Examen Pr´ actico actico Oposiciones Matem´aticas aticas Murcia 2004 Copiado por Antonio Cascales Vicente 25.06.2004 PROBLEMA 1. (4 puntos) a) El tiempo T de funcionamiento ininterrumpido hasta aver´ aver´ıa o parada de un cierto tipo de motor es una variable aleatoria con funci´ on on de densidad del tipo f (t) = αe βt ,
t≥0
Hallar los posibles valores de α y β y y el tiempo medio de funcionamiento ininterrumpido, as´ as´ı como la varianza de dicho tiempo T .
(0,8 puntos) b) Se instalan instalan en paralel paraleloo tres motores motores del mismo tipo (de modo que el sistema sistema funciona funciona si funciona alguno de los motores), que funcionan independientemente, y tales que el tiempo medio de funcionamiento ininterrumpido de cada uno de ellos es de 3 meses. Hallar el tiempo medio de funcionamiento hasta aver´ aver´ıa del sistema. Si el sistema se pone p one en marcha a lo largo de su vida util u´til 100 veces, ¿en cu´antas antas se espera que funcione sin aver´ aver´ıa durante m´as as de tres meses?
(1,6 puntos) c) Si para obtener mayor potencia-punta del sistema se instalan los tres motores en serie (ahora el sistema se para cuando se para alg´ un motor), hallar el tiempo medio de funun cionamiento hasta parada del sistema.
(0,8 puntos) d) Si se instalan en paralelo diez motores de este tipo y se necesita que funcionen al menos tres al mismo tiempo para que el montaje sea eficaz, hallar la probabilidad de que este montaje funcione con eficacia m´ as as de tres meses.
(0,8 puntos) 1
Nota: Las expresiones num´ericas para cuyo resultado final se precisa calculadora, se de jar´an indicadas, pero simplificadas lo m´aximo posible. PROBLEMA 2. (4,5 puntos) a) Calcular el volumen del s´ olido engendrado por un rect´ angulo al girar alrededor de un eje, que est´e en su mismo plano pero no corte a dicho rect´ angulo.
(1,5 puntos) b) Sea f : sea
R → R una
funci´on derivable en F (x) =
R
con f (0) = 0 y f (x) > 0 para todo x
∈ R,
y
x2 −3x+2
f (t)dt
0
Estudiar crecimiento y extremos locales de la funci´ on F .
(1,5 puntos) c) Sea p un primo impar. Encontrar todos los valores de p que hacen de perfecto
2p−1 −1
p
un cuadrado
(1,5 puntos) COMENTARIO DE TEXTO. (1,5 puntos) Dado el siguiente texto: Y sin embargo, como tan frecuentemente ocurre en la ciencia, la soluci´ on de un problema simplemente abri´ o la puerta a otro. Cuando los matem´ aticos examinaron el c´ alculo desde ese punto de vista mucho m´ as riguroso, y se basaron cada vez menos en conceptos intuitivos y cada vez m´ as en los ´epsilons (ε) y los deltas (δ ) de las matem´aticas ”weierstrassianas”, hicieron algunos descubrimientos altamente peculiares y perturbadores. Por ejemplo, consid´erese la distinci´ on entre n´ umeros racionales e irracionales (...) Es posible demostrar que tanto los n´ umeros racionales como los irracionales est´ an densamente distribuidos a lo largo del segmento de los n´ umeros.... Consiguientemente, es f´ acil concluir que los n´ umeros reales se deben distribuir por igual entre las dos familias, enormes y aproximadamente equivalentes, de los n´ umeros racionales e irracionales. Al avanzar el siglo XIX surgieron descubrimientos matem´ aticos que indicaban, por el contrario, que estas dos clases de n´ umeros no ten´ıan igual peso. Los descubrimientos requer´ıan, con frecuencia, un razonamiento muy t´ecnico y sutil. Por ejemplo, se describ´ıa una funci´ on que era continua (de forma intuitiva, entera) en cada punto irracional y discontinua (rota) en cada punto racional; sin embargo, tambi´ en se demostraba que no exist´ıa una funci´ on que fuese continua en cada punto racional y discontinua en cada punto irracional (...) Tambi´en se demostraba que en cierto sentido fundamental, los n´ umeros racionales e irracionales no eran colecciones intercambiables, sino que, para los matem´aticos de la ´epoca, no estaba claro lo que exactamente estaba 2
ocurriendo. Esta clase de consideraciones, que se adentran en la aut´entica naturaleza del sistema de n´umeros reales, fue el impulso para los teoremas que vamos a considerar en este cap´ıtulo. Cauchy, Weierstrass y sus colegas hab´ıan conseguido establecer los fundamentos del c´ alculo sobre la noci´o n m´as b´asica de ”l´ımite”, pero los matem´ aticos estaban empezando a llegar a la conclusi´ on de que algunas de las cuestiones m´ as importantes y fundamentales del c´ alculo descansaban en las propiedades profundas de los conjuntos. La persona que asir´ıa este problema y en el proceso crear´ıa por s´ı sola una maravillosa teor´ıa (...) fue el genio, a ratos maligno, a ratos paranoico, de George Ferdinand Ludwig Philip Cantor. Del texto: ”Viaje a trav´es de los Genios” de William Dunham a) Delimitar los conceptos matem´ aticos fundamentales que se tratan en el mismo. b) Ubicar los conceptos anteriores en su marco hist´ orico. c) Determinar su relaci´ on con el curr´ıculo de educaci´ on secundaria. d) Establecer su relaci´ on con los contenidos del temario de la oposici´ on. e) Analizar su importancia en el desarrollo de las Matem´ aticas y de su ense˜ nanza.
(Cada cuesti´ on vale 0,3 puntos) Notas: Tiempo para realizaci´ on: 4h Lugar: aulas de la Facultad de Medicina de la Universidad de Murcia (¡en sillas de pala!) No se permiti´o uso de calculadora Los enunciados est´an copiados tal como aparecen en el examen original La obra citada es Viaje a trav´ es de los genios. Biograf´ ıas y teoremas de los grandes matem´ aticos , de William Dunham , Ediciones Pir´ amide. La secci´on destacada lleva por t´ıtulo Cantor y el desaf´ıo del infinito, pp. 319 y 320. Copia realizada en Archena, el 1 de agosto de 2006 Sugerencias y opiniones:
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