) Esta é uma curiosidade já conhecida pelos povos da antiguidade.
Observe no quadrado da figura que a soma dos números nele dispostos é sempre a mesma (15), quer somemos as colunas, linhas ou diagonais! Embora esse seja o quadrado mágico mais conhecido por ser o que mais aparece nas publicações, não é o único. Na verdade podemos faze-los 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, ou como desejarmos... e formos capazes. Vejamos alguns outros, sendo os maiores muito difíceis de encontrar. A letra S designa o valor da soma mágica.
Construir esses quadrados não é tarefa simples, principalmente os maiores, se o método for “tentativa e erro ”. Mas podemos aprender algumas coisas sobre eles. Para facilitar criemos alguns nomes:
n para o número de quadradinhos em cada lado a1, a2, a3, a4, e assim por diante para os números inscritos nos quadradinhos S para a soma mágica, como já usamos. Um quadrado mágico com um número 2
n de lados terá, como é fácil ver, uma quantidade
n = (n x n)
de quadradinhos e números inscritos. O quadrado 5 x 5 tem, por exemplo, 25 quadradinhos. O menor número inscrito será sempre 1 para todos os quadrados mágicos e o maior será 2
igual a n . Por exemplo, 25 para o quadrado 5 x 5.
O valor da soma é dado por
S
( a1 an ) n 2
, ex:
S ( 5 x 5)
(1 25) 5 2
65
Alguns quadrados serão pares e outros ímpares de acordo com o número de quadradinhos que possui em cada lado, ou seja, n. Os quadrados múltiplos de 4 e os quadrados ímpares são relativamente fáceis de construir como mostram as figuras:
Basta dispor os números em forma de uma pirâmide cujos degraus são formados por quatro quadradinhos em cujo topo irá ficar o número do centro do quadrado obtido através de
a1
an
2 as casas coloridas indicam como dispor os números no quadrado.
Os quadrados múltiplos de quatro (4 x 4, 8 x 8, 12 x 12, etc) são bem fáceis:
Existe uma disposição para os números ímpares e outra, parecida, para os pares. Os números devem ser dispostos dois a dois, respectivamente o maior e o menor como na figura, sendo que as marcas vermelhas indicam os lugares onde começar.
18 118 120 116 115 113
10
11
16
14
20
36 121
1
34 100
98
97
95
28
29
32
6
21
46
84
83
81
42
43
48 10 1 01 11 1 16
3
26
37
54
72
71
52
56
85
96 119
110
92
78
49
58
65
60
73
44
30
12
103
87
75
67
63
61
59
55
47
35
19
105
89
77
69
62
57
64
53
45
33
17
107
91
40
66
50
51
70
68
82
31
15
114
23
74
38
39
41
80
79
76
99
8
2
86
22
24
25
27
94
93
90
88 12 120
102
4
2
6
7
11 x11
9 11 1 12 11 1 11 10 1 06 10 1 08 10 1 04 671
